2nd – Cours – Les vecteurs (1/2)

Les vecteurs (1/2)

I Translation et vecteurs

Défintion 1 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
On appelle translation de $A$ en $B$ la transformation qui à tout point $C$ du plan associe le point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
On dit alors qu’il s’agit de la translation de vecteur $\vec{AB}$.

Remarque : Parler de la translation de vecteur $\vec{AB}$ ou de celle de vecteur $\vec{BA}$ n’est pas la même chose.

Si Le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig1

Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$
2nd - cours - vecteurs1 - fig2

Remarque : Le vecteur $\vec{AB}$ fournit ainsi 3 éléments

  1. Le support : la droite $(AB)$
  2. Le sens : de $A$ vers $B$
  3. La longueur : $AB$
 Propriété 1 : Si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Preuve Propriété 1

De part la définition de la translation de vecteur $\vec{AB}$,  les diagonales du quadrilatère $ABDC$ se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme.

[collapse]
 Définition 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
On dit que $\vec{AB} = \vec{CD}$ si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig3

Il existe par conséquent  une infinité de vecteurs égaux : il suffit de choisir un point du plan et de construire son image par la translation d’un vecteur donné. Il n’y a donc pas unicité d’un vecteur. On parle alors de représentant d’un vecteur et plutôt que de prendre des points du plan on va souvent utiliser la notation $\vec{u}$ pour désigner un représentant d’un vecteur donné.

 

2nd - cours - vecteurs1 - fig4

Vous pouvez bouger les différents points.

 Propriété 2 : Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.
$\vec{AB} = \vec{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme.
Preuve Propriété 2

  • Si $\vec{AB} = \vec{CD}$.
    La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    D’après la définition de la translation, $[AD]$ et $[BC]$ ont alors le même milieu.
    Le quadrilatère $ABDC$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  • Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu.
    Par conséquent la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme également $C$ en $D$.
    Donc $\vec{AB} = \vec{CD}$.

[collapse]

 

Remarque : Cette propriété est très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

 Propriété 3 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig5.1

 Définition 3 : La translation qui transforme tout point $M$ du plan en lui même est appelée translation de vecteur nul, noté $\vec{0}$.
 Propriété 4 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$\vec{AB} = \vec{0}$ si, et seulement si, $A = B$.

Remarque : On a ainsi $\vec{AA} = \vec{BB} = \vec{CC} = \ldots = \vec{0}$

 Définition 4 : On appelle vecteur opposé au vecteur $\vec{AB}$ le vecteur associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. On le note $-\vec{AB}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig6

Remarque : On a donc $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
Le vecteur $-\vec{AB}$ a donc le même support et la même longueur que $\vec{AB}$ mais ils sont de sens contraire.

II Somme de vecteurs

 Définition 4 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}+\vec{v}$, comme le vecteur associé à la translation correspondant à la translation de vecteur $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig7.1

Remarque : L’ordre dans lequel on effectue la somme n’a pas d’importance. Ainsi $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{v}+\vec{u}$.

 Définition 5 : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
On définit la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u}-\vec{v}$, comme le vecteur associée à la translation correspondant à la translation de vecteurs $\vec{u}$ suivie de la translation de vecteur $-\vec{v}$.

2nd - cours - vecteurs1 - fig8

Remarque : La somme (ou la différence) n’est pas limitée à deux vecteurs. On étend ainsi la définition à autant d’opérations que l’on souhaite.

Propriété 5 : Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$.
Preuve Propriété 5

$I$ est le milieu de $[AB]$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{AI} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $-\vec{IA} = \vec{IB}$
$\quad$ si, et seulement si, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$

[collapse]

2nd - cours - vecteurs1 - fig9

 

 Propriété 6 : (Relation de Chasles) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
Preuve Propriété 6

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
$C$ est l’image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.
Par conséquent $C$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{AB}+\vec{BC}$.
Par conséquent $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

[collapse]

2nd - cours - vecteurs1 - fig10.1

 Propriété 7 : (règle du parallélogramme) Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On appelle $D$ le point tel que $\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{AC}$.
Alors $ABDC$ est un parallélogramme.

