Bac S – Métropole – Septembre 2020

Métropole – Septembre 2020

Bac TS- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x+1=1$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x\times 2\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\e^{2x}+2\e^x-2\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}\times \dfrac{1}{\e^x+1}\\
    &=\dfrac{f(x)}{\e^x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. La fonction $f$ est donc strictement positive sur $\R$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    Par conséquent pour tout $x\in \R$, $f'(x)$ est strictement positif en tant que quotient de nombres strictement positifs également.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(0)=\dfrac{2}{1+1}=1$ donc le point $I(0;1)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}$.
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $I$ est $f'(1)$.
    Or $f'(1)=\dfrac{f(1)}{1+1}=0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} \left(f(x)\right)^2&=\left(\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}\right)^2 \\
    &=4\left(\dfrac{\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^{2x}+\e^x-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^x}{\e^x+1}+\dfrac{-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Une primitive de $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\ln\left(\e^x+1\right)$.
    En effet $g$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$ où $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=\e^x+1$.
    $\quad$
    Une primitive de $h$ sur $\R$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=\dfrac{1}{\e^x+1}$.
    En effet $h$ est de la forme $\dfrac{-u’}{u^2}$ où $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=\e^x+1$.
    $\quad$
  3. Pour tout $a>0$ on a :
    $\begin{align*} V(a)&=\pi \int_0^a \left(f(x)\right)^2\dx \\
    &=4\pi \Big[G(x)+H(x)\Big]_0^a \\
    &= 4\pi \left(\ln\left(\e^a+1\right)-\ln(2)+\dfrac{1}{\e^a+1}-\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=4\pi\left(\ln\left(\dfrac{\e^a +1}{2}\right)+\dfrac{1}{\e^a+1}-\dfrac{1}{2}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $V(11,14) \approx 124,996$
    Une valeur approchée de $a$ à $0,1$ près est donc $11,1$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$
donc $n\pg 30$, $np=392\pg 5$ et $n(1-p)=8\pg 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des flûtes conformes au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right]\\
&=[0,966~28;0,993~72]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{400-13}{400}=0,967~5 \in I_{400}$
On ne peut pas remettre en doute l’affirmation du responsable.

