1ES – Exercices – Suites

Les suites

Exercice 1

Soit $\left(v_n\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=3$ et de raison $2$.

  1. Déterminer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
    $\quad$
  2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $v_1=q\times v_0=2\times 3 = 6$
    $v_2=q\times v_1=2\times 6=12$
    $v_3=q\times v_2=2\times 12=24$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

$\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$.
Pour chacun des cas suivants, calculer $v_4$.

  1. $v_0=2$ et $q=4$.
    $\quad$
  2. $v_1=5$ et $q=-3$.
    $\quad$
  3. $v_6=7$ et $q=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a $v_4=v_0\times q^4=2\times 4^4=512$
    $\quad$
  2. On a $v_4=v_1\times q^3=5\times (-3)^3=-135$
    $\quad$
  3. On a $v_6=v_4\times q^2$
    Donc $7=v_4\times 3^2$ soit $7=v_4\times 9$.
    Par conséquent $v_4=\dfrac{7}{9}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$.

Calcul $u_1$ et $q$ sachant que $u_7=\dfrac{3}{2}$ et $u_{10}=\dfrac{4}{9}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $u_{10}=u_7\times q^3$
Donc $\dfrac{4}{9}=u_7\times \dfrac{3}{2}$
Par conséquent $q^3=\dfrac{~~\dfrac{4}{9}~~}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{8}{27}=\dfrac{2^3}{3^3}$
Ainsi $q=\dfrac{2}{3}$.

De plus $u_7=u_1\times q^6$ soit $\dfrac{3}{2}=u_1\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^6$
Donc $u_1=\dfrac{~~\dfrac{3}{2}~~}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^6}=\dfrac{2~187}{128}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=250$ et $u_{n+1}=0,6u_n+400$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-1~000$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,6$. Quel est son terme initial?
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $u_1=0,6\times u_0+400=0,6\times 250+400=550$
    $u_2=0,6\times u_1+400=0,6\times 550+400=730$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~000$. Par conséquent $u_n=v_n+1~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
    &=0,6u_n+400-1~000\\
    &=0,6u_n-600\\
    &=0,6\left(v_n+1~000\right)-600\\
    &=0,6v_n+600-600\\
    &=0,6v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $v_0=u_0-1~000=-750$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-750\times 0,6^n$.
    $\quad$
    c. Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=v_n+1~000$.
    Donc $u_n=1~000-750\times 0,6^n$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par récurrence par : $u_0=1$ et, quel que soir l’entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n=n$.

  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_{11}-u_4$ puis $u_{n+5}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ on peut écrire $u_{n+1}=u_n+n$.
    Donc $u_1=u_0+0=1$ $\quad$ car $u_1=u_{0+1}$ donc $n=0$.
    $u_2=u_1+1=2$
    $u_3=u_2+2=4$
    $u_4=u_3+3=7$
    $u_5=u_4+4=11$
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on trouve que $u_{11}=56$.
    Donc $u_{11}-u_4=56-7=49$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_{n+1}=u_n+n$
    $u_{n+2}=u_{n+1}+n+1=u_n+n+n+1=u_n+2n+1$
    $u_{n+3}=u_{n+2}+n+2=u_n+2n+1+n+2=u_n+3n+3$
    $u_{n+4}=u_{n+3}+n+3=u_n+3n+3+n+3=u_n+4n+6$
    $u_{n+5}=u_{n+4}+n+4=u_n+4n+6+n+4=u_n+5n+10$
    Donc $u_{n+5}-u_n=5n+10$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

1ES – Exercices – loi de probabilité

Lois de probabilité

Exercice 1

Une entreprise conditionne des pièces mécaniques sous forme de sachets. Le service qualité a relevé deux types de défauts sur les $120~000$ sachets produits chaque jour.