2nd - cours - vecteurs1 - fig11

 

 

Les autres cours de 2nd sont ici.

 

2nd – Cours – Fonctions de référence

Fonctions de référence

I La fonction carré

 Définition 1 : On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}$$

Propriété 1 : La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
Preuve Propriété 1

On appelle $f$ la fonction carré.
Montrons tout d’abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v \le 0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs, $u+v <0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) >0$.
Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$.

La fonction $f$ est bien décroissante sur $]-\infty;0]$.

Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $0 \le u < v$ .

$\begin{align*} f(u)-f(v) &=u^2-v^2 \\\\
&= (u-v)(u + v)
\end{align*}$

Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$.
Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$.

La fonction $f$ est bien croissante sur $]-\infty;0]$.

[collapse]

 

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

2nd - cours - fonctions de référence - fig1

 Définition 2 : Dans un repère $(O;I,J)$ la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet $O$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

 

Remarque : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 Propriété 2 : Soit $a$ un réel.

  1. Si $a > 0$, l’équation $x^2 = a$ possède deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. Si $a= 0$, l’équation $x^2 = a$ possède une unique solution $0$.
  3. Si $a < 0$, l’équation $x^2 = a$ ne possède aucune solution réelle.

Preuve Propriété 2

  1. Puisque $a > 0$, on peut écrire :
    $\begin{align*} x^2 = a & \ssi x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\\\
    & \ssi x^2- \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\\\
    & \ssi \left(x- \sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x – \sqrt{a} = 0 \ssi x = \sqrt{a}$ $\quad$ ou $\quad$ $x + \sqrt{a} = 0 \ssi x = -\sqrt{a}$
    Les solutions de l’équation $x^2=a$ sont donc bien $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  2. La seule solution de $x^2 = 0$ est $0$.
  3. Un carré est toujours positif.
    Or $a<0$. Par conséquent l’équation $x^2=a$ ne possède pas de solution.

[collapse]

 

II La fonction inverse

 Définition 3 : On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 3 : La fonction inverse $f$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
Preuve Propriété 3

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v<0$. Nous allons étudier le signe de $f(u) – f(v)$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.

$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $0<u<v$.
$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\\\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$

Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux positifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.

[collapse]

 

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig3

 Définition 4 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère $(O;I,J)$ est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

Remarque : La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

 Propriété 4 : Pour tout réel $a$ non nul, l’équation $\dfrac{1}{x} = a$ possède une unique solution $\dfrac{1}{a}$.

III Résolution d’inéquations

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 \le 4$.

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=4$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-2$ et $2$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : $[-2;2]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 > 9$

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=9$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-3$ et $3$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : $]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

Exemple 3 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} < 2$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $\dfrac{1}{2}$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 4 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=\dfrac{1}{4}$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : $]0;4]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

 

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 

Les autres cours de 2nd sont ici.

2nd – Cours – Équations de droites

Équations de droites

I Équations de droites

Dans cette partie, le plan est muni d’un repère $(O;I,J)$.

Propriété 1 : On considère une droite $\mathscr{D}$ non parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels qu’une équation de $\mathscr{D}$ soit $y=ax+b$.
Preuve Propriété 1

Puisque $\mathscr{D}$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle coupe cet axe en un point $B$ de coordonnées $(0;b)$.

On appelle $A$ le point de $\mathscr{D}$ d’abscisse $1$. On a ainsi $A(1;y_A)$.
On appelle $C$ le point de coordonnées $(1;b)$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$.

Soit $M$ un point quelconque de la demi-droite $[BA)$. On appelle $(x;y)$ ses coordonnées.
On considère le point $N$ de coordonnées $(x;b)$.
Le triangle $MBN$ est donc rectangle en $N$.

