E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

En 2018 et 2019, une galerie a recensé le nombre de tableaux et sculptures exposés pour chacune de ces deux années. Chaque œuvre, tableau ou sculpture, est recensée à l’aide d’un formulaire de renseignements fourni avant son exposition par son créateur.

On choisit au hasard un formulaire de renseignements parmi ceux des années 2018 et 2019.

On note :

  • $T$ l’événement : « Le formulaire prélevé correspond à un tableau ».
  • $H$ l’événement : « Le formulaire prélevé correspond à une œuvre de 2018».

Selon les données recensées, on sait que :

  • L’effectif total des œuvres est de $3~000$, dont $1~530$ sont des tableaux ;
  • $74\%$ des œuvres sont des œuvres présentées en 2019 ;
  • Parmi les œuvres de 2018, $351$ sont des tableaux.
  1. Justifier que le nombre de formulaires correspondant à des œuvres de 2019
    est égal à 2220.
    $\quad$
  2. Compléter le tableau en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au millième.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $T$.
    $\quad$
    b. Décrire par une phrase l’événement $T\cap H$ puis calculer la probabilité de
    cet événement.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le formulaire choisi corresponde à un tableau
    sachant qu’il est daté de l’année 2019.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Œuvres de 2018}&\textbf{Œuvres de 2019}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Tableaux}&351&&1~530\\
\hline
\textbf{Sculptures}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&&2~220&3~000\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{74}{100}\times 3~000=2~220$
    Il y a donc bien $2~200$ formulaires correspondant à des œuvres de 2019.
    $\quad$
  2.  On obtient :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\textbf{Œuvres de 2018}&\textbf{Œuvres de 2019}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Tableaux}&351&1~179&1~530\\
    \hline
    \textbf{Sculptures}&429&1~041&1~470\\
    \hline
    \textbf{Total}&780&2~220&3~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. a. La probabilité de l’événement $T$ est :
    $\begin{align*} p(T)&=\dfrac{1~530}{3~000} \\
    &=0,51\end{align*}$
    $\quad$
    b. $T\cap H$ est l’événement « Le formulaire prélevé correspond à un tableau de 2018»
    Sa probabilité est :
    $\begin{align*} p(T\cap H)&=\dfrac{351}{3~000}\\
    &=0,117\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{H}}(T)&=\dfrac{1~179}{2~220} \\
    &\approx 0,531\end{align*}$
    La probabilité que le formulaire choisi corresponde à un tableau sachant qu’il est daté de l’année 2019 est environ égale à $0,531$.
    $\quad$

[collapse]

 

 

E3C – Exercices – séries technologiques – géométrie – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Un motif est créé afin d’orner une vitrine. Celui-ci est construit à partir d’un pentagone régulier $ABCDE$ de centre $O$ représenté en annexe.

  1. Placer les points $C$, $D$, $E$ sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Les points $F$, $G$, $H$, $I$ et $J$ sont obtenus par symétries respectives du point $O$ par rapport aux points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
    Construire les points $H$, $I$, $J$ sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Les points $K$, $L$, $M$, $N$ et $P$ sont les milieux respectifs de $[AF]$, $[BG]$, $[CH]$, $[DI]$ et $[EJ]$.
    On dessine ensuite les cinq cercles de centre $K$, $L$, $M$, $N$ et $P$ de rayon $AK$ et enfin une partie de chacun des cinq cercles de centre $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ de rayon $OA$.
    Placer les points $M$, $N$ et $P$ et tracer les segments $[AO]$, $[BO]$, $[CO]$, $[DO]$ et $[EO]$ sur la figure en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  4. Déterminer la mesure en degrés de l’angle $\widehat{AOB}$ en expliquant la réponse.
    $\quad$
  5. Calculer la mesure en degrés de l’angle $\widehat{AOB}$.
    $\quad$

Annexe


$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. voir figure
  2. voir figure
  3. voir figure
    $\quad$
  4. Le pentagone $ABCDE$ est régulier donc $\widehat{AOB}=\dfrac{360}{5}=72$°.
    $\quad$
  5. On a $OA=OB$. Le triangle $AOB$ est donc isocèle en $O$.
    Par conséquent les angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{ABO}$ ont la même mesure.
    Ainsi $2\widehat{OAB}+72=180 \ssi \widehat{OAB}=54$°
    $\quad$

[collapse]

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Un architecte souhaite dessiner la vitrine d’une bijouterie. Cette vitrine, représentée sur le schéma ci-dessous par le rectangle $ABCD$, mesure $5$ mètres de longueur et $3$ mètres de hauteur. Elle sera constituée de deux matières, du verre transparent représenté en blanc sur le schéma et du verre teinté représenté en gris.
Les points de fixation $E$, $F$, $G$ et $H$ du verre teinté forment le parallélogramme $EFGH$.

