2nd – Exercices – Fonction carré

Fonction carré

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c’est possible, des réels :

  1.  $1$
    $\quad$
  2. $-16$
    $\quad$
  3. $ \dfrac{9}{5}$
    $\quad$
  4. $25$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation $x^2 = 1$.
    Cette équation possède deux solutions : $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $x^2 = -16$.
    Un carré ne peut pas être négatif.
    $-16$ n’a donc aucun antécédent.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $x^2 = 25$.
    Cette équation possède deux solutions : $-5$ et $5$.
    Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction carré définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$
  3. Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.
    $\quad$
  4. Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.

$\quad$

Correction Exercice 2
  1. VRAI : La fonction carré est définie sur $\R$. Par conséquent tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. VRAI : $-1$ ne possède pas d’antécédent. (on peut choisir n’importe quel réel strictement négatif).
    $\quad$
  3. FAUX : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)
    $\quad$
  4. VRAI : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{10}{3};3\right]$ par $f(x) = x^2$.

  1. Tracer la représentation graphique de $f$.
    $\quad$
  2. Dans les trois situations suivantes, déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur l’intervalle $I$ fourni.
    a. $I = \left[\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
    b. $I = \left[-3;-\dfrac{1}{3}\right]$
    $\quad$
    c. $I = \left[-\dfrac{10}{3};\dfrac{1}{3}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex3
  2. a. minimum = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $3^2 = 9$
    $\quad$
    b. minimum = $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $(-3)^2 = 9$
    $\quad$
    c. minimum = $0^2 = 0$ $\quad$ maximum = $\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On considère deux nombres réels $n$ et $m$ quelconques.

Calculer en fonction de $n$ et $m$, l’expression suivante :$\dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right]$.

Simplifier l’expression.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}  \dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right] &= \dfrac{1}{2} \left[(n+m)^2 – n^2 – m^2\right] \\\\
& = \dfrac{1}{2}(n^2 + m^2 + 2nm – n^2 – m^2) \\\\
& = \dfrac{1}{2}(2nm) \\\\
& = nm
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre graphiquement dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $x^2 > 16$
    $\quad$
  2. $x^2 \le 3$
    $\quad$
  3. $x^2 \ge -1$
    $\quad$
  4. $x^2 \le -2$
    $\quad$
  5. $x^2 > 0$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-1
    La solution est $]-\infty;-4[\cup]4;+\infty[$.
  2. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-2
    La solution est $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.
  3. Un carré est toujours positifs donc la solution est $\R$.
    $\quad$
  4. Un carré ne peut pas être négatif. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation.
    $\quad$
  5. Un carré est toujours positif ou nul et ne s’annule que pour $x = 0$.
    La solution est donc $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas fournir, en justifiant, un encadrement de $x^2$.

  1. $x \in [-5;-2]$
    $\quad$
  2. $x \in [-5;2]$
    $\quad$
  3. $x \in ]-1;3]$
    $\quad$
  4. $x \in [1;16[$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et donc en particulier sur $[-5;-2]$.
    Par conséquent $x^2 \in [4;25]$.
    $\quad$
  2. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $[-5;0]$ et $[0;2]$
    Si $x\in [-5;0]$ alors $x^2 \in [0;25]$
    Si $x\in [0;2]$ alors $x^2 \in [0;4]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in[-5;2]$ alors $x^2\in[0;25]$.
    $\quad$
  3. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $]-1;0]$ et $[0;3]$
    Si $x\in ]-1;0]$ alors $x^2 \in [0;1[$
    Si $x\in [0;3]$ alors $x^2 \in [0;9]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in]-1;3]$ alors $x^2\in[0;9]$.
    $\quad$
  4. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur $[0;16[$.
    Par conséquent $x^2 \in [1;256[$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

2nd – Exercices corrigés

Dans le(s) cas où il n’est possible de fournir une valeur exacte, fournissez une valeur approchée au dixième.

Exercice 1

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $1$ par la fonction $f$.

fct1

Correction Exercice 1

fct1 cor

$1$ possède donc trois antécédents : $-3$ ; $-1$ et $2$.

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.

fct2

Correction Exercice 2

fct2 cor

Les antécédents de $-2$ sont : $-5$ ; $-0,5$ et $1$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $2$ par la fonction $f$.

fct3

Correction Exercice 3

fct3 cor

On constate que $2$ possède deux antécédents qui sont environ : $-2,2$ et $2,2$.

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$\quad$

Exercice 4

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

 

ex2

  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(1)$ et  de $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $0,5$, de $2$ et de $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
Correction Exercice 4

  1. $f(1) = 0$ et $f(0) \approx 1,2$
    ex2 cor1
  2. Les antécédents de $0,5$ sont (environ) : $-1,9$ ; $0,4$ ; $1,7$ et $2,8$
    $\quad$
    Les antécédents de $2$ sont (environ) : $-1,7$ et $-0,4$.
    $\quad$
    $-1$ n’a pas d’antécédent par $f$.
    ex2 cor2 (2)
  3. La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

  1. Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.
Correction Exercice 5

  1. On veut donc calculer :
    $f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
    $\quad$
  2. $f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
    $\quad$
  3. On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, donnant la hauteur d’eau dans un bassin naturel d’eau de mer en fonction des heures de la journée.

 

  1. Déterminer graphiquement l’intervalle $I$.
    $\quad$
  2. Que lit-on sur l’axe des abscisses?
    $\quad$
  3. Que lit-on sur l’axe des ordonnées ?
    $\quad$
  4. Utiliser le graphique pour compléter le tableau ci-dessous :

Source : Académie de Clermont-Ferrand

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $I=[0;24]$
    $\quad$
  2. On lit les heures de la journée sur l’axes des abscisses.
    $\quad$
  3. On lit la hauteur de l’eau sur l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  4. $\quad$


$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2x-3}{x-1}$.

  1. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
    $\quad$
  2. Déterminer $f(0), $f(-1) et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $0$; $1$, $-2$ et $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. La fonction $f$ est définie pour toutes valeurs de $x$ telles que $x-1\neq 0$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$.
    La fonction $f$ est par conséquent définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3$
    $f(-1)=\dfrac{2\times (-1)-3}{-1-1}=\dfrac{5}{2}$
    $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)-3}{-\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  3. Pour déterminer les antécédents de $0$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=0 \\
    &\ssi 2x-3=0 \\
    &\ssi 2x=3\\
    &\ssi x=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    On a bien $\dfrac{3}{2}\neq 1$.
    L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=1 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=1 \\
    &\ssi 2x-3=x-1 \\
    &\ssi 2x-x=-1+3\\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    On a bien $2\neq 1$.
    L’antécédent de $1$ est $2$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $-2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=-2 \\
    &\ssi 2x-3=-2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=-2x+2 \\
    &\ssi 2x+2x=2+3\\
    &\ssi 4x=5 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{5}{3}\neq 1$.
    L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=2 \\
    &\ssi 2x-3=2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=2x-2\\
    &\ssi 2x-2x=-2+3\\
    &\ssi 0=1\end{align*}$
    Le nombre $2$ ne possède donc pas d’antécédent.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.

