1ère – Exercices – Probabilités et suites

Probabilités et suites

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=r_n-0,8$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  4. Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, l’expression de $r_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Conjecturer la limite de la suite $\left(r_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. $R_n$ et $\conj{R_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-0,8 \ssi r_n=v_n+0,8$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-0,8 \\
    &=0,75r_n+0,2-0,8 \\
    &=0,75\left(v_n+0,8\right)-0,6 \\
    &=0,75v_n+0,6-0,6\\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_1=r_1-0,8=0,1$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=0,1\times 0,75^{n-1}$.
    Or $r_n=v_n+0,8$ donc $r_n=0,8+0,1\times 0,75^{n-1}$.
    $\quad$
  5. Il semblerait que $0,75^{n-1}$ tende vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Par conséquent, il semblerait que $r_n$ tende vers $0,8$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Cela signifie que, sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de $0,8$ ;
  • si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
$A_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type A. »
$B_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

  1. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n+0,3$$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0; 1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par :
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\pg 1, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.

  1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
    On suppose que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $0\pg a_n \pg 0,6$.
    Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0; 1]$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n>1 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a : $a_n= (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, $A_n$ et $B_n$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
    &=0,3-0,5a_n \\
    &\pg 0,3-0,5\times 0,6\\
    &\pg 0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \ssi a_n=u_n+0,6$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
    &=0,5a_n+0,3-0,6\\
    &=0,5a_n-0,3\\
    &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
    &=0,5u_n+0,3-0,3\\
    &=0,5u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
    Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.

Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. On suppose que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. $A_2$ et $\conj{A_2}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    $A_n$ et $\conj{A_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
$\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
$\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.

  1. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
  2. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
  5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  7. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P\left(X_0\right)=1$, $P\left(Y_0\right)=0$ et $P\left(Z_0\right)=0$
    $\quad$
  2. On appelle $D$ la variable indiquant la face du dé obtenue.
    $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right)=P\left(D\in\left\{5;6\right\}\right) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Si les pièces sont du côté face alors au bout de $n$ lancers alors, au lancer $n+1$, soit les pièces sont du côté face, soit une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Par conséquent $P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face, alors la seule possibilité de conserver un tel état, au lancer $n+1$, est d’obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De même $P\left(Y_n\cap X_{n+1}\right) =\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Y_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, les deux pièces sont du côté pile alors, au lancer $n+1$, on ne peut avoir que deux possibilités : les deux pièces sont toujours du côté pile ou alors l’une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Pour garder les pièces du côté pile il faut obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Z_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex3obl-1
  4. Pour tout entier naturel $n$, on a $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$, $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$ forment un système complet d’événement fini.
    D’après la formule des probabilité totale on a :
    $\begin{align*} y_{n+1}&=P\left(Y_{n+1}\right) \\
    &=P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}z_n \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}\left(1-x_n-y_n\right) \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} b_{n+1}&=y_{n+1}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{1}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{3}\left(y_n-\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{3}b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $b_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    Et $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$;
  • La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’événement “la $n^{\ieme}$ partie est gagnée” et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc $p_1=\dfrac{1}{4}$.

  1. Montrer que $p_2=\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    p_n&0,25&0,4375&0,3906&0,4023&0,3994&0,4001&0,3999\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle conjecture peut-on émettre?
    $\quad$
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événement finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_2&=p\left(G_2\right) \\
    &=p\left(G_1\cap G_2\right)+p\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{7}{16}
    \end{align*}$

    $\quad$
  2. $G_n$ et $\conj{G_n}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(G_{n+1}\right) \\
    &=p\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+p\left(\conj{G_n}\cap G_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times p_n+\dfrac{1}{2}\times \left(1-p_n\right) \\
    &=\dfrac{p_n}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{p_n}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de la suite $\left(p_n\right)$ soit $0,4$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$ soit $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} \\
    &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} \\
    &=-\dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{1}{10} \\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \\
    &=-\dfrac{1}{4}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    Or $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Donc la suite $\left(p_n\right)$ converge vers $\dfrac{2}{5}=0,4$.
    Sur le long terme, la probabilité qu’un joueur gagne une partie est $0,4$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Lois binomiales

Lois binomiales – QCM

Exercices corrigés – 1ère

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.
Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête; ils indiquent aussi que $32\%$ des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.
Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d’enfants est suffisamment grand pour que cette
situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’enfants de l’équipe habitant le village de Boisjoli.
Les probabilités sont données à $0,001$ près.

  1. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres :
    a. $n = 400$ et $p = 0,32$
    b. $n = 8$ et $p = 0,32$
    c. $n = 400$ et $p = 8$
    d. $n = 8$ et $p = 0,68$
    $\quad$
    Correction question 1

    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,32$.
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La probabilité que dans l’équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :
    a. 0,125
    b. 0,875
    c. 0,954
    d. 1
    $\quad$
    Correction question 2

    $P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-0,68^8\approx 0,954$.
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. L’espérance mathématique de $X$ est :
    a. $1,740~8$
    b. $2,56$
    c. $87,04$
    d. $128$
    $\quad$
    Correction question 3

    $E(X)=np=2,56$ Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée $10$ fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus.
    La probabilité d’obtenir exactement $5$ « pile » est, arrondie au centième :
    a. $0,13$
    b. $0,19$
    c. $0,25$
    d. $0,5$
    $\quad$
    Correction question 4

    Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants, identiques et ne possède que de issues : “pile” et “face”. De plus la probabilité d’obtenir “pile” est de $0,5$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10;0,5)$.
    $P(X = 5) = \displaystyle \binom{10}{5} \times 0,5^5 \times 0,5^5 \approx 0,25$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  5. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10 ; 0,6)$.
    La probabilité qui admet pour valeur approchée $0,012$ est :
    a. $p(X = 2)$
    b. $p(X > 2)$
    c. $p(X \pp 2)$
    d. $p(X < 2)$
    $\quad$
    Correction question 5

    Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants, identiques et ne possède que de issues : “pile” et “face”. De plus la probabilité d’obtenir “pile” est de $0,5$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10;0,5)$.
    $P(X = 5) = \displaystyle \binom{10}{5} \times 0,5^5 \times 0,5^5 \approx 0,25$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
    $\quad$
    Correction question 6

    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
    L’expérience est répétée $6$ fois. Les lancers sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
    On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
    On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu’on obtient.
    La probabilité $p(X = 1)$ d’obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est :
    a. $0,08$
    b. $0,17$
    c. $0,40$
    d. $0,80$
    $\quad$
    Correction question 7

    L’expérience est répétée $5$ fois. Les lancers sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque lancer il y a deux issues : on obtient $6$, avec une probabilité de $\dfrac{1}{6}$, ou on obtient un autre nombre.
    La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
    Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
    Correction question 8

    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
    Correction question 9

    On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
    Correction question 10

    $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

 

1ère – Exercices – Suites – Problèmes de synthèse

Suites – Problèmes de synthèse

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Une commune dispose de $380$ voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

  • chaque voiture est louée pour une durée d’un mois ;
  • la location commence le 1$\ier$ jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
  • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.

À la fin du mois de janvier 2019, $280$ voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l’évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $\left(u_n\right)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l’égalité : $u_{n+1}=0,9u_n+42$.

