2nd – Exercices – Probabilités totales

Probabilités totales

Exercices corrigés

Exercice 1

Une usine fabrique des tubes.
Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

  • $ 96 \%$ des tubes ont une épaisseur conforme ;
  • parmi les tubes qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
  • $3,6 \%$ des tubes ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube au hasard dans la production et on considère les événements :

  • $E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
  • $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
    On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :
  1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
    et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
    Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
    Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
    &=0,96\times 0,95+0,036 \\
    &=0,948\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :

  • $56 \%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;
  • $16,2 \%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

  • $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;
  • $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M\cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $P(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M\cap E)&=P(M)\times P_M(E) \\
    &=0,56\times 0,25\\
    &=0,14\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=P\left(R_1\right) \times P_{R_1}\left(R_2\right)\\
    &=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
  3. $R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait $52 \%$ de femmes. Cette même année, $92 \%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55 \%$ étaient des femmes.

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

  • $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
  • $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
  • $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».
  1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $P(F\cap B)= 0,506$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
    $\quad$
  3. Calculer $P_H\left(\conj{B}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
    &=0,55\times 0,92\\
    &=0,506\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,506}{0,52} \\
    &\approx 0,973\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
    $\quad$
  3. On a : $P\left(\conj{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
    De plus $P_F(B)=0,973$ donc $P_F\left(\conj{B}\right)=0,027$
    Par conséquent $P\left(F\cap \conj{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} & P\left(\conj{B}\right)=P\left(H\cap \conj{B}\right)+P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    \ssi & 0,08=P\left(H\cap \conj{B}\right)+0,014~04\\
    \ssi & P\left(H\cap \conj{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right)}{P(H)} \\
    &=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
    &\approx 0,137\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près.

Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et cela par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, des ondes radio …
Une suite de $8$ bits est appelé un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet.
On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0,922$ ;
  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0,075$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0,9$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les évènements suivants :

  • $Z$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur » ;
  • $E$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
  • $D$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
  • $B$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».
  1. Compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(E\cap B)&=p(E)\times p_E(B) \\
    &=0,075\times 0,9 \\
    &=0,067~5\end{align*}$

    La probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit
    transmis sans erreur est $0,067~5$.
    $\quad$
  3. Les événements $Z$, $E$ et $D$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}p(B)&= p(Z\cap B)+p(E\cap B)+p(D\cap B)  \\
    &=0,922\times 0,99+0,075\times 0,9+0,003\times 0,99\\
    &=0,983~25\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $B$ est donc égale à $0,983~25$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous:

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(A\cap F)&=P(A) \times P_A(F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}P\left(B\cap \conj{F}\right)&= P(B)\times P_B(F) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)\\
    &=\dfrac{1}{10}\end{align*}$.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    c. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
    &=0,65+P(C\cap F) \\
    &>0,6\end{align*}$
    On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
    $\quad$
  2. a. D’après la question précédente, on a :
    $P(F)=0,65+P(C\cap F) \ssi 0,675=0,65+P(C\cap F) \ssi P(C\cap F) =0,025$
    De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,025}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{27} \\
    &\approx 0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s’intéresse à la gestion des roulements de ses rollers.

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

  • Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu’il vend sont sans défaut avec une probabilité de $0,97$.
  • Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de $0,05$.

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : « le roulement provient du fournisseur A »,
$B$ : « le roulement provient du fournisseur B »,
$D$ : « le roulement est défectueux ».

  1. Le club achète $40\%$ de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
    a. Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
    $\quad$
    b. Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B.
    $\quad$
  2. Si le club souhaite que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} P(A\cap D)&=p(A)\times p_A(D) \\
    &=0,4\times 0,03\\
    &=0,012\end{align*}$.
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
    b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p(B\cap D)&=p(B)\times p_B(D) \\
    &=0,6\times 0,05\\
    &=0,03\end{align*}$.
    $A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,012+0,03\\
    &=0,042\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,03}{0,042} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  2. On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
    $A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales on a donc :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x\end{align*}$
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
    &\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
    &\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
    La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Une antenne relais chargée d’acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l’opérateur A, l’opérateur B et l’opérateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des données suivantes :

  • $40 \%$ des communications passent par l’opérateur A;
  • $25 \%$ des communications passent par l’opérateur B;
  • $10 \%$ des communications passant par l’opérateur A utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ des communications passant par l’opérateur B utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements :

  • $A$ : « la communication passe par l’opérateur A »;
  • $B$ : « la communication passe par l’opérateur B »;
  • $C$ : « la communication passe par l’opérateur C »;
  • $V$ : « la communication utilise le canal vocal ».
  1. À l’aide des valeurs de l’énoncé, compléter les pointillés indiqués sur les branches de l’arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal.
    $\quad$
  3. La communication passe par l’opérateur C. Quelle est la probabilité qu’elle soit acheminée par le canal vocal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 8

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*}p(A\cap V)&=p(A)\times p_A(V) \\
    &=0,4\times 0,1\\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal est égale à $0,04$.
    $\quad$
  3. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V) \\
    \ssi &0,2=0,04+0,25\times 0,2+p(C\cap V) \\
    \ssi p(C\cap V)=0,11\end{align*}$
    On voulait déterminer :
    $\begin{align*} p_C(V)&=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,11}{0,35} \\
    &=\dfrac{11}{35} \\
    &\approx 0,314\end{align*}$
    La probabilité que la communication soit acheminée par le canal vocal sachant qu’elle passe par l’opérateur C est environ égale à $0,314$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Arbres de probabilité

Arbres de probabilité

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports : la natation, le cyclisme et la course à pied.
Fabien s’entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

  • chaque entraînement est composé d’un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
  • lorsqu’il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
  • lorsqu’il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.

Un jour d’entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.
On note :

  • $C$ l’événement : « Fabien commence par une séance de course à pied » ;
  • $V$ l’événement : « Fabien commence par une séance de vélo » ;
  • $N$ l’événement : « Fabien enchaîne par une séance de natation ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant représentant la situation :

Correction Exercice 1

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

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$\quad$

Exercice 2

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • $70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
  • $B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».

Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

  • Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert;
  • Étape 2 :
    – s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile;
    – sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :
$N$ l’évènement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$ »;
$E$ l’évènement « Le client obtient une étoile ».

  1. a. Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
    $\quad$
    b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
    On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
    $\quad$
    “S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
    Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(N \cap E)&=p(N)\times p_N(E)  \\
    &=0,3\times 0,8 \\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile est égale à $0,24$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
  • $5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.

  1. Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et $p(C)=0,05$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C) \\
    &=0,03\times 0,02\\
    &=0,000~6\end{align*}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  • $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1. Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a :
    $\begin{align*}P(A\cap R)&=P(A)\times P_A(R) \\
    &=0,53\times 0,25\\
    &=0,132~5\end{align*}$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

  • Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
  • Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

  • $L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
  • $M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.
  1. À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.

    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
    $\quad$
Correction Exercice 6

 

  1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(L\cap M)&=P(L)\times P_L(M) \\
    &=0,7\times 0,66\\
    &=0,462\end{align*}$
    Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1ère – Exercices – Événements Indépendants

Événements indépendants

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

Dans chacun des cas $A$ et $B$ sont des événements indépendants d’un univers $\Omega$. Déterminer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

  1. $p(A)=0,4$ et $p(B)=0,6$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,4\times 0,6\\
    &=0,24\end{align*}$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,5$ et $p(B)=0,7$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,5\times 0,7\\
    &=0,35\end{align*}$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,8$ et $p(B)=0,2$
    Donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=0,8\times 0,2\\
    &=0,16\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas dire si les événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ sont indépendants.

  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,9$ et $p(A\cap B)=0,72$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,7\times 0,9 \\
    &=0,63 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$
  3. $p(A)=\dfrac{2}{5}$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,15$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{2}{5}\times 0,3 \\
    &=0,12 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  4. $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cap B)=0,21$
    On a :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,3\times 0,7 \\
    &=0,21 \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

  1. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est un roi » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un trèfle ».
    $\quad$
  2. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes.
    $A$ est l’événement « la carte tirée est rouge » et $B$ est l’événement « la carte tirée est un cœur ».
    $\quad$
  3. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
    $\quad$
  4. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est un multiple de $3$ ».
  5. On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
    $A$ est l’événement « le nombre obtenu est pair » et $B$ est l’événement « le nombre obtenu est inférieur ou égal à $3$ ».
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $4$ rois dans un jeu de $32$ cartes. Donc $p(A)=\dfrac{4}{32}$ soit $p(A)=\dfrac{1}{8}$.
    Un quart des cartes sont des trèfle. Donc $p(B)=\dfrac{1}{4}$.
    Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu. Par conséquent $p(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{4} \\
    &=\dfrac{1}{32} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. La moitié des cartes du jeu sont rouges. Donc $p(A)=0,5$.
    Un quart des cartes sont des cœurs. Donc $p(B)=0,25$.
    Toutes les cartes de cœurs sont rouges. Donc $p(A\cap B)=p(B)=0,25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=0,5\times 0,25 \\
    &=0,125 \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  3. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre pair qui soit un multiple de $3$ est $6$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  4. Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(A)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Seuls $3$ et $6$ sont des multiples de $3$. Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{2}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le seul nombre inférieur ou égal à $3$ qui soit également un multiple de $3$ est $3$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    Ainsi:
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6} \\
    &=p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  5. $3$ nombres sont pairs. Donc
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{3}{6}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Les nombres inférieurs ou égaux à $3$ sont $1$, $2$ et $3$.
    Donc :
    $\begin{align*} p(B)&=\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Le seul nombre pair inférieur ou égal à $3$ est $2$. Donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} p(A)\times p(B)&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4} \\
    &\neq p(A\cap B)\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,8$ et $p(A\cap B)=0,3$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} &p(A\cap B)=p(A)\times p(B) \\
\ssi ~&0,3=0,8p(B) \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{0,3}{0,8} \\
\ssi ~&p(B)=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,6$ et $p(A\cup B)=0,7$.
Déterminer $p(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 5

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Or :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)\times p(B) \\
\ssi ~& 0,7=0,6+p(B)-0,6p(B) \\
\ssi ~& 0,1=0,4p(B) \\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{0,1}{0,4}\\
\ssi ~& p(B)=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ tels que $p(A)=\dfrac{1}{5}$ et $p(B)=\dfrac{2}{3}$.
Dans chacun des cas calculer $p(A\cup B)$ et $p_A(B)$.

  1. $A$ et $B$ sont indépendants.
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $A$ et $B$ sont indépendants donc :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
    &=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{2}{15} \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{15} \\
    &=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
    Les événements $A$ et $B$ étant indépendants, on a donc :
    $\begin{align*} p_A(B)&=p(B) \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A$ et $B$ sont incompatibles donc $p(A\cap B)=0$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-0\\
    &=\dfrac{13}{15}\end{align*}$
    Et :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère deux événements indépendant $A$ et $B$ d’un univers fini $\Omega$ ayant la même probabilité tels que $p(A\cap B)=0,64$.
Calculer $p(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ la probabilité $p(A)$.
$A$ et $B$ sont indépendants donc :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p(B) \\
&=x^2\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} &p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
\ssi ~&0,64=x+x-x^2 \\
\ssi ~&x^2-2x+0,64=0\end{align*}$

Il s’agit d’une équation du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,64  \\
&=1,44\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{1,44}}{2}\\
&=0,4\end{align*}$
et
$\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{1,44}}{2}\\
&=1,6\end{align*}$
Une probabilité appartient nécessairement à l’intervalle $[0;1]$.
Par conséquent $p(A)=0,4$.
$\quad$

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$\quad$

1ère – Exercices – Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Exercices corrigés – 1ère

Exercice 1

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.

