Sujets et corrections de Bac – Spécialité mathématiques

Sujets et corrections de Bac – Spécialité mathématiques

Bac – Spécialité mathématiques – sujet 2 – Métropole – Mars 2021

Métropole – Mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie I

  1. On a
    $\begin{align*} P(X=0)&=\dbinom{9}{0}0,03^0 \times 0,97^9 \\
    &=0,97^9 \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    $P(X=2)=\dbinom{9}{2}0,03^2 \times 0,97^7$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)$
    Réponse d
    $\quad$

Partie II

  1. Si $V_1$ est réalisé alors, parmi les $7$ boules restantes il y a $4$ boules vertes.
    Ainsi $P_{V_1}\left(V_2\right)=\dfrac{4}{7}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\left(V_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P\left(V_2\right)&=P\left(V_1\right)P_{V_1}\left(V_2\right)+P\left(B_1\right)P_{B_1}\left(V_2\right) \\
    &=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{5}{7}\\
    &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=u_0+v_0=2$
    $v_1=2u_0+v_0=3$
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=2u_n+v_n-v_n\\
    &=2u_n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc strictement croissante.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n\pg v_0$
    Soit $v_n \pg 1$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $n+1=1$
    Donc $u_0\pg 0+1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, $u_n\pg n+1$ et, d’après la question précédente, $v_n\pg 1$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+v_n \\
    &\pg n+1+1\\
    &\pg n+2\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp (-1)^{n+1} \pp 1$
    Donc $-\dfrac{1}{u_n^2}\pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$
    $\quad$
    b. Or $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n^2=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2}=0$
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a $r_n=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n^2=2$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to 2} \sqrt{x}=\sqrt{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} r_{n+1} &=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} \\
    &=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}\\
    &=\dfrac{u_n\left(2+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}{u_n\left(1+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}\\
    &=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}\end{align*}$
    $\quad$
    e. Cela signifie que le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $\abs{r_n-\sqrt{2}}\pp 10^{-4}$ est $5$.
    Ainsi $r_5$ est une approximation de $\sqrt{2}$ à au plus $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\vect{AB}.\vec{n}=-6+6+0=0$
    $\vect{AC}.\vec{n}=-6+0+6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    C’est, par conséquent, un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+2y+6z+d=0$
    Le point $A(2;0;0)$appartient à ce plan.
    Ainsi $6+d=0 \ssi d=-6$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2t\\z=6t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. La droite $d$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    Il existe donc un point d’intersection de la droite et du plan.
    Vérifions que le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$ appartient à la droite $d$ et au plan $(ABC)$.
    Le point de paramètre $t=\dfrac{6}{49}$ de la droite $d$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$. Ainsi $H\in d$.
    $\begin{align*}&3\times \dfrac{18}{49}+2\times \dfrac{12}{49}+6\times \dfrac{36}{49}-6\\
    &=\dfrac{54}{49}+\dfrac{24}{49}+\dfrac{216}{49}-\dfrac{294}{49} \\
    &=\dfrac{294}{49}-\dfrac{294}{49}\\
    &=0\end{align*}$
    Donc $H\in (ABC)$.
    La droite $d$ coupe donc le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{12}{49}\right)^2+\left(\dfrac{36}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{324}{49^2}+\dfrac{244}{49^2}+\dfrac{1~296}{49^2}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1~764}{49^2}}\\
    &=\dfrac{42}{49} \\
    &=\dfrac{6}{7}\end{align*}$
    $\quad$
  3. D’une part :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{OBC}\times OA}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1\times 3}{2}\times 2}{3} \\
    &=1\end{align*}$
    D’autre part :$V=\dfrac{\text{aire}_{ABC}\times OH}{3}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \text{aire}_{ABC}\times OH=3&\ssi \text{aire}_{ABC}=\dfrac{3}{OH} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC}=3\times \dfrac{7}{6} \\
    &\ssi \text{aire}_{ABC} =\dfrac{7}{2}\end{align*}$

