2nd – Exercices – Aires et volumes

Aires et volumes

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Recopier et compléter les égalités suivantes :

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = \ldots ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = \ldots~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = \ldots~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = \ldots ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000 \ldots$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000\ldots$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = \ldots \text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = \ldots \text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = \ldots \text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = \ldots \text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = 32~000 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = 0,005~7 ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = 3~500~000~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = 0,072~5~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = 0,085 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = 200 ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000~ \text{cm}^2$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000~\text{dam}^2$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = 5~765~000 ~\text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = 25~700~\text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = 570~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = 0,007~2 ~\text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = 5,7 ~\text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = 4~750~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $\mathscr{S}$ une sphère de entre $O$ et de rayon $4$ cm.

Calculer son aire et son volume (valeurs exactes et arrondies à $10^{-1}$ près).

$\quad$

Correction Exercice 2

Aire : $4\pi \times R^2 = 4 \pi \times 4^2 $ $= 64\pi \approx 201,1 \text{cm}^2$

Volume : $\dfrac{4}{3} \pi \times R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 4^3 $ $= \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1 \text{cm}^3$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 3

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.
On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.
$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :
$\begin{align*} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\
& = 100\\
SI &= 10
\end{align*}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A} &= \dfrac{SI \times BC}{2} \\
& = \dfrac{10 \times 12}{2} \\
& = 60 \text{m}^2\end{align*}$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.

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$\quad$

Exercice 4

Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon $3$ cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est $2$ fois plus grand.

  1. a. Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. En déduire que le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
    $\quad$
  2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
    Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à $2$ cm de son centre.
    Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la tête et du corps? Arrondir le résultat au cm$^2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un récipient cylindrique de rayon $2$ cm et de hauteur $4,5$ cm, on verse de l’eau jusqu’à atteindre une hauteur de $3$ cm. On pose dans ce verre une bille métallique de $1$ cm de rayon.

  1. Quelle est la hauteur d’eau dans le récipient (arrondie au millimètre) après immersion d’une bille?
    $\quad$
  2. Combien de billes peut-on mettre dans le récipient sans le faire déborder?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le volume de la bille est $V_B=\dfrac{4}{3}\pi\times 1^3=\dfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer la hauteur $h$ que ce volume représente dans le récipient.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $2^2\pi\times h=\dfrac{4}{3}\pi \ssi 4 h=\dfrac{4}{3} \ssi h=\dfrac{1}{3}$
    Après immersion de la bille, la hauteur d’eau est $3+\dfrac{1}{3}\approx 3,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume d’eau du récipient est $V_R=2^2\times \pi\times 4,5=18\pi$ cm$^3$.
    Le volume d’eau est $V_E=2^2\times 3\pi=12\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} n\times V_B\pp V_R-V_E &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n \pp 18\pi-12\pi \\
    &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n\pp 6\pi \\
    &\ssi n\pp \dfrac{6}{~~\dfrac{4}{3}~~} \\
    &\ssi n\pp 6\times \dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n \pp 4,5\end{align*}$
    On peut donc mettre au maximum $4$ billes dans le récipient sans le faire déborder.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Enzo et Lucie effectuent des calculs sur une même sphère. Enzo calcule l’aire (en cm$^2$) et Lucie le volume (en cm$^3$). Leurs résultats sont égaux.
Quel est le rayon de la sphère?

$\quad$

Correction Exercice 6

Le volume d’une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times R^3$.
L’aire d’une sphère de rayon $R$ est $A=4\pi\R^2$.

On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} V=A&\ssi \dfrac{4}{3}\pi \times R^3=4\pi \R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3=R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3-R^2=0\\
&\ssi R^2\left(\dfrac{1}{3}R-1\right)=0\end{align*}$

Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $R^2=0 \ssi R=0$ ou $\dfrac{1}{3}R-1=0 \ssi \dfrac{1}{3}R=1\ssi R=3$.

Le rayon de la sphère est égal à $3$ cm.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Aire du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Aire du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=24,5\pi$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+24,5\pi=55,125\pi$ m$^3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit avec comme base le triangle $ABC$ isocèle en $C$.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.

Madame Duchemin souhaite louer son studio.
Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de $20$ € par m$^2$ de surface habitable.
Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de $1,80$ m (article R111-2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure.
Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à $700$ €.
Peut-elle louer son studio à ce prix ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

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2nd – Exercices – Projeté orthogonal

Projeté orthogonal

Exercices corrigés – 2nd

 

Exercice 1

On appelle $A’$, $B’$ et $C’$ les projetés orthogonaux respectifs des points $A$, $B$ et $C$ sur la droite $\Delta$.

Représenter ces trois points sur la figure ci-dessous.

 

$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient la figure suivante :

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$\quad$

Exercice 2

On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que l’angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

Le cercle $\mathscr{C}$ de diamètre $[AB]$ coupe le segment $[AC]$ en $B’$.

  1. Montrer que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $C’$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Montrer que $AC’=AB’$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’on a également $BB’=CC’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Le triangle $ABB’$ est inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ et le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. Par conséquent le triangle $ABB’$ est rectangle en $B’$.
    Ainsi les droite $(BB’)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires et le point $B’$ appartient à la droite $(AC)$. Cela signifie donc que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $A’$ le milieu du segment $[BC]$.
    Le triangle $ABC$ étant isocèle en $A$, la droite $(AA’)$ est un axe de symétrie pour ce triangle.
    L’image du point $B$ par cette symétrie est le point $C$.
    Une symétrie axiale conserve les angles. Donc l’image du point $B’$ est le point $C’$ par cette symétrie.
    Une symétrie centrale conserve les longueurs et le point $A$ est sa propre image. Donc $AB’=AC’$.
    $\quad$
  3. Pour répondre à cette question, on peut utiliser les mêmes arguments qu’à la question précédente ou appliquer le théorème de Pythagore (ce que nous allons faire).
    Dans le triangle $BCC’$ rectangle en $C’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AC’^2+CC’^2$
    Dans le triangle $CBB’$ rectangle en $B’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AB^2=AB’^2+BB’^2$
    Le triangle $ABC$ est iscole en $A$ donc $AB=AC$.
    Ainsi $AC’^2+CC’^2=AB’^2+BB’^2$.
    Puisque $AB’=AC’$ on a, par conséquent, $CC’^2=BB’^2$.
    Or $CC’$ et $BB’$ sont des longueurs. Donc $CC’=BB’$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un triangle équilatéral $ABC$ et un point $M$ à l’intérieur du triangle. On appelle $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les projetés orthogonaux du point $M$ sur les côtés du triangle $ABC$.
Montrer, en calculant des aires, que la somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est constante.

$\quad$

Correction Exercice 3

 

L’aire du triangle $MBC$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{MM_1\times BC}{2}$.
L’aire du triangle $MAB$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{MM_2\times AB}{2}$.
L’aire du triangle $MAC$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{MM_3\times AC}{2}$.
On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $ABC$.

Par conséquent $\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\mathscr{A}$
$\ssi \dfrac{MM_1\times BC}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AC}{2}=\mathscr{A}$
Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc $AB=BC=AC$.
On en déduit donc que :
$\dfrac{MM_1\times AB}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AB}{2}=\mathscr{A}$
$\ssi \left(MM_1+MM_2+MM_3\right)AB=2\mathscr{A}$
$\ssi MM_1+MM_2+MM_3=\dfrac{2\mathscr{A}}{AB}$

La somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est bien constante.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.
Déterminer la distance du point $A$ au côté $[BC]$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A’$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2 \\
&=36+64 \\
&=100\end{align*}$
Par conséquent $BC=10$.

