Exercice 1

1. $f(x)=x\e^{-x}-0,1=\dfrac{x}{\e^x}-0,1=\dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}-0,1$.
   Or $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}$
   Par conséquent $ \lim\limits_{x \to  +\infty} f(x)=-0,1$.
   $\quad$
2. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
   $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de $1-x$.
   Ainsi $f$ est croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$ et strictement croissante sur cet intervalle.
   $f(0)=-0,1<0$ et $f(1)=\e^{-1}-0,1 \approx 0,27 >0$.
   Donc $0\in\left[-0,1;\e^{-1}-0,1\right]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$
4. La fonction $F$ est dérivable sur $[\alpha;\beta]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} F'(x)&=-\e^{-x}-\left(-(x+1)\e^{-x}\right)-0,1\\
   &=-\e^{-x}+(x+1)\e^{-x}-0,1\\
   &=(-1+x+1)\e^{-x}-0,1\\
   &=x\e^{-x}-0,1\\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
   $\quad$
5. Calculons dans un premier temps l’aire du domaine compris entre la courbe l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations $x=\alpha$ et $x=\beta$.
   Cette aire vaut :
   $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\dx \\
   &=F(\beta)-F(\alpha)
   \end{align*}$
   Par conséquent, du fait de la symétrie des deux courbes, l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ vaut :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=2\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
   &=2\left(-(\beta+1)\e^{-\beta}-0,1\beta-\left(-(\alpha+1)\e^{-\alpha}-0,1\alpha\right)\right) \\
   &\approx 1,040
   \end{align*}$
   $\quad$
   Le domaine sur chaque axe représente $5$ mètres. L’aire du domaine est donc d’environ $1,040\times 5^2$ soit $26$ m$^2$.
   On devra donc planter $36\times 26 = 936$ plants de tulipes.
   $\quad$

