2nd – Exercices – Fonction carré

Fonction carré

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c’est possible, des réels :

  1.  $1$
    $\quad$
  2. $-16$
    $\quad$
  3. $ \dfrac{9}{5}$
    $\quad$
  4. $25$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation $x^2 = 1$.
    Cette équation possède deux solutions : $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $x^2 = -16$.
    Un carré ne peut pas être négatif.
    $-16$ n’a donc aucun antécédent.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $x^2 = 25$.
    Cette équation possède deux solutions : $-5$ et $5$.
    Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction carré définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$
  3. Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.
    $\quad$
  4. Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.

$\quad$

Correction Exercice 2
  1. VRAI : La fonction carré est définie sur $\R$. Par conséquent tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. VRAI : $-1$ ne possède pas d’antécédent. (on peut choisir n’importe quel réel strictement négatif).
    $\quad$
  3. FAUX : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)
    $\quad$
  4. VRAI : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{10}{3};3\right]$ par $f(x) = x^2$.

  1. Tracer la représentation graphique de $f$.
    $\quad$
  2. Dans les trois situations suivantes, déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur l’intervalle $I$ fourni.
    a. $I = \left[\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
    b. $I = \left[-3;-\dfrac{1}{3}\right]$
    $\quad$
    c. $I = \left[-\dfrac{10}{3};\dfrac{1}{3}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex3
  2. a. minimum = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $3^2 = 9$
    $\quad$
    b. minimum = $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $(-3)^2 = 9$
    $\quad$
    c. minimum = $0^2 = 0$ $\quad$ maximum = $\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On considère deux nombres réels $n$ et $m$ quelconques.

Calculer en fonction de $n$ et $m$, l’expression suivante :$\dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right]$.

Simplifier l’expression.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}  \dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right] &= \dfrac{1}{2} \left[(n+m)^2 – n^2 – m^2\right] \\\\
& = \dfrac{1}{2}(n^2 + m^2 + 2nm – n^2 – m^2) \\\\
& = \dfrac{1}{2}(2nm) \\\\
& = nm
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre graphiquement dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $x^2 > 16$
    $\quad$
  2. $x^2 \le 3$
    $\quad$
  3. $x^2 \ge -1$
    $\quad$
  4. $x^2 \le -2$
    $\quad$
  5. $x^2 > 0$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-1
    La solution est $]-\infty;-4[\cup]4;+\infty[$.
  2. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-2
    La solution est $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.
  3. Un carré est toujours positifs donc la solution est $\R$.
    $\quad$
  4. Un carré ne peut pas être négatif. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation.
    $\quad$
  5. Un carré est toujours positif ou nul et ne s’annule que pour $x = 0$.
    La solution est donc $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas fournir, en justifiant, un encadrement de $x^2$.

  1. $x \in [-5;-2]$
    $\quad$
  2. $x \in [-5;2]$
    $\quad$
  3. $x \in ]-1;3]$
    $\quad$
  4. $x \in [1;16[$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et donc en particulier sur $[-5;-2]$.
    Par conséquent $x^2 \in [4;25]$.
    $\quad$
  2. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $[-5;0]$ et $[0;2]$
    Si $x\in [-5;0]$ alors $x^2 \in [0;25]$
    Si $x\in [0;2]$ alors $x^2 \in [0;4]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in[-5;2]$ alors $x^2\in[0;25]$.
    $\quad$
  3. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $]-1;0]$ et $[0;3]$
    Si $x\in ]-1;0]$ alors $x^2 \in [0;1[$
    Si $x\in [0;3]$ alors $x^2 \in [0;9]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in]-1;3]$ alors $x^2\in[0;9]$.
    $\quad$
  4. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur $[0;16[$.
    Par conséquent $x^2 \in [1;256[$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

2nd – Exercices corrigés

Dans le(s) cas où il n’est possible de fournir une valeur exacte, fournissez une valeur approchée au dixième.

Exercice 1

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $1$ par la fonction $f$.

fct1

Correction Exercice 1

fct1 cor

$1$ possède donc trois antécédents : $-3$ ; $-1$ et $2$.

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.

fct2

Correction Exercice 2

fct2 cor

Les antécédents de $-2$ sont : $-5$ ; $-0,5$ et $1$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $2$ par la fonction $f$.

fct3

Correction Exercice 3

fct3 cor

On constate que $2$ possède deux antécédents qui sont environ : $-2,2$ et $2,2$.

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$\quad$

Exercice 4

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

 

ex2

  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(1)$ et  de $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $0,5$, de $2$ et de $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
Correction Exercice 4

  1. $f(1) = 0$ et $f(0) \approx 1,2$
    ex2 cor1
  2. Les antécédents de $0,5$ sont (environ) : $-1,9$ ; $0,4$ ; $1,7$ et $2,8$
    $\quad$
    Les antécédents de $2$ sont (environ) : $-1,7$ et $-0,4$.
    $\quad$
    $-1$ n’a pas d’antécédent par $f$.
    ex2 cor2 (2)
  3. La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

  1. Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.
Correction Exercice 5

  1. On veut donc calculer :
    $f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
    $\quad$
  2. $f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
    $\quad$
  3. On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, donnant la hauteur d’eau dans un bassin naturel d’eau de mer en fonction des heures de la journée.

