2nd – Cours – Configurations du plan

Configurations du plan

I Parallélogramme

1. Généralités

Définition 1 : Un quadrilatère ayant ses côtés opposés deux à deux parallèles est un parallélogramme.

 Propriété 1 :

  • Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
  • Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
  • Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
  • Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est son centre de symétrie.

Comment prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?

  • Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.
  • Les côtés opposés du quadrilatère non croisé sont de même longueur.
  • Deux côtés opposés du quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur.

$\quad$

2. Rectangle

Définition 2 : Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle.

 

Propriété 2 :

  • Un rectangle possède toutes les propriétés des parallélogramme.
  • Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur.

Comment montrer qu’un quadrilatère est un rectangle?

  • Le quadrilatère possède trois angles droits.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.

$\quad$

3. Losange

Définition 3 : Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange.

 Propriété 3 : 

  • Un losange possède toutes les propriétés des parallélogramme.
  • Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

Comment montrer qu’un quadrilatère est un losange?

  • Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

$\quad$

4. Carré

Définition 4 : Un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un carré.

 Propriété 4 : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Remarque : Pour montrer qu’un quadrilatère est un carré, on montre que c’est un rectangle et un losange.

$\quad$


$\quad$

II Dans un triangle

1. Médiatrices

Définition 5 : La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite constituée des points $M$ équidistants (à la même distance) des extrémités du segment.

 Propriété 5 : La médiatrice d’un segment coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
 Propriété 6 : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

$\quad$

2. Hauteurs

Définition 6 : Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Propriété 7 : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé l’orthocentre de ce triangle.

$\quad$

3. Bissectrices

Définition 7 : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriété 8 : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point $I$ appelé le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

$\quad$

4. Médianes

Définition 8 : Dans un triangle, une médiane est une droite passant par sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété 9 : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point $G$ appelé centre de gravité de ce triangle.
Propriété 10 : Le centre de gravité d’un triangle est situé au deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

$\quad$

5. Dans les triangles isocèles et équilatéral

 Définition 9 :

  • Un triangle est dit isocèle s’il possède deux côtés de même longueur.
  • Un triangle est dit équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.

Remarque : Un triangle équilatéral est également isocèle.

Propriété 11 :Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, la hauteur, la médiatrice, la bissectrice et la médiane issue du sommet $A$ sont confondues.

Remarque : Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour chacun des trois sommets.

$\quad$

6. Théorème de Pythagore

Théorème 1 : Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BC^2=AB^2+AC^2$.

Remarque (contraposée) : Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2\neq AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $A$.

Propriété 12 (Réciproque) : Si dans un triangle $ABC$ on a la relation $BC^2=AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

$\quad$

7. Théorème de Thalès

Théorème 2 :On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$.


Remarque (contraposée) : Si, dans les configurations ci-dessus, $\dfrac{AD}{AB}\neq \dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

 Propriété 13 (Réciproque) : On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$ tels que les points $A,B,D$ et $A,B,E$ soient alignés dans le même ordre.
Si $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Un cas particulier du théorème de Thalès et de sa réciproque.

Propriété 14 (Théorème des milieux) :

  • Dans un triangle $ABC$ on considère les points $D$ et $E$ respectivement milieux des segments $[AB]$ et $[AC]$ alors les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
  • Dans un triangle $ABC$ on considère le point $D$ milieu du segment $[AB]$ alors la droite parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $E$.

$\quad$

8. Triangle rectangle et cercle

 Théorème 3 : On considère un cercle de diamètre $[AB]$. Pour tout point $C$ (distinct de $A$ et de $B$), le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Propriété 15 (Réciproque) : Si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[AB]$ alors il est rectangle en $C$.

$\quad$

10. Trigonométrie dans un triangle rectangle

 Définition 10 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on définit :

  • $\cos \widehat{B}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypténuse}}$
  • $\sin \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypténuse}}$
  • $\tan \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

$\quad$

III Angles

Ces définitions et propriétés étaient au programme du collège avant la réforme mise en place en 2016 et sont parfois encore vues par certains enseignants.

1. Différents types d’angles

Définition 11 : Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Propriété 16 : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Définition 12 : Deux angles sont dits adjacents si :

  • ils ont le même sommet;
  • ils ont un côté en commun;
  • ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.


Définition 13 : Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure vaut $90$°.

Définition 14 : Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure vaut $180$°.


Définition 15 : Deux angles sont dits correspondants lorsqu’ils sont situés :

  • du même côté de la droite $\Delta$;
  • l’un entre les droites $d_1$ et $d_2$ et l’autre ne l’est pas.

Propriété 17 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles correspondants $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

Définition 16 : Deux angles sont dits alternes-internes lorsqu’ils sont situés :

  • de part et d’autre de la droite $\Delta$;
  • entre les droites $d_1$ et $d_2$.

Propriété 18 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles alternes-internes $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

$\quad$

2. Angles au centre et angles inscrits

Définition 17 : On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est le centre d’un cercle.

Définition 18 : On appelle angle inscrit tout angle dont le sommet est un point du cercle et les côtés sont sécants avec le cercle.

