E3C – Séries technologiques – Automatismes – EC2

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le nombre d’adhérents d’un club de sport est passé de 250 en 2018 à 210 en 2019.
    Déterminer le taux d’évolution du nombre d’adhérents entre 2018 et 2019.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{210-250}{250}=\dfrac{-40}{250}=-\dfrac{4}{25}=-\dfrac{16}{100}$
    Le taux d’évolution du nombre d’adhérents est donc de $-16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(x-3)(2x+5)$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (x-3)(2x+5)&=2x^2+5x-6x-15\\
    &=2x^2-x-15\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=3x-6$.

  1. Calculer $g\left(\dfrac{2}{7}\right)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} g\left(\dfrac{2}{7}\right)&=3\times \dfrac{2}{7}-6\\
    &=\dfrac{6}{7}-\dfrac{42}{7}\\
    &=-\dfrac{36}{7}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 3x-6=2&\ssi 3x=8 \\
    &\ssi x=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
    L’antécédent de $2$ par la fonction $g$ est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner le tableau de signes de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x-6=0 \ssi 3x=6 \ssi x=2$ et $3x-6>0\ssi 3x>6\ssi x>2$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

On a tracé dans le repère ci-dessous une droite $D$ et $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;6]$. Répondre aux
questions suivantes par lecture graphique :

  1. Donner le tableau de signes de la fonction 𝑓 sur l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    D’après le graphique on obtient le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer $f(3)$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(3)=6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Résoudre $f(x)=6$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    Deux points de la courbe $C_f$ ont pour ordonnées $6$ : celui d’abscisse $3$ et celui d’abscisse $5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $3$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre $f(x)\pg 3$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\pg 3$ pour tout $x\pg 2$.
    L’ensemble solution est donc $[2;6]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Donner une équation de la droite $D$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $4$.
    Pour un déplacement d’une unité vers la droite on descend de $2$ unités. Le coefficient directeur est donc $-2$.
    Une équation de la droite $D$ est par conséquent $y=-2x+4$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $r$ la fonction définie sur $[0;110]$ par $r(x)=-0,5x^2+55x$.
On donne un tableau de valeurs de $r$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100&110\\
\hline
r(x)&0&500&900&1200&1400&1500&1500&1400&1200&900&500&0\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelles sont les racines de $r(x)$?
    $\quad$
    b. En déduire la forme factorisée de $r(x)$.
    $\quad$
  2. a. Donner l’allure de la portion de parabole qui représente la fonction $r$.
    Justifier.
    b. Déterminer les coordonnées du sommet de la portion de parabole.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $r$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. D’après le tableau $r(0)=0$ et $r(110)=0$.
    $r$ est une fonction du second degré qui s’annule en deux réels distincts.
    Les deux racines de $r$ sont donc $0$ et $110$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;110]$ on a :
    $r(x)=-0,5x(x-110)$.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient principal de la fonction du second degré $r$ est $a=-0,5<0$. La fonction $r$ est donc d’abord croissante puis décroissante.
    On obtient donc l’allure suivante :$\quad$
    b. L’abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{55}{1}=55$.
    $r(55)=1~512,5$
    Le sommet de la portion de parabole a donc pour coordonnées $(55;1~512,5)$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La glycémie est la concentration massique exprimée en gramme par litre (g.L$^{-1}$) de sucre dans le sang. Le diabète se caractérise par une hyperglycémie chronique, c’est-à-dire un excès de sucre dans le sang et donc une glycémie trop élevée.

Une glycémie est normale lorsqu’elle est comprise entre $0,7$ g.L$^{-1}$$ et $1,1$ g.L$^{-1}$ à jeun et lorsqu’elle est inférieure à $1,4$ g.L$^{-1}$, une heure et trente minutes après un repas.
Lorsque l’on suspecte un diabète, on pratique un test de tolérance au glucose.
Lorsqu’il est à jeun, le patient ingère $75$ g de glucose au temps $t= 0$ ($t$ est exprimé en heure).

