2nd – Cours – Calcul numérique et bases de calcul littéral

Calcul numérique et bases de calcul littéral

I Calcul fractionnaire

Définition 1
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ avec $b$ non nul. L’écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$.
Une fraction est une écriture fractionnaire dans laquelle $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
$a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont des écritures fractionnaires tandis que $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{5}$ sont des fractions.

Propriété 1 (Somme)
Pour additionner ou soustraire deux écritures fractionnaires, celles-ci doivent avoir le même dénominateur.
On considère deux réels $a$ et $b$ et un réel non nul $c$.
On a alors $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{4+5}{7}=\dfrac{9}{7}$ $\qquad$ $\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Propriété 2(Multiplication par un réel)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ non nul.
On a alors $c\times \dfrac{a}{b} =\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{a\times c}{b}$.

$\quad$

Exemple : $4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4\times 3}{5}=\dfrac{12}{5}$

Propriété 3(Produit)
On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$

Propriété 4 (Simplification)
On considère trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $b$ et $c$ non nuls.
On a alors $\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{3}$ $\qquad$ $4=\dfrac{4\times 5}{5}=\dfrac{20}{5}$

Remarque : C’est cette même propriété qu’on va utiliser pour ajouter ou soustraire deux écritures fractionnaires qui n’ont pas le même dénominateur.

Exemple : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}-\dfrac{5\times 3}{4\times 3}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{8-15}{12}=-\dfrac{7}{12}$

Définition 2
On considère un nombre réel non nul $a$. On appelle inverse du nombre $a$ le nombre $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples : L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et l’inverse de $0,7$ est $\dfrac{1}{0,7}$.

Attention : Ne pas confondre inverse et opposé.
L’inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2}$ alors que l’opposé de $2$ est $-2$.

Propriété 5 (Inverse)
On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$.
L’inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{1}{~~\dfrac{b}{a}~~}=\dfrac{b}{a}$.

$\quad$

Exemple : L’inverse de $\dfrac{3}{11}$ est $\dfrac{11}{3}$.

Propriété 6 (quotient)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a alors $\dfrac{~~\dfrac{a}{b}~~}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{~~\dfrac{2}{7}~~}{\dfrac{3}{13}}=\dfrac{2}{7}\times \dfrac{13}{3}=\dfrac{26}{21}$

Toutes les règles de calculs vues les années précédentes s’appliquent également sur les écritures fractionnaires en particulier celles portant sur les priorités opératoires.

Exemple :
 $\begin{align*} \dfrac{2+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}}&=\dfrac{\dfrac{2\times 7}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1\times 5}{3\times 5}-\dfrac{4\times 3}{5\times 3}}\\
&=\dfrac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{5}{15}-\dfrac{12}{15}}\\
&=\dfrac{~~\dfrac{18}{7}~~}{-\dfrac{7}{15}}\\
&=-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{15}{7}\\
&=-\dfrac{270}{49}\end{align*}$

Propriété 7 (Égalité)
On considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b$ et $d$ non nuls.
On a $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ssi a\times d=b\times c$ (égalité des produits en croix)

$\quad$

Remarque : Cette propriété va être utile pour résoudre certaines équations.

Propriété 8
On considère un nombre positif $a$ et un nombre réel strictement positif $b$.
On a alors $-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}$

Remarque : Dans la pratique, on évitera de garder dans les calculs des écritures fractionnaires du type $\dfrac{a}{-b}$.

Exemple : $-\dfrac{3}{5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{3}{-5}$
$\quad$

$\quad$

II Puissances

Définition 3
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On définit $a^n$, et on lit « $a$ puissance $n$» ou «$a$ exposant $n$», le nombre $\underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs }}$.

$\quad$

Exemples : $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10~000$ ; $2^3=2\times 2\times 2=8$

Remarque : Pour tout réel $a$ on a donc $a^1=a$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on a $0^n=0$.

Convention : Pour tout réel $a$ non nul on note $a^0=1$.

Définition 4
On considère un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul.
On a alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$\quad$

Exemples : $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$ ; $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}$

Remarque : Le signe « $-$» présent dans l’exposant ne présage en rien le signe de $a^{-n}$. Celui-ci va dépendre du signe de $a$ et de la parité de $n$.

Ainsi :

  • $3^{-5}$ est positif;
  • $(-2)^{-4}$ est également positif;
  • $(-5)^{-3}$ est négatif.

Propriété 9
On considère un nombre réel $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$.

  • $a^m\times a^n=a^{m+p}$
  • $\left(a^n\right)^m=\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$
  • $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$\quad$

Exemples :

  • $5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$
  • $2^3\times 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
  • $\left(3^2\right)^4=3^{2\times 4}=3^8$
  • $\left(2^5\right)^{-3}=2^{5\times (-3)}=2^{-15}=\dfrac{1}{2^{15}}$
  • $\dfrac{4^2}{4^5}=4^{2-5}=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}$  $\dfrac{3^{4}}{3^{-5}}=3^{4-(-5)}=3^{4+5}=3^9$
  • $\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$$\dfrac{1}{3^{-2}}=3^{-(-2)}=3^2$

Propriété 10
On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ et un entier relatif $n$.

  • $a^n\times b^n=(a\times b)^n$
  • $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

$\quad$

Exemples :

  • $2^4\times 5^4=(2\times 5)^4=10^4$
  • $\dfrac{12^5}{16^5}=\left(\dfrac{12}{16}\right)^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$

$\quad$

Remarque : Il faut connaître par cœur :

  • Les puissances de $2$ d’exposants $1$ à $10$;
  • Les carrés des entiers naturels compris entre $1$ et $16$.

$\quad$

Définition 5
On dit qu’on a donné l’écriture scientifique d’un nombre quand on l’a écrit sous la forme $a\times 10^{n}$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\pp |a|<10$ et $n$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemples : $105=1,05\times 10^2$ \qquad $0,000~02=2\times 10^{-5}$ \qquad $-2~365=-2,365\times 10^3$

$\quad$

III Racine carrée d’un nombre positif

1. Définition

Définition 6
On considère un nombre réel positif $a$. Il existe un unique réel positif dont le carré est égal à $a$.
Ce nombre est appelé la racine carrée de $\boldsymbol{a}$ et on le note $\sqrt{a}$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique la définition, un nombre négatif ne possède pas de racine carrée.

Propriété 11
On considère un nombre réel positif $a$. On a alors : $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$

$\quad$

Exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

Propriété 12
Pour tout nombre réel $a$ on a $\sqrt{a^2}=|a|$

$\quad$

Exemples : $\sqrt{6^2}=6$ et $\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$.

2. Opérations sur les racines carrées

Propriété 13
On considère deux nombres réels positifs $a$ et $b$. On a alors :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
Si de plus $b>0$ on a alors :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$\quad$

Preuve Propriété 13

Montrons que $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ est positif en tant que produit de facteurs positifs.
$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2\times\left(\sqrt{b}\right)^2=a\times b$.
Par définition, il existe une unique nombre positif, $\sqrt{a\times b}$ dont le carré est $a\times b$.
Ainsi $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Il faut bien sûr comprendre que les égalités sont vraies dans les 2 sens.

