2nd – Calculs semaine 8 – Calcul littéral, équation et fonction affine

Calculs semaine 8

Calcul littéral, équation et fonction affine

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$$\begin{array}{lcl}
2x+7=0&\text{ ou }&\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}=0\\
\ssi 2x=-7&&\ssi\dfrac{1}{3}x=\dfrac{4}{7}\\\\
\ssi x=-\dfrac{7}{2}&&\ssi x=\dfrac{12}{7}
\end{array}$$
Les solutions de l’équation sont $\dfrac{12}{7}$ et $-\dfrac{7}{2}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Développer et réduire l’expression $A(x)=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} A(x)&=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)\\
&=12x^2-3x+16x-4-\left(10x-15-6x^2+9x\right) \\
&=12x^2+13x-4-\left(-6x^2+19x-15\right)\\
&=12x^2+13x-4+6x^2-19x+15\\
&=18x^2-6x+11
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Factoriser l’expression $B(x)=(4x-5)(2x-6)+4x-5$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B(x)&=(4x-5)(2x-6)+(4x-5)\times 1\\
&=(4x-5)\left[(2x-6)+1\right] \\
&=(4x-5)(2x-5)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ l’équation $\dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}&\ssi \dfrac{2}{7}x-\dfrac{2}{3}x=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} \\
&\ssi \dfrac{6}{21}x-\dfrac{14}{21}x=-\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12} \\
&\ssi -\dfrac{8}{21}x=-\dfrac{7}{12} \\
&\ssi x=\dfrac{~~-\dfrac{7}{12}~~}{-\dfrac{8}{21}} \\
&\ssi x=\dfrac{7}{12}\times \dfrac{21}{8} \\
&\ssi x=\dfrac{7\times 3\times 7}{3\times 4\times 8}\\
&\ssi x=\dfrac{49}{32}
\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{49}{32}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine $f$ vérifiant $f(2)=5$ et $f(-4)=1$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f$ est une fonction affine. Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=ax+b$.

On a donc
$$\begin{align*}a&=\dfrac{f(-4)-f(2)}{-4-2} \\
&=\dfrac{1-5}{-6}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$

Ainsi $f(x)=\dfrac{2}{3}x+b$

On sait que $f(2)=5$ donc
$$\begin{align*} \dfrac{2}{3}\times 2+b=5 &\ssi \dfrac{4}{3}+ b=5\\
&\ssi b=5-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{15}{3}-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{11}{3}\end{align*}$$

Par conséquent $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{11}{3}$ pour tout réel $x$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 7 – Calcul numérique, calcul littéral et équation

Calculs semaine 7

Calcul numérique, calcul littéral et équation

Exercice 1

Factoriser $A(x)=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A(x)&=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)\\
&=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)\times 1\\
&=(5x+4)\left[(2x+3)-1\right]\\
&=(5x+4)(2x+2)=2(5x+4)(x+1)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Développer et réduire $B(x)=(3x-5)(-4x+2)-(2x-4)(7x-6)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} B(x)&=(3x-5)(-4x+2)-(2x-4)(7x-6) \\
&=-12x^2+6x+20x-10-\left(14x^2-12x-28x+24\right) \\
&=-12x^2+26x-10-\left(14x^2-40x+24\right)\\
&=-26x^2+14-34
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre dans $\R$ l’équation $(7x+4)(4x-3)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$(7x+4)(4x-3)=0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

$$\begin{array}{lcl}
7x+4=0&\text{ ou }&4x-3=0 \\
\ssi 7x=-4&&\ssi 4x=3 \\
\ssi x=-\dfrac{4}{7}&&x=\dfrac{3}{4}\end{array}$$

Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{7}$ et $\dfrac{3}{4}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Calculer, en détaillant, $C=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{5}}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} C&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}}{\dfrac{35}{15}+\dfrac{12}{15}} \\
&=\dfrac{~~-\dfrac{1}{6}~~}{\dfrac{47}{15}}\\
&=-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{15}{47} \\
&=-\dfrac{3\times 5}{3\times 2\times 47}\\
&=-\dfrac{5}{94}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel le plus petit possible, le nombre $D=4\sqrt{24}-3\sqrt{150}+2\sqrt{54}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}D&=4\sqrt{24}-3\sqrt{150}+2\sqrt{54}\\
&=4\sqrt{4\times 6}-3\sqrt{25\times 6}+2\sqrt{9\times 6} \\
&=4\sqrt{4}\times \sqrt{6}-3\sqrt{25}\times \sqrt{6}+2\sqrt{9}\times \sqrt{6} \\
&=4\times 2\sqrt{6}-3\times 5\sqrt{6}+2\times 3\sqrt{6} \\
&=8\sqrt{6}-15\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\
&=-\sqrt{6}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 6 – Calcul numérique, calcul littéral et équation

Calculs semaine 6

Calcul numérique, calcul littéral et équation

Exercice 1

Développer et réduire $A(x)=(2x+3)(4x-1)-(3x+5)(x-7)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}
A(x)&=(2x+3)(4x-1)-(3x+5)(x-7) \\
&=8x^2-2x+12x-3-\left(3x^2-21x+5x-35\right) \\
&=8x^2+10x-3-\left(3x^2-16x-35\right)\\
&=5x^2+26x+32
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Factoriser $B(x)=(2x+1)(5x+3)-(3x-4)(2x+1)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}B(x)&=(2x+1)(5x+3)-(3x-4)(2x+1)\\
&=(2x+1)\left[(5x+3)-(3x-4)\right]\\
&=(2x+1)(5x+3-3x+4)\\
&=(2x+1)(2x+7)
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel le plus petit possible, le nombre suivant $$C=3\sqrt{12}-7\sqrt{75}+\sqrt{48}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} C&=3\sqrt{12}-7\sqrt{75}+\sqrt{48} \\
&=3\sqrt{4\times 3}-7\sqrt{25\times 3}+\sqrt{16\times 3} \\
&=3\times \sqrt{4}\times \sqrt{3}-7\times \sqrt{25}\times \sqrt{3}+\sqrt{16}\times \sqrt{3} \\
&=3\times 2\sqrt{3}-7\times 5\sqrt{3}+4\sqrt{3} \\
&=6\sqrt{3}-35\sqrt{3}+4\sqrt{3} \\
&=-25\sqrt{3}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire sous la forme d’une fraction irréductible le nombre suivant :$D=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}}$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} D&=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}} \\
&=\dfrac{\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{15}{12}} \\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{12}}{~~\dfrac{23}{12}~~} \\
&=-\dfrac{7}{12}\times \dfrac{12}{23} \\
&=-\dfrac{7}{23}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Résoudre dans $\R$ l’équation $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} &\dfrac{1}{3}x+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x \\
\ssi ~~& \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x-\dfrac{1}{3}x \\
\ssi ~~& \dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& \dfrac{6}{10}-\dfrac{15}{10}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& -\dfrac{9}{10}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{~~\dfrac{9}{10}~~}{\dfrac{2}{3}} \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{9}{10}\times \dfrac{3}{2} \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{27}{20}
\end{align*}$
La solution de l’équation est donc $-\dfrac{27}{20}$.

$\quad$

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$\quad$

Calculs semaine – 2nd

Calculs semaine

Voici une série d’exercices donnés chaque semaine durant toute l’année scolaire 2019/2020 en 2nd afin de travailler le calcul numérique, le calcul littéral, les automatismes et la rigueur:

 

2nd – Calculs semaine 5 – Calcul numérique, inéquation et python

Calculs semaine 5

Calcul numérique, inéquation et Python

Exercice 1

Donner l’écriture scientifique de $A=75~000\times 3~000\times 0,000~2$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=75~000\times 3~000\times 0,000~2 \\
&=7,5\times 10^4\times 3\times 10^3\times 2\times 10^{-4} \\
&=45\times 10^3\\
&=4,5\times 10\times 10^3\\
&=4,5\times 10^4\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ l’inéquation $|5x-7|\pp \dfrac{1}{2}$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} |5x-7|\pp \dfrac{1}{2} &\ssi -\dfrac{1}{2} \pp 5x-7\pp \dfrac{1}{2} \\
&\ssi -\dfrac{1}{2}+7\pp 5x \pp \dfrac{1}{2}+7 \\
&\ssi \dfrac{13}{2} \pp 5x\pp \dfrac{15}{2} \\
&\ssi \dfrac{13}{10} \pp x \pp \dfrac{3}{2}\end{align*}$

