E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré, définie sur $\R$ et représentée par la parabole ci-dessous.

  1. Par lecture graphique :
    a. Donner l’image de $0$ par $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer les racines de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi $f(x)$ peut s’écrire sous la forme $2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Pour trouver un encadrement de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ on a écrit les fonctions Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def f(x):}\\
    2&\quad \text{return 2*(x+1)*(x-2)}\\
    3&\text{def balayage(pas):}\\
    4&\quad \text{x=2}\\
    5&\quad \text{while f(x)<1:}\\
    6&\qquad \text{x=x+pas}\\
    7&\quad \text{return (x-pas,x)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Par exemple, l’appel $\text{balayage(1)}$ renvoie le résultat $(2,3)$:
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    >>>~~\text{balayage(1)}\\
    (2,3)\\
    \hline\end{array}$$
    L’instruction $\text{balayage(0.0001)}$ renvoie le résultat $(2.1583,2.1584)$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Graphiquement on lit que $f(0)=-4$.
    $\quad$
    b. Graphiquement les racines de la fonction $f$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    c. Graphiquement, l’équation $f(x)=1$ possède deux solutions.
    $\quad$
  2. $-1$ et $2$ semblent être les racines de la fonction du second degré $f$.
    Pour tout réel $x$ on peut donc écrire $f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-2)$ soit $f(x)=a(x+1)(x-2)$.
    Ainsi $f(0)=a\times -2$.
    Or $f(0)=-4$ donc $-2a=-4$ soit $a=2$.
    Par conséquent $f(x)=2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un encadrement à $0,000~1$ près de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ est $[2,158~3;2,158~4]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

  1. a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
    $\quad$
  2. On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
    a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
    Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Le volume de la cuve est :
    $\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
    &=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
    &=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
    &=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
    &=12x^2-24x+9\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
    &=3-12+9\\
    &=0\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
    &=27-36+9\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
    Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
    La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
    Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
    Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, $35 \%$ ont choisi l’activité kayak, $25 \%$ l’activité escalade et les autres l’activité équitation. Les filles représentent $30 \%$ des personnes ayant choisi l’activité kayak, $40 \%$ de l’activité escalade et $70 \%$ de l’activité équitation.

  1. À l’aide des données de l’énoncé, compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&&&&\\
    \hline
    \text{Garçons}&&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Calculer, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak.
    $\quad$
  3. On sélectionne au hasard une personne parmi les $200$ adolescents présents dans le centre.
    a. Calculer la probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation.
    $\quad$
    b. Sachant que la personne sélectionnée est une fille, calculer la probabilité qu’elle ait choisi l’équitation.
    $\quad$
  4. Le centre de vacances, qui peut actuellement accueillir jusqu’à $236$ adolescents, va procéder à un agrandissement de ses locaux afin d’augmenter sa capacité d’accueil de $7 \%$ par an sur les cinq prochaines années.
    Combien d’adolescents le centre de vacances pourra-t-il accueillir après ces cinq années ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&21&20&56&97\\
    \hline
    \text{Garçons}&49&30&24&103\\
    \hline
    \text{Total}&70&50&80&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak est $\dfrac{21}{97}$.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation est $\dfrac{24}{200}=0,12$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la personne sélectionnée ait choisi l’équitation sachant que c’est une fille est $\dfrac{56}{97}$.
    $\quad$
  4. $236\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)^5\approx 331$
    Après ces cinq années le centre de vacances pourra accueillir $331$ élèves.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
    $\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
    &=0,9\times 0,8\\
    &=0,72\\
    &=1-0,28\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
    &=0,001~75\\
    \end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

  1. L’écart interquartile de cette série vaut
    $\quad$
    Correction Question 4

    D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
    $\quad$
    Correction Question 5

    D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
    Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
    &\ssi 2x=12\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $(3x-2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
    &=9x^2-12x+4\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $x^3+5x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

    $\quad$
    Correction Question 9

    Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
    &=\dfrac{8}{4}\\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une société d’autoroute s’intéresse à l’affluence quotidienne de véhicules au niveau d’un péage.
Des observations menées entre $14$h et $23$h aboutissent au nuage de points ci-dessous représentant le nombre de véhicules présents au péage selon l’heure d’observation.

  1. Pourquoi semble-t-il pertinent de modéliser l’affluence au péage en fonction du temps par une fonction polynôme du second degré ?

Pour la suite, on décide de modéliser le nombre de véhicules présents au péage en fonction de l’heure de la journée $t$, par la fonction définie sur l’intervalle $[14 ; 23]$ par : $$f(t) = -2t^2+74t-600$$

  1. Selon ce modèle, combien de voitures seront présentes au péage à $20$h$00$ ?
    $\quad$
  2. Toujours selon ce modèle, à quelle heure de la demi-journée l’affluence au péage sera–t-elle maximale ? Quel sera alors le nombre de voitures présentes au péage ?