On peut calculer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ de deux façons:
$\mathscr{A} = \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=24$ cm$^2$
$\mathscr{A} = \dfrac{AA’\times BC}{2} \ssi 24=\dfrac{AA’\times 10}{2} \ssi AA’=\dfrac{24}{5}$

La distance du point $A$ au côté $[BC]$ est donc égale à $\dfrac{24}{5}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère une droite $d$, un point $A$ appartenant à cette droite et un point $B$ n’appartenant pas à celle-ci. On appelle $O$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $d$.
Les points $A’$ et $B’$ sont respectivement les symétriques des points $A$ et $B$ par rapport à $O$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABA’B’$?

$\quad$

Correction Exercice 5

Le point $O$ est donc le milieu des segments $[AA’]$ et $[BB’]$.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ se coupend donc en leur milieu.
Par conséquent $ABA’B’$ est un parallélogramme.
$O$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la  droite $(AA’)$.
Cela signifie donc que les droites $(OB)$ et $(AA’)$ sont perpendiculaires.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ sont perpendiculaires. C’est donc un losange.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

autre formule pour calculer l’aire d’un triangle

On considère un triangle quelconque $ABC$. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$.
On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.

  1. Exprimer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ en prenant comme base le côté $[BC]$.
    $\quad$
  2. En déduire que $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin\widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. Application : Déterminer un arrondi à $10^{-2}$ près de l’aire du triangle $ABC$ si $a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times BC}{2}=\dfrac{AH\times a}{2}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi \sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{b} \ssi AH=b\times \sin\widehat{ACB}$
    Donc $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times a}{2}=\dfrac{AB\times \sin \widehat{ACB}}{2}$
    $\quad$
  3. Si$a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    Alors
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{4\times 6\times \sin  60}{2} \\
    &=12\sin 60  \\
    &=12\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
    &=6\sqrt{3} \\
    &\approx 10,39\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Formule d’Al Kashi

On considère un triangle quelconque $ABC$ tel que $\widehat{ACB}$ soit aigu. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

  1. À l’aide de relations trigonométriques, exprimer $HA$ et $HC$ en fonction de $AC$.
    $\quad$
  2. En déduire une expression de $BH$ en fonction de $BC$, $AC$ et $\cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. En déduire que $AB^2=AC^2+BC^2-2\times AC\times BC\times \cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  4. Application : Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$° déterminer la longueur du segment $[AB]$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi AH=AC\sin \widehat{ACB}$
    $\cos \widehat{ACB}=\dfrac{HC}{AC} \ssi HC=AC\cos \widehat{ACB}$
    $\quad$
  2. Si $H$ appartient au segment $[BC]$ alors $BH=BC-HC=BC-AC\cos \widehat{ACB}$
    Si $H$ n’appartient pas au segment $[BC]$ (l’angle $\widehat{ABC}$ est alors obtus) alors $BH=HC-BC=AC\cos \widehat{ACB}-BC$
    $\quad$
    On aura par la suite besoin de $BH^2$ qui dans les deux cas vaut $\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2$.
    $\quad$
  3. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$.
    $\begin{align*} AB^2&=BH^2+HA^2 \\
    &=\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2+\left(AC\sin \widehat{ACB}\right)^2 \\
    &=BC^2+AC^2\cos^2 \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}+AC^2\times \sin^2 \widehat{ACB} \\
    &=BC^2+AC^2\times \left(\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}\right)-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\qquad (*) \\
    &=BC^2+AC^2-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\end{align*}$
    $(*)$ car $\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}=1$ (propriété du cours).
    $\quad$
  4. Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    alors $AB^2=8^2+6^2-2\times 8\times 6\times \cos 60= 52$
    Donc $AB=\sqrt{52}$
    $\quad$

 

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$\quad$

2nd – Exercices – Trigonométrie

Trigonométrie

Exercices corrigés – 2nd

Toutes les longueurs seront arrondies au centième près et les angles au degré près.

Exercice 1

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $AB=3$ cm et $\widehat{ABC}=51$°.

Calculer $AC$, $BC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB} \ssi AC=AB\times \tan \widehat{ABC}\ssi AC = 3 \tan 51$
Donc $AC \approx 3,70$ cm.

$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi BC=\dfrac{AB}{\cos \widehat{ABC}}\ssi BC=\dfrac{3}{\cos 51}$
Donc $BC\approx 4,77$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB}=180-90-51=39$°

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $BC=17$ cm et que
$\widehat{ABC}=23$°.

Calculer $AB$, $AC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi AB=BC\cos \widehat{ABC} \ssi AB=17\cos 23$
Donc $AB\approx 15,65$ cm.

$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC} \ssi AC=BC\sin \widehat{ABC} \ssi AC=17\sin 23$
Donc $AC \approx 6,64$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB} = 180-90-23=67$°

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=30$ cm et $BC=25$ cm.

Calculer $AB$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AB^2&=BC^2+AC^2 \\
&=625+900 \\
&=1~525\end{align*}$
Donc $AB=\sqrt{1~525}=\sqrt{25\times 61}=5\sqrt{61} \approx 39,05$ cm.

$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{30}{25}=1,2$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 50$°.

$\tan \widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$.
Donc $\widehat{BAC}\approx 40$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$. On sait que $\sin \widehat{BAC}=0,2$.

Déterminer la valeur de $\cos \widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{BAC}+\sin^2 \widehat{BAC}=1 \\
\ssi &  ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,2^2=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,04=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}=0,96\end{align*}$

L’angle $\widehat{BAC}$ est aigu. Donc $\cos \widehat{BAC}\pg 0$.
Ainsi $\cos \widehat{BAC}=\sqrt{0,96}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait que $\cos \widehat{ABC}=0,5$.

Déterminer la valeur de $\sin \widehat{ABC}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,5^2+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,25+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~\sin^2 \widehat{ABC}=0,75\end{align*}$

L’angle $\widehat{ABC}$ est aigu. Donc $\sin \widehat{ABC}\pg 0$.
Ainsi $\sin \widehat{ABC}=\sqrt{0,75}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $BC=2CA$.

Déterminer la mesure de $\widehat{CBA}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC}{2AC}=\dfrac{1}{2}$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 27$°.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $\alpha$.

Montrer que $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $a$ la longueur du côté opposé à l’angle $\alpha$, $b$ la longueur du côté adjacent à l’angle $\alpha$ et $h$ l’hypoténuse.

Ainsi $\cos \alpha=\dfrac{b}{h}$, $\sin \alpha=\dfrac{a}{h}$ et $\tan \alpha=\dfrac{b}{a}$.

première démonstration :

$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{b}{h}\times \dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{a}=\tan \alpha$

deuxième démonstration :

$\tan \alpha=\dfrac{b}{a}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la figure suivante :

On sait que $OA=8$ cm et que le point $O$ appartient au segment $[AD]$.

Déterminer l’aire du quadrilatère $ABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 8

Nous allons calculer les aires des trois triangles rectangles. Pour cela, nous avons besoin de déterminer les longueurs $AB$, $OB$, $BC$, $OC$, $CD$ et $OD$.

Les trois angles bleus, d’après la figure ont la même mesure et l’angle $\widehat{AOD}$ est plat. Donc chacun des angles bleus mesure $\dfrac{180}{3}=60$°.
Du fait de la propriété concernant les angles opposés par le sommet, les angles $\widehat{AOB}$,$\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ mesurent donc également $60$°.

