Devoir commun – 1S Février 2019 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     8 points

L’objectif de l’exercice est de comparer deux séries statistiques. Les deux séries indiquent les températures en °C dans deux villes A et B chaque jour d’une même année comportant $365$ jours. Pour la ville B, la moyenne
est $\conj{x_B} = 14, 4$ °C, l’écart-type $\sigma_B \approx 8, 771~5$ et le diagramme en boîte est en-dessous.
Pour la ville A, on a les relevés suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&8&21&24&27\\
\hline
\text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
\hline
\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer la moyenne $\conj{x_A}$ e l’écart-type $\sigma_A$ pour la ville A. Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Avec les données de la villa A, déterminer le premier quartile, la médiane, le troisième quartile que l’on notera respectivement $Q_{1A}$, $M_A$ et $Q_{3A}$. Justifier les réponses.
    $\quad$
  3. Construire le diagramme en boîte de la série A sur le diagramme ci-dessous.

    $\quad$
  4. Comparer et commenter les résultats des deux séries de données (ville A et ville B) en utilisant :
    – le couple moyenne – écart-type;
    – le couple médiane – écart-interquartile.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

On coupe une ficelle d’une longueur de 17 mètres pour entourer deux surfaces :

  • un carré;
  • un domino (rectangle deux fois plus long que large).

Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ?

$\quad$

Exercice 3     7 points

$ABC$ est un triangle. Les points $K, L$ et $M$ sont tels que $\vect{AK}=-\dfrac{3}{2}\vect{AC}$, $\vect{AL}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.

  1. Placer, sur la figure ci-dessous, les points $K$, $L$ et $M$. Pour construire le point $M$, on exprimera $\vect{BM}$ en fonction de $\vect{BC}$.$\quad$
  2. Exprimer le vecteur $\vect{KL}$ en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{KM}=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. Montrer que les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;3)$, $B(5;1)$ et $C(4;5)$.

On utilisera le repère qui suit pour la figure de cet exercice.

  1. On considère la droite $(d)$ d’équation $-x+2y-9=0$.
    a. Représenter la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
    c. Les droites $(d)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles? Justifier.
    $\quad$
  2. a. Calculer les coordonnées du point $E$, milieu de $[AB]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
    $\quad$
    c. On admet qu’une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$ est $6x+5y-35=0$. Montrer que le point $D(0;7)$ est sur cette droite, puis tracer la droite sur le graphique.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées de $G$, centre de gravité du triangle $ABC$.
    $\quad$

Exercice 5     17 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\pg 0$ par $u_n=\dfrac{6n-5}{n+1}$.

  1. Pour tout $n\pg 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. a. Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation présumé de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du sens de variation
  3. Première méthode
    a. Soit $n\in \N$. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite.
    $\quad$
  4. Deuxième méthode
    a. Donner l’expression de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$, telle que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$, puis en déduire celui de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du comportement à l’infini
  5. a. Montrer que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n<6$.
    $\quad$
    b. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ à partir duquel on a $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Argumenter.
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Soit $p$ le trinôme défini par $p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$ sur $[-1;7]$.

  1. Déterminer la forme canonique de $p$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de $p$ sur $[-1;7]$ en justifiant.
    $\quad$
  3. a. En regardant le tableau de variation précédent, pourquoi peut-on être sûr, sans le calculer, que le discriminant de ce polynôme est strictement positif ?
    $\quad$
    b. Calculer ce discriminant et dresser le tableau de signe de $p$.
    $\quad$
  4. Exprimer $\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue, puis donner l’allure de la représentation graphique de la fonction $x\to \left|p(x)\right|$ dans le repère ci-dessous.$\quad$
  5. Notons maintenant $q(x)=\sqrt{-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}}$.
    a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $q$.
    $\quad$
    b. Dresser son tableau de variation en justifiant.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout $x\in [1;5]$, on a $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$.
    $\quad$
    Rappel : Soit $X$ un nombre réel.
    – si $0 \pp X \pp 1$ alors $X^2 \pp X \pp \sqrt{X}$.
    – si $1 \pp X$ alors $\sqrt{X} \pp X \pp X^2$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $\conj{x_A}\approx 14,4$ et $\sigma_A\approx 6,681~3$.
    $\quad$
  2. Voici le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) de la série.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&8&21&24&27\\
    \hline
    \text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
    \hline
    \text{ECC}&20&30&70&127&135&136&325&335&355&365\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $\dfrac{365}{2}=182,5$. La médiane est donc la $183\ieme$ valeur, c’est-à-dire $18$.
    $\dfrac{365}{4}=91,25$. $Q_1$ est donc la $92\ieme$ valeur. Donc $Q_1=9$.
    $\dfrac{365\times 3}{4}=273,75$. $Q_3$ est donc la $274\ieme$ valeur. Donc $Q_3=18$.
    $\quad$
  3. On obtient le diagramme en boîte suivant :
    $\quad$
  4. Si l’on utilise les couples moyenne-écart type, on peut constater que les séries des deux villes ont la même moyenne ce qui signifie que les températures sont similaires en moyenne mais l’écart type de la série A est plus petit que celui de la série B, ce qui signifie que les températures relevées dans la ville A sont plus homogènes autour de la moyenne qui est $14$.
    $\quad$
    Si l’on utilise le couple médiane-écart interquartile, on peut constater que les séries des deux villes ont la même médiane mais l’écart interquartile de la série de la ville A est plus petit ce qui signifie que les température de la villes A sont plus homogènes autour de la médiane qui est $18$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $x$ la longueur de la ficelle permettant de réaliser le carré.
L’aire du carré est donc $\mathscr{A}_1(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}$.

On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Sa longueur est donc $2\ell$ et son périmètre est $2(\ell+2\ell)=6\ell$.
Or son périmètre est également égal à $17-x$.
Par conséquent $6\ell=17-x \ssi \ell=\dfrac{17-x}{6}$.
Ainsi l’aire du rectangle est $\mathscr{A}_2(x)=\dfrac{17-x}{6}\times 2\times \dfrac{17-x}{6}=\dfrac{(17-x)^2}{18}$.

La somme des deux aires est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=\mathscr{A}_1(x)+\mathscr{A}_2(x) \\
&=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(17-x)^2}{18} \\
&=\dfrac{18x^2+16(17-x)^2}{288} \\
&=\dfrac{18x^2+16\left(289-34x+x^2\right)}{288} \\
&=\dfrac{34x^2-544x+4~624}{288}\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $P(x)=34x^2-544x+4~624$.
On a $a=34>0$.
La fonction admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\alpha =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{544}{68}=8$