2nd - cours - équations de droites - fig0

Dans les triangles $BMN$ et $BAC$ on a :

  • $C \in [BN]$ et $A \in [BM]$
  • Puisque les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires à $(BN)$ elles sont parallèles entre-elles.

D’après le théorème de Thalès, on a donc : $$\dfrac{BC}{BN}=\dfrac{BA}{BM} = \dfrac{AC}{MN}$$

Or $BC = 1$, $BN = x$, $AC = y_A- b$ (dans cette configuration) et $MN = y-b$ (dans cette configuration également)

On obtient ainsi $\dfrac{1}{x} = \dfrac{BA}{BM} = \dfrac{y_A-b}{y-b}$

Par conséquent $\left(y_A-b \right)x = y-b$ $\ssi y = \left(y_A-b \right)x + b$

On appelle $a = y_A – b$ on obtient ainsi $y=ax+b$

Les autres configurations ($a<0$ et/ou $M\in [BA]$) s’obtiennent de la même manière.

[collapse]

 

Remarque 1 : Si la droite $\mathscr{D}$ passe par l’origine du repère alors $b=0$

Remarque 2 : La droite $\mathscr{D}$ est donc l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;ax+b)$ pour tout réel $x$.

Exemple : La droite $(AB)$ a pour équation $y=-2x+3$
2nd - cours - équations de droites - fig1

 

Tous les points de cette droite ont pour coordonnées $(x;-2x+3)$.

 Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une droite dont une équation est $y=ax+b$.
On dit alors que :

  • $a$ est le coefficient directeur de la droite $\mathscr{D}$
  • $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $\mathscr{D}$

Le coefficient directeur d’une droite $(AB)$ est donc $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x} = \dfrac{y_B- y_A}{x_B- x_A}$.

Exemple : 

2nd - cours - équations de droites - fig3

$A(1;-2)$ et $B(4;2)$
On a par conséquent $\Delta_y = 2-(-2) = 4$ et $\Delta_x = 4-1 = 3$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc $a = \dfrac{4}{3}$.

 Propriété 2 : On considère une droite $\mathscr{D}$ parallèle à l’axe des ordonnées. Il existe alors un réel $a$ tel qu’une équation de $\mathscr{D}$ soit $x=a$.
Preuve Propriété 2

Puisque la droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des ordonnées, il existe un unique point d’intersection $A$ entre l’axe des abscisses et $\mathscr{D}$. Les coordonnées de $A$ sont donc de la forme $(x_A;0)$.

Soit $M(x;y)$ un autre point de $\mathscr{D}$. $M$ a donc la même abscisse que $A$.
Par conséquent $x=x_A$. En posant $a=x_A$, on a bien $x=a$.

[collapse]

 

Remarque : La droite $\mathscr{D}$ est donc l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(a;y)$ pour tout réel $y$.

Exemple : La droite $(AB)$ a pour équation $x=2$.
2nd - cours - équations de droites - fig2

Tous les points de cette droite ont des coordonnées de la forme $(2;y)$.

II Positions relatives de deux droites

On considère deux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ du plan.

  • Si $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles à l’axe des ordonnées
    L’équation de $\mathscr{D}$ est alors $x=a$ et celle de $\mathscr{D}’$ est $x=a’$.
    Par conséquent si $a=a’$ alors les deux droites sont confondues, sinon elles sont strictement parallèles.
    2nd - cours - équations de droites - fig4
  • Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des ordonnées et $\mathscr{D}’$ ne l’est pas
    Les droites $\mathscr{D}$, d’équation $x=c$, et $\mathscr{D}’$, d’équation $y=ax+b$, sont donc sécantes.
    Le point d’intersection a pour coordonnées $(c,ac+b)$.
    2nd - cours - équations de droites - fig5
  • Si aucune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ n’est parallèle à l’axe des ordonnées.
    Propriété 3 : $\mathscr{D}$ a une équation de la forme $y=ax+b$ et $\mathscr{D}’$ une équation de la forme $y=a’x+b’$.
    $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles si, et seulement si, $a=a’$.