Compléter le tableau de valeurs de suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 8

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1  & \dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x+5}$.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$?

$O(0;0)$ ; $A\left(1;\dfrac{1}{6} \right)$ ; $B\left(3;\dfrac{1}{4} \right)$ ; $C\left(-2;\dfrac{4}{7} \right)$ ; $D\left(-3;\dfrac{9}{2} \right)$

$\quad$

Correction Exercice 9

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$

$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$\quad$

$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.
$\quad$

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$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Mise en équation

Mise en équation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Un théâtre propose des places à $15$ € et d’autres places à $20$ €. Le soir d’une représentation où il a affiché complet, la recette a été de $8~000$ €.
Le nombre des spectateurs était de $470$.
Déterminer le nombre de places à $15$ €, puis le nombre de places à $20$ €.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $n$ le nombre de places à $15$ €. Par conséquent $470-n$ places à $20$ € ont été vendues.
La recette est donc $15n+20(470-n)$.
On doit donc résoudre l’équation :

$\begin{align*} 15n+20(470-n)=8~000 &\ssi 15n+9~400-20n=8~000 \\
&\ssi -5n=-1~400 \\
&\ssi n=280\end{align*}$

$280$ places à $15$ € et $190$ places à $20$ € ont donc été vendues.

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$\quad$

Exercice 2

En augmentant de $7$ cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de $81$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du carré initial?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ la longueur du côté initial.
L’aire du nouveau carré est donc $(x+7)^2$ et l’aire du carré initial est $x^2$.
On obtient par conséquent l’équation suivante :

$\begin{align*} (x+7)^2=x^2+81&\ssi (x+7)(x+7)=x^2+81\\
&\ssi x^2+7x+7x+49=x^2+81 \\
&\ssi 14x=81-49 \\
&\ssi 14x=32\\
&\ssi x=\dfrac{32}{14} \\
&\ssi x=\dfrac{16}{7}\end{align*}$

L’aire du carré initial est donc $\mathscr{A}=x^2=\left(\dfrac{16}{7}\right)^2=\dfrac{256}{49}$ cm$^2$.

Remarque : Si les identités remarquables ont été vues, il est tout à fait possible de les utiliser pour développer $(x+7)^2$ plus rapidement.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut $603$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $n$ le plus petit des deux entiers naturels. Les deux entiers naturels consécutifs sont donc $n$ et $n+1$.
On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} (n+1)^2-n^2=603&\ssi (n+1)(n+1)-n^2=603 \\
&\ssi n^2+n+n+1-n^2=603 \\
&\ssi 2n+1=603\\
&\ssi 2n=603-1\\
&\ssi 2n=602 \\
&\ssi n=301\end{align*}$

Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $301$ et $302$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $V=\dfrac{d}{T}$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps mis pour parcourir la distance $d$ (attention à la concordance des unités).

  1. Un automobiliste parcourt $36$ km en $18$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h?
    $\quad$
  2. Exprimer $T$ en fonction de $V$ et $d$.
    Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $30$ km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir $18$ km?
    $\quad$
  3. Exprimer $d$ en fonction de $V$ et $T$.
    Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de $110$ km/h pendant $42$ minutes.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $18$ min $= \dfrac{18}{60}$ h soit $0,3$ h. La vitesse moyenne de l’automobiliste est $V=\dfrac{36}{0,3}=120$ km/h.
    $\quad$
  2. $V=\dfrac{d}{T} \ssi T=\dfrac{d}{V}$.
    Ainsi si $V=30$ km/h et $d=18$ km alors $T=\dfrac{18}{30}=0,6$ h $=0,6\times 60$ min soit $36$ min.
    Le cycliste a donc mis $36$ min pour parcourir $18$ km à la vitesse moyenne de $30$ km/h
    $\quad$
  3. $V=\dfrac{d}{T}\ssi d=V\times T$
    Ainsi si $V=110$ km/h et $T=42$ min c’est-à-dire $\dfrac{42}{60}$ h soit $0,7$ h on obtient alors $d=110\times 0,7=77$ km.
    On a donc parcouru $77$ km en moto en roulant $42$ minutes à la vitesse moyenne de $110$ km/h.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Exprimer la longueur du rayon d’un disque en fonction de son aire.
Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de $30$ cm$^2$?

$\quad$

Correction Exercice 5

L’aire d’un disque est donnée par la formule $\mathscr{A}=\pi r^2$ où $r$ est le rayon du disque.
Ainsi $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi} $ et $r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}$ car $r>0$.

Par conséquent si $\mathscr{A}=30$ cm$^2$ alors $r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Deux variables $x$ et $y$ sont liées par la relation $y=\dfrac{2x+1}{x+4}$ où $x$ est un réel différent de $-4$ et $y$ un réel différent de $2$.
Exprimer $x$ en fonction de $y$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Pour tout réel $x$ différent de $-4$ et tout réel $y$ différent de $2$ on a :

$\begin{align*} y=\dfrac{2x+1}{x+4}&\ssi (x+4)y=2x+1 \\
&\ssi xy+4y=2x+1 \\
&\ssi xy-2x=1-4y\\
&\ssi x(y-2)=1-4y \\
&\ssi x=\dfrac{1-4y}{y-2}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Quel même nombre doit-on ajouter à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{6}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $\dfrac{8}{7}$?
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ le nombre qu’on ajoute au numérateur et au dénominateur. On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} \dfrac{1+x}{6+x}=\dfrac{8}{7} &\ssi 7(1+x)=8(6+x) \\
&\ssi 7+7x=48+8x \\
&\ssi 7-48=8x-7x\\
&\ssi x=-41\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – Exercices – Développement (sans identités remarquables)

Développement (sans identités remarquables)

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=3(5-3x)$

$B=-(3x+2)$

$C=2(4x+5)$

$D=-3(3-2x)$

$\quad$

Correction Exercice 1

$A=3(5-3x)=3\times 5+3\times (-3x)=15-9x$

$B=-(3x+2)=-3x-2$

$C=2(4x+5)=2\times 4x+2\times 5=8x+10$

$D=-3(3-2x)=-3\times 3-3\times (2x)=-9+6x$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+1)(x+3)$

$B=(2x+8)(x+5)$

$C=(4x-1)(x+2)$

$D=(5x+4)(4x+7)$

$E=(4x+3)(3x-2)$

$F=(7x-4)(2x-1)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x(x+3)+1(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3\\
&=x^2+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x(x+5)+8(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40\\
&=2x^2+18x+40\end{align*}$

$\begin{align*} C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x(x+2)-(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7) \\
&=5x(4x+7)+4(4x+7)\\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=4x(3x-2)+3(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6\end{align*}$

$\begin{align*}F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=7x(2x-1)-4(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+1)(x+3)$

$B=(2x+8)(x+5)$

$C=(4x-1)(x+2)$

$D=(5x+4)(4x+7)$

$E=(4x+3)(3x-2)$

$F=(7x-4)(2x-1)$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x(x+3)+(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3\\
&=x^2+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x(x+5)+8(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40\\
&=2x^2+18x+40\end{align*}$

