Exercice 1

Partie A

1. La courbe coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ donc $f(0)=1$.
   La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$ donc $f'(1)=0$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ positif on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-\frac{x}{2}}+(ax+b)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=\left(a-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b\right)\e^{-\frac{x}{2}}\\
   &=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $f(0)=(a\times 0+b)\e^{0}=b$ et $f'(1)=\left(\dfrac{1}{2}a\times 1-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \begin{cases} b=1\\\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}b=1\\-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a=0 \qquad (*)\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} b=1\\a=b \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} a=1\\b=1\end{cases}\end{align*}$
   $(*)$ la fonction exponentielle est en effet strictement positive sur $\R$.
   $\quad$

Partie B

1. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
   $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=x\times \e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=\dfrac{x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}\times x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=2\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-\frac{x}{2}}=0$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{2}x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^X}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ positif on a, d’après la question A.2 :
   $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(-x+1)\e^{-\frac{x}{2}}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-x+1)$.
   Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

   
   Avec $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}}$.
   $\quad$

3. Sur l’intervalle $[0;1]$, on a $f(x)\pg 1$. L’équation $f(x)=0,07$ n’admet donc aucune solution sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   De plus $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}} \approx 1,21$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
   Donc $0,07$ appartient à l’intervalle $\left]0;f(1)\right]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   Par conséquent l’équation $f(x)=0,07$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
4. D’après la calculatrice $\alpha \approx 10,14$.
   Par conséquent $\alpha \approx 10$ arrondi à l’unité.
   $\quad$

Partie C

1. $7$ cm $=0,07$ m
   D’après la question B.4. l’unique solution de l’équation $f(x)=0,07$ est $\alpha \approx 10$.
   Le mur de droite, selon les contraintes fournies, soit donc être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche.
   $\quad$
2. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
   $\begin{align*} G'(x)&=-2\e^{-\frac{x}{2}}+(-2x-4)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=(-2+x+2)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=x\e^{-\frac{x}{2}}\\
   &=g(x)\end{align*}$
   La fonction $G$ est donc bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;10]$.
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
   $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=x\e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}}\\
   &=g(x)+\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
   Ainsi une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par :
   $\begin{align*} F(x)&=(-2x-4)\e^{-\frac{x}{2}}-2\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=(-2x-4-2)\e^{-\frac{x}{2}} \\
   &=(-2x-6)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
   $\quad$
4. Calculons l’aire de la zone correspondant au tas de sable.
   La fonction $f$ est continue et, d’après la partie B., positive sur l’intervalle $[0;10]$.
   L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=0$ et la droite d’équation $x=10$ est donc :
   $\begin{align*} \ds \mathscr{A}&=\int_0^{10}f(x)\dx \\
   &=F(10)-F(0) \\
   &=-26\e^{-5}+6\end{align*}$
   Une fois le tas de sable nivelé, on obtient donc (pour la section observée) un rectangle de longueur $10$ et d’aire $\mathscr{A}=6-26\e^{-5}$.
   La hauteur du tas de sable sera alors $h=\dfrac{6-26\e^{-5}}{10}\approx 0,58 m$.

$\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $p(A\cap V)=p(A)\times p_A(V)=0,4\times 0,1=0,04$
   La probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal est égale à $0,04$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} &p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V) \\
   \ssi &0,2=0,04+0,25\times 0,2+p(C\cap V) \\
   \ssi p(C\cap V)=0,11\end{align*}$
   On voulait déterminer :
   $\begin{align*} p_C(V)&=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)} \\
   &=\dfrac{0,11}{0,35} \\
   &=\dfrac{11}{35} \\
   &\approx 0,314\end{align*}$
   La probabilité que la communication soit acheminée par le canal vocal sachant qu’elle passe par l’opérateur C est environ égale à $0,314$.
   $\quad$

Partie B

1. On effectue $1~600$ tirages aléatoires, identiques et indépendant. À chaque tirage, il n’y a que deux issues $V$ et $\conj{V}$. De plus $p(V)=0,2$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1~600$ et $p=0,2$.
   $\quad$
2. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
   $\begin{align*} E(X)&=np \\
   &=320\end{align*}$
   Cela signifie donc qu’en moyenne $320$ personnes passent un appel à un moment donné.
   $\quad$
3. D’après la calculatrice, on a $P(X\pp 350) \approx 0,971$
   La probabilité que l’antenne ne soit pas saturée est environ égale à $0,971$.
   $\quad$

