Exercice 1     

1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients pratiquant le surf.
   On effectue $80$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. À chaque tirage il y a deux issues :
   – $S$ : “le client pratique le surf”;
   – $\conj{S}$ : “le client ne pratique pas le surf”.
   De plus $p(S)=0,25$
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,25$.
   Par conséquent :
   $P(X=20)=\ds \binom{80}{20}\times 0,25^{20}\times 0,75^{60}\approx 0,103$
   Réponse d
   $\quad$
2. On a $P(X\pg 200)=P(X\pg 150+50)=0,025$
   Donc $P(X\pp 150-50)=0,025$ soit $P(X\pp 100)=0,025$.
   Ainsi $P(X\pg 100)=1-0,025=0,975$.
   Réponse d
   $\quad$
3. $E(T)=5$ par conséquent la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{5}=0,2$.
   Ainsi $P(T\pg 5)=\e^{-0,2\times 5}=\e^{-1}$
   Réponse c
   $\quad$
4. L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
   $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
   On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}$.
   Donc $\sqrt{n}=50$ et $n=2~500$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2     

Partie A

1. Si $u_1=0$ alors :
   $u_2=(1+1)\times u_1-1=2\times 0-1=-1$
   $u_3=(2+1)\times u_2-1=3\times (-1)-1=-4$
   $u_4=(3+1)\times u_3-1=4\times (-4)-1=-17$
   $\quad$
2. On a l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow (N+1)\times U-1\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
3. Si $u_1=0,7$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $-\infty$.
   Si $u_1=0,8$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $+\infty$.
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^{1-x}+(-1-x)\times (-1)\times \e^{1-x} \\
   &=(-1+1+x)\e^{1-x}\\
   &=x\e^{1-x}\\
   &=f(x)\end{align*}$
   La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} \ds I_1&=\int_0^1 x\e^{1-x}\dx \\
   &=F(1)-F(0)\\
   &=-2-(-1)\e^1 \\
   &=\e-2\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $I_1=\e-2$ et
   $I_2=(1+1)I_1-1=2(\e-2)-1=2\e-5$
   $\quad$
4. a. On a $0\pp x\pp 1$ donc $-1\pp -x \pp 0$ et $0\pp 1-x\pp 1$
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
   Ainsi $\e^0\pp \e^{1-x}\pp \e^1$
   Donc $1\pp \e^{1-x} \pp \e$
   En multipliant chaque terme de ces inégalités par $x^n$, réel positif, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
   $x^n\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
   Puisque $x\in [0;1]$ on a également $x^n\in [0;1]$ en particulier $x^n\pg 0$.
   Par conséquent $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
   $\quad$
   b. On a, pour tout entier naturel $n$ :
   $\begin{align*} \ds \int_0^1 x^n\e \dx &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\e\right]_0^1 \\
   &=\dfrac{\e}{n+1}\end{align*}$
   c. On intègre sur l’intervalle $[0;1]$ l’inégalité obtenue à la question 4.a.
   Ainsi :
   $\ds \int_0^1 0\dx \pp \int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx \pp \int_0^1 x^n\e \dx $
   Par conséquent $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
   $\quad$
   d. On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\e}{n+1}=0$ et $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
   D’après le théorème des gendarmes, on a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$

Partie C

1. Initialisation : Si $n=1$ on a :
   $1!\left(u_1-\e+2\right)+I_1=u_1-\e+2+\e-2=u_1$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. On a alors $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire $u_{n+1}=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=(n+1)u_n-1 \\
   &=(n+1)n!\left(u_1-\e+2\right)+(n+1)I_n-1\\
   &=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
   $\quad$
2. a. Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\e+2\approx -0,018<0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=-\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
   $\quad$
   b. Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\e+2\approx 0,082>0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=+\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$

Exercice 3   

Partie A : étude d’exemples

1. Un premier exemple
   a. $z^2=\ic^2=-1$
   $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\ic}=\dfrac{1}{\ic}\times \dfrac{\ic}{\ic}=\dfrac{\ic}{-1}=-\ic$.
   $\quad$
   b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.
   $\quad$
   L’affixe du vecteur $\vect{AN_1}$ est $z_{\vect{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vect{AP_1}$ est $z_{\vect{AP_1}}=-\ic-1$.
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
2. Une équation
   On a l’équation $z^2+z+1=0$
   $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
   Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\ic \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\ic \sqrt{3}}{2}$.
   $\quad$
3. Un deuxième exemple
   a. On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
   Donc $z=\e^{2\ic \pi/3} $
   $\quad$
   Ainsi $z^2=\e^{2\times 2\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3}$
   et $\dfrac{1}{z}=\e^{-2\ic \pi/3}$.
   $\quad$
   b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.$\quad$
   $z^2=\e^{4\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3-2\pi}=\e^{-2\ic\pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
   Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
   Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
   $\quad$