Ex A

Exercice A

  1. a. On résout l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2\e^{-x}=\e^{-x} \\
    &\ssi x^2\e^{-x}-\e^{-x}=0\\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x}=0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x}=0\\
    &=\ssi x=1 \text{ ou } x=-1 \text{ ou } \e^{-x}=0\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont donc $-1$ et $1$.
    De plus $f(1)=\e^{-1}$ et $f(-1)=\e$
    Les points d’intersection de $C_f$ et $C_g$ on pour coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ et $(-1;\e)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(x)\pp g(x) &\ssi x^2\e^{-x} \pp \e^{-x} \\
    &\ssi \left(x^2-1\right)\e^{-x} \pp 0\\
    &\ssi (x-1)(x+1)\e^{-x} \pp  0 \\
    &\ssi (x-1)(x+1) \pp 0 \text{   car } \e^{-x}>0\\
    &\ssi x\in [-1;1]\end{align*}$
    Ainsi $C_f$ est au-dessous de $C_g$ sur $[-1;1]$ et au-dessus sur $]-\infty;-1]$ et $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\in[-1;1]$ on a :
    $\begin{align*} d'(x)&=-\e^{-x}-2x\e^{-x}+x^2\e^{-x} \\
    &=\left(x^2-2x-1\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $d'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=8$.
    Ses racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2-2x-1<0$ sur $\left]1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right[$ et $x^2-2x-1>0$ sur $\left]-\infty;1-\sqrt{2}\right[\cup\left]1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    La fonction $d$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[-1;1-\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[1-\sqrt{2};1\right]$.
    $\quad$
    c. La fonction $d$ atteint donc sur l’intervalle $[-1;1]$ un maximum en $1-\sqrt{2}$.
    Ainsi $x_0=1-\sqrt{2}$.
    $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$.
    Ainsi $M_0N_0  \approx 1,3$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=-\e^{-x}-1<0$.
    La fonction $h$ est donc continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=-\infty$
    Pour tout réel $x$ on a $h(x)=\e^{-x}\left(1-x\e^x-2\e^x\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$, $\lim\limits_{x\to -infty} \e^{-x}=+\infty$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=-\infty$.
    Or $O\in ]-\infty;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    $g(x)=x+2 \ssi \e^{-x}=x+2\ssi \e^{-x}-x-2=0\ssi h(x)=0$
    La droite $\Delta$ et la courbe $C_g$ ont donc un unique point d’intersection.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0} 2x-2=2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{x}+2$
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de termes strictement positifs.
    La fonction $g$ est par conséquent strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $g(1)=0+2-2=0$
    Ainsi $\alpha=1$
    La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ et $g(1)=0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~ g(x)<0$ sur $]0;1[$
    $\bullet~ g(1)=0$
    $\bullet~ g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}

  1. a. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x^2}\left(\ln(x)-1\right)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)x}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question I.4. on a :
    $\quad$
  2. $f(x)=0 \ssi 2-\dfrac{1}{x}=0$ ou $\ln(x)-1=0$
    $\phantom{f(x)=0}\ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty[$ et s’annule uniquement en $\dfrac{1}{2}$ et $\e$.
    De plus $\dfrac{1}{2}<1<\e$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction$\boldsymbol{F}$

  1. Pour tout réel $x>0$ on a $F'(x)=f(x)$
    D’après la question précédente :
    $\bullet~ F$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et sur $[\e;+\infty[$.
    $\bullet~ F$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};\e\right]$.
    $\quad$
  2. $F'(x)=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\e$.
    Par conséquent les tangentes à $C_F$ aux points d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ et $\e$ sont parallèles à l’axe des abscisses.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

PARTIE I

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement $97 \%$ des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=0,03$.

  1. La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $0,24$
    d. $0,76$
    $\quad$
  2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :
    a. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^2 \times 0,03^7\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dbinom{9}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dbinom{7}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :
    a. $P(X<1)$
    b. $P(X\pp 1)$
    c. $P(X\pg 2)$
    d. $1-P(X=0)$
    $\quad$

PARTIE II

Une urne contient $5$ boules vertes et $3$ boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
On considère les évènements suivants :

  • $V_1$ : « la première boule tirée est verte » ;
  • $B_1$ : « la première boule tirée est blanche » ;
  • $V_2$ : « la seconde boule tirée est verte » ;
  • $B_2$ : « la seconde boule tirée est blanche ».
  1. La probabilité de $V_2$ sachant que $V_1$ est réalisé, notée $P_{V_1}\left(V_2\right)$, est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{4}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{5}{14}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{20}{56}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $V_2$ est égale à :
    a. $\dfrac{5}{8}\rule{0pt}{25pt}$
    b. $\dfrac{5}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    c. $\dfrac{3}{28}\rule{0pt}{25pt}$
    d. $\dfrac{9}{7}\rule{0pt}{25pt}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} u_0=v_0=1\\u_{n+1}=u_n+v_n\\v_{n+1}=2u_n+v_n\end{cases}$$
Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont strictement positives.