Exemples :

  • $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
    $\quad$
  • $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{27}{75}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
    $\quad$

Attention : Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs on a, en général, $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemples :

  •  $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ et $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. On a donc $\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}$.
    $\quad$
  • $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ et $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$. On a donc $\sqrt{4-1}\neq \sqrt{4}-\sqrt{1}$.
    $\quad$

Plus précisément on a :

Propriété 14
On considère deux réels strictement positifs $a$ et $b$. On a alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

$\quad$

Preuve Propriété 14

D’une part :
$$\begin{align*}\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &= a+b-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\
&= a+b-\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{a}\times \sqrt{b}+\sqrt{b}\times \sqrt{a}+\sqrt{b}^2\right) \\
&=a+b-\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)\\
&=a+b-a-2\sqrt{ab}-b\\
&=-2\sqrt{ab} \\
&<0\end{align*}$$

D’autre part, en utilisant l’identité remarquable vue en troisième $x^2-y^2=(x-y)\times (x+y)$ avec $x=\sqrt{a+b}$ et $y=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ on obtient :
$$\begin{align*}
\left(\sqrt{a+b}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 &=\left(\left(\sqrt{a+b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times \left(\left(\sqrt{a+b}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right) \\
&=\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)
\end{align*}$$

On a donc montré que $\left(\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right)\times\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$.
Mais, en tant que somme de termes positifs, on sait que $\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Cela signifie donc que $\sqrt{a+b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$ soit $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

[collapse]

$\quad$

Propriété 15
On considère un nombre réel positif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $(a;n)\neq (0;0)$. On a alors $$\left(\sqrt{a}\right)^n =\sqrt{a^n}$$

$\quad$

Exemple : $\sqrt{2^3}=\left(\sqrt{2}\right)^3$.

$\quad$

IV Bases de calcul littéral

1. Développer et réduire

Définition 7

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes « semblables » (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :
$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 8
Factoriser
 une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-2x+5)$

$\quad$

4. Équations du premier degré

Définition 9
Deux équations sont dites équivalentes si elles sont définies sur le même ensemble et si elles ont le même ensemble de solutions.
Si deux équations $A(x)$ et $B(x)$ sont équivalents on écrit alors $A(x)\ssi B(x)$.

$\quad$

Exemples de résolution d’équations du premier degré :

  • $2x=7 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ \qquad La solution de l’équation est $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  • $-x=3 \ssi x=-3$ \qquad La solution de l’équation est $-3$
    $\quad$
  • $\dfrac{3}{2}x=4 \ssi x=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~} \ssi x=4\times \dfrac{2}{3} \ssi x=\dfrac{8}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$
  • $4x-5=3 \ssi 4x=3+5 \ssi 4x=8 \ssi x=2$ \qquad La solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
  • $3x+1=2x \ssi 1=2x-3x \ssi 1=-x \ssi -1=x$ \qquad La solution de l’équation est $-1$.
    $\quad$
  • $8x+3=-2x-1 \ssi 8x+2x+3=-1 \ssi 10x+3=-1 \ssi 10x=-1-3 \ssi 10x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{10} \ssi x=-\dfrac{2}{5}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{2}{5}$.

$\quad$

5. Équations produit nul

Définition 10
On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

$\quad$

V Un peu d’histoire

Héron d’Alexandrie, grec du premier siècle, a fourni l’une des plus anciennes méthodes permettant de fournir une approximation des racines carrées. Celle-ci s’appuie sur des considérations géométrique pour fournir une valeur approchée de la racine carrée cherchée.

$\quad$

2nd – Cours – Ensembles de nombres et intervalles

Ensembles de nombres et intervalles

I Ensembles de nombres

Depuis le début de la scolarité en mathématiques, différents types de nombres ont été manipulés sans forcément donner un nom aux ensembles utilisés.
Voici donc les différents ensembles de nombres à notre disposition :

  • Les entiers naturels
    Il contient tous les nombres entiers positifs ou nuls : $0, 1, 2, \ldots, 300, \ldots$
    Cet ensemble contient une infinité de valeurs. On le note $\N$.
    $\quad$
  • Les entiers relatifs
    Cet ensemble contient tous les entiers naturels ainsi que leurs opposés. C’est donc l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : $\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$
    On le note $\Z$.
    $\quad$
  • Les nombres décimaux
    Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif et d’une puissance de $10$.
    Par exemple : $-2=\dfrac{-2}{1}$ ; $13=\dfrac{13}{1}$ ; $-12,7=\dfrac{-127}{10}$ ; $0,003=\dfrac{3}{1~000}$ sont des nombres décimaux.
    On note cet ensemble $\D$.
    $\quad$
  • Les nombres rationnels
    Cet ensemble contient tous les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
    Il contient donc tous les nombres décimaux.
    Par exemple : $-\dfrac{5}{7}$ ; $-12=\dfrac{-12}{1}$ ; $3=\dfrac{3}{1}$ ; $\dfrac{135}{17}$ sont des nombres rationnels.
    Cet ensemble est noté $\Q$.

$\quad$

Définition 1
On considère une droite graduée munie d’une origine $O$.
L’ensemble des abscisses des points de cette droite est appelé l’ensemble des nombres réels.
On le note $\R$.

$\quad$

Remarques :

  • Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux ni rationnels.
  • On dit qu’un nombre est irrationnel s’il n’est pas rationnel.

$\quad$

Propriété 1
L’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres décimaux qui est contenu dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On note : $$\N\subset \Z \subset \D\subset \Q\subset \R$$

 

$\quad$

Propriété 2

Le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Preuve Propriété 2

Pour montrer cette propriété, nous allons raisonner par l’absurde, c’est-à-dire supposer une propriété vraie et montrer qu’on obtient une contradiction.

Supposons que $\dfrac{1}{3}\in \D$. Il existe donc un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{n}}$.
Cela signifie donc, en utilisant les produits en croix, que $10^{n}=3a$.
$3a$ est un multiple de $3$. Par conséquent $10^n=3a$ est également un multiple de $3$.
Donc $3$ divise $10$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Cela signifie par conséquent que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercices sur les ensembles de nombres

$\quad$

II Intervalles

Définition 2
On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $\boldsymbol{]a;b[}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $\boldsymbol{[a;b]}$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x \pp b$.

$\quad$

Exemples :

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarques :

  • On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
    $\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x < b$
    $\quad$ $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \pp b$
  • La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.

$\quad$

Exemple : $[-2;5[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

$\quad$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \pp x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit « plus l’infini », et $-\infty$, qui se lit « moins l’infini ».

Définition 3
Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\pp a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \pp x$.

$\quad$

Remarque 1: L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

Exemples :

  • l’intervalle $]-\infty;8]$ est l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à $8$;
  • l’intervalle $[3;+\infty[$ est l’ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $3$;

Remarque 2: On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (où $\cup$ signifie « union »)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

Voici des exemples illustrant les différents cas de figure qu’on peut rencontrer :

Définition 4
On considère deux intervalles $I$ et $J$.

  • $I\cup J$ (on lit \og $I$ union $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’intervalle $I$ ou à l’intervalle $J$ (éventuellement aux deux).
  • $I\cap J$ (on lit \og $I$ inter $J$ \fg{}) est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à l’intervalle $I$ et à l’intervalle $J$.

$\quad$

Exemples :

  • $[-2;6]\cup[3;8] = [-2;8]$;
  • $[-2;6]\cap[3;8] = [3;6]$;
  • $[-4;1]\cap[2;3] = \emptyset$ : les deux intervalles n’ont aucun nombres en commun.

Propriété 3
On considère deux réels $a$ et $b$.

  • $a<b$ est équivalent à $a-b<0$
  • $a>b$ est équivalent à $a-b>0$

$\quad$

Remarque : On peut écrire les mêmes inégalités en utilisant les symboles $\pp$ et $\pg$.