  • $360$ sachets présentent une erreur d’étiquetage. Ce défaut est noté $D_1$.
  • $600$ sachets ont été déchirés. Ce défaut est noté $D_2$.
  • $120$ sachets présentent simultanément les deux défauts $D_1$ et $D_2$.
  1. On choisit au hasard un sachet parmi les $120~000$ sachets.
    a. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $0,002$.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est égale à $0,004$.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $0,993$.
    $\quad$
  2. Pour l’entreprise, le coût de revient d’un sachet sans défaut est $2,45$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_1$ est $4,05$ €, celui d’un sachet ayant seulement le défaut $D_2$ est $6,45$ € et celui d’un sachet ayant les deux défauts est $8,05$ €.
    On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût de revient en euros d’un sachet choisi au hasard.
    a. Donner la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. $360-120=240$ sachets présentent uniquement le défaut $D_1$.
    Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_1$ est $p_1=\dfrac{240}{120~000}=0,002$.
    $\quad$
    b. $640-120=480$ sachets présentent uniquement le défaut $D_2$.
    Ainsi, la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut $D_2$ est $p_2=\dfrac{480}{120~000}=0,004$.
    $\quad$
    c. La probabilité que le sachet choisi présente les deux défauts est $p\left(D_1\cup D_2\right)=\dfrac{120}{120~000}=0,001$.
    La probabilité que le sachet choisi présente au moins un défaut est :
    $\begin{align*} p\left(D_1\cup D_2\right)&=p\left(D_1\right)+p\left(D_2\right)-p\left(D_1\cup D_2\right) \\
    &=\dfrac{360}{120~000}+\dfrac{600}{120~000}-0,001 \\
    &=0,007
    \end{align*}$
    Par conséquent, la probabilité que le sachet choisi ne présente aucun défaut est égale à $1-0,007=0,993$.
  2. a. On obtient la loi de probabilité suivante :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&4,05&6,45&8,05&2,45\\
    \hline
    p\left(X=x_i\right)&0,002&0,004&0,001&0,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est donc :
    $\begin{align*} E(X)&=4,05\times 0,002+6,45\times 0,004+8,05\times 0,001+2,45\times 0,993 \\
    &=2,779~45\end{align*}$
    Cela signifie, qu’en moyenne, le coût de revient d’un sachet est de $2,779~45$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Une entreprise fabrique des hand spinners.
Dans la production totale, $40\%$ sont bicolores et $60\%$ sont unicolores. Ces objets sont conditionnés par paquets de $8$ avant d’être envoyés chez les revendeurs. On suppose que les paquets sont remplis aléatoirement et que l’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’objets bicolores parmi les $8$ objets d’un paquet.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Combien valent les paramètres $n$ et $p$ de cette loi?
    $\quad$
  2. Montrer que $p(X=5) \approx 0,123~9$.
    $\quad$
  3. Compléter le tableau suivant. Il est inutile de donner le détail de vos calculs. On arrondira les résultats $10^{-4}$ près.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    n_i&0,016~8&0,089~6&&&&0,123~9&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores?
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On répète $8$ fois une expérience aléatoire. Les événements sont identiques, indépendants. Chaque événement ne possède que deux issues : $S$ “l’objet est bicolore” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,4$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. $p(X=5)=\ds \binom{8}{5}\times 0,4^5\times 0,6^3 \approx 0,123~9$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    n_i&0,016~8&0,089~6&0,209&0,278~7&0,232~2&0,123~9&0,041~3&0,007~9&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. La probabilité d’obtenir au moins deux objets bicolores est :
    $p=1-p(X=0)+p(X=1)\approx 0,893~6$
    $\quad$
  5. L’espérance de $X$ est $E(X)=np=3,2$.
    En moyenne, les paquets vont contenir $3,2$ hand spinners bicolores.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Au cours du weekend, trois personnes sont maladent et appellent une fois un médecin. Chacune téléphone aléatoirement à l’un des trois médecins de garde $A$, $B$ et $C$.
On constate que le médecin $B$ est appelé deux fois plus souvent que $A$ et que $C$ est appelé trois plus souvent que $A$.
On note $N$ le nombre de médecins qui ont été contactés au cours du weekend.

  1. Donner la loi de probabilité de $N$.
    $\quad$
  2. Déterminer son espérance.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $p(B)=2p(A)$ et $p(C)=3p(A)$.
    De plus $p(A)+p(B)+p(C)=1$
    Donc $6p(A)=1$ et $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
    Par conséquent $p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
    Et $p(C)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
    La probabilité qu’un seul médecin ait été contacté est :
    $\begin{align*} p_1&=p(AAA)+p(BBB)+p(CCC) \\
    &=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    La probabilité que trois médecins aient été contactés est :
    $\begin{align*} p_3&=p(ABC)+p(ACB)+p(BAC)+p(BCA)+p(CAB)+p(CBA) \\
    &=6\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent, la probabilité que deux médecins aient été contactés est :
    $p_2=1-p_1-p_3=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    La loi de probabilité de $N$ est donc donnée par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    n_i&1&2&3\\
    \hline
    p\left(N=n_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6} \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. L’espérance de $N$ est :
    $\begin{align*} E(N)&=1\times \dfrac{1}{6}+2\times \dfrac{2}{3}+3\times \dfrac{1}{6} \\
    &=2
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Un jeu consiste à lancer un dé normal.
Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de trois et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire.