Partie C

1. a. On obtient le graphique suivant :
   b. D’après l’énoncé on a :
   $\begin{align*} P(Y>350)=0,001~5 &\ssi P(Y\pp 350)=0,998~5 \\
   &\ssi P(Y-335\pp 15)=0,998~5 \\
   &\ssi P\left(\dfrac{Y-335}{\sigma}\pp \dfrac{15}{\sigma}\right)=0,998~5 \end{align*}$
   La variable aléatoire $Y^*=\dfrac{Y-335}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   On a donc $P\left(Y^*\pp \dfrac{15}{\sigma}\right)=0,998~5$.
   À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve, $\dfrac{15}{\sigma} \approx 2,967~7$
   Ainsi $\sigma \approx 5$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} P(Y\pp 330)&=P(Y\pp 335)-P(330 \pp Y\pp 335) \\
   &=0,5-P(330 \pp Y\pp 335) \\
   &\approx 0,159\end{align*}$
   La probabilité que l’antenne soit en mode « économie d’énergie » est environ égale à $0,159$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A

1. Pour tout nombre complexe $z$ on a :
   $\begin{align*} &(z-2)\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right) \\
   =&z^3+2\sqrt{2}z^2+4z-2z^2-4\sqrt{2}z-8 \\
   =&z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(z-\sqrt{2}\right)z-8\end{align*}$
   $\quad$
2. D’après la question précédente on a :
   $\begin{align*} &z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(z-\sqrt{2}\right)z-8=0 \\
   \ssi &(z-2)\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right)=0 \end{align*}$
   Il s’agit d’une équation de produit nul.
   Par conséquent $z-2=0$ ou $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$
   $z-2=0 \ssi z=2$
   Résolvons maintenant $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$
   $\Delta = 8-16=-8<0$
   L’équation possède donc deux racines complexes :
   $z_1=\dfrac{-2\sqrt{2}-\ic\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=-\sqrt{2}+\ic \sqrt{2}$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $2$, $-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}+\ic \sqrt{2}$.
   $\quad$
3. On a $2=2\e^0$
   $\left|-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}\right|=\sqrt{2+2}=2$
   Par conséquent :
   $\begin{align*}z_1&=-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}\\
   &=2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
   &=2\e^{5\ic\pi/4}\end{align*}$
   Par conséquent $z_2=\conj{z_1}=2\e^{-5\ic\pi/4}$ soit également $z_2=2\e^{3\ic\pi/4}$
   $\quad$

Partie B

1. On a $OA=\left|z_A-z_O\right|=\left|z_A\right|=2$
   De même $OB=\left|z_B-z_O\right|=\left|z_B\right|=2$
   Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
   Remarque : On pourrait vérifier, en calculant $AB$, que le triangle est équilatéral ou seulement isocèle mais un triangle équilatéral est également isocèle.
   $\quad$
2. La droite $(OI)$ est la médiane du triangle $OAB$ issue du sommet $O$.
   Le triangle $OAB$ étant isocèle en $O$ cette droite est également la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$.
   Ainsi $\left(\vect{OA};\vect{OI}\right)=\dfrac{~\dfrac{3\pi}{4}~}{2}=\dfrac{3\pi}{8}$
   Le point $A$ appartient à l’axe des abscisses et possède une abscisse positive. Par conséquent $\vect{OA}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires et de même sens.
   Ainsi $\left(\vect{OA};\vect{OI}\right)=\left(\vec{u};\vect{OI}\right)=\dfrac{3\pi}{8}$.
3. $I$ est le milieu de $[AB]$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2} \\
   &=\dfrac{2+2\e^{3\ic\pi/4}}{2} \\
   &=1+\e^{3\ic\pi/4} \\
   &=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\end{align*}$
   On a donc :
   $\begin{align*} \left|z_I\right|&=\sqrt{\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
   &=\sqrt{1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}\\
   &=\sqrt{2-\sqrt{2}}\end{align*}$
   $\quad$
4. D’après la question B.2. un argument de $z_I$ est $\dfrac{\pi}{8}$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} z_I&=\sqrt{2-\sqrt{2}}\e^{3\ic\pi/8} \\
   &=\sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)+\sqrt{2-\sqrt{2}}\ic \sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\end{align*}$
   En identifiant avec la forme algébrique trouvée à la question B.3. on obtient :
   $\begin{cases} 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \\\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \end{cases} \ssi \begin{cases} \cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)  = \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\end{cases}$

$\quad$

 