$\begin{align*} C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x(x+2)-(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7)\\
&=5x(4x+7)+4(4x+7) \\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=4x(3x-2)+3(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6\end{align*}$

$\begin{align*}F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=7x(2x-1)-4(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$

$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$

$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$

$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$

$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3) \\
&=3x(4x+2)+(4x+2)-(10x-15) \\
&=12x^2+6x+4x+2-10x+15 \\
&=12x^2+10x+2-10x+15\\
&=12x^2+17\end{align*}$

$\begin{align*}B&=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1) \\
&=4x(5x-3)-(5x-3)+21x-7\\
&=20x^2-12x-5x+3+21x-7\\
&=20x^2+4x-4\end{align*}$

$\begin{align*}C&=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9) \\
&=5x(3x+7)-4(3x+7)+4x(5x+9)-2(5x+9) \\
&=15x^2+35x-12x-28+20x^2+36x-10x-18\\
&=35x^2+49x-46\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2) \\
&=x(x+2)-2(x+2)-\left[2x(3x-2)+3x-2\right] \\
&=x^2+2x-2x-4-\left(6x^2-4x+3x-2\right) \\
&=x^2-4-4x^2+x+2\\
&=-5x^2+x-2\end{align*}$

$\begin{align*}E&=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3) \\
&=4(3x+1)(3x+1)-\left[2x(2x-3)+3(2x-3)\right] \\
&=4\left[3x(3x+1)+(3x+1)\right]-\left(4x^2-6x+6x-9\right) \\
&=4\left(9x^2+3x+3x+1\right)-\left(4x^2-9\right) \\
&=36x^2+24x+4-4x^2+9 \\
&=32x^2+24x+13\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(5x-3)(2x-7)-(2x+1)(5-3x)$

$B=(2-3x)(5-2x)-4(3x-1)(x+2)$

$C=(3x+1)(x+4)-(2x+5)(x-4)$

$D=(x+3)(x-2)-(x-3)(x+2)$

$E=(2x-1)(2x+4)-(3-x)(5-2x)$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=(5x-3)(2x-7)-(2x+1)(5-3x) \\
&=5x(2x-7)-3(2x-7)-\left[2x(5-3x)+(5-3x)\right] \\
&=10x^2-35x-6x+21-\left(10x-6x^2+5-3x\right) \\
&=10x^2-41x+21-\left(-6x^2+7x+5\right) \\
&=10x^2-41x+21+6x^2-7x-5\\
&=16x^2-48x+16\end{align*}$

$\begin{align*}B&=(2-3x)(5-2x)-4(3x-1)(x+2) \\
&=2(5-2x)-3x(5-2x)-4\left[3x(x+2)-(x+2)\right] \\
&=10-4x-15x+6x^2-4\left(3x^2+6x-x-2\right)\\
&=6x^2-19x+10-4\left(3x^2+5x-2\right)\\
&=6x^2-19x+10-12x^2-20x+8\\
&=-6x^2-39x+18\end{align*}$

$\begin{align*}C&=(3x+1)(x+4)-(2x+5)(x-4) \\
&=3x(x+4)+(x+4)-\left[2x(x-4)+5(x-4)\right] \\
&=3x^2+12x+x+4-\left(2x^2-8x+5x-20\right) \\
&=3x^2+13x+4-\left(2x^2-3x-20\right) \\
&=3x^2+13x+4-2x^2+3x+20\\
&=x^2+16x+24\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(x+3)(x-2)-(x-3)(x+2) \\
&=x(x-2)+3(x-2)-\left[x(x+2)-3(x+2)\right] \\
&=x^2-2x+3x-6-\left(x^2+2x-3x-6\right)\\
&=x^2+x-6-\left(x^2-x-6\right)\\
&=x^2+x-6-x^2+x+6\\
&=2x\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(2x-1)(2x+4)-(3-x)(5-2x) \\
&=2x(2x+4)-(2x+4)-\left[3(5-2x)-x(5-2x)\right] \\
&=4x^2+8x-2x-4-\left(15-6x-5x+2x^2\right)\\
&=4x^2+6x-4-\left(2x^2-11x+15\right) \\
&=4x^2+6x-4-2x^2+11x-15\\
&=2x^2+17x-19\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Puissances

Puissances

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

  1. $2^5\times 2^6$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4$
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3$
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4=(-7)^{2+4}=(-7)^6=7^6$ car $6$ est pair
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7=8^2\times 8^7=8^{2+7}=8^9$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4=\left(-3\times (-5)\right)^4=15^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3=(-5\times 2)^3=-10^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3=(-3)^{5\times (-3)}=(-3)^{-15}=-3^{-15}$ car $-3$ est impair
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5=(-3)^{4+5}=(-3)^9=-3^9$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)=(-5)^{4\times (-5)}=(-5)^{-20}=5^{-20}$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3=4^2\times \left(-4^3\right)=-4^2\times 4^3=-4^{2+3}=-4^5$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4=(-2\times 3)^4=(-6)^4=6^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5=\left(-4\times (-2)\right)^5=8^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7\times 4}=(-6)^{28}=6^{28}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 & &B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \\C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2&\phantom{123} & D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{3^3}{4^3}=\dfrac{27}{64}$

$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2 \\
&=\dfrac{3^2}{7^2}\times \dfrac{(-2\times 7)^2}{5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2\times 7^2}{7^2\times 5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2}{5^2}=\dfrac{36}{25}\end{align*}$

$\begin{align*}D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4 \\
&=\dfrac{4^3}{7^3}\times \dfrac{(-7)^4}{2^4}\\
&=\dfrac{4^3\times 7^4}{7^3\times 2^4} \\
&=\dfrac{\left(2^2\right)^3\times 7}{2^4}\\
&=\dfrac{2^6\times 7}{2^4} \\
&=2^2\times 7\\
&=4\times 7\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}} & &B=\dfrac{(-7)^5}{7^3} \\C=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}&\phantom{123} & D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}}=2^{15-11}=2^4$

$B=\dfrac{(-7)^5}{7^3}=\dfrac{-7^5}{7^3}=-7^{5-3}=-7^2$

$\begin{align*}C&=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}\\
&=\dfrac{-3^2\times \left(-3^3\right)\times 3^5}{3^3\times 3^4}\\
&=\dfrac{3^{10}}{3^7}=3^{10-7}\\
&=3^3\end{align*}$

$D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}=\dfrac{5^8\times 5^{26}}{5^2\times 5^{45}}=\dfrac{5^{34}}{5^{47}}=5^{34-47}=5^{-13}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Écrire chacun des nombres suivant sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

$$\begin{array}{lll}
A=4^{-3} & & B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} & &D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} && F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}\\
G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}&\phantom{123}& H=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$A=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{1}{64}$

$B=\dfrac{7^9}{7^{11}}=7^{9-11}=7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{5}{4}\right)^2~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{25}{16}~~}=\dfrac{16}{25}$

$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{2}{3}\right)^3~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{8}{27}~~}=\dfrac{27}{8}$

