E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise de $1~000$ employés est organisée en 3 services « A », « B » et « C » d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés. Une enquête effectuée auprès de tous les employés sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montré que :

  • $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $20 \% des employés du service « B » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $80 \%$ des employés du service « C » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : l’employé fait partie du service « A » ;
  • $B$ : l’employé fait partie du service « B » ;
  • $C$ : l’employé fait partie du service « C » ;
  • $T$ : l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. Justifier que $P(A) = 0,45$ puis donner $P_A(T)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe qui sera à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  4. Montrer que $P(T) = 0,482$.
    $\quad$
  5. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service « C ». Arrondir à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=\dfrac{450}{1~000}\\
    &=0,45\end{align*}$
    D’après l’énoncé, $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.
    Donc $P_A(T)=0,4$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T)\\
    &=0,45\times 0,4\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à $0,18$.
    $\quad$
  4. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T)\\
    &=0,18+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8\\
    &=0,482\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(C)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,32\times 0,8}{0,482}\\
    &\approx 0,531\end{align*}$
    Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, la probabilité qu’il fasse partie du service « C » est environ égale à $0,531$.
    $\quad$

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Terminale – Cours – Nombres premiers

Nombres premiers

I Nombres premiers

Définition 1 : On dit qu’un entier naturel $n$ non nul est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : $1$ et lui même.

Remarque : Un nombre est toujours divisible par $1$ et lui même. Cela signifie donc qu’un nombre premier n’est divisible par aucun autre nombre entier positif.

Exemples :

  • $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers;
  • $1$ n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur positif;
  • $4$ n’est pas premier car il est divisible par $2$.

À l’aide du crible d’Ératosthène on obtient la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$.

Propriété 1 : On considère un entier naturel $n \pg 2$.

  • $n$ est divisible par un nombre premier $p$.
  • Si $n$ n’est pas premier alors $2\pp p\pp \sqrt{n}$.

Preuve Propriété 1

  • Si $n$ est un nombre premier alors $n$ est divisible par lui-même. On peut donc prendre $p=n$.
  • Si $n$ n’est pas un nombre premier.
    On appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des diviseurs positifs de $n$ différent de $1$ et de $n$.
    $\mathscr{E}$ n’est pas vide puisque $n$ n’est pas premier.
    C’est donc une partie non vide de $\N$. Il possède par conséquent un plus petit élément $p$.
    Supposons que $p$ ne soit pas premier. Il existe alors un entier naturel $p’\pg 2$ qui divise $p$. Donc $2\pp p'<p$.
    $p’$ divise alors également $n$. Il appartient par conséquent à $\mathscr{E}$ et $p'<p$.
    Cela contredit le fait que $p$ soit le plus petit élément de $\mathscr{E}$.
    Donc $p$ est un nombre premier.
    $\quad$
    Montrons maintenant que $2\pp p\pp \sqrt{n}$
    Il existe un entier naturel $q$ tel  que $n=pq$ avec $p\pp q$.
    En multipliant cette inégalité par $p$ on obtient $p^2\pp qp$ soit $p^2\pp n$.
    Par conséquent $p\pp \sqrt{n}$.
    $p$ appartient à $\mathscr{E}$ donc $p\pg 2$.
    Donc $2\pp p\pp \sqrt{n}$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 2 (contraposée) : On considère un entier naturel $n\pg 2$.
Si aucun entier naturel $p$ tel que $2\pp p \pp \sqrt{n}$ ne divise le nombre $n$ alors $n$ est un nombre premier.

Exemple : $\sqrt{353} \approx 18,8$. Le nombre $353$ n’est divisible par aucun entier $p$ compris entre $2$ et $18$.
Par conséquent $353$ est un nombre premier.

Théorème 1 : Il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve Théorème 1

Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers : $p_1< p_2<\ldots<p_n$.
On note $N=p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n+1$.
Ainsi $N-p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n=1$.
D’après le théorème de Bézout, les nombres $N$ et $p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n$ sont premiers entre eux.
Aucun des nombres $p_i$ ne divise donc $N$.
Par conséquent $N$ est un nombre premier différent de chacun des $p_i$.
Cela contredit le fait que les seuls nombres premiers étaient $p_1, p_2, \ldots, p_n$.

Il existe donc une infinité de nombres premiers.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

II Décomposition en facteurs premiers

Théorème 2 : Tout entier naturel $n \pg 2$ se décompose de manière unique, à l’ordre près des facteurs, en un produit de facteurs premiers.
On a ainsi $$n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$$
où $p_1, p_2, \ldots, p_k$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ sont des entiers naturels non nuls.
Preuve Théorème 2

  • Existence
    Si $n$ est un nombre premier alors la propriété est vraie.
    Supposons que $n$ ne soit pas un nombre premier.
    On appelle $p_1$ le plus petit nombre premier (il existe d’après la propriété 1) divisant $n$. Il existe un entier naturel $n_1<n$ tel que $n=p_1n_1$.
    Si $n_1$ est un nombre premier, la propriété est vraie.
    Sinon, on appelle $p_2$ le plus petit diviseur premier de $n_1$. Il existe alors un entier naturel $n_2<n_1$ tel que $n_1=p_2n_2$.
    On obtient ainsi une suite $\left(n_i\right)$ d’entiers naturels strictement décroissante. Cette suite est donc finie et son dernier terme est un nombre premier.
    On a alors déterminé une liste de nombres premiers $p_1,p_2,\ldots p_s,n_s$.
    En regroupant les nombres premiers égaux on obtient $$n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$$
  • Unicité
    On suppose que le nombre $n$ se décompose de deux façons : $n=p_1\times p_2\times \ldots \times p_r$ et $N=q_1\times q_2\times \ldots \times q_s$ où les $p_i$ et $q_j$ sont des nombres premiers.
    Ainsi  $p_1\times p_2\times \ldots \times p_r=q_1\times q_2\times \ldots \times q_s$.
    On simplifie, si c’est possible, par tous les facteurs communs.
    On obtient alors $p’_1\times p’_2\times \ldots p’_{r’}=q’_1\times q’_2\times \ldots q’_{s’}$ où, $p’_i\neq q’_j$ pour tout $i$ et $j$.
    Par conséquent $p’_1$ est un nombre premier qui divise $q’_1\times q’_2\times \ldots q’_{s’}$. Il divise donc, d’après le théorème de Gauss, un des facteurs qu’on appellera $q’_{j_0}$.
    Ainsi, par construction, $p’_1$ est un nombre premier différent du nombre premier $q’_{j_0}$ et divise $q’_{j_0}$. Il y a donc une contradiction.
    La décomposition est par conséquent unique.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : $468~000=2^5\times 3^2\times 5^3\times 13$

Propriété 3 : On considère un entier naturel $n\pg 2$ dont la décomposition en facteurs premiers est $$n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$$
où $p_1, p_2, \ldots, p_k$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ sont des entiers naturels non nuls.
Tous les diviseurs de $n$ peuvent s’écrire sous la forme $$p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2}\times \ldots \times p_k^{\beta_k}$$ où tous les $\beta_i$ sont entiers naturels tels que $0\pp \beta_i \pp \alpha_1$ pour $1\pp i\pp k$.
Preuve Propriété 3

Les nombres de la forme $p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2}\times \ldots \times p_k^{\beta_k}$ sont des diviseurs de $p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$.