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel, que $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
   Initialisation : Si $n=0$ $2\left(\dfrac{3}{4}\right)^0+4=2+4=6=u_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
   On a donc $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+4$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{3}{4}u_n+1 \\
   &=\dfrac{3}{4}\left(2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4\right)+1 \\
   &=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+3+1\\
   &=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+4
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
   Affirmation 1 vraie.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}S_n&=2\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}} \\
   &=2\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{3}{4}} \\
   &=8\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{3} \end{align*}$
   Or $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{8}{3}$
   Affirmation 2 fausse.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $\begin{align*} &-1\pp \cos(n) \pp 1 \\
   \ssi &-\dfrac{1}{n} \pp\dfrac{\cos(n)}{n} \pp \dfrac{1}{n} \\
   \ssi &1-\dfrac{1}{n} \pp 1+\dfrac{\cos(n)}{n} \pp 1+\dfrac{1}{n} \\
   \ssi &1-\dfrac{1}{n} \pp c_n \pp 1+\dfrac{1}{n} \end{align*}$
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
   D’après le théorème des gendarmes on a $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=1$
   Affirmation 3 vraie.
   $\quad$
4. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}(2;-2;6)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc $\begin{cases} x=1+2k\\y=2-2k\\z=6k \end{cases} \qquad k\in \R$.
   Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\vect{CD}(-10;5;-15)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est donc $\begin{cases} x=6-10t\\y=-1+5t\\z=9-15t \end{cases} \qquad t\in \R$.
   Les deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites ne sont donc pas parallèles.
   Regardons si elles sont sécantes.
   Pour cela, essayons de résoudre le système :
   $\begin{align*}\begin{cases} 1+2k=6-10t\\2-2k=-1+5t\\6k=9-15t \end{cases} &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\-2k=-3+5t\\2k=3-5t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\2k=3-5t\end{cases} \qquad (*)\\
   &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\5-10t=3-5t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\-5t=-2\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}t=0,4\\2k=5-10\times 0,4\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=0,4\\2k=1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=0,4\\k=0,5\end{cases}\end{align*}$$(*)$ en effet les équations $-2k=-3+5t$ et $2k=3-5t$ sont équivalentes.
   Le système admet donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
   Affirmation 4 vraie.
   $\quad$
5. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;-1;2)$.
   $\vec{n}.\vec{u}=6-4-2=0$
   La droite $\mathscr{D}$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$. Elle est donc soit incluse dans le plan, soit strictement parallèle à celui-ci.
   Regardons si le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
   On doit donc résoudre le système :
   $\begin{cases} t+1=1\\-t-1=2\\2t+3=0 \end{cases} \ssi \begin{cases}t=0 \\t=-1 \\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$
   Le système n’admet donc pas de solution.
   La droite et le plan sont strictement parallèles.
   Affirmation 5 vraie.
   $\quad$

Exercice 1     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(x)=(ax+b)\e^{-\frac{1}{2}x},$$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est tracée ci-dessous.

 

Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

1. Donner les valeurs de $f (0)$ et $f'(1)$.
   $\quad$
2. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
   $\quad$

Partie B

Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$$

1. a. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f (x) = 2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right)+\e^{-\frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
   b. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
   $\quad$
2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et construire son tableau de variations.
   $\quad$
3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   $\quad$
4. Donner l’arrondi de $\alpha$ à l’unité.
   $\quad$

Partie C – Modélisation d’un tas de sable

Dans cette partie, on considère que la courbe de la fonction $f$ modélise le profil d’un tas de sable.
La longueur $x$ et la hauteur $f(x)$ sont exprimées en mètres.
Ainsi, le fait que $f(0) = 1$ signifie qu’à son extrémité gauche, la hauteur du tas de sable est de $1$ mètre.
On souhaite que le tas de sable soit limité par deux murs comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Le mur de gauche coïncide avec l’axe des ordonnées et le mur de droite est placé de telle sorte que la hauteur de sable à cet endroit est de $7$ cm.

1. Pourquoi le mur de droite doit-il être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche ?
   $\quad$
2. Vérifier que la fonction $G$ définie sur $[0; 10]$ par $G(x) = (-2x-4) \e^{-\frac{1}{2}x}$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $[0; 10]$ par $g(x) = x\e^{-frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
3. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 10]$.
   $\quad$
4. Pour pouvoir créer un terrain de sport sur sable, on décide de niveler le tas de sable, c’est-à-dire de l’étaler à une même hauteur entre les deux murs.
   Quelle sera la hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé ? Expliquer le raisonnement et arrondir le résultat au centimètre.
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Les probabilités seront arrondies si nécessaire au millième.

Partie A

Une antenne relais chargée d’acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l’opérateur A, l’opérateur B et l’opérateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des données suivantes :

• $40 \%$ des communications passent par l’opérateur A;
• $25 \%$ des communications passent par l’opérateur B;
• $10 \%$ des communications passant par l’opérateur A utilisent le canal vocal;
• $20 \%$ des communications passant par l’opérateur B utilisent le canal vocal;
• $20 \%$ de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements :

• $A$ : « la communication passe par l’opérateur A »;
• $B$ : « la communication passe par l’opérateur B »;
• $C$ : « la communication passe par l’opérateur C »;
• $V$ : « la communication utilise le canal vocal ».

