TS – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

S – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a
ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes:

  • $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé
    l’émission;
  • $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

  • $M$ : “le téléspectateur a regardé le match” ;
  • $E$ : “le téléspectateur a regardé l’émission”.

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a
pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la
    probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$

Partie B

Une usine fabrique des maillots de football qui doivent être cousus par une première machine et décorés par une deuxième machine. Ces deux machines, qui fonctionnent de manière indépendante, ont des probabilités respectives de $0,05$ et $0,08$ de produire des maillots avec un défaut.
On choisit un maillot au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que le maillot choisi présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le maillot présente au moins un défaut ?
    $\quad$

Partie C

Dans l’entrepôt de l’usine de la partie B, des maillots bleus et des maillots rouges sont stockés dans un carton. La proportion de maillots bleus est égale à $0,55$.

  1. Jeanne prend au hasard $10$ maillots dans ce carton pour offrir à un groupe de VIP qui est venu visiter l’usine. Le nombre de maillots présents dans le carton est suffisamment grand pour que les tirages soient considérés comme identiques et indépendants.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de maillots bleus.
    a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier soigneusement la réponse.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Jeanne tire exactement huit maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
  2. Jeanne prend toujours au hasard des maillots dans le carton. La proportion de maillots bleus est toujours de $0,55$. Combien Jeanne doit-elle prendre de maillots, au minimum, pour que la probabilité d’avoir au moins un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$ ?
    $\quad$

Exercice 2     7 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\
u_0&=&5
\end{array}\right.$

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} – u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et déterminer le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \ne 1$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que } u \geqslant 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6,5 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$f(x) = -2x+\dfrac{x+1}{\e^x}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$g(x) = -2\e^x-x$$

  1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer la dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation complet de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  6. Déterminer le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie C: Étude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$.
    $\quad$
  2. La tangente $T’$ à $\mathscr{C}_f$ en $x=-1$ a pour équation $y=(\e-2)x+\e$.
    a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $T$ et $T’$. On le nommera $A$.
    $\quad$
    b. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que le point $M$ de coordonnées $(0;\e)$. Tracer les tangentes $T$ et $T’$ puis placer le point $A$.
    $\quad$

$\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

Partie B

  1. La on appelle $C$ l’événement “le maillot présente un défaut de couture” et $D$ l’événement “le maillot présente un défaut de décoration”.
    $C$ et $D$ sont indépendants donc $C$ et $\conj{D}$ le sont aussi.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,05\times (1-0,08) \\
    &=0,046\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration est égale à $0,046$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(C\cup D)&=1-p\left(\conj{C}\cap \conj{D}\right) \\
    &=1-p\left(\conj{C}\right)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=1-(1-0,05)\times (1-0,08) \\
    &=0,126\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente au moins un défaut est égale à $0,126$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,55$.
    $\quad$
    b. On a $P(X=8)=\ds \binom{10}{8}\times 0,55^8\times (1-0,55)^2\approx 0,076$
    La probabilité que Jeanne tire exactement huit maillot bleus est environ égale à $0,076$.
    $\quad$
    c. On a $P(X\pg 2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,995$.
    La probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus est environ égale à $0,995$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de maillots bleus.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,55$.
    On a $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0,55)^n=1-0,45^n$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,45^n\pg 0,999~9$
    Si $n=12$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~85$
    Si $n=13$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~93$
    Jeanne doit donc prendre $13$ maillots au minimum pour que la probabilité d’avoir un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$ et $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Initialisation : On $u_0=5 \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n\pg 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}\pg 1$.
    $\begin{align*} u_n\pg 1&\ssi u_n+4\pg 5 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u_n+4} \pp \dfrac{1}{5} \\
    &\ssi \dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
    &\ssi -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
    &\ssi 3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+2-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-u_n+2-{u_n}^2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-u_n+2-{u_n}^2$
    Ainsi, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$ donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2\pg 0$ et $u_n+4\pg 0$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$; elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\\\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\\\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10}\\\\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\\\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{5-1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    $0<\dfrac{4}{7}<1$ et $0<\dfrac{2}{5}<1$ donc $v_n <1$ et $v_n\neq 1$.
    $\quad$
  2. $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les valeurs prises par les variables $u$ (arrondies au millième) et $n$.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    u& n \\
    \hline
    5& 0\\
    \hline
    1,889&1\\
    \hline
    1,302 &2\\
    \hline
    1,114& 3\\
    \hline
    1,045& 4\\
    \hline
    1,018& 5\\
    \hline
    1,007&6\\
    \hline
    \end{array}$$
    la variable $n$ a donc la valeur $6$ après exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que pour tout entier supérieur ou égal à $6$ on a $1\pp u_n\pp 1,01$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{n\to -\infty} \e^x=$ et $\lim\limits_{n\to -\infty}-x=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\e^x=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $g'(x)=-2\e^x-1=-\left(2\e^x+1\right)$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1\pg 1$ et $g(x)<0$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $0\in]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice on a $-0,853<\alpha <-0,852$
    $\quad$
  6. D’après le tableau de variations et la question précédente :
    – $g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – $g(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : Etude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2+\dfrac{1\times \e^x-(x+1)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=-2+\dfrac{(1-x-1)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=-2+\dfrac{-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{-2\e^x-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{g(x)}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.6. on a donc :
    – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$;
    – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C : Etude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Une équation de la tangente $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f(0)=0+\dfrac{1}{1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\times 1+0}{1}=-2$
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$
    $\quad$
  2. a. On veut donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=-2x+1\\y=(\e-2)x+\e \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\-2x+1=(\e-2)x+\e\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1\\1=\e x+\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\\e x=1-\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1-\e}{\e} \\y=\dfrac{3\e-2}{\e}\end{cases}\end{align*}$
    Les coordonnées du point $A$ sont donc $\left(\dfrac{1-\e}{\e};\dfrac{3\e-2}{\e}\right)$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$

TES/TL – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

ES/L – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d’établir que:

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
    risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  •  $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1.  Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients qui acceptent de prendre le produit.