Pour l’affluence du début de journée (entre $t = 0$ et $t = 12$), le modèle choisi est la fonction $g$ définie sur $[0 ; 12]$ par $g(t) = -0,3t^3+5,2t^2-17,3t+18,6$ dont la courbe est fournie en annexe.
Le responsable du péage sait que lorsque l’affluence dépasse $40$ véhicules, il lui est nécessaire pour fluidifier le trafic, d’ouvrir toutes les voies de paiement.

  1. À quelle heure, à $10$ minutes près, l’affluence est-elle maximale en début de journée ? Combien de véhicules sont présents au péage à cet instant ?
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la tranche horaire durant laquelle toutes les voies doivent être ouvertes.
    $\quad$

Annexe

Le graphique original ne correspondait à la fonction donnée. 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Les points du graphique semblent être placés sur une parabole. Il semble donc judicieux de modéliser l’affluence au péage par une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. $f(20)=80$
    Selon ce modèle, $80$ voitures seront présentes au péage à $20$h$00$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-2<0$.
    La fonction $f$ admet donc un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=18,5$.
    $f(18,5)=84,5$
    Selon ce modèle, l’affluence au péage sera maximale à $18$h$30$. Environ $85$ voitures seront alors présentes au péage.
    $\quad$
  4. D’après le graphique, l’affluence semble être maximale à environ $9$h$30$.
    Il y a alors environ $66$ voitures au péage à cet instant.
    $\quad$
  5. D’après le graphique, il faut ouvrir toutes les voies entre $6$h$15$ et $12$h.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

  1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  5. Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
    \hline
    f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
    &=-0,2x+1,05\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
    $f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. On a $f'(-1)=1,25$
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
    $\quad$
  5. On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On s’intéresse aux immatriculations de voitures particulières neuves durant l’année 2018 en fonction de leur provenance géographique et de leur type de motorisation.
Les résultats sont partiellement reportés dans le tableau donné en annexe (source Service de la Donnée et des Etudes Statistiques) où l’unité est la centaine de voitures arrondie à l’unité. Ainsi le total global de $21~384$ correspond à environ $2~138~400$ nouvelles immatriculations en France métropolitaine.

  1. L’INSEE précise qu’en 2018 on comptait $38,56 \%$ de voitures Diesel parmi les immatriculations de voitures neuves. A l’aide de cette information, compléter le tableau fourni en annexe. On conservera comme unité la centaine de voitures et les résultats seront arrondis à l’unité.
    $\quad$
  2. Un journaliste spécialisé affirme qu’en 2018 un peu moins d’un quart des voitures particulières neuves hybrides ou électriques ont été immatriculées en Île-de-France.
    Cette déclaration vous semble-t-elle correcte ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. Parmi les $137~200$ voitures hybrides ou électriques immatriculées en 2018, on comptait environ $30~900$ purement électriques. On illustre cette situation par un diagramme circulaire donné dans l’annexe 5.
    Quelle est, au degré près, la valeur de l’angle au centre associé à la zone concernant les voitures électriques ?
    $\quad$
  4. Ces chiffres de 2018 permettent aux spécialistes de constater une augmentation de $2,83 \%$ du nombre d’immatriculations de voitures neuves en France métropolitaine par rapport à 2017. Quel était, à la centaine près, le nombre de ces immatriculations en 2017 ?
    $\quad$
  5. Les chiffres de mars 2019 montrent un pourcentage de $6,5 \%$ d’immatriculations de voitures neuves hybrides ou électriques.
    On peut observer que $34 \%$ d’entre elles concernent des voitures purement électriques.
    Quel pourcentage du nombre total des immatriculations de voitures neuves représentent les voitures purement électriques ?
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&&&1~037&17~606\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&&&1~372&21~384\\
\hline
\end{array}$$

 