Ainsi :

Dans le triangle $AOB$ rectangle en $B$
$\sin \widehat{AOB}=\dfrac{AB}{OA} \ssi AB=OA\sin \widehat{AOB}\ssi AB=8\sin 60=4\sqrt{3}$
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA} \ssi OB=OA\cos \widehat{AOB}\ssi OB=8\cos 60=4$

Dans le triangle $BOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{BOC}=\dfrac{BC}{OB} \ssi BC=OB\sin \widehat{BOC}\ssi BC=4\sin 60=2\sqrt{3}$
$\cos \widehat{BOC}=\dfrac{OC}{OB} \ssi OC=OB\cos\widehat{BOC}\ssi OC=4\cos 60=2$

Dans le triangle $DOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{COD}=\dfrac{CD}{OC} \ssi CD=OC\sin \widehat{COD}\ssi CD=2\sin 60=\sqrt{3}$
$\cos \widehat{COD}=\dfrac{OD}{OC} \ssi OD=OC\cos \widehat{COD}\ssi OD=2\cos 60=1$

L’aire du triangle $AOB$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{OB\times AB}{2}=\dfrac{4\times 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $BOC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{BC\times OC}{2}=\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $COD$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{CD\times OD}{2}=\dfrac{1\times \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$

L’aire du quadrilatère $ABCD$ est donc $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

[collapse]

$\quad$

2nd – Cours – Calcul numérique et bases de calcul littéral

Calcul numérique et bases de calcul littéral

I Calcul fractionnaire

Définition 1
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ avec $b$ non nul. L’écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$.
Une fraction est une écriture fractionnaire dans laquelle $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
$a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont des écritures fractionnaires tandis que $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{5}$ sont des fractions.

Propriété 1 (Somme)
Pour additionner ou soustraire deux écritures fractionnaires, celles-ci doivent avoir le même dénominateur.
On considère deux réels $a$ et $b$ et un réel non nul $c$.
On a alors $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{4+5}{7}=\dfrac{9}{7}$ $\qquad$ $\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Propriété 2(Multiplication par un réel)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ non nul.
On a alors $c\times \dfrac{a}{b} =\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{a\times c}{b}$.

$\quad$

Exemple : $4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4\times 3}{5}=\dfrac{12}{5}$

Propriété 3(Produit)
On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$

Propriété 4 (Simplification)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ et $c$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{3}$ $\qquad$ $4=\dfrac{4\times 5}{5}=\dfrac{20}{5}$

Remarque : C’est cette même propriété qu’on va utiliser pour ajouter ou soustraire deux écritures fractionnaires qui n’ont pas le même dénominateur.

Exemple : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}-\dfrac{5\times 3}{4\times 3}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{8-15}{12}=-\dfrac{7}{12}$

Définition 2
On considère un nombre réel non nul $a$. On appelle inverse du nombre $a$ le nombre $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples : L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et l’inverse de $0,7$ est $\dfrac{1}{0,7}$.

Attention : Ne pas confondre inverse et opposé.
L’inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2}$ alors que l’opposé de $2$ est $-2$.

Propriété 5 (Inverse)
On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$.
L’inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{1}{~~\dfrac{b}{a}~~}=\dfrac{b}{a}$.

$\quad$

Exemple : L’inverse de $\dfrac{3}{11}$ est $\dfrac{11}{3}$.

Propriété 6 (quotient)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{~~\dfrac{a}{b}~~}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{~~\dfrac{2}{7}~~}{\dfrac{3}{13}}=\dfrac{2}{7}\times \dfrac{13}{3}=\dfrac{26}{21}$

Toutes les règles de calculs vues les années précédentes s’appliquent également sur les écritures fractionnaires en particulier celles portant sur les priorités opératoires.

Exemple :
 $\begin{align*} \dfrac{2+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}}&=\dfrac{\dfrac{2\times 7}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1\times 5}{3\times 5}-\dfrac{4\times 3}{5\times 3}}\\
&=\dfrac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{5}{15}-\dfrac{12}{15}}\\
&=\dfrac{~~\dfrac{18}{7}~~}{-\dfrac{7}{15}}\\
&=-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{15}{7}\\
&=-\dfrac{270}{49}\end{align*}$

Propriété 7 (Égalité)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ssi a\times d=b\times c$ (égalité des produits en croix)

$\quad$

Remarque : Cette propriété va être utile pour résoudre certaines équations.

Propriété 8
On considère un nombre positif $a$ et un nombre réel strictement positif $b$.
On a alors $-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}$

Remarque : Dans la pratique, on évitera de garder dans les calculs des écritures fractionnaires du type $\dfrac{a}{-b}$.

Exemple : $-\dfrac{3}{5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{3}{-5}$
$\quad$

$\quad$

II Puissances

Définition 3
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On définit $a^n$, et on lit « $a$ puissance $n$» ou «$a$ exposant $n$», le nombre $\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs }}$.

$\quad$

Exemples : $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10~000$ ; $2^3=2\times 2\times 2=8$

Remarque : Pour tout réel $a$ on a donc $a^1=a$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on a $0^n=0$.

Convention : Pour tout réel $a$ non nul on note $a^0=1$.

Définition 4
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On a alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$\quad$

Exemples : $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$ ; $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}$

Remarque : Le signe « $-$» présent dans l’exposant ne présage en rien le signe de $a^{-n}$. Celui-ci va dépendre du signe de $a$ et de la parité de $n$.

Ainsi :

  • $3^{-5}$ est positif;
  • $(-2)^{-4}$ est également positif;
  • $(-5)^{-3}$ est négatif.

Propriété 9
On considère un nombre réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$.

  • $a^m\times a^n=a^{m+p}$
  • $\left(a^n\right)^m=\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
  • $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$\quad$

Exemples :

  • $5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$
  • $2^3\times 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
  • $\left(3^2\right)^4=3^{2\times 4}=3^8$
  • $\left(2^5\right)^{-3}=2^{5\times (-3)}=2^{-15}=\dfrac{1}{2^{15}}$
  • $\dfrac{4^2}{4^5}=4^{2-5}=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}$  $\dfrac{3^{4}}{3^{-5}}=3^{4-(-5)}=3^{4+5}=3^9$
  • $\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$$\dfrac{1}{3^{-2}}=3^{-(-2)}=3^2$

Propriété 10
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ et un entier relatif $n$.

  • $a^n\times b^n=(a\times b)^n$
  • $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

$\quad$

Exemples :

  • $2^4\times 5^4=(2\times 5)^4=10^4$
  • $\dfrac{12^5}{16^5}=\left(\dfrac{12}{16}\right)^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$

$\quad$

Remarque : Il faut connaître par cœur :

  • Les puissances de $2$ d’exposants $1$ à $10$;
  • Les carrés des entiers naturels compris entre $1$ et $16$.

$\quad$

Définition 5
On dit qu’on a donné l’écriture scientifique d’un nombre quand on l’a écrit sous la forme $a\times 10^{n}$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\pp |a|<10$ et $n$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemples : $105=1,05\times 10^2$ \qquad $0,000~02=2\times 10^{-5}$ \qquad $-2~365=-2,365\times 10^3$

$\quad$

III Racine carrée d’un nombre positif

1. Définition

Définition 6
On considère un nombre réel positif $a$. Il existe un unique réel positif dont le carré est égal à $a$.
Ce nombre est appelé la racine carrée de $\boldsymbol{a}$ et on le note $\sqrt{a}$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique la définition, un nombre négatif ne possède pas de racine carrée.

Propriété 11
On considère un nombre réel positif $a$. On a alors : $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$

$\quad$

Exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

Propriété 12
Pour tout nombre réel $a$ on a $\sqrt{a^2}=|a|$

$\quad$

Exemples : $\sqrt{6^2}=6$ et $\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$.