La somme des deux aires est donc minimale si $x=8$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} 5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0} &\ssi 5\vect{MB}+\vect{MB}+\vect{BC}=\vec{0} \\
    &\ssi 6\vect{MB}=-\vect{BC} \\
    &\ssi \vect{BM}=\dfrac{1}{6}\vect{BC}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{KL}&=\vect{KA}+\vect{AL} \\
    &=-\vect{AK}+\dfrac{3}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{KM}&=\vect{KA}+\vect{AB}+\vect{BM} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}-\dfrac{1}{6}\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{AC}\\
    &=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC} \end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc $\vect{KM}=\dfrac{10}{9}\vect{KL}$
    Les vecteurs $\vect{KM}$ et $\vect{KL}$ sont donc colinéaires.
    Par conséquent les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Si $x=-1$ alors $2y-8=0 \ssi y=5$. Le point de coordonnées $(-1;4)$ appartient à la droite $(d)$.
    Si $x=3$ alors $2y-12=0 \ssi y=6$. Le point de coordonnées $(3;6)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{AC}(4-1;5-3)$ soit $\vect{AC}(3;2)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $\vect{AM}(x-1;y-3)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(d)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
    $\ssi 2(x-1)-3(y-3)=0$
    $\ssi 2x-2-3y+9=0$
    $\ssi 2x-3y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est donc $2x-3y+7=0$.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(-2;-1)$ et un vecteur directeur de $(AC)$ est $\vect{AC}(3;2)$.
    $-2\times 2-(-1)\times 3=-4+3=-1\neq 0$
    $\vec{u}$ et $\vect{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Les droites $(d)$ et $(AC)$ ne sont, par conséquent, pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $E$ est le milieu de $[AB]$.
    Donc $x_E=\dfrac{1+5}{2}=3$ et $y_E=\dfrac{3+1}{2}=2$.
    Les coordonnées du point $E$ sont $(3;2)$.
    $\quad$
    b. La médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$ est la droite $(CE)$.
    On a $\vect{CE}(3-4;2-5)$ soit $\vect{CE}(-1;-3)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a $\vect{CM}(x-4;y-5)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(CE)$
    $\ssi$ $\vect{CM}$ et $\vect{CE}$ sont colinéaires
    $\ssi$ $-3(x-4)-(-1)(y-5)=0$
    $\ssi$ $-3x+12+y-5=0$
    $\ssi$ $-3x+y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est donc $-3x+y+7=0$.
    $\quad$
    c. $3\times 0+5\times 7-35=0+35-35=0$.
    Donc $D(0;7)$ appartient à la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$. Elle passe donc par les points $D$ et $B$.
    $\quad$
    d. Le centre de gravité $G(x;y)$ du triangle $ABC$ est le point d’intersection des médianes de ce triangle.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} -3x+y+7=0\\6x+5y-35=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+5(3x-7)-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+15x-35-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\21x=70 \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\x=\dfrac{10}{3} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\times \dfrac{10}{3}-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{10}{3};3\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Pour tout $n\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{6(n+1)-5}{n+1+1}\\
    &=\dfrac{6n+6-5}{n+2}\\
    &=\dfrac{6n+1}{n+2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $u_0=-5$, $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{7}{3}$, $u_3=\dfrac{13}{4}$ et $u_4=\dfrac{19}{5}$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{6n+1}{n+2}-\dfrac{6n-5}{n+1} \\
    &=\dfrac{(6n+1)(n+1)-(6n-5)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{6n^2+6n+n+1-\left(6n^2+12n-5n-10\right)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $n+1>0$ et $n+2>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a $f(x)=\dfrac{6x-5}{x+1}$.
    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. $f(x)=\dfrac{6x+6-6-5}{x+1}=\dfrac{6(x+1)-11}{x+1}=6-\dfrac{11}{x+1}$.
    Donc $a=6$ et $b=-11$
    $\quad$
    c. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $0\pp u< v$
    $\begin{align*} 0\pp u<v &\ssi 1 \pp u+1<v+1 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u+1}>\dfrac{1}{v+1} \\
    &\ssi -\dfrac{11}{u+1}<-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi 6-\dfrac{11}{u+1}<6-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi f(u)<f(v)\end{align*}$
    La fonction $u$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$.
    Puisque la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(n)<f(n+1)$ soit $u_n<u_{n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} u_n-6&=f(n)-6\\
    &=6-\dfrac{11}{n+1}-6\\
    &=-\dfrac{11}{n+1} \end{align*}$
    $n$ est un entier naturel donc $n+1>0$.
    Par conséquent $u_n-6<0$ soit $u_n<6$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $u_{219}=5,95$ et $u_{220}=\dfrac{1~315}{221}>5,95$.
    C’est donc à partir de $n=220$ que $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$.
    Plus la valeur de $n$ augmente plus la valeur de $u_n$ se rapproche de $6$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}=6$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;7]$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16} \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+9-9+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left((x-3)^2-4\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}(x-3)^2+\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $a=-\dfrac{1}{16}<0$. La fonction $p$ est donc croissante puis décroissante.
    Son maximum est atteint en $\alpha=3$ et vaut $\dfrac{1}{4}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $p$ est croissante sur l’intervalle $[-1;3]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    De même la fonction $p$ est décroissante sur l’intervalle $[3;7]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    Le polynôme du second degré $p(x)$ change donc de signe. Son discriminant est donc strictement positif.
    $\quad$
    b. $\Delta = \left(\dfrac{3}{8}\right)^2-4\times \left(-\dfrac{1}{16}\right)\times \left(-\dfrac{5}{16}\right)=\dfrac{1}{16}>0$
    Les deux solutions sont :
    $x_1=\dfrac{-\dfrac{3}{8}-\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=5$ et $x_2=\dfrac{-\dfrac{3}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=1$
    On sait que $a=-\dfrac{1}{16}<0$. Le tableau de signes de $p(x)$ est donc :
  4. Sur $]-1;1[\cup]5;7[$ on a $p(x)<0$ donc $\left|p(x)\right|=-p(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{5}{16}$.
    Sur $]1;5[$ on a $p(x)>0$ donc  $\left|p(x)\right|=p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$
    On obtient donc la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  5. a. L’ensemble de définition de la fonction $q$ est $D_q=[1;5]$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ on a $p(x)\pg 0$.
    Les fonction $p$ et $\sqrt{p}$ ont donc le même sens de variation.
    On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a, d’après le tableau de variation $0\pp q(x) \pp \dfrac{1}{2}<1$.
    Donc $\left(q(x)\right)^2 \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    Soit $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    $\quad$

Devoir commun – 1S Février 2018 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     14 points

Une machine fabrique des rondelles métalliques.

On a prélevé au hasard dans la fabrication un échantillon de $150$ rondelles dont on a mesuré le diamètre intérieur $d$ et le diamètre extérieur $D$. Les résultats, en millimètres, sont les suivants :

$$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{diamètre intérieur }d&4,7&4,8&4,9&5&5,1&5,2&5,3\\
\hline
\text{effectifs } N&1&6&24&76&37&4&2\\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{diamètre extérieur }D&11,7&11,8&11,9&12&12,1&12,2&12,3\\
\hline
\text{effectifs } N’&3&11&33&72&22&8&1\\
\hline
\end{array}\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer la moyenne $m$ et l’écart-type $\sigma$ de chaque série (arrondi à $10^{-3}$ près).
    $\quad$
  2. Déterminer, en expliquant les calculs ou les démarches, pour chaque série, la médiane $M_e$, les quartiles $Q_1$ et $Q_3$, l’écart interquartile $I$. On pourra s’aider de la calculatrice pour déterminer les valeurs.
    $\quad$
  3. Le service contrôle de qualité prévoit de n’accepter une rondelle que si ses diamètres intérieur et extérieur ont chacun une mesure comprise entre $M_e-I$ et $M_e+I$.
    Quant au service fabrication, il propose d rejeter une rondelle dès que l’une des deux mesures se trouve en dehors de l’intervalle $[m-\sigma;m+\sigma]$.
    Quel pourcentage de rejets peut-il y avoir dans chaque cas? (Proposer une fourchette)
    $\quad$
  4. Quel est le test le moins contraignant pour l’entreprise?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

Dans un carré de $10$ cm de côté, on a colorié une bande de largeur $x$ cm et un carré de côté $x$ cm centré comme sur la figure ci-dessous.

Déterminer la ou les valeurs de $x$ pour laquelle (lesquelles) les deux aires (blanche et coloriée) sont égales.

$\quad$

Exercice 3     15 points

Soient $A(1;1), B(9;3)$ et $C(5;8)$ trois points du plan muni d’un repère orthonormé.

On complétera la au fur et à mesure de l’exercice la figure ci-dessus.

  1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point $G$ tel que $\vect{AG}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\vect{BC}$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
    $\quad$
  4. Démontrer que le point $G\left(3;\dfrac{15}{2}\right)$ appartient à $(\Delta)$ : -x+4y=27$.
    $\quad$
  5. Dans cette partie, on va déterminer le point de la droite $(AN)$ d’équation $-x+4y=3$ le plus proche du point $C$.
    a. Soit $y$ un nombre réel. Expliquer pourquoi $H(4y-3;y)$ appartient à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $CH^2=17y^2-80y+128$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées du point de la droite $(AB)$ le plus proche du point $C$.
    $\quad$

Exercice 4     7 points

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=3$ et $BC=2$. On considère les points $H$ et $G$ tels que :
$$\vect{AH}=\dfrac{7}{4}\vect{AB}\quad \text{et} \quad \vect{AG}=2\vect{CB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB}$$

  1. Placer les points $H$ et $G$ sur la figure ci-dessus en laissant apparent vos traits de construction.
    $\quad$
  2. Démontrer que $\vect{CH}=\dfrac{7}{4}\vect{AB}-\vect{AC}$
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{CG}=\dfrac{21}{4}\vect{AB}-3\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. En déduire que les points $C,H$ et $G$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 5 (groupe 1)     18 points

Partie I

On considère le trinôme du second degré $p$ défini par $p(x)=3x^2-1$.

  1. a. Dresser le tableau de variation de la fonction carré sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire celui de la fonction $p$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction $p$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $p$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Exprimer alors la fonction $g$ définie par $g(x)=\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue.
    $\quad$

Partie II

Dans cette partie, on étudie la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-x$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$.

  1. a. Montrer que $f(x)=x(x-1)(x+1)$ pour tout $x\in \R$.
    $\quad$
    b. En quels points la courbe $\mathscr{C}_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses? Justifier.
    $\quad$
  2. Soient $x\in\R$ et $h\neq 0$.
    a. Montrer que $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$.
    $\quad$
    b. Calculer $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
    $\quad$
    c. En déduire que $f$ est dérivable en tout $x\in \R$ et $f'(x)=3x^2-1$.
    $\quad$
    d. Calculer alors $f'(-1)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    e. En déduire l’équation de la tangente $T_{-1}$ à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées des points où la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
    $\quad$
  4. Soit $x_0\in \R$. Que peut-on dire des tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ et $M’\left(-x_0;f\left(-x_0\right)\right)$? Justifier.
    $\quad$