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;3]$, la glycémie du patient, exprimée en g.L$^{-1}$, $t$ heures après l’ingestion, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par : $$f(t)=0,3t^3-1,8t^2+2,7t+0,8$$

  1. Que fait la glycémie du patient à jeun?
    $\quad$
  2. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0;3]$, $$f'(t)=0,9(t-1)(t-3)$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0;3]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$.
    $\quad$
  3. a. Au bout de combien d’heures la glycémie du patient est-elle maximale et que vaut-elle ?
    $\quad$
    b. Peut-on suspecter un diabète chez le patient ? Expliquer.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=0,8$.
    La glycémie du patient à jeun vaut $0,8$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in [0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,3\times 3t^2-1,8\times 2t+2,7 \\
    &=0,9t^2-3,6t+2,7\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} 0,9(t-1)(t-3)&=0,9\left(t^2-3t-t+3\right) \\
    &=0,9\left(t^2-4t+3\right) \\
    &=0,9t^3-3,6t^2+2,7\\
    &=f'(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $t-1=0\ssi t=1$ et $t-1>0 \ssi t>1$
    $t-3=0\ssi t=3$ et $t-3>0\ssi t>3$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :


    $\quad$

  3. a. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ la glycémie est maximale au bout d’une heure et vaut $2$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
    b. $f(1,5)=1,8125>1,4$
    On peut donc suspecter un diabète chez le patient.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – EC2

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Dans une population, une personne sur $250$ est porteuse d’un gène qui entraîne, à l’âge adulte, une maladie handicapante.

  1. On choisit trois personnes au hasard dans cette population, qui est suffisamment grande pour que ce choix puisse être assimilé à trois tirages successifs avec remise.
    a. Justifier qu’il s’agit de la répétition de trois épreuves aléatoires et indépendantes de Bernoulli dont on donnera le paramètre.
    $\quad$
    b. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
    $\quad$
    c. En déduire la probabilité qu’au moins une personne parmi les trois soit porteuse du gène.
    $\quad$
  2. On teste des personnes au hasard dans cette population jusqu’à ce qu’on obtienne une personne porteuse du gène.
    On veut modéliser cette expérience à l’aide d’une fonction qui retourne le nombre de personnes à tester avant d’en trouver une porteuse du gène.
    a. Compléter sur l’annexe, à remettre avec la copie, le programme écrit en langage Python.
    $\quad$
    b. Que permet de conclure l’affichage donné par l’instruction suivante écrite en langage Python ?
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> malade}\textcolor{Mahogany}{()}\\
    \textcolor{Emerald}{575}\end{array}$$
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{rl}
1&\textcolor{blue}{\text{from }}\text{random }\textcolor{blue}{\text{import }} \text{randint}\\
2&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{malade}}\textcolor{Mahogany}{():}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{1}\\
4&\hspace{1cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
5&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{X}\textcolor{Mahogany}{!=}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{:}\\
6&\hspace{2cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{………………}\\
7&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{………………}\\
8&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}
\end{array}$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le choix est assimilé à trois tirages successifs avec remise. Il s’agit de la répétition de trois épreuves aléatoires et indépendantes de Bernoulli de paramètres $p=\dfrac{1}{250}$.
    $\quad$
    b. On appelle $G$ l’événement “la personne est porteuse du gène”.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. La probabilité qu’aucune personne ne soit porteuse du gène est $\left(\dfrac{249}{250}\right)^3$.
    Par conséquent la probabilité qu’au moins une personne parmi les trois soit porteuse du gène est : $1-\left(\dfrac{249}{250}\right)^3$
    $\quad$

  2. a. On obtient le programme suivant :
    $\begin{array}{rl}
    1&\textcolor{blue}{\text{from }}\text{random }\textcolor{blue}{\text{import }} \text{randint}\\
    2&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{malade}}\textcolor{Mahogany}{():}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{1}\\
    4&\hspace{1cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    5&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{X}\textcolor{Mahogany}{!=}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{:}\\
    6&\hspace{2cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    7&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    8&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}
    \end{array}$
    $\quad$
    b. D’après l’affichage, il faut donc tester $575$ personnes pour obtenir une personne porteuse du gène.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer la masse correspondant à $\dfrac{2}{3}$ de $240$ grammes.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{2}{3} \times 240 = 2\times 80=160$.
    Cela correspond donc à $160$ g.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter : « augmenter de $0,3 \%$ revient à multiplier par …… »
    $\quad$
    Correction Question 2

    Cela revient à multiplier par $1+\dfrac{0,3}{100}=1,003$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter : « diminuer de …… $\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$
    Correction Question 3

    $0,86=1-0,14$
    Donc « diminuer de $14\%$ revient à multiplier par $0,86$ »
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Des mesures annuelles ont été relevées dans le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{années}&2015&2016&2017\\
    \hline
    \text{mesures}&&5,00&4,00\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Déterminer le taux d’évolution des mesures entre 2016 et 2017.
    $\quad$
    Correction Question 4.a.

