Exercice 1

Partie A

1.  a. Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\int_0^{n+1}\e^{-x^2}\dx-\int_0^n \e^{-x^2}\dx \\
   &=\int_n^{n+1} \e^{-x^2}\dx
   \end{align*}$
   La fonction $x \mapsto \e^{-x^2}$ est continue et positive sur l’intervalle $[n;n+1]$.
   Par conséquent $\ds \int_n^{n+1} \e^{-x^2}\dx \pg 0$
   Ainsi $u_{n+1}-u_n \pg 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*}(x-1)^2 \pg 0 &\ssi x^2-2x+1 \pg 0\\
   &\ssi -2x+1\pg -x^2 \\
   &\ssi -x^2 \pp -2x+1
   \end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
   Par conséquent $\e^{-x^2} \pp \e^{-2x+1}$.
   On en déduit donc que :
   $\begin{align*}
   u_n&=\int_0^n \e^{-x^2}\dx \\
   &\pp \int_0^n \e^{-2x+1}\dx \\
   &\pp \left[-\dfrac{1}{2}\e^{-2x+1}\right]_0^n \\
   &\pp -\dfrac{1}{2}\e^{-2n+1}+\dfrac{1}{2}\e \\
   &\pp \dfrac{\e}{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée; elle converge.
   $\quad$
2. a. On a $p=\dfrac{\text{Aire de }\mathcal{D}}{\text{Aire de }OABC}$
   $\ssi p=\dfrac{u_2}{2\times 1}$
   $\ssi 2p=u_2$
   $\quad$
   b. i. La ligne L8 permet de savoir si le point $M(X;Y)$ appartient au domaine $\mathcal{D}$
   $\quad$
   ii. La valeur $F$ correspond à la fréquence des points appartenant au domaine $\mathcal{D}$ sur $N$ tirages aléatoires.
   $\quad$
   iii. On peut donc conjecturer que $F$ va tendre vers $p$ lorsque $N$ devient très grand.
   $\quad$
   c. On a donc $p\approx \dfrac{441~138}{10^6}$ et $u_2 \approx 2\times \dfrac{441~138}{10^6}$
   Soit $u_2\approx 0,88$
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;2]$ on a :
   $A(x)=ON \times OP = x \times \e^{-x^2}$
   $\quad$
2. La fonction $A$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} A'(x)&=\e^{-x^2}-x\times 2x\e^{-x^2} \\
   &\left(1-2x^2\right)e^{-x^2}
   \end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $A'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
   Sur l’intervalle $[0;2]$ :
   $\begin{align*} 1-2x^2 > 0 &\ssi 1>2x^2 \\
   &\ssi \dfrac{1}{2}>x^2 \\
   &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{2}} > x >0 \\
   &\ssi \dfrac{\sqrt{2}}{2}>x>0
   \end{align*}$
   La fonction $A$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2};2\right]$.
   L’aire du rectangle $ONMP$ est donc maximale quand $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   $\quad$
3. L’aire de la partie peinte en bleue est donc $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,43$ m$^2$.
   L’aire de la partie blanche est donc $u_2-A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,88-0,43$ soit environ $0,45$ m$^2$.
   $\quad$

Exercice 2

1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
   Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
   Cette équation possède donc deux racines complexes:
   $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
   Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
   Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
   $\quad$
2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
   Son affixe est :
   $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
   &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
   &=z
   \end{align*}$
   Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
   $\quad$
3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
   $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
   Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
   $\quad$
   b.
   
   $\quad$
   c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
   $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
   Donc $MA=MM’$.
   Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
   $\quad$

Exercice 3

1.  a. On veut calculer $P(1,04 \pp T \pp 2,64) = P(\mu-2\sigma \pp T \pp \mu +2\sigma) \approx 0,954$
   $\quad$
   b. $P(T \pg 1,2)=0,5+P(1,2 \pp T \pp 1,84) \approx 0,945$
   $\quad$
2. a.
   
