TES/TL – Exercices – QCM et Vrai/Faux au bac

QCM et Vrai/Faux

TES/TL – BAC 2018

Exercice 1 (Pondichéry – Mai 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 (Liban – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
    Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
    $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
    &=1-2P(X \pp 649) \\
    &\approx 0,683
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Amérique du Nord – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\ds \int_2^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient $8$ carreaux d’aire $1$ u.a. et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $2$ unités.
    Donc l’aire est au mois égale à $8+\dfrac{2\times 1}{2}=9$.
    De plus le domaine est compris dans un rectangle mesurant $2\times 5$ unités.
    Par conséquent $9 \pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\ln(x)-x$.
    $G'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)=g(x)$.
    $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln(1)=0$.
    Donc $\ln(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 (Centres étrangers – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 (Antilles Guyane – Juin 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 (Métropole – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7 (Asie – Juin 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8 (Polynésie – Juin 2018)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 9 (Antilles Guyane – Septembre 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

  1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
    a. $(−7−7x)\e^x$
    b. $−7\e^x$
    c. $−7x\e^x$
    d. $(−7x +7)\e^x$
    $\quad$
  2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
    a. $3 < A < 4$
    b. $5 < A < 6$
    c. $A < 0$
    d. $A > 7$
    $\quad$
  3. On a :
    a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
    c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
    d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
    $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

  1. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
    a. $0,385$
    b. $0,084$
    c. $0,885$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
    a. $p \approx 0,885$
    b. $p \approx 0,115$
    c. $p \approx 0,385$
    d. $p \approx 0,501$
    $\quad$
  3. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
    a. $k = 19$
    b. $k = 29$
    c. $k = 20$
    d. $k = 14$
    $\quad$
Correction Exercice 9

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 10 (Polynésie – Septembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

Correction Exercice 10

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 11 (Métropole – Septembre 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
Correction Exercice 11

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 12 (Amérique du Sud – Novembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

  1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
    Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

  1. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

  1. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

  1. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$

Correction Exercice 12

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 13 (Nouvelle-Calédonie – Novembre 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 14 (Nouvelle-Calédonie – Mars 2019)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.
    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$
Correction Exercice 14

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

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$\quad$

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

  1. On a représenté ci-dessous les graphiques de deux lois normales. Déterminer leur espérance.

    $\quad$
  2. Le graphique ci-dessous donne la loi normale $\mathscr{N}\left(0;2^2\right)$.

    On a représenté ci-dessous dans le désordre trois lois normales : $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$ ; $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$ et $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$.
    Associer à chaque courbe sa loi.

    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Loi 1 : La droite d’équation $x=0$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_1=0$.
    Loi 2 : La droite d’équation $x=6$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_2=6$.
    $\quad$
  2. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe représentant la fonction de densité est “évasée”.
    Par conséquent  :
    – la loi 1 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$;
    – la loi 2 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$;
    – la loi 3 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(25;9\right)$.

  1. Calculer $P(20<X<25)$ (arrondir au millième).
    $\quad$
  2. En déduire $P(X<20)$ et $P(X>30)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

On a $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$.

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(20<X<25) \approx 0,452$.
    $\quad$
  2. $P(X<20)=0,5-P(20<X<25) \approx 0,048$
    $\begin{align*} P(X>30)&=0,5-P(25<X<30)\\
    &=0,5-P(20<X<25) \\
    &\approx 0,048\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma$. On donne $P(X<45)=0,2$. On arrondira les résultats au millième.

  1. Déterminer $P(45<X<55)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On sait que $\mu=50$ donc :
    $P(X<45)=P(X<50-5)=P(X>50+5)=P(X>55)$.
    Par conséquent :
    $P(45<X<55)=1-\left(P(X<45)+P(X>55)\right)=0,6$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a donc :
    $\begin{align*} P(45<X<55)=0,6&\ssi P(-5<X-50<5)=0,6\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<\dfrac{X-50}{\sigma}<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)-1=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=1,6 \\
    &\ssi P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,8\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{5}{\sigma}\approx 0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    $\begin{align*} P(X<45)=0,2&\ssi P\left(X-50<-5\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-50}{\sigma}<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(Y<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{5}{\sigma}\approx -0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un lot de Kiwis a été calibré. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque Kiwis pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(90;3^2\right)$.
On prélève un kiwi au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que sa masse soit comprise entre $81$ g et $99$ g?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que sa masse soit inférieure à $87$ g?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On a $\sigma^2=3^2$ donc $\sigma=3$.

  1. D’après la calculatrice $P(81<M<99)\approx 0,997$
    On peut également remarquer que :
    $P(81<M<99)= P(\mu-3\sigma<M<\mu+3\sigma)\approx 0,997$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M<87)&=0,5-P(87<M<90) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une entreprise produit des sachets de lait en poudre de $500$ g. Selon le réglage de la machine les sachets ont une masse $M$ qui varie autour de $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(500;4\right)$.
On règle la balance de telle sorte qu’elle conserve tous les sachets dont la masse appartient à l’intervalle $500-\alpha<M<500+\alpha$ où $\alpha$ un réel strictement positif.

  1. Quelle valeur donner à $\alpha$ au centigramme près pour que $95\%$ des sachets soient conservés.
    $\quad$
  2. Quel pourcentage de sachet aura une masse $M$ inférieure à $495$ g?
    $\quad$

Pour améliorer la qualité de la production l’entreprise décide de régler la machine de façon à ce que moins de $1\%$ des sachets ait une masse inférieure à $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit alors une loi normale $\mathscr{N}(\mu,4)$.

  1. Déterminer $\mu$ pour atteindre l’objectif annoncé. (arrondir au centième).
    $\quad$
Correction Exercice 5

On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.

  1. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-500}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(500-\alpha<M<500+\alpha)=0,95&\ssi P(-\alpha<M-500<\alpha)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{M-500}{2}<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)-1=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=1,95 \\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,975\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{\alpha}{2}\approx 1,96$ soit $\alpha\approx 3,92$.
    $\quad$
  2. $P(M<495)=0,5-P(495<M<500)\approx 0,006$.
    Ainsi environ $0,6\%$ des sachets auront une masse inférieure à $495$ g.
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-\mu}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On veut que :
    $\begin{align*} P(M<500)<0,01 &\ssi P(M-\mu<500-\mu)<0,01 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{M-\mu}{2}<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{500-\mu}{2}\approx -2,326$ soit $500-\mu\approx -4,653$ et donc $\mu \approx 504,65$.
    $\quad$

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TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

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$\quad$

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
On donne $P(0<X<1,4)=0,42$ arrondie au centième.
Déterminer les probabilités suivantes sans utiliser la calculatrice.

  1. $P(X<1,4)$
    $\quad$
  2. $P(X<-1,4)$
    $\quad$
  3. $P(-1,4<X<1,4)$
    $\quad$
  4. $P(X=1,4)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(X<1,4)=P(X<0)+P(0<X<1,4)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  2. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$.
    Ainsi $P(X<-1,4)=P(X<0)-P(-1,4<X<0)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  3. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$
    $P(-1,4<X<1,4)=2P(0<X<1,4)=0,84$
    $\quad$
  4. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi à densité alors, pour tout réel $a$, on a $P(X=a)=0$.
    Donc $P(X=1,4)=0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer une valeur des probabilités suivante à l’aide de la calculatrice. Les réponses seront arrondies au centième.

  1. $P(0<X<1)$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $P(0<X<1)\approx 0,34$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)\approx 0,68$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)\approx 0,48$
    $\quad$
  4. $P(X<1)=0,5+P(0<X<1)\approx 0,84$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)=0,5+P(-1<X<0)\approx 0,84$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)=0,5-P(-2<X<0)\approx 0,02$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Tous les résultats seront arrondis au centième.

