2nd – Cours – Arithmétique

Arithmétique

I Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Définition 1 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
On dit que $b$ est un diviseur de $a$ s’il existe un entier relatif $k$ tel que $a=b\times k$.
On dit alors que $a$ est divisible par $b$ ou que $a$ est un multiple de $b$.

Exemples :

  • $10=2\times 5$ donc :
    – $10$ est divisible par $2$;
    – $10$ est un multiple de $2$;
    – $2$ est un diviseur de $10$.
  • Les diviseurs de $6$ sont $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$ et $6$
  • $13$ n’est pas un multiple de $5$ car il n’existe pas d’entier relatif $k$ tel que $13=5k$.
    En effet, si un tel nombre existait alors $k=\dfrac{13}{5}=2,6$. Or $2,6$ n’appartient pas à $\Z$.
Propriété 1 : On considère un entier relatif $a$.
La somme de deux multiples de $a$ est également un multiple de $a$.
Preuve Propriété 1

On considère deux entiers relatifs $b$ et $c$ multiples de $a$.

Il existe donc deux entiers relatifs $p$ et $q$ tels que $b=a\times p$ et $c=a\times q$.
Ainsi :
$\begin{align*}
b+c&=a\times p+a\times q \\
&=a\times (p+q)
\end{align*}$

$p+q$ est un entier relatif donc $b+c$ est un multiple de $a$.

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$\quad$

Exemple : $14$ et $28$ sont deux multiples de $7$. En effet $14=7\times 2$ et $28 = 7\times 4$.
$14+28=42$ est également un multiple de $7$ puisque $42=7\times 6$.

$\quad$

II Nombres pairs et nombres impairs

Définition 2 : On considère un entier relatif $n$.

  • On dit que $n$ est pair s’il est divisible par $2$.
  • On dit que $n$ est impair s’il n’est pas divisible par $2$.

Exemples :

  • $0;2;4;6;8;\ldots$ sont des nombres pairs.
  • $1;3;5;7;9;\ldots$ sont des nombres impairs
Propriété 2 : On considère un entier relatif $n$

  • $n$ est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
  • $n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Propriété 3 : Si $n$ est un entier relatif impair alors $n^2$ est également impair.
Preuve Propriété 3

$n$ est un entier relatif impair. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.

Ainsi :
$\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2\\
&=4k^2+2k+1\\
&=2\left(2k^2+k\right)+1
\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est impair.

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$\quad$

$\quad$

III Nombres premiers

Définition 3 : Un entier naturel est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts ($1$ et lui-même).

Exemples :

  • $1$ n’est pas premier car il n’est divisible que par lui-même.
  • $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ sont des nombres premiers.
  • $6$ n’est pas premiers car il est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$
Propriété 4 : Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ peut s’écrire de façon unique sous la forme d’un produit de nombres premiers.

Remarque : Si $n$ est un nombre premier alors cette décomposition est réduite à lui-même.

Exemple : $150=15\times 10 =3\times 5\times 2\times 5 =2\times 3\times 5^2$

Propriété 5 : On considère un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$ qui n’est pas un nombre premier.
Son plus petit diviseur différent de $1$ est un nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Exemple : On souhaite déterminer le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$.
On a $\sqrt{371}\approx 19,3$.
Or les nombres premiers inférieurs ou égaux à $19$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
On constate que $371$ n’est pas divisible par $2$, $3$ et $5$ mais que $\dfrac{371}{7}=53$.
Ainsi le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$ est $7$.

$\quad$

IV Critères de divisibilité

Cette partie n’est absolument pas au programme de seconde mais il est parfois utile de connaître ces critères.

  • Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
    Exemple : $14$, $2~476$ et $10~548$ sont divisibles par $2$
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
    Exemple : $234$ est divisible par $3$ car $2+3+5=9$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $4$ si le nombre constitué de son chiffre des dizaines et de celui de son chiffre des unités est divisible par $4$.
    Exemple : $2~132$ est divisible par $4$ car $32$ est divisible par $4$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    Exemple : $105$ est divisible par $5$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $6$ s’il est pair et divisible par $3$.
    Exemple : $14~676$ est divisible par $6$ car il est pair et $1+4+6+7+6=24$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $7$ si la valeur absolue de la différence entre son nombre de dizaine et le double de son chiffre des unités est divisible par $7$.
    Exemple : $8~645$ est divisible par $7$ car :
    $|864-2\times 5|=854$ \quad $|85-2\times 4|=77$ qui est clairement divisible par $7$ mais on pourrait continuer la méthode.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
    Exemple : $4~572$ est divisible par $9$ car $4+5+7+2=18$ qui est divisible par $9$.
    $\quad$
  • Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités $0$.
    Exemple : $13~450$ est divisible par $10$.
    $\quad$
  • Un nombre entier est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de $11$.
    Exemple : $381~502$ est divisible par $11$ car $3+1+0-(8+5+2)=-11$ est un multiple de $11$.
    $\quad$

 

2nd – Variations des fonctions de référence

Variations de fonctions de référence

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

 Définition 1 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarqueon constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig1

Définition 2 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig2

 

 Définition 3 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

2nd - cours - variations de fonctions - fig3

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :
2nd - cours - variations de fonctions - fig4
Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

  • L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
  • $f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

 Définition 4 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictementmonotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.
 Définition 5 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig5

 

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

 Définition 6 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig6

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 7 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

$\quad$

$\quad$

II Fonctions affines

Propriété 1 (Rappels) : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$
 Propriété 2 : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

  • Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
  • Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
  • Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de $a$ et les variations de la fonction $f$.

Preuve Propriété 4

On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ (où $b$ est un réel).
Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$. Nous allons essayer de comparer $f(u)$ et $f(v)$ afin de déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Pour cela nous allons chercher le signe de $f(u)-f(v)$.
$$\begin{align*} f(u)-f(v) & = (au+b)-(av+b) \\
&= au + b-av-b \\
&= au-av \\
&= a(u-v)
\end{align*}$$
On sait que $u<v$. Par conséquent $u-v < 0$.

Ainsi

  • si $a > 0$ alors $a(u-v) <0$. Par conséquent $f(u)-f(v) <0$ soit $f(u) < f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\R$.
  • si $a = 0$ alors $a(u-v) = 0$. Par conséquent $f(u)-f(v) = 0$ soit $f(u) = f(v)$.
    la fonction $f$ est donc bien constante sur $\R$.
  • si $a<0$ alors $a(u-v) >0$. Par conséquent $f(u)-f(v) > 0$ soit $f(u) > f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien décroissante sur $\R$.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig8

 

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

  • On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x-2$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} f(x) = 0 &\ssi 3x-2 = 0 \\
    & \ssi 3x = 2 \\
    & \ssi x = \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    Le coefficient directeur de la fonction affine $f$ est $a = 3 > 0$.
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig9
  • On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x-4$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} g(x) = 0 &\ssi -2x-4 = 0 \\
    & \ssi -2x = 4 \\
    & \ssi x = \dfrac{4}{-2} \\
    & \ssi x= -2
    \end{align*}$
    Le coefficient directeur de la fonction affine $g$ est $a = −2 < 0$
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig10

$\quad$

III Les autres fonctions de référence

1. La fonction carré

Proprité 3 : La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Preuve Propriété 3

On appelle $f$ la fonction carré.
On considère deux réels $u$ et $v$. On a alors $f(u)-f(v) =u^2-v^2 = (u-v)(u + v)$

  • Montrons tout d’abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$.
    Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u < v \pp 0$.
    Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
    Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs, $u+v <0$.
    Par conséquent $(u-v)(u+v) >0$.
    Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$.
    La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
  • Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
    Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0 \pp u < v$ .
    Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
    Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$.
    Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$.
    Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$.
    La fonction $f$ est bien strictement croissante sur $]-\infty;0]$.
    $\quad$

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$\quad$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

$\quad$

2. La fonction inverse

Propriété 4 : La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

 

 

Preuve Propriété 3

On considère deux réels non nuls $u$ et $v$.
$$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$$

  • Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u<v<0$.
    Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
    Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Par conséquent $uv > 0$.
    Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
    Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
    La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.
  • Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0<u<v$.
    Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
    Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux positifs. Par conséquent $uv > 0$.
    Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
    Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

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$\quad$

3. La fonction racine carrée

Propriété 5 : La fonction racine carrée $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

Preuve Propriété 5

\begin{preuve}
On considère deux réels positifs $u$ et $v$ tels que $u<v$.
$$\begin{align*}
f(u)-f(v)&=\sqrt{u}-\sqrt{v} \\
&=\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right) \times \dfrac{\sqrt{u}+\sqrt{v}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \qquad (*) \\
&=\dfrac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}
\end{align*}$$
Puisque $u<v$ on a alors $u-v<0$.
De plus, par définition, on a $\sqrt{u}+\sqrt{v}>0$.
Ainsi $f(u)-f(v)<0$ c’est-à-dire $f(u)<f(v)$.
La fonction racine carrée est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.

$(*)$ On a multiplié $\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)$ par $1$, écrit sous une forme très particulière. Cette quantité qu’on retrouve au numérateur et dénominateur de la fraction est appelée la quantité conjuguée de $\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

4. La fonction cube

 Propriété 6 : La fonction cube $f$ est strictement croissante sur $\R$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

$\quad$

IV Fonctions paires et impaires

 Définition 8 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$.

  • On dit que la fonction $f$ est paire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=f(x)$.
  • On dit que la fonction $f$ est impaire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=-f(x)$

Exemples :

  • La fonction carré est paire;
  • Les fonctions inverse et cube sont impaires.
Propriété 7 :

  • Si une fonction est paire alors l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour sa représentation graphique.
  • Si une fonction est impaire alors l’origine du repère est un centre de symétrie pour sa représentation graphique.

$\quad$

$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est paire ?

Exemple : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+5$ est paire.
La fonction $f$ est définie sur $\R$. Ainsi, pour tout réel $x$ le réel $-x$ appartient également à $\R$.
De plus :
$$\begin{align*}
f(-x)&=3(-x)^2+5 \\
&=3x^2+5\\
&=f(x)
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc paire.

$\quad$
$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est impaire ?

Exemple : Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R^*$ par $g(x)=5x^3-\dfrac{2}{x}$
La fonction $g$ est définie sur $\R^*$. Ainsi pour tout réel $x$ non nul le réel $-x$ appartient également à $\R^*$.
De plus :
$$\begin{align*}
g(-x)&=5(-x)^3-\dfrac{2}{-x} \\
&=5\times \left(-x^3\right)+\dfrac{2}{x} \\
&=-5x^3+\dfrac{2}{x} \\
&=-\left(5x^3-\dfrac{2}{x}\right) \\
&=-g(x)
\end{align*}$$
La fonction $g$ est donc impaire.