$\quad$

Ex 2

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(51\pp M\pp 53)\approx 0,978$.
    Une valeur approchée à $10^{-1}$ de cette probabilité est donc $1$.
    $\quad$
  2. La variable $Z=\dfrac{M-52}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(51 \pp M\pp 53) \pg 0,99&\ssi  P(-1 \pp M-52 \pp 1) \pg 0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{1}{\sigma}\pp \dfrac{M-52}{\sigma} \pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{1}{\sigma}\pp Z \pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) -1 \pg 0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 1,99 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,995 \end{align*}$
    D’après la calculatrice $\dfrac{1}{\sigma} \pg 2,575~8$ (environ) donc $\sigma \pp 0,388$ (environ).
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction de densité associée à la variable aléatoire $T$ est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\lambda \e^{-\lambda x}$.
    Ainsi $f(0)=\lambda$.
    D’après le graphique $0,04 \pp \lambda \pp 0,06$.
    $\quad$
    b. On sait donc que $P(X\pp 11)=0,45$.
    Or $P(X\pp 11)=1-\e^{-11\lambda}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} 1-\e^{-11\lambda}=0,45 &\ssi -\e^{-11\lambda}=-0,55 \\
    &\ssi \e^{-11\lambda}=0,55 \\
    &\ssi -11\lambda =\ln(0,55) \\
    &\ssi \lambda =-\dfrac{\ln(0,55)}{11}\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable aléatoire $T$ est :
    $E(T)=\dfrac{1}{\lambda} \approx 18,52$.
    La durée moyenne d’utilisation d’une balance sans qu’elle ne se dérègle est, à un jour près, égale à $19$ jours.
    $\quad$
  3. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 20}(T\pg 31)&=P_{T\pg 20}(T\pg 20+11) \\
    &=P(T\pg 11) \\
    &=1-P(T< 11) \\
    &=1-0,45\\
    &=0,55\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} p(A)&=p\left(U_{-1}\cap V_{-1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{5}\\
    &=\dfrac{3}{20}\end{align*}$
    $\quadb. $t^2+2t+5=0$
    $\Delta=4-20=-16$
    Les solutions sont donc $t_1=\dfrac{-2-4\ic}{2}=-1-2\ic$ et $t_2=-1+2\ic$.
    On a
    $\begin{align*} p(B)&=p\left(U_{-1}\cap V_{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{5}\\
    &=\dfrac{9}{20}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $x=\pm 1$ et $y=\pm 1$ alors $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\neq 2$
    Si $x=\pm 1$ et $y=2$ alors $|z|=\sqrt{5}\neq 2$
    Donc $p(C)=0$
    $\quad$
  3. On a donc $z=1+\ic$
    $|z|=\sqrt{2}$ ainsi
    $\begin{align*}z&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\ic}{\sqrt{2}}\right)\\
    &=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} z^{2020}&=\sqrt{2}^{2020}\e^{2020\ic\pi/4}\\
    &=2^{1010}\e^{505\ic\pi}\\
    &=2^{1010}\e^{(2\times 252+1)\pi}\\
    &=-2^{1010}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-1\\-6\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vec{n}&=3\times 1+1\times (-4)+1\times 1\\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vec{n}&=2\times 1+(-1)\times (-4)+(-6)\times 1\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-4y+z+d=0$.
    Le point $A(1;1;4)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $1-4+4+d=0\ssi d=-1$
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $x-4y+z-1=0$.
    $\quad$
    d. On a :
    $\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=1-4+3 \\
    &=0\end{align*}$
    Un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$ est donc orthogonal à un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$.
    $\mathscr{D}$ est par conséquent parallèle à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{IH}\begin{pmatrix}2\\-8\\2\end{pmatrix}=2\vec{n}$.
    Le point $H$ appartient donc à $\Delta$.
    $3\times 1-4\times 1+2\times 1 -1=0$ donc $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
    La droite $\Delta$ coupe donc le plan $\mathscr{P}$ au point $H(3;1;2)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} IH&=\sqrt{2^2+(-8)^2+2^2}\\
    &=\sqrt{72}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout point $M$ du plan $\mathscr{P}$ on a $IM\pg IH>6$ Le plan $\mathscr{P}$ ne coupe donc pas la sphère $\mathscr{S}$.
    $\quad$
  3. a. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
    b. Un point $M(x;y;z)$ appartient à la sphère $\mathscr{S}$ si, et seulement si $IM=6$
    $\ssi IM^2=36$ (une longueur étant toujours positive)
    $\ssi (x-1)^2+(y-9)^2+z^2=36$
    $\quad$
    c. Les coordonnées des points d’intersection de la droite $\mathscr{D}$ et de la sphère vérifient :
    $\begin{align*} &\begin{cases} (x-1)^2+(y-9)^2+z^2=36\\
    x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\end{cases} \\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\(1+t-1)^2+(4+t-9)^2+(2+3t)^2=36\end{cases}\\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\ t^2+(t-5)^2+4+12t+9t^2=36\end{cases} \\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t \\t^2+t^2-10t+25+4+12t+9t^2-36=0\end{cases}\\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\11t^2+2t-7=0\end{cases}\end{align*}$
    Le discriminant de $11t^2+2t-7$ est $\Delta=312>0$. Par conséquent l’équation $11t^2+2t-7=0$ possède deux solutions réelles et il existe deux points d’intersection distincts.
    $\quad$

Ex 4 (obl)

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $u_1=\dfrac{3}{4}$, $u_2=\dfrac{8}{9}$.
    Donc $v_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $u_3=\dfrac{15}{16}$ donc $v_3=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{15}{16}=\dfrac{5}{8}$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    &\text{Algorithme}\\
    \hline
    1.&V\leftarrow 1\\
    2.&\text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$}\\
    3.&\quad U\leftarrow \dfrac{i(i+2)}{(i+1)^2}\\
    4.&\quad V\leftarrow V\times U\\
    5.&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} 1-\dfrac{1}{(n+1)^2}&=\dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} \\
    &=\dfrac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2} \\
    &=\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}\\
    &=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\\
    &=u_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}$. Par conséquent $u_n>0$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    De plus $u_n=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}$. Or $\dfrac{1}{(n+1)^2}>0$ donc $u_n<1$.
    Ainsi $0<u_n<1$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a
    $v_n>0$ en tant que produit de nombres strictement positifs.
    On a, d’après la question 1, $v_1<v_2$
    Pour tout $n\in \N, n\pg 2$
    $0<u_n<1$ donc, $0<v_{n-1}<v_{n-1}$ soit $0<v_n<v_{n-1}$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times u_{n+1} \\
    &=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+1+2)}{(n+1+1)^2} \\
    &=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Su $n=1$ alors $v_1=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{n+2}{2(n+1)}=\dfrac{3}{4}$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$, on suppose que la propriété est vraie au rang $n$ soit $v_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \\
    &=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\\
    &=\dfrac{n+3}{2(n+2)}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$ on a $v_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} v_n&=\dfrac{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{2n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{2\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{2}{n}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  6. On a :
    $\begin{align*} w_7&=\ln\left(u_1\right)+\ln\left(u_2\right)+\ldots+\ln\left(u_7\right)\\
    &=\ln\left(u_1u_2\times \ldots u_7\right) \\
    &=\ln\left(v_7\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{7+2}{2(7+1)}\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{9}{16}\right)\\
    &=\ln\left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right]\\
    &=2\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\\
    &=2\ln\left(u_1\right)\\
    &=2w_1
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4 (spé)

