Arithmétique

I Multiples et diviseurs d’un nombre entier

Exemples :

• $10=2\times 5$ donc :
  – $10$ est divisible par $2$;
  – $10$ est un multiple de $2$;
  – $2$ est un diviseur de $10$.
• Les diviseurs de $6$ sont $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$ et $6$
• $13$ n’est pas un multiple de $5$ car il n’existe pas d’entier relatif $k$ tel que $13=5k$.
  En effet, si un tel nombre existait alors $k=\dfrac{13}{5}=2,6$. Or $2,6$ n’appartient pas à $\Z$.

$\quad$

Exemple : $14$ et $28$ sont deux multiples de $7$. En effet $14=7\times 2$ et $28 = 7\times 4$.
$14+28=42$ est également un multiple de $7$ puisque $42=7\times 6$.

$\quad$

II Nombres pairs et nombres impairs

Exemples :

• $0;2;4;6;8;\ldots$ sont des nombres pairs.
• $1;3;5;7;9;\ldots$ sont des nombres impairs

$\quad$

$\quad$

III Nombres premiers

Exemples :

• $1$ n’est pas premier car il n’est divisible que par lui-même.
• $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ sont des nombres premiers.
• $6$ n’est pas premiers car il est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$

Remarque : Si $n$ est un nombre premier alors cette décomposition est réduite à lui-même.

Exemple : $150=15\times 10 =3\times 5\times 2\times 5 =2\times 3\times 5^2$

Exemple : On souhaite déterminer le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$.
On a $\sqrt{371}\approx 19,3$.
Or les nombres premiers inférieurs ou égaux à $19$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
On constate que $371$ n’est pas divisible par $2$, $3$ et $5$ mais que $\dfrac{371}{7}=53$.
Ainsi le plus petit diviseur différent de $1$ de $371$ est $7$.

$\quad$

IV Critères de divisibilité

Cette partie n’est absolument pas au programme de seconde mais il est parfois utile de connaître ces critères.

• Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
  Exemple : $14$, $2~476$ et $10~548$ sont divisibles par $2$
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
  Exemple : $234$ est divisible par $3$ car $2+3+5=9$ est divisible par $3$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $4$ si le nombre constitué de son chiffre des dizaines et de celui de son chiffre des unités est divisible par $4$ ou s’il se termine par $00$.
  Exemple : $2~132$ est divisible par $4$ car $32$ est divisible par $4$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
  Exemple : $105$ est divisible par $5$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $6$ s’il est pair et divisible par $3$.
  Exemple : $14~676$ est divisible par $6$ car il est pair et $1+4+6+7+6=24$ est divisible par $3$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $7$ si la valeur absolue de la différence entre son nombre de dizaine et le double de son chiffre des unités est divisible par $7$.
  Exemple : $8~645$ est divisible par $7$ car :
  $|864-2\times 5|=854$ \quad $|85-2\times 4|=77$ qui est clairement divisible par $7$ mais on pourrait continuer la méthode.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $8$ si le nombre constitué de ses $3$ derniers chiffres (unité, dizaine et centaine) est divisible par $8$.
  Exemple : $5~104$ est divisible par $8$ car $104=8\times 13$ est divisible par $8$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
  Exemple : $4~572$ est divisible par $9$ car $4+5+7+2=18$ qui est divisible par $9$.
  $\quad$
• Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités $0$.
  Exemple : $13~450$ est divisible par $10$.
  $\quad$
• Un nombre entier est divisible par $11$ si la différence de la somme de ses chiffres de rang impair et de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de $11$.
  Exemple : $381~502$ est divisible par $11$ car $3+1+0-(8+5+2)=-11$ est un multiple de $11$.
  $\quad$

Variations de fonctions de référence

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

Remarque : on constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :

Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

• L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
• La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
• La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
• $f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

Exemple : 

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

Exemple :

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

$\quad$

$\quad$

II Fonctions affines

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de $a$ et les variations de la fonction $f$.

$\quad$

Exemple : 

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

• On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x-2$.
  On cherche tout d’abord à résoudre
  $\begin{align*} f(x) = 0 &\ssi 3x-2 = 0 \\
  & \ssi 3x = 2 \\
  & \ssi x = \dfrac{2}{3}
  \end{align*}$
  Le coefficient directeur de la fonction affine $f$ est $a = 3 > 0$.
  On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
  
• On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x-4$.
  On cherche tout d’abord à résoudre
  $\begin{align*} g(x) = 0 &\ssi -2x-4 = 0 \\
  & \ssi -2x = 4 \\
  & \ssi x = \dfrac{4}{-2} \\
  & \ssi x= -2
  \end{align*}$
  Le coefficient directeur de la fonction affine $g$ est $a = −2 < 0$
  On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
  

$\quad$

III Les autres fonctions de référence

1. La fonction carré

$\quad$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$

2. La fonction inverse

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

$\quad$

3. La fonction racine carrée

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

$\quad$

4. La fonction cube

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

$\quad$

IV Fonctions paires et impaires

Exemples :

• La fonction carré est paire;
• Les fonctions inverse et cube sont impaires.

$\quad$

$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est paire ?

Exemple : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+5$ est paire.
La fonction $f$ est définie sur $\R$. Ainsi, pour tout réel $x$ le réel $-x$ appartient également à $\R$.
De plus :
$$\begin{align*}
f(-x)&=3(-x)^2+5 \\
&=3x^2+5\\
&=f(x)
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc paire.

$\quad$
$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est impaire ?

Exemple : Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R^*$ par $g(x)=5x^3-\dfrac{2}{x}$
La fonction $g$ est définie sur $\R^*$. Ainsi pour tout réel $x$ non nul le réel $-x$ appartient également à $\R^*$.
De plus :
$$\begin{align*}
g(-x)&=5(-x)^3-\dfrac{2}{-x} \\
&=5\times \left(-x^3\right)+\dfrac{2}{x} \\
&=-5x^3+\dfrac{2}{x} \\
&=-\left(5x^3-\dfrac{2}{x}\right) \\
&=-g(x)
\end{align*}$$
La fonction $g$ est donc impaire.

$\quad$
Remarque : Il existe des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires. C’est le cas par exemple de la fonction racine carrée.

Équations de droites

Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère $\Oij$.

I Équations cartésiennes

$\quad$

Remarques :

• Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs.
• Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont colinéaires entre eux.
• Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $d$ alors $\vect{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ sont des vecteurs directeurs de la droite $d$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+6=0$.
Si $x=0$ alors $-3y+6=0 \ssi y=2$ : le point $A(0;2)$ appartient à la droite $d$.
Si $y=0$ alors $2x+6=0 \ssi x=-3$ : le point $B(-3;0)$ appartient à la droite $d$.
Il ne reste plus qu’à placer ces deux points dans un repère pour pouvoir tracer la droite $d$.

