TS – Amérique du Sud nov 2014

Amérique du Sud – Bac – TS

Mathématiques – Correction – Novembre 2014

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $P(410 \le X \le 450) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)$ $\approx 0,954$
    $\quad$
  2. On cherche donc :
    $\begin{align} P(68 \le Y \le 70) = 0,97 & \Leftrightarrow P(68 – 69 \le Y – 69 \le 70 – 69) = 0,97 \\\\
    & \Leftrightarrow P\left(\dfrac{-1}{\sigma} \dfrac{Y – 69}{\sigma} \le \dfrac{1}{\sigma} \right) = 0,97
    \end{align}$
    La variable aléatoire $\dfrac{Y – 69}{\sigma}$ suit donc la loi normale centrée réduite.
    On a ainsi : $ \dfrac{1}{\sigma} \approx 2,17  \Leftrightarrow \sigma  \approx \dfrac{1}{2,17}  \Leftrightarrow \sigma \approx 0,46$

Partie B

On a $n = 250$ et $p=0,98$.
On a donc $n = 250 \ge 30$, $np = 245 \ge 5$ et $n(1-p) = 5 \ge 5$.
Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.
On a ainsi :
$\begin{align} I_{250} & = \left[0,98 – 1,96 \sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{250}};\dfrac{233}{250} + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,98 \times 0,02}{250}}\right]\\\\
& \approx [0,962;0,998]
\end{align}$
La fréquence observée est $f = \dfrac{233}{250} = 0,932 \notin I_{250}$. Cela signifie donc, qu’au risque de $5\%$, l’affirmation de l’entreprise est remise en question.

 

Partie C

  1. $\quad$
    TS-amerique du sud-nov2014-ex1
  2. On cherche donc $p(A \cap C) = 0,4 \times 0,98 = 0,392$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align} p(C) & = p(A \cap C) + p(B \cap C) \\\\
    & = 0,392 + 0,6 \times 0,95 \\\\
    &= 0,962
    \end{align}$
    $\quad$
  4. On cherche ici à calculer $p_{\overline{C}}(A) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,4 \times 0,02}{1 – 0,962}$ $\approx 0,211$.

 

Exercice 2

  1. Déterminons les coordonnées des différents vecteurs.
    $\vec{AB}(1;-3;2)$ $\quad$ $\vec{AC}(-1;-2;-1)$ $\quad$ $\vec{BC}(-2;1;-3)$
    Donc $AB^2 = 1 + 9 + 4 = 14$ $\quad$ $AC^2 = 1 + 2 + 1 = 4$ et $BC^2 = 4 + 1 +9 = 14$
    On constate donc que $AB = BC$ mais $AC^2 \neq AB^2 + BC^2$. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
    Réponse B
    $\quad$
  2. Un vecteur normal est $\vec{n}(2;-1;3)$. Ce vecteur est donc un vecteur directeur de $d$.
    Par conséquent, seules les propositions c et d peuvent convenir.
    Cette droite doit passer par le point $A(2;5;-1)$.
    Si on considère la représentation paramétrique c, en prenant $t= 2$ alors : $\begin{cases} x = 6 – 4 = 2 \\\\y = 3 + 2 = 5\\\\z= 5 – 6 = -1 \end{cases}$.
    Par conséquent la bonne réponse est la réponse C$\quad$
  3. $\vec{MA}.\vec{MB} = 0 \Leftrightarrow  AMB$ rectangle en $M$ $\Leftrightarrow$  $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Les points $M$ et $N$ appartiennent tous les deux à un plan parallèle au plan $EFG$, auquel appartient la droite $(IJ)$. Ce ne peut donc pas êtres les réponses a et b.
    La droite parallèle à $(MN)$ passant par $J$ coupe $[EF]$ en son milieu. Par conséquent cette droite et $(IJ)$, qui appartiennent toutes les deux au plan $EFG$ ne sont pas parallèles.
    Réponse C
    $\quad$

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Conjecture

  1. $u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2  – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
    $\quad$
    $u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$
    $\quad$
  2. On a ensuite $u_3 \approx 2,99219$ et $u_4 \approx 2,99997$
    $\quad$
  3. Il semblerait donc que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers $3$.

Partie B : Validation des conjectures

  1. $\quad$
    $\begin{align} v_{n+1}  &= u_{n+1} – 3 \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2} – 3 \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{9}{2}  \\\\
    &= – \dfrac{1}{2} \left(u_n^2 – 6u_n + 9\right) \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} (u_n – 3)^2 \\\\
    &= – \dfrac{1}{2} v_n^2
    \end{align}$
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n = 0$ alors $v_0 = 2 – 3 = -1$ donc $-1 \le v_0 \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $-1 \le v_n \le 0$.
    Ainsi $ 0 \le v_n^2 \le 1$ et $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0$ soit $-1 \le v_{n+1} \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est également vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le v_n \le 0$.
    $\quad$
  3. a. $v_{n+1} – v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 – v_n = -v_n \left(-\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$
    $\quad$
    b. On sait que $-1 \le v_n \le 0$ donc $-v_n \ge 0$
    De plus $-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0$ soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1$. Par conséquent $\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0$
    Finalement, $v_{n+1}-v_n \ge 0$.
    La suite $(v_n)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. $\ell = -\dfrac{1}{2}\ell^2 \ssi \ell + \dfrac{1}{2}\ell^2 = 0 \ssi \ell \left(1 + \dfrac{1}{2}\ell \right) = 0$
    Cela signifie donc que $\ell = 0$ ou $1 + \dfrac{1}{2}\ell = 0$ (et donc $\ell=-2$).
    On sait que $\ell \in [-1;0]$. Par conséquent $\ell = 0$.
    $\quad$
  6. On sait que :
    –    la suite $(v_n)$ est croissante et converge vers $0$
    –    $u_n = v_n + 3$ pour tout entier naturel $n$
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est également croissante et converge vers $3$.
    Les conjectures de la partie A sont donc validées.