On note $x$ un nombre appartenant à l’intervalle $[0 ; 3]$.
Les longueurs, exprimées en mètre, $AH$, $DG$, $CF$ et $BE$ sont égales à $x$.

  1. a. Calculer l’aire, exprimée en m$^2$, du rectangle $ABCD$.
    $\quad$
    b. Exprimer les longueur $DH$ et $AE$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. On admet que l’aire du triangle $AEH$ est donnée par $\dfrac{x(5-x)}{2}$.
    a. Déterminer l’expression de l’aire du triangle $BEF$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’aire du quadrilatère $EFGH$ est donnée par : $$f(x)=2x^2-8x+15$$
    $\quad$
  3. On admet que la parabole qui représente graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal a pour sommet le point d’abscisse $2$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 3]$.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. a. L’aire du rectangle $ABCD$ est
    $\begin{align*}\mathscr{A}_{ABCD}&=3\times 5 \\
    &=15\end{align*}$
    Ainsi $\mathscr{A}_{ABCD}=15$ m$^2$.
    $\quad$
    b. Le point $H$ appartient au segment $[DA]$
    Donc $DH=DA-AH$ soit $DH=3-x$
    Le point $E$ appartient au segment $[AB]$
    Donc $AE=AB-EB$ soit $AE=5-x$
    $\quad$
  2. a. Le triangle $BEF$ est rectangle en $B$.
    Son aire est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{BEF}&=\dfrac{BE\times BF}{2} \\
    &=\dfrac{x(3-x)}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire di quadrilatère $EFGH$ est :
    $\begin{align*} f(x)&=\mathscr{A}_{ABCD}-2\left(\mathscr{A}_{BEF}+\mathscr{A}_{AEH}\right) \\
    &=15-2\left(\dfrac{x(3-x)}{2}+\dfrac{x(5-x)}{2}\right) \\
    &=15-\left(x(3-x)+x(5-x)\right) \\
    &=15-\left(3x-x^2+5x-x^2\right)\\
    &=15-3x+x^2-5x+x^2\\
    &=2x^2-8x+15\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Le sommet de la parabole a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $f(2)=7$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

[collapse]

E3C – automatismes – Séries technologiques – janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un demi-point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.

  1. Augmenter une quantité de $12 \%$ revient à la multiplier par :
    A. $1,2$
    B. $0,12$
    C. $1,12$
    D. $12$
    $\quad$
    Correction question 1

    On multiplie la quantité par $1+\dfrac{12}{100}=1,12$
    Réponse C
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si l’on augmente la valeur $220$ de $10 \%$, on obtient :
    A. $242$
    B. $240$
    C. $244,2$
    D. $244$
    $\quad$
    Correction question 2

    $\begin{align*}220\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)&=220\times 1,1\\
    &=242\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Le prix au kilogramme des tomates est passé de $1,20$ € à $1,08$ €. Cela représente une baisse de :
    A. $12 \%$
    B. $8 \%$
    C. $10 \%$
    D. $20\%$
    $\quad$
    Correction question 3

    Le taux d’évolution est $\dfrac{1,08-1,20}{1,20}=-0,1$
    Il s’agit donc d’une baisse de $10\%$
    Réponse C
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. L’équation $x^2 = 144$ admet pour solution(s) dans $\R$ :
    A. $-12$
    B. $12$
    C. $-12$ et $12$
    D. $72$
    $\quad$
    Correction question 4

    $x^2=144\ssi x^2=12^2$
    Il y a donc deux solutions $-12$ et $12$.
    Réponse C
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. L’expression algébrique $3x-6$ est positive pour tout nombre réel $x$ vérifiant :
    A. $x\pg 2$
    B. $x\pp 2$
    C. $x\pg -2$
    D. $x\pp -2$
    $\quad$
    Correction question 5

    On a :
    $\begin{align*} 3x-6\pg 0 &\ssi 3x\pg 6\\
    &\ssi x\pg 2\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. L’inéquation $x^2\pg 9$ a pour ensemble-solution :
    A. $]-\infty;3]$
    B. $[-3;+\infty[$
    C. $[-3;3]$
    D. $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$
    $\quad$
    Correction question 6