Partie B : étude du cas général

1. Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :
   $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
   &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
   $\quad$
2. On considère un nombre complexe $z$ non nul.
   L’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.
   L’affixe du vecteur $\vect{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.
   Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.
   $\ssi \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$
   $\ssi z^2+z+1=k$ ou $z=1$
   $\ssi z^2+z+1\in \R$ ou $z=1$
   $\ssi z^2+z+1\in \R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \R)$.
   $\quad$
3. Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\ic y$.
   $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\ic y)^2+x+\ic y+1 \\
   &=x^2+2\ic xy-y^2+x+\ic y+1\\
   &=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)\end{align*}$
   $\quad$
4. a. $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
   si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
   si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
   si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
   Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé du point $O$.
   b. On obtient la figure suivante :
   $\quad$

Exercice 4     

1. a. On a $P(2;0;0)$, $Q(0;0;2)$ et $\Omega(3;3;3)$
   $\quad$
   b. On a $\vect{PQ}(-2;0;2)$, $R(0;4;6)$ et $\vect{PR}(-2;4;6)$.
   Si le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(PQR)$ on a alors :
   $\vec{n}.\vect{PQ}=0 \ssi -2+0+2c=0 \ssi c=1$ et
   $\vec{n}.\vect{PR}=0 \ssi -2+4b+6c=0 \ssi -2+4b+6=0\ssi b=-1$.
   $\quad$
   c. Le vecteur $\vec{n}(1;-1;1)$ est normal au plan $(PQR)$. Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $x-y+z+d=0$
   Le point $P(2;0;0)$ appartient au plan.
   Donc $2-0+0+d=0 \ssi d=-2$
   Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-y+z-2=0$.
   $\quad$
2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   Une représentation paramétrique de cette droite est donc $$\begin{cases} x=t+3\\y=-t+3\\z=t+3\end{cases} \quad, t\in\R$$
   $\quad$
   b. Par définition, le plan $(PQR)$ et la droite $\Delta$ sont sécants. Montrons que le point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à la fois à la droite et au plan.
   Si $t=-\dfrac{1}{3}$ alors : $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}\\z=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
   Donc $I\in \Delta$
   $\quad$
   $\begin{align*} &\dfrac{8}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{8}{3}-2\\
   &=\dfrac{6}{3}-2 \\
   &=0\end{align*}$
   Le point $I$ appartient également au plan $(PQR)$.
   Par conséquent, le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(PQR)$ est $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
   $\quad$
   c. $\Omega I^2=\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2=\dfrac{1}{3}$
   Par conséquent $\Omega I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   $\quad$
3. a. $6-4+0-2=6-6=0$ donc $J\in (PQR)$.
   $\quad$
   b. On a$\vect{JK}(0;2;2)$ et $\vect{QR}(0;4;4)$
   Ainsi $\vect{QR}=2\vect{JK}$
   Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont donc parallèles.
   $\quad$
   c. On place le point $J(6;4;0)$ (on reporte la distance $HR$ à partir de $C$).
   On trace la parallèle à la droite $(QR)$ passant par $J$. Elle coupe la droite $(GC)$ en $K$.
   On trace la parallèle à la droite $(PJ)$ passant par $R$. Elle coupe la droite $(HG)$ en $S$.
   
   $\quad$

Exercice 4     

Partie A

1. On a $29+11=40$ et les nombres $29$ et $11$ sont deux nombres premiers.
   $\quad$
2. On a $20\times 2+19\times 0=40$. Le couple $(2;0)$ est donc solution de l’équation $20x+19y=40$.
   On considère un couple solution $(x;y)$ de cette même équation.
   Ainsi $20\times 2+19\times 0=40$ et $20x+19y=40$.
   Par différence on a $20 (2-x)+19(-y)=0$.
   Soit $20(2-x)=19y$.
   $19$ et $20$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $y=20k$ et $2-x=19k$
   Soit $x=2-19k$ et $y=20k$.
   $\quad$
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $20(2-19k)+19\times 20k=40-380k+380k=40$.
   Ainsi la solution de l’équation $20x+19y=40$ est l’ensemble des couples $(2-19k;20k)$ pour $k\in \Z$.
   $\quad$
3. a. $40=8\times 5=2^3\times 5$
   $\quad$
   b. Supposons que $x-y$ soit pair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k$.
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+x+y=2x$.
   Par conséquent $x+y=2(x-k)$ et $x+y$ est pair.
   $\quad$
   Supposons maintenant que $x-y$ soit impair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k+1$.
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+1+x+y=2x$.
   Par conséquent $x+y=2(x-k)-1$ et $x+y$ est impair.
   $\quad$
   $x+y$ et $x-y$ ont donc la même parité.
   $\quad$
   c. $x^2-y^2=40\ssi (x+y)(x-y)=2^3\times 5$.
   Puisque $5$ et $2^3$ n’ont pas la même parité, on ne peut pas avoir $x+y=5$ et $x-y=2^3$ ou $x+y=2^3$ et $x-y=5$.
   Pour la même raison, on ne peut pas avoir $x+y=1$ et $x-y=40$ ou $x+y=40$ et $x-y=1$.
   Les seules possibilités pour les couples $(x+y;x-y)$ sont donc $(4;10)$, $(10;4)$, $(2;20)$ et $(20;2)$.
   $\begin{cases}x+y=4\\x-y=10\end{cases} \ssi \begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}$
   $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases} \ssi \begin{cases} x=7\\y=3\end{cases}$
   $\begin{cases} x+y=2\\x-y=20\end{cases} \ssi \begin{cases} x=11\\y=-9\end{cases}$
   $\begin{cases} x+y=20\\x-y=2\end{cases}\ssi \begin{cases} x=11\\y=9\end{cases}$
   $x$ et $y$ devant être des entiers naturels, les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ sont donc les couples $(7;3)$ et $(11;9)$.
   $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