L’ensemble solution est l’ensemble des nombres appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{2}\right]$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire le nombre suivant sous la forme d’une fraction irréductible en détaillant les étapes.
$$B=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{20}{5}-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{5}{15}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{12}{5}} \\
&=\dfrac{~~-\dfrac{3}{15}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{5}{12} \\
&=-\dfrac{1}{12}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire le nombre suivant sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible.
$$C=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} C&=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75} \\
&=5\sqrt{16\times 3}-7\sqrt{9\times 3}+2\sqrt{25\times 3} \\
&=5 \sqrt{16}\times \sqrt{3}-7\sqrt{9}\times \sqrt{3}+2\sqrt{25}\times \sqrt{3} \\
&=5\times 4\sqrt{3}-7\times 3\sqrt{3}+2\times 5\times \sqrt{3} \\
&=20\sqrt{3}-21\sqrt{3}+10\sqrt{3} \\
&=9\sqrt{3}
\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

Dans ce programme Python, quelle valeur est contenue dans la variable $X$ à la fin :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{X = 5}\\
\text{X = X + X}\\
\text{X = X – 20}\\
\text{X = abs(X)}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Voici les différentes valeurs prises par la variable $X$ :
$$5\underset{X+X}{\longrightarrow}10\underset{X-20}{\longrightarrow}-10\underset{|X|}{\longrightarrow} 10$$
La variable $X$ contient donc le nombre $10$ à la fin de l’algorithme.

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$\quad$

 

 

2nd – Calcul semaine 4 – Calcul numérique

Calculs semaine 4

Calcul numérique

Exercice 1

Calculer $A=|5-7|$ et $B=\left|\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{3}\right|$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=|5-7|\\
&=|-2|\\
&=2\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\left|\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{3}\right|\\
&=\left|\dfrac{21}{12}-\dfrac{20}{12}\right|\\
&=\left|\dfrac{1}{12}\right|\\
&=\dfrac{1}{12}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Écrire le nombre suivant sous la forme d’une fraction irréductible en détails les étapes.
$$C=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{7}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{5}}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{7}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{28}{21}-\dfrac{6}{21}}{\dfrac{20}{15}+\dfrac{3}{15}} \\
&=\dfrac{~~\dfrac{22}{21}~~}{\dfrac{23}{15}} \\
&=\dfrac{22}{21}\times \dfrac{15}{23} \\
&=\dfrac{2\times 11\times 3\times 5}{3\times 7\times 23} \\
&=\dfrac{110}{161}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire les nombres suivants sous la forme $a^n$ où $a$ est un réel et $n$ un entier relatif.

$$D=\dfrac{5^3\times 5^7}{\left(5^2\right)^6\times 5^{-4}} \qquad E=2^{199}\times 2^{357}\times \left(\left(2^8\right)^9\right)^{-3}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}D&=\dfrac{5^3\times 5^7}{\left(5^2\right)^6\times 5^{-4}}\\
&=\dfrac{5^{10}}{5^{12}\times 5^{-4}}\\
&=\dfrac{5^{10}}{5^8}\\
&=5^{10-8}\\
&=5^{2}\end{align*}$

$\begin{align*}E&=2^{199}\times 2^{357}\times \left(\left(2^8\right)^9\right)^{-3}\\
&=2^{556}\times \left(2^{72}\right)^{-3}\\
&=2^{556}\times 2^{-216}\\
&=2^{340}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Calcul semaine 2 – Calcul numérique et équation

Calculs semaine 2

Calcul numérique et équation

Exercice 1

Calculer et simplifier, si nécessaire, les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}$ $\qquad$ $B=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{3}$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6} \\
&= \dfrac{6}{12}+\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}\\
&=\dfrac{6+9-10}{12}\\
&=\dfrac{5}{12}\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{3}\\
&=\dfrac{11}{2}-\dfrac{35}{6}\\
&=\dfrac{33}{6}-\dfrac{35}{6}\\
&=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$C=1,9-(-3)\times (-0,9)$ $\qquad$ $D=-4\times (8-5)^2+6\times (-7)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=1,9-(-3)\times (-0,9)\\
&=1,9-2,7\\
&=-0,8\end{align*}$

