E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

a. $\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$
b. $\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$
c. $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
d. $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point $A(7 ; 9)$ sur la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le point :

a. $H(7;0,8)$
b. $H(3;4)$
c. $H(4;3,2)$
d. $H(4,5)$

$\quad$

Correction Question 2

Le point $H$ soit appartenir à la droite. On exclut donc la réponse d. puisque les coordonnées du point de vérifient pas l’équation de la droite.
Un vecteur normal à la droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
Le vecteur $\vect{AH}$ doit être colinéaire à $\vec{n}$
Si $H(3;4)$ alors $\vect{AH}\begin{pmatrix}-4\\-5\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AH}=-\vec{n}$.
Ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre $A(-1 ; 3)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-1+y^2=2^2$
b. $x^2+2x+1+y^2-6y+9=2$
c. $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
d. $(x-1)^2+(y+3)^2=2^2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-1)\right)^2+(y-3)^2=2^2$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point $S$ et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de $S$ et l’équation de $\Delta$ sont :

a. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:x=\dfrac{3}{2}$
b. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:y=-\dfrac{7}{4}$
c. $S(3;5)$ et $\Delta:x=3$
d. $S(3;5)$ et $\Delta:y=5$

$\quad$

Correction Question 4

L’abscisse du point $S$ est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-9}{6} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Une équation de $Delta$ est donc $x=x_S$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’inéquation $-3x^2+9x-5>0$. L’ensemble $S$ des solutions de cette inéquation est ($x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1<x_2$ pour les propositions b) et d)) :

a. $\emptyset$
b. de la forme $\left]-\infty;x_1\right[\cup\left]x_2;+\infty\right[$
c. $\R$
d. de la forme $\left]x_1;x_2\right[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=9^2-4\times (-3)\times (-5) \\
&=21\\
&>0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent $S$ est de la forme $\left]x_1;x_2\right[$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
La fonction dérivée de f est notée $f’$.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $C$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
Le point $A$ est le point de la courbe $C$ d’abscisse $-1$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $C$ en $A$.

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
    $\quad$
  2.  Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\pp 0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 2]$ par $f(x)=\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x$.

  1. Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4;2]$, $$f'(x)=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse $-1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  2. On recherche donc les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante.
    Graphiquement, $f'(x)\pp 0$ sur $[-4;-1]\cup[1,5;2]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[-4;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-2x+2,5-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+1,5$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est donc :
    $\begin{align*} \Delta&=0,5^2-4\times (-1)\times 1,5\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Ce polynôme possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-0,5-\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=1,5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-0,5+\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ sur $[-4;-1[\cup]1,5;2]$
    – $f'(x)>0$ sur $]-1;1,5[$
    – $f(-1)=f(1,5)=0$
    $\quad$
  5. Cela signifie donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-4;-1]$ et $[1,5;2]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;1,5]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

  • $I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
  • $S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
    $\quad$
  4. Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
    &=0,65\times 0,02\\
    &=0,013\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
    $\quad$
  3. $I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
    &=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
    &=0,345~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  5. Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
    La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
    $\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
    &=0,030~5\\
    &>0,02\end{align*}$
    L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f-0=c_0=2~500$.

  1. Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
  3. Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
    $\quad$
    Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
    On rappelle que :

    • Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
    • Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
    &=2~500+108\\
    &=2~608\end{align*}$
    L’entreprise a produit $2~108$ flacons en février 2020.
    $\quad$
    On a également :
    $\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
    &=1,038\times 2~500\\
    &=2~595\end{align*}$
    $2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
    $\quad$
    $\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
    &=1,038\times c_n\end{align*}$
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while c<=f :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
    \hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. La production globale sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
    &=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
    &=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
    &=37~128\end{align*}$
    Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
    &=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
    &\approx 37~136\end{align*}$
    Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
    De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
    $\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2-x+6$. On admet que l’une des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle?

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-1<0$.
On exclut donc les propositions a. et b.
L’abscisse du sommet de la parabole est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-1}{-2}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On pose pour tout réel $x$ : $A(x)=\e^{2x}$. On a alors, pour tout $x\in \R$ :

a. $A(x)=2\e^x$
b. $A(x)=\e^{x^2}$
c. $A(x)=\e^x+\e^2$
d. $A(x)=\left(\e^x\right)^2$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^2=\e^{2x}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $2x+y+1=0$ et $3x-2y+5=0$

a. sont sécantes en $A(1 ; 1)$.
b. sont sécantes en $B(1 ; -1)$.
c. sont sécantes en $C(-1 ; 1)$.
d. ne sont pas sécantes.