  1. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,7$.
    $\quad$
  2. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-1<X<a)=0,6$.
    $\quad$
  4. Déterminer le réel $a$ tel que $P(0,5<X<a)=0,1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-a<X<a)=0,5$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx 0,52$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx -0,52$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(-1<X<a)=0,6&\ssi P(X<a)-P(X<-1)=0,6\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(X<-1)\\
    &\ssi P(X<a) = 0,6+0,5-P(-1<X<0)\\
    &\ssi P(X<a)=1,1-P(-1<X<0)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,76$.
    D’où $a\approx 0,70$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(0,5<X<a)=0,1&\ssi P(X<a)-P(X<0,5)=0,1\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+P(X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+0,5+P(0<X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(0<X<0,5)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,79$.
    D’où $a\approx 0,81$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(-a<X<a)=0,5 &\ssi 2\Phi(a)-1=0,5\\
    &\ssi 2\Phi(a)=1,5\\
    &\ssi \Phi(a)=0,75\end{align*}$
    D’où $a\approx 0,67$.

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$\quad$

Exercice 4

$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)^2$ avec $\mu=100$ et $\sigma=30$.
Déterminer les probabilités suivantes, arrondies au centième, à l’aide de la calculatrice.

  1. $P(100<X<110)$
    $\quad$
  2. $P(X<110)$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$
    $\quad$
  4. $P(90<X<110)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P(100<X<110)\approx 0,13$
    $\quad$
  2. $P(X<110)=0,5+P(100<X<110)\approx 0,63$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$\approx 0,63$
    $\quad$
  4. $P(90<X<100)=P(100<X<110)$ par symétrie.
    Donc $P(90<X<110)=P(100<X<110)\approx 0,26$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment utiliser la calculatrice comme pour la question 3.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité (AP)

Exercice 1

On donne la représentation de la fonction densité de probabilité $f$ définie sur l’intervalle $[0;2,5]$.
$X$ suit une loi de probabilité continue de densité $f$.

Déterminer graphiquement :

  1. $P(X<0,5)$
    $\quad$
  2. $P(X=1,5)$
    $\quad$
  3. $P(0,5 \pp X \pp 1,5)$
    $\quad$
  4. $P(X>2)$
    $\quad$
  5. $P(X \pg 1,5)$
    $\quad$
  6. $P(X>1)$
    $\quad$
  7. $P(X>2,5)$
    $\quad
Correction Exercice 1

  1. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X<0,5)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  2. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=1,5)=0$
    $\quad$
  3. Il s’agit de calculer l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent respectivement $1$ et $0,5$.
    Ainsi $P(0,5\pp X\pp 1,5)=1\times 0,5=0,5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X>2)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  5. On veut calculer l’aire d’un trapèze rectangle.
    On utilise la formule :
    $\mathscr{A}_{\text{trapèze}}=\dfrac{(\text{petite base $+$ grande base})\times\text{hauteur}}{2}$.
    Ainsi $P(X\pg 1,5)=\dfrac{(1+0,5)\times 0,5}{2}=0,375$
    $\quad$
  6. On utilise la même formule qu’à la question précédente.
    $P(X>1)=\dfrac{(1,5+1)\times 0,5}{2}=0,625$
    $\quad$
  7. La fonction de densité n’est définie que sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    Par conséquent $P(X\pg 2,5)=0$.
    $\quad

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$\quad$

Exercice 2

$X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$. On a $P(X<4)=0,1$ et $P(X>6)=0,3$.
Calculer :

  1. $P(4<X<6)$
    $\quad$
  2. $P(X<6)$
    $\quad$
  3. $P(X>4)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X\pg 3)$
    $\quad$
  6. $P(X=3)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $P(4<X<6)=1-\left(P(X<4)+P(X>6)\right)=1-(0,1+0,3)=0,6$
    $\quad$
  2. $P(X<6)=P(X\pp 0,6)=1-P(X>0,6)=1-0,3=0,7$
    $\quad$
  3. $P(X>4)=P(X\pg 4)=1-P(X<4)=1-0,1=0,9$
    $\quad$
  4. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$ et $1<3$.
    Donc $P(X<1)=0$.
    $\quad$
  5. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$.
    Donc $P(X\pg 3)=1$.
    $\quad$
  6. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=3)=0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ telle que $f(x)=-x^2+\dfrac{8}{3}x$.

  1. Montrer que $f$ est une fonction densité de probabilité sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. $X$ est la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité continue de densité $f$.
    a. Calculer $P(X\pp 0,5)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(0,2<X<0,5)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    On a $f(x)=-x\left(x-\dfrac{8}{3}\right)$.
    Les deux racines de ce polynômes du second degré sont donc $0$ et $\dfrac{8}{3}>1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=-1<0$.
    Ainsi $f(x)$ est positif entre ses racines et $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\begin{align*}\int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(-x^2+\dfrac{8}{3}x\right)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{6}\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\\
    &=\dfrac{3}{3}\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(X\pp 0,5)&=\int_0^{0,5}f(x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2\\
    &=\dfrac{7}{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}P(0,2<X<0,5)&=\int_{0,2}^{0,5}f(x)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_{0,2}^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2-\left(-\dfrac{0,2^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,2^2\right)\\
    &=\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{600}\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

$X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$.

  1. Tracer la courbe représentant sa fonction de densité.
    $\quad$
  2. Donner l’expression de la fonction densité.
    $\quad$
  3. Calculer les probabilités suivantes :
    a. $P(X<6)$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)$
    $\quad$
    c. $P(X \pg 15)$
    $\quad$
    d. $P(X>0)$
    $\quad$
    e. $P(X>20)$
    $\quad$
    f. $P(X=12)$
    $\quad$
  4. Calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On obtient la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  2. La fonction de densité est définie par $f(x)=\dfrac{1}{18-3}=\dfrac{1}{15}$ sur l’intervalle $[3;18]$.
    $\quad$
  3. a. $P(X<6)=\dfrac{6-3}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)=\dfrac{9-4}{18-3}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    c. $P(X\pg 15)=P(15\pp X\pp 18)=\dfrac{18-15}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    d. $P(X>0)=P(X\pg 3)=P(3\pp X\pp 18)=1$
    $\quad$
    e. $P(X>20)=0$ puisque $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$ et que $18<20$.
    $\quad$
    f. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=12)=0$
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{3+18}{2}=10,5$.
    $\quad$

[collapse]

 

TS – Bac Blanc – février 2019

Bac Blanc – Février 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur $I=]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Soit $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Partie A :

Soit $p$ la fonction définie sur $\R$ par $p(x)=2x^3+2x^2-1$.

  1. Dresser le tableau de variation complet de $p$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ tel que $0\pp \alpha \pp 1$.
    $\quad$
  3. Donner le signe de $p(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que $\alpha$ vérifie $\alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}$.
    $\quad$

Partie B : Dans cette partie, on se limite à l’étude de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ et préciser les éventuelles asymptotes de $\Gamma$ .
    $\quad$
  2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{p(x)}{x^2+x}$ ou $p$ est la fonction définie dans la partie A.
    $\quad$
  3. En déduite le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On admet que $1+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{1}{2\alpha^3}$. En déduire que $f(\alpha)=\alpha^2-\ln 2-3\ln \alpha$.
    $\quad$

Partie C : Dans cette partie, la fonction $f$ est définie sur $I=]−\infty;−1[∪] 0;+\infty[$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.
Étudier les positions relatives de $\Gamma$ et de $\mathscr{C}$ sur $I$.
$\quad$

 

Exercice 2     6 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

  1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
    En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
    $\quad$
    b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
    Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
    $\quad$
  2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
    $\quad$
  3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     4 points    

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

  1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par :
    $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(u_{n+1}\right)=\ln\left(u_n\right)-1$.
    La suite $\left(u_n\right) est-elle géométrique ?
    $\quad$
  2. La suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes est définie par :
    $z_0=2+3\ic$ et, pour tout entier naturel n par $z_{n+1}=\left(
    \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right)z_n$.
    Pour quelles valeurs de $n$, $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{−x}$.
    On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan et $T$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point
    d’abscisse $2$.
    Le point $A$ de coordonnées $(4;0)$ appartient-il à $T$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes. Pour cela il réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent
    pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a-5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a-5b$.

