Exercice 1

Partie I

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
2. On veut calculer
   $\begin{align*} p(D\cap A)&=p(D)\times p_D(A)\\
   &=0,1\times 0,6\\
   &=0,06\end{align*}$
   La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école est égale à $0,06$.
   $\quad$
3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(A)&=p(D)\times p_D(A)+p\left(\conj{D}\right)p_{\conj{D}}(A)\\
   &=0,06+0,9\times 0,2\\
   &=0,06+0,18\\
   &=0,24\end{align*}$
   La probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
   $\quad$
4. On veut calculer
   $\begin{align*} p_A\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{D}\right)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,18}{0,24} \\
   &=0,75\end{align*}$
   La probabilité que le dossier du candidat n’ait pas été sélectionné sachant qu’il a été admis à l’école est égale à $0,75$.
   $\quad$

Partie II

1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=7$ et $p=0,24$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{7}{1}0,24\times (1-,24)^6 \\
   &\approx 0,32\end{align*}$
   La probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école est environ égale à $0,32$.
   $\quad$
   c. On a
   $\begin{align*} P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1)\\
   &\approx 0,53\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école est environ égale à $0,53$.
   $\quad$
2. a. La probabilité qu’un candidat ne soit pas admis est égale à $1-0,24=0,76$.
   Les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
   Par conséquent la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école est égale à $0,76^n$.
   $\quad$
   b. La probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est $1-0,76^n$.
   On doit donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
   $\begin{align*} 1-0,76^n \pg 0,99 &\ssi -0,76^n \pg -0,01 \\
   &\ssi 0,76^n\pp 0,01\\
   &\ssi n\ln(0,76) \pp \ln(0,01)\\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\end{align*}$
   Car $\ln(0,76)<0$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)} \approx 16,8$.
   Le lycée doit donc présenter au moins $17$ candidats dans cette école pour que la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école soit supérieure ou égale à $0,99$.
   $\quad$

Exercice 2

1. a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
   L’axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe $C_f$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x \times 1}{x^2} \\
   &=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
   Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
4. $\bullet $ Pour tout réel $x>0$ on a donc $f(x)\pg \e$.
   Ainsi si $m<\e$ alors l’équation $f(x)=m$ ne possède pas de solution.
   $\bullet$ Soit $m>\e$.
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
   Or $m\in ]\e;+\infty[$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement croissante sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
   Or $m\in ]\e;+\infty[$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$
   Par conséquent l’équation $f(x)=m$ possède exactement deux solutions sur $]0;+\infty[$.
   $\bullet$ Si $m=\e$ La fonction $f$ atteint une seule fois son minimum en $1$ et celui-ci vaut $\e$.
   L’équation $f(x)=m$ possède alors une unique solution sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
5. a. Le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est $-1$.
   Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si, et seulement si, leur coefficients directeurs sont égaux.
   Le coefficient directeur d’une tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est $f'(a)$.
   Ainsi $a$ est solution, dans $]0;+\infty[$ de l’équation
   $\begin{align*} f'(x)=-1&\ssi \dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}=-1\\
   &\ssi \e^x(x-1)=-x^2\\
   &\ssi \e^x(x-1)+x^2=0\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
   Pour tout réel $x\pg 0$ on a
   $\begin{align*} g'(x)&=\e^x(x-1)+\e^x+2x \\
   &=x\e^x+2x\\
   &=x\left(\e^x+2\right)\end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>0$ sur $\R$
   De plus sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et ne s’annule qu’en $0$.
   Par conséquent $g'(x)\pg 0$ et $g'(x)$ ne s’annule qu’en $0$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} x-1=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2$
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
   $\quad$
   c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $g(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
   Or $0\in ]-1;+\infty[$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$.
   De plus $g(0)\neq 0$.
   Il existe par conséquent un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
   $\quad$

