E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

  1. a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
    On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
    $\quad$
  2. On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
    Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
    $\quad$
  3. On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
    Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    \hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
    \hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
    &=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
    &=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
    &=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
    $g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$
    c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
    $g(1)=-2$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique suivant

    on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
    $\quad$
  3. Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

  1. Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
    &=1,8\times 30+32\\
    &=54+32\\
    &=86\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
    &\ssi T_C=10\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
    &=58,5\end{align*}$
    Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
    Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Le coefficient multiplicateur est :
    $\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
    &=1,1\times 0,7\\
    &=0,77\\
    &=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
    Le prix a donc baissé de $23\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
    &\ssi -3x=-13\\
    &\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
    &\ssi -1<x\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
    $\quad$

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    $\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

  1. Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(-1)=4$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    $\quad$
    Correction Question 9


    $\quad$

    [collapse]
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
    Correction Question 10


    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

En 2021, une entreprise compte produire au plus $60~000$ téléphones portables pour la France et les vendre $800$ € l’unité. On suppose que tous les téléphones produits sont vendus.

Le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0 ; 60~000]$ par : $$C(x) = 0,01x^2 + 250x + 2~500~000$$
où $x$ représente le nombre de téléphones fabriqués et vendus.

  1. a. Calculer $C(7~500)$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Calculer le montant de la recette, en euros, que rapporte la vente de $7~500$ téléphones.
    En déduire le montant du bénéfice, en euros, pour $7~500$ téléphones vendus.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x\in [0 ; 60~000]$, le bénéfice, en euros, est défini par : $$B(x) = -0,01𝑥^2 + 550𝑥-2~ 500~000$$
    où $x$ représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus.
    $\quad$
  3. a. Étudier les variations de la fonction $B$ sur $[0 ; 60~000]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de téléphone que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximal. Donner la valeur ce bénéfice en euros.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $C(7~500)=4~967~500$
    Le coût de production de $7~500$ téléphones s’élèvent à $4~967~500$ €.
    $\quad$
    b. La recette est alors $7~500\times 800=6~000~000$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in[0;60~0000]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
    &=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Le maximum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=27~500$.
    Ainsi la fonction $B$ est strictement croissante sur $[0;27~500]$ et strictement décroissante sur $[27~500;60~000]$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice maximal est donc réalisé quand l’entreprise produit et vend $27~500$ téléphones.
    Le bénéfice maximal vaut alors $B(27~500)=5~062~500$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer $\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}$. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}&=\dfrac{8}{10}+\dfrac{5}{10} \\
    &=\dfrac{13}{10}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter avec les exposants qui conviennent :
    $$2^3\times 10^5=2^{\ldots}\times 5^{\ldots}$$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} 2^3\times 10^5&=2^3\times (2\times 5)^5 \\
    &=2^{3+5}\times 5^5 \\
    &=2^8\times 5^5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter :
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $\ldots\ldots$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $1+\dfrac{3}{100}=1,03$
    Augmenter de $3\%$ revient à multiplier par $1,03$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Une table coûte $289$ €. Quel est son prix après une remise de $20 \%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 4

    Montant de la remise : $289\times \dfrac{20}{100}=57,8$
    Nouveau prix : $289-57,8=231,2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Un canapé coûte $405,30$ € après une remise de $30 \%$. Quel était son prix avant la remise ?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix avant remise.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=405,30&\ssi 0,7P=405,30 \\
    &\ssi P=\dfrac{405,3}{0,7}\\
    &\ssi P=579\end{align*}$
    Le canapé coûtait $579$ € avant la remise.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Comparer $0,75$ et $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{3}{5}=0,6<0,75$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $x^2=2\ssi x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Compléter le tableau de signes de $(2-x)(3x+1)$.

    $\quad$
    Correction Question 8

    $2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
    $3x+1=0\ssi 3x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$ et $3x+1>0\ssi 3x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{3}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points $A(1 ; 3)$ et $B(5 ; 5)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{5-3}{5-1}=\dfrac{1}{2}$
    Une équation de $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    $A(1;3)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $3=\dfrac{1}{2}\times 1+b \ssi b=\dfrac{5}{2}$
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Factoriser l’expression : $(x-5)(x+1)-3(x-5)$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    $\begin{align*} (x-5)(x+1)-3(x-5)&=(x-5)\left[(x+1)-3\right] \\
    &=(x-5)(x+1-3)\\
    &=(x-5)(x-2)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

L’objectif de cet exercice est de représenter en perspective cavalière la sculpture de Victor Vasarely représentée en photo ci-dessous avec uniquement les cercles extérieurs sur chaque face visible.

La figure donnée en annexe, qui est à rendre avec la copie, représente le cube de Vasarely en perspective cavalière sur lequel sont représentées les cercles inscrits des faces $ABFE$ et de $BCGF$.