  1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.
    Justifier que $N$ est l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $(E)$ det$(M) = 3$.
    On souhaite déterminer tous les couples d’entiers $(a;b)$ solutions de l’équation $(E)$.
    a. Vérifier que le couple $(6;3)$ est une solution de $(E)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le couple d’entiers $(a;b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6) = 5(b-3)$.
    En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$.
    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
  2. Codage avec la matrice  $Q$
    Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
    Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
    \end{array}\end{array}
    $$
    Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
    Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par $26$ et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par $26$.
    Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
    $\quad$
    $$\text{Exemple} : JE \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y=\begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R=\begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to OF.$$
    Le mot $JE$ est codé en le mot $OF$.
    Coder le mot $DO$.
    $\quad$
  3. Procédure de décodage
    On conserve les mêmes notations que pour le codage.
    Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
    a. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\begin{cases}3x_1\equiv3r_1-3r_2 \quad [26]\\3x_2\equiv-5r_1+6r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    b. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases}x_1\equiv r_1-r_2 \quad [26]\\x_2\equiv 7r_1 + 2r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    c. Décoder le mot $SG$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $p'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)$.
    $p'(x)=0\ssi x=0$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$.
    De plus le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=6>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    D’après la limite des termes de plus haut degré on a $\lim\limits_{x\to -\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}2x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}2x^3=+\infty$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $\left]-\infty;0\right[$ on a $p(x)\pp -\dfrac{19}{27}$.
    L’équation $p(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $p$ est continue et strictement croissante.
    De plus $p(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $p(0)=-1<0$ et $p(1)=3>0$ donc $0\pp x \pp 1$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation et la question précédente on a donc :
    – $p(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$ ;
    – $p(\alpha) = 0$ ;
    – $p(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} p(\alpha)=0 &\ssi 2\alpha^3+2\alpha^2-1=0 \\
    &\ssi \alpha^2\left[2(\alpha+1)\right]=1 \\
    &\ssi \alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}1+\dfrac{1}{x}=+\infty$.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$.
    $\lim\limits_{X \to 1} \ln X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}  f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La courbe $\Gamma$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x+\dfrac{~~-\dfrac{1}{x^2}~~}{1+\dfrac{1}{x}} \\
    &=2x-\dfrac{1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{2x^3+2x^2-1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{p(x)}{x^2+x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ positif on a $x^2+x\pg 0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)$.
    D’après la question A.3. cela signifie donc que :
    – $f'(x)<0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    – $f'(\alpha)=0$ ;
    – $f'(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln\left(\dfrac{1}{2\alpha^3}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln(1)-\ln\left(2\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-\ln\left(\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-3\ln(\alpha)\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x\in]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ on a :
$f(x)-g(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Donc $f(x)-g(x)>0\ssi \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)>0 \ssi 1+\dfrac{1}{x}>1 \ssi \dfrac{1}{x}>0 \ssi x>0$

Ainsi $\Gamma$ est au-dessus de $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et en dessous sur l’intervalle $]0;+\infty[$

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $|j|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
    $j=\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{2\ic\pi/3}$.
    $\quad$
    Ainsi
    $\begin{align*} a’&=-4j \\
    &=2-2\ic\sqrt{3}\quad \text{forme algébrique}\\
    &=-4\e^{2\ic \pi/3} \\
    &=4\e^{2\ic \pi/3+\ic\pi} \\
    &=4\e^{5\ic\pi/3} \quad \text{forme exponentielle}
    \end{align*}$
    $b’=-1+\ic\sqrt{3}$ et $c’=-2+2\ic\sqrt{3}$ $\quad$ Formes algébriques.
    $b’= 2j=2\e^{2\ic\pi/3}$ et $c’=4j=4\e^{2\ic\pi/3}$ $\quad$ Formes exponentielles.
    $\quad$
    b. On a :
  2. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{b’-a’}{c’-a’} &=\dfrac{2j+4j}{4j+4j} \\
    &=\dfrac{6}{8} \\
    &=\dfrac{3}{4}
    \end{align*}$
    Ainsi un argument de $\dfrac{b’-a’}{c’-a’}$ est $0$.
    Les points $A’,B’$ et $C’$ sont donc alignés.
    $\quad$
  3. L’affixe de $M$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{c+a’}{2}\\
    &=\dfrac{4-4j}{2}\\
    &=2-2j\\
    &=2+1-\ic\sqrt{3} \\
    &=3-\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    L’affixe de $N$ est :
    $\begin{align*} n&=\dfrac{c+c’}{2} \\
    &=\dfrac{4+4j}{2}\\
    &=2+2j\\
    &=2-1+\ic\sqrt{3} \\
    &=1+\ic\sqrt{3}\end{align*}$.
    L’affixe de $P$ est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{c’+a}{2} \\
    &=\dfrac{4j-4}{2} \\
    &=2j-2 \\
    &=-1+\ic\sqrt{3}-2 \\
    &=-3+\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    Ainsi l’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z_1=1+\ic\sqrt{3}-\left(-3+\ic\sqrt{3}\right)=4$.
    Ainsi $PN=4$
    et l’affixe du vecteur $\vect{NM}$ est $z_2=3-\ic\sqrt{3}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)=2-2\ic\sqrt{3}$
    Ainsi $NM=\sqrt{2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=4$.
    Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.
    $\quad$

