E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Dans une maternité, on estime qu’à la naissance, la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,51$.

On choisit de manière indépendante trois enfants nés dans cette maternité.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de filles parmi ces trois enfants.

  1. Représenter l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles.
    $\quad$
  3. Décrire l’événement $\left\{X=0\right\}$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
  4. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&1&2&3\\
    \hline
    P\left(\left\{X=x\right\}\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On appelle $F$ l’événement « le nouveau-né est une fille ».
    On obtient l’arbre de probabilité suivant:

    $\quad$
  2. Deux enfants sont des filles si on a les événements $F\cap F\cap \conj{F}$, $F\cap\conj{F}\cap F$ ou $\conj{F}\cap F\cap F$.
    Ces trois événements ont la même probabilité $0,51^2\times 0,49$.
    La probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles est égale à $3\times 0,51^2\times 0,49=0,382~347$.
    $\quad$
  3. L’événement $\left\{X=0\right\}$ est « les trois nouveaux-nés sont des garçons ».
    $P\left(\left\{X=0\right\}\right)=0,49^3=0,117~649$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&1&2&3\\
    \hline
    P\left(\left\{X=x\right\}\right)&0,117~649&0,367~353&0,382~347&0,132~651\\
    \hline
    \end{array}$$
    $P\left(\left\{X=3\right\}\right)=0,51^3$
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=0\right\}\right)+P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right)\\
    &=0,367~353\end{align*}$.
    $\quad$
  5. L’espérance de cette variable aléatoire est :
    $\begin{align*}E(X)&=1\times 0,367~353+2\times 0,382~347+3\times 0,132~651 \\
    &=1,53\end{align*}$
    Cela signifie qu’en moyenne sur $3$ naissances, il y a $1,53$ filles.
    Ou encore, en moyenne sur $300$ naissances, il y a $153$ filles.
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2440

$\quad$

 

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-6x^2+5$.

On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ ainsi que la tangente à cette courbe au point d’abscisse $0$.

  1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé de la fonction $g$ en $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer, pour tout réel $x$, $g'(x)$ où $g’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On admet que pour  tout réel $x$ on a $g'(x)=3x(x-4)$.
    Dresser le tableau de signes sur $\R$ de la fonction $g’$.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x=-1\\
    \text{while }x^3-6x^2+5>-10:\\
    \hspace{1cm} x=x+0,01\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution de cet algorithme, $x$ vaut $1,92$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $g'(0)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $g'(x)=3x^2-6\times 2x+0=3x^2-12x$.
    $\quad$
  3. On a $3x=0 \ssi x=0$ et $3x>0 \ssi x>0$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    $\quad$
  5. Cela signifie donc qu’une valeur approchée à $0,01$ par excès de la solution de l’équation $g(x)=-10$ est $1,92$.
    $\quad$

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$\quad$

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$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On considère la fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère.

 

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

  1. Résoudre dans $ \R$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $f(x) \pg 28$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On recherche les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont donc $-1$ et $7$.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  3. Une équation de l’axe de symétrie est $x=3$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. On lit que $f(0)=f(6)=28$.
    Par conséquent l’inéquation $f(x)\pg 28$ a pour solution $[0;6]$.
    $\quad$

 

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$\quad$

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$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication, il apparaît deux types de défauts, le défaut mécanique A et le défaut esthétique B.

Sur un lot de $200$ montres, $2 \%$ des montres fabriquées présentent le défaut A, $10 \%$ le défaut B et $178$ montres ne présentent aucun des deux défauts.

