E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

Un restaurateur a produit $2~500$ kg de déchets non recyclables en 2017 et $2~350$ kg en 2018.

  1. Déterminer le pourcentage de réduction de la masse de déchets non recyclables entre 2017 et 2018.
    $\quad$
  2. À partir de 2018, le restaurateur prévoit, chaque année, de réduire de $5\%$ la masse de déchets non recyclables.
    Pour tout entier naturel $n$, on modélise la masse, exprimée en kg, de déchets non recyclables pour l’année 2018$+n$ à l’aide d’une suite notée $\left(D_n\right)$.
    Ainsi $D_0=2~350$.
    a. Calculer $D_1$ puis de $D_2$.
    $\quad$
    b. On admet que la suite $\left(D_n\right)$ est géométrique. Donner sa raison.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $D_n=2~350\times 0,95^n$.
    Déterminer la masse de déchets non recyclables en 2025. On donnera le résultat arrondi en kg.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution la variable $D$ contienne le terme de rang $15$ de la suit $\left(D_n\right)$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D=2350\\
    \text{for $n$ in range$(15)$:} \\
    \hspace{1cm} D=\ldots\ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{2~350-2~500}{2~500}=-0,06$
    Cela signifie donc que la masse de déchets non recyclables a baissé de $6\%$ entre 2017 et 2018.
    $\quad$
  2. a. $D_1=D_0\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=2~350\times 0,95=2~232,5$
    $D_2=0,95\times D_1=2é120,875$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $D_{n+1}=0,95D_n$.
    La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$.
    $\quad$
  3. En 2025 on a $n=7$
    $D_7=2~350\times 0,95^7\approx 1~641$.
    Le restaurateur produira donc environ $1~641$ kg de déchets non recyclables en 2025.
    $\quad$
  4. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D=2350\\
    \text{for $n$ in range$(15)$:} \\
    \hspace{1cm} D=0,95*D\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2404

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Lors d’une opération de promotions exceptionnelles, d’un grand magasin de bricolage, on s’intéresse aux ventes de deux articles particuliers du rayon « Outillage motorisé » : une meuleuse et une scie sauteuse.

Pendant cette période de promotions, une enquête réalisé sur $300$ clients de ce magasin montre que :

  • $63$ clients ont acheté une meuleuse;
  • $80$ clients ont acheté une scie sauteuse;
  • $5\%$ des clients ayant acheté une scie sauteuse ont aussi acheté une meuleuse.

Chaque client a acheté au plus une scie sauteuse et au plus une meuleuse.

  1. Compléter le tableau croisé d’effectifs fourni en annexe, à rendre avec la copie. 

    $\quad$

  2. Quel est le pourcentage de clients ayant acheté une meuleuse?
    $\quad$
  3. L’affirmation suivante est-elle vraie « au moins $2\%$ des clients ont acheté les deux outils (meuleuse et scie sauteuse) » ? justifier.
    $\quad$
  4. On choisit au hasard un client de l’enquête.
    On note $M$ l’événement « le client a acheté une meuleuse » et $\conj{M}$ l’événement contraire.
    On note $S$ l’événement « le client a acheté une scie sauteuse » et $\conj{S}$ l’événement contraire.
    a. Calculer $P_M(S)$. On arrondira à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{S} \cap M\right)$. On arrondira à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\text{Achète une}\\\text{scie sauteuse}\end{array}&\begin{array}{c}\text{N’achète pas une}\\\text{scie sauteuse}\end{array}&\text{Total} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Achète une}\\\text{meuleuse}\end{array}&&& \\
\hline
\begin{array}{c}\text{N’achète pas une}\\\text{meuleuse}\end{array}&&&\\
\hline
\text{Total}&&&300\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\text{Achète une}\\\text{scie sauteuse}\end{array}&\begin{array}{c}\text{N’achète pas une}\\\text{scie sauteuse}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Achète une}\\\text{meuleuse}\end{array}&4&59&63 \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{N’achète pas une}\\\text{meuleuse}\end{array}&76&161&237\\
    \hline
    \text{Total}&80&220&300\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\dfrac{5}{100}\times 80=4$
    $63-4=59$
    $300-80=220$
    $80-4=76$$\quad$
  2. $\dfrac{63}{300}=0,21$
    $21\%$ des clients ont acheté une meuleuse.
    $\quad$
  3. $\dfrac{4}{300}\approx 0,013$
    Donc environ $1,3\%$ des clients ont acheté les deux outils. L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  4. a. $P_M(S)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(M)}=\dfrac{4}{63}\approx 0,063$
    $\quad$
    b. $P\left(\conj{S}\cap M\right)=\dfrac{59}{300}\approx 0,197$
    $\quad$