Ex 3

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{\ln\left(u_{n+1}\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n-1\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n\right)}\times \e^{-1} \\
    &=\e^{-1}u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \left|z_{n+1}\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|\times \left|z_n\right| \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\left|z_n\right| \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right| \end{align*}$
    On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=\left|z_n\right|$.
    Cette suite est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $u_0=|2+3\ic|=\sqrt{13}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\sqrt{7}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
    $\begin{align*} \left|z_n\right|\pp 10^{-20}&\ssi \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \pp 10^{-20} \\
    &\ssi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n  \pp \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\
    &\ssi n \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} \approx 136,58$.
    Donc $\left|z_n\right|\pp 10^{-20}$ si, et seulement si, $n \pg 137$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$.
    Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f(2)=2\e^{-2}$ et $f'(2)=-\e^{-2}$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}$.
    Si $x=4$ alors
    $\begin{align*} -\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}&=-\e^{-2}(4-2)+2\e^{-2}\\
    &=-2\e^{-2}+2\e^{-2}\\
    &=0\end{align*}$
    La point $A(4;0)$ appartient donc à $T$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
    $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} > 0,8
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
    Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} N\times M&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3&-b\\-5&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3a-5b&3b-3b\\-5a+5a&-5b+3a\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    Par conséquent $N$ est bien l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. a. $3\times 6-5\times 3=18-15=3$.
    Donc le couple $(6;3)$ est bien solution de l’équation det$(M)=3$.
    $\quad$
    b. On considère un autre couple d’entiers solutions $(a;b)$.
    On a donc $3a-5b=3$ et $3\times 6-5\times 3=3$.
    Par soustraction, on obtient : $3a-3\times 6-5b+5\times 3 = 0$
    Soit $3(a-6)=5(b-3)$.
    Donc si $(a;b)$ est solution de l’équation alors $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    Réciproquement si $3(a-6)=5(b-3)$
    Alors $3a-18=5b-15 \ssi 3a-5b=3$ et $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    Ainsi $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    c. $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $a-6=5k$ et $b-3=3k$.
    Soit $a=6+5k$ et $b=3+3k$.
    $\quad$Réciproquement, soit $k\in \Z$. Alors :
    $3(6+5k)-5(3+3k) = 18+15k-15-15k=3$.
    Donc le couple $(6+5k;3+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
    Ainsi l’inverse de $Q$ est $Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\-5&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. DO$\rightarrow X=\begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix}$
    $Y=QX=\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix}$
    Or $60 \equiv 8~[26]$ et $57\equiv 5~[26]$.
    Donc $R=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$
    Le mot DO est donc codé en IF
    $\quad$
  3. a. $3Q^{-1}Y=3Q^{-1}QX=3X$
    Par conséquent $\begin{cases} 3x_1=3y_1-3y_2\\3x_2=-5y_1+6y_2\end{cases}$
    En passant au modulo, on obtient alors :
    $\begin{cases} 3x_1\equiv 3r_1-3r_2~[26]\\3x_2\equiv -5r_1+6r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    b. $9\times 3 = 27 = 1+26$ donc $9\times 3\equiv 1~[26]$.
    On multiplie chacune des équations du système précédent par $9$.
    On obtient alors :
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv -45r_1+54r_2~[26] \end{cases}$
    soit
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv 7r_1+2r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    c. SG$\rightarrow R=\begin{pmatrix}18\\6\end{pmatrix}$
    Donc $\begin{cases} x_1\equiv 18-6~[26]\\x_2\equiv 7\times 18+2\times 6~[26] \end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 138~[26]\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 8~[26] \end{cases}$
    Ainsi le mot initial était MI.
    $\quad$

TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=-x^2+x$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^1 f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,3}^{0,6} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\int_0^1 \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-0\\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient donc le graphique suivant :
    $\quad$
    Et
    $$\begin{align*} I&=\int_{0,3}^{0,6} \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0,3}^{0,6}\\
    &=0,108-0,036 \\
    &=0,072\end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1,25]$ par $f(x)=0,8$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^{1,25} f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,25}^{0,75} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^{1,25} 0,8\dx \\
    &=\Big[0,8x\Big]_0^{1,25}\\
    &=1\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
    et
    $$\begin{align*} J&=\int_{0,25}^{0,75}0,8\dx\\
    &=\Big[0,8x\Big]_{0.25}^{0,75}\\
    &=0,6-0,2\\
    &=0,4\end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer la valeur exacte de la valeur moyenne $M$ de chaque fonction sur l’intervalle consiédéré.

  1. $f(x)=2x-1$ sur $[0;4]$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^x$ sur $[-1;2]$.
    $\quad$
  3. $h(x)=-x^2+x$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 (2x-1)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left[x^2-x\right]_0^4 \\
    &=3\end{align*}$$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[-1;2]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^2 \e^x\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \Big[\e^x\Big]_{-1}^2 \\
    &=\dfrac{\e^2-\e^{-1}}{3}\end{align*}$$
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de $h$ sur l’intervalle $[0;1]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{1-0}\int_0^4 (-x^2+x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Un véhicule accélère sur une ligne droite. L’augmentation de sa vitesse en fonction du temps $t$ (en secondes) est décrite par la fonction $v$ définie sur $[0;+\infty[$ par $v(t)=\dfrac{3t^2}{10}$ (en km/h).

  1. Calculer la vitesse initiale de ce véhicule en $t=0$.
    $\quad$
  2. Calculer la vitesse du véhicule au bout de $10$ secondes.
    Même question au bout de $20$ secondes.
    $\quad$
  3. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{0-10}$ de ce véhicule pendant les $10$ premières secondes de son mouvement?
    $\quad$
  4. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{10-20}$ de ce véhicule pendant les $10$ secondes suivantes?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Initialement la vitesse est $v(0)=\dfrac{3\times 0^2}{10}=0$ km/h.
    $\quad$
  2. Au bout de $10$ secondes la vitesse est $v(10)=\dfrac{3\times 10^2}{10}=30$ km/h.
    Au bout de $20$ secondes la vitesse est $v(20)=\dfrac{3\times 20^2}{10}=120$ km/h.
    $\quad$
  3. Pendant les $10$ premières secondes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{0-10}&=\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_0^{10}\\
    &=10\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$
  4. Pendant les $10$ secondes suivantes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{10-20}&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_{10}^{20}\\
    &=\dfrac{800-100}{10}\\
    &=70\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Bac Blanc ES/L – Février 2019

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2019 – Série ES/L

Énoncé

Exercice 1    4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

  1. La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=400$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
    La somme $S=u_0+u_1+\ldots+u_{10}$ est égale à :
    a. $2\times \left(1-0,5^{10}\right)$
    b. $2\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    c. $800\times \left(1-0,5^{10}\right)$
    d. $\quad $800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    $\quad$
  2. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 50 \\
    \text{Tant que $U<120$ faire} \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,2\times U \\
    \hspace{1cm} n \leftarrow n+1 \\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } n\\
    \hline
    \end{array}$$
    En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :
    a. $4$
    b. $124,416$
    c. $5$
    d. $96$
    $\quad$

Pour les questions 3. et 4., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses $2$ et $4$.

  1. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$

 

Exercice 2    5 points

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

  1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n \in \N^*$ : $$u_{n+1} = 0,625u_n + 123$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n = u_n-328$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a $u_n = 162 \times 0,625^{n-1} + 328$.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30\%$ par rapport au premier trimestre 2017 ?
    Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
    $\quad$

 

Exercice 3    6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2~;~4]$ par $$f(x) = (2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2;0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
    $\quad$
  4. On note $f”$ la fonction dérivée de $f’$. On admet que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f”(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
    a. Étudier le signe de $f”$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$
  5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2; 4]$ par $g(x) = (2x + 1)\e^{-2x}$.
    a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
    $\quad$
  6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathscr{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.
    a. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements d’un ensemble probabiliste, avec $A$ de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le réel noté $P_{A}(B)$.

L’asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.
En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4\%$ des hommes et $5\%$ des femmes sont asthmatiques.

Dans la population française, on considère l’ensemble des couples homme-femme.

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

On note :

  • $H$ l’événement : « L’homme est asthmatique »,
  • et $F$ l’événement : « La femme est asthmatique ».

On note $\conj{E}$ l’événement contraire de l’événement $E$.

On admet que les événements $H$ et $F$ sont indépendants.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. On note les événements :
    $A$ : « Aucun des deux adultes du couple n’est asthmatique »
    $B$ : «Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
    $C$ : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »
    Montrer que :
    $P(A) = 0,912 ; \quad P(B) = 0,086 \quad ; \quad P(C) = 0,002$.
    $\quad$

 

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

Les études actuelles sur cette maladie montrent que :

  • Si aucun des parents n’est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,1$.
  • Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,3$.
  • Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,5$.

On note E l’événement:« Le premier enfant du couple est asthmatique ».

