TS – Exercices – Espace

TS – Exercices – Espace

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-5 +3t\\y=t-1,\quad t\in\R \\z=-3t\end{cases}$
    Pour chaque réponse, on donnera la démarche utilisée. a. Donner un vecteur directeur $\vect{u_D}$ de $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Donner un vecteur $\vect{n_D}$ , normal à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. Donner un vecteur $\vect{n_P}$ normal à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    d. Donner deux vecteurs $\vect{u_P}$ et $\vect{v_P}$ de $\mathscr{P}$, non colinéaires.
    $\quad$
    e. Donner deux points $A$ et $B$ appartenant à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Donner trois points non alignés $C$, $D$ et $E$ appartenant à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    g. La droite $\mathscr{D}$ est-elle parallèle au plan $\mathscr{P}$ ? Justifier.
    Si ce n’est pas le cas, donner les coordonnées du point d’intersection.
    $\quad$
  2. On considère le plan $\mathscr{P}_1$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et le plan $\mathscr{P}_2$ d’équation $4x – y – 3z + 2 = 0$.
    a. Ces plans sont-ils parallèles ? Justifier.
    $\quad$
    b. Donner les équations paramétriques de la droite d’intersection de ces deux plans.
    $\quad$
    c. Donner l’équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. D’après la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vect{u_D}(3;1;-3)$.
    $\quad$
    b. On considère un vecteur normal $\vect{n_D}(x;y;z)$ à la droite $\mathscr{D}$.
    On a ainsi $\vect{n_D};\vect{u_D}=0$
    Donc $3x+y-3z=0$.
    On pose $x=1$ on a alors $3+y-3z=0 \ssi y=3z-3$.
    Si $z=1$ alors $y=0$.
    Le vecteur $\vect{n_D}(1;0;1)$ est donc un vecteur normal à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. D’après l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$, un vecteur normal à ce plan est $\vect{n_p}(4;-1;3)$.
    $\quad$
    d. On considère un vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ du plan $\mathscr{P}$.
    On alors $\vec{u}.\vect{n_p}=0 \ssi 4x-y+3z=0$.
    – Si $x=0$ alors $-y+3z=0\ssi y=3z$. Ainsi en prenant $z=1$ on obtient $y=3$ et le vecteur $\vect{u_P}(0;3;1)$ est un vecteur du plan.
    – Si $x=1$ alors $4-y+3z=0\ssi y=4+3z$. Ainsi en prenant $z=0$ on obtient $y=4$ et le vecteut $\vect{v_P}(1;4;0)$ est également un vecteur du plan.
    De plus $\dfrac{0}{1}\neq \dfrac{3}{4}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Remarque : Ces deux vecteurs ne sont pas les seuls possibles, bien évidemment.
    $\quad$
    e. Si $t=0$ alors le point $A(-5;-1;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$
    Si $t=1$ alors le point $B(-2;0;-3)$ appartient également à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Dans l’équation $4x-y+3z+1=0$ :
    – si $x=y=0$ alors $z=-\dfrac{1}{3}$ : on obtient ainsi le point $C\left(0;0;-\dfrac{1}{3}\right)$;
    – si $x=z=0$ alors $y=1$ : on obtient ainsi le point $D(0;1;0)$;
    – si $y=z=0$ alors $x=-\dfrac{1}{4}$ : on obtient ainsi le point $E\left(-\dfrac{1}{4};0;0\right)$.
    $\vect{CD}\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$ et $\vect{CE}\left(-\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires; donc les points $C, D$ et $E$ ne sont pas alignés et appartiennent au plan $\mathscr{P}$.
    Remarque : Ces points ne sont évidemment pas les seuls possibles.
    $\quad$
    g. Regardons si les vecteurs $\vect{u_D}(3;1;-3)$ et $\vect{n_P}(4;-1;3)$ sont orthonogaux.
    $\vect{u_D}.\vect{n_P}=12-1-9=2\neq 0$.
    La droite $\mathscr{D}$ n’est pas paralléle au plan $\mathscr{P}$.
    Les coordonnées du point d’intersection sont solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} &\ssi \begin{cases} -20+12t-t+1-9t+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2t=18\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=9\\x=22\\y=8\\z=-27\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection a pour coordonnées $(22;8;-27)$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vect{n_1}(4;-1;3)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vect{n_2}(4;-1;-3)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les deux plans ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \quad (1)\\4x-y-3z+2=0 \quad (2)\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \\6z-1=0 \quad (1)-(2)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\4x-y+\dfrac{1}{2}+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\y=4x+\dfrac{3}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite d’intersection des deux plans est $\begin{cases} x=t\\y=4t+\dfrac{3}{2}\\z=\dfrac{1}{6}\quad t\in \R\end{cases}$.
    Remarque : Cette représentation paramétrique n’est pas unique.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(1;4;0)$. Le vecteur $\vect{n}(0;0;1)$ est normal à cette droite puisque $\vec{u}.\vec{n}=0$.
    Ce vecteur est clairement non colinéaire au vecteur $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$.
    Une équation cartésienne d’un plan dont $\vec{n}$ est un vecteur normal est alors de la forme $z+d=0$.
    Le point $A\left(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{6}\right)$ appartient à la droite d’intersection. Il doit donc également appartenir au plan cherché.
    Par conséquent $\dfrac{1}{6}+d=0\ssi d=-\dfrac{1}{6}$.
    Une équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$ est donc $z-\dfrac{1}{6}=0$.
    Remarque : là encore, cette réponse n’est pas unique. Tout va dépendre du vecteur $\vec{n}$ choisi.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2  (Liban – mai 2014)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\\\y=1 + t\qquad t\in\R \\\\z=- 5+3t\end{cases}$
On donne les points $A(1;1;0), B(3;0;-1)$ et $C(7;1;-2)$

Proposition 1 :
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\\\y=-1+t \qquad t\in\R \\\\ z=-2+t \end{cases}$

Proposition 2 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.

Proposition 3 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.

Proposition 4 :
La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;-3;-4)$.

Proposition 5 :
Les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 2

Proposition 1 : VRAIE
Regardons si les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient le système d’équations donné.
Si $t=2$ alors $x=5 – 4 = 1$, $y=-1 + 2 = 1$ et $z=-2 + 2 = 0$. C’est vrai pour $A$.
Si $t=1$ alors $x=5-2 = 3$, $y=-1 + 1 = 0$ et $z=-2+1 = -1$. C’est vrai pour $B$.

$~$

Proposition 2 : VRAIE
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(2;1;3)$.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{v}(-2;1;1)$.
$\vec{u}.\vec{v} = -2 \times 2 + 1 \times 1 + 3 \times 1 = -4 + 1 + 3 = 0$
Les $2$ vecteurs sont donc orthogonaux. Les droites associées le sont aussi.

$~$

Proposition 3 : FAUSSE
Si les $2$ droites sont coplanaires, elles sont donc, d’après la proposition précédente, sécantes.
On cherche donc un couple $(t,t’)$ tel que :
$$\begin{align*} &\left\{ \begin{array}{l} 2t=5-2t’ \\\\1+t=-1+t’ \\\\-5+3t=-2+t’ \end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\2(-2+t’)=5-2t’ \\\\-5+3(-2+t’)=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\-4+2t’=5-2t’ \\\\-11+3t’=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\4t’=9 \\\\2t’=9 \end{array} \right.\end{align*}$$

Les $2$ dernières lignes de ce systèmes ne sont pas compatibles.

