Polynésie – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Énoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 7 points

Partie A

Voici deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

La fonction $C$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et on note $C’$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.
À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
$\quad$
Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
$\quad$
Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration $C$ d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = A t\e^{-t}$$ où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
$\quad$
b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
“À quantité d’alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente.”
$\quad$

Partie B – Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = 2 t\e^{-t}$$

Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.
$\quad$
Rappeler la limite de $\dfrac{e^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de $0,2$ g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
$\quad$
b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
$\quad$
La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à $5 \times 10^{-3}$ g.L$^{-1}$.
a. Justifier qu’il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.
$\quad$
b. On donne l’algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par $f(t) = 2 t\e^{-t}$.
Initialisation :
$\quad$ $t$ prend la valeur $3,5$
$\quad$ $p$ prend la valeur $0,25$
$\quad$ $C$ prend la valeur $0,21$
Traitement :
$\quad$ Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :
$\qquad$ $t$ prend la valeur $t+p$
$\qquad$ $C$ prend la valeur $f(t)$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie:
$\quad$ Afficher $t$
$\quad$
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Initialisation}&\text{Étape }1&\text{Étape }2\\
\hline
p &0,25 & &\\
\hline
t &3,5 & &\\
\hline
C &0,21 & &\\
\hline
\end{array}$
Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 3 points

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$u_{n+1} = 2u_n+2n^2-n$$

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $$v_n = u_n+2n^2+3n+5$$

Voici un extrait de feuille de tableur :

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules $C2$ et $B3$ et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
$\quad$
Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
$\quad$

Exercice 3 5 points

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. En exploitant les données obtenues, il a établi que $\lambda = 0,2$.
Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.
L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de $3$ minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ $0,451$.
$\quad$
Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à $0,95$ ? Arrondir ce temps à la minute près.
$\quad$
L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.
$\quad$

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

$64\%$ des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
$27\%$ des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
$65\%$ des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

On choisit un adhérent au hasard.
Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est $0,494$.
$\quad$
On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel.
Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à $10^{-3}$ près.
$\quad$

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de $2~500$ habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de $100$~habitants et obtient $54$ avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’ astronome fait l’hypothèse que $50\%$ de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Proposition 1 :
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_{A} = \sqrt{2} + 3\ic$, $z_{B} = 1 + \ic$ et $z_{C} = -4\ic$ ne sont pas alignés.
$\quad$
Proposition 2 :
Il n’existe pas d’entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\ic(1 + \ic)\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif.
$\quad$
$ABCDEFGH$ est un cube de côté $1$. Le point $L$ est tel que $\vect{EL} = \dfrac{1}{3}\vect{EF}$.

Proposition 3 : La section du cube par le plan $(BDL)$ est un triangle.
$\quad$
Proposition 4 : Le triangle $DBL$ est rectangle en $B$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[2;5]$ et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :

Proposition 5 : L’intégrale $\displaystyle\int_2^5 f(x)\dx$ est comprise entre $1,5$ et $6$.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Proposition 1
Pour tout entier naturel $n$, le chiffre des unités de $n^2 + n$ n’est jamais égal à $4$.
$\quad$
On considère la suite $u$ définie, pour $n \pg 1$, par $$u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20;n).$$
Proposition 2
La suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Proposition 3
Pour toutes matrices $A$ et $B$ carrées de dimension 2, on a $A \times B = B \times A$.
$\quad$
Un mobile peut occuper deux positions $A$ et $B$. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.
Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ $A_n$ l’événement “le mobile se trouve dans la position $A$ à l’étape $n$” et $a_n$ sa probabilité.
$\bullet$ $B_n$ l’événement “le mobile se trouve dans la position $B$ à l’étape $n$” et $b_n$ sa probabilité.
$\bullet$ $X_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
On admet que, pour tout entier nature $n$, $X_{n+1} = M \times X_n$ avec $M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}$.
Proposition 4
La probabilité $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)$ vaut $0,45$.
$\quad$
Proposition 5
Il existe un état initial $X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}$ tel que la probabilité d’être en $B$ à l’étape $1$ est trois fois plus grande que celle d’être en $A$ à l’étape $1$, autrement dit tel que $b_1 = 3a_1$.
$\quad$