Exercice 2

1. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=125$.
   Par conséquent, pour tout nombre réel $t$ positif, on a :
   $P(X \pp 125-t)=P(X \pg 125+t)$
   $\quad$
   b. Par conséquent $P(X \pg 129)$ $= P(X \pg 125+4)$ $= P(X \pp 125-4)$ $= P(X \pp 121)$ $=0,023$.
   Ainsi $P(121 \pp X \pp 129)$ $=1-\left(P(X \pp 121)+P(X \pg 129)\right)$ $=0,954$.
   $\quad$
2. On sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$.
   Or $P(123 \pp X \pp 127)=0,68$
   Par conséquent $125-\sigma \approx 123$ et $\sigma \approx 2$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait faire un raisonnement similaire avec $P(121 \pp X \pp 129) = 0,954$ en utilisant $P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
   $\quad$
3. a. On veut calculer $P(120 \pp X \pp 130) \approx 0,987~6$ à $10^{-4}$ près.
   $\quad$
   b. On appelle $C$ l’événement “le pot de confiture est conforme” et $M$ l’événement “le pot de confiture a une masse de confiture inférieure à $130$ grammes”.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_M\left(\overline{C}\right)&=\dfrac{p\left(\overline{C}\cap M\right)}{p(M)} \\
   &=\dfrac{P(X\pp 120)}{P( X \pp 130)}\\
   &=\dfrac{0,5-P(120 \pp X \pp 125)}{0,5+P(125 \pp X \pp 130)} \\
   &\approx 0,006~2
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On note $n=900 \pg 30$, $p=0,988$ donc $np=889,2 \pg 5$ et $n(1-p)=10,8 \pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la masse de confiture dans un pot est :
   $\begin{align*} I_{900}&=\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}};0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}}\right] \\
   &\approx [0,980;0,996]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{871}{900} \approx 0,968 \notin I_{900}$.
   On peut donc rejeter, au risque de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. $|a|=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=1$
   Donc $a=\e^{3\ic \pi/4}$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} f(a)&=\e^{3\ic \pi/4} + \dfrac{1}{\e^{3\ic \pi/4}} \\
   &=\e^{3\ic \pi/4} + \e^{-3\ic \pi/4} \\
   &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
   &=-\sqrt{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} f(z)=1 &\ssi z+\dfrac{1}{z}=1 \\
   &\ssi z^2+1=z \quad \text{et } z\neq 0 \\
   &\ssi z^2-z+1=0 \quad \text{et} z\neq 0
   \end{align*}$
   $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1 = -3<0$.
   Il y a donc deux racines complexes conjuguées :
   $z_1=\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}$
   $\quad$
3. a. Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire sous la forme $z=|z|\e^{\ic \theta}$.
   Or ici $|z|=OM=1$.
   Donc $z$ peut s’écrire sous la forme $z=\e^{\ic \theta}$.
   b.
   $\begin{align*} f(z)&=\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} \\
   &=\e^{\ic \theta}+\e^{-\ic \theta} \\
   &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(-\theta)+\ic \sin(-\theta) \\
   &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(\theta)-\ic \sin(\theta) \\
   &=2\cos(\theta)
   \end{align*}$
   Donc $f(z)$ est un nombre réel.
   Remarque : On a en fait redémontré la formule d’Euler pour le cosinus.
   $\quad$
4. On note $z=r\e^{\ic \theta}$ avec $r>0$
   $\begin{align*} f(z)&=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r\e^{\ic \theta}} \\
   &=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r}\e^{-\ic \theta} \\
   &=r\cos(\theta)+r\ic \sin(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)-\dfrac{\ic}{r}\sin(\theta) \\
   &=r\cos(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)+\ic\left(r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)\right)
   \end{align*}$
   $f(z)$ est un nombre réel si, et seulement si, $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=0$.
   Or $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=\sin(\theta)\left(r-\dfrac{1}{r}\right)$.
   Ainsi $f(z)$ est un réel si, et seulement si, $\sin(\theta)=0$ ou $r-\dfrac{1}{r}=0$.
   Or $\sin(\theta)=0 \ssi \theta = k\pi$ où $k\in \Z$ : $z$ est un réel non nul.
   Et $r-\dfrac{1}{r}=0 \ssi r=1$ ou $r=-1$ : $r=-1$ est impossible.
   Donc l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel est composé du cercle trigonométrique et de l’axe des réels privé de l’origine du repère.
   

Exercice 4

1. On trace la parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ pour obtenir le point $L$.
   
2. Le point $M$ est l’intersection de $[GF]$ et $[JL]$.
   
3. On considère la figure suivante :
   
   
   On souhaite que le triangle $IJN$ soit équilatéral cela signifie donc que le triangle $GPN$ est rectangle isocèle en $G$. Par conséquent on considère le point $P$ tel que $\vect{FP}=\dfrac{3}{4}\vect{FB}$
   Dans les triangles $FLP$ et $GPJ$ :
   – les droites $(GJ)$ et $(PF)$ sont parallèles;
   – les droites $(PJ)$ et $(FG)$ sont sécantes en $N$.
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{NJ}{NP}=\dfrac{GJ}{FP}$
   Or $\dfrac{GJ}{FP}=\dfrac{1}{3}$
   Ainsi $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{1}{3}$ et $GN=GJ$.
   Il existe donc un point $P$ de la droite $(BF)$ tel que la section du cube par le plan $(IJP)$ soit un triangle équilatéral.
   $\quad$