$\quad$

Remarque : On peut évidemment choisir d’autres valeurs que $x=0$ ou $y=0$.

$\quad$

$\quad$

Remarque : Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes (il suffit de multiplier les deux membres de l’équation par n’importe quel réel non nul).

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x+5y+7=0$.
L’équation est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=2$, $b=5$ et $c=7$.
Ainsi un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-5;2)$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ passant par le point $A(1;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;8)$.
Une équation cartésienne de cette droite est de la forme $8x-3y+c=0$.
$A\in d \ssi 8\times 1-3\times (-2)+c=0 \ssi 8+6+c=0 \ssi c=-14$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $8x-3y-14=0$

Cas particuliers :

• Si $\boldsymbol{a=0}$
  Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $by+c=0$. En divisant par $b$ (qui est non nul puisque $a=0$), on obtient une équation de la forme $y=k$.
  La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des abscisses et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{i}(1;0)$.
• Si $\boldsymbol{b=0}$
  Une équation cartésienne de la droite $d$ s’écrit alors $ax+c=0$. En divisant par $a$ (qui est non nul puisque $b=0$), on obtient une équation de la forme $x=k$.
  La droite $d$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{j}(0;1)$.

$\quad$

Exemple : Ci-dessous, ont été représentées les droites :

• $d_1$ dont une équation cartésienne est $y-2=0$ (donc $a=0$);
• $d_2$ dont une équation cartésienne est $x+3=0$ (donc $b=0$);
• $d_3$ dont une équation cartésienne est $x+y-1=0$ (donc $a\neq 0$ et $b\neq 0$).

$\quad$

$\quad$

II Équations réduites

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exemple : La droite d’équation réduite $y=3x+4$ admet le vecteur $\vec{u}(1;3)$ comme vecteur directeur.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation réduite $y=-2x+4$.
Le coefficient directeur de $d$ est $m=-2$ et son ordonnée à l’origine est $p=4$.

$\quad$

$\quad$

Remarque : On a aussi $m=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(2;5)$ et $B(6;-1)$.
On a $x_A=2$ et $x_B=6$ donc $x_A\neq x_B$.
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a
$\begin{align*}
m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\
&=\dfrac{-1-5}{6-2}\\
&=\dfrac{-6}{4}\\
&=-\dfrac{3}{2}
\end{align*}$
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+p$
Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
Par conséquent $y_A=-\dfrac{3}{2}x_A+p$ soit $5=-\dfrac{3}{2}\times 2+p \ssi 5=-3+p \ssi p=8$.
Vérification : On va utiliser les coordonnées du point $B(6;-1)$
$-\dfrac{3}{2}x_B+8=-\dfrac{3}{2}\times 6+8=-9+8=1=y_B \quad \checkmark$
$\quad$
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{3}{2}x+8$.

$\quad$

Interprétation géométrique du coefficient directeur

On considère une droite $d$ dont l’équation réduite est $y=mx+p$.

• Si $\boldsymbol{m>0}$
  
  Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée augmente de $m$.
  $\quad$
• Si $\boldsymbol{m<0}$
  
  Quand on augmente de $1$ l’abscisse d’un point de $d$, l’ordonnée diminue de $m$.
  $\quad$

III Positions relatives de deux droites

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation $2x+5y-6=0$ et la droite $d’$ d’équation $3x+7y+4=0$.
On a $a=2$, $b=5$, $c=-6$, $a’=3$, $b’=7$ et $c’=4$
Par conséquent $ab’-a’b=2\times 7-3\times 5=14-15=-1 \neq 0$.
Les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ dont l’équation réduite est $y=2x+5$ et la droite $d’$ parallèle à la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$.
La droite $d’$ est parallèle à la droite $d$. Elles ont donc le même coefficient directeur.
L’équation réduite de la droite $d’$ est donc de la forme $y=2x+p$.
Le point $A(5;-1)$ appartient à la droite $d’$.
Ainsi $-1=2\times 5+p \ssi -1=10+p \ssi p=-11$.
L’équation réduite de la droite $d$ est donc $y=2x-11$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(1;7)$, $B(5;19)$ et $C(-6;-14)$.
$x_A\neq x_B$ : le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m_1=\dfrac{19-7}{5-1}=3$
$x_A\neq x_C$ : le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est $m_2=\dfrac{-14-7}{-6-1}=3$
Ainsi $m_1=m_2$ et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère la droite $d$ d’équation cartésienne $2x+3y-4=0$ et la droite $d’$ d’équation cartésienne $-x+5y+7=0$.
On a $2\times 5-3\times (-1)=10+6=16\neq 0$. Les droites $d$ et $d’$ sont donc sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection est l’unique couple solution du système $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases}$.
On a ainsi $\begin{cases} 2x+3y-4=0\\-x+5y+7=0\end{cases} \ssi \begin{cases} 2x+3y=4\\-x+5y=-7\end{cases}$.
$\quad$

Nous allons voir dans la prochaine partie comment résoudre un tel système d’équations.

$\quad$

IV Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues

Il existe plusieurs méthodes de résolution de systèmes linéaires. En voici deux d’entre-elles.

1. Par combinaisons linéaires
   Le but est de multiplier les lignes par des coefficients astucieusement choisis pour qu’en additionnant ou soustrayant les lignes entre-elles une des inconnues « disparaisse ».
   Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} 3x+5y=-5 &\quad L_1\\2x-7y=-24&\quad L_2\end{cases}$
   $\begin{align*} \begin{cases} \color{red}{3}\color{black}{x}+5y=-5 &\quad L_1\\\color{red}{2}\color{black}{x}-7y=-24&\quad L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 3x+5y=-5& \\\phantom{2x-}31y=62&\quad \color{red}{2}\color{black}{L_1}-\color{red}{3}\color{black}{L_2}\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} y=2\\3x+5\times 2=-5\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} y=2 \\3x=-15\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} x=-5\\y=2\end{cases}\end{align*}$
   La solution du système est $(-5;2)$.
   $\quad$
2. Par substitution
   Le but de cette méthode est d’exprimer une inconnue en fonction d’une autre puis de la remplacer dans la seconde équation par l’expression obtenue.
   Exemple : On veut résoudre le système $\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases}$
   $\begin{align*}\begin{cases} x+3y=5\\2x-5y=-1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\2x-5y=-1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} \fbox{$x=5-3y$}\\2\left(\fbox{$5-3y$}\right)-5y=-1\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\10-6y-5y=-1\end{cases}\\
   & \ssi \begin{cases} x=5-3y\\-11y=-11\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=5-3y\\y=1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=2\\y=1\end{cases}\end{align*}$
   La solution du système est $(2;1)$.
   $\quad$

Remarque : Dans le cas général, à chaque étape, il y a autant d’équations dans le système qu’il y en avait dans le système initial.