  1. Sur figure donnée en annexe, on considère le cercle inscrit dans la face $ABFE$.
    Tracer la tangente $(t)$ en $M$ à ce cercle et montrer que $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Justifier que $OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Sur la face $ABCD$, construire le centre $O’$ de la face $ABCD$.
    $\quad$
  4. Le cercle inscrit dans la face $ABCD$ coupe respectivement les segments $[O’D]$, $[O’C]$, $[O’B]$ et $[O’A]$ en $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    En utilisant les résultats établis dans la partie A (note personnelle : il s’agit du texte original !) et en effectuant les mesures nécessaires, construire ces points $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    $\quad$
  5. Tracer ensuite les tangentes au cercle inscrit dans la face $ABCD$ en ces mêmes points en justifiant la construction, puis terminer le tracé de l’ellipse représentant le cercle inscrit dans le carré $ABCD$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :
    $(t)$ est par définition perpendiculaire au rayon $[OM]$.
    Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. Donc $[OM]$ et $(BE)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AF^2=AE^2+EF^2$.
    $ABFE$ est un carré donc $AE=EF$
    Par conséquent $AF^2=2AE^2$. $AF$ et $AE$ sont des longueurs; elles sont des positives.
    Ainsi $AF=AE\sqrt{2} \ssi AE=\dfrac{1}{\sqrt{2}} AF\ssi AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AF$
    Or $AF=2AO$ et $AE=2OM$ (car $[OM]$ est un rayon du cercle comme $[OI]$
    Ainsi $2OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 2AO \ssi OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    $\quad$
  4. Voir figure plus bas
    On a $O’N’=O’Q’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’A$ et $O’M’=O’P’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’D$.
    $\quad$
  5. Les tangentes sont parallèles aux diagonales $[AC]$ et [BD]$.

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x-3$.

  1. Parmi les nombres $a$, $b$ et $c$ suivants, lesquels sont des racines de $f$ ?
    $$a=1 \hspace{2cm}b=2\hspace{2cm} c=-3$$
    $\quad$
  2. Montrer que la forme factorisée de la fonction $f$ est $f(x)=(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Parmi les trois courbes A, B, et C proposées ci-dessous, déterminer celle représentant la fonction $f$.$\quad$
  5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $1^2+2\times 1-3=0$ donc $a$ est une racine de $f$.
    $2^2+2\times 2-3=5$ donc $b$ n’est pas une racine de $f$.
    $(-3)^2+2\times (-3)-3=0$ donc $c$ est une racine de $f$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3\\
    &=x^2+2x-3\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les racines du polynôme du second degré $f(x)$ sont $1$ et $-3$.
    Son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet \quad f(x)<0$ sur $]-3;1[$
    $\bullet \quad f(x)=0$ si $x=-3$ ou $x=1$
    $\bullet \quad f(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. La courbe B est exclue car les racines ne sont pas $1$ et $-3$.
    Le coefficient principal de $f(x)$ est $1>0$. La fonction admet donc un minimum.
    La courbe A représente donc la fonction $f$.
    $\quad$
  5. L’abscisse du minimum est $-\dfrac{b}{2a}=-1$ et $f(-1)=-4$.
    On a donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

  • $28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • $42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
  • $M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
  • $J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
  • $C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,28\times 0,6\\
    &=0,168\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
    &=0,28\times 0,4\\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
    &=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
    &=0,568\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,112}{0,568}\\
    &\approx 0,197\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
    $\quad$

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$\quad$

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solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
    $$𝐴(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
    Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
    $\quad$
    Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
    Affirmation 4 : $f'(1)=0$
    $\quad$
  3. On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
    Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit entre $1$ millier et $5$ milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d’une pièce, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné
par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1 ; 5]$ par : $$f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}$$

  1. Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièces.
    $\quad$
  2. On admet que de $f$ est dérivable sur $[1 ; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x\in [1; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}$$
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x$, $$x^3-3x^2-16=(x-4)\left(x^2+x+4\right)$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[1 ; 5]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(2)&=\dfrac{0,5\times 2^3-3\times 2^2+2+1}{2}\\
    &=5\end{align*}$
    Lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièce le coût moyen de production d’une pièce est de $5~000$ euros.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x \in [1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(0,5\times 3x^2-6x+1\right)x-\left(0,5x^3-3x^2+x+16\right)\times 1}{x^2}\\
    &=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2}\\
    &=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}&(x-4)\left(x^2+x+4\right)\\
    =~&x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
    =~&x^3-3x^2-16\end{align*}$
    $\quad$
  4. Ainsi pour tout réel $x\in[1;5]$ on a $f'(x)=\dfrac{(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(x-4)\left(x^2+x+4\right)$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    Le discriminant de $x^2+x+4$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 4\\
    &=-15\\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2+x+4>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=4$ et $f(4)=1$
    Le coût de production d’une pièce est minimal quand elle fabrique $4~000$ pièces. Ce coût est alors de $1~000$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli $180$ mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de $4 \%$ par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année (2018 $+n$). On a donc $u_0 = 180$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
    a. Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
    $\quad$
    c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Un cinéma était déjà installé au centre-ville.
    En 2018, il a accueilli $260~000$ spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre $10~000$ spectateurs par an.
    Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le
    cinéma du centre-ville l’année (2018 $+n$). On a donc $v_0 = 260$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def cinema() :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 180}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 260}\\
    \hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n + 1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = 1.04*u}\\
    \hspace{2cm}\text{v = v – 10}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction $\text{cinema()}$ ?
    L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_0\\
    &=1,04\times 180\\
    &=187,2\end{align*}$
    En 2019 le cinéma a accueilli $187~200$ spectateurs.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n\\
    &=1,04u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $u_0=180$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=180\times 1,04^n$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n-10$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $10$ et de premier terme $v_0=260$.
    $\quad$
    b. La fonction $\text{cinema()}$ détermine le plus petite entier naturel $n$ tel que $u_n \pg v_n$.
    Voici les premières valeurs prises, arrondies au millième si nécessaire, par les termes des deux suites.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
    \hline
    u_n& 180& 187,2& 194,688& 202,476& 210,575& 218,998\\
    \hline
    ~~v_n~~& ~~~~260~~~~& ~~~~250~~~~& ~~240~~& ~~230~~& ~~220~~& ~~210~~\\
    \hline
    \end{array}$
    La fonction $\text{cinema()}$  renvoie donc la valeur $5$.
    Cela signifie que c’est au bout de $5$ ans que la fréquentation du complexe sera supérieure pour la première fois à celle du cinéma de centre-ville.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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