Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. Le CSBM en 2005 est donné par $114,6 \times \left(1+\dfrac{29,2}{100}\right) \approx 148,1$
   $\quad$
2. Le taux d’évolution global entre 2000 et 2011 est $t=\dfrac{180-114,6}{114,6}\approx 0,571$ soit $57,1\%$
   $\quad$
3. Soit $t$ le taux annuel moyen d’augmentation entre 2000 et 2011.
   On a donc :
   $\begin{align*} 114,6\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{11} = 180 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{11}=\dfrac{180}{114,6} \\\\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} \\\\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} -1\\\\
   &\ssi t=100\left[\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} -1\right]
   \end{align*}$
   Par conséquent $t\approx 4,2$.
   Le taux annuel moyen d’augmentation entre 2000 et 2011 est environ de $4,2\%$.
   $\quad$
4. a. En 2004, le CSBM est de $114,6\times \left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)\approx 119,4$.
   $\quad$
   b. $180\times \left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)^4\approx 212,2 > 200$
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$
5. a. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=5,20x+149,53$.
   $\quad$
   b. $5,2\times 10+149,53=201,53$
   En utilisant cet ajustement, la CSBM depassera 200 milliards d’euro en 2015.
   $\quad$

Exercice 2

Partie 1 : utilisation d’un tableur

1. On peut saisir $=B2-30$.
   $\quad$
2. On peut saisir $=C2*0,9$.
   $\quad$
3. On peut saisir $=SOMME(B2:B13)$.
   $\quad$

Partie 2 : comparaison de deux suites

1. a. $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1=400$ et de raison $r=30$.
   $\quad$
   b. $u_{12}=400-11\times 30 =70$.
   $\quad$
   c. On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   &A&B&C\\
   \hline
   1& &\text{Plan }1&\text{Plan }2\\
   \hline
   2&1^{\text{er}}\text{ versement mensuel}&400&400,00\\
   \hline
   3&2^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&370&360,00\\
   \hline
   4&3^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&340&324\\
   \hline
   5&4^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&310&291,60\\
   \hline
   6&4^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&280&262,44\\
   \hline
   7&6^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&250&236,20\\
   \hline
   8&7^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&220&212,58\\
   \hline
   9&8^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&190&191,32\\
   \hline
   10&9^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&160&172,19\\
   \hline
   11&10^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&130&154,97\\
   \hline
   12&11^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&100&139,47\\
   \hline
   13&12^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&70&125,52\\
   \hline
   14&\text{ TOTAL}&2~820&2~870,28\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. a. $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1=400$ et de raison $q=0,9$.
   $\quad$
   b. $v_{12}=400\times 0,9^{11}\approx 125,52$
   $\quad$
   c. voir question 1.c.
   $\quad$
3. C’est donc le Plan 2 qui est assure à Jean la somme épargnée la plus élevée.
   $\quad$

Exercice 3

1. Q1 : $P_A\left(\overline{B}\right)=1-0,2=0,8$
   $\quad$
   Q2 : $p(B)=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right) = 0,15\times 0,2+0,85\times 0,6=0,54$
   $\quad$
2. Q3 : $p(X<59)=p(X<\mu)=0,5$
   $\quad$
   Q4 : $p(58,6\le X\le 59,4)\approx 0,954$
   Un intervalle de fluctuation au seuil approximatif de $95\%$ de la variable $X$ est $[58,6;59,4]$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

1. La production de $50$ tonnes de croquettes coûte environ $51~500$ euros.
   $\quad$
2. Pour un coût de fabrication de $100~000$ € on peut produire environ $72$ tonnes de croquettes.
   $\quad$
   
   

Partie B : étude de la recette

1. Voir graphique.
   $\quad$
2. Si $x=10$ la courbe correspondant aux coûts est au-dessus de celle des recettes.
   Elle ne réalise donc pas de bénéfice.
   $\quad$

Partie C : étude du bénéfice

1. $B'(x)=-3x^2+2\times 105x-1~800 = -3x^2+210x-1~800$.
   $\quad$
2. $\Delta = 210^2-4\times (-3)\times (-1~800) = 22~500>0$.
   Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{-210-\sqrt{22~500}}{-6}=60$ et $x_2=\dfrac{-210+\sqrt{22~500}}{-6}=10$.
   Puisque le coefficient principal est $a=-3$ alors $B'(x)$ est :
   – négatif à l’extérieur des racines soit sur $[0;10]$ et $[60;80]$
   – positif entre les racines soit sur $[10;60]$
   – nul pour $x=10$ et $x=60$
   $\quad$
3. On obtient le tableau de variations suivant :
   
4. Pour réaliser un bénéfice maximal, l’entreprise doit vendre $60$ tonnes de croquettes.
   Le bénéfice est alors de $50~000$ euros.
   $\quad$
5. En utilisant la formule $C(x)=R(x)-B(x)$ on trouve $C(x)=x^3-105x^2+3~700x+4~000$.
   Si on appelle $t$ le prix d’une tonne de croquettes.
   Le nouveau bénéfice est donné par :
   $B_1(x)=tx-C(x)$
   On essaye différentes valeurs pour $t$ avec un pas de $100$ dans un premier temps et on trace la fonction $M$ définie par $M(x)=90~000-B_1(x)$. On cherche les valeurs de $t$ pour lesquels $M$ n’est pas toujours négative.
   On trouve par exemple que c’est le cas pour $t=2~600$.
   On peut ensuite affiner en prenant un pas de $50$ à partir de $2~500$ puis de $10$ et ensuite de $1$.
   Il semblerait que le bénéfice maximal soit supérieur ou égal à $90~000$ euros dès que $t\ge 2~545$.