  1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^n+420$.
    $\quad$
  3. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. La commune, qui possède initialement $380$ véhicules, envisage d’acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.
    On souhaite utiliser l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array} & &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N = 0\\
    U = 280\\
    \text{while }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N = N + 1\\
    \hspace{1cm} U = \ldots\ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ou le code python.
    $\quad$
    b. Que contient la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    c. En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. Sans calculer tous les termes de la suite nécessaires, déterminer, en arrondissant à l’unité, le nombre de voitures louées sur l’année.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Au mois de février on a $n=1$.
    $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=294$.
    $294$ voitures ont dont été louées avec ce système de location au mois de février 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-420$ soit $u_n=v_n+420$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-420\\
    &=0,9u_n+42-420\\
    &=0,9u_n-378\\
    &=0,9\left(v_n+420\right)-378\\
    &=0,9v_n+378-378\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=280-420=-140$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-140\times 0,9^n$.
    Et $u_n=v_n+420=420-140\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. On peut conjecturer que la limite de $0,9^n$ quand $n$ tend vers $\infty$ est $0$ et donc que la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $420$.
    Sur le long terme, cela signifie donc que $420$ voitures seront louées chaque mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }U\pp 380\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,9\times U+42\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}& &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    N = 0\\
    U = 280\\
    \text{while } U <=380 :\\
    \hspace{1cm} N = N + 1\\
    \hspace{1cm} U = 0.9 * U + 42\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par $U$, arrondie au dixième et $N$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&280\\
    \hline
    1&294\\
    \hline
    2&306,6\\
    \hline
    3&317,9\\
    \hline
    4&328,1\\
    \hline
    5&337,3\\
    \hline
    6&345,6\\
    \hline
    7&353,0\\
    \hline
    8&359,7\\
    \hline
    9&365,8\\
    \hline
    10&371,2\\
    \hline
    11&376,1\\
    \hline
    12&380,5\\
    \hline\end{array}$
    $N$ contient donc la valeur $12$.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{11} \\
    &=-140\times 0,9^0+420+-140\times 0,9^1+420+\ldots+-140\times 0,9^{11}+420\\
    &=-140\left(0,9^0+0,9^1+\ldots +0,9^{11}\right)+420\times 12\\
    &=-140\dfrac{1-0,9^{12}}{1-0,9}+5~040 \\
    &=-1~400\left(1-0,9^{12}\right)+5~040\\
    &\approx 4~035 \end{align*}$
    Environ $4~035$ voitures ont été louées en une année.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d’Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d’Ardèche donne les estimations suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Date}&01/06/18&02/06/18&03/06/18\\
\hline
n&0&1&2\\
\hline
\text{Nombre de chenilles en centaines}&97&181&258\\
\hline
\end{array}$$
L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles.

Partie 1 : Modèle 1
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0 = 97$.

  1. Calculer $u_ç2$. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :
$\hspace{2cm} v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,91v_n+93$.

  1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)$.
    Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$
  2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles
La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de $745$ centaines de chenilles.
À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
$\quad$

Correction Exercice 2

Partie 1 : Modèle 1

  1. On a $u_1=q\times u_0=158,11$
    et $u_2=q\times u_1=257,719~3 \approx 258$.
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=97\times 1,63^n$.
    $\quad$
  3. On a $u_0=97>0$ et $1,63>1$.
    La suite suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. Le 12 juin 2018 on a $n=11$.
    Or $u_{11}=97\times 1,63^{11}\approx 20~900$
    Il y aura donc environ $2~093~300$ chenilles le 12 juin 2018.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2

  1. Le 13 juin 2018 on a $n=12$.
    $v_{12}=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{12}+3~100\right) \approx 731$.
    Selon ce modèle il y aura environ $73~100$ chenilles le 13 juin 2018.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n+1}+3~100\right)-\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n}+3~100\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times -2~809\times\left( 0,91^{n+1}-0,91^n\right)\\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (0,91-1) \\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (-0,09) \\
    &=84,27\times 0,91^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles

On a $u_{12}=97 \times 1,63^{12} \approx 34~121$ et $v_{12} \approx 731$.
$v_{12}$ est plus proche de $745$ que $u_{12}$
Le modèle 2 paraît donc le plus adapté.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de $20 \%$ de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au $1\ier$ juillet de l’année (2018 $+n$).
Au $1\ier$ juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.

  1. a. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au $1\ier$ juillet 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l’aide d’un tableur.
    Une copie d’écran est donnée ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    \hspace{1cm}1\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{rang }n\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{terme }u_n\hspace{1cm}\\
    \hline
    2&0&150\\
    \hline
    3&1&155\\
    \hline
    4&2&159\\
    \hline
    5&3&162,2\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b) Pour les termes de rang $36$, $37$, $38$, $39$ et $40$, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{1cm}38\hspace{1cm}&\hspace{1cm}36\hspace{1cm}&\hspace{1cm}174,992\hspace{1cm}\\
    \hline
    39&37&174,994\\
    \hline
    40&38&174,995\\
    \hline
    41&39&174,996\\
    \hline
    42&40&174,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-175$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=-25\times 0,8^n+175$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. On veut calculer $u_1=(1-0,2)\times u_0+35=0,8\times 150+35=155$.
    Au $1\ier$ juillet 2019 il y aura donc $155$ vélos dans le stock.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$.
    Le loueur se sépare de $20\%$ du stock chaque hiver. Il reste donc $0,8u_n$ vélos.
    Il achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $B3$ la formule $=0,8*B2+35$.
    $\quad$
    b. D’après les résultats obtenus, il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $175$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-175$ soit $u_n=v_n+175$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-175 \\
    &=0,8u_n+35-175\\
    &=0,8u_n-140 \\
    &=0,8\left(v_n+175\right)-140\\
    &=0,8v_n+140-140\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    De plus $u_n=v_n+175=175-25\times 0,8^n$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

  1. Au 1$\ier$ janvier 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, $10 \%$ des propriétaires cessent de l’utiliser mais on compte $24~000$ nouveaux utilisateurs.
    a. Expliquer pourquoi le nombre d’utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1$\ier$ janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0
    = 60~000 \text{ et } u_{n+1}= 0,9u_n+ 24~000$$
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n= u_n−240~000$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  2. a. $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 240~000−180~000×0,9^n$.
    $\quad$
  3. Au bout de combien de mois le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois $230~000$ ?
    $\quad$
  4. L’entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu’elle touchera un certain mois plus de $250~000$ utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. on considère un entier naturel $n$.
    $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
    Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
    De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
    &=0,9u_n+24~000-240~000\\
    &=0,9u_n-216~000\\
    &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
    &=0,9v_n+216~000-216~000\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. Montrons que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=240~000-180~000\times 0,9^{n+1}-\left(240~000-180~000\times 0,9^n\right) \\
    &=-180~000\times 0,9^{n+1}+180~000\times 0,9^{n}\\
    &=180~000\times 0,9^n(-0,9+1) \\
    &=18~000\times 0,9^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    De plus $u_{27}\approx 229~533<230~000$ et $u_{28}\approx 230~579>230~000$.
    Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
    Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 0$ par: $\begin{cases}u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\u_0&=&5\end{cases}.$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1$.

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier nature $n$, $u_{n + 1}-u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \pg 1$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$.
    $\quad$
  3. Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.

$$\begin{array}{lcl}\textbf{Pseudo code}&\phantom{123}&\textbf{Code Python}\\
\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que }u \pg 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}&&
\begin{array}{|l|}\hline
u = 5\\
n = 0\\
\text{while }u <=  1.01 :\\
\hspace{1cm} n = n + 1\\
\hspace{1cm} u = 3 – 10 / (u + 4)\\
\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
    $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3\left(u_n+4\right)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}-\dfrac{u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-{u_n}^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-{u_n}^2-u_n+2$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
    $\quad$
  3. D’après l’énoncé on a $u_n\pg 1$
    Donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2 \pg 3>0$ et $u_n+4 \pg 5>0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{2}{3}<1$.
    Donc $v_n \neq 1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
    &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers $\infty$ soit $0$.
    Par conséquent celle de  $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ semble être $\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& un \\
    \hline
    0& 5\\
    \hline
    1& 1,889\\
    \hline
    2& 1,302\\
    \hline
    3& 1,114\\
    \hline
    4& 1,04\\
    \hline
    5& 1,018\\
    \hline
    6& 1,008\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.
À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie A à l’étape $n$ ».
On note $b_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie B à l’étape $n$ ».
On note $c_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie C à l’étape $n$ ».