$\quad$
Remarque : Il existe des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires. C’est le cas par exemple de la fonction racine carrée.

2nd – Cours – Équations de droites

Équations de droites

Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère $\Oij$.

I Équations cartésiennes

Définition 1 : On appelle vecteur directeur d’une droite $d$ tout vecteur non nul dont la droite $d$ est la direction de ce vecteur.

$\quad$

Remarques :

  • Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs.
  • Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont colinéaires entre eux.
  • Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $d$ alors $\vect{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ sont des vecteurs directeurs de la droite $d$.

$\quad$

Propriété 1 :

  • Toute droite $d$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a,b)\neq (0,0)$.
    L’équation $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de la droite $d$.
  • Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ tels que $(a,b)\neq (0,0)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+6=0$.
Si $x=0$ alors $-3y+6=0 \ssi y=2$ : le point $A(0;2)$ appartient à la droite $d$.
Si $y=0$ alors $2x+6=0 \ssi x=-3$ : le point $B(-3;0)$ appartient à la droite $d$.
Il ne reste plus qu’à placer ces deux points dans un repère pour pouvoir tracer la droite $d$.

$\quad$

Remarque : On peut évidemment choisir d’autres valeurs que $x=0$ ou $y=0$.

$\quad$

Preuve Propriété 1

  • Soit $A\left(x_A;y_A\right)$ un point de $d$ et $\vec{u}(\alpha;\beta)$ un vecteur directeur de $d$.
    On considère un point $M(x;y)$ du plan. Ainsi $\vect{AM}\left(x-x_A;y-y_A\right)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires.
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi \beta\left(x-x_A\right)-\alpha\left(y-y_A\right)=0$
    $\ssi \beta x-\beta x_A-\alpha y+\alpha y_A=0$
    $\ssi \beta x-\alpha y-\beta x_A+\alpha y_A=0$
    Ainsi en notant $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=-\beta x_A+\alpha y_A$ on obtient bien une équation de la forme $ax+by+c=0$.
  • On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$ et on appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$.
    $-$ Si $a\neq 0$ alors il existe un réel $x_0$ tel que $ax_0+b\times 0+c=0 \ssi x_0=-\dfrac{c}{a}$. Le point $M_0\left(-\dfrac{c}{a};0\right)$ appartient donc à $\mathscr{E}$.
    $-$ Si $b\neq 0$ alors il existe un réel $y_0$ tel que $a\times 0+b\times y_0+c=0 \ssi y_0=-\dfrac{c}{b}$. Le point $M_0\left(0;-\dfrac{c}{b}\right)$ appartient donc à $\mathscr{E}$.
    Puisque $(a;b)\neq (0;0)$, l’ensemble $\mathscr{E}$ est donc non vide.
    Il existe donc un point $M_0\left(x_0;y_0\right)$ tel que $ax_0+by_0+c=0 \qquad (1)$.
    Soit $M(x;y)$ un autre point de $\mathscr{E}$. Ainsi $ax+by+c=0\qquad (2)$.
    Par conséquent, en effectuant la différence $(2)-(1)$, on obtient $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$.
    En appelant $\vec{u}(-b;a)$, cela signifie donc det$\left(\vect{MM_0};\vec{u}\right)=0$ et donc que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{MM_0}$ sont colinéaires.
    L’ensemble $\mathscr{E}$ est la droite $d$ passant par le point $M_0$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Remarque : Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes (il suffit de multiplier les deux membres de l’équation par n’importe quel réel non nul).

$\quad$

Propriété 2 : Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite d’équation $ax+by+c=0$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x+5y+7=0$.
L’équation est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=7$.
Ainsi un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-5;2)$.

$\quad$

Propriété 3 (Réciproque) : Si $\vec{u}(\alpha;\beta)$ est un vecteur directeur d’une droite $d$ alors une équation cartésienne de cette droite est de la forme $\beta x-\alpha y+c=0$ où $c$ est un réel à déterminer.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ passant par le point $A(1;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;8)$.
Une équation cartésienne de cette droite est de la forme $8x-3y+c=0$.
$A\in d \ssi 8\times 1-3\times (-2)+c=0 \ssi 8+6+c=0 \ssi c=-14$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $8x-3y-14=0$

Cas particuliers :

  • Si $\boldsymbol{a=0}$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $by+c=0$. En divisant par $b$ (qui est non nul puisque $a=0$), on obtient une équation de la forme $y=k$.
    La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des abscisses et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{i}(1;0)$.
  • Si $\boldsymbol{b=0}$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $ax+c=0$. En divisant par $a$ (qui est non nul puisque $b=0$), on obtient une équation de la forme $x=k$.
    La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{j}(0;1)$.

$\quad$

Exemple : Ci-dessous, ont été représentées les droites :

  • $d_1$ dont une équation cartésienne est $y-2=0$ (donc $a=0$);
  • $d_2$ dont une équation cartésienne est $x+3=0$ (donc $b=0$);
  • $d_3$ dont une équation cartésienne est $x+y-1=0$ (donc $a\neq 0$ et $b\neq 0$).


$\quad$

$\quad$

II Équations réduites

Propriété 4 :

  • Toute droite $d$ non parallèle à l’axe des ordonnées possède une équation de la forme $y=mx+p$, appelée l’équation réduite de cette droite, où $m$ et $p$ sont des réels.
  • Toute droite $d$ parallèle à l’axe des ordonnées possède une équation de la forme $x=k$, appelée l’équation réduite de cette droite, où $k$ est un réel.

$\quad$

Preuve Propriété 4

La droite $d$ possède une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ dont un vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)$.

  • La droite $d$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Le vecteur $\vec{j}(0;1)$ n’est donc pas un vecteur directeur de cette droite. Cela signifie donc que $b$ n’est pas nul.
    Ainsi : $ax+by+c=0 \ssi by=-ax-c \ssi y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$
    En notant $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=-\dfrac{c}{b}$, la droite $d$ possède bien une équation de la forme $y=mx+p$.
    $\quad$
  • La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Par conséquent $b=0$.
    Puisque $(a;b)\neq (0;0)$ cela signifie donc que $a\neq 0$.
    Donc $ax+c=0 \ssi ax=-c \ssi x=-\dfrac{c}{a}$.
    En notant $k=-\dfrac{c}{a}$, la droite $d$ possède bien une équation de la forme $x=k$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 5 : Si une droite $d$ possède une équation réduite de la forme $y=mx+p$ alors le vecteur $\vec{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de cette droite.

$\quad$

Preuve Propriété 5

D’après la preuve de la propriété précédente, si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de la droite $d$ alors $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac{a}{b}$ est une équation réduite de cette droite.
Le vecteur $\vec{v}(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.
Ainsi $\vec{u}=-\dfrac{1}{b}\vec{v}\left(1;-\dfrac{a}{b}\right)$ est également un vecteur directeur de $d$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : La droite d’équation réduite $y=3x+4$ admet le vecteur $\vec{u}(1;3)$ comme vecteur directeur.

$\quad$

Définition 2 : On considère la droite $d$ dont une équation réduite est de la forme $y=mx+p$.
Le nombre $m$ est appelé le coefficient directeur de la droite et le nombre $p$ est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation réduite $y=-2x+4$.
Le coefficient directeur de $d$ est $m=-2$ et son ordonnée à l’origine est $p=4$.

$\quad$

Propriété 6 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ tels que $x_A\neq x_B$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

$\quad$

Remarque : On a aussi $m=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

Puisque $x_A\neq x_B$, la droite $d$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. L’équation réduite de $d$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le point $A$ appartient à la droite $d$. Donc $y_A=mx_A+p$.
Le point $B$ appartient à la droite $d$. Donc $y_B=mx_B+p$.
Ainsi :
$\begin{align*} y_B-y_A&=mx_B+p-\left(mx_A+p\right) \\
&=mx_B+p-mx_A-p \\
&=mx_B-mx_A\\
&=m\left(x_B-x_A\right) \end{align*}$
Par conséquent $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(2;5)$ et $B(6;-1)$.
On a $x_A=2$ et $x_B=6$ donc $x_A\neq x_B$.
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a
$\begin{align*}
m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\
&=\dfrac{-1-5}{6-2}\\
&=\dfrac{-6}{4}\\
&=-\dfrac{3}{2}
\end{align*}$
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+p$
Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
Par conséquent $y_A=-\dfrac{3}{2}x_A+p$ soit $5=-\dfrac{3}{2}\times 2+p \ssi 5=-3+p \ssi p=8$.
Vérification : On va utiliser les coordonnées du point $B(6;-1)$
$-\dfrac{3}{2}x_B+8=-\dfrac{3}{2}\times 6+8=-9+8=1=y_B \quad \checkmark$
$\quad$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+8$.

$\quad$

Interprétation géométrique du coefficient directeur

On considère une droite $d$ dont l’équation réduite est $y=mx+p$.

  • Si $\boldsymbol{m>0}$

    Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée augmente de $m$.
    $\quad$
  • Si $\boldsymbol{m<0}$

    Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée diminue de $m$.
    $\quad$

III Positions relatives de deux droites

Propriété 7 : On considère deux droites $d$ et $d’$ dont des équations cartésiennes sont respectivement $ax+by+c=0$ et $a’x+b’y+c’=0$.
$d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si, $ab’-a’b=0$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation $2x+5y-6=0$ et la droite $d’$ d’équation $3x+7y+4=0$.
On a $a=2$, $b=5$, $c=-6$, $a’=3$, $b’=7$ et $c’=4$
Par conséquent $ab’-a’b=2\times 7-3\times 5=14-15=-1 \neq 0$.
Les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.