2. Opérations sur les racines carrées

Propriété 13
On considère deux nombres réels positifs $a$ et $b$. On a alors :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Si de plus $b>0$ on a alors :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$\quad$

Preuve Propriété 13

Montrons que $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ est positif en tant que produit de facteurs positifs.
$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2\times\left(\sqrt{b}\right)^2=a\times b$.
Par définition, il existe une unique nombre positif, $\sqrt{a\times b}$ dont le carré est $a\times b$.
Ainsi $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Il faut bien sûr comprendre que les égalités sont vraies dans les 2 sens.

Exemples :

  • $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
    $\quad$
  • $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{27}{75}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
    $\quad$

Attention : Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs on a, en général, $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemples :

  •  $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ et $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. On a donc $\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}$.
    $\quad$
  • $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ et $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$. On a donc $\sqrt{4-1}\neq \sqrt{4}-\sqrt{1}$.
    $\quad$

Plus précisément on a :

Propriété 14
On considère deux réels strictement positifs $a$ et $b$. On a alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\quad$

Preuve Propriété 14

D’une part :
$$\begin{align*}\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &= a+b-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\
&= a+b-\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{a}\times \sqrt{b}+\sqrt{b}\times \sqrt{a}+\sqrt{b}^2\right) \\
&=a+b-\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)\\
&=a+b-a-2\sqrt{ab}-b\\
&=-2\sqrt{ab} \\
&<0\end{align*}$$

D’autre part, en utilisant l’identité remarquable vue en troisième $x^2-y^2=(x-y)\times (x+y)$ avec $x=\sqrt{a+b}$ et $y=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ on obtient :
$$\begin{align*}
\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &=\left(\left(\sqrt{a+b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times \left(\left(\sqrt{a+b}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right) \\
&=\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)
\end{align*}$$

On a donc montré que $\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$.
Mais, en tant que somme de termes positifs, on sait que $\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Cela signifie donc que $\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$ soit $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

[collapse]

$\quad$

Propriété 15
On considère un nombre réel positif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $(a;n)\neq (0;0)$. On a alors $$\left(\sqrt{a}\right)^n =\sqrt{a^n}$$

$\quad$

Exemple : $\sqrt{2^3}=\left(\sqrt{2}\right)^3$.

$\quad$

IV Bases de calcul littéral

1. Développer et réduire

Définition 7

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes « semblables » (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :
$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 8
Factoriser
 une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-2x+5)$

$\quad$

4. Équations du premier degré

Définition 9
Deux équations sont dites équivalentes si elles sont définies sur le même ensemble et si elles ont le même ensemble de solutions.
Si deux équations $A(x)$ et $B(x)$ sont équivalents on écrit alors $A(x)\ssi B(x)$.

$\quad$

Exemples de résolution d’équations du premier degré :

  • $2x=7 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ \qquad La solution de l’équation est $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  • $-x=3 \ssi x=-3$ \qquad La solution de l’équation est $-3$
    $\quad$
  • $\dfrac{3}{2}x=4 \ssi x=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~} \ssi x=4\times \dfrac{2}{3} \ssi x=\dfrac{8}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$
  • $4x-5=3 \ssi 4x=3+5 \ssi 4x=8 \ssi x=2$ \qquad La solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
  • $3x+1=2x \ssi 1=2x-3x \ssi 1=-x \ssi -1=x$ \qquad La solution de l’équation est $-1$.
    $\quad$
  • $8x+3=-2x-1 \ssi 8x+2x+3=-1 \ssi 10x+3=-1 \ssi 10x=-1-3 \ssi 10x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{10} \ssi x=-\dfrac{2}{5}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{2}{5}$.

$\quad$

5. Équations produit nul

Définition 10
On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

$\quad$

V Un peu d’histoire

Héron d’Alexandrie, grec du premier siècle, a fourni l’une des plus anciennes méthodes permettant de fournir une approximation des racines carrées. Celle-ci s’appuie sur des considérations géométrique pour fournir une valeur approchée de la racine carrée cherchée.

$\quad$

2nd – Cours – Ensembles de nombres et intervalles

Ensembles de nombres et intervalles

I Ensembles de nombres

Depuis le début de la scolarité en mathématiques, différents types de nombres ont été manipulés sans forcément donner un nom aux ensembles utilisés.
Voici donc les différents ensembles de nombres à notre disposition :

  • Les entiers naturels
    Il contient tous les nombres entiers positifs ou nuls : $0, 1, 2, \ldots, 300, \ldots$
    Cet ensemble contient une infinité de valeurs. On le note $\N$.
    $\quad$
  • Les entiers relatifs
    Cet ensemble contient tous les entiers naturels ainsi que leurs opposés. C’est donc l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : $\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$
    On le note $\Z$.
    $\quad$
  • Les nombres décimaux
    Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif et d’une puissance de $10$.
    Par exemple : $-2=\dfrac{-2}{1}$ ; $13=\dfrac{13}{1}$ ; $-12,7=\dfrac{-127}{10}$ ; $0,003=\dfrac{3}{1~000}$ sont des nombres décimaux.
    On note cet ensemble $\D$.
    $\quad$
  • Les nombres rationnels
    Cet ensemble contient tous les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
    Il contient donc tous les nombres décimaux.
    Par exemple : $-\dfrac{5}{7}$ ; $-12=\dfrac{-12}{1}$ ; $3=\dfrac{3}{1}$ ; $\dfrac{135}{17}$ sont des nombres rationnels.
    Cet ensemble est noté $\Q$.

$\quad$

Définition 1
On considère une droite graduée munie d’une origine $O$.
L’ensemble des abscisses des points de cette droite est appelé l’ensemble des nombres réels.
On le note $\R$.

$\quad$

Remarques :

  • Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux ni rationnels.
  • On dit qu’un nombre est irrationnel s’il n’est pas rationnel.

$\quad$

Propriété 1
L’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres décimaux qui est contenu dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On note : $$\N\subset \Z \subset \D\subset \Q\subset \R$$

 

$\quad$

Propriété 2

Le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Preuve Propriété 2

Pour montrer cette propriété, nous allons raisonner par l’absurde, c’est-à-dire supposer une propriété vraie et montrer qu’on obtient une contradiction.

Supposons que $\dfrac{1}{3}\in \D$. Il existe donc un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$.
Cela signifie donc, en utilisant les produits en croix, que $10^{n}=3a$.
$3a$ est un multiple de $3$. Par conséquent $10^n=3a$ est également un multiple de $3$.
Donc $3$ divise $10$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Cela signifie par conséquent que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercices sur les ensembles de nombres

$\quad$

II Intervalles

Définition 2
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $\boldsymbol{]a;b[}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $\boldsymbol{[a;b]}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x \pp b$.

$\quad$

Exemples :

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarques :

  • On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
    $\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x < b$
    $\quad$ $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \pp b$
  • La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.

$\quad$

Exemple : $[-2;5[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

$\quad$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \pp x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit « plus l’infini », et $-\infty$, qui se lit « moins l’infini ».

Définition 3
Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\pp a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \pp x$.

$\quad$

Remarque 1: L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

Exemples :

  • l’intervalle $]-\infty;8]$ est l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à $8$;
  • l’intervalle $[3;+\infty[$ est l’ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $3$;

Remarque 2: On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (où $\cup$ signifie « union »)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

Voici des exemples illustrant les différents cas de figure qu’on peut rencontrer :

Définition 4
On considère deux intervalles $I$ et $J$.