  1. a. Calculer $u_1$ et $v_1$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n\pg 1$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $$r_n=\dfrac{v_n}{u_n}$$
    On admet que : $$r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$-\dfrac{1}{u_n^2} \pp \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\pp \dfrac{1}{u_n^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
    $\quad$
    d. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}$$
    $\quad$
    e. On considère le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \quad n=0\\
    \quad r=1\\
    \quad \text{while abs(r-sqrt(2))}>10**(-4) :\\
    \qquad r=(2+r)/(1+r)\\
    \qquad n=n+1\\
    \quad \text{return }n\\
    \hline
    \end{array}$$
    ($\text{abs}$ désigne la valeur absolue, $\text{sqrt}$ la racine carrée et $10**(-4)$ représente $10^{-4}$)
    La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est $5$.
    À quoi correspond-elle ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$A$ de coordonnées $(2 ;0 ;0)$, $B$ de coordonnées $(0 ;3 ;0)$ et $C$ de coordonnées $(0 ;0 ;1)$.

L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle $ABC$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x+2y+6z-6=0$.
    $\quad$
  2. On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{12}{49};\dfrac{36}{49}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance $OH$.
    $\quad$
  3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ , où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation.

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$f(x)=x^2\e^{-x} \quad \text{ et } \quad g(x)=\e^{-x}$$

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

  1. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1 ;1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $\left(x ;f(x)\right)$ et $N$ de coordonnées $\left(x ;g(x)\right)$, et on note $d(x)$ la distance $MN$.
    On admet que : $d(x)=\e^{-x}-x^2\e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l’intervalle $[-1;1]$ et on note $d’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que $d'(x) =\e^{-x}\left(x^2-2x-1\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l’intervalle $[-1 ;1]$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d’obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
    $\quad$
  3. Soit $\Delta$ la droite d’équation $y=x+2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par : $h(x)=\e^{-x}-x-2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l’équation $h(x)=0$, déterminer le nombre de points d’intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $C_g$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)+2x-2$.

  1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II : Étude d’une fonction $\boldsymbol{f}$

On considère la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\left(\ln(x)-1\right)$.

  1. a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa dérivée.
    Démontrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty[$[, on a : $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. Le calcul des limites n’est pas demandé.
    $\quad$
  2. Résoudre l‘équation $f(x)=0$ sur $]0;+\infty[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie III : Étude d’une fonction $\boldsymbol{F}$ admettant pour dérivée la fonction $\boldsymbol{f}$

On admet qu’il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0;+\infty[$ dont la dérivée $F’$ est la fonction $f$. Ainsi, on a : $F’=f$.

On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $\Oij$.

On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

  1. Étudier les variations de $F$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – sujet 1 – Métropole – Mars 2021

Métropole – Mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie I

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :


    $\quad$

  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(D\cap A)&=p(D)\times p_D(A)\\
    &=0,1\times 0,6\\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(D)\times p_D(A)+p\left(\conj{D}\right)p_{\conj{D}}(A)\\
    &=0,06+0,9\times 0,2\\
    &=0,06+0,18\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_A\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{D}\right)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,18}{0,24} \\
    &=0,75\end{align*}$
    La probabilité que le dossier du candidat n’ait pas été sélectionné sachant qu’il a été admis à l’école est égale à $0,75$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=7$ et $p=0,24$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{7}{1}0,24\times (1-,24)^6 \\
    &\approx 0,32\end{align*}$
    La probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école est environ égale à $0,32$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1)\\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école est environ égale à $0,53$.
    $\quad$
  2. a. La probabilité qu’un candidat ne soit pas admis est égale à $1-0,24=0,76$.
    Les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
    Par conséquent la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école est égale à $0,76^n$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est $1-0,76^n$.
    On doit donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} 1-0,76^n \pg 0,99 &\ssi -0,76^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,76^n\pp 0,01\\
    &\ssi n\ln(0,76) \pp \ln(0,01)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\end{align*}$
    Car $\ln(0,76)<0$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)} \approx 16,8$.
    Le lycée doit donc présenter au moins $17$ candidats dans cette école pour que la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
    L’axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x \times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. $\bullet $ Pour tout réel $x>0$ on a donc $f(x)\pg \e$.
    Ainsi si $m<\e$ alors l’équation $f(x)=m$ ne possède pas de solution.
    $\bullet$ Soit $m>\e$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
    Or $m\in ]\e;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) strictement croissante sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et $f(1)=\e$
    Or $m\in ]\e;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=m$ possède exactement deux solutions sur $]0;+\infty[$.
    $\bullet$ Si $m=\e$ La fonction $f$ atteint une seule fois son minimum en $1$ et celui-ci vaut $\e$.
    L’équation $f(x)=m$ possède alors une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. a. Le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est $-1$.
    Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si, et seulement si, leur coefficients directeurs sont égaux.
    Le coefficient directeur d’une tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est $f'(a)$.
    Ainsi $a$ est solution, dans $]0;+\infty[$ de l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=-1&\ssi \dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}=-1\\
    &\ssi \e^x(x-1)=-x^2\\
    &\ssi \e^x(x-1)+x^2=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^x(x-1)+\e^x+2x \\
    &=x\e^x+2x\\
    &=x\left(\e^x+2\right)\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>0$ sur $\R$
    De plus sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et ne s’annule qu’en $0$.
    Par conséquent $g'(x)\pg 0$ et $g'(x)$ ne s’annule qu’en $0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} x-1=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $g(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Or $0\in ]-1;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$.
    De plus $g(0)\neq 0$.
    Il existe par conséquent un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $K$ appartient à $(SD)$ donc $(DK)$ et $(SD)$ sont coplanaires.
    $S$ est le sommet de la pyramide et $I$ est le centre du carré $ABCD$ donc $(AS)$ et $(IC)$ sont coplanaires.
    D’après le théorème des milieux (ou du théorème de Thalès) la droite $(LM)$ est parallèle à la droite $(BC)$, elle-même parallèle à la droite $(AD)$. Par conséquent $(LM)$ et $(AD)$ sont coplanaires.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $K$ est le milieu de $[SD]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $L$ est le milieu de $[SC]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)$
    Ainsi $N$ milieu de $[KL]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont $\begin{pmatrix} 0-(-1)\\0-0\\1-0\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de la droite $(AS)$ est $\vect{AS}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
    On exclut donc les propositions a. et d., dont un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    En prenant $t=0$ dans la propositions c. on retrouve les coordonnées du point $S$ et en prenant $t=-1$ on retrouve les coordonnées du point $A$.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Si on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées des points $S$, $C$ et $B$ on constate que seule l’équation $x+y+z-1=0$ convient.
    Réponse b
    $\quad$

Ex A

Exercice A

  1. On a $u_1=\dfrac{3}{4}\times 1+0+1=\dfrac{7}{4}$
    $u_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{41}{16}$
    $\quad$
  2. a. On a pu écrire $=3/4*\text{B2}+1/4*\text{A2}+1$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
    $\quad$
  3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $0\pp u_0 \pp 0+1$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} n\pp u_n\pp n+1&\ssi \dfrac{3}{4}n \pp \dfrac{3}{4}u_n \pp \dfrac{3}{4}n+\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n\pp \dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n\pp n+\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n+1\pp u_{n+1} \pp n+1+\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    Or $n+2> n+1+\dfrac{3}{4}$
    Ainsi $n+1\pp u_{n+1}\pp n+2$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $n\pp u_n \pp n+1$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-u_n\\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1 \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(n-u_n\right)+1\\
    &\pg \dfrac{1}{4}\left(n-(n+1)\right)+1\\
    &\pg -\dfrac{1}{4}+1\\
    &\pg \dfrac{3}{4}\\
    &> 0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N^*$ on a $n\pp u_n \pp n+1$ donc $1\pp \dfrac{u_n}{n}\pp 1+\dfrac{1}{n}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1) \\
    &=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1-n-1\\
    &=\dfrac{3}{4}u_n-\dfrac{3}{4}n\\
    &=\dfrac{3}{4}\left(u_n-n\right)\\
    &=\dfrac{3}{4}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
    Ainsi $u_n=v_n+n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B

  1. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x^2}=0$ et, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-4x+3$.
    $\Delta=16-12=4>0$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
    $x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    b. On a $6-4\ln(3)\approx 1,61$ et $\dfrac{5}{3} \approx 1,67$.
    Ainsi, par lecture du tableau de variations, l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$ possède exactement $3$ solutions (une dans chaque intervalle du tableau).
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    On reprend l’expression de $f'(x)=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}$
    Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{6}{x^3} \\
    &=\dfrac{4x-6}{x^3} \end{align*}$
    Sur $]0;+\infty$, on a $x^3>0$ donc $f\dsec(x)$ est du signe de $4x-6$ sur $]0;+\infty[$.
    $4x-6=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $4x-6>0 \ssi x>\dfrac{3}{2}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\dfrac{3}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ ne change qu’une seule fois de convexité sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathcal{C}$ possède donc un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$ et d’ordonnées $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{7}{2}-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

  • $10 \%$ des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel $60 \%$ d’entre eux sont finalement admis à l’école.
  • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle $20 \%$ d’entre eux sont admis à l’école.

