Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 20 mars 2023

Métropole – 20 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $p(G\cap D)=0,2\%$ et $p(G)=20\%$
    Donc
    $\begin{align*} p_G(D)&=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,002}{0,2} \\
    &=0,0,1\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\left(G,\conj{G}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} &p(D)=p(G\cap D)+p\left(\conj{G}\cap D\right) \\
    &\ssi 0,082=0,002+p\left(\conj{G}\cap D\right)\\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap D\right)=0,08\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(G)&=\dfrac{p(D\cap G)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,002}{0,082} \\
    &\approx 0,024\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*}
    p(X>2)&=1-p(X\pp 2) \\
    &=1-\left(p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\right) \\
    &=1-(1-0,082)^{50}-\dbinom{50}{1}(1-0,082)^{49}\times 0,082-\dbinom{50}{2}(1-0,082)^{48}\times 0,082^2\\
    &\approx 0,789\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} p(X=0)\pg 0,4&\ssi (1-0,082)^n\pg 0,4 \\
    &\ssi 0,918^n\pg 0,4\\
    &\ssi n\ln(0,918)\pg \ln(0,4) \\
    &\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)} \qquad \text{car }\ln(0,918)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(918)}\approx 10,7$
    Donc $n\pp 10$
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}  f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-\dfrac{8}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-8}{x} \\
    &=\dfrac{2\left(x^2-4\right)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $x^2-4=(x-2)(x+2)$
    Sur $]0;+\infty[$, $x+4>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $f(2)=4-8\ln(2)$
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;2]$.
    $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$ et $f(2)\approx -1,5<0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;2]$.
    $\quad$
  6. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;2]$ et s’annule en $\alpha$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2;+\infty[$ et s’annule en $\beta$.
    Par conséquent :
    $\bullet f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$
    $\bullet f(\alpha)=0$
    $\bullet f(x)<0$ sur $]\alpha;\beta[$
    $\bullet f(\beta)=0$
    $\bullet f(x)>0$ sur $]\beta;+\infty[$
    $\quad$
  7. Pour tout réel $k$ et tout réel $x>0$ on a $g_k(x)=f(x)+k$.
    $g_k$ et $f$ ont donc les mêmes variations.
    Ainsi $g_k$ atteint son minimum en $2$ et $g_k(2)=4-8\ln(2)+k$
    $g_k(2)\pg 0 \ssi k\pg 8\ln(2)-4$.
    La plus petite valeur de $k$ telle que $g_k$ est positive sur $]0;+\infty[$ est donc $8\ln(2)-4$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Première modélisation

  1. $u_2=0,9\times 3+1,3=4$
    $u_3=0,9\times 4+1,3=4,9$
    Au cours du deuxième mois, $400$ questions ont été posées et $490$ questions ont été posées au cours du troisième mois.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$
    Initialisation : On a $u_1=3$ et $13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^1=3$.
    La propriété $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n+1,3 \\
    &=0,9\left(13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n\right)+1,3\\
    &=11,7-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}+1,3\\
    &=13–\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. Soit $n\in \N^*$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}+\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} \\
    &=\dfrac{100}{9}\times 0,9^n(-0,9+1) \\
    &=0,1\times \dfrac{100}{9}\times 0,9^n \\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Ce programme renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n>8,5$.
    On a $u_8 \approx 8,22$ et $u_9\approx 8,70$.
    Le programme renvoie donc la valeur $9$.
    C’est au cours du $9\ieme$ mois que le nombre de questions dépassera les $850$.
    $\quad$

Partie B : Une autre modélisation

  1. $v_1=9-6\e^0=3$ et $v_2=9-6\e^{-0,19}\approx 4,04$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre :
    $\begin{align*} v_n>8,5&\ssi 9-6\e^{-0,19(n-1)}>8,5 \\
    &\ssi -6\e^{-0,19(n-1)}>-0,5 \\
    &\ssi \e^{-0,19(n-1)}<\dfrac{1}{12} \\
    &\ssi -0,19(n-1)<\ln\left(\dfrac{1}{12}\right) \\
    &\ssi -0,19(n-1)<-\ln(12) \\
    &\ssi n-1>\dfrac{\ln(12)}{0,19} \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(12)}{0,19} +1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(12)}{0,19} +1\approx 14,08$.
    Le plus petit entier $n$ tel que $v_n>8,5$ est donc $15$.
    $\quad$