À l’étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\begin{cases} a_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n\\
b_{n+1}&=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n\\
c_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n \end{cases}$$

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

  1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule $C3$ et recopier vers le bas pour remplir la colonne $C$ ?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on émettre ?
    $\quad$

Partie B

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n−c_n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
    $\quad$
    b. Donner, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n−\dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n +b_n +c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n+1 =−\dfrac{1}{6}v_n$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
    $a_n= \dfrac{3}{14}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$, $b_n=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$ et $c_n=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.
    $\quad$
  2. Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  2. a. Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
    Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
    $\quad$
    On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \ssi b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
    &=-\dfrac{1}{6}v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    On a $(S)\ssi\begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
    En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \ssi a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
    Donc $(S) \ssi \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\
    &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

1ère – Exercices corrigés – Fonction exponentielle – Problèmes

Fonction exponentielle – Problèmes

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1     D’après Bac ES Amérique du Nord 2019

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;30]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ passe par le point $B(5 ; 0)$.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d’abscisse $11$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Dans toute la suite, on note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;30]$ sur $[0 ; 30]$.

Partie A – Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $[0;30]$ par : $$f(x)=\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|l|c|}
\hline
&\hspace{1.5cm}\textbf{Instruction :}&\hspace{0.5cm}\textbf{Résultat :}\\
\hline
1&f(x):=\left(x^2-11\right)*\exp(-0,2*x)&\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
2&\text{Dérivée}\left(f(x)\right)&\left(-0,2x^2+2x+2,2\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Pour tout réel $x\in[0 ; 30]$, justifier le résultat de l’instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0 ; 30]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 30]$.
    $\quad$

Partie B – Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[5 ; 30]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

  1. Calculer le nombre d’objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros.
    $\quad$
  2. L’élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\%$ du prix.
    On admet qu’une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :
    $\hspace{3cm} E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x$ lorsque $x\in [5;30]$.
    Calculer E(15) et interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A – Étude d’une fonction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;30]$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-0,2x}+\left(x^2-11\right)\times (-0,2)\e^{-0,2x} \\
    &=\left(2x-0,2x^2+2,2\right)\e^{-0,2x} \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,2x^2+2x+2,2$.
    On calcule le discriminant de ce polynôme du second degré :
    $\Delta = 2^2-4\times (-0,2)\times 2,2=5,76>0$
    Les racines du polynômes sont donc :
    $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=11$ et $x_2=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=-1$.
    Le coefficient principal est $a=-0,2<0$.
    Ainsi le polynôme est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.
    par conséquent :
    $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0,11[$
    $f'(11)=0$
    $f(x)<0$ sur l’intervalle $]11;30]$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $f(11)=110\e^{-2,2}\approx 12,19$
    $f(30)=889\e^{-6} \approx 2,20$
    $\quad$

Partie B – Application économique

  1. $f(15)=214\times \e^{-3}\approx 10,65$
    Lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros, environ $1~065~000$ objets sont demandés.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*}E(15)&=\dfrac{f'(15)}{f(15)}\times 15\\
    &=\dfrac{-12,8\e^{-3}}{214\e^{-3}}\times 15 \\
    &=-\dfrac{192}{214} \\
    &\approx -0,90\end{align*}$
    Lorsque le prix augmente de $1\%$ la demande diminue d’environ $0,9\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2     D’après Bac ES Liban 2019

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
    On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
    $\quad$
  3. a. On considère l’algorithme suivant.
    $$\begin{array}{lcl}
    \textbf{Pseudo code} & \phantom{123}&\textbf{Code Python} \\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow -4\\
    b\leftarrow -2\\
    \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
    \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
    \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
    \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}
    &&\begin{array}{l}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    a = -4\\
    b = -2\\
    \text{while }(b-a)>10**(-1) :\\
    \hspace{1cm} m = (a+b)/2\\
    \hspace{1cm} p = f(a)* f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{if } p>0 : \\
    \hspace{2cm} a = m\\
    \hspace{1cm} \text{else} :\\
    \hspace{2cm} b = m\\
    \hline
    \end{array}\\
    \text{où $f$ désigne une fonction python renvoyant le nombre $f(x)$.}\end{array}
    \end{array}$$
    Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[-4;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(-4\times 2x-10\right)\e^{-0,5x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times (-0,5)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(-8x-10+2x^2+5x-4\right)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x-14$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-14)=121>0$
    Les deux racines réelles sont donc :
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{121}}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{121}}{4}=3,5$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-4)=1-16\e^2$
    $f(-2)=1+12\e$
    $f(3,5)=1-76\e^{-1,75}$
    $f(10)=1-492\e^{-5}$
    $\quad$
  3. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3,5&\text{Positif}&-3,5&-3&0,5&\text{VRAI}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que la solution de l’équation $f(x)=0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$ est comprise entre $-3,187~5$ et $-3,125$.
    Remarque : Il s’agit ici de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3     D’après Bac ES Centres étrangers 2019

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
    $\quad$
  2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
    $\quad$
  4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
  5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=2$ et $f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $1$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe $2$ fois la droite d’équation $y=1$.
    L’équation $f(x)=1$ ne possède donc $2$ solutions.
    $\quad$
  5. La fonction semble :
    – croissante sur l’intervalle $[-10;1]$;
    – décroissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x \\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $f'(1)=(1-1)\e^1=0$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=2\e^0=2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4     D’après Bac ES Antilles-Guyane juin 2019

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$, ayant pour expression $f (x) = (x-5)\e^{0,2x} +5$.

  1. Montrer que $f'(x)=0, 2x\e^{0,2x}$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{0,2x}+(x-5)\times 0,2\e^{0,2x} \\
    &=\left(1+0,2(x-5)\right)\e^{0,2x} \\
    &=(1+0,2x-1)\e^{0,2x} \\
    &=0,2x\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-10)=-15\e^{-2}+5$.
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-5)=-\e^{-1}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     D’après Bac S Antilles-Guyane juin 2019

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6     D’après Bac S Amérique du Sud 2019

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l’eau par l’organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s’il est inférieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $$f(t) = 3t\e^{-t/4} +2 ~~ \text{ avec } t \pg 0$$
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d’une hémorragie.

  1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l’instant $t = 0$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Montrer que, pour tout réel $t$ on a $f(t)=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
    Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif, $$f'(t) = \dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}$$
    $\quad$
  3. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
    $\quad$
    b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
    Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. $f(0)=3\times 0\e^0+2=2$.
    À l’instant $t=0$ le taux de vasopressine dans le sang est de $2$ µg/mL.
    $\quad$
    b. $12$ s $= 0,2$ min
    $f(0,2)=3\times 0,2\e^{-0,2/4}+2 \approx 2,57 > 2,5$.
    Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $t$ positif ou nul on a :
    $\begin{align*} f(t)&=3t\e^{-t/4}+2 \\
    &=\dfrac{3t}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=\dfrac{12\dfrac{t}{4}}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-t/4}+3t\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\left(3-\dfrac{3t}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $4-t$.
    Or $4-t=0 \ssi t=4$ et $4-t>0 \ssi t<4$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
    b. La fonction $f$ atteint son maximum pour $t=4$.
    Le taux de vasopressine dans le sang est donc maximal au bout de $4$ minutes.
    $f(4)=\dfrac{12}{\e}+2 \approx 6,415$.
    Ce taux est alors d’environ $6,415$ µg/mL.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7     D’après Bac S Nouvelle Calédonie 2020

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(x)=(ax+b)\e^{-\frac{1}{2}x},$$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est tracée ci-dessous.