$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}=5^{-1-2}=5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}$

$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}=2^{3-(-2)}=2^5$

$G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}=-\dfrac{9^{4-2}}{9^2}=-\dfrac{9^2}{9^2}=-1$

$\begin{align*}H&=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}\\
&=\dfrac{6^5\times 6^{-4}\times 6^{-3}}{6^{2-5}}\\
&=\dfrac{6^{5-4-3}}{6^{-3}} \\
&=\dfrac{6^{-1}}{6^{-3}}=6^{-1-(-3)}\\
&=6^2\\
&=36\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$$\begin{array}{ccccc}
A=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} &\phantom{12} &B=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}}&\phantom{12} & C=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{(2\times 5)^9\times (2\times 3)^3}{(5\times 5)^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^9\times 5^9\times 2^3\times 3^3}{5^4\times 5^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^{12}\times 5^9\times 3^3}{5^8\times 3\times 2^{11}} \\
&=2^{12-11}\times 5^{9-8}\times 3^{3-1}\\
&=2\times 5\times 3^2 \\
&=10\times 9\\
&=90\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{118}\times 10}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{119}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{9}{10^{119}} \end{align*}$

$\begin{align*}C&=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{(2\times 5)^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{2^{107}\times 5^{107}} \\
&=5^{108-107}\times 2^{106-107}\times 11 \\
&=5\times 2^{-1}\times 11 \\
&=\dfrac{5\times 11}{2} \\
&=\dfrac{55}{2}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Écrire sous forme décimale les nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=10^{-4} & &B=10^{15}\times 10^{-17} \\
C=3\times 10^6\times 10^{-8} & &D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}} \end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 6

$A=10^{-4} = 0,000~1$

$B=10^{15}\times 10^{-17} = 10^{15-17}=10^{-2}=0,01$

$C=3\times 10^6\times 10^{-8}=3\times 10^{6-8}=3\times 10^{-2}=0,03$

$D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}}=\dfrac{5}{2}\times 10^{-7-(-1)}=2,5\times 10^{-6}=0,000~002~5$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=2~000~000 & & B=0,003~6 \\
C=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 & &D=0,000~003~75\times 5~000  \\
E=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 &\phantom{123} & F=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 7

$A=2~000~000 = 2\times 10^6$

$B=0,003~6=3,6\times 10^{-3}$

$\begin{align*} C&=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 \\
&=\left(10^{-1}\right)^5\times \left(-10^{-3}\right)^2\times \left(10^{-2}\right)^2 \\
&=10^{-5}\times 10^{-6}\times 10^{-4} \\
&=1\times 10^{-15} \end{align*}$

$\begin{align*}D&=0,000~003~75\times 5~000  \\
&=3,75\times 10^{-6}\times 5\times 10^3\\
&=18,75\times 10^{-3} \\
&=1,875\times 10\times 10^{-3}\\
&=1,875\times 10^{-2}\end{align*}$

$\begin{align*} E&=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times \left(10^{-4}\right)^3\times 10^4\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times 10^{-12}\times 10^6\\
&=1\times 10^{-9}\end{align*}$

$\begin{align*} F&=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3} \\
&=\left(5\times 10^{-1}\right)^3\times \left(5^2\right)^2\times \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\times \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-3} \\
&=5^3\times 10^{-3}\times 5^4\times \left(-\dfrac{3^3}{4^3}\right)\times \dfrac{4^3}{5^3}\\
&=-5^7\times 10^{-3}\times \dfrac{3^3}{5^3} \\
&=-5^4\times 10^{-3}\times 27\\
&=-625\times 27 \times 10^{-3} \\
&=-16~875\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5\times 10^4\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5 \times 10\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Valeur absolue

Valeur absolue

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $|x|$.

  1. $x=-2$
    $\quad$
  2. $x=3$
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$
    $\quad$
  6. $x=\pi$
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x=-2$ alors $|x|=2$.
    $\quad$
  2. $x=3$ alors $|x|=3$.
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$ alors $|x|=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$ alors $|x|=\sqrt{2}$.
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$ alors $|x|=\dfrac{8}{7}$.
    $\quad$
  6. $x=\pi$ alors $|x|=\pi$.
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$. On a donc $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}$ donc $|x|=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, écrire à l’aide d’une valeur absolue la distance entre les points $A$ et $B$ puis fournir sa valeur numérique :

  1. $A(2)$ et $B(5)$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $A(2)$ et $B(5)$ donc $AB=|2-5|=|-3|=3$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$ donc $AB=|-4-5|=|-9|=9$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$ donc $AB=|-2-(-7)|=|5|=5$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$ donc $AB=|3-(-2)|=|5|=5$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$ donc $AB=|0-(-6)|=|6|=6$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la valeur du nombre réel $a$ et du nombre réel strictement positif $r$ de telle sorte que l’intervalle s’écrive sous la forme $[a-r;a+r]$:

  1. $I=[2;4]$
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $I=[2;4]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{4+2}{2}=3$.
    De plus $4-3=1$ donc $r=1$.
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{10+4}{2}=7$.
    De plus $10-7=3$ donc $r=3$.
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{8+(-2)}{2}=3$.
    De plus $8-3=5$ donc $r=5$.
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{-3+(-12)}{2}=-7,5$.
    De plus $-3-(-7,5)=4,5$ donc $r=4,5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Simplifier au maximum l’écriture des nombres suivants :

  1. $A=|1-5|$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|$
    $\quad$
  7. $G=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $A=|1-5|=|-4|=4$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|=|-6|=6$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}$ puisqu’il s’agit d’une somme de termes positifs
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$ puisque $\sqrt{3}>1$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|=5+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|=-3+1=-2$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|\\
    &=|-8|\times (-2)+5\times |-5|\\
    &=8\times (-2)+5\times 5\\
    &=-16+25\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Interpréter en termes de distance :

  1. $|x-5|$
    $\quad$
  2. $|x-2|$
    $\quad$
  3. $|x+3|$
    $\quad$
  4. $|x|$
    $\quad$
  5. $|-x|$
    $\quad$
  6. $|2-x|$
    $\quad$
  7. $|6+x|$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $|x-5|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$.
    $\quad$
  2. $|x-2|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $2$.
    $\quad$
  3. $|x+3|=\left|x-(-3)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$.
    $\quad$
  4. $|x|=|x-0|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. $|-x|=|0-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $0$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  6. $|2-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $2$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  7. $|6+x|=\left|x-(-6)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas, écrire à l’aide de valeurs absolues les intervalles suivants :

  1. $I=[-5;8]$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $I=[-5;8]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{8+(-5)}{2}=1,5$
    De plus $r=8-1,5=6,5$.
    Donc $x\in [-5;8] \ssi |x-1,5|\pp 6,5$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{-2+(-6)}{2}=-4$
    De plus $r=-2-(-4)=2$.
    Donc $x\in ]-6;-2[ \ssi \left|x-(-4)\right|< 2 \ssi |x+4|<2$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{3+4}{2}=3,5$
    De plus $r=4-3,5=0,5$.
    Donc $x\in [3;4] \ssi |x-3,5|\pp 0,5$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{110+100}{2}=105$
    De plus $r=110-105=5$.
    Donc $x\in ]100;110[ \ssi |x-105|<5$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Interpréter à l’aide de distance puis résoudre les équations et inéquations suivantes :

  1. $|x+3|=3$
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3$
    $\quad$
Correction Exercice 7

Pour visualiser plus facilement les différentes situations, on peut placer sur une droite graduée les points $A$ et $M$ et représenter les ensembles solutions.