Réciproquement, montrons que tous les diviseurs de $n$ s’écrivent sous cette forme.
On appelle $d$ un diviseur de $n$. $d$ possède une décomposition en facteurs premiers $d=d_1^{\gamma_1} \times d_2^{\gamma_1} \times \ldots \times d_r^{\gamma_r}$.
Chacun des $d_i$ divise $d$ qui lui même divise $p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$.
Par conséquent chacun des $d_i$ divise un $p_j$.
On a ainsi $d=p_1^{\gamma_1} \times p_2^{\gamma_2}\times \ldots \times p_k^{\gamma_k}$.
Supposons qu’il existe un $\gamma_i>\alpha_i$.
Cela signifie donc que $p_i^{\alpha_i+1}$ divise $n$ ce qui est impossible.
Par conséquent $0\pp \gamma_i \pp \alpha _i$

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$\quad$

Exemple : On a $1~176=2^3\times 3\times 7^2$. Par conséquent $2\times 7^2$ est un diviseur de $1~176$.

Propriété 4 : On considère un entier naturel $n\pg 2$ dont la décomposition en facteurs premiers est $$n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$$
où $p_1, p_2, \ldots, p_k$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ sont des entiers naturels non nuls.
Alors $n$ possède $\left(\alpha_1+1\right)\times \left(\alpha_2+1\right)\times \ldots\times \left(\alpha_k+1\right)$ diviseurs.
Preuve Propriété 4

Pour chaque nombre premier $p_i$ de la décomposition il y a, d’après la propriété précédente, $\alpha_i+1$ possibilités de choisir un exposant pour un diviseur de $n$.
$n$ possède alors $\left(\alpha_1+1\right)\times \left(\alpha_2+1\right)\times \ldots\times \left(\alpha_k+1\right)$ diviseurs.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On a $1~176=2^3\times 3\times 7^2$. Par conséquent $1~176$ possède $(3+1)\times (1+1)\times (2+1)=24$ diviseurs.

Détermination du PGCD de deux entiers naturels non nuls.
On veut déterminer $\PGCD(462~000;10~525~688)$.
– On détermine la décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres :
$462~000=2^4\times 3\times 5^3\times 7\times 11$
$10~525~688=2^2\times 3^5\times 7^2\times 13\times 17$
– Le PGCD est le produit des diviseurs premiers commun aux deux nombres comptés avec leur plus petit exposant.
Les diviseurs premiers communs à $462~000$ et $10~525~688$ sont $2$ (le plus petit exposant est $2$), $3$ (le plus petit exposant est $1$) et $7$ (le plus petit exposant est $1$).
Ainsi $\PGCD(462~000;10~525~688)=2^2\times 3\times 7$.

$\quad$

III Le petit théorème de Fermat

Théorème 3 (petit théorème de Fermat) : On considère un nombre premier $p$ et un entier relatif $a$. $$a^p\equiv a~[p]$$

Exemple : On va montrer que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^5-n$ est divisible par $10$.
– D’après le petit théorème de Fermat on a $n^2\equiv n~[2]$.
Par conséquent $n^4 \equiv n^2~[2]$ c’est-à-dire $n^4\equiv n~[2]$
Et $n^5\equiv n\times n~[2]$ soit $n^5\equiv n~[2]$.
– D’après le petit théorème de Fermat on a également $n^5\equiv n~[5]$.
– $2$ et $5$ sont premiers entre eux et $n^5-n$ est divisible par $2$ et $5$.
Par conséquent $n^5-n$ est divisible par $2\times 5$ soit $n^5\equiv n~[10]$.

Propriété 5 : On considère un entier relatif $a$ et un nombre premier $p$ qui ne divise pas $a$. $$a^{p-1}\equiv 1~[p]$$
Preuve Propriété 5

D’après le petit théorème de Fermat on a $a^p\equiv a~[p]$, c’est-à-dire que $p$ divise $a^p-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$ ($p-1$ est bien un entier naturel car $p\pg 2$).
$p$ et $a$ sont premiers entre eux et $p$ divise $a\left(a^{p-1}-1\right)$ .
D’après le théorème de Gauss, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
Ainsi $a^{p-1}\equiv 1~[p]$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $7$ est un nombre premier qui ne divise pas $100$ donc $100^{6}\equiv 1~[7]$.

$\quad$

 

1ère – Cours – Fonctions polynômes du second degré

Fonctions polynômes du second degré

I Fonctions polynôme du second degré

Définition 1 :On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a,b$ et $c$ sont des réels tels que $a\neq 0$.

Remarque : On parle également de fonction polynomiale du second degré ou de degré $2$.

Exemples :

$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-3x+5$ est une fonction polynôme du second degré. $a=2, b=-3$ et $c=5$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=x^2+2$ est une fonction polynôme du second degré. $a=1, b=0$ et $c=2$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=-x^2+5x$ est une fonction polynôme du second degré. $a=-1, b=5$ et $c=0$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x^3-3x^2+4x-1$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme du troisième degré.
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x+2$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit d’un polynôme du premier degré (ou fonction affine).
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x-\dfrac{1}{x}$ n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Définition 2 : On appelle forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, une expression algébrique de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Exemple :
$\begin{align*} 2(x-1)^2+3 &= 2\left(x^2-2x+1\right)+3\\
&=2x^2-4x+2+3 \\
&=2x^2-4x+5
\end{align*}$
Par conséquent $2(x-1)^2+3$ est la forme canonique de la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-4x+5$.

Propriété 1 : Toute fonction polynomiale du second degré possède une forme canonique.
Si, pour tous réels $x$, on a $P(x)=ax^2+bx+c$ alors $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P(\alpha)$.
Preuve Propriété 1

On a, pour tous réels $x$, $P(x)=ax^2+bx+c$.
Puisque $a\neq 0$, on peut donc écrire $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.

On constate que l’expression $x^2+\dfrac{b}{a}x$ est le début d’une identité remarquable.
En effet :
$$\begin{align*} \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=x^2+2\times x \times\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}
\end{align*}$$

Par conséquent $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$

Donc
$$\begin{align*} P(x)&=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right) \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+c \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a} \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}$$

On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=- \dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Ainsi $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

On constate que $P(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=\beta$.

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$\quad$

Conséquence : Une fonction polynôme de second degré possède donc :
– une forme développée : $P(x)=ax^2+bx+c$;
– une forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$;
Dans certains cas, elle possède également une forme factorisée : $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

$\quad$


$\quad$

II Variations d’une fonction polynôme du second degré

Propriété 2 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
$\bullet$ Si $a>0$ alors la fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\bullet$ Si $a<0$ alors la fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
Preuve Propriété 2

On a vu, qu’on pouvait écrire $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

On considère deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1<x_2$.

$$\begin{align*} P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) &=a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta-\left(a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta\right) \\
&=a\left(\left(x_1-\alpha\right)^2-\left(x_2-\alpha\right)^2\right) \\
&=a\left(x_1-\alpha-x_2+\alpha\right)\left(x_1-\alpha+x_2-\alpha\right) \\
&=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2-2\alpha\right)
\end{align*}$$

On sait que $x_1<x_2$. Donc $x_1-x_2<0$.

On va considérer les deux intervalles suivants : $]-\infty;\alpha]$ et $[\alpha;+\infty[$.

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $x_1+x_2 \le \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \le 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \le 0$.

$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $x_1+x_2 \ge \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \ge 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \ge 0$.

