E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ vérifiant : $(x+1)^2+(y-1)^2= 9$ est :

a. un cercle
b. une droite
c. une parabole
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 1

$(x+1)^2+(y-1)^2= 9 \ssi \left(x-(-1)\right)^2+(y-1)^2=3^2$
Il s’agit de l’équation du cercle de centre $A(-1;1)$ et de rayon $3$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Combien y-a-t-il de fonctions polynômes du second degré qui s’annulent en $1$ et en $3$ ?

a. $0$
b. $1$ seule
c. $2$
d. une infinité

$\quad$

Correction Question 2

On considère un réel $k$ non nul. La fonction $f_k$ définie sur $\R$ par $f_k(x)=k(x-1)(x-3)$ est une fonction polynôme du second degré qui s’annule en $1$ et en $3$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Une fonction polynôme du second degré :

a. est nécessairement de signe constant sur $\R$
b. n’est jamais de signe constant sur $\R$
c. est nécessairement positive sur $\R$
d. peut être ou non de signe constant sur $\R$

$\quad$

Correction Question 3

Le polynôme $P(x)=(x-1)(x+2)$ n’est pas de signe constant.
Le polynôme $Q(x)=x^2+1$ est de signe constant.
Le polynôme $R(x)=-x^2-1$ est toujours négatif

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, $\e^{2x+1}=$

a. $\e^{2x}+\e$
b. $\e^{2x}\times\e$
c. $\left(\e{x+1}\right)^2$
d. $(2x+1)\times\e$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}\e^{2x+1}&=\e^{2x}\times \e^1 \\
&=\e^{2x}\times \e\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $2x-5y-4=0$

a. coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; -4)$
b. passe par le point de coordonnées $(2 ; 0,2)$
c. admet $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ pour
vecteur normal
d. admet $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ pour
vecteur directeur

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne de $d$ est $2x-5y-4=0$.
Par conséquent le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème « Espion », la seconde partie dans la salle à thème « Musée ». Il dispose des données suivantes :

  • lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Espion » est égale à $0,5$ ;
  • lorsqu’une équipe a réussi la partie « Espion», la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,6$ ;
  • lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,45$.

Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :

  • $E$ : « l’équipe réussit la partie « Espion » ;
  • $M$ : « l’équipe réussit la partie « Musée ».
  1. Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :$\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie « Espion » sachant qu’elle a réussi la partie « Musée » ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
    $\quad$
  5. Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit $2$ € de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir $0$, $2$ ou $4$ € de réduction.
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(E\cap M)&=p(E)\times p_E(M)\\
    &=0,5\times 0,6\\
    &=0,3\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse les deux parties est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(E\cap M)+p\left(\conj{E}\cap M\right)\\
    &=0,5\times 0,6+0,5\times 0,45\\
    &=0,525\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\conj{E}\right)&=\dfrac{p\left(M\cap \conj{E}\right)}{p(M)}\\
    &=\dfrac{0,5\times 0,45}{0,525}\\
    &\approx 0,43\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le montant de la réduction obtenue.
    $X$ suit donc la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&~~0~~&~~2~~&~~4~~\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,275&0,425&0,3\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    $P(X=4)=p(E\cap M)$
    $\begin{align*} P(X=0)&=p\left(\conj{E}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,5\times 0,55\\
    &=0,275\end{align*}$
    $P(X=2)=1-P(X=0)+P(X=4)$
    Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+2\times P(X=2)+4\times P(X=4)\\
    &=2\times 0,425+4\times 0,3\\
    &=2,05\end{align*}$
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties est égal à $2,05$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En France métropolitaine, 2018 a été l’année la plus chaude d’après les relevés météorologiques. La température moyenne y a été de $14$ °C; elle a dépassé de $1,4$ °C la normale de référence calculée sur la période 1981-2010. (Source : site Météo France)