  1. $|x+3|=3 \ssi \left|x-(-3)\right|=3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$ est égale à $3$.
    $|x+3|=3 \ssi x+3=3$ ou $x+3=-3$
    $phantom{|x+3|=3 }\ssi x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation $|x+3|=3$ sont $0$ et $-6$.
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $3$ est inférieure ou égale à $1$.
    $|x-3|\pp 1 \ssi -1\pp x-3\pp 1 \ssi 2 \pp x \pp 4$ (on ajoute $3$ à tous les membres de l’inégalité).
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-3|\pp 1$ est l’intervalle $[2;4]$.
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$ est supérieure ou égale à $2$.
    $|x-5|\pg 2 \ssi x-5\pg 2$ ou $x-5 \pp -2$
    $\phantom{|x-5|\pg 2 } \ssi x\pg 7$ ou $x\pp 3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-5|\pg 2$ est $]-\infty,3]\cup [7;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2} \ssi \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6}$ (on divise tous les nombres par $3$)
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $\dfrac{4}{3}$ est inférieure ou égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6} &\ssi -\dfrac{1}{6} \pp x-\dfrac{4}{3}\pp \dfrac{1}{6}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6}\\
    &\ssi \dfrac{7}{6} \pp x\pp \dfrac{9}{6} \end{align*}$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$ est l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp \left|x-(-1)\right|\pp 3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-1$ est comprise entre $2$ et $3$, tous les deux inclus.
    $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp 1+x \pp 3$ ou $-3\pp 1+x \pp -2$
    $\phantom{2\pp |1+x|\pp 3} \ssi 1\pp x \pp 2$ ou $-4 \pp x\pp -3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $2\pp |1+x|\pp 3$ est $[-4;-3]\cup [1;2]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Encadrements

Encadrements

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

Donner un encadrement des nombres suivants :

  1. $\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près
    $\quad$
  2. $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$
  3. $-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près
    $\quad$
  4. $-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $\dfrac{1}{3} = 0,3333$ à $10^{-4}$ près
    $\quad$
  2. $\sqrt{2}=1,414$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$
  3. $-\sqrt{7}=2,65$ à $10^{-2}$ près
    $\quad$
  4. $-\dfrac{5}{11}=0,455$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas déterminer l’amplitude de l’encadrement proposé :

  1. $-2<x<7$
    $\quad$
  2. $-1,23\pp x \pp -1,17$
    $\quad$
  3. $-1,576 < x<2,435$
    $\quad$
  4. $2,45<x<2,58$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. L’amplitude de l’encadrement $-2<x<7$ est $7-(-2)=9$.
    $\quad$
  2. L’amplitude de l’encadrement $-1,23\pp x \pp -1,17$ est $-1,17-(-1,23)=0,06$.
    $\quad$
  3. L’amplitude de l’encadrement $-1,576 < x<2,435$ est $2,435-(-1,576)=4,011$.
    $\quad$
  4. L’amplitude de l’encadrement $2,45<x<2,58$ est $2,58-2,45=0,07$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

 La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On inscrit dans un carré $ABCD$ un cercle d’aire $3$ cm$^2$

Déterminer un encadrement au dixième de millimètre de la longueur de la diagonale $[AC]$.

$\quad$

Correction Exercice 3

L’aire du cercle est $\mathscr{A}=2\pi r^2$. Par conséquent $\pi r^2=3 \ssi r^2=\dfrac{3}{\pi}$.
Or $AB=2r$ par conséquent $AB^2=4r^2$
On a donc $AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=4\times \dfrac{3}{\pi}=\dfrac{12}{\pi}$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2=2\times \dfrac{12}{\pi}=\dfrac{24}{\pi}$
Donc $AC=\sqrt{\dfrac{24}{\pi}}$

À l’aide de la calculatrice, on obtient $2,76<AC<2,77$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On appelle développement décimal d’un nombre sa décomposition selon les puissances de $10$.

On a par exemple : $13,254=1\times 10^1+3\times 10^0+2\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}+4\times 10^{-3}$

Déterminer le développement décimal des nombres suivants :
$$147,23\qquad \dfrac{15}{8} \qquad -0,002~4$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$147,23=1\times 10^2+4\times 10^1+7\times 10^0+2\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}$

$\dfrac{15}{8}=1,875=1\times 10^0+8\times 10^{-1}+7\times 10^{-2}+5\times 10^{-3}$

$-0,002~4=-2\times 10^{-3}-4\times 10^{-4}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Effectuer à la main la division décimale de $1$ par $7$ jusqu’à $7$ chiffres après la virgule.

En déduire la valeur du $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

on a $\dfrac{1}{7}\approx 0,142~857~1$
Dans la division décimale de $1$ par $7$ on va donc retrouver les mêmes chiffres toutes les $6$ décimales.
Or $2~019=6\times 336+3$
Le $3^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est $2$ donc le $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est également un $2$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Intervalles

Intervalles

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 1

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire les intervalles suivants à l’aide d’inégalités.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: -9\pp x \pp 2\\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: 0<x<1\\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: 2<x\pp 6 \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : x<5 \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :x\pg -3 \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: 1\pp x<10 \\\\
\end{array}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire les inégalités suivantes à l’aide d’intervalles.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &10>x &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& 0<x & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: x\in]-3;5]\\\\
\textbf{2.} &10>x &: x\in]-\infty;10[ \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: x\in[-2;+\infty[ \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : x\in [1;3]\\\\
\textbf{5.}& 0<x & :x\in]0;+\infty[ \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: x\in[-1;1[ \\\\
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants :

$$\begin{array}{cccc}
[-1;+\infty[ \phantom{aaa}& ]-\infty;5[ \phantom{aaa}&[2;4[ \phantom{aaa}&[-4;3] \phantom{aaa} \\\\
]-3;-1[ \phantom{aaa}& ]-\infty;-2] \phantom{aaa}&]4;+\infty[ \phantom{aaa}&]0;2] \phantom{aaa} \\\\
\end{array} $$

$\quad$

Correction Exercice 4

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 5

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Compléter avec $\in$ et $\notin$.