Exercice 5 (groupe 2)     18 points

  1. a. est un réel, $a \pg \dfrac{1}{3}$. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2+ax$.
    Montrer que $f$ est croissante sur $\R$.
    Toute initiative sera prise en compte.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormal $\Oij$, $A(1;2)$ et $M$ est un point de l’axe des abscisses, d’abscisse $x>1$. $P$ est le point d’intersection de la droite $(AM)$ avec l’axe des ordonnées.
    a. Faire une figure.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’ordonnée de $P$ est $\dfrac{2x}{x-1}$. On pourra utiliser le théorème de Thalès, en justifiant soigneusement.
    $\quad$
    c. L’aire du triangle $OMP$ dépend de $x$. Montrer que cette aire est égale à $\dfrac{x^2}{x-1}$.
    $\quad$
    d. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$, en concluant par son tableau de variation.
    $\quad$
    e. Déterminer la position du point $M$ qui permet d’obtenir l’aire $OMP$ minimale. Quelle est la valeur de cette aire?
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour la première série on a : $m\approx 5,008$ et $\sigma \approx 0,092$.
    Pour la seconde série on a : $m\approx 11,985$ et $\sigma\approx 0,104$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{150}{2}=75$ donc la médiane est la moyenne de la $75\ieme$ et de la $76\ieme$ valeur.
    $\dfrac{150}{4}=37,5$ donc $Q1$ est la $38\ieme$ valeur.  $Q1=5$
    $\dfrac{150\times 3}{4}=112,5$ donc $Q3$ est la $113\ieme$ valeur.
    $\quad$
    Ainsi pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ :
    $Me=\dfrac{5+5}=5$ $\quad$  $Q1=5$ et $Q3=5,1$
    L’écart interquartile est donc $I=Q3-Q1=5,1-5=0,1$
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ :
    $Me=\dfrac{12+12}=12$ $\quad$  $Q1=11,9$ et $Q3=12$
    L’écart interquartile est donc $I=Q3-Q1=12-11,9=0,1$
    $\quad$
  3. Pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ on a : $[Me-I;Me+I]=[4,9;5,1]$.
    Par conséquent $13$ valeurs parmi les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle. Or $\dfrac{13}{150}\approx 8,7\%$.
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ on a : $[Me-I;Me+I]=[11,9;12,1]$.
    Par conséquent $23$ valeurs parmi les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle. Or $\dfrac{23}{150}\approx 15,3\%$.
    $\quad$
    Dans le meilleur des cas, $23$ rondelles sont refusées (soit environ $15,3\%$) et dans le pire des cas $23+13=36$ rondelles sont refusées (soit $24\%$).
    Avec cette méthode, le pourcentage de rejet appartient donc à l’intervalle $[15,3;24]$.
    $\quad$
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ on a : $[m-\sigma;m+\sigma]=[4,916;5,1]$
    Par conséquent $37$ valeurs sur les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle soit environ $24,7\%$ des valeurs.
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ on a : $[m-\sigma;m+\sigma]=[11,881;12,089]$
    Par conséquent $45$ valeurs sur les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle soit $30\%$ des valeurs.
    $\quad$
    Dans le meilleur des cas, $45$ rondelles sont refusées soit $30\%$. Dans le pire des cas $45+37=82$ rondelles sont refusées soit environ $54,7\%$.
    Avec cette méthode le pourcentage de rejet appartient donc à l’intervalle $[30;54,7]$.
    $\quad$
  4. Le test du service contrôle qualité est donc le moins contraignant.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Les deux sont égales. Elles valent donc toutes les deux la moitié de l’aire du carré soit $\dfrac{10^2}{2}=50$ cm$^2$.

L’aire de la partie coloriée est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2\left(10x+(10-2x)x\right)+x^2\\
&=2(\left(20x-2x^2\right)+x^2\\
&=40x-4x^2+x^2 \\
&=-3x^2+40x\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation $-3x^2+40x=50 \ssi -3x^2+40x-50=0$

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=40^2-4\times (-3)\times (-50) \\
&=1~000 \\
&>0\end{align*}$

L’équation du second degré $-3x^2+40x-50=0$ possède donc deux solutions qui sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-40-\sqrt{1~000}}{-6} \\
&=\dfrac{40+10\sqrt{10}}{6} \\
&=\dfrac{20+5\sqrt{10}}{3} \end{align*}$

et

$\begin{align*} x_2&=\dfrac{-40+\sqrt{1~000}}{-6} \\
&=\dfrac{40-10\sqrt{10}}{6} \\
&=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3} \end{align*}$

Or $x_1\approx 11,9\notin [0;10]$ et $x_2\approx 1,4 \in[0;10]$.

Les deux aires sont donc égales si $x=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3}$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $\vect{AB}(9-1;3-1)$ soit $\vect{AB}(8;2)$
    et $\vect{BC}(5-9;8-3)$ soit $\vect{BC}(-4;5)$
    $\begin{align*} &\vect{AG}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\vect{BC} \\
    \ssi&\begin{cases}x_G-1=\dfrac{3}{4}\times 8-4 \\y_G-1=\dfrac{3}{4}\times 2+5 \end{cases} \\
    \ssi &\begin{cases} x_G-1=2 \\y_G-1=\dfrac{13}{2} \end{cases} \\
    \ssi &\begin{cases} x_G=3\\y_G=\dfrac{15}{2}\end{cases} \end{align*}$
    Les coordonnées du point $G$ sont donc $\left(3;\dfrac{15}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AC}(5-1;8-1)$ soit $\vect{AC}(4;7)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $AM(x-1;y-1)$.
    $\begin{align*} M\in (AC) &\ssi \vect{AM} \text{ et } \vect{AC} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi 7(x-1)-4(y-1)=0\\
    &\ssi 7x-7-4y+4=0\\
    &\ssi 7x-4y=3=0 \end{align*}$
    Une équation cartésienne de $(AC)$ est donc $7x-4y-3=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}(8;2)$.
    Les droites $(AB)$ et $(\Delta)$ sont parallèles. $\vect{AB}$ est donc un vecteur directeur de $(\Delta)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ est par conséquent de la forme $-2x+8y+c=0$
    Le point $C(5;8)$ appartient à la droite $(\Delta)$.
    Ainsi $-2\times 5+8\times 8+c=0 \ssi c=-54$.
    Une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ est donc $-2x+8y-54=0$.
    En simplifiant les coefficients par $2$ on peut également dire qu’une équation cartésienne de cette droite est $-x+4y-27=0$.
    $\quad$
  4. $-3+4\times \dfrac{15}{2}=-3+30=27$.
    Donc $G$ appartient à $(\Delta)$.
    $\quad$
  5. a. $-(4y-3)+4y=-4y+3+4y=3$.
    Donc $H(4y-3;y)$ appartient à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{CH}(4y-3-5;y-8)$ soit $\vect{CH}(4y-8;y-8)$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} CH^2&=\lVert \vect{CH}\rVert^2 \\
    &=(4y-8)^2+(y-8)^2 \\
    &=16y^2+64-64y+y^2+64-16y\\
    &=17y^2-80y+128\end{align*}$.
    $\quad$
    c. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(y)=17y^2-80y+128$.
    Le coefficient principal est $a=17>0$.
    La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
    $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{40}{17}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(4\times \dfrac{40}{17}-3;\dfrac{40}{17}\right)$ soit $\left(\dfrac{109}{17};\dfrac{40}{17}\right)$.

Ex 4

Exercice 4

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{CH}&=\vect{CA}+\vect{AH} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{7}{4}\vect{AB} \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{CG}&=\vect{CA}+\vect{AG} \\
    &=-\vect{AC}+2\vect{CB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+2\left(\vect{CA}+\vect{AB}\right)+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}-2\vect{AC}+2\vect{AB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{21}{4}\vect{AB}-3\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On constate donc que $\vect{CG}=3\vect{CH}$.
    Les vecteurs $\vect{CG}$ et $\vect{CH}$ sont par conséquent colinéaires et les points $C$, $G$ et $H$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 5 - grp1

Exercice 5 – Groupe 1

Partie I 

  1. a. On appelle $u$ la fonction carré.
    On a donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    b. On a $p=3u-1$. Or $3>0$. Les fonctions $u$ et $3u$ ont donc le même sens de variation.
    De plus les fonctions $3u$ et $3u-1$ ont le même sens de variation.
    Par conséquent les fonction $u$ et $p$ ont le même sens de variation.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} p(x)=0 &\ssi 3x^2-1=0\\
    &\ssi 3x^2=1 \\
    &\ssi x^2=\dfrac{1}{3} \\
    &\ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{ ou } x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
    c. Ainsi si $x\in \left]-\dfrac{1}{\sqrt{3}};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right[$ alors $p(x)<0$ donc $g(x)=\left|p(x)\right|=-p(x)$.
    Si $x\in\left]-\infty;-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty\right[$ alors $p(x)\pg 0$ donc $g(x)=\left|p(x)\right|=p(x)$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} x(x-1)(x+1)&=x\left(x^2-1\right) \\
    &=x^3-x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $f(x)=0 \ssi x=0$ ou $x-1=0$ ou $x+1=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe dons l’axe des abscisse en $A(0;0)$ et $B(1;0)$ et $C(-1;0)$.
    $\quad$
  2. a. Pour tous réels $x$ et $h$ on a :
    $\begin{align*} (x+h)^3&=(x+h)\times (x+h)^2 \\
    &=(x+h)\left(x^2+h^2+2xh\right)\\
    &=x^3+xh^2+2x^2h+hx^2+h^3+2xh^2 \\
    &=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère un réel $x$ et un réel $h$ non nul.
    $\begin{align*} T_h(x)&=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
    &=\dfrac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x}{h} \\
    &=\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h} \\
    &=3x^2+3xh+h^2-1 \end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ on a :
    $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^2-1$.
    Cela signifie donc que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2-1$.
    $\quad$
    d. Ainsi $f'(-1)=3-1=2$
    $f'(0)=0-1=-1$
    $f'(1)=3-1=2$
    $\quad$
    e. On sait que $f'(-1)=2$. Une équation de $T_{-1}$ est donc de la forme $y=2x+b$.
    $f(-1)=(-1)^3-(-1)=0$
    Le point $A(-1;0)$ appartient donc à la courbe $\mathscr{C}_f$ et à la tangente $T_{-1}$.
    Ainsi $0=2\times (-1)+b \ssi b=2$.
    Une équation de $T_{-1}$ est donc $y=2x+2$.
    $\quad$
  3. Une tangente est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, son coefficient directeur est nul.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f'(x)=0&\ssi 3x^2-1=0\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{ ou }x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad (*) \\
    &\ssi x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \text{ ou }x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
    \end{align*}$
    $(*)$ d’après la partie I
    $f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ et $f\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
    La tangente est parallèle à l’axe des abscisses aux points de coordonnées $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} ;-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)$ et $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3} ;\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x_0$ on a :
    $f’\left(-x_0\right)=3\left(-x_0\right)^2-1=3{x_0}^2-1=f’\left(x_0\right)$.
    Les tangentes en $M$ et $M’$ sont donc parallèles.
    $\quad$

