Exercice 1

1. On a $p_A(B)+p_A\left(\conj{B}\right)=1$
   Donc $p_A(B)=1-0,8=0,2$
   Affirmation 1 vraie
   $\quad$
   $p(A)+p\left(\conj{A}\right)=1$ donc $p\left(\conj{A}\right)=1-0,65=0,35$
   D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
   &=0,65 \times 0,2+0,35\times 0,3\\
   &=0,235
   \end{align*}$
   Affirmation 2 fausse
   $\quad$
2. On a $n=200 \pg 30$ et $p=0,56$ donc $np=112\pg 5$ et $n(1-p)=88\pg 5$
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence des français écoutant de la musique classique de temps en temps est :
   $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,56-\dfrac{1}{\sqrt{200}};0,56+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right] \\
   &\approx [0,489;0,631]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{140}{200}=0,7\notin I_{200}$
   Affirmation 3 vraie
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $86=100-14$ et $114=100+14$
   Donc $p(X \pg 114) = p(X\pp 86)=0,242$
   Par conséquent $p(86\pp X \pp 114)=1-2\times 0,242=0,516$
   Affirmation 4 fausse
   $\quad$

Exercice 2

1. $u_1=(1+0,015)u_0=1,015\times u_0=2~030$
   $u_2=1,015 \times u_1=2~060,45$
   $\quad$
2. a. On a $u_{n+1}=1,015u_n$
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=2~000$.
   $\quad$
   c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2~000\times 1,015^n$.
   $\quad$
3. a. La valeur en sortie de cet algorithme fournit le rang à partir duquel $u_n\pg 2~250$.
   $\quad$
   b. On a $u_7 \approx 2~220$ et $u_8\approx 2~253$
   Donc la valeur en sortie de cet algorithme est $8$.
   $\quad$
4. On appelle $v_n$ le capital, exprimé en euro, disponible le $1^{\text{er}}$ janvier de l’année 2016$+n$ dans cette nouvelle banque.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=2~000+32n$
   On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que : $u_n \pg v_n$.
   On a $u_8\approx 2~253$ et $v_8=2~256$
   $u_9\approx 2~287$ et $v_9=2~288$
   $u_{10} \approx 2~321$ et $v_{10}=2~320$
   Pendant $9$ ce nouveau sera plus avantageux que le précédent.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. En $C4$ on a saisi $=(C3-B1)/B1$.
   $\quad$
2. En $D4$ : $\dfrac{63~962-63~601}{63~601}\approx 0,57\%$
   En $J3$ : $65~921\times 1,004~2 \approx 66~198$
   $\quad$
3. On cherche la valeur de $t$ telle que :
   $\begin{align*} 63~186\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^8=66~198 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^8 = \dfrac{66~198}{63~186} \\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100}= \left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}}-1\\
   &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}}-1\right)
   \end{align*}$
   Ainsi $t\approx 0,58$
   Le taux d’évolution moyen annuel entre 2006 et 2014 de la population française est d’environ $0,58\%$.
   $\quad$

Partie B

1. D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine est $y=369,9x+63~182,6$.
   $\quad$
2. On obtient le graphique suivant :
   
3. D’après le graphique on peut estimer qu’en 2020 la France comptera environ $68~400$ habitants.
   $\quad$
4. En 2030, $x=24$ et $370\times 24+63~183=72~063$.
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. $C(9,5)=0,05\times 9,5^2-0,1\times 9,5+2,45=6,012~5$
   La fabrication quotidienne de $9,5$ tonnes de peinture coûte $6~015,5$ euros.
   $\quad$
2. On veut résoudre : $C(x)=16 \ssi 0,05x^2-0,1x-13,55$
   $\Delta = (-0,1)^2-4\times 0.05\times (-13,55)=2,72 >0$
   Les solutions de cette équation sont donc :
   $x_1=\dfrac{0,1-\sqrt{2,72}}{2\times 0,05}\approx -15,5$
   $x_2=\dfrac{0,1+\sqrt{2,72}}{2\times 0,05}\approx 17,5$
   On peut donc produire environ $17,5$ tonnes de peinture pour un coût de fabrication de $16~000$ euros.
   $\quad$
3. a.
   
   b. Graphiquement, l’entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre $4,5$ et$ 10,9$ tonnes de peinture.
   $\quad$

Partie B

1. $f(x)=\dfrac{0,05x^2-0,1x+2,45}{x}=0,05x-0,1+\dfrac{2,45}{x}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} f'(x)&=0,05-\dfrac{2,45}{x^2}\\
   &=\dfrac{0,05x^2-2,45}{x^2} \\
   &=\dfrac{0,05\left(x^2-49\right)}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $f'(x)$ est du signe de $x^2-49=(x-7)(x+7)$
   $\quad$
4. a. La fonction $f$ est minimale quand $x=7$.
   Par conséquent, le coût unitaire est minimal quand l’entreprise produit $7$ tonnes de peinture.
   $\quad$
   b. Le coût unitaire minimal est alors de $600$ euros.
   $\quad$
   c. Le bénéfice réalisé pour une production de $7$ tonnes de peinture est égale à :
   $\begin{align*} B&=670\times 7-1~000C(7) \\
   &=490€
   \end{align*}$
5. Le bénéfice réalisé quand l’entreprise produit $7,5$ tonnes de peinture est :
   $\begin{align*} B’&=670\times 7,5-1~000C(7,5) \\
   &=512,5>490
   \end{align*}$
   La valeur trouvée à la question 4.c. n’est donc pas le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser.
   $\quad$

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