Propriété 19 : Si, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit intercepte le même arc alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit.


Propriété 20 : Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure.

2nd – Cours – Identités remarquables

Identités remarquables

I Rappels

1. Développer et réduire

 Définition 1 :

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes “semblables” (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :

$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 2 : Factoriser une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-x+5)$

$\quad$

$\quad$

II Identités remarquables

 Propriété 1 :

On considère deux nombres quelconques $a$ et $b$.

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$\quad$

Remarque : Cette propriété s’utilise aussi bien pour développer une expression que pour la factoriser.

Preuve Propriété 1
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^2&=(a+b)(a+b) \\
    &=a^2+ab+ba+b^2\\
    &=a^2+2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)^2&=(a-b)(a-b) \\
    &=a^2-ab-ba-b\times (-b)\\
    &=a^2-2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)(a+b)&=a^2+ab-ba-b^2 \\
    &=a^2-b^2
    \end{align*}$

    [collapse]

$\quad$

Exemples (développement)

  • On veut développer $(3x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (3x+5)^2&=(3x)^2+2\times 3x\times 5+5^2 \\
    &=9x^2+30x+25
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(4x-6)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x$ et $b=6$
    $\begin{align*} (4x-6)^2&=(4x)^2-2\times 4x\times 6+6^2 \\
    &=16x^2-48x+36
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(2x-5)(2x+5)$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=2x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (2x-5)(2x+5)&=(2x)^2-5^2 \\
    &=4x^2-25
    \end{align*}$

$\quad$

Exemples (factorisation)

  • On veut factoriser $25x^2+30x+9=(5x)^2+2\times 5x\times 3+3^2$
    Dans la pratique, on cherche si $25x^2$ et $9$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=5x$ et $b=3$
    Donc $25x^2+30x+9=(5x+3)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $36x^2-48x+16=(6x)^2-2\times 6x\times 4+4^2$
    Dans la pratique, on cherche si $36x^2$ et $16$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=6x$ et $b=4$
    Donc $36x^2-48x+16=(6x-4)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $9x^2-4=(3x)^2-2^2$
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$
    $9x^2-4=(3x-2)(3x+2)$

$\quad$

Exemples (factorisation avancée)

  • On veut factoriser $16-(2x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=16$ et $b=2x+5$
    $\begin{align*}
    16-(2x+5)^2&=4^2-(2x+5)^2 \\
    &=\big[4-(2x+5)\big]\big[4+(2x+5)\big] \\
    &=(4-2x-5)(4+2x+5)\\
    &=(-2x-1)(2x+9)
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut factoriser $(4x-3)^2-(5x+1)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x-3$ et $b=5x+1$
    $\begin{align*}
    (4x-3)^2-(5x+1)^2&=\big[(4x-3)-(5x+1)\big]\big[(4x-3)+(5x+1)\big] \\
    &=(4x-3-5x-1)(4x-3+5x+1)\\
    &=(-x-4)(9x-2)
    \end{align*}$

$\quad$

III Équations produit nul

Définition 3 : On appelle équation produit nul toute équation dont un membre un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

2nd – cours – Trigonométrie

Trigonométrie

I Repérage sur un cercle

1. Le cercle trigonométrique

 Définition 1 : Sur un cercle on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.

$\quad$

 Définition 2 : On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon $1$ orienté dans le sens direct.

$\quad$

2. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique

On munit le plan d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. On appelle $\mathscr{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l’axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $I$).

On appelle $A$ le point de coordonnées $(1;1)$. On munit ainsi la droite $\mathscr{D}$ du repère $(I;A)$.

En enroulant cette droite $\mathscr{D}$ sur le cercle $\mathscr{C}$ on fait correspondre, pour tout réel $x$, au point $M$ de coordonnées $(1;x)$ de la droite $\mathscr{D}$ un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$.

Propriété 1 : À tout réel $x$ il existe donc un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ associé à ce réel $x$.
On dit alors que le point $M’$ est l’image du réel $x$ et on note parfois $M(x)$.

 

Remarque : A chaque point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ il existe une infinité de réel ayant le point $M’$ comme image.

Propriété 2 : Si $M’$ est associé au réel $x$ alors il est également l’image de tous les réels de la forme $x+k\times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemple : Si $M’$ est un point du cercle $\mathscr{C}$ image du réel $1,5$ alors il est également l’image des réels $1,5+2\pi$; $1,5+4\pi$; $1,5+6\pi$; $\ldots$ et également des réels $1,5-2\pi$; $1,5-4\pi$; $1,5-6\pi$; $\ldots$

Remarque : Si $x\in[0;2\pi]$ alors $x$ représente la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$.

$\quad$

$\quad$

3. Quelques valeurs particulières

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle associé}\phantom{\dfrac{1}{1}}&30\text{°}&45\text{°}&60\text{°}&90\text{°}\\
\hline
\end{array}$$

On obtient les autres correspondances par symétrie.

