Exercice 1

1. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f(x)&=x\e^{x^2-3} \\
   &=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2-3} \end{align*}$
   Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2-3$.
   Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
   Réponse d
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{2(n+1)+1} \\
   &=\e^{2n+2+1} \\
   &=\e^2\e^{2n+1} \\
   &=\e^2u_n\end{align*}$
   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\e^2$.
   Réponse c
   $\quad$
3. On doit écrire $\text{u <= 10000}$.
   Réponse a
   $\quad$
4. Pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+60 \\
   &=1,2u_n+12+60 \\
   &=1,2u_n+72 \\
   &=1,2\left(u_n+60\right) \\
   &=1,2v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,2$.
   Réponse b
   $\quad$

 

Exercice 2

1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
   Or $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
   Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
   $\quad$
   b. $\vect{CD}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$
   D’une part $\vect{CD}.\vect{AB}=4-1-3=0$.
   D’autre part $\vect{CD}.\vect{AC}=2-2+0=0$.
   $\vect{CD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc orthogonal à ce plan.
   La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   $C$ est donc le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
   Le point $A$ appartient à ce plan. Ainsi $2+0-(-1)+d=0 \ssi d=-3$.
   Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $2x+y-z-3=0$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} CD&=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{6}\end{align*}$
   $\quad$
   b. $C$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$ c’est donc l’unique point de ce plan situé à la distance $\sqrt{6}$ de $D$.
   Il n’existe donc pas de point $M$ du plan $\mathscr{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$.
   $\quad$
3. a. Soit $t\in \R$.
   $\begin{align*}2\times 0+(2+t)-(-1+t)+3&=2+t+1-t+3 \\
   &=0\end{align*}$
   Ainsi, le point $M(0:2+t;-1+t)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ pour tout $t\in \R$.
   La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   b. On appelle $N$ le point de $\Delta$ associé à la valeur $-2$. Ainsi $N(0;0;-3)$.
   $\vect{ND}\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$.
   Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $\vec{u}.\vect{ND}=0-1+1=0$.
   La droite $(ND)$ est donc perpendiculaire à la droite $\Delta$ en $N$.
   $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
   $H$ est donc bien le point de $\Delta$ associé à la valeur $t=-2$.
   $\quad$
   c. Ainsi :
   $\begin{align*} HD&=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2} \\
   &=\sqrt{18}\\
   &=3\sqrt{2}\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. a. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(T)&=p(A)p_A(T)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(T)\\
   &=0,97x+0,043(1-x) \\
   &=0,043+0,927x\end{align*}$
   $\quad$
   b. On sait que $p(T)=0,2$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} 0,2=0,043+0,927x&\ssi 0,157=0,927x \\
   &\ssi x=\dfrac{157}{927}\end{align*}$.
   La probabilité que l’individu choisi soit allergique est donc environ égale à $0,169$.
   $\quad$
3. On calcule :
   $\begin{align*} p_T(A)&=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)} \\
   &=\dfrac{p(A)p_A(T)}{p(T)} \\
   &\approx \dfrac{0,169\times 0,97}{0,2}\\
   &\approx 0,820\end{align*}$
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$

Partie B

1. On répète $150$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,08$.
   Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,08$.
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{150}{20}0,08^{20}\times 0,92^{130} \\
   &\approx 0,008\end{align*}$
   La probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,008$.
   $\quad$
3. D’après la calculatrice :
   $\begin{align*} p(X\pg 15)&=1-p(X\pp 14) \\
   &\approx 0,220\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins $10 \%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,220$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}\end{align*}$
   Or $x^3>0$ sur $]0;+\infty[$.
   Ainsi $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$.
   $\quad$
2. Le discriminant de $x^2-2x+2$ est $\Delta=-4<0$.
   Le signe de ce trinôme est celui de son coefficient principal qui est $1>0$.
   Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x^2-2x+2>0$.
   Donc $g'(x)>0$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $g(0,5)=\ln(0,5)= -\ln(2)<0$ et $g(1)=1>0$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5;1]$.
   $\quad$
4. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
   Ainsi, pour tout $x\in ]0;\alpha[$ on a $g(x)<g(\alpha)$ soit $g(x)<0$ et, pour tout $x>\alpha$ on a $g(x)>g(\alpha)$ doit $g(x)>0$.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)+\e^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
   &=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
   &=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)\end{align*}$
   $\quad$
2. a. On a ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x)=g(x)\e^x$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. $f\dsec(x)$ est donc du signe de $g(x)$.
   On obtient alors le tableau de signes suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. La fonction $f\dsec$ ne s’annule qu’une fois en changeant de signe en $\alpha$.
   $\mathscr{C}_f$ possède donc une unique point d’inflexion $A$ d’abscisse $\alpha$.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\alpha]$ et convexe sur $[\alpha;+\infty[$.
   $\quad$
3. a. $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=-\infty$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to v}f(x)=+\infty$
   $\quad$
   b.
   $g(\alpha)=0\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} f'(\alpha)&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\ln(\alpha)\right) \\
   &=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right) \\
   &=\e^{\alpha}\left(-\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \\
   &=\dfrac{\alpha}{\alpha^2}(-\alpha+1)\end{align*}$
   c. On a $0,5<\alpha<1$ donc $1-\alpha>0$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et $\alpha^2>0$.
   Ainsi $f'(\alpha)>0$.
   La fonction $f’$ admet un minimum en $\alpha$ et $f'(\alpha)>0$.
   Ainsi, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
   $\quad$
   d. On en déduit donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   $\quad$