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p\left(\conj{M}\cap B\right) \\
   &=0,6\times 0,8+0,4\times 0,1 \\
   &=0,52
   \end{align*}$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_B(M)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,52} \\
   &=\dfrac{12}{13} \\
   &\approx 0,923
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. On a $n=100 \pg 30$ et $p=0,3$ donc $np=30 \pg 5$ et $n(1-p)=70 \pg 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires est donc :
   $\begin{align*} I_{100}&=\left[0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}};0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}}\right]\\
   &\approx [0,210;0,390]
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fréquence observée est $f=0,37\in I_{100}$
   Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas rejeter l’annonce du laboratoire.
   $\quad$
   c. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
   On sait que $0,37$ appartient à cet intervalle mais pas $0,30$.
   Par conséquent, on cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} 0,3 < 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}}&\ssi -0,07 < -\dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
   &\ssi \sqrt{n} > \dfrac{1}{0,07} \\
   &\ssi n > \dfrac{1}{0,07^2} \\
   &\ssi n \pg 205
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1.  On a $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $F(1;0;1)$.
   $I$ est le milieu du segment $[EH]$ donc $I\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)$ soit $I(0;0,5;1)$.
   $J$ est le milieu du segment $[FN]$ donc $J\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2}\right)$ soit $J(1;0;0,5)$.
   $\quad$
2. a. On a $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{BI}\begin{pmatrix}-1\\0,5\\1\end{pmatrix}$.
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
   Par conséquent :
   $\vec{n}.\vect{BG}=0-2+2=0$ et $\vec{n}.\vect{BI}=-1-1+2=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI)$.
   C’est donc un vecteur normal au plan $(BGI)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est alors de la forme :
   $$x-2y+2z+d=0$$
   Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan.
   Donc $1-0+0+d=0 \ssi d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc $x-2y+2z-1=0$.
   $\quad$
   c. $K$ est le milieu du segment $[HJ]$.
   Donc $K\left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{1+0,5}{2}\right)$ soit $K(0,5;0,5;0,75)$.
   Regardons si les coordonnées de ce point vérifie l’équation du plan $(BGI)$ trouvée à la question précédente.
   $0,5-2\times 0,5+2\times 0,75-1=0,5-1+1,5-1=0$.
   Donc $K$ appartient au plan $(BGI)$.
   $\quad$
3. a. Le triangle $FIG$ est isocèle en $I$. Donc en appelant $I’$ le milieu du segment $[FG]$ l’aire de ce triangle est :
   $\mathscr{A}=\dfrac{II’\times FG}{2}=\dfrac{1\times 1}{2}=0,5$.
   Ainsi le volume du tétraèdre $FBIG$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times FB}{3}=\dfrac{0,5\times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
   b. La droite $\Delta$ passe par le point $F(1;0;1)$ est est dirigée par le vecteur $\vec{n}$.
   Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
   $\begin{cases} x=1+t\\y=-2t\\z=1+2t\end{cases} \quad, t\in \R$
   $\quad$
   c. Montrons que le points $F’\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ appartient à la fois à la droite $\Delta$ et à au plan $(BGI)$.
   Dans la représentation paramétrique de $\Delta$, si on prend $t=-\dfrac{2}{9}$ (solution de l’équation $-2t=\dfrac{4}{9}$ par exemple)alors on obtient :
   $\begin{cases} x=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\\y=-2\times \left(-\dfrac{2}{9}\right)=\dfrac{4}{9}\\z=1-2\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}\end{cases}$
   Donc $F’\in \Delta$.
   $\dfrac{7}{9}-2\times \dfrac{4}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-1=\dfrac{7}{9}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{10}{9}-\dfrac{9}{9}=0$
   Donc $F’\in (BGI)$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et un vecteur normal au plan $(BGI)$: la droite et plan sont donc sécants.
   Le point $F’$ appartient à chacun d’entre eux. C’est donc leur point d’intersection.
   $\quad$
   d. $FF’=\sqrt{\left(1-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(0-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(1-\dfrac{5}{9}\right)^2}=\dfrac{2}{3}$.
   Le volume du tétraèdre $FBIG$ est :
   $\mathscr{V}=\dfrac{1}{6}\ssi \dfrac{FF’\times \text{aire }_{BGI}}{3}=\dfrac{1}{6}$
   Par conséquent l’aire du triangle $BGI$ est $\mathscr{A}’=\dfrac{\dfrac{1}{6}\times 3}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}$.
   $\quad$