  1. $p(A)=0,4$, $p(B)=0,3$ et $p(A\cap B)=0,1$
    $\quad$
  2. $p(A)=0,7$, $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,2$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,9$, $p(B)=0,4$ et $p(A\cap B)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,3}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,7} \\
    &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,5}{0,7}\\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
  3. On a :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,9} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap b)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
    &=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers.
Dans chacun des cas suivants calculer $p(A\cap B)$.

  1. $p(A)=0,5$ et $p_A(B)=0,7$
    $\quad$
  2. $p(B)=0,2$ et $p_B(A)=0,3$
    $\quad$
Correction Exercice 2

Par définition, si $p(A)\neq 0$ alors $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap b)}{p(A)}$.
Donc $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

  1. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B) \\
    &=0,5\times 0,7 \\
    &=0,35 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
    &=0,2\times 0,3 \\
    &=0,06 \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,8$, $p_B(A)=0,3$.
Déterminer $p_A(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(B)\times p_B(A) \\
&=0,8\times 0,3 \\
&=0,24 \end{align*}$

Par conséquent :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,24}{0,4} \\
&=0,6\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

$A$ et $B$ désignent deux événements d’un même univers tels que $p(A)=0,6$, $p(B)=0,7$ et $p(A\cup B)=0,9$.
Déterminer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a :
$\begin{align*}
& p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B) \\
\ssi~ &0,9=0,6+0,7-p(A\cup B) \\
\ssi~ &-0,4=-p(A\cup B) \\
\ssi~ &p(A\cup B)=0,4\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,6} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$

et
$\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cup B)}{p(B)} \\
&=\dfrac{0,4}{0,7} \\
&=\dfrac{4}{7}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans une population, les individus sont répartis en $4$ groupes sanguins: A, B, AB et O et à l’intérieur de chaque groupe en Rhésus + ou – selon le tableau suivant en pourcentages:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{groupe}&\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{AB}&\textbf{O}\\
\hline
\textbf{Rhésus +}&38&8&3&36\\
\hline
\textbf{Rhésus -}&7&1&1&6\\
\hline
\end{array}$$

Un individu est choisi au hasard. Calculer la probabilité :

  1. qu’il soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus –.
    $\quad$
  2. qu’il ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O.
    $\quad$
Correction Exercice 5

On note $M$ l’événement  « l’individu a un rhésus – » et $O$ l’événement « l’individu a du groupe O ».
Ainsi $p(O)=0,36+0,06=0,42$, $p(M)=0,07+0,01+0,01+0,06=0,15$ et $p(M\cap O)=0,06$.

  1. La probabilité que l’individu soit du groupe O sachant qu’il a un rhésus – est :
    $\begin{align*} p_M(O)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,15} \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité que l’individu ait un rhésus – sachant qu’il est du groupe O est :
    $\begin{align*} p_O(M)&=\dfrac{p(M\cap O)}{p(O)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,42} \\
    &=\dfrac{1}{7}\end{align*}$
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine un tiers de la population. On a constaté qu’un malade sur $10$ est vacciné et que la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit grippée est de $0,25$.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout.
$\quad$

Correction Exercice 6

On considère les événements :

  • $V$ : « l’individu est vacciné »;
  • $G$ : « l’individu est grippé ».

On a donc $p(V)=\dfrac{1}{3}$, $p_G(V)=\dfrac{1}{10}$ et $p(G)=0,25$.

Par conséquent :
$\begin{align*} p(G\cap V)&=p(G)\times p_G(V) \\
&=0,25\times \dfrac{1}{10} \\
&=0,025\end{align*}$

Ainsi :
$\begin{align*} p_V(G)&=\dfrac{p(G\cap V)}{p(V)} \\
&=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{3}} \\
&=0,075\end{align*}$

la probabilité pour un individu vacciné d’être grippé malgré tout est donc égale à $0,075$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

La bibliothèque d’un lycée comporte $150$ romans policiers et $50$ romans de science-fiction.
On sait que $40\%$ des romans policiers sont français et que $70\%$ des romans de science-fiction sont français.
Jacques choisit au hasard un ouvrage parmi les $200$ livres de la bibliothèque.

  1. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier est ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman français?
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français ?
    $\quad$
Correction Exercice 7

On considère les événements :

  • $R$ : « le livre choisi est un roman policier»;
  • $S$ : « le livre choisi est un roman de science-fiction»;
  • $F$ : « le livre choisi est un roman français».

On a ainsi $p(F)=0,4$, $p_S(F)=0,7$, $p_R(F)=0,4$ et $p_S(F)=0,7$

  1. La probabilité qu’il choisisse un roman policier est :
    $\begin{align*} p(R)&=\dfrac{150}{200} \\
    &=0,75 \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(R\cap F)&=p(R)\times p_R(F) \\
    &=0,75\times 0,4 \\
    &=0,3
    \end{align*}$
    la probabilité qu’il choisisse un roman français est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $40\%$ des romans policiers sont français. Cela représente donc $0,4\times 150 = 60$ livres.
    $70\%$ des romans de science-fiction sont français. Cela représente donc $0,7\times 50=35$ livres.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p(F)&=\dfrac{60+35}{200}\\
    &=0,475\end{align*}$
    La probabilité qu’il choisisse un ouvrage d’un auteur français est $0,475$.
    $\quad$
  4. La probabilité qu’il choisisse un roman policier sachant que l’auteur est français est :
    $\begin{align*} p_F(R)&=\dfrac{p(F\cap R)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,475} \\
    &=\dfrac{12}{19}
    \end{align*}$

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

Devoir commun – 1S Février 2019 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     8 points

L’objectif de l’exercice est de comparer deux séries statistiques. Les deux séries indiquent les températures en °C dans deux villes A et B chaque jour d’une même année comportant $365$ jours. Pour la ville B, la moyenne
est $\conj{x_B} = 14, 4$ °C, l’écart-type $\sigma_B \approx 8, 771~5$ et le diagramme en boîte est en-dessous.
Pour la ville A, on a les relevés suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
\hline
\text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
\hline
\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer la moyenne $\conj{x_A}$ e l’écart-type $\sigma_A$ pour la ville A. Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Avec les données de la villa A, déterminer le premier quartile, la médiane, le troisième quartile que l’on notera respectivement $Q_{1A}$, $M_A$ et $Q_{3A}$. Justifier les réponses.
    $\quad$
  3. Construire le diagramme en boîte de la série A sur le diagramme ci-dessous.

    $\quad$
  4. Comparer et commenter les résultats des deux séries de données (ville A et ville B) en utilisant :
    – le couple moyenne – écart-type;
    – le couple médiane – écart-interquartile.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

On coupe une ficelle d’une longueur de 17 mètres pour entourer deux surfaces :

  • un carré;
  • un domino (rectangle deux fois plus long que large).

Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ?

$\quad$

Exercice 3     7 points

$ABC$ est un triangle. Les points $K, L$ et $M$ sont tels que $\vect{AK}=-\dfrac{3}{2}\vect{AC}$, $\vect{AL}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.

  1. Placer, sur la figure ci-dessous, les points $K$, $L$ et $M$. Pour construire le point $M$, on exprimera $\vect{BM}$ en fonction de $\vect{BC}$.$\quad$
  2. Exprimer le vecteur $\vect{KL}$ en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{KM}=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. Montrer que les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;3)$, $B(5;1)$ et $C(4;5)$.

On utilisera le repère qui suit pour la figure de cet exercice.

  1. On considère la droite $(d)$ d’équation $-x+2y-9=0$.
    a. Représenter la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
    c. Les droites $(d)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles? Justifier.
    $\quad$
  2. a. Calculer les coordonnées du point $E$, milieu de $[AB]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
    $\quad$
    c. On admet qu’une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$ est $6x+5y-35=0$. Montrer que le point $D(0;7)$ est sur cette droite, puis tracer la droite sur le graphique.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées de $G$, centre de gravité du triangle $ABC$.
    $\quad$

Exercice 5     17 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\pg 0$ par $u_n=\dfrac{6n-5}{n+1}$.

  1. Pour tout $n\pg 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. a. Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation présumé de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du sens de variation
  3. Première méthode
    a. Soit $n\in \N$. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite.
    $\quad$
  4. Deuxième méthode
    a. Donner l’expression de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$, telle que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$, puis en déduire celui de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du comportement à l’infini
  5. a. Montrer que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n<6$.
    $\quad$
    b. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ à partir duquel on a $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Argumenter.
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Soit $p$ le trinôme défini par $p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$ sur $[-1;7]$.

  1. Déterminer la forme canonique de $p$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de $p$ sur $[-1;7]$ en justifiant.
    $\quad$
  3. a. En regardant le tableau de variation précédent, pourquoi peut-on être sûr, sans le calculer, que le discriminant de ce polynôme est strictement positif ?
    $\quad$
    b. Calculer ce discriminant et dresser le tableau de signe de $p$.
    $\quad$
  4. Exprimer $\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue, puis donner l’allure de la représentation graphique de la fonction $x\to \left|p(x)\right|$ dans le repère ci-dessous.$\quad$
  5. Notons maintenant $q(x)=\sqrt{-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}}$.
    a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $q$.
    $\quad$
    b. Dresser son tableau de variation en justifiant.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout $x\in [1;5]$, on a $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$.
    $\quad$
    Rappel : Soit $X$ un nombre réel.
    – si $0 \pp X \pp 1$ alors $X^2 \pp X \pp \sqrt{X}$.
    – si $1 \pp X$ alors $\sqrt{X} \pp X \pp X^2$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $\conj{x_A}\approx 14,4$ et $\sigma_A\approx 6,681~3$.
    $\quad$
  2. Voici le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) de la série.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
    \hline
    \text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
    \hline
    \text{ECC}&20&30&70&127&135&136&325&335&355&365\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $\dfrac{365}{2}=182,5$. La médiane est donc la $183\ieme$ valeur, c’est-à-dire $18$.
    $\dfrac{365}{4}=91,25$. $Q_1$ est donc la $92\ieme$ valeur. Donc $Q_1=9$.
    $\dfrac{365\times 3}{4}=273,75$. $Q_3$ est donc la $274\ieme$ valeur. Donc $Q_3=18$.
    $\quad$
  3. On obtient le diagramme en boîte suivant :
    $\quad$
  4. Si l’on utilise les couples moyenne-écart type, on peut constater que les séries des deux villes ont la même moyenne ce qui signifie que les températures sont similaires en moyenne mais l’écart type de la série A est plus petit que celui de la série B, ce qui signifie que les températures relevées dans la ville A sont plus homogènes autour de la moyenne qui est $14$.
    $\quad$
    Si l’on utilise le couple médiane-écart interquartile, on peut constater que les séries des deux villes ont la même médiane mais l’écart interquartile de la série de la ville A est plus petit ce qui signifie que les température de la villes A sont plus homogènes autour de la médiane qui est $18$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $x$ la longueur de la ficelle permettant de réaliser le carré.
L’aire du carré est donc $\mathscr{A}_1(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}$.

On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Sa longueur est donc $2\ell$ et son périmètre est $2(\ell+2\ell)=6\ell$.
Or son périmètre est également égal à $17-x$.
Par conséquent $6\ell=17-x \ssi \ell=\dfrac{17-x}{6}$.
Ainsi l’aire du rectangle est $\mathscr{A}_2(x)=\dfrac{17-x}{6}\times 2\times \dfrac{17-x}{6}=\dfrac{(17-x)^2}{18}$.