Ainsi si on veut déterminer lequel des deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand on peut étudier le signe de $a-b$.

Définition 5
Encadrer un nombre $x$ revient à déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a\pp x\pp b$.
Le nombre $b-a$ est appelé l’amplitude de cet encadrement.

$\quad$

Exemple : $1,41 \pp \sqrt{2} \pp 1,42$. L’amplitude de cet encadrement de $\sqrt{2}$ est $1,42-1,41=0,01$.

Définition 6
On considère un entier naturel $n$ et nombre réel $x$.
Fournir un encadrement à $10^{-n}$ près du nombre $x$ consiste à donner un encadrement d’amplitude $10^{-n}$ contenant le réel $x$.

$\quad$

Exemple : $3,141 \pp \pi \pp 3,142$ est un encadrement à $10^{-3}$ près de $\pi$.

$\quad$

Exercices sur les intervalles

Exercices sur les encadrements

$\quad$

III Valeur absolue d’un nombre réel

Définition 7
On considère deux points $A$ et $B$ d’une droite graduée dont les abscisses respectives sont $a$ et $b$ avec $a<b$.
On appelle distance entre les deux points $A$ et $B$ le nombre $b-a$.

$\quad$

Exemple :
La distance entre les points $A$ et $B$ est égale à $3-(-2)=5$.

Définition 8
On considère un point $A$ d’abscisse $a$ d’une droite graduée d’origine $O$. On appelle valeur absolue de $a$, notée $|a|$ , la distance entre les points $A$ et $O$.

$\quad$

Propriété 4
On considère un nombre réel $x$. On a alors $|x|=\begin{cases}\phantom{-}x &\text{ si } x\pg 0\\-x&\text{ si } x<0\end{cases}$.

$\quad$

Exemples : $|2,5|=2,5-0=2,5$ ; $|-3,2|=0-(-3,2)=3,2$.

Propriété 5
On considère un nombre réel $a$ positif ou nul.

  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|=a$ est $\left\{ -a;a\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|<a$ est $]-a;a[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pp a$ est $[-a;a]$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|>a$ est $]-\infty;-a[~\cup~ ]a;+\infty[$;
  • L’ensemble des nombres réels $x$ vérifiant $|x|\pg a$ est $]-\infty;-a]\cup [a;+\infty[$.

$\quad$

Exemples :

  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|=1$ est $\left\{-1;1\right\}$;
  • L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|<2$ est $]-2;2[$;
  • item L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|\pg 5$ est $]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[$.
Propriété 6
On considère deux nombres $A$ et $B$ d’une droite graduée d’abscisses respectives $a$ et $B$.
On a alors $AB=|a-b|$.

$\quad$

Preuve Propriété 6

  • Si $a\pg b$ alors $AB=a-b$.
    Puisque $a\pg b$, cela signifie que $a-b\pg 0$ donc $|a-b|=a-b=AB$.
  • Si $a\pp b$ alors $AB=b-a$.
    Puisque $a\pp b$, cela signifie que $a-b\pp 0$ donc $|a-b|=-(a-b)=b-a=AB$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : La distance entre le point $A$ d’abscisse $-4$ et le point $B$ d’abscisse $5$ est $|-4-5|=9$.

Propriété 7
On considère un nombre réel $a$ et un nombre réel strictement positif $r$.
On a alors $x\in [a-r;a+r] \ssi |x-a| \pp r$.

$\quad$

Exemple : On considère l’intervalle $I=[6;9]$. Le centre de l’intervalle est donc $a=\dfrac{6+9}{2}=7,5$.
Ainsi $r=9-7,5=1,5$.
Par conséquent $x\in [6;9] \ssi |x-7,5|\pp 1,5$

$\quad$

Exercices sur la valeur absolue

$\quad$

IV Notations

On utilise parfois, seulement dans un contexte mathématique et donc jamais au sein d’une phrase, quelques symboles dits mathématiques :

  • $\in$, qui se lit « appartient à » et $\notin$ qui se lit « n’appartient pas à ».
    On peut écrire $x\in [2;3]$ ou $A\in (AB)$ et $-3\notin [1;2]$
    $\quad$
  • $\forall$ qui se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
    On peut écrire $\forall x\in [2;3]$ pour dire \og pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;3]$\fg{}.
    $\quad$
  • $\ssi$ qui se lit « si, et seulement si » ou « est équivalent à ».
    Ce symbole se place par exemple entre deux équations : $x-2=3 \ssi x=5$.
    Attention à ne pas confondre les symboles $\ssi$ et $=$ .

$\quad$

V Quelques points d’histoire

Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des babyloniens (entre, environ, $-2~000$ et $-1~600$ avant notre ère). Sur une tablette exposée à l’université de Yale, on peut y voir la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.

Le nombre d’or, dont la valeur est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, est un nombre irrationnel connu depuis au moins l’antiquité qui a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

Archimède a été le premier à donner une méthode mathématique fournissant un encadrement du nombre $\pi$. En 2019, Emma Haruka Iwao a trouvé les $3~141~592~653~589$ premières décimales de $\pi$.

$\quad$

2nd – Cours – Configurations du plan

Configurations du plan

I Parallélogramme

1. Généralités

Définition 1 : Un quadrilatère ayant ses côtés opposés deux à deux parallèles est un parallélogramme.

Propriété 1 :

  • Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
  • Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
  • Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
  • Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est son centre de symétrie.

Comment prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?

  • Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.
  • Les côtés opposés du quadrilatère non croisé sont de même longueur.
  • Deux côtés opposés du quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur.

$\quad$

2. Rectangle

Définition 2 : Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle.

 

Propriété 2 :

  • Un rectangle possède toutes les propriétés des parallélogramme.
  • Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur.

Comment montrer qu’un quadrilatère est un rectangle?

  • Le quadrilatère possède trois angles droits.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.

$\quad$

3. Losange

Définition 3 : Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange.

Propriété 3 : 

  • Un losange possède toutes les propriétés des parallélogramme.
  • Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

Comment montrer qu’un quadrilatère est un losange?

  • Le quadrilatère est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur.
  • Le quadrilatère est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

$\quad$

4. Carré

Définition 4 : Un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un carré.

Propriété 4 : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Remarque : Pour montrer qu’un quadrilatère est un carré, on montre que c’est un rectangle et un losange.

$\quad$


$\quad$

II Dans un triangle

1. Médiatrices

Définition 5 : La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite constituée des points $M$ équidistants (à la même distance) des extrémités du segment.

Propriété 5 : La médiatrice d’un segment coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
Propriété 6 : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit à ce triangle.

$\quad$

2. Hauteurs

Définition 6 : Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Propriété 7 : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé l’orthocentre de ce triangle.

$\quad$

3. Bissectrices

Définition 7 : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriété 8 : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point $I$ appelé le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

$\quad$

4. Médianes

Définition 8 : Dans un triangle, une médiane est une droite passant par sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété 9 : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point $G$ appelé centre de gravité de ce triangle.
Propriété 10 : Le centre de gravité d’un triangle est situé au deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

$\quad$

5. Dans les triangles isocèles et équilatéraux

Définition 9 :

  • Un triangle est dit isocèle s’il possède deux côtés de même longueur.
  • Un triangle est dit équilatéral si ses trois côtés ont la même longueur.

Remarque : Un triangle équilatéral est également isocèle.

Propriété 11 :Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, la hauteur, la médiatrice, la bissectrice et la médiane issue du sommet $A$ sont confondues.