$\quad$

Preuve Propriété 7

$\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $d$ et $\vect{u’}(-b’;a’)$ est un vecteur directeur de la droite $d’$.
$\phantom{\ssi} d$ et $d’$ sont parallèles
$\ssi$ $\vec{u}$ et $\vect{u’}$ sont colinéaires.
$\ssi$ det$\left(\vec{u},\vect{u’}\right)=0$
$\ssi$ $ab’-b’a=0$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 8 (Cas des équations réduites) : On considère la droite $d$ dont l’équation réduite est $y=mx+p$ et la droite $d’$ dont l’équation réduite est $y=m’x+p’$.
Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m’$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont l’équation réduite est $y=2x+5$ et la droite $d’$ parallèle à la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$.
La droite $d’$ est parallèle à la droite $d$. Elles ont donc le même coefficient directeur.
L’équation réduite de la droite $d’$ est donc de la forme $y=2x+p$.
Le point $A(5;-1)$ appartient à la droite $d’$.
Ainsi $-1=2\times 5+p \ssi -1=10+p \ssi p=-11$.
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=2x-11$.

$\quad$

Propriété 9 (Points alignés) : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si les trois points ont la même abscisse ou si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(1;7)$, $B(5;19)$ et $C(-6;-14)$.
$x_A\neq x_B$ : le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m_1=\dfrac{19-7}{5-1}=3$
$x_A\neq x_C$ : le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est $m_2=\dfrac{-14-7}{-6-1}=3$
Ainsi $m_1=m_2$ et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

Propriété 10 : On considère la droite $d$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ et la droite $d’$ d’équation cartésienne $ax+by+c’=0$.
$d$ et $d’$ sont confondues si, et seulement si, $c=c’$.

$\quad$

Preuve Propriété 10

Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur des droites $d$ et $d’$. Cela signifie donc que $d$ et $d’$ sont parallèles.
On considère un point $A\left(x_A;y_A\right)$ appartenant à la droite $d$.
On a ainsi $ax_A+by_A+c=0 \ssi ax_A+by_A=-c$.
$\phantom{\ssi}$ $d$ et $d’$ sont confondues
$\ssi$ $A$ appartient également à $d’$
$\ssi ax_A+by_A+c’=0$
$\ssi -c+c’=0$
$\ssi c=c’$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 11 : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ et la droite $d’$ dont une équation cartésienne est $a’x+b’y+c’=0$.
Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection est l’unique couple solution du système $\begin{cases} ax+by+c=0\\a’x+b’y+c’=0\end{cases}$.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation cartésienne $2x+3y-4=0$ et la droite $d’$ d’équation cartésienne $-x+5y+7=0$.
On a $2\times 5-3\times (-1)=10+6=16\neq 0$. Les droites $d$ et $d’$ sont donc sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection est l’unique couple solution du système $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases}$.
On a ainsi $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases} \ssi \begin{cases} 2x+3y=4\\-x+5y=-7\end{cases}$.
$\quad$

Nous allons voir dans la prochaine partie comment résoudre un tel système d’équations.

$\quad$

IV Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues

Il existe plusieurs méthodes de résolution de systèmes linéaires. En voici deux d’entre-elles.

  1. Par combinaisons linéaires
    Le but est de multiplier les lignes par des coefficients astucieusement choisis pour qu’en additionnant ou soustrayant les lignes entre-elles une des inconnues « disparaisse ».
    Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} 3x+5y=-5 &\quad L_1\\2x-7y=-24&\quad L_2\end{cases}$
    $\begin{align*} \begin{cases} \color{red}{3}\color{black}{x}+5y=-5 &\quad L_1\\\color{red}{2}\color{black}{x}-7y=-24&\quad L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 3x+5y=-5& \\\phantom{2x-}31y=62&\quad \color{red}{2}\color{black}{L_1}-\color{red}{3}\color{black}{L_2}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=2\\3x+5\times 2=-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=2 \\3x=-15\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=-5\\y=2\end{cases}\end{align*}$
    La solution du système est $(-5;2)$.
    $\quad$
  2. Par substitution
    Le but de cette méthode est d’exprimer une inconnue en fonction d’une autre puis de la remplacer dans la seconde équation par l’expression obtenue.
    Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases}$
    $\begin{align*}\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\2x-5y=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \fbox{$x=5-3y$}\\2\left(\fbox{$5-3y$}\right)-5y=-1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\10-6y-5y=-1\end{cases}\\
    & \ssi \begin{cases} x=5-3y\\-11y=-11\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\y=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=1\end{cases}\end{align*}$
    La solution du système est $(2;1)$.
    $\quad$

Remarque : Dans le cas général, à chaque étape, il y a autant d’équations dans le système qu’il y en avait dans le système initial.

$\quad$

V Interprétation géométrique des systèmes d’équations linéaires

Quand on résout un système on peut être confronté à trois cas :

  • Le système admet un unique couple solution
    Exemple : On considère le système $\begin{cases} x-y=1\\x+3y=9\end{cases}$.
    Après résolution du système, on obtient comme solution le couple $(3;2)$.
    Cela signifie que les droites $d$ d’équation $x-y-1=0$ et $d’$ d’équation $x+3y-9=0$ sont sécantes et que leur point d’intersection a pour coordonnées $(3;2)$.

    $\quad$
  • Le système n’admet aucune solution
    Exemple : On considère le système $\begin{cases} 2x+5y=13 \\2x+5y=2 \end{cases}$.
    Aucun couple n’est solution de ce système puisque les deux équations ont le même premier membre et des seconds membres différents. Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x+5y-13=0$ et $d’$ d’équation $2x+5y-2=0$ sont strictement parallèles.

    $\quad$
  • Le système possède une infinité de solution
    Exemple : On considère le système
    $\begin{align*}\begin{cases}2x-3y=1\\-4x+6y=-2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2x-3y=1 \\-2(2x-3y)=-2\times 1\end{cases}\\ &\ssi 2x-3y=1 \end{align*}$
    Le système possède donc une infinité de solution (tous les couples $(x;y)$ vérifiant $2x-3y=1$).
    Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x-3y-1=0$ et $d’$ d’équation $-4x+6y+2=0$ sont confondues.

    $\quad$

 

2nd – Cours – Statistiques

Statistiques

I Révisions (Vocabulaire)

Dans notre société, de nombreuses données sont collectées. Elles peuvent concerner par exemple des objets (taille, poids, qualité,…), des végétaux (taille, nombre de pétales, rendement,…), des animaux (nombre d’individus, poids,…), …

Ce qu’on étudie dans une population d’individus donnés (au sens large) s’appelle un caractère.

Définition 1 : On appelle série statistique d’un caractère un ensemble de données relevées concernant ce caractère.

L’effectif d’une valeur du caractère correspond au nombre de fois que l’on rencontre cette valeur dans la série de statistique étudiée.

L’effectif total d’une série statistique correspond au nombre total d’individus présents dans la population étudiée.

 Définition 2 : On appelle fréquence, souvent notée $f$, d’une valeur du caractère le quotient de l’effectif de la valeur sur l’effectif total.

$$ f= \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$$

Exemple : Voici les notes relevées lors d’une interrogation dans une classe.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
L’effectif total est : $ 4 + 8 + 10 + 5 + 2 + 1 = 30$

La fréquence de la note $8$ est $\dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$

On obtient ainsi le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\text{Fréquence} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{30} \\\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Effectifs cumulés croissants et décroissants

Définition : L’effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) d’une valeur est la somme des effectifs dont le caractère étudié à une valeur inférieure (respectivement supérieure) ou égale à la valeur.

La fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) correspond au quotient de l’effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) sur l’effectif total.

Remarque : On peut aussi calculer les fréquences cumulées à l’aide de la somme des fréquences.

Exemple : En reprenant le tableau de l’exemple précédent, on obtient ce nouveau tableau :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectif} \\ \text{cumulé} \\ \text{croissant} \end{array} & 4 & \color{red}{12} & \color{red}{22} & 27 & 29 & 30 \\
\hline
\end{array}$$

Pour obtenir l’effectif cumulé croissant de la note $12$, il suffit de faire le calcul : $12 + 10 = 22$.
Cet effectif cumulé croissant signifie que $22$ élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à $12$.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectif} \\ \text{cumulé} \\ \text{décroissant} \end{array} & 30 & 26 & \color{red}{18} & \color{red}{8} & 3 & 1 \\
\hline
\end{array}$$

Pour obtenir l’effectif cumulé décroissant de la note $12$, il suffit de faire le calcul $ 8 + 10 = 18$.
Cet effectif cumulé décroissant signifie que $18$ élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à $12$.

On obtient également les tableaux de fréquences cumulées suivants :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectifs} \\ \text{cumulés} \\ \text{croissant} \end{array} & 4 & \color{red}{12} & \color{red}{22} & 27 & 29 & 30 \\
\hline
\begin{array}{l}\text{Fréquence} \\ \text{cumulée} \\ \text{croissante} \end{array} & \dfrac{4}{30} & \dfrac{12}{30} & \color{red}{\dfrac{22}{30}} & \dfrac{27}{30} & \dfrac{29}{30} & 1 \\
\hline
\end{array}$$

On obtient ainsi le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\text{Fréquence} & \dfrac{4}{30} & \dfrac{8}{30} & \color{red}{\dfrac{10}{30}} & \dfrac{5}{30} & \dfrac{2}{30} & \dfrac{1}{30} \\\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Fréquence} \\ \text{cumulée} \\ \text{décroissante} \end{array} & 1 & \dfrac{26}{30} & \color{red}{\dfrac{18}{30}} & \color{red}{\dfrac{8}{30}} & \dfrac{3}{30} & \dfrac{1}{30} \\
\hline
\end{array}$$

Quand on détermine les fréquences cumulées à partir du tableau des fréquences, il est plus facile d’utiliser des fractions non simplifiées. Le calcul des cumuls se fait de la même manière que pour les effectifs : $ \dfrac{8}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{18}{30}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 1 : La somme des fréquences est toujours égale à $1$.

$\quad$

II Moyenne

 Définition 3 : On considère une série statistique dont les valeurs du caractère étudié sont $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_p$ pour lesquels les effectifs respectifs sont $n_1$, $n_1$, $\ldots$, $n_p$.
La moyenne de cette série statistique, notée $\overline{x}$, est :
$$\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2+\ldots + x_pn_p}{n_1 + n_2 + \ldots + n_p}$$

Exemple : En reprenant le tableau de l’exemple précédent
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
la moyenne est $$\begin{align*} \overline{x} &= \dfrac{8 \times 4 + 10 \times 8 + \ldots + 20 \times 1}{4 + 8 + \ldots + 1} \\\\
&= \dfrac{359}{30}
\end{align*}$$

Propriété 2 : Si on appelle $f_i$ la fréquence associée à la valeur $x_i$ alors on a : $$\overline{x} = f_1x_1 + f_2x_2 + \ldots + f_px_p.$$

$\quad$

Exemple : Si on reprend le tableau des fréquences précédent on a :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & 8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Fréquence} \phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{4}{5}}} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{30} \\
\hline
\end{array}$$

Ainsi $\conj{x}=\dfrac{2}{15}\times 8+\dfrac{4}{15}\times 10 + \ldots + \dfrac{1}{30}\times 20=\dfrac{359}{30}$

$\quad$

Propriété 3(Linéarité) : On considère une série statistiques $x_1,x_2,\ldots,x_p$, d’effectifs respectifs $n_1$, $n_1$, $\ldots$, $n_p$ et de moyenne $\conj{x}$ et deux nombres réels $a$ et $b$.
La série statistiques $ax_1+b$, $ax_2+b$, $\ldots$, $ax_p+b$ a pour moyenne $a\conj{x}+b$.