La somme des deux aires est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=\mathscr{A}_1(x)+\mathscr{A}_2(x) \\
&=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(17-x)^2}{18} \\
&=\dfrac{18x^2+16(17-x)^2}{288} \\
&=\dfrac{18x^2+16\left(289-34x+x^2\right)}{288} \\
&=\dfrac{34x^2-544x+4~624}{288}\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $P(x)=34x^2-544x+4~624$.
On a $a=34>0$.
La fonction admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\alpha =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{544}{68}=8$

La somme des deux aires est donc minimale si $x=8$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} 5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0} &\ssi 5\vect{MB}+\vect{MB}+\vect{BC}=\vec{0} \\
    &\ssi 6\vect{MB}=-\vect{BC} \\
    &\ssi \vect{BM}=\dfrac{1}{6}\vect{BC}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{KL}&=\vect{KA}+\vect{AL} \\
    &=-\vect{AK}+\dfrac{3}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{KM}&=\vect{KA}+\vect{AB}+\vect{BM} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}-\dfrac{1}{6}\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{AC}\\
    &=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC} \end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc $\vect{KM}=\dfrac{10}{9}\vect{KL}$
    Les vecteurs $\vect{KM}$ et $\vect{KL}$ sont donc colinéaires.
    Par conséquent les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Si $x=-1$ alors $2y-8=0 \ssi y=5$. Le point de coordonnées $(-1;4)$ appartient à la droite $(d)$.
    Si $x=3$ alors $2y-12=0 \ssi y=6$. Le point de coordonnées $(3;6)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{AC}(4-1;5-3)$ soit $\vect{AC}(3;2)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $\vect{AM}(x-1;y-3)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(d)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
    $\ssi 2(x-1)-3(y-3)=0$
    $\ssi 2x-2-3y+9=0$
    $\ssi 2x-3y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est donc $2x-3y+7=0$.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(-2;-1)$ et un vecteur directeur de $(AC)$ est $\vect{AC}(3;2)$.
    $-2\times 2-(-1)\times 3=-4+3=-1\neq 0$
    $\vec{u}$ et $\vect{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Les droites $(d)$ et $(AC)$ ne sont, par conséquent, pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $E$ est le milieu de $[AB]$.
    Donc $x_E=\dfrac{1+5}{2}=3$ et $y_E=\dfrac{3+1}{2}=2$.
    Les coordonnées du point $E$ sont $(3;2)$.
    $\quad$
    b. La médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$ est la droite $(CE)$.
    On a $\vect{CE}(3-4;2-5)$ soit $\vect{CE}(-1;-3)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a $\vect{CM}(x-4;y-5)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(CE)$
    $\ssi$ $\vect{CM}$ et $\vect{CE}$ sont colinéaires
    $\ssi$ $-3(x-4)-(-1)(y-5)=0$
    $\ssi$ $-3x+12+y-5=0$
    $\ssi$ $-3x+y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est donc $-3x+y+7=0$.
    $\quad$
    c. $3\times 0+5\times 7-35=0+35-35=0$.
    Donc $D(0;7)$ appartient à la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$. Elle passe donc par les points $D$ et $B$.
    $\quad$
    d. Le centre de gravité $G(x;y)$ du triangle $ABC$ est le point d’intersection des médianes de ce triangle.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} -3x+y+7=0\\6x+5y-35=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+5(3x-7)-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+15x-35-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\21x=70 \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\x=\dfrac{10}{3} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\times \dfrac{10}{3}-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{10}{3};3\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Pour tout $n\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{6(n+1)-5}{n+1+1}\\
    &=\dfrac{6n+6-5}{n+2}\\
    &=\dfrac{6n+1}{n+2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $u_0=-5$, $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{7}{3}$, $u_3=\dfrac{13}{4}$ et $u_4=\dfrac{19}{5}$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{6n+1}{n+2}-\dfrac{6n-5}{n+1} \\
    &=\dfrac{(6n+1)(n+1)-(6n-5)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{6n^2+6n+n+1-\left(6n^2+12n-5n-10\right)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $n+1>0$ et $n+2>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a $f(x)=\dfrac{6x-5}{x+1}$.
    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. $f(x)=\dfrac{6x+6-6-5}{x+1}=\dfrac{6(x+1)-11}{x+1}=6-\dfrac{11}{x+1}$.
    Donc $a=6$ et $b=-11$
    $\quad$
    c. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $0\pp u< v$
    $\begin{align*} 0\pp u<v &\ssi 1 \pp u+1<v+1 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u+1}>\dfrac{1}{v+1} \\
    &\ssi -\dfrac{11}{u+1}<-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi 6-\dfrac{11}{u+1}<6-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi f(u)<f(v)\end{align*}$
    La fonction $u$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$.
    Puisque la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(n)<f(n+1)$ soit $u_n<u_{n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} u_n-6&=f(n)-6\\
    &=6-\dfrac{11}{n+1}-6\\
    &=-\dfrac{11}{n+1} \end{align*}$
    $n$ est un entier naturel donc $n+1>0$.
    Par conséquent $u_n-6<0$ soit $u_n<6$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $u_{219}=5,95$ et $u_{220}=\dfrac{1~315}{221}>5,95$.
    C’est donc à partir de $n=220$ que $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$.
    Plus la valeur de $n$ augmente plus la valeur de $u_n$ se rapproche de $6$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}=6$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;7]$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16} \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+9-9+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left((x-3)^2-4\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}(x-3)^2+\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $a=-\dfrac{1}{16}<0$. La fonction $p$ est donc croissante puis décroissante.
    Son maximum est atteint en $\alpha=3$ et vaut $\dfrac{1}{4}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $p$ est croissante sur l’intervalle $[-1;3]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    De même la fonction $p$ est décroissante sur l’intervalle $[3;7]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    Le polynôme du second degré $p(x)$ change donc de signe. Son discriminant est donc strictement positif.
    $\quad$
    b. $\Delta = \left(\dfrac{3}{8}\right)^2-4\times \left(-\dfrac{1}{16}\right)\times \left(-\dfrac{5}{16}\right)=\dfrac{1}{16}>0$
    Les deux solutions sont :
    $x_1=\dfrac{-\dfrac{3}{8}-\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=5$ et $x_2=\dfrac{-\dfrac{3}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=1$
    On sait que $a=-\dfrac{1}{16}<0$. Le tableau de signes de $p(x)$ est donc :
  4. Sur $]-1;1[\cup]5;7[$ on a $p(x)<0$ donc $\left|p(x)\right|=-p(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{5}{16}$.
    Sur $]1;5[$ on a $p(x)>0$ donc  $\left|p(x)\right|=p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$
    On obtient donc la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  5. a. L’ensemble de définition de la fonction $q$ est $D_q=[1;5]$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ on a $p(x)\pg 0$.
    Les fonction $p$ et $\sqrt{p}$ ont donc le même sens de variation.
    On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a, d’après le tableau de variation $0\pp q(x) \pp \dfrac{1}{2}<1$.
    Donc $\left(q(x)\right)^2 \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    Soit $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    $\quad$

Devoir commun – 1S Février 2018 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     14 points

Une machine fabrique des rondelles métalliques.

On a prélevé au hasard dans la fabrication un échantillon de $150$ rondelles dont on a mesuré le diamètre intérieur $d$ et le diamètre extérieur $D$. Les résultats, en millimètres, sont les suivants :

$$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{diamètre intérieur }d&4,7&4,8&4,9&5&5,1&5,2&5,3\\
\hline
\text{effectifs } N&1&6&24&76&37&4&2\\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{diamètre extérieur }D&11,7&11,8&11,9&12&12,1&12,2&12,3\\
\hline
\text{effectifs } N’&3&11&33&72&22&8&1\\
\hline
\end{array}\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer la moyenne $m$ et l’écart-type $\sigma$ de chaque série (arrondi à $10^{-3}$ près).
    $\quad$
  2. Déterminer, en expliquant les calculs ou les démarches, pour chaque série, la médiane $M_e$, les quartiles $Q_1$ et $Q_3$, l’écart interquartile $I$. On pourra s’aider de la calculatrice pour déterminer les valeurs.
    $\quad$
  3. Le service contrôle de qualité prévoit de n’accepter une rondelle que si ses diamètres intérieur et extérieur ont chacun une mesure comprise entre $M_e-I$ et $M_e+I$.
    Quant au service fabrication, il propose d rejeter une rondelle dès que l’une des deux mesures se trouve en dehors de l’intervalle $[m-\sigma;m+\sigma]$.
    Quel pourcentage de rejets peut-il y avoir dans chaque cas? (Proposer une fourchette)
    $\quad$
  4. Quel est le test le moins contraignant pour l’entreprise?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

Dans un carré de $10$ cm de côté, on a colorié une bande de largeur $x$ cm et un carré de côté $x$ cm centré comme sur la figure ci-dessous.

Déterminer la ou les valeurs de $x$ pour laquelle (lesquelles) les deux aires (blanche et coloriée) sont égales.

$\quad$

Exercice 3     15 points

Soient $A(1;1), B(9;3)$ et $C(5;8)$ trois points du plan muni d’un repère orthonormé.

On complétera la au fur et à mesure de l’exercice la figure ci-dessus.

  1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point $G$ tel que $\vect{AG}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\vect{BC}$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
    $\quad$
  4. Démontrer que le point $G\left(3;\dfrac{15}{2}\right)$ appartient à $(\Delta)$ : $-x+4y=27$.
    $\quad$
  5. Dans cette partie, on va déterminer le point de la droite $(AN)$ d’équation $-x+4y=3$ le plus proche du point $C$.
    a. Soit $y$ un nombre réel. Expliquer pourquoi $H(4y-3;y)$ appartient à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $CH^2=17y^2-80y+128$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées du point de la droite $(AB)$ le plus proche du point $C$.
    $\quad$

Exercice 4     7 points

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=3$ et $BC=2$. On considère les points $H$ et $G$ tels que :
$$\vect{AH}=\dfrac{7}{4}\vect{AB}\quad \text{et} \quad \vect{AG}=2\vect{CB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB}$$

  1. Placer les points $H$ et $G$ sur la figure ci-dessus en laissant apparent vos traits de construction.
    $\quad$
  2. Démontrer que $\vect{CH}=\dfrac{7}{4}\vect{AB}-\vect{AC}$
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{CG}=\dfrac{21}{4}\vect{AB}-3\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. En déduire que les points $C,H$ et $G$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 5 (groupe 1)     18 points

Partie I

On considère le trinôme du second degré $p$ défini par $p(x)=3x^2-1$.

  1. a. Dresser le tableau de variation de la fonction carré sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire celui de la fonction $p$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction $p$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $p$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Exprimer alors la fonction $g$ définie par $g(x)=\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue.
    $\quad$

Partie II

Dans cette partie, on étudie la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-x$. On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$.