  1. Donner la loi de probabilité associée à ce gain (positif ou négatif) pour une partie.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de la loi déterminée à la question précédente.
    Le jeu est-il équitable?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Les multiples de $3$ inférieurs ou égaux à $6$ sont $3$ et $6$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain.
    La loi de probabilité de $X$ est donc :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&-1&-2&3&-4&-5&6\\
    \hline
    p\left(X=x_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est donc :
    $\begin{align*} E(X)&=\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{-4}{6}+\dfrac{-5}{6}+\dfrac{6}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Le jeu n’est donc pas équitable.

[collapse]

$\quad$

 

1ES – Exercices – second degré

Second degré

Exercice 1

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. parmi ces réponses, une seule est juste. Quelle est-elle?

  1. La forme développée de $f(x)=2(x-3)^2+7$ est :
    a. $2x^2-6x+16$
    b. $2x^2-12x+16$
    c. $2x^2-12x+25$
    d. $4x^2-24x+43$
    $\quad$
  2. La forme factorisée de $f(x)=4(x+1)^2-9$ est :
    a. $(4x+1)(4x+7)$
    b. $(2x-1)(2x+5)$
    c. $(2x-2)(2x+4)$
    d. $4(x-2)(x+4)$
    $\quad$
  3. La forme canonique de $f(x)=-2x^2-8x+1$ est :
    a. $-2(x+2)^2+9$
    b. $-2(x-4)^2-15$
    c. $-2(x-2)^2-7$
    d. $-2(x+4)^2+33$
    $\quad$
  4. Si $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a\neq 0$, si $S\left(x_S;y_S\right)$ est le sommet de la parabole représentant $f$, si $\Delta<0$ et $si $y_S<0$ alors :
    a. Pour tout réel $x$ on a $f(x)>0$.
    b. Le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $x$.
    c. $a>0$
    d. $a<0$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=2(x-3)^2+7 \\
    &=2\left(x^2-6x+9\right)+7 \\
    &=2x^2-12x+18+7 \\
    &=2x^2-12x+25
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=4(x+1)^2-9 \\
    &=\left[2(x+1)\right]^2-3^2  \quad \text{identité remarquable }a^2-b^2\\
    &=\left[2(x+1)-3\right]\left[2(x+1)+3\right] \\
    &=(2x+2-3)(2x+2+3)\\
    &=(2x-1)(2x+5)
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=-2x^2-8x+1 \\
    &=-2\left(x^2+4x-\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=-2\left[(x+2)^2-4-\dfrac{1}{2}\right] \\
    &=-2\left[(x+2)^2-\dfrac{9}{2}\right] \\
    &=-2(x+2)^2+9
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On sait que $\Delta<0$.
    Cela signifie donc que pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
    Puisque $y_S=f\left(x_S\right)<0$, cela signifie que $f(x)<0$ pour tout réel $x$ et donc que $a<0$
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer les racines et factoriser (si c’est possible) :

  1. $f(x)=2x^2+11x+5$
    $\quad$
  2. $g(x)=4x^2-12x+9$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=2x^2+11x+5$
    Le discriminant est $\Delta=11^2-4\times 2\times 5 = 121-40=81>0$.
    $f(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{81}}{2\times 2}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{81}}{2\times 2}\\
    &=\dfrac{-11-9}{4}&&&=\dfrac{-11+9}{4}\\
    &=-5&&&=-0,5
    \end{array}$
    Les racines de $f(x)$ sont donc $-5$ et $-0,5$.
    Une expression factorisée est donc $f(x)=2\left(x-(-5)\right)\left(x-(-0,5\right))=2(x+5)(x+0,5)$.
    $\quad$
  2. $f(x)=4x^2-12x+9$
    Le discriminant est $\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 9=144-144=0$
    $f(x)$ possède une seule racine :
    $\begin{align*} x_0&=\dfrac{12}{2\times 4} \\
    &=1,5
    \end{align*}$
    Une expression factorisée est donc $f(x)=4(x-1,5)^2$
    Remarque : On pouvait également procéder ainsi :
    $\begin{align*} f(x)&=4x^2-12x+9 \\
    &=(2x)^2-2\times 2 \times 3+3^2 \\
    &=(2x-3)^2 \\
    &=2^2(x-1,5)^2\\
    &=4(x-1,5)^2
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+2x+1$ et $g(x)=6x^2+14x+4$.