$\quad$

V Interprétation géométrique des systèmes d’équations linéaires

Quand on résout un système on peut être confronté à trois cas :

• Le système admet un unique couple solution
  Exemple : On considère le système $\begin{cases} x-y=1\\x+3y=9\end{cases}$.
  Après résolution du système, on obtient comme solution le couple $(3;2)$.
  Cela signifie que les droites $d$ d’équation $x-y-1=0$ et $d’$ d’équation $x+3y-9=0$ sont sécantes et que leur point d’intersection a pour coordonnées $(3;2)$.
  
  $\quad$
• Le système n’admet aucune solution
  Exemple : On considère le système $\begin{cases} 2x+5y=13 \\2x+5y=2 \end{cases}$.
  Aucun couple n’est solution de ce système puisque les deux équations ont le même premier membre et des seconds membres différents. Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x+5y-13=0$ et $d’$ d’équation $2x+5y-2=0$ sont strictement parallèles.
  
  $\quad$
• Le système possède une infinité de solution
  Exemple : On considère le système
  $\begin{align*}\begin{cases}2x-3y=1\\-4x+6y=-2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2x-3y=1 \\-2(2x-3y)=-2\times 1\end{cases}\\ &\ssi 2x-3y=1 \end{align*}$
  Le système possède donc une infinité de solution (tous les couples $(x;y)$ vérifiant $2x-3y=1$).
  Cela signifie que les droites $d$ d’équation $2x-3y-1=0$ et $d’$ d’équation $-4x+6y+2=0$ sont confondues.
  
  $\quad$

Statistiques

I Révisions (Vocabulaire)

Dans notre société, de nombreuses données sont collectées. Elles peuvent concerner par exemple des objets (taille, poids, qualité,…), des végétaux (taille, nombre de pétales, rendement,…), des animaux (nombre d’individus, poids,…), …

Ce qu’on étudie dans une population d’individus donnés (au sens large) s’appelle un caractère.

Exemple : Voici les notes relevées lors d’une interrogation dans une classe.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
L’effectif total est : $ 4 + 8 + 10 + 5 + 2 + 1 = 30$

La fréquence de la note $8$ est $\dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$

On obtient ainsi le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\text{Fréquence} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{30} \\\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

II Moyenne

Exemple : En reprenant le tableau de l’exemple précédent
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
la moyenne est $$\begin{align*} \overline{x} &= \dfrac{8 \times 4 + 10 \times 8 + \ldots + 20 \times 1}{4 + 8 + \ldots + 1} \\\\
&= \dfrac{359}{30}
\end{align*}$$

$\quad$

Exemple : Si on reprend le tableau des fréquences précédent on a :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & 8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Fréquence} \phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{4}{5}}} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{30} \\
\hline
\end{array}$$

Ainsi $\conj{x}=\dfrac{2}{15}\times 8+\dfrac{4}{15}\times 10 + \ldots + \dfrac{1}{30}\times 20=\dfrac{359}{30}$

$\quad$

$\quad$

Exemple : Dans une entreprise le salaire moyen des employés est de $\np{1800}$ €. Si tous les salaires augmentent de $2\%$ alors le nouveau salaire moyen sera de $1~800\times 1,02=1~836$ €. Dans cet exemple $a=1,02$ et $b=0$.

$\quad$

$\quad$

Les données sont parfois fournies sous forme de classes. Cela permet d’avoir un tableau plus synthétique (intéressant quand on a beaucoup de valeurs) mais en contrepartie on perd en précision.

Exemple : On considère la série statistique suivante :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$

Cela signifie donc que $4$ élèves ont des notes appartenant à l’intervalle $]8;10]$, $12$ élèves ont des notes appartenant à l’intervalle $]10;12]$, etc.

Pour pouvoir calculer une valeur approchée de la moyenne, on va faire apparaître le centre de chacune des classes, c’est-à-dire le milieu des intervalles.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Centre}& 9 & 11 & 13 & 15 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$

Ainsi :
$\begin{align*} \overline{x} &\approx \dfrac{9 \times 4 + 11 \times 14 + 13 \times 10 + 15 \times 8}{4 + 14 + 10 + 8} \\\\
& \approx \dfrac{440}{36}
\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

III Médiane

$\quad$

Remarque 1 : Pour pouvoir déterminer la médiane d’une série, il faut avant toute chose, ranger les valeurs dans l’ordre croissant.

Remarque 2 : La médiane n’appartient pas nécessairement à la série statistique initiale.

Exemple 1 : (effectif total pair) On considère la série statistique suivante (qui a été rangée dans le bon ordre préalablement) :
$$ 5 – 8 – 9 – 9 – 10 – 11 – 13 – 15$$
Cette série comporte $8$ valeurs. $\dfrac{8}{2}  =4$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $4$ valeurs.
La première $ 5-8-9-\color{red}{9}$ et la seconde $ \color{red}{10}-11-13-15$.
La médiane est alors la moyenne de la $4^{\text{ème}}$ (la dernière valeur de la première série) et de la $5^{\text{ème}}$ (la première valeur de la seconde série) valeur.
Ainsi $M_e = \dfrac{9 + 10}{2} = 9,5$.

$\quad$

Exemple 2 : (effectif total impair) On considère la série statistique suivante (qui a été dans le bon ordre préalablement) :
$$4-6-7-9-10-12-13$$
Cette série comporte $7$ valeur. $\dfrac{7}{2} = 3,5$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $3$ valeurs :
$$\left[4-6-7\right]-\color{red}{9}-\left[10-12-13\right]$$
La médiane est donc $9$.

Remarque : La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position de la série.

$\quad$

IV Quartiles et étendue

$\quad$

Remarque : Comme l’indique leur définition, $Q_1$ et $Q_3$ appartiennent nécessairement à la série étudiée.

Exemple 1 : On considère la série suivante :
$$ 4-8-9-11-12-13-14-16-17$$
Cette série contient $9$ valeurs.
$\dfrac{9}{4} = 2,25$. Par conséquent $Q_1$ sera la troisième valeur de la série, soit $Q_1 = 9$.
$\dfrac{9 \times 3}{4} = 6,75$. Par conséquent $Q_3$ sera la septième valeur de la série, soit $Q_3 = 14$.

Exemple 2 : On considère la série suivante :
$$ 1-3-4-5-9-12-14-16$$
Cette série contient $8$ valeurs.
$\dfrac{8}{4} = 2$. Par conséquent $Q_1$ sera la deuxième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_1 = 3$.
$\dfrac{8 \times 3}{4} = 6$. Par conséquent $Q_3$ sera la sixième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_3 = 12$.

$\quad$

$\quad$

Dans le dernier exemple, l’écart inter-quartile vaut $12 – 3 = 9$.

$\quad$

$\quad$

Ainsi, en reprenant la dernière série, l’étendue vaut $16-1 = 15$.