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$\quad$

Source du sujet : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393
$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Un mobile se déplace sur une droite graduée en mètre.
Son abscisse $p(t)$ sur cette droite graduée (exprimée en mètre) en fonction du temps écoulé $t$ (exprimé en minute) depuis le départ est donnée par : $$p(t)=0,25t^2-t-3$$

  1. Quelle est la position du mobile à l’instant $t=0$ min (c’est-à-dire au début du mouvement), puis à l’instant $t=2$ min?
    $\quad$
  2. La courbe représentative de la fonction $p$ est tracée ci-dessous.

    À l’aide de cette courbe, répondre aux questions suivantes :
    a. Déterminer à quel(s) instant(s) le mobile est à la position $-3$.
    $\quad$
    b. Quelle est la vitesse moyenne du mobile (exprimée en m.min$^{-1}$) entre les instants $t=6$ min et $t=8$ min?
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $p(t)=0,25(t-6)(t+2)$.
    $\quad$
    b. À l’aide du tableau de signes de $p$ sur $[0;+\infty[$, déterminer à quels instants le mobile a une abscisse positive ou nulle.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. $p(0)=-3$.
    Le mobile se trouve à $-3$ m de l’origine de la droite graduée à $t=0$ min.
    $p(2)=0,25\times 2^2-2-3=-4$
    Le mobile se trouve à $-4$ m de l’origine de la droite graduée à $t=2$ min.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement le mobile à la position $-3$ quand $t=0$ min et $t=6$ min.
    $\quad$
    b. La vitesse moyenne entre ces deux instants est :
    $v=\dfrac{p(8)-p(6)}{8-6}=\dfrac{5-0}{2}=2,5$ m.min$^{-1}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} 0,25(t-6)(t+2)&=0,25\left(t^2+2t-6t-12\right) \\
    &=0,25\left(t^2-4t-12\right) \\
    &=0,25t^2-t-3\\
    &=p(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $t-6=0 \ssi t=6$ et $t-6>0 \ssi t>6$
    Sur $[0;+\infty[$, on a $t+2>0$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    L’abscisse du mobile est positive ou nulle à partir de $t=6$ min.
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

L’évolution de la puissance solaire photovoltaïque dans le monde entre fin 2008 et fin 2018 est résumé dans le graphique ci-dessous :