Partie C : Comparaison des deux modèles

  1. La barre des $850$ questions est franchie durant le $9\ieme$ mois selon le premier modèle et durant le $15\ieme$ mois selon le second modèle.
    C’est donc le premier modèle qui conduit à procéder le plus tôt à cette modification.
    $\quad$
  2. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=13$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} -0,19(n-1)=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-0,19(n-1)}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=9$
    C’est pour la première modélisation qu’il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $E(0;0;1)$, $C(1;1;0)$ et $G(1;1;1)$.
    $\quad$
  2. Par conséquent $\vect{EC}\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(EC)$ est donc $$\begin{cases}x=t\\y=t\\z=1-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
    $\quad$
  3. $\vect{GB}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{GD}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Par conséquent :
    $\vect{EC}.\vect{GB}=0-1+1=0$
    $\vect{EC}.\vect{GC}=-1+0+1=0$
    $\vect{EC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GBD)$.
    La droite $(EC)$ est par conséquent orthogonale au plan $(GBD)$.
    $\quad$
  4. a. Une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est donc de la forme : $x+y-z+d=0$.
    Or $B(1;0;0)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $1+0-0+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est donc $x+y-z-1=0$.
    $\quad$
    b. On considère le point $I’$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    En prenant $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(EC)$ on obtient les coordonnées du point $I’$. Ainsi $I’$ appartient à la droite $(EC)$.
    $\quad$
    $\dfrac{2}{3} +\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}=0$ : Le point $I’$ appartient également au plan $(GBD)$.
    $\quad$
    La droite $(EC)$ n’est pas incluse dans le plan $(GBD)$. Par conséquent le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. La distance cherchée est égale $EI$. Or $\vect{EI}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[2mm]\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} EI&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $[BD]$, $[BG]$ et $[DG]$ sont trois diagonales de carrés de longueur $1$. Elles ont donc toutes les trois la même longueur et le triangle $BDG$ est équilatéral.
    $\quad$
    b. On a $AB=AD=1$ donc d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $ABD$ rectangle en $A$ on a $BD=\sqrt{2}$.
    Le point $J$, milieu de $[BD]$ a pour coordonnées $(0,5;0,5;0)$.
    Ainsi $\vect{GJ}\begin{pmatrix} -0,5\\-0,5\\-1\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} GJ&=\sqrt{(-0,5)^2+(-0,5)^2+(-1)^2}+1 \\
    &=\sqrt{1,5}\end{align*}$.
    Dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiane issue d’un même sommet sont confondues.
    L’aire du triangle $BDG$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BD\times GJ}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{1,5}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  6. Le volume du tétraèdre $EGBD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times EI}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{3}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$

$\quad$

Énoncé

Exercice 1        5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes..

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

  • $20\%$ des machines sont sous garantie ;
  • $0,2\%$ des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
  • $8,2\%$ des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les événements suivants :

  • $G$ : « la machine est sous garantie » ;
  • $D$ : « la machine est défectueuse » ;
  • $\conj{G}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $G$ et $D$.

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-dessous.

  1. La probabilité $p_G(D)$ de l’événement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :
    a. $0,002$
    b. $0,01$
    c. $0,024$
    d. $0,2$
    $\quad$
  2. La probabilité $p\left(\conj{G}\cap D\right)$ est égale à :
    a. $0,01$
    b. $0,08$
    c. $0,1$
    d. $0,21$
    $\quad$
  3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à :
    a. $0,01$
    b. $0,024$
    c. $0,082$
    d. $0,1$
    $\quad$

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l’entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.

  1. Dans cette question, on prend $n = 50$.
    La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de :
    a. $0,136$
    b. $0,789$
    c. $0,864$
    d. $0,924$
    $\quad$
  2. On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :
    a. $5$
    b. $6$
    c. $10$
    d. $11$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2        5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-8\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout $x>0$, $f(x)=x^2\left(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)$
    En déduire la limite : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-4\right)}{x}$.
    $\quad$
  4. Étudier les variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Démontrer que, sur l’intervalle $]0 ; 2]$, l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
    $\quad$
  6. On admet que, sur l’intervalle $[2 ; +\infty[$, l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
    En déduire le signe de $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k$$
    En s’aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3        5 points

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

  • $90\%$ des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
  • $130$ nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$$u_1=3  \text{ et, pour tout entier naturel } n\pg 1, u_{n+1} = 0,9 u_n + 1,3.$$

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\pg 1$
    $$u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$$
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. On considère le programme ci-dessous, écrit en
    langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def seuil(p) :}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{n=1}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{u=3}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{while u<=p :}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{n=n+1}\\
    \hspace{1.6cm}\texttt{u=0.9*u+1.3}\\
    \hspace{0.8cm}\texttt{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\texttt{seuil(8.5)}$ et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n\pg 1$ par : $$v_n=9-6\times \e^{-0,19\times (n-1)}$$
Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.

  1. Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n>8,5$.
    $\quad$

Partie C : Comparaison des deux modèles

  1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de $850$ questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4        5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$.

 

On appelle $I$ le point d’intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.
    $\quad$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
    $\quad$
  4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x+y-z-1=0$.
    $\quad$
    b. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
    $\quad$
  5. a. Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $BDG$. On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.
    $\quad$
  6. Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\dfrac{1}{3}$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}h$ $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
    $\quad$

$\quad$