$~$

Proposition 4 : FAUSSE
Regardons si le point $E$ appartient au plan : $8 -(-3) + 3\times(-4) + 1 = 8 + 3 – 1 2 + 1 = 0$. Donc $E$ appartient bien au plan.
Regardons maintenant si le point $E$ appartient à la droite :
On cherche la valeur de $t$ telle que :

$$  \left\{ \begin{array}{l} 2t = 8\\\\1+t=-3\\\\-5+3t=-4 \end{array} \right.$$
La première ligne nous donne donc $t=4$ mais $1+4 = 5 \ne -3$

$~$

Proposition 5 : VRAIE
Regardons si le vecteur normal $\vec{n}(1;-1;3)$ au plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\vec{AB}(2;-1;-1)$ et à $\vec{AC}(6;0;-2)$
$\vec{n}.\vec{AB} = 2 \times 1 – 1\times (-1) -1 \times 3 = 2 + 1 – 3 = 0$
$\vec{n}.\vec{AC} = 6 \times 1 – 2 \times 3 = 6 – 6 = 0$
Le vecteur normal $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires de $(ABC)$. C’est donc également un vecteur normal du plan $(ABC)$.

$~$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3  (Amérique du Nord – mai 2014)

 

 

Bac s -amérique du nord - mai 2014 - ex3

On considère le cube $ABCDEFCH$ ci-dessus

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4} \vec{HG}$.

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
    Construire le point $L$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
    On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
    a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
    $\quad$
    b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
    $\quad$
    c. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
    Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Les $2$ droites appartiennent à la face $EFGH$. Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont parallèles et le point $M$ appartient à $[EH]$ mais pas le point $P$. Par conséquent les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes.
    $~$
  2.  b. L’intersection des $2$ plans est représentée en trait plein rouge (les $2$ droites $(PT)$ et $(RQ)$ sont parallèles).
    TS - amerique du nord - mai 2014
  3. La section du cube par le plan $(MNP)$ est représentée par le polygône $RMPTQ$.
    Remarque : on peut vérifier que les droites $(TQ)$ et $(RM)$ sont parallèles.

Partie B

  1. $M(0;0,5;1)$ $\quad N(1;0,5;0,5)$ $\quad P(0,25;1;1)$
    $~$
  2. $\vec{MP} (0,25;0,5;0)$
    Une représentation paramétrique de $(MP)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=0,25t \\\\y=0,5 + 0,5t \quad t \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    $\vec{FG}(0;1;0)$
    Une représentation paramétrique de $(FG)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=1 \\\\y=k \quad k \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    Cela signifie donc que $0,25t = 1$ soit $t=4$
    Par conséquent $y=0,5 + 0,5 \times 4 = 2,5$
    Les coordonnées de $L$ sont donc $(1;2,5;1)$
    $~$
  3. $TP^2 = (0,25-1)^2 + 0^2+\left(1-\dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{45}{64}$
    $TN^2 = 0^2+(-0,5)^2+\left(0,5 – \dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{17}{64}$
    $NP^2 = (-0,75)^2+0,5^2+0,5^2 = \dfrac{17}{16}$
    Or $\dfrac{45}{64}+\dfrac{17}{64} = \dfrac{31}{32} \ne \dfrac{17}{16}$
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $TPN$ n’est pas rectangle en $T$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4  (Centres étrangers – juin 2014)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : $A(1;2;7),\quad B(2;0;2),\quad C(3;1;3),\quad D(3; -6;1) \text{ et } E(4;-8;-4).$$

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{u}(1;b;c)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x – 2 y + z – 4 = 0$.
    $\quad$
    c. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
  3. On considère la droite $\mathscr{D}$ de l’espace dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x =2t+3\\\\y = – 4t + 5\\\\ z =2t-1 \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$$
    a. La droite $\mathscr{D}$ est-elle orthogonale au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Étudier la position de la droite $(DE)$ par rapport au plan $(ABC)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vec{AB} = (1;-2;-5)$ et $\vec{AC}(2;-1;-4)$.
    Les $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les points $A$, $B$ et$ C$ ne sont pas alignés.
    $~$
  2. a. On veut donc que :
    $$\begin {align} \begin{cases} \vec{u}.\vec{AB} = 0  \\\\\vec{u}.\vec{AC} = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 1 – 2b – 5c = 0 \\\\2 -b-4c = 0 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b= 2-4c \\\\-2(2-4c)-5c=-1 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b=2-4c \\\\3c=3 \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \\\\b= -2 \end{cases}
    \end{align}$$
    Donc $\vec{u}(1,-2,1)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est alors de la forme :
    $$x-2y+z+d=0$$
    Or $A$ appartient au plan $ABC$ donc :
    $$1 -4 + 7 +d = 0 \Leftrightarrow d = -4$$
    Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc bien $x-2y+z-4=0$
    $~$
    c. Regardons si les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation précédente :
    $$3 + 12 + 1 – 4 = 12 \ne 0$$
    Donc $D$ n’appartient pas à $(ABC)$.
    $~$
  3. a. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{v}(2;-4;2) = 2\vec{u}$.
    Donc $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $~$
    b. Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan on va injecter dans l’équation du plan les équations paramétriques de la droite.
    $$\begin{align} 2t+3 -2(-4t+5)+(2t-1)-4 = 0 &\Leftrightarrow 2t+3+8t-10+2t-1-4=0 \\\\
    & \Leftrightarrow 12t-12=0 \\\\
    &\Leftrightarrow t = 1
    \end{align}$$
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(5;1;1)$
    $~$
  4. $\vec{DE}(1;-2;-5)$. Ce vecteur n’est pas colinéaire $ \vec{u}$ donc la droite $(DE)$ n’est pas orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\vec{DE}.\vec{u} = 1 +4 – 5 =  0$. Donc la droite $(DE)$ est pas parallèle au plan $(ABC)$. Puisque $D$ n’appartient pas à $(ABC)$ alors la droite est strictement parallèle au plan.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5  (Polynésie – juin 2014)

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points $$A(5;-5;2), B(-1;1;0), C(0;1;2)\quad \text{et} \quad D(6;6;-1).$$

