Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – mai 2021

Amérique du Nord – Mars 2021

Spécialité maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(T)&=P(D)\times P_D(T)+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,08\times 0,98+0,92\times 0,005\\
    &=0,083\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer
    $\begin{align*} P_T(D)&=\dfrac{P(T\cap D)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,08\times 0,98}{0,083}\\
    &\approx 0,945\end{align*}$
    La probabilité qu’un athlète soit dopé sachant qu’il présente un test positif est environ égale à $0,945$.
    $\quad$
    b. $0,945<0,95$. Le test proposé par le laboratoire ne sera donc pas commercialisé.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : « le test est positif », de probabilité $0,103$ et « le test est négatif ».
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,103$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $E(X)=np=0,515$.
    En moyenne, sur $5$ athlètes testés, environ $0,5$ est positif. Cela peut se traduire par sur $10$ athlètes testés, environ $1$ est positif.
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,103)^5 \\
    &\approx 0,419\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif est environ égale à $0,419$.
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre d’athlètes contrôlés et note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $n$ athlètes contrôlés. Pour les mêmes raisons qu’à la question 1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,103$.
    On veut
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,75& \ssi 1-P(Y=0)\pg 0,75 \\
    &\ssi 1-(1-0,103)^n \pg 0,75 \\
    &\ssi 0,897^n \pp 0,25\\
    &\ssi n\ln(0,897) \pp \ln(0,25) \qquad \text{($\ln$ est strictement décroissante sur $\R$)}\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\approx 12,75$
    Il faut donc contrôler au minimum $13$ personnes pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,75\times 0,6\times (1-0,15\times 0,6)=0,409~5$
    Il y avait donc $410$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $u_2=0,75\times 0,409~5\times (1-0,15\times 0,409~5)\approx 0,288$
    Il y avait donc $288$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x\in [0;1]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=0,75(1-0,15x)-0,75x\times 0,15 \\
    &=0,75-0,225x\end{align*}$
    Or $0,75-0,225x>0 \ssi 0,75>0,225x\ssi \dfrac{10}{3}>x$
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur $[0;1]$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,75x(1-0,15x)=x \\
    &\ssi 0,75x(1-0,15x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,75(1-0,15x)-1\right)=0\\
    &\ssi x(0,75-0,112~5x-1)=0\\
    &\ssi x(-0,25-0,112~5x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } -0,25-0,112~5x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=-\dfrac{20}{9} \end{align*}$
    Or $-\dfrac{20}{9} \notin [0;1]$
    $0$ est donc la seule solution appartenant à $[0;1]$ de l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : $u_0=0,6$ et $u_1=0,409~5$.
    Par conséquent $0\pp u_1 \pp u_0\pp 1$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. Par conséquent :
    $f(0) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(1)$
    soit
    $0 \pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 0,637~5 \pp 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle converge par conséquent vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question 3. $\ell =0$.
    $\quad$
  5. a. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$. Selon ce modèle, le biologiste a effectivement raison.
    $\quad$
    b. La fonction menace() renvoie la valeur $11$.
    Cela signifie donc qu’il faut $11$ ans pour que l’espèce soit menacée d’extinction sur cette île selon le modèle étudié.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Les points $K$ et $H$ appartiennent au plan $(AED)$. Pour qu’une droite passant par $A$ soit parallèle à la droite $(KH)$ il faut que tous ses points appartiennent au plan $(AED)$. Or $I$ n’appartient pas à ce plan.
    Les droites $(AI)$ et $(KH)$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;0,5;0)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\-1\end{pmatrix}$, $\vect{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
    On constate donc que $\vect{AC}=2\vect{AI}+2\vect{AE}$.
    Cela signifie que les vecteurs $\vect{AC}$, $\vect{AI}$ et $\vect{AE}$ sont coplanaires.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{1}{1}\neq \dfrac{1}{-2}$ : par conséquent les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{u_2}=1+3-4=0$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u_2}$ sont donc orthogonaux.
    La droite $d_2$ est par conséquent parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  5. $4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0$ donc $L$ appartient au plan $P$.
    $\vect{LM}\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\end{pmatrix}=\vec{n}$.
    $\vect{LM}$ est donc normal au plan $P$.
    Par conséquent $L$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $P$.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Affirmation 1 fausse:
Si $a=0$ et $b=0$ alors  :

  • $\left(\e^{a+b}\right)^2=\left(\e^0\right)^2=1^2=1$
  • $\e^{2a}+\e^{2b}=\e^0+\e^0=1+1=2$

Donc $\left(\e^{a+b}\right)^2\neq \e^{2a}+\e^{2b}$ si $a=0$ et $b=0$.

$\quad$

Affirmation 2 vraie:
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} f'(x)&=-\e^x+(3-x)\e^x\\
&=(-1+3-x)\e^x\\
&=(2-x)\e^x\end{align*}$
Par conséquent $f'(0)=2$ et $f(0)=-2+3=1$
Une équation de la tangente au point $A$ à la courbe représentative de la fonction $f$ est $y=f'(0)x+f(0)$ soit $y=2x+1$.