  1. a. Combien de montres fabriquées présentent le défaut A ?
    $\quad$
    b. Combien de montres fabriquées présentent le défaut B ?
    $\quad$
    c. Recopier et compléter sur votre copie le tableau croisé des effectifs suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|c|}
    \hline
    \text{Nombre de montres}&\begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{A}\end{array}&\begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut A}\end{array}& \text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{B}\end{array}&&&\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut B}\end{array}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. a. Quelle est la fréquence $f$ des montres présentant les deux défauts ?
    $\quad$
    b. Parmi les montres présentant le défaut B, quel est le pourcentage de celles présentant le défaut A ?
    $\quad$
    c. Le directeur de l’usine affirme : « Il y a plus de $90 \%$ des montres qui ne présentent aucun des deux défauts ». A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{2}{100}\times 200=4$.
    $4$ montres présentent le défaut A.
    $\quad$
    b. $\dfrac{10}{100}\times 200=20$.
    $20$ montres présentent le défaut B.
    $\quad$
    c. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|c|}
    \hline
    \text{Nombre de montres}&\begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{A}\end{array}&\begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut A}\end{array}& \text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Présentant le défaut}\\\text{B}\end{array}&\hspace{1.5cm}2&\hspace{1.5cm}18&20\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Ne présentant pas le}\\\text{défaut B}\end{array}&\hspace{1.5cm}2&\hspace{1.4cm}178&180\\
    \hline
    \text{Total}&\hspace{1.5cm}4&\hspace{1.4cm}196&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $f=\dfrac{2}{200}=0,01$
    $\quad$
    b. On a $\dfrac{2}{20}=0,1=10\%$
    Parmi les montres présentant le défaut B, $10\%$ présentent également le défaut A.
    $\quad$
    c. $\dfrac{178}{200}=0,89=89\%<90\%$
    Le directeur de l’usine a donc tort.
    $\quad$

 

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Durant une balade en forêt, un enfant se fabrique un arc et des flèches. Il s’intéresse à la trajectoire d’une de ses flèches.
L’enfant décide de tirer sa flèche par-dessus un hangar désaffecté.
La trajectoire est une portion de la courbe représentative de la fonction $f$ située dans le quart de plan rapporté au repère $(O, I, J)$ ci-dessous et définie pour tout réel $x$, par f(x) = -0,2(x- 5)^2 + 6,5$.

Une unité graphique correspond à $1$ mètre dans la réalité.

  1. a. De quelle hauteur, en mètre, la flèche est-elle tirée ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Quelle hauteur maximale, en mètre, atteint-elle ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. On s’intéresse au pan du toit représenté par le segment $[AB]$, où $A(10 ; 2)$ et $B(6 ; 5,6)$ dans le repère $(O, I, J)$.
    Démontrer qu’une équation de la droite $(AB)$ est $y = -0,9x + 11$.
    $\quad$

On appelle $g$ la fonction affine définie sur $\R$ par $g(x) = -0,9x + 11$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ , $f(x)-g(x) = -0,2(x-5)(x-9,5)$.
    $\quad$
  2. Quelles sont les coordonnées exactes du point d’impact sur le toit ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(0)=-0,2\times (-5)^2+6,5=1,5$.
    La flèche est tirée de $1,5$ mètre de haut.
    $\quad$
    b. On a $f(x)=-0,2(x-5)^2+6,5$.
    Cela signifie donc que le maximum (puisque $-0,2<0$) de la fonction $f$ est atteint pour $x=5$ et vaut $6,5$.
    La hauteur maximale sera donc de $6,5$ mètres.
    $\quad$
  2. On va montrer que les points $A(10;2)$ et $B(6;5,6)$ appartiennent à la droite d’équation $y=-0,9x+11$
    Si $x=10$ alors $y=-0,9\times 10+11=-9+11=2=y_A$
    Si $x=6$ alors $y=-0,9\times 6+11=-5,4+11=5,6=y_B$
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=-0,9x+11$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=-0,2(x-5)^2+6,5-(-0,9x+11) \\
    &=-0,2\left(x^2-10x+25\right)+6,5+0,9x-11 \\
    &=-0,2x^2+2x-5+6,5+0,9x-11\\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} -0,2(x-5)(x-9,5)&=-0,2\left(x^2-9,5x-5x+47,5\right) \\
    &=-0,2\left(x^2-14,5x+47,5\right) \\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\\
    &=f(x)-g(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. Il y un impact sur le toit si $f(x)-g(x)=0$ et que $x\in[6;10]$.
    Or $f(x)-g(x)=0\ssi (x-5)(x-9,5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent :
    $x-5=0 \ssi x=5$ ou $x-9,5=0 \ssi x=9,5$.
    Seul $9,5$ appartient à l’intervalle $[6;10]$.
    $g(9,5)=-0,9\times 9,5+11=2,45$.
    Le point d’impact a donc pour coordonnées $(9,5;2,45)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

« En 2017, les Français ont en moyenne produit 513 kg de déchets ménagers par habitant. » [Source : le site internet Planetescope].