  1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$ à $\ldots$}\\
    \hspace{1.cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
    $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer à partir de quelle année le nombre de médecin est inférieur à $210~000$.
    $\quad$
  7. Sur le long terme combien de médecins la France comptera-t-elle selon cette modélisation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $$f(x) = (200x – 300)\text{e}^{-x-1} + 10$$
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;6]$, $$f^{\prime}(x) = (500-200x)\text{e}^{-x-1}$$
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
    $\quad$
  4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

  1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?
    $\quad$
  2. Démontrer que sur l’intervalle $[1;2]$ l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(20; 0,4)$.
    a. $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
    d. $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. La solution de l’équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = \e^{3x}$ est:
    a. $\dfrac{2}{3}$
    b. $\dfrac{3}{2}$
    c. $1$
    d. $0$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
    Une autre expression de $f(x)$ est:
    a. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)= -x\e^{-x}$
    c. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x \e^{-x}$
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ le nombre $\e^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :
    a. $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$
    b. $\e^{3x}-\e^2$
    c. $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3$
    d. $\dfrac{1}{\e^{\frac{2}{3x}}}$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
  2. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
  3. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice on trouve que $u_{22}\approx 210,18$ et $u_{23}\approx 209,77$.
    Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$
  7.  On a $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=200$.
    Cela signifie donc que sur le long terme la France comptera $200~000$ médecins actifs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $[0;6]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}
    f'(x)&=200\e^{-x-1}+(200x-300)\times \left(-\e^{-x-1}\right) \\
    &=(200-200x+300)\e^{-x-1}\\
    &=(500-200x)\e^{-x-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $500-200x$.
    Or $500-200x=0 \ssi 500=200x\ssi x=2,5$
    Et $500-200x>0 \ssi 500>200x \ssi 2,5>x$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0)=300\e^{-1}+10$
    $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10$
    $f(6)=900\e^{-7}+10$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum en $2,5$.
    $f(2,5)\approx 16,039$
    Il faut donc vendre $250$ objets pour réaliser un bénéfice maximal environ égal à $\np{16039}$ euros.
    $\quad$
  4. On peut utiliser le réglage suivant :
    $x_{\text{min}}=0 \quad x_{\text{max}}=6 \quad y_{\text{min}}=-10 \quad y_{\text{max}}=17$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le graphique, $f(x)=0$ si $x\approx 1,1$. L’entreprise doit donc vendre au moins $110$ objets pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $f(0)\approx -100<0$ et $f(2,5)\approx 16>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[2,5;6]$ on a $f(x)\pg f(6) >0$
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 1,094$ soit $\alpha \approx 1,09$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. L’entreprise ne vend pas à perte dès qu’elle vend au moins $110$ objets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=\e^{3x}\ssi \e^{2x}=\e^{3x}\ssi 2x=3x\ssi x=0$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3=\e^{\frac{x}{2}\times 3}=\e^{\frac{3x}{2}}$
    Réponse c
    $\quad$

2nd – Exercices – Vecteurs – Colinéarité

Vecteurs et colinéarité

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=2\times 4-3\times (-1)=8+3=11$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=4\times 12-(-6)\times (-8)=48-48=0$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-1\times (-8)-(-5)\times (-3)=8-15=-7$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-2\times (-6,3)-3\times 4,2=12,6-12,6=0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{w} \right)=-2\times 5-3\times 7,4=-10-22,4=-32,4 \neq 0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Représenter les points $A(-1;3)$, $B(1;2)$, $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$ dans un repère $\Oij$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient le graphique suivant :2nd - exos - vecteurs - coord3cor$\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$
    Et $\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$.
    $\quad$
  3. Le déterminant des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ est :
    det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=2\times (-3)-(-1)\times 6=-6+6=0$
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On donne les points $M(-2;-1)$, $B(1;0)$ et $F(6;1)$.
Les points $M,B$ et $F$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{MB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{MB}(3;1)$
Et $\vect{MF}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{MF}(8;2)$

Le déterminant de ces deux vecteurs est :
det$\left(\vect{MB};\vect{MF}\right)=3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $M$, $B$ et $F$ ne sont pas alignés.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On se place dans un repère $\Oij$ du plan.
Soient les points $A(1;0)$, $B(0;-2)$, $C(-3;-8)$, $D(4;1)$ et $E\left(2;-\dfrac{4}{3}\right)$.

  1. $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  2. Même question pour $C$, $D$ et $E$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}(0-1;-2-0)$ soit $\vect{AB}(-1;-2)$
    et $\vect{CD}(-3-1;-8-0)$ soit $\vect{CD}(-4;-8)$
    On constate donc que $\vect{CD}=4\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
    Remarque : On pouvait utiliser le déterminant pour prouver la colinéarité.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\left(4-(-3);1-(-8)\right)$ soit $\vect{CD}(7;9)$
    et $\vect{CE}\left(2-(-3);-\dfrac{4}{3}-(-8)\right)$ soit $\vect{CE}\left(5;-\dfrac{20}{3}\right)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{CD};\vect{CE}\right)=7\times \left(-\dfrac{20}{3}\right)-9\times 5=-\dfrac{140}{3}-45=-\dfrac{275}{3}\neq 0$
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points $C$, $D$ et $E$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  3. $\vect{AD}(4-1;1-0)$ donc $\vect{AD}(3;1)$ et $\vect{BE}\left(2-0;-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)$ soit $\vect{BE}\left(2;\dfrac{2}{3}\right)$.
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{AD};\vect{BE}\right)=3\times \dfrac{2}{3}-1\times 2=2-2=0$
    Les deux vecteurs sont colinéaires donc les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Soit $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ d’un repère $\Oij$.

  1. On appelle $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
    Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
    $\quad$
  2. On considère les points $P$ et $Q$ définis par : $\vect{AP}=-3\vect{AB}$ et $\vect{AQ}=-3\vect{AC}$.
    a. Calculer les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Par conséquent $B$ est le milieu de $[AM]$.
    Ainsi : $\begin{cases} -1 = \dfrac{-2+x_M}{2}\\\\4=\dfrac{1+y_M}{2}\end{cases}$ $\ssi\begin{cases} -2=-2+x_M\\\\8=1+y_M\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_M=0\\\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(0;7)$.
    $\quad$
    $N$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$. Par conséquent $C$ est le milieu de $[AN]$.
    Ainsi : $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+x_N}{2}\\\\3=\dfrac{1+y_N}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}4=-2+x_N\\\\6=1+y_N\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_N=6\\\\y_N=5\end{cases}$.
    Donc $N(6;5)$.
    $\quad$
  2. a. $\overrightarrow{AP}\left(x_P+2;y_P-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}(1;3)$.
    On veut que $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$.
    Donc $\begin{cases} x_P+2=-3\\\\y_P-1=-9 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_P=-5\\\\y_P=-8\end{cases}$.
    $\quad$
    $\overrightarrow{AQ}\left(x_Q+2;y_Q-1\right)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2)$.
    On veut que $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
    Donc $\begin{cases} x_Q+2=-12\\\\y_Q-1=-6 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_Q=-14\\\\y_Q=-5\end{cases}$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(-5;-8)$ et $Q(-14;-5)$.
    $\quad$
    b. D’une part $\overrightarrow{MN}(6;-2)$
    D’autre part $\overrightarrow{PQ}(-9;3)$
    Ainsi $6 \times 3-(-2)\times (-9) = 18-18 = 0$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés d’un repère $\Oij$.