$\quad$

Exemple : Dans une entreprise le salaire moyen des employés est de $\np{1800}$ €. Si tous les salaires augmentent de $2\%$ alors le nouveau salaire moyen sera de $1~800\times 1,02=1~836$ €. Dans cet exemple $a=1,02$ et $b=0$.

$\quad$

Preuve Propriété 3

On appelle $m$ la moyenne de la série statistiques $ax_1+b$, $ax_2+b$, $\ldots$, $ax_p+b$.

Ainsi
$\begin{align*}
m&=\dfrac{n_1\left(ax_1+b\right)+n_2\left(x_2+b\right)+\ldots+n_p\left(ax_p+b\right)}{n_1+n_2+\ldots+n_p} \\
&=\dfrac{an_1x_1+an_2x_2+\ldots+an_px_p+n_1b+n_2b+\ldots n_pb}{n_1+n_2+\ldots+n_p} \\
&=\dfrac{a\left(n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_px_p\right)+b\left(n_1+n_2+\ldots+n_p\right)}{n_1+n_2+\ldots+n_p}\\
&=a\times \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_p}{n_1+n_2+\ldots+n_p}+b \\
&=a\conj{x}+b
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les données sont parfois fournies sous forme de classes. Cela permet d’avoir un tableau plus synthétique (intéressant quand on a beaucoup de valeurs) mais en contrepartie on perd en précision.

Exemple : On considère la série statistique suivante :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$

Cela signifie donc que $4$ élèves ont des notes appartenant à l’intervalle $]8;10]$, $12$ élèves ont des notes appartenant à l’intervalle $]10;12]$, etc.

Pour pouvoir calculer une valeur approchée de la moyenne, on va faire apparaître le centre de chacune des classes, c’est-à-dire le milieu des intervalles.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Centre}& 9 & 11 & 13 & 15 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$

Ainsi :
$\begin{align*} \overline{x} &\approx \dfrac{9 \times 4 + 11 \times 14 + 13 \times 10 + 15 \times 8}{4 + 14 + 10 + 8} \\\\
& \approx \dfrac{440}{36}
\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

III Médiane

 Définition 4 : On appelle médiane, souvent notée $M_e$, d’une série statistique la valeur qui sépare la série en deux séries de même effectif.
Cela signifie donc que $50\%$ des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à $M_e$ et $50\%$ des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à $M_e$.

$\quad$

Remarque 1 : Pour pouvoir déterminer la médiane d’une série, il faut avant toute chose, ranger les valeurs dans l’ordre croissant.

Remarque 2 : La médiane n’appartient pas nécessairement à la série statistique initiale.

Exemple 1 : (effectif total pair) On considère la série statistique suivante (qui a été rangée dans le bon ordre préalablement) :
$$ 5 – 8 – 9 – 9 – 10 – 11 – 13 – 15$$
Cette série comporte $8$ valeurs. $\dfrac{8}{2}  =4$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $4$ valeurs.
La première $ 5-8-9-\color{red}{9}$ et la seconde $ \color{red}{10}-11-13-15$.
La médiane est alors la moyenne de la $4^{\text{ème}}$ (la dernière valeur de la première série) et de la $5^{\text{ème}}$ (la première valeur de la seconde série) valeur.
Ainsi $M_e = \dfrac{9 + 10}{2} = 9,5$.

$\quad$

Exemple 2 : (effectif total impair) On considère la série statistique suivante (qui a été dans le bon ordre préalablement) :
$$4-6-7-9-10-12-13$$
Cette série comporte $7$ valeur. $\dfrac{7}{2} = 3,5$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $3$ valeurs :
$$\left[4-6-7\right]-\color{red}{9}-\left[10-12-13\right]$$
La médiane est donc $9$.

Remarque : La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position de la série.

$\quad$

IV Quartiles et étendue

 Définition 5 : On considère une série statistique rangée dans l’ordre croissant.
On appelle premier quartile de cette série, noté $Q_1$, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_1$.
On appelle troisième quartile de cette série, noté $Q_3$, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_3$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique leur définition, $Q_1$ et $Q_3$ appartiennent nécessairement à la série étudiée.

Exemple 1 : On considère la série suivante :
$$ 4-8-9-11-12-13-14-16-17$$
Cette série contient $9$ valeurs.
$\dfrac{9}{4} = 2,25$. Par conséquent $Q_1$ sera la troisième valeur de la série, soit $Q_1 = 9$.
$\dfrac{9 \times 3}{4} = 6,75$. Par conséquent $Q_3$ sera la septième valeur de la série, soit $Q_3 = 14$.

Exemple 2 : On considère la série suivante :
$$ 1-3-4-5-9-12-14-16$$
Cette série contient $8$ valeurs.
$\dfrac{8}{4} = 2$. Par conséquent $Q_1$ sera la deuxième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_1 = 3$.
$\dfrac{8 \times 3}{4} = 6$. Par conséquent $Q_3$ sera la sixième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_3 = 12$.

$\quad$

 Définition 6 : On appelle écart inter-quartile d’une série statistique la différence $Q_3-Q_1$.

$\quad$

Dans le dernier exemple, l’écart inter-quartile vaut $12 – 3 = 9$.

$\quad$

 Définition 7 : On appelle étendue d’une série statistique, la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

$\quad$

Ainsi, en reprenant la dernière série, l’étendue vaut $16-1 = 15$.

On résume souvent une série statistique à l’aide d’un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) sur lequel figurent :

  • le minimum
  • $Q_1$
  • la médiane
  • $Q_3$
  • le maximum

Exemple :

2nd - cours - statistiques - fig1

Remarque : Les quartiles et étendue sont des indicateurs de dispersion de la série.

$\quad$

V Écart-type

Définition 8 : On considère une série statistiques $x_1,x_2,\ldots,x_p$, d’effectifs respectifs $n_1$, $n_1$, $\ldots$, $n_p$ et de moyenne $\conj{x}$.
On appelle écart-type de la série le nombre : $$\sigma = \sqrt{\dfrac{n_1\left(x_1-\conj{x}\right)+n_2\left(x_2-\conj{x}\right)+\ldots+n_p\left(x_p-\conj{x}\right)}{n_1+n_2+\ldots+n_p}}$$

$\quad$

Remarque : Le nombre $\sigma$ se lit « sigma ».

Exemple : Un radar de vitesse est installé dans une rue d’une ville. Voici $50$ mesures (en km/h) relevées.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{vitesse} &47&48& 49& 50& 51& 52\\
\hline
\text{effectif}&4& 5& 13& 15& 7& 6\\
\hline
\end{array}$$

La vitesse moyenne est
$\begin{align*}\conj{x}&=\dfrac{4\times 47+5\times 48+13\times 49+15\times 50+7\times 51+6\times 52}{50}\\
&=49,68\end{align*}$

L’écart-type de cette série est : $\begin{align*}\sigma&=\sqrt{\small{\dfrac{4(47-49,68)^2+5(48-49,68)^2+13(49-49,68)^2+15(50-49,68)^2+7(51-49,68)^2+6(52-49,68)^2}{50}} }\\
&\approx 1,38\end{align*}$

Cela signifie, qu’en moyenne, les vitesses relevées s’écartaient de $1,38$ km/h de la vitesse moyenne.

$\quad$

Remarques :

  • Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
  • L’écart-type est exprimé dans la même unité que les valeurs.

$\quad$

2nd – Cours – Tableaux de valeurs, de signes et de variations

Tableaux de valeurs, de signes et de variations

I Tableaux de valeurs

Les tableaux de valeurs permettent, entre autre, de représenter graphiquement les fonctions.
Exemple : On souhaite représenter la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+1$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& -1& ~0~& 0,25& 0,5& 1& 1,25& 1,5&1,75& 2& 2,5& 2,75& ~3~ & ~4~\\
\hline
f(x)& 5& 1& 0,31& -0,25& -1& -1,19& -1,25&-1,19& -1& -0,25& 0,31& 1&5\\
\hline
\end{array}$$

Les valeurs de $f(x)$ ont été arrondies à $10^{-2}$ près dans le tableau.
On peut ainsi lire que les points de coordonnées $(-1;5)$ ,$ (0;1)$, … appartiennent à la courbe représentant la fonction $f$. Il ne reste plus qu’à placer ces points dans un repère adapté et à tracer le plus précisément possible la représentation graphique de la fonction.

Il n’y a pas de règles absolues concernant le nombre de points qu’on doit placer pour tracer une courbe. Il faut cependant faire en sorte que l’aspect global de la courbe soit lisse quand c’est nécessaire.

Les calculatrices apportent une grande aide à ce sujet. On peut en effet voir sur l’écran l’allure de la courbe d’une façon relativement précise. On peut ainsi anticiper les zones nécessitant plus de points à placer que d’autres (autour de $1,5$ dans la fonction utilisée par exemple).

Les calculatrices graphiques sont également capables de fournir des tableaux de valeurs (à pas constant) très rapidement.

$\quad$

$\quad$

II Tableaux de signes

Dans cette partie nous allons pas construire de tableaux de signes de manière algébrique. Nous allons donc seulement utiliser les représentations graphiques des fonctions.

Un tableau de signes fournit $3$ informations sur les fonctions :

  • Les réels, s’ils existent, pour lesquelles la fonction s’annule;
  • Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est positive;
  • Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est négative.

Exemple : On considère la fonction $f$, définie sur $\R$, dont on ne connaît que sa représentation graphique.

Graphiquement, on constate donc que :

  • la fonction $f$ s’annule en $-4$, $-1$ et $2$;
  • la courbe est au-dessus de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-4;-1[$ et $]2;+\infty[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles;
  • la courbe est en-dessous de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-\infty;-4[$ et $]-1;2[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles.