1. À l’aide des valeurs de l’énoncé, compléter les pointillés indiqués sur les branches de l’arbre pondéré donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal.
   $\quad$
3. La communication passe par l’opérateur C. Quelle est la probabilité qu’elle soit acheminée par le canal vocal ?
   $\quad$

Partie B

Cette antenne relais couvre une zone géographique bien définie appelée cellule. Dans cette cellule, les ressources radio sont limitées à $350$ appels simultanés. Cela signifie qu’au-delà de $350$ appels, l’antenne relais est saturée.
Dans cette cellule, $1~600$ personnes possèdent chacune un téléphone mobile.
À un instant donné, on choisit au hasard une personne parmi les $1~600$ personnes de la cellule.
On admet que la probabilité que cette personne passe un appel téléphonique est égale à $0,2$.
On admet en outre que les $1~600$ personnes de la cellule agissent indépendamment les unes des autres.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? On précisera ses paramètres.
   $\quad$
2. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que l’antenne ne soit pas saturée.
   $\quad$

Partie C
On considère une autre cellule dans laquelle le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d’espérance $\mu = 335$ et d’écart-type $\sigma$ inconnu.

1. On a constaté que, dans cette cellule, la probabilité que l’antenne soit saturée est $0,001~5$.
   On rappelle que l’antenne est saturée lorsque le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est supérieur à $350$.
   a. Sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, on a réalisé un croquis donnant l’allure de la courbe de la fonction densité de la variable aléatoire $Y$.
   Hachurer sur cette annexe le domaine correspondant à la probabilité que l’antenne soit saturée.
   $\quad$
   b. Justifier que la valeur de $\sigma$, arrondie à l’unité, vaut $5$.
   $\quad$
2. L’antenne dispose d’un mode « économie d’énergie » qui s’active lorsque moins de $330$ personnes passent un appel téléphonique au même moment.
   Calculer la probabilité que l’antenne soit en mode « économie d’énergie ».
   $\quad$

ANNEXE Partie A

ANNEXE Partie B

$\quad$

Exercice 3     4 points 

Les PARTIES A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

PARTIE A

On considère l’équation suivante : $$(E): \quad z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(1-\sqrt{2}\right)z-8=0$$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $$(z-2)\left(z^2-2\sqrt{2}z+4\right)=z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(1-\sqrt{2}\right)z-8$$
   $\quad$
2. Résoudre dans $\C$ l’équation $(E)$ en donnant ses solutions sous forme algébrique.
   $\quad$
3. Écrire toutes les solutions de l’équation $(E)$ sous forme exponentielle.
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à déterminer les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère les points $A$ et $B$ du plan complexe d’affixes respectives $z_A=2$ et $z_b=2\e^{\ic \frac{3\pi}{4}}$ et $I$ le milieu du segment $[AB]$ d’affixe $z_I$.

1. Démontrer que le triangle $OAB$ est un triangle isocèle.
   $\quad$
2. Démontrer qu’une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OI}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}$.
   $\quad$
3. Déterminer la forme algébrique de l’affixe $z_I$ puis le module de $z_I$.
   $\quad$
4. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{3}{4}u_n+1$.
   Affirmation 1 : Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
   $\quad$
2. Soit $\left(t_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $t_0 = 2$ et de raison $\dfrac{1}{4}$.
   On appelle $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $\left(t_n\right)$, soit $S_n=t_0+t_1+\ldots+t_n$.
   Affirmation 2 : La suite $\left(S_n\right)$ a pour limite $+\infty$.
   $\quad$
3. On définit la suite $\left(c_n\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $$c_n=1+\dfrac{\cos(n)}{n}$$
   Affirmation 3 : La suite $\left(c_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
4. Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $A(1; 2; 0)$ , $B(3; 0; 6)$ , $C(6 ; −1 ; 9)$ et $D(−4 ; 4 ; −6)$.
   Affirmation 4 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
   $\quad$
5. L’espace est muni du repère orthonormé $\Oijk$. Soit $\mathscr{P}$ le plan passant par $A(1; 2; 0)$ et de vecteur normal $\vec{n} (6 ; 4 ; −1)$.
   Soit $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=t+1 \\y=-t-1\\z=2t+3\end{cases} \qquad, t\in \R$.
   Affirmation 5 : Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $\mathscr{D}$ ne possèdent aucun point commun.
   $\quad$