On résume souvent une série statistique à l’aide d’un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) sur lequel figurent :

• le minimum
• $Q_1$
• la médiane
• $Q_3$
• le maximum

Exemple :

Remarque : Les quartiles et étendue sont des indicateurs de dispersion de la série.

$\quad$

V Écart-type

$\quad$

Remarque : Le nombre $\sigma$ se lit « sigma ».

Exemple : Un radar de vitesse est installé dans une rue d’une ville. Voici $50$ mesures (en km/h) relevées.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{vitesse} &47&48& 49& 50& 51& 52\\
\hline
\text{effectif}&4& 5& 13& 15& 7& 6\\
\hline
\end{array}$$

La vitesse moyenne est
$\begin{align*}\conj{x}&=\dfrac{4\times 47+5\times 48+13\times 49+15\times 50+7\times 51+6\times 52}{50}\\
&=49,68\end{align*}$

L’écart-type de cette série est : $\begin{align*}\sigma&=\sqrt{\small{\dfrac{4(47-49,68)^2+5(48-49,68)^2+13(49-49,68)^2+15(50-49,68)^2+7(51-49,68)^2+6(52-49,68)^2}{50}} }\\
&\approx 1,38\end{align*}$

Cela signifie, qu’en moyenne, les vitesses relevées s’écartaient de $1,38$ km/h de la vitesse moyenne.

$\quad$

Remarques :

• Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
• L’écart-type est exprimé dans la même unité que les valeurs.

$\quad$

Tableaux de valeurs, de signes et de variations

I Tableaux de valeurs

Les tableaux de valeurs permettent, entre autre, de représenter graphiquement les fonctions.
Exemple : On souhaite représenter la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+1$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& -1& ~0~& 0,25& 0,5& 1& 1,25& 1,5&1,75& 2& 2,5& 2,75& ~3~ & ~4~\\
\hline
f(x)& 5& 1& 0,31& -0,25& -1& -1,19& -1,25&-1,19& -1& -0,25& 0,31& 1&5\\
\hline
\end{array}$$

Les valeurs de $f(x)$ ont été arrondies à $10^{-2}$ près dans le tableau.
On peut ainsi lire que les points de coordonnées $(-1;5)$ ,$ (0;1)$, … appartiennent à la courbe représentant la fonction $f$. Il ne reste plus qu’à placer ces points dans un repère adapté et à tracer le plus précisément possible la représentation graphique de la fonction.

Il n’y a pas de règles absolues concernant le nombre de points qu’on doit placer pour tracer une courbe. Il faut cependant faire en sorte que l’aspect global de la courbe soit lisse quand c’est nécessaire.

Les calculatrices apportent une grande aide à ce sujet. On peut en effet voir sur l’écran l’allure de la courbe d’une façon relativement précise. On peut ainsi anticiper les zones nécessitant plus de points à placer que d’autres (autour de $1,5$ dans la fonction utilisée par exemple).

Les calculatrices graphiques sont également capables de fournir des tableaux de valeurs (à pas constant) très rapidement.

$\quad$

$\quad$

II Tableaux de signes

Dans cette partie nous allons pas construire de tableaux de signes de manière algébrique. Nous allons donc seulement utiliser les représentations graphiques des fonctions.

Un tableau de signes fournit $3$ informations sur les fonctions :

• Les réels, s’ils existent, pour lesquelles la fonction s’annule;
• Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est positive;
• Les intervalles, s’ils existent, sur lesquels la fonction est négative.

Exemple : On considère la fonction $f$, définie sur $\R$, dont on ne connaît que sa représentation graphique.

Graphiquement, on constate donc que :

• la fonction $f$ s’annule en $-4$, $-1$ et $2$;
• la courbe est au-dessus de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-4;-1[$ et $]2;+\infty[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles;
• la courbe est en-dessous de l’axe des abscisse sur les intervalles $]-\infty;-4[$ et $]-1;2[$. Cela signifie donc que $f(x)>0$ sur ces intervalles.

On représente alors ces informations de manière synthétique dans le tableau de signes suivant :

Remarque : L’ensemble de définition de certaines fonctions exclut des réels. C’est le cas, par exemple, de la fonction inverse. Elle n’est pas définie en $0$. On représente cette information à l’aide d’une double barre dans le tableau de signes.

Pour la fonction inverse on obtient alors le tableau de signes suivant :

$\quad$

III Tableaux de variations

Dans cette partie les tableaux de variations ne seront construits qu’à partir de la représentation graphique des fonctions. L’aspect algébrique fera l’objet d’un autre chapitre.

Graphiquement, nous nous rendons compte que les courbes représentant les fonctions donne l’impression de « monter » ou de « descendre ».

$\quad$

Remarques :

• On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) < f(y)$.
• On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous les réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x< y$ on a $f(x) > f(y)$.

Exemple 1: On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $f$ est :

Cela signifie que :

• la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$;
• $f(-1)=2$;
• la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[-1;1]$;
• $f(1)=-2$;
• la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.

Remarques :

• Comme vous pouvez le constater, on indique, quand cela est possible, les valeurs aux extrémités des flèches.
• Sur la première ligne, en plus des nombres en lesquels la fonction change de sens de variation on indique également les bornes de l’ensemble de définition.

$\quad$

Exemple 2: On considère une fonction $g$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ dont la représentation graphique est :

Le tableau de variations de la fonction $g$ est :

Avec $g(-2) \approx -1,4$ et $g(1) \approx 1,5$

$\quad$

Remarque : La double barre dans le tableau de variations indique que la fonction $g$ n’est pas définie en $0$, comme le précise l’ensemble sur lequel la fonction $g$ est définie.

$\quad$

Informations chiffrées

I Proportion et pourcentage

$\quad$

Remarque : On a $0\pp p \pp 1$. Le nombre $p$ ne possède pas d’unité.

Exemple : Parmi les $900$ élèves d’un lycée $360$ sont en seconde. La proportion des élèves de seconde dans ce lycée est $p=\dfrac{360}{900}=0,4$.
On peut exprimer ce nombre à l’aide de pourcentage. On obtient alors $p=40\%$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : $70\%$ des élèves d’un lycée comptant $900$ élèves sont demi-pensionnaires.
Le nombre d’élèves demi-pensionnaires est donc $n=\dfrac{70}{100}\times 900=630$.

$\quad$

II Proportion de proportion

Exemple : Dans un lycée, la proportion des élèves en seconde est de $0,4$ et la proportion de filles parmi ces élèves de seconde est de $0,55$.
Dans le lycée, la proportion des filles étudiant en classe de seconde est égale à $0,4\times 0,55=0,22$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : Dans une librairie, $40\%$ des livres sont des romans et $5\%$ de ces romans sont en anglais.
$\dfrac{40}{100}\times \dfrac{5}{100}=0,02=2\%$
Dans cette librairie $2\%$ des livres sont des romans en anglais.
$\quad$

$\quad$

III Taux d’évolution

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
La variation absolue du prix est $30-25=5$€.
Le taux d’évolution est $t=\dfrac{30-25}{25}=\dfrac{5}{25}=0,2=20\%$.
Le prix de l’article a donc augmenté de $5$€ ce qui représente une augmentation de $20\%$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : Le prix d’un article est passé de $25$€ à $30$€.
Le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{30}{25}=1,2$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : Dans l’exemple précédent on avait $C=1,2$ et $t=0,2$. On a bien $C=1+t$.