$\begin{align*}D&=-4\times (8-5)^2+6\times (-7)\\
&=-4\times 3^2-42\\
&=-4\times 9-42\\
&=-36-42\\
&=-78\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante : $7x-5=19x$

À chacune des étapes vous écrirez une phrase expliquant ce que vous faites.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} 7x-5=19x &\ssi -5=19x-7x \qquad \text{On soustrait $7x$ aux deux membres} \\
&\ssi -5=12x \qquad \text{On réduit le membre de droite} \\
&\ssi x=-\dfrac{5}{12} \qquad \text{On divise les deux membres par $12$}
\end{align*}$

La solution de l’équation est $\dfrac{5}{12}$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 1 – Calcul numérique et équation

Calculs semaine 1

Calcul numérique et équation

Exercice 1

Calculer et simplifier, si nécessaire, les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}$ $\qquad$ $B=\dfrac{24}{35}\times \dfrac{21}{60}$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}\\
&= \dfrac{6}{8}+\dfrac{5}{8}\\
&=\dfrac{11}{8}\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{24}{35}\times \dfrac{21}{60}\\
&=\dfrac{4\times 6\times 3 \times 7}{5\times 7\times 10 \times 6}\\
&=\dfrac{4\times 3}{5\times 10}\\
&=\dfrac{12}{50}\\
&=\dfrac{2\times 6}{2\times 25}\\
&=\dfrac{6}{25}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$C=4-3\times 7+2$ $\qquad$ $D=-8-7-\left(2-3^2\right)^2$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=4-3\times 7+2 \\
&= 4-21+2\\
&=6-21\\
&=-15\end{align*}$

$\begin{align*}D&=-8-7-\left(2-3^2\right)^2\\
&=-15-(2-9)^2\\
&=-15-(-7)^2\\
&=-15-49\\
&=-64\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante : $2x+4=1$

À chacune des étapes vous écrirez une phrase expliquant ce que vous faites.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}
&~~ 2x+4=1 \\
\ssi&~~ 2x=1-4 \qquad \text{On ajoute $-4$ aux deux membres de l’équation} \\
\ssi&~~ 2x=-3 \qquad \text{On simplifie le membre de droite}\\
\ssi&~~ x=-\dfrac{3}{2} \qquad \text{On divise les deux membres par $2$}
\end{align*}$
La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$

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$\quad$

2nd – Cours – Arithmétique

Arithmétique

I Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Définition 1 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
On dit que $b$ est un diviseur de $a$ s’il existe un entier relatif $k$ tel que $a=b\times k$.
On dit alors que $a$ est divisible par $b$ ou que $a$ est un multiple de $b$.

Exemples :

  • $10=2\times 5$ donc :
    – $10$ est divisible par $2$;
    – $10$ est un multiple de $2$;
    – $2$ est un diviseur de $10$.
  • Les diviseurs de $6$ sont $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$ et $6$
  • $13$ n’est pas un multiple de $5$ car il n’existe pas d’entier relatif $k$ tel que $13=5k$.
    En effet, si un tel nombre existait alors $k=\dfrac{13}{5}=2,6$. Or $2,6$ n’appartient pas à $\Z$.
Propriété 1 : On considère un entier relatif $a$.
La somme de deux multiples de $a$ est également un multiple de $a$.
Preuve Propriété 1

On considère deux entiers relatifs $b$ et $c$ multiples de $a$.

Il existe donc deux entiers relatifs $p$ et $q$ tels que $b=a\times p$ et $c=a\times q$.
Ainsi :
$\begin{align*}
b+c&=a\times p+a\times q \\
&=a\times (p+q)
\end{align*}$

$p+q$ est un entier relatif donc $b+c$ est un multiple de $a$.