On représente alors ces informations de manière synthétique dans le tableau de signes suivant :

Remarque : L’ensemble de définition de certaines fonctions exclut des réels. C’est le cas, par exemple, de la fonction inverse. Elle n’est pas définie en $0$. On représente cette information à l’aide d’une double barre dans le tableau de signes.

Pour la fonction inverse on obtient alors le tableau de signes suivant :

$\quad$

III Tableaux de variations

Dans cette partie les tableaux de variations ne seront construits qu’à partir de la représentation graphique des fonctions. L’aspect algébrique fera l’objet d’un autre chapitre.

Graphiquement, nous nous rendons compte que les courbes représentant les fonctions donne l’impression de « monter » ou de « descendre ».

Définition 1 : On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.
On dit que :

  • la fonction $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x\pp y$ on a $f(x) \pp f(y)$.
  • la fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x\pp y$ on a $f(x) \pg f(y)$.

$\quad$

Remarques :

  • On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) < f(y)$.
  • On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) > f(y)$.

Exemple 1: On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $f$ est :

Cela signifie que :

  • la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$;
  • $f(-1)=2$;
  • la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[-1;1]$;
  • $f(1)=-2$;
  • la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.

Remarques :

  • Comme vous pouvez le constater, on indique, quand cela est possible, les valeurs aux extrémités des flèches.
  • Sur la première ligne, en plus des nombres en lesquels la fonction change de sens de variation on indique également les bornes de l’ensemble de définition.

$\quad$

Exemple 2: On considère une fonction $g$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $g$ est :

Avec $g(-2) \approx -1,4$ et $g(1) \approx 1,5$

$\quad$

Remarque : La double barre dans le tableau de variations indique que la fonction $g$ n’est pas définie en $0$, comme le précise l’ensemble sur lequel la fonction $g$ est définie.

$\quad$

2nd – Cours – Informations chiffrées

Informations chiffrées

I Proportion et pourcentage

Définition 1 : On considère une partie $A$, possédant $n_A$ éléments, d’un ensemble $E$, possédant $n_E$ éléments.
On appelle proportion des éléments de $A$ par rapport aux éléments de $E$ le quotient $p=\dfrac{n_A}{n_E}$.

$\quad$

Remarque : On a $0\pp p \pp 1$. Le nombre $p$ ne possède pas d’unité.

Exemple : Parmi les $900$ élèves d’un lycée $360$ sont en seconde. La proportion des élèves de seconde dans ce lycée est $p=\dfrac{360}{900}=0,4$.
On peut exprimer ce nombre à l’aide de pourcentage. On obtient alors $p=40\%$.

$\quad$

Propriété 1 : On considère une partie $A$, possédant $n_A$ éléments, d’un ensemble $E$, possédant $n_E$ éléments.
Si la proportion des éléments de $A$ par rapport aux éléments de $E$ représente $x\%$ cela signifie que $n_A=\dfrac{x}{100} \times n_E$.

$\quad$

Exemple : $70\%$ des élèves d’un lycée comptant $900$ élèves sont demi-pensionnaires.
Le nombre d’élèves demi-pensionnaires est donc $n=\dfrac{70}{100}\times 900=630$.

$\quad$

II Proportion de proportion

Propriété 2(Proportion de proportion) : On considère un ensemble $E$, une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ de $A$.
On appelle $p_A$ la proportion des éléments de $A$ dans $E$ et $p_B$ la proportion des éléments de $B$ dans $A$.
La proportion des éléments de $B$ dans $E$ est alors $p=p_A\times p_B$.

Exemple : Dans un lycée, la proportion des élèves en seconde est de $0,4$ et la proportion de filles parmi ces élèves de seconde est de $0,55$.
Dans le lycée, la proportion des filles étudiant en classe de seconde est égale à $0,4\times 0,55=0,22$.

$\quad$

Propriété 3 (Pourcentage de pourcentage) : On considère un ensemble $E$, une partie $A$ de $E$ et une partie $B$ de $A$.
On appelle $t_A \%$ le pourcentage des éléments de $A$ dans $E$ et $t_B \%$ le pourcentage des éléments de $B$ dans $A$.
Le pourcentage des éléments de $B$ dans $E$ est alors égal à $\dfrac{t_A}{100}\times \dfrac{t_B}{100}$.

$\quad$

Exemple : Dans une librairie, $40\%$ des livres sont des romans et $5\%$ de ces romans sont en anglais.
$\dfrac{40}{100}\times \dfrac{5}{100}=0,02=2\%$
Dans cette librairie $2\%$ des livres sont des romans en anglais.
$\quad$

$\quad$

III Taux d’évolution

Définition 2 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle variation absolue le nombre $V_f-V_d$.
Le nombre $t=\dfrac{V_f-V_d}{V_d}$ est appelé le taux d’évolution ou variation relative.

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
La variation absolue du prix est $30-25=5$€.
Le taux d’évolution est $t=\dfrac{30-25}{25}=\dfrac{5}{25}=0,2=20\%$.
Le prix de l’article a donc augmenté de $5$€ ce qui représente une augmentation de $20\%$.

$\quad$

Définition 3 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle coefficient multiplicateur lié à l’évolution le nombre $C=\dfrac{V_f}{V_d}$.

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
Le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{30}{25}=1,2$.

$\quad$

Propriété 4 : On suppose qu’une quantité passe d’une valeur de départ $V_d$ à une valeur finale $V_f$.
On appelle $C$ son coefficient multiplicateur et $t$ son taux d’évolution. On a alors $C=1+t$.

$\quad$

Exemple : Dans l’exemple précédent on avait $C=1,2$ et $t=0,2$. On a bien $C=1+t$.

$\quad$

Propriété 5 : Augmenter une quantité de $x\%$ revient à la multiplier par $\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$.
Diminuer une quantité de $x\%$ revient à la multiplier par $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)$.

$\quad$

Exemples :

  • Un article coûte $50$€. Son prix augmente de $10\%$.
    Le nouveau prix est alors $50\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=50\times 1,1=55$ €.
  • Un article coûte $55$€. Son prix baisse de $10\%$.
    Le nouveau prix est alors $55\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=55\times 0,9=49,5$ €

$\quad$

Remarque : On constate qu’une augmentation suivie d’une diminution d’un même pourcentage ne ramène pas à la situation initiale.

$\quad$

IV Évolutions successives

Propriété 6 : Lorsqu’une quantité subit deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs respectifs $C_1$ et $C_2$ alors le coefficient multiplicateur global est $C=C_1\times C_2$.

Remarque : On peut avoir deux augmentations successives, deux diminutions successives, une augmentation suivie d’une diminution ou une diminution suivie d’une augmentation. Cette propriété englobe tous les cas de figures et se généralise pour autant d’évolutions qu’on souhaite utiliser.

On utilisera souvent la propriété suivante avec les taux d’évolution.

Propriété 7 : Lorsqu’une quantité subit deux évolutions successives dont les taux d’évolution sont respectivement $t_1$ et $t_2$ alors le taux d’évolution global $t$ vérifie $1+t=\left(1+t_1\right)\times \left(1+t_2\right)$.

Remarque : À noter dans cette formule que les taux d’évolutions sont ici algébriques, c’est-à-dire qu’ils peuvent aussi bien être positifs, dans le cas d’une augmentation, que négatifs, dans le cas d’une diminution.

Exemples :

  • La population d’une ville a augmenté de $2\%$ entre 2016 et 2017 puis a augmenté de $1\%$ entre 2017 et 2018.
    On appelle $t$ le taux d’évolution global.
    On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1}{100}\right)=\np{1,0302}$
    Ainsi $t=0,030~2$ soit $t=3,02\%$.
    Cela signifie donc que la population de la ville a augmenté de $3,02\%$ entre 2016 et 2018.
    $\quad$
  • Le prix d’un article au augmenté de $5\%$ puis a baissé de $3\%$.
    On appelle $t$ le taux d’évolution global.
    On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=\np{1,0185}$
    Ainsi $t=0,018~5$ soit $t=1,85\%$.
    Au global le prix de l’article a augmenté de $1,85\%$.

Dans le cas d’évolutions successives, on n’additionne donc pas les taux d’évolution entre eux.

$\quad$

V Évolution réciproque

Définition 4 : Deux évolutions de coefficients multiplicateurs respectifs $C_1$ et $C_2$ sont dites réciproques lorsque $C_1\times C_2=1$.

$\quad$

Remarque : À l’issue des $2$ évolutions successives la quantité a donc retrouvé sa valeur de départ.

Exemple : Le prix d’un article a augmenté de $25\%$.
Quel pourcentage de baisse doit-on appliquer pour que l’article retrouve son prix initial?
On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*}\left(1+\dfrac{25}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,25 \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,25} \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,8 \\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=-0,2 \\
&\ssi x=20
\end{align*}$
Pour compenser une augmentation de $25\%$ il faut donc réaliser une diminution de $20\%$.

$\quad$

Remarque : Puisque $C1\times C_2 = 1$ cela signifie donc que $C_2=\dfrac{1}{C_1}$. Ainsi, si on multiplie la quantité $Q$ par le coefficient multiplicateur $C1$ pour obtenir la quantité $Q_1$. Il suffit de diviser cette dernière par $C_1$ pour obtenir de nouveau la quantité intitiale.

$\quad$

2nd – Cours – Les vecteurs

Les vecteurs

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
On appelle translation de $A$ en $B$ la transformation qui à tout point $C$ du plan associe le point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur $\vect{AB}$.

$\quad$

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vect{AB}$ ou de celle de vecteur $\vect{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur $\vect{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

  1. Le support : la droite $(AB)$
  2. Le sens : de $A$ vers $B$
  3. La longueur : $AB$
 Propriété 1 : Si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vect{AB}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.

$\quad$

Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur $\vect{AB}$,  les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

[collapse]

$\quad$

 Définition 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
On dit que $\vect{AB} = \vect{CD}$ si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.

$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

 Propriété 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
$\vect{AB} = \vect{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2

  • Si $\vect{AB} = \vect{CD}$.
    La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    D’après la définition de la translation, $[AD]$ et $[BC]$ ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère $ABDC$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  • Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    Donc $\vect{AB} = \vect{CD}$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

$\quad$

 Propriété 3 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vect{AI} = \vect{IB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

$\quad$

 Définition 3 : La translation qui transforme tout point $M$ du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté $\vec{0}$.