Remarque : On définit ainsi une nouvelle unité d’angle appelée radian notée “rad”. $1$ radian est la mesure d’un angle $\widehat{IOM’}$ où $M’$ est l’image du réel $1$.

$\quad$

4. Quelques exemples d’utilisation

Méthode 1 : Deux réels ont-ils la même image sur le cercle

  • On considère les réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{24\pi}{4}=6\pi=3\times 2\pi$.
    La différence étant un multiple de $2\pi$ les deux nombres ont la même image sur le cercle.
  • On considère les réels $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{11\pi}{3}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)=\dfrac{15\pi}{3}=5\pi$.
    La différence n’est pas un multiple de $2\pi$. Les deux nombres n’ont donc pas la même image sur le cercle.

$\quad$

Méthode 2 : Déterminer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique

On veut déterminer l’image du nombre $\dfrac{19\pi}{4}$.

  • On se place au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$.
  • Puisque le nombre $\dfrac{19\pi}{4}$ est positif on va reporter dans le sens trigonométrique $19$ fois l’arc de cercle correspondant.
  • On arrive sur le point associé à $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

II Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition 3 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on appelle $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
On appelle :

  • cosinus du nombre $x$ l’abscisse du point $M$. On le note $\cos(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\cos x$.
  • sinus du nombre $x$ l’ordonnée du point $M$. On le note $\sin(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\sin x$.

Propriété 3 : Pour tout réel $x$ on a :

  • $-1 \pp \cos x \pp 1$
  • $-1 \pp \sin x \pp 1$
  • $\left(\cos x\right)^2+\left(\sin x\right)^2=1$

$\quad$

Remarque : On note souvent $\left(\cos x\right)^2=\cos^2 x$ et $\left(\sin x\right)^2=\sin^2 x$.

Voici quelques valeurs remarquables à connaître :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&\phantom{~~}0\phantom{~~}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\phantom{~~}0\phantom{~~}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

2nd – Cours – Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

$\quad$

I Fonctions polynôme du second degré

Définition 1 :On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a,b$ et $c$ sont des réels tels que $a\neq 0$.

Remarque : On parle également de fonction polynomiale du second degré ou de degré $2$.

Exemples :

$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-3x+5$ est une fonction polynôme du second degré. $a=2, b=-3$ et $c=5$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=x^2+2$ est une fonction polynôme du second degré. $a=1, b=0$ et $c=2$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=-x^2+5x$ est une fonction polynôme du second degré. $a=-1, b=5$ et $c=0$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x^3-3x^2+4x-1$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme du troisième degré.
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x+2$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit d’un polynôme du premier degré (ou fonction affine).
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x-\dfrac{1}{x}$ n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Définition 2 : On appelle forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, une expression algébrique de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Exemple :
$\begin{align*} 2(x-1)^2+3 &= 2\left(x^2-2x+1\right)+3\\
&=2x^2-4x+2+3 \\
&=2x^2-4x+5
\end{align*}$
Par conséquent $2(x-1)^2+3$ est la forme canonique de la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-4x+5$.

Propriété 1 : Toute fonction polynomiale du second degré possède une forme canonique.
Si, pour tous réels $x$, on a $P(x)=ax^2+bx+c$ alors $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P(\alpha)$.
Preuve Propriété 1

On a, pour tous réels $x$, $P(x)=ax^2+bx+c$.
Puisque $a\neq 0$, on peut donc écrire $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.

On constate que l’expression $x^2+\dfrac{b}{a}x$ est le début d’une identité remarquable.
En effet :

$$\begin{align*} \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=x^2+2\times x \times\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}
\end{align*}$$

Par conséquent $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$

Donc
$$\begin{align*} P(x)&=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right) \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+c \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a} \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}$$

On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=- \dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Ainsi $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

On constate que $P(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=\beta$.

[collapse]

$\quad$

Dans la pratique, en seconde, on demande de montrer que la forme canonique fournie est bien égale à une expression algébrique d’une fonction polynomiale du second degré donnée. La mise sous forme canonique sera vue l’année prochaine mais avoir compris son fonctionnement dès la seconde est un réel plus.

Conséquence : Une fonction polynôme de second degré possède donc :
– une forme développée : $P(x)=ax^2+bx+c$;
– une forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$;
Dans certains cas, elle possède également une forme factorisée : $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

II Variations d’une fonction polynôme du second degré

Propriété 2 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.

$\bullet$ Si $a>0$ alors la fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\bullet$ Si $a<0$ alors la fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Preuve Propriété 2

On a vu, qu’on pouvait écrire $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

On considère deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1<x_2$.

$$\begin{align*} P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) &=a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta-\left(a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta\right) \\
&=a\left(\left(x_1-\alpha\right)^2-\left(x_2-\alpha\right)^2\right) \\
&=a\left(x_1-\alpha-x_2+\alpha\right)\left(x_1-\alpha+x_2-\alpha\right) \\
&=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2-2\alpha\right)
\end{align*}$$

On sait que $x_1<x_2$. Donc $x_1-x_2<0$.

