Bac S – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. D’après l’énoncé, on a $E(X)=10$.
    Or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\dfrac{1}{\lambda}=10 \ssi \lambda =0,1$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X\pg 6)=\e^{-0,1\times 6}=\e^{-0,6}\approx 0,55$.
    La probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    c. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc :
    $\begin{align*} P_{X\pg 6}(X\pg 12)&=P_{X\pg 6}(X\pg 6+6)\\
    &=P(X\pg 6)\\
    &=\e^{-0,6}\\
    &\approx 0,55\end{align*}$.
    Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    d. On cherche à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} P(X>t)=0,05 &\ssi \e^{-0,1t}=0,05 \\
    &\ssi -0,1t=\ln 0,05\\
    &\ssi t=-10\ln 0,05\end{align*}$
    Ainsi $t\approx 30$.
    $\quad$
  2. a. On a $P(55 \pp M\pp 65)=P(\mu-2\sigma\pp \X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Remarque : On pouvait également retrouver cette valeur directement avec la calculatrice.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le réel $m$ tel que $P(M\pg m)\pg 0,99 \ssi P(M\pp m)\pp 0,01$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $m\approx 54$.
    $\quad$
  3. On a $n=120$ et la probabilité théorique qu’un consommateur choisisse la glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.
    Ainsi $n\pg 30$, $np=80\pg 5$ et $n(1-p)=40\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de consommateurs choisissant la glace à la vanille est :
    $\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}};\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}}\right] \\
    &\approx [0,58;0,76]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\approx 0,54 \notin I_{120}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ cela remet en cause l’hypothèse faite par le commerçant.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Si une expression algébrique de $f$ est, sur l’intervalle $]0;1]$, $f(x)=ax^2+bx+c$ alors $\lim\limits_{x \to 0^+}=c$
    D’après l’énoncé on a $\lim\limits_{x\to 0^+}=-\infty$.
    La fonction $f$ ne donc pas une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a : $g'(x)=\dfrac{k}{x}$.
    Par conséquent $g'(1)=k$.
    Si la fonction $g$ vérifie les trois conditions (H) on a donc $g'(1)=0,25$ et donc $k=0,25$.
    Ainsi $g(x)=0,25\ln x$.
    De plus $g(1)=0,25\ln 1=0$
    Et, puisque $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et que $0,25>0$, on a$\lim\limits_{x \to 0^+}g(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,25)< -5,5$ et $g(0,25)\approx -0,34>-5,5$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ ne coïncide donc pas avec la courbe $C$.
    $\quad$
  3. On a $h(1)=a+b=0 \ssi a=-b$.
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a $h'(x)=-\dfrac{4a}{x^5}+b$.
    Or $h'(1)=0,25 \ssi -4a+b=0,25$.
    On doit donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}a=-b\\-4a+b=0,25\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=-b\\4b+b=0,25\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=-b\\5b=0,25 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,05\\a=-0,05\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $h(x)=0,05x-\dfrac{0,05}{x^4}$.
    Vérifions que les trois conditions sont bien vérifiées :
    $h(1)=0,05-0,05=0$.
    $h'(1)=0,05+\dfrac{4\times 0,05}{1^5}=0,25$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}-\dfrac{0,05}{x^4}=-\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Ainsi $f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)$.
    Par conséquent, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions positives sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=0$.
    Or $-5\in]-\infty;0]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    D’après la calculatrice $\alpha\approx 0,32$.
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;1]$ on a $u'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2}{x^3}=-\dfrac{1}{x^3}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ds V&=\int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\dx \\
    &=\pi \int_{\alpha}^1 \left(\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\right)\times x^2\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\int_{\alpha}^1 \left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left[\dfrac{x^3}{3}-4\times \dfrac{1}{2x^2}\right]_{\alpha}^1 \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-2-\left(\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\\
    &\approx 2,8 \text{ cm}^3\end{align*}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx \\
    &=\left[-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} \\
    &=-\ln(0,5)+\ln(1)\\
    &=\ln(2)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} I_0-I_1&=\ds\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{1-x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}1\dx \\
    &=\big[x\big]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Donc $\ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\ssi I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{x^n}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}x^n\dx \\
    &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} $.
    On peut donc utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow \ln(2)\\
    \text{Si }n>0 \\
    \hspace{1cm} \text{Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ faire}\\
    \hspace{2cm} I\leftarrow I-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{k+1} \\
    \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
    \text{Fin Si}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. a. On considère un entier naturel $n$ non nul.
    Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $0\pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    En intégrant cette inégalité sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on obtient :
    $0\pp \ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx \\\int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx$
    Or $\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\big[x\big]_0^{1/2}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{n}}$
    Donc $0\pp I_n\pp \dfrac{1}{2^{n}}$.
    $\quad$
    b. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^n}= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$
  5. a. Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que $S_n=I_0-I_n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}=S_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n=I_0-I_n$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$.
    $\begin{align*} S_{n+1}&=S_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\
    &=I_0-I_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\\
    &=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right) \\
    &=I_0-I_{n+1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=I_0=\ln(2)$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