  1.  Déterminer la nature du triangle $BCD$ et calculer son aire.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h$, où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  6. \item On admet que $AB = \sqrt{76}$ et $AC = \sqrt{61}$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\vec{BC }\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\2 \end{pmatrix}$ et $\vec{CD }\begin{pmatrix}6\\\\5\\\\-3 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vec{BC}.\vec{CD} = 6 – 6 = 0$. Le triangle $BCD$ est donc rectangle en $C$.
    $~$
    $BC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
    $CD = \sqrt{6^2+5^2+(-3)^2} = \sqrt{70}$
    Le triangle n’est donc pas isocèle.
    $~$
    Son aire est $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}$
    $~$
  2. a. Il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan :
    $\vec{n}.\vec{BC} = -2 + 2 = 0$.
    $\vec{n}.\vec{CD} = -12 + 15 – 3 = 0$.
    $\vec{n}$ est donc bien normal au plan $(BCD)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est de la forme :
    $$-2x+3y+z+d=0$$
    Or $B\in (BCD)$. Donc ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    $$2+3+0+d=0 \Leftrightarrow d = -5$$
    Une équation du plan est donc :
    $$-2x+3y+z-5=0$$
  3. $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
    $$\begin{cases} 5 -2t\\\\-5+3t \qquad t\in \R\\\\2+t \end{cases}$$
  4. Pour déterminer les coordonnées de $H$ on injecte les équations de $\mathscr{D}$ dans l’équation du plan $(BCD)$
    $$\begin{align} -2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5 = 0 &\Leftrightarrow -10 +4t-15+9t+2+t-5 = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 14t-28 = 0\\\\
    &\Leftrightarrow t = 2
    \end{align}$$
    Les coordonnées de $H$ sont donc $(1;1;4)$
    $~$
  5. $AH$ est la hauteur de ce tétraèdre relative à la base $BCD$.
    $AH = \sqrt{(1 – 5)^2+(1+5)^2+(4-2)^2} = \sqrt{56}$
    Donc $\mathscr{V}=\dfrac{\sqrt{56} \times \dfrac{5\sqrt{14}}{2}}{3} = \dfrac{70}{3}$.
    $~$
    $\vec{AB} \begin{pmatrix} -6\\\\6\\\\-2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC} \begin{pmatrix} -5\\\\6\\\\0 \end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $$ \begin{align} \vec{AB}.\vec{AC} & = 66 \\\\
    & =AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} \\\\
    &= \sqrt{76} \times \sqrt{61} \times \cos \widehat{BAC}
    \end{align}$$
    Par conséquent :
    $$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{66}{\sqrt{4636}}$$
    et
    $$ \widehat{BAC} \approx 14,2°$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

 

2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$.

Exercice 1

Donner les coordonnées des vecteurs représentés ci-dessous :

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\vec{u}(2;0)$ , $\vec{v}(0;3)$ , $\vec{w}(-1;2)$ , $\vec{x}(2;3)$ , $\vec{y}(-2;-1)$ et $\vec{z}(3;-2)$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ dans chacun des cas :

  1. $A(1;2)$ et $B(3;5)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(-1;-2)$
    $\quad$
  3. $A(3;-1)$ et $B(3;1)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On utilise la formule du cours suivante $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

  1. On a $\vect{AB}(3-1;5-2)$ soit $\vect{AB}(2;3)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(-1-(-2);-2-3\right)$ soit $\vect{AB}(1;-5)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}\left(3-3;1-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(0;2)$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ suivants :
$$\begin{array}{lclcl} A(-2;3) &\hspace {3cm}& B(5;1) &\hspace {3cm}& C(-6,5;-2) \\\\
D(-8;-3,2)&\hspace {3cm}&E\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{2}\right)&\hspace {2cm}&F\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{7}{4}\right)\\\\
G\left(11;-\sqrt{3}\right)&\hspace {2cm}&H\left(-4;\sqrt{12}\right)& \hspace {2cm}&
\end{array}$$
Calculer les coordonnées des vecteurs :
$$\vect{AB}; \vect{CD}; \vect{EF}; \vect{GH}; \vect{CB}; \vect{FD}$$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\vect{AB}\left(5-(-2);1-3\right)$ donc $\vect{AB}(7;-2)$

$\vect{CD}\left(-8-(-6,5);-3,2-(-2)\right)$ donc $\vect{CD}(-1,5;-1,2)$

$\vect{EF}\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3};-\dfrac{7}{4}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)\right)$ donc $\vect{EF}\left(-\dfrac{11}{12};\dfrac{3}{4}\right)$

$\vect{GH}\left(-4-11;\sqrt{12}-\left(-\sqrt{3}\right)\right)$ donc $\vect{GH}\left(-15;\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)$
or $\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
Donc $\vect{GH}\left(-15;3\sqrt{3}\right)$

$\vect{CB}\left(5-(-6,5);1-(-2)\right)$ donc $\vect{CB}(11,5;3)$

$\vect{FD}\left(-8-\left(-\dfrac{1}{4}\right);-3,2-\left(-\dfrac{7}{4}\right)\right)$ donc $\vect{FD}\left(-\dfrac{31}{4};-\dfrac{29}{20}\right)$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On donne $A(1;5)$ et $\vect{AB}(4;-3)$.

Déterminer les coordonnées de $B$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Par conséquent $\begin{cases} x_B-1=4\\y_B-5=-3\end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=5\\y_B=2\end{cases}$

Le point $B$ a pour coordonnées $(5;2)$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1,1)$, $C(3;0)$ et $D(2;4)$.

  1. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du centre $E$ de ce parallélogramme.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}\left((-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$ et $\vect{DC}\left(3-2;0-4\right)$ soit $\vect{DC}(1;-4)$.
    Par conséquent $\vect{AB}=\vect{DC}$
    Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le point $E$ est donc, par exemple, le milieu de la diagonale $[AC]$.
    Donc $x_E=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_E=\dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$.
    Les coordonnées de $E$ sont donc $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;1)$ et $C(3;0)$.

Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 6

$ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AB}=\vect{DC}$.
Or $\vect{AB}\left(-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$.
Et $\vect{DC}\left(3-x_D;-y_D\right)$.

Par conséquent $\begin{cases} 3-x_D=1\\-y_D=-4\end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=2\\y_D=4\end{cases}$

Le point $D$ a donc pour coordonnées $(2;4)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

TS – Lois normales

TS – Exercices – Loi normales

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(5;9)$. Calculer une valeur approchée au dix-millième de $P(X<2)$.
    $\quad$
  2. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $2$ et d’écart-type $6$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(2<X<3)$. En déduire $P(X<3)$.
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $5$ et d’écart-type $3$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(X<0)$. En déduire $P(X>0)$.
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $-3$ et d’écart-type $1,5$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,6$. En déduire $P(Y>t)$.
    $\quad$
  5. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(-1;4)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,2$.
    $\quad$
  6. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr(1,1;3)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y>t)=0,6$.
    $\quad$
  7. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $1,5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(Z<3)=0,75$. Déterminer l’écart-type de cette loi, au dix-millième près.
    $\quad$
  8. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(2<Z<8)=0,954$. Déterminer l’écart-type de cette loi.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(X<2)=0,5-P(2<X<5) \approx 0,158~7$.
    Remarque : $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(2<X<3)\approx 0,066$.
    Donc $P(X<3)=0,5+P(2<X<3)\approx 0,566$.
    $\quad$
  3. On a $P(X<0)=0,5-P(0<X<5) \approx 0,048$
    Donc $P(X>0)=1-P(X<0)\approx 0,952$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,6$ est environ égale à $-2,62$.
    De plus $P(Y>t)=1-P(Y<t)=0,4$.
    $\quad$
  5. On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,2$ est environ égale à $-2,68$.
    $\quad$
  6. On a $\sigma^2=3$ donc $\sigma=\sqrt{3}$.
    $P(Y>t)=0,6\ssi P(Y<t)=0,4$
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,4$ est environ égale à $0,66$.
    $\quad$
  7. On a $P(Z<3)=0,75$
    La variable aléatoire $X=\dfrac{Z-1,5}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Z<3)=0,75&\ssi P(Z-1,5<1,5)=0,75\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Z-1,5}{\sigma}<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,5\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,75\end{align*}$
    D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,5}{\sigma} \approx 0,674~5$ et $\sigma \approx 2,223~9$.
    $\quad$
  8. $P(2<Z<8)=0,954\ssi P(5-3<Z<5+3)=0,954$.
    Cela signifie donc que $2\sigma=3$ soit $\sigma=1,5$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2  (Liban 2014)