On va considérer les deux intervalles suivants : $]-\infty;\alpha]$ et $[\alpha;+\infty[$.

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $x_1+x_2 \le \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \le 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \le 0$.

$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $x_1+x_2 \ge \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \ge 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \ge 0$.

Si $a>0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$.

Si $a<0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$.

[collapse]

$\quad$

On obtient ainsi ces tableaux de variations où $\beta = P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ :

2nd - cours - 2nd degré - fig1 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig2 (2)

Propriété 3 : La fonction $P$ atteint :
$\bullet$ un minimum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a>0$
$\bullet$ un maximum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a<0$

III Représentation graphique

 Propriété 4 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction $P$ est une parabole et la droite d’équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie.
Le point $S$ de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ est appelé sommet de la parabole.

2nd - cours - 2nd degré - fig3 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig4

 

IV Et en pratique…

  • Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole
    Si $P(x)=x^2+8x-2$ alors $a=1, b=8$ et $c=-2$
    Alors $\alpha=-\dfrac{8}{2\times 1} = -4$ et $P(-4) = -18$
    Le sommet de la parabole est donc le point $S(-4;-18)$.
    Puisque $a=1>0$, cela correspond donc à un minimum.
    $\quad$
  • Déterminer l’expression algébrique quand on connaît deux points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses
    Si la parabole coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $-2$ et $4$ et passe par le point $A(2;4)$
    La fonction polynomiale du second degré $P$  vérifie donc $P(-2)=P(4)=0$.
    Par conséquent, pour tous réel $x$, $P(x)=a\left(x-(-2)\right)(x-4)$ soit $P(x)=a(x+2)(x-4)$.
    On sait que $A(2;4)$ appartient à la parabole. Donc $P(2)=4$.
    Or $P(2) = a(2+2)(2-4)=8a$ donc $8a=4$ et $a=\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4)$.
    Si on développe :
    $$\begin{align*} P(x)&=\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+2x-8\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(x^2-2x-8\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}x^2-x-4
    \end{align*}$$
    $\quad$
  • Déterminer l’expression algébrique quand on connaît les coordonnées du sommet et un point de la parabole.
    Si le sommet de parabole est $S(-1;3)$ et la parabole passe par le point $A(4;-2)$.
    La fonction polynomiale du second degré $P$ vérifie donc que $P(4)=-2$ et $P(x)=a\left(x-(-1)\right)^2+3$ soit $P(x)=a(x+1)^2+3$.
    Or $P(4)=a(4+1)^2+3 = 25a+3$
    Ainsi $25a+3=-2$ d’où $25a=-5$ et $a=-\dfrac{5}{25}=-\dfrac{1}{5}$.
    Par conséquent $P(x)=-\dfrac{1}{5}(x+1)^2+3$
    $\quad$
  • Déterminer l’abscisse du sommet quand on connaît deux points de la parabole qui possèdent la même ordonnée.
    On considère une parabole passant par les points $A(1;4)$ et $B(5;4)$.
    Puisque les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée, cela signifie donc qu’ils sont symétrique par rapport à l’axe de symétrie de la parabole. Ils sont situés à la même distance de cet axe auquel appartient le sommet $S$.
    Ainsi l’abscisse de $S$ est $x_S=\dfrac{1+5}{2}=3$.

V Fonctions homographiques

Définition 3 :Une fonction $f$ est dite homographique si, et seulement si, il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ (différent de $0$) et $d$ tels que $ad-bc \neq 0$ et $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ pour tout $x \neq -\dfrac{d}{c}$.

Exemples : 

  • La fonction $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ est une fonction homographique.
    $a=2$, $b=1$, $c=1$ et $d=-1$ donc $ad-bc=2\times 1-1\times (-1)=2+1=3\neq 0$.
  • On considère la fonction $g$ définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $g(x)=2-\dfrac{x}{2x+4}$.
    On a alors $g(x)=\dfrac{2(2x+4)-x}{2x+4}=\dfrac{4x+8-x}{2x+4}=\dfrac{3x+8}{2x+4}$
    $3\times 4-8\times 2 = 12-16=-4\neq 0$.
    Donc $g$ est une fonction homographique.

Remarque : Une fonction homographique est représentée graphiquement par deux branches d’hyperbole.

Voici la représentation graphique de la fonction homographique $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$

2nd - cours - fct second degré - fct homographique

2nd – cours – Résolution d’inéquations

Résolution algébrique d’inéquations

I Quelques règles essentielles

 Propriété 1 :

  1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans en changer le sens.
  2. On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif sans en changer le sens.
  3. Si on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inégalité alors on change le sens de cette inégalité.

Exemples :

  1. $x+1\ge 4 \ssi x+1-1 \ge 4-1 \ssi x \ge 3$ : on a soustrait $1$ aux deux membres de l’inégalité.
  2. $2x \le 6 \ssi \dfrac{2x}{2} \le \dfrac{6}{2} \ssi x \le 3$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $2$.
  3. $-3x > 12 \ssi \dfrac{-3x}{-3} \color{red}{<} \dfrac{12}{-3} \ssi x < -4$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $-3$.