En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant. L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant $5$ ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.

On modélise la situation par la suite $\left(d(n)\right)$ où $d(n)$ représente pour tout entier naturel $n$ la quantité en kg de déchets ménagers moyenne produite par habitant de cette ville durant l’année 2017 $+n$.

  1. Justifier que $d(0) = 530$ et que pour tout entier naturel $n$, on a : $$d(n + 1) = 0,983 d(n)$$
    $\quad$
  2. . Le tableur nous donne les premières valeurs de la suite et permet de les représenter graphiquement :

    a. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir les valeurs de la suite $d$ ?
    $\quad$
    b. Quelle devrait être à ce rythme-là, la production en kilogramme de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2022 ? La campagne de sensibilisation du maire a-t-il permis au maire d’atteindre son objectif ?
    $\quad$
  3. Le maire souhaite maintenant atteindre la moyenne européenne de 2017 qui était de $487$ kg de déchets ménagers par habitant.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous permettant d’obtenir le rang de l’année à partir de laquelle l’objectif du maire sera atteint.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>…:\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{d}=\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En quelle année l’objectif du maire est-il atteint ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant.
    Donc $d(0)=530$
    L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant 5 ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} d(n+1)&=\left(1-\dfrac{1,7}{100}\right)d(n) \\
    &=0,983d(n)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir $=0,983*B2$.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=5$
    $d(1)=520,99$
    $d(2)\approx 512,13$
    $d(3)\approx 503,43$
    $d(4)\approx 494,87$
    $d(5)\approx 486,46$
    Ainsi $d(5)<513$
    L’objectif du maire est donc atteint.
    Remarque : on pouvait également lire sur le graphique que $d(5)<490<513$
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>487\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\text{n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{d}=0,983*\text{d}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $d(4) \approx 494,87>487$ et $d(5) \approx 486,46<487$.
    C’est donc en 2022 que l’objectif du maire sera atteint.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – automatismes – Séries technologiques – janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1.  Donner le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $25 \%$.
    $\quad$
    Correction question 1

    Le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{25}{100}=1,25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Donner le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $11 \%$.
    $\quad$
    Correction question 2

    Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{11}{100}=0,89$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Une calculatrice qui coûte $79$ € bénéficie d’une remise de 20 % ; quel est son prix final ?
    $\quad$
    Correction question 3

    Le nouveau prix est :
    $79\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=79\times 0,8=63,2$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre dans $\R$ l’équation $3x-8 = 5x + 10$.
    $\quad$$\quad$
    Correction question 4

    $\begin{align*} 3x-8=5x+10&\ssi -8=5x+10-3x \\
    &\ssi -8=2x+10 \\
    &\ssi -8-10=2x\\
    &\ssi -18=2x \\
    &\ssi x=-9\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-9$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation $x^2 = 144$.
    $\quad$
    Correction question 5

    $x^2=144 \ssi x=\sqrt{144}$ ou $x=-\sqrt{144}$
    $\phantom{x^2=144} \ssi x=12$ ou $x=-12$
    Les solutions de l’équation sont $12$ et $-12$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Un jean coûte $110$ euros, il est d’abord soldé à $30 \%$ puis il est de nouveau soldé à $20 \%$. Quel est le prix final ?
    $\quad$
    Correction question 6

    Après la première baisse, le prix du jean est égale à :
    $110\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=110\times 0,7=77$ €
    Après la seconde baisse, le prix du jean est égale à :
    $77\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=77\times 0,8=61,6$ €.
    Remarque : Pour calculer ce second prix, il est peut-être plus rapide de calculer $10\%$ de $77$ €, soit $7,7$ €, et ensuite de calculer le montant de la baisse $2\times 7,7 = 15,4$ € et enfin d’en déduire le prix final.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $5t-6 > 2t + 6$.
    $\quad$
    Correction question 7