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Le point $A(1;5;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $a+5b-2c=73$.
   Le point $B(7;-1;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $7a-b+3c=73$.
   Le point $C(-2;7;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $-2a+7b-2c=73$.
   On obtient ainsi le système suivant :
   $\begin{cases} a+5b-2c=73\\7a-b+3c=73\\-2a+7b-2c=73\end{cases}$
   Par conséquent $X$ vérifie bien la relation $MX=73Y$.
   $\quad$
2. On note $I_3$ la matrice identité d’ordre $3$.
   On a donc d’après ces copies d’écran $M\times N=N \times N=73 I_3$
   Par conséquent $M^{-1}=\dfrac{1}{73}N$.
   $\quad$
3. $MX=73Y \ssi X=73M^{-1}Y\ssi X=NY$
   Ainsi $X=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\15\\6\end{pmatrix}$
   Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $10x+15y+6z=73$.
   $\quad$

Partie B

1. a. On sait donc que $M(x;y;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
   Ainsi $10x+15y+18=73 \ssi 10x+15y=55\ssi 2x+3y=11$.
   $\quad$
   b. $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$.
   Par conséquent $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$.
   On appelle $(x;y)$ une solution de $(E)$ : $2x+3y=11$
   Par différence on obtient :
   $2(7-x)+3(-1-y)=0$
   $\ssi 2(7-x)=3(1+y)$
   $2$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1+y=2k$ et $7-x=3k$.
   Soit $y=2k-1$ et $x=7-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$ et le couple $(7-3k;2k-1)$.
   $2(7-3k)+3(2k-1)=14-6k+6k-3=11$.
   Le couple $(7-3k;2k-1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   Les solution de $(E)$ dans $\Z$ sont donc les couples $(7-3k;2k-1)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   c. On cherche les entiers relatifs $k$ qui vérifient :
   $\begin{cases} 7-3k\pg 0 \\2k-1 \pg 0 \end{cases} \ssi \begin{cases} 7\pg 3k \\2k \pg 1 \end{cases} \ssi \dfrac{1}{2} \pp k \pp \dfrac{7}{3}$.
   Par conséquent $k=1$ ou $k=2$.
   Si $k=1$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(4;1;3)$.
   Si $k=2$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(1;3;3)$.
   $\quad$
2. a. Soit $(x;y;z)$ une solution de l’équation $(E)$.
   $10x+15y+6z=73 \ssi 15y=73-10x-6z$
   Si $y$ est pair alors $15y \equiv 0~~[2]$
   et $73-10x-6z \equiv 1~~[2]$.
   Ainsi $y$ ne peut pas être pair. $y$ est donc pair.
   $\quad$
   b. On a $10x=73-15y-6z$.
   On a $10\equiv 1~~[3]$ et $73-15y-6z\equiv 1~~[3]$.
   Par conséquent $x\equiv 1~~[3]$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} M(x;y;z)\in \mathcal{P}&\ssi 10(1+3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73 \\
   &\ssi 10+30p+15+30q+18+30r=73 \\
   &\ssi 30p+30q+30r=30 \\
   &\ssi p+q+r=1
   \end{align*}$
   $\quad$
   d. D’après les questions B.2.a et B.2.b on sait que $y\equiv 0~~[2]$, $x\equiv 1~~[3]$ et $z\equiv 3~~[5]$.
   Donc il existe trois entiers naturels $p,q$ et $r$ tels que $x=1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$.
   On sait que $p+q+r=1$.
   Par conséquent :
   $\bullet$ $p=1$ et $q=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(4;1;3)$.
   $\bullet$ $q=1$ et $p=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;3;3)$.
   $\bullet$ $R=1$ et $p=q=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;1;8)$.
   Les coordonnées des points du plan $\mathscr{P}$ à coordonnées entières sont donc $(4;1;3)$, $(1;3;3)$ et $(1;1;8)$.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n=\ds\int_0^n \e^{-x^2}\dx$$
On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$.

1. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   $\quad$
   b. Démontrer que pour tout réel $x \pg 0$, on a : $-x^2 \pp -2x+1$, puis : $\e^{-x^2} \pp \e^{-2x+1}$.
   En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\e}{2}$.
   $\quad$
   c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.
   $\quad$
2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approchée de $u_2$.
   Dans le repère orthonormé $\Oij$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $f(x)=\e^{-x^2}$, et le rectangle $OABC$ où $A(2;0)$, $B(2;1)$ et $C(0;1)$.
   On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=2$.
   
   On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un point $M$ au hasard à l’intérieur du rectangle $OABC$.
   On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine $\mathcal{D}$ est $p=\dfrac{\text{Aire de }\mathcal{D}}{\text{Aire de }OABC}$.
   a. Justifier que $u_2=2p$
   $\quad$
   b. On considère l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   \text{L}1&\textbf{Variables : } N,C \text{ nombres entiers ;}X,Y,F \text{ nombres réels}\\
   \text{L}2&\textbf{Entrée : } \text{saisir }N\\
   \text{L}3&\textbf{Initialisation : } C\text{ prend la valeur }0\\
   \text{L}4&\textbf{Traitement :}\\
   \text{L}5&\text{Pour }k\text{ variant de }1 \text{ à } N\\
   \text{L}6&\quad X \text{ prend la valeur d’un nombre aléatoire entre }0\text{ et } 2\\
   \text{L}7&\quad Y \text{ prend la valeur d’un nombre aléatoire entre }0\text{ et } 1\\
   \text{L}8& \quad \text{Si }Y \pp \e^{-X^2} \text{ alors} \\
   \text{L}9& \qquad C \text{ prend la valeur } C+1\\
   \text{L}10& \quad \text{Fin si}\\
   \text{L}11& \text{Fin pour}\\
   \text{L}12& \text{Aficher } C\\
   \text{L}13&F \text{ prend la valeur }C/N\\
   \text{L}14&\text{Afficher } F\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$ i. Que permet de tester la condition de la ligne L$8$ concernant la position du point $M(X;Y)$?
   $\quad$ ii. Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme.
   $\quad$ iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur de $F$ lorsque $N$ devient très grand?
   $\quad$
   c. En faisant fonctionner cet algorithme pour $N=10^6$, on obtient $C=441~138$.
   On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l’algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près.
   En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$

Partie B

Une entreprise spécialisée est chargée par l’office de tourisme d’une station de ski de la conception d’un panneau publicitaire ayant la forme d’une piste de ski.
Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Le panneau, modélisée par le domaine $\mathcal{D}$ définie dans la Partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de $2$ mètre sur $1$ mètre. Il est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé $\Oij$; l’unité choisie est le mètre.

Pour $x$ nombre réel appartenant à l’intervalle $[0;2]$, on note :

• $M$ le point de la courbe $\mathscr{C}$ de coordonnées $\left(x;\e^{-x^2}\right)$,
• $N$ le point de coordonnées $(x;0)$,
• $P$ le point de coordonnées $\left(0;\e^{-x^2}\right)$,
• $A(x)$ l’aire du rectangle $ONMP$.

1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;2]$, on a : $A(x)=x\e^{-x^2}$.
   $\quad$
2. Déterminer la position du point $M$ sur la courbe $\mathscr{C}$ pour laquelle l’aire du rectangle $ONMP$ est maximale.
   $\quad$
3. Le rectangle $ONMP$ d’aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc.
   $\quad$

Exercice 2    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
   En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
   $\quad$
2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
   On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
   Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
   a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
   $\quad$
   b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
   Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
   $\quad$
   c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Exercice 3    5 points

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième.