$\quad$

$\quad$

Exemples :

• Un article coûte $50$€. Son prix augmente de $10\%$.
  Le nouveau prix est alors $50\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=50\times 1,1=55$ €.
• Un article coûte $55$€. Son prix baisse de $10\%$.
  Le nouveau prix est alors $55\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=55\times 0,9=49,5$ €

$\quad$

Remarque : On constate qu’une augmentation suivie d’une diminution d’un même pourcentage ne ramène pas à la situation initiale.

$\quad$

IV Évolutions successives

Remarque : On peut avoir deux augmentations successives, deux diminutions successives, une augmentation suivie d’une diminution ou une diminution suivie d’une augmentation. Cette propriété englobe tous les cas de figures et se généralise pour autant d’évolutions qu’on souhaite utiliser.

On utilisera souvent la propriété suivante avec les taux d’évolution.

Remarque : À noter dans cette formule que les taux d’évolutions sont ici algébriques, c’est-à-dire qu’ils peuvent aussi bien être positifs, dans le cas d’une augmentation, que négatifs, dans le cas d’une diminution.

Exemples :

• La population d’une ville a augmenté de $2\%$ entre 2016 et 2017 puis a augmenté de $1\%$ entre 2017 et 2018.
  On appelle $t$ le taux d’évolution global.
  On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1}{100}\right)=1,030~2$
  Ainsi $t=0,030~2$ soit $t=3,02\%$.
  Cela signifie donc que la population de la ville a augmenté de $3,02\%$ entre 2016 et 2018.
  $\quad$
• Le prix d’un article au augmenté de $5\%$ puis a baissé de $3\%$.
  On appelle $t$ le taux d’évolution global.
  On a donc $1+t=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{3}{100}\right)=1,018~5$
  Ainsi $t=0,018~5$ soit $t=1,85\%$.
  Au global le prix de l’article a augmenté de $1,85\%$.

Dans le cas d’évolutions successives, on n’additionne donc pas les taux d’évolution entre eux.

$\quad$

V Évolution réciproque

$\quad$

Remarque : À l’issue des $2$ évolutions successives la quantité a donc retrouvé sa valeur de départ.

Exemple : Le prix d’un article a augmenté de $25\%$.
Quel pourcentage de baisse doit-on appliquer pour que l’article retrouve son prix initial?
On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*}\left(1+\dfrac{25}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,25 \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,25} \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,8 \\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=-0,2 \\
&\ssi x=20
\end{align*}$
Pour compenser une augmentation de $25\%$ il faut donc réaliser une diminution de $20\%$.

$\quad$

Remarque : Puisque $C1\times C_2 = 1$ cela signifie donc que $C_2=\dfrac{1}{C_1}$. Ainsi, si on multiplie la quantité $Q$ par le coefficient multiplicateur $C1$ pour obtenir la quantité $Q_1$. Il suffit de diviser cette dernière par $C_1$ pour obtenir de nouveau la quantité intitiale.

$\quad$

Les vecteurs

I Translation et vecteurs

$\quad$

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vect{AB}$ ou de celle de vecteur $\vect{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$

Remarque : Le vecteur $\vect{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

1. Le support : la droite $(AB)$
2. Le sens : de $A$ vers $B$
3. La longueur : $AB$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

$\quad$

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Remarque : On a ainsi $\vect{AA} = \vect{BB} = \vect{CC} = \ldots = \vec{0}$

$\quad$

$\quad$

Remarque : On a donc $\vect{BA} = -\vect{AB}$.
Le vecteur $-\vect{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vect{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

$\quad$

$\quad$

II Somme de vecteurs

$\quad$

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

$\quad$

$\quad$

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

III Coordonnées d’un vecteur

À partir de maintenant on se placera dans un repère $(O;I,J)$.

Sur cet exemple, le point $M$ a pour coordonnées $(2;1)$ donc les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(2;1)$.

$\quad$

Remarques :

• Les coordonnées du vecteur nul $\vec{0}$ sont $(0;0)$;
• Suivant les enseignants et les manuels les coordonnées des vecteurs sont écrites horizontalement $(x;y)$ ou verticalement $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$;
• On appelle $\vec{i}$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}$ le vecteur $\overrightarrow{OJ}$. On peut ainsi appeler le repère $(O;I,J)$ le repère $\Oij$.

$\quad$

$\quad$

Intéressons-nous maintenant aux coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ quand on connait les coordonnées des points $A$ et $B$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$ et $B(4;3)$ alors :

$\overrightarrow{AB}\left(4-(-1);3-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(5;1)$.

On constate que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspondent aux déplacements horizontaux et verticaux en partant du point $A$.
Cette propriété est, en fait, vraie pour tous les points $A$ et $B$.
Ainsi, sur le graphique ci-dessous, on peut lire que $\overrightarrow{AB}(-3;2)$

Cette remarque peut également servir à construire un représentant d’un vecteur donné à partir de ses coordonnées et d’un point du plan.

Exemple : On considère les points $A(-1;2)$, $B(3,-2)$ et $C(2,1)$.
On cherche les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
D’une part $\overrightarrow{AB}\left(3-(-1);-2-2\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(4;-4)$
D’autre part $\overrightarrow{CD}\left(x_D-2;y_D-1\right)$
Les deux vecteurs étant égaux, on a alors : $\begin{cases}x_D-2=4 \\\\ y_D-1=-4 \end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=6 \\\\y_D=-3 \end{cases}$
Ainsi on obtient $D(6;-3)$

On vérifie les calculs avec le graphique.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;-3)$ alors $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$.

$\quad$

Remarque : Si on considère les points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$
alors $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$ et $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
On retrouve donc la formule vue dans un chapitre précédent : $AB=\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.

$\quad$

Exemple : Si $A(4;-1)$ et $B(6;-2)$ alors
$\begin{align*}\left\|\vect{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
&=\sqrt{(6-4)^2+\left(-2-(-1)\right)^2}\\
&=\sqrt{2^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{4+1}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$

$\quad$

IV Somme de deux vecteurs

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$ alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(2+(-1);3+4\right)$ soit $(1;7)$.

Retrouvons ces coordonnées sur un graphique :

On constate bien sur ce graphique que les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ sont bien $(1;7)$.