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. A l’aide de la calculatrice on obtient :
   $u_0=1 \quad u_1=1,8 \quad u_2=2,44 \quad u_3=2,952 \quad u_4=3,361~6$
   Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
   Sa limite semble être $5$.
   $\quad$
2. Initialisation : Si $n=0$ $u_0=1$ et $5-4\times 0,8^n=5-4=1$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=5-4\times 0,8^n$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=0,8u_n+1 \\
   &=0,8\left(5-4\times 0,8^n\right)+1\\
   &=4-4\times 0,8^{n+1}+1\\
   &=5-4\times 0,8^{n+1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel$n$ on a donc $u_n=5-4\times 0,8^n$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5-4\times 0,8^{n+1}-\left(5-4\times 0,8^n\right) \\
   &=-4\times 0,8^{n+1}+4\times 0,8^n \\
   &=4\times 0,8^n(-0,8+1) \\
   &=4\times 0,8^n\times 0,2 \\
   &=0,8^{n+1} \\
   &>0
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   Puisque $-1<0,8<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5$.
   $\quad$
   Si l’apiculteur achète chaque année $10~000$ abeilles alors son nombres d’abeilles augmentera chaque année et sera de $50~000$ au bout d’un grand nombre d’années.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
   &=0,8u_n+c-5c\\
   &=0,8u_n-4c\\
   &=0,8\left(u_n-5c\right) \\
   &=0,8v_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   autre méthode : $u_n=v_n+5c$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
   &=0,8u_n+c-5c\\
   &=0,8u_n-4c\\
   &=0,8\left(v_n+5c\right)-4c\\
   &=0,8v_n+4c-4c\\
   &=0,8v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-5c=1-5c$.
   $\quad$
2. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=(1-5c)\times 0,8^n$
   $\quad$
3. On a alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=(1-5c)\times 0,8^n+5c$
   Pour la même raison qu’à la question A.3 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5c$.
   L’apiculteur souhaite que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
   Il faut donc que $c=2$.
   $\quad$

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. $u_{n+2}-u_{n+1}=0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$
   Donc $u_{n+2}=u_{n+1}+0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)=1,9u_{n+1}-0,9u_n$
   Ainsi
   $\begin{align*} u_2&=1,9u_1-0,9u_0 \\
   &=1,9\times 5,1-0,9\times 5\\
   &=5,19
   \end{align*}$
2. a.
   $\begin{align*}AV_n&=\begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}1,9u_{n+1}-0,9u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}\\
   &=V_{n+1}
   \end{align*}$
   b. A l’aide de la calculatrice on obtient $P^{-1}=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix}$
   $\quad$
   $\begin{align*}D&=P^{-1}AP \\
   &=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}-19+10&9\\19-9&-9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}-9&10\\10&-9\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}-8,1+9&-10+10\\9-9&10-9\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}0,9&0\\0&1\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=0$ alors $PD^0P^{-1} = PP^{-1}=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$.
   $A^0=I_2$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
   On sait que D=P^{-1}AP$ donc $PDP^{-1}=A$.
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A^n \times A \\
   &=PD^nP^{-1} \times PDP^{-1} \\
   &=PD^nDP^{-1} \\
   &=PD^{n+1}P^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
   d. On sait que $V_n=A^nV_0$
   Donc $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5,1\left(-10\times 0,9^{n+1}+10\right)+5\left(10\times 0,9^{n+1}-9\right) \\5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right)\end{pmatrix}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} u_n&=5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right) \\
   &=-51\times 0,9^n+51+50\times 0,9^n-45 \\
   &=6-0,9^n
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$.
   La colonie compte donc environ $5~651$ fourmis au bout du $10^{\e}$ jour.
   $\quad$
4. $-1 <0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=6$.
   Au bout d’un grand nombre de jours, la colonie comptera $6~000$ fourmis.

Exercice 1    4 points

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x\e^{-x}-0,1$$

1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
   $\quad$
2. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+ \infty[$ et dresser le tableau de variations.
   $\quad$
3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$

On admet l’existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$ dans un repère orthogonal et $\mathscr{C}’$ la courbe symétrique de $\mathscr{C}$ par rapport à l’axe des abscisses.

L’unité sur chaque axe représente $\boldsymbol{5}$ mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

4. Démontrer que la fonction $F$, définie sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$ par $$F(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}-0,1x$$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
   $\quad$
5. Calculer, en unités d’aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$.
   On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et $\beta \approx 3,577$.
   $\quad$
6. Sachant que l’on peut disposer $36$ plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.
   $\quad$

Exercice 2    4 points

La société “Bonne Mamie” utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu’il contient, exprimée en grammes.
Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d’écart-type $\sigma$.