Remarque : Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour chacun des trois sommets.

$\quad$

6. Théorème de Pythagore

Théorème 1 : Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BC^2=AB^2+AC^2$.

Remarque (contraposée) : Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2\neq AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $A$.

Propriété 12 (Réciproque) : Si dans un triangle $ABC$ on a la relation $BC^2=AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

$\quad$

7. Théorème de Thalès

Théorème 2 :On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$.


Remarque (contraposée) : Si, dans les configurations ci-dessus, $\dfrac{AD}{AB}\neq \dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

Propriété 13 (Réciproque) : On considère un triangle $ABC$, un point $D$ appartenant à la droite $(AB)$ distinct de $A$ et un point $E$ appartenant à la droite $(AC)$ distinct de $A$ tels que les points $A,B,D$ et $A,B,E$ soient alignés dans le même ordre.
Si $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Un cas particulier du théorème de Thalès et de sa réciproque.

Propriété 14 (Théorème des milieux) :

  • Dans un triangle $ABC$ on considère les points $D$ et $E$ respectivement milieux des segments $[AB]$ et $[AC]$ alors les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
  • Dans un triangle $ABC$ on considère le point $D$ milieu du segment $[AB]$ alors la droite parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $E$.

$\quad$

8. Triangle rectangle et cercle

Théorème 3 : On considère un cercle de diamètre $[AB]$. Pour tout point $C$ (distinct de $A$ et de $B$), le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Propriété 15 (Réciproque) : Si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[AB]$ alors il est rectangle en $C$.

$\quad$

 

9. Triangle rectangle et médiane

Propriété 16 : On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$. La longueur de la médiane issue de $A$ est égale à la moitié de l’hypoténuse $[BC]$.

$\quad$

$\quad$

Propriété 17 (Réciproque) : On considère un triangle $ABC$. Si la médiane issue de $A$ a une longueur égale à la moitié du segment $[BC]$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

$\quad$

10. Trigonométrie dans un triangle rectangle

Définition 10 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ on définit :

  • $\cos \widehat{B}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypténuse}}$
  • $\sin \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypténuse}}$
  • $\tan \widehat{B}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

$\quad$

III Angles

Ces définitions et propriétés étaient au programme du collège avant la réforme mise en place en 2016 et sont parfois encore vues par certains enseignants.

1. Différents types d’angles

Définition 11 : Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Propriété 18 : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Définition 12 : Deux angles sont dits adjacents s’ils vérifient les trois propriétés suivantes : :

  • ils ont le même sommet;
  • ils ont un côté en commun;
  • ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.


Définition 13 : Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure vaut $90$°.

Définition 14 : Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure vaut $180$°.


Définition 15 : Deux angles sont dits correspondants lorsqu’ils sont situés :

  • du même côté de la droite $\Delta$;
  • l’un entre les droites $d_1$ et $d_2$ et l’autre ne l’est pas.

Propriété 19 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles correspondants $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

Définition 16 : Deux angles sont dits alternes-internes lorsqu’ils sont situés :

  • de part et d’autre de la droite $\Delta$;
  • entre les droites $d_1$ et $d_2$.

Propriété 20 : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si, et seulement si, les angles alternes-internes $\alpha$ et $\beta$ ont la même mesure.

$\quad$

2. Angles au centre et angles inscrits

Définition 17 : On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est le centre d’un cercle.

Définition 18 : On appelle angle inscrit tout angle dont le sommet est un point du cercle et les côtés sont sécants avec le cercle.

Propriété 21 : Si, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit intercepte le même arc alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit.


Propriété 22 : Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure.

2nd – Cours – Identités remarquables

Identités remarquables

I Rappels

1. Développer et réduire

 Définition 1 :

  • Développer une expression littérale c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
  • Réduire une expression littérale c’est regrouper les termes “semblables” (et effectuer les calculs associés) afin que chaque terme ne soit plus présent qu’une seule fois.

$\quad$

Exemple :

$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

  • La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
  • La double distributivité :

$\quad$

3. Factoriser

Définition 2 : Factoriser une expression littérale c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemples :

  • $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
  • $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
  • $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-x+5)$

$\quad$

$\quad$

II Identités remarquables

 Propriété 1 :

On considère deux nombres quelconques $a$ et $b$.

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$\quad$

Remarque : Cette propriété s’utilise aussi bien pour développer une expression que pour la factoriser.

Preuve Propriété 1
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^2&=(a+b)(a+b) \\
    &=a^2+ab+ba+b^2\\
    &=a^2+2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)^2&=(a-b)(a-b) \\
    &=a^2-ab-ba-b\times (-b)\\
    &=a^2-2ab+b^2
    \end{align*}$
  • $\quad$
    $\begin{align*}
    (a-b)(a+b)&=a^2+ab-ba-b^2 \\
    &=a^2-b^2
    \end{align*}$

    [collapse]

$\quad$

Exemples (développement)

  • On veut développer $(3x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (3x+5)^2&=(3x)^2+2\times 3x\times 5+5^2 \\
    &=9x^2+30x+25
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(4x-6)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x$ et $b=6$
    $\begin{align*} (4x-6)^2&=(4x)^2-2\times 4x\times 6+6^2 \\
    &=16x^2-48x+36
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut développer $(2x-5)(2x+5)$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=2x$ et $b=5$
    $\begin{align*} (2x-5)(2x+5)&=(2x)^2-5^2 \\
    &=4x^2-25
    \end{align*}$

$\quad$

Exemples (factorisation)

  • On veut factoriser $25x^2+30x+9=(5x)^2+2\times 5x\times 3+3^2$
    Dans la pratique, on cherche si $25x^2$ et $9$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=5x$ et $b=3$
    Donc $25x^2+30x+9=(5x+3)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $36x^2-48x+16=(6x)^2-2\times 6x\times 4+4^2$
    Dans la pratique, on cherche si $36x^2$ et $16$ sont des carrés de nombres et on regarde ensuite si le terme en $x$ peut s’écrire sous la forme $2ab$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=6x$ et $b=4$
    Donc $36x^2-48x+16=(6x-4)^2$.
    $\quad$
  • On veut factoriser $9x^2-4=(3x)^2-2^2$
    On va utiliser la propriété $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$
    $9x^2-4=(3x-2)(3x+2)$

$\quad$

Exemples (factorisation avancée)

  • On veut factoriser $16-(2x+5)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=16$ et $b=2x+5$
    $\begin{align*}
    16-(2x+5)^2&=4^2-(2x+5)^2 \\
    &=\big[4-(2x+5)\big]\big[4+(2x+5)\big] \\
    &=(4-2x-5)(4+2x+5)\\
    &=(-2x-1)(2x+9)
    \end{align*}$
    $\quad$
  • On veut factoriser $(4x-3)^2-(5x+1)^2$.
    On va utiliser la propriété $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=4x-3$ et $b=5x+1$
    $\begin{align*}
    (4x-3)^2-(5x+1)^2&=\big[(4x-3)-(5x+1)\big]\big[(4x-3)+(5x+1)\big] \\
    &=(4x-3-5x-1)(4x-3+5x+1)\\
    &=(-x-4)(9x-2)
    \end{align*}$

$\quad$

III Équations produit nul

Définition 3 : On appelle équation produit nul toute équation dont un membre un produit de facteurs et dont l’autre membre est $0$.

Exemples :

  • $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
  • $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
  • $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

2nd – cours – Trigonométrie

Trigonométrie

I Repérage sur un cercle

1. Le cercle trigonométrique

 Définition 1 : Sur un cercle on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre.