Dans ce chapitre on aura besoin de la règle des signes :

  • Un produit ou un quotient de nombres de même signe est positif;
  • Un produit ou un quotient de nombres de signes contraires est négatif.

II Inéquation produit

On va chercher à résoudre des inéquations du type : $(2x+4)(-3x+1) \ge 0$

On va pour cela étudier le signe de chacun des facteurs:

$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$ et $2x+4 > 0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$

$-3x+1=0 \ssi -3x=-1 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $-3x+1 > 0 \ssi -3x > -1 \ssi x <\dfrac{1}{3}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes et on applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne :

2nd - cours - inéquations 1

On est donc en possession du signe de $(2x+4)(-3x+1)$ sur $\R$.

On voulait résoudre l’inéquation $(2x+4)(-3x+1) \ge 0$.

Il ne nous reste plus qu’à lire l’intervalle sur lequel l’expression est positive ou nulle. La solution est donc $\left[-2;\dfrac{1}{3}\right]$.

Remarque : La solution de $(2x+4)(-3x+1) \le 0$ est $]-\infty;-2]\cup\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.

III Inéquation quotient

On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \ge 0$.

On va procéder, dans un premier temps, comme dans la partie précédente en étudiant le signe du numérateur et de celui du dénominateur.

$-x+3=0 \ssi -x=-3 \ssi x=3$ et $-x+3> 0 \ssi -x > -3 \ssi x <3$

$2x+5 =0 \ssi 2x=-5 \ssi x=-\dfrac{5}{2}$ et $2x+5 > 0 \ssi 2x>-5 \ssi x>-\dfrac{5}{2}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes en faisant attention que le dénominateur n’a pas le droit de s’annuler. On symbolisera cette situation par une double barre.

2nd - cours - inéquations 2

La solution de l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \ge 0$ est donc $\left]-\dfrac{5}{2};3\right]$.

Remarque : Le nombre $-\dfrac{5}{2}$ annulant le dénominateur il sera toujours exclus de l’ensemble des solutions.

$\quad$

Exercices pour s’entraîner : Inéquations et tableaux de signes.

 

2nd – cours – Espace

 Géométrie dans l’espace

I Droites et plans

Voici quelques règles qui vont régir l’ensemble des définitions et propriétés de ce cours.

 Propriété 1 : règle d’incidence

  1. Il n’est possible de faire passer qu’une unique droite par deux points de l’espace donné.
  2. Trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ non alignés définissent un unique plan qu’on notera $(ABC)$.
  3. On considère deux points distincts $A$ et $B$ d’un plan. La droite $(AB)$ est alors incluse dans ce plan.
  4. Quand on travaille dans un plan de l’espace, toutes les règles de géométrie plane s’appliquent dans ce plan.

Cette propriété nous fournit une façon de définir un plan à l’aide de trois points.
On peut également définir un plan :

  • A l’aide de deux droites sécantes
    2nd - cours - espace - fig3
  • A l’aide de deux droites strictement parallèles
    2nd - cours - espace - fig4
  • A l’aide d’une droite et d’un point n’appartenant pas à cette droite
    2nd - cours - espace - fig5

Remarque : Il existe deux façons très courantes de représenter un plan de l’espace :

  • A l’aide d’un cube
    2nd - cours - espace - fig1 (1)
    Le plan $(IJKLM)$ est construit à l’intérieur du cube $ABCDEFGH$.
  • A l’aide d’un parallélogramme
    2nd - cours - espace - fig2

Dans chacune des représentations, il faut garder à l’esprit qu’un plan est infini : on peut donc prolonger la représentation qui en a été faite si c’est nécessaire.

 Définition 1 : Quatre points (ou plus) sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Remarque : La question ne se pose pas, au regard de ce qui a été dit précédemment, pour deux ou trois points.

$\quad$


$\quad$

II Positions relatives

1. Positions relatives d’une droite et d’un plan

 Définition 2 : Une droite est dite parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si le plan et la droite n’ont aucun point en commun.

La droite peut donc être :

  • Sécante au plan
    2nd - cours - expace fig 20
  • Strictement parallèle au plan
    2nd - cours - expace fig 18
  • Incluse dans le plan
    2nd - cours - expace fig 19

2. Positions relatives de deux droites

 Définition 3 : Deux droites sont dites coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

2 droites peuvent donc être :

  • Coplanaires : elles sont alors sécantes, strictement parallèles ou confondues;
    2nd - cours - espace - fig252nd - cours - expace fig 162nd - cours - expace fig 17 (1)
  • Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun.

2nd - cours - expace fig 15

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent être :

  • Parallèles : Ils sont alors soit confondus, soit strictement parallèles
    2nd - cours - expace fig 222nd - cours - expace fig 21
  • Sécants
 Propriété 2 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

2nd - cours - expace fig 23 (1)

 

III Parallélisme

 Propriété 3 : Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d’$ d’un plan $\mathscr{P}$ alors la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.