 

  1. Déterminer graphiquement l’intervalle $I$.
    $\quad$
  2. Que lit-on sur l’axe des abscisses?
    $\quad$
  3. Que lit-on sur l’axe des ordonnées ?
    $\quad$
  4. Utiliser le graphique pour compléter le tableau ci-dessous :

Source : Académie de Clermont-Ferrand

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $I=[0;24]$
    $\quad$
  2. On lit les heures de la journée sur l’axes des abscisses.
    $\quad$
  3. On lit la hauteur de l’eau sur l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  4. $\quad$


$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2x-3}{x-1}$.

  1. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
    $\quad$
  2. Déterminer $f(0), $f(-1) et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $0$; $1$, $-2$ et $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. La fonction $f$ est définie pour toutes valeurs de $x$ telles que $x-1\neq 0$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$.
    La fonction $f$ est par conséquent définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3$
    $f(-1)=\dfrac{2\times (-1)-3}{-1-1}=\dfrac{5}{2}$
    $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)-3}{-\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  3. Pour déterminer les antécédents de $0$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=0 \\
    &\ssi 2x-3=0 \\
    &\ssi 2x=3\\
    &\ssi x=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    On a bien $\dfrac{3}{2}\neq 1$.
    L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=1 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=1 \\
    &\ssi 2x-3=x-1 \\
    &\ssi 2x-x=-1+3\\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    On a bien $2\neq 1$.
    L’antécédent de $1$ est $2$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $-2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=-2 \\
    &\ssi 2x-3=-2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=-2x+2 \\
    &\ssi 2x+2x=2+3\\
    &\ssi 4x=5 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{5}{3}\neq 1$.
    L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=2 \\
    &\ssi 2x-3=2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=2x-2\\
    &\ssi 2x-2x=-2+3\\
    &\ssi 0=1\end{align*}$
    Le nombre $2$ ne possède donc pas d’antécédent.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.

Compléter le tableau de valeurs de suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 8

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1  & \dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x+5}$.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$?

$O(0;0)$ ; $A\left(1;\dfrac{1}{6} \right)$ ; $B\left(3;\dfrac{1}{4} \right)$ ; $C\left(-2;\dfrac{4}{7} \right)$ ; $D\left(-3;\dfrac{9}{2} \right)$

$\quad$

Correction Exercice 9

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$

$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$\quad$

$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.
$\quad$

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$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Mise en équation

Mise en équation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Un théâtre propose des places à $15$ € et d’autres places à $20$ €. Le soir d’une représentation où il a affiché complet, la recette a été de $8~000$ €.
Le nombre des spectateurs était de $470$.
Déterminer le nombre de places à $15$ €, puis le nombre de places à $20$ €.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $n$ le nombre de places à $15$ €. Par conséquent $470-n$ places à $20$ € ont été vendues.
La recette est donc $15n+20(470-n)$.
On doit donc résoudre l’équation :

$\begin{align*} 15n+20(470-n)=8~000 &\ssi 15n+9~400-20n=8~000 \\
&\ssi -5n=-1~400 \\
&\ssi n=280\end{align*}$

$280$ places à $15$ € et $190$ places à $20$ € ont donc été vendues.

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$\quad$

Exercice 2

En augmentant de $7$ cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de $81$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du carré initial?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ la longueur du côté initial.
L’aire du nouveau carré est donc $(x+7)^2$ et l’aire du carré initial est $x^2$.
On obtient par conséquent l’équation suivante :

$\begin{align*} (x+7)^2=x^2+81&\ssi (x+7)(x+7)=x^2+81\\
&\ssi x^2+7x+7x+49=x^2+81 \\
&\ssi 14x=81-49 \\
&\ssi 14x=32\\
&\ssi x=\dfrac{32}{14} \\
&\ssi x=\dfrac{16}{7}\end{align*}$

L’aire du carré initial est donc $\mathscr{A}=x^2=\left(\dfrac{16}{7}\right)^2=\dfrac{256}{49}$ cm$^2$.

Remarque : Si les identités remarquables ont été vues, il est tout à fait possible de les utiliser pour développer $(x+7)^2$ plus rapidement.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut $603$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $n$ le plus petit des deux entiers naturels. Les deux entiers naturels consécutifs sont donc $n$ et $n+1$.
On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} (n+1)^2-n^2=603&\ssi (n+1)(n+1)-n^2=603 \\
&\ssi n^2+n+n+1-n^2=603 \\
&\ssi 2n+1=603\\
&\ssi 2n=603-1\\
&\ssi 2n=602 \\
&\ssi n=301\end{align*}$

Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $301$ et $302$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $V=\dfrac{d}{T}$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps mis pour parcourir la distance $d$ (attention à la concordance des unités).

  1. Un automobiliste parcourt $36$ km en $18$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h?
    $\quad$
  2. Exprimer $T$ en fonction de $V$ et $d$.
    Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $30$ km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir $18$ km?
    $\quad$
  3. Exprimer $d$ en fonction de $V$ et $T$.
    Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de $110$ km/h pendant $42$ minutes.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $18$ min $= \dfrac{18}{60}$ h soit $0,3$ h. La vitesse moyenne de l’automobiliste est $V=\dfrac{36}{0,3}=120$ km/h.
    $\quad$
  2. $V=\dfrac{d}{T} \ssi T=\dfrac{d}{V}$.
    Ainsi si $V=30$ km/h et $d=18$ km alors $T=\dfrac{18}{30}=0,6$ h $=0,6\times 60$ min soit $36$ min.
    Le cycliste a donc mis $36$ min pour parcourir $18$ km à la vitesse moyenne de $30$ km/h
    $\quad$
  3. $V=\dfrac{d}{T}\ssi d=V\times T$
    Ainsi si $V=110$ km/h et $T=42$ min c’est-à-dire $\dfrac{42}{60}$ h soit $0,7$ h on obtient alors $d=110\times 0,7=77$ km.
    On a donc parcouru $77$ km en moto en roulant $42$ minutes à la vitesse moyenne de $110$ km/h.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Exprimer la longueur du rayon d’un disque en fonction de son aire.
Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de $30$ cm$^2$?