 

Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

  1. Donner les valeurs de $f (0)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
    $\quad$

Partie B

Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$$

  1. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f (x) = 2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right)+\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et construire son tableau de variations.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. La courbe coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ donc $f(0)=1$.
    La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$ donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-\frac{x}{2}}+(ax+b)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\left(a-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b\right)\e^{-\frac{x}{2}}\\
    &=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $f(0)=(a\times 0+b)\e^{0}=b$ et $f'(1)=\left(\dfrac{1}{2}a\times 1-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} b=1\\\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}b=1\\-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a=0 \qquad (*)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\a=b \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=1\end{cases}\end{align*}$
    $(*)$ la fonction exponentielle est en effet strictement positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=x\times \e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}\times x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=2\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a, d’après la question A.2 :
    $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(-x+1)\e^{-\frac{x}{2}}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-x+1)$.
    Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Avec $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}}$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Fonction exponentielle – Propriétés analytiques

Fonction exponentielle – Propriétés analytiques

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1     Signe d’une expression

Déterminer, en fonction de $x$, le signe des fonction suivantes :

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+4\right)\e^x$.
    $\quad$
  2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{\e^{-4x}}{-x^4-7}$.
    $\quad$
  3. $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\left(1+\e^{2x}\right)\left(\e^{-3x}+4\right)$.
    $\quad$
  4. $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=\left(x^2-x-6\right)\e^{x}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+4\right)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
    De plus, pour tout réel $x$ on a $x^2+4>0$.
    Ainsi $f(x)$ est strictement positif sur $\R$.
    $\quad$
  2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{\e^{-4x}}{-x^4-7}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^{-4x}>0$.
    De plus, pour tout réel $x$ on a $-x^4-7<0$.
    Ainsi $g(x)$ est strictement négatif sur $\R$.
    $\quad$
  3. $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\left(1+\e^{2x}\right)\left(\e^{-3x}+4\right)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^{2x}>0$ et $\e^{-3x}>0$.
    Donc $1+\e^{2x}>0$ et $\e^{-3x}+4>0$.
    Ainsi $h(x)$ est strictement positif sur $\R$.
    $\quad$
  4. $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=\left(x^2-x-6\right)\e^{x}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
    On étudie donc le signe de $x^2-x-6$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré.
    $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-6)=25>0$.
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*}x_1&=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2} \\
    &=-2\end{align*}$ et $\begin{align*}x_2&=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2} \\
    &=3\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2-x-6$ est positif sur $]-\infty;-2]\cup[3;+\infty[$ et négatif sur $[-2;3]$.
    Par conséquent :
    $\bullet~ i(x)>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[$;
    $\bullet~ i(x)<0$ sur $]-2;3[$;
    $\bullet~ i(x)=0$ si $x\in\left\{-2;3\right\}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2    Dérivation

Dans chacun des cas, $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et il faut déterminer $f'(x)$.

  1.  $f(x)=\e^x+x^2$
    $\quad$
  2. $f(x)=3\e^x+4x+5$
    $\quad$
  3. $f(x)=3x^2-4\e^x$
    $\quad$
  4. $f(x)=x\e^x$
    $\quad$
  5. $f(x)=(1+x)\e^x$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{x^2+5}{\e^x}$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=\e^x+x^2$
    $f'(x)=\e^x+2x$
    $\quad$
  2. $f(x)=3\e^x+4x+5$
    $f'(x)=3\e^x+4$
    $\quad$
  3. $f(x)=3x^2-4\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=3\times 2x-4\e^x \\
    &=6x-4\e^x\end{align*}
    $\quad$
  4. $f(x)=x\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+x\times\e^x \\
    &=\e^x+x\e^x \\
    &=(1+x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  5. $f(x)=(1+x)\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(1+x)\times \e^x \\
    &=\left[1+(1+x)\right] \e^x \\
    &=(2+x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{x^2+5}{\e^x}$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \e^x-\left(x^2+5\right)\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{\left(2x-x^2-5\right)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=\dfrac{-x^2+2x-5}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Dérivation $\boldsymbol{\e^{ax+b}}$

Dans chacun des cas $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Déterminer $f'(x)$.

  1. $f(x)=\e^{2x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^{-4x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\e^{3x+4}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\e^{5x-2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\e^{-7x+1}$
    $\quad$
  6. $f(x)=\e^{-6x-3}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=\e^{2x}$
    $f'(x)=2\e^{2x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^{-4x}$
    $f'(x)=-4\e^{-4x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\e^{3x+4}$
    $f'(x)=3\e^{3x+4}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\e^{5x-2}$
    $f'(x)=5\e^{5x-2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\e^{-7x+1}$
    $f'(x)=-7\e^{-7x+1}$
    $\quad$
  6. $f(x)=\e^{-6x-3}$
    $f'(x)=-6\e^{-6x-3}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3    Résolution d’équations

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

  1. $\e^x=\e^3$
    $\quad$
  2. $\e^x-\e^{-4}=0$
    $\quad$
  3. $\e^x=1$
    $\quad$
  4. $\e^x-\e=0$
    $\quad$
  5. $\e^{2x+4}=\e^2$
    $\quad$
  6. $\e^x+5=0$
    $\quad$
  7. $\e^{-3x+5}=1$
    $\quad$
  8. $\e^x=0$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\e^x=\e^3 \ssi x=3$
    La solution de l’équation est $3$.
    $\quad$
  2. $\e^x-\e^{-4}=0 \ssi \e^x=\e^{-4}\ssi x=-4$
    La solution de l’équation est $-4$.
    $\quad$
  3. $\e^x=1 \ssi \e^x=\e^0 \ssi x=0$
    La solution de l’équation est $0$.
    $\quad$
  4. $\e^x-\e=0\ssi \e^x=\e^1 \ssi x=1$
    La solution de l’équation est $1$.
    $\quad$
  5. $\e^{2x+4}=\e^2 \ssi 2x+4=2 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$
    La solution de l’équation est $-1$.
    $\quad$
  6. $\e^x+5=0$
    La fonction exponentielle est strictement positive donc $e^x+5>0$.
    L’équation ne possède donc aucune solution.
    $\quad$
  7. $\e^{-3x+5}=1 \ssi \e^{-3x+5}=\e^0 \ssi -3x+5=0 \ssi -3x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
  8. $\e^x=0$
    La fonction exponentielle est strictement positive donc $e^x>0$.
    L’équation ne possède donc aucune solution.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4    Résolution d’inéquations

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

  1. $\e^x>\e^4$
    $\quad$
  2. $\e^{-2x} > 1$
    $\quad$
  3. $\e^{2x}<\e^6$
    $\quad$
  4. $\e{3x+4} \pg \e^{13}$
    $\quad$
  5. $\e^{-2x+5} \pp \e^{9}$
    $\quad$
  6. $\e^{3x+5} \pg \e^{6x-1}$
    $\quad$
  7. $\e^{-3x+1} \pp \e^{-4x-5}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\e^x>\e^4 \ssi x>4$
    L’ensemble solution est $]4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\e^{-2x} > 1 \ssi \e^{-2x}>\e^0 \ssi -2x>0 \ssi x<0$
    L’ensemble solution est $]-\infty;0[$.
    $\quad$
  3. $\e^{2x}<\e^6 \ssi 2x<6 \ssi x<3$
    L’ensemble solution est $]-\infty;3[$.
    $\quad$
  4. $\e{3x+4} \pg \e^{13} \ssi 3x+4\pg 13 \ssi 3x\pg 9 \ssi x\pg 3$
    L’ensemble solution est $[3;+\infty[$.
    $\quad$
  5. $\e^{-2x+5} \pp \e^{9} \ssi -2x+5\pp 9 \ssi -2x\pp 4 \ssi x\pg -2$
    L’ensemble solution est $[-2;+\infty[$.
    $\quad$
  6. $\e^{3x+5} \pg \e^{6x-1} \ssi 3x+5 \pg 6x-1 \ssi -3x\pg -6 \ssi x \pp 2 $
    L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
    $\quad$
  7. $\e^{-3x+1} \pp \e^{-4x-5} \ssi -3x+1 \pp -4x-5 \ssi x \pp -6$
    L’ensemble solution est $]-\infty;-6]$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5    Équations un peu plus difficiles

Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes :

  1. $\e^x-5x\e^x=0$
    $\quad$
  2. $4x\e^x+3\e^{x+2}=0$
    $\quad$
  3. $\e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\e^x-5x\e^x=0 \ssi \e^x(1-5x)=0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Ainsi :
    $\e^x(1-5x)=0 \ssi 1-5x=0 \ssi x=\dfrac{1}{5}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
  2. $4x\e^x+3\e^{x+2}=0 \ssi 4x\e^x+3\e^x\e^2=0 \ssi \e^x\left(4x+3\e^2\right)=0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Ainsi :
    $\e^x\left(4x+3\e^2\right)=0 \ssi 4x+3\e^2=0 \ssi 4x=-3\e^2 \ssi x=-\dfrac{3}{4}\e^2$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{4}\e^2$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} \e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0 &\ssi \left(\e^x\right)^2-\e^x-\e^x\e^1+\e=0 \\
    &\ssi \left(\e^x\right)^2-\e^x\left(1+\e\right)+\e=0\end{align*}$
    On pose $X=\e^x$
    L’équation devient donc $X^2-(1+\e)X+\e=0$
    $\begin{align*}\Delta&=\left(-(1+\e)\right)^2-4\e \\
    &=1+2\e+\e^2-4\e \\
    &=\e^2-2\e+1\\
    &=(\e-1)^2
    &>0\end{align*}$
    $\e-1\approx 1,72 >0$
    L’équation $X^2-(1+\e)X+\e=0$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} X_1&=\dfrac{(1+\e)-\sqrt{(\e-1)^2}}{2} \\
    &=\dfrac{1+\e-(\e-1)}{2} \\
    &=1\end{align*}$ et $\begin{align*} X_2&=\dfrac{(1+\e)+\sqrt{(\e-1)^2}}{2} \\
    &=\dfrac{1+\e+(\e-1)}{2} \\
    &=\e\end{align*}$
    Or $X=\e^x$
    On doit donc résoudre les équations $\e^x=1$ et $\e^x=\e$.
    Mais $\e^x=1 \ssi x=0$ et $\e^x=\e \ssi x=1$.
    Ainsi les solutions de l’équation $\e^{2x}-\e^x-\e^{x+1}+\e=0$ sont $0$ et $1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5    Variations

Déterminer les variations des fonctions suivantes dérivables sur $\R$

  1. $f(x)=\e^{x+4}+3x$
    $\quad$
  2. $f(x)=-\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^{2x}$
    $\quad$
  4. $f(x)=x\e^x$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $f(x)=\e^{x+4}+3x$
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{x+4}+3 \\
    &>0\end{align*}$
    Car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x\times \e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=-\dfrac{\e^{2x}+\e^x-\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=-\dfrac{\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &<0\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs (et on considère son opposé).
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^{2x}$
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{2x}+\left(x^2+1\right)\times 2\e^{2x} \\
    &=\left(2x+2x^2+2\right)\e^{2x} \\
    &=2\left(x^2+x+1\right)\e^{2x}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+x+1$.
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2+x+1>0$ pour tout réel $x$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  4. $f(x)=x\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x +x\times \e^x \\
    &=(1+x)\e^x \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
    Or $x+1=0 \ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$.
    Ainsi $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Fonction exponentielle – Propriétés algébriques

Fonction exponentielle – Propriétés algébriques

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1     $\boldsymbol{\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

  1. $\exp(3)\times \exp(5)$
    $\quad$
  2. $\exp(2)\times \exp(-3)$
    $\quad$
  3. $\exp(-5)\times \exp(-8)$
    $\quad$
  4. $\exp(4)\times \exp(0,5)$
    $\quad$
  5. $\exp(-7)\times \exp(7)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(3)\times \exp(5)&=\exp(3+5) \\
    &=\exp(8)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(2)\times \exp(-3)&=\exp\left((2+(-3)\right) \\
    &=\exp(-1)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(-5)\times \exp(-8)&=\exp\left(-5+(-8)\right) \\
    &=\exp(-13)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(4)\times \exp(0,5)&=\exp(4+0,5) \\
    &=\exp(4,5)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(-7)\times \exp(7)&=\exp(-7+7)\\
    &=\exp(0) \\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2     $\boldsymbol{\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

  1. $\exp(2x)\times \exp(5x)$
    $\quad$
  2. $\exp(-8x)\times \exp(3x)$
    $\quad$
  3. $\exp(-4x)\times \exp(-5x)$
    $\quad$
  4. $\exp(4+5x)\times \exp(-2x)$
    $\quad$
  5. $\exp(7-4x)\times \exp(3+2x)$
    $\quad$
  6. $\exp(3x)\times \exp(-3)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(2x)\times \exp(5x)&=\exp(2x+5x) \\
    &=\exp(7x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(-8x)\times \exp(3x)&=\exp(-8x+3x) \\
    &=\exp(-5x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(-4x)\times \exp(-5x)&=\exp\left(-4x+(-5x)\right) \\
    &=\exp(-9x) \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\exp(4+5x)\times \exp(-2x)&=\exp\left(4+5x+(-2x)\right) \\
    &=\exp(4+3x)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \exp(7-4x)\times \exp(3+2x)&=\exp\left(7-4x+(3+2x)\right) \\
    &=\exp(10-2x)\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}\exp(3x)\times \exp(-3)&=\exp\left(3x+(-3)\right) \\
    &=\exp(3x-3)\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3     $\boldsymbol{\exp(-a)=\dfrac{1}{\exp(a)}}$

Écrire les expressions suivante sans fraction

  1. $\dfrac{1}{\exp(2)}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{\exp(5)}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{\exp(-3)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{1}{\exp(-1)}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{1}{\exp(2x)}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{1}{\exp(-5x)}$
    $\quad$
  7. $\dfrac{1}{\exp(4-3x)}$
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $\dfrac{1}{\exp(2)}=\exp(-2)$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{\exp(5)}=\exp(-5)$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-3)}&=\exp\left(-(-3)\right) \\
    &=\exp(3)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-1)}&=\exp\left(-(-1)\right) \\
    &=\exp(1)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{1}{\exp(2x)}=\exp(-2x)$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(-5x)}&\exp\left(-(-5x)\right) \\
    &=\exp(5x)\end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{1}{\exp(4-3x)}&=\exp\left(-(4-3x)\right) \\
    &=\exp(-4x+3x)\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     $\boldsymbol{\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

  1. $\dfrac{\exp(5)}{\exp(2)}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{\exp(-4)}{\exp(3)}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\exp(7)}{\exp(-5)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-6)}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\exp(-7)}{\exp(-5)}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(5)}{\exp(2)}&=\exp(5-2) \\
    &=\exp(3)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\exp(-4)}{\exp(3)}&=\exp(-4-3) \\
    &=\exp(-7)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(7)}{\exp(-5)}&=\exp\left(7-(-5)\right) \\
    &=\exp(7+5)\\
    &=\exp(12)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(-2)}{\exp(-6)}&=\exp\left(-2-(-6)\right) \\
    &=\exp(-2+6)\\
    &=\exp(4)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\exp(-7)}{\exp(-5)}&=\exp\left(-7-(-5)\right) \\
    &=\exp(-7+5)\\
    &=\exp(-2)\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5     $\boldsymbol{\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