  1. Pour modéliser la situation, on considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette hausse moyenne de 1,4°C par an se poursuit chaque année. Pour tout entier
    naturel $n$, on note alors $T_n$ la température moyenne annuelle en France pour l’année 2018$+n$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(T_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. On considère qu’au-delà d’une température moyenne de $35$°C les corps ne se refroidissent pas et il devient insupportable pour les humains de continuer à habiter cette région que l’on qualifie alors d’inhabitable. Selon le modèle considéré, en quelle année la France deviendrait-elle inhabitable pour les humains ? Justifier.
    $\quad$
  2. À cause du réchauffement climatique, certaines régions risquent de connaître une baisse de $10 \%$ par an des précipitations moyennes annuelles mesurées en millimètres (mm).
    Dans une région du nord de la France, les précipitations moyennes annuelles étaient de $673$ mm en 2018. On considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette baisse de $10 \%$ par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ les
    précipitations annuelles moyennes en mm dans cette région pour l’année 2018$+n$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. On donne le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def precipitations(J):}\\
    \hspace{0.5cm}\text{I=673}\\
    \hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while I > J:}\\
    \hspace{1cm}\text{I = 0.9*I}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return n+2018}\end{array}$$
    L’exécution de « $\text{precipitations(300)}$ » renvoie la valeur $\text{2026}$ . Que représente cette valeur pour le problème posé ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $T_{n+1}=T_n+1,4$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1,4$ et de premier terme $T_0=14$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $T_n=14+1,4n$.
    On veut par résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} T_n>35 &\ssi 14+1,4n>35 \\
    &\ssi 1,4n>21 \\
    &\ssi n>15\end{align*}$
    Selon ce modèle, c’est à partir de l’année 2034 que la France deviendrait inhabitable pour les humains.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)P_n\\
    &=0,9P_n\end{align*}$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $P_0=673$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=673\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle c’est à partir de l’année 2026 que les précipitations moyennes annuelles seront inférieures ou égales à $300$ mm.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=-x^2+2x+4$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note $C$ sa courbe représentative.

  1. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$ .
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur exacte de l’abscisse du point $A$, intersection de la courbe $C$ et de l’axe des abscisses, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. On note $T$ la tangente à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $2$.
    Déterminer l’équation réduite de la droite $T$.
    $\quad$
  4. Tracer la droite $T$ sur le graphique fourni en annexe, qui est à rendre avec la copie.
    $\quad$
  5. On admet que la courbe $C$ est toujours en-dessous de la droite $T$.
    La société Logo reçoit une commande de l’entreprise RapidResto, qui lui demande de confectionner des logos dans des plaques rectangulaires de largeur $4$ dm et de hauteur $8$ dm selon le modèle ci-dessous. Le bord supérieur du logo est modélisé par la courbe $C$ tracée
    dans le repère orthonormé figurant sur l’annexe dont l’unité graphique est le décimètre (dm). Les figures ci-dessous ne sont pas à l’échelle.

    Dans un souci d’économie, l’entreprise Logo espère pouvoir réaliser deux logos identiques dans une seule plaque, en la coupant dans sa diagonale. Est-ce possible ? Justifier à l’aide des questions précédentes.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f$ est une fonction du second degré.
    L’abscisse du sommet est :
    $\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
    &=-\dfrac{2}{-2}\\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-1<0$.
    Par conséquent, la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=0\ssi -x^2+2x+4=0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times (-1)\times 4\\
    &=20\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme possède donc deux racines réelles.
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1+\sqrt{5}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1-\sqrt{5}\end{align*}$
    On a $x_1>0$ et $x_2<0$
    Le point $A$ a donc pour abscisse $1+\sqrt{5} \approx 3,24$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que fonction polynôme.
    Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f'(x)=-2x+2$
    Donc $f'(2)=-2$ et $f(2)=4$
    Une équation de $T$ est donc $y=-2(x-2)+4$ ou encore $y=-2x+8$.
    $\quad$
  4. L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $8$. Elle passe donc par le point de coordonnées $(0;8)$. Elle passe également par le point $B(2;4)$.
    On obtient donc le graphique suivant:

    $\quad$
  5. La tangente $T$ passe par les points de coordonnées $(0;8)$ et $(4;0)$ (en effet $-2\times 4+8=0$).
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f(x)-(-2x+8)&=-x^2+2x+4+2x-8\\
    &=-x^2+4x-4\\
    &=-\left(x^2-4x+4\right)\\
    &=-(x-2)^2\\
    &\pp 0\end{align*}$
    Tous les points, à l’exception du point $B$ sont sous la droite $T$. Le point $B$ appartient à la droite $T$.
    L’entreprise pourra donc réaliser deux logos sur la même plaque. Les deux logos auront cependant le point $B$ en commun.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

a. $\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$
b. $\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$
c. $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
d. $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point $A(7 ; 9)$ sur la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le point :

a. $H(7;0,8)$
b. $H(3;4)$
c. $H(4;3,2)$
d. $H(4,5)$

$\quad$

Correction Question 2

Le point $H$ soit appartenir à la droite. On exclut donc la réponse d. puisque les coordonnées du point de vérifient pas l’équation de la droite.
Un vecteur normal à la droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
Le vecteur $\vect{AH}$ doit être colinéaire à $\vec{n}$
Si $H(3;4)$ alors $\vect{AH}\begin{pmatrix}-4\\-5\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AH}=-\vec{n}$.
Ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre $A(-1 ; 3)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-1+y^2=2^2$
b. $x^2+2x+1+y^2-6y+9=2$
c. $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
d. $(x-1)^2+(y+3)^2=2^2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-1)\right)^2+(y-3)^2=2^2$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point $S$ et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de $S$ et l’équation de $\Delta$ sont :

a. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:x=\dfrac{3}{2}$
b. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:y=-\dfrac{7}{4}$
c. $S(3;5)$ et $\Delta:x=3$
d. $S(3;5)$ et $\Delta:y=5$