  1. Construire les points $E$ et $D$ tels que $\vect{CE}=-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}$ et $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$.
    $\quad$
  2. On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
    $\quad$
    b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. La figure dépend évidemment de l’emplacement des points $A$, $B$ et $C$.
    2nd - exos - vect - coord -ex8
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ on a :
    $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
    Ainsi $\vect{AB}(1;0)$, $\vect{AC}(0;1)$ $\vect{CB}(1;-1)$
    D’après la relation de Chasles on a :
    $\begin{align*}\vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\
    &=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\vect{AE}\left(-0+\dfrac{1}{2}\times 1;-1+\dfrac{1}{2}\times 0\right)$ soit $\vect{AE}(0,5;-1)$.
    Ainsi $E(0,5;-1)$.
    $\quad$
    $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$
    Par conséquent $\vect{AD}\left(\dfrac{5}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1;\dfrac{5}{2}\times 1+\dfrac{1}{2} \times (-1)\right)$ soit $\vect{AD}(0,5;2)$.
    Ainsi $D(0,5;2)$.
    $\quad$.
    b. D’une part $\vect{DE}(0;-3)$
    D’autre part $\vect{CA}(0;-1)$.
    On constate donc que $\vect{DE}=3\vect{CA}$.
    Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Autour des fonctions affines

Autour des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Calculatrice interdite

Exercice 1

Tracer, en justifiant, la représentation graphique de chacune des fonctions suivantes dans un repère différent.

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=1$ alors $f(1)=2\times 1-6=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;-4)$.
    – Si $x=4$ alors $f(4)=2\times 4-6=8-6=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(4;2)$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $g(-3)=-(-3)+1=3+1=4$
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;4)$.
    – Si $x=5$ alors $g(5)=-5+1=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;-4)$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $h$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $h(-4)=-4+3=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;-1)$.
    – Si $x=2$ alors $h(2)=2+3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.$\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $i$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $i(-4)=-2\times (-4)-3=8-3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;5)$.
    – Si $x=2$ alors $i(2)=-2\times 2-3=-4-3=-7$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;-7)$.$\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $j$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $j(-3)=\dfrac{1}{3}\times (-3)-2=-1-2=-3$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;-3)$.
    – Si $x=3$ alors $j(3)=\dfrac{1}{3}\times 3-2=1-2=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(3;-1)$.$\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $k$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times (-5)+4=2+4=6$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-5;6)$.
    – Si $x=5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times 5+4=-2+4=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;2)$.$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, dans chacun des cas, l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que :

  1. $f(2)=3$ et $f(4)=-7$
    $\quad$
  2. $f(-1)=2$ et $f(3)=5$
    $\quad$
  3. $f(3)=0$ et $f(-1)=2$
    $\quad$
  4. $f(-2)=4$ et $f(-5)=-3$
    $\quad$
  5. $f(-40)=7$ et $f(30)=8$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(2)-f(4)}{2-4}=\dfrac{3-(-7)}{-2}=\dfrac {3+7}{-2}=-\dfrac{10}{2}=-5$.
    Ainsi $f(x)=-5x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(2)=3 &\ssi -5\times 2+b=3 \\ \ssi -10+b=3 \\ \ssi b=13\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-5x+13$.
    Vérification : $f(4)=-5\times 4+13=-20+13=-7 \checkmark$
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-1)-f(3)}{-1-3}=\dfrac{2-5}{-4}=\dfrac {-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{3}{4}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-1)=2 &\ssi \dfrac{3}{4}\times (-1)+b=2 \\ \ssi -\dfrac{3}{4}+b=2 \\ \ssi b=2+\dfrac{3}{4}\\ \ssi b=\dfrac{11}{4}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{4}$
    Vérification : $f(3)=\dfrac{3}{4}\times 3+\dfrac{11}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}=\dfrac{20}{4}=5 \checkmark$
    $\quad$
  3. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{0-2}{3+1}=\dfrac {-2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(3)=0 &\ssi -\dfrac{1}{2}\times 3+b=0 \\ \ssi -\dfrac{3}{2}+b=0 \\ \ssi b=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
    Vérification : $f(-1)=-\dfrac{1}{2}\times (-1)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \checkmark$
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-2)-f(-5)}{-2-(-5)}=\dfrac{4-(-3)}{-2+5}=\dfrac {4+3}{3}=\dfrac{7}{3}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{7}{3}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-2)=4 &\ssi \dfrac{7}{3}\times (-2)+b=4 \\ \ssi -\dfrac{14}{3}+b=4 \\ \ssi b=4+\dfrac{14}{3}\\ \ssi b=\dfrac{26}{3}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{26}{3}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{7}{3}\times (-5)+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{35}{3}+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{9}{3}=-3 \checkmark$
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-40)-f(30)}{-40-30}=\dfrac{7-8}{-70}=\dfrac {-1}{-70}=\dfrac{1}{70}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{1}{70}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-40)=7 &\ssi \dfrac{1}{70}\times (-40)+b=7 \\ \ssi -\dfrac{4}{7}+b=7 \\ \ssi b=7+\dfrac{4}{7}\\ \ssi b=\dfrac{53}{7}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{1}{70}x+\dfrac{53}{7}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{1}{70}\times 30+\dfrac{53}{7}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{53}{7}=-\dfrac{56}{7}=8 \checkmark$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dire dans chacun des cas si le point $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $f(1)=3\times 1-5=3-5=-2$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $f(-2)=-2\times (-2)+1=4+1=5 \neq -3$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $f(-1)=2\times (-1)+4=-2+4=2\neq -2$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $f(4)=\dfrac{2}{3}\times 4+\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{15}{3}=5$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les vecteurs

Généralités sur les vecteurs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré. Les points $I,J,K,L$ sont les milieux des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$. $O$ est le centre du carré.

Compléter le tableau.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} & & & & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} &\text{oui} &\text{oui} & \text{non}& \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} &\text{oui} & \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} &\text{non} &\text{non} &\text{oui} & \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} &\text{oui} &\text{non} & \text{non} & \text{non} \\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Sur la grille ci-dessous placer les points $H,B,K,L$ tels que :

$$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{RH} \qquad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{PR} \qquad \overrightarrow{KP} = \overrightarrow{CR} \qquad \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LH}$$
2nd - exo - vecteurs 1 - ex2

Correction Exercice 2

2nd - exo - vecteurs 1 - ex2-1

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

$ABCD$, $CDGH$ et $BCFE$ sont des parallélogrammes.
Déterminer tous les vecteurs égaux aux vecteurs :
$$\begin{array}{llll}\textbf{1. }\vect{AB}&\hspace{1.5cm}\textbf{2. } \vect{GC}&\hspace{1.5cm}\textbf{3. }\vect{DJ}&\hspace{1.5cm}\textbf{4. }\vect{BF}\end{array}$$

Correction Exercice 3

On a :

$\vect{AB}=\vect{BE}=\vect{DC}=\vect{CF}=\vect{HG}$

$\vect{GC}=\vect{HD}=\vect{DA}=\vect{CB}=\vect{FE}$

$\vect{DJ}=\vect{JB}=\vect{CI}=\vect{IE}=\vect{HK}=\vect{KC}$

$\vect{BF}=\vect{AC}=\vect{DG}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère le rectangle $ABCD$ et les milieux $E$ et $F$ des côtés $[AB]$ et $[CD]$.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex4

Compléter les pointillés :
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B\ldots} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{F\ldots}$$

Correction Exercice 4

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{ED} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{EA} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FA}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle.

Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$.

Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{BE}$? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 4

2nd - exo - vecteurs 1 - ex3

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ donc $ADBC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$ donc $ABEC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$

Ainsi $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Identités remarquables – Divers

Identités remarquables – Divers

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

On considère l’expression $A = (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x)^2+2\times 4\times 3x+4^2-\left(-6x^2+3x-8x+4\right) \\
    &=9x^2+24x+16-\left(-6x^2-5x+4\right)\\
    &=9x^2+24x+16+6x^2+5x-4\\
    &=15x^2+29x+12\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)(3x+4)-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)\left[(3x+4)-(-2x+1)\right] \\
    &=(3x+4)(3x+4+2x-1)\\
    &=(3x+4)(5x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $A=0\ssi (3x+4)(5x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}3x+4=0&\text{  ou  }&5x+3=0 \\
    \ssi 3x=-4&&\ssi 5x=-3\\
    \ssi x=-\dfrac{4}{3}&&\ssi x=-\dfrac{3}{5}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ alors :
    $\begin{align*} A&=15\times (-1)^2+29\times (-1)+12\\
    &=15-29+12\\
    &=-2\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère l’expression $B=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.

  1. Développer et réduire $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $B$ pour $x=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Factoriser $B$.
    $\quad$
  4. Résoudre $B=0$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3\\
    &=3x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=\dfrac{1}{2}$
    On a alors :
    $\begin{align*} A&=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}-2 \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{6}{4}\\
    &=-\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=(x+1)(x+1)+(x+1)(2x-3)\\
    &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
    &=(x+1)(x+1+2x-3)\\
    &=(x+1)(3x-2)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $B=0\ssi (x+1)(3x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+1=0&\text{  ou  }&3x-2=0 \\
    \ssi x=-1&&\ssi 3x=2\\
    &&\ssi x=\dfrac{2}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère l’expression $C=(2x-1)^2-16$.

  1. Calculer $C$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $C$.
    $\quad$
  3. Factoriser $C$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(2x-5)(2x+3)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
    $\begin{align*} C&=\left(2\times \dfrac{1}{2}-1\right)^2-16 \\
    &=(1-1)^2-16\\
    &=-16\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x)^2-2\times 1\times 2x+1^2-16\\
    &=4x^2-4x+1-16\\
    &=4x^2-4x-15\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x-1)^2-4^2\\
    &=\left[(2x-1)-4\right]\left[(2x-1)+4\right] \\
    &=(2x-5)(2x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(2x-5)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}2x-5=0&\text{  ou  }&2x+3=0 \\
    \ssi 2x=5&&\ssi 2x=-3\\
    x=\dfrac{5}{2}&&\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4    Difficulté +

On considère l’expression $D = (2x-7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $D$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $D$.
    $\quad$
  3. Résoudre $D=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D$ pour $x=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x)^2-7^2\\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x-7)(2x+7)\\
    &=(2x-7)\left[(2x-7)+(2x+7)\right] \\
    &=(2x-7)4x\\
    &=4(2x-7)x\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x)^2-2\times 7\times 2x+7^2+4x^2-49\\
    &=4x^2-28x+49+4x^2-49\\
    &=8x^2-28x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $D=0\ssi 4(2x-7)x=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&2x-7=0 \\
    &&\ssi 2x=7\\
    &&\ssi x=\dfrac{7}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  4. Si $x=3$ alors $D=4(2\times 3-7)\times 3=12\times (-1)=-12$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On pose $E = (3x+ 5)^2-(3x-5)^2$.

  1. Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  2. Calculer $E$ pour $x= 30$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $E = 30$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*} E&= (3x+ 5)^2-(3x-5)^2 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2-\left((3x)^2-2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
    &=9x^2+30x+25-\left(9x^2-30x+25\right) \\
    &=60x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=30$ alors $E=60\times 30=1~800$
    $\quad$
  3. $E=30 \ssi 60x=30\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On pose $F = 9x^2+30x+25$.

  1. Calculer $F$ pour $x=0$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $F = 25$.
    $\quad$
  3. Factoriser $F$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $F = 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Si $x=0$ alors $F=9\times 0^2+30\times 0+25=25$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} F=25&\ssi 9x^2+30x+25=25\\
    &\ssi 9x^2+30x=0 \\
    &\ssi 3x(3x+10)=0\\
    &\ssi x(3x+10)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&3x+10=0 \\
    &&\ssi 3x=-10\\
    &&\ssi x=-\dfrac{10}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $-\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} F &= 9x^2+30x+25 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2 \\
    &=(3x+5)^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} F=0&\ssi (3x+5)^2=0 \\
    &\ssi 3x+5=0\\
    &\ssi 3x=-5\\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Dans chacun des cas résoudre l’équation $A= 0$.

  1. $A = (2x-3)^2-(x+2)^2$
    $\quad$
  2. $A = (x-1)^2-9$
    $\quad$
  3. $A = 4x^2-9$
    $\quad$
  4. $A = (x+1)^2-(4x+1)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Il faut tout d’abord factoriser cette expression.
    $\begin{align*} A &= (2x-3)^2-(x+2)^2 \\
    &= \left[(2x-3)-(x +2)\right]\left[(2x-3)+(x+2)\right]\\
    &=(x-5)(3x-1)\end{align*}$
    On est alors ramené à résoudre l’équation produit $(x-5)(3x-1) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-5 = 0$ et $x = 5$
    Soit $3x-1 = 0$ et $x = \dfrac{1}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $5$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. On factorise également cette expression.
    $\begin{align*}A &= (x-1)^2-9 \\
    &= (x-1)^2-3^2 \\
    &= (x-1-3)(x-1+3)\\
    &=(x-4)(x+2)\end{align*}$
    On doit donc résoudre l’équation produit $(x-4)(x+2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-4 = 0 $ et $x = 4$
    Soit $x+2 = 0$ et $x = -2$
    Les solutions de l’équation sont donc $4$ et $-2$.
    $\quad$
  3. On doit encore factoriser cette expression.
    $A = 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = (2x-3)(2x+3)$
    On résout donc l’équation produit $(2x-3)(2x+3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $2x-3 = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$
    Soit $2x+3 = 0$ et $x = -\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. Factorisons cette expression.
    $\begin{align} A &= (x+1)^2 -(4x+1)^2 \\
    &= \left[(x+1)-(4x+1)\right] \left[(x+1)+(4x+1)\right] \\
    &= -3x(5x + 2)
    \end{align}$
    On résout maintenant l’équation produit $-3x(5x + 2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $-3x =0$ et $x = 0$
    Soit $5x + 2 = 0$ et $x = -\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équations sont donc $-\dfrac{2}{5}$ et $0$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Un rectangle a un périmètre égal à $20$ cm. Déterminer ses dimensions pour que son aire soit égale à $25$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On appelle $x$ la longueur du rectangle.
Le périmètre du rectangle est égal à $20$ cm. Par conséquent la largeur $\ell$ de ce rectangle vérifie $x+\ell=10 \ssi \ell=10-x$.