  1. a. Montrer que $f(x)=x(x-1)(x+1)$ pour tout $x\in \R$.
    $\quad$
    b. En quels points la courbe $\mathscr{C}_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses? Justifier.
    $\quad$
  2. Soient $x\in\R$ et $h\neq 0$.
    a. Montrer que $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$.
    $\quad$
    b. Calculer $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
    $\quad$
    c. En déduire que $f$ est dérivable en tout $x\in \R$ et $f'(x)=3x^2-1$.
    $\quad$
    d. Calculer alors $f'(-1)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    e. En déduire l’équation de la tangente $T_{-1}$ à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées des points où la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
    $\quad$
  4. Soit $x_0\in \R$. Que peut-on dire des tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ et $M’\left(-x_0;f\left(-x_0\right)\right)$? Justifier.
    $\quad$

Exercice 5 (groupe 2)     18 points

  1. $a$ est un réel, $a \pg \dfrac{1}{3}$. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2+ax$.
    Montrer que $f$ est croissante sur $\R$.
    Toute initiative sera prise en compte.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormal $\Oij$, $A(1;2)$ et $M$ est un point de l’axe des abscisses, d’abscisse $x>1$. $P$ est le point d’intersection de la droite $(AM)$ avec l’axe des ordonnées.
    a. Faire une figure.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’ordonnée de $P$ est $\dfrac{2x}{x-1}$. On pourra utiliser le théorème de Thalès, en justifiant soigneusement.
    $\quad$
    c. L’aire du triangle $OMP$ dépend de $x$. Montrer que cette aire est égale à $\dfrac{x^2}{x-1}$.
    $\quad$
    d. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$, en concluant par son tableau de variation.
    $\quad$
    e. Déterminer la position du point $M$ qui permet d’obtenir l’aire $OMP$ minimale. Quelle est la valeur de cette aire?
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour la première série on a : $m\approx 5,008$ et $\sigma \approx 0,092$.
    Pour la seconde série on a : $m\approx 11,985$ et $\sigma\approx 0,104$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{150}{2}=75$ donc la médiane est la moyenne de la $75\ieme$ et de la $76\ieme$ valeur.
    $\dfrac{150}{4}=37,5$ donc $Q1$ est la $38\ieme$ valeur.  $Q1=5$
    $\dfrac{150\times 3}{4}=112,5$ donc $Q3$ est la $113\ieme$ valeur. $Q3=5,1$
    $\quad$
    Ainsi pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ :
    $Me=\dfrac{5+5}{2}=5$ $\quad$  $Q1=5$ et $Q3=5,1$
    L’écart interquartile est donc $I=Q3-Q1=5,1-5=0,1$
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ :
    $Me=\dfrac{12+12}{2}=12$ $\quad$  $Q1=11,9$ et $Q3=12$
    L’écart interquartile est donc $I=Q3-Q1=12-11,9=0,1$
    $\quad$
  3. Pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ on a : $[Me-I;Me+I]=[4,9;5,1]$.
    Par conséquent $13$ valeurs parmi les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle. Or $\dfrac{13}{150}\approx 8,7\%$.
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ on a : $[Me-I;Me+I]=[11,9;12,1]$.
    Par conséquent $23$ valeurs parmi les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle. Or $\dfrac{23}{150}\approx 15,3\%$.
    $\quad$
    Dans le meilleur des cas, $23$ rondelles sont refusées (soit environ $15,3\%$) et dans le pire des cas $23+13=36$ rondelles sont refusées (soit $24\%$).
    Avec cette méthode, le pourcentage de rejet appartient donc à l’intervalle $[15,3;24]$.
    $\quad$
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre intérieur $d$ on a : $[m-\sigma;m+\sigma]=[4,916;5,1]$
    Par conséquent $37$ valeurs sur les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle soit environ $24,7\%$ des valeurs.
    $\quad$
    Pour la série concernant le diamètre extérieur $D$ on a : $[m-\sigma;m+\sigma]=[11,881;12,089]$
    Par conséquent $45$ valeurs sur les $150$ n’appartiennent pas à cet intervalle soit $30\%$ des valeurs.
    $\quad$
    Dans le meilleur des cas, $45$ rondelles sont refusées soit $30\%$. Dans le pire des cas $45+37=82$ rondelles sont refusées soit environ $54,7\%$.
    Avec cette méthode le pourcentage de rejet appartient donc à l’intervalle $[30;54,7]$.
    $\quad$
  4. Le test du service contrôle qualité est donc le moins contraignant.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Les deux sont égales. Elles valent donc toutes les deux la moitié de l’aire du carré soit $\dfrac{10^2}{2}=50$ cm$^2$.

L’aire de la partie coloriée est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2\left(10x+(10-2x)x\right)+x^2\\
&=2(\left(20x-2x^2\right)+x^2\\
&=40x-4x^2+x^2 \\
&=-3x^2+40x\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation $-3x^2+40x=50 \ssi -3x^2+40x-50=0$

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=40^2-4\times (-3)\times (-50) \\
&=1~000 \\
&>0\end{align*}$

L’équation du second degré $-3x^2+40x-50=0$ possède donc deux solutions qui sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-40-\sqrt{1~000}}{-6} \\
&=\dfrac{40+10\sqrt{10}}{6} \\
&=\dfrac{20+5\sqrt{10}}{3} \end{align*}$

et

$\begin{align*} x_2&=\dfrac{-40+\sqrt{1~000}}{-6} \\
&=\dfrac{40-10\sqrt{10}}{6} \\
&=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3} \end{align*}$

Or $x_1\approx 11,9\notin [0;10]$ et $x_2\approx 1,4 \in[0;10]$.

Les deux aires sont donc égales si $x=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3}$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $\vect{AB}(9-1;3-1)$ soit $\vect{AB}(8;2)$
    et $\vect{BC}(5-9;8-3)$ soit $\vect{BC}(-4;5)$
    $\begin{align*} &\vect{AG}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\vect{BC} \\
    \ssi&\begin{cases}x_G-1=\dfrac{3}{4}\times 8-4 \\y_G-1=\dfrac{3}{4}\times 2+5 \end{cases} \\
    \ssi &\begin{cases} x_G-1=2 \\y_G-1=\dfrac{13}{2} \end{cases} \\
    \ssi &\begin{cases} x_G=3\\y_G=\dfrac{15}{2}\end{cases} \end{align*}$
    Les coordonnées du point $G$ sont donc $\left(3;\dfrac{15}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AC}(5-1;8-1)$ soit $\vect{AC}(4;7)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $AM(x-1;y-1)$.
    $\begin{align*} M\in (AC) &\ssi \vect{AM} \text{ et } \vect{AC} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi 7(x-1)-4(y-1)=0\\
    &\ssi 7x-7-4y+4=0\\
    &\ssi 7x-4y=3=0 \end{align*}$
    Une équation cartésienne de $(AC)$ est donc $7x-4y-3=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}(8;2)$.
    Les droites $(AB)$ et $(\Delta)$ sont parallèles. $\vect{AB}$ est donc un vecteur directeur de $(\Delta)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ est par conséquent de la forme $-2x+8y+c=0$
    Le point $C(5;8)$ appartient à la droite $(\Delta)$.
    Ainsi $-2\times 5+8\times 8+c=0 \ssi c=-54$.
    Une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ est donc $-2x+8y-54=0$.
    En simplifiant les coefficients par $2$ on peut également dire qu’une équation cartésienne de cette droite est $-x+4y-27=0$.
    $\quad$
  4. $-3+4\times \dfrac{15}{2}=-3+30=27$.
    Donc $G$ appartient à $(\Delta)$.
    $\quad$
  5. a. $-(4y-3)+4y=-4y+3+4y=3$.
    Donc $H(4y-3;y)$ appartient à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{CH}(4y-3-5;y-8)$ soit $\vect{CH}(4y-8;y-8)$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} CH^2&=\lVert \vect{CH}\rVert^2 \\
    &=(4y-8)^2+(y-8)^2 \\
    &=16y^2+64-64y+y^2+64-16y\\
    &=17y^2-80y+128\end{align*}$.
    $\quad$
    c. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(y)=17y^2-80y+128$.
    Le coefficient principal est $a=17>0$.
    La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
    $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{40}{17}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(4\times \dfrac{40}{17}-3;\dfrac{40}{17}\right)$ soit $\left(\dfrac{109}{17};\dfrac{40}{17}\right)$.

Ex 4

Exercice 4

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{CH}&=\vect{CA}+\vect{AH} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{7}{4}\vect{AB} \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{CG}&=\vect{CA}+\vect{AG} \\
    &=-\vect{AC}+2\vect{CB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+2\left(\vect{CA}+\vect{AB}\right)+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}-2\vect{AC}+2\vect{AB}+\dfrac{13}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{21}{4}\vect{AB}-3\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On constate donc que $\vect{CG}=3\vect{CH}$.
    Les vecteurs $\vect{CG}$ et $\vect{CH}$ sont par conséquent colinéaires et les points $C$, $G$ et $H$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 5 - grp1

Exercice 5 – Groupe 1

Partie I 

  1. a. On appelle $u$ la fonction carré.
    On a donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    b. On a $p=3u-1$. Or $3>0$. Les fonctions $u$ et $3u$ ont donc le même sens de variation.
    De plus les fonctions $3u$ et $3u-1$ ont le même sens de variation.
    Par conséquent les fonction $u$ et $p$ ont le même sens de variation.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} p(x)=0 &\ssi 3x^2-1=0\\
    &\ssi 3x^2=1 \\
    &\ssi x^2=\dfrac{1}{3} \\
    &\ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{ ou } x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
    c. Ainsi si $x\in \left]-\dfrac{1}{\sqrt{3}};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right[$ alors $p(x)<0$ donc $g(x)=\left|p(x)\right|=-p(x)$.
    Si $x\in\left]-\infty;-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};+\infty\right[$ alors $p(x)\pg 0$ donc $g(x)=\left|p(x)\right|=p(x)$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} x(x-1)(x+1)&=x\left(x^2-1\right) \\
    &=x^3-x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $f(x)=0 \ssi x=0$ ou $x-1=0$ ou $x+1=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe dons l’axe des abscisse en $A(0;0)$ et $B(1;0)$ et $C(-1;0)$.
    $\quad$
  2. a. Pour tous réels $x$ et $h$ on a :
    $\begin{align*} (x+h)^3&=(x+h)\times (x+h)^2 \\
    &=(x+h)\left(x^2+h^2+2xh\right)\\
    &=x^3+xh^2+2x^2h+hx^2+h^3+2xh^2 \\
    &=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère un réel $x$ et un réel $h$ non nul.
    $\begin{align*} T_h(x)&=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
    &=\dfrac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x}{h} \\
    &=\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h} \\
    &=3x^2+3xh+h^2-1 \end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ on a :
    $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^2-1$.
    Cela signifie donc que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2-1$.
    $\quad$
    d. Ainsi $f'(-1)=3-1=2$
    $f'(0)=0-1=-1$
    $f'(1)=3-1=2$
    $\quad$
    e. On sait que $f'(-1)=2$. Une équation de $T_{-1}$ est donc de la forme $y=2x+b$.
    $f(-1)=(-1)^3-(-1)=0$
    Le point $A(-1;0)$ appartient donc à la courbe $\mathscr{C}_f$ et à la tangente $T_{-1}$.
    Ainsi $0=2\times (-1)+b \ssi b=2$.
    Une équation de $T_{-1}$ est donc $y=2x+2$.
    $\quad$
  3. Une tangente est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, son coefficient directeur est nul.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f'(x)=0&\ssi 3x^2-1=0\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{ ou }x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad (*) \\
    &\ssi x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \text{ ou }x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
    \end{align*}$
    $(*)$ d’après la partie I
    $f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ et $f\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
    La tangente est parallèle à l’axe des abscisses aux points de coordonnées $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} ;-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)$ et $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3} ;\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x_0$ on a :
    $f’\left(-x_0\right)=3\left(-x_0\right)^2-1=3{x_0}^2-1=f’\left(x_0\right)$.
    Les tangentes en $M$ et $M’$ sont donc parallèles.
    $\quad$

Ex 5 - grp2

Exercice 5 – Groupe 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+2x+a$.
    Le discriminant est $\Delta=4-4\times 3a=4(1-3a)$.
    Or $a\pg \dfrac{1}{3}$ donc $1-3a\pp 0$ et $\Delta\pp 0$.
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. a.$\quad$
    b. On appelle $B$ le point de coordonnées $(0;2)$.
    Dans les triangles $OPM$ et $BAP$ on a :
    – les droites $(AB)$ et $(OM)$ sont parallèles;
    – le point $B$ appartient au segment $[OP]$;
    – le point $A$ appartient au segment $[PM]$.
    D’après le théorème de Thalès on obtient :
    $\dfrac{PB}{PO}=\dfrac{PA}{PM}=\dfrac{AB}{OM}$
    Soit $\dfrac{PB}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    Donc $\dfrac{PO-2}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    D’où $1-\dfrac{2}{PO}=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent $\dfrac{2}{PO}=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$
    Finalement $PO=\dfrac{2x}{x-1}$.
    L’ordonnée du point $P$ est bien $\dfrac{2x}{x-1}$.
    $\quad$
    c. L’aire du triangle $OMP$ est :
    $\begin{align*} A&=\dfrac{OP\times OM}{2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{2x}{x-1}\times x}{2} \\
    &=\dfrac{x^2}{x-1}\end{align*}$
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]1;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
    Pour tout réel $x>1$ on a $(x-1)^2>0$ et $x>0$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $]1;2]$ et croissante sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    e. D’après le tableau de variations l’aire du triangle $OMP$ est minimale quand $x=2$ et vaut $4$ unités d’aires.