  1. Reproduire sur votre copie puis compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(E) = 0,118$.
    $\quad$
  3. Calculer $P_{E}(A)$ et interpréter le résultat.
    Déduire $P_{E}\left(\overline{A}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
    (Indication : on pourra chercher à calculer l’événement contraire)
    $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme.
Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

Partie A

  1. Déterminer si le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Déterminer si le graphe est complet.
    $\quad$
  3. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
    $\quad$

Partie B

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de $9$h à $16$h. On obtient le relevé suivant :

Ainsi, à $10$h, il y avait $14$ minutes d’attente à la billetterie. On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[9;16]$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b$ et $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points de coordonnées $(9;9)$ , $(11;20)$ et $(16;2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

  1. Traduire l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a,b$ et $c$.
    $\quad$
  2. Vérifier que ce système est équivalent à l’équation $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 81&9&1\\121&11&1\\256&16&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Résoudre le système.
    $\quad$
  4. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes.
    $\quad$

 

Ex1

Exercice 1

  1. On a $S=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5}=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5}=800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Voici les différentes valeurs prises par les $2$ variables :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U&50&60&72&86,4&103,68&124,416 \\
    \hline
    \phantom{00}n\phantom{00}&\phantom{00}0\phantom{00}&\phantom{00}1\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}5\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’algorithme affiche la dernière valeur de $n$, c’est-à-dire $5$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La courbe semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$.
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse c
    $\quad$

Ex2

Exercice 2

  1. $u_1=490$ Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$ et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a $n=10$ : $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $$u_n\pp 343 \ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 $$
    On a $u_6\approx 343,45$ et $u_7 \approx 337,66$
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    $\quad$

Ex3

Exercice 3

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
    &=-4x\e^{-2x}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
    D’après le corollaire du théorème de la bijection l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    De plus $\alpha\approx -0,8$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
    Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
    $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
    $8x-4<0\ssi x<0,5$.
    La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
    $$\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
    &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
    &=(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
    $\quad$
  6. a. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
    En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
    $\quad$
    c. On a :
    $$\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=-2\e^{-2}+3+1\\
    &=4-2\e^{-2} \\
    &\approx 3,73 \text{u.a.}
    \end{align*}$$
    $\quad$

Ex4 obl

Exercice 4

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. $P(A)=P\left(\conj{H}\cap\conj{F}\right)=0,96\times 0,95=0,912$.
    $P(C)=P(H\cap F)=0,04\times 0,05=0,002$.
    $P(B)=1-P(A)-P(C)=0,086$
    $\quad$

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*}
    P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E) \\
    &=0,912\times 0,1+0,086\times 0,3+0,002\times 0,5 \\
    &=0,091~2+0,025~8,+0,001\\
    &=0,118\end{align*}$$
    $\quad$
  3. $P_{E}(A)=\dfrac{P(E\cap A)}{P(E)}=\dfrac{0,0912}{0,118} \approx 0,773$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait ses deux parents non asthmatiques est environ égale à $0,773$.
    $\quad$
    $P_E\left(\conj{A}\right)=1-P_E(A)\approx 0,227$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,227$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $$\begin{align*} P_{\conj{E}}\left(\conj{A}\right)&=1-P_{\conj{E}}(A) \\
    &=1-\dfrac{P\left(A\cap \conj{E}\right)}{P\left(\conj{E}\right)} \\
    &=1-\dfrac{0,9\times 0,912}{1-0,118} \\
    &=1-\dfrac{0,820~8}{0,882} \\
    &\approx 0,069
    \end{align*}$$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,069$.
    $\quad$

Ex4 spé

Exercice 4

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. La chaîne $A-B-F-G-H-C-D-E$ passe par tous les sommets du graphes donc toute paire de sommets peut être reliée par une chaîne.
    Ce graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Ce graphe n’est pas complet car tous les sommets ne son pas reliés aux autres par une arête. Par exemple, les sommets $A$ et $C$ ne sont pas reliés par une arête.
    $\quad$
  3. Cette question se traduit par l’existence ou non d’une chaîne eulérienne dans ce graphe.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
    \hline
    \text{Degré}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce graphe est connexe et contient exactement $2$ sommets de degré impair. D’après le théorème d’Euler, ce graphe contient une chaîne eulérienne.
    $\quad$
    Appliquons l’algorithme d’Euler :
    Étape 1 : Former une chaîne qui relier les deux sommets de degré impair. Ici $A$ et $F$ :
    On obtient par exemple : $A-B-F$.
    $\quad$
    Étape 2 : À partir du sommet $A$ on construit un cycle $A-E-D-A$.
    On obtient donc $A-E-D-A-B-F$.
    $\quad$
    Étape 3 : On recommence à partir du sommet $B$ : $B-D-C-B$.
    On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F$.
    $\quad$
    Étape 4 : On recommence à partir du sommet $F$ : $F-C-H-G-F$.
    On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F-C-H-G-F$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(9)=9$ or $f(9)=81a+9b+c$ donc $81a+9b+c=9$.
    On a $f(11)=20$ or $f(11)=121a+11b+c$ donc $121a+11b+c=20$.
    On a $f(16)=2$ or $f(16)=256a+16b+c$ donc $256a+16b+c=2$.
    On a donc le système $\begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
    $\quad$
  2. On pose $AX=\begin{pmatrix} 81a+9b+c\\121a+11b+c\\256a+16b+c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$
    Donc $AX=B \ssi \begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice, la matrice $A$ est inversible et on a $A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{14}&-\dfrac{1}{10}&\dfrac{1}{35}\\\\-\dfrac{27}{14}&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{4}{7}\\\\\dfrac{88}{7}&-\dfrac{72}{5}&\dfrac{99}{35}\end{pmatrix}$
    $AX=B \ssi X=A^{-1}B$ donc $X=\begin{pmatrix}-1,3\\31,5\\-169,2\end{pmatrix}$ ainsi $\begin{cases} a=-1,3\\b=31,5\\c=-169,2\end{cases}$
    $\quad$
  4. On a donc, pour $x\in [9;16]$, $f(x)=-1,3x^2+31,5x-169,2$.
    $f(x)\pp 10 \ssi f(x)-10\pp 0 \ssi -1,3x^2+31,5-179,2 \pp 0$
    $\Delta=31,5^2-4\times (-1,3)\times (-179,2)=60,41>0$ donc l’équation $-1,3x^2+31,5x-179,2=0$ admet deux solutions qui sont :
    $x_1=\dfrac{-31,5-\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 15,1$ et $x_2=\dfrac{-31,5+\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 9,1$
    De plus $a=-1,3<0$. On obtient donc le tableau de signes suivant :

    L’attente sera inférieure à dix minutes entre $9$h et $9$h$06$ et entre $15$h$06$ et $16$h.
    $\quad$

2nd – devoir commun – janvier 2019

Devoir commun – 2nd

 Janvier 2019

Énoncé

Exercice 1     4,75 points

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$ dont les courbes représentatives sont représentées ci-dessous.

À l’aide du graphique répondre aux questions suivantes. Les réponses seront données avec la précision permise par le graphique.

  1. Déterminer l’image de $-\dfrac{1}{2}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre d’antécédents de $0,5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $g(x)=0$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$ déterminer les extrema de la fonction $g$.
    Vous préciserez leur valeur et en quelles valeurs ils sont atteints.
    $\quad$
  6. a. Construire le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $\quad$
    b. À partir du tableau de variation de la fonction $g$, comparer les nombres $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ d’une part et $g\left(\dfrac{5}{2}\right)$ et $g(3)$ d’autre part.
    $\quad$
  7. Résoudre l’inéquation $g(x) \pp 0$.
    $\quad$
  8. Résoudre l’inéquation $f(x) > g(x)$.
    $\quad$

 

Exercice 2     5,5 points

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$,on considère les points $A(1;4)$, $B(4;1)$ et $C(-1,2)$

  1. Sur le repère ci-dessous, faire une figure, à compléter au fil des questions.
    $\quad$
  2. a. Calculer $AC$
    $\quad$
    b. On donne $AB=\sqrt{18}$ et $BC=\sqrt{26}$.
    Le triangle $ABC$ est-il rectangle? Justifier.
    $\quad$
  3. Donner la définition d’une médiane d’un triangle.
    $\quad$
  4. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $A’$ de $[BC]$.
    $\quad$
  5. Montrer qu’une équation de la droite $(AA’)$ est $y=9-5x$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer par le calcul les coordonnées de $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite d’équation $y = 3-0,5x$ . Vérifier que $d$ est la droite $(BB’)$.
    $\quad$
  7. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites $(AA’)$ et $(BB’)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     3,25 points

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=4$ cm ; $AD=3$ cm et $AE=5$ cm.