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2-3}$.
   Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
   a. $F(x)=2x\e^{x^2-3}$ ;
   b. $F(x)=\left(2x^2+1\right)\e^{x^2-3}$ ;
   c. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2-3}$ ;
   d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\e^{2n+1}$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est :
   a. arithmétique de raison $2$ ;
   b. géométrique de raison $\e$ ;
   c. géométrique de raison $\e^2$ ;
   d. convergente vers $\e$.
   $\quad$

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
$\hspace{1cm} u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,2u_n + 12$.

3. La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que $u_n > 10~000$.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def seuil() :}\\
   \quad \text{n=0}\\
   \quad \text{u=15}\\
   \quad \text{while …}\\
   \qquad \text{n=n+1}\\
   \qquad \text{u=1.2*u+12}\\
   \qquad \text{return(n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   À la ligne 4, on complète par :
   a. $\text{u <=10 000}$ ;
   b. $\text{u = 10 000}$ ;
   c. $\text{u > 10 000}$ ;
   d. $\text{n <= 10 000}$.
   $\quad$
4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+60$. La suite $\left(v_n\right)$ est :
   a. une suite décroissante ;
   b. une suite géométrique de raison $1,2$ ;
   c. une suite arithmétique de raison $60$ ;
   d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1 ; 0 ;-1)$, $B(3 ;-1 ; 2)$, $C(2 ;-2 ;-1)$ et $D(4 ;-1 ;-2)$.
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{cases}$, avec $t\in \R$.

1. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
   $\quad$
   b. Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
   $\quad$
   c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3=0$.
   $\quad$
2. a. Calculer la distance $CD$.
   $\quad$
   b. Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
   $\quad$
3. a. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
   $\quad$
   Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
   b. Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t =-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
   $\quad$
   c. En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

• Si un individu est allergique, le test est positif dans $97 \%$ des cas ;
• Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7\%$ des cas.

Par ailleurs, $20 \%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

• $A$ l’événement « l’individu est allergique » ;
• $T$ l’événement « l’individu présente un test positif ».

On notera $\conj{A}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’événement $A$ : $x = p(A)$.

$\quad$

Partie A

1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
   $\quad$
   
   $\quad$
2. a. Démontrer l’égalité : $p(T)=0,927x+0,043$.
   $\quad$
   b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
   $\quad$
3. Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
   « Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
   $\quad$

Partie B :

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
   $\quad$
3. Déterminer la probabilité qu’au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

PARTIE A

On définit sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la fonction $g$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

1. Montrer que pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2-2x+2\right)$.
   $\quad$
2. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5 ; 1]$, que l’on notera $\alpha$.
   $\quad$
4. On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$ :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
   $\quad$

PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=\e^x\ln(x)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ , on note $f’$ sa fonction dérivée, $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
   pour tout nombre réel $x > 0,~f'(x)=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)$
   Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f\dsec(x)=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
   $\quad$
2. On pourra remarquer que pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x) = \e^x\times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
   a. Dresser le tableau de signes de la fonction $f\dsec(x)$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.
   $\quad$
   b. Justifier que la courbe $C_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
   $\quad$
   c. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.
   $\quad$
3. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
   $\quad$
   b. Montrer que $f'(x)(\alpha) =\dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(\alpha) = 0$.
   $\quad$
   c. Démontrer que $f'(\alpha)> 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.
   $\quad$
   d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
   $\quad$

$\quad$