  1. Montrer qu’entre fin 2008 et fin 2018, la puissance solaire photovoltaïque a augmenté d’environ $3~287\%$.
    $\quad$
  2. Calculer les taux d’évolution de la puissance solaire, exprimés en pourcentage, entre 2016 et 2017, ainsi qu’entre 2017 et 2018. On arrondira à l’unité.
    $\quad$
  3. On se propose d’estimer la puissance solaire photovoltaïque dans le monde pour les années à venir en faisant l’hypothèse que le taux de croissance annuel restera constant et égal à $30\%$.
    On note $P_n$ la puissance solaire photovoltaïque dans le monde, en gigawatt, à la fin de l’année 2018$+n$. Ainsi, $P_0=508$.
    a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=1,3\times P_n$.
    Quelle est la nature de la suite $\left(P_n\right)$?
    $\quad$
    b. Un chercheur affirme que si le taux de croissance se maintient à $30\%$, la production dépassera les $2~400$ gigawatts avant fin 2024.
    A-t-il raison? On justifiera la réponse par un calcul.
    $\quad$
  4. Le chercheur aimerait savoir en quelle année la puissance solaire photovoltaïque dans le monde dépassera les $10~000$ gigawatts si le taux de croissance se maintient à $30\%$.
    Compléter le script, fourni en annexe à rendre avec la copie, de la fonction python nommée nombre_années renvoyant la valeur $n$ pour une puissance seuil $\text{S}$ choisie au départ.
    $\quad$
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def nombre_année (S) :}\\
    2&\hspace{1cm} \text{n }= 2018\\
    3&\hspace{1cm} \text{P }= 508\\
    4&\hspace{1cm} \text{while P < } \ldots : \\
    5&\hspace{2cm} \text{ n = n+1}\\
    6&\hspace{2cm} \text{ P = }\ldots\\
    7&\hspace{1cm} \text{return } \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\dfrac{508-15}{15}\approx 32,87$
    La puissance solaire photovoltaïque a bien augmenté d’environ $3~287\%$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{391-297}{297}\approx 0,32$
    Le taux d’évolution de la puissance solaire entre 2016 et 2017 est donc d’environ $32\%$
    $\quad$
    $\dfrac{508-391}{391}\approx 0,30$
    Le taux d’évolution de la puissance solaire entre 2017 et 2018 est donc d’environ $30\%$
    $\quad$
  3. a. Le taux de croissance annuel reste constant et égal à $30\%$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $P_{n+1}=\left(1+\dfrac{30}{100}\right)\times P_n=1,3\times P_n$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,3$ et de premier terme $P_0=508$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=508\times 1,3^n$.
    En 2024, on a $n=6$
    $P_6 = 508\times 1,3^6 \approx 2~452 > 2~400$
    La production dépassera bien, selon ce modèle, les $2~400$ gigawatts avant fin 2024.
    $\quad$
  4. On obtient le code :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def nombre_année (S) :}\\
    2&\hspace{1cm} \text{n }= 2018\\
    3&\hspace{1cm} \text{P }= 508\\
    4&\hspace{1cm} \text{while P < } 10~000 : \\
    5&\hspace{2cm} \text{ n = n+1}\\
    6&\hspace{2cm} \text{ P = P}\times 1,3\\
    7&\hspace{1cm} \text{return } \text{n} \\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393

$\quad$

 

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On s’intéresse à la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^2+2x-3$$

  1. Montrer que $1$ est une racine de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)(x+3)$
    $\quad$
  3. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  4. Donner une équation de l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(1)=1^2+2\times 1-3=1+2-3=0$
    Par conséquent $1$ est une racine de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3 \\
    &=x^2+2x-3 \\
    &=f(x)\end{align*}$
  3. $f(x)=0 \ssi (x-1)(x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-1=0 \ssi x=0$ ou $x+3=0 \ssi x=-3$
    Le solutions de l’équation sont donc $1$ et $-3$.
    $\quad$
  4. On a $f(1)=f(-3)=0$
    Or $\dfrac{1+(-3)}{2}=-1$
    Une équation de l’axe de symétrie est donc $x=-1$.
    $\quad$
  5. $x-1>0 \ssi x>1$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2365

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Une entreprise artisanale de fabrication de biscuits possède trois ateliers nommés A, B et C qui produisent des biscuits selon deux recettes : la recette standard et la recette traditionnelle.

  • L’entreprise produit $2~400$ biscuits en une journée.
  • L’atelier A produit $60\%$ des biscuits de l’entreprise.
  • L’atelier B produit $15\%$ des biscuits de l’entreprise.

Le tableau ci-dessous présente le nombre de biscuits produits par atelier et par recette durant cette journée.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Atelier A}&\text{Atelier B}&\text{Atelier C}&\text{Total}\\
\hline
\text{Recette traditionnelle}&576&60&150& \\
\hline
\text{Recette standard}&&&450&\\
\hline
\text{Total}&&&600&2~400\\
\hline
\end{array}$$

  1. Recopier le tableau et le compléter par les données manquantes en utilisant les informations données dans l’énoncé.
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage de la production de l’entreprise correspondant aux biscuits de recette traditionnelle.
    $\quad$

On prélève au hasard un biscuit dans l’ensemble de la production journalière, on admet que les tirages des biscuits sont équiprobables.
On note les événements suivants :
$\qquad$ $C$ : « le biscuit est produit dans l’atelier C » ;
$\qquad$  $T$ : « le biscuit est de recette traditionnelle ».