On est donc ramené à résoudre l’équation suivante :
$\begin{align*} x(10-x)=25 &\ssi 10x-x^2=25 \\
&\ssi x^2-10x+25=0\\
&\ssi x^2-2\times 5\times x+5^2=0\\
&\ssi (x-5)^2=0 \\
&\ssi x-5=0\\
&\ssi x=5\end{align*}$

Le rectangle est finalement un carré dont les côtés mesures $5$ cm.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=7$ cm et $BC=5$ cm et un point $M$ appartenant au segment $[AB]$. On note $AM=x$ avec $(0<x<5)$.
On a placé sur la figure les points $N,P$ et $Q$ tels que $AM=BN=CP=DQ$.

Déterminer, en justifiant votre démarche, la valeur de $x$ telle que l’aire $\mathscr{A}$ du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 9

On a $DQ=CP=BN=AM=x$ donc $CN=AQ=5-x$ et $MB=DP=7-x$
Les triangles $AMQ$ et $CPN$ on la même aire $\mathscr{A}_1=\dfrac{AM\times AQ}{2}=\dfrac{x(5-x)}{2}$ .
Les triangles $DQP$ et $BMN$ on la même aire $\mathscr{A}_2=\dfrac{BM\times BN}{2}=\dfrac{x(7-x)}{2}$ .
Par conséquent l’aire du quadrilatère $MNPQ$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=5\times 7-\left(2\times \dfrac{x(5-x)}{2}+2\times \dfrac{x(7-x)}{2}\right) \\
&=35-\left(5x-x^2+7x-x^2\right) \\
&=35-12x+2x^2
\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*}
2x^2-12x+35=17&\ssi 2x^2-12x+18=0 \\
&\ssi 2\left(x^2-6x+9\right)=0 \\
&\ssi 2(x-3)^2=0\\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x-3=0
\end{align*}$

La solution de cette équation est $3$.

De plus $0<3<5$. On doit donc donner la valeur $3$ à $x$ pour que l’aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

On considère deux nombres réels $a$ et $b$ quelconque.

  1. Montrer que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
    $\quad$
  2. En déduire l’expression développée et réduite de $\left(5x^2+3\right)^3$.
    $\quad$
  3. En utilisant la question 1. et sans tout développer donner l’expression développée et réduite de $(a-b)^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^3&=(a+b)^2(a+b) \\
    &=\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\\
    &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3\\
    &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On utilise la propriété précédente avec $a=5x^2$ et $b=3$.
    On obtient :
    $\begin{align*}
    \left(5x^2+3\right)^3&=\left(5x^2\right)^3+3\left(5x^2\right)^2\times 3+3\times 5x^2\times 3^2+3^3 \\
    &=125x^6+225x^4+135x^2+27
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}
    (a-b)^3&=\left(a+(-b)\right)^3 \\
    &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Quand on veut calculer le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est $5$, on multiplie le nombre de dizaines par son successeur et on ajoute, à droite de l’écriture décimale du produit, le nombre $25$.

Exemple : On veut calculer le carré de $205$.
Il y a $20$ dizaines.
Or $20\times (20+1)=420$
On ajoute $25$ à droite de l’écriture décimale de $420$ et on obtient alors que $205^2=42~025$.

En remarquant qu’un nombre se terminant par $5$ peut s’écrire sous la forme $10\times a+5$, où $a$ est un entier naturel, démontrer cette propriété.

$\quad$

Correction Exercice 11

On a $(10\times a+5)^2=(10a)^2+2\times 10a\times 5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$

On a donc $a(a+1)$ centaines et $25$ unités; ce qu’il fallait démontrer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12

On considère trois nombres réels $a$, $b$ et $c$.
Donner une expression développée et réduite de $(a+b+c)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 12

$\begin{align*} (a+b+c)^2&=\left(a+(b+c)\right)^2 \\
&=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\
&=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\
&=a^x+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13    Difficulté +

On considère l’expression $G=x^2+6x-7$.

  1. Compléter l’égalité $G=(x+3)^2-\ldots$
    $\quad$
  2. En déduire une factorisation de $G$.
    $\quad$
  3. Résoudre alors l’équation $G=0$.
    $\quad$
  4. En adoptant la même démarche, résoudre les équations suivantes :
    a. $x^2+4x-21=0$
    $\quad$
    b. $x^2+11x+30=0$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour répondre à cette question, on peut suivre (au moins) deux pistes.
    Piste 1
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x+3^2-3^2-7 \qquad (*)\\
    &=(x+3)^2-9-7\\
    &=(x+3)^2-16\end{align*}$
    À l’étape $(*)$ on fait apparaître une identité remarquable dont avait $2$ des $3$ termes.
    $\quad$
    Piste 2
    $(x+3)^2=x^2+6x+9$
    Donc $x^2+6x=(x+3)^2-9$
    Et $G=x^2+6x-7=(x+3)^2-9-7=(x+3)^2-16$.
    $\quad$
    Remarque : Cette écriture de $G$ est appelée sa forme canonique.
    $\quad$
  2. On a ainsi :
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=(x+3)^2-16\\
    &=(x+3)^2-4^2\\
    &=\left[(x+3)-4\right]\left[(x+3)+4\right] \\
    &=(x-1)(x+7)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $G=0 \ssi (x-1)(x+7)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-1=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=1&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $-7$.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} x^2+4x-21=0&\ssi x^2+2\times 2\times x-21=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+2^2-2^2-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-4-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-25=0\\
    &\ssi (x+2)^2-5^2=0\\
    &\ssi \left[(x+2)-5\right]\left[(x+2)+5\right]=0\\
    &\ssi (x-3)(x+7)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-3=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=3&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $3$ et $-7$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} x^2+11x+30=0&\ssi x^2+2\times 5,5\times x+30=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 5,5\times x+5,5^2-5,5^2+30=0 \\
    &\ssi (x+5,5)^2-30,25+30=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25^2=0\\
    &\ssi \left[(x+5,5)-0,5\right]\left[(x+5,5)+0,5\right]=0\\
    &\ssi (x+5)(x+6)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+5=0&\text{  ou  }&x+6=0 \\
    x=-5&&\ssi x=-6\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $-6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 14    Difficulté +

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ désigne un carré de côté $1$. $M$ est un point sur le segment $[AB]$. La perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AC]$ en $E$ et le segment $[DC]$ en $G$. On note $F$ le point tel que $AMEF$ soit un carré.
Déterminer la position du point $M$ telle que le carré $AMEF$ et le triangle $CGE$ aient la même aire.

Correction Exercice 14

  • On appelle $x$ la longueur $AM$. Le nombre $x$ appartient donc à l’intervalle $[0;1]$.
    L’aire du carré $AMEF$ est donc $\mathscr{A}_1=x^2$.
  • $G$ appartient au segment $[DC]$. Par conséquent $GC=1-x$. De même $GE=1-x$.
    L’aire du triangle $CGE$ est donc $\mathscr{A}_2=\dfrac{(1-x)^2}{2}$.
  • On veut que :
    $$\begin{array}{clll}\mathscr{A}_1=\mathscr{A}_2&\ssi x^2=\dfrac{(1-x)^2}{2} \\
    &\ssi x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2 \\
    &\ssi x=\dfrac{1-x}{\sqrt{2}} & \text{ou} & x=-\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\\
    &\ssi x\sqrt{2}=1-x & \text{ou} & x\sqrt{2}=x-1 \\
    &\ssi x\sqrt{2}+x=1 & \text{ou} & x\sqrt{2}-x=-1 \\
    &\ssi x\left(\sqrt{2}+1\right)=1 & \text{ou} & x\left(\sqrt{2}-1\right)=-1\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} & \text{ou} & x=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}
    \end{array}$$
    Or $\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}<0$
    Donc le point $M$ doit se trouver à $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ de $A$.