$\quad$

 Définition 2 : On munit le plan d’un repère orthonormé $\Oij$ . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon $1$ orienté dans le sens direct.

$\quad$

2. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique

On munit le plan d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. On appelle $\mathscr{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l’axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle $\mathscr{C}$ en $I$).

On appelle $A$ le point de coordonnées $(1;1)$. On munit ainsi la droite $\mathscr{D}$ du repère $(I;A)$.

En enroulant cette droite $\mathscr{D}$ sur le cercle $\mathscr{C}$ on fait correspondre, pour tout réel $x$, au point $M$ de coordonnées $(1;x)$ de la droite $\mathscr{D}$ un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$.

Propriété 1 : À tout réel $x$ il existe donc un unique point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ associé à ce réel $x$.
On dit alors que le point $M’$ est l’image du réel $x$ et on note parfois $M(x)$.

 

Remarque : A chaque point $M’$ du cercle $\mathscr{C}$ il existe une infinité de réel ayant le point $M’$ comme image.

Propriété 2 : Si $M’$ est associé au réel $x$ alors il est également l’image de tous les réels de la forme $x+k\times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

$\quad$

Exemple : Si $M’$ est un point du cercle $\mathscr{C}$ image du réel $1,5$ alors il est également l’image des réels $1,5+2\pi$; $1,5+4\pi$; $1,5+6\pi$; $\ldots$ et également des réels $1,5-2\pi$; $1,5-4\pi$; $1,5-6\pi$; $\ldots$

Remarque : Si $x\in[0;2\pi]$ alors $x$ représente la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM’}$.

$\quad$

$\quad$

3. Quelques valeurs particulières

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\text{Angle associé}\phantom{\dfrac{1}{1}}&30\text{°}&45\text{°}&60\text{°}&90\text{°}\\
\hline
\end{array}$$

On obtient les autres correspondances par symétrie.

Remarque : On définit ainsi une nouvelle unité d’angle appelée radian notée “rad”. $1$ radian est la mesure d’un angle $\widehat{IOM’}$ où $M’$ est l’image du réel $1$.

$\quad$

4. Quelques exemples d’utilisation

Méthode 1 : Deux réels ont-ils la même image sur le cercle

  • On considère les réels $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{25\pi}{4}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{24\pi}{4}=6\pi=3\times 2\pi$.
    La différence étant un multiple de $2\pi$ les deux nombres ont la même image sur le cercle.
  • On considère les réels $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{11\pi}{3}$. On veut savoir s’ils sont représentés par le même point sur le cercle $\mathscr{C}$.
    On va, par conséquent, calculer la différence $\dfrac{4\pi}{3}-\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)=\dfrac{15\pi}{3}=5\pi$.
    La différence n’est pas un multiple de $2\pi$. Les deux nombres n’ont donc pas la même image sur le cercle.

$\quad$

Méthode 2 : Déterminer l’image d’un réel sur le cercle trigonométrique

On veut déterminer l’image du nombre $\dfrac{19\pi}{4}$.

  • On se place au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$.
  • Puisque le nombre $\dfrac{19\pi}{4}$ est positif on va reporter dans le sens trigonométrique $19$ fois l’arc de cercle correspondant.
  • On arrive sur le point associé à $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

II Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition 3 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on appelle $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
On appelle :

  • cosinus du nombre $x$ l’abscisse du point $M$. On le note $\cos(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\cos x$.
  • sinus du nombre $x$ l’ordonnée du point $M$. On le note $\sin(x)$ ou, quand il n’y a pas d’ambiguïté, $\sin x$.

Propriété 3 : Pour tout réel $x$ on a :

  • $-1 \pp \cos x \pp 1$
  • $-1 \pp \sin x \pp 1$
  • $\left(\cos x\right)^2+\left(\sin x\right)^2=1$

$\quad$

Remarque : On note souvent $\left(\cos x\right)^2=\cos^2 x$ et $\left(\sin x\right)^2=\sin^2 x$.

Voici quelques valeurs remarquables à connaître :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&\phantom{~~}0\phantom{~~}\\
\hline
\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}&\phantom{~~}0\phantom{~~}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

2nd – Cours – Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

$\quad$

I Fonctions polynôme du second degré

Définition 1 :On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a,b$ et $c$ sont des réels tels que $a\neq 0$.

Remarque : On parle également de fonction polynomiale du second degré ou de degré $2$.

Exemples :

$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-3x+5$ est une fonction polynôme du second degré. $a=2, b=-3$ et $c=5$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=x^2+2$ est une fonction polynôme du second degré. $a=1, b=0$ et $c=2$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=-x^2+5x$ est une fonction polynôme du second degré. $a=-1, b=5$ et $c=0$.
$\bullet $ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x^3-3x^2+4x-1$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme du troisième degré.
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x+2$ n’est pas une fonction polynôme du second degré. Il s’agit d’un polynôme du premier degré (ou fonction affine).
$\bullet$ $P$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x-\dfrac{1}{x}$ n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Définition 2 : On appelle forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, une expression algébrique de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Exemple :
$\begin{align*} 2(x-1)^2+3 &= 2\left(x^2-2x+1\right)+3\\
&=2x^2-4x+2+3 \\
&=2x^2-4x+5
\end{align*}$
Par conséquent $2(x-1)^2+3$ est la forme canonique de la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=2x^2-4x+5$.

Propriété 1 : Toute fonction polynomiale du second degré possède une forme canonique.
Si, pour tous réels $x$, on a $P(x)=ax^2+bx+c$ alors $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P(\alpha)$.
Preuve Propriété 1

On a, pour tous réels $x$, $P(x)=ax^2+bx+c$.
Puisque $a\neq 0$, on peut donc écrire $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.

On constate que l’expression $x^2+\dfrac{b}{a}x$ est le début d’une identité remarquable.
En effet :

$$\begin{align*} \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=x^2+2\times x \times\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}
\end{align*}$$

Par conséquent $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$

Donc
$$\begin{align*} P(x)&=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right) \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+c \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a} \\\\
&=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}$$

On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=- \dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Ainsi $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

On constate que $P(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=\beta$.

[collapse]

$\quad$

Dans la pratique, en seconde, on demande de montrer que la forme canonique fournie est bien égale à une expression algébrique d’une fonction polynomiale du second degré donnée. La mise sous forme canonique sera vue l’année prochaine mais avoir compris son fonctionnement dès la seconde est un réel plus.

Conséquence : Une fonction polynôme de second degré possède donc :
– une forme développée : $P(x)=ax^2+bx+c$;
– une forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$;
Dans certains cas, elle possède également une forme factorisée : $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

II Variations d’une fonction polynôme du second degré

Propriété 2 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.

$\bullet$ Si $a>0$ alors la fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\bullet$ Si $a<0$ alors la fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Preuve Propriété 2

On a vu, qu’on pouvait écrire $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

On considère deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1<x_2$.

$$\begin{align*} P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) &=a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta-\left(a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta\right) \\
&=a\left(\left(x_1-\alpha\right)^2-\left(x_2-\alpha\right)^2\right) \\
&=a\left(x_1-\alpha-x_2+\alpha\right)\left(x_1-\alpha+x_2-\alpha\right) \\
&=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2-2\alpha\right)
\end{align*}$$

On sait que $x_1<x_2$. Donc $x_1-x_2<0$.

On va considérer les deux intervalles suivants : $]-\infty;\alpha]$ et $[\alpha;+\infty[$.