  1. $3~\ldots~ [-5;4[$
    $\quad$
  2. $-2~\ldots~ [-1;5[$
    $\quad$
  3. $0~\ldots~ ]-2;1[$
    $\quad$
  4. $10^{-2}~\ldots~ ]0;+\infty[$
    $\quad$
  5. $5~\ldots~ ]5;7]$
    $\quad$
  6. $\dfrac{3}{7}~\ldots~ [0,5;2]$
    $\quad$
  7. $\pi~\ldots~ [3,1;3,2[$
    $\quad$
  8. $\dfrac{3}{8}~\ldots~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$
    $\quad$
  9. $10^{-5}~\ldots~ ]-\infty;0]$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $3~\in~ [-5;4[$
    $\quad$
  2. $-2~\notin~ [-1;5[$
    $\quad$
  3. $0~\in~ ]-2;1[$
    $\quad$
  4. $10^{-2}~\in~ ]0;+\infty[$
    $\quad$
  5. $5~\notin~ ]5;7]$
    $\quad$
  6. $\dfrac{3}{7}~\notin~ [0,5;2]$ car $\dfrac{3}{7}\approx 0,43$
    $\quad$
  7. $\pi~\in~ [3,1;3,2[$ car $\pi \approx 3,14$
    $\quad$
  8. $\dfrac{3}{8}~\in~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$ car $7<8<9$ donc $\dfrac{3}{9}<\dfrac{3}{8}<\dfrac{3}{9}$
    $\quad$
  9. $10^{-5}~\notin~ ]-\infty;0]$ car $10^{-5}>0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère un rectangle dont la longueur est $L$ et la largeur $\ell$.
On sait que que son périmètre $P$ vérifie $P\in]40;90[$ et que $5<\ell \pp 8$.
Déterminer l’ensemble des valeurs entières que peut prendre $L$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Le périmètre du rectangle est $P=2(L+\ell)$.
Par conséquent $40<2(L+\ell)\pp 90 \ssi 20<L+\ell\pp 45$.
Or $5<\ell \pp 8 \ssi 5+L<L+\ell<8+L$

La plus petite valeur prise par $L$ doit donc vérifier que $5+L=20 \ssi L=15$ et la plus grande valeur doit vérifier que $8+L=45 \ssi L=37$.

Par conséquent $L$ peut prendre des valeurs entières comprises entre $15$ et $37$, toutes les deux incluses.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Déterminer tous les entiers naturels appartenant à chacun des intervalles suivants :

$$[-2;\sqrt{5}] \qquad [3;9[ \qquad \left]-\infty; \dfrac{28}{5}\right] $$

$\quad$

Correction Exercice 8

On a $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9} \ssi 2<\sqrt{5}<3$ donc les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[-2;\sqrt{5}]$ sont $0; 1$ et $2$.

Les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[3;9[$ sont $3; 4; 5; 6; 7$ et $8$.

$\dfrac{28}{5}=5,6$ par conséquent les entiers naturels appartenant à l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{28}{5}\right]$ sont $0; 1; 2; 3; 4$ et $5$.

$\quad$

[collapse]

2nd – Exercices – Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}} & \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\end{array}$$
$2\times 10^{-2}=0,02$

$\dfrac{22}{5}=4,4$

$-\dfrac{28}{4}=-7$

$\sqrt{1,44}=1,2$

$-\sqrt{64}=-8$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.

$$\begin{array}{lllll}
\textbf{a. } \dfrac{125}{5}\phantom{123}&\textbf{b. } \dfrac{7}{5}\phantom{123}&\textbf{c. } \dfrac{21}{12}\phantom{123}&\textbf{d. } -\dfrac{35}{7}\phantom{123} &\textbf{e. } \dfrac{14}{21} \phantom{123}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

a. $\dfrac{125}{5}=25 \in \N$

b. $\dfrac{7}{5}=1,4\in \D$

c. $\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}=1,75\in \D$

d. $-\dfrac{35}{7}=-5\in \Z$

e. $\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}\in \Q$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    Faux : $\pi$ est un nombre réel qui n’est pas rationnel.
    En revanche, tout nombre rationnel est un nombre réel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    Vrai : $0,5$ est un nombre décimal et $\D$ est inclus dans $\Q$.
    On pouvait également dire que $0,5=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    Faux : $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel dont le carré vaut $2$. Or $2$ est un entier naturel donc un nombre rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{1}{3}$ est un nombre réel et n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{2}{3}$ est le quotient de deux nombres décimaux non nuls et pourtant ce n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    Vrai : L’inverse de $\dfrac{1}{2}$ est $2$ qui est un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    Vrai : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$ est un nombre entier.
    On pouvait également choisir deux nombres entiers (puisqu’ils sont également rationnels).
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4} \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5} \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4}=0,75 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2}=0,5 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4}=0,25 \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4}=2,25 \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5}=0,6 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5}=0,2 \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5}=0,4 \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5}=2,6 \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Montrer que $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Correction Exercice 5

Supposons que $\dfrac{1}{7}$ soit un nombre décimal.
Il existe donc un entier relatif $a$ non nul et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{7}=\dfrac{a}{10^n}$.

En utilisant les produits en croix on obtient $10^n=7a$.

$7a$ est un multiple de $7$. Cela signifie donc que $10^n$ est également un multiple de $7$.
Par conséquent $7$ est aussi un multiple de $7$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Par conséquent $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.
$\quad$