Si $a>0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Si $a<0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

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$\quad$

On obtient ainsi ces tableaux de variations où $\beta = P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ :

2nd - cours - 2nd degré - fig1 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig2 (2)

Propriété 3 : La fonction $P$ atteint :
$\bullet$ un minimum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a>0$
$\bullet$ un maximum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a<0$

$\quad$

III Représentation graphique

Propriété 4 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction $P$ est une parabole et la droite d’équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie.
Le point $S$ de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ est appelé sommet de la parabole.

2nd - cours - 2nd degré - fig3 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig4

 

$\quad$

 

1ère – Cours – Géométrie repérée

Géométrie repérée

Dans ce chapitre, le plan sera muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

I Équation cartésienne d’une droite

Définition 1 : Toute droite $d$ du plan possède une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a;b)\neq (0;0)$ appelée équation cartésienne.
Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-b;a)$

Remarque : Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes. Il suffit de multiplier une équation cartésienne par un réel non nul pour en obtenir une nouvelle.

Exemples :

  • $d$ est la droite passant par le point $A(4;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$.
    On considère un point $M(x;y)$ du plan. Le vecteur $\vect{AM}$ a donc pour coordonnées $(x-4;y+2)$.
    $\begin{align*}M\in d&\ssi \text{det}\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0 \\
    &\ssi \begin{array}{|cc|}
    x-4&3\\
    y+2&1\end{array}=0\\
    &\ssi 1\times (x-4)-3(y+2)=0\\
    &\ssi x-4-3y-6=0\\
    &\ssi x-3y-10=0\end{align*}$
    Une équation cartésienne de $d$ est $x-3y-10=0$.
    $\quad$
  • On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x+5y+1=0$.
    Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-5;4)$.
Définition 2 (vecteur normal) : Un vecteur $\vec{n}$, différent du vecteur nul, est normal à une droite s’il est orthogonal à tout vecteur directeur $\vec{u}$ de cette droite.

Remarques :

  • Cela signifie donc que, pour tout vecteur directeur $\vec{u}$ d’une droite, un vecteur normal $\vec{n}$ à cette droite vérifie $\vec{u}.\vec{n}=0$.
  • Il existe une infinité de vecteur normal à une droite.

 

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+4=0$.
Un vecteur directeur à cette droite $d$ est $\vec{u}(3;2)$. Le vecteur $\vec{n}(2;-3)$ est normal à cette droite $d$.
En effet :
$\begin{align*}\vec{u}.\vec{n}&=3\times 2+2\times (-3) \\
&=6-6\\
&=0\end{align*}$

Propriété 1 : Si un vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur $\vec{u}$ d’une droite $d$ alors il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de cette droite.
Preuve Propriété 1

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux. Donc $\vec{u}.\vec{n}=0$.
Pour tout vecteur directeur $\vec{v}$ il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
$\begin{align*} \vec{v}.\vec{n}&=\left(k\vec{u}\right).\vec{n} \\
&=k\left(\vec{u}.\vec{n}\right)\\
&=0\end{align*}$
Ainsi les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{n}$ sont également orthogonaux.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 2 : On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$.
Le vecteur $\vec{n}(a;b)$ est alors normal à cette droite.
Preuve Propriété 2

Un vecteur directeur à la droite $d$ est $\vec{u}(-b;a)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{n}&=-ba+ab\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
D’après la propriété précédente, le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à tous les vecteurs directeurs de la droite $d$.
Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x+7y-1=0$.
Un vecteur normal à la droite $d$ est donc $\vec{n}(4;7)$.

Propriété 3 : Si un vecteur $\vec{n}(a;b)$ est normal à une droite $d$ alors cette droite a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$.
Propriété 3

On considère un point $A\left(x_A;y_A\right)$ appartenant à la droite $d$ et un point $M(x;y)$ du plan. Le vecteur $\vect{AM}$ a pour coordonnées $\left(x-x_A;y-y_A\right)$.
$\begin{align*} M\in s &\ssi \vec{n}.\vect{AM}=0 \\
&\ssi a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0\\
&\ssi ax-ax_A+by-by_A=0\\
&\ssi ax+by+\left(-ax_A-by_A\right)=0\end{align*}$
En notant $c=-ax_A-by_A$ la droite $d$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(4;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-3;5)$.
Une équation de la droite $d$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$
$\begin{align*} A\in d&\ssi -3\times 4+5\times 2+c=0\\
&\ssi-12+10+c=0\\
&\ssi c=2\end{align*}$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-3x+5y+2=0$.
$\quad$

$\quad$

II Équation d’un cercle

Propriété 4 : Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$ est $$\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$$
Preuve Propriété 4

Le cercle $\mathscr{C}$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $AM=r$.
Or
$\begin{align*} AM=r&\ssi \sqrt{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2}=r\\
&\ssi \left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2\end{align*}$

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$\quad$

Remarque : La preuve de la propriété nous assure donc que l’équation $\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$ est celle d’un cercle de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$.

Exemples : 

  • Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A(4;-3)$ et de rayon $5$ est $(x-4)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2$ soit $(x-4)^2+(y+3)^2=25$.
  • On veut déterminer l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan vérifiant $x^2+4x+y^2-6y-8=0$
    $\begin{align*} &x^2+4x+y^2-6y-8=0\\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+y^2-2\times 3\times y-8=0\\
    &\ssi (x+2)^2-2^2+(y-3)^2-3^2-8=0 \quad (*)\\
    &\ssi (x+2)^2+(y-3)^2=21\\
    &\ssi \left(x-(-2)\right)^2+(y-3)^2=\sqrt{21}^2\end{align*}$
    $(*)$ On reconnaît en effet deux début d’identités remarquables de la forme $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$.
    L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-2;3)$ et de rayon $\sqrt{21}$.
    $\quad$

 

 

1ère – Cours – Produit scalaire

Produit scalaire

I Définition

Définition 1 (norme d’un vecteur) : On considère un vecteur $\vec{u}$ et deux points $A$ et $B$ tels que $\vect{AB}=\vec{u}$.
On appelle norme du vecteur $\boldsymbol{u}$ le nombre $\norme{\vec{u}}=AB$.

Définition 2 (produit scalaire) : On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le réel, noté $\vec{u}.\vec{v}$ défini par :
$$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\end{align*}$$

Remarque : Par convention, si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$.

Exemple : On considère trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $AB=4$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ rad. Alors :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\
&=4\times 3 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=12\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=6\sqrt{2}\end{align*}$

Propriété 1 : On considère deux vecteurs colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$;
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de sens contraire alors $\vec{u}.\vec{v}=-\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.

Preuve Propriété 1

On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
$\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}$

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\widehat{BAC}=0$ rad.
    Par conséquent $\cos \widehat{BAC}=1$
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\widehat{BAC}=\pi$ rad.
    Par conséquent $\cos \widehat{BAC}=-1$
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=-\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 2 (projeté orthogonal) : On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ et on appelle $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
On a alors :
$$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
&=\begin{cases} AB\times AH & \text{Si $\vec{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de même sens}\\-AB\times AH & \text{Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de sens contraire} \end{cases}\end{align*}$$

Preuve Propriété 2

On a $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$

  • Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de même sens, c’est-à-dire $0\pp \widehat{BAC} <\dfrac{\pi}{2}$
    D’une part $\vect{AB}.\vect{AH}=AB\times AH$
    D’autre part, dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a $AC\times \cos \widehat{HAC}=AH$
    Or $\widehat{HAC}=\widehat{BAC}$
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
    &=AB\times AH\end{align*}$$
    $\quad$
  • Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de sens contraire, c’est-à-dire $\dfrac{\pi}{2}< \widehat{BAC} \pp \pi$
    D’une part $\vect{AB}.\vect{AH}=-AB\times AH$
    D’autre part, dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a $AC\times \cos \widehat{HAC}=AH$
    Or $\widehat{BAC}=\pi-\widehat{HAC}$
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB \times AC\times \cos\left(\pi-\widehat{HAC}\right) \\
    &=AB \times AC \times \left(-\cos \widehat{HAC}\right) \\
    &=-AB \times AH\\
    &=\vect{AB}\times \vect{AH}\end{align*}$$
    $\quad$
  • Si $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ rad
    Les points $A$ et $H$ sont confondus donc $\vect{AH}=\vec{0}$ donc $\vect{AB}.\vect{AH}=0$.
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB \times AC\times \cos\widehat{HAC}) \\
    &=AB \times AC \times 0 \\
    &=0\\
    &=\vect{AB}\times \vect{AH}\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=5$ et $BC=2$.

Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\times \vect{AB} \\
&=AB\times AB\\
&=25\end{align*}$

Définition 3 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ on note $\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}$.
Propriété 3 : On considère deux points $A$ et $B$ du plan.
On a alors $\vect{AB}^2=\norme{\vect{AB}}^2=AB^2$.
Preuve Propriété 3

$\vect{AB}$ et $\vect{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}^2&=\vect{AB}.\vect{AB} \\
&=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AB}} \\
&=AB\times AB\\
&=AB^2\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

II Propriétés

Propriété 4 (symétrie) : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
On a : $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$.
Preuve Propriété 4

On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{CAB}\\
&=\norme{\vect{AC}}\times \norme{\vect{AB}}\times \cos \widehat{CAB}\\
&=\vec{v}.\vec{u}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 (bilinéarité) : On considère trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ainsi qu’un réel $k$.

  1. $\vec{u}.\left(\vec{v}.\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
  2. $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)=k\vec{u}.\vec{v}$

Preuve Propriété 5

  1. La propriété est admise.
    $\quad$
  2. On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$, $\vec{v}=\vect{AC}$, $k\vec{u}=\vect{AD}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$.
    – Si $k>0$ alors $\vec{u}=\vect{AB}$ et $k\vec{u}=\vect{AD}$ sont de même sens tout comme $\vec{v}=\vect{AC}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$, $\norme{\vect{AD}}=k\times \norme{\vect{AB}}$ et $\norme{\vect{AE}}=k\times \norme{\vect{AC}}$.
    Ainsi $\cos\widehat{BAC}=\cos \widehat{DAC}$ et $\cos\widehat{BAC}=\cos \widehat{BAE}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}\left(k\vec{u}\right).\vec{v}&=\vect{AD}.\vect{AC} \\
    &=\norme{\vect{AD}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{DAC} \\
    &=k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \quad (*)\\
    &=\norme{\vect{AB}} \times k\times\norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AE}}\times \cos\widehat{BAE} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AE} \\
    &=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)\end{align*}$
    De plus $(*)$ nous donne également $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k\vec{u}.\vec{v}$
    $\quad$
    – Si $k<0$ alors $\vec{u}=\vect{AB}$ et $k\vec{u}=\vect{AD}$ sont de sens contraire tout comme $\vec{v}=\vect{AC}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$, $\norme{\vect{AD}}=-k\times \norme{\vect{AB}}$ et $\norme{\vect{AE}}=-k\times \norme{\vect{AC}}$ (car $-k>0$).
    Ainsi $\cos\widehat{BAC}=-\cos \widehat{DAC}$ et $\cos\widehat{BAC}=-\cos \widehat{BAE}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}\left(k\vec{u}\right).\vec{v}&=\vect{AD}.\vect{AC} \\
    &=\norme{\vect{AD}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{DAC} \\
    &=-k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \left(-\cos\widehat{BAC} \right)\\
    &=k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \quad (*)\\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \left(- k\times\norme{\vect{AC}}\right)\times \left(-\cos\widehat{BAC}\right) \\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AE}}\times \cos\widehat{BAE} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AE} \\
    &=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)\end{align*}$
    De plus $(*)$ nous donne également $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k\vec{u}.\vec{v}$
    $\quad$
    – Si $k=0$ alors $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}$, $\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)$ et $k\vec{u}.\vec{v}$ sont tous les trois nuls donc égaux.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 6 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
  2. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
  3. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$

Preuve Propriété 6

  1. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}+\vec{v}}^2&=\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(\vec{u}+\vec{v}\right) \\
    &=\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vect{v}+\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}\\
    &=\norme{\vec{u}}^2+\vec{u}.\vect{v}+\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\\
    &=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
  2. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}^2&=\left(\vec{u}-\vec{v}\right).\left(\vec{u}-\vec{v}\right) \\
    &=\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vect{v}-\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}\\
    &=\norme{\vec{u}}^2-\vec{u}.\vect{v}-\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\\
    &=\norme{\vec{u}}^2-2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
  3. On a, d’après les preuves précédentes :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2&=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2-\left(\norme{\vec{u}}^2-2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\right) \\
    &=4\vec{u}.\vec{v}\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 7 (conséquence) : On considère un triangle $ABC$.
On a alors $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)$
Preuve Propriété 7

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vect{AB}}^2+\norme{\vect{AC}}^2-\norme{\vect{AB}-\vect{AC}}^2\right)
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-\norme{\vect{AB}+\vect{CA}}^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-\norme{\vect{CB}}^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=6$ et $BC=8$.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}(25+36-64)\\
&=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$

$\quad$

III Orthogonalité

Définition 4 : Deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont dits orthogonaux si, et seulement si, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

Remarque : Par convention, le vecteur $\vec{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Propriété 8 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$.
Preuve Propriété 8

  • Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux et $\vec{u}.\vec{v}=0$
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tous les deux différents du vecteur nul.
    On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
    Ainsi $AB\neq 0$ et $AC\neq 0$.
    On a $ \vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}$
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
    $\ssi$ $\vec{AB}$ et $\vect{AC}$s sont orthogonaux
    $\ssi$ $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires
    $\ssi$ $\widehat{BAC}$ est un angle droit
    $\ssi$ $\cos \widehat{BAC}=0$
    $\ssi$ $AB\times AC \times \cos \widehat{BAC}=0$
    $\ssi$ $\vec{u}.\vec{v}=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un carré $ABCD$ et les points $E$ et $F$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[BC]$.
On veut montrer que les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.

Ainsi $\vect{EB}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}$.
$ABCD$ est carré donc $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ sont orthogonaux et par conséquent $\vect{AB}.\vect{BC}=0$ et $\vect{AB}.\vect{AD}=0$. De plus $\vect{AD}=\vect{BC}$ et $AB=BC$.

$\begin{align*} \vect{BD}.\vect{EF}&=\left(\vect{BA}+\vect{AD}\right).\left(\vect{EB}+\vect{BF}\right) \\
&=\vect{BA}.\vect{EB}+\vect{BA}.\vect{BF}+\vect{AD}.\vect{EB}+\vect{AD}.\vect{BF} \\
&=\vect{BA}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{AB}\right)+\vect{BA}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{BC}\right)+\vect{AD}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{AB}\right)+\vect{AD}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{BC}\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}AB^2+0+0+\dfrac{1}{2}BC^2 \\
&=0\end{align*}$
Par conséquent, les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

III Dans un repère orthonormé

Dans cette partie le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

Propriété 9 (dans un repère) : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$.
On a alors $\vec{u}.\vec{v}=xx’+yy’$.
Preuve Propriété 9

On a $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ et $\vec{v}=x’\vec{i}+y’\vec{j}$.
Le repère est orthonormé donc $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\norme{\vec{i}}=1$ et $\norme{\vec{j}}=1$.

Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x’\vec{i}+y’\vec{j}\right) \\
&=x\vec{i}.\left(x’\vec{i}\right)+x\vec{i}.\left(y’\vec{j}\right)+y\vec{j}.\left(x’\vec{i}\right)+y\vec{j}.\left(y’\vec{j}\right) \\
&=xx’\norme{\vec{j}}^2+0+0+yy’\norme{\vect{j}}^2 \\
&=xx’+yy’\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(2;5)$ et $\vec{v}(3;-4)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=2\times 3+5\times (-4) \\
&=6-20\\
&=-14\end{align*}$

Propriété 10 : On considère un vecteur $\vec{u}(x;y)$. On a alors $\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
Preuve Propriété 10

On a :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}}^2&=\vec{u}.\vec{u} \\
&=x^2+y^2\end{align*}$
Donc $\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;5)$
On a alors :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}}&=\sqrt{2^2+5^2} \\
&=\sqrt{4+25}\\
&=\sqrt{29}\end{align*}$

Propriété 11 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx’+yy’=0$.
Preuve Propriété 11

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi xx’+yy’=0$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(-6;9)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=3\times (-6)+2\times 9 \\
&=-18+18\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc orthogonaux.

$\quad$

IV Applications du produit scalaire

Propriété 12 (Formule d’Al Kashi) : On considère un triangle $ABC$.

  • $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$
  • $AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times \cos\widehat{ACB}$
  • $AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times \cos\widehat{ABC}$

Remarque : Avec les notations de la figure, on écrit souvent les formules ainsi :$$\begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A} \\
b^2&=a^2+c^2-2ac\cos \widehat{B}\\
c^2&=a^2+b^2-2ab\cos \widehat{C}\end{align*}$$

Preuve Propriété 12

On ne prouvera que la formule $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$

$\begin{align*} BC^2&=\vect{BC}^2 \\
&=\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right)^2 \\
&=\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right).\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
&=\vect{BA}^2+\vect{BA}.\vect{AC}+\vect{AC}.\vect{BA}+\vect{AC}^2\\
&=AB^2+2\vect{-AB}.\vect{AC}+AC^2 \\
&=AB^2-2\vect{AB}.\vect{AC} +AC^2\\
&=AB^2-2AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}+AC^2 \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Remarque : Si le triangle $ABC$ est rectangle on retrouve le théorème de Pythagore.

Exemple : On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$ rad
D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=5^2+4^2-2\times 5\times 4\times \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \\
&=25+16-40\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
&=41-20\sqrt{3}\end{align*}$
Ainsi $BC=\sqrt{41-20\sqrt{3}}$

Propriété 13 : On considère deux points $A$ et $B$ et le point $I$ milieu du segment $[AB]$.
Pour tout point $M$ du plan on a $\vect{MA}.\vect{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2$.
Preuve Propriété 13

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ donc $\vect{IB}=-\vect{IA}$ et $IA=\dfrac{AB}{2}$

$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}&=\left(\vect{MI}+\vect{IA}\right).\left(\vect{MI}+\vect{IB}\right)\\
&=\vect{MI}^2+\vect{IA}.\vect{MI}+\vect{MI}.\vect{IB}+\vect{IA}.\vect{IB} \\
&=MI^2+\vect{IA}.\vect{MI}+\vect{MI}.\left(-\vect{IA}\right)+\vect{IA}.\left(-\vect{IA}\right) \\
&=MI^2+\vect{IA}.\vect{MI}-\vect{IA}.\vect{MI}-IA^2 \\
&=MI^2+0-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 \\
&=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère deux points $A$ et $B$ tels que $AB=4$.
On veut déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MA}.\vect{MB}=3$
$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}=3&\ssi MI^2-\dfrac{4^2}{4} =3\\
&\ssi MI^2-4=3 \\
&\ssi MI^2=7\end{align*}$
L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre $I$, milieu du segment $[AB]$ et de rayon $\sqrt{7}$.

Propriété 14 : On considère deux points $A$ et $B$.
L’ensemble des points $M$ du plan vérifiant $\vect{MA}.\vect{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Preuve Propriété 14

On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. Ainsi $AB=2AI$
D’après la propriété précédente on a :
$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}=0 &\ssi MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2=0 \\
&\ssi MI^2=\dfrac{AB^2}{4} \\
&\ssi MI^2=\dfrac{(2AI)^2}{4}\\
&\ssi MI^2=AI^2\\
&\ssi MI=AI\end{align*}$
L’ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $[IA]$, c’est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 15 : On considère deux points $A$ et $B$ et un point $M$ distinct de $A$ et $B$.
Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si, et seulement si, le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
Preuve Propriété 15

Le point $M$ est distinct des points $A$ et $B$.
$ABM$ est rectangle en $M$
$\ssi \vect{MA}.\vect{MB}=0$
$\ssi$ $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$
$\quad$

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$\quad$

 

 

 

1ère – Cours – Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques

I Définitions

Définition 1 : On appelle fonction cosinus la fonction, notée $\cos$, qui, à tout réel $x$, lui associe le nombre $\cos(x)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}&\dfrac{2\pi}{3}&\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{5\pi}{6}&\pi\\
\hline
\cos(x)&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\
\hline
\end{array}$$

Définition 2 : On appelle fonction sinus la fonction, notée $\sin$, qui, à tout réel $x$, lui associe le nombre $\sin(x)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{3}&-\dfrac{\pi}{4}&-\dfrac{\pi}{6}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\cos(x)&-1&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

II Propriétés

Propriété 1 (parité) :

  1. La fonction cosinus est paire.
  2. La fonction sinus est impaire.

Preuve Propriété 1

  1. Pour tout réel $x$, le point $M$ du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et le point $M’$ du cercle trigonométrique associé au réel $-x$ sont symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Ils ont donc la même abscisse.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction cosinus est par conséquent paire.
  2. Pour tout réel $x$, le point $M$ du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et le point $M’$ du cercle trigonométrique associé au réel $-x$ sont symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Ils ont donc des ordonnées opposées.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $\sin(-x)=-\sin(x)$. La fonction sinus est par conséquent impaire.
    $\quad$

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$\quad$

Remarque : Cela signifie donc que la courbe représentant la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Définition 2 : On dit qu’une fonction $f$, dont l’ensemble de définition est $\mathscr{D}_f$, est périodique de période $T$ si :

  • Pour tout réel $x \in \mathscr{D}_f$ on a $(x+T)\in\mathscr{D}_f$;
  • Pour tout réel $x$ on a $f(x+T)=f(x)$.

Propriété 2 (périodicité) : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que, pour tout réel $x$, on a $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
Preuve Propriété 2

Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $x+2\pi$ sont confondus. Ils ont donc la même abscisse et la même ordonnée.
Par conséquent $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

III Représentations graphiques

Les courbes représentant les fonctions cosinus et sinus sont appelées des sinusoïdes.

  • Fonction cosinus
    La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (parité) et deux points dont les abscisses sont séparées de $2\pi$ ont la même ordonnée (périodicité).
  • Fonction sinus

    La courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère (parité) et deux points dont les abscisses sont séparées de $2\pi$ ont la même ordonnée (périodicité). 

$\quad$

 

 

 

1ère – Cours – Trigonométrie

Trigonométrie

I Repérage sur un cercle

1. Le cercle trigonométrique

Définition 1 : Sur un cercle on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.