Exercice 3

1. Le point $K$ appartient à $(SD)$ donc $(DK)$ et $(SD)$ sont coplanaires.
   $S$ est le sommet de la pyramide et $I$ est le centre du carré $ABCD$ donc $(AS)$ et $(IC)$ sont coplanaires.
   D’après le théorème des milieux (ou du théorème de Thalès) la droite $(LM)$ est parallèle à la droite $(BC)$, elle-même parallèle à la droite $(AD)$. Par conséquent $(LM)$ et $(AD)$ sont coplanaires.
   Réponse c
   $\quad$
2. $K$ est le milieu de $[SD]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
   $L$ est le milieu de $[SC]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)$
   Ainsi $N$ milieu de $[KL]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
   Réponse b
   $\quad$
3. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont $\begin{pmatrix} 0-(-1)\\0-0\\1-0\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
   Réponse b
   $\quad$
4. Un vecteur directeur de la droite $(AS)$ est $\vect{AS}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
   On exclut donc les propositions a. et d., dont un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
   En prenant $t=0$ dans la propositions c. on retrouve les coordonnées du point $S$ et en prenant $t=-1$ on retrouve les coordonnées du point $A$.
   Réponse c
   $\quad$
5. Si on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées des points $S$, $C$ et $B$ on constate que seule l’équation $x+y+z-1=0$ convient.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice A

1. On a $u_1=\dfrac{3}{4}\times 1+0+1=\dfrac{7}{4}$
   $u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{41}{16}$
   $\quad$
2. a. On a pu écrire $=3/4*\text{B2}+1/4*\text{A2}+1$
   $\quad$
   b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
   $\quad$
3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $0\pp u_0 \pp 0+1$
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
   $\begin{align*} n\pp u_n\pp n+1&\ssi \dfrac{3}{4}n \pp \dfrac{3}{4}u_n \pp \dfrac{3}{4}n+\dfrac{3}{4} \\
   &\ssi n\pp \dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n\pp n+\dfrac{3}{4} \\
   &\ssi n+1\pp u_{n+1} \pp n+1+\dfrac{3}{4}\end{align*}$
   Or $n+2> n+1+\dfrac{3}{4}$
   Ainsi $n+1\pp u_{n+1}\pp n+2$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $n\pp u_n \pp n+1$.
   $\quad$
   $\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_n\pg n$.
   D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
   b. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-u_n\\
   &=-\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1 \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(n-u_n\right)+1\\
   &\pg \dfrac{1}{4}\left(n-(n+1)\right)+1\\
   &\pg -\dfrac{1}{4}+1\\
   &\pg \dfrac{3}{4}\\
   &> 0\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
   $\quad$
   c. Pour tout $n\in \N^*$ on a $n\pp u_n \pp n+1$ donc $1\pp \dfrac{u_n}{n}\pp 1+\dfrac{1}{n}$
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
   D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$.
   $\quad$
4. a. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1) \\
   &=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-n-1\\
   &=\dfrac{3}{4}u_n-\dfrac{3}{4}n\\
   &=\dfrac{3}{4}\left(u_n-n\right)\\
   &=\dfrac{3}{4}v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-0=1$.
   $\quad$
   b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
   Ainsi $u_n=v_n+n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
   $\quad$

 

Exercice B

1. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x^2}=0$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2} \\
   &=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\end{align*}$
   $\quad$
3. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-4x+3$.
   $\Delta=16-12=4>0$
   Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
   $x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$
   Le coefficient principal est $a=1>0$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   b. On a $6-4\ln(3)\approx 1,61$ et $\dfrac{5}{3} \approx 1,67$.
   Ainsi, par lecture du tableau de variations, l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$ possède exactement $3$ solutions (une dans chaque intervalle du tableau).
   $\quad$
4. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
   On reprend l’expression de $f'(x)=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}$
   Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{6}{x^3} \\
   &=\dfrac{4x-6}{x^3} \end{align*}$
   Sur $]0;+\infty$, on a $x^3>0$ donc $f\dsec(x)$ est du signe de $4x-6$ sur $]0;+\infty[$.
   $4x-6=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $4x-6>0 \ssi x>\dfrac{3}{2}$
   La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\dfrac{3}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
   La fonction $f$ ne change qu’une seule fois de convexité sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathcal{C}$ possède donc un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$ et d’ordonnées $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{7}{2}-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
   $\quad$