$\quad$

V Produit d’un vecteur par un réel

D’après la propriété précédente on peut donc définir les vecteurs du type $2\vec{u}$, $3\vec{u}$, … comme les vecteurs dont les coordonnées sont le double, le triple, … de celles de $\vec{u}$.

En généralisant à tous les réels, on obtient :

$\quad$

Exemple : Si $\vec{u}(2;-1)$ alors $\dfrac{1}{2}\vec{u}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$, $5\vec{u}(10;-5)$,  $2,4\vec{u}(4,8;-2,4)$ et $-2\vec{u}(-4;2)$.

On constate donc que les vecteurs $\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $5\vec{u}$ ont le même sens que $\vec{u}$ alors que $-2\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraire.

D’une manière générale :

$\quad$

VI Colinéarité

$\quad$

Remarques : 

• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
• Les directions (ou supports) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc parallèles.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;6)$.
On a $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ alors $\vec{v}=2\vec{u}$ et les deux vecteurs sont colinéaires.

$\quad$

$\quad$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.

Exemple : On considère $\vec{u}(2,5;-2,2)$ et $\vec{v}(-7,5;6,6)$.
$\text{det}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2,5\times 6,6-(-2,2)\times (-7,5) = 16,5-16,5=0$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(2;1)$, $B(-1;3)$, $C(3;4)$ et $D(9;0)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(-1-2;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-3;2)$.
D’autre part $\overrightarrow{CD}(9-3;0-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-4)$.
Donc $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires; les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alors parallèles.

$\quad$

$\quad$

Remarque : Cela revient à dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles et possèdent un point en commun.

Exemple : On considère les points $A(3;2)$, $B(1;5)$ et $C(2000;-2994)$.

D’une part $\overrightarrow{AB}(1-3;5-2)$ soit $\overrightarrow{AB}(-2;3)$
D’autre part $\overrightarrow{AC}(2000-3;-2994-2)$ soit $\overrightarrow{AC}(1997;-2996)$.
Mais det$\left(\vect{AB},\vect{AC}\right)=1997\times 3- (-2)\times (-2996) = 5991 -5992 = -1 \neq 0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ ne par conséquent pas alignés.

$\quad$

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(6;1)$, $B(1;3)$ et $M(3,5;2)$.
D’une part $\overrightarrow{AB}(1-6;3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(-5;2)$
D’autre part $\overrightarrow{AM}(3,5-6;2-1)$ soit $\overrightarrow{AM}(-2,5;1)$
Par conséquent $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$M$ est bien le milieu de $[AB]$.

$\quad$

VII Un peu d’histoire

C’est au 19$\ieme$ siècle que la notion de vecteurs a été formalisée. Plusieurs mathématiciens, comme Bernard Bolzano, Michel Chasles et August Ferdinand Möbius, ont travaillé sur ce thème. La définition,
encore utilisée aujourd’hui, des vecteurs est due à Giusto Bellavitis. William Rowan Hamilton a œuvré à développer le calcul vectoriel pendant plus de dix ans.
Les vecteurs sont très utilisés en physique, en particulier dans l’étude des mouvements.

Géométrie dans le plan

I Dans un triangle rectangle

$\quad$

Remarque : $\cos^2 \alpha$ et $\sin^2 \alpha$ signifient respectivement $\left(\cos \alpha\right)^2$ et $\left(\sin \alpha\right)^2$.

$\quad$

Exemple : On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $\sin \widehat{ABC}=0,6$. On souhaite déterminer la valeur de $\cos \widehat{ABC}$.

On a :
$\begin{align*} \cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 &\ssi \cos^2 \widehat{ABC}+0,6^2=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}+0,36=1\\ &\ssi \cos^2\widehat{ABC}=0,64\end{align*}$
Cela signifie donc que $\cos \alpha=-\sqrt{0,64}$ ou $\cos \alpha=\sqrt{0,64}$.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un quotient de longueur; il est donc positif.
Par conséquent $\cos \widehat{ABC}=\sqrt{0,64}=0,8$.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

II Projeté orthogonal

$\quad$

$\quad$

$\quad$

III Dans un repère du plan

1. Définitions

Repère orthonormé

$\quad$

Repère orthogonal

Remarque 1 : Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l’axe des abscisses, cela signifie donc que $OI = 1$. C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

Exemple : 

Les coordonnées de :

• $A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
• $B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
• $C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
• $D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$

Remarque 1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$.

Remarque 2 : On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$

$\quad$

2. Milieu d’un segment

Exemple 1 : Dans le repère $(O;I,J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont :
$\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$.

On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Soit $A\left(x_A,y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par $2$.
$\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}$

Par conséquent $x_A = 0$ et $y_A = 7$.
Ainsi $A(0;7)$.

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

  Fiche méthode 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

  Fiche méthode 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

$\quad$

3. Longueur d’un segment

Exemple : Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$.
On a ainsi :
$$\begin{align*} AB^2 &=  \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\
&= (-2)^2 + 4^2 \\
&= 4 + 16 \\
&= 20 \\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$

Remarque 1 : Il est plus “pratique”, du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

  Fiche méthode 3 : Déterminer la nature d’un triangle

$\quad$

IV Un peu d’histoire

Les coordonnées utilisées dans ce chapitre sont appelées des coordonnées cartésiennes. Le mot « cartésien » vient du mathématicien français René Descartes (1596 – 1650). Les grecs sont considérés comme les fondateurs de la géométrie et sont à l’origine de nombreuses découvertes dans ce domaine. La géométrie intervient de nos jours dans de nombreux aspects de la vie quotidienne comme par exemple l’utilisation des GPS ou la fabrication des verres correcteurs pour la vue.

$\quad$

Calcul numérique et bases de calcul littéral

I Calcul fractionnaire

$\quad$

Exemples : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont des écritures fractionnaires tandis que $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{5}$ sont des fractions.

$\quad$

Exemples : $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{4+5}{7}=\dfrac{9}{7}$ $\qquad$ $\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}$

$\quad$

Exemple : $4\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4\times 3}{5}=\dfrac{12}{5}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$

$\quad$

Exemple : $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4\times 2}{3\times 2}=\dfrac{4}{3}$ $\qquad$ $4=\dfrac{4\times 5}{5}=\dfrac{20}{5}$

Remarque : C’est cette même propriété qu’on va utiliser pour ajouter ou soustraire deux écritures fractionnaires qui n’ont pas le même dénominateur.

Exemple : $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}-\dfrac{5\times 3}{4\times 3}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{8-15}{12}=-\dfrac{7}{12}$

$\quad$

Exemples : L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et l’inverse de $0,7$ est $\dfrac{1}{0,7}$.

Attention : Ne pas confondre inverse et opposé.
L’inverse de $2$ est $\dfrac{1}{2}$ alors que l’opposé de $2$ est $-2$.

$\quad$

Exemple : L’inverse de $\dfrac{3}{11}$ est $\dfrac{11}{3}$.