Ex 5 - grp2

Exercice 5 – Groupe 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+2x+a$.
    Le discriminant est $\Delta=4-4\times 3a=4(1-3a)$.
    Or $a\pg \dfrac{1}{3}$ donc $1-3a\pp 0$ et $\Delta\pp 0$.
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. a.$\quad$
    b. On appelle $B$ le point de coordonnées $(0;2)$.
    Dans les triangles $OPM$ et $BAP$ on a :
    – les droites $(AB)$ et $(OM)$ sont parallèles;
    – le point $B$ appartient au segment $[OP]$;
    – le point $A$ appartient au segment $[PM]$.
    D’après le théorème de Thalès on obtient :
    $\dfrac{PB}{PO}=\dfrac{PA}{PM}=\dfrac{AB}{OM}$
    Soit $\dfrac{PB}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    Donc $\dfrac{PO-2}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    D’où $1-\dfrac{2}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent $\dfrac{2}{PO}=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$
    Finalement $PO=\dfrac{2x}{x-1}$.
    L’ordonnée du point $P$ est bien $\dfrac{2x}{x-1}$.
    $\quad$
    c. L’aire du triangle $OMP$ est :
    $\begin{align*} A&=\dfrac{OP\times OM}{2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{2x}{x-1}\times x}{2} \\
    &=\dfrac{x^2}{x-1}\end{align*}$
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]1;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
    Pour tout réel $x>1$ on a $(x-1)^2>0$ et $x>0$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $]1;2]$ et croissante sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    e. D’après le tableau de variations l’aire du triangle $OMP$ est minimale quand $x=2$ et vaut $4$ unités d’aires.

Bac Blanc ES/L – Février 2018

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2018 – Série ES/L

Énoncé

Exercice 1    5 points

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ;10]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x = 2$ et la droite d’équation $x = 4$.

Partie A

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.
    $\quad$
  2.  Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de $\ds \int_2^4 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ précédente est définie sur l’intervalle $[-4;10]$ par $f (x) = (x +4)\e^{-0,5x}$.

  1. Montrer que $f'(x) = (-0,5x-1)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$.
    $\quad$
  3. Montrer que sur l’intervalle $[1;6]$ l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.
    On notera $\alpha$ cette unique solution.
    $\quad$
  4. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\e^{-0,5x}$ sur $\R$ ?
    Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. En déduire la valeur exacte de $S$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

  • $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
  • $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
  • parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

  • $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
  • $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.
  1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    $\quad$
  3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
    $\quad$
  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
    $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

 

Exercice 3    5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Depuis le 1er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl’Aime est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos. La commune disposait de $200$ vélos au 1er janvier 2015. La société estime que, chaque année, $15\%$ des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que $42$ nouveaux vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l’année 2015 $+ n$

  1. Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$est définie par $u_0=200$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=0,85u_n+42$.
    $\quad$
  3. On donne l’algorithme suivant :
    Variables:
    $\quad$ $N$ entier
    $\quad$ $U$ réel
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $200$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $N<4$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,85\times U+42$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & &&&\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&&&& \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-280$. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=-80$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  7. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-80\times 0,85^n+280$.
    $\quad$
  8. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  9. La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune $300$ € par vélo en circulation au 1er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite $\left(u_n\right)$ étant exprimé avec un nombre entier.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude d’un graphe.

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous.

  1. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.
    $\quad$
  2. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
    $\quad$
  3. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ admet un cycle ou une chaîne eulérienne.
    $\quad$
  4. Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ .
    $\quad$
  5. On donne $M^2=\begin{pmatrix}
    4&2&2&1&2&2&2&1&1\\
    2&5&1&3&1&1&1&2&0\\
    2&1&4&2&1&1&1&2&2\\
    1&3&2&4&1&1&0&1&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&0&0&0&3&2&1\\
    1&2&2&1&0&0&2&4&0\\
    1&0&2&0&0&0&1&1&2\\ \end{pmatrix}$
    $\quad$
    Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$.
    $\quad$

Partie B : Applications

Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s’aidant de la partie A.

On donne ci-dessous le plan simplifié d’un lycée.

  1. Le graphe $\Gamma$ donné en partie A modélise cette situation. Recopier et compléter le tableau suivant :
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée

    $\quad$

  2. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment I. A la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez-vous avec ses parents. Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l’élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins.
    $\quad$
  3. Le lycée organise une journée portes-ouvertes. Déterminer, en justifiant, s’il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. Si oui, déterminer ce chemin.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. L’aire hachurée sur le graphique ci-dessous est :
    a. $\e-\dfrac{1}{2}$
    b. $\e-\dfrac{3}{2}$
    c. $\e-1$
    d. $\e+\dfrac{1}{2}$

    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur $[1;3]$ est :
    a. $3$
    b. $\dfrac{13}{3}$
    c. $\dfrac{26}{3}$
    d. $\dfrac{4}{3}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

    On note $I=\ds \int_{-10}^{-5} g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-10\pp I \pp -5$
    b. $2\pp I \pp 7$
    c. $10\pp I \pp 35$
    d. $4\pp I \pp 8$
  4. $A$ et $B$ sont deux événement d’une expérience aléatoire. On note $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$. On sait que $p(A)=0,6$ ; $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,42$. On peut affirmer que :
    a. $p_A(B)=0,3$
    b. $p(A\cup B)=0,58$
    c. $p_B(A)=0,84$
    d. $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,28$
    $\quad$
  5. Si le prix d’un produit avait augmenté de $3,4\%$ par an durant $6$ ans, le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été de :
    a. $20,4\%$
    b. $23,1\%$
    c. $22,21\%$
    d. $24,21\%$
    $\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    Par conséquent $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, $f'(4)$ semble être négatif (fonction décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$).
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$. Calculer $\ds\int_2^4 f(x)\dx$ revient donc à calculer l’aire du domaine grisé.
    L’aire $\mathscr{A}$ du domaine grisé peut être encadré par l’aire d’un trapèze (grande base =$2$, petite base=$1$, hauteur=$2$) et l’aire d’un carré de côté $2$.
    Donc $\dfrac{(2+1)\times 2}{2} <\mathscr{A}<2^2$ soit $3<\mathscr{A}<4$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f$ est dérivable sur $[-4;10]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-0,5x}-0,5(x+4)\e^{-0,5x} \\
    &=(1-0,5x-2)\e^{-0,5x} \\
    &=(-0,5x-1)\e^{-0,5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5x-1$
    $-0,5x-1=0\ssi -0,5x=1\ssi x=-2$
    $-0,5x-1>0\ssi -0,5x>1\ssi x<-2$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[-4;-2]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    $f(1)=5\e^{-0,5}\approx 3,03>1,5$ et $f(6)=10\e^{-3}\approx 0,50<1,5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 3,11$.
    $\quad$
  5. Pour montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ on montre que $F'(x)=f(x)$.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2\e^{-0,5x}+(-2x-12)\times (-0,5\e^{-0,5x} \\
    &=(-2+x+6)\e^{-0,5x} \\
    &=(x+4)\e^{-0,5x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_2^4 f(x)\dx \\
    &=F(4)-F(2) \\
    &=-20\e^{-2}+16\e^{-1} \\
    &\approx 3,18 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a $p(S)=0,18$ et $p_{\conj{F}}(S)=0,175$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. D’après l’arbre précédent on a :
    $p\left(\conj{F}\cap S\right)=0,48\times 0,175=0,084$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_S\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{F}\cap S\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,084}{0,18} \\
    &\approx 0,467
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)=p(F\cap S)+p\left(\conj{F}\cap S\right) &\ssi 0,18=p(F\cap S)+0,084 \\
    &\ssi p(F\cap S)=0,096
    \end{align*}$
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} p_F(S)&=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,096}{0,52}\\
    &\approx 0,185
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeur d’emploi sans expérience.

On répète $5$ fois une expérience aléatoire, avec remise. Les expériences sont indépendantes les unes des autres et à chaque tirage il y a deux issues : $S$ et $\conj{S}$. On sait que $p(S)=0,18$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,18$.