1S – Exercices – Produit scalaire dans le plan 3

Produit scalaire dans le plan

Exercice 1

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=4$ et $AD=3$ et le point $E$ tel que $\vect{BE}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$.

  1. Calculer $\vect{AD}.\vect{AC}$. En déduire $\|\vect{AD}+\vect{AC}\|$.
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{AE}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  3. Calculer $\vect{EC}.\vect{ED}$. En déduire la mesure de l’angle $\left(\vect{EC},\vect{ED}\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AD)$.
    Par conséquent $\vect{AD}.\vect{AC}=\vect{AD}.\vect{AD}=AD^2=9$.
    Or on sait que $\vect{AD}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vect{AC}+\vect{AD}\|^2-\|\vect{AC}\|^2-\|\vect{AC}\|^2\right)$
    Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AD^2+DC^2=9+16=25$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} 9=\dfrac{1}{2}\left(\|\vect{AC}+\vect{AD}\|^2-\|\vect{AC}\|^2-9-25\right) &\ssi 18=\|\vect{AC}+\vect{AD}\|^2-34 \\
    &\ssi \|\vect{AC}+\vect{AD}\|^2=52 \\
    &\ssi \|\vect{AC}+\vect{AD}\|=\sqrt{52}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AE)$.
    Donc
    $\begin{align*}\vect{AE}.\vect{AC}&=\vect{AE}.\vect{AB}\\
    &=3\times 4\\
    &=12
    \end{align*}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{EC}.\vect{ED}&=\left(\vect{EB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{EA}.\vect{AD}\right) \\
    &=\vect{EB}.\vect{EA}+\vect{EB}.\vect{AD}+\vect{BC}.\vect{EA}+\vect{BC}.\vect{AD} \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{BA}.\dfrac{3}{2}\vect{BA}+0+0+\vect{AD}.\vect{AD}\\
    &=\dfrac{3}{4}\times 4^2+3^2\\
    &=21
    \end{align*}$
    $\quad$
    Dans le triangle $EBC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore :
    $EC^2=EB^2+BC^2=4+9=13$
    Donc $EC=\sqrt{13}$.
    $\quad$
    Dans le triangle $AED$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore :
    $ED^2=EA^2+AD^2=36+9=45$
    Donc $ED=\sqrt{45}$
    $\quad$
    On a donc $\vect{EC}.\vect{ED}=21$ et $\vect{ED}.\vect{EC}=ED\times EC\times \cos \left(\vect{EC},\vect{ED}\right)$
    Par conséquent $21=\sqrt{13}\times \sqrt{45}\cos \left(\vect{EC},\vect{ED}\right) \ssi\cos \left(\vect{EC},\vect{ED}\right)=\dfrac{21}{\sqrt{13\times 45}}$
    Ainsi $\left(\vect{EC},\vect{ED}\right)\approx 29,7$°.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(3;2)$ et $B(-5;-3)$.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ puis les coordonnées d’un vecteur normal à cette droite.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par le point $C\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. Quelles sont les coordonnées du point $C’$ symétrique du point $C$ par rapport à la droite $(AB)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}(-8;-5)$.
    On considère un point $M(x;y)$ du plan. On a alors $\vect{AM}(x-3;y-2)$.
    $\begin{align*} M\in (AB) &\ssi \vect{AB} \text{ et } \vect{AM} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi -8(y-2)-(x-3)\times (-5)=0 \\
    &\ssi -8y+16+5x-15=0 \\
    &\ssi 5x-8y+1=0
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $5x-8y+1=0$.
    $\quad$
    Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}(5;-8)$.
    $\quad$
  2. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est donc $\vec{n}(5;-8)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. $\vect{CM}\left(x+\dfrac{7}{2};y-\dfrac{7}{2}\right)$.
    $\begin{align*} M\in (d) &\ssi \vec{n} \text{ et } \vect{CM} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi 5\left(y-\dfrac{7}{2}\right)-(-8)\left(x+\dfrac{7}{2}\right)=0 \\
    &\ssi 5y-\dfrac{35}{2}+8x+28=0\\
    &\ssi 8x+5y+\dfrac{21}{2}=0
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Déterminons les coordonnées du point d’intersection de la droite $(d)$ et de la droite $(AB)$.
    Elles sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 5x-8y+1=0 \\8x+5y+\dfrac{21}{2}=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} 5x-8y=-1 &\quad (1) \\
    8x+5y=-\dfrac{21}{2}&\quad (2) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 5x-8y=-1& \\-89y=\dfrac{89}{2}&\quad 8(1)-5(2) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{1}{2} \\5x=8y-1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}\\x=-1\end{cases} \end{align*}$
    Le point d’intersection des droites $(AB)$ et $(d)$ est donc $D\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$.
    Le point $D$ est donc le milieu du segment $[CC’]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \begin{cases} -1=\dfrac{x_{C’}-\dfrac{7}{2}}{2} \\-\dfrac{1}{2}=\dfrac{y_{C’}+\dfrac{7}{2}}{2} \end{cases} &\ssi \begin{cases} -2=x_{C’}-\dfrac{7}{2}\\-1=y_{C’}+\dfrac{7}{2} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x_{C’}=\dfrac{3}{2} \\y_{C’}=-\dfrac{9}{2}\end{cases} \end{align*}$
    Donc le point $C’$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{9}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=5$ et $BC=6$.
On appelle :

  • $D$ le milieu du segment $[BC]$
  • $H$ le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(AC)$
  • $K$ le milieu du segment $[DH]$.

En choisissant un repère orthonormé adapté démontrer que les droites $(AK)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires.

$\quad$

Correction Exercice 3

 

Prenons comme origine de notre repère le point $D$. Le triangle $ABC$ étant isocèle en $A$, la médiane issue du sommet $A$ est également une hauteur. Ainsi, les droites $(DA)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
On a $DC=3$.
On appelle $J$ le point du segment $[DA]$ tel que $DJ=DC$.
Le repère $(D;C,J)$ est donc orthonormé.

Dans le triangle $DAC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AC^2=DA^2+DC^2&\ssi 25=DA^2+9 \\
&\ssi DA^2=16 \end{align*}$
Donc $DA=4$.
Par conséquent $\vect{DJ}=\dfrac{3}{4}\vect{DA} \ssi \vect{DA}=\dfrac{4}{3}\vect{DJ}$ et

Dans ce repère on a : $D(0;0)$, $C(1;0)$, $J(0;1)$, $A\left(0;\dfrac{4}{3}\right)$.

  • Déterminons une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    On a $\vect{AC}\left(1;-\dfrac{4}{3}\right)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. Ainsi $\vect{AM}\left(x;y-\dfrac{4}{3}\right)$.
    On a :
    $\begin{align*} M \in (AC) &\ssi \vect{AM} \text{ et } \vect{AC} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi -\dfrac{4}{3}x-\left(y-\dfrac{4}{3}\right)=0 \\
    &\ssi -\dfrac{4}{3}x-y+\dfrac{4}{3}=0 \\
    &\ssi -4x-3y+4=0
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est $-4x-3y+4=0$.
    Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}(-4;-3)$.
    $\quad$
  • Déterminons une équation cartésienne de la droite $(DH)$.
    Cette droite est perpendiculaire à la droite $(AC)$. $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(DH)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. Ainsi $\vect{DM}(x;y)$.
    On a :
    $\begin{align*} M\in (DH) &\ssi \vect{DM} \text{ et } \vec{n} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi -4y+3x=0 \\
    &\ssi 3x-4y=0
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(DH)$ est $3x-4y=0$.
    $\quad$
  • Déterminons les coordonnées du point $H$, intersection des droites $(DH)$ et $(AC)$.
    On résout pour cela le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} -4x-3y+4=0\\3x-4y=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x+3y=4&\quad (1)\\3x+4y=0&\quad (2) \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} 4x+3y=4 &\\25y=12 &\quad 3(1)-4(2) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{12}{25} \\x=\dfrac{16}{25} \end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi $H\left(\dfrac{16}{25};\dfrac{12}{25}\right)$.
    $\quad$
  • Déterminons les coordonnées du point $K$.
    $K$ est le milieu du segment $[DH]$.
    Donc $\begin{cases} x_K=\dfrac{0+\dfrac{16}{25}}{2} \\y_K=\dfrac{0+\dfrac{12}{25}}{2}\end{cases}$.
    Par conséquent $K\left(\dfrac{8}{25};\dfrac{6}{25}\right)$.
    $\quad$
  • Montrons que les droites $(AK)$ et $(BH)$ sont perpendiculaires.
    D’une part $\vect{AK}\left(\dfrac{8}{25};-\dfrac{82}{75}\right)$.
    D’autre part $\vect{BH}\left(\dfrac{41}{25};\dfrac{12}{25}\right)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AK}.\vect{BH}&=\dfrac{8}{25}\times \dfrac{41}{25}-\dfrac{82}{75}\times \dfrac{12}{25} \\
    &=\dfrac{328}{625}-\dfrac{328}{625} \\
    &=0
    \end{align*}$
    Les droites $(AK)$ et $(BH)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les point $A(3;4)$ et $B(5;-3)$.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ et de la médiatrice $(d)$ du segment $[AB]$.
    $\quad$
  2. On appelle $D$ le point de la droite $(d)$ tel que $\vect{OA}.\vect{OD}=-15$.
    Déterminer une mesure de l’angle $\left(\vect{DB}.\vect{DA}\right)$.
    $\quad$
  3. a. Quelles sont les coordonnées du point $C$ de la droite $(d)$ tel que $ABC$ soit un triangle rectangle direct (les points $A$, $B$ et $C$ se lisent dans cet ordre dans le sens trigonométrique)?
    $\quad$
    b. Déterminer alors une mesure de l’angle $\left(\vect{AC},\vect{AD}\right)$.
    $\quad$
  4. Quelles sont les coordonnées du point $E$ de la droite $(d)$ tel que le triangle $ABE$ soit équilatéral direct?
    $\quad$
Correction Exercice 4

 