  1. Calculer la probabilité de l’événement $C$, que l’on note $P(C)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(C\cap T)$.
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité qu’un biscuit de recette traditionnelle provienne de l’atelier C?
    En donner la valeur arrondie au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Atelier A}&\text{Atelier B}&\text{Atelier C}&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Recette traditionnelle}&576&60&150&786 \\
    \hline
    \text{Recette standard}&864&300&450&1~614\\
    \hline
    \text{Total}&1~440&360&600&2~400\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\dfrac{60}{100}\times 2~400=1~440$
    $\dfrac{15}{100}\times 2~400=360$
    $\quad$
  2. $\dfrac{786}{2~400}=0,2025=20,25\%$
    $20,25\%$ de la production de l’entreprise correspond aux biscuits de recette traditionnelle.
    $\quad$
  3. $P(C)=\dfrac{600}{2~400}=0,25$.
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,25$.
    $\quad$
  4. $P(C\cap T)=\dfrac{150}{2~400}=0,062~5$
    $\quad$
  5. La probabilité qu’un biscuit de recette traditionnelle provienne de l’atelier C est $\dfrac{150}{786}\approx 0,191$.
    $\quad

 

 

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2357

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Pour se nourrir, un oiseau plonge dans la mer depuis le haut d’une falaise d’une hauteur de $5$ mètres. La trajectoire de l’oiseau est modélisée par la courbe représentative d’une fonction $h$ tracée sur l’intervalle $[0;6]$ dans le repère orthonormé ci-dessous.
Dans ce repère, l’axe des abscisses représente le niveau de la mer et l’axe des ordonnées représente la falaise.
$h(x)$ désigne alors l’altitude en mètres de l’oiseau par rapport au niveau de la mer et $x$ désigne la distance en mètres qui le sépare de la falaise.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux deux questions suivantes.

  1. Quelle est l’image de $0$ par la fonction $h$? Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. À quelles distances de la falaise se trouve l’oiseau lorsqu’il est à une profondeur de $3$ mètres sous la mer?

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;6]$ par $h(x)=x^2-6x+5$.

  1. Montrer que $h(x)=(x-1)(x-5)$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de signes de la fonction $h$ sur $[0;6]$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $h(x)<0$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On lit $h(0)=5$.
    L’oiseau se trouve donc à $5$ mètres de haut quand il plonge.
    $\quad$
  2. Deux points de la courbe ont pour ordonnée $-3$. Il s’agit des points d’abscisse $2$ et $4$.
    L’oiseau se trouve donc à $2$ et $4$ mètres de la falaise lorsqu’il est à une profondeur de $3$ mètres sous la mer.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x-1)(x-5)&=x^2-5x-x+5 \\
    &=x^2-6x+5 \\
    &=h(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x-5=0 \ssi x=5$ et $x-5>0 \ssi x>5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de signes précédents, $h(x)<0$ quand $x$ appartient à l’intervalle $]1;5[$.
    L’oiseau est donc sous le niveau de la mer quand il se trouve entre $1$ et $5$ mètres de la falaise.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2357

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Un restaurant propose dans son menu trois formules :

  • Formule $A$ : entrée + plat
  • Formule $B$ : plat+dessert
  • Formule $C$ : entrée + plat + dessert

On note le choix des clients venus pour déjeuner à midi (ensemble noté $M$) ou pour dîner le soir (ensemble noté $S$). Les effectifs sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Formule }A&\text{Formule }B&\text{Formule }C&\text{Total} \\
\hline
\text{Déjeuner } M&27&31&&75 \\
\hline
\text{Dîner }S&12&20&53&85 \\
\hline
\text{Total}&39&51&70&160\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel effectif doit-on écrire dans la case vide du tableau?
    $\quad$
  2. a. Calculer la fréquence en pourcentage de clients ayant choisi la formule $A$ parmi ceux qui sont venus déjeuner le midi.
    $\quad$
    b. Montrez que la fréquence en pourcentage de clients venus dîner le soir parmi ceux qui ont chosi la formule $B$ est au dixième près égale à $39,2\%$.
    $\quad$
  3. Calculer la fréquence en pourcentage des clients ayant déjeuné le midi dans ce restaurant.
    $\quad$
  4. Le patron du restaurant déclare « J’ai une carte des desserts très attractive car plus des trois quarts des clients choisissent une formule avec dessert. ».
    A-t-il raison? Justifier.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $70-53=17$
    On doit donc écrire le nombre $17$ dans la case vide.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{27}{75}=\dfrac{9}{25}=36\%$
    La fréquence des clients ayant choisi la formule $A$ parmi ceux qui sont venus déjeuner le midi est égale à $36\%$.
    $\quad$
    b. La fréquence des clients venus dîner le soir parmi ceux qui ont choisi la formule $B$ égale à $\dfrac{20}{51} \approx 39,2\%$
    $\quad$
  3. La fréquence des clients ayant déjeuner le midi dans ce restaurant est égale à $\dfrac{75}{160}=46,875\%$.
    $\quad$
  4. Nombres de clients ayant pris un dessert : $51+70=121$
    $\dfrac{121}{160}=0,756~25>\dfrac{2}{3}$
    Le patron a donc raison.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2349