Exemple : $\dfrac{~~\dfrac{2}{7}~~}{\dfrac{3}{13}}=\dfrac{2}{7}\times \dfrac{13}{3}=\dfrac{26}{21}$

Toutes les règles de calculs vues les années précédentes s’appliquent également sur les écritures fractionnaires en particulier celles portant sur les priorités opératoires.

Exemple :
 $\begin{align*} \dfrac{2+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}}&=\dfrac{\dfrac{2\times 7}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{1\times 5}{3\times 5}-\dfrac{4\times 3}{5\times 3}}\\
&=\dfrac{\dfrac{14}{7}+\dfrac{4}{7}}{\dfrac{5}{15}-\dfrac{12}{15}}\\
&=\dfrac{~~\dfrac{18}{7}~~}{-\dfrac{7}{15}}\\
&=-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{15}{7}\\
&=-\dfrac{270}{49}\end{align*}$

$\quad$

Remarque : Cette propriété va être utile pour résoudre certaines équations.

Remarque : Dans la pratique, on évitera de garder dans les calculs des écritures fractionnaires du type $\dfrac{a}{-b}$.

Exemple : $-\dfrac{3}{5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{3}{-5}$
$\quad$

$\quad$

II Puissances

$\quad$

Exemples : $10^4=10\times 10\times 10\times 10=10~000$ ; $2^3=2\times 2\times 2=8$

Remarque : Pour tout réel $a$ on a donc $a^1=a$ et pour tout entier naturel $n$ non nul on a $0^n=0$.

Convention : Pour tout réel $a$ non nul on note $a^0=1$.

$\quad$

Exemples : $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$ ; $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}$

Remarque : Le signe « $-$» présent dans l’exposant ne présage en rien le signe de $a^{-n}$. Celui-ci va dépendre du signe de $a$ et de la parité de $n$.

Ainsi :

• $3^{-5}$ est positif;
• $(-2)^{-4}$ est également positif;
• $(-5)^{-3}$ est négatif.

$\quad$

Exemples :

• $5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$
• $2^3\times 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
• $\left(3^2\right)^4=3^{2\times 4}=3^8$
• $\left(2^5\right)^{-3}=2^{5\times (-3)}=2^{-15}=\dfrac{1}{2^{15}}$
• $\dfrac{4^2}{4^5}=4^{2-5}=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}$  $\dfrac{3^{4}}{3^{-5}}=3^{4-(-5)}=3^{4+5}=3^9$
• $\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$$\dfrac{1}{3^{-2}}=3^{-(-2)}=3^2$

$\quad$

Exemples :

• $2^4\times 5^4=(2\times 5)^4=10^4$
• $\dfrac{12^5}{16^5}=\left(\dfrac{12}{16}\right)^5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$

$\quad$

Remarque : Il faut connaître par cœur :

• Les puissances de $2$ d’exposants $1$ à $10$;
• Les carrés des entiers naturels compris entre $1$ et $16$.

$\quad$

$\quad$

Exemples : $105=1,05\times 10^2$ \qquad $0,000~02=2\times 10^{-5}$ \qquad $-2~365=-2,365\times 10^3$

$\quad$

III Racine carrée d’un nombre positif

1. Définition

$\quad$

Exemples : $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$.

$\quad$

Remarque : Comme l’indique la définition, un nombre négatif ne possède pas de racine carrée.

$\quad$

Exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^2=7$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{6^2}=6$ et $\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$.

2. Opérations sur les racines carrées

$\quad$

$\quad$

Remarque : Il faut bien sûr comprendre que les égalités sont vraies dans les 2 sens.

Exemples :

• $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
  $\quad$
• $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$
  $\quad$
• $\sqrt{\dfrac{7}{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}$
  $\quad$
• $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{27}{75}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
  $\quad$

Attention : Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs on a, en général, $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$

Exemples :

•  $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ et $\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. On a donc $\sqrt{4+9}\neq \sqrt{4}+\sqrt{9}$.
  $\quad$
• $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ et $\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$. On a donc $\sqrt{4-1}\neq \sqrt{4}-\sqrt{1}$.
  $\quad$

Plus précisément on a :

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exemple : $\sqrt{2^3}=\left(\sqrt{2}\right)^3$.

$\quad$

IV Bases de calcul littéral

1. Développer et réduire

$\quad$

Exemple :
$$\begin{array}{rll}
(2x+3)(4x+5)&=2x\times 4x+2x\times 5+3\times 4x+3\times 5 & \text{on développe}\\
&=8x^2+10x+12x+15& \text{on simplifie} \\
&=8x^2+22x+15& \text{on réduit}
\end{array}$$

$\quad$

2. Distributivité

Il existe deux types de distributivité :

• La simple distributivité : $5(x-4)=5x-5\times 4 = 5x-20$
• La double distributivité :
  

$\quad$

3. Factoriser

Exemples :

• $\color{red}{2x} \color{black} \times x+\color{red}{2x} \color{black} \times 3=\color{red}{2x}\color{black}{(x+3)}$
• $\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(4x+1)+}\color{red}{(3x-2)}\color{black}{(-5x+7)}=\color{red}{(3x-2)}\color{black}{\big[(4x+1)+(-5x+7)\big]}=(3x-2)(-x+8)$
• $\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(2x+3)-}\color{red}{(5x-1)}\color{black}{(4x-2)}=\color{red}{(5x-1)}\color{black}{\big[(2x+3)-(4x-2)\big]}=(5x-1)(-2x+5)$

$\quad$

4. Équations du premier degré

$\quad$

Exemples de résolution d’équations du premier degré :

• $2x=7 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ \qquad La solution de l’équation est $\dfrac{7}{2}$.
  $\quad$
• $-x=3 \ssi x=-3$ \qquad La solution de l’équation est $-3$
  $\quad$
• $\dfrac{3}{2}x=4 \ssi x=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~} \ssi x=4\times \dfrac{2}{3} \ssi x=\dfrac{8}{3}$
  La solution de l’équation est $\dfrac{8}{3}$.
  $\quad$
• $4x-5=3 \ssi 4x=3+5 \ssi 4x=8 \ssi x=2$ \qquad La solution de l’équation est $2$.
  $\quad$
• $3x+1=2x \ssi 1=2x-3x \ssi 1=-x \ssi -1=x$ \qquad La solution de l’équation est $-1$.
  $\quad$
• $8x+3=-2x-1 \ssi 8x+2x+3=-1 \ssi 10x+3=-1 \ssi 10x=-1-3 \ssi 10x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{10} \ssi x=-\dfrac{2}{5}$
  La solution de l’équation est $-\dfrac{2}{5}$.

$\quad$

5. Équations produit nul

Exemples :

• $(2x+3)(5x-4)=0$ est une équation produit nul.
• $(x-1)(2x+1)(-4x+5)=0$ est une équation produit nul.
• $(2x+3)+(5x+4)=0$ n’est pas une équation produit nul : il s’agit d’une somme de termes et non d’un produit de facteurs.