$\quad$

 Propriété 4 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$\vect{AB} = \vec{0}$ si, et seulement si, $A = B$.

$\quad$

Remarque : On a ainsi $\vect{AA} = \vect{BB} = \vect{CC} = \ldots = \vec{0}$

$\quad$

 Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur $\vect{AB}$ le vecteur associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. On le note $-\vect{AB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

$\quad$

Remarque : On a donc $\vect{BA} = -\vect{AB}$.
Le vecteur $-\vect{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vect{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

$\quad$

$\quad$

II Somme de vecteurs

 Définition 4 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

$\quad$

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

$\quad$

 Définition 5 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}-\vec{v}$, comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $-\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig8$\quad$

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

$\quad$

Propriété 5 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vect{IA}+\vect{IB}=\vec{0}$.

$\quad$

Preuve Propriété 5

$I$ est le milieu de $[AB]$
$\quad$ si, et seulement si, $\vect{AI} = \vect{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $-\vect{IA} = \vect{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec{0}$

[collapse]

$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

 Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
$$\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$$

$\quad$

Preuve Propriété 6

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{AB}$.
$C$ est l’image de $B$ par la translation de vecteur $\vect{BC}$.
Par conséquent $C$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{AB}+\vect{BC}$.
Par conséquent $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

[collapse]

$\quad$

2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

$\quad$

 Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On appelle $D$ le point tel que $\vect{AD} = \vect{AB}+\vect{AC}$.
Alors $ABDC$ est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

$\quad$

III Coordonnées d’un vecteur

À partir de maintenant on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

On considère un vecteur $\vec{u}$ du plan. Il existe alors un unique point $M\left(x_M;y_m\right)$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.

Définition 7 : Les coordonnées du vecteurs $\vec{u}$ sont celles du point $M$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig1 (1)

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

$\quad$

Remarques :

  • Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
  • Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
  • On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.

$\quad$

Propriété 8 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.
Ainsi si on considère les vecteurs  $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ alors $\vec{u}=\vec{v} \ssi \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}$

$\quad$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

$\quad$

Propriété 9 : On considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan. Alors les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

$\quad$

Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point $M\left(x_M;y_M\right)$ du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig2 (3)

Par conséquent $OMBA$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu $N$.
$N$ est le milieu de $[OB]$ donc : $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}$.
$N$ est aussi le milieu de $[AM]$ donc $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}$.
Donc $\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}$
D’après la définition les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont celles du point $M$.
Donc $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig3

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.
Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.
Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig4

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$
D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$
Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$
Ainsi on obtient $D(6;-3)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig5

On vérifie les calculs avec le graphique.

$\quad$

Définition 8 (Norme d’un vecteur) : On considère un vecteur $\vec{u}(x;y)$.
On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ le nombre $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

$\quad$

Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;-3)$ alors $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$.

$\quad$

Remarque : Si on considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$
alors $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$ et $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
On retrouve donc la formule vue dans un chapitre précédent : $AB=\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.

$\quad$

Exemple : Si $A(4;-1)$ et $B(6;-2)$ alors
$\begin{align*}\left\|\vect{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
&=\sqrt{(6-4)^2+\left(-2-(-1)\right)^2}\\
&=\sqrt{2^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{4+1}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$

$\quad$

IV Somme de deux vecteurs

Propriété 10 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$. Alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’)$.

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

2nd-cours-vecteurs2-2-fig6

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

$\quad$

V Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 11 : On considère un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}(x;y)$ alors le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur dont les coordonnées sont $(kx;ky)$.

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig7

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

Propriété 12 : On considère $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.

  • Si $k>0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens;
  • Si $k<0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens contraire.

Propriété 13 : On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k’$.

  • $(k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}$
  • $k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}$
  • $k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}$

$\quad$

VI Colinéarité

Définition  9 : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

$\quad$

Remarques : 

  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
  • Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

$\quad$

Propriété 14 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

  1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}$.
  2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy’-x’y=0$.

$\quad$

Exemple : On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$.
On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.

$\quad$

Définition 10 (Déterminant) : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.
On appelle déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=xy’-yx’$.

$\quad$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.

Exemple : On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
$\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

$\quad$

Propriété 15 : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.
D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.
Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

$\quad$

Propriété 16 : (application) Trois points $A$, $B$, et $C$, sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

$\quad$

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$
D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.
Mais det$\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

$\quad$

Propriété 17 : (milieu) On considère trois points $A$, $B$ et $M$.
$M$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$
D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2,5;1)$
Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

$\quad$

VII Un peu d’histoire

C’est au 19$\ieme$ siècle que la notion de vecteurs a été formalisée. Plusieurs mathématiciens, comme Bernard Bolzano, Michel Chasles et August Ferdinand Möbius, ont travaillé sur ce thème. La définition,
encore utilisée aujourd’hui, des vecteurs est due à Giusto Bellavitis. William Rowan Hamilton a œuvré à développer le calcul vectoriel pendant plus de dix ans.
Les vecteurs sont très utilisés en physique, en particulier dans l’étude des mouvements.

 

2nd – Cours – Géométrie dans le plan

Géométrie dans le plan

Dans un triangle rectangle

Définition 1 : La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite constituée des points $M$ équidistants (à la même distance) des extrémités du segment.

Propriété 1 : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

$\quad$

Propriété 2 : Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Propriété 3 : Si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle et que le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle en $C$.
Définition 2 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on définit :

  • $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    $\quad$
  • $\sin \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    $\quad$
  • $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
    $\quad$

Propriété 4 : Pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle on a $\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1$.

Remarque : $\cos^2 \alpha$ et $\sin^2 \alpha$ signifient respectivement $\left(\cos \alpha\right)^2$ et $\left(\sin \alpha\right)^2$.

$\quad$

Exemple : On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $\sin \widehat{ABC}=0,6$. On souhaite déterminer la valeur de $\cos \widehat{ABC}$.

On a :
$\begin{align*} \cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 &\ssi \cos^2 \widehat{ABC}+0,6^2=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}+0,36=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}=0,64\end{align*}$
Cela signifie donc que $\cos \alpha=-\sqrt{0,64}$ ou $\cos \alpha=\sqrt{0,64}$.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un quotient de longueur; il est donc positif.
Par conséquent $\cos \widehat{ABC}=\sqrt{0,64}=0,8$.

$\quad$

Preuve Propriété 4

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on note $\alpha=\widehat{ABC}$ (la démonstration fonctionne de la même façon si on note $\alpha=\widehat{ACB}$).

On a alors $\cos \alpha=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin \alpha=\dfrac{AC}{BC}$.

Par conséquent :
$\begin{align*}
\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha&= \left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2 \\
&=\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2} \\
&=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}
\end{align*}$
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, le théorème de Pythagore nous fournit alors la relation $AB^2+AC^2=BC^2$.
Ainsi $\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha =\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

II Projeté orthogonal

Définition 3 : On considère une droite $\Delta$ et un point $M$ du plan.

  • Si le point $M$ n’appartient pas à la droite $\Delta$, le point d’intersection $M’$ de la droite $\Delta$ avec sa perpendiculaire passant par $M$ est appelé le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$;
  • Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors $M$ est son propre projeté orthogonal sur $\Delta$.

Propriété 5: Le projeté orthogonal du point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.

$\quad$

Preuve propriété 5

On appelle $M’$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $\Delta$.
Nous allons raisonner par disjonction de cas :

  • Si le point $M$ appartient à la droite $\Delta$ alors la distance entre les points $M$ et $M’$ est $MM’=0$.
    Pour tout point $P$ de la droite $\Delta$ différent de $M$ on a alors $MP>0$.
    Ainsi $MP>MM’$.
    $\quad$
  • Si le point $M$ n’appartient pas à la droite $\Delta$. On considère un point $P$ de la droite $\Delta$ différent de $M’$.

    Dans le triangle $MM’P$ rectangle en $M’$ on applique le théorème de Pythagore.
    Ainsi $MP^2=MM’^2+M’P^2$.
    Les points $M’$ et $P$ sont distincts. Donc $M’P>0$.
    Par conséquent $MP^2>MM’^2$.
    Les deux longueurs sont positives. On en déduit donc que $MP>MM’$.

Dans les deux cas, le point $M’$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.

[collapse]

$\quad$

Définition 4 : On considère une droite $\Delta$, un point $M$ du plan et son projeté orthogonal $M’$ sur la droite $\Delta$.
La distance $MM’$ est appelé distance du point $M$ à la droite $\Delta$.
Définition 5 : Dans un triangle $ABC$ la hauteur issue du point $A$ est la droite passant par le point $A$ et son projeté orthogonal $A’$ sur la droite $(BC)$.

$\quad$

III Dans un repère du plan

1. Définitions

Définition 6 : 

  • Pour définir un repère d’un plan, il suffit de fournir trois points non alignés $O$, $I$ et $J$. On note alors ce repère $(O;I,J)$. L’ordre dans lequel les points sont écrits est important.
  • Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, le repère $(O;I,J)$ est dit orthogonal.
  • Si le repère $(O;I,J)$ est orthogonal et que $OI = OJ$ alors le repère est dit orthonormé.

Définition 7 : On considère le repère $(O;I,J)$.

  • Le point $O$ est appelé l’origine du repère.
  • La droite $(OI)$ est appelé l’axe des abscisses. La longueur $OI$ est la longueur unité de cet axe.
  • La droite $(OJ)$ est appelé l’axe des ordonnées. La longueur $OJ$ est la longueur unité de cet axe.
2nd - cours - repérage dans le plan - fig1

Repère orthonormé

$\quad$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1bis

Repère orthogonal

Remarque 1 : Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l’axe des abscisse, cela signifie donc que $OI = 1$. C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

Définition 8 : Soit $M$ un point du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On construit le parallélogramme $OM_xMM_y$ tel que :

  • $M_x \in (OI)$
  • $M_y \in (OJ)$

On note alors $x_M = OM_x$ et $y_M = OM_y$.
Le couple $\left(x_M,y_M\right)$ est appelé coordonnées du point $M$.

$x_M$ est l’abscisse du point $M$ et $y_M$ est l’ordonnée du point $M$. Le couple ainsi défini est unique.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig2

Exemple : 

2nd - cours - repérage dans le plan - fig3

Les coordonnées de :

  • $A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
  • $B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
  • $C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
  • $D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$

Remarque 1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$.