  1. On a $\vect{AB}(2;-7)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. Ainsi $AM(x-3;y-4)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} M\in (AB) &\ssi \vect{AB} \text{ et } \vect{AM} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi 2(y-4)-(-7)(x-3) = 0\\
    &\ssi 2y-8+7x-21=0 \\
    &\ssi 7x+2y-29=0
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $7x+2y-29=0$.
    Un vecteur normal à cette droite est $\vec{n}(7;2)$.
    $\quad$
    La droite $(d)$ est donc perpendiculaire à la droite $(AB)$ et passe par le point $F\left(4;\dfrac{1}{2}\right)$ milieu du segment $[AB]$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. Ainsi $\vect{FM}\left(x-4;y-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} M\in (d) &\ssi \vec{n} \text{ et } \vect{FM} \text{ sont colinéaires} \\
    &\ssi 7\left(y-\dfrac{1}{2}\right)-2(x-4)=0 \\
    &\ssi 7y-\dfrac{7}{2}-2x+8=0 \\
    &\ssi -2x+7y+\dfrac{9}{2}=0
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $-2x+7y+\dfrac{9}{2}=0$.
    $\quad$
  2. On a $OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
    On appelle $D’$ le point défini par $\vect{OD’}=-\dfrac{3}{5}\vect{OA}$.
    Ainsi le point $D’$ appartient à la droite $(OA)$ et vérifie $\vect{OA}.\vect{OD’}=-15$.
    Par conséquent $\vect{OD’}\left(-\dfrac{9}{5};-\dfrac{12}{5}\right)$ soit $D’\left(-\dfrac{9}{5};-\dfrac{12}{5}\right)$
    Le point $D$ est donc le point d’intersection de la droite $(d)$ et de la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $(D’)$, c’est à dire de la droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $D’$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(DD’)$ est de la forme $7x+2y+c=0$.
    Le point $D’$ appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient donc l’équation.
    $7\times \left(-\dfrac{9}{5}\right)+2\times \left(-\dfrac{12}{5}\right)+c=0 \ssi c=\dfrac{87}{5}$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(DD’)$ est $7x+2y+\dfrac{87}{5}=0$.
    $\quad$
    Déterminons maintenant les coordonnées du point $D$, point d’intersection des droites $(d)$ et $(DD’)$.
    Ses coordonnées sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 7x+2y+\dfrac{87}{5}=0\\-2x+7y+\dfrac{9}{2}=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} 7x+2y=-\dfrac{87}{5}&\quad (1)\\-2x+7y=-\dfrac{9}{2}&\quad (2) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 7x+2y=-\dfrac{87}{5}&\\53y=-\dfrac{663}{10}&\quad 2(1)+7(2) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{663}{530} \\x=-\dfrac{564}{265}\end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi $D\left(-\dfrac{564}{265};-\dfrac{663}{530} \right)$.
    $\quad$
    On peut maintenant calculer les longueur $FD$ et $FA$ (où $F$ est le milieu du segment $[AB]$).
    Ainsi : $FD^2=\left(-\dfrac{564}{265}-4\right)^2+\left(-\dfrac{663}{530}-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{53~824}{1~325}$
    Par conséquent $FD=\dfrac{232}{5\sqrt{53}}$
    $FA^2=(3-4)^2+\left(4-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{53}{4}$
    Par conséquent $FA=\dfrac{\sqrt{53}}{2}$.
    $\quad$
    Dans le triangle $FDA$ rectangle en $F$ on a :
    $\tan \left(\vect{DF},\vect{DA}\right)=\dfrac{FA}{FD}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{53}}{2}}{\dfrac{232}{5\sqrt{53}}}=\dfrac{265}{464}$
    Par conséquent $ \left(\vect{DF},\vect{DA}\right)\approx 29,73$°
    $\quad$
    Le point $D$ appartient à la médiatrice du segment $[DA]$. Donc le triangle $FDA$ est isocèle en $D$ et $ \left(\vect{DB},\vect{DA}\right)=2 \left(\vect{DF},\vect{DA}\right)\approx 59,46$°.
    $\quad$
  3. a. Le point $C$ appartient à la droite $(d)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $-2x+7y+\dfrac{9}{2}=0$. Ainsi $C\left(x;\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$.
    Par conséquent le triangle $ABC$ est isocèle en $C$. Il ne pourra donc être rectangle qu’en $C$.
    On a $\vect{CA}\left(3-x;4-\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$ soit $\vect{CA}\left(3-x;\dfrac{65-4x}{14}\right)$.
    et $\vect{CB}\left(5-x;-3-\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$ soit $\vect{CB}\left(5-x;\dfrac{-33-2x}{14}\right)$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$
    $\ssi \vect{CA};\vect{CB}=0$
    $\ssi (3-x)(5-x)+\dfrac{65-4x}{14}\times \dfrac{-33-4x}{14}=0 $
    $\ssi 15-8x+x^2+\dfrac{-2~145-128x+16x^2}{196}=0$
    $\ssi 2~940-1~568x+196x^2-2~145-128x+16x^2=0$
    $\ssi 212x^2-1~696x+795=0$
    Le discriminant est $\Delta=(-1~696)^2-4\times 212\times 795=2~202~256 = 1~484^2>0$.
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{1~696-1~484}{424}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{1~696+1~484}{424}=\dfrac{15}{2}$
    Si $x_C=\dfrac{1}{2}$ alors $y_c=\dfrac{2x_C-\dfrac{9}{2}}{7}=-\dfrac{1}{2}$ donc $C_1\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$
    Si $x_C=\dfrac{15}{2}$ alors $y_c=\dfrac{2x_C-\dfrac{9}{2}}{7}=\dfrac{3}{2}$ donc $C_2\left(\dfrac{15}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
    Seul le point $C_2$ permet d’avoir un triangle $ABC$ rectangle direct.
    $\quad$
    b. On considère donc le point $C\left(\dfrac{15}{2};\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\vect{AC}\left(\dfrac{9}{2};-\dfrac{5}{2}\right)$ donc $AC=\sqrt{\dfrac{53}{2}}$
    $\vect{AD}\left(-\dfrac{1~359}{265};-\dfrac{2~783}{530} \right)$ donc $AD=\dfrac{\sqrt{15~132~613}}{530}$
    D’une part $\vect{AC}.\vect{AD}=-\dfrac{1~359}{265}\times \dfrac{9}{2}-\dfrac{2~783}{530}\times \left(-\dfrac{5}{2} \right)=-\dfrac{199}{20}$
    D’autre part $\vect{AC}.\vect{AD}=AC\times AD\times \cos \left(\vect{AC},\vect{AD}\right)$
    Par conséquent $\cos \left(\vect{AC},\vect{AD}\right)=-\dfrac{199}{20AC\times AD}\approx -0,26$.
    Donc $\left(\vect{AC},\vect{AD}\right)\approx 105,27$°.
    $\quad$
  4. Le point $E$ appartient à la droite $(d)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $-2x+7y+\dfrac{9}{2}=0$. Ainsi $E\left(x;\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$.
    On a $\vect{EA}\left(3-x;4-\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$ soit $\vect{CA}\left(3-x;\dfrac{65-4x}{14}\right)$.
    et $\vect{EB}\left(5-x;-3-\dfrac{2x-\dfrac{9}{2}}{7}\right)$ soit $\vect{CB}\left(5-x;\dfrac{-33-2x}{14}\right)$
    Le triangle $ABE$ est équilatéral direct donc $\left(\vect{EA},\vect{EB}\right)=60$° et $EA=EB=AB=\sqrt{53}$.
    D’une part $\vect{EA}.\vect{EB}=(3-x)(5-x)+\dfrac{65-4x}{14}\times \dfrac{-33-4x}{14}$
    D’autre part $\vect{EA}.\vect{EB}=EA\times EB \times \cos 60=\dfrac{53}{2}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $(3-x)(5-x)+\dfrac{65-4x}{14}\times \dfrac{-33-4x}{14}=\dfrac{53}{2}$
    $\ssi  15-8x+x^2+\dfrac{-2~145-128x+16x^2}{196}=\dfrac{53}{2}$
    $\ssi 2~940-1~568x+196x^2-2~145-128x+16x^2=5~194$
    $\ssi 212x^2-1~696x-4~399=0$
    Le discriminant est $\Delta = (-1~696)^2-4\times 212\times (-4~399)=6~606~768>0$.
    Les deux racines sont $x_1=\dfrac{1~696-\sqrt{6~606~768}}{424}$ et $x_2=\dfrac{1~696+\sqrt{6~606~768}}{424}=4+\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$
    Seule l’abscisse $x_2$ permet d’avoir un triangle équilatéral direct.
    L’ordonnée du point $E$ est donc $y_E=\dfrac{2x_2-\dfrac{9}{2}}{7}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$.
    Donc $E\left(4+\dfrac{7\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}\right)$.

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$\quad$

Exercice 5

On considère un segment $[AB]$ mesurant $3$ cm, le cercle $\mathscr{C}$ de centre $A$ et de rayon $4$ cm.
On appelle :

  • $E$ le point d’intersection de $[AB)$ et $\mathscr{C}$
  • $C$ le point du cercle $\mathscr{C}$ tel que $BC=3,5$ cm
  • $D$ le point du cercle $\mathscr{C}$ de l’autre côté $(AB)$ tel que $BD=2$ cm.
  1. Démontrer que les points $B,C$ et $D$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Calculer la mesure de l’angle $\left(\vect{ED},\vect{EC}\right)$ au millième de radian près.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On se place dans le repère orthonormé $(A;I,J)$ où $I$ est le point de $[OB]$ tel que $AI=\dfrac{1}{3}AB$.
    Dans ce repère on a : $A(0;0)$, $B(3;0)$, $E(4;0)$.
    Déterminons les coordonnées des points $C$ et $D$.
    Une équation du cercle $\mathscr{C}$ est $x^2+y^2=16$.
    On appelle $\mathscr{C}_1$ le cercle de centre $B$ et de rayon $3,5$.
    Une équation de ce cercle est $(x-3)^2+y^2=3,5^2$ soit $x^2-6x+9+y^2=12,25$
    Ou encore $x^2-6x+y^2=3,25$
    Le point $C$ est un des points d’intersection des cercles $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}$.
    On résout donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} x^2+y^2=16 \\x^2-6x+y^2=3,25\end{cases} &\ssi \begin{cases} y^2=16-x^2\\x^2-6x+16-x^2=3,25 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y^2=16-x^2 \\-6x=-12,75 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y^2=16-x^2\\x=\dfrac{17}{8}\end{cases} \\
    &\ssi\begin{cases}x=\dfrac{17}{8} \\y^2=\dfrac{735}{64} \end{cases}
    \end{align*}$
    Je choisis pour $C$ le point dont l’ordonnée est positive. Ainsi $C\left(\dfrac{17}{8};\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\right)$.
    $\quad$
    On appelle $\mathscr{C}_2$ le cercle de centre $B$ et de rayon $2$.
    Une équation de ce cercle est $(x-3)^2+y^2=4$.
    Ou encore $x^2-6x+y^2=-5$.
    Le point $D$ est un des points d’intersection des cercles $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}$.
    On résout donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} x^2+y^2=16\\x^2-6x+y^2=-5\end{cases} &\ssi \begin{cases} y^2=16-x^2 \\x^2-6x+16-x^2=-5 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y^2=16-x^2\\-6x=-21 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{2} \\y^2=\dfrac{15}{4}\end{cases}
    \end{align*}$
    Du fait du choix du point $C$, le point $D$ est le point dont l’ordonnée est négative.
    Ainsi $D\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)$.
    $\quad$
    Montrons maintenant que les 3 points sont alignés.
    $\vect{BC}\left(-\dfrac{7}{8};\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\right)$ et $\vect{BD}\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)$.
    On a donc $\vect{BC}=-\dfrac{7}{4}\vect{BD}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $B,C,$ et $D$ sont donc alignés.
    $\quad$
  2. On a $\vect{EC}\left(-\dfrac{15}{8};\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\right)$ et $\vect{ED}\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)$.
    Ainsi $EC=\sqrt{15}$ et $ED=2$.
    D’une part $\vect{ED}.\vect{EC}=-\dfrac{15}{8}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\times \left(;-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)=-\dfrac{45}{8}$.
    D’autre part $\vect{ED}.\vect{EC}=ED\times EC\times \cos \left(\vect{ED};\vect{EC}\right)$ $=2\sqrt{15}\cos \left(\vect{ED};\vect{EC}\right)$.
    Par conséquent $\cos \left(\vect{ED};\vect{EC}\right)=\dfrac{-\dfrac{45}{8}}{2\sqrt{15}}$.
    D’où $ \left(\vect{ED};\vect{EC}\right) \approx 2,384$ rad.
    $\quad$

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1S – Exercices – Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $BC=4\sqrt{3}$ et $\vect{BA}.\vect{BC}=24$.
Quelle est sa nature?