2nd - cours - expace fig 11

Preuve Propriété 3

Il y a deux cas à considérer : la droite $d$ est incluse ou n’est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.

  • Si $d$ est incluse dans $\mathscr{P}$
    Par définition elle est alors parallèle au plan.
  • Si $d$ n’est pas incluse dans $\mathscr{P}$
    Les deux droites $d$ et $d’$ sont donc strictement parallèles et définissent ainsi un plan $\mathscr{P}’$.
    La droite $d’$ appartient aux deux plans : $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sont sécants selon la droite $d’$.
    Supposons que $d$ et $\mathscr{P}$ soit sécants en un point $M$.
    Le point $M$ appartient donc aux deux plans et par conséquent à $d’$.
    Les deux droites étant strictement parallèles, elles ne peuvent pas avoir de point en commun.
    La supposition qui a été faite était donc fausse.
    La droite $d$ est par conséquent parallèle au plan $\mathscr{P}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 4 : Si deux plans strictement parallèles sont coupés par un troisième plan alors les droites d’intersections sont parallèles.

 

2nd - cours - expace fig 24

Voici une propriété très utile pour montrer que deux plans sont parallèles à partir de droites sécantes.

 Propriété 5 : Si deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ d’un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes $d’_1$ et $d’_2$ d’un plan $\mathscr{P}’$ alors les deux plans sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 13

 

Théorème du toit : On considère deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$ appartenant respectivement à deux plans sécants $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ dont l’intersection est la droite $\Delta$.

Les droites $\Delta$, $d_1$ et $d_2$ sont alors parallèles.

2nd - cours - expace fig 14

2nd – Cours – Les vecteurs (2/2)

Les vecteurs (2/2)

I Coordonnées d’un vecteur

Dans tous ce chapitre on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

On considère un vecteur $\vec{u}$ du plan. Il existe alors un unique point $M\left(x_M;y_m\right)$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.

Définition 1 : Les coordonnées du vecteurs $\vec{u}$ sont celles du point $M$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig1 (1)

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

Remarques :

  • Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
  • Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
  • On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.
Propriété 1 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

Ainsi si on considère les vecteurs  $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ alors $\vec{u}=\vec{v} \ssi \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

Propriété 2 : On considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan. Alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point $M\left(x_M;y_M\right)$ du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig2 (3)

Par conséquent $OMBA$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu $N$.

$N$ est le milieu de $[OB]$ donc : $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}$.

$N$ est aussi le milieu de $[AM]$ donc $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}$.

Donc $\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}$

D’après la définition les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont celles du point $M$.

Donc $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig3

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.

Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.

Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig4

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$

D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$

Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$

Ainsi on obtient $D(6;-3)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig5

On vérifie les calculs avec le graphique.

II Somme de deux vecteurs

Propriété 3 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$. Alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

2nd-cours-vecteurs2-2-fig6

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

III Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 4 : On considère un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}(x;y)$ alors le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur dont les coordonnées sont $(kx;ky)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig7

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

Propriété 5 : On considère $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.

  • Si $k>0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens;
  • Si $k<0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens contraire.

Propriété 6 : On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k’$.

  • $(k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}$
  • $k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}$
  • $k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}$

IV Colinéarité

Définition  2 : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

Remarques : 

  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
  • Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

Propriété 7 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

  1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}$.
  2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy’-x’y=0$.

Exemples : 

  • On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$. On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.
  • On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
    $2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires.
Propriété 8 : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.

D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.

Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.

Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

Propriété 9 : (application) Trois points $A$, $B$, et $C$, sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$

D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.

Mais $1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

Propriété 10 : (milieu) On considère trois points $A$, $B$ et $M$.

$M$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$

D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2,5;1)$

Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}$.

$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

 

2nd – Cours – Probabilités

Probabilités

I Définitions

 Définition 1 : On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’il est impossible de prédire à l’avance le résultat. Il y a donc plusieurs issues possibles.

Exemple : lancer un dé équilibré, tirer une carte au hasard d’un jeu,… sont des expériences aléatoire.

 Définition 2 : On appelle issue ou éventualité le résultat d’une expérience.

Exemple : “Pile” et “Face” sont les deux issues possibles dans un lancé de pièce.

Remarque : En classe de seconde, on ne s’intéressera qu’aux expériences aléatoires ayant un nombre fini d’issues.

 Définition 3 : L’univers est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Il est souvent noté $\Omega$, qui se lit “omega”.

Exemples :

  • Dans une lancé de pièce : $\Omega = \lbrace \text{Pile},\text{Face}\rbrace$.
  • Dans un lancé de dé à $6$ faces : $\Omega = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$.

 Définition 4 :

  • On appelle événement tout ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
  • Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.
  • Un événement qui ne peut se produire est un événement impossible.
  • Un événement qui est toujours réalisé est appelé événement certain.

Exemples : Dans un jeu de $32$ cartes

  • un événement peut être “Obtenir un pique”.
  • un événement élémentaire peut être “Obtenir le roi de cœur”.
  • un événement impossible peut être “Obtenir le $4$ de trèfle”.
  • un événement certain peut être “Obtenir une carte rouge ou noire”.