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$\quad$

TS – Exercices – Espace

TS – Exercices – Espace

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-5 +3t\\y=t-1,\quad t\in\R \\z=-3t\end{cases}$
    Pour chaque réponse, on donnera la démarche utilisée. a. Donner un vecteur directeur $\vect{u_D}$ de $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Donner un vecteur $\vect{n_D}$ , normal à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. Donner un vecteur $\vect{n_P}$ normal à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    d. Donner deux vecteurs $\vect{u_P}$ et $\vect{v_P}$ de $\mathscr{P}$, non colinéaires.
    $\quad$
    e. Donner deux points $A$ et $B$ appartenant à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Donner trois points non alignés $C$, $D$ et $E$ appartenant à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    g. La droite $\mathscr{D}$ est-elle parallèle au plan $\mathscr{P}$ ? Justifier.
    Si ce n’est pas le cas, donner les coordonnées du point d’intersection.
    $\quad$
  2. On considère le plan $\mathscr{P}_1$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et le plan $\mathscr{P}_2$ d’équation $4x – y – 3z + 2 = 0$.
    a. Ces plans sont-ils parallèles ? Justifier.
    $\quad$
    b. Donner les équations paramétriques de la droite d’intersection de ces deux plans.
    $\quad$
    c. Donner l’équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. D’après la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vect{u_D}(3;1;-3)$.
    $\quad$
    b. On considère un vecteur normal $\vect{n_D}(x;y;z)$ à la droite $\mathscr{D}$.
    On a ainsi $\vect{n_D};\vect{u_D}=0$
    Donc $3x+y-3z=0$.
    On pose $x=1$ on a alors $3+y-3z=0 \ssi y=3z-3$.
    Si $z=1$ alors $y=0$.
    Le vecteur $\vect{n_D}(1;0;1)$ est donc un vecteur normal à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. D’après l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$, un vecteur normal à ce plan est $\vect{n_p}(4;-1;3)$.
    $\quad$
    d. On considère un vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ du plan $\mathscr{P}$.
    On alors $\vec{u}.\vect{n_p}=0 \ssi 4x-y+3z=0$.
    – Si $x=0$ alors $-y+3z=0\ssi y=3z$. Ainsi en prenant $z=1$ on obtient $y=3$ et le vecteur $\vect{u_P}(0;3;1)$ est un vecteur du plan.
    – Si $x=1$ alors $4-y+3z=0\ssi y=4+3z$. Ainsi en prenant $z=0$ on obtient $y=4$ et le vecteut $\vect{v_P}(1;4;0)$ est également un vecteur du plan.
    De plus $\dfrac{0}{1}\neq \dfrac{3}{4}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Remarque : Ces deux vecteurs ne sont pas les seuls possibles, bien évidemment.
    $\quad$
    e. Si $t=0$ alors le point $A(-5;-1;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$
    Si $t=1$ alors le point $B(-2;0;-3)$ appartient également à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Dans l’équation $4x-y+3z+1=0$ :
    – si $x=y=0$ alors $z=-\dfrac{1}{3}$ : on obtient ainsi le point $C\left(0;0;-\dfrac{1}{3}\right)$;
    – si $x=z=0$ alors $y=1$ : on obtient ainsi le point $D(0;1;0)$;
    – si $y=z=0$ alors $x=-\dfrac{1}{4}$ : on obtient ainsi le point $E\left(-\dfrac{1}{4};0;0\right)$.
    $\vect{CD}\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$ et $\vect{CE}\left(-\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires; donc les points $C, D$ et $E$ ne sont pas alignés et appartiennent au plan $\mathscr{P}$.
    Remarque : Ces points ne sont évidemment pas les seuls possibles.
    $\quad$
    g. Regardons si les vecteurs $\vect{u_D}(3;1;-3)$ et $\vect{n_P}(4;-1;3)$ sont orthonogaux.
    $\vect{u_D}.\vect{n_P}=12-1-9=2\neq 0$.
    La droite $\mathscr{D}$ n’est pas paralléle au plan $\mathscr{P}$.
    Les coordonnées du point d’intersection sont solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} &\ssi \begin{cases} -20+12t-t+1-9t+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2t=18\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=9\\x=22\\y=8\\z=-27\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection a pour coordonnées $(22;8;-27)$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vect{n_1}(4;-1;3)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vect{n_2}(4;-1;-3)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les deux plans ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \quad (1)\\4x-y-3z+2=0 \quad (2)\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \\6z-1=0 \quad (1)-(2)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\4x-y+\dfrac{1}{2}+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\y=4x+\dfrac{3}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite d’intersection des deux plans est $\begin{cases} x=t\\y=4t+\dfrac{3}{2}\\z=\dfrac{1}{6}\quad t\in \R\end{cases}$.
    Remarque : Cette représentation paramétrique n’est pas unique.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(1;4;0)$. Le vecteur $\vect{n}(0;0;1)$ est normal à cette droite puisque $\vec{u}.\vec{n}=0$.
    Ce vecteur est clairement non colinéaire au vecteur $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$.
    Une équation cartésienne d’un plan dont $\vec{n}$ est un vecteur normal est alors de la forme $z+d=0$.
    Le point $A\left(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{6}\right)$ appartient à la droite d’intersection. Il doit donc également appartenir au plan cherché.
    Par conséquent $\dfrac{1}{6}+d=0\ssi d=-\dfrac{1}{6}$.
    Une équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$ est donc $z-\dfrac{1}{6}=0$.
    Remarque : là encore, cette réponse n’est pas unique. Tout va dépendre du vecteur $\vec{n}$ choisi.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2  (Liban – mai 2014)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\\\y=1 + t\qquad t\in\R \\\\z=- 5+3t\end{cases}$
On donne les points $A(1;1;0), B(3;0;-1)$ et $C(7;1;-2)$

Proposition 1 :
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\\\y=-1+t \qquad t\in\R \\\\ z=-2+t \end{cases}$

Proposition 2 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.

Proposition 3 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.

Proposition 4 :
La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;-3;-4)$.

Proposition 5 :
Les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 2

Proposition 1 : VRAIE
Regardons si les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient le système d’équations donné.
Si $t=2$ alors $x=5 – 4 = 1$, $y=-1 + 2 = 1$ et $z=-2 + 2 = 0$. C’est vrai pour $A$.
Si $t=1$ alors $x=5-2 = 3$, $y=-1 + 1 = 0$ et $z=-2+1 = -1$. C’est vrai pour $B$.

$~$

Proposition 2 : VRAIE
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(2;1;3)$.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{v}(-2;1;1)$.
$\vec{u}.\vec{v} = -2 \times 2 + 1 \times 1 + 3 \times 1 = -4 + 1 + 3 = 0$
Les $2$ vecteurs sont donc orthogonaux. Les droites associées le sont aussi.

$~$

Proposition 3 : FAUSSE
Si les $2$ droites sont coplanaires, elles sont donc, d’après la proposition précédente, sécantes.
On cherche donc un couple $(t,t’)$ tel que :
$$\begin{align*} &\left\{ \begin{array}{l} 2t=5-2t’ \\\\1+t=-1+t’ \\\\-5+3t=-2+t’ \end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\2(-2+t’)=5-2t’ \\\\-5+3(-2+t’)=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\-4+2t’=5-2t’ \\\\-11+3t’=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\4t’=9 \\\\2t’=9 \end{array} \right.\end{align*}$$

Les $2$ dernières lignes de ce systèmes ne sont pas compatibles.

$~$

Proposition 4 : FAUSSE
Regardons si le point $E$ appartient au plan : $8 -(-3) + 3\times(-4) + 1 = 8 + 3 – 1 2 + 1 = 0$. Donc $E$ appartient bien au plan.
Regardons maintenant si le point $E$ appartient à la droite :
On cherche la valeur de $t$ telle que :

$$  \left\{ \begin{array}{l} 2t = 8\\\\1+t=-3\\\\-5+3t=-4 \end{array} \right.$$
La première ligne nous donne donc $t=4$ mais $1+4 = 5 \ne -3$

$~$

Proposition 5 : VRAIE
Regardons si le vecteur normal $\vec{n}(1;-1;3)$ au plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\vec{AB}(2;-1;-1)$ et à $\vec{AC}(6;0;-2)$
$\vec{n}.\vec{AB} = 2 \times 1 – 1\times (-1) -1 \times 3 = 2 + 1 – 3 = 0$
$\vec{n}.\vec{AC} = 6 \times 1 – 2 \times 3 = 6 – 6 = 0$
Le vecteur normal $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires de $(ABC)$. C’est donc également un vecteur normal du plan $(ABC)$.

$~$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3  (Amérique du Nord – mai 2014)

 

 

Bac s -amérique du nord - mai 2014 - ex3

On considère le cube $ABCDEFCH$ ci-dessus

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4} \vec{HG}$.

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
    Construire le point $L$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
    On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
    a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
    $\quad$
    b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
    $\quad$
    c. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
    Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Les $2$ droites appartiennent à la face $EFGH$. Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont parallèles et le point $M$ appartient à $[EH]$ mais pas le point $P$. Par conséquent les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes.
    $~$
  2.  b. L’intersection des $2$ plans est représentée en trait plein rouge (les $2$ droites $(PT)$ et $(RQ)$ sont parallèles).
    TS - amerique du nord - mai 2014
  3. La section du cube par le plan $(MNP)$ est représentée par le polygône $RMPTQ$.
    Remarque : on peut vérifier que les droites $(TQ)$ et $(RM)$ sont parallèles.