  1. Montrons que les coordonnées des points $E, B$ et $D$ sont solutions de l’équation fournie.
    Pour le point $E$ : $3\times 0+2\times 0+6\times 6-36=36-36=0$.
    Pour le point $B$ : $3\times 12+2\times 0+6\times 0-36=36-36=0$.
    Pour le point $D$ : $3\times 0+2\times 18+6\times 0-36=36-36=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(EBD)$ est donc $3x+2y+6z-36=0$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{AG}(12;18;6)$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est : $$\begin{cases} x=12t\\y=18t\\z=6t\end{cases} \quad, t\in\R$$
    $\quad$
    b. Prenons $t=\dfrac{1}{3}$. On a alors $\begin{cases} 12t=4\\18t=6\\6t=3\end{cases}$. Le point $K(4;6;3)$ appartient donc à la droite $(AG)$.
    De plus $3\times 4+2\times 6+6\times 2-36=12+12+12-36=0$.
    Le point $K$ appartient également au plan $(EBD)$.
    Un vecteur normal au plan $(EBD)$ est $\vec{n}(3;2;6)$
    $\vec{n}.\vect{AG}=3\times 12+2\times 18+6\times 6=108\neq 0$. La droite $(AG)$ n’est donc pas incluse dans le plan $(EBD)$.
    Ainsi la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4;6;3)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AG}(12;18;6)$ et $\vec{n}(3;2;6)$.
    Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite $(AG)$ n’est pas orthogonale au plan $(EBD)$.
    $\quad$
  4. a. Le point $M$ est le milieu du segment $[ED]$.
    Ainsi $x_M=\dfrac{0+0}{2}$, $y_M=\dfrac{18+0}{2}=9$ et $z_M=\dfrac{0+6}{2}=3$.
    Les coordonnées du points $M$ sont donc $(0;9;3)$.
    Par conséquent :
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BM}(-12;9;3)$;
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BK}(-8;6;2)$.
    $\dfrac{-12}{-8}=1,5$, $\dfrac{9}{6}=1,5$ et $\dfrac{3}{2}=1,5$.
    Cela signifie donc que $\vect{BM}=1,5\vect{BK}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $B$, $M$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Le point $K$ est donc le point d’intersection des droites $(AG)$ et $(BM)$.
    $\quad$
  5. a. Les plans $(AED)$ et $(EBD)$ se coupent selon la droite $(ED)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(AED)$ et passe par le point $K$.
    Le point $K$ appartient donc aux plans $(EBD)$ et $P$.
    Par conséquent l’intersection du plan $P$ et du plan $(EBD)$ est une droite parallèle à la droite $(ED)$ passant par le point $K$.
    $\quad$
    b. L’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ est représentée en bleue.