    2nd - cours - équations de droites - fig6
    $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ont le même coefficient directeur mais celui de $\mathscr{D}\prime \prime $ est différent.
    Remarque : Si $a=a’$ et $b \ne b’$ alors les deux droites sont strictement parallèles et si $a=a’$ et $b=b’$ alors les deux droites sont confondues.

III Alignement de points

 Propriété 4 : Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
$A, B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.

Exemple : On considère les points $A(-2;2)$, $B(2;-1)$ et $C(50;-37)$. Sont-ils alignés?

  • Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $$\begin{align*} a_1 &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\
    &= \dfrac{-1 -2}{2 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-3}{4}
    \end{align*} $$$\quad$
  • Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est :
    $\begin{align*} a_2 &= \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} \\\\
    & = \dfrac{-37 – 2}{50 – (-2)} \\\\
    &= \dfrac{-39}{52} \\\\
    &=\dfrac{-3}{4}
    \end{align*}$

Par conséquent les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.

Remarque : On peut aussi déterminer une équation de la droite $(AB)$ et chercher si le point $C$ vérifie ou non l’équation.

Les autres cours de 2nd sont ici.

2nd – cours – Variations de fonctions

Variations de fonctions

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

 Définition 1 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarqueon constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig1

Définition 2 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig2

 

 Définition 3 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

2nd - cours - variations de fonctions - fig3

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :
2nd - cours - variations de fonctions - fig4
Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

  • L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
  • $f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

 Définition 4 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictementmonotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.
 Définition 5 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig5

 

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

 Définition 6 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig6

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 7 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

II Fonctions linéaires et affines

 Définition 8 : Une fonction $f$ définie sur $\R$ est dit affine s’il existe deux réels $a$ et $b$ tel que, pour tout réel $x$, on ait $f(x) = ax+b$.
Si $b= 0$ la fonction $f$ est alors dite linéaire.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur.
Le nombre $b$ est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x + 1$ est une fonction affine.

 Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère du plan est une droite.
 Propriété 2 : (Réciproque) Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Remarque 1 : Le cas des droites parallèles à l’axe des ordonnées sera abordé dans le chapitre sur les équations de droites.

Remarque 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

La représentation graphique de la fonction définie dans l’exemple précédent est :

2nd - cours - variations de fonctions - fig7

Propriété 3 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Remarque : Cette propriété permet, connaissant les coordonnées de deux points d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées (ou l’image de deux réels par la fonction $f$) de retrouver l’expression algébrique d’une fonction affine.

Exemple : On considère une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$
La fonction $f$ est affine. On appelle $a$ son coefficient directeur.
D’après la propriété précédente on a alors :
$$\begin{align*} a &= \dfrac{f(5) – f(2)}{5 – 2} \\\\
&= \dfrac{4 – 3}{3} \\\\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align*}$$

Remarque : On aurait également pu faire le calcul $\dfrac{f(2) – f(5)}{2 – 5}$. On aurait obtenu la même valeur pour $a$.

 Propriété 4 : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

  • Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
  • Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
  • Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de $a$ et les variations de la fonction $f$.

Preuve Propriété 4

On considère que la fonction affine $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ (où $b$ est un réel).
Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$. Nous allons essayer de comparer $f(u)$ et $f(v)$ afin de déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Pour cela nous allons chercher le signe de $f(u) – f(v)$.
$$\begin{align*} f(u) – f(v) & = (au+b)-(av+b) \\\\
&= au + b-av-b \\\\
&= au-av \\\\
&= a(u-v)
\end{align*}$$
On sait que $u<v$. Par conséquent $u-v < 0$.

Ainsi

  • si $a > 0$ alors $a(u-v) <0$. Par conséquent $f(u)-f(v) <0$ soit $f(u) < f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\R$.
  • si $a = 0$ alors $a(u-v) = 0$. Par conséquent $f(u)-f(v) = 0$ soit $f(u) = f(v)$.
    la fonction $f$ est donc bien constante sur $\R$.
  • si $a<0$ alors $a(u-v) >0$. Par conséquent $f(u)-f(v) > 0$ soit $f(u) > f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien décroissante sur $\R$.