$\quad$

Correction Exercice 5

L’aire d’un disque est donnée par la formule $\mathscr{A}=\pi r^2$ où $r$ est le rayon du disque.
Ainsi $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi} $ et $r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}$ car $r>0$.

Par conséquent si $\mathscr{A}=30$ cm$^2$ alors $r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Deux variables $x$ et $y$ sont liées par la relation $y=\dfrac{2x+1}{x+4}$ où $x$ est un réel différent de $-4$ et $y$ un réel différent de $2$.
Exprimer $x$ en fonction de $y$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Pour tout réel $x$ différent de $-4$ et tout réel $y$ différent de $2$ on a :

$\begin{align*} y=\dfrac{2x+1}{x+4}&\ssi (x+4)y=2x+1 \\
&\ssi xy+4y=2x+1 \\
&\ssi xy-2x=1-4y\\
&\ssi x(y-2)=1-4y \\
&\ssi x=\dfrac{1-4y}{y-2}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Quel même nombre doit-on ajouter à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{6}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $\dfrac{8}{7}$?
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ le nombre qu’on ajoute au numérateur et au dénominateur. On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} \dfrac{1+x}{6+x}=\dfrac{8}{7} &\ssi 7(1+x)=8(6+x) \\
&\ssi 7+7x=48+8x \\
&\ssi 7-48=8x-7x\\
&\ssi x=-41\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – Exercices – Développement (sans identités remarquables)

Développement (sans identités remarquables)

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=3(5-3x)$

$B=-(3x+2)$

$C=2(4x+5)$

$D=-3(3-2x)$

$\quad$

Correction Exercice 1

$A=3(5-3x)=3\times 5+3\times (-3x)=15-9x$

$B=-(3x+2)=-3x-2$

$C=2(4x+5)=2\times 4x+2\times 5=8x+10$

$D=-3(3-2x)=-3\times 3-3\times (2x)=-9+6x$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+1)(x+3)$

$B=(2x+8)(x+5)$

$C=(4x-1)(x+2)$

$D=(5x+4)(4x+7)$

$E=(4x+3)(3x-2)$

$F=(7x-4)(2x-1)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x(x+3)+1(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3\\
&=x^2+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x(x+5)+8(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40\\
&=2x^2+18x+40\end{align*}$

$\begin{align*} C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x(x+2)-(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7) \\
&=5x(4x+7)+4(4x+7)\\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=4x(3x-2)+3(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6\end{align*}$

$\begin{align*}F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=7x(2x-1)-4(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+1)(x+3)$

$B=(2x+8)(x+5)$

$C=(4x-1)(x+2)$

$D=(5x+4)(4x+7)$

$E=(4x+3)(3x-2)$

$F=(7x-4)(2x-1)$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x(x+3)+(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3\\
&=x^2+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x(x+5)+8(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40\\
&=2x^2+18x+40\end{align*}$

$\begin{align*} C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x(x+2)-(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7)\\
&=5x(4x+7)+4(4x+7) \\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=4x(3x-2)+3(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6\end{align*}$

$\begin{align*}F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=7x(2x-1)-4(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$

$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$

$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$

$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$

$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3) \\
&=3x(4x+2)+(4x+2)-(10x-15) \\
&=12x^2+6x+4x+2-10x+15 \\
&=12x^2+10x+2-10x+15\\
&=12x^2+17\end{align*}$

$\begin{align*}B&=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1) \\
&=4x(5x-3)-(5x-3)+21x-7\\
&=20x^2-12x-5x+3+21x-7\\
&=20x^2+4x-4\end{align*}$

$\begin{align*}C&=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9) \\
&=5x(3x+7)-4(3x+7)+4x(5x+9)-2(5x+9) \\
&=15x^2+35x-12x-28+20x^2+36x-10x-18\\
&=35x^2+49x-46\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2) \\
&=x(x+2)-2(x+2)-\left[2x(3x-2)+3x-2\right] \\
&=x^2+2x-2x-4-\left(6x^2-4x+3x-2\right) \\
&=x^2-4-4x^2+x+2\\
&=-5x^2+x-2\end{align*}$

$\begin{align*}E&=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3) \\
&=4(3x+1)(3x+1)-\left[2x(2x-3)+3(2x-3)\right] \\
&=4\left[3x(3x+1)+(3x+1)\right]-\left(4x^2-6x+6x-9\right) \\
&=4\left(9x^2+3x+3x+1\right)-\left(4x^2-9\right) \\
&=36x^2+24x+4-4x^2+9 \\
&=32x^2+24x+13\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(5x-3)(2x-7)-(2x+1)(5-3x)$

$B=(2-3x)(5-2x)-4(3x-1)(x+2)$

$C=(3x+1)(x+4)-(2x+5)(x-4)$

$D=(x+3)(x-2)-(x-3)(x+2)$

$E=(2x-1)(2x+4)-(3-x)(5-2x)$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=(5x-3)(2x-7)-(2x+1)(5-3x) \\
&=5x(2x-7)-3(2x-7)-\left[2x(5-3x)+(5-3x)\right] \\
&=10x^2-35x-6x+21-\left(10x-6x^2+5-3x\right) \\
&=10x^2-41x+21-\left(-6x^2+7x+5\right) \\
&=10x^2-41x+21+6x^2-7x-5\\
&=16x^2-48x+16\end{align*}$