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour $8\text{h}00$. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à $7 \text{h}40$ de son domicile et doit arriver à $8\text{h}00$ à son lycée. Il prend le vélo $7$ jours sur $10$ et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l’événement “L’élève se rend au lycée à vélo”, $B$ l’événement ‘l’élève se rend au lycée en bus’ et $R$ l’événement “L’élève arrive en retard au lycée”.

  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V \cap R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement $R$ est $0,019~2$
    $\quad$
  4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus?
    $\quad$

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d’espérance $\mu = 17$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.

  1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre $15$ et $20$ minutes pour se rendre à son lycée.
    $\quad$
  2. Il part de son domicile à vélo à $7\text{h}40$. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée?
    $\quad$
  3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T’$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu’ = 15$ et d’écart-type $\sigma’$.
On sait que la probabilité qu’il mette plus de $20$ minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$.

On note $Z’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T’-15}{\sigma’}$

  1. Quelle loi la variable aléatoire $Z’$ suit-elle ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l’écart-type $\sigma’$ de la variable aléatoire $T’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A


  1. TS - liban - mai 2013 - ex1
  2. D’après l’arbre de probabilités précédent on a :
    $$P(V \cap R) = 0,7 \times 0,006 = 4,2 \times 10^{-3}$$
    $~$
  3. D’après la propriété des probabilités totales, on a :
    $$P(R) = P(R\cap V) + P(R\cap B) = 4,2\times 10^{-3} + 0,3 \times 0,05 = 0,0192$$
    $~$
  4. On cherche donc $P_R(B) = \dfrac{P(R\cap B)}{P(R)} = \dfrac{0,3 \times 0,05}{0,0192}= 0,78125$
    $~$

Partie B : le vélo

  1. On cherche donc $P(15 \le T \le 20) \approx 0,9460$ d’après la calculatrice.
    L’élève a donc une probabilité de $94,6\%$ de se rendre à son lycée entre $15$ et $20$ minutes.
    $~$
  2. Il arrive en retard s’il met plus de $20$ minutes.
    On cherche donc $P(T \ge 20) = 1 – P(T \le 20) \approx 0,0062$
    Il a donc une probabilité de $0,62\%$ d’arriver en retard en partant à $7\text{h }40$.
    $~$
  3. On cherche donc la valeur de $a$ telle que $P(T\le a) = 0,9$ soit $a \approx 19$.
    Il doit partir avant $7\text{ h}41$ pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$.
    $~$

Partie C : le bus

  1. En faisant le changement de variable $Z’ = \dfrac{T’-15}{\sigma’}$, quand $T’$ suit la loi normale d’espérance $µ’=15$ et d’écart-type $\sigma’$, suit la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. On a donc :
    $$ P(T’ > 20) = 0,05$$
    $$P(T’-15 > 20 – 15) = 0,05$$
    $$P\left( \dfrac{T’-15}{\sigma’} > \dfrac{5}{\sigma’}\right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ > \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ < \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,95$$
    A l’aide la calculatrice, on trouve $\dfrac{5}{\sigma’} \approx 1,6449$
    $~$
    D’où $\sigma’ =  3,0398$

$~$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (D’après Amérique du Nord mai 2014)

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    $\quad$
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \le u) = 0, 06$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
    $\quad$
  3. Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
    a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On cherche donc $P(X \le 49) \approx 0,202$
    $~$
  2. a. La variable aléatoire $Z = \dfrac{X – 50}{\sigma’}$ suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
    b. Grace à la calculatrice, on trouve $u \approx -1,555$
    $~$
    c. On veut que :
    $$ \begin{align} P(X \le 49) &= 0,06 \\\\
    &=P(X – 50 \le -1) = 0,06\\\\
    &=P\left(\dfrac{X-50}{\sigma’} \le \dfrac{-1}{\sigma’} \right)= 0,06 \end{align}$$
    Par conséquent $\dfrac{-1}{\sigma’} = -1,555$ donc $\sigma’ = \dfrac{1}{1,555} \approx 0,643$
    $~$
  3. a. Il y a $50$ pots. Les tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède $2$ issues : le pot est conforme ou non conforme.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,06$
    $~$
    b. On cherche donc $P(Y \le 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y=2)$
    Or $P(Y = 2) = \binom{50}{2} 0,06^2 \times 0,94^{48}$
    $P(Y = 1) = \binom{50}{1} 0,06^1 \times 0,94^{49}$
    $P(Y=0) = 0,94^{50}$
    Donc $P(Y \le 2) \approx 0,416$
    $~$
    Remarque : on peut également faire directement le calcul à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 (D’après Antilles-Guyane juin 2014)

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : “la plate” et “la japonaise”. Chaque année, les huîtres plates représentent $15\%$ de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n° 3 lorsque leur masse est comprise entre $66$ g et $85$ g.
Seulement $10\%$ des huîtres plates sont de calibre n° 3, alors que $80\%$ des huîtres japonaises le sont.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

  1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
    On considère les événements suivants :
    • $J$ : “l’huître prélevée est une huître japonaise”,
    • $C$ : “l’huître prélevée est de calibre n° 3”.
    a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n° 3.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n° 3 est $0,695$.
    $\quad$
    d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n° 3.
    Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
    $\quad$
  2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d’écart-type $\sigma = 2$.
    a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre $87$ g et $89$ g.
    $\quad$
    b. Donner $P(X \ge 91)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

 

  1. a.$~$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex1

    $~$
    b. On cherche donc $P\left( \bar{J} \cap C \right) = 0,15 \times 0,1 =  0,015$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$\begin{align} P(C) &= P(J \cap C) + P\left( \bar{J} \cap C \right) \\\\
    &=0,85 \times 0,8 + 0,015 \\\\
    &= 0,695
    \end{align}$$
    $~$
    d. On cherche à calculer :
    $$\begin{align} P_C\left( \bar{J} \right) & = \dfrac{P\left( C \cap \bar{J} \right)}{P(C)} \\\\
    &= \dfrac{0,015}{0,695} \\\\
    &=\dfrac{3}{139} \\\\
    & \approx 0,0216
    \end{align}$$
  2. a. D’après la calculatrice $P(87 \le X \le 89) \approx 0,2417$
    $~$
    b. $P(X \ge 91) = 0,5 – P(90 \le X \le 91) \approx 0,3085$
    $~$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 (D’après Asie juin 2014)

Le taux d’hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d’hématocrite d’un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d’écart-type $\sigma$.