$\quad$

Définition 2 : On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon $1$ orienté dans le sens direct.

$\quad$

2. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique

On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. On appelle $\mathscr{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l’axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $I(1;0)$).

On appelle $A$ le point de coordonnées $(1;1)$. On munit ainsi la droite $\mathscr{D}$ du repère $(I;A)$.

En enroulant cette droite $\mathscr{D}$ sur le cercle $\mathscr{C}$ on fait correspondre, pour tout réel $x$, au point $M$ de coordonnées $(1;x)$ de la droite $\mathscr{D}$ un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$.

Propriété 1 : À tout réel $x$ il existe donc un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ associé à ce réel $x$.
On dit alors que le point $M’$ est l’image du réel $x$ et on note parfois $M(x)$.

 

Remarque : A chaque point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ il existe une infinité de réel ayant le point $M’$ comme image.

Propriété 2 : Si $M’$ est associé au réel $x$ alors il est également l’image de tous les réels de la forme $x+k\times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemple : Si $M’$ est un point du cercle $\mathscr{C}$ image du réel $1,5$ alors il est également l’image des réels $1,5+2\pi$; $1,5+4\pi$; $1,5+6\pi$; $\ldots$ et également des réels $1,5-2\pi$; $1,5-4\pi$; $1,5-6\pi$; $\ldots$

Remarque : Si $x\in[0;2\pi]$ alors $x$ représente la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$.

Définition 3 : On considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$ et un point $M$ de ce cercle.
On définit la mesure en radian, notée rad, de l’angle $\widehat{IOM}$ comme la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$ intercepté par cet angle.

Remarques :

  • $90$°$=\dfrac{\pi}{2}$ rad, $180$°$=\pi$ rad, $360$°$=2\pi$ rad
  • La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à la mesure en degré.
  • $1$ rad $\approx 57,3$°

$\quad$

3. Quelques valeurs particulières

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle (en radian)}\phantom{\dfrac{1}{1}}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle (en degré)}\phantom{\dfrac{1}{1}}&30&45&60&90\\
\hline
\end{array}$$

On obtient les autres correspondances par symétrie.

$\quad$

4. Quelques exemples d’utilisation

Méthode 1 : Deux réels ont-ils la même image sur le cercle ?

  • On considère les réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{24\pi}{4}=6\pi=3\times 2\pi$.
    La différence étant un multiple de $2\pi$ les deux nombres ont la même image sur le cercle.
  • On considère les réels $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{11\pi}{3}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)=\dfrac{15\pi}{3}=5\pi$.
    La différence n’est pas un multiple de $2\pi$. Les deux nombres n’ont donc pas la même image sur le cercle.

$\quad$

Méthode 2 : Déterminer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique

On veut déterminer l’image du nombre $\dfrac{19\pi}{4}$.

  • On se place au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$.
  • Puisque le nombre $\dfrac{19\pi}{4}$ est positif on va reporter dans le sens trigonométrique $19$ fois l’arc de cercle correspondant.
  • On arrive sur le point associé à $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

$\quad$

II Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on appelle $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
On appelle :

  • cosinus du nombre $x$ l’abscisse du point $M$. On le note $\cos(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\cos x$.
  • sinus du nombre $x$ l’ordonnée du point $M$. On le note $\sin(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\sin x$.

Propriété 3 : Pour tout réel $x$ on a :

  • $-1 \pp \cos x \pp 1$
  • $-1 \pp \sin x \pp 1$
  • $\left(\cos x\right)^2+\left(\sin x\right)^2=1$

$\quad$

Remarque : On note souvent $\left(\cos x\right)^2=\cos^2 x$ et $\left(\sin x\right)^2=\sin^2 x$.

Voici quelques valeurs remarquables à connaître :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&\phantom{~~}0\phantom{~~}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\phantom{~~}0\phantom{~~}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

Preuve de quelques valeurs particulières

  • Calculs de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
    On appelle $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $\dfrac{\pi}{3}$.

    Les points $M$ et $I$ appartiennent au cercle trigonométrique. Le triangle $OMI$ est donc isocèle en $O$.
    On sait de plus que $\widehat{IOM}=\dfrac{\pi}{3}$. Par conséquent le triangle $OMI$ est équilatéral.
    On appelle $H$ le pied de la hauteur de ce triangle issue du point $H$.

    Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices issues de chaque sommet sont confondues. Par conséquent $H$ est le milieu du segment $[OI]$.
    On a $0 < \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
    Donc :
    $\begin{align*} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)&= OH \\
    &=\dfrac{1}{2} \end{align*}$.
    $\quad$
    On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle.
    $\begin{align*} &OM^2=OH^2+HM^2 \\
    \ssi~&1=\dfrac{1}{4}+HM^2 \\
    \ssi~& HM^2=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    On a $0 < \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)&=HM\\
    &=\sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  • Calcul de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
    On procède de la même manière que dans le cas précédent.
    On appelle $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $\dfrac{\pi}{4}$.
    On appelle $H$ le pied de la hauteur du triangle $OMI$ issue du point $H$.

    Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et $\widehat{HOM}=\dfrac{\pi}{4}$. Ce triangle est par conséquent isocèle en $O$. Par conséquent $OH=HM$.
    Or on a $0 < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$ et $\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0$
    Ainsi $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=OH=HM=\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)$
    On a :
    $\begin{align*} &\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1\\
    \ssi~&2\cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1\\
    \ssi~& \cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} \end{align*}$
    Ainsi $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ soit $\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

III Angles associés

Propriété 4 :
Pour tous réels $x$ on a :

  1. $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$
  2. $\cos(x-\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x-\pi) = -\sin(x)$
  3. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2} – x \right) = \sin(x)$ $\quad$ et $\quad$  $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos(x)$
  4. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$ $\quad$ et $\quad$  $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x \right) = \cos(x)$

ts-cours-derivation-fig2

Exemples : 

  • On a :
    $\begin{align*}\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)&=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) \\
    &=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\
    &=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
  • On a :
    $\begin{align*} \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)&=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) \\
    &=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
    &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

$\quad$

1ère – Cours – Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

I Définition

Propriété 1 : On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$.
Cette fonction $f$ ne s’annule pas sur $\R$.
Preuve Propriété 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)\times f(-x)$.
Cette fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=f'(x)\times f(-x)+f(x)\times \left(-f'(-x)\right) \\
&=f(x)\times f(-x)-f(x)\times f(-x) \\
&=0\end{align*}$
La fonction $g$ est donc constante.
Or :
$\begin{align*} g'(0)&=f(0)\times f(-0) \\
&=1\times 1\\
&=1\end{align*}$
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)\times f(-x)=1$ et la fonction $f$ ne s’annule donc pas sur $\R$.
$\quad$

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$\quad$

Théorème 1 : Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$.
Preuve Théorème 1

On admet l’existence d’une telle fonction.
On ne va montrer ici que son unicité.

On suppose qu’il existe deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$, $g(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ et $g'(x)=g(x)$.
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Cette fonction $h$ est bien définie sur $\R$ puisque, d’après la propriété 1, la fonction $g$ ne s’annule pas sur $\R$.
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{f'(x)\times g(x)-f(x)\times g'(x)}{g^2(x)} \\
&=\dfrac{f(x)\times g(x)-f(x)\times g(x)}{g^2(x)} \\
&=0\end{align*}$
La fonction $h$ est donc constante sur $\R$.
Or :
$\begin{align*} h(0)&=\dfrac{f(0)}{g(0)} \\
&=\dfrac{1}{1} \\
&=1\end{align*}$
Ainsi pour tout réel $x$ on a $f(x)=g(x)$.
La fonction $f$ est bien unique.
$\quad$

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$\quad$

Définition 1 :La fonction exponentielle, notée $\exp$, est la fonction définie et dérivable sur $\R$ qui vérifie $\exp(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : D’après la propriété 1, la fonction exponentielle ne s’annule donc jamais.