$\begin{align*}B&=(2-3x)(5-2x)-4(3x-1)(x+2) \\
&=2(5-2x)-3x(5-2x)-4\left[3x(x+2)-(x+2)\right] \\
&=10-4x-15x+6x^2-4\left(3x^2+6x-x-2\right)\\
&=6x^2-19x+10-4\left(3x^2+5x-2\right)\\
&=6x^2-19x+10-12x^2-20x+8\\
&=-6x^2-39x+18\end{align*}$

$\begin{align*}C&=(3x+1)(x+4)-(2x+5)(x-4) \\
&=3x(x+4)+(x+4)-\left[2x(x-4)+5(x-4)\right] \\
&=3x^2+12x+x+4-\left(2x^2-8x+5x-20\right) \\
&=3x^2+13x+4-\left(2x^2-3x-20\right) \\
&=3x^2+13x+4-2x^2+3x+20\\
&=x^2+16x+24\end{align*}$

$\begin{align*}D&=(x+3)(x-2)-(x-3)(x+2) \\
&=x(x-2)+3(x-2)-\left[x(x+2)-3(x+2)\right] \\
&=x^2-2x+3x-6-\left(x^2+2x-3x-6\right)\\
&=x^2+x-6-\left(x^2-x-6\right)\\
&=x^2+x-6-x^2+x+6\\
&=2x\end{align*}$

$\begin{align*}E&=(2x-1)(2x+4)-(3-x)(5-2x) \\
&=2x(2x+4)-(2x+4)-\left[3(5-2x)-x(5-2x)\right] \\
&=4x^2+8x-2x-4-\left(15-6x-5x+2x^2\right)\\
&=4x^2+6x-4-\left(2x^2-11x+15\right) \\
&=4x^2+6x-4-2x^2+11x-15\\
&=2x^2+17x-19\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Puissances

Puissances

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

  1. $2^5\times 2^6$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4$
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3$
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4=(-7)^{2+4}=(-7)^6=7^6$ car $6$ est pair
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7=8^2\times 8^7=8^{2+7}=8^9$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4=\left(-3\times (-5)\right)^4=15^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3=(-5\times 2)^3=-10^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3=(-3)^{5\times (-3)}=(-3)^{-15}=-3^{-15}$ car $-3$ est impair
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5=(-3)^{4+5}=(-3)^9=-3^9$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)=(-5)^{4\times (-5)}=(-5)^{-20}=5^{-20}$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3=4^2\times \left(-4^3\right)=-4^2\times 4^3=-4^{2+3}=-4^5$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4=(-2\times 3)^4=(-6)^4=6^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5=\left(-4\times (-2)\right)^5=8^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7\times 4}=(-6)^{28}=6^{28}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 & &B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \\C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2&\phantom{123} & D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{3^3}{4^3}=\dfrac{27}{64}$

$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2 \\
&=\dfrac{3^2}{7^2}\times \dfrac{(-2\times 7)^2}{5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2\times 7^2}{7^2\times 5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2}{5^2}=\dfrac{36}{25}\end{align*}$

$\begin{align*}D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4 \\
&=\dfrac{4^3}{7^3}\times \dfrac{(-7)^4}{2^4}\\
&=\dfrac{4^3\times 7^4}{7^3\times 2^4} \\
&=\dfrac{\left(2^2\right)^3\times 7}{2^4}\\
&=\dfrac{2^6\times 7}{2^4} \\
&=2^2\times 7\\
&=4\times 7\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}} & &B=\dfrac{(-7)^5}{7^3} \\C=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}&\phantom{123} & D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}}=2^{15-11}=2^4$

$B=\dfrac{(-7)^5}{7^3}=\dfrac{-7^5}{7^3}=-7^{5-3}=-7^2$

$\begin{align*}C&=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}\\
&=\dfrac{-3^2\times \left(-3^3\right)\times 3^5}{3^3\times 3^4}\\
&=\dfrac{3^{10}}{3^7}=3^{10-7}\\
&=3^3\end{align*}$

$D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}=\dfrac{5^8\times 5^{26}}{5^2\times 5^{45}}=\dfrac{5^{34}}{5^{47}}=5^{34-47}=5^{-13}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Écrire chacun des nombres suivant sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

$$\begin{array}{lll}
A=4^{-3} & & B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} & &D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} && F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}\\
G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}&\phantom{123}& H=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$A=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{1}{64}$

$B=\dfrac{7^9}{7^{11}}=7^{9-11}=7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{5}{4}\right)^2~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{25}{16}~~}=\dfrac{16}{25}$

$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{2}{3}\right)^3~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{8}{27}~~}=\dfrac{27}{8}$

$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}=5^{-1-2}=5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}$

$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}=2^{3-(-2)}=2^5$

$G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}=-\dfrac{9^{4-2}}{9^2}=-\dfrac{9^2}{9^2}=-1$

$\begin{align*}H&=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}\\
&=\dfrac{6^5\times 6^{-4}\times 6^{-3}}{6^{2-5}}\\
&=\dfrac{6^{5-4-3}}{6^{-3}} \\
&=\dfrac{6^{-1}}{6^{-3}}=6^{-1-(-3)}\\
&=6^2\\
&=36\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$$\begin{array}{ccccc}
A=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} &\phantom{12} &B=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}}&\phantom{12} & C=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{(2\times 5)^9\times (2\times 3)^3}{(5\times 5)^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^9\times 5^9\times 2^3\times 3^3}{5^4\times 5^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^{12}\times 5^9\times 3^3}{5^8\times 3\times 2^{11}} \\
&=2^{12-11}\times 5^{9-8}\times 3^{3-1}\\
&=2\times 5\times 3^2 \\
&=10\times 9\\
&=90\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{118}\times 10}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{119}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{9}{10^{119}} \end{align*}$