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – géométrie – janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

Exercice 

On souhaite réaliser une frise sur un tissu à partir d’un motif élémentaire A assemblant un demi-cercle de rayon $R$ et la moitié d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de même rayon.

Le motif élémentaire A est représenté ci-dessous :

  1. Le contour du motif A dans la frise sera brodé. Déterminer le périmètre de ce motif A sachant que le rayon du cercle est égal à $4$ cm.
    $\quad$
  2. L’intérieur du motif A de la frise sera peint.
    a. Calculer la hauteur $OM$ du triangle $OHG$ constituant le demi-hexagone.
    $\quad$
    b. Déterminer l’aire de ce motif.
    $\quad$
  3. À partir de ce motif élémentaire A, construire sur le feuille annexe à rendre avec la copie un second motif par symétrie central de centre $M$.
    $\quad$
  4. La frise est obtenue par translation de vecteur $\vect{EH}$ à partir de ces deux motifs (A et son symétrique). Construire sur la frise en annexe le prochain motif élémentaire A.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le périmètre du demi-cercle est $P_1=4\pi$ cm.
    Il y a $7$ segments de $4$ cm.
    Le périmètre du motif est $P=4\pi+4\times 7=28+\pi$ cm.
    $\quad$
  2. a. $HM=2$ cm
    Dans le triangle $OMH$ rectangle en $M$ on utilise le théorème de Pythagore.
    $OH^2=OM^2+HM^2$
    $\ssi 4^2=OM^2+2^2$
    $\ssi 16=OM^2+4$
    $\ssi OM^2=12$
    $\ssi OM=\sqrt{12}$ cm (ou $OM=2\sqrt{3}$).
    $\quad$
    b. L’aire d’un triangle est :
    $A_1=\dfrac{GH\times OM}{2}=\dfrac{4\times 2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
    L’aire du motif est :
    $\begin{align*} A&=3\times 4\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\times 4^2\times \pi \\
    &=12\sqrt{3}+8\pi \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
  4. On obtient la figure suivante :

    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2349

$\quad$

 

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Une entreprise fabrique des lampes solaires. Elle ne peut pas produite plus de $5~000$ lampes par mois.

Le résultat qu’elle peut réaliser en un mois, exprimé en centaines d’euros, est modélisé par une fonction $b$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Si ce résultat est positif, on l’appelle bénéfice. L’axe des abscisses indique le nombre de lampes produites et vendues exprimé en centaines.

En utilisant le graphique :

  1. Lire $b(10)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Déterminer avec la précision que la lecture graphique permet, le bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise et les quantités de lampes à fabriquer correspondantes.
    $\quad$
  3. La fonction $b$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est définie par l’expresion suivante : $$b(x)=-3x^2+160x-1~600$$
    a. Montrer que $b(x)=(x-40)(-3x+40)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $b(x)=0$
    $\quad$
    c. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $b$ et en quel nombre il est atteint.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement $b(10)=-300$.
    Pour $1~000$ lampes produites et vendues, le résultat vaut $30~000$ €.
    $\quad$
  2. Le bénéfice maximal vaut $54~000$ €. Il est atteint quand l’entreprise produit et vend $2~700$ lampes.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} (x-40)(-3x+40)&=-3x^2+40x+120x-1~600 \\
    &=-3x^2+160x-1~600 \\
    &=b(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $b(x)=0 \ssi (x-40)(-3x+40)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-40=0 \ssi x=40$
    ou $-3x+40=0 \ssi -3x=-40 \ssi x=\dfrac{40}{3}$
    $\quad$
    c. Le maximum est atteint pour $x=\dfrac{-160}{-2\times 3}=\dfrac{80}{3}$.
    Le maximum vaut alors :
    $b\left(\dfrac{80}{3}\right)=\dfrac{1~600}{3}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2349

$\quad$