E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=3\times \dfrac{10^n}{2^{n+1}}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite :

a.arithmétique de raison $3$.
b. géométrique de raison $3$.
c. arithmétique de raison $5$.
d. géométrique de raison $5$.

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=3\times\dfrac{10^n}{2^{n+1}} \\
&=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10^n}{2^n} \\
&=\dfrac{3}{2}\times 5^n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé$\Oij$ du plan, on considère les points $A(-2; 1)$ et $B(2; 4)$.
La droite $\Delta$ passe par le point $C(-1; 1)$ et admet le vecteur $\vect{AB}$ pour vecteur normal.
La droite $\Delta$ admet pour équation cartésienne :

a. $3x-4y+7=0$
b. $4x+3y+1=0$
c. $3x-4y-1=0$
d. $4x+3y+7=0$

$\quad$

Correction Question 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $\Delta$ est donc de la forme $4x+3y+c=0$.
Le point $C(-1;1)$ appartient à cette droite. Ainsi :
$-4+3+c=0 \ssi c=1$
Une équation de la droite $\Delta$ est donc $4x+3y+1=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, l’unique solution de l’équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est :

a. $\dfrac{\pi}{3}$
b. $-\dfrac{5\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 2\cos(x+\pi)+1=0&\ssi -2\cos(x)+1=0\\
&\ssi \cos(x)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Donc, dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la solution est $\dfrac{\pi}{3}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}$.
La fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par :

a. $f'(x)=\dfrac{\e}{1+\e}$
b. $f'(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
c. $f'(x)=1$
d. $f'(x)=\dfrac{-\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^x\right)-\e^x\times \e^x}{\left(1+\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=-0,5(x+2)^2+4,5$.
On peut affirmer que :

a. Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous:

b.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un sommet de coordonnées $(4,5; -2)$.
c. Le signe de $f(x)$ est donné ci-dessous :

d. La fonction $f$ admet un minimum en $-2$ égal à $4,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a $f(x)=-0,5\left(x-(-2)\right)^2+4,5$
Le coefficient principal est $a=-0,5<0$. La fonction $f$ admet donc un maximum dont l’abscisse est $-2$. On exclut donc les réponses a.b., et d.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

  • $72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
  • Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
  • $20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
  • $36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

  • $R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
  • $B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

  1. a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

    $\quad$
    c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
    $\quad$
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&&&&\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
    Donc $P(R\cap B)=0,36$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,36+0,28\times 0,8\\
    &=0,584\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
    &=0,28\times 0,2 \\
    &=0,056\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,28\times 0,8 \\
    &=0,224\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
    &\approx 20,83\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par : $f(x)=60x\e^{-0,5x}$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-30(x-2)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
    $\quad$
  4. Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses ?
    $\quad$
  5. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=60\e^{-0,5x}+60x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=(60-30x)\e^{-0,5x}\\
    &=-30(x-2)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-30(x-2)$.
    Or $-30(x-2)=0 \ssi x-2=0 \ssi x=2$
    et $-30(x-2)>0\ssi x-2<0 \ssi x<2$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2[$;
    $\bullet$ $f'(2)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2;10]$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. $f'(x)=0 \ssi x=2$
    La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;120\e^{-1}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=60$ et $f(0)=0$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=60x$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le 1$\ier$ janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à $650$ euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1$\ier$ janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$
le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier de l’année (2019 $+ n$), pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

  1. a. Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier 2020.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
    $\quad$
  2. Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2019$+\text{A}$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1& \textbf{def somme(A):}\\
    2& \hspace{1cm}\textbf{S=0}\\
    3& \hspace{1cm}\textbf{n=0}\\
    4& \hspace{1cm}\textbf{while n<=A:}\\
    5& \hspace{2cm}\textbf{S=S+7800*1.0152**n}\\
    6& \hspace{2cm}\textbf{n = n + 1}\\
    7& \hspace{1cm}\textbf{return S}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de $\text{A}$ donne les résultats ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{7800.0}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{15718.560000000001}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{23757.482112000005}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{31918.595840102407}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{8}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{74623.04180934158}
    \end{array}$$
    a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel $\text{somme(1)}$.
    $\quad$
    b. Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Au 1$\ier$ janvier 2020, le loyer est de $650\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right)=659,88$ euros.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right) \\
    &=1,0152u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=650\times 1,0152^n$.
    En 2027, on a $n=8$.
    $u_8=650\times 1,0152^8\approx 733,38$
    En 2027, le loyer sera, selon ce modère, environ égal à $733,38$ euros.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de la somme totale des loyers perçus en 2019 et 2020.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=3$ et en 2027 on a $n=8$.
    Ainsi la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 est :
    $\begin{align*} S&=\text{somme(8)}-\text{somme(2)} \\
    &=74623.04180934158-23757.482112000005\\
    &\approx 50~866\end{align*}$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(2 ;-1)$ et de rayon $4$ a comme équation :

a. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
b. $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y-1)^2=4$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation cartésienne du cercle est :
$(x-2)^2+\left(y-(-1)\right)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y+1)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la droite $(d)$ d’équation cartésienne $2x-y+1=0$.
Sachant que la droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, une équation de $\left(d_1\right)$ peut être :

a. $x-2y+2=0$
b. $x+2y-1=0$
c. $-2x+y-1=0$
d. $x-y+2=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
La droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$ donc $\vec{u}$ est normal à la droite $(d)$.
Ainsi une équation cartésienne de $\left(d_1\right)$ est de la forme $x+2y+c=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