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$\quad$

Exemple : $14$ et $28$ sont deux multiples de $7$. En effet $14=7\times 2$ et $28 = 7\times 4$.
$14+28=42$ est également un multiple de $7$ puisque $42=7\times 6$.

$\quad$

II Nombres pairs et nombres impairs

Définition 2 : On considère un entier relatif $n$.

  • On dit que $n$ est pair s’il est divisible par $2$.
  • On dit que $n$ est impair s’il n’est pas divisible par $2$.

Exemples :

  • $0;2;4;6;8;\ldots$ sont des nombres pairs.
  • $1;3;5;7;9;\ldots$ sont des nombres impairs
Propriété 2 : On considère un entier relatif $n$

  • $n$ est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
  • $n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Propriété 3 : Si $n$ est un entier relatif impair alors $n^2$ est également impair.
Preuve Propriété 3

$n$ est un entier relatif impair. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Ainsi :
$\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2\\
&=4k^2+2k+1\\
&=2\left(2k^2+k\right)+1
\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est impair.

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$\quad$

$\quad$

III Nombres premiers

Définition 3 : Un entier naturel est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts ($1$ et lui-même).

Exemples :

  • $1$ n’est pas premier car il n’est divisible que par lui-même.
  • $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ sont des nombres premiers.
  • $6$ n’est pas premiers car il est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$
Propriété 4 : Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ peut s’écrire de façon unique sous la forme d’un produit de nombres premiers.

Remarque : Si $n$ est un nombre premier alors cette décomposition est réduite à lui-même.

Exemple : $150=15\times 10 =3\times 5\times 2\times 5 =2\times 3\times 5^2$

Propriété 5 : On considère un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$ qui n’est pas un nombre premier.
Son plus petit diviseur différent de $1$ est un nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Exemple : On souhaite déterminer le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$.
On a $\sqrt{371}\approx 19,3$.
Or les nombres premiers inférieurs ou égaux à $19$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
On constate que $371$ n’est pas divisible par $2$, $3$ et $5$ mais que $\dfrac{371}{7}=53$.
Ainsi le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$ est $7$.

$\quad$

IV Critères de divisibilité

Cette partie n’est absolument pas au programme de seconde mais il est parfois utile de connaître ces critères.

  • Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
    Exemple : $14$, $2~476$ et $10~548$ sont divisibles par $2$
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
    Exemple : $234$ est divisible par $3$ car $2+3+5=9$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $4$ si le nombre constitué de son chiffre des dizaines et de celui de son chiffre des unités est divisible par $4$ ou s’il se termine par $00$.
    Exemple : $2~132$ est divisible par $4$ car $32$ est divisible par $4$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    Exemple : $105$ est divisible par $5$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $6$ s’il est pair et divisible par $3$.
    Exemple : $14~676$ est divisible par $6$ car il est pair et $1+4+6+7+6=24$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $7$ si la valeur absolue de la différence entre son nombre de dizaine et le double de son chiffre des unités est divisible par $7$.
    Exemple : $8~645$ est divisible par $7$ car :
    $|864-2\times 5|=854$ \quad $|85-2\times 4|=77$ qui est clairement divisible par $7$ mais on pourrait continuer la méthode.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $8$ si le nombre constitué de ses $3$ derniers chiffres (unité, dizaine et centaine) est divisible par $8$.
    Exemple : $5~104$ est divisible par $8$ car $104=8\times 13$ est divisible par $8$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
    Exemple : $4~572$ est divisible par $9$ car $4+5+7+2=18$ qui est divisible par $9$.
    $\quad$
  • Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités $0$.
    Exemple : $13~450$ est divisible par $10$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de $11$.
    Exemple : $381~502$ est divisible par $11$ car $3+1+0-(8+5+2)=-11$ est un multiple de $11$.
    $\quad$

 

2nd – Exercices – Arithmétique – Nombres premiers

Arithmétique – Nombres premiers

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer, parmi les nombres suivants, les nombres premiers.
$$49 \qquad 59 \qquad 123 \qquad 137 $$

$\quad$

Correction Exercice 1

$49 = 7^2$ Donc $49$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{59}\approx 7,7$. Si $59$ n’est pas un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $7$.
Or $59$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$ et $7$.
Par conséquent $59$ est un nombre premier.