$\quad$

Correction Exercice 1

D’une part on a $\vect{BA}.\vect{BC}=24$.
D’autre part on a $\vect{BA}.\vect{BC}=BA\times BC\times \left( \vect{BA},\vect{BC}\right)=16\sqrt{3}\cos \left( \vect{BA},\vect{BC}\right)$.
Donc $16\sqrt{3}\cos \left( \vect{BA},\vect{BC}\right)=24 \ssi \cos \left( \vect{BA},\vect{BC}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

D’après la formule d’Al-Kashi on a :

$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\times BC\times \cos \left( \vect{BA},\vect{BC}\right) \\
&=16+48-32\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
&=16
\end{align*}$

Donc $AC=4$.

Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.

Regardons s’il est également rectangle en $A$.
D’une part $BC^2=48$
D’autre part $AB^2+AC^2=16+16=32$
Donc $BC^2 \neq AB^2+AC^2$.
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle en $A$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on a : $A\left(\dfrac{3}{2};-2\right)$, $B\left(-\dfrac{3}{2};4\right)$, $C(2;2)$ et $D(-2;0)$.

Quelle est la nature du quadrilatère $ACBD$?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AC}\left(\dfrac{1}{2};4\right)$ et $\vect{DB}\left(\dfrac{1}{2};4\right)$.
Ainsi $\vect{AC}=\vect{DB}$ : $ACBD$ est donc un parallélogramme.

$\vect{AC}\left(\dfrac{1}{2};4\right)$ et $\vect{AD}\left(-\dfrac{7}{2};2\right)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{AD}&=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)+2\times 4\\
&=-\dfrac{7}{4}+8\\
&=\dfrac{25}{4}
\end{align*}$
$ACBD$ n’est donc pas un rectangle.

$AC=\sqrt{\dfrac{1}{4}+16}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}$ et $AD=\sqrt{\dfrac{49}{4}+4}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}$.
Ainsi $AC=AD$.
Le parallélogramme $ACBD$ possède deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A,B,C$ et $D$ tels que $BD=AB=5$, $AC=6$, $BC=8$, $CD=4$ et les points $A$ et $D$ sont de part et d’autre de la droite $(BC)$.
On note $H$ et $H’$ les projetés orthogonaux de $A$ et $D$ sur la droite $(BC)$.

  1. Calculer les angles du quadrilatère $ACDB$.
  2. Calculer $HH’$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle $ABC$ :
    $\bullet$ $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$
    $\ssi 64=25+36-60\cos \widehat{BAC}$
    $\ssi 3=-60\cos \widehat{BAC}$
    $\ssi \cos \widehat{BAC}=-\dfrac{1}{20}$
    Donc $\widehat{BAC} \approx 92,9$°.
    $\bullet$ $AB^2=CB^2+CA^2-2CA\times CB\times \cos \widehat{BCA}$
    $\ssi 25=64+36-96\cos \widehat{BCA}$
    $\ssi -75=-96\cos \widehat{BCA}$
    $\ssi \cos \widehat{BCA} =\dfrac{75}{96}$
    Donc $\widehat{BCA} \approx 38,6°$
    $\bullet$ La somme des angles d’un triangle vaut $180$°. Donc $\widehat{CBA}\approx 48,5$°
    $\quad$
    On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle $BDC$ :
    $\bullet$ $BC^2=DB^2+DC^2-2DB\times DC\times \cos \widehat{BDC}$
    $\ssi 64=25+16-40\cos \widehat{BDC}$
    $\ssi 23=-40\cos \widehat{BDC}$
    $\ssi \cos \widehat{BDC}=-\dfrac{23}{40}$
    Donc $\widehat{BDC} \approx 125,1$°.
    $\bullet$ $BD^2=CB^2+CD^2-2CB\times CD\times \cos \widehat{BCD}$
    $\ssi 25=64+16-64\cos\widehat{BCD}$
    $\ssi -55=-64\cos \widehat{BCD}$
    $\ssi \cos \widehat{BCD}=\dfrac{55}{64}$
    Donc $\widehat{BCD} \approx 30,8$°.
    $\bullet$ La somme des angles d’un triangle vaut $180$°. Donc $\widehat{CBD} \approx 24,1$°
    $\quad$
    Les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{CBA}$ sont adjacents.
    Donc $\widehat{ABD} \approx 72,6$°.
    $\quad$
    Les angles $\widehat{BCD}$ et $\widehat{BCA}$ sont adjacents.
    Donc $\widehat{DCA} \approx 69,4$°.
    $\quad$
  2. $\bullet$ Calcul de $BH$:
    Dans le triangle $BHA$ rectangle en $H$ on a
    $\begin{align*} \cos \widehat{HBA}=\dfrac{BH}{BA} &\ssi \cos 48,5 =\dfrac{BH}{5} \\
    &\ssi BH=5\cos 48,5 \\
    & \phantom{\ssi} BH \approx 3,31
    \end{align*}$
    $\bullet$ Calcul de $CH’$:
    Dans le triangle $CDH’$ rectangle en $H’$ on a
    $\begin{align*} \cos \widehat{DCH’}=\dfrac{CH’}{CD} &\ssi \cos 30,8=\dfrac{CH’}{4} \\
    &\ssi CH’=4\cos 30,8 \\
    & \phantom{\ssi} CH’ \approx 3,44
    \end{align*}$
    $bullet$ Calcul de $HH’$:
    Les points $B,H,H’$ et $C$ sont alignés dans cet ordre donc
    $\begin{align*} HH’&=BC-BH-CH’ \\
    &\approx 1,25
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

$ABCD$ est un carré. $E$ est un point de la demi-droite $[AB)$, $G$ un point de la demi-droite $[BC)$ et $F$ est un point tels que $BEFG$ est un carré extérieur au carré $ABCD$.

Démontrer que $C$ est l’orthocentre du triangle $AGE$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. $E$ appartient à la demi-droite $[AB)$ et $G$ appartient à la demi-droite $[BC)$. Donc les droites $(BG)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires. $(BG)$ est donc une hauteur du triangle $ABE$ et le point $C$ appartient à cette hauteur.

Le carré $BEFG$ est extérieur au carré $ABCD$. Ainsi les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BE}$ sont colinéaires et de même sens.
Les vecteurs $\vect{GB}$ et $\vect{BC}$ sont colinéaires et de sens contraire

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{GE}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{GB}+\vect{BE}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{GB}+\vect{AB}.\vect{BE}+\vect{BC}.\vect{GB}+\vect{BC}.\vect{BE} \\
&=0+AB\times BE-BC\times GB+0 \\
&=AB\times BE-AB\times BE \\
&=0
\end{align*}$

Les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont par conséquent perpendiculaires. La droite $(AC)$ est donc une hauteur du triangle $AGE$.

Le point $C$ appartient aux deux hauteurs $(AC)$ et $(BG)$. On en déduit donc que c’est l’orthocentre du triangle $AGE$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère un segment $[AB]$ de longueur $5$ cm.

  1. Déterminer les points $M$ du plan tels que $\vect{AB}.\vect{AM}=10$.
    $\quad$
  2. Déterminer les points $N$ du plan tels que $|\vect{AB}.\vect{AN}|=20$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On appelle $H$ le point du segment $[AB]$ tels que $AH=2$.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AM}=10 &\ssi \vect{AB}.\left(\vect{AH}.\vect{HM}\right)=10 \\
    &\ssi \vect{AB}.\vect{AH}+\vect{AB}.\vect{HM}=10\\
    &\ssi AB\times AH+\vect{AB}.\vect{HM}=10\\
    &\ssi 10+\vect{AB}.\vect{HM}=10 \\
    &\ssi \vect{AB}.\vect{HM}=0
    \end{align*}$
    Ainsi l’ensemble des points cherché est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $H$.
    $\quad$
  2. $|\vect{AB}.\vect{AN}|=20 \ssi \begin{cases} \vect{AB}.\vect{AN}=-20 \\\text{ou}\\\vect{AB}.\vect{AN}=20\end{cases}$
    On appelle $I$ le point du segment $[AB]$ tel que $AI=4$ et $J$ le point de la droite $(AB)$ n’appartenant pas au segment $[AB]$ tel que $AJ=4$.
    En reprenant un raisonnement identique à celui mené dans la question précédente pour chacun des produits scalaires, on montre que l’ensemble cherché est la réunion des droites perpendiculaires à la droite $(AB)$ passant par $I$ ou par $J$.
    $\quad$

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$\quad$

 

1S – Exercices – Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan

Exercice 1

$RST$ est un triangle tel que $RS=5$ cm, $RT=4$ cm et $TS=6$ cm.