L’expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\sin(x)$
b. $0$
c. $2\sin(x)$
d. $\cos(x)-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\sin(x)-\sin(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+x-5$.
Le tableau de variations de cette fonction est :

$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-3<0$. Cette fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
L’abscisse de son sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{1}{-6}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

À un jeu, la variable aléatoire donnant le gain algébrique $G$ suit la loi de probabilité suivante (en euros) :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur de $\boldsymbol{G}$}&-25&-3&x&100\\
\hline
\text{Probabilité}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&0,3&0,2\\
\hline
\end{array}$$
Sachant que l’espérance de $G$ est égale à $\dfrac{38}{3}$, la valeur de $x$ est :

a. $0$
b. $5$
c. $20$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &E(G)=\dfrac{38}{3}\\
\ssi~&-25\times \dfrac{1}{3}-3\times \dfrac{1}{6}+0,3x+100\times 0,2=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~&-\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{2}+0,3x+20=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~& 0,3x=1,5\\
\ssi~& x=5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimée en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Calculer $f'(t)$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
    $\quad$
  4. On considère la fonction seuil ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
    &=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
    $\quad$
  3. Trois secondes après avoir pincé la corde
    $\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
    &=120\e^{-0,42}\\
    &\approx 78,8\end{align*}$
    La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
    $\quad$
  4. Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
    Or $f(4.9) \approx 60,43$  et $f(5)\approx 59,59$.
    La fonction renvoie donc la valeur $5$.
    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
    Cette fonction ne nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

  • $1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
  • $2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

  1. On considère la feuille de calcul ci-dessous :

    Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  2. a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
    $\quad$
    c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
    \hline
    w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
    \hline
    \end{array}$$
    À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a pu saisir $=B2*1,03$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
    $\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
    &=1~000+40n-40\\
    &=960+40n\end{align*}$
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
    C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation deviendra supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

  • Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
  • Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

  1. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
    On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
    &=0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
    $\quad$
    c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,4\times 0,75+0,18\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
    &\approx 0,81\end{align*}$
    La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
    $\quad$
  2. $X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
    $\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
    &=1-0,48\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=0,48\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, l’expression $\e^x\times \e^{x+2}$ est égale à :

a. $\e^{2x+2}$
b. $\e^{x^2+2}$
c. $\e^{\frac{x}{x+2}}$
d. $\e^{x^2+2x}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^x\times \e^{x+2}&=\e^{x+x+2}\\
&=\e^{2x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $g$ une fonction définie et dérivable en $1$. Dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=g(1)\times (x-1)-g'(1)$
b. $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$
c. $y=g'(1)\times (x+1)-g(1)$
d. $y=g(1)\times (x+1)+g'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $1$ est $y=g'(1)\times (x-1)+g(1)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 7)$ et passant par le point $A(-2 ; 3)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est :

a. $-7x+4y-26=0$
b. $4x+7y-13=0$
c. $-7x+4y+26=0$
d. $4x-7y+29=0$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(4 ; 7)$.
Une équation cartésienne de $(d)$ est donc de la forme $7x-4y+c=0$.
Le point $A(-2;3)$ appartient à la droite.
Par conséquent $-14-12+c=0 \ssi c=26$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $7x-4y+26=0$ ou encore $-7x+4y-26=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

$t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(4+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à :

a. $-\dfrac{4}{3}$
b. $0$
c. $\dfrac{4}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

$\quad$

Correction Question 4

$\cos(t)=\dfrac{2}{3}$ donc $\cos(-t)=\dfrac{2}{3}$
et
$\begin{align*} \cos(t+4\pi)&=\cos(t+2\times 2\pi)\\
&=\cos(t) \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Ainsi $\cos(4+4\pi)+\cos(-t)=\dfrac{4}{3}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère, dans un repère du plan, la parabole $(P)$ d’équation :
$y = -x^2+6x-9$. La parabole $(P)$ admet :

a. aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses
b. un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses
c. deux points d’intersection avec l’axe des abscisses
d. trois points d’intersection avec l’axe des abscisses

$\quad$

Correction Question 5

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} -x^2+6x-9=0 &\ssi x^2-6x+9=0 \\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x=3\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.
On considère un rectangle $ABCD$ d’aire $49$ m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.
On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

  1. a. Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
    $\quad$
    b. Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$.
On admet que $𝑓$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout $x>0$, $$f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire les dimensions du rectangle d’aire $49$ m² dont le périmètre est minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. L’aire du rectangle est égale d’une part à $xy$ et d’autre part à $49$ m$^2$.
    Par conséquent $xy=49 \ssi y=\dfrac{49}{x}$.
    Le périmètre du rectangle est :
    $\begin{align*} P&=2(x+y)\\
    &=2x+2y\\
    &=2x+\dfrac{98}{x}\end{align*}$.
    $\quad$
    b. Si $x=10$ alors le périmètre vaut $2\times 10+\dfrac{98}{10}=29,8$ m.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{98}{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-98}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $x^2>0$ sur $]0;+\infty[$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-98$.
    Or :
    $\begin{align*} 2x^2-98&=2\left(x^2-49\right)\\
    &=2(x-7)(x+7)\end{align*}$
    Sur $]0;+\infty[$ on a $2(x+7)>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Le périmètre du rectangle d’aire $49$ m$^2$ est minimal quand $x=7$. Il s’agit alors d’un carré de côté $7$ m.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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