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&6~658&9~911&1~037&17~606\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&8~246&11~766&1~372&21~384\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\dfrac{335}{1~372}\approx 0,24$.
    L’affirmation du journaliste semble donc correcte.
    $\quad$
  3. $\dfrac{30~900}{137~200}\times 360\approx 81$.
    L’angle au centre associée à la zone concernant les voitures électriques a une mesure environ égale à $81$ °.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre de nouvelles immatriculations en 2017.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{2,83}{100}\right)=2~138~400$
    Par conséquent $1,0283x=2~138~400$
    Donc $x=\dfrac{2~138~400}{1,0283}$
    Ainsi $x\approx 2~079~500$
    Il y avait donc eu environ $2~079~500$ nouvelles immatriculations en 2017.
    $\quad$
  5. $0,34\times 0,065=0,022~1=2,21\%$.
    Les voitures purement électriques représentent donc $2,21\%$ du total des immatriculations de voitures neuves en mars 2019.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Fraction irréductible égale à $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\\
    &=\dfrac{4}{15}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter $\dfrac{14}{3}-\ldots=2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $2=\dfrac{6}{3}$ on a donc $\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{14}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{3}$
    Ainsi $\dfrac{14}{3}-\dfrac{8}{3}=2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter $(2x)^3=\ldots x^3$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $(2x)^3=2^3x^3=8x^3$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Compléter : Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $1+\dfrac{14}{100}=1,14$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après augmentation d’un prix de $50\%$ on obtient $36$ €. Quel est ce prix?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix cherché.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{50}{100}\right)=36$
    Soit $1,5x=36$
    et donc $x=\dfrac{36}{1,5}$
    C’est-à-dire $x=24$ (diviser par $1,5$ revient à diviser par $3$ puis multiplier par $2$)
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Factoriser $3(x+7)-(x+1)(x+7)$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3(x+7)-(x+1)(x+7)&=(x+7)\left[3-(x+1)\right] \\
    &=(x+7)(3-x-1)\\
    &=(x+7)(2-x)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;3]$.

Compléter par lecture graphique.

  1. $f(2)=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $f(2)=0$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Nombre d’antécédents de $-0,2$ par $f$ :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement, il semblerait que la droite d’équation $y=-0,2$ coupe $3$ fois la courbe représentant la fonction $f$.
    $-0,2$ semble donc avoir $3$ antécédents par $f$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la droite $(D)$ ci-dessous.


Compléter par lecture graphique

  1. Équation réduite de $(D)$ : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 9

    Graphiquement, il semblerait que le coefficient directeur de la droite soit $\dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l’origine $1$.
    Une équation réduite de $(D)$ semble donc être $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $A$ est le point de $(D)$ d’ordonnée $3$, son abscisse est : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée augmente d’une unité quand l’abscisse augmente de deux unités.
    L’abscisse du point $A$ est donc $4$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fixe à chacun de ses employés le mode de rémunération mensuel suivant : un salaire net fixe de $1~300$ € accompagné d’une prime ou d’une pénalité.
Si $𝑥$ est le chiffre d’affaire en millier d’euros réalisé par un employé dans le mois, sa prime ou pénalité exprimée en millier d’euros est de $f(x) = 0,01(x^2-2x)$.
Par exemple, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~000$ €, alors $x = 1$ et $f(x) = f(1) = -0,01$. Dans ce cas, l’employé est pénalisé de $0,01$ millier d’euros, c’est-à-dire $10$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300-10 = 1~290$ €.
De même, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $10~000$ €, alors $x = 10$ et $f(x) = f(10) = 0,8$. Dans ce cas, l’employé perçoit une prime de $0,8$ millier d’euros, c’est-à-dire $800$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300 + 800 = 2~100$ €.

  1. a. Si l’employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~500$ €, aura-t-il une prime ou une pénalité ? De quel montant ? Quel sera alors son salaire net mensuel ?
    $\quad$
    b. Mêmes questions avec un chiffre d’affaire mensuel de $20~000$ €.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère du plan dont la graduation de l’axe des abscisses a été effacée.

    a. Montrer que $f(x) = 0,01x(x-2)$.
    $\quad$
    b. Donner les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses.
    $\quad$
    c. À partir du graphique estimer le chiffre d’affaire mensuel à réaliser afin d’obtenir un salaire net mensuel de $1~380$ €.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(1,5)=0,01(1,5^2-2\times 1,5)=-0,007~5$
    L’employé sera donc pénalisé de $0,007~5$ millier d’euros soit $0,75$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300-0,75=1~299,25$ €.
    $\quad$
    b. $f(20)=3,6$
    L’employé reçoit dont une prime de $3,6$ milliers d’euros soit $3~600$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300+3~600=4~900$ €.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=0,01\left(x^2-2x\right) \\
    &=0,01\left(x\times x-2\times x\right)\\
    &=0,01x(x-2)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
    $f(x)=0 \ssi 0,01x(x-2)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $0,01x=0$ ou $x-2=0$ soit $x=0$ ou $x=2$.
    $C_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses $0$ et $2$.
    $\quad$
    b. L’employé reçoit donc une prime de $80$ € soit $0,08$ millier d’euros.
    D’après le graphique cela correspond à un chiffre d’affaire mensuel de $4$ milliers d’euros, c’est-à-dire, $4~000$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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