On veut calculer :
$\begin{align*}P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,18)^5 \\
&\approx 0,629
\end{align*}$

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est $0,629$.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2016, il y aura $200 \times 0,85 + 42 = 212$ vélos.
    $\quad$
  2. Chaque année $85\%$ des vélos restent en service. Cela représente donc $0,85u_n$.
    On rajoute $42$ nouveaux vélos chaque année.
    On obtient ainsi la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,85u_n + 42$.
    $\quad$
  3. a. 
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & 212 &222&231&238\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Faux} \\
    \hline
    \end{array}$$
    L’algorithme affiche donc $238$.
    b. L’algorithme affiche donc $u_4$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1} & =u_{n+1} – 280 \\\\
    &=0,85u_n + 42 – 280 \\\\
    &= 0,85u_n – 238 \\\\
    &= 0,85u_n – 0,85 \times 280 \\\\
    &=0,85(u_n – 280) \\\\
    &=0,85v_n
    \end{align*}$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    De plus son premier terme est $v_0 = u_0 – 280 = 200 – 280 = -80$.
    $\quad$
    b. Ainsi $v_n = -80 \times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n = v_n + 280 = -80 \times 0,85^n+ 280$
    $\quad$
    d. Puisque $0 < 0,85 <1$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 280$.
    Au bout d’un grand nombre d’année, le nombre de vélo en circulation se stabilisera à $280$.
    $\quad$
  5. On doit donc calculer le nombre de vélo mis en service sur les cinq années :
    $\begin{align*} S &= u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 \\\\
    &= 200 + 212 +222+231+238 \\\\
    & = 1~103
    \end{align*}$
    Le coût total est donc de $1~103 \times 300 = 330~900$ euros sur cette période.
    $\quad$

Ex 3 Spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Etude d’un graphe

  1. Les sommets A et E, par exemple, ne sont pas adjacents. Le graphe $\Gamma$ n’est donc pas complet.
    $\quad$
  2. On peut toujours passer d’un sommet à un autre par une chaîne : le graphe $\mathscr{G}$ est donc connexe.
    $\quad$
  3. $\quad$
    sommet A B C D E F G H I
    degré $4$ $5$ $4$ $4$ $2$ $2$ $3$ $4$ $2$

    $\quad$
    Il y a donc $1$ sommets de degré impair. Le graphe $\mathscr{G}$ ne possède pas de cycle eulérien mais possède une chaîne eulérienne.
    $~$

  4. La matrice associée est :
    $$M = \begin{pmatrix}
    0&1&1&1&0&0&0&1&0 \\
    1&0&1&1&1&1&0&0&0 \\
    1&1&0&0&0&0&1&1&0 \\
    1&1&0&0&1&1&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&0&1&0&0&0&0&1&1 \\
    1&0&1&0&0&0&1&0&1 \\
    0&0&0&0&0&0&1&1&0
    \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  5. On a $M^3 = M \times M^2$
    On multiplie donc la $7^\text{ème}$ ligne de $M$ avec la $4^\text{ème}$ colonne de $M^2$
    $\begin{array}{c|c} &  \begin{pmatrix} 1\\3\\2\\4\\1\\1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \\
    \hline
    \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0&0&1&0&1 \end{pmatrix}  & 1 + 2 = 3 \end{array}$

$\quad$

Partie B : Applications

  1. $\quad$
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée
    administration
    Hall $1$
    Hall $2$
    Salle des professeurs
    CDI
    Cantine
    Bâtiment $1$
    Vie scolaire et infirmerie
    Bâtiment $2$
  2. L’élève veut donc aller du sommet G au sommet D en $3$ étapes. D’après la question 4 de la partie A, il existe $3$ chemins pour ce trajet :
    G-C-B-D $\quad$ G-C-A-D $\quad$G-H-A-D
    $\quad$
  3. Puisque le graphe $\Gamma$ possède une chaîne eulérienne, on peut visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut calculer $\ds \int_0^1 \e^x \dx =\left[\e^x\right]_0^1=\e^1-\e^0=\e-1$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-1}\ds \int_1^3 x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 \\
    &=\dfrac{27-1}{6} \\
    &=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. Il correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-10$ et $x=-5$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $2\times 5=10$.
    Ce domaine est contenu donc un rectangle dont les dimensions sont $7$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $7\times 5=35$.
    Par conséquent $10 \pp I\pp 35$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. On a $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,42}{0,5}=0,84$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le coefficient multiplicateur global est $\left(1+\dfrac{3,4}{100}\right)^6\approx 1,222~146$.
    Le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été d’environ $22,21\%$.
    Réponse c
    $\quad$

TES/TL – Exercices – AP – probabilités conditionnelles – loi binomiale

Exercices – Probabilités conditionnelles – Loi binomiale (AP)

Exercice 1     d’après Antilles Guyane septembre 2015

Un supermarché dispose d’un stock de pommes. On sait que $40\%$ des pommes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il a été constaté que $85\%$ des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de $95\%$ pour le fournisseur B.
Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :

  • $A$ : “la pomme provient du fournisseur A”;
  • $B$ : “la pomme provient du fournisseur B”;
  • $C$ : “la pomme est commercialisable”.

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est $0,09$.
    $\quad$
  3. La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois plus de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison?

Partie B

On admet que la proportion de pommes non commercialisables est $0,09$ et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.

On prend au hasard $15$ pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

  1. Quelle est la probabilité que les $15$ pommes soient toutes commercialisables?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’au moins $14$ pommes soient commercialisables?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    BAC ESL-Antilles-septembre 2015-ex2
  2. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*}
    p\left(\overline{C}\right) &=p\left(A\cap \overline{C}\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)\\\\
    &=0,4 \times 0,15+0,6\times 0,05\\\\
    &=0,09
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On va calculer $p_{\overline{C}}(A)$ et $p_{\overline{C}}(B )$
    $\begin{align*} p_{\overline{C}}(A) &= \dfrac{p\left(A \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,4\times 0,15}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$ $\qquad$ $\begin{align*} p_{\overline{C}}(B) &= \dfrac{p\left(B \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Le responsable a donc raison.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pomme commercialisables.
    On prélève $15$ pommes; le tirage est considéré comme étant aléatoire et avec remise. Les tirages sont indépendants et à chaque fois on ne peut avoir que deux événements $C$ et $\overline{C}$.
    De plus $p(C)=1-0,09=0,91$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,91)$.
    Ainsi $P(X=15)=0,91^{15}\approx 0,243$.
    $\quad$
  2. On veut ici calculer:
    $\displaystyle \begin{align*} P(X\ge 14) &=P(X=14)+P(X=15)\\\\
    &=\binom{15}{14}\times0,91^{14}\times 0,09+0,91^{15}\\\\
    &\approx 0,604
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     Antilles Guyane juin 2015

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que $70\%$ des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, $80\%$ pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve $10\%$ qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

  • $S$ : “l’élève interrogé est sensible au développement durable”;
  • $T$ : “l’élève interrogé” pratique le tri sélectif”.
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité $P(T)$ de l’événement $T$ est $0,59$.
    $\quad$
  4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
    Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à $10\%$.
    $\quad$
  5. On interroge successivement et de façon indépendant quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les $4$ élèves interrogés.
    Le nombre d’élèves de l’établissement est suffisamment grand pour que l’on considère que $X$ suit une loi binomiale.
    a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    BAC ESL - Antilles Guyane - juin 2015 - ex2
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(S \cap T) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T) &= P(S \cap T) + P\left(\overline{S} \cap T\right) \\\\
    &= 0,56 + 0,3 \times 0,1 \\\\
    &= 0,59
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\overline{T}}(S) & =\dfrac{P\left(\overline{T} \cap S\right)}{P(T)} \\\\
    &= \dfrac{0,7 \times 0,2}{0,59} \\\\
    & \approx 0,24
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,59)$.
    $\quad$
    b. $P(X = 0) = \ds \binom{4}{0} \times 0,59^0 \times 0,41^4 \approx 0,03$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X \ge 2) & = 1 – \left(P(X = 0) + P(X = 1)\right) \\\\
    &\approx 1 – 0,19 \\\\
    &\approx 0,81
    \end{align*}$
    $\quad$

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TES/TL – Exercices – Loi binomiale

Loi binomiale

probabilités conditionnelles, lois de probabilité

 

Exercice 1     d’après Liban mai 2018 

$80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:
    $\bullet$ la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;
    $\quad$
    $\bullet$ la probabilité qu’au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
    $\quad$
  4. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1.  On répète $80$ fois la même expérience aléatoire. Toutes les “tirages” sont identiques, indépendants. Chaque expérience possède exactement deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,021~92$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,021~92$.
    $\quad$
  2. $E(X)=np=1,753~6$.
    Un moyenne environ $1,7$ personnes feront sonner le portique.
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est :
    $P(X \pg 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,021~92)^{80} \approx 0,830$
    $\quad$
    La probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique est :
    $P(X \pp 5) \approx 0,992$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  4. En utilisant le mode table de la calculatrice on obtient :
    $P(X \pp 2) \approx 0,744$ et $P(X \pp 3) \approx 0,901$
    Donc $3$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2     d’après Asie juin 2018

Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?

$\quad$

Correction Exercice 2

On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
De plus $p(E)=0,2$.
La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.

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$\quad$

Exercice 3     d’après Antilles Guyane juin 2018

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types: “Terre”, “Air” ou “Feu”.
Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
La probabilité que Victor obtienne un personnage de type “Terre” est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type “Terre” obtenus au début de ses $10$ parties.