$\sqrt{123}\approx 11,1$. Si $123$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
On a $123=3\times 41$. Ainsi $123$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{137} \approx 11,7$. Si $137$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
Or $137$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
Par conséquent $137$ est un nombre premier.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Décomposer un produit de facteurs premiers les nombres suivants :
$$\begin{array}{l}
A=168\\
B=260\\
C=375\\
D=3~780\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

On a :
$\begin{align*} A&=2\times 84 \\
&=2\times 2\times 42 \\
&=2\times 2\times 2\times 21 \\
&=2^3\times 3\times 7\end{align*}$

$\begin{align*}
B&=260 \\
&=2\times 130 \\
&=2\times 2\times 65 \\
&=2^2\times 5\times 13\end{align*}$

$\begin{align*} C&=375 \\
&=3\times 125 \\
&=3\times 5\times 25 \\
&=3\times 5\times 5\times 5\\
&=3\times 5^3\end{align*}$

$\begin{align*}
D&=3~780 \\
&=2\times 1~890 \\
&=2\times 2 \times 945 \\
&=2^2 \times 3\times 315 \\
&=2^2\times 3\times 3 \times 105 \\
&=2^2\times 3\times 3\times 3 \times 35 \\
&=2^2\times 3^3 \times 5\times 7\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3     Crible d’Eratosthène

Écrire les nombres de $2$ à $100$ en écrivant les nombres ayant le même chiffre des unités les uns sous les autres.
$2$ est un nombre premier : on le garde et on raye du tableau tous ses multiples.
On passe au nombre suivant qui n’a pas été rayé et on procède de la même manière.
On continue ainsi jusqu’à ce tous les nombres est été soit sélectionnés (ils sont premiers) soit rayés.

$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient le crible suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer, en justifiant, les valeurs que peut prendre le chiffre $a$ pour que le nombre dont l’écriture décimale est $43a$ soit un nombre premier.

$\quad$

Correction Exercice 4

$a$ ne peut pas être pair, sinon le nombre $43a$ est divisible par $2$.
$a$ ne peut pas être égal à $5$, sinon le nombre $43a$ est divisible par $5$.
Il ne nous reste plus comme possibilité que $1$, $3$, $7$ et $9$.

Si $a=1$ alors le nombre est $431$
$\sqrt{431}\approx 20,7$. Si $431$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $431$ est un nombre premier.

Si $a=3$ alors le nombre est $433$
$\sqrt{433}\approx 20,8$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $433$ est un nombre premier.

Si $a=7$ alors le nombre est $437$
$\sqrt{437}\approx 20,9$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $437$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ et $17$.
En revanche $437=19\times 23$
Par conséquent $437$ n’est pas un nombre premier.

Si $a=9$ alors le nombre est $439$
$\sqrt{439}\approx 20,95$. Si $439$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $439$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $439$ est un nombre premier.

Ainsi $43a$ est premier si, et seulement si, $a=1$ ou $a=3$ ou $a=9$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère un nombre premier $n$. Le nombre $n^2$ est-il premier?

$\quad$

Correction Exercice 5

Par définition $n^2=n\times n$. Donc $n^2$ possède au moins trois diviseurs positifs : $1$, $n$ et $n^2$.
Par conséquent $n^2$ n’est pas premier.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6     Nombres de Mersenne

Si $n$ est un nombre premier, le nombre $M_n=2^n-1$ est il également un nombre premier?

$\quad$

Correction Exercice 6

Nous allons calculer les premiers nombres de Mersenne et regarder s’ils sont premiers ou non.

  • Si $n=2$ alors $M_2=2^2-1=3$ est premier.
  • Si $n=3$ alors $M_3=2^3-1=7$ est premier.
  • Si $n=5$ alors $M_5=2^5-1=31$ est premier.
  • Si $n=7$ alors $M_7=2^7-1=127$ est premier.
  • Si $n=11$ alors $M_{11}=2^{11}-1=2~047=23\times 89$ n’est pas premier.

Les nombres $M_n$ ne sont donc pas tous premier quand $n$ est premier.

$\quad$

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$\quad$