  • $I\cup J$ (on lit \og $I$ union $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’intervalle $I$ ou à l’intervalle $J$ (éventuellement aux deux).
  • $I\cap J$ (on lit \og $I$ inter $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à l’intervalle $I$ et à l’intervalle $J$.

$\quad$

Exemples :

  • $[-2;6]\cup[3;8] = [-2;8]$;
  • $[-2;6]\cap[3;8] = [3;6]$;
  • $[-4;1]\cap[2;3] = \emptyset$ : les deux intervalles n’ont aucun nombres en commun.

Propriété 3
On considère deux réels $a$ et $b$.

  • $a<b$ est équivalent à $a-b<0$
  • $a>b$ est équivalent à $a-b>0$

$\quad$

Remarque : On peut écrire les mêmes inégalités en utilisant les symboles $\pp$ et $\pg$.

Ainsi si on veut déterminer lequel des deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand on peut étudier le signe de $a-b$.

Définition 5
Encadrer un nombre $x$ revient à déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a\pp x\pp b$.
Le nombre $b-a$ est appelé l’amplitude de cet encadrement.

$\quad$

Exemple : $1,41 \pp \sqrt{2} \pp 1,42$. L’amplitude de cet encadrement de $\sqrt{2}$ est $1,42-1,41=0,01$.

Définition 6
On considère un entier naturel $n$ et nombre réel $x$.
Fournir un encadrement à $10^{-n}$ près du nombre $x$ consiste à donner un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ contenant le réel $x$.

$\quad$

Exemple : $3,141 \pp \pi \pp 3,142$ est un encadrement à $10^{-3}$ près de $\pi$.

$\quad$

Exercices sur les intervalles

Exercices sur les encadrements

$\quad$

III Valeur absolue d’un nombre réel

Définition 7
On considère deux points $A$ et $B$ d’une droite graduée dont les abscisses respectives sont $a$ et $b$ avec $a<b$.
On appelle distance entre les deux points $A$ et $B$ le nombre $b-a$.

$\quad$

Exemple :
La distance entre les points $A$ et $B$ est égale à $3-(-2)=5$.

Définition 8
On considère un point $A$ d’abscisse $a$ d’une droite graduée d’origine $O$. On appelle valeur absolue de $a$, notée $|a|$ , la distance entre les points $A$ et $O$.

$\quad$

Propriété 4
On considère un nombre réel $x$. On a alors $|x|=\begin{cases}\phantom{-}x &\text{ si } x\pg 0\\-x&\text{ si } x<0\end{cases}$.

$\quad$

Exemples : $|2,5|=2,5-0=2,5$ ; $|-3,2|=0-(-3,2)=3,2$.

Propriété 5
On considère un nombre réel $a$ positif ou nul.

  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|=a$ est $\left\{ -a;a\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|<a$ est $]-a;a[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pp a$ est $[-a;a]$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|>a$ est $]-\infty;-a[~\cup~ ]a;+\infty[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pg a$ est $]-\infty;-a]\cup [a;+\infty[$.

$\quad$

Exemples :

  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|=1$ est $\left\{-1;1\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|<2$ est $]-2;2[$;
  • item L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|\pg 5$ est $]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[$.
Propriété 6
On considère deux nombres $A$ et $B$ d’une droite graduée d’abscisses respectives $a$ et $B$.
On a alors $AB=|a-b|$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

  • Si $a\pg b$ alors $AB=a-b$.
    Puisque $a\pg b$, cela signifie que $a-b\pg 0$ donc $|a-b|=a-b=AB$.
  • Si $a\pp b$ alors $AB=b-a$.
    Puisque $a\pp b$, cela signifie que $a-b\pp 0$ donc $|a-b|=-(a-b)=b-a=AB$.

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$\quad$

Exemple : La distance entre le point $A$ d’abscisse $-4$ et le point $B$ d’abscisse $5$ est $|-4-5|=9$.

Propriété 7
On considère un nombre réel $a$ et un nombre réel strictement positif $r$.
On a alors $x\in [a-r;a+r] \ssi |x-a| \pp r$.

$\quad$

Exemple : On considère l’intervalle $I=[6;9]$. Le centre de l’intervalle est donc $a=\dfrac{6+9}{2}=7,5$.
Ainsi $r=9-7,5=1,5$.
Par conséquent $x\in [6;9] \ssi |x-7,5|\pp 1,5$

$\quad$

Exercices sur la valeur absolue

$\quad$

IV Notations

On utilise parfois, seulement dans un contexte mathématique et donc jamais au sein d’une phrase, quelques symboles dits mathématiques :

  • $\in$, qui se lit « appartient à » et $\notin$ qui se lit « n’appartient pas à ».
    On peut écrire $x\in [2;3]$ ou $A\in (AB)$ et $-3\notin [1;2]$
    $\quad$
  • $\forall$ qui se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
    On peut écrire $\forall x\in [2;3]$ pour dire \og pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;3]$\fg{}.
    $\quad$
  • $\ssi$ qui se lit « si, et seulement si » ou « est équivalent à ».
    Ce symbole se place par exemple entre deux équations : $x-2=3 \ssi x=5$.
    Attention à ne pas confondre les symboles $\ssi$ et $=$ .

$\quad$

V Quelques points d’histoire

Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des babyloniens (entre, environ, $-2~000$ et $-1~600$ avant notre ère). Sur une tablette exposée à l’université de Yale, on peut y voir la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.

Le nombre d’or, dont la valeur est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, est un nombre irrationnel connu depuis au moins l’antiquité qui a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

Archimède a été le premier à donner une méthode mathématique fournissant un encadrement du nombre $\pi$. En 2019, Emma Haruka Iwao a trouvé les $3~141~592~653~589$ premières décimales de $\pi$.

$\quad$

2nd – Exercices – Fonctions de référence (mélange)

Fonctions de référence (mélange)

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. on considère deux points $A(3;2)$ et $B(7;-2)$.

  1. On considère la fonction affine $f$ vérifiant $f(3)=2$ et $f(7)=-2$.
    Déterminer une expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement l’hyperbole d’équation $y = \dfrac{4}{x}$.
    $\quad$
  3. Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, quelles sont les coordonnées des points d’intersection de cette hyperbole et de la droite représentant la fonction $f$?
    Retrouver ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x_A\neq x_B$. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y = ax+b$.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $a= \dfrac{-2-2}{7-3} = -1$.
    Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y = -x + b$.
    On sait que $A$ appartient à cette droite. Par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation.
    $2 = -3 + b \ssi b = 5$.
    $\quad$
    Une équation de $(AB)$ est donc $y = -x + 5$.
    On vérifie que les coordonnées de $B$ vérifient également cette équation : $-7 + 5 = -2$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex8

    $\quad$
  3. $(x-1)(x-4) = x^2-x-4x + 4 = x^2-5x + 4$
    $\quad$
  4. Graphiquement, les points d’intersection des deux courbes sont les poins de coordonnées $(1;4)$ et $(4;1)$.
    Les points d’intersection vérifient $\dfrac{4}{x} = -x + 5$  $\ssi 4 = -x^2 + 5x$ $\ssi x^2-5x + 4 = 0$.
    D’après la question précédente cela revient à résoudre $(x-1)(x-4) = 0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses produits au moins est nul :
    $x-1 = 0 \ssi x = 1$ ou $x-4 =0 \ssi x = 4$.
    Si $x= 1$ alors $y = \dfrac{4}{1} = 4$.
    Si $x = 4$ alors $y = \dfrac{4}{4} = 1$.
    On retrouve ainsi les points identifiés graphiquement.