    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Il semblerait que les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ soit $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ et $9$.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice on a $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $v_{n+3}\equiv 26v_n~[5]$ soit $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé.
    Montrons par récurrence sur l’entier naturel $q$ que $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Initialisation : Si $q=0$ alors $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r~[5]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $q$. Donc $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Montrons qu’elle encore vraie au rang $q+1$, c’est-à-dire que $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$ soit encore $v_{3q+r+3}\equiv v_r~[5]$.
    D’après la question précédente, en prenant $n=3q+r$, on a $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}~[5]$.
    D’après l’hypothèse de récurrence on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Par conséquent $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$
    La propriété est vraie au rang $q+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $q$ on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $q$ on a :
    – $v_{3q}\equiv v_0~[5]$ soit $v_{3q}\equiv 0~[5]$
    – $v_{3q+1}\equiv v_1~[5]$ soit $v_{3q+1}\equiv 1~[5]$
    – $v_{3q+2}\equiv v_2~[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4~[5]$
    On a ainsi parcouru tous les termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $k$ tel que $v_n=0+5k$, $v_n=1+5k$ ou $v_n=4+5k$.
    – Si $k$ est pair il s’écrit alors sous la forme $k=2p$ et on a donc :
    $v_n=0+10p$, $v_n=1+10p$ ou $v_n=4+10p$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $0$, $1$ ou $4$.
    – Si $k$ est impair il s’écrit alors sous la forme $k=2p+1$ et on a donc :
    $v_n=0+10p+5$, $v_n=1+10p+5$ ou $v_n=4+10p+5$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $5$, $6$ ou $9$.
    L’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ est donc $\left\{0;1;4;5;6;9\right\}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a donc $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$.
    Puisque $\sqrt{3}>1$, cela signifie que $p>q$.
    $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \ssi p=q\sqrt{3}$ et donc $p^2=3q^2<4q^2$.
    Comme $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls on a donc $p<2q$.
    Ainsi $q<p<2q$.
    $\quad$
  2. On a $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases} p’=2p-3q\\q’=-p+2q\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $p$ et $q$ sont des entiers naturels donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers.
    On sait que $q<p<2q$
    Donc $2q-3q<2p-3q<4q-3q \ssi -q<p'<q$ : ce qui signifie que $p’\in \Z$.
    De même $-2q<-p<-q \ssi 0<-p+2q<q$ : ce qui signifie que $q’\in \N$ et donc $q’\in \Z$.
    $(p’,q’)$ est par conséquent un couple d’entier relatifs.
    $\quad$
    c. On a $q’=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=\left(2-\sqrt{3}\right)q$.
    Donc
    $\begin{align*}q&=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\\
    &=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
    &=\left(2+\sqrt{3}\right)q’\end{align*}$.
    De plus :
    $\begin{align*} p’&=2p-3q\\
    &=2q\sqrt{3}-3q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)\times \left(2+\sqrt{3}\right)q’\\
    &=q’\sqrt{3}\end{align*}$
    $\quad$
    d. On a montré à la question 3.b. que $q’>0$.
    D’après la question précédente on a $q=\left(2+\sqrt{3}\right)q’$.
    Or $2+\sqrt{3}>2>1$ donc $q>q’$.
    Par conséquent $0<q'<q$.
    $\quad$
    e. On a donc montrer qu’on pouvait écrire $\sqrt{3}=\dfrac{p’}{q’}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    De plus $0<q'<q$. Cela signifie donc, puisque $q’$ et $\sqrt{3}$ sont positifs que $p’$ l’est aussi.
    Or $q$ le plus petit entier naturel tel que $\sqrt{3}$ s’écrive sous la forme $\dfrac{p}{q}$.
    Il y a donc une absurdité et $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées seront arrondies à $0,01$.

Un commerçant vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.

  1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$ de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$).
    $\quad$
    Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire l’espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
    a. Justifier que $\lambda = 0,1$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
    $\quad$
    c. Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année ?
    Justifier.
    $\quad$
    d. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l’événement $(X > t)$ est égale à $0,05$.
    Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l’entier.
    $\quad$
  2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l’italienne dont la masse est comprise entre $55$ g et $65$ g.
    On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d’une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d’espérance $60$ et d’écart-type $2,5$.
    a. Calculer la probabilité que la masse d’une glace à l’italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
    $\quad$
    b. Déterminer la plus grande valeur de m, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M\pg m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
  3. Le distributeur de glaces à l’italienne permet de choisir un seul des deux parfums : vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l’hypothèse qu’il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise.
    Le premier jour d’utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille.
    Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’écoulement de l’eau d’un robinet a un débit constant et modéré.