$\begin{align*}C&=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{(2\times 5)^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{2^{107}\times 5^{107}} \\
&=5^{108-107}\times 2^{106-107}\times 11 \\
&=5\times 2^{-1}\times 11 \\
&=\dfrac{5\times 11}{2} \\
&=\dfrac{55}{2}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Écrire sous forme décimale les nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=10^{-4} & &B=10^{15}\times 10^{-17} \\
C=3\times 10^6\times 10^{-8} & &D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}} \end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 6

$A=10^{-4} = 0,000~1$

$B=10^{15}\times 10^{-17} = 10^{15-17}=10^{-2}=0,01$

$C=3\times 10^6\times 10^{-8}=3\times 10^{6-8}=3\times 10^{-2}=0,03$

$D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}}=\dfrac{5}{2}\times 10^{-7-(-1)}=2,5\times 10^{-6}=0,000~002~5$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=2~000~000 & & B=0,003~6 \\
C=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 & &D=0,000~003~75\times 5~000  \\
E=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 &\phantom{123} & F=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 7

$A=2~000~000 = 2\times 10^6$

$B=0,003~6=3,6\times 10^{-3}$

$\begin{align*} C&=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 \\
&=\left(10^{-1}\right)^5\times \left(-10^{-3}\right)^2\times \left(10^{-2}\right)^2 \\
&=10^{-5}\times 10^{-6}\times 10^{-4} \\
&=1\times 10^{-15} \end{align*}$

$\begin{align*}D&=0,000~003~75\times 5~000  \\
&=3,75\times 10^{-6}\times 5\times 10^3\\
&=18,75\times 10^{-3} \\
&=1,875\times 10\times 10^{-3}\\
&=1,875\times 10^{-2}\end{align*}$

$\begin{align*} E&=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times \left(10^{-4}\right)^3\times 10^4\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times 10^{-12}\times 10^6\\
&=1\times 10^{-9}\end{align*}$

$\begin{align*} F&=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3} \\
&=\left(5\times 10^{-1}\right)^3\times \left(5^2\right)^2\times \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\times \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-3} \\
&=5^3\times 10^{-3}\times 5^4\times \left(-\dfrac{3^3}{4^3}\right)\times \dfrac{4^3}{5^3}\\
&=-5^7\times 10^{-3}\times \dfrac{3^3}{5^3} \\
&=-5^4\times 10^{-3}\times 27\\
&=-625\times 27 \times 10^{-3} \\
&=-16~875\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5\times 10^4\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5 \times 10\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Valeur absolue

Valeur absolue

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $|x|$.

  1. $x=-2$
    $\quad$
  2. $x=3$
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$
    $\quad$
  6. $x=\pi$
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x=-2$ alors $|x|=2$.
    $\quad$
  2. $x=3$ alors $|x|=3$.
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$ alors $|x|=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$ alors $|x|=\sqrt{2}$.
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$ alors $|x|=\dfrac{8}{7}$.
    $\quad$
  6. $x=\pi$ alors $|x|=\pi$.
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$. On a donc $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}$ donc $|x|=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, écrire à l’aide d’une valeur absolue la distance entre les points $A$ et $B$ puis fournir sa valeur numérique :

  1. $A(2)$ et $B(5)$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $A(2)$ et $B(5)$ donc $AB=|2-5|=|-3|=3$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$ donc $AB=|-4-5|=|-9|=9$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$ donc $AB=|-2-(-7)|=|5|=5$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$ donc $AB=|3-(-2)|=|5|=5$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$ donc $AB=|0-(-6)|=|6|=6$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la valeur du nombre réel $a$ et du nombre réel strictement positif $r$ de telle sorte que l’intervalle s’écrive sous la forme $[a-r;a+r]$:

  1. $I=[2;4]$
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $I=[2;4]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{4+2}{2}=3$.
    De plus $4-3=1$ donc $r=1$.
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{10+4}{2}=7$.
    De plus $10-7=3$ donc $r=3$.
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{8+(-2)}{2}=3$.
    De plus $8-3=5$ donc $r=5$.
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{-3+(-12)}{2}=-7,5$.
    De plus $-3-(-7,5)=4,5$ donc $r=4,5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Simplifier au maximum l’écriture des nombres suivants :

  1. $A=|1-5|$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|$
    $\quad$
  7. $G=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $A=|1-5|=|-4|=4$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|=|-6|=6$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}$ puisqu’il s’agit d’une somme de termes positifs
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$ puisque $\sqrt{3}>1$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|=5+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|=-3+1=-2$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|\\
    &=|-8|\times (-2)+5\times |-5|\\
    &=8\times (-2)+5\times 5\\
    &=-16+25\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Interpréter en termes de distance :

  1. $|x-5|$
    $\quad$
  2. $|x-2|$
    $\quad$
  3. $|x+3|$
    $\quad$
  4. $|x|$
    $\quad$
  5. $|-x|$
    $\quad$
  6. $|2-x|$
    $\quad$
  7. $|6+x|$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $|x-5|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$.
    $\quad$
  2. $|x-2|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $2$.
    $\quad$
  3. $|x+3|=\left|x-(-3)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$.
    $\quad$
  4. $|x|=|x-0|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. $|-x|=|0-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $0$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  6. $|2-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $2$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  7. $|6+x|=\left|x-(-6)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas, écrire à l’aide de valeurs absolues les intervalles suivants :