Partie A

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} = \dfrac{X – 45,5}{\sigma}$.

  1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $P(X \le \mu)$.
    $\quad$
  2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \le X \le 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Partie B

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence $1\%$. On sait d’autre part que $30\%$ de la population française a plus de 50 ans, et que $90\%$ des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.

On choisit au hasard un individu dans la population française.

On note $\alpha$ l’unique réel tel que $P(X \le \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l’exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.

On définit les événements :

  • $M$ “l’individu est porteur de la maladie V” ;
  • $S$ “l’individu a plus de 50 ans” ;
  • $H$ “l’individu a un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$”.

Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.

D’autre part, une étude statistique a révélé que $60\%$ des individus ayant un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

  1. Déterminer $P(M \cap S)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité $P(H)$.
    $\quad$
    b. L’individu choisi au hasard a un taux d’hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X – µ}{\sigma}$.
    Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. b. Par définition $P(X \le µ) = 0,5$
    $~$
  3.  $P(37,9 \le X \le 53,1) =  P(µ-2\sigma \le X \le µ + 2\sigma) \approx 0,95$
    $~$

Partie B

  1. a. On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
    Par conséquent :
    $$\begin{align} P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\\\
    P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\\\
    &= 0,9 \times 0,01 \\\\
    & = 0,009
    \end{align}$$
    $~$
    b. On calcule donc :
    $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} =  \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
  2. a. $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
    $~$
    b. On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
    Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
    Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{align} P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\\\
    \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,01 – 0,003 \\\\
    &= 0,007
    \end{align}$$
    On obtient donc :
    $$\begin{align} P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\\\
    & = \dfrac{0,007}{0,995} \\\\
    & \approx 0,007
    \end{align}$$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance

Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance (AP)

Exercice 1

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses $14~000$ licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les $80$ adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club :
les $80$ adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
    $\quad$
  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. La fréquence observée est $f = \dfrac{66}{80}=0,825$
    $\quad$$
  2. $n=80 \pg 30$, $nf = 80 \times 0,825 = 66 \pg 5$ et $n(1-f) = 14 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de $p$ est :
    $$\begin{align} I_{80} &= \left[0,825 – \dfrac{1}{\sqrt{80}};0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \\\\
    & \approx [0,712;0,837]
    \end{align}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On rappelle qu’en France métropolitaine $0,6 \%$ des médecins pratiquent l’ostéopathie. Une région compte $47~000$ médecins dont $164$ médecins-ostéopathes.
On note $I$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.

  1. a. Vérifier que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Justifier que $I= [0,005~3; 0,006~7]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Peut-on considérer que pour la pratique de l’ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en
    France métropolitaine ? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. $n= 47~000 \pg 30$ , $np = 47~000 \times 0,006 = 282 \pg 5$ et $n(1-p) = 46~718 \pg 5$
    Les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{47~000} &= \left[0,006-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}};0,006+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}} \right] \\\\
    & \approx 0,005~3;0,006~7]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{67}{47~000} \approx 0,0014 \notin I_{47~000}$ et $0,001~4 < 0,0053$.
    La région est donc défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.
Dans un établissement, parmi les $224$ étudiants inscrits à la préparation à ce concours, $26 \%$ ont été admis à la session de mai 2013.

On admet que dans cette population, on a également $60 \%$ des personnes qui se présentaient pour la première fois.

Le directeur de l’établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de $22 \%$, ne peut
être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l’enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l’ensemble des candidats.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ du pourcentage d’étudiants admis
    dans un groupe de $224$ personnes.
    $\quad$
  2. Que penser de l’affirmation du directeur de l’établissement ? Justifier.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $n=224 \pg 30$ ,$np = 224 \times 0,22 = 49,28 \pg 5$ et $n(1-p) = 174,72 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{224} &= \left[0,22 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}};0,22 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}} \right] \\\\
    & \approx [0,165;0,275]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est de $f=0,26 \in I_{224}$.
    On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonctions exponentielle et ln

Fonctions exponentielles et logarithmes (AP)

Exercice 1

Résoudre les inéquations suivantes, où $n$ est un entier naturel ;

  1. $2^n>7~000$
    $\quad$
  2. $0,9^n<0,001$
    $\quad$
  3. $70\times 1,1^n>500$
    $\quad$
  4. $1~500\times 0,8^n<750$
    $\quad$
  5. $3^{n-1}>6~200$
    $\quad$
  6. $630\times 1,03^{n-1}>6~000$
    $\quad$
  7. $3~000\times 0,97^{n+1}<100$
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 2^n>7~000 &\ssi n\ln 2> \ln 7~000\\& \ssi n> \dfrac{\ln 7~000}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 7~000}{\ln 2} \approx 12,8$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $13$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} 0,9^n<0,001 &\ssi n \ln 0,9<\ln 0,001\\ &\ssi n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9}\end{align*}$ car $\ln 0,9<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9} \approx 65,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $66$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} 70\times 1,1^n>500 &\ssi 1,1^n > \dfrac{50}{7}\\ &\ssi n \ln 1,1>\ln \dfrac{50}{7} \\ &\ssi n>\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1} \approx 20,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $21$.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*}1~500\times 0,8^n<750 &\ssi 0,8^n < 0,5\\ &\ssi n \ln 0,8 < \ln 0,5\\ &\ssi n>\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\end{align*}$ car $\ln 0,8<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8} \approx 3,1$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $4$.
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*}3^{n-1}>6~200 &\ssi (n-1) \ln 3 > \ln 6~200\\ &\ssi n-1>\dfrac{\ln 6~200}{\ln 3}\\ &\ssi n>1+\dfrac{6~200}{\ln 3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{6~200}{\ln 3} \approx 8,9$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}630\times 1,03^{n-1}>6~000 &\ssi 1,03^{n-1}> \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi (n-1)\ln 1,3 > \ln \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi n-1>\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\\
    &\ssi n >1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3} \approx 9,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $10$.
    $\quad$
  7. On a
    $\begin{align*}3~000\times 0,97^{n+1}<100 &\ssi 0,97^{n+1}<\dfrac{1}{30}\\
    &\ssi (n+1)\ln 0,97 < \ln \dfrac{1}{30}\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}\\
    &\ssi n >\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1\approx 110,7$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $111$.
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119 \ssi 0,6^n>17 \ssi n \ln 0,6> \ln 17$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $n\ln 0,6<0$ et $\ln 17>0$.
    Cette inéquation n’a donc pas de solution.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x\ln x$.

  1. Quel est sont domaine de définition?
    $\quad$
  2. Déterminer son tableau de variation sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{10};1\right]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=1\times\ln x + x\times \dfrac{1}{x} = \ln x +1$
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0 &\ssi \ln x+1\pg 0 \\
    &\ssi\ln x \pg -1\\
    &\ssi x \pg \e^{-1}
    \end{align*}$
    $\e^{-1} \approx 0,37 > \dfrac{1}{10}$. On obtient donc le tableau de signe suivant :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0;10]$ par : $$B(x)=x+4\e^{-x}-5$$ où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d’euros.

