E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lorsqu’il s’entraine au tennis, Roger utilise un lance-balle.
Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.

On la remplit de balles et on la programme de la façon suivante : deux tiers des balles seront lancées sur le coup droit du joueur, le reste sur son revers.

On s’intéresse à la réussite des frappes de Roger pendant une séance d’entraînement.
On note $D$ l’événement : « le joueur reçoit la balle sur son coup droit ».
On note $\conj{D}$ l’événement contraire de l’événement $D$.

Roger réussit $\dfrac{9}{10}$ de ses coups droits et $75 \%$ de ses revers.

On note $S$ l’événement : « La frappe de Roger est un succès ».

  1. Donner $p\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré situé en annexe représentant la situation.
    $\quad$
  3. Calculer $p\left(\conj{D}\cap S\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. Sachant que la frappe que vient de réaliser Roger est un succès, calculer la probabilité que ce soit sur un revers. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $p(D)=\dfrac{2}{3}$ donc $p\left(\conj{D}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap S\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(S)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,75\\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité que le joueur reçoive la balle sur son revers et que la frappe soit un succès est égale à $0,25$.
    $\quad$
  4. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(D\cap S)+p\left(\conj{D}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{9}{10}+0,25\\
    &=0,85\end{align*}$
    La probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{D}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,25}{0,85}\\
    &\approx 0,29\end{align*}$
    La probabilité que la frappe soit un revers sachant que la frappe de Roger est un succès est environ égale à $0,29$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$. On considère le triangle $OAB$ où $O$ est l’origine du repère, $A$ le point de coordonnées $(8 ; 0)$ et $B$ celui de coordonnées $(0 ; 6)$.

On considère le point $E$, milieu du segment $[AB]$.

La figure est donnée en annexe, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses $3$ médianes.

  1. Calculer les $2$ produits scalaires suivants :
    a. $\vect{OA}.\vect{OB}$
    $\quad$
    b. $\vect{OA}.\vect{OE}$
    $\quad$
  2.  a. Justifier que l’équation $1,5x + y-6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la médiane issue de $O$ dans le triangle $OAB$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $OAB$.
    Placer le point $G$ sur la figure annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=0$.
    $\quad$
    b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(4;3)$.
    Par conséquent $\vect{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{OE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}\vect{OA}.\vect{OE}&=8\times 4+0\times 3\\
    &=32\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $1,5\times 0+6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $B$.
    Le point $F(4;0)$ est le milieu du segment $[OA]$.
    $1,5\times 4+0-6=6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $F$.
    Ainsi, $1,5x+y-6=0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$.
    Voir la figure à la question 2.c
    $\quad$
    b. Cette médiane passe par l’origine du repère.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=ax$.
    Elle passe par le point $E(4;3)$ Par conséquent $3=4a \ssi a=\dfrac{3}{4}$.
    Une équation de la médiane issue du point $O$ dans le triangle $OAB$ est donc $y=\dfrac{3}{4}x$.
    $\quad$
    c. Le point $G$ est le point d’intersection des médianes du triangle $OAB$.
    Les coordonnées du point $G$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+y-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+\dfrac{3}{4}x-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\2,25x=6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\x=\dfrac{8}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y=2\end{cases} \end{align*}$
    Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$.
    $\quad$

    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

  1. Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
    Préciser la nature de cette suite et sa raison.
    $\quad$
  4. Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
    $\quad$
  5. Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}$\ldots$ \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
    Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
    $\quad$
  2. On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
    Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_0=12$.
    Pour tout entier naturel on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_10=12$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^n$.
    En 2020 on a $n=4$.
    Par conséquent $u_4=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
    Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= A+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=x+1$
b. $y=\e x$
c. $y=\e^x$
d. $y=x-1$

$\quad$

Correction Question 1

On appelle $f$ la fonction exponentielle.
Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=\e^0=1$.
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^{-2x+6}$
b. $f'(x)=-2\e^{-2x+6}$
c. $f'(x)=-2x\e^{-2x+6}$
d. $f'(x)=(-2x+6)\e^{-2x+6}$

$\quad$

Correction Question 2

$f(x)$ est de la forme $f(x)=\e^{ax+b}$.
Elle est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)$ est de la forme $a\e^{ax+b}$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f'(x)-2\e^{-2x+6}$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le repère orthonormé $\Oij$, le vecteur $\vect{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

a. $-2\vec{i}+6\vec{j}$
b. $-6\vec{i}+2\vec{j}$
c. $2\vec{i}-6\vec{j}$
d. $6\vec{i}-2\vec{j}$

$\quad$

Correction Question 3

On lit, graphiquement, que $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}=6\vec{i}-2\vec{j}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x-\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

a. $f$ est une fonction paire.
b. $f$ est une fonction impaire.
c. $f$ n’est ni paire, ni impaire.
d. $f(0)=0$

$\quad$

Correction Question 4

On a $f(0)=-1$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-\cos(-x)\\
&=-\sin(x)-\cos(x)\end{align*}$
Par conséquent $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq -f(-x)$.
La fonction $f$ n’est ni paire, ni impaire.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.
La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

a. $\vec{u}(2;5)$
b. $\dfrac{5}{2}$
c. $\dfrac{2}{5}$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(2;5)$.
Le coefficient directeur de cette droite est donc $\dfrac{5}{2}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que $3$ côtés de son enclos.
Il possède $28$ mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

 

On appelle $A$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $A(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $A$ est ainsi définie sur l’intervalle $[0 ; 14]$.