  1. $I=[-5;8]$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $I=[-5;8]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{8+(-5)}{2}=1,5$
    De plus $r=8-1,5=6,5$.
    Donc $x\in [-5;8] \ssi |x-1,5|\pp 6,5$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{-2+(-6)}{2}=-4$
    De plus $r=-2-(-4)=2$.
    Donc $x\in ]-6;-2[ \ssi \left|x-(-4)\right|< 2 \ssi |x+4|<2$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{3+4}{2}=3,5$
    De plus $r=4-3,5=0,5$.
    Donc $x\in [3;4] \ssi |x-3,5|\pp 0,5$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{110+100}{2}=105$
    De plus $r=110-105=5$.
    Donc $x\in ]100;110[ \ssi |x-105|<5$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Interpréter à l’aide de distance puis résoudre les équations et inéquations suivantes :

  1. $|x+3|=3$
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3$
    $\quad$
Correction Exercice 7

Pour visualiser plus facilement les différentes situations, on peut placer sur une droite graduée les points $A$ et $M$ et représenter les ensembles solutions.

  1. $|x+3|=3 \ssi \left|x-(-3)\right|=3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$ est égale à $3$.
    $|x+3|=3 \ssi x+3=3$ ou $x+3=-3$
    $phantom{|x+3|=3 }\ssi x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation $|x+3|=3$ sont $0$ et $-6$.
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $3$ est inférieure ou égale à $1$.
    $|x-3|\pp 1 \ssi -1\pp x-3\pp 1 \ssi 2 \pp x \pp 4$ (on ajoute $3$ à tous les membres de l’inégalité).
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-3|\pp 1$ est l’intervalle $[2;4]$.
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$ est supérieure ou égale à $2$.
    $|x-5|\pg 2 \ssi x-5\pg 2$ ou $x-5 \pp -2$
    $\phantom{|x-5|\pg 2 } \ssi x\pg 7$ ou $x\pp 3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-5|\pg 2$ est $]-\infty,3]\cup [7;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2} \ssi \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6}$ (on divise tous les nombres par $3$)
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $\dfrac{4}{3}$ est inférieure ou égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6} &\ssi -\dfrac{1}{6} \pp x-\dfrac{4}{3}\pp \dfrac{1}{6}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6}\\
    &\ssi \dfrac{7}{6} \pp x\pp \dfrac{9}{6} \end{align*}$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$ est l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp \left|x-(-1)\right|\pp 3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-1$ est comprise entre $2$ et $3$, tous les deux inclus.
    $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp 1+x \pp 3$ ou $-3\pp 1+x \pp -2$
    $\phantom{2\pp |1+x|\pp 3} \ssi 1\pp x \pp 2$ ou $-4 \pp x\pp -3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $2\pp |1+x|\pp 3$ est $[-4;-3]\cup [1;2]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Encadrements

Encadrements

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

Donner un encadrement des nombres suivants :

  1. $\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près
    $\quad$
  2. $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$
  3. $-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près
    $\quad$
  4. $-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $\dfrac{1}{3} = 0,3333$ à $10^{-4}$ près
    $\quad$
  2. $\sqrt{2}=1,414$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$
  3. $-\sqrt{7}=2,65$ à $10^{-2}$ près
    $\quad$
  4. $-\dfrac{5}{11}=0,455$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas déterminer l’amplitude de l’encadrement proposé :

  1. $-2<x<7$
    $\quad$
  2. $-1,23\pp x \pp -1,17$
    $\quad$
  3. $-1,576 < x<2,435$
    $\quad$
  4. $2,45<x<2,58$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. L’amplitude de l’encadrement $-2<x<7$ est $7-(-2)=9$.
    $\quad$
  2. L’amplitude de l’encadrement $-1,23\pp x \pp -1,17$ est $-1,17-(-1,23)=0,06$.
    $\quad$
  3. L’amplitude de l’encadrement $-1,576 < x<2,435$ est $2,435-(-1,576)=4,011$.
    $\quad$
  4. L’amplitude de l’encadrement $2,45<x<2,58$ est $2,58-2,45=0,07$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

 La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On inscrit dans un carré $ABCD$ un cercle d’aire $3$ cm$^2$

Déterminer un encadrement au dixième de millimètre de la longueur de la diagonale $[AC]$.

$\quad$

Correction Exercice 3

L’aire du cercle est $\mathscr{A}=2\pi r^2$. Par conséquent $\pi r^2=3 \ssi r^2=\dfrac{3}{\pi}$.
Or $AB=2r$ par conséquent $AB^2=4r^2$
On a donc $AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=4\times \dfrac{3}{\pi}=\dfrac{12}{\pi}$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2=2\times \dfrac{12}{\pi}=\dfrac{24}{\pi}$
Donc $AC=\sqrt{\dfrac{24}{\pi}}$

À l’aide de la calculatrice, on obtient $2,76<AC<2,77$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On appelle développement décimal d’un nombre sa décomposition selon les puissances de $10$.