Partie B

  1. $M(0;0,5;1)$ $\quad N(1;0,5;0,5)$ $\quad P(0,25;1;1)$
    $~$
  2. $\vec{MP} (0,25;0,5;0)$
    Une représentation paramétrique de $(MP)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=0,25t \\\\y=0,5 + 0,5t \quad t \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    $\vec{FG}(0;1;0)$
    Une représentation paramétrique de $(FG)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=1 \\\\y=k \quad k \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    Cela signifie donc que $0,25t = 1$ soit $t=4$
    Par conséquent $y=0,5 + 0,5 \times 4 = 2,5$
    Les coordonnées de $L$ sont donc $(1;2,5;1)$
    $~$
  3. $TP^2 = (0,25-1)^2 + 0^2+\left(1-\dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{45}{64}$
    $TN^2 = 0^2+(-0,5)^2+\left(0,5 – \dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{17}{64}$
    $NP^2 = (-0,75)^2+0,5^2+0,5^2 = \dfrac{17}{16}$
    Or $\dfrac{45}{64}+\dfrac{17}{64} = \dfrac{31}{32} \ne \dfrac{17}{16}$
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $TPN$ n’est pas rectangle en $T$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4  (Centres étrangers – juin 2014)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : $A(1;2;7),\quad B(2;0;2),\quad C(3;1;3),\quad D(3; -6;1) \text{ et } E(4;-8;-4).$$

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{u}(1;b;c)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x – 2 y + z – 4 = 0$.
    $\quad$
    c. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
  3. On considère la droite $\mathscr{D}$ de l’espace dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x =2t+3\\\\y = – 4t + 5\\\\ z =2t-1 \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$$
    a. La droite $\mathscr{D}$ est-elle orthogonale au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Étudier la position de la droite $(DE)$ par rapport au plan $(ABC)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vec{AB} = (1;-2;-5)$ et $\vec{AC}(2;-1;-4)$.
    Les $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les points $A$, $B$ et$ C$ ne sont pas alignés.
    $~$
  2. a. On veut donc que :
    $$\begin {align} \begin{cases} \vec{u}.\vec{AB} = 0  \\\\\vec{u}.\vec{AC} = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 1 – 2b – 5c = 0 \\\\2 -b-4c = 0 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b= 2-4c \\\\-2(2-4c)-5c=-1 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b=2-4c \\\\3c=3 \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \\\\b= -2 \end{cases}
    \end{align}$$
    Donc $\vec{u}(1,-2,1)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est alors de la forme :
    $$x-2y+z+d=0$$
    Or $A$ appartient au plan $ABC$ donc :
    $$1 -4 + 7 +d = 0 \Leftrightarrow d = -4$$
    Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc bien $x-2y+z-4=0$
    $~$
    c. Regardons si les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation précédente :
    $$3 + 12 + 1 – 4 = 12 \ne 0$$
    Donc $D$ n’appartient pas à $(ABC)$.
    $~$
  3. a. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{v}(2;-4;2) = 2\vec{u}$.
    Donc $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $~$
    b. Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan on va injecter dans l’équation du plan les équations paramétriques de la droite.
    $$\begin{align} 2t+3 -2(-4t+5)+(2t-1)-4 = 0 &\Leftrightarrow 2t+3+8t-10+2t-1-4=0 \\\\
    & \Leftrightarrow 12t-12=0 \\\\
    &\Leftrightarrow t = 1
    \end{align}$$
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(5;1;1)$
    $~$
  4. $\vec{DE}(1;-2;-5)$. Ce vecteur n’est pas colinéaire $ \vec{u}$ donc la droite $(DE)$ n’est pas orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\vec{DE}.\vec{u} = 1 +4 – 5 =  0$. Donc la droite $(DE)$ est pas parallèle au plan $(ABC)$. Puisque $D$ n’appartient pas à $(ABC)$ alors la droite est strictement parallèle au plan.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5  (Polynésie – juin 2014)

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points $$A(5;-5;2), B(-1;1;0), C(0;1;2)\quad \text{et} \quad D(6;6;-1).$$

  1.  Déterminer la nature du triangle $BCD$ et calculer son aire.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h$, où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  6. \item On admet que $AB = \sqrt{76}$ et $AC = \sqrt{61}$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\vec{BC }\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\2 \end{pmatrix}$ et $\vec{CD }\begin{pmatrix}6\\\\5\\\\-3 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vec{BC}.\vec{CD} = 6 – 6 = 0$. Le triangle $BCD$ est donc rectangle en $C$.
    $~$
    $BC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
    $CD = \sqrt{6^2+5^2+(-3)^2} = \sqrt{70}$
    Le triangle n’est donc pas isocèle.
    $~$
    Son aire est $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}$
    $~$
  2. a. Il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan :
    $\vec{n}.\vec{BC} = -2 + 2 = 0$.
    $\vec{n}.\vec{CD} = -12 + 15 – 3 = 0$.
    $\vec{n}$ est donc bien normal au plan $(BCD)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est de la forme :
    $$-2x+3y+z+d=0$$
    Or $B\in (BCD)$. Donc ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    $$2+3+0+d=0 \Leftrightarrow d = -5$$
    Une équation du plan est donc :
    $$-2x+3y+z-5=0$$
  3. $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
    $$\begin{cases} 5 -2t\\\\-5+3t \qquad t\in \R\\\\2+t \end{cases}$$
  4. Pour déterminer les coordonnées de $H$ on injecte les équations de $\mathscr{D}$ dans l’équation du plan $(BCD)$
    $$\begin{align} -2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5 = 0 &\Leftrightarrow -10 +4t-15+9t+2+t-5 = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 14t-28 = 0\\\\
    &\Leftrightarrow t = 2
    \end{align}$$
    Les coordonnées de $H$ sont donc $(1;1;4)$
    $~$
  5. $AH$ est la hauteur de ce tétraèdre relative à la base $BCD$.
    $AH = \sqrt{(1 – 5)^2+(1+5)^2+(4-2)^2} = \sqrt{56}$
    Donc $\mathscr{V}=\dfrac{\sqrt{56} \times \dfrac{5\sqrt{14}}{2}}{3} = \dfrac{70}{3}$.
    $~$
    $\vec{AB} \begin{pmatrix} -6\\\\6\\\\-2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC} \begin{pmatrix} -5\\\\6\\\\0 \end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $$ \begin{align} \vec{AB}.\vec{AC} & = 66 \\\\
    & =AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} \\\\
    &= \sqrt{76} \times \sqrt{61} \times \cos \widehat{BAC}
    \end{align}$$
    Par conséquent :
    $$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{66}{\sqrt{4636}}$$
    et
    $$ \widehat{BAC} \approx 14,2°$$
    $\quad$

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$\quad$