  1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type “Terre” au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type “Terre” au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $10$ tirages indépendants, aléatoires, identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $p(T)=0,3$
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. $P(Y=3)=\ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27$
    La probabilité que Victor ait obtenu exactement $3$ personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égale à $0,27$
    $\quad$
  3. $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-0,7^{10}\approx 0,97$.
    La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égal à $0,97$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4     d’après Antilles Guyane septembre 2018

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de sur-réservation afin d’abaisser les coûts.
Les réservations ne peuvent se faire qu’auprès d’une agence ou sur le site Internet de la compagnie.
Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.
On suppose que le nombre de clients se présentant à l’embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.

  1. Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement.
    $\quad$
  3. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de sur-réservation (c’est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l’embarquement que de places).
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
    La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
    La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
    $\quad$
  3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
    La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     Métropole juin 2017

L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :

  • si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas ;
  • si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas.

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

  • $B$ l’événement : “l’angine du malade est bactérienne” ;
  •  $T$ l’événement : “le test effectué sur le malade est positif” .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
    $\quad$
    c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
    $\quad$
  3. On choisit au hasard cinq malades atteints d’une angine.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut déterminer $p(B\cap T)=0,2\times 0,7=0,14$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1 \\
    &=0,22
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,14}{0,22} \\
    &=\dfrac{7}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$. De plus $p(T)=0,22$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 1) = 1-p(X=0) =1-0,78^5\approx 0,711$
    $\quad$
    c. L’espérance est $E(X)=np=1,1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6     Nouvelle Calédonie novembre 2017

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour. À l’aller, le bateau est choisi dans $65\%$ des cas.
Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour $9$ fois sur $10$.
Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans $70\%$ des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants :

  • $A$ : “le client choisit de faire l’aller en bateau” ;
  • $R$ : “le client choisit de faire le retour en bateau” .

On rappelle que si $E$ est un événement, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un client de l’agence.
    a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à $0,31$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard $20$ clients de cette agence.
    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
    On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.
    a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’exactement $12$ clients utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins $2$ clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
  4. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de $1~560$ € en bateau ; il est de $1~200$ € en train.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
    a. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer $p(A\cap R)=0,65\times 0,9=0,585$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap R\right)+p\left(A \cap\conj{R}\right)&=0,65\times 0,1+0,35\times 0,7 \\
    &=0,065+0,245\\
    &=0,31
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Les paramètres de loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ sont $n=20$ et $p=0,31$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $p(X=12)=\displaystyle \binom{20}{12}\times 0,31^{12}\times 0,69^8\approx 0,005$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $p(X\pg 2)=1-P(X\pp 1)\approx 0,994$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  4. a. Le coût d’un aller-retour en bateau est de $3~120$€. La probabilité associée est $0,585$
    Le coût d’un voyage utilisant les deux moyens de transports est de $2~760$€. La probabilité associée est $0,31$.
    le coût d’un aller-retour en train est de $2~400$€. La probabilité associée est $1-0,585-0,31=0,105$.
    On obtient ainsi la loi de probabilité suivante:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i&3~120&2~760&2~400\\
    \hline
    P\left(Y=y_i\right)&0,585&0,31&0,105\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} E(Y)&=0,585\times 3~120+0,31\times 2~760+0,105\times 2~400\\
    &=2~932,8
    \end{align*}$
    Cela signifie donc qu’en moyenne un client payera $2~932,8$€ pour un aller-retour.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7     d’après Nouvelle Calédonie février 2018

Cette étude porte sur l’utilisation principale des véhicules du parc automobile français.
Les réponses seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Les véhicules de la région parisienne représentent $16\%$ du parc automobile français en 2015.
$22\%$ des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $34\%$ pour les loisirs.
En province, $49\%$ des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $31\%$ pour les loisirs.
On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

On note :

  • $R$ l’événement : “le véhicule provient de la région parisienne”,
  • $\conj{R}$ l’événement : “le véhicule provient de la province”,
  • $T$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail”,
  • $L$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs”,
  • $F$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour d’autres fonctions que le travail ou les loisirs”.

On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux événements, $p(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à $0,446~8$.
    $\quad$
  3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l’utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne ?
    $\quad$

$\quad$

Partie B

On sélectionne un échantillon aléatoire de $10$ véhicules du parc automobile français. On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

  1. Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(R\cap T)+p\left(\conj{R}\cap T\right) \\
    &=0,16 \times 0,22 + 0,84\times 0,49 \\
    &=0,446~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On calcule dans un premier temps, à l’aide de la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(L)&=p(R\cap L)+p\left(\conj{R}\cap L\right) \\
    &=0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\
    &=0,314~8
    \end{align*}$
    Ainsi $p_L(R)=\dfrac{p(R\cap L)}{p(L)}=\dfrac{0,16\times 0,34}{0,314~8}\approx 0,172~8$
    et $p_T(R)=\dfrac{R\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,16\times 0,22}{0,446~8} \approx 0,078~8$
    Ainsi Madame Dupont a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne.
    $\quad$

Partie B

  1. Le nombre de véhicule du parc automobile français est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage à un tirage aléatoire avec remise.
    Les $10$ tirages sont également indépendants et possède chacun $2$ issues : $T$ et $\conj{T}$
    Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,446~8$.
    $\quad$
  2. $P(X=2)=\displaystyle \binom{10}{2}\times 0,446~8^2\times (1-0,446~8)^8\approx 0,078~8$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,446~8)^{10}\\
    &\approx 0,997~3
    \end{align*}$
    $\quad$

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2nd – Exercices – Racines carrées

Racines carrées

Exercice 1

Écrire ces expressions sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est un entier naturel le plus petit possible et $a$ un entier relatif.

$A=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108}$
$\quad$
$B=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245}$
$\quad$
$C=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175}$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108} \\
&=5\sqrt{3\times 16}-2\sqrt{3\times 25}+7\sqrt{3\times 36} \\
&=5\times 4\sqrt{3}-2\times 5\sqrt{3}+7\times 6\sqrt{3}\\
&=20\sqrt{3}-10\sqrt{3}+42\sqrt{3}\\
&=52\sqrt{3}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245} \\
&=3\sqrt{4\times 5}+2\sqrt{9\times 5}-6\sqrt{49\times 5}\\
&=3\times 2\sqrt{5}+2\times 3\sqrt{5}-6\times 7\sqrt{5}\\
&=6\sqrt{5}+6\sqrt{5}-42\sqrt{5}\\
&=-30\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175} \\
&=-5\sqrt{4\times 7}+3\sqrt{16\times 7}+2\sqrt{25\times 7}\\
&=-5\times 2\sqrt{7}+3\times 4\sqrt{7}+2\times 5\sqrt{7} \\
&=-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}+10\sqrt{7} \\
&=12\sqrt{7}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}$
$\quad$
$C=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}$
$\quad$
$D=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}$
$\quad$
$E=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$A=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}\times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{2\times 7}=\dfrac{3\sqrt{7}}{14}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{3\times 2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$
$\quad$
$C=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}\times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{8\sqrt{6}}{3\times 6}=\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$
$\quad$
$D=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{5\times 3}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{15}$
$\quad$
$E=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{7\sqrt{5}}{4\times 5}=\dfrac{7\sqrt{5}}{20}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(\sqrt{2}-3\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{11}\right)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^2 \\
&=\sqrt{3}^2-2\times \sqrt{3}\times \sqrt{7}+\sqrt{7}^2\\
&=3-2\sqrt{21}+7\\
&=10-2\sqrt{21}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\left(\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)^2 \\
&=\sqrt{5}^2+2\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2\\
&=5+4\sqrt{15}+4\times 3\\
&=5+4\sqrt{15}+12\\
&=17+4\sqrt{15}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}-3\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{5}\right) \\
&=3\times \sqrt{2}^2+4\sqrt{10}-9\sqrt{10}-12\times \sqrt{5}^2\\
&=3\times 2-5\sqrt{10}-12\times 5\\
&=6-5\sqrt{10}-60\\
&=-54-5\sqrt{10}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{11}\right) \\
&=\sqrt{2}^2-\sqrt{11}^2\\
&=2-11\\
&=-9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

 

TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=(x-3)^2+1$.

  1. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  2. En déduire les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\quad$
  3. Calculer l’aire du domaine hachuré.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=\left(x-3\right)^2+1 \\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+9+1\\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+10\\
    &\ssi 2x^2-12x+10=0 \end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme est $\Delta =(-12)^2-4\times 2\times 10=64=8^2>0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $x_1=\dfrac{12-8}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{12+8}{4}=5$.
    $\quad$
  2. De plus $f(1)=5$ et $f(5)=5$.
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(1;5)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(5;5)$.
    $\quad$
  3. $f(x)\pg g(x) \ssi -2x^2+12x-10\pg 0 \ssi x\in[1;5]$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    Par conséquent l’aire du domaine hachuré est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds\int_1^5\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^5\left(-2x^2+12x-10\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+6x^2-10x\right]_1^5 \\
    &=\dfrac{50}{3}-\left(-\dfrac{14}{3}\right) \\
    &=\dfrac{64}{3} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=x+4$.