On a par exemple : $13,254=1\times 10^1+3\times 10^0+2\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}+4\times 10^{-3}$

Déterminer le développement décimal des nombres suivants :
$$147,23\qquad \dfrac{15}{8} \qquad -0,002~4$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$147,23=1\times 10^2+4\times 10^1+7\times 10^0+2\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}$

$\dfrac{15}{8}=1,875=1\times 10^0+8\times 10^{-1}+7\times 10^{-2}+5\times 10^{-3}$

$-0,002~4=-2\times 10^{-3}-4\times 10^{-4}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Effectuer à la main la division décimale de $1$ par $7$ jusqu’à $7$ chiffres après la virgule.

En déduire la valeur du $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

on a $\dfrac{1}{7}\approx 0,142~857~1$
Dans la division décimale de $1$ par $7$ on va donc retrouver les mêmes chiffres toutes les $6$ décimales.
Or $2~019=6\times 336+3$
Le $3^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est $2$ donc le $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est également un $2$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Intervalles

Intervalles

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 1

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire les intervalles suivants à l’aide d’inégalités.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: -9\pp x \pp 2\\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: 0<x<1\\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: 2<x\pp 6 \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : x<5 \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :x\pg -3 \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: 1\pp x<10 \\\\
\end{array}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire les inégalités suivantes à l’aide d’intervalles.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &10>x &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& 0<x & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: x\in]-3;5]\\\\
\textbf{2.} &10>x &: x\in]-\infty;10[ \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: x\in[-2;+\infty[ \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : x\in [1;3]\\\\
\textbf{5.}& 0<x & :x\in]0;+\infty[ \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: x\in[-1;1[ \\\\
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants :

$$\begin{array}{cccc}
[-1;+\infty[ \phantom{aaa}& ]-\infty;5[ \phantom{aaa}&[2;4[ \phantom{aaa}&[-4;3] \phantom{aaa} \\\\
]-3;-1[ \phantom{aaa}& ]-\infty;-2] \phantom{aaa}&]4;+\infty[ \phantom{aaa}&]0;2] \phantom{aaa} \\\\
\end{array} $$

$\quad$

Correction Exercice 4

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 5

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Compléter avec $\in$ et $\notin$.

  1. $3~\ldots~ [-5;4[$
    $\quad$
  2. $-2~\ldots~ [-1;5[$
    $\quad$
  3. $0~\ldots~ ]-2;1[$
    $\quad$
  4. $10^{-2}~\ldots~ ]0;+\infty[$
    $\quad$
  5. $5~\ldots~ ]5;7]$
    $\quad$
  6. $\dfrac{3}{7}~\ldots~ [0,5;2]$
    $\quad$
  7. $\pi~\ldots~ [3,1;3,2[$
    $\quad$
  8. $\dfrac{3}{8}~\ldots~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$
    $\quad$
  9. $10^{-5}~\ldots~ ]-\infty;0]$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $3~\in~ [-5;4[$
    $\quad$
  2. $-2~\notin~ [-1;5[$
    $\quad$
  3. $0~\in~ ]-2;1[$
    $\quad$
  4. $10^{-2}~\in~ ]0;+\infty[$
    $\quad$
  5. $5~\notin~ ]5;7]$
    $\quad$
  6. $\dfrac{3}{7}~\notin~ [0,5;2]$ car $\dfrac{3}{7}\approx 0,43$
    $\quad$
  7. $\pi~\in~ [3,1;3,2[$ car $\pi \approx 3,14$
    $\quad$
  8. $\dfrac{3}{8}~\in~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$ car $7<8<9$ donc $\dfrac{3}{9}<\dfrac{3}{8}<\dfrac{3}{9}$
    $\quad$
  9. $10^{-5}~\notin~ ]-\infty;0]$ car $10^{-5}>0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère un rectangle dont la longueur est $L$ et la largeur $\ell$.
On sait que que son périmètre $P$ vérifie $P\in]40;90[$ et que $5<\ell \pp 8$.
Déterminer l’ensemble des valeurs entières que peut prendre $L$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Le périmètre du rectangle est $P=2(L+\ell)$.
Par conséquent $40<2(L+\ell)\pp 90 \ssi 20<L+\ell\pp 45$.
Or $5<\ell \pp 8 \ssi 5+L<L+\ell<8+L$

La plus petite valeur prise par $L$ doit donc vérifier que $5+L=20 \ssi L=15$ et la plus grande valeur doit vérifier que $8+L=45 \ssi L=37$.

Par conséquent $L$ peut prendre des valeurs entières comprises entre $15$ et $37$, toutes les deux incluses.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Déterminer tous les entiers naturels appartenant à chacun des intervalles suivants :

$$[-2;\sqrt{5}] \qquad [3;9[ \qquad \left]-\infty; \dfrac{28}{5}\right] $$

$\quad$

Correction Exercice 8

On a $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9} \ssi 2<\sqrt{5}<3$ donc les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[-2;\sqrt{5}]$ sont $0; 1$ et $2$.

Les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[3;9[$ sont $3; 4; 5; 6; 7$ et $8$.

$\dfrac{28}{5}=5,6$ par conséquent les entiers naturels appartenant à l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{28}{5}\right]$ sont $0; 1; 2; 3; 4$ et $5$.