Partie I

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement.
On notera :

  • $D$ l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
  • $A$ l’événement « le candidat a été admis à l’école » ;
  • $\conj{D}$ et $\conj{A}$ les événements contraires des événements $D$ et $A$ respectivement.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$.
    $\quad$
  4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?
    $\quad$

Partie II

  1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à $0,24$.
    On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort.
    a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.
    On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
    a. Donner l’expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.
    $\quad$
    b. À partir de quelle valeur de l’entier $n$ la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

  1. a. Préciser la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$, on a : $$f'(x)=\dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}$$
    où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer les variations de la fonction $f$  sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.
    $\quad$
  4. Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$.
    $\quad$
  5. On note $\Delta$ la droite d’équation $y=-x$.
    On note $A$ un éventuel point de $C_f$ d’abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    a. Montrer que $a$ est solution de l’équation $\e^x(x-1)+x^2=0$.
    On note $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\e^x(x-1)+x^2$.
    On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    $\quad$
    b. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $C_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point $I$ est le centre du carré $ABCD$. On suppose que : $IC=IB=IS=1$.
Les points $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SD]$, $[SC]$ et $[SB]$.

  1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
    a. $(DK)$ et $(SD)$
    b. $(AS)$ et $(IC)$
    c. $(AC)$ et $(SB)$
    d. $(LM)$ et $(AD)$
    $\quad$

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l’espace $\left(I;\vect{IC},\vect{IB},\vect{IS}\right)$.
Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :
$I(0 ;0 ;0)$ ; $A(-1 ;0 ;0)$ ; $B(0 ;1 ;0)$ ; $C(1 ;0 ;0)$ ; $D(0 ;-1 ;0)$ ; $S(0 ;0 ;1)$.

  1. Les coordonnées du milieu $N$ de $[KL]$ sont :
    a. $\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    b. $\left(\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    c. $\left(-\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    d. $\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$
    $\quad$
  2. Les coordonnées du vecteur $\vect{AS}$ sont :
    a. $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
    b. $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
    c. $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
    d. $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(AS)$ est :
    a. $\begin{cases} x=-1-t\\y=t\\z=-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    b. $\begin{cases} x=-1+2t\\y=0\\z=1+2t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    c. $\begin{cases} x=t\\y=0\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    d. $\begin{cases} x=-1-t\\y=1+t\\z=1-t\end{cases} \quad (t\in\R)$
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne du plan $(SCB)$ est :
    a. $y+z-1=0$
    b. $x+y+z-1=0$
    c. $x-y+z=0$
    d. $x+z-1=0$
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1$$

  1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
    $\quad$

L’extrait, reproduit ci-dessous, d’une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

  1. a. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\text{B3}$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
    $\quad$
    b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \pp u_n \pp n+1$.
    $\quad$
    b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que : $$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$$
    $\quad$
  3. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n-n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$[ par : $$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}$$
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a : $$f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}$$
    $\quad$
  3. a. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
  4. Étudier la convexité de la fonction $f$, c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle $]0;+\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$

