Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
    Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-4x\ln(x)-2x \\
    &=-4x\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
    $\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
    On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
    $f(\e)=1-\e^2<0$
    Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
    La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
    $\quad$
  5. L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
    D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
    Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
    $f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
    La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
    $\quad$
    Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
    L’intervalle  obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
    Il ne reste donc que la proposition B.
    $\quad$

 Partie B

  1. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
    D’après la partie A :
    $\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    $\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
    Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
    $\quad$
  3. On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
    Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
    On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
    Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
    L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
    Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
    $$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
    &\approx 1,6\%\end{align*}$$
    $\quad$
    b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
    $$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
    &\approx 0,027\% \\
    &<0,1\%\end{align*}$$
    $\quad$
  2. a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
    $\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
    &\approx 0,236\end{align*}$
    La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
    $\quad$
    b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
    &\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
    La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
    Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
    &=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
    &=0,315~07\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
    &\approx 0,467\end{align*}$
    La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
    &=\sqrt{169} \\
    &=13\end{align*}$
    Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
    $\quad$
    b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
    Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
    $\quad$
  3. a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
    $\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
    $\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
    &=\sqrt{169} \\
    &=13\end{align*}$
    Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
    Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
    $\quad$
    b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
    $$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
    $\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
    On note $H(2,4;-3,2;0)$.
    On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
    Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
    $\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
    &=\sqrt{102,4} \\
    &=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
    &=\sqrt{416}\\
    &=4\sqrt{26}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
    &=\sqrt{260}\\
    &=2\sqrt{65}\end{align*}$
    $\quad$
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=52\sqrt{10} \end{align*}$
    $\quad$
    Le volume du tétraèdre est alors égal à :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
    &=\dfrac{1~664}{3} \\
    &\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
    $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
    Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
    $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. $u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
    Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
    Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
    &\ssi x-2x^2=0 \\
    &\ssi x(1-2x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
    Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
    La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
    $\quad$
    b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
    Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
    &=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
    &=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
    &=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
    &=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
    &=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
    La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

  1. On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{from lycee import *}\\
    \\
    \text{def f(x) :}\\
    \quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
    \\
    \text{def dichotomie(p) :} \\
    \quad \text{a = 1}\\
    \quad \text{b = 2.7}\\
    \quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
    \qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
    \quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
    \qquad \text{else :} \\
    \quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
    \quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
    $\text{>>> dichotomie(1)}$
    $\quad$
    Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
    Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
    Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
    Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
    Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
    $\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
    $\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

  1. On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
    Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

  1. Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
    a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
    $\quad$
    b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
    $\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

  1. On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
    On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
    a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
    $\quad$
    b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
    Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
    Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
    $\quad$
    On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
    $\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
    $\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
    $\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
    $\quad$
    On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
    a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
    $\quad$
    c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
    $\quad$


$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

  1. a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
    $\quad$
    b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
    a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
    $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
    Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

  1. Dans cette question $b=0$.
    a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $P_n$.
    $\quad$
  2. Dans cette question $b = 0,2$.
    a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
    Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
    $\quad$
    b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
    $\quad$

$\quad$