  1. Mettre $f$ sous la forme canonique et en déduire son tableau de variation.
    $\quad$
  2. Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ se coupent-elles?
    $\quad$
  3. Étudier les positions relatives des courbes représentatives de $f$ et de $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)&=-3x^2+2x+1 \\
    &=-3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\right) \\
    &=-3\left(x^2-2\times x \times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}^2-\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{3}\right) \\
    &=-3\left[\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}\right] \\
    &=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$. On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  2. On cherche pour répondre à la question à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -3x^2+2x+1=6x^2+14x+4 \\
    &\ssi 9x^2+12x+3=0 \\
    &\ssi 3\left(3x^2+4x+1\right)=0
    \end{align*}$
    Remarque : La factorisation n’est pas obligatoire mais permet de simplifier les calculs.
    $\quad$
    On considère l’expression $3x^2+4x+1$ et on calcule le discriminant :
    $\delta=4^2-4\times 3\times 1=16-12=4>0$
    L’expression possède donc deux racines réelles et les courbes représentatives des fonctions $f $et $g$ ont donc deux points d’intersection.
    La question ne demande de préciser ces valeurs mais on en aura besoin à la question suivante.
    Les racines sont :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times 3}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times 3}\\
    &=\dfrac{-4-2}{6}&&&=\dfrac{-4+2}{6}\\
    &=-1&&&=-\dfrac{1}{3}
    \end{array}$
  3. $f(x)-g(x)=-9x^2-12x-3$ est donc du signe de $a=-3$ à l’extérieur des racines.
    Ainsi la courbe représentative de $f$ est en-dessus de celle de $g$ sur les intervalles $]-\infty;-1[$ et $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ et au-dessous sur l’intervalle $\left]-1;-\dfrac{1}{3}\right[$.
    Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $-1$ et $-\dfrac{1}{3}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

  1. $-6x^2+5x+4<0$
    $\quad$
  2. $3x^2+x+1 \pg 0$
    $\quad$
  3. $\dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Déterminons les racines de $-6x^2+5x+4$.
    $\Delta=5^2-4\times (-6)\times 4=25+96=121>0$
    Ce polynôme du second degré possède donc 2 racines réelles :
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{121}}{2\times (-6)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{121}}{2\times (-6)}\\
    &=\dfrac{-5-11}{-12}&&&=\dfrac{-5+11}{-12}\\
    &=\dfrac{4}{3}&&&=-\dfrac{1}{2}
    \end{array}$
    Le coefficient principal est $a=-6<0$.
    Ainsi les solutions de $-6x^2+5x+4<0$ sont les nombres appartenant à $\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. On considère le polynôme $3x^2+x+1$
    $\Delta=1^2-4\times 3\times 1=-11<0$
    Ce polynôme est donc toujours du signe de $a=3>0$
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a $3x^2+x+1> 0$ et donc $3x^2+x+1\pg 0$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{x+9}{x-1} \pg x-3 &\ssi \dfrac{x+9}{x-1}-x+3\pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{x+9+(x-1)(-x+3}{x-1} \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{x+9-x^2+3x+x-3}{x-1} \pg 0\\
    &\ssi \dfrac{-x^2+5x+6}{x-1} \pg 0
    \end{align*}$
    On considère dans un premier temps le polynôme $-x^2+5x+6$.
    $\Delta=5^2-4\times (-1)\times 6=25+24=49>0$
    Il possède deux racines réelles.
    $\begin{array}{rlcrl}x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times (-1)}&\hspace{1cm}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times (-1)}\\
    &=\dfrac{-5-7}{-2}&&&=\dfrac{-5+7}{-2}\\
    &=6&&&=-1
    \end{array}$
    Puisque le coefficient principal est $a=-1<0$, ce polynôme est positif sur l’intervalle $]-1;6[$.
    $\quad$
    De plus $x-1>0 \ssi x>1$ et $x-1=0\ssi x=1$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-1]\cup]-1;6]$.
    $\quad$

[collapse]