  1. $\dfrac{\exp(5x)}{\exp(2x)}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{\exp(x+3)}{\exp(x)}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\exp(4x)}{\exp(3+6x)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{\exp(3x+5)}{\exp(x+2)}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\exp(5-4x)}{\exp(x+4)}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{\exp(-7x)}{\exp(-5x)}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\exp(5x)}{\exp(2x)}&=\exp(5x-2x)\\
    &=\exp(3x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(x+3)}{\exp(x)}&=\exp(x+3-x)\\
    &=\exp(3)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(4x)}{\exp(3+6x)}&=\exp\left(4x-(3+6x)\right) \\
    &=\exp(4x-3-6x)\\
    &=\exp(-3-2x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(3x+5)}{\exp(x+2)}&=\exp\left(3x+5-(x+2)\right)\\
    &=\exp(3x+5-x-2)\\
    &=\exp(2x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(5-4x)}{\exp(x+4)}&=\exp\left(5-4x-(x+4)\right)\\
    &=\exp(5-4x-x-4)\\
    &=\exp(1-5x)\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(-7x)}{\exp(-5x)}&=\exp\left(-7x-(-5x)\right)\\
    &=\exp(-7x+5x)\\
    &=\exp(-2x)\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6     $\boldsymbol{\left[\exp(a)\right]^n=\exp(na)}$

Simplifier les expressions suivantes en n’utilisant qu’un seul terme en $\exp(\ldots)$

  1. $\left[\exp(5)\right]^3$
    $\quad$
  2. $\left[\exp(-4)\right]^2$
    $\quad$
  3. $\left[\exp(6)\right]^{-4}$
    $\quad$
  4. $\left[\exp(-10)\right]^{-2}$
    $\quad$
  5. $\left[\exp(5x)\right]^2$
    $\quad$
  6. $\left[\exp(4x-3)\right]^5$
    $\quad$
  7. $\left[\exp(8x-2)\right]^{-4}$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(5)\right]^3&=\exp(3\times 5) \\
    &=\exp(15)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(-4)\right]^2&=\exp\left(2\times (-4)\right)\\
    &=\exp(-8)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(6)\right]^{-4}&=\exp(-4\times 6) \\
    &=\exp(-24)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(-10)\right]^{-2}&=\exp\left(-2\times (-10)\right) \\
    &=\exp(20)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \left[\exp(5x)\right]^2&=\exp(2\times 5x)\\
    &=\exp(10x)\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(4x-3)\right]^5&=\exp\left(5(4x-3)\right) \\
    &=\exp(20x-15)\end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(8x-2)\right]^{-4}&=\exp\left(-4(8x-2)\right) \\
    &=\exp(-32x+8)\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7     Mélange

Simplifier les expressions suivantes :

  1. $\dfrac{\exp(5)\times \exp(-2)}{\exp(4)}$
    $\quad$
  2. $\left[\exp(3)\right]^2\times \exp(7)$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\exp(-2)\times \exp(7)}{\exp(3)\times (-2)}$
    $\quad$
  4. $\left(\dfrac{\exp(6)}{\exp(-2)}\right)^3$
    $\quad$
  5. $\left(\exp(4x)\right)^3\times \exp(5x)$
    $\quad$
  6. $\left(\exp(x)\right)^2\times \exp(-x)$
    $\quad$
  7. $\left(exp(2x)\right)^{-3}\times \left(\exp(3x)\right)^2$
    $\quad$
  8. $\dfrac{\exp(5x)\times \exp(2x)}{\exp(7x)\times \exp(3x)}$
    $\quad$
  9. $\dfrac{\exp(-2x)\times \exp(4x)}{\exp(5x)\times \exp(-6x)}$
    $\quad$
  10. $\dfrac{\exp(x-3)\times \exp(4x)}{\exp(1-3x)}$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\exp(5)\times \exp(-2)}{\exp(4)}&=\dfrac{\exp\left(5+(-2)\right)}{\exp(-2)}\\
    &=\dfrac{\exp(3)}{\exp(-2)} \\
    &=\exp\left(3-(-2)\right) \\
    &=\exp(5)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\left[\exp(3)\right]^2\times \exp(7)&=\exp(3\times 2)\times \exp(7)\\
    &=\exp(6)\times \exp(7)\\
    &=\exp(6+7)\\
    &=\exp(13)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(-2)\times \exp(7)}{\exp(3)\times (-2)}&=\dfrac{\exp(-2+7)}{\exp\left(3+(-2)\right)} \\
    &=\dfrac{\exp(5)}{\exp(1)} \\
    &=\exp(5-1) \\
    &=\exp(4)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\dfrac{\exp(6)}{\exp(-2)}\right)^3&=\left(\exp\left(6-(-2)\right)\right)^3 \\
    &=\left(\exp(8)\right)^3 \\
    &=\exp(3\times 8) \\
    &=\exp(24)\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}\left(\exp(4x)\right)^3\times \exp(5x)&=\exp(3\times 4x)\times \exp(5x) \\
    &=\exp(12x)\times \exp(5x)\\
    &=\exp(12x+5x)\\
    &=\exp(17x)\end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\exp(x)\right)^2\times \exp(-x)&=\exp(2x)\times \exp(-x) \\
    &=\exp\left(2x+(-x)\right) \\
    &=\exp(x)\end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*}\left(exp(2x)\right)^{-3}\times \left(\exp(3x)\right)^2&=\exp(-3\times 2x)\times \exp(2\times 3x)\\
    &=\exp(-6x)\times \exp(6x)\\
    &=\exp(-6x+6x)\\
    &=\exp(0)\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(5x)\times \exp(2x)}{\exp(7x)\times \exp(3x)}&=\dfrac{\exp(5x+2x)}{\exp(7x+3x)}\\
    &=\dfrac{\exp(7x)}{\exp(10x)}\\
    &=\exp(7x-10x)\\
    &=\exp(-3x)\end{align*}$
    On peut aussi fournir comme réponse $\dfrac{1}{\exp(3x)}$.
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(-2x)\times \exp(4x)}{\exp(5x)\times \exp(-6x)}&=\dfrac{\exp(-2x+4x)}{\exp\left(5x+(-6x)\right)} \\
    &=\dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \\
    &=\exp\left(2x-(-x)\right)\\
    &=\exp(3x)\end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{\exp(x-3)\times \exp(4x)}{\exp(1-3x)}&=\dfrac{\exp(x-3+4x)}{\exp(1-3x)} \\
    &=\dfrac{\exp(5x-3)}{\exp(1-3x)} \\
    &=\exp\left(5x-3-(1-3x)\right) \\
    &=\exp(5x-3-1+3x) \\
    &=\exp(8x-4) \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Démontrer que pour tout réel $x$ on a :

  1. $\dfrac{2\exp(-x)}{1+\exp(-x)}=\dfrac{2}{\exp(x)+1}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2}{1+\exp(x)}=2-\dfrac{2}{1+\exp(-x)}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{\exp(-2x)-1}{\exp(2x)+1}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
    $\quad$
Correction Exercice 8

Pour ce type de question, il existe plusieurs façons de procéder : en factorisant ou en multipliant par un terme astucieusement choisi, en comparant les produits en croix ou en utilisant le fait que $\exp(-a)=\dfrac{1}{\exp(a)}$. Chacune de ces méthodes sera utilisée dans cette correction.