$\quad$

Affirmation 3 fausse:
Pour tout réel $x$ $\e^{2x}-\e^{x}+\dfrac{3}{x}=\e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x}=0$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\e^x-1\right)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}=+\infty$

$\quad$

Affirmation 4 vraie:
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=1-x+\e^{-x}$.
$f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;2]$, $f'(x)=-1-\e^{-x}<0$ car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;2]$.
De plus $f(0)=2>0$ et $f(2)=-1+\e^{-2}\approx -0,86<0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.

$\quad$

Affirmation 5 vraie:
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)=2x-5+\e^x$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g\dsec(x)=2+\e^x>0$. car la fonction exponentielle est strictement positive.
Ainsi $g$ est convexe sur $\R$.

$\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Le point $A(1;4)$ appartient à $C_f$ donc $f(1)=4$.
    La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $A(1;4)$. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-\left(a+b\ln(x)\right)}{x^2} \\
    &=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. En utilisant l’expression algébrique de $f(x)$ fournie et la réponse à la question précédente on a $f(1)=a$ et $f'(1)=b-a$.
    Par conséquent $\begin{cases} a=4\\b-a=0\end{cases} \ssi \begin{cases} a=4\\b=4\end{cases}$.
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x\to 0^+} 4+4\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$,
    $f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  5. On a donc, d’après l’expression de $f'(x)$ trouvée à la question 2. $f'(x)=\dfrac{-4\ln(x)}{x^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)$.
    Or $-\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $-\ln(x)>0 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau suivant :
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=-\dfrac{4\ln(x)}{x^2}$.
    $f’$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\dfrac{\dfrac{4}{x}\times x^2-4\ln(x)\times 2x}{x^4} \\
    &=-\dfrac{4x-8x\ln(x)}{x^4}\\
    &=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  7. Sur $]0;+\infty[$, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-4+8\ln(x)$.
    Or $-4+8\ln(x)=0\ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    et $-4+8\ln(x)>0 \ssi \ln(x)>\dfrac{1}{2} \ssi x>\e^{1/2}$
    Ainsi $f\dsec{x}$ s’annule en changeant de signe en $\e^{1/2}$.
    De plus $f\left(\e^{1/2}\right)=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\e^{1/2}}=6\e^{-1/2}$
    Ainsi $f$ possède un unique point d’inflexion $B$ de coordonnées $\left(\e^{1/2};6\e^{-1/2}\right)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

  • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
  • si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On
note $D$ l’événement « l’athlète est dopé » et $T$ l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement $D$ est égale à $0,08$.

  1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(T)= 0,083$.
    $\quad$
  3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?
    $\quad$
    b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un
    test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.
    Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

  1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les
    athlètes de cette compétition. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
    a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif ?
    $\quad$
  2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète
    contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à $20$ individus.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0&=0,6\\u_{n+1}&=0,75u_n\left(1-0,15u_n\right)\end{cases}$$

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020 $+n$.

  1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début
    de l’année 2022.
    $\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=0,75x(1-0,15x)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0;1]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
    a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
    $\quad$
    b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def menace():}\\
    \quad \text{u = 0.6}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while u > 0.02:}\\
    \qquad \text{u = 0.75 * u * (1 – 0.15 * u)}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.

 

  1.  Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
    b. Montrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ , $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
    $\quad$

On considère le plan $P$ d’équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous : $$d_1:\begin{cases} x=3+t\\y=8-2t\\z=-2+3t\end{cases}, t\in \R \quad \text{et} \quad d_2:\begin{cases} x=4+t\\y=1+t\\z=8+2t\end{cases}, t\in \R$$.

  1. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  3. Montrer que le point $L(4;0;3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5;3;1)$ sur le plan $P$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle
  • Convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b$, $\left(\e^{a+b}\right)^2=\e^{2a}+\e^{2b}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point $A$ d’abscisse $0$ à la courbe représentative de
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2+(3-x)\e^x$
admet pour équation réduite $y=2x+1$.
$\quad$

Affirmation 3 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}-\e^x+\dfrac{3}{x}=0$.
$\quad$

Affirmation 4 : L’équation $1-x+\e^{-x}=0$ admet une seule solution appartenant à l’intervalle $[0 ; 2]$.
$\quad$

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2-5x+\e^x$ est convexe.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction logarithme népérien
  • Convexité

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe $C_f$ représentative d’une fonction $f$, deux fois
dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$. La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point $A(1;4)$.

  1.  Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{a+b\ln(x)}{x}$$
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x)=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  2. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par :^$$f(x)=\dfrac{4+4\ln(x)}{x}$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}$$
    $\quad$
  4. Montrer que la courbe $C_f$ possède un unique point d’inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$

$\quad$