  1. Calculer l’aide du domaine hachuré.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0;6]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On détermine dans un premier temps les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=x+4 \\
    &\ssi -x^2+5x-4=0\end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta = 5^2-4\times (-1)\times (-4)=9=3^2>0$
    Les solutions de l’équation $-x^2+5x-4=0$ sont donc $x_1=\dfrac{-5-3}{-2}=4$ et $x_2=\dfrac{-5+3}{-2}=1$.
    Or $f(1)=5$ et $f(4)=8$.
    Le coefficient principal du polynôme $-x^2+5x-4$ est $-1<0$. Il est par conséquent positif sur l’intervalle $[1;4]$.
    On en déduit donc que sur l’intervalle $[1;4]$ on a $f(x)\pg g(x)$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    L’aire du domaine hachuré est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^4\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^4 \left(-x^2+5x-4\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2-4x\right]_1^4 \\
    &=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{11}{6}\right) \\
    &=\dfrac{9}{2} \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;6]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{6-0}\ds\int_0^6 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\int_0^6\left(-x^2+6x\right)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\left[-\dfrac{1}{3}x^3+3x^2\right]_0^6 \\
    &=\dfrac{36}{6}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Ne pas confondre “dériver” et “déterminer une primitive”!

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2\right)\e^x$.

  1. Déterminer l’expression algébrique de la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x\right)\e^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Calculer $I=\ds \int_2^5 f(x)\dx$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note : $u(x)=x^2-2$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(2x+x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+2x-2\right)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note $u(x)=x^2-2x$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x-2$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Nous allons étudier le signe de $f'(x)=\left(x^2+2x-2\right)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-2$.
    $\Delta =2^2-4\times 1\times (-2)=12>0$.
    Les racines de ce polynômes sont : $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{12}}{2}=-1-\sqrt{3}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{12}}{2}=-1+\sqrt{3}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x) \pg 0$ sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$
    $\bullet$ $f'(x)\pp 0$ sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_2^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(2) \\
    &=15\e^5\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

Exercices – TES/TL – Intégration et études de fonctions

Intégration et étude de fonctions

Exercice 1     Pondichéry 2017  

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
    $\quad$
  3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
    a. $[9;17]$
    b. $[18;26]$
    c. $[27;35]$
    $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
    $\quad$
    b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
    a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
    a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
    $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)

$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A

  1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
    $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
    $\quad$
  3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.

    Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
    Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[18;26]$ Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
    $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;7]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
    $\quad$
  4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur de l’aire du domaine est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
    &=F(3)-F(1)\\
    &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
    &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
    &\approx 10,778
    \end{align*}$
    Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
    $\quad$
    b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
    D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
    L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2    Centres étrangers 2017

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Métropole septembre 2017

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de $300$ euros.
On note $x$ le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l’intervalle $[3;10]$, si le prix de vente d’une enceinte est $x$ centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par : $$f(x)=e^{-0,25x+5}$$
Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros.
Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d’acheteurs est approché par $f(4)$.

  1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
    $\quad$
  2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte?
    On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros par enceinte.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$, $$g(x)=(x-3)\e^{-0,25x+5}$$
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{factoriser(dériver}\left[(x-3)*\exp(-0,25x+5)\right] \\
    \hline
    \hspace{3cm} -\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5} \\
    \hline
    \end{array}$
    a. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b. Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près.
    $\quad$
  5. Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3;10]$.
    a. Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. On pose $I=\ds \int_3^{10} g(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(4)=\e^{-0,25\times 4+5}=\e^{4} \approx 54,60$
    On peut donc prévoir environ $55$ acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    $\quad$
  2. La marge brute, si le prix de vente est de $40$ euros, est $55*400-300\times 55=5~500$ euros.
    $\quad$
  3. Si $x$ appartient à l’intervalle $[3;10]$ alors :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)-3f(x) \\
    &=(x-3)f(x) \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5}
    \end{align*}$
  4. a. D’après l’affichage du calcul formel on a $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$.
    La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-(x-7)$.
    Ainsi :
    $\bullet$ si $x\pp 7$ alors $x-7\pp 0$ et $-(x-7)\pg 0$ : la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[3;7]$.
    $\bullet$ si $x\pg 7$ alors $x-7\pg 0$ et $-(x-7) \pp 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[7;10]$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est maximale quand $x=7$ et $g(7)=4\e^{3,25}\approx 103,16$.
    L’entreprise réaliser une marge brute maximale d’environ $10~316$ euros quand le prix de vente unitaire est de $700$ euros.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;10]$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-4\e^{-0,25x+5}-0,25\times (-4x-4)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(-4+x+1)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I&=\int_3^{10} g(x)\dx \\
    &=G(10)-G(3) \\
    &=-44\e^{2,5}-\left(-16\e^{4,25}\right) \\
    &=-44\e^{2,5}+16\e^{4,25}
    \end{align*}$
    $\quad$

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TES/TL – Exercices – AP – Intégration

Exercices – Intégration – AP

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+5$

  1. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
    $\quad$
  2. Résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement l’aire du domaine compris entre  la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=2,5$.
    $\quad$
  4. En déduire la valeur de $I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx$.
    $\quad$
  5. Calculer la valeur de $I$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On obtient la courbe suivante :

    $\quad$
  2. $f(x)\pg 0 \ssi -2x+5\pg 0 \ssi -2x\pg -5 \ssi x \pp 2,5$
    $\quad$
  3. On calcule l’aire d’un triangle rectangle : $\mathscr{A}=\dfrac{2,5\times 5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2,5]$ donc
    $I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx = 6,25$ u.a.
    $\quad$
  5. À l’aide de la calculatrice on retrouve $I=6,25$ u.a.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=-x^2+4x$.
On souhaite déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses.

  1. Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale que l’on appellera $I$.
    $\quad$
  2. Encadrer cette aire par une somme d’aires de de carrés situés au-dessous de la courbe et au-dessus de la courbe. En déduire un encadrement grossier ce de cette aire.
    $\quad$
  3. Donner un encadrement de cette aire à une unité près.
    $\quad$
  4. Calculer $I$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;4]$. Par conséquent :
    $I=\ds =\int_0^{4}f(x)\dx$
    $\quad$
  2. On peut écrire l’encadrement : $ 6\pp I\pp 16$.
    $\quad$
  3. Pour obtenir un encadrement à une unité près on peut écrire $10 \pp I\pp 11$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice on a $I\approx 10,67$ u.a.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Indiquer à quoi correspond chaque aire hachurée à l’aide d’une intégrale et déterminer graphiquement sa valeur en unité d’aire.

 

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On veut calculer l’aire d’un trapèze :
    $\mathscr{A}_1=\ds\int_{-1}^2 (x+3)\dx=\dfrac{(2+5)\times 3}{2}=10,5$ u.a.
    $\quad$
  2. On veut calculer également l’aire d’un trapèze :
    $\begin{align*}\mathscr{A}_2 &=\ds \int_{-2}^2\left(-\dfrac{1}{3}x+3\right)\dx \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\times 2+3-\dfrac{1}{3}\times 2+3\right)\times 4}{2} \\
    &=12 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes dont une expression algébrique est fournie:

  1. $f(x)=5$ $\quad$ $g(x)=5x$ $\quad$ $h(x)=6-3x$ $\quad$ $i(x)=x^2-3$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^x$ $\quad$ $g(x)=\e^x-2x$ $\quad$ $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$ avec $x\neq 0$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=5x$.
    Une primitive de la fonction $G$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{5}{2}x^2$.
    Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=6x-\dfrac{3}{2}x^2$.
    Une primitive de la fonction $i$ est la fonction $I$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{x}{3}-3x$.
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x$.
    Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-x^2$.
    Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R^*$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x}$.
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 5

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $u’\e^u$.

  1. $f(x)=(x+1)\e^{x^2+2x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^{1-7x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\e^{3x-5}$
    $\quad$
  4. $f(x)=5x+4+\e^{-2x}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\e^x+\e^{-x}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $u(x)=x^2+2x$ donc $u'(x)=2x+2$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+2x}$.
    $\quad$
  2. On a $u(x)=1-7x$ donc $u'(x)=-7$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{7}\e^{1-7x}$.
    $\quad$
  3. On a $u(x)=3x-5$ donc $u'(x)=3$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{3x-5}$.
    $\quad$
  4. On a $u(x)=-2x$ donc $u'(x)=-2$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+4x-\dfrac{1}{2}\e^{-2x}$.
    $\quad$
  5. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-\e^{-x}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $\dfrac{u’}{u^2}$ ou $u’\times u$.

  1. $f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
    $\quad$
  2. $f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
    On a $u(x)=x^2+x$ donc $u'(x)=2x+1$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^2+x\right)^2$.
    $\quad$
  2. $f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
    $u(x)=3x^2+4x$ donc $u'(x)=6x+4$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)\times u(x)$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{4}\left(x^2+x\right)^2$.
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
    On a $u(x)=x^2+3x$ donc $u'(x)=2x+3$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x^2+3x}$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
    On a $u(x)=\e^x+7x+2$ donc $u'(x)=\e^x+7$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
    On a $u(x)=\e^x-x$ donc $u'(x)=\e^x-1$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{-u’}{u^2}$ est $\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ puis proposer une autre fonction $G$ telle que pour tout $x\in I$ on ait $G'(x)=f(x)$.