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{2\exp(-x)}{1+\exp(-x)}&\dfrac{~\dfrac{2}{\exp(x)}~}{1+\dfrac{1}{\exp(x)}} \\
    &=\dfrac{2}{exp(x)\left(1+\dfrac{1}{\exp(x)}\right)} \\
    &=\dfrac{2}{\exp(x)+1}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}2-\dfrac{2}{1+\exp(-x)}&=\dfrac{2+2\exp(-x)-2}{1+\exp(-x)} \\
    &=\dfrac{2\exp(-x)}{\exp(-x)\times \exp(x)+\exp(-x)\times 1} \\
    &=\dfrac{2\exp(-x)}{\exp(-x)\left(\exp(x)+1\right)} \\
    &=\dfrac{2}{\exp(x)+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}&=\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)} \times \dfrac{\exp(-x)}{\exp(-x)} \\
    &=\dfrac{\exp(x)\times \exp(-x)-\exp(-x)\times \exp(-x)}{\exp(x)\times \exp(-x)+\exp(-x)\times \exp(-x)} \\
    &=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Comparons les produits en croix :
    $\begin{align*}\left(\exp(2x)-1\right)\times \left(1+\exp(-2x)\right)&=\exp(2x)+\exp(-2x)\times \exp(2x)-1-\exp(-2x) \\
    &=\exp(2x)+1-1-\exp(-2x)\\
    &=\exp(2x)-\exp(-2x)\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} \left(\exp(2x)+1\right)\times \left(1-\exp(-2x)\right) &=\exp(2x)-\exp(2x)\times \exp(-2x)+1-\exp(-2x) \\
    &=\exp(2x)-1+1-\exp(-2x)\\
    &=\exp(2x)-\exp(-2x)\end{align*}$
    Les produits en croix sont égaux.
    Par conséquent : $\dfrac{\exp(-2x)-1}{\exp(2x)+1}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}$
    $\quad$

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$\quad$

 

2nd – Exercices – Probabilités totales

Probabilités totales

Exercices corrigés

Exercice 1

Une usine fabrique des tubes.
Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

  • $ 96 \%$ des tubes ont une épaisseur conforme ;
  • parmi les tubes qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
  • $3,6 \%$ des tubes ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube au hasard dans la production et on considère les événements :

  • $E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
  • $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
    On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :
  1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
    et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
    Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
    Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
    &=0,96\times 0,95+0,036 \\
    &=0,948\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :

  • $56 \%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;
  • $16,2 \%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

  • $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;
  • $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M\cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $P(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M\cap E)&=P(M)\times P_M(E) \\
    &=0,56\times 0,25\\
    &=0,14\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=P\left(R_1\right) \times P_{R_1}\left(R_2\right)\\
    &=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
  3. $R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait $52 \%$ de femmes. Cette même année, $92 \%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55 \%$ étaient des femmes.

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

  • $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
  • $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
  • $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».
  1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $P(F\cap B)= 0,506$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
    $\quad$
  3. Calculer $P_H\left(\conj{B}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
    &=0,55\times 0,92\\
    &=0,506\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,506}{0,52} \\
    &\approx 0,973\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
    $\quad$
  3. On a : $P\left(\conj{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
    De plus $P_F(B)=0,973$ donc $P_F\left(\conj{B}\right)=0,027$
    Par conséquent $P\left(F\cap \conj{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} & P\left(\conj{B}\right)=P\left(H\cap \conj{B}\right)+P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    \ssi & 0,08=P\left(H\cap \conj{B}\right)+0,014~04\\
    \ssi & P\left(H\cap \conj{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right)}{P(H)} \\
    &=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
    &\approx 0,137\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près.

Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et cela par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, des ondes radio …
Une suite de $8$ bits est appelé un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet.
On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0,922$ ;
  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0,075$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0,9$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les évènements suivants :

  • $Z$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur » ;
  • $E$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
  • $D$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
  • $B$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».
  1. Compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(E\cap B)&=p(E)\times p_E(B) \\
    &=0,075\times 0,9 \\
    &=0,067~5\end{align*}$

    La probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit
    transmis sans erreur est $0,067~5$.
    $\quad$
  3. Les événements $Z$, $E$ et $D$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}p(B)&= p(Z\cap B)+p(E\cap B)+p(D\cap B)  \\
    &=0,922\times 0,99+0,075\times 0,9+0,003\times 0,99\\
    &=0,983~25\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $B$ est donc égale à $0,983~25$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous:

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(A\cap F)&=P(A) \times P_A(F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}P\left(B\cap \conj{F}\right)&= P(B)\times P_B(F) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)\\
    &=\dfrac{1}{10}\end{align*}$.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    c. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
    &=0,65+P(C\cap F) \\
    &>0,6\end{align*}$
    On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
    $\quad$
  2. a. D’après la question précédente, on a :
    $P(F)=0,65+P(C\cap F) \ssi 0,675=0,65+P(C\cap F) \ssi P(C\cap F) =0,025$
    De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,025}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{27} \\
    &\approx 0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s’intéresse à la gestion des roulements de ses rollers.

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

  • Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu’il vend sont sans défaut avec une probabilité de $0,97$.
  • Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de $0,05$.

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : « le roulement provient du fournisseur A »,
$B$ : « le roulement provient du fournisseur B »,
$D$ : « le roulement est défectueux ».

  1. Le club achète $40\%$ de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
    a. Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
    $\quad$
    b. Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B.
    $\quad$
  2. Si le club souhaite que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} P(A\cap D)&=p(A)\times p_A(D) \\
    &=0,4\times 0,03\\
    &=0,012\end{align*}$.
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
    b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p(B\cap D)&=p(B)\times p_B(D) \\
    &=0,6\times 0,05\\
    &=0,03\end{align*}$.
    $A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,012+0,03\\
    &=0,042\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,03}{0,042} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  2. On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
    $A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a donc :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x\end{align*}$
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
    &\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
    &\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
    La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Une antenne relais chargée d’acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l’opérateur A, l’opérateur B et l’opérateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des données suivantes :

  • $40 \%$ des communications passent par l’opérateur A;
  • $25 \%$ des communications passent par l’opérateur B;
  • $10 \%$ des communications passant par l’opérateur A utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ des communications passant par l’opérateur B utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements :

  • $A$ : « la communication passe par l’opérateur A »;
  • $B$ : « la communication passe par l’opérateur B »;
  • $C$ : « la communication passe par l’opérateur C »;
  • $V$ : « la communication utilise le canal vocal ».
  1. À l’aide des valeurs de l’énoncé, compléter les pointillés indiqués sur les branches de l’arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal.
    $\quad$
  3. La communication passe par l’opérateur C. Quelle est la probabilité qu’elle soit acheminée par le canal vocal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 8

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*}p(A\cap V)&=p(A)\times p_A(V) \\
    &=0,4\times 0,1\\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal est égale à $0,04$.
    $\quad$
  3. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V) \\
    \ssi &0,2=0,04+0,25\times 0,2+p(C\cap V) \\
    \ssi p(C\cap V)=0,11\end{align*}$
    On voulait déterminer :
    $\begin{align*} p_C(V)&=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,11}{0,35} \\
    &=\dfrac{11}{35} \\
    &\approx 0,314\end{align*}$
    La probabilité que la communication soit acheminée par le canal vocal sachant qu’elle passe par l’opérateur C est environ égale à $0,314$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Arbres de probabilité

Arbres de probabilité

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports : la natation, le cyclisme et la course à pied.
Fabien s’entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

  • chaque entraînement est composé d’un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
  • lorsqu’il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
  • lorsqu’il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.

Un jour d’entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.
On note :

  • $C$ l’événement : « Fabien commence par une séance de course à pied » ;
  • $V$ l’événement : « Fabien commence par une séance de vélo » ;
  • $N$ l’événement : « Fabien enchaîne par une séance de natation ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant représentant la situation :

Correction Exercice 1

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

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$\quad$

Exercice 2

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • $70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
  • $B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».

Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

  • Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert;
  • Étape 2 :
    – s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile;
    – sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :
$N$ l’évènement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$ »;
$E$ l’évènement « Le client obtient une étoile ».

  1. a. Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
    $\quad$
    b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
    On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
    $\quad$
    “S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
    Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(N \cap E)&=p(N)\times p_N(E)  \\
    &=0,3\times 0,8 \\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile est égale à $0,24$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
  • $5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.

  1. Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et $p(C)=0,05$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C) \\
    &=0,03\times 0,02\\
    &=0,000~6\end{align*}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  • $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1. Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a :
    $\begin{align*}P(A\cap R)&=P(A)\times P_A(R) \\
    &=0,53\times 0,25\\
    &=0,132~5\end{align*}$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

  • Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
  • Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

  • $L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
  • $M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.
  1. À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.