$\quad$

[collapse]

2nd – Exercices – Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}} & \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\end{array}$$
$2\times 10^{-2}=0,02$

$\dfrac{22}{5}=4,4$

$-\dfrac{28}{4}=-7$

$\sqrt{1,44}=1,2$

$-\sqrt{64}=-8$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.

$$\begin{array}{lllll}
\textbf{a. } \dfrac{125}{5}\phantom{123}&\textbf{b. } \dfrac{7}{5}\phantom{123}&\textbf{c. } \dfrac{21}{12}\phantom{123}&\textbf{d. } -\dfrac{35}{7}\phantom{123} &\textbf{e. } \dfrac{14}{21} \phantom{123}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

a. $\dfrac{125}{5}=25 \in \N$

b. $\dfrac{7}{5}=1,4\in \D$

c. $\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}=1,75\in \D$

d. $-\dfrac{35}{7}=-5\in \Z$

e. $\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}\in \Q$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    Faux : $\pi$ est un nombre réel qui n’est pas rationnel.
    En revanche, tout nombre rationnel est un nombre réel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    Vrai : $0,5$ est un nombre décimal et $\D$ est inclus dans $\Q$.
    On pouvait également dire que $0,5=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    Faux : $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel dont le carré vaut $2$. Or $2$ est un entier naturel donc un nombre rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{1}{3}$ est un nombre réel et n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{2}{3}$ est le quotient de deux nombres décimaux non nuls et pourtant ce n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    Vrai : L’inverse de $\dfrac{1}{2}$ est $2$ qui est un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    Vrai : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$ est un nombre entier.
    On pouvait également choisir deux nombres entiers (puisqu’ils sont également rationnels).
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4} \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5} \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4}=0,75 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2}=0,5 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4}=0,25 \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4}=2,25 \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5}=0,6 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5}=0,2 \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5}=0,4 \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5}=2,6 \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Montrer que $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Correction Exercice 5

Supposons que $\dfrac{1}{7}$ soit un nombre décimal.
Il existe donc un entier relatif $a$ non nul et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{7}=\dfrac{a}{10^n}$.

En utilisant les produits en croix on obtient $10^n=7a$.

$7a$ est un multiple de $7$. Cela signifie donc que $10^n$ est également un multiple de $7$.
Par conséquent $7$ est aussi un multiple de $7$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Par conséquent $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.
$\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$.

Exercice 1

Donner les coordonnées des vecteurs représentés ci-dessous :

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\vec{u}(2;0)$ , $\vec{v}(0;3)$ , $\vec{w}(-1;2)$ , $\vec{x}(2;3)$ , $\vec{y}(-2;-1)$ et $\vec{z}(3;-2)$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ dans chacun des cas :

  1. $A(1;2)$ et $B(3;5)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(-1;-2)$
    $\quad$
  3. $A(3;-1)$ et $B(3;1)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On utilise la formule du cours suivante $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

  1. On a $\vect{AB}(3-1;5-2)$ soit $\vect{AB}(2;3)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(-1-(-2);-2-3\right)$ soit $\vect{AB}(1;-5)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}\left(3-3;1-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(0;2)$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ suivants :
$$\begin{array}{lclcl} A(-2;3) &\hspace {3cm}& B(5;1) &\hspace {3cm}& C(-6,5;-2) \\\\
D(-8;-3,2)&\hspace {3cm}&E\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{2}\right)&\hspace {2cm}&F\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{7}{4}\right)\\\\
G\left(11;-\sqrt{3}\right)&\hspace {2cm}&H\left(-4;\sqrt{12}\right)& \hspace {2cm}&
\end{array}$$
Calculer les coordonnées des vecteurs :
$$\vect{AB}; \vect{CD}; \vect{EF}; \vect{GH}; \vect{CB}; \vect{FD}$$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\vect{AB}\left(5-(-2);1-3\right)$ donc $\vect{AB}(7;-2)$

$\vect{CD}\left(-8-(-6,5);-3,2-(-2)\right)$ donc $\vect{CD}(-1,5;-1,2)$

$\vect{EF}\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3};-\dfrac{7}{4}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)\right)$ donc $\vect{EF}\left(-\dfrac{11}{12};\dfrac{3}{4}\right)$

$\vect{GH}\left(-4-11;\sqrt{12}-\left(-\sqrt{3}\right)\right)$ donc $\vect{GH}\left(-15;\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)$
or $\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
Donc $\vect{GH}\left(-15;3\sqrt{3}\right)$

$\vect{CB}\left(5-(-6,5);1-(-2)\right)$ donc $\vect{CB}(11,5;3)$

$\vect{FD}\left(-8-\left(-\dfrac{1}{4}\right);-3,2-\left(-\dfrac{7}{4}\right)\right)$ donc $\vect{FD}\left(-\dfrac{31}{4};-\dfrac{29}{20}\right)$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On donne $A(1;5)$ et $\vect{AB}(4;-3)$.

Déterminer les coordonnées de $B$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Par conséquent $\begin{cases} x_B-1=4\\y_B-5=-3\end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=5\\y_B=2\end{cases}$

Le point $B$ a pour coordonnées $(5;2)$.

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$\quad$

Exercice 5

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1,1)$, $C(3;0)$ et $D(2;4)$.

  1. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du centre $E$ de ce parallélogramme.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}\left((-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$ et $\vect{DC}\left(3-2;0-4\right)$ soit $\vect{DC}(1;-4)$.
    Par conséquent $\vect{AB}=\vect{DC}$
    Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le point $E$ est donc, par exemple, le milieu de la diagonale $[AC]$.
    Donc $x_E=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_E=\dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$.
    Les coordonnées de $E$ sont donc $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;1)$ et $C(3;0)$.

Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 6

$ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AB}=\vect{DC}$.
Or $\vect{AB}\left(-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$.
Et $\vect{DC}\left(3-x_D;-y_D\right)$.

Par conséquent $\begin{cases} 3-x_D=1\\-y_D=-4\end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=2\\y_D=4\end{cases}$

Le point $D$ a donc pour coordonnées $(2;4)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$