 

II Opérations sur les événements

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

 Définition 5 : On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

2nd - cours - probabilités - fig1

Exemple : Dans un lancé de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.
L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

 Définition 6 : L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

2nd - cours - probabilités - fig2

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

 Définition 7 : L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

2nd - cours - probabilités - fig3

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

 Définition 8 : Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

2nd - cours - probabilités - fig4

Exemple : Dans un lancé de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques : 

  • Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
  • Pour tout événement $A$, $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.

 

III Probabilité d’un événement

 Propriété 1 : Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire dont l’univers est $\Omega = \lbrace{e_1;e_2;\ldots;e_n\rbrace}$ la fréquence d’apparition $f_i$ de l’issue $e_i$ se stabilise autour d’un nombre $p_i$ appelé probabilité de l’issue $e_i$.

Exemple : Voici les fréquences d’apparition des faces d’un dé en fonction du nombre de lancers.

2nd - cours - probabilités - fig5

Remarque : Lorsqu’il nous est impossible de déterminer la probabilité d’un événement, on va utiliser cette propriété pour l’estimer.

 Propriété 2 : Si on appelle $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ les probabilités des événements  élémentaires $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ de l’univers $\Omega$ alors $$p_1+p_2+\ldots+p_n = 1.$$

Exemple : Quand on lance un dé à $6$ faces on a $p\left(\lbrace 1 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 3 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 5 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right) = 1$.

 Propriété 3 : La probabilité d’un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemple : Dans un lancer de dé à $6$ faces, on appelle $A$ l’événement “Obtenir un chiffre pair”.
Ainsi $p(A) = p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right)$.

 Définition 9 : On dit qu’il y a équiprobabilité si toutes les issues $e_i$ de l’univers $\Omega$ ont la même probabilité.

Exemple : Quand une pièce est équilibrée, un dé n’est pas truqué il y a équiprobabilité.

 Propriété 4 : Quand l’univers d’une expérience aléatoire contient $n$ issues et qu’il y a équiprobabilité, la probabilité de chacune de ces issues vaut $\dfrac{1}{n}$.

Exemple : La probabilité d’apparition de chacune des faces d’un dé à $6$ faces non truqué est $\dfrac{1}{6}$.

 Propriété 5 : Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

 Propriété 6 : Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

  1. $0 \le p(A) \le 1$
  2. $p\left(\Omega\right) = 1$
  3. $p\left(\varnothing\right) = 0$

 

IV Calcul de probabilités

 Propriété 7 : Soit $A$ un événement d’un univers $\Omega$.
$$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$$

Exemple : On utilise un jeu de $32$ cartes et on considère l’événement $A$ “Tirer un 7 rouges”. On a ainsi $p(A) = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right) &= 1 – p(A) \\\\
&= 1 – \dfrac{1}{16}\\\\
&= \dfrac{15}{16} \end{align*}$

 Propriété 8 : On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

Exemple : Dans une classe, la probabilité que les élèves  apprennent l’espagnol est de $0,4$, celle qu’ils apprennent allemand est de $0,1$ et celle qu’ils apprennent les deux langues est de $0,05$.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard apprennent au moins une de ces deux langues.
On appelle $E$ l’événement “L’élève apprend l’espagnol” et $A$ l’événement “l’élève apprend l’allemand”.
Ainsi $p(E) = 0,4$, $p(A) = 0,1$ et $p\left(A \cap E\right) = 0,05$.
Ainsi la probabilité qu’un élève apprennent l’espagnol ou l’allemand est :
$\begin{align*} p\left(A \cup E\right) &= p(A) + p(E)-p\left(A \cap E \right) \\\\
&= 0,4 + 0,1 – 0,05 \\\\
&= 0,45 \end{align*}$

Remarque : Lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles $p\left(A \cap B\right) = 0$. La formule devient alors $p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)$.

 

V Représentations

Il existe différentes façons de représenter des situations liées aux probabilités. Parmi elles, celles qu’on rencontre le plus sont :

  • L’arbre pondéré ou arbre de probabilité 
    Exemple : Une urne contient $15$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. $20\%$ des jetons rouges sont gagnants et $40\%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.
    On note :
    $\bullet$ $R$ l’événement “Le jeton est rouge”.
    $\bullet$ $B$ l’événement “Le jeton est bleu”.
    $\bullet$ $G$ l’événement “Le jeton est gagnant”.
    On a ainsi $p(R)=\dfrac{15}{20} = 0,75$ et $p(B)=\dfrac{5}{20}=0,25$.
    Puisque $20\%$ des jetons rouges sont gagnants, cela signifie que $80\%$ des jetons rouges sont perdants.
    On sait également que $40\%$ des jetons bleus sont gagnants donc $60\%$ des jetons bleus sont perdants.
    On obtient donc l’arbre suivant :
    2nd-cours-probas-fig3
  • Le tableau à double entrée
    Exemple : On lance $2$ dés équilibrés simultanément et on note la somme des deux faces.
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{dé 2\dé 1} & 1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
  • Le diagramme de Venn
    Dans un classe de $35$ élèves, $15$ ont un chien, $12$ ont un chat et $5$ ont un chien et un chat.
    On appelle $D$ l’événement “L’élève a un chien” et $C$ l’événement “l’élève a un chat”.
    $15-5=10$ élèves ont un chien mais pas de chat.
    $12-5=7$ élèves ont un chat mais pas de chien.
    Cela signifie donc que $10+7+5=22$ élèves ont un chien ou un chat et par conséquent $13$ élèves n’ont ni l’un ni l’autre.
    On peut alors traduire ces données grâce à ce diagramme :
    2nd-cours-probas-fig4 (1)