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$\quad$

Exercice 2

  1. Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :
    $f(x) = \dfrac{2}{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    $\quad$
    $g(x) = 2x – 3$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2};-4\right)$ sont communs à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  3. En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex9
  2. $\dfrac{2}{2} = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times 2-3 = 4-3 = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
    $\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times \dfrac{-1}{2}-3 = -1- 3 = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
  3. Par conséquent $f(x) \pg g(x)$ sur $\left[-\dfrac{1}{2};0\right[\cup [2;+\infty[$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Les canettes utilisées par les fabricants de soda sont des cylindres dont la hauteur est égale à cinq fois son rayon.
On appelle $V$ la fonction qui, à tout rayon $r$ du disque de base exprimé en cm, associe le volume de la canette en cm$^3$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $V$.
    $\quad$
  2. Exprimer $V(r)$ en fonction de $r$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rayon, arrondi au millimètre, de la canette pour que celle-ci ait un volume de $25$ cL.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Le rayon peut prendre toutes les valeurs strictement positives.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]0;+\infty[$.
    On exclut $0$ pour que la canette ne soit pas réduite à un point.
    $\quad$
  2. La hauteur $h$ de la canette est égale à cinq fois celle de son rayon. Par conséquent $h=5r$.
    Ainsi $V(r)=\pi r^2\times 5r=5\pi r^3$.
    $\quad$
  3. $25$ cL $=250$ cm$^3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} V(r)=250 &\ssi 5\pi r^3=250 \\
    &\ssi r^3=\dfrac{250}{5\pi} \\
    &\ssi r=\sqrt[3]{\dfrac{250}{5\pi}}\end{align*}$
    Par conséquent $r\approx 2,5$ cm.

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$\quad$

Exercice 4

Une approximation de la vitesse $v$, exprimée en km/h, d’un satellite tournant autour de la terre selon une trajectoire circulaire est donnée par la formule suivante : $$v=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}}$$ où $h$ est l’altitude, exprimée en km, du satellite.

  1. On suppose que la vitesse du satellite est de $9~553$ km/h. À quelle altitude, arrondie au km, se situe-t-il?
    $\quad$
  2. Les satellites géostationnaires sont situés à une altitude de $35~786$ km.
    Quelle est alors la vitesse, arrondi au km/h, de ces satellites?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a donc :
    $\begin{align*} 9~553=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}} &\ssi 9~553\sqrt{6~371+h}=356\times 6~371 \\
    &\ssi \sqrt{6~371+h}=\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \end{align*}$
    Ainsi $6~371+h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2$
    Soit $h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2-6~371$.
    Par conséquent $h\approx 49~997$ km.
    Le satellite se trouve donc à une altitude d’environ $49~997$ km.
    $\quad$
  2. Si $h=35~786$ alors :
    $v=\dfrac{356\times 6~371}{\sqrt{6~371+35~786}} \approx 11~046$ km/h.
    La vitesse des satellites géostationnaires est donc d’environ $11~046$ km/h.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$, dont la somme n’est pas nulle, et la fonction inverse $f$.
On s’intéresse aux couples de nombres $(a;b)$ vérifiant la relation : $$f(a+b)=f(a)\times f(b) \qquad (E)$$

  1. Montrer que le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Peut-on trouver un couple de la forme $(1;b)$ qui vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le couple $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$. Exprimer $b$ en fonction de $a$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Si $a=-2$ et $b=\dfrac{2}{3}$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{-2+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{-4}{3}=-\dfrac{3}{4}$.
    $f(a)\times f(b)=\dfrac{1}{-2}\times \dfrac{1}{~~\dfrac{2}{3}~~}=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Si $a=1$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{1+b}$
    $f(a)\times f(b)=1\times \dfrac{1}{b}$
    On doit donc résoudre l’équation : $\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1}{b}\ssi 1+b=b$ qui n’a pas de solution.
    Aucun coupe de la forme $(1;b)$ ne vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le coupe $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$.
    On a alors :
    $\begin{align*} f(a+b)=f(a)\times f(b) &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\times \dfrac{1}{b} \\
    &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{ab} \\
    &\ssi a+b=ab \\
    &\ssi a=ab-b \\
    &\ssi a=(a-1)b \\
    &\ssi b=\dfrac{a}{a-1}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On dispose d’un carré en métal de $40$ cm de côté. Pour construire une boîte parallélépipédique, on retire à chaque coin un carré de côté $x$ cm et on relève les bords par pliage (voir figure).
On note $f$ la fonction qui au nombre $x$ associe le volume $f(x)$ de la boîte obtenue.

  1. Donner l’ensemble de définition de la $f$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(5)$ et interpréter le sens concret de ce résultat.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de $f(x)$.
    $\quad$

On répondra aux questions suivantes à l’aide de la représentation graphique de $f$, donnée ci-dessous, avec la précision permise par ce graphique. On laissera apparents sur le graphique les pointillés utiles pour la lecture graphique.

  1. Donner les éventuels antécédents de $2~500$ par $f$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $x$ le volume de la boîte est-il inférieur à $2~000$ cm $^3$?
    $\quad$
  3. Quel volume maximum peut-on obtenir en fabriquant une boîte comme celle-ci?
    Pour quelle valeur de $x$ ce volume maximal est-il atteint?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On retire à chaque coin du carré de côté $40$ cm un carré de côté $x$ cm.
    Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=]0;20[$.
    $\quad$
  2. si $x=5$ alors le carré de base de la boîte a pour côté $40-2\times 5=30$ cm.
    $\quad$
    Ainsi le volume de la boîte est $f(5)=5\times 30^2=4~500$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Le carré de base de la boîte a pour côté $40-2x$.
    Par conséquent $f(x)=x(40-2x)^2$
    $\quad$
  4. Les antécédents de $2~500$ par $f$ sont environ $1,9$ et $13$.
    Cela signifie donc qu’il existe deux façons d’obtenir un volume de $2~500$ cm$^3$ : si $x=1,9$ ou si $x=13$.
    $\quad$
  5. $f(x)< 2~000$ si $x\in]0;1,5[\cup]14;20[$.
    $\quad$
  6. Le volume maximal est environ $4~750$ cm$^3$. Il est obtenu pour $x=6,5$ cm.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-7)^2-9$.
On a utilisé un logiciel de calcul formel pour obtenir la forme factorisée et la forme développée réduite de $f(x)$.
$$\begin{array}{lr}
\hline
\text{f(x):=(x-7)^2-9}& \\
&\text{(x)->(x-7)^2-9}\\
\hline
\text{factoriser(f(x))}& \\
&(x-10)(x-4)\\
\hline
\text{developper(f(x))}& \\
&x^2-14x+40 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier que la forme factorisée obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  2. Vérifier que la forme développée et réduite obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  3. Calculer les images de $0$ puis de $7$ par $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $f(x)=40$.
    $\quad$
  6. Le nombre $-10$ possède-t-il un ou des antécédent(s) par $f$? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=(x-7)^2-3^2=\left[(x-7)-3\right][\left[(x-7)+3\right]=(x-10)(x-4)$.
    On retrouve bien la forme factorisée fournie par logiciel.
    $\quad$
  2. $f(x)=x^2-14x+49-9=x^2-14x+40$.
    On retrouve bien la forme développée fournie par logiciel.
    $\quad$
  3. $f(0) = 0^2-14\times 0 + 40 = 40$.
    $f(7)=(7-7)^2-9=-9$
    $\quad$
  4. On veut résoudre $f(x)=0$. On utilise la forme factorisée : $(x-10)(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x-10=0$ ou $x-4=0$.
    Les solutions sont $10$ et $4$.
    Par conséquent les antécédents de $0$ sont $10$ et $4$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=40 &\ssi x^2-14x+40=40 \\
    &\ssi x^2-14x=0 \\
    &\ssi x(x-14)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x=0$ ou $x-14=0$.
    Les solutions de l’équation sont par conséquent $0$ et $14$.
    $\quad$
  6. On veut résoudre l’équation $f(x)=-10$ soit $(x-7)^2-9=-10$ ou encore $(x-7)^2=-1$.
    Un carré étant toujours positif, cette équation n’a pas de solution et $-10$ ne possède pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction racine carrée des nombres suivants :

  1. $81$
    $\quad$
  2. $144$
    $\quad$
  3. $225$
    $\quad$
  4. $10^8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction racine carrée.