On place un point $I$ sur le segment $[AB]$ tel que $AI=x$ et un point $J$ sur le segment $[AE]$ tel que $AJ=5-2x$.

  1. Construire sur votre feuille le patron du tétraèdre $AIJD$ pour $x=2$.
    $\quad$
  2. Déterminer le volume du tétraèdre $AIJD$ quand $x=2$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse dans cette question à la fonction $V$ qui donne le volume du tétraèdre $AIJD$ en fonction de la valeur de $x$.
    La fonction $V$ est donnée par l’expression: $V(x)=-x^2+\dfrac{5}{2}x$
    a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&0,25&0,5&0,75&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. À l’aide du tableau de valeurs, tracer la courbe de la fonction $V$ pour $x \in \left[ 0;\dfrac{5}{2}\right] $ dans le repère ci-dessous:
    $\quad$
    c. En déduire pour quelle valeur de $x$ le volume du tétraèdre $AIJD$ semble maximal.
    $\quad$

Exercice 4     3,75 points

On pose $D(x)=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2$.

  1. Développer et réduire $D(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $D(x)=(2x-7)(10x+10)$.
    $\quad$
  3. En déduire les valeurs de $x$ telles que $D(x)=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D(x)$ pour $x=2$ puis pour $x=-4$.
    $\quad$
  5. Compléter l’algorithme (l’une des deux versions seulement) suivant pour qu’il indique si un nombre $x$ fourni par l’utilisateur est solution ou non de l’inéquation $(2x-7)(10x+10)<0$
    $\quad$
    En langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \ldots\ldots$
    Si $\ldots \ldots$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ $\ldots \ldots$
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = ……
    if ……. :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    ……
    $\quad$

 

Exercice 5     2,75 points

Une balle de tennis a un diamètre de $6,4$ cm.
On place $4$ balles dans une boîte qui a la forme d’un pavé droit de hauteur $6,4$ cm.
La boîte est juste assez grande pour contenir les $4$ balles.

 

Calculer le pourcentage du volume de la boîte occupé par les quatre balles. Arrondir à $0,1 \%$ près.
Justifier soigneusement la réponse. Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

Ex1

  1. $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\approx-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. $f\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 1$.
    $\quad$
  3. On lit sur le graphique que $0,5$ admet deux antécédents par $f$, qui sont environ $0,5$ et environ $2,5$.
    $\quad$
  4. On lit sur le graphique que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions qui sont environ $0$ et environ $3$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$, le minimum de $g$ vaut environ $-1$ et est atteint en $x\approx 2$.
    Le maximum de $g$ vaut environ $0$ et est atteint en $x\approx 0$.
    $\quad$
  6. a. Le tableau de variation de la fonction $g$ est :
    $\quad$
    a. On a : $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}<2$. Or, sur l’intervalle $\left[0;2\right]$, la fonction $g$ est décroissante. Donc $g\left(\dfrac{1}{2}\right)>g\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    De plus : $2<\dfrac{5}{2}<3<\dfrac{7}{2}$.
    Or, sur l’intervalle $\left[2;\dfrac{7}{2}\right]$, la fonction $g$ est croissante, donc $g\left(\dfrac{5}{2}\right)<g\left(3\right)$.
    $\quad$
  7. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S$ de l’inéquation $g(x) \pp 0$ est $S=[-1;3]$.
    $\quad$
  8. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S’$ de l’inéquation $f(x) > g(x)$ est $S’=]0;3[$.
    $\quad$

Ex2

  1. Voir figure ci-dessous.

    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
    &=\sqrt{(-1-1)^2+(2-4)^2}\\
    &=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\\
    &=\sqrt{4+4}\\
    &=\sqrt{8} \end{align*}$.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$ puisqu’on remarque que $\sqrt{8}<\sqrt{18}<\sqrt{26}$.
    D’une part $AB^2+AC^2=\left(\sqrt{18}\right)^2+\left(\sqrt{8}\right)^2=18+8=26$
    D’autre part $BC^2=\left(\sqrt{26}\right)^2=26$
    Donc $BC^2=AB^2+AC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
    $\quad$
  4. D’après la formule des coordonnées du milieu, on a $A’\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$ donc $A’\left(\dfrac{4+(-1)}{2};\dfrac{1+2}{2}\right)$ d’où $A’\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  5. $x_A=1\neq\dfrac{3}{2}=x_{A’}$ donc une équation de $(AA’)$ est du type $y=ax+b$.
    Le coefficient directeur $a$ est donné par
    $\begin{align*} a&=\dfrac{y_{A’}-y_{A}}{x_{A’}-x_A}\\
    &=\dfrac{\dfrac{3}{2}-4}{\dfrac{3}{2}-1} \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\
    &=-\dfrac{5}{2}\times2\\
    &=-5 \end{align*}$.
    Donc $(AA’) : y=-5x+b$.
    Or $A\in(AA’)$ donc $y_A=-5x_A+b$ d’où $4=-5\times1+b$ et donc $b=9$.
    Au final, on a bien $(AA’) : y=-5x+9$.
    $\quad$
  6. a. Comme précédemment, on a :
    $B’\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $B’\left(0;3\right)$.
    $\quad$
    b. Vérifions dans un premier temps que $B\in d$. On a :
    $3-0,5x_B=3-0,5\times4=1=y_B$ donc $B\in d$. De même, vérifions que $B’\in d$.
    On a : $3-0,5x_{B’}=3-0,5\times0=3=y_{B’}$ donc $B’\in d$.
    Au final, $(BB’)=d$. Donc $(BB’)\ :\ y=3-0,5x$.
    $\quad$
  7. D’après les questions précédentes, les droites $(AA’)$ et $(BB’)$ ont des coefficients directeurs différents ($-5\neq-0,5$) : elles sont donc sécantes. Notons alors $G\left(x_G;y_G\right)$ leur point d’intersection.
    $$\begin{align*}G\left(x_G;y_G\right)\in(AA’)\cap(BB’)&\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ y_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\9-5x_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ 6&=4,5x_G \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ \dfrac{4}{3}&=x_G\end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=9-5\times\dfrac{4}{3} \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=\dfrac{7}{3} \end{array}\right.\end{align*}$$
    $\quad$

Ex3

  1. On obtient le patron suivant :
    $\quad$
  2. On considère le triangle $AIJ$ comme base du tétraèdre $AIJD$. Ce triangle est rectangle en $A$ donc son aire $\mathscr{A}$ est donnée par $\mathscr{A}=\dfrac{AI\times AJ}{2}=1$.
    Donc, le volume $V$ du tétraèdre $AIJD$ est donné par $V=\dfrac{\mathscr{A}\times AD}{3}=1$. Quand $x=2$, le volume du tétraèdre vaut $1$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&\phantom{00}0\phantom{00}&0,25&0,5&0,75&\phantom{00}1\phantom{00}&1,25&1,5&1,75&\phantom{00}2\phantom{00}&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\color{red}0&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}1,3125&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,5625&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,3125&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}0\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Ce qui nous permet d’obtenir la représentation graphique suivante :