1. Une étude effectuée sur une population d’hommes âgés de $35$ à $40$ ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu=1,84$ et d’écart-type $\sigma=0,4$.
   a. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$ g/L et $2,64$ g/L.
   $\quad$
   b. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$ g/L.
   $\quad$
2. Afin de tester l’efficacité d’un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d’être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire.
   Dans cet essai, $60\%$ des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre).
   On étudie la baisse du taux de cholestérol après l’expérimentation.
   On constate une baisse de ce taux chez $80\%$ des patients ayant pris le médicament.
   On ne constate aucune baisse pour $90\%$ des personnes ayant pris le placebo.
   $\quad$
   On choisit au hasard un patient ayant participé à l’expérimentation et on note :
   $\quad$ $\bullet$ $M$ l’événement “le patient a pris le médicament”;
   $\quad$ $\bullet$ $B$ l’événement “le taux de cholestérol a baissé chez le patient”.
   a. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
   $\quad$
   c. Calculer la probabilité qu’un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé.
   $\quad$
3. Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que $30\%$ des patients qui l’utilisent présentent des effets secondaires.
   Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$ patients traités avec ce médicament.
   a. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires.
   $\quad$
   b. L’étude réalisée auprès des $100$ patients a dénombré $37$ personnes présentant des effets secondaires.
   Que peut-on en conclure?
   $\quad$
   c. Pour estimer la proportion d’utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$.
   Cette étude aboutit à une fréquence observée de $37\%$ de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence $30\%$.
   Quel est l’effectif minimal de l’échantillon de cette étude?
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des egments $[EH]$ et $[FB]$.
On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
   $\quad$
2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
   $\quad$
   b. En déduire une équation cartésienne du plan $(BGI)$.
   $\quad$
   c. On note $K$ le milieu du segment $[HJ]$. Le point $K$ appartient-il au plan $(BGI)$?
   $\quad$
3. Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle $BGI$.
   a. En utilisant par exemple le triangle $FIG$ pour base, démontrer que le volume du tétraèdre $FBIG$ est égal à $\dfrac{1}{6}$.
   On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $V=\dfrac{1}{3}B\times h$ où $B$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
   $\quad$
   b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
   $\quad$
   c. La droite $\Delta$ coupe le plan $(BGI)$ en $F’$. Montrer que le point $F’$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{5}{9}\right)$.
   $\quad$
   d. Calculer la longueur $FF’$. En déduire l’aire du triangle $BGI$.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(1;5;-2)$, $B(7;-1;3)$ et $C(-2;7;-2)$ et on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$.
On cherche une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ sous la forme $ax+by+cz=73$, où $a,b$ et $c$ sont des nombres réels.
On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX=73Y$, où $M$ est la matrice $M=\begin{pmatrix}1&5&-2\\7&-1&3\\-2&7&-2\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. Soit $N$ la matrice : $N=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix}$.
   À l’aide d’une calculatrice, on a calculé les produits $M\times N$ et $N\times M$, et on a obtenu les copies d’écran suivantes :
   
   À l’aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
   $\quad$
3. Montrer alors que : $X=NY$.
   En déduire que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne : $10x+15y+6z=73$.
   $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du plan $\mathcal{P}$ ayant pour équation cartésienne : $10x+15y+6z=73$.

1. Soit $M(x;y;z)$ un point appartenant au plan $\mathscr{P}$ et au plan d’équation $z=3$. On suppose que les coordonnées $x,y$ et $z$ appartiennent à l’ensemble $\Z$ des entiers relatifs.
   a. Montrer que les éntiers $x$ et $y$ sont solutions de l’équation $(E):2x+3y=11$.
   $\quad$
   b. Justifier que le couple $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l’équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\Z$.
   $\quad$
   c. Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d’équation $z=3$ et dont les coordonnées appartiennent à l’ensemble $\N$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
   $\quad$
2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x;y;z)$ du plan $\mathscr{P}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels.
   Soient $x,y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x+15y+6z=73$.
   a. Montrer que $y$ est impair.
   $\quad$
   b. Montrer que : $x\equiv 1~~[3]$. On admet que : $z\equiv 3~~[5]$.
   $\quad$
   c. On pose alors : $x= 1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$, où $p,q$ et $r$ sont des entiers naturels.
   Montrer que le point $M(x;y;z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $p+q+r=1$.
   $\quad$
   d. En déduire qu’il existe exactement trois points du plan $\mathscr{P}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
   $\quad$