[collapse]

 

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig8

 

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

  • On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x-2$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} f(x) = 0 &\ssi 3x-2 = 0 \\\\
    & \ssi 3x = 2 \\\\
    & \ssi x = \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) > 0$.
    $\begin{align*} f(x) > 0 &\ssi 3x-2 > 0 \\\\
    & \ssi 3x > 2 \\\\
    & \ssi x > \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig9
  • On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x-4$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} g(x) = 0 &\ssi -2x-4 = 0 \\\\
    & \ssi -2x = 4 \\\\
    & \ssi x = \dfrac{4}{-2} \\\\
    & \ssi x= -2
    \end{align*}$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x) > 0$.
    $\begin{align*} g(x) > 0 &\ssi -2x-4 > 0 \\\\
    & \ssi -2x > 4 \\\\
    & \ssi x \color{red}{<} \dfrac{4}{-2}  \quad \color{red}{\text{car } -2<0}\\\\
    & \ssi x< -2
    \end{align*}$
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig10

Les autres cours de 2nd sont ici.

2nd – cours – Statistiques

Statistiques

I Révisions (Vocabulaire)

Dans notre société, de nombreuses données sont collectées. Elles peuvent concerner par exemple des objets (taille, poids, qualité,…), des végétaux (taille, nombre de pétales, rendement,…), des animaux (nombre d’individus, poids,…), …

Ce qu’on étudie dans une population d’individus donnés (au sens large) s’appelle un caractère.

Définition 1 : On appelle série statistique d’un caractère un ensemble de données relevées concernant ce caractère.

L’effectif d’une valeur du caractère correspond au nombre de fois que l’on rencontre cette valeur dans la série de statistique étudiée.

L’effectif total d’une série statistique correspond au nombre total d’individus présents dans la population étudiée.

 Définition 2 : On appelle fréquence, souvent notée $f$, d’une valeur du caractère le quotient de l’effectif de la valeur sur l’effectif total.

$$ f= \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$$

Exemple : Voici les notes relevées lors d’une interrogation dans une classe.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
L’effectif total est : $ 4 + 8 + 10 + 5 + 2 + 1 = 30$

La fréquence de la note $8$ est $\dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$

On obtient ainsi le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\text{Fréquence} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{30} \\\\
\hline
\end{array}$$

Définition 3 : L’effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) d’une valeur est la somme des effectifs dont le caractère étudié à une valeur inférieure (respectivement supérieure) ou égale à la valeur.

La fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) correspond au quotient de l’effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) sur l’effectif total.

Remarque : On peut aussi calculer les fréquences cumulées à l’aide de la somme des fréquences.

Exemple : En reprenant le tableau de l’exemple précédent, on obtient ce nouveau tableau :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectif} \\ \text{cumulé} \\ \text{croissant} \end{array} & 4 & \color{red}{12} & \color{red}{22} & 27 & 29 & 30 \\
\hline
\end{array}$$

Pour obtenir l’effectif cumulé croissant de la note $12$, il suffit de faire le calcul : $12 + 10 = 22$.
Cet effectif cumulé croissant signifie que $22$ élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à $12$.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectif} \\ \text{cumulé} \\ \text{décroissant} \end{array} & 30 & 26 & \color{red}{18} & \color{red}{8} & 3 & 1 \\
\hline
\end{array}$$

Pour obtenir l’effectif cumulé décroissant de la note $12$, il suffit de faire le calcul $ 8 + 10 = 18$.
Cet effectif cumulé décroissant signifie que $18$ élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à $12$.