  1. a. Déterminer $B'(x)$, où $B’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $B'(x)$ s’annule uniquement pour $x=\ln(4)$.
    $\quad$
    c. Calculer les valeurs exactes de $B(0)$, $B(10)$ et $B\left(\ln(4)\right)$.
    $\quad$
    d. Dresser et compléter le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1;10]$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $B'(x)=1+4\times (-1)\e^{-x}=1-4\e^{-x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} B'(x)=0 &\ssi 1-4\e^{-x}=0\\
    &\ssi 4\e^{-x}=1 \\
    &\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x=\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x=-\ln 4\\
    &\ssi x=\ln 4\end{align*}$
    $\quad$c. $B(0)=0+4\times 1-5=-1$
    $B(10)=10+4\e^{-10}-5=5+4\e^{-10}$
    $\begin{align*} B\left(\ln 4\right)&=\ln 4+4\e{-\ln 4}-5\\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{\e^{\ln 4}}-5 \\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{4}-5 \\
    &=\ln4+1-5\\
    &=\ln4-4\end{align*}$
    $\quad$
    d. $\begin{align*} B'(x)>0 &\ssi 1-4\e^{-x}>0\\
    &\ssi 4\e^{-x}<1 \\
    &\ssi \e^{-x}<\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x<\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x<-\ln 4\\
    &\ssi x>\ln 4\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. a. La fonction $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $B\left(\ln 4\right)=\ln4-4<0$ et $B(10)=5+4\e^{-10}>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 4,97$.
    $\quad$
  3. D’après les questions précédentes $B(x)\pg 0 \ssi x\pg \alpha$.
    L’entreprise doit produire et vendre au moins $497$ unités pour être bénéficiaire.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On définit la fonction $f$ par l’expression $$f(x)=3x\ln x-9x+10$$

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’expression de sa fonction dérivée est : $f'(x)=3\ln x-6$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $f'(x)\pg 0$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;20]$.
    $\quad$
  5. Combien l’équation $f(x)=0$ a-t-elle de solution sur l’intervalle $[1;20]$?
    Donner leur valeur approchée au dixième près.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=3\times \ln x+3x\times\dfrac{1}{x}-9\\
    &=3\ln x+3-9\\
    &=3\ln x-6\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0&\ssi 3\ln x-6\pg 0\\
    &\ssi 3\ln x\pg 6\\
    & \ssi \ln x\pg 2\\
    &\ssi x\pg \e^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $f(1)=3\times 0-9+10=1$
    $f\left(\e^2\right)=3\e^2\times 2-9\e^2+10=6\e^2-9\e^2+10=10-3\e^2$.
    $f(20)=60\ln 20-180+10=60\ln 20-170$
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $f(1)=1>0$ et $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$ et $f(20)\approx 9,7>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $\quad$
    À l’aide de la calculatrice on obtient $\alpha \approx 1,2$ et $\beta \approx 16,4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercice – Probabilités

Exercice – Probabilités

Une machine fabrique en grande quantité des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts : un défaut d’épaisseur, un défaut de longueur ou un défaut de largeur.

Dans un lot de $1~000$ pièces, fabriquées par cette machine, $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut, $0,2\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont comme seul défaut un défaut d’épaisseur. Parmi les $950$ pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur. Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $24\%$ ont un défaut de longueur.

  1. a. Compléter les deux tableaux suivants.
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& & & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& &26 & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&&&\\
    \hline
    \end{array}$$\quad$
    b. On prélève au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables.
    On définit les événements suivants :
    $\bullet$ $A$: « La pièce possède un seul défaut » ;
    $\bullet$ $B$: « La pièce possède exactement deux défauts ».
    Montrer que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces.
    L’issue de cette expérience aléatoire est le nombre de défauts de cette pièce.
    Déterminer, sous forme de tableau, la loi de probabilité de cette expérience.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction

  1. a. On obtient les tableaux suivants :
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10&21 &31 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&19&900&919 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&921&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $950-29=921$
    $29-10=19$
    $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut : $\dfrac{90}{100}\times 1~000=900$
    $921-900=21$
    $10+21=31$
    $19+900=919$
    On vérifie que $919+31=950$.
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&2&12 &14 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&10 &26 &36 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&12&38&50\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $0,2\%$ des pièces ont les trois défauts : $\dfrac{0,2}{100}\times 1~000=2$.
    $1~000-950=50$
    $\dfrac{24}{100}\times 50=12$
    $50-12=38$
    $12-2=10$
    $38-26=12$
    $2+12=14$
    $10+26=36$
    On vérifie que $14+36=50$
    $\quad$
    b. Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $21$ ont un défaut de longueur et $19$ ont un défaut de largeur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $26$ n’ont pas d’autres défauts.
    $P(A)=\dfrac{21+19+26}{1~000}=0,066$
    $\quad$
    Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et d’épaisseur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et $12$ ont un défaut de longueur.
    $P(B)=\dfrac{10+10+12}{1~000}=0,032$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la probabilité qu’il n’y ait aucun défaut est de $90\%$.
    D’après la question précédente, on sait que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    D’après l’énoncé la probabilité que la pièce possède les trois défaut est de $0,2\%$.
    On obtient donc le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de défauts}&0&1&2&3\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0}0,9\phantom{0}&0,066&0,032&0,002\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Fonction logarithme népérien

Fonctions logarithme népérien (AP)

Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations avec exponentielle

  1. $\e^x=5$
    $\quad$
  2. $5\e^x=10$
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9$
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    $\quad$
  5. $\e^{2x+3}=1$
    $\quad$
  6. $\e^x<10$
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1$
    $\quad$
  8. $3\e^{2x}>12$
    $\quad$
  9. $2\e^{x-3}-5<1$
    $\quad$
  10. $-2\e^{-3x}\pg -8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\e^x=5 \ssi \e^x=\e^{\ln 5} \ssi x=\ln 5$
    La solution de l’équation est $\ln 5$.
    $\quad$
  2. $5\e^x=10 \ssi \e^x=2 \ssi \e^x=\e^{\ln 2}\ssi x=\ln 2$
    La solution de l’équation est $\ln 2$.
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9 \ssi \e^x=14 \ssi \e^x=\e^{\ln 14} \ssi x=\ln 14$
    La solution de l’équation est $\ln 14$.
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \e^{2x+3}=1&\ssi \e^{2x+3}=\e^0 \\
    &\ssi 2x+3=0\\
    &\ssi 2x=-3\\
    &\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  6. $\e^x<10 \ssi \e^x < \e^{\ln 10} \ssi x<\ln 10$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;\ln 10[$.
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1 \ssi \e^{-x}\pp e^0\ssi -x \pp 0 \ssi x\pg 0$
    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} 3\e^{2x}>12 & \ssi \e^{2x}>4 \\
    &\ssi \e^{2x}> \e^{\ln 4} \\
    &\ssi 2x > \ln 4 \\
    &\ssi x > \dfrac{\ln 4}{2}\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]\dfrac{\ln 4}{2};+\infty\right[$.
    Remarque : On a $\dfrac{\ln 4}{2}=\ln \left(\sqrt{4}\right)=\ln 2$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*} 2\e^{x-3}-5<1&\ssi 2\e^{x-3}<6 \\
    &\ssi \e^{x-3}<3 \\
    &\ssi \e^{x-3}<\e^{\ln 3} \\
    &\ssi x-3<\ln 3\\
    &\ssi x<3+\ln 3 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;3+\ln 3]$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*}-2\e^{-3x}\pg -8 &\ssi \e^{-3x} \pp 4 \\
    &\ssi \e^{-3x} \pp \e^{\ln 4} \\
    &\ssi -3x \pp \ln 4 \\
    &\ssi x\pg-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left[-\dfrac{\ln 4}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations avec logarithme