$\quad$

Bac général – Spécialité mathématiques – Sujet 0

Spécialité mathématiques – Sujet 0

Bac général – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $-1<\dfrac{1}{4} < 1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$.
    Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp w_n \pp v_n$
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $x\mapsto \e^{x^2}$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$^.
    $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{x^2}+x\times 2x\e^{x^2} \\
    &=\e^{x^2}\left(1+2x^2\right)
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. En utilisant la limite des termes de plus haut degré on obtient :
    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1} &=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{2x^2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$.
    On sait que $h(0)=2$ et $h(1)=0$. Or $1\in[0;2]$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=1$ possède au moins une solution dans l’intervalle $[0;1]$.
    Réponse c
    $\quad$
  5. La fonction $g’$ est croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent $g$ est convexe sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Graphiquement, le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$ et le point $J$ a pour coordonnées $(2;0;1)$.
    $\quad$
    b. Le point $B$ a pour coordonnées $(1;0;0)$. Le point $D$ a pour coordonnées $(0;1;0)$. Le point $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$
    Donc :
    $\bullet$ $\vect{DJ}$ a pour coordonnées $(2;-1;1)$;
    $\bullet$ $\vect{BI}$ a pour coordonnées $(-0,5;0;1)$;
    $\bullet$ $\vect{BG}$ a pour coordonnées $(0;1;1)$.
    $\quad$
    c. Les vecteurs $\vect{BI}$ et $\vect{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle).
    D’une part $\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
    D’autre part $\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
    $\vect{DJ}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    d. Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc de la forme $2x-y+z+d=0$
    $B(1;0;0)$ appartient au plan $(BGI)$ donc $2-0+0+d=0 \ssi d=-2$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. $d$ est orthogonale au plan $(BGI)$. $\vect{DJ}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=1+2k\\y=-k\\z=1+k\end{cases}, \qquad k\in \R$.
    $\quad$
    b. En prenant $k=-\dfrac{1}{6}$ on obtient $1+2k=\dfrac{2}{3}$, $-k=\dfrac{1}{6}$ et $1+k=\dfrac{5}{6}$. Donc $L$ appartient à la droite $d$.
    $\quad$
    $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$ donc $L$ appartient au plan $(BGI)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est orthogonale au plan $(BGI)$. Leur intersection est donc réduite à un point.
    De plus, le point $L$ appartient à la droite $d$ et au plan $(BGI)$.
    $L$ est donc le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.
    $\quad$
  3. a. Aire du triangle $FBG$ : $\mathscr{B}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$
    $I$ est le milieu de $[EF]$ donc $IF=\dfrac{1}{2}$.
    La droite $(IF)$ est orthogonale au plan $(BGI)$ par définition du cube.
    Ainsi, le volume de la pyramide $FBGI$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{B}\times IF}{3}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a également $V=\dfrac{\text{Aire}_{BGI}\times FL}{3}$
    Or $FL=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}-0\right)^2+\left(\dfrac{5}{6}-1\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \text{Aire}_{BGI}&=\dfrac{3V}{FL} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{1}{4}~~}{\dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant  :
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(A\cap R_2\right)&=p(A)\times p_A\left(R_2\right) \\
    &=0,25\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(A\cap R_2\right)+p\left(\conj{A}\cap R_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}+0,75\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{R_2}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap R_2\right)}{p\left(R_2\right)}\\
    &=\dfrac{~~\dfrac{1}{12}~~}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    La probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée sachant qu’elle a réussi l’examen à sa deuxième préentation est égale à $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. $X$ ne peut prendre que les valeurs $1$, $2$ et $3$.
    On a $P\left(\left\{X=2\right\}\right)=p\left(R_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De plus
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=3\right\}\right)&=p\left(R_3\right) \\
    &=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}\left(R_3\right) \\
    &=0,75\times \dfrac{2}{9} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right) \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=1\times P\left(\left\{X=1\right\}\right)+2\times P\left(\left\{X=2\right\}\right)+3\times P\left(\left\{X=3\right\}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{5}{3}\\
    &=1,67\end{align*}$
    Cela signifie, qu’en moyenne une personne réussi l’examen au bout d’environ $1,67$ passage.
    $\quad$
  4. a. La probabilité qu’une personne réussisse l’examen à la première ou deuxième présentation est égale à $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
    La probabilité que les $n$ personnes réussissent l’examen à la première ou deuxième présentation est égale $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$
    La probabilité qu’au moins une personne parmi les $n$ choisies réussisse l’examen à son troisième passage est $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n>0,9 &\ssi \left(\dfrac{5}{6}\right)^n<0,1 \\
    &\ssi n\ln\left(\dfrac{5}{6}\right) <\ln(0,1) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,1)}{~~\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)~~}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,1)}{~~\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)~~} \approx 12,6$.
    La commande seuil(0.9) renverra donc la valeur $13$.
    Il faut donc interroger $13$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre-elles ait réussit son examen à son troisième passage soit strictement supérieure à $0,9$.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Partie I