    $\quad$
    c. Graphiquement, on obtient un volume maximal pour $x=1,25$.
    $\quad$

Ex4

  1. $D(x)=24x^2-78x-21-\left(4x^2-28x+49\right)=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel. Alors : $(2x-7)(10x+10)=20x^2+20x-70x-70=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  3. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $D(x)=0\Leftrightarrow (2x-7)(10x+10)=0\Leftrightarrow 2x-7=0 \text{ ou } 10x+10=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}\\text{ou}\ x=-1$.
    L’ensemble solution $S$ de l’équation $D(x)=0$ est $S=\left\lbrace-1,\dfrac{7}{2}\right\rbrace$.
    $\quad$
  4. $D(2)=(2\times2-7)\times(10\times2+10)=-3\times30=-90$ et $D(-4)=(2\times(-4)-7)\times(10\times(-4)+10)=450$.
    $\quad$
  5. Langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \color{red}{(2x-7)\times(10x+10)}$
    Si $\color{red}{D<0}$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ Afficher « $\color{red}x$ n’est pas solution»
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = (2*x-7)*(10*x+10)
    if D < 0 :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    print(“x n’est pas solution”)
    $\quad$

Ex5

D’après les informations de l’énoncé, la boîte est un parallélépipède rectangle de dimensions $6,4$ cm, $12,8$ cm et $12,8$ cm. Son volume $\mathscr{V}_{\text{boîte}}$ vaut donc $\mathscr{V}_{\text{boîte}}=6,4\times12,8\times12,8=1048,576$ (cm$^3$ !).

Chaque balle a un diamètre de $6,4$ cm, ce qui donne un rayon de $3,2$ cm. Donc, le volume d’une balle  vaut $\dfrac{4}{3}\times\pi\times3,2^3=\dfrac{131,072\pi}{3}$ cm$^3$. Donc le volume des quatre balles vaut $\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}=\dfrac{524,288\pi}{3}$.

Donc $\dfrac{\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}}{\mathscr{V}_{\text{boîte}}}\approx 0,524$. Les quatre balles occupent donc environ $52,4 \%$ de la boîte.

$\quad$

Devoir commun – 1S Février 2019 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     8 points

L’objectif de l’exercice est de comparer deux séries statistiques. Les deux séries indiquent les températures en °C dans deux villes A et B chaque jour d’une même année comportant $365$ jours. Pour la ville B, la moyenne
est $\conj{x_B} = 14, 4$ °C, l’écart-type $\sigma_B \approx 8, 771~5$ et le diagramme en boîte est en-dessous.
Pour la ville A, on a les relevés suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&8&21&24&27\\
\hline
\text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
\hline
\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer la moyenne $\conj{x_A}$ e l’écart-type $\sigma_A$ pour la ville A. Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Avec les données de la villa A, déterminer le premier quartile, la médiane, le troisième quartile que l’on notera respectivement $Q_{1A}$, $M_A$ et $Q_{3A}$. Justifier les réponses.
    $\quad$
  3. Construire le diagramme en boîte de la série A sur le diagramme ci-dessous.

    $\quad$
  4. Comparer et commenter les résultats des deux séries de données (ville A et ville B) en utilisant :
    – le couple moyenne – écart-type;
    – le couple médiane – écart-interquartile.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

On coupe une ficelle d’une longueur de 17 mètres pour entourer deux surfaces :

  • un carré;
  • un domino (rectangle deux fois plus long que large).

Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ?

$\quad$

Exercice 3     7 points

$ABC$ est un triangle. Les points $K, L$ et $M$ sont tels que $\vect{AK}=-\dfrac{3}{2}\vect{AC}$, $\vect{AL}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.

  1. Placer, sur la figure ci-dessous, les points $K$, $L$ et $M$. Pour construire le point $M$, on exprimera $\vect{BM}$ en fonction de $\vect{BC}$.$\quad$
  2. Exprimer le vecteur $\vect{KL}$ en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{KM}=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. Montrer que les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;3)$, $B(5;1)$ et $C(4;5)$.

On utilisera le repère qui suit pour la figure de cet exercice.

  1. On considère la droite $(d)$ d’équation $-x+2y-9=0$.
    a. Représenter la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
    c. Les droites $(d)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles? Justifier.
    $\quad$
  2. a. Calculer les coordonnées du point $E$, milieu de $[AB]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
    $\quad$
    c. On admet qu’une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$ est $6x+5y-35=0$. Montrer que le point $D(0;7)$ est sur cette droite, puis tracer la droite sur le graphique.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées de $G$, centre de gravité du triangle $ABC$.
    $\quad$

Exercice 5     17 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\pg 0$ par $u_n=\dfrac{6n-5}{n+1}$.

  1. Pour tout $n\pg 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. a. Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation présumé de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du sens de variation
  3. Première méthode
    a. Soit $n\in \N$. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite.
    $\quad$
  4. Deuxième méthode
    a. Donner l’expression de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$, telle que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$, puis en déduire celui de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du comportement à l’infini
  5. a. Montrer que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n<6$.
    $\quad$
    b. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ à partir duquel on a $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Argumenter.
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Soit $p$ le trinôme défini par $p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$ sur $[-1;7]$.

  1. Déterminer la forme canonique de $p$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de $p$ sur $[-1;7]$ en justifiant.
    $\quad$
  3. a. En regardant le tableau de variation précédent, pourquoi peut-on être sûr, sans le calculer, que le discriminant de ce polynôme est strictement positif ?
    $\quad$
    b. Calculer ce discriminant et dresser le tableau de signe de $p$.
    $\quad$
  4. Exprimer $\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue, puis donner l’allure de la représentation graphique de la fonction $x\to \left|p(x)\right|$ dans le repère ci-dessous.$\quad$
  5. Notons maintenant $q(x)=\sqrt{-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}}$.
    a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $q$.
    $\quad$
    b. Dresser son tableau de variation en justifiant.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout $x\in [1;5]$, on a $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$.
    $\quad$
    Rappel : Soit $X$ un nombre réel.
    – si $0 \pp X \pp 1$ alors $X^2 \pp X \pp \sqrt{X}$.
    – si $1 \pp X$ alors $\sqrt{X} \pp X \pp X^2$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $\conj{x_A}\approx 14,4$ et $\sigma_A\approx 6,681~3$.
    $\quad$
  2. Voici le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) de la série.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&8&21&24&27\\
    \hline
    \text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
    \hline
    \text{ECC}&20&30&70&127&135&136&325&335&355&365\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $\dfrac{365}{2}=182,5$. La médiane est donc la $183\ieme$ valeur, c’est-à-dire $18$.
    $\dfrac{365}{4}=91,25$. $Q_1$ est donc la $92\ieme$ valeur. Donc $Q_1=9$.
    $\dfrac{365\times 3}{4}=273,75$. $Q_3$ est donc la $274\ieme$ valeur. Donc $Q_3=18$.
    $\quad$
  3. On obtient le diagramme en boîte suivant :
    $\quad$
  4. Si l’on utilise les couples moyenne-écart type, on peut constater que les séries des deux villes ont la même moyenne ce qui signifie que les températures sont similaires en moyenne mais l’écart type de la série A est plus petit que celui de la série B, ce qui signifie que les températures relevées dans la ville A sont plus homogènes autour de la moyenne qui est $14$.
    $\quad$
    Si l’on utilise le couple médiane-écart interquartile, on peut constater que les séries des deux villes ont la même médiane mais l’écart interquartile de la série de la ville A est plus petit ce qui signifie que les température de la villes A sont plus homogènes autour de la médiane qui est $18$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $x$ la longueur de la ficelle permettant de réaliser le carré.
L’aire du carré est donc $\mathscr{A}_1(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}$.