Remarque : Pour résoudre l’équation $x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2$ on pouvait également écrire que :
$x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\ssi x^2-\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2=0$ et factoriser cette expression à l’aide de l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Racines carrées et identités remarquables

Racines carrées et identités remarquables

Exercice 1

Développer à l’aide des identités remarquables

  1. $A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  2. $B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  3. $C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  4. $D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  5. $E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  6. $F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
    $\quad$
  7. $G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
    $\quad$
  8. $H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
    $\quad$
  9. $I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  10. $J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=3-2\sqrt{15}+5 \\
    &=8-2\sqrt{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
    &=2+6\sqrt{10}+45 \\
    &=47+6\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
    &=2-3 \\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=5-2\sqrt{10}+2 \\
    &=7-2\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20+12\sqrt{10}+18 \\
    &=38+12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
    &=9\times 2-9 \\
    &=18-9\\
    &=9
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
    &=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
    &=18+6\sqrt{2}+1 \\
    &=19+6\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
    &=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
    &=4\times 3-1\\
    &=12-1\\
    &=11
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20-12\sqrt{10}+18\\
    &=38-12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=3-2\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 – Difficulté +

Pour tout réel $x$ positif, déterminer l’inverse de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Cet inverse sera écrit sans fraction.

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour tout réel $x$ positif on a :

$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \quad (*)\\
&=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} \\
&=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\end{align*}$

À l’étape $(*)$, au dénominateur, on se retrouve, en effet, avec :
$\begin{align*} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)&=\sqrt{x+1}^2-\sqrt{x}^2\\
&=x+1-x\\
&=1\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

Comparer les nombres $\dfrac{x+y}{2}$ et $\sqrt{xy}$.

Remarque : $a=\dfrac{x+y}{2}$ est appelée la moyenne arithmétique et $g=\sqrt{xy}$ la moyenne géométrique des deux réels $x$ et $y$.
Géométriquement, si on considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $y$, alors $a$ est la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle et $g$ est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à celle du rectangle.

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

$\begin{align*} \dfrac{x+y}{2}-\sqrt{xy}&=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}^2}{2} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \\
&\pg 0\end{align*}$

Par conséquent $\dfrac{x+y}{2}\pg \sqrt{xy}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Identités remarquables – Factorisation

Identités remarquables – Factorisation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Factoriser en utilisant des identités remarquables.

$A=x^2-10x+25$
$\quad$
$B=9+6x+x^2$
$\quad$
$C=1-x^2$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=x^2-16$
$\quad$
$F=9x^2-4$
$\quad$
$G=9x^2-6x+1$
$\quad$
$H=25-4x^2$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=x^2-10x+25 \\
&=x^2-2\times x \times 5+5^2 \\
&=(x-5)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=9+6x+x^2 \\
&=3^2+2\times 3 \times x+x^2 \\
&=(3+x)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=1-x^2 \\
&=1^2-x^2 \\
&=(1-x)(1+x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 \\
&=(2x+3)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-16 \\
&=x^2-4^2\\
&=(x-4)(x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=9x^2-4 \\
&=(3x)^2-2^2 \\
&=(3x-2)(3x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=9x^2-6x+1 \\
&=(3x)2-2\times 3x \times 1+1^2 \\
&=(3x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=25-4x^2 \\
&=5^2-(2x)^2 \\
&=(5-2x)(5+2x)
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=25x^2-10x+1$
$\quad$
$B=36x^2+84x+49$
$\quad$
$C=81x^2-16$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=64x^2-121$
$\quad$
$F=256x^2+384x+144$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=25x^2-10x+1 \\
&=(5x)^2-2\times 1\times 5x+1^2\\
&=(5x-1)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=36x^2+84x+49\\
&=(6x)^2+2\times 7\times 6x+7^2\\
&=(6x+7)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=81x^2-16\\
&=(9x)^2-4^2\\
&=(9x-4)(9x+4)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9\\
&=(2x)^2+2\times 3\times 2x+3^2\\
&=(2x+3)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=64x^2-121\\
&=(8x)^2-11^2\\
&=(8x-11)(8x+11)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=256x^2+384x+144\\
&=(16x)^2+2\times 12\times 16+12^2\\
&=(16x+12)^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Lorsque cela est possible, factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=4x^2+20x+25$
$\quad$
$B=36x^2+12x-1$
$\quad$
$C=9x^2+4$
$\quad$
$D=100-49x^2$
$\quad$
$E=16x^2+32x+64$
$\quad$
$F=x^2+1-2x$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=4x^2+20x+25\\
&=(2x)^2+2\times 5\times 2x+5^2\\
&=(2x+5)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=36x^2+12x-1 \\
&=(6x)^2+2\times 1\times 6x-1^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2-2ab+b^2$ mais le signe $-$ ne porte pas sur le terme associé au double produit. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}C&=9x^2+4 \\
&=(3x)^2+2^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2-b^2$ mais on a une somme dans notre expression à la place d’une différence. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}D&=100-49x^2\\
&=10^2-(7x)^2\\
&=(10-7x)(10+7x)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=16x^2+32x+64\\
&=(4x)^2+8\times 4x+8^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2+2ab+b^2$ mais il manque le $2$ du double produit. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}F&=x^2+1-2x \\
&=x^2-2\times 1\times x+1^2\\
&=(x-1)^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Factoriser

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$
$\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$
$\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$
$\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$
$\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$
$\quad$
$F=25-(2x+3)^2$
$\quad$
$G=3x^2-6x+3$
$\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
$\quad$

Correction Exercice 4

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ est du type $a^2-b^2$ avec $a=(x-1)$ et $b=(4x-2)$
$\begin{align*} A&=(x-1)^2-(4x-2)^2 \\
&=\left[(x-1)-(4x-2)\right]\left[(x-1)+(4x-2)\right] \\
&=(x-1-4x+2)(x-1+4x-2) \\
&=(-3x+1)(5x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=9x^2-(x+1)^2 \\
&=(3x)^2-(x+1)^2  \\
&=\left[(3x)-(x+1)\right]\left[(3x)+(x+1)\right] \\
&=(3x-x-1)(3x+x+1) \\
&=(2x-1)(4x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=(2x+3)^2-(1+x)^2 \\
&=\left[(2x+3)-(1+x)\right]\left[(2x+3)+(1+x)\right] \\
&=(2x+3-1-x)(2x+3+1+x) \\
&=(x+2)(3x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x+2)^2-(5x+1)^2 \\
&=\left[(3x+2)-(5x+1)\right]\left[(3x+2)+(5x+1)\right] \\
&=(3x+2-5x-1)(3x+2+5x+1) \\
&=(-2x+1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=x^2+6x+9-(x+3)(x-2) \\
&=x^2+2\times x \times 3+3^2-(x+3)(x-2) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-2) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-2)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+2) \\
&=(x+3)(5) \\
&=5(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=25-(2x+3)^2 \\
&=5^2-(2x+3)^2 \\
&=\left[5-(2x+3)\right]\left[5+(2x+3)\right] \\
&=(5-2x-3)(5+2x+3) \\
&=(2-2x)(8+2x)
\end{align*}$
On peut également constater que $(2-2x)=2(1-x)$ et que $(8+2x)=2(4+x)$.
Donc $F=4(1-x)(4+x)$ mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu.
$\quad$
$\begin{align*} G&=3x^2-6x+3 \\
&=3\left(x^2-2x+1\right) \\
&=3(x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(3x+3)-(x+1)(2x-1) \\
&=3\underline{(x+1)}-\underline{(x+1)}(2x-1) \\
&=(x+1)\left[3-(2x-1)\right] \\
&=(x+1)(3-2x+1) \\
&=(x+1)(4-2x)
\end{align*}$
On peut encore aller plus loin en écrivant $H=2(x+1)(2-x)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.