  1. $f’\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $A$.
    Par conséquent $f’\left(\dfrac{1}{\e}\right)=0$.
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $B$.
    Par conséquent $f'(1)=\dfrac{0-2}{3-1}=-1$
    $\quad$
  2. Une équation de la droite $T_B$ est de la forme $y=-x+b$.
    Le point $B(1;2)$ appartient à cette droite.
    Donc $2=-1+b \ssi b=3$
    Ainsi une équation de la droite $T_B$ est $y=-x+3$.
    $\quad$

Partie II

  1. On a :
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{1}{\e}\right)&=\dfrac{2+\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)}{\dfrac{1}{\e}} \\
    &=\dfrac{2-1}{\dfrac{1}{\e}} \\
    &=\e\end{align*}$
    Donc $A$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
    De plus
    $\begin{align*} f(1)&=\dfrac{2+\ln(1)}{1} \\
    &=\dfrac{2+0}{1} \\
    &=2\end{align*}$
    Donc $B$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    Enfin, sur l’intervalle $]0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2+\ln(x)}{x}=0 \\
    &\ssi 2+\ln(x)=0 \\
    &\ssi \ln(x)=-2 \\
    &\ssi x=\e^{-2}\end{align*}$
    $\mathcal{C}_f$ coupe donc l’axe des abscisses en un seul point d’abscisse $\e^{-2}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to  0^+} 2+\ln(x)=-\infty$
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln(x)}{x}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\left(2+\ln(x)\right)}{x^2 }\\
    &=\dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $-1-\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    $-1-\ln(x)>0 \ssi -\ln(x)>1 \ssi x<\e^{-1}$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. On a, sur $]0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)\pg 0 &\ssi \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \pg 0 \\
    &\ssi 1+2\ln(x)\pg 0 \\
    &\ssi \ln(x) \pg -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x\pg \e^{-1/2}\end{align*}$
    Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe est donc $\left[\e^{-1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

  1. a. On a $f(0)=225$.
    $\quad$
    b. On résout dans un premier temps l’équation différentielle $y’+6y=0 \ssi y’=-6y$.
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $[0;+\infty[$ par $g(t)=k\e^{-6t}$ où $k\in \R$.
    $\quad$
    Par conséquent les solutions de l’équation différentielle $y’+6y=150$ sont les fonctions $h$ définies sur $[0;+\infty[$ par $h(t)=k\e^{-6x}+\dfrac{150}{6}$ c’est-à-dire h(x)=k\e^{-6t}+25$ où $k\in \R$.
    $\quad$
    c. $f$ est solution de l’équation différentielle $y’+6y=150$.
    Il existe donc un réel $k$ tel que, pour tout réel $t\pg 0$, on ait $f(t)=k\e^{-6t}+25$.
    Or $f(0)=225$ et $f(0)=k+25$
    Donc $k+25=225 \ssi k=200$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a $f(t)=200\e^{-6t}+25$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a
    $f'(t)=-1~200\e^{-6t}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f'(t)<0$ sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    De plus, $\lim\limits_{t\to +\infty} -6t=-\infty$ et $\lim\limits_{T\to -\infty} \e^T=0$
    Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=25$.
    La fonction $f$ fournit donc un modèle en accord avec les observations.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $f(0)=225>40$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=25<40$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=40$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $T_0\approx 25$ minutes.
    $\quad$
  5. a. On a :
    $\begin{align*} D_0&=f(0)-f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\
    &=225-\left(200\e^{-0,1}+25\right) \\
    &=200-200\e^{-0,1} \\
    &\approx 19,03\end{align*}$
    Donc $19$ est une valeur approchée de $D_0$ à $0,1$ près.
    Une minute après la sortie du four la température du pain a diminué d’environ $19$°C.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} D_n&=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right) \\
    &=200\e^{-0,1n}+25-\left(200\e^{-0,1n-0,1}+25\right)\\
    &=200\e^{-0,1n}-200\e^{-0,1n-0,1} \\
    &=200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi :
    $\begin{align*} D_{n+1}-D_n&=200\e^{-0,1(n+1)}\left(1-\e^{-0,1}\right)-200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right) \\
    &=200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)\left(\e^{-0,1}-1\right) \\
    &=-200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)^2\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $D_{n+1}-D_n<0$.
    La suite $\left(D_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    $\lim\limits_{n\to +\infty} -0,1n=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-0,1n}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} D_n=0$.
    $\quad$
    La température de la baguette tend à se stabiliser à la température ambiante. Il était donc prévisible que l’écart de température $D_n$ tende vers $0$.
    $\quad$

Énoncé

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