On obtient également les tableaux de fréquences cumulées suivants :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & \color{red}{10} & 5 & 2 & 1\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Effectifs} \\ \text{cumulés} \\ \text{croissant} \end{array} & 4 & \color{red}{12} & \color{red}{22} & 27 & 29 & 30 \\
\hline
\begin{array}{l}\text{Fréquence} \\ \text{cumulée} \\ \text{croissante} \end{array} & \dfrac{4}{30} & \dfrac{12}{30} & \color{red}{\dfrac{22}{30}} & \dfrac{27}{30} & \dfrac{29}{30} & 1 \\
\hline
\end{array}$$

On obtient ainsi le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\text{Fréquence} & \dfrac{4}{30} & \dfrac{8}{30} & \color{red}{\dfrac{10}{30}} & \dfrac{5}{30} & \dfrac{2}{30} & \dfrac{1}{30} \\\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Fréquence} \\ \text{cumulée} \\ \text{décroissante} \end{array} & 1 & \dfrac{26}{30} & \color{red}{\dfrac{18}{30}} & \color{red}{\dfrac{8}{30}} & \dfrac{3}{30} & \dfrac{1}{30} \\
\hline
\end{array}$$

Quand on détermine les fréquences cumulées à partir du tableau des fréquences, il est plus facile d’utiliser des fractions non simplifiées. Le calcul des cumuls se fait de la même manière que pour les effectifs : $ \dfrac{8}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{18}{30}$.

 Propriété 1 : La somme des fréquences est toujours égale à $1$.

II Moyenne et Médiane

 Définition 4 : On considère une série statistique dont les valeurs du caractère étudié sont $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_p$ pour lesquels les effectifs respectifs sont $n_1$, $n_1$, $\ldots$, $n_p$.
La moyenne de cette série statistique, notée $\overline{x}$, est :
$$\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2+\ldots + x_pn_p}{n_1 + n_2 + \ldots + n_p}$$

Exemple : En reprenant le tableau de l’exemple précédent
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} & \phantom{1}8 & 10 & 12 & 15 & 16 & 20 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 8 & 10 & 5 & 2 & 1\\
\hline
\end{array}$$
la moyenne est $$\begin{align*} \overline{x} &= \dfrac{8 \times 4 + 10 \times 8 + \ldots + 20 \times 1}{4 + 8 + \ldots + 1} \\\\
&= \dfrac{359}{30}
\end{align*}$$

Propriété 2 : Si on appelle $f_i$ la fréquence associée à la valeur $x_i$ alors on a : $$\overline{x} = f_1x_1 + f_2x_2 + \ldots + f_px_p.$$
 Définition 5 : On appelle médiane, souvent notée $M_e$, d’une série statistique la valeur qui sépare la série en deux séries de même effectif.
Cela signifie donc que $50\%$ des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à $M_e$ et $50\%$ des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à $M_e$.

Remarque 1 : Pour pouvoir déterminer la médiane d’une série, il faut avant toute chose, ranger les valeurs dans l’ordre croissant.

Remarque 2 : La médiane n’appartient pas nécessairement à la série statistique initiale.

Exemple 1 : (effectif total pair) On considère la série statistique suivante (qui a été rangée dans le bon ordre préalablement) :
$$ 5 – 8 – 9 – 9 – 10 – 11 – 13 – 15$$
Cette série comporte $8$ valeurs. $\dfrac{8}{2}  =4$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $4$ valeurs.
La première $ 5-8-9-\color{red}{9}$ et la seconde $ \color{red}{10}-11-13-15$.
La médiane est alors la moyenne de la $4^{\text{ème}}$ (la dernière valeur de la première série) et de la $5^{\text{ème}}$ (la première valeur de la seconde série) valeur.
Ainsi $M_e = \dfrac{9 + 10}{2} = 9,5$.

Exemple 2 : (effectif total impair) On considère la série statistique suivante (qui a été dans le bon ordre préalablement) :
$$4-6-7-9-10-12-13$$
Cette série comporte $7$ valeur. $\dfrac{7}{2} = 3,5$. On va donc pouvoir constituer deux séries de $3$ valeurs :
$$\left[4-6-7\right]-\color{red}{9}-\left[10-12-13\right]$$
La médiane est donc $9$.