$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$
$\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$
$\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$
$\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$
$\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=x^2+(x+2)(x+3) \\
&=x^2-2^2+(x+2)(x+3) \\
&=(x-2)\underline{[(x+2)}+\underline{(x+2)}(x+3) \\
&=(x+2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x+2)(x-2+x+3) \\
&=(x+2)(2x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=x^2+6x+9-(x+3)(x-1) \\
&=x^2+2\times x \times 3 + 3^2-(x+3)(x-1) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-1) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-1) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-1)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+1) \\
&=(x+3)(4) \\
&=4(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(x+5)+9x^2-4 \\
&=(3x-2)(x+5)+(3x)^2-2^2 \\
&=\underline{(3x-2)}(x+5)+\underline{(3x-2)}(3x+2) \\
&=(3x-2)\left[(x+5)+(3x+2)\right] \\
&=(3x-2)(x+5+3x+2) \\
&=(3x-2)(4x+7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=9x^2-1+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x)^2-1^2+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x-1)\underline{(3x+1)}+\underline{(3x+1)}(2x+3) \\
&=(3x+1)\left[(3x-1)+(2x+3)\right] \\
&=(3x+1)(3x-1+2x+3) \\
&=(3x+1)(5x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-4x+4+(x+3)(x-2) \\
&=x^2-2\times x\times 2+2^2+(x+3)(x-2) \\
&=(x-2)^2+(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x-2)}(x-2)+(x+3)\underline{(x-2)} \\
&=(x-2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x-2)(x-2+x+3) \\
&=(x-2)(2x+1)
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=\dfrac{1}{4}-25x^2$
$\quad$
$B=\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{25}{49}$
$\quad$
$C=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{49}{36}+\dfrac{14}{9}x$
$\quad$
$D=\dfrac{81}{16}x^2-\dfrac{33}{2}x+\dfrac{121}{9}$
$\quad$
$E=\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{169}{144}$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*}A&=\dfrac{1}{4}-25x^2\\
&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(5x)^2\\
&=\left(\dfrac{1}{2}-5x\right)\left\(dfrac{1}{2}+5x\right)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{25}{49}\\
&=\left(\dfrac{x}{6}\right)^2-\left(\dfrac{5}{7}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5}{7}\right)\left(\dfrac{x}{6}+\dfrac{5}{7}\right)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{49}{36}+\dfrac{14}{9}x\\
&=\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2+2\times \dfrac{7}{6}\times \dfrac{2}{3}x \\
&=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{6}\right)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{81}{16}x^2-\dfrac{33}{2}x+\dfrac{121}{9}\\
&=\left(\dfrac{9}{4}x\right)^2-2\times \dfrac{11}{3}\times \dfrac{9}{4}x+\left(\dfrac{11}{3}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{9}{4}x-\dfrac{11}{3}\right)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{169}{144}\\
&=\left(\dfrac{5}{2}x\right)^2-\left(\dfrac{13}{12}\right)^2\\
&=\left(\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{12}\right)\left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{13}{12}\right)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Identités remarquables – Développement

Identités remarquables – Développement

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(x+5)^2$
$\quad$
$B=(x-3)^2$
$\quad$
$C=(x+4)(x-4)$
$\quad$
$D=(x+7)^2$
$\quad$
$E=(x-1)^2$
$\quad$
$F=(x-6)(x+6)$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=(x+5)^2\\&=x^2+2\times 5 \times x+5^2\\&=x^2+10x+25\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(x-3)^2\\&=x^2-2\times 3\times x+3^2\\&=x^2-6x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(x+4)(x-4)\\&=x^2-4^2\\&=x^2-16\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(x+7)^2\\&=x^2+2\times 7\times x+7^2\\&=x^2+14x+49\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(x-1)^2\\&=x^2-2\times 1\times x+1^2\\&=x^2-2x+1\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(x-6)(x+6)\\&=x^2-6^2\\&=x^2-36\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(2x+3)^2$
$\quad$
$B=(5x-4)^2$
$\quad$
$C=(3x-2)(3x+2)$
$\quad$
$D=(6-3x)^2$
$\quad$
$E=(1+8x)^2$
$\quad$
$F=(4x+5)(5-4x)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=(2x+3)^2\\&=(2x)^2+2\times 3\times 2x+3^2\\&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(5x-4)^2\\&=(5x)^2-2\times 4\times 5x+4^2\\&=25x^2-40x+16\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(3x+2)\\&=(3x)^2-2^2\\&=9x^2-4\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(6-3x)^2\\&=6^2-2\times 6\times 3x+(3x)^2\\&=36-36x+9x^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(1+8x)^2\\&=1^2+2\times 1\times 8x+(8x)^2\\&=1+16x+64x^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(4x+5)(5-4x)\\&=(5+4x)(5-4x)\\&=5^2-(4x)^2\\&=25-16x^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(4x+3)^2$
$\quad$
$B=(6x-7)^2$
$\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$
$\quad$
$D=(3x+7)^2$
$\quad$
$E=(7x-5)^2$
$\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$
$\quad$
$G=(7-4x)^2$
$\quad$
$H=(2x+9)^2$
$\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} A&=(4x+3)^2 \\
&=(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2 \\
&=16x^2+24x+9
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(6x-7)^2 \\
&=(6x)^2-2\times 6x \times 7 + 7^2 \\
&=36x^2-84x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x+4)(5x-4) \\
&=(5x)^2-4^2 \\
&=25x^2-16
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=(3x+7)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times 7 + 7^2 \\
&=9x^2+42x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=(7x-5)^2 \\
&=(7x)^2-2\times 7x \times 5+5^2 \\
&=49x^2-70x+25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(3x-5)(3x+5) \\
&=(3x)^2-5^2 \\
&=9x^2-25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=(7-4x)^2 \\
&=7^2-2\times 7 \times 4x + (4x)^2 \\
&=49-56x+16x^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(2x+9)^2 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 9 + 9^2 \\
&=4x^2+36x+81
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} I&=(6-2x)(6+2x) \\
&=6^2-(2x)^2 \\
&=36-4x^2
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$
$\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$
$\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$
$\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} A&=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+2 \times x\times \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x \times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-2x+\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right) \\
&=(6x)^2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \\
&=36x^2-\dfrac{4}{25}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times \dfrac{7}{6}+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=9x^2+7x+\dfrac{49}{36}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x \times \dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-8x+\dfrac{16}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{49}{16}x^2-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-10x+\dfrac{25}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x\times \dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-14x+\dfrac{49}{9}
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(2x+5)^2-(3x-4)^2$
$\quad$
$B=(5x+7)^2+(2x-6)^2$
$\quad$
$C=(7x+2)^2-(4x-3)(4x+3)$
$\quad$
$D=(3x-5)(3x+5)-(3x+5)^2$
$\quad$
$E=(5x-3)^2-(3x-7)^2$
$\quad$
$F=(7x-3)(7x+3)-(8x+5)(8x-5)$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=(2x+5)^2-(3x-4)^2\\
&=(2x)^2+2\times 5\times 2x+5^2-\left((3x)^2-2\times 3x\times 4+ 4^2\right) \\
&=4x^2+20x+25-\left(9x^2-24x+16\right) \\
&=4x^2+20x+25-9x^2+24x-16\\
&=-5x^2+44x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(5x+7)^2+(2x-6)^2\\
&=(5x)^2+2\times 7\times 5x+7^2+(2x)^2-2\times 6\times 2x+6^2\\
&=25x^2+70x+49+4x^2-24x+36\\
&=29x^2+46x+85\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(7x+2)^2-(4x-3)(4x+3) \\
&=(7x)^2+2\times 2\times 7x+2^2-\left((4x)^2-3^2\right) \\
&=49x^2+28x+4-\left(16x^2-9\right) \\
&=49x^2+28x+4-16x^2+9\\
&=33x^2+28x+13\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x-5)(3x+5)-(3x+5)^2\\
&=(3x)^2-5^2-\left((3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
&=9x^2-25-\left(9x^2+30x+25\right) \\
&=9x^2-25-9x^2-30x-25\\
&=-30x-50\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(5x-3)^2-(3x-7)^2\\
&=(5x)^2-2\times 3\times 5x+3^2-\left((3x)^2-2\times 7\times 3x+7^2\right) \\
&=25x^2-30x+9-\left(9x^2-42x+49\right) \\
&=25x^2-30x+9-9x^2+42x-49\\
&=16x^2+12x-40\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(7x-3)(7x+3)-(8x+5)(8x-5) \\
&=(7x)^2-3^2-\left((8x)^2-5^2\right) \\
&=49x^2-9-\left(64x^2-25\right) \\
&=49x^2-9-64x^2+25\\
&=-15x^2+16
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Aires et volumes