    On a $\dfrac{4,00-5,00}{5,00}=-0,2$
    Il s’agit donc d’une baisse de $20\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
    b. Sachant que le taux de 2015 à 2016 est $+25 \%$, calculer la mesure en 2015.
    $\quad$
    Correction Question 4.b.

    On appelle $x$ la mesure en 2015.
    On a donc $x\left(1+\dfrac{25}{100}\right)=5,00$
    Soit $1,25x=5,00$ et par conséquent $x=\dfrac{5,00}{1,25}=4,00$
    $\quad$.

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  5. Déterminer le taux global d’une hausse de $10 \%$ suivie d’une baisse de $20 \%$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    Le coefficient multiplicateur global est :
    $\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{20}{100}\right) \\
    &=1,1\times 0,8 \\
    &=0,88\\
    &=1-0,12\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse de $12\%$ soit un taux globale de $-12\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Résoudre $2x-(2-x)=7$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $2x-(2-x)=7\ssi 2x-2+x=7 \ssi 3x=9\ssi x=3$
    La solution de l’équation est $3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre $(x+3)^2-8=0$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $(x+3)^2-8=0 \ssi x^2+6x+9-8=0\ssi
    x^2+6x+1=0$
    Le discriminant est $\Delta=36-4=32>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-6-\sqrt{32}}{2}$ et $\dfrac{-6+\sqrt{32}}{2}$.
    $\quad$
    Autre méthode
    $(x+3)^2-8=0 \ssi (x+3)^2=8 \ssi x+3=\sqrt{8}$ ou $x+3=-\sqrt{8}$ $\ssi x=-3+\sqrt{8}$ ou $x=-3-\sqrt{8}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Etudier le signe de $f(x)=4+3x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $4+3x=0 \ssi 3x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{3}$
    $4+3x>0 \ssi 3x>-4 \ssi x>-\dfrac{4}{3}$
    Ainsi :
    – sur $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f(x)<0$;
    – $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=0$;
    – sur $\left]-\dfrac{4}{3};+\infty\right[$ on a $f(x)>0$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Etudier le signe de $h(x)=2x(5-2x)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $2x=0 \ssi x=0$
    $5-2x=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$
    De plus $h(x)=10x-4x^2$
    $h$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-4<0$.
    Par conséquent :
    – sur $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[$ on a $h(x)<0$;
    – $h(0)=0$ et $h\left(\dfrac{5}{2}\right)=0$;
    – sur $\left]0;\dfrac{5}{2}\right[$ on a $h(x)>0$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également réaliser un tableau de signes pour répondre à la question.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une chaîne de montage est constituée d’un tapis roulant et d’un plateau mobile verticalement sur lequel est placée une masse $m$.
On modélise la hauteur du plateau (en centimètres), à l’instant $t$ (en secondes) par la fonction $f$ définie sur $[0; 25]$ par : $f(t)=165-0,15t^2$.

 