  1. $f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  2. $f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  3. $f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  4. $f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
    $\quad$
  6. $f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  7. $f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times\e^{-x}-(-x-3)\e^{-x} \\
    &=(-1+x+3)\e^{-x} \\
    &=(x+2)\e^{-x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=(-x-3)\e^{-x}+1$
    $\quad$
  2. $f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+x\e^x-4\times 2x \\
    &=(1+x)\e^x-8x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=x\e^x-4x^2+1$
    $\quad$
  3. $f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{7}{2}\times 2x+5 \\
    &=x^2-7x+5\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x$
    $\quad$
  4. $f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=2(4x+7)+(2x-1)\times 4 \\
    &=8x+14+8x-4\\
    &=16x+10\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=8x^2+10x$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1\times (x-1)-(x+5)\times 1}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{-6}{(x-1)^2} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x+5}{x-1}+1$
    $\quad$
  6. $f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=2\left(\e^x-1\right)+2x\times \e^x \\
    &=2\e^x-2+2x\e^x \\
    &=2(1+x)\e^x-2\\
    &=2\left((x+1)\e^x-1\right)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=2x\left(\e^x-1\right)+1$
    $\quad$
  7. $f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{5}{x^2}-4 \\
    &=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{5}{x}-4x+1$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Soit $f$ une fonction définie sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $f(x)=-2x+5$.

  1. On définit la fonction $F$ sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $F(x)=-x^2+5x$.
    Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Calculer $F(2,5)-F(0)$.
    $\quad$
  3. En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ et comparer à la valeur de $I$ calculée à l’exercice 1.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. La fonction $F$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ en tant que fonction polynôme.
    $F'(x)=-2x+5=f(x)$.
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. $F(2,5)-F(0)=6,25-0=6,25$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est positive et continue sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ est donc :
    $\ds \int_0^{2,5} f(x)\dx=F(2,5)-F(0)=6,25$ u.a.
    $\quad$
    On retrouve la valeur de $I$ de l’exercice 1.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

On se propose de déterminer la valeur exacte de l’aire de l’exercice 2.

  1. Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+4x$ qui s’annule en $x=0$.
    $\quad$
  2. Calculer $F(4)$ et comparer cette valeur à celle de l’intégrale calculée à la question 4 de l’exercice 2.
    $\quad$
Correction Exercice 9

  1. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2$.
    De plus $F(0)=0$.
    $\quad$
  2. $F(4)=-\dfrac{4^3}{3}+2\times 16=\dfrac{32}{3}$
    $\quad$
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $4$ est donc :
    $\ds\int_0^4 f(x)\dx=F(4)-F(0)=\dfrac{32}{3}$ u.a.
    C’est cohérent avec la valeur approchée trouvée à la question 4 de l’exercice 2.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

  1. Déterminer un encadrement à une unité d’aire près de l’aire délimitée par la surface grisée.
    $\quad$
  2. La représentation graphique donnée ci-dessus est celle de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=1+0,3(x-4)^2$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de l’aire délimitée par la surface grisée.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. L’aire de la surface grisée est comprise entre $6$ et $7$ u.a.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} \ds \int_1^5 f(x)\dx &=\left[x+\dfrac{0,3}{3}(x-4)^3\right]_1^5 \\
    &=5+0,1(5-4)^3-1-0,1(1-4)^3 \\
    &=6,8 \text{u.a.}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

TS – Devoir synthèse 6 – 1er trimestre

Devoir Commun

TS – Décembre 2018 – 3h

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans cet exercice, on s’intéresse à une entreprise qui conditionne du sucre.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{−4}$ près.

Partie A

L’entreprise conditionne des dosettes de sucre à mettre dans le café. Ces dosettes sont emballées dans du papier blanc ou du papier noir. Un grand nombre de ces dosettes est stocké dans une remise.
On sait que dans ce stock, la proportion de dosettes avec un emballage noir est de $0,4$.
On prélève au hasard dans ce stock $50$ dosettes en admettant que ce choix se ramène à $50$ tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de dosettes emballées en noir.

  1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement $20$ des $50$ dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$

Partie B

L’entreprise conditionne également du sucre blanc provenant de deux exploitations $U$ et $V$ en paquets de $1$ kg et de différentes qualités.
Le sucre «extra fin» est conditionné séparément dans des paquets portant le label «extra fin».

On admet que $3\%$ du sucre provenant de l’exploitation $U$ est extra fin et que $5\%$ du sucre provenant de l’exploitation $V$ est extra fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet.
On considère les événements suivants :

  • $U$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $U$»
  • $V$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $V$»
  • $E$: «Le paquet porte le label ”extra fin”»
  1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique $30\%$ de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation $U$ et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation $V$, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
    a. Montrer que la probabilité que le paquet prélevé porte le label ”extra fin” est de $0,044$.
    $\quad$
    b. Sachant qu’un paquet porte le label ”extra fin”, quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation $U$ ?
    $\quad$
  2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label ”extra fin”, $30\%$ d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations $U$ et $V$?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

$\quad$

Exercice 2     7 points

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0 = 3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que } \ldots \ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow \ldots \ldots \\u \leftarrow \ldots \ldots \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    la notation  « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n \leftarrow 0$ » signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Partie A

Voici deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

 

  1. La fonction $C$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et on note $C’$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.
    À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
    $\quad$
  2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
    $\quad$
  3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration $C$ d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = A t\e^{-t}$$ où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
    a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    “À quantité d’alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente.”
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = 2 t\e^{-t}$$

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. Rappeler la limite de $\dfrac{e^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de $0,2$ g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
    a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
    $\quad$
    b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
    Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède $2$ issues : $S$ “l’emballage est noir” et $\conj{S}$ “l’emballage n’est pas noir”. De plus $p(S)=0,4$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. On a $p(X=20)=\ds \binom{50}{20}\times 0,4^{20}\times 0,6^{30} \approx 0,114~6$.
    La probabilité qu’exactement $20$ dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,114~6$.
    $\quad$
  3. $p(X\pg 25)=1-p(X\pp 24) \approx 0,097~8$.
    La probabilité qu’au moins la moité des dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,097~8$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a $p(U)=0,3$, $p(V)=0,7$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,3\times 0,03+0,7\times 0,05 \\
    &=0,044
    \end{align*}$
    La probabilité que le paquet prélevé porte le label “extra fin” est $0,044$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(U)&=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,03}{0,044} \\
    &=\dfrac{9}{44}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel appartenant à $[0;1]$.
    On a $p(U)=x$, $p(V)=1-x$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x
    \end{align*}$
    On sait que :
    $\begin{align*} p_E(U)=0,3 &\ssi \dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} =0,3\\
    &\ssi \dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3 \\
    &\ssi 0,03x=0,015-0,006x \\
    &\ssi 0,036x=0,015 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{12}
    \end{align*}$
    Il faut donc que que $p(U)=\dfrac{5}{12}$ et $p(V)=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  2. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
  4. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \pg 1~520$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pg 1~520$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1~520$
    $\begin{align*} u_n \pg 1~520 &\ssi 0,95u_n \pg 1~444 \\
    &\ssi 0,95u_n+76 \pg 1~520 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg1~520
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
    &=-0,05u_n+76 \\
    &\pp 0,05\times 1~520+76 \\
    &\pp 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \ssi u_n=v_n+1~520$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\
    &=0,95u_n+76-1~520 \\
    &=0,95u_n-1~444 \\
    &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\
    &=0,95v_n+1~444-1~444 \\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  7. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n \pp 2~000 &\ssi 1~480\times 0,95^n+1~520 \pp 2~000 \\
    &\ssi 1~480\times 0,95^n \pp 480 \\
    &\ssi 0,95^n \pp \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \pg 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La vitesse est maximale quand le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe $C$ est le plus grand. C’est donc pour $t=0$ que cette vitesse est maximale.
    $\quad$
  2. Plus la personne est corpulente moins, à quantité d’alcool ingérée égale, la concentration d’alcool dans le sang est importante. La courbe $\mathcal{C}_2$ correspond donc à la personne la plus corpulente.
    $\quad$
  3. a. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(t)=A\e^{-t}-At\e^{-t}$
    Donc $f'(0)=A$
    b. Si on appelle $f_1$ et $f_2$ les fonctions associées aux graphiques $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, on constate que $f’_1(0)>f’_2(0)$.
    Donc $A_1>A_2$ (où $A_i$ est la constante liée à la fonction $f_i$).
    Puisque la courbe $\mathcal{C}_2$ correspond à la personne ayant la forte corpulence, l’affirmation est fausse.
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

  1. D’après la question A.3. on a :
    $f'(t)=2\e^{-t}-2t\e^{-t}=2\e^{-t}(1-t)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de $(1-t)$.
    Or $1-t>0 \ssi t<1$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La concentration d’alcool dans le sang est donc maximale quand $t=1$.
    Et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  3. On a $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\e^t}{t}=+\infty$.
    Or $f(t)=2\dfrac{t}{\e^t}=2\dfrac{1}{\dfrac{\e^t}{t}}$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0$.
    Cela signifie qu’au bout d’un très grand nombre d’heures la concentration d’alcool dans le sang est nulle et donc que l’alcool a disparu de l’organisme.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0<0,2$ et $f(1) \approx 0,74>0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_1$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On procède de même sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1) \approx 0,74>0,2$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0<0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_2$ sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Il existe donc deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t)=0,2$.
    $\quad$
    b. Sur $\left[t_1;t_2\right]$ $f(t)>0,2$ car $f$ est croissante sur $\left[t_1;1\right]$.
    Donc Paul ne pourra prendre le volant qu’après $t_2$.
    On obtient à l’aide de la calculatrice $t_2\approx 3,577$
    Il faut donc que Paul attendent $3$ heures et $35$ minutes avant de pouvoir reprendre le volant.
    $\quad$