$\quad$

II Propriétés de la fonction exponentielle

Propriété 2 : La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : Cette propriété découle directement de la définition de la fonction exponentielle.

Propriété 3 : Pour tous réels $a$ et $b$ on a $\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)$.
Preuve Propriété 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x)$.
Cette fonction est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$$\begin{align*} f'(x) &= -\exp'(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a + b -x) \times \exp'(x) \\
&= -\exp(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a+b-x) \times \exp(x)\\
&= 0
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc constante.
Mais $f(0) = \exp(a+b) \times \exp(0) = \exp(a + b)$.
Ainsi Pour tous réels $x$, on a donc $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x) = \exp(a+b)$.
En particulier si $x=b$, $f(b) = \exp(a) \times \exp(b) = \exp(a+b)$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $\exp(5)=\exp(2+3)=\exp(2) \times \exp(3)$

Propriété 4 : Pour tout réel $x$, on a $\exp(x) > 0$.
Preuve Propriété 4

Pour tout réel $x$, on a $x=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}$.
On peut alors utiliser la propriété précédente :
$$\begin{align*} \exp(x) &= \exp \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} \right) \\
&= \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \times \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \\
& = \left( \exp \left(\dfrac{x}{2} \right) \right)^2 \\
& > 0 \end{align*}$$
En effet, d’après la propriété 1 la fonction exponentielle ne s’annule jamais.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
Preuve Propriété 5

On sait que pour tout réel $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
D’après la propriété précédente $\exp(x) > 0$.
Donc $\exp'(x) > 0$.

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$\quad$

Propriété 6 : On considère deux réels $a$ et $b$ ainsi qu’un entier relatif $n$.

  1. $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$
  2. $\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b)$
  3. $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$

Preuve Propriété 6

  1. On sait que $\exp(0) = 1$
    Mais on a aussi $\exp(0) = \exp(a+(-a)) = \exp(a) \times \exp(-a)$.
    Par conséquent $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \exp(a-b) &= \exp \left( a+(-b) \right)\\
    & = \exp(a) \times \exp(-b) \\
    & = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} \\
    & = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. On va tout d’abord montrer la propriété pour tout entier naturel $n$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $_n=\exp(na)$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $$\begin{align*} u_{n+1}&=\exp\left((n+1)a\right) \\
    &=exp(na+a)\\
    &=exp(na)\times \exp(a)\end{align*}$$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\exp(a)$ et de premier terme $u_0=exp(0)=1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\exp(a)\right)^n$, c’est-à-dire $\exp(na)=\left(\exp(a)\right)^n$.
    $\quad$
    On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif.
    Il existe donc un entier naturel $m$ tel que $n=-m$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \exp(na) &= \dfrac{1}{\exp(-na)} \\
    &=\dfrac{1}{\exp(ma)} \\
    & = \dfrac{1}{\left( \exp(a) \right)^{m}} \\
    & = \left( \exp(a) \right)^{-m}\\
    & = \left(\exp(a)\right)^n
    \end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemples :

  • $\exp(-10)=\dfrac{1}{\exp(10)}$
  • $\dfrac{\exp(12)}{\exp(2)} = \exp(12-2)=\exp(10)$
  • $\exp(30) = \exp(3 \times 10) = \left(\exp(10)\right)^3$

$\quad$


$\quad$

III Notation $\boldsymbol{\e^x}$

Notation : Par convention on note $\e=\exp(1)$ dont une valeur approchée est $2,7182$.

D’après la propriété 6.3, on peut écrire, pour tout entier relatif $n$ :

$$\begin{align*} \exp(n) &= \exp(1 \times n) \\
&= \left( \exp(1) \right)^n \\
&= \e^n
\end{align*}$$

Définition 2 : On généralise cette écriture valable pour les entiers relatifs à tous les réels $x$ : $\exp(x) = \e^x$.
On note $\e$ la fonction définie sur $\R$ qui à tout réel $x$ lui associe $\e^x$.
Propriété 7 :

  1. La fonction $\e : x \mapsto \e^x$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réelt $x$ $\e’^x=\e^x$.
  2. Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
    $\quad$ $\e^{a+b} = \e^a \times \e^b$
    $\quad$ $\e^{-a}=\dfrac{1}{\e^a}$
    $\quad$ $\e^{a-b} = \dfrac{\e^a}{\e^b}$
  3. Pour tout réels $a$ et tous entier relatif $n$, $\e^{na} = \left(\e^a \right)^n$.
  4. $\e^0 = 1$ et pour tout réel $x$, $\e^x > 0$.

$\quad$

IV Équations et inéquations

Propriété 8 : On considère deux réels $a$ et $b$.

  1. $\e^a = \e^b \ssi a = b$
  2. $\e^a < \e^b \ssi a < b$

Preuve Propriété 8

  1. $\bullet$ Si $a=b$ alors $\e^a=\e^b$.
    $\bullet$ Réciproquement, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $\e^a=\e^b$ et on suppose que $a\neq b$.
    Deux cas se présentent : $a<b$ ou $b<a$.
    On suppose que $a<b$. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on a alors $\e^a<\e^b$. Cela contredit l’hypothèse que $\e^a=\e^b$.
    On raisonne de la même manière pour montrer que l’hypothèse $b<a$ ne convient pas.
    Finalement on a $a=b$.
    $\quad$
  2. Cette propriété provient de la stricte croissance de la fonction exponentielle.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemples :

  • On veut résoudre l’équation $\e^{2x+1} = \e^{x-1}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*} \e^{2x+1} = \e^{x-1} &\ssi 2x+1=x-1 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$
  • On veut résoudre l’inéquation $\e^{-3x+5} < \e^{x-3}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*}
    \e^{-3x+5} < \e^{x+2} &\ssi -3x+5<x-3 \\
    &\ssi -4x<-8 \\
    &\ssi x>2
    \end{align*}$
    L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’intervalle $]2;+\infty[$.

$\quad$

IV Complément sur la fonction exponentielle

Voici la courbe représentant la fonction exponentielle :

ts-cours-exponentielle-fig2

Propriété 9 : Pour tous réels $a$ et $b$ la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{ax+b}$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=a\e^{ax+b}$.
Preuve Propriété 9

Pour tout réel $x$, le nombre $ax+b \in \R$ et la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$.
Par conséquent (voir la propriété sur la composition du cours sur la fonction dérivée) la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
De plus cette propriété nous dit que pour tout réel $x$ on a $f(x)=a\e^{ax+b}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{5x-3}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=5\e^{5x-3}$.
  • On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{-2x+7}$
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=-2\e^{-2x+7}$

$\quad$

Propriété 10 : On considère un réel $k$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{kx}$.

  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ si, et seulement si, $k>0$;
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$ si, et seulement si, $k<0$.

Preuve Propriété 10

D’après la propriété précédente, la fonction $f$ est dérivable et, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=k\e^{kx}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(x)$ est du signe de $k$ pour tout réel $x$.