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $x_1+x_2 \le \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \le 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \le 0$.

$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $x_1+x_2 \ge \alpha +\alpha $ soit $x_1+x_2 \ge 2\alpha$.
Par conséquent $x_1+x_2-2\alpha \ge 0$.

Si $a>0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $[\alpha;+\infty[$.

Si $a<0$

$\bullet$ si $x_1<x_2\le \alpha$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \ge 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \le 0$ : La fonction $P$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$.
$\bullet$ si $\alpha \le x_1<x_2$ alors $a\left(x_1+x_2-2\alpha\right) \le 0$ et $x_1-x_2<0$ donc $P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right) \ge 0$ : La fonction $P$ est décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

On obtient ainsi ces tableaux de variations où $\beta = P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ :

2nd - cours - 2nd degré - fig1 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig2 (2)

Propriété 3 : La fonction $P$ atteint :
$\bullet$ un minimum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a>0$
$\bullet$ un maximum en $-\dfrac{b}{2a}$ si $a<0$

III Représentation graphique

 Propriété 4 : On considère une fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction $P$ est une parabole et la droite d’équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie.
Le point $S$ de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ est appelé sommet de la parabole.

2nd - cours - 2nd degré - fig3 (1)2nd - cours - 2nd degré - fig4

 

IV Et en pratique…

  • Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole
    Si $P(x)=x^2+8x-2$ alors $a=1, b=8$ et $c=-2$
    Alors $\alpha=-\dfrac{8}{2\times 1} = -4$ et $P(-4) = -18$
    Le sommet de la parabole est donc le point $S(-4;-18)$.
    Puisque $a=1>0$, cela correspond donc à un minimum.
    $\quad$
  • Déterminer l’expression algébrique quand on connaît deux points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses
    Si la parabole coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $-2$ et $4$ et passe par le point $A(2;4)$
    La fonction polynomiale du second degré $P$  vérifie donc $P(-2)=P(4)=0$.
    Par conséquent, pour tous réel $x$, $P(x)=a\left(x-(-2)\right)(x-4)$ soit $P(x)=a(x+2)(x-4)$.
    On sait que $A(2;4)$ appartient à la parabole. Donc $P(2)=4$.
    Or $P(2) = a(2+2)(2-4)=-8a$ donc $-8a=4$ et $a=-\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $P(x)=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4)$.
    Si on développe :
    $$\begin{align*} P(x)&=-\dfrac{1}{2}(x+2)(x-4) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+2x-8\right) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-2x-8\right) \\
    &=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4
    \end{align*}$$
    $\quad$
  • Déterminer l’expression algébrique quand on connaît les coordonnées du sommet et un point de la parabole.
    Si le sommet de parabole est $S(-1;3)$ et la parabole passe par le point $A(4;-2)$.
    La fonction polynomiale du second degré $P$ vérifie donc que $P(4)=-2$ et $P(x)=a\left(x-(-1)\right)^2+3$ soit $P(x)=a(x+1)^2+3$.
    Or $P(4)=a(4+1)^2+3 = 25a+3$
    Ainsi $25a+3=-2$ d’où $25a=-5$ et $a=-\dfrac{5}{25}=-\dfrac{1}{5}$.
    Par conséquent $P(x)=-\dfrac{1}{5}(x+1)^2+3$
    $\quad$
  • Déterminer l’abscisse du sommet quand on connaît deux points de la parabole qui possèdent la même ordonnée.
    On considère une parabole passant par les points $A(1;4)$ et $B(5;4)$.
    Puisque les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée, cela signifie donc qu’ils sont symétrique par rapport à l’axe de symétrie de la parabole. Ils sont situés à la même distance de cet axe auquel appartient le sommet $S$.
    Ainsi l’abscisse de $S$ est $x_S=\dfrac{1+5}{2}=3$.

V Fonctions homographiques

Définition 3 :Une fonction $f$ est dite homographique si, et seulement si, il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ (différent de $0$) et $d$ tels que $ad-bc \neq 0$ et $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ pour tout $x \neq -\dfrac{d}{c}$.

Exemples : 

  • La fonction $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ est une fonction homographique.
    $a=2$, $b=1$, $c=1$ et $d=-1$ donc $ad-bc=2\times 1-1\times (-1)=2+1=3\neq 0$.
  • On considère la fonction $g$ définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $g(x)=2-\dfrac{x}{2x+4}$.
    On a alors $g(x)=\dfrac{2(2x+4)-x}{2x+4}=\dfrac{4x+8-x}{2x+4}=\dfrac{3x+8}{2x+4}$
    $3\times 4-8\times 2 = 12-16=-4\neq 0$.
    Donc $g$ est une fonction homographique.

Remarque : Une fonction homographique est représentée graphiquement par deux branches d’hyperbole.

Voici la représentation graphique de la fonction homographique $f$ définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$

2nd - cours - fct second degré - fct homographique

2nd – cours – Résolution d’inéquations

Résolution algébrique d’inéquations

I Quelques règles essentielles

 Propriété 1 :

  1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans en changer le sens.
  2. On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif sans en changer le sens.
  3. Si on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inégalité alors on change le sens de cette inégalité.

Exemples :

  1. $x+1\ge 4 \ssi x+1-1 \ge 4-1 \ssi x \ge 3$ : on a soustrait $1$ aux deux membres de l’inégalité.
  2. $2x \le 6 \ssi \dfrac{2x}{2} \le \dfrac{6}{2} \ssi x \le 3$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $2$.
  3. $-3x > 12 \ssi \dfrac{-3x}{-3} \color{red}{<} \dfrac{12}{-3} \ssi x < -4$ : on a divisé les deux membres de l’inégalité par $-3$.

Dans ce chapitre on aura besoin de la règle des signes :

  • Un produit ou un quotient de nombres de même signe est positif;
  • Un produit ou un quotient de nombres de signes contraires est négatif.

II Inéquation produit

On va chercher à résoudre des inéquations du type : $(2x+4)(-3x+1) \ge 0$

On va pour cela étudier le signe de chacun des facteurs:

$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$ et $2x+4 > 0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$

$-3x+1=0 \ssi -3x=-1 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $-3x+1 > 0 \ssi -3x > -1 \ssi x <\dfrac{1}{3}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes et on applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne :

2nd - cours - inéquations 1

On est donc en possession du signe de $(2x+4)(-3x+1)$ sur $\R$.

On voulait résoudre l’inéquation $(2x+4)(-3x+1) \ge 0$.

Il ne nous reste plus qu’à lire l’intervalle sur lequel l’expression est positive ou nulle. La solution est donc $\left[-2;\dfrac{1}{3}\right]$.

Remarque : La solution de $(2x+4)(-3x+1) \le 0$ est $]-\infty;-2]\cup\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.

III Inéquation quotient

On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \ge 0$.

On va procéder, dans un premier temps, comme dans la partie précédente en étudiant le signe du numérateur et de celui du dénominateur.

$-x+3=0 \ssi -x=-3 \ssi x=3$ et $-x+3> 0 \ssi -x > -3 \ssi x <3$

$2x+5 =0 \ssi 2x=-5 \ssi x=-\dfrac{5}{2}$ et $2x+5 > 0 \ssi 2x>-5 \ssi x>-\dfrac{5}{2}$

On réunit maintenant ces informations dans un tableau de signes en faisant attention que le dénominateur n’a pas le droit de s’annuler. On symbolisera cette situation par une double barre.