    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
    $\quad$
Correction Exercice 6

 

  1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(L\cap M)&=P(L)\times P_L(M) \\
    &=0,7\times 0,66\\
    &=0,462\end{align*}$
    Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Événements Indépendants

Événements indépendants

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Dans chacun des cas $A$ et $B$ sont des événements indépendants d’un univers $\Omega$. Déterminer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,4\times 0,6\\
    &=0,24\end{align*}$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,5\times 0,7\\
    &=0,35\end{align*}$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,8\times 0,2\\
    &=0,16\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas dire si les événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ sont indépendants.

  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,7\times 0,9 \\
    &=0,63 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{2}{5}\times 0,3 \\
    &=0,12 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,3\times 0,7 \\
    &=0,21 \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

  1. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est un roi » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un trèfle ».
    $\quad$
  2. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est rouge » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un cœur ».
    $\quad$
  3. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
    $\quad$
  4. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
  5. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ ».
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $4$ rois dans un jeu de $32$ cartes. Donc $p(A)=\dfrac{4}{32}$ soit $p(A)=\dfrac{1}{8}$.
    Un quart des cartes sont des trèfle. Donc $p(B)=\dfrac{1}{4}$.
    Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu. Par conséquent $p(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{4} \\
    &=\dfrac{1}{32} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. La moitié des cartes du jeu sont rouges. Donc $p(A)=0,5$.
    Un quart des cartes sont des cœurs. Donc $p(B)=0,25$.
    Toutes les cartes de cœurs sont rouges. Donc $p(A\cap B)=p(B)=0,25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,5\times 0,25 \\
    &=0,125 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  3. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre pair qui soit un multiple de $3$ est $6$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  4. Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(A)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre inférieur ou égal à $3$ qui soit également un multiple de $3$ est $3$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  5. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Le seul nombre pair inférieur ou égal à $3$ est $2$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4} \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,8$ et $p(A\cap B)=0,3$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} &p(A\cap B)=p(A)\times p(B) \\
\ssi ~&0,3=0,8p(B) \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{0,3}{0,8} \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,6$ et $p(A\cup B)=0,7$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 5

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Or :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)\times p(B) \\
\ssi ~& 0,7=0,6+p(B)-0,6p(B) \\
\ssi ~& 0,1=0,4p(B) \\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{0,1}{0,4}\\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ tels que $p(A)=\dfrac{1}{5}$ et $p(B)=\dfrac{2}{3}$.
Dans chacun des cas calculer $p(A\cup B)$ et $p_A(B)$.

  1. $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $A$ et $B$ sont indépendants donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{2}{15} \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{15} \\
    &=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ étant indépendants, on a donc :
    $\begin{align*} p_A(B)&=p(B) \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles donc $p(A\cap B)=0$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-0\\
    &=\dfrac{13}{15}\end{align*}$
    Et :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère deux événements indépendant $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ ayant la même probabilité tels que $p(A\cap B)=0,64$.
Calculer $p(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ la probabilité $p(A)$.
$A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
&=x^2\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~&0,64=x+x-x^2 \\
\ssi ~&x^2-2x+0,64=0\end{align*}$

Il s’agit d’une équation du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,64  \\
&=1,44\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{1,44}}{2}\\
&=0,4\end{align*}$
et
$\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{1,44}}{2}\\
&=1,6\end{align*}$
Une probabilité appartient nécessairement à l’intervalle $[0;1]$.
Par conséquent $p(A)=0,4$.
$\quad$

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$\quad$

1ère – Exercices – Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.

  1. $p(A)=0,4$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,1$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,2$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,9$, $p(B)=0,4$ et $p(A\cap B)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,3}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,7} \\
    &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,5}{0,7}\\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
  3. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,9} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
    &=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,5$ et $p_A(B)=0,7$
    $\quad$
  2. $p(B)=0,2$ et $p_B(A)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 2

Par définition, si $p(A)\neq 0$ alors $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)}$.
Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

  1. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B) \\
    &=0,5\times 0,7 \\
    &=0,35 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
    &=0,2\times 0,3 \\
    &=0,06 \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,8$, $p_B(A)=0,3$.
Déterminer $p_A(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
&=0,8\times 0,3 \\
&=0,24 \end{align*}$

Par conséquent :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,24}{0,4} \\
&=0,6\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers tels que $p(A)=0,6$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cup B)=0,9$.
Déterminer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a :
$\begin{align*}
& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B) \\
\ssi~ &0,9=0,6+0,7-p(A\cup B) \\
\ssi~ &-0,4=-p(A\cup B) \\
\ssi~ &p(A\cup B)=0,4\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,6} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$

et
$\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(B)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,7} \\
&=\dfrac{4}{7}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans une population, les individus sont répartis en $4$ groupes sanguins: A, B, AB et O et à l’intérieur de chaque groupe en Rhésus + ou – selon le tableau suivant en pourcentages:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{groupe}&\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{AB}&\textbf{O}\\
\hline
\textbf{Rhésus +}&38&8&3&36\\
\hline
\textbf{Rhésus -}&7&1&1&6\\
\hline
\end{array}$$

Un individu est choisi au hasard. Calculer la probabilité :

  1. qu’il soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus –.
    $\quad$
  2. qu’il ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O.
    $\quad$
Correction Exercice 5

On note $M$ l’événement  « l’individu a un rhésus – » et $O$ l’événement « l’individu a du groupe O ».
Ainsi $p(O)=0,36+0,06=0,42$, $p(M)=0,07+0,01+0,01+0,06=0,15$ et $p(M\cap O)=0,06$.

  1. La probabilité que l’individu soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus – est :
    $\begin{align*} p_M(O)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,15} \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité que l’individu ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O est :
    $\begin{align*} p_O(M)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(O)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,42} \\
    &=\dfrac{1}{7}\end{align*}$
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine un tiers de la population. On a constaté qu’un malade sur $10$ est vacciné et que la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit grippée est de $0,25$.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout.
$\quad$

Correction Exercice 6

On considère les événements :

  • $V$ : « l’individu est vacciné »;
  • $G$ : « l’individu est grippé ».

On a donc $p(V)=\dfrac{1}{3}$, $p_G(V)=\dfrac{1}{10}$ et $p(G)=0,25$.

Par conséquent :
$\begin{align*} p(G\cap V)&=p(G)\times p_G(V) \\
&=0,25\times \dfrac{1}{10} \\
&=0,025\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_V(G)&=\dfrac{p(G\cap V)}{p(V)} \\
&=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{3}} \\
&=0,075\end{align*}$

la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout est donc égale à $0,075$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

La bibliothèque d’un lycée comporte $150$ romans policiers et $50$ romans de science-fiction.
On sait que $40\%$ des romans policiers sont français et que $70\%$ des romans de science-fiction sont français.
Jacques choisit au hasard un ouvrage parmi les $200$ livres de la bibliothèque.

  1. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier est ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman français?
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français ?
    $\quad$
Correction Exercice 7

On considère les événements :

  • $R$ : « le livre choisi est un roman policier»;
  • $S$ : « le livre choisi est un roman de science-fiction»;
  • $F$ : « le livre choisi est un roman français».

On a ainsi $p(F)=0,4$, $p_S(F)=0,7$, $p_R(F)=0,4$ et $p_S(F)=0,7$

  1. La probabilité qu’il choisisse un roman policier est :
    $\begin{align*} p(R)&=\dfrac{150}{200} \\
    &=0,75 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(R\cap F)&=p(R)\times p_R(F) \\
    &=0,75\times 0,4 \\
    &=0,3
    \end{align*}$
    la probabilité qu’il choisisse un roman français est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $40\%$ des romans policiers sont français. Cela représente donc $0,4\times 150 = 60$ livres.
    $70\%$ des romans de science-fiction sont français. Cela représente donc $0,7\times 50=35$ livres.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p(F)&=\dfrac{60+35}{200}\\
    &=0,475\end{align*}$
    La probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. La probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français est :
    $\begin{align*} p_F(R)&=\dfrac{p(F\cap R)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,475} \\
    &=\dfrac{12}{19}
    \end{align*}$

    $\quad$

[collapse]

$\quad$