Antilles Guyane – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. Il y a de trop grandes fluctuation (aucune évolution linéaire apparaît) pour envisager un ajustement affine.
   $\quad$
2. A $15$h$30$, on calcule $N(15,5) \approx 93,97$.
   Il y aurait donc $94$ clients.
   $\quad$
3. On a $N'(t)=-3t^2+90,75t-657$.
   $\quad$
4. a. On veut résoudre $-3t^2+90,75t-657=0$.
   $\Delta = 351,5625 > 0$
   Il y a donc deux solutions $t_1=\dfrac{-90,75-\sqrt{351,5625}}{-6} = 18,25$ et $t_2=\dfrac{-90,75+\sqrt{351,5625}}{-6} =12$.
   $\quad$
   b. Puisque $a=-3 <0$ cela signifie donc que :
   $\quad$ • $N'(t) \le 0$ sur $[0;12]$ et sur $[18,25;20]$
   $\quad$ • $N'(t) \ge 0$ sur $[12;18,25]$
   $\quad$
   c. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   Avec $N(18,25) \approx 144$
   $\quad$
5. D’après le tableau de variations, le maximum est atteint pour $t=18,25$.
   Le nombre maximal est donc maximal entre $18$h et $18$h$30$.
   $\quad$
6. Dans le tableau, on peut lire qu’à $13$h il y avait $55$ clients alors que $N(13) = 30,375$.
   La valeur $55$ est donc aberrante par rapport au modèle choisi.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. En $2005$, on a : $6~128 \times 1,063 \approx 6~514$.
   Il y avait donc environ $6~514$ millions d’habitants dans le monde en $2005$.
   $\quad$
2. a. $\dfrac{6~916-5~321}{5321} \times 100 = 29,98$.
   Le taux d’évolution de la population mondiale entre ces deux dates est de $29,98\%$.
   $\quad$
   b. On cherche la valeur de $t$ telle que :
   $\begin{align*} 5~321 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{20}=6~916 &\ssi \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{20} = \dfrac{6~916}{5~321} \\\\
   &\ssi 1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[20]{\dfrac{6~916}{5~321}}\\\\
   & \ssi t = 100 \times \left(\sqrt[20]{\dfrac{6~916}{5~321}}-1\right)
   \end{align*}$
   On a donc $t\approx 1,32$.
   Le taux d’évolution moyen annuel cherché est donc de $1,32\%$.
   $\quad$
   c. En $2020$, on calcule alors $6~916\times 1,013^{10} \approx 7~8670$.
   Il y aura donc environ $7~8670$ millions d’habitants en $2020$ dans le monde.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient la droite d’équation $y=396,2x+5~331,8$.
   $\quad$
2. Selon le modèle, en prenant $x=6$ on obtient $y=396 \times 6 + 5~332 = 7~708$.
   Il y aurait ainsi environ $7~708$ millions d’habitants dans le monde selon ce modèle.
   $\quad$

Exercice 3

1. On a $u_1=1~200 +15=1~215$ et $u_2 = 1~215+15 = 1~230$
   $v_1=1~000 \times \left(1+\dfrac{4}{100}\right) = 1~040$ et $v_2=1~040 \times \left(1+\dfrac{4}{100}\right) = 1~081,6$
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de premier terme $u_0=1~200$ et de raison $15$.
   La suite $\left(v_n\right)$ est géoémtrique de premier terme $u_0=1~000$ et de raison $1,04$.
   $\quad$
3. On a ainsi $u_n=1~200+15n$ et $v_n=1~000\times 1,04^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
4. En $2023$, on a $n=8$.
   $u_8=1~200+15\times 8 = 1~320$ et $v_8 = 1~000 \times 1,04^8 \approx 1~369$
   Les salaires seraient alors de $1~320$ euros avec la première proposition et de $1~369$ euros avec la seconde.
   $\quad$
5. a. On peut saisir $=B2+15$.
   $\quad$
   b. On peut saisir $=B3*1,04$.
   $\quad$
6. Quand on calcule les premiers termes, on obtient :
   $u_6 = 1~290$ et $v_6\approx 1~265$
   $u_7=1~305$ et $v_7 \approx 1~316$
   C’est donc à partir de la $7^{\text{ème}}$ année, soit en $2022$, que le salaire de la proposition B dépasse celui de la proposition A.
   $\quad$

Exercice 4

1. On obtient l’arbre suivant :
   
2. On sait que $p\left(A_1\right)=0,7$ et $p\left(A_2\right)=p\left(A_3\right)$
   Or $p\left(A_1\right)+p\left(A_2\right)+p\left(A_3\right)=1$
   Par conséquent $0,7+2p\left(A_2\right)=1$
   Et $p\left(A_2\right)=\dfrac{1-0,7}{2} = 0,15$.
   $\quad$
3. On veut calculer $p\left(C \cap A_3\right) = 0,15 \times 0,96 = 0,144$.
   $\quad$
4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p\left(C \cap A_1\right)+p\left(C \cap A_2\right) + p\left(C \cap A_3\right) \\\\
   &= 0,7 \times 0,95 + 0,15 \times 0,8 + 0,144 \\\\
   &=0,929
   \end{align*}$
   $\quad$
5. On calcule $p_{\overline{C}}\left(A_2\right) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A_2\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,15 \times 0,2}{1-0,929} \approx 0,423$.
   Or $p_{\overline{C}}\left(A_1\right) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A_1\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,7 \times 0,05}{1-0,929} \approx 0,493$.
   Le contrôleur a donc tort.
   $\quad$
6. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de tomates de bon calibre.
   Les $7$ tirages sont aléatoires, indépendants avec remise et ne possède que deux états : $C$ et $\overline{C}$. De plus $p(C)=0,929 $.
   On veut calculer $P(X=5) = \displaystyle \binom{7}{5}\times 0,071^2 \times 0,929^5 \approx 0,073$
   $\quad$
7. a. On calcule $P(5 \le D \le 7) \approx 0,95$
   $\quad$
   b. On calculer $P(D \le 5,5) = 0,5 – P(5,5 \le D \le 6) \approx 0,16$.
   $\quad$