Exercice 1     5 points

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

• $10 \%$ des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel $60 \%$ d’entre eux sont finalement admis à l’école.
• Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle $20 \%$ d’entre eux sont admis à l’école.

Partie I

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement.
On notera :

• $D$ l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
• $A$ l’événement « le candidat a été admis à l’école » ;
• $\conj{D}$ et $\conj{A}$ les événements contraires des événements $D$ et $A$ respectivement.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
   $\quad$
4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?
   $\quad$

Partie II

1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à $0,24$.
   On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort.
   a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième.
   $\quad$
   c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
   $\quad$
2. Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.
   On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
   a. Donner l’expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.
   $\quad$
   b. À partir de quelle valeur de l’entier $n$ la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

1. a. Préciser la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
   b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_f$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$, on a : $$f'(x)=\dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}$$
   où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
   $\quad$
3. Déterminer les variations de la fonction $f$  sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
   $\quad$
4. Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$.
   $\quad$
5. On note $\Delta$ la droite d’équation $y=-x$.
   On note $A$ un éventuel point de $C_f$ d’abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
   a. Montrer que $a$ est solution de l’équation $\e^x(x-1)+x^2=0$.
   On note $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\e^x(x-1)+x^2$.
   On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g’$ sa fonction dérivée.
   $\quad$
   b. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   c. Montrer qu’il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point $I$ est le centre du carré $ABCD$. On suppose que : $IC=IB=IS=1$.
Les points $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SD]$, $[SC]$ et $[SB]$.

1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
   a. $(DK)$ et $(SD)$
   b. $(AS)$ et $(IC)$
   c. $(AC)$ et $(SB)$
   d. $(LM)$ et $(AD)$
   $\quad$

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l’espace $\left(I;\vect{IC},\vect{IB},\vect{IS}\right)$.
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :
$I(0 ;0 ;0)$ ; $A(-1 ;0 ;0)$ ; $B(0 ;1 ;0)$ ; $C(1 ;0 ;0)$ ; $D(0 ;-1 ;0)$ ; $S(0 ;0 ;1)$.

2. Les coordonnées du milieu $N$ de $[KL]$ sont :
   a. $\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
   b. $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
   c. $\left(-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
   d. $\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$
   $\quad$
3. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont :
   a. $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
   b. $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
   c. $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
   d. $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. Une représentation paramétrique de la droite $(AS)$ est :
   a. $\begin{cases} x=-1-t\\y=t\\z=-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
   b. $\begin{cases} x=-1+2t\\y=0\\z=1+2t\end{cases} \quad (t\in\R)$
   c. $\begin{cases} x=t\\y=0\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in\R)$
   d. $\begin{cases} x=-1-t\\y=1+t\\z=1-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
   $\quad$
5. Une équation cartésienne du plan $(SCB)$ est :
   a. $y+z-1=0$
   b. $x+y+z-1=0$
   c. $x-y+z=0$
   d. $x+z-1=0$
   $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1$$

1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
   $\quad$

L’extrait, reproduit ci-dessous, d’une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

2. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\text{B3}$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
   $\quad$
   b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \pp u_n \pp n+1$.
   $\quad$
   b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   c. Démontrer que : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$$
   $\quad$
4. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n-n$.
   a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$[ par : $$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}$$
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a : $$f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}$$
   $\quad$
3. a. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
   b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$.
   $\quad$
4. Étudier la convexité de la fonction $f$, c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle $]0;+\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
   $\quad$

$\quad$