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+y+1=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-2y+5=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites sont donc sécantes.

On a $2\times (-1)+1+1=0$ et $3\times (-1)-2\times 1+5=0$
Le point $C(-1;1)$ appartient donc aux deux droites.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $x+3y-5=0$ et $3x-y+6=0$ sont :

a. pependiculaires.
b. sécantes non perpendiculaires.
c. parallèles.
d. confondues.

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite d’équation $x+3y-5=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-y+6=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Or :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-3\times 1+1\times 3\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent les droites sont perpendiculaires.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=2}\\
\hspace{0.5cm}\text{k=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while k<n :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u+k}\\
\hspace{1cm}\text{k=k+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur renvoie l’appel $\text{suite(5)}$?

a. $5$
b. $8$
c. $12$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$ et $k$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&2&2&3&5&8&12\\
\hline
k&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\end{array}$

L’appel $\text{suite(5)}$ renvoie donc la valeur $12$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, pour tout évènement $A$, on note $\conj{A}$ son évènement contraire, $P(A)$ sa probabilité et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

Une entreprise a fabriqué en un mois $1~500$ chaudières, dont $900$ chaudières à cheminée et $600$ chaudières à ventouse.
On a constaté, dans ce lot, que :

  • $1 \%$ des chaudières à cheminées ont un défaut
  • $6 \%$ des chaudières à ventouses ont un défaut.

On prélève au hasard le numéro de série d’une chaudière de la production de ce
mois.
On considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à cheminée »
  • $V$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à ventouse »
  • $D$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière défectueuse »
  1. Recopier et compléter sur la copie le tableau à double entrée suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse.
    $\quad$
  4. Déterminer $P_D(V)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. Les évènements $D$ et $V$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&9&36&45\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&891&564&1~455\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    En effet $\dfrac{1}{100}\times 900=9$ et $\dfrac{6}{100}\times 600=36$
    Les autres valeurs s’obtiennent par différence.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P(V\cap D) \\
    &=0,6\times 0,01+0,4\times 0,06\\
    &=0,03\end{align*}$
    La probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse est égale à $0,03$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_D(V)&=\dfrac{P(D\cap V)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,06}{0,03}\\
    &=0,8\end{align*}$
    La probabilité que la chaudière soit à ventouse sachant qu’elle est défectueuse est égale à $0,8$.
    $\quad$
  5. On a P(V)=0,4$ et P_D(V)=0,8$.
    Ces probabilités étant différentes, les événements $V$ et $D$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles.
Au début du parcours, ce personnage est doté de $1~000$ pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.
Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.
Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.

  1. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    On note $u_n$ le nombre de pions blancs obtenus au bout de $n$ minutes de jeu.
    Ainsi $u_0 = 0$.
    Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de $2 \%$ par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entrainement.
    On note $v_n$ le nombre de pions noirs restant à la $n$-ième minute.
    Ainsi $v_0 = 1~000$.
    a. Justifier que $v_1 = 980$.
    $\quad$
    b. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $v$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous.
    Les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ont été arrondis à l’unité.
    Lucas peut-il gagner la partie ?

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+10$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $10$ et de premier terme $u_0=0$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=10n$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_1&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)v_0 \\
    &=0,98\times 1~000\\
    &=0,980\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=1~000$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1~000\times 0,98^n$.
    $\quad$
  3. On a donc $u_{45}=450$ et $v_{45}=419$
    Au bout de $45$ minutes, le nombre de pions blancs est bien supérieur au nombre de pions noirs.
    Lucas peut donc gagner la partie.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

$\quad$

Question 5

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de $537$ kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de $1,5 \%$ par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produit par habitant de cette ville durant l’année 2019$+n$, on a donc $d_0 = 537$.

  1. Montrer par un calcul que $d_1= 0,985 \times d_0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ .
    $\quad$
  3. En déduire la nature de la suite $\left(d_n\right)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ .
    $\quad$
  4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir $513$ kg. Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>\ldots:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=\ldots}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_0 \\
    &=0,985\times d_0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_n \\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=537$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=537\times 0,985^n$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>}\textcolor{Emerald}{\text{513}}\textcolor{Maroon}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=} \text{d}\textcolor{Maroon}{*}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les premiers termes de la suite $\left(d_n\right)$ arrondis au dixième.
    $d_0=537$, $d_1\approx 528,9$, $d_2\approx 521,0$, $d_3\approx 513,2$ et $d_4\approx 505,5$.
    C’est donc à partir de l’année 2023 que la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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