Remarque 2 : On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$

Propriété 6 : On considère deux points $A$ et $B$ d’un plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

$\quad$

2. Milieu d’un segment

Propriété 7 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.

Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

Exemple 1 : Dans le repère $(O;I,J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont :
$\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig4

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$.

On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Soit $A\left(x_A,y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par $2$.
$\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}$

Par conséquent $x_A = 0$ et $y_A = 7$.
Ainsi $A(0;7)$.

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig5

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

Main méthode  Fiche méthode 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Main méthode  Fiche méthode 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

$\quad$

3. Longueur d’un segment

Propriété 8 : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig6

Exemple : Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$.
On a ainsi :
$$\begin{align*} AB^2 &=  \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\
&= (-2)^2 + 4^2 \\
&= 4 + 16 \\
&= 20 \\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$

Remarque 1 : Il est plus “pratique”, du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

Main méthode  Fiche méthode 3 : Déterminer la nature d’un triangle

$\quad$

IV Un peu d’histoire

Les coordonnées utilisées dans ce chapitre sont appelées des coordonnées cartésiennes. Le mot « cartésien » vient du mathématicien français René Descartes (1596 – 1650). Les grecs sont considérés comme les fondateurs de la géométrie et sont à l’origine de nombreuses découvertes dans ce domaine. La géométrie intervient de nos jours dans de nombreux aspects de la vie quotidienne comme par exemple l’utilisation des GPS ou la fabrication des verres correcteurs pour la vue.

$\quad$

2nd – Cours – Calcul numérique et bases de calcul littéral

Calcul numérique et bases de calcul littéral

I Calcul fractionnaire

Définition 1
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ avec $b$ non nul. L’écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$.
Une fraction est une écriture fractionnaire dans laquelle $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
$a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont des écritures fractionnaires tandis que $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{5}$ sont des fractions.

Propriété 1 (Somme)
Pour additionner ou soustraire deux écritures fractionnaires, celles-ci doivent avoir le même dénominateur.
On considère deux réels $a$ et $b$ et un réel non nul $c$.
On a alors $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{4+5}{7}=\dfrac{9}{7}$ $\qquad$ $\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Propriété 2(Multiplication par un réel)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ non nul.
On a alors $c\times \dfrac{a}{b} =\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{a\times c}{b}$.

$\quad$

Exemple : $4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4\times 3}{5}=\dfrac{12}{5}$

Propriété 3(Produit)
On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$

Propriété 4 (Simplification)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ et $c$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{3}$ $\qquad$ $4=\dfrac{4\times 5}{5}=\dfrac{20}{5}$

Remarque : C’est cette même propriété qu’on va utiliser pour ajouter ou soustraire deux écritures fractionnaires qui n’ont pas le même dénominateur.

Exemple : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}-\dfrac{5\times 3}{4\times 3}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{8-15}{12}=-\dfrac{7}{12}$

Définition 2
On considère un nombre réel non nul $a$. On appelle inverse du nombre $a$ le nombre $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples : L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et l’inverse de $0,7$ est $\dfrac{1}{0,7}$.

Attention : Ne pas confondre inverse et opposé.
L’inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2}$ alors que l’opposé de $2$ est $-2$.

Propriété 5 (Inverse)
On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$.
L’inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{1}{~~\dfrac{b}{a}~~}=\dfrac{b}{a}$.

$\quad$

Exemple : L’inverse de $\dfrac{3}{11}$ est $\dfrac{11}{3}$.

Propriété 6 (quotient)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{~~\dfrac{a}{b}~~}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{~~\dfrac{2}{7}~~}{\dfrac{3}{13}}=\dfrac{2}{7}\times \dfrac{13}{3}=\dfrac{26}{21}$

Toutes les règles de calculs vues les années précédentes s’appliquent également sur les écritures fractionnaires en particulier celles portant sur les priorités opératoires.

Exemple :
 $\begin{align*} \dfrac{2+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}}&=\dfrac{\dfrac{2\times 7}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1\times 5}{3\times 5}-\dfrac{4\times 3}{5\times 3}}\\
&=\dfrac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{5}{15}-\dfrac{12}{15}}\\
&=\dfrac{~~\dfrac{18}{7}~~}{-\dfrac{7}{15}}\\
&=-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{15}{7}\\
&=-\dfrac{270}{49}\end{align*}$

Propriété 7 (Égalité)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ssi a\times d=b\times c$ (égalité des produits en croix)

$\quad$

Remarque : Cette propriété va être utile pour résoudre certaines équations.

Propriété 8
On considère un nombre positif $a$ et un nombre réel strictement positif $b$.
On a alors $-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}$

Remarque : Dans la pratique, on évitera de garder dans les calculs des écritures fractionnaires du type $\dfrac{a}{-b}$.

Exemple : $-\dfrac{3}{5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{3}{-5}$
$\quad$

$\quad$

II Puissances

Définition 3
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On définit $a^n$, et on lit « $a$ puissance $n$» ou «$a$ exposant $n$», le nombre $\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs }}$.

$\quad$

Exemples : $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10~000$ ; $2^3=2\times 2\times 2=8$

Remarque : Pour tout réel $a$ on a donc $a^1=a$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on a $0^n=0$.

Convention : Pour tout réel $a$ non nul on note $a^0=1$.

Définition 4
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On a alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$\quad$

Exemples : $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$ ; $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}$

Remarque : Le signe « $-$» présent dans l’exposant ne présage en rien le signe de $a^{-n}$. Celui-ci va dépendre du signe de $a$ et de la parité de $n$.

Ainsi :

  • $3^{-5}$ est positif;
  • $(-2)^{-4}$ est également positif;
  • $(-5)^{-3}$ est négatif.

Propriété 9
On considère un nombre réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$.

  • $a^m\times a^n=a^{m+p}$
  • $\left(a^n\right)^m=\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
  • $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$\quad$

Exemples :

  • $5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$
  • $2^3\times 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
  • $\left(3^2\right)^4=3^{2\times 4}=3^8$
  • $\left(2^5\right)^{-3}=2^{5\times (-3)}=2^{-15}=\dfrac{1}{2^{15}}$
  • $\dfrac{4^2}{4^5}=4^{2-5}=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}$  $\dfrac{3^{4}}{3^{-5}}=3^{4-(-5)}=3^{4+5}=3^9$
  • $\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$$\dfrac{1}{3^{-2}}=3^{-(-2)}=3^2$

Propriété 10
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ et un entier relatif $n$.

  • $a^n\times b^n=(a\times b)^n$
  • $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

$\quad$

Exemples :

  • $2^4\times 5^4=(2\times 5)^4=10^4$
  • $\dfrac{12^5}{16^5}=\left(\dfrac{12}{16}\right)^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$

$\quad$

Remarque : Il faut connaître par cœur :

  • Les puissances de $2$ d’exposants $1$ à $10$;
  • Les carrés des entiers naturels compris entre $1$ et $16$.

$\quad$

Définition 5
On dit qu’on a donné l’écriture scientifique d’un nombre quand on l’a écrit sous la forme $a\times 10^{n}$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\pp |a|<10$ et $n$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemples : $105=1,05\times 10^2$ \qquad $0,000~02=2\times 10^{-5}$ \qquad $-2~365=-2,365\times 10^3$

$\quad$

III Racine carrée d’un nombre positif

1. Définition

Définition 6
On considère un nombre réel positif $a$. Il existe un unique réel positif dont le carré est égal à $a$.
Ce nombre est appelé la racine carrée de $\boldsymbol{a}$ et on le note $\sqrt{a}$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique la définition, un nombre négatif ne possède pas de racine carrée.

Propriété 11
On considère un nombre réel positif $a$. On a alors : $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$

$\quad$

Exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

Propriété 12
Pour tout nombre réel $a$ on a $\sqrt{a^2}=|a|$

$\quad$

Exemples : $\sqrt{6^2}=6$ et $\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$.

2. Opérations sur les racines carrées

Propriété 13
On considère deux nombres réels positifs $a$ et $b$. On a alors :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Si de plus $b>0$ on a alors :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$\quad$

Preuve Propriété 13

Montrons que $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ est positif en tant que produit de facteurs positifs.
$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2\times\left(\sqrt{b}\right)^2=a\times b$.
Par définition, il existe une unique nombre positif, $\sqrt{a\times b}$ dont le carré est $a\times b$.
Ainsi $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Il faut bien sûr comprendre que les égalités sont vraies dans les 2 sens.

Exemples :

  • $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
    $\quad$
  • $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{27}{75}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
    $\quad$

Attention : Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs on a, en général, $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemples :

  •  $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ et $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. On a donc $\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}$.
    $\quad$
  • $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ et $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$. On a donc $\sqrt{4-1}\neq \sqrt{4}-\sqrt{1}$.
    $\quad$

Plus précisément on a :

Propriété 14
On considère deux réels strictement positifs $a$ et $b$. On a alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\quad$

Preuve Propriété 14

D’une part :
$$\begin{align*}\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &= a+b-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\
&= a+b-\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{a}\times \sqrt{b}+\sqrt{b}\times \sqrt{a}+\sqrt{b}^2\right) \\
&=a+b-\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)\\
&=a+b-a-2\sqrt{ab}-b\\
&=-2\sqrt{ab} \\
&<0\end{align*}$$

D’autre part, en utilisant l’identité remarquable vue en troisième $x^2-y^2=(x-y)\times (x+y)$ avec $x=\sqrt{a+b}$ et $y=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ on obtient :
$$\begin{align*}
\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &=\left(\left(\sqrt{a+b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times \left(\left(\sqrt{a+b}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right) \\
&=\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)
\end{align*}$$

On a donc montré que $\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$.
Mais, en tant que somme de termes positifs, on sait que $\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Cela signifie donc que $\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$ soit $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

[collapse]

$\quad$

Propriété 15
On considère un nombre réel positif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $(a;n)\neq (0;0)$. On a alors $$\left(\sqrt{a}\right)^n =\sqrt{a^n}$$

$\quad$

Exemple : $\sqrt{2^3}=\left(\sqrt{2}\right)^3$.

$\quad$

IV Bases de calcul littéral

1. Développer et réduire

Définition 7

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes « semblables » (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :
$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 8
Factoriser
 une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-2x+5)$

$\quad$

4. Équations du premier degré

Définition 9
Deux équations sont dites équivalentes si elles sont définies sur le même ensemble et si elles ont le même ensemble de solutions.
Si deux équations $A(x)$ et $B(x)$ sont équivalents on écrit alors $A(x)\ssi B(x)$.