    $\begin{align*} 5t-6>2t+6 &\ssi 5t-6-2t>6 \\
    &\ssi 3t-6>6 \\
    &\ssi 3t>6+6\\
    &\ssi 3t>12\\
    &\ssi t>4\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]4;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Après une augmentation de $20 \%$, un objet coûte $72$ euros. Quel est son prix initial ?
    $\quad$
    Correction question 8

    On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=72 &\ssi 1,2P=72 \\
    &\ssi P=\dfrac{72}{1,2} \\
    &\ssi P=60\end{align*}$
    L’objet coûtait initialement $60$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. À l’aide de la capture d’écran ci-dessous, déterminer le signe sur $\R$ de l’expression $-2,25 − 45,5x$.
    $\quad$
    Correction question 9

    D’après la capture d’écran, la solution de l’équation $-2,25-45,5x=0$ est $-\dfrac{9}{182}$
    Le coefficient directeur de $-2,25-45,5x$ est négatif.
    Par conséquent :
    $\bullet \quad -2,25-45,5x>0$ sur l’intervalle $\left]-\infty,-\dfrac{9}{182}\right[$
    $\bullet \quad -2,25-45,5x=0$ si $x=-\dfrac{9}{182}$
    $\bullet \quad -2,25-45,5x<0$ sur l’intervalle $\left]-\dfrac{9}{182};+\infty\right[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Donner le tableau de signe sur $\R$ de l’expression $- 7(x- 2)(-2x + 5)$.
    $\quad$
    Correction question 10

    $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
    $-2x+5=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=2,5$ et $-2x+5>0 \ssi -2x>-5 \ssi x<2,5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

L’objectif de l’exercice est de trouver le maximum de la fonction $r$ définie sur l’intervalle $[200;400]$ par $r(x)=-0,01x^3+4x^2$.

  1. On admet que la fonction $r$ est dérivable sur $[200;400]$ et on note $r’$ sa dérivée.
    Calculer $r'(x)$ et montrer que $r'(x)=x(-0,03x+8)$.
    $\quad$
  2. Donner le tableau de signe de la fonction dérivée $r’$ sur l’intervalle $[200;400]$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation de la fonction $r$ sur l’intervalle $[200;400]$.
    $\quad$
  4. Quel est le maximum de cette fonction sur l’intervalle $[200;400]$? En quelle valeur est-il atteint?
    $\quad$
  5. Pour vérifier la solution de l’équation $r'(x)=0$ sur l’intervalle $[200;400]$, on utilise l’algorithme de balayage ci-dessous, écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def balayage(pas)}:\\
    \hspace{1cm} x=200\\
    \hspace{1cm} \text{while }x*(-0,03x+8)>0:\\
    \hspace{2cm} x=x+\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \text{return$(x-$pas$,x)$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que renvoie l’instruction $\text{balayage(1)}$?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[200;400]$ on a :
    $r'(x)=-0,01\times 3x^2+4\times 2x=-0,03x^2+8x=x(-0,03x+8)$
    $\quad$
  2. $-0,03x+8=0 \ssi -0,03x=-8 \ssi x=\dfrac{8}{0,03} \ssi x=\dfrac{800}{3}$
    $-0,03x+8>0 \ssi -0,03x>-8 \ssi x<\dfrac{800}{3}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  3. Voir tableau précédent
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le maximum est atteint en $\dfrac{800}{3}$ et vaut $\dfrac{2~560~000}{3}$.
    $\quad$
  5. On a $\dfrac{800}{3}\approx 266,7$
    Donc l’instruction $\text{balayage(1)}$ renvoie $(266,267)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2424

$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – probabilités – janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice 

Le gérant d’un restaurant développe une nouvelle formule de restauration rapide le midi. Il propose un menu comprenant un plat et un dessert. Les clients ont le choix entre deux plats (viande ou poisson) et trois desserts (pâtisserie, laitage ou fruit).