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $5\equiv 1~[4]$ donc $5^n \equiv 1~[4]$
    Par conséquent $a_n\equiv 6\times 1-2~[4]$ soit $a_n\equiv 0~[4]$ et $b_n\equiv 3\times 1+1~[4]$ soit $b_n\equiv 0~[4]$.
    Pour tout entier naturel $n$, chacun des entiers $a_n$ et $b_n$ est congru à $0$ modulo $4$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} 2b_n-a_n&=2\left(3\times 5^n+1\right)-\left(6\times 5^n-2\right) \\
    &=6\times 5^n+2-6\times 5^n+2 \\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la question précédente le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est un diviseur de $2b_n-a_n$ c’est-à-dire de $4$.
    D’après la question 1.a. on sait que $4$ divise $a_n$ et $b_n$.
    Ainsi $4$ est un diviseur du PGCD de $a_n$ et $b_n$.
    Par conséquent le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est $4$.
    $\quad$
  2. a. On a $5\equiv -2~[7]$ par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $5^n\equiv (-2)^n~[7]$.
    Ainsi $b_{2020}\equiv 3\times (-2)^{2020}+1~[7]$ soit, puisque $2020$ est pair, $b_n\equiv 3\times 2^{2020}+1$.
    $\quad$
    b. $2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2=8^{673}\times 2$.
    Or $8\equiv 1~[7]$ donc $2^{2020}\equiv 1^{673}\times 2$ soit $2^{2020}\equiv 2~[7]$.
    Par conséquent $b_{2020}\equiv 3\times 2+1~[7]$ et donc $b_{2020}\equiv 0~[7]$.
    $b_{2020}$ est donc divisible par $7$.
    $\quad$
    c. On a $a_{2020}=6\times 5^{2020}-2$ donc $a_{2020}\equiv 6\times 2^{2020}-2~[7]$.
    Par conséquent $a_{2020}\equiv 6\times 2-2~[7]$ soit $a_{2020}\equiv 10~[7]$.
    L’entier $a_{2020}$ n’est donc pas divisible par $7$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    U&V&K\\
    \hline
    1&1&0\\
    \hline
    7&10&1\\
    \hline
    61&91&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On a $v_1=4$ par conséquent l’algorithme ne permet de calculer $v_N$ correctement pour une valeur de $N$ donnée.
    $\quad$
    On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1.&U\leftarrow 1\\
    2.&V\leftarrow 1\\
    3.&K\leftarrow 0\\
    4.&\text{Tant que } K<N\\
    5.&W\leftarrow U\\
    6.&U\leftarrow 3U+4V\\
    7.&V\leftarrow W+3V\\
    8.&K\leftarrow K+1\\
    9.&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie C

  1. En prenant $A=\begin{pmatrix}3&4\\1&3\end{pmatrix}$ on obtient $X_{n+1}=AX_n$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ donc $A^0X_0=X_0$ et la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $X_n=A^n X_0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
    &=A\times A^n X_0\\
    &=A^{n+1} X_0\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $X_n=A^n X_0$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} X_n&=A^n X_0 \\
    &=\dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2\times 5^n+2+4\times 5^n-4\\5^n-1+2\times 5^n+2\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}6\times 5^n-2\\3\times 5^n+1\end{pmatrix}\end{align*}$
    Par conséquent $u_n=\dfrac{a_n}{4}$ et $v_n=\dfrac{b_n}{4}$.
    $\quad$
  4. Le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est $4$ par conséquent le PGCD de $\dfrac{a_n}{4}$ et $\dfrac{b_n}{4}$ est $1$.
    Les nombres $u_n$ et $v_n$ sont dont premiers entre eux.
    $\quad$

Énoncé

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