Aires et volumes

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Recopier et compléter les égalités suivantes :

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = \ldots ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = \ldots~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = \ldots~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = \ldots ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000 \ldots$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000\ldots$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = \ldots \text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = \ldots \text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = \ldots \text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = \ldots \text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = 32~000 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = 0,005~7 ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = 3~500~000~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = 0,072~5~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = 0,085 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = 200 ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000~ \text{cm}^2$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000~\text{dam}^2$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = 5~765~000 ~\text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = 25~700~\text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = 570~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = 0,007~2 ~\text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = 5,7 ~\text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = 4~750~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $\mathscr{S}$ une sphère de entre $O$ et de rayon $4$ cm.

Calculer son aire et son volume (valeurs exactes et arrondies à $10^{-1}$ près).

$\quad$

Correction Exercice 2

Aire : $4\pi \times R^2 = 4 \pi \times 4^2 $ $= 64\pi \approx 201,1 \text{cm}^2$

Volume : $\dfrac{4}{3} \pi \times R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 4^3 $ $= \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1 \text{cm}^3$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 3

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.
On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.
$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :
$\begin{align*} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\
& = 100\\
SI &= 10
\end{align*}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A} &= \dfrac{SI \times BC}{2} \\
& = \dfrac{10 \times 12}{2} \\
& = 60 \text{m}^2\end{align*}$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon $3$ cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est $2$ fois plus grand.

  1. a. Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. En déduire que le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
    $\quad$
  2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
    Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à $2$ cm de son centre.
    Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la tête et du corps? Arrondir le résultat au cm$^2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans un récipient cylindrique de rayon $2$ cm et de hauteur $4,5$ cm, on verse de l’eau jusqu’à atteindre une hauteur de $3$ cm. On pose dans ce verre une bille métallique de $1$ cm de rayon.

  1. Quelle est la hauteur d’eau dans le récipient (arrondie au millimètre) après immersion d’une bille?
    $\quad$
  2. Combien de billes peut-on mettre dans le récipient sans le faire déborder?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le volume de la bille est $V_B=\dfrac{4}{3}\pi\times 1^3=\dfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer la hauteur $h$ que ce volume représente dans le récipient.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $2^2\pi\times h=\dfrac{4}{3}\pi \ssi 4 h=\dfrac{4}{3} \ssi h=\dfrac{1}{3}$
    Après immersion de la bille, la hauteur d’eau est $3+\dfrac{1}{3}\approx 3,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume d’eau du récipient est $V_R=2^2\times \pi\times 4,5=18\pi$ cm$^3$.
    Le volume d’eau est $V_E=2^2\times 3\pi=12\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} n\times V_B\pp V_R-V_E &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n \pp 18\pi-12\pi \\
    &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n\pp 6\pi \\
    &\ssi n\pp \dfrac{6}{~~\dfrac{4}{3}~~} \\
    &\ssi n\pp 6\times \dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n \pp 4,5\end{align*}$
    On peut donc mettre au maximum $4$ billes dans le récipient sans le faire déborder.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Enzo et Lucie effectuent des calculs sur une même sphère. Enzo calcule l’aire (en cm$^2$) et Lucie le volume (en cm$^3$). Leurs résultats sont égaux.
Quel est le rayon de la sphère?

$\quad$

Correction Exercice 6

Le volume d’une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times R^3$.
L’aire d’une sphère de rayon $R$ est $A=4\pi\R^2$.

On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} V=A&\ssi \dfrac{4}{3}\pi \times R^3=4\pi \R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3=R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3-R^2=0\\
&\ssi R^2\left(\dfrac{1}{3}R-1\right)=0\end{align*}$

Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $R^2=0 \ssi R=0$ ou $\dfrac{1}{3}R-1=0 \ssi \dfrac{1}{3}R=1\ssi R=3$.

Le rayon de la sphère est égal à $3$ cm.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Volume du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Volume du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=\dfrac{24,5\pi}{3}$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+\dfrac{24,5\pi}{3}=\dfrac{931\pi}{24}$ m$^3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit avec comme base le triangle $ABC$ isocèle en $C$.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.

Madame Duchemin souhaite louer son studio.
Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de $20$ € par m$^2$ de surface habitable.
Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de $1,80$ m (article R111-2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure.
Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à $700$ €.
Peut-elle louer son studio à ce prix ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

[collapse]