  1. Calculer $\vect{RS}.\vect{ST}$ et $\vect{SR}.\vect{RT}$.
    $\quad$
  2. En déduire une valeur approchée de $\left(\vect{SR},\vect{ST}\right)$ et des autres angles du triangle.
    $\quad$
  3. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $R$.
    Calculer $SH$, $HT$ et $RH$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

 

  1. On va utiliser la propriété suivante :
    $\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2} \left(\|\vec{u} +\vec{v}\|^2-\|\vec{v} \|^2-\|\vec{v} \|^2 \right) $

    $\begin{align*} \vect{RS}.\vect{ST}&= \dfrac{1}{2}\left(\|\vect{RS}+\vect{ST}\|^2-\|\vect{RS}\|^2-\|\vect{ST}\|^2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(RT^2-RS^2-ST^2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}(16-25-36) \\
    &=-\dfrac{45}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} \vect{SR}.\vect{RT}&= \dfrac{1}{2}\left(\|\vect{SR}+\vect{RT}\|^2-\|\vect{SR}\|^2-\|\vect{RT}\|^2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(ST^2-SR^2-RT^2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}(36-25-16) \\
    &=-\dfrac{5}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$

  2. D’une part on a $\vect{SR}.\vect{ST}=-\vect{RS}.\vect{ST}=\dfrac{45}{2}$
    D’autre part on a $\vect{SR}.\vect{ST}=RS\times ST\times \cos \left(\vect{SR},\vect{ST}\right)=5\times 6\times \cos \left(\vect{SR},\vect{ST}\right)$.
    Par conséquent $30\cos \left(\vect{SR},\vect{ST}\right)=\dfrac{45}{2}$
    Donc $\cos \left(\vect{SR},\vect{ST}\right)=\dfrac{3}{4}$.
    Et $\left(\vect{SR},\vect{ST}\right) \approx 41,4$°
    $\quad$
    D’une part on a $\vect{RT}.\vect{RS}=-\vect{SR}.\vect{RT}=\dfrac{5}{2}$
    D’autre part on a $\vect{RS}.\vect{RT}=RS\times RT\times \cos \left(\vect{RT},\vect{RS}\right)=5\times 4\times \cos \left(\vect{RT},\vect{RS}\right)$.
    Par conséquent $20\cos \left(\vect{RT},\vect{RS}\right)=\dfrac{5}{2}$
    Donc $\cos \left(\vect{RT},\vect{RS}\right)=\dfrac{1}{8}$
    Et $\left(\vect{RT},\vect{RS}\right) \approx 82,8$°.
    $\quad$
    Dans un triangle la somme des angles vaut $180$°.
    Donc $\left(\vect{TS},\vect{TR}\right)\approx 55,8$°
    $\quad$
  3. On a $\vect{SR}.\vect{ST}=\vect{SH}.\vect{ST}=SH\times ST$
    Donc $6SH=\dfrac{45}{2}$
    D’où $SH=\dfrac{15}{4}$ cm
    $\quad$
    On sait que $H$ appartient au segment $[ST]$.
    Donc $HT=ST-SH=6-\dfrac{15}{4}=\dfrac{9}{4}$
    $\quad$
    Dans le triangle $RSH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $RS^2=RH^2+HS^2$
    $\ssi 25=RH^2+\dfrac{225}{16}$
    $\ssi RH^2=\dfrac{175}{16}$
    $\ssi RH=\dfrac{\sqrt{175}}{4}$ cm ou encore $RH=\dfrac{5\sqrt{7}}{4}$ cm
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$ABCD$ est un carré. On place $K$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $L$ tel que $\vect{BL}=\dfrac{3}{4}\vect{BC}$.

  1. Démontrer que les droites $(DL)$ et $(KC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. On remplace $\dfrac{3}{4}$ par une valeur $\lambda$.
    Les droites $(DL)$ et $(KC)$ sont-elles toujours perpendiculaires?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a :
    $\vect{DL}=\vect{DC}+\vect{CL}=\vect{DC}-\dfrac{1}{4}\vect{BC}$
    $\vect{KC}=\vect{KB}+\vect{BC}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}+\vect{BC}$
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{DL}.\vect{KC}&=\left(\vect{DC}-\dfrac{1}{4}\vect{BC}\right).\left(\dfrac{1}{4}\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\vect{DC}.\vect{AB}+\vect{DC}.\vect{BC}-\dfrac{1}{16}\vect{BC}.\vect{AB}-\dfrac{1}{4}\vect{BC}.\vect{BC} \\
    &=\dfrac{1}{4}AB^2+0+0-\dfrac{1}{4}BC^2 \quad (*) \\
    &=0
    \end{align*}$
    $(DC)$ et $(BC)$ d’une part et $(BC)$ et $(AB)$ d’autres sont perpendiculaires donc $\vect{DC}.\vect{BC}=0$ et $\vect{BC}.\vect{AB}=0$.
    De plus $ABCD$ étant un carré alors $AB=BC$.
    $\quad$
    Les droites $(DL)$ et $(KC)$ sont perpendiculaires.
  2. On a :
    $\vect{DL}=\vect{DC}+\vect{CL}=\vect{DC}-\lambda\vect{BC}$
    $\vect{KC}=\vect{KB}+\vect{BC}=\lambda\vect{AB}+\vect{BC}$
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{DL}.\vect{KC}&=\left(\vect{DC}-\lambda\vect{BC}\right).\left(\lambda\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
    &=\lambda\vect{DC}.\vect{AB}+\vect{DC}.\vect{BC}-\lambda^2\vect{BC}.\vect{AB}-\lambda\vect{BC}.\vect{BC} \\
    &=\lambda AB^2+0+0-\lambda BC^2 \\
    &=0
    \end{align*}$
    Les droites $(DL)$ et $(KC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ dans chacun des cas de figure :

  1. $AB=4$, $AC=6$ et $\left(\vect{CD},\vect{CA}\right)=\dfrac{\pi}{9}$.
    $\quad$
  2. $AB=6$, $BC=4$ et $\left(\vect{BC},\vect{BA}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$.
    $\quad$
  3. $AB=6$, $BC=4$ et $AH=1$ où $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a :

    Les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont parallèles. Par conséquent les angles alternes-internes $\left(\vect{CD},\vect{CA}\right)$ et $\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)$ ont la même mesure.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB \times AC \times \cos \left(\vect{AB},\vect{AC}\right) \\
    &=4\times 6 \times \cos \dfrac{\pi}{9} \\
    &\approx 22,55
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :

    Les angles rouges sont correspondants et de même mesure puisque les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont parallèles.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
    &=\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{AB}.\vect{BC} \\
    &=AB^2+\vect{AB}.\vect{AD} \\
    &=AB^2+AB\times AD\times \cos \left(\vect{AB},\vect{AD}\right) \\
    &=36+24\cos \dfrac{\pi}{3} \\
    &= 48
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :

    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\left(\vect{AH}+\vect{HD}+\vect{DC}\right) \\
    &=\vect{AB}.\vect{AH}+\vect{AB}.\vect{HD}+\vect{AB}.\vect{DC} \\
    &=AB\times AH+0+AB\times DC \\
    &=6\times 1+36\\
    &=42
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle. $H$ et $K$ sont les pieds des hauteurs issues de $A$ et $B$.
Démontrer que $CK\times CA=CH\times CB$.

$\quad$

Correction Exercice 4

D’une part, en utilisant le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ on a : $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CK}.\vect{CA}$

D’autre part, en utilisant le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ on a : $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CB}.\vect{CH}$

  • Si l’angle $\widehat{ACB}$ est aigu alors les vecteurs $\vect{CK}$ et $\vect{CA}$ sont de même sens tout comme les vecteurs $\vect{CB}$ et $\vect{CH}$
    Ainsi $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CK}.\vect{CA}=CK\times CA$
    et $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CB}.\vect{CH}=CB\times CH$
    Par conséquent $CK\times CA=CB\times CH$.
  • Si l’angle $\widehat{ACB}$ est obtus alors les vecteurs $\vect{CK}$ et $\vect{CA}$ sont de sens contraires tout comme les vecteurs $\vect{CB}$ et $\vect{CH}$
    Ainsi $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CK}.\vect{CA}=-CK\times CA$
    et $\vect{CB}.\vect{CA}=\vect{CB}.\vect{CH}=-CB\times CH$
    Par conséquent $CK\times CA=CB\times CH$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on a $A(2;-1)$, $B(4;2)$, $C(4;0)$ et $D(1;2)$.

  1. Calculer $\vect{AB}.\vect{CD}$. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  2. Démontrer que les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  3. Calculer $\vect{CB}.\vect{CD}$. En déduire une valeur approchée de l’angle $\left(\vect{CB},\vect{CD}\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}(2;3)$ et $\vect{CD}(-3;2)$.
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{CD}=2\times (-3)+3\times 2=-6+6=0$.
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
  2. On a $\vect{DB}(-3;0)$ et $\vect{BC}(0;-2)$
    Par conséquent $\vect{DB}.\vect{BC}=-3\times 0+(-2)\times 0=0$.
    Les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  3. $\vect{CB}(0;2)$ et $\vect{CD}(-3;2)$. Donc $CB=2$ et $CD=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}$
    Par conséquent $\vect{CB}.\vect{CD}=0\times (-3)+2\times 2=4$.
    Mais on a aussi $\vect{CB}.\vect{CD}=CB\times CD \times \cos \left(\vect{CB},\vect{CD}\right)$
    Donc $4=2\sqrt{13}\cos \left(\vect{CB},\vect{CD}\right)$
    $\ssi \cos \left(\vect{CB},\vect{CD}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$
    Ainsi $\left(\vect{CB},\vect{CD}\right)\approx 56,3$°
    $\quad$

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$\quad$

1S – Exercices – Suites (généralités)

Exercices – Les suites (généralités)

Exercice 1

$\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier $n\pg 1$ par : $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$.

  1. Démontrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
    $\quad$
  2. Montrer que : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}$
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variations de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\
    &=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)} \\
    &=\dfrac{1}{n(n+1)} \\
    &>0
    \end{align*}$
    Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc positifs.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}}{\dfrac{1}{n(n+1)}} \\
    &=\dfrac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{n}{n+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont positifs et, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0<\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}<1$.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n=3+\dfrac{2}{3n+1}$.

  1. Déterminer, sans calculatrice, les quatre premiers termes.
    $\quad$
  2. En utilisant la méthode de votre choix, déterminer le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’entier $n_0$ tel que, pour tout $n\pg 0$, $\left|v_n-3\right| \pp 0,001$.
    $\quad$
  4. Conjecturer alors la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a :
    $v_0=3+\dfrac{2}{1}=5$
    $v_1=3+\dfrac{2}{3+1}=\dfrac{7}{2}$
    $v_2=3+\dfrac{2}{6+1}=\dfrac{23}{7}$
    $v_3=3+\dfrac{2}{9+1}=\dfrac{16}{5}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=3+\dfrac{2}{3(n+1)+1}-\left(3+\dfrac{2}{3n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{3n+4}-\dfrac{2}{3n+1} \\
    &=\dfrac{2(3n+1)-2(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)} \\
    &=\dfrac{6n+2-6n-8}{(3n+4)(3n+1)} \\
    &=\dfrac{-6}{(3n+4)(3n+1)}\\
    &<0
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} \left|v_n-3\right| \pp 0,001 &\ssi \left|\dfrac{2}{3n+1}\right| \pp 0,001 \\
    &\ssi \dfrac{2}{3n+1} \pp 0,001 \\
    &\ssi 2 \pp 0,001(3n+1) \\
    &\ssi 2 \pp 0,003n + 0,001 \\
    &\ssi 1,999 \pp 0,003n \\
    &\ssi \dfrac{1,999}{0,003} \pp n
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{1,999}{0,003} \approx 666,33$.
    Donc $n_0=667$.
    $\quad$
  4. On peut donc conjecturer que la limite de la suite $\left(\left|v_n-3\right| \right)$ est $0$ et que par conséquent celle de $\left(v_n\right)$ est $3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie par $\begin{cases} w_0=3\\w_{n+1}=w_n-(n-3)^2\end{cases}$.

  1. Déterminer, sans calculatrice, les quatre premiers termes.
    $\quad$
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite.
    $\quad$
  3. Démontrer alors votre conjecture.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a :
    $w_0=3$
    $w_1=w_0-(0-3)^2=3-9=-6$
    $w_2=w_1-(1-3)^2=-6-4=-10$
    $w_3=w_2-(2-3)^2=-10-1=-11$
    $\quad$
  2. Il semblerait donc que la suite $\left(w_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $w_{n+1}-w_n=-(n-3)^2 <0$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté, dans un repère orthonormé, la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{2}{x}+1$ ainsi que la droite d’équation $y=x$.

  1. Représenter, sur le graphique, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{2}{u_n}+1\end{cases}$.
    $\quad$
  2. a. En déduire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Conjecturer la limite de cette suite.
    $\quad$

 

Correction Exercice 4

  1. Voici, graphiquement, les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

    $\quad$
  2. a. Il semblerait donc que la suite ne soit ni croissante, ni décroissante, ni constante.
    $\quad$
    b. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $2$.
    $\quad$

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$\quad$