  1. Calculer la hauteur du plateau au départ, c’est-à-dire à l’instant $t=0$ seconde.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature de la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé?
    $\quad$
    b. Déterminer la hauteur maximale du plateau et le temps auquel cette hauteur maximale est atteinte.
    $\quad$
  3. La hauteur du tapis roulant est $95$ cm. Déterminer à quel temps $t$, à $0,1$ seconde près, le plateau est à hauteur du tapis.
    $\quad$
  4. Sur le graphique donné en annexe on a placé les points $A$ et $B$ de la courbe représentative de la fonction $f$ d’abscisses respectives $25$ et $20$.
    Déterminer la pente de la droite $(AB)$.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $f(0)=165$.
    Le plateau est situé à $165$ cm de haut au départ.
    $\quad$
  2. a. $f$ est une fonction du second degré. Elle est donc représentée par une parabole.
    $\quad$
    b. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-0,15<0$.
    Ainsi $f$ admet un maximum en $t_0=-\dfrac{b}{2a}=0$.
    La hauteur maximale du plateau est donc de $165$ cm. Elle est atteinte à l’instant $t=0$ seconde.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(t)=95&\ssi 165-0,15t^2=95 \\
    &\ssi -0,15t^2=-70 \\
    &\ssi t^2=\dfrac{70}{0,15}\end{align*}$
    Puisque $t\in [0;25]$ alors la solution de l’équation est $\sqrt{\dfrac{70}{0,15}} \approx 21,6$.
    Le plateau est à la hauteur du tapis environ à l’instant $t=21,6$ seconde.
    $\quad$
  4. Graphiquement le point A a pour coordonnées $(25;71)$ et $B$ a pour coordonnées $(20;105)$.
    Ainsi la pente de la droite $(AB)$ est $\dfrac{105-71}{20-25}=-6,8$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Pour contacter une compagnie d’assurance, deux possibilités sont offertes : par mail ou par téléphone. Le responsable du pôle relation client décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui contactent la compagnie sont satisfaits.
À l’issue de l’enquête, réalisée auprès de 1000 clients qui ont contacté l’agence, les résultats sont les suivants :

  • $370$ ont envoyé un mail à l’agence,
  • parmi ceux-ci, $90 \%$ se sont déclarés satisfaits du traitement de leur demande,
  • parmi les clients qui ont téléphoné, $20 \%$ ont déclaré qu’ils n’étaient pas satisfaits de l’accueil.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

  • $M$ : Le client a contacté l’agence par mail,
  • $S$ : Le client est satisfait.

Les probabilités seront arrondies à $10^{-4}$, si nécessaire.

  1. Donner la valeur des probabilités: $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}(S)$.
    $\quad$
  2. Compléter le tableau représentant la situation donnée en annexe.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client ait envoyé un mail et qu’il ait été satisfait.
    $\quad$
  4. Le responsable a pour objectif qu’il y ait moins de $10\%$ des clients non satisfaits par le contact qu’ils ont eu. Cet objectif est-il atteint ?
    $\quad$
  5. Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait contacté l’agence par mail ?
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{mail}\\
\boldsymbol{(M)}\end{array}&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{téléphone}\\
\boldsymbol{\left(\conj{M}\right)}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Satisfait }\boldsymbol{(S)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\\
\hline
\textbf{Insatisfait }\boldsymbol{\left(\conj{S}\right)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\\
\hline
\textbf{Total}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\phantom{1234}\boldsymbol{1~000}\phantom{1234}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(M)=\dfrac{370}{1~000}=0,37$, $P_M(S)=0,9$ et  $P_{\conj{M}}(S)=1-0,2=0,8$.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{mail}\\
    \boldsymbol{(M)}\end{array}&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{téléphone}\\
    \boldsymbol{\left(\conj{M}\right)}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Satisfait }\boldsymbol{(S)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&333&504&837\\
    \hline
    \textbf{Insatisfait }\boldsymbol{\left(\conj{S}\right)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&37&126&163\\
    \hline
    \textbf{Total}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&370&630&\phantom{1234}\boldsymbol{1~000}\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(M\cap S)&=\dfrac{333}{1~000} \\
    &=0,333\end{align*}$
    La probabilité que le client ait envoyé un mail et qu’il ait été satisfait est égale à $0,333$.
    $\quad$
  4. On a $P\left(\conj{S}\right)=\dfrac{163}{1~000}>0,1$.
    L’objectif n’est donc pas atteint.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{333}{837}\\
    &\approx 0,397~8\end{align*}$
    La probabilité que le client ait contacté l’agence par mail sachant qu’il a été satisfait est environ égale à $0,397~8$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=0,1+0,9x^2-x^3$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=x(1,8-3x)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée en annexe.
    a. Donner les variations de la fonction $f$ par lecture graphique.
    $\quad$
    b. En utilisant les résultats de la question 2., construire sur ce graphique la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,9\times 2x-3x^2 \\
    &=1,8x-3x^2\\
    &=x(1,8-3x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=0,1+0,9-1=0$
    $f'(1)=1\times (1,8-3)=-1,2$
    $\quad$
    b. Une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    C’est-à-dire $y=-1,2(x-1)$ ou $y=-1,2x+1,2$.
    $\quad$
  3. a. Graphiquement, il semblerait que la fonction $f$ soit :
    – strictement décroissante sur $]-\infty;0]$;
    – strictement croissante sur $[0;0;6]$
    – strictement décroissante sur $[0,6;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Une équation de cette tangente est $y=-1,2x+1,2$
    Si $x=0$ alors $y=1,2$
    Si $x=1$ alors $y=0$
    Cette droite passe donc par les points de coordonnées $(0;1,2)$ et $(1;0)$.