2nd – Cours – Les vecteurs (1/2)

Les vecteurs (1/2)

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
On appelle translation de $A$ en $B$ la transformation qui à tout point $C$ du plan associe le point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur $\vec{AB}$.

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vec{AB}$ ou de celle de vecteur $\vec{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur $\vec{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

  1. Le support : la droite $(AB)$
  2. Le sens : de $A$ vers $B$
  3. La longueur : $AB$
 Propriété 1 : Si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur $\vec{AB}$,  les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

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 Définition 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
On dit que $\vec{AB} = \vec{CD}$ si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

 Propriété 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
$\vec{AB} = \vec{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2

  • Si $\vec{AB} = \vec{CD}$.
    La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    D’après la définition de la translation, $[AD]$ et $[BC]$ ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère $ABDC$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  • Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    Donc $\vec{AB} = \vec{CD}$.

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Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

 Propriété 3 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

 Définition 3 : La translation qui transforme tout point $M$ du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté $\vec{0}$.
 Propriété 4 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$\vec{AB} = \vec{0}$ si, et seulement si, $A = B$.

Remarque : On a ainsi $\vec{AA} = \vec{BB} = \vec{CC} = \ldots = \vec{0}$

 Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. On le note $-\vec{AB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

Remarque : On a donc $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
Le vecteur $-\vec{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vec{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

II Somme de vecteurs

 Définition 4 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

 Définition 5 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}-\vec{v}$, comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $-\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig8

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

Propriété 5 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$.
Preuve Propriété 5

$I$ est le milieu de $[AB]$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $-\vec{IA} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$

[collapse]

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

 Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
Preuve Propriété 6

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
$C$ est l’image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.
Par conséquent $C$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}+\vec{BC}$.
Par conséquent $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

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2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

 Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On appelle $D$ le point tel que $\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{AC}$.
Alors $ABDC$ est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

 

Les autres cours de 2nd sont ici.

 

2nd – Cours – Fonctions de référence

Fonctions de référence

I La fonction carré

 Définition 1 : On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}$$

Propriété 1 : La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
Preuve Propriété 1

On appelle $f$ la fonction carré.
Montrons tout d’abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v \le 0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs, $u+v <0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) >0$.
Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$.

La fonction $f$ est bien décroissante sur $]-\infty;0]$.

Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $0 \le u < v$ .

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$.
Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$.

La fonction $f$ est bien croissante sur $]-\infty;0]$.

[collapse]

 

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

 Définition 2 : Dans un repère $(O;I,J)$ la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet $O$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

 

Remarque : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 Propriété 2 : Soit $a$ un réel.

  1. Si $a > 0$, l’équation $x^2 = a$ possède deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. Si $a= 0$, l’équation $x^2 = a$ possède une unique solution $0$.
  3. Si $a < 0$, l’équation $x^2 = a$ ne possède aucune solution réelle.

Preuve Propriété 2

  1. Puisque $a > 0$, on peut écrire :
    $\begin{align*} x^2 = a & \ssi x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\\\
    & \ssi x^2- \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\\\
    & \ssi \left(x- \sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x – \sqrt{a} = 0 \ssi x = \sqrt{a}$ $\quad$ ou $\quad$ $x + \sqrt{a} = 0 \ssi x = -\sqrt{a}$
    Les solutions de l’équation $x^2=a$ sont donc bien $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. La seule solution de $x^2 = 0$ est $0$.
  3. Un carré est toujours positif.
    Or $a<0$. Par conséquent l’équation $x^2=a$ ne possède pas de solution.

[collapse]

 

II La fonction inverse

 Définition 3 : On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 3 : La fonction inverse $f$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
Preuve Propriété 3

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v<0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $0<u<v$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux positifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.

[collapse]

 

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

 Définition 4 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère $(O;I,J)$ est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

Remarque : La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

 Propriété 4 : Pour tout réel $a$ non nul, l’équation $\dfrac{1}{x} = a$ possède une unique solution $\dfrac{1}{a}$.

III Résolution d’inéquations

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 \le 4$.

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=4$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-2$ et $2$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : $[-2;2]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 > 9$

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=9$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-3$ et $3$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : $]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

Exemple 3 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} < 2$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $\dfrac{1}{2}$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 4 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=\dfrac{1}{4}$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : $]0;4]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

 

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 

Les autres cours de 2nd sont ici.