1. a. $40=27+13=3^3+1^3+7^3+10^3-11^3$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} 48&=6\times 8 \\
   &=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\\
   &=9^3+7^3-8^3-8^3\end{align*}$
   $\quad$
   Or $40=48-8=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3$
   $\quad$
2. a. On a :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&0&1&8&0&1&8&0&1&8\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Or $8\equiv -1~[9]$ donc, pour tout entier naturel $n$ on a $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$ soit à $-1$.
   Par conséquent, la somme de $3$ cubes est congrue modulo $9$ appartient à $\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.
   Mais $40\equiv 4~[9]$.
   Donc $40$ ne peut pas être décomposé en « somme »de $3$ cubes.
   $\quad$

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Une étude statistique a établi qu’un client sur quatre pratique le surf.
   Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu’il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
   a. $0,560$
   b. $0,25$
   c. $1$
   d. $0,103$
   $\quad$
2. L’épaisseur maximale d’une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d’écart-type inconnu.
   On sait que $P(X \pg  200)= 0,025$ . Quelle est la probabilité $P( X \pg 100)$ ?
   a. On ne peut pas répondre car il manquent des éléments dans l’énoncé.
   b. $0,025$
   c. $0,95$
   d. $0,975$
   $\quad$
3. Dans un couloir neigeux, on modélise l’intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d’occurrence d’une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle.
   On a établi qu’une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$ ans. Ainsi $E (T ) = 5$ .
   La probabilité $P (T \pg 5)$ est égale à :
   a. $0,5$
   b. $1-\e^{-1}$
   c. $\e^{-1}$
   d. $\e^{-25}$
   $\quad$
4. L’office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski.
   Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$.
   Le nombre de clients à interroger est :
   a. $50$
   b. $2~500$
   c. $25$
   d. $625$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Le but de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, par la relation : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1$$

Partie A

1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1= 0$ alors $u_4=-17$.
   $\quad$
2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1=0,7$ puis pour $u_1= 0,8$ .
   Voici les valeurs obtenues.
   $$\begin{array}{|r|r|}
   \hline
   \hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,7\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,8\hspace{1cm}\\
   \hline
   0,4&0,6\\
   0,2&0,8\\
   -0,2&2,2\\
   -2&10\\
   -13&59\\
   -92&412\\
   -737&3295\\
   -6634&29654\\
   -66341&296539\\
   -729752&3261928\\
   -8757025&39143135\\
   -113841326&508860754\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1= 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?
   $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : $$I_n=\int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx$$
On rappelle que le nombre $e$ est la valeur de la fonction exponentielle en $1$, c’est-à-dire que $\e=\e^1$.

1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $F(x)=(-1-x)\e^{1-x}$ est une primitive sur l’intervalle $[0;1]$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x\e^{1-x}$.
   $\quad$
2. En déduire que $I_1=\e-2$.
   $\quad$
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
   Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
   $\quad$
4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
   $\quad$
   b. Justifier que $\ds \int_0^1 x^n\e \dx=\dfrac{\e}{n+1}$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
   $\quad$
   d. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$.
   $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on note $n!$ le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à $1$, par : $$\begin{array}{c}
1!=1\\
2!=2\times 1\\
\text{et si }n\pg 3 :
n!=n\times (n-1)\times \ldots \times 1\end{array}$$
On a ainsi par exemple $$\begin{array}{c}
3!=3\times 2\times 1=3\times (2\times 1)=3\times 2!\\
4!=4\times 3\times 2\times 1=4\times (3\times 2 \times 1)=4\times 3!\\
8!=8\times 7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=8\times (7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=8\times 7!\end{array}$$
Et, plus généralement : $$(n+1)!=(n+1)\times n!$$

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$$
   On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1 \quad et \quad I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
   $\quad$
2. On admet que : $\lim\limits_{n \to +\infty} n!=+\infty$.
   a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d’affixes $1$, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.
Sur le graphique fourni en annexe, le point $A$ a pour affixe $1$.