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Mettre sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}&=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20} \\
    &=-\dfrac{13}{20}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Donner l’écriture scientifique de $0,045~6$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,045~6=4,56\times 10^{-2}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter l’égalité $10^{-5}\times \ldots\ldots =10^8$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $10^{-5}\times 10^{13}=10^{8}$ car $-5+13=8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $7x^2(4x-6)$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $7x^2(4x-6)=28x^3-42x$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $(5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)&=(5x-3)\left[(3x+1)+4x\right] \\
    &=(5x-3)(7x+1)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x-5)(-x+7) = 0$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-5=0\ssi 2x=5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ ou $-x+7=0\ssi x=7$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{5}{2}$ et $7$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $d=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \ssi ad=bc \ssi d=\dfrac{bc}{a}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Calculer $40\%$ de $70$ €.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{40}{100}\times 70=\dfrac{2~800}{100}=28$.
    $40\%$ de $70$ € représente donc $28$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Un article est passé de $40$ € à $50$ €.
    Quel est le taux d’évolution en pourcentage de cet article ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    On a $\dfrac{50-40}{40}=\dfrac{10}{40}=0,25$
    Le taux d’évolution est donc égal à $25\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. On a représenté une droite D dans le repère ci-dessous.

    Compléter par lecture graphique.
    L’équation réduite de la droite $D$ est : ………………………………….
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $-3$.
    Pour chaque déplacement de $1$ unité vers la droite on descend de $3$ unités : le coefficient directeur est donc $-3$.
    L’équation réduite de $D$ est donc $y=-3x-3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise de recyclage peut produire au maximum $10$ tonnes de plastique recyclé par an. Elle revend la totalité de ce plastique recyclé au prix unitaire de $700$ € la tonne.
On rappelle que :

  • le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique recyclé est défini par $C_M(x) = \dfrac{C_T(x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique recyclé.
  • le coût marginal, noté $C_m(x)$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique recyclé supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit $x$ tonnes.

Les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique recyclé produite (en tonne) ainsi que le segment horizontal représentant le prix de vente unitaire sont tracés dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
Répondre sur la copie aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.

  1. Déterminer le coût moyen issu de la production de $7$ tonnes de plastique recyclé et en déduire le coût total correspondant.
    $\quad$
  2. Quelle est la quantité de plastique recyclé que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal ? Donner ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
    $\quad$
  3. Donner le coût induit par la production d’une tonne supplémentaire lorsque l’entreprise a déjà produit $7$ tonnes de plastique recyclé.
    $\quad$

On considère que l’entreprise réalise des bénéfices lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.

  1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$

On admet que les bénéfices de l’entreprise sont maximum lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.

  1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour que les bénéfices soient maximaux.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après le graphique, le coût moyen issu de la production de $7$ tonnes de plastique recyclé est de $500$ €.
    Le coût total est donc alors $500\times 7=3~500$ €.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, le coût moyen est minimal quand l’entreprise recycle $5$ tonnes de plastique.
    Ce coût minimal est de $400$ €.
    $\quad$
  3. On veut déterminer $C_m(7)$.
    Graphiquement on lit $C_m(7)\approx 1~100$.
    Le coût induit par la production d’une tonne supplémentaire lorsque
    l’entreprise a déjà produit $7$ tonnes de plastique recyclé est environ égal à $1~100$ €.
    $\quad$
  4. Graphiquement, on lit que l’entreprise réalise des bénéfices lorsqu’elle recycle entre $2$ et $9$ tonnes de plastique.
    $\quad$
  5. Graphiquement, on lit que l’entreprise doit produire et vendre $6$ tonnes de plastique pour que les bénéfices soient maximaux.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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