 

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a ainsi $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,1b_n$ et $b_{n+1} = 0,6a_n + 0,3b_n$.
    On a donc $M = \begin{pmatrix}  0,2 & 0,1 \\\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}$
  2. $U_1 = M \times U_0 = \begin{pmatrix} 16 \\\\48 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    $U_2 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 8 \\\\ 24 \end{pmatrix}$
  3. On a $U_3 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 4 \\\\ 12 \end{pmatrix}$
    $U_4 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 6 \end{pmatrix}$
    $U_5 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}$
    Par conséquent au bout de $5$ heures, il ne reste plus qu’un seul véol dans la station A.

Partie B

  1. a. $V = M \times V + R \Leftrightarrow$ $V – M \times V = R \Leftrightarrow (I – M) \times V = R $ $\Leftrightarrow R \times N = R$
    $\quad$
    b. Puisque $N$ est inversible on a ainsi $V = N^{-1} \times R = \begin{pmatrix} 1,4 & 0,2\\\\1,2 & 1,6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align} w_{n+1} &= V_{n+1} – V = M \times V_n + R – V \\\\
    &=M \times V_n + R – (M \times V + R) \\\\
    &=M \times V_n – M \times V \\\\
    &= M \times (V_n – V) \\\\
    &= M \times W_n
    \end{align}$
    $\quad$
    b. $W_0= V_0 – V = \begin{pmatrix} 6 \\\\8 \end{pmatrix}$
    $W_n = M_n \times W_0 = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2 \times 6 + 0,1 \times 0,1 \\\\0,6 \times 6 + 0,3 \times 8 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} 2\\\\6\end{pmatrix}$
    On a $V_n = W_n + V = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix}2\\\\6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a donc $a_n = 2 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 44$ et $b_n = 6 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 52$.
    or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 44$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n = 52$.
    Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B se stabilise donc.

Exercice 4

Partie A : modélisation de la partie supérieur du portail

  1. a. $f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x) = \text{e}^{-4x} + \left(x + \dfrac{1}{4} \right) \times (-4) \text{e}^{-4x} = \text{-4x} + (-4x – 1)\text{e}^{-4x} $ $=(1 – 4x – 1)\text{e}^{-4x}$ $=-4x \text{e}^{-4x}$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;2]$ $-4x \le 0$ et $\text{e}^{-4x} > 0$.
    Par conséquent $f'(x) \le 0$ sur [$0;2]$ et la fonction $f$ est décroissante sur $[0;2]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ atteint donc son maximum en $0$ sur $[0;2]$
    Or $f(0) = \dfrac{1}{4} + b$.
    On veut donc que $\dfrac{1}{4} + b = \dfrac{3}{2}$ soit $b = \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$.
    $\quad$

Partie B : détermination d’une aire

  1. La fonction $F$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align} F'(x) &= -\dfrac{1}{4}\text{e}^{-4x} – 4\left(-\dfrac{x}{4} – \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\
    &= \left(-\dfrac{1}{4} + x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\
    &= \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\
    &= f(x)
    \end{align}$
    Par conséquent la fonction $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur $[0;2]$.
    $\quad$
  2. L’aire de chaque vantail est donc donnée par :
    $\mathscr{A} = \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x = F(2) – F(0)$
    Or $F(2) = -\dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} + \dfrac{5}{2}$ et $F(0) = -\dfrac{1}{8}$
    Donc $\mathscr{A} = \dfrac{21}{8} – \dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} \approx 2,62 \text{ m}^2$.
    $\quad$

Partie C : utilisation d’un algorithme

  1. On considère la planche numéro $k$.
    Sa largeur est : $ 0,12$
    Sa longueur est :
    $\begin{align} f\left((0,05+0,12)k\right)-0,05 &= f(0,17k)-0,05 \\\\
    &= \left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{5}{4} – 0,05 \\\\
    &= \left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{6}{5}
    \end{align}$.
    Son aire est donc $\mathscr{A}_k = 0,12 \times  \left(\left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{6}{5}\right)$.
    $\quad$
  2. Variables :
    $\quad$ Les nombres $X$ et $S$ sont des nombres réels.
    Initialisation :
    $\quad$ On affecte à $S$ la valeur $0$
    $\quad$ On affecte à $X$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant Que $X + 0,17 < 2$
    $\qquad$ $S$ prend la valeur $S + 0,12 \times \left( \left(X + \dfrac{1}{4}\right) \text{e}^{-4X} + \dfrac{6}{5}\right)$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X + 0,17$
    $\quad$ Fin de Tant Que
    Affichage :
    $\quad$ On affiche $S$