  1. $f(81)=\sqrt{9^2}=9$
    $\quad$
  2. $f(144)=\sqrt{12^2}=12$
    $\quad$
  3. $f(225)=\sqrt{225^2}=25$
    $\quad$
  4. $f\left(10^8\right)=\sqrt{\left(10^4\right)^2}=10^4$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction racine carrée des nombres suivants :

  1. $4$
    $\quad$
  2. $\dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  3. $-9$
    $\quad$
  4. $10^3$
    $\quad$
  5. $\sqrt{5}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=4 \ssi x=16$.
    L’antécédent de $4$ est $16$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\dfrac{3}{5} \ssi x=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\ssi x=\dfrac{9}{25}$
    L’antécédent de $\dfrac{3}{5}$ est $\dfrac{9}{25}$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=-9$.
    Cette équation n’a pas de solution.
    Le nombre $-9$ n’a donc pas d’antécédent.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=10^3 \ssi x=\left(10^3\right)^2\ssi x=10^6$.
    L’antécédent de $10^3$ est $10^6$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\sqrt{5} \ssi x=5$.
    L’antécédent de $\sqrt{5}$ est $5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée les inéquations suivantes :

  1. $\sqrt{x}<16$
    $\quad$
  2. $\sqrt{x} \pg 25$
    $\quad$
  3. $\sqrt{x} > -1$
    $\quad$
  4. $\sqrt{x} \pp 10^{-2}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\sqrt{x}<16$

    La solution de l’inéquation est $[0;256[$.
    $\quad$
  2. $\sqrt{x} \pg 25$

    La solution de l’inéquation est $[625;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\sqrt{x} > -1$

    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $\sqrt{x} \pp 10^{-2}$

    La solution de l’inéquation est $\left[0;10^{-4}\right]$.

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Dans chacun des cas, indiquer l’ensemble de définition de la fonction $f$ dont l’expression algébrique a été fournie.

  1. $f(x)=\sqrt{x+2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\sqrt{-x}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\sqrt{3-x}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=\sqrt{x+2}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $x+2\pg 0 \ssi x\pg -2$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=[-2;+\infty[$
    $\quad$
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
    Pour tout réel $x$ on a $x^2+1\pg 1\pg 0$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $mathscr{D}_f=\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)=\sqrt{-x}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $-x\pg 0 \ssi x\pp 0$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;0]$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\sqrt{3-x}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $3-x\pg 0 \ssi -x\pg -3 \ssi x\pp 3$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;3]$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On considère la fonction racine carrée $f$ et sa courbe représentative $\mathscr{C}$ dans un repère $(O;I,J)$. Indiquer, dans chacun des cas, si le point appartient à la courbe $\mathscr{C}$.

  1. $A(4;2)$
    $\quad$
  2. $B(3;9)$
    $\quad$
  3. $C(1,44;1,2)$
    $\quad$
  4. $D(1,7;1,3)$
    $\quad$
  5. $E(-25;5)$
    $\quad$
  6. $F\left(10^{10};10^5\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\sqrt{4}=2$
    Le point $A(4;2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. On a $\sqrt{3}\neq 9$
    Le point $B(3;9)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. On a $\sqrt{1,44}=1,2$
    Le point $C(1,44;1,2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  4. On a $\sqrt{1,7} \neq 1,3$
    Le point $D(1,7;1,3)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. $-25<0$ et la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Le point $E(-25;5)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  6. On a $\sqrt{10^{10}}=\sqrt{\left(10^5\right)^2}=10^5$
    Le point $F\left(10^{10};10^5\right)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Fonction inverse

Fonction inverse

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On considère la fonction inverse $f$.

Calculer les images par $f$ des réels suivants :

  1. $\dfrac{5}{7}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{1}{9}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4}{9}$
    $\quad$
  4. $10^{-8}$
    $\quad$
  5. $10^4$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $f\left(\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{7}{5}$
    $\quad$
  2. $f\left(-\dfrac{1}{9}\right) = -9$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{9}{4}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^{-8}\right) = 10^8$
    $\quad$
  5. $f\left(10^4\right) = 10^{-4}$

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$\quad$

Exercice 2

Utiliser la représentation graphique de la fonction inverse pour dire à quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ lorsque :

  1. $x \in [2;7]$
    $\quad$
  2. $x \in ]0;5]$
    $\quad$
  3. $x \in \left]-2;-\dfrac{1}{5}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 2

On utilise la propriété suivante :

On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe. On a alors : $$a<b \ssi \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$$
  1. $2\pp x \pp 7$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{7};\dfrac{1}{2}\right]$
    $\quad$
  2. $0<x\pp 5$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{5};+\infty \right[$
    $\quad$
  3. $-2<x \pp -\dfrac{1}{5}$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[-5;- \dfrac{1}{2}\right[$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. On sait que $x \pg 0$. Comparer $\dfrac{1}{x+7}$ et $\dfrac{1}{x + 2}$.
    $\quad$
  2. On sait que $x \pp 0$. Comparer $\dfrac{1}{x – 6}$ et $\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. On sait que $x \pg 3$. Comparer $\dfrac{1}{4x – 2}$ et $\dfrac{1}{10}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On a $x+7  > x + 2 > 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x + 7} < \dfrac{1}{x+2}$.
    $\quad$
  2. On a $x-6 < x-\sqrt{10} < 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x – 6} >\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. $x \pg 3 \Leftrightarrow 4x \pg 12$ $\Leftrightarrow 4x-2 \pg 10>0$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{4x – 2} \pp \dfrac{1}{10}$.

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Si $3 \pp x \le 4$ alors $\dfrac{1}{3} \pp \dfrac{1}{x} \pp \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Si $-2 \pp x \le 1$ alors $-0,5 \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.
    $\quad$
  3. Si $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ alors $0,1 \pp x \pp 1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. Affirmation fausse. On a $0<3 \pp x \pp 4$. Par conséquent  $\dfrac{1}{3} \pg\dfrac{1}{x} \pg \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Affirmation fausse. La fonction inverse n’est pas définie en $0$. On doit donner un encadrement quand $-2 \pp x < 0$ et un autre quand $0 < x \pp 1$.
    $\quad$
  3. Affirmation vraie. $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ donc $\dfrac{1}{10} \pp \dfrac{1}{~~\dfrac{1}{x}~ } \pp \dfrac{1}{1}$ soit $0,1 \pp x \pp 1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. $\dfrac{1}{x} \ge -3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{x} \ge 2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{x} \le 1$

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour résoudre ces inéquations il est préférable de s’aider de la courbe de la fonction inverse.