1. a. Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre $P(X \pp 125 – t)$ et $P(X \pg 125 + t)$.
   $\quad$
   b. On sait que $2,3\%$ des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer $P(121 \pp X \pp 129)$.
   $\quad$
2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \pp X \pp 127) = 0,68$.
   $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on suppose que $\boldsymbol{\sigma = 2}$.

3. On estime qu’un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu’il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes.
   a. On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
   $\quad$
   b. On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$ grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme?
   On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
   $\quad$
4. On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’un pot de confiture soit conforme est $0,988$.
   On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont conformes. Au seuil de $95\%$ peut-on rejeter l’hypothèse suivante : “La machine est bien réglée” ?
   $\quad$

Exercice 3    4 points

On se place dans le plan complexe rapporté au repère $\Ouv$.
Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par : $$f(z) = z + \dfrac{1}{z}$$
On note $M$ le point d’affixe $z$ et $M’$ le point d’affixe $f(z)$.

1. On appelle A le point d’affixe $a = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   a. Déterminer la forme exponentielle de $a$.
   $\quad$
   b. Déterminer la forme algébrique de $f(a)$.
   $\quad$
2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation $f(z) = 1$.
   $\quad$
3. Soit $M$ un point d’affixe $z$ du cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$.
   a. Justifier que l’affixe $z$ peut s’écrire sous la forme $z = \e^{\ic\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel.
   $\quad$
   b. Montrer que $f(z)$ est un nombre réel.
   $\quad$
4. Décrire et représenter l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
   $\quad$

Exercice 4    3 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
On définit les points I et J respectivement par $\vect{HI} = \dfrac{3}{4} \vect{HG}$ et $\vect{JG} = \dfrac{1}{4} \vect{CG}$.

 

1. Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan $(IJK)$ où $K$ est un point du segment $[BF]$.
   
   $\quad$
2. Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan $(IJL)$ où $L$ est un point de la droite $(BF)$.
   $\quad$
3. Existe-t-il un point $P$ de la droite $(BF)$ tel que la section du cube par le plan $(IJP)$ soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.
   $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à $10~000$ le nombre de ses abeilles.
Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd $20\%$ des abeilles de l’année précédente.
Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers.
On note $u_0$ le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a
$$u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }n, u_{n+ 1} = 0,8u_n + c$$

Partie A

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_n = 5-4 \times 0,8^n$.
   $\quad$
3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse.
   Interpréter ces deux résultats.
   $\quad$

Partie B

L’apiculteur souhaite que le nombre d’abeilles tende vers $100~000$.
On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d’atteindre cet objectif.
On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$,  $v_n = u_n-5c$.

1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   $\quad$
2. En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
   $\quad$
3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l’apiculteur atteigne son objectif.
   $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats avant suivi l’enseignement de spécialité

On observe la taille d’une colonie de fourmis tous les jours.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour.
Au début de l’étude la colonie compte $5~000$ fourmis et au bout d’un jour elle compte $5~100$ fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$.
On suppose que l’accroissement de la taille de la colonie d’un jour sur l’autre diminue de $10\%$ chaque jour.
En d’autres termes, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+2}-u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$$

1. Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.
   a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$.
   On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = A^nV_0$.
   $\quad$
   b. On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible.
   À l’aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$.
   En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
   $\quad$
   c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = PD^nP^{-1}$.
   Pour tout entier naturel $n$, on admet que $$A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1}-9\\-10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n-9\end{pmatrix}.$$
   $\quad$
   d. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 6-0,9^n$.
   $\quad$
3. Calculer la taille de la colonie au bout du $10^{\e}$ jour. On arrondira le résultat à une fourmi près.
   $\quad$
4. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.
   $\quad$