Partie A : étude d’exemples

1. Un premier exemple
   Dans cette question, on pose : $z = \ic$ .
   a. Donner la forme algébrique des nombre complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   $\quad$
   b. Placer les points $N_1$ d’affixe $z^2$ et $P_1$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
   On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_1$
   et $P_1$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
2. Une équation
   Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue $z$ : $z^2+z+1=0$.
   $\quad$
3. Un deuxième exemple
   Dans cette question, on pose : $z=-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   a. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   $\quad$
   b. Placer les points $N_2$ d’affixe $z^2$ et $P_2$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
   On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
   $\quad$

Partie B : étude du cas général

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a : $$z^2-\dfrac{1}{z}=\left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$$
   $\quad$
2. On rappelle que si $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur, d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}}=kz_{\vect{U}}$ .
   En déduire que, pour $z \neq 0$ , les points $A$, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est un réel.
   $\quad$
3. On pose $z=x+\ic y$ , où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.
   Justifier que : $z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)$.
   $\quad$
4. a. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 0$ tels que les points $A$, $N$ et $P$ soient alignés.
   $\quad$
   b. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère un cube $ABCDEFGH$ de centre $\Omega$ et d’arête de longueur $6$.

Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par : $$\vect{AP}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}, \vect{AQ}=\dfrac{1}{3}\vect{AE} \quad \text{et} \quad \vect{HR}=\dfrac{1}{3}\vect{HE}$$
Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec : $$\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{AB}, \vec{j}=\dfrac{1}{6}\vect{AD} \quad \text{et} \quad \vec{k}=\dfrac{1}{6}\vect{AE}$$
Dans ce repère, on a par exemple : $$B(6;0;0), F(6;0;6) \quad \text{et} \quad R(0;4;6)$$

1. a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points $P$, $Q$ et $\Omega$.
   $\quad$
   b. Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vec{n}(1;b;c)$ soit un vecteur normal au plan $(PQR)$.
   $\quad$
   c. En déduire qu’une équation du plan $(PQR)$ est : $x-y+z-2=0$.
   $\quad$
2. a. On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $(PQR)$ passant par le point $\Omega$, centre du cube.
   Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   $\quad$
   b. En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan $(PQR)$ au point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
   $\quad$
   c. Calculer la distance ${\Omega}I$.
   $\quad$
3. On considère les points $J(6;4;0)$ et $K(6;6;2)$.
   a. Justifier que le point $J$ appartient au plan $(PQR)$.
   $\quad$
   b. Vérifier que les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont parallèles.
   $\quad$
   c. Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan $(PQR)$ .
   On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d’envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre $40$.

Partie A :

Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$ et $y$ tels que $40 = x+y$ .
   $\quad$
2. On considère l’équation $20x+19y=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
   Résoudre cette équation.
   $\quad$
3. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque $40=2^2+6^2$. On veut savoir si $40$ est aussi différence de deux carrés, autrement dit on s’intéresse à l’équation$x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   a. Donner la décomposition de $40$ en produit de facteurs premiers.
   $\quad$
   b. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x-y$ et $x+y$ ont la même parité.
   $\quad$
   c. Déterminer toutes les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d’entiers naturels.
Par exemple : $$13=4^3+7^3+7^3-9^3-2^3\\
13=-1^3-1^3-1^3+2^3+2^3\\
13=1^3+7^3+10^3-11^3$$
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme de cubes » à la place de « somme ou différence de cubes d’entiers naturels ».
Les deux premiers exemples montrent que $13$ peut se décomposer en « somme » de $5$ cubes.
Le troisième exemple montre que $13$ peut se décomposer en « somme » de $4$ cubes.

1. a. En utilisant l’égalité $13=1^3+7^3+10^3-11^3$ , donner une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes.
   $\quad$
   b. On admet que pour tout entier naturel n on a : $$6n=(n+1)^3+(n-1)^3-n^3-n^3$$
   En déduire une décomposition de $48$ en « somme » de $4$ cubes, puis une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes, différente de celle donnée en 1.a.
   $\quad$
2. Le nombre $40$ est une « somme » de $4$ cubes : $40=4^3-2^3-2^3-2^3$.
   On veut savoir si $40$ peut être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
   a. Recopier et compléter sans justifier :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&&&&&1&&&&\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l’entier naturel $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$, soit à $-1$.
   Prouver que $40$ ne peut pas être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
   $\quad$