  • La fonction $f$ est strictement croissante
    $\ssi f'(x)>0$
    $\ssi k>0$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante
    $\ssi f'(x)<0$
    $\ssi k<0$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

1ère – Cours – Applications de la dérivation

Applications de la dérivation

I Variation d’une fonction

Théorème 1 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

  • La fonction $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)\pg 0$
  • La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)\pp 0$
  • La fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)= 0$

Théorème 2 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)> 0$, sauf pour un nombre dénombrable de valeurs où $f$ s’annule.
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)< 0$, sauf pour un nombre dénombrable de valeurs où $f$ s’annule.

Remarque : Dénombrable signifie qu’on est capable de compter. Par exemple $f$ peut s’annuler pour tous les entiers relatifs mais ne peut pas s’annuler sur un intervalle. Dans la pratique, au lycée, il s’agira souvent d’un nombre fini de valeurs où $f$ s’annule.

Exemples :

  • On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=x$.
    $f'(x)=0 \ssi x=0$ et $f'(x)>0 \ssi x>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :


    Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

  • On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+4x^2+7x-2$
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme (ou en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$).
    Pour tout réel $x$ on a :
    $$\begin{align*} g'(x)&=3x^2+4\times 2x+7 \\
    &=3x^2+8x+7\end{align*}$$
    $g'(x)$ est donc un polynôme du second degré. Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=8^2-4\times 3\times 7\\
    &=64-84 \\
    &=-20\\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=3<0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, $g'(x)>0$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$

Méthode à suivre pour étudier les variations d’une fonction $\boldsymbol{f}$ :

  1. Si l’énoncé ne le dit pas, montrer que la fonction $f$ est dérivable.
  2. Déterminer l’expression de $f'(x)$
  3. Déterminer en justifiant le signe de $f'(x)$
  4. En déduire les variations de la fonction $f$

Il est parfois demandé de fournir le tableau de variations de la fonction $f$.

$\quad$


$\quad$

II Extremum d’une fonction

Définition 1 : On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

  • On dit que $f$ admet un minimum local en $a$, appartenant à $I$, s’il existe un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout réel $x$ de $J$ on ait $f(x)\pg f(a)$;
  • On dit que $f$ admet un maximum local en $a$, appartenant à $I$, s’il existe un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout réel $x$ de $J$ on ait $f(x)\pp f(a)$;
  • On dit que $f$ admet un extremum local en $a$ s’il admet un minimum ou un maximum local en $a$.

Remarque : Si $f$ admet un extremum global en $a$ alors elle admet un extremum local en $a$ également.

Exemples :

  • On considère la fonction $f$ dont une représentation graphique est donnée ci-dessous:

    Graphiquement il semblerait que :
    $\bullet$ la fonction $f$ admet des minimums locaux en $-3$ et $2$;
    $\bullet$ la fonction $f$ admet un maximum local en $-1$.
    $\quad$
  • On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

    D’après le tableau de variations, la fonction $f$ admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$.
    $\quad$
Propriété 1 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à l’intervalle $I$.
Si $f$ admet un extremum local en $a$ alors $f'(a)=0$.

Remarque : Attention la réciproque est fausse. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$ s’annule en $0$ et pourtant la fonction cube est strictement croissante sur $\R$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x-5$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Cette fonction du second degré admet un minimum (le coefficient principal est $a=1>0$) au point d’abscisse $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ soit, ici, $x_0=-3$.
Par conséquent $f'(-3)=0$

Propriété 2 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à l’intervalle $I$.
Si $f’$ s’annule en $a$ en changeant de signe alors la fonction $f$ admet un extremum local en $a$.

On obtient ainsi, localement, les situations suivantes :

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3+9x^2-168x+5$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+9\times 2x-168 \\
&=6x^2+18x-168\end{align*}$$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 18^2-4\times 6\times (-168) \\
&=324+4~032 \\
&=4~356\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-18-\sqrt{4~356}}{12} \\
&=-7\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-18+\sqrt{4~356}}{12} \\
&=4\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=6>0$
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

La fonction $f$ admet donc un maximum local en $-7$ et un minimum local en $4$.

$\quad$

Remarque : Attention, dans le tableau de signes a bien étudier le signe de $f'(x)$ et non celui de $f(x)$ et, pour les variations de $f$, a bien calculer les valeurs de $f(x)$ et non celles de $f'(x)$.

$\quad$

1ère – Cours – Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

I Vocabulaire sur les fonctions

Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appelé ensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Exemple : L’ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x-7}$ est $D_f=[7;+\infty[$.
En effet, pour tout réel $x \in[7;+\infty[$ on a $x-7\pg 0$ et pour tout réel $x\in]-\infty;7[$ on a $x-7<0$.

Définition 2 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Exemple : Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ sont des antécédents du nombre $3$ par la fonction $h$.

 Définition 3 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

2nd - cours - intervalles - fig 3.1

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

$\quad$

Définition 4 : Deux fonctions $f$ et $g$ sont dites égales si :

  • Elles sont le même ensemble de définition $\mathscr{D}$;
  • $\forall x\in \mathscr{D} f(x)=g(x)$.

Exemples :

  • On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2-\dfrac{x}{x-7}$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{x-14}{x-7}$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=\R/\lbrace 7\rbrace$ et l’ensemble de définition de la fonction $g$ est $\mathscr{D}_g=\R/\lbrace 7\rbrace$.
    Ainsi $\mathscr{D}_f=\mathscr{D}_g$.
    De plus, pour tout réel $x \in \R/\lbrace 7\rbrace$ on a :
    $$\begin{align*} f(x)&=2-\dfrac{x}{x-7} \\
    &=\dfrac{2(x-7)-x}{x-7} \\
    &=\dfrac{2x-14-x}{x-7} \\
    &=\dfrac{x-14}{x-7}\\
    &=g(x)\end{align*}$$
    Les fonctions $f$ et $g$ sont donc égales.
    $\quad$
  • On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=x-1$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=\R/\lbrace -1\rbrace$ et l’ensemble de définition de la fonction $g$ est $\mathscr{D}_g=\R$.
    Ainsi $\mathscr{D}_f \neq \mathscr{D}_g$
    Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas égales.
    Cependant, pour tout réel $x \neq -1$ on a $f(x)=g(x)$ (factorisation par l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$


$\quad$

II Variations

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

Définition 5 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarqueon constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig1

Définition 6 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig2

 

Définition 7 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

2nd - cours - variations de fonctions - fig3

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :
2nd - cours - variations de fonctions - fig4
Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

  • L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
  • $f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

Définition 8 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictementmonotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.
Définition 9 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig5

 

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

Définition 10 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig6

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 11 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

$\quad$

III Fonctions de référence

Propriété 1 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$
Propriété 2 (fonctions affines) : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

  • Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
  • Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
  • Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Proprité 3 (fonction carré): La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

Propriété 4 (fonction inverse) : La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

Propriété 5 (fonction racine carrée) : La fonction racine carrée $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

 

 

Propriété 6 (fonction cube) : La fonction cube $f$ est strictement croissante sur $\R$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

Propriété 7 (fonction valeur absolue) : La fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x|$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

$\quad$

 

IV Fonctions paires et impaires

Définition 12 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$.

  • On dit que la fonction $f$ est paire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=f(x)$.
  • On dit que la fonction $f$ est impaire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=-f(x)$

Propriété 8 :

  • Si une fonction est paire alors l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour sa représentation graphique.
  • Si une fonction est impaire alors l’origine du repère est un centre de symétrie pour sa représentation graphique.

$\quad$

Les fonctions polynômes du second degré et homographiques étaient au programme auparavant. Un cours sur ces fonctions est disponible ici.

$\quad$