  1. $\mathscr{S} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right] \cup ]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\mathscr{S} = \left]0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. $\mathscr{S} = ]-\infty;0[\cup [1;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Compléter :

  1. Si $x < -1$ alors $\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\ldots \pp \dfrac{1}{x} \pp \ldots$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. Si $x < -1$ alors $-1< \dfrac{1}{x} < 0$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Fonction cube

Fonction cube

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $4$
    $\quad$
  2. $-2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{5}{2}$
    $\quad$
  4. $10^5$
    $\quad$
  5. $\sqrt{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. $f(4)=4^3=64$
    $\quad$
  2. $f(-2)=(-2)^3=-8$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^5\right)=\left(10^5\right)^3=10^{15}$
    $\quad$
  5. $f\left(\sqrt{7}\right)=\left(\sqrt{7}\right)^3=\left(\sqrt{7}\right)^2\times \sqrt{7}=7\sqrt{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $-27$
    $\quad$
  2. $125$
    $\quad$
  3. $\dfrac{8}{1~000}$
    $\quad$
  4. $-1$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=-27 \ssi x^3=(-3)^3 \ssi x=-3$
    L’antécédent de $-27$ est $-3$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $f(x)=125 \ssi x^3=5^3 \ssi x=5$.
    L’antécédent de $125$ est $5$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $f(x)=\dfrac{8}{1~000} \ssi x^3=\dfrac{2^3}{10^3}\ssi x=\dfrac{2}{10}$
    L’antécédent de $\dfrac{8}{1~000}$ est $\dfrac{2}{10}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $f(x)=-1 \ssi x^3=(-1)^3 \ssi x=-1$
    L’antécédent de $-1$ est $-1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction cube les inéquations suivantes :

  1. $x^3 < 27$
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $x^3 < 27$

    La solution est $]-\infty;3[$.
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$

    La solution est $[-5;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$

    La solution est $]-\infty;-4]$.
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$

    La solution est $]10;+\infty[$.$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

  1. On considère deux nombres réels $a$ et $b$.
    Montrer que $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Démontrer que $b^3-a^3$ et $b-a$ ont le même signe puis en déduire que $a<b \ssi a^3<b^3$
    $\quad$
  3. En déduire que pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a $a<b\ssi a^3<b^3$.
    Aide : Il faut étudier tous les cas possibles (on parle alors de disjonction de cas)
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)&=a^2b+ab^2+b^3-a^3-a^2b-ab^2 \\
    &=b^3-a^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Par conséquent $a^2$, $b^2$ et $ab$ sont tous les trois positifs.
    Ainsi $\left(a^2+ab+b^2\right)$ est positif.
    D’après la question précédente, on a $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    Cela signifie donc que $b^3-a^3$ et $a-b$ ont le même signe.
    Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ alors $a^2+ab+b^2>0$
    $\quad$
    Si $a<b$ alors $b-a>0$. On a bien $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ donc $a^2+ab+b^2>0$
    Or $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$
    Cela signifie donc, en tant que produit de deux nombres strictement positifs, que $b^3-a^3>0$ et donc que $a^3<b^3$
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$ alors $b^3-a^3>0$
    Comme $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$ alors $b-a\neq 0$ et $\left(a^2+ab+b^2\right)\neq 0$.
    $b^3-a^3$ et $b-a$ sont de même signe.
    Donc $b-a>0$ et $a<b$
  3. Nous allons considérer les cas suivants :
    – $a$ et $b$ sont de même signe. D’après la question précédente on a $a<b \ssi a^3<b^3$
    – Si $a$ et $b$ sont de signe contraire.
    $\quad$ $\bullet$ Si $a=0$ et $b>0$ alors $a^3=0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0$ et $b=0$ alors $a^3<0$ et $b^3=0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0<b$ alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    Par conséquent, si $a<b$ alors $a^3<b^3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3=0$ et $b^3>0$ alors $a=0$ et $b>0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0$ et $b^3=0$ alors $a<0$ et $b=0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0<b^3$ alors $a<0$ et $b>0$ donc $a<b$
    Par conséquent, si $a^3<b^3$ alors $a<b$.
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Fonction carré

Fonction carré

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c’est possible, des réels :

  1.  $1$
    $\quad$
  2. $-16$
    $\quad$
  3. $ \dfrac{9}{5}$
    $\quad$
  4. $25$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation $x^2 = 1$.
    Cette équation possède deux solutions : $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $x^2 = -16$.
    Un carré ne peut pas être négatif.
    $-16$ n’a donc aucun antécédent.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $x^2 = 25$.
    Cette équation possède deux solutions : $-5$ et $5$.
    Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$.

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$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction carré définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$
  3. Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.
    $\quad$
  4. Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.

$\quad$

Correction Exercice 2
  1. VRAI : La fonction carré est définie sur $\R$. Par conséquent tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. VRAI : $-1$ ne possède pas d’antécédent. (on peut choisir n’importe quel réel strictement négatif).
    $\quad$
  3. FAUX : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)
    $\quad$
  4. VRAI : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{10}{3};3\right]$ par $f(x) = x^2$.

  1. Tracer la représentation graphique de $f$.
    $\quad$
  2. Dans les trois situations suivantes, déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur l’intervalle $I$ fourni.
    a. $I = \left[\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
    b. $I = \left[-3;-\dfrac{1}{3}\right]$
    $\quad$
    c. $I = \left[-\dfrac{10}{3};\dfrac{1}{3}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex3
  2. a. minimum = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $3^2 = 9$
    $\quad$
    b. minimum = $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $(-3)^2 = 9$
    $\quad$
    c. minimum = $0^2 = 0$ $\quad$ maximum = $\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On considère deux nombres réels $n$ et $m$ quelconques.

Calculer en fonction de $n$ et $m$, l’expression suivante :$\dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right]$.

Simplifier l’expression.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}  \dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right] &= \dfrac{1}{2} \left[(n+m)^2 – n^2 – m^2\right] \\\\
& = \dfrac{1}{2}(n^2 + m^2 + 2nm – n^2 – m^2) \\\\
& = \dfrac{1}{2}(2nm) \\\\
& = nm
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre graphiquement dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $x^2 > 16$
    $\quad$
  2. $x^2 \le 3$
    $\quad$
  3. $x^2 \ge -1$
    $\quad$
  4. $x^2 \le -2$
    $\quad$
  5. $x^2 > 0$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-1
    La solution est $]-\infty;-4[\cup]4;+\infty[$.
  2. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-2
    La solution est $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.
  3. Un carré est toujours positifs donc la solution est $\R$.
    $\quad$
  4. Un carré ne peut pas être négatif. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation.
    $\quad$
  5. Un carré est toujours positif ou nul et ne s’annule que pour $x = 0$.
    La solution est donc $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas fournir, en justifiant, un encadrement de $x^2$.

  1. $x \in [-5;-2]$
    $\quad$
  2. $x \in [-5;2]$
    $\quad$
  3. $x \in ]-1;3]$
    $\quad$
  4. $x \in [1;16[$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et donc en particulier sur $[-5;-2]$.
    Par conséquent $x^2 \in [4;25]$.
    $\quad$
  2. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $[-5;0]$ et $[0;2]$
    Si $x\in [-5;0]$ alors $x^2 \in [0;25]$
    Si $x\in [0;2]$ alors $x^2 \in [0;4]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in[-5;2]$ alors $x^2\in[0;25]$.
    $\quad$
  3. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $]-1;0]$ et $[0;3]$
    Si $x\in ]-1;0]$ alors $x^2 \in [0;1[$
    Si $x\in [0;3]$ alors $x^2 \in [0;9]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in]-1;3]$ alors $x^2\in[0;9]$.
    $\quad$
  4. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur $[0;16[$.
    Par conséquent $x^2 \in [1;256[$

[collapse]

$\quad$