  1. a. Vérifier que l’aire $A(x)=-2x^2+28x$.
    $\quad$
    b. Montrer que la forme canonique de $A(x)$ est $-2(x-7)^2+98$.
    $\quad$
  2. Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $A$

    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variation de la fonction $A$.
    $\quad$
  4. Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. L’enclos est un rectangle dont les côtés mesurent $x$ mètres et $28-2x$ mètres.
    Ainsi :
    $\begin{align*}A(x)&=(28-2x)x\\
    &=28x-2x^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -2(x-7)^2+98&=-2\left(x^2-14x+49\right)+98\\
    &=-2x^2+28x-98+98\\
    &=-2x^2+28x\\
    &=A(x)\end{align*}$
    La forme canonique de $A(x)$ est donc $-2(x-7)^2+98$.
    $\quad$
  2. Le coefficient principal de $A(x)$ est $a=-2<0$. La fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
    Le maximum est $S(7;98)$.
    La courbe $\mathcal{C}_2$ représente donc la fonction $A$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. L’aire est donc maximale quand $x$ prend la valeur $7$ et vaut $98$ m$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

  1. Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
    $(AB)$.
    $\quad$
  2. Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
    $\quad$
  3. Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
    $\quad$
  4. On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
    Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
    Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
    Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
    Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
    Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
    $\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
    Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $-72+12+c=0 \ssi c=60$.
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+60=0$ soit $-2x+y+20=0$.
    $\quad$
  4. Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
    Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir $100~000$ ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1$\ier$
janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de $35~000$ ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de $7~000$ ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer $5\%$ des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter $6~000$ ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+n$).
On donne $u_0 = 42$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n\times 0,95+6$.
    2. On propose ci-dessous un programme en
    langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=42}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(n) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.95*u+6}\\
    \hspace{1cm}\text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
    $\quad$

Partie B

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que $4~000$ nouveaux ouvrages par an au lieu des $6~000$ prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+ n$).

  1. On admet que $v_{n+1}=0,95\times v_n+4$ pour tout entier naturel $n\pg 0$ avec $v_0=42$.
    On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=v_n-80$.
    a. Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous un programme en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def objet(A) :}\\
    \hspace{1cm}\text{v=42}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while v<A :}\\
    \hspace{2cm}\text{v=0.95*v+4}\\
    \hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’appel à la fonction $\text{objet(70)}$ renvoie $27$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_n+6\\
    &=0,95u_n+6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ce programme permet de déterminer la valeur de $u_n$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-80 \\
    &=0,95v_n+4-80\\
    &=0,95v_n-76\\
    &=0,95v_n-0,95\times 80\\
    &=0,95\left(v_n-80\right)\\
    &=0,95w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=v_0-80$ soit $w_0=-38$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-38\times 0,95^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_n&=w_n+80 \\
    &=80-38\times 0,95^n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Cela signifie que c’est à partir de 2047 que la bibliothèque possèdera plus de $70~000$ ouvrages.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1$\ier$ janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà $10$ ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ $4 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année 2019 $+n$ à l’aide du $n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison
    $\quad$.
  2. On considère la fonction $\text{Suite}$ définie ci-dessous en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textcolor{Aquamarine}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Suite(n):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{2}&\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{900}\\
    \textcolor{Aquamarine}{3}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{4}&\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0.96}\text{*u}\\
    \textcolor{Aquamarine}{5}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\\
    \hline\end{array}$$
    Quelle sera la valeur obtenue pour $\text{Suite(5)} ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Le directeur sait que la maternité devra fermer dès le nombre d’accouchements deviendra inférieur à $600$.
    Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
    $\quad$
  5. Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_n \\
    &=0,96u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$. et de premier terme $u_0=900$.
    $\quad$
  2. L’appel $\text{Suite(5)}$ renvoie la valeur de $u_5$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    Donc $u_5=900\times 0,96^5 \approx 734$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    $\quad$
  4. En 2030, on a $n=11$.
    $u_{11}=900\times 0,96^{11}\approx 574$
    Ainsi, $u_{11}<600$
    La maternité sera donc fermée en 2030.
    $\quad$
  5. $0<0,96<1$ et $u_0>300$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $u_9\approx  623$ et $u_{10}\approx 598$
    Ainsi la maternité fermera ses portes en 2029.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=4x\e^{-x}$.

  1. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’origine $0$.

    Conjecturer une valeur approchée du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 3]$.
    Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 3]$,  $f'(x)=4(1-x)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 3]$ puis la valeur exacte du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ le point d’abscisse $1$ de $C_f$ et soit $t$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0,5$.
    Qui, de la droite $(AO)$ ou de la droite $t$, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Il semblerait, graphiquement, que le maximum de $f$ soit environ égal à $1,45$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x}+4x\times (-x)\e^{-x}\\
    &=(4-4x)\e^{-x} \\
    &=4(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    Le maximum est $4\e^{-1}$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la $(AO)$ est :
    $\begin{align*} a&=\dfrac{4\e^{-1}-0}{1-0}\\
    &=4\e^{-1}\\
    &\approx 1,47\end{align*}$
    Le coefficient directeur de $t$ est :
    $\begin{align*} f'(0,5)&=2\e^{-0,5}\\
    &\approx 1,21\end{align*}$
    La droite $(AO)$ a donc le plus grand coefficient directeur.
    $\quad$

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$\quad$

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