    $\begin{align*}x^2\pg 9&\ssi x^2-9\pg 0\\
    &\ssi (x-3)(x+3)\pg 0\end{align*}$
    À l’aide d’un tableau de signes on obtient $x\in]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$.
    Réponse D
    $\quad$
    Remarque : On pouvait tester des valeurs dans chacun des intervalles $]-\infty;3]$, $[-3;+\infty[$, $[-3;3]$ et $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$
    Par exemple : $0$ appartient aux trois premiers intervalles et $0^2\pp 9$. Seule la réponse D convient alors.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. On s’intéresse au tableau d’évolution des prix du carburant sur une période allant de janvier à août :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Mois}& \text{Janvier}& \text{Février}& \text{Mars}& \text{Avril}& \text{Juin}& \text{Juillet}& \text{Août}\\
    \hline
    \text{Indice}& 100& 103& 107& 110& 104& 99& 103\\
    \hline
    \end{array}$$
    Sur la période allant du mois de février au mois d’août, le prix du carburant a toujours :
    A. Baissé
    B. Augmenté
    C. Stagné
    D. Aucune des réponses précédentes
    $\quad$
    Correction question 7

    Le prix a augmenté de janvier à avril puis a baissé d’avril à juillet.
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On considère le tableau de la question 7.
    Entre le mois d’avril et le mois de juillet, le prix du carburant a baissé de :
    A. $11\%$
    B. $10 \%$
    C. $9$
    D. $8 \%$
    $\quad$
    Correction question 8

    Le taux d’évolution est $\dfrac{99-110}{110}=-0,1$
    Il s’agit donc d’une baisse de $10\%$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Une solution dans $\R$ de l’équation $x^2-2x-3=0$ est  :
    A. $0$
    B. $1$
    C. $2$
    D. $3$
    $\quad$
    Correction question 9

    On teste chacune des valeurs :
    $0^2-2\times 0-3=-3\neq 0$
    $1^2-2\times 1-3=-4 \neq 0$
    $2^2-2\times 2-3=-3\neq 0$
    $3^2-2\times 3-3=0$
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(4x-8)(7x+7)$ admet pour tableau de signes :
    $\quad$
    Correction question 10

    On a :
    $\begin{align*} f(2)&=(4\times 2-8)(7\times 2+7)\\
    &=0\times 21\\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} f(-1)&=\left(4\times (-1)-8\right)\left(7\times (-1)+7\right)\\
    &=-12\times 0\\
    &=0\end{align*}$
    Donc $-1$ et $2$ sont des racines.
    Le coefficient principal est $a=4\times 7>0$
    Donc la fonction $f$ est décroissante puis croissante.
    Elle sera donc positive, négative puis enfin positive.
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

 

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Dans une maternité, on estime qu’à la naissance, la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,51$.

On choisit de manière indépendante trois enfants nés dans cette maternité.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de filles parmi ces trois enfants.

  1. Représenter l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles.
    $\quad$
  3. Décrire l’événement $\left\{X=0\right\}$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
  4. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&1&2&3\\
    \hline
    P\left(\left\{X=x\right\}\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On appelle $F$ l’événement « le nouveau-né est une fille ».
    On obtient l’arbre de probabilité suivant:

    $\quad$
  2. Deux enfants sont des filles si on a les événements $F\cap F\cap \conj{F}$, $F\cap\conj{F}\cap F$ ou $\conj{F}\cap F\cap F$.
    Ces trois événements ont la même probabilité $0,51^2\times 0,49$.
    La probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles est égale à $3\times 0,51^2\times 0,49=0,382~347$.
    $\quad$
  3. L’événement $\left\{X=0\right\}$ est « les trois nouveaux-nés sont des garçons ».
    $P\left(\left\{X=0\right\}\right)=0,49^3=0,117~649$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&1&2&3\\
    \hline
    P\left(\left\{X=x\right\}\right)&0,117~649&0,367~353&0,382~347&0,132~651\\
    \hline
    \end{array}$$
    $P\left(\left\{X=3\right\}\right)=0,51^3$
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=0\right\}\right)+P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right)\\
    &=0,367~353\end{align*}$.
    $\quad$
  5. L’espérance de cette variable aléatoire est :
    $\begin{align*}E(X)&=1\times 0,367~353+2\times 0,382~347+3\times 0,132~651 \\
    &=1,53\end{align*}$
    Cela signifie qu’en moyenne sur $3$ naissances, il y a $1,53$ filles.
    Ou encore, en moyenne sur $300$ naissances, il y a $153$ filles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2440

$\quad$

 

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-6x^2+5$.