On s’intéresse en particulier à une partie du profil d’écoulement représentée en annexe par la courbe 𝐶 dans un repère orthonormé.

Partie A

On considère que la courbe $C$ donnée en annexe est la représentation graphique d’une fonction $f$ dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ qui respecte les trois conditions suivantes : $$(H) : f(1)=0 \qquad f'(1)=0,25 \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{\begin{array}{l}x\to 0\\x>0\end{array}}f(x)=-\infty$$

  1. La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ?
    $\quad$
  2. Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $g(𝑥) = k \ln x$ .
    a. Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$
    b. La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
    $\quad$
  3. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $h(x) =\dfrac{a}{x^4}+bx$ où $a$ et $b$ sont des réels.
    Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction ℎ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$$

  1. Justifier que l’équation $f(𝑥) =-5$ admet sur l’intervalle $]0 ; 1]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. On admet que le volume d’eau en cm$^3$, contenu dans les $5$ premiers centimètres de l’écoulement, est donné par la formule : $V=\ds\int_{\alpha}^1 \pi x^2f'(x)\dx$.
    a. Soit $u$ la fonction dérivable sur $]0 ; 1]$ définie par $u(x)=\dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx$ et pour tout entier naturel $n$ non nul $I_n=\ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx$.

  1. Montrer que $I_0= \ln(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $I_0-I_1$.
    $\quad$
    b. En déduire $I_1$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}$.
    $\quad$
    b. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$ .
    $\quad$
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On admet que si $x$ appartient à l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $0 \pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0\pp I_n \pp \dfrac{1}{2^n}$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n =\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}{3}+\ldots+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{n}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie :

  • $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB = 12$, $AD = 18$ et $AE = 6$.
  • $EBDG$ est un tétraèdre.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $B(12 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 18 ; 0)$ et $E(0 ; 0 ; 6)$.

  1. Démontrer que le plan $(EBD)$ a pour équation cartésienne $3x+2y+6z-36 = 0$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4 ; 6 ; 2)$ .
    $\quad$
  3. La droite $(AG)$ est-elle orthogonale au plan $(EBD)$ ? Justifier.
    $\quad$
  4. a. Soit $M$ le milieu du segment $[ED]$. Démontrer que les points $B$, $K$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Construire alors le point $K$ sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  5. On note $P$ le plan parallèle au plan $(ADE)$ passant par le point $K$.
    a. Démontrer que le plan $P$ coupe le plan $(EBD)$ selon une parallèle à la droite $(ED)$.
    $\quad$
    b. Construire alors sur l’annexe à rendre avec la copie l’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ du tétraèdre $EBDG$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice $M=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d’entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
$u_0=1$, $v_0=0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.

Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite$\left(v_n\right)$ :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
v_n&0&1&4&15&56&209&780&2911&10864&40545&151316&564719&2107560\\
\hline
\end{array}$

  1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q$, $v_{3q+r}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à $0$, à $1$ ou à $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Conclure quant à l’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n’est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.

Pour cela, on effectue un raisonnement par l’absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel.
Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

  1. Montrer que $q < p < 2q$.
    $\quad$
  2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$
    (aucune justification n’est attendue).
    $\quad$

Soit $\left(p’,q’\right)$ défini par $\begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix} M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.

  1. a. Vérifier que $p’ = 2p-3q$ et que $q’=-p+2q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $\left(p’,q’\right)$ est un couple d’entiers relatifs.
    $\quad$
    c. On rappelle que $p=q\sqrt{3}$. Montrer que $p’=q’\sqrt{3}$.
    $\quad$
    d. Montrer que $0 < q’ < q$.
    $\quad$
    e. En déduire que $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$