$\quad$

Correction Question 4

L’abscisse du point $S$ est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-9}{6} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Une équation de $Delta$ est donc $x=x_S$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’inéquation $-3x^2+9x-5>0$. L’ensemble $S$ des solutions de cette inéquation est ($x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1<x_2$ pour les propositions b) et d)) :

a. $\emptyset$
b. de la forme $\left]-\infty;x_1\right[\cup\left]x_2;+\infty\right[$
c. $\R$
d. de la forme $\left]x_1;x_2\right[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=9^2-4\times (-3)\times (-5) \\
&=21\\
&>0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent $S$ est de la forme $\left]x_1;x_2\right[$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
La fonction dérivée de f est notée $f’$.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $C$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
Le point $A$ est le point de la courbe $C$ d’abscisse $-1$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $C$ en $A$.

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
    $\quad$
  2.  Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\pp 0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 2]$ par $f(x)=\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x$.

  1. Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4;2]$, $$f'(x)=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse $-1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  2. On recherche donc les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante.
    Graphiquement, $f'(x)\pp 0$ sur $[-4;-1]\cup[1,5;2]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[-4;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-2x+2,5-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+1,5$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est donc :
    $\begin{align*} \Delta&=0,5^2-4\times (-1)\times 1,5\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Ce polynôme possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-0,5-\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=1,5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-0,5+\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ sur $[-4;-1[\cup]1,5;2]$
    – $f'(x)>0$ sur $]-1;1,5[$
    – $f(-1)=f(1,5)=0$
    $\quad$
  5. Cela signifie donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-4;-1]$ et $[1,5;2]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;1,5]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

  • $I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
  • $S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
    $\quad$
  4. Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
    &=0,65\times 0,02\\
    &=0,013\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
    $\quad$
  3. $I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
    &=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
    &=0,345~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  5. Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
    La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
    $\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
    &=0,030~5\\
    &>0,02\end{align*}$
    L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f-0=c_0=2~500$.

  1. Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
  3. Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
    $\quad$
    Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
    On rappelle que :

    • Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
    • Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
    &=2~500+108\\
    &=2~608\end{align*}$
    L’entreprise a produit $2~108$ flacons en février 2020.
    $\quad$
    On a également :
    $\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
    &=1,038\times 2~500\\
    &=2~595\end{align*}$
    $2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
    $\quad$
    $\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
    &=1,038\times c_n\end{align*}$
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while c<=f :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
    \hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. La production globale sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
    &=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
    &=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
    &=37~128\end{align*}$
    Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
    &=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
    &\approx 37~136\end{align*}$
    Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
    De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2-x+6$. On admet que l’une des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle?

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-1<0$.
On exclut donc les propositions a. et b.
L’abscisse du sommet de la parabole est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-1}{-2}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On pose pour tout réel $x$ : $A(x)=\e^{2x}$. On a alors, pour tout $x\in \R$ :

a. $A(x)=2\e^x$
b. $A(x)=\e^{x^2}$
c. $A(x)=\e^x+\e^2$
d. $A(x)=\left(\e^x\right)^2$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^2=\e^{2x}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $2x+y+1=0$ et $3x-2y+5=0$

a. sont sécantes en $A(1 ; 1)$.
b. sont sécantes en $B(1 ; -1)$.
c. sont sécantes en $C(-1 ; 1)$.
d. ne sont pas sécantes.

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+y+1=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-2y+5=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites sont donc sécantes.

On a $2\times (-1)+1+1=0$ et $3\times (-1)-2\times 1+5=0$
Le point $C(-1;1)$ appartient donc aux deux droites.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $x+3y-5=0$ et $3x-y+6=0$ sont :

a. pependiculaires.
b. sécantes non perpendiculaires.
c. parallèles.
d. confondues.

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite d’équation $x+3y-5=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-y+6=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Or :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-3\times 1+1\times 3\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent les droites sont perpendiculaires.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=2}\\
\hspace{0.5cm}\text{k=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while k<n :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u+k}\\
\hspace{1cm}\text{k=k+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur renvoie l’appel $\text{suite(5)}$?

a. $5$
b. $8$
c. $12$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$ et $k$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&2&2&3&5&8&12\\
\hline
k&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\end{array}$

L’appel $\text{suite(5)}$ renvoie donc la valeur $12$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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