On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ ainsi que la tangente à cette courbe au point d’abscisse $0$.

  1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé de la fonction $g$ en $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer, pour tout réel $x$, $g'(x)$ où $g’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On admet que pour  tout réel $x$ on a $g'(x)=3x(x-4)$.
    Dresser le tableau de signes sur $\R$ de la fonction $g’$.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x=-1\\
    \text{while }x^3-6x^2+5>-10:\\
    \hspace{1cm} x=x+0,01\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution de cet algorithme, $x$ vaut $1,92$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $g'(0)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $g'(x)=3x^2-6\times 2x+0=3x^2-12x$.
    $\quad$
  3. On a $3x=0 \ssi x=0$ et $3x>0 \ssi x>0$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    $\quad$
  5. Cela signifie donc qu’une valeur approchée à $0,01$ par excès de la solution de l’équation $g(x)=-10$ est $1,92$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2440

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On considère la fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère.

 

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

  1. Résoudre dans $ \R$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $f(x) \pg 28$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On recherche les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont donc $-1$ et $7$.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  3. Une équation de l’axe de symétrie est $x=3$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. On lit que $f(0)=f(6)=28$.
    Par conséquent l’inéquation $f(x)\pg 28$ a pour solution $[0;6]$.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2440

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication, il apparaît deux types de défauts, le défaut mécanique A et le défaut esthétique B.

Sur un lot de $200$ montres, $2 \%$ des montres fabriquées présentent le défaut A, $10 \%$ le défaut B et $178$ montres ne présentent aucun des deux défauts.

  1. a. Combien de montres fabriquées présentent le défaut A ?
    $\quad$
    b. Combien de montres fabriquées présentent le défaut B ?
    $\quad$
    c. Recopier et compléter sur votre copie le tableau croisé des effectifs suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|c|}
    \hline
    \text{Nombre de montres}&\begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{A}\end{array}&\begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut A}\end{array}& \text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{B}\end{array}&&&\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut B}\end{array}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. a. Quelle est la fréquence $f$ des montres présentant les deux défauts ?
    $\quad$
    b. Parmi les montres présentant le défaut B, quel est le pourcentage de celles présentant le défaut A ?
    $\quad$
    c. Le directeur de l’usine affirme : « Il y a plus de $90 \%$ des montres qui ne présentent aucun des deux défauts ». A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{2}{100}\times 200=4$.
    $4$ montres présentent le défaut A.
    $\quad$
    b. $\dfrac{10}{100}\times 200=20$.
    $20$ montres présentent le défaut B.
    $\quad$
    c. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|c|}
    \hline
    \text{Nombre de montres}&\begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{A}\end{array}&\begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut A}\end{array}& \text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{B}\end{array}&\hspace{1.5cm}2&\hspace{1.5cm}18&20\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut B}\end{array}&\hspace{1.5cm}2&\hspace{1.4cm}178&180\\
    \hline
    \text{Total}&\hspace{1.5cm}4&\hspace{1.4cm}196&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $f=\dfrac{2}{200}=0,01$
    $\quad$
    b. On a $\dfrac{2}{20}=0,1=10\%$
    Parmi les montres présentant le défaut B, $10\%$ présentent également le défaut A.
    $\quad$
    c. $\dfrac{178}{200}=0,89=89\%<90\%$
    Le directeur de l’usine a donc tort.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Durant une balade en forêt, un enfant se fabrique un arc et des flèches. Il s’intéresse à la trajectoire d’une de ses flèches.
L’enfant décide de tirer sa flèche par-dessus un hangar désaffecté.
La trajectoire est une portion de la courbe représentative de la fonction $f$ située dans le quart de plan rapporté au repère $(O, I, J)$ ci-dessous et définie pour tout réel $x$, par f(x) = -0,2(x- 5)^2 + 6,5$.

Une unité graphique correspond à $1$ mètre dans la réalité.