  1. $\ln x=3$
    $\quad$
  2. $5\ln x=35$
    $\quad$
  3. $\ln(2x-3)=1$
    $\quad$
  4. $\ln(3-2x)=-4$
    $\quad$
  5. $\ln(1-x)=\ln(x+3)$
    $\quad$
  6. $\ln x<5$
    $\quad$
  7. $\ln x\pg -3$
    $\quad$
  8. $\ln(x+2)<-2$
    $\quad$
  9. $14-2\ln x>0$
    $\quad$
  10. $-2-4\ln(x-5)>0$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x=3 \ssi \ln x=\ln \left(\e^3\right) \ssi x=\e^3$
    La solution de l’équation est $\e^3$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x=35 \ssi \ln x=7 \ssi \ln x=\ln \left(\e^7\right) \ssi x=\e^7$
    La solution de l’équation est $\e^7$.
    $\quad$
  3. Il faut que $2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
    $\begin{align*} \ln(2x-3)=1&\ssi \ln(2x-3)=\ln \e \\
    &\ssi 2x-3=\e \\
    &\ssi 2x=3+\e\\
    &\ssi x=\dfrac{3+\e}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3+\e}{2} \in \left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3+\e}{2}$.
    $\quad$
  4. Il faut que $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$.
    Sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$,
    $\begin{align*} \ln(3-2x)=-4 &\ssi \ln(3-2x)=\ln\left(\e^{-4}\right) \\
    &\ssi 3-2x=\e^{-4} \\
    &\ssi -2x=\e^{-4}-3\\
    & \ssi x=\dfrac{3-\e^{-4}}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}\in \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}$.
    $\quad$
  5. Il faut que $1-x>0$ et $x+3>0$
    C’est-à-dire $x<1$ et $x>-3$.
    Sur l’intervalle $]-3;1[$,
    $\begin{align*} \ln(1-x)=\ln(x+3) &\ssi 1-x=x+3 \\
    &\ssi -2=2x \\
    &\ssi x=-1 \end{align*}$
    $-1\in ]-3;1[$.
    La solution de l’équation est donc $-1$.
    $\quad$
  6. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x<5 \ssi \ln x< \ln \left(\e^5\right) \ssi x<\e^5$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]0;\e^5\right[$.
    $\quad$
  7. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x\pg -3 \ssi \ln x \pg \ln\left(\e^{-3}\right) \ssi x \pg \e^{-3}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left[\e^{-3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  8. Il faut que $x+2>0 \ssi x>-2$.
    Sur l’intervalle $]-2;+\infty[$,
    $\begin{align*} \ln(x+2)<-2 &\ssi \ln(x+2)<\ln \left(\e^{-2}\right)  \\
    &\ssi x+2<\e^{-2} \\
    &\ssi x<\e^{-2}-2\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-2;\e^{-2}-2\right[$.
    $\quad$
  9. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} 14-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>-14 \\
    &\ssi \ln x<7 \\
    &\ssi \ln x<\ln\left(\e^7\right) \\
    &\ssi x<\e^7 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]0;\e^7\right[$.
    $\quad$
  10. Il faut que $x-5>0 \ssi x>5$.
    Sur l’intervalle $]5;+\infty[$,
    $\begin{align*}-2-4\ln(x-5)>0 &\ssi -4\ln(x-5)>2 \\
    &\ssi \ln(x-5)<-\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \ln(x-5)<\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    &\ssi x-5<\e^{-\frac{1}{2}} \\
    &\ssi x<5+\e^{-\frac{1}{2}} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]5;5+\e^{-\frac{1}{2}}\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Dresser le tableau de signes des expressions suivantes :
    a. $f(x)=\e^x-1$
    $\quad$
    b. $g(x)=2\e^{-3x}-8$
    $\quad$
  2. Étudier le signe des expressions suivantes sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    a. $f(x)=2\ln x+4$
    $\quad$
    b. $g(x)=5\ln x-20$
    $\quad$
    c. $h(x)=-5-3\ln x$
    $\quad$
    d. $i(x)=(x-2)\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8=0 &\ssi 2\e^{-3x}=8 \\
    &\ssi \e^{-3x}=4 \\
    &\ssi -3x=\ln 4 \\
    &\ssi x=-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8>0 &\ssi 2\e^{-3x}>8 \\
    &\ssi \e^{-3x}>4 \\
    &\ssi -3x>\ln 4 \\
    &\ssi x<-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $2\ln x+4=0\ssi 2\ln x=-4\ssi \ln x=-2\ssi x=\e^{-2}$
    $2\ln x+4>0\ssi 2\ln x>-4\ssi \ln x>-2\ssi x>\e^{-2}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x-20=0 \ssi 5\ln x=20 \ssi \ln x =4 \ssi x=\e^4$
    $5\ln x-20>0 \ssi 5\ln x>20 \ssi \ln x >4 \ssi x>\e^4$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $-5-3\ln x=0\ssi-3\ln x=5\ssi \ln x=-\dfrac{5}{3}\ssi x=\e^{-5/3}$
    $-5-3\ln x>0\ssi-3\ln x>5\ssi \ln x<-\dfrac{5}{3}\ssi x<\e^{-5/3}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour chaque fonction, donner son domaine de définition et dresser son tableau de variation.

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln x+x \\
    &=x(2\ln x+1)
    \end{align*}$
    Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
    Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln x+1$.
    $\quad$
    $\begin{align*} 2\ln x+1=0 &\ssi 2\ln x=-1\\
    &\ssi \ln x=-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln x+1>0 &\ssi 2\ln x>-1\\&\ssi \ln x>-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
    &=\ln x+1-2 \\
    &=\ln x-1
    \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln x-1=0 \\
    &\ln x=1 \\
    &x=\e\end{align*}$ $\quad$et$\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln x-1>0 \\
    &\ln x>1 \\
    &x>\e\end{align*}$
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
    Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ n dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
    On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
    $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
    Les deux racines réelles sont :
    $x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