On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Sa longueur est donc $2\ell$ et son périmètre est $2(\ell+2\ell)=6\ell$.
Or son périmètre est également égal à $17-x$.
Par conséquent $6\ell=17-x \ssi \ell=\dfrac{17-x}{6}$.
Ainsi l’aire du rectangle est $\mathscr{A}_2(x)=\dfrac{17-x}{6}\times 2\times \dfrac{17-x}{6}=\dfrac{(17-x)^2}{18}$.

La somme des deux aires est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=\mathscr{A}_1(x)+\mathscr{A}_2(x) \\
&=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(17-x)^2}{18} \\
&=\dfrac{18x^2+16(17-x)^2}{288} \\
&=\dfrac{18x^2+16\left(289-34x+x^2\right)}{288} \\
&=\dfrac{34x^2-544x+4~624}{288}\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $P(x)=34x^2-544x+4~624$.
On a $a=34>0$.
La fonction admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\alpha =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{544}{68}=8$

La somme des deux aires est donc minimale si $x=8$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} 5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0} &\ssi 5\vect{MB}+\vect{MB}+\vect{BC}=\vec{0} \\
    &\ssi 6\vect{MB}=-\vect{BC} \\
    &\ssi \vect{BM}=\dfrac{1}{6}\vect{BC}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{KL}&=\vect{KA}+\vect{AL} \\
    &=-\vect{AK}+\dfrac{3}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{KM}&=\vect{KA}+\vect{AB}+\vect{BM} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}-\dfrac{1}{6}\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{AC}\\
    &=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC} \end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc $\vect{KM}=\dfrac{10}{9}\vect{KL}$
    Les vecteurs $\vect{KM}$ et $\vect{KL}$ sont donc colinéaires.
    Par conséquent les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Si $x=-1$ alors $2y-8=0 \ssi y=5$. Le point de coordonnées $(-1;4)$ appartient à la droite $(d)$.
    Si $x=3$ alors $2y-12=0 \ssi y=6$. Le point de coordonnées $(3;6)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{AC}(4-1;5-3)$ soit $\vect{AC}(3;2)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $\vect{AM}(x-1;y-3)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(d)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
    $\ssi 2(x-1)-3(y-3)=0$
    $\ssi 2x-2-3y+9=0$
    $\ssi 2x-3y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est donc $2x-3y+7=0$.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(-2;-1)$ et un vecteur directeur de $(AC)$ est $\vect{AC}(3;2)$.
    $-2\times 2-(-1)\times 3=-4+3=-1\neq 0$
    $\vec{u}$ et $\vect{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Les droites $(d)$ et $(AC)$ ne sont, par conséquent, pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $E$ est le milieu de $[AB]$.
    Donc $x_E=\dfrac{1+5}{2}=3$ et $y_E=\dfrac{3+1}{2}=2$.
    Les coordonnées du point $E$ sont $(3;2)$.
    $\quad$
    b. La médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$ est la droite $(CE)$.
    On a $\vect{CE}(3-4;2-5)$ soit $\vect{CE}(-1;-3)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a $\vect{CM}(x-4;y-5)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(CE)$
    $\ssi$ $\vect{CM}$ et $\vect{CE}$ sont colinéaires
    $\ssi$ $-3(x-4)-(-1)(y-5)=0$
    $\ssi$ $-3x+12+y-5=0$
    $\ssi$ $-3x+y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est donc $-3x+y+7=0$.
    $\quad$
    c. $3\times 0+5\times 7-35=0+35-35=0$.
    Donc $D(0;7)$ appartient à la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$. Elle passe donc par les points $D$ et $B$.
    $\quad$
    d. Le centre de gravité $G(x;y)$ du triangle $ABC$ est le point d’intersection des médianes de ce triangle.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} -3x+y+7=0\\6x+5y-35=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+5(3x-7)-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+15x-35-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\21x=70 \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\x=\dfrac{10}{3} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\times \dfrac{10}{3}-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{10}{3};3\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Pour tout $n\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{6(n+1)-5}{n+1+1}\\
    &=\dfrac{6n+6-5}{n+2}\\
    &=\dfrac{6n+1}{n+2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $u_0=-5$, $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{7}{3}$, $u_3=\dfrac{13}{4}$ et $u_4=\dfrac{19}{5}$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{6n+1}{n+2}-\dfrac{6n-5}{n+1} \\
    &=\dfrac{(6n+1)(n+1)-(6n-5)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{6n^2+6n+n+1-\left(6n^2+12n-5n-10\right)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $n+1>0$ et $n+2>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a $f(x)=\dfrac{6x-5}{x+1}$.
    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. $f(x)=\dfrac{6x+6-6-5}{x+1}=\dfrac{6(x+1)-11}{x+1}=6-\dfrac{11}{x+1}$.
    Donc $a=6$ et $b=-11$
    $\quad$
    c. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $0\pp u< v$
    $\begin{align*} 0\pp u<v &\ssi 1 \pp u+1<v+1 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u+1}>\dfrac{1}{v+1} \\
    &\ssi -\dfrac{11}{u+1}<-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi 6-\dfrac{11}{u+1}<6-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi f(u)<f(v)\end{align*}$
    La fonction $u$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$.
    Puisque la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(n)<f(n+1)$ soit $u_n<u_{n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} u_n-6&=f(n)-6\\
    &=6-\dfrac{11}{n+1}-6\\
    &=-\dfrac{11}{n+1} \end{align*}$
    $n$ est un entier naturel donc $n+1>0$.
    Par conséquent $u_n-6<0$ soit $u_n<6$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $u_{219}=5,95$ et $u_{220}=\dfrac{1~315}{221}>5,95$.
    C’est donc à partir de $n=220$ que $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$.
    Plus la valeur de $n$ augmente plus la valeur de $u_n$ se rapproche de $6$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}=6$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;7]$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16} \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+9-9+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left((x-3)^2-4\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}(x-3)^2+\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $a=-\dfrac{1}{16}<0$. La fonction $p$ est donc croissante puis décroissante.
    Son maximum est atteint en $\alpha=3$ et vaut $\dfrac{1}{4}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $p$ est croissante sur l’intervalle $[-1;3]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    De même la fonction $p$ est décroissante sur l’intervalle $[3;7]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    Le polynôme du second degré $p(x)$ change donc de signe. Son discriminant est donc strictement positif.
    $\quad$
    b. $\Delta = \left(\dfrac{3}{8}\right)^2-4\times \left(-\dfrac{1}{16}\right)\times \left(-\dfrac{5}{16}\right)=\dfrac{1}{16}>0$
    Les deux solutions sont :
    $x_1=\dfrac{-\dfrac{3}{8}-\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=5$ et $x_2=\dfrac{-\dfrac{3}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=1$
    On sait que $a=-\dfrac{1}{16}<0$. Le tableau de signes de $p(x)$ est donc :
  4. Sur $]-1;1[\cup]5;7[$ on a $p(x)<0$ donc $\left|p(x)\right|=-p(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{5}{16}$.
    Sur $]1;5[$ on a $p(x)>0$ donc  $\left|p(x)\right|=p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$
    On obtient donc la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  5. a. L’ensemble de définition de la fonction $q$ est $D_q=[1;5]$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ on a $p(x)\pg 0$.
    Les fonction $p$ et $\sqrt{p}$ ont donc le même sens de variation.
    On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a, d’après le tableau de variation $0\pp q(x) \pp \dfrac{1}{2}<1$.
    Donc $\left(q(x)\right)^2 \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    Soit $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    $\quad$