Il teste sa formule pendant un mois et étudie toutes les commandes pour mieux connaître les souhaits de sa clientèle.

  • Parmi les $600$ commandes faites au cours de ce mois, $72\%$ comprenaient un plat de viande.
  • $45\%$ des clients ont pris une pâtisserie et, parmi eux, $44$ avaient choisi le plat de poisson.
  • Parmi les $138$ commandes comprenant un fruit comme dessert, $73$ comprenaient le plat de poisson.
  1. Recopier et compléter le tableau suivant qui récapitule les résultats de l’enquête.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Pâtisserie}&\text{Laitage}&\text{Fruit}&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Viande}&&&&\\
    \hline
    \text{Poisson}&44&&73&\\
    \hline
    \text{Total}&&&&600\\
    \hline
    \end{array}$$

On choisit une commande au hasard parmi celles faites pendant le mois de l’enquête.

on note :

  • $A$ : l’événement « La commande comprend du poisson »
  • $B$ : l’événement « La commande comprend une pâtisserie »
  1. Calculer la probabilité de l’événement $A$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que la commande comprenne à la fois du poisson et une pâtisserie.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que la commande comprenne de la viande sachant qu’elle comprend une pâtisserie.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Pâtisserie}&\text{Laitage}&\text{Fruit}&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Viande}&226&141&65&432\\
    \hline
    \text{Poisson}&44&51&73&168\\
    \hline
    \text{Total}&270&192&138&600\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\dfrac{72}{100}\times 600=732$ et $600-432=168$
    $\dfrac{45}{100}\times 600=270$ et $270-44=226$
    $600-(270+138)=192$
    $138-73=65$ et $432-(226+65)=141$
    $192-141=51$
    $\quad$
  2. $P(A)=\dfrac{168}{600}=0,28$
    $\quad$
  3. $P(B)=\dfrac{270}{600}=0,45$
    $\quad$
  4. On veut calculer $P(A\cap B)=\dfrac{44}{600}\approx 0,07$.
    La probabilité que la commande comprenne à la fois du poisson et une pâtisserie est environ égale à $0,07$.
    $\quad$
  5. On veut calculer $P_B(A)=\dfrac{A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{44}{270}\approx 0,16$.
    La probabilité que la commande comprenne de la viande sachant qu’elle comprend une pâtisserie est environ égale à $0,16$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source du sujet : https://ccbac.fr/voir.php?id=2404
$\quad$

E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Une entreprise produit mensuellement entre $200$ et $3~000$ panneaux solaires.

On modélise le résultat de l’entreprise réalisé sur la vente de $x$ centaines de panneaux solaires par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[2;30]$ par : $$f(x)=-2x^2+90x-400$$

  1. On admet que, pour tout $x$ de l’intervalle $[2;30]$, on a $f(x)=-2(x-40)(x-5)$.
    Donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
    $\quad$
  2. À partir de quel volume de production de panneaux solaires le résultat réalisé par l’entreprise est positif?
    $\quad$
  3. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
    Donner l’expression de $f'(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  4. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
    $\quad$
  5. Déterminer la valeur du bénéfice maximal et le volume de production correspondant.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $x-40=0 \ssi x=40$ et $x-40>0 \ssi x> 40$
    $x-5=0\ssi x=5$ et $x-5>0\ssi x>5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. D’après le tableau de signes précédent, $f(x)$ est positif sur l’intervalle $[5;30]$.
    L’entreprise doit donc produire au moins $500$ panneaux solaires pour que le résultat soit positif.
    $\quad$
  3. On a $f(x)=-2x^2+90x-400$
    Donc $f'(x)=-2\times 2x+90 = -4x+90$
    $\quad$
  4. On a :
    $-4x+90=0 \ssi -4x=-90 \ssi x=22,5$
    $-4x+90>0 \ssi -4x>-90 \ssi x<22,5$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédent, le bénéfice maximal est de $612,5$ €. Il est atteint quand l’entreprise produit $2~250$ panneaux.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393

$\quad$