  1. Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$ et $\ln 10$.
    $A=\ln 100$
    $\quad$
    $B=\ln 30$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000$
    $\quad$
    $D=\ln 8+\ln 6$
    $\quad$
  2. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul logarithme.
    $A=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7$
    $\quad$
    $C=3\ln 2+\ln 3$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $A=\ln 100=\ln\left(10^2\right)=2\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 30=\ln\left(3\times 10\right)=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000=\ln\left(10^3\right)=3\ln 10$
    $\quad$
    $\begin{align*} D&=\ln 8+\ln 6\\
    &=\ln\left(2^3\right)+\ln(2\times 3)\\
    &=3\ln 2+\ln 2+\ln 3\\
    &=4\ln 2 +\ln 3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A=\ln 3+\ln 10=\ln(3\times 10)=\ln 30$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7=\ln \dfrac{28}{7}=\ln 4$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=3\ln 2+\ln 3\\
    &=\ln \left(2^3\right)+\ln 3\\
    &=\ln 8+\ln 3\\
    &=\ln(8\times 3)\\
    &=\ln 24\end{align*}$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7=\ln \sqrt{3}-\ln 7=\ln\dfrac{\sqrt{3}}{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – QCM et Vrai/Faux au bac

QCM et Vrai/Faux

TES/TL – BAC 2018

Exercice 1 (Pondichéry – Mai 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 (Liban – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
    Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
    $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
    &=1-2P(X \pp 649) \\
    &\approx 0,683
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Amérique du Nord – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\ds \int_2^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient $8$ carreaux d’aire $1$ u.a. et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $2$ unités.
    Donc l’aire est au mois égale à $8+\dfrac{2\times 1}{2}=9$.
    De plus le domaine est compris dans un rectangle mesurant $2\times 5$ unités.
    Par conséquent $9 \pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\ln(x)-x$.
    $G'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)=g(x)$.
    $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln(1)=0$.
    Donc $\ln(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 (Centres étrangers – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 (Antilles Guyane – Juin 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6 (Métropole – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 (Asie – Juin 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8 (Polynésie – Juin 2018)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9 (Antilles Guyane – Septembre 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

  1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
    a. $(−7−7x)\e^x$
    b. $−7\e^x$
    c. $−7x\e^x$
    d. $(−7x +7)\e^x$
    $\quad$
  2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
    a. $3 < A < 4$
    b. $5 < A < 6$
    c. $A < 0$
    d. $A > 7$
    $\quad$
  3. On a :
    a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
    c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
    d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
    $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

  1. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
    a. $0,385$
    b. $0,084$
    c. $0,885$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
    a. $p \approx 0,885$
    b. $p \approx 0,115$
    c. $p \approx 0,385$
    d. $p \approx 0,501$
    $\quad$
  3. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
    a. $k = 19$
    b. $k = 29$
    c. $k = 20$
    d. $k = 14$
    $\quad$
Correction Exercice 9

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10 (Polynésie – Septembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

Correction Exercice 10

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11 (Métropole – Septembre 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
Correction Exercice 11

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12 (Amérique du Sud – Novembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

  1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
    Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

  1. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

  1. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

  1. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$

Correction Exercice 12

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13 (Nouvelle-Calédonie – Novembre 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 14 (Nouvelle-Calédonie – Mars 2019)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.
    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$
Correction Exercice 14

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

  1. On a représenté ci-dessous les graphiques de deux lois normales. Déterminer leur espérance.

    $\quad$
  2. Le graphique ci-dessous donne la loi normale $\mathscr{N}\left(0;2^2\right)$.

    On a représenté ci-dessous dans le désordre trois lois normales : $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$ ; $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$ et $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$.
    Associer à chaque courbe sa loi.

    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Loi 1 : La droite d’équation $x=0$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_1=0$.
    Loi 2 : La droite d’équation $x=6$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_2=6$.
    $\quad$
  2. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe représentant la fonction de densité est “évasée”.
    Par conséquent  :
    – la loi 1 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$;
    – la loi 2 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$;
    – la loi 3 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(25;9\right)$.

  1. Calculer $P(20<X<25)$ (arrondir au millième).
    $\quad$
  2. En déduire $P(X<20)$ et $P(X>30)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

On a $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$.

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(20<X<25) \approx 0,452$.
    $\quad$
  2. $P(X<20)=0,5-P(20<X<25) \approx 0,048$
    $\begin{align*} P(X>30)&=0,5-P(25<X<30)\\
    &=0,5-P(20<X<25) \\
    &\approx 0,048\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma$. On donne $P(X<45)=0,2$. On arrondira les résultats au millième.

  1. Déterminer $P(45<X<55)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On sait que $\mu=50$ donc :
    $P(X<45)=P(X<50-5)=P(X>50+5)=P(X>55)$.
    Par conséquent :
    $P(45<X<55)=1-\left(P(X<45)+P(X>55)\right)=0,6$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a donc :
    $\begin{align*} P(45<X<55)=0,6&\ssi P(-5<X-50<5)=0,6\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<\dfrac{X-50}{\sigma}<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)-1=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=1,6 \\
    &\ssi P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,8\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{5}{\sigma}\approx 0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    $\begin{align*} P(X<45)=0,2&\ssi P\left(X-50<-5\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-50}{\sigma}<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(Y<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{5}{\sigma}\approx -0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Un lot de Kiwis a été calibré. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque Kiwis pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(90;3^2\right)$.
On prélève un kiwi au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que sa masse soit comprise entre $81$ g et $99$ g?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que sa masse soit inférieure à $87$ g?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On a $\sigma^2=3^2$ donc $\sigma=3$.

  1. D’après la calculatrice $P(81<M<99)\approx 0,997$
    On peut également remarquer que :
    $P(81<M<99)= P(\mu-3\sigma<M<\mu+3\sigma)\approx 0,997$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M<87)&=0,5-P(87<M<90) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Une entreprise produit des sachets de lait en poudre de $500$ g. Selon le réglage de la machine les sachets ont une masse $M$ qui varie autour de $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(500;4\right)$.
On règle la balance de telle sorte qu’elle conserve tous les sachets dont la masse appartient à l’intervalle $500-\alpha<M<500+\alpha$ où $\alpha$ un réel strictement positif.

  1. Quelle valeur donner à $\alpha$ au centigramme près pour que $95\%$ des sachets soient conservés.
    $\quad$
  2. Quel pourcentage de sachet aura une masse $M$ inférieure à $495$ g?
    $\quad$

Pour améliorer la qualité de la production l’entreprise décide de régler la machine de façon à ce que moins de $1\%$ des sachets ait une masse inférieure à $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit alors une loi normale $\mathscr{N}(\mu,4)$.

  1. Déterminer $\mu$ pour atteindre l’objectif annoncé. (arrondir au centième).
    $\quad$
Correction Exercice 5

On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.

  1. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-500}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(500-\alpha<M<500+\alpha)=0,95&\ssi P(-\alpha<M-500<\alpha)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{M-500}{2}<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)-1=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=1,95 \\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,975\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{\alpha}{2}\approx 1,96$ soit $\alpha\approx 3,92$.
    $\quad$
  2. $P(M<495)=0,5-P(495<M<500)\approx 0,006$.
    Ainsi environ $0,6\%$ des sachets auront une masse inférieure à $495$ g.
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-\mu}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On veut que :
    $\begin{align*} P(M<500)<0,01 &\ssi P(M-\mu<500-\mu)<0,01 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{M-\mu}{2}<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{500-\mu}{2}\approx -2,326$ soit $500-\mu\approx -4,653$ et donc $\mu \approx 504,65$.
    $\quad$

[collapse]

 

TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

[collapse]

$\quad$