$\quad$

Méthode de résolution

On veut résoudre l’équation produit nul $(2x+3)(5x-4)=0$
Un produit de facteurs est égal à $0$ si, et seulement, un de ses facteurs, au moins, est nul.
$\begin{align*} (2x+3)=0 && \text{ou} && (5x-4)=0\\
2x=-3&& \text{ou} && 5x=4\\
x=-\dfrac{3}{2}&& \text{ou} && x=\dfrac{4}{5}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{5}$.

$\quad$

V Un peu d’histoire

Héron d’Alexandrie, grec du premier siècle, a fourni l’une des plus anciennes méthodes permettant de fournir une approximation des racines carrées. Celle-ci s’appuie sur des considérations géométrique pour fournir une valeur approchée de la racine carrée cherchée.

$\quad$

Ensembles de nombres et intervalles

I Ensembles de nombres

Depuis le début de la scolarité en mathématiques, différents types de nombres ont été manipulés sans forcément donner un nom aux ensembles utilisés.
Voici donc les différents ensembles de nombres à notre disposition :

• Les entiers naturels
  Il contient tous les nombres entiers positifs ou nuls : $0, 1, 2, \ldots, 300, \ldots$
  Cet ensemble contient une infinité de valeurs. On le note $\N$.
  $\quad$
• Les entiers relatifs
  Cet ensemble contient tous les entiers naturels ainsi que leurs opposés. C’est donc l’ensemble des entiers négatifs, positifs ou nuls : $\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$
  On le note $\Z$.
  $\quad$
• Les nombres décimaux
  Ce sont tous les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif et d’une puissance de $10$.
  Par exemple : $-2=\dfrac{-2}{1}$ ; $13=\dfrac{13}{1}$ ; $-12,7=\dfrac{-127}{10}$ ; $0,003=\dfrac{3}{1~000}$ sont des nombres décimaux.
  On note cet ensemble $\D$.
  $\quad$
• Les nombres rationnels
  Cet ensemble contient tous les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
  Il contient donc tous les nombres décimaux.
  Par exemple : $-\dfrac{5}{7}$ ; $-12=\dfrac{-12}{1}$ ; $3=\dfrac{3}{1}$ ; $\dfrac{135}{17}$ sont des nombres rationnels.
  Cet ensemble est noté $\Q$.

$\quad$

$\quad$

Remarques :

• Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux ni rationnels.
• On dit qu’un nombre est irrationnel s’il n’est pas rationnel.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercices sur les ensembles de nombres

$\quad$

II Intervalles

$\quad$

Exemples :

• $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
• $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarques :

• On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
  $\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x < b$
  $\quad$ $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \pp b$
• La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.

$\quad$

Exemple : $[-2;5[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ inclus et $5$ exclu.

$\quad$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \pp x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit « plus l’infini », et $-\infty$, qui se lit « moins l’infini ».

$\quad$

Remarque 1: L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

Exemples :

• l’intervalle $]-\infty;8]$ est l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à $8$;
• l’intervalle $[3;+\infty[$ est l’ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $3$;

Remarque 2: On a les notations suivantes :

• $\R = ]-\infty;+\infty[$
• $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (où $\cup$ signifie « union »)
• $\R_+ = [0;+\infty[$
• $\R_-=]-\infty;0]$

Voici des exemples illustrant les différents cas de figure qu’on peut rencontrer :

$\quad$

Exemples :

• $[-2;6]\cup[3;8] = [-2;8]$;
• $[-2;6]\cap[3;8] = [3;6]$;
• $[-4;1]\cap[2;3] = \emptyset$ : les deux intervalles n’ont aucun nombres en commun.

$\quad$

Remarque : On peut écrire les mêmes inégalités en utilisant les symboles $\pp$ et $\pg$.

Ainsi si on veut déterminer lequel des deux nombres $a$ et $b$ est le plus grand on peut étudier le signe de $a-b$.

$\quad$

Exemple : $1,41 \pp \sqrt{2} \pp 1,42$. L’amplitude de cet encadrement de $\sqrt{2}$ est $1,42-1,41=0,01$.

$\quad$

Exemple : $3,141 \pp \pi \pp 3,142$ est un encadrement à $10^{-3}$ près de $\pi$.

$\quad$

Exercices sur les intervalles

Exercices sur les encadrements

$\quad$

III Valeur absolue d’un nombre réel

$\quad$

Exemple :
La distance entre les points $A$ et $B$ est égale à $3-(-2)=5$.

$\quad$

$\quad$

Exemples : $|2,5|=2,5-0=2,5$ ; $|-3,2|=0-(-3,2)=3,2$.

$\quad$

Exemples :

• L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|=1$ est $\left\{-1;1\right\}$;
• L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|<2$ est $]-2;2[$;
• L’ensemble des nombres réels vérifiant $|x|\pg 5$ est $]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[$.

$\quad$

$\quad$

Exemple : La distance entre le point $A$ d’abscisse $-4$ et le point $B$ d’abscisse $5$ est $|-4-5|=9$.

$\quad$

Exemple : On considère l’intervalle $I=[6;9]$. Le centre de l’intervalle est donc $a=\dfrac{6+9}{2}=7,5$.
Ainsi $r=9-7,5=1,5$.
Par conséquent $x\in [6;9] \ssi |x-7,5|\pp 1,5$

$\quad$

Exercices sur la valeur absolue

$\quad$

IV Notations

On utilise parfois, seulement dans un contexte mathématique et donc jamais au sein d’une phrase, quelques symboles dits mathématiques :

• $\in$, qui se lit « appartient à » et $\notin$ qui se lit « n’appartient pas à ».
  On peut écrire $x\in [2;3]$ ou $A\in (AB)$ et $-3\notin [1;2]$
  $\quad$
• $\forall$ qui se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
  On peut écrire $\forall x\in [2;3]$ pour dire « pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;3]$ ».
  $\quad$
• $\ssi$ qui se lit « si, et seulement si » ou « est équivalent à ».
  Ce symbole se place par exemple entre deux équations : $x-2=3 \ssi x=5$.
  Attention à ne pas confondre les symboles $\ssi$ et $=$ .

$\quad$

V Quelques points d’histoire

Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des babyloniens (entre, environ, $-2~000$ et $-1~600$ avant notre ère). Sur une tablette exposée à l’université de Yale, on peut y voir la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.

Le nombre d’or, dont la valeur est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, est un nombre irrationnel connu depuis au moins l’antiquité qui a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

Archimède a été le premier à donner une méthode mathématique fournissant un encadrement du nombre $\pi$. En 2019, Emma Haruka Iwao a trouvé les $3~141~592~653~589$ premières décimales de $\pi$.

$\quad$