$\quad$

Exemples de résolution d’équations du premier degré :

  • $2x=7 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ \qquad La solution de l’équation est $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  • $-x=3 \ssi x=-3$ \qquad La solution de l’équation est $-3$
    $\quad$
  • $\dfrac{3}{2}x=4 \ssi x=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~} \ssi x=4\times \dfrac{2}{3} \ssi x=\dfrac{8}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$
  • $4x-5=3 \ssi 4x=3+5 \ssi 4x=8 \ssi x=2$ \qquad La solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
  • $3x+1=2x \ssi 1=2x-3x \ssi 1=-x \ssi -1=x$ \qquad La solution de l’équation est $-1$.
    $\quad$
  • $8x+3=-2x-1 \ssi 8x+2x+3=-1 \ssi 10x+3=-1 \ssi 10x=-1-3 \ssi 10x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{10} \ssi x=-\dfrac{2}{5}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{2}{5}$.

$\quad$

5. Équations produit nul

Définition 10
On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

$\quad$

V Un peu d’histoire

Héron d’Alexandrie, grec du premier siècle, a fourni l’une des plus anciennes méthodes permettant de fournir une approximation des racines carrées. Celle-ci s’appuie sur des considérations géométrique pour fournir une valeur approchée de la racine carrée cherchée.

$\quad$

2nd – Cours – Ensembles de nombres et intervalles

Ensembles de nombres et intervalles

I Ensembles de nombres

Depuis le début de la scolarité en mathématiques, différents types de nombres ont été manipulés sans forcément donner un nom aux ensembles utilisés.
Voici donc les différents ensembles de nombres à notre disposition :

  • Les entiers naturels
    Il contient tous les nombres entiers positifs ou nuls : $0, 1, 2, \ldots, 300, \ldots$
    Cet ensemble contient une infinité de valeurs. On le note $\N$.
    $\quad$
  • Les entiers relatifs
    Cet ensemble contient tous les entiers naturels ainsi que leurs opposés. C’est donc l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : $\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$
    On le note $\Z$.
    $\quad$
  • Les nombres décimaux
    Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif et d’une puissance de $10$.
    Par exemple : $-2=\dfrac{-2}{1}$ ; $13=\dfrac{13}{1}$ ; $-12,7=\dfrac{-127}{10}$ ; $0,003=\dfrac{3}{1~000}$ sont des nombres décimaux.
    On note cet ensemble $\D$.
    $\quad$
  • Les nombres rationnels
    Cet ensemble contient tous les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
    Il contient donc tous les nombres décimaux.
    Par exemple : $-\dfrac{5}{7}$ ; $-12=\dfrac{-12}{1}$ ; $3=\dfrac{3}{1}$ ; $\dfrac{135}{17}$ sont des nombres rationnels.
    Cet ensemble est noté $\Q$.

$\quad$

Définition 1
On considère une droite graduée munie d’une origine $O$.
L’ensemble des abscisses des points de cette droite est appelé l’ensemble des nombres réels.
On le note $\R$.

$\quad$

Remarques :

  • Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux ni rationnels.
  • On dit qu’un nombre est irrationnel s’il n’est pas rationnel.

$\quad$

Propriété 1
L’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres décimaux qui est contenu dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On note : $$\N\subset \Z \subset \D\subset \Q\subset \R$$

 

$\quad$

Propriété 2

Le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Preuve Propriété 2

Pour montrer cette propriété, nous allons raisonner par l’absurde, c’est-à-dire supposer une propriété vraie et montrer qu’on obtient une contradiction.

Supposons que $\dfrac{1}{3}\in \D$. Il existe donc un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$.
Cela signifie donc, en utilisant les produits en croix, que $10^{n}=3a$.
$3a$ est un multiple de $3$. Par conséquent $10^n=3a$ est également un multiple de $3$.
Donc $3$ divise $10$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Cela signifie par conséquent que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercices sur les ensembles de nombres

$\quad$

II Intervalles

Définition 2
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $\boldsymbol{]a;b[}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $\boldsymbol{[a;b]}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x \pp b$.

$\quad$

Exemples :

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarques :

  • On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
    $\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x < b$
    $\quad$ $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \pp b$
  • La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.

$\quad$

Exemple : $[-2;5[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

$\quad$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \pp x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit « plus l’infini », et $-\infty$, qui se lit « moins l’infini ».

Définition 3
Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\pp a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \pp x$.

$\quad$

Remarque 1: L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

Exemples :

  • l’intervalle $]-\infty;8]$ est l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à $8$;
  • l’intervalle $[3;+\infty[$ est l’ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $3$;

Remarque 2: On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (où $\cup$ signifie « union »)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

Voici des exemples illustrant les différents cas de figure qu’on peut rencontrer :

Définition 4
On considère deux intervalles $I$ et $J$.

  • $I\cup J$ (on lit « $I$ union $J$ ») est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’intervalle $I$ ou à l’intervalle $J$ (éventuellement aux deux).
  • $I\cap J$ (on lit « $I$ inter $J$ ») est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à l’intervalle $I$ et à l’intervalle $J$.

$\quad$

Exemples :

  • $[-2;6]\cup[3;8] = [-2;8]$;
  • $[-2;6]\cap[3;8] = [3;6]$;
  • $[-4;1]\cap[2;3] = \emptyset$ : les deux intervalles n’ont aucun nombres en commun.

Propriété 3
On considère deux réels $a$ et $b$.

  • $a<b$ est équivalent à $a-b<0$
  • $a>b$ est équivalent à $a-b>0$

$\quad$

Remarque : On peut écrire les mêmes inégalités en utilisant les symboles $\pp$ et $\pg$.

Ainsi si on veut déterminer lequel des deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand on peut étudier le signe de $a-b$.

Définition 5
Encadrer un nombre $x$ revient à déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a\pp x\pp b$.
Le nombre $b-a$ est appelé l’amplitude de cet encadrement.

$\quad$

Exemple : $1,41 \pp \sqrt{2} \pp 1,42$. L’amplitude de cet encadrement de $\sqrt{2}$ est $1,42-1,41=0,01$.

Définition 6
On considère un entier naturel $n$ et nombre réel $x$.
Fournir un encadrement à $10^{-n}$ près du nombre $x$ consiste à donner un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ contenant le réel $x$.

$\quad$

Exemple : $3,141 \pp \pi \pp 3,142$ est un encadrement à $10^{-3}$ près de $\pi$.

$\quad$

Exercices sur les intervalles

Exercices sur les encadrements

$\quad$

III Valeur absolue d’un nombre réel

Définition 7
On considère deux points $A$ et $B$ d’une droite graduée dont les abscisses respectives sont $a$ et $b$ avec $a<b$.
On appelle distance entre les deux points $A$ et $B$ le nombre $b-a$.

$\quad$

Exemple :
La distance entre les points $A$ et $B$ est égale à $3-(-2)=5$.

Définition 8
On considère un point $A$ d’abscisse $a$ d’une droite graduée d’origine $O$. On appelle valeur absolue de $a$, notée $|a|$ , la distance entre les points $A$ et $O$.

$\quad$

Propriété 4
On considère un nombre réel $x$. On a alors $|x|=\begin{cases}\phantom{-}x &\text{ si } x\pg 0\\-x&\text{ si } x<0\end{cases}$.

$\quad$

Exemples : $|2,5|=2,5-0=2,5$ ; $|-3,2|=0-(-3,2)=3,2$.

Propriété 5
On considère un nombre réel $a$ positif ou nul.

  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|=a$ est $\left\{ -a;a\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|<a$ est $]-a;a[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pp a$ est $[-a;a]$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|>a$ est $]-\infty;-a[~\cup~ ]a;+\infty[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pg a$ est $]-\infty;-a]\cup [a;+\infty[$.

$\quad$

Exemples :

  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|=1$ est $\left\{-1;1\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|<2$ est $]-2;2[$;
  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|\pg 5$ est $]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[$.
Propriété 6
On considère deux nombres $A$ et $B$ d’une droite graduée d’abscisses respectives $a$ et $B$.
On a alors $AB=|a-b|$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

  • Si $a\pg b$ alors $AB=a-b$.
    Puisque $a\pg b$, cela signifie que $a-b\pg 0$ donc $|a-b|=a-b=AB$.
  • Si $a\pp b$ alors $AB=b-a$.
    Puisque $a\pp b$, cela signifie que $a-b\pp 0$ donc $|a-b|=-(a-b)=b-a=AB$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : La distance entre le point $A$ d’abscisse $-4$ et le point $B$ d’abscisse $5$ est $|-4-5|=9$.

Propriété 7
On considère un nombre réel $a$ et un nombre réel strictement positif $r$.
On a alors $x\in [a-r;a+r] \ssi |x-a| \pp r$.

$\quad$

Exemple : On considère l’intervalle $I=[6;9]$. Le centre de l’intervalle est donc $a=\dfrac{6+9}{2}=7,5$.
Ainsi $r=9-7,5=1,5$.
Par conséquent $x\in [6;9] \ssi |x-7,5|\pp 1,5$

$\quad$

Exercices sur la valeur absolue

$\quad$

IV Notations

On utilise parfois, seulement dans un contexte mathématique et donc jamais au sein d’une phrase, quelques symboles dits mathématiques :

  • $\in$, qui se lit « appartient à » et $\notin$ qui se lit « n’appartient pas à ».
    On peut écrire $x\in [2;3]$ ou $A\in (AB)$ et $-3\notin [1;2]$
    $\quad$
  • $\forall$ qui se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
    On peut écrire $\forall x\in [2;3]$ pour dire « pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;3]$ ».
    $\quad$
  • $\ssi$ qui se lit « si, et seulement si » ou « est équivalent à ».
    Ce symbole se place par exemple entre deux équations : $x-2=3 \ssi x=5$.
    Attention à ne pas confondre les symboles $\ssi$ et $=$ .

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V Quelques points d’histoire

Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des babyloniens (entre, environ, $-2~000$ et $-1~600$ avant notre ère). Sur une tablette exposée à l’université de Yale, on peut y voir la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.

Le nombre d’or, dont la valeur est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, est un nombre irrationnel connu depuis au moins l’antiquité qui a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

Archimède a été le premier à donner une méthode mathématique fournissant un encadrement du nombre $\pi$. En 2019, Emma Haruka Iwao a trouvé les $3~141~592~653~589$ premières décimales de $\pi$.

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