2nd - cours - inéquations 2

La solution de l’inéquation $\dfrac{-x+3}{2x+5} \ge 0$ est donc $\left]-\dfrac{5}{2};3\right]$.

Remarque : Le nombre $-\dfrac{5}{2}$ annulant le dénominateur il sera toujours exclus de l’ensemble des solutions.

$\quad$

Exercices pour s’entraîner : Inéquations et tableaux de signes.

 

2nd – cours – Espace

 Géométrie dans l’espace

I Droites et plans

Voici quelques règles qui vont régir l’ensemble des définitions et propriétés de ce cours.

 Propriété 1 : règle d’incidence

  1. Il n’est possible de faire passer qu’une unique droite par deux points de l’espace donné.
  2. Trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ non alignés définissent un unique plan qu’on notera $(ABC)$.
  3. On considère deux points distincts $A$ et $B$ d’un plan. La droite $(AB)$ est alors incluse dans ce plan.
  4. Quand on travaille dans un plan de l’espace, toutes les règles de géométrie plane s’appliquent dans ce plan.

Cette propriété nous fournit une façon de définir un plan à l’aide de trois points.
On peut également définir un plan :

  • A l’aide de deux droites sécantes
    2nd - cours - espace - fig3
  • A l’aide de deux droites strictement parallèles
    2nd - cours - espace - fig4
  • A l’aide d’une droite et d’un point n’appartenant pas à cette droite
    2nd - cours - espace - fig5

Remarque : Il existe deux façons très courantes de représenter un plan de l’espace :

  • A l’aide d’un cube
    2nd - cours - espace - fig1 (1)
    Le plan $(IJKLM)$ est construit à l’intérieur du cube $ABCDEFGH$.
  • A l’aide d’un parallélogramme
    2nd - cours - espace - fig2

Dans chacune des représentations, il faut garder à l’esprit qu’un plan est infini : on peut donc prolonger la représentation qui en a été faite si c’est nécessaire.

 Définition 1 : Quatre points (ou plus) sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Remarque : La question ne se pose pas, au regard de ce qui a été dit précédemment, pour deux ou trois points.

$\quad$


$\quad$

II Positions relatives

1. Positions relatives d’une droite et d’un plan

 Définition 2 : Une droite est dite parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si le plan et la droite n’ont aucun point en commun.

La droite peut donc être :

  • Sécante au plan
    2nd - cours - expace fig 20
  • Strictement parallèle au plan
    2nd - cours - expace fig 18
  • Incluse dans le plan
    2nd - cours - expace fig 19

2. Positions relatives de deux droites

 Définition 3 : Deux droites sont dites coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

2 droites peuvent donc être :

  • Coplanaires : elles sont alors sécantes, strictement parallèles ou confondues;
    2nd - cours - espace - fig252nd - cours - expace fig 162nd - cours - expace fig 17 (1)
  • Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun.

2nd - cours - expace fig 15

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent être :

  • Parallèles : Ils sont alors soit confondus, soit strictement parallèles
    2nd - cours - expace fig 222nd - cours - expace fig 21
  • Sécants
 Propriété 2 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

2nd - cours - expace fig 23 (1)

 

III Parallélisme

 Propriété 3 : Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d’$ d’un plan $\mathscr{P}$ alors la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.

2nd - cours - expace fig 11

Preuve Propriété 3

Il y a deux cas à considérer : la droite $d$ est incluse ou n’est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.

  • Si $d$ est incluse dans $\mathscr{P}$
    Par définition elle est alors parallèle au plan.
  • Si $d$ n’est pas incluse dans $\mathscr{P}$
    Les deux droites $d$ et $d’$ sont donc strictement parallèles et définissent ainsi un plan $\mathscr{P}’$.
    La droite $d’$ appartient aux deux plans : $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sont sécants selon la droite $d’$.
    Supposons que $d$ et $\mathscr{P}$ soit sécants en un point $M$.
    Le point $M$ appartient donc aux deux plans et par conséquent à $d’$.
    Les deux droites étant strictement parallèles, elles ne peuvent pas avoir de point en commun.
    La supposition qui a été faite était donc fausse.
    La droite $d$ est par conséquent parallèle au plan $\mathscr{P}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 4 : Si deux plans strictement parallèles sont coupés par un troisième plan alors les droites d’intersections sont parallèles.

 

2nd - cours - expace fig 24

Voici une propriété très utile pour montrer que deux plans sont parallèles à partir de droites sécantes.

 Propriété 5 : Si deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ d’un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes $d’_1$ et $d’_2$ d’un plan $\mathscr{P}’$ alors les deux plans sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 13

 

Théorème du toit : On considère deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$ appartenant respectivement à deux plans sécants $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ dont l’intersection est la droite $\Delta$.

Les droites $\Delta$, $d_1$ et $d_2$ sont alors parallèles.

2nd - cours - expace fig 14

2nd – Cours – Les vecteurs (2/2)

Les vecteurs (2/2)

I Coordonnées d’un vecteur

Dans tous ce chapitre on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

On considère un vecteur $\vec{u}$ du plan. Il existe alors un unique point $M\left(x_M;y_m\right)$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.

Définition 1 : Les coordonnées du vecteurs $\vec{u}$ sont celles du point $M$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig1 (1)

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

Remarques :

  • Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
  • Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
  • On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.
Propriété 1 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

Ainsi si on considère les vecteurs  $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ alors $\vec{u}=\vec{v} \ssi \begin{cases} x=x’\\y=y’\end{cases}$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

Propriété 2 : On considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan. Alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
Preuve de la propriété 2

Il existe un unique point $M\left(x_M;y_M\right)$ du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig2 (3)

Par conséquent $OMBA$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu $N$.

$N$ est le milieu de $[OB]$ donc : $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_B+x_O}{2}=\dfrac{x_B}{2}\\\\y_N=\dfrac{y_B+y_O}{2}=\dfrac{y_B}{2} \end{cases}$.

$N$ est aussi le milieu de $[AM]$ donc $\begin{cases} x_N=\dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_M}{2}\end{cases}$.

Donc $\begin{cases} \dfrac{x_B}{2} = \dfrac{x_A+x_M}{2}\\\\ \dfrac{y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_M}{2} \end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=x_A+x_M\\\\ y_B=y_A+y_M \end{cases} \ssi \begin{cases} x_M=x_B-x_A\\\\ y_M=y_B-y_A \end{cases}$

D’après la définition les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont celles du point $M$.

Donc $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig3

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.

Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.

Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig4

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$

D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$

Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$

Ainsi on obtient $D(6;-3)$

2nd-cours-vecteurs2-2-fig5

On vérifie les calculs avec le graphique.

II Somme de deux vecteurs

Propriété 3 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$. Alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

2nd-cours-vecteurs2-2-fig6

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

III Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

Propriété 4 : On considère un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}(x;y)$ alors le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur dont les coordonnées sont $(kx;ky)$.

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

2nd-cours-vecteurs2-2-fig7

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

Propriété 5 : On considère $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.

  • Si $k>0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens;
  • Si $k<0$ alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens contraire.

Propriété 6 : On considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k’$.

  • $(k+k’)\vec{u}=k\vec{u}+k’\vec{u}$
  • $k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=k\vec{u}+k\vec{v}$
  • $k\left(k’\vec{u}\right)=(kk’)\vec{u}$

IV Colinéarité

Définition  2 : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.

Remarques : 

  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
  • Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

Propriété 7 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

  1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\begin{cases} x’=kx \\\\y’=ky \end{cases}$.
  2. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy’-x’y=0$.