  1. a. De quelle hauteur, en mètre, la flèche est-elle tirée ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Quelle hauteur maximale, en mètre, atteint-elle ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. On s’intéresse au pan du toit représenté par le segment $[AB]$, où $A(10 ; 2)$ et $B(6 ; 5,6)$ dans le repère $(O, I, J)$.
    Démontrer qu’une équation de la droite $(AB)$ est $y = -0,9x + 11$.
    $\quad$

On appelle $g$ la fonction affine définie sur $\R$ par $g(x) = -0,9x + 11$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ , $f(x)-g(x) = -0,2(x-5)(x-9,5)$.
    $\quad$
  2. Quelles sont les coordonnées exactes du point d’impact sur le toit ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(0)=-0,2\times (-5)^2+6,5=1,5$.
    La flèche est tirée de $1,5$ mètre de haut.
    $\quad$
    b. On a $f(x)=-0,2(x-5)^2+6,5$.
    Cela signifie donc que le maximum (puisque $-0,2<0$) de la fonction $f$ est atteint pour $x=5$ et vaut $6,5$.
    La hauteur maximale sera donc de $6,5$ mètres.
    $\quad$
  2. On va montrer que les points $A(10;2)$ et $B(6;5,6)$ appartiennent à la droite d’équation $y=-0,9x+11$
    Si $x=10$ alors $y=-0,9\times 10+11=-9+11=2=y_A$
    Si $x=6$ alors $y=-0,9\times 6+11=-5,4+11=5,6=y_B$
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=-0,9x+11$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=-0,2(x-5)^2+6,5-(-0,9x+11) \\
    &=-0,2\left(x^2-10x+25\right)+6,5+0,9x-11 \\
    &=-0,2x^2+2x-5+6,5+0,9x-11\\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} -0,2(x-5)(x-9,5)&=-0,2\left(x^2-9,5x-5x+47,5\right) \\
    &=-0,2\left(x^2-14,5x+47,5\right) \\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\\
    &=f(x)-g(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. Il y un impact sur le toit si $f(x)-g(x)=0$ et que $x\in[6;10]$.
    Or $f(x)-g(x)=0\ssi (x-5)(x-9,5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent :
    $x-5=0 \ssi x=5$ ou $x-9,5=0 \ssi x=9,5$.
    Seul $9,5$ appartient à l’intervalle $[6;10]$.
    $g(9,5)=-0,9\times 9,5+11=2,45$.
    Le point d’impact a donc pour coordonnées $(9,5;2,45)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

« En 2017, les Français ont en moyenne produit 513 kg de déchets ménagers par habitant. » [Source : le site internet Planetescope].

En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant. L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant $5$ ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.

On modélise la situation par la suite $\left(d(n)\right)$ où $d(n)$ représente pour tout entier naturel $n$ la quantité en kg de déchets ménagers moyenne produite par habitant de cette ville durant l’année 2017 $+n$.

  1. Justifier que $d(0) = 530$ et que pour tout entier naturel $n$, on a : $$d(n + 1) = 0,983 d(n)$$
    $\quad$
  2. . Le tableur nous donne les premières valeurs de la suite et permet de les représenter graphiquement :

    a. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir les valeurs de la suite $d$ ?
    $\quad$
    b. Quelle devrait être à ce rythme-là, la production en kilogramme de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2022 ? La campagne de sensibilisation du maire a-t-il permis au maire d’atteindre son objectif ?
    $\quad$
  3. Le maire souhaite maintenant atteindre la moyenne européenne de 2017 qui était de $487$ kg de déchets ménagers par habitant.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous permettant d’obtenir le rang de l’année à partir de laquelle l’objectif du maire sera atteint.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>…:\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{d}=\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En quelle année l’objectif du maire est-il atteint ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant.
    Donc $d(0)=530$
    L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant 5 ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} d(n+1)&=\left(1-\dfrac{1,7}{100}\right)d(n) \\
    &=0,983d(n)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir $=0,983*B2$.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=5$
    $d(1)=520,99$
    $d(2)\approx 512,13$
    $d(3)\approx 503,43$
    $d(4)\approx 494,87$
    $d(5)\approx 486,46$
    Ainsi $d(5)<513$
    L’objectif du maire est donc atteint.
    Remarque : on pouvait également lire sur le graphique que $d(5)<490<513$
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>487\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\text{n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{d}=0,983*\text{d}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $d(4) \approx 494,87>487$ et $d(5) \approx 486,46<487$.
    C’est donc en 2022 que l’objectif du maire sera atteint.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$