Exemples : 

  • On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$. On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.
  • On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
    $2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires.
Propriété 8 : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.

D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.

Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.

Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

Propriété 9 : (application) Trois points $A$, $B$, et $C$, sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$

D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.

Mais $1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

Propriété 10 : (milieu) On considère trois points $A$, $B$ et $M$.

$M$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$

D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2,5;1)$

Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}$.

$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

 

2nd – Cours – Probabilités

Probabilités

I Définitions

 Définition 1 : On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’il est impossible de prédire à l’avance le résultat. Il y a donc plusieurs issues possibles.

Exemple : lancer un dé équilibré, tirer une carte au hasard d’un jeu,… sont des expériences aléatoire.

 Définition 2 : On appelle issue ou éventualité le résultat d’une expérience.

Exemple : “Pile” et “Face” sont les deux issues possibles dans un lancé de pièce.

Remarque : En classe de seconde, on ne s’intéressera qu’aux expériences aléatoires ayant un nombre fini d’issues.

 Définition 3 : L’univers est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Il est souvent noté $\Omega$, qui se lit “omega”.

Exemples :

  • Dans une lancé de pièce : $\Omega = \lbrace \text{Pile},\text{Face}\rbrace$.
  • Dans un lancé de dé à $6$ faces : $\Omega = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$.

 Définition 4 :

  • On appelle événement tout ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
  • Un événement qui ne contient qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.
  • Un événement qui ne peut se produire est un événement impossible.
  • Un événement qui est toujours réalisé est appelé événement certain.

Exemples : Dans un jeu de $32$ cartes

  • un événement peut être “Obtenir un pique”.
  • un événement élémentaire peut être “Obtenir le roi de cœur”.
  • un événement impossible peut être “Obtenir le $4$ de trèfle”.
  • un événement certain peut être “Obtenir une carte rouge ou noire”.

 

II Opérations sur les événements

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

 Définition 5 : On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

2nd - cours - probabilités - fig1

Exemple : Dans un lancé de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.
L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

 Définition 6 : L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

2nd - cours - probabilités - fig2

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

 Définition 7 : L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

2nd - cours - probabilités - fig3

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.
L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

 Définition 8 : Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

2nd - cours - probabilités - fig4

Exemple : Dans un lancé de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques : 

  • Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
  • Pour tout événement $A$, $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.

 

III Probabilité d’un événement

 Propriété 1 : Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire dont l’univers est $\Omega = \lbrace{e_1;e_2;\ldots;e_n\rbrace}$ la fréquence d’apparition $f_i$ de l’issue $e_i$ se stabilise autour d’un nombre $p_i$ appelé probabilité de l’issue $e_i$.

Exemple : Voici les fréquences d’apparition des faces d’un dé en fonction du nombre de lancers.

2nd - cours - probabilités - fig5

Remarque : Lorsqu’il nous est impossible de déterminer la probabilité d’un événement, on va utiliser cette propriété pour l’estimer.

 Propriété 2 : Si on appelle $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ les probabilités des événements  élémentaires $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ de l’univers $\Omega$ alors $$p_1+p_2+\ldots+p_n = 1.$$

Exemple : Quand on lance un dé à $6$ faces on a $p\left(\lbrace 1 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 3 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 5 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right) = 1$.

 Propriété 3 : La probabilité d’un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemple : Dans un lancer de dé à $6$ faces, on appelle $A$ l’événement “Obtenir un chiffre pair”.
Ainsi $p(A) = p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right)$.

 Définition 9 : On dit qu’il y a équiprobabilité si toutes les issues $e_i$ de l’univers $\Omega$ ont la même probabilité.

Exemple : Quand une pièce est équilibrée, un dé n’est pas truqué il y a équiprobabilité.

 Propriété 4 : Quand l’univers d’une expérience aléatoire contient $n$ issues et qu’il y a équiprobabilité, la probabilité de chacune de ces issues vaut $\dfrac{1}{n}$.

Exemple : La probabilité d’apparition de chacune des faces d’un dé à $6$ faces non truqué est $\dfrac{1}{6}$.

 Propriété 5 : Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

 Propriété 6 : Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

  1. $0 \le p(A) \le 1$
  2. $p\left(\Omega\right) = 1$
  3. $p\left(\varnothing\right) = 0$

 

IV Calcul de probabilités

 Propriété 7 : Soit $A$ un événement d’un univers $\Omega$.
$$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$$

Exemple : On utilise un jeu de $32$ cartes et on considère l’événement $A$ “Tirer un 7 rouges”. On a ainsi $p(A) = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right) &= 1 – p(A) \\\\
&= 1 – \dfrac{1}{16}\\\\
&= \dfrac{15}{16} \end{align*}$

 Propriété 8 : On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

Exemple : Dans une classe, la probabilité que les élèves  apprennent l’espagnol est de $0,4$, celle qu’ils apprennent allemand est de $0,1$ et celle qu’ils apprennent les deux langues est de $0,05$.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard apprennent au moins une de ces deux langues.
On appelle $E$ l’événement “L’élève apprend l’espagnol” et $A$ l’événement “l’élève apprend l’allemand”.
Ainsi $p(E) = 0,4$, $p(A) = 0,1$ et $p\left(A \cap E\right) = 0,05$.
Ainsi la probabilité qu’un élève apprennent l’espagnol ou l’allemand est :
$\begin{align*} p\left(A \cup E\right) &= p(A) + p(E)-p\left(A \cap E \right) \\\\
&= 0,4 + 0,1 – 0,05 \\\\
&= 0,45 \end{align*}$

Remarque : Lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles $p\left(A \cap B\right) = 0$. La formule devient alors $p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)$.

 

V Représentations

Il existe différentes façons de représenter des situations liées aux probabilités. Parmi elles, celles qu’on rencontre le plus sont :

  • L’arbre pondéré ou arbre de probabilité 
    Exemple : Une urne contient $15$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. $20\%$ des jetons rouges sont gagnants et $40\%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.
    On note :
    $\bullet$ $R$ l’événement “Le jeton est rouge”.
    $\bullet$ $B$ l’événement “Le jeton est bleu”.
    $\bullet$ $G$ l’événement “Le jeton est gagnant”.
    On a ainsi $p(R)=\dfrac{15}{20} = 0,75$ et $p(B)=\dfrac{5}{20}=0,25$.
    Puisque $20\%$ des jetons rouges sont gagnants, cela signifie que $80\%$ des jetons rouges sont perdants.
    On sait également que $40\%$ des jetons bleus sont gagnants donc $60\%$ des jetons bleus sont perdants.
    On obtient donc l’arbre suivant :
    2nd-cours-probas-fig3
  • Le tableau à double entrée
    Exemple : On lance $2$ dés équilibrés simultanément et on note la somme des deux faces.
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{dé 2\dé 1} & 1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
  • Le diagramme de Venn
    Dans un classe de $35$ élèves, $15$ ont un chien, $12$ ont un chat et $5$ ont un chien et un chat.
    On appelle $D$ l’événement “L’élève a un chien” et $C$ l’événement “l’élève a un chat”.
    $15-5=10$ élèves ont un chien mais pas de chat.
    $12-5=7$ élèves ont un chat mais pas de chien.
    Cela signifie donc que $10+7+5=22$ élèves ont un chien ou un chat et par conséquent $13$ élèves n’ont ni l’un ni l’autre.
    On peut alors traduire ces données grâce à ce diagramme :
    2nd-cours-probas-fig4 (1)