Les données sont parfois fournies sous forme de classe. Cela permet d’avoir un tableau plus synthétique (intéressant quand on a beaucoup de valeurs) mais en contrepartie on perd en précision.

Exemple : On considère la série statistique suivante :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$
Pour pouvoir calculer une valeur approchée de la moyenne, on va faire apparaître le centre de chacune des classes, c’est-à-dire le milieu des intervalles.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe de notes} & ]8;10] & ]10;12] & ]12;14] & ]14;16] \\
\hline
\text{Centre}& 9 & 11 & 13 & 15 \\
\hline
\text{Effectif} & 4 & 14 & 10 & 8\\
\hline
\end{array}$$

Ainsi :
$$\begin{align*} \overline{x} &\approx \dfrac{9 \times 4 + 11 \times 14 + 13 \times 10 + 15 \times 8}{4 + 14 + 10 + 8} \\\\
& \approx \dfrac{440}{36}
\end{align*}$$

Remarque : La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position de la série.

III Quartiles et étendue

 Définition 6 : On considère une série statistique rangée dans l’ordre croissant.
On appelle premier quartile de cette série, noté $Q_1$, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_1$.
On appelle troisième quartile de cette série, noté $Q_3$, la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_3$.

Remarque : Comme l’indique leur définition, $Q_1$ et $Q_3$ appartiennent nécessairement à la série étudiée.

Exemple 1 : On considère la série suivante :
$$ 4-8-9-11-12-13-14-16-17$$
Cette série contient $9$ valeurs.
$\dfrac{9}{4} = 2,25$. Par conséquent $Q_1$ sera la troisième valeur de la série, soit $Q_1 = 9$.
$\dfrac{9 \times 3}{4} = 6,75$. Par conséquent $Q_3$ sera la septième valeur de la série, soit $Q_3 = 14$.

Exemple 2 : On considère la série suivante :
$$ 1-3-4-5-9-12-14-16$$
Cette série contient $8$ valeurs.
$\dfrac{8}{4} = 2$. Par conséquent $Q_1$ sera la deuxième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_1 = 3$.
$\dfrac{8 \times 3}{4} = 6$. Par conséquent $Q_3$ sera la sixième valeur de la série, c’est-à-dire $Q_3 = 12$.

 Définition 7 : On appelle écart inter-quartile d’une série statistique la différence $Q_3-Q_1$.

Dans le dernier exemple, l’écart inter-quartile vaut $12 – 3 = 9$.

 Définition 8 : On appelle étendue d’une série statistique, la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

Ainsi, en reprenant la dernière série, l’étendue vaut $16-1 = 15$.

On résume souvent une série statistique à l’aide d’un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) sur lequel figurent :

  • le minimum
  • $Q_1$
  • la médiane
  • $Q_3$
  • le maximum

Exemple :

2nd - cours - statistiques - fig1

Remarque : Les quartiles et étendue sont des indicateurs de dispersion de la série.

IV Quelques représentations graphiques

Il existe de nombreuses façons de représenter une série statistique. Selon le type de données étudiées on sera amené à utiliser telle ou telle représentation graphique. Voici quelques exemples de ce qu’on peut rencontrer.

Le nuage de points

2nd - cours - statistiques - fig2

Le diagramme en bâtons

2nd - cours - statistiques - fig3

Diagramme circulaire

2nd - cours - statistiques - fig4

Histogramme

2nd - cours - statistiques - fig5

 

Les autres cours de 2nd sont ici.

 

 

2nd – cours – Intervalles et généralités sur les fonctions

Intervalles et généralités sur les fonctions

I Intervalles

Définition 1 : On appelle ensemble des nombres réels, noté $\R$, est l’ensemble des nombres qui sont soit entiers, soit avec une partie décimale finie ou soit avec une partie décimale infinie.

Exemple : $-2,75$; $-\dfrac{1}{3}$; $0$; $\sqrt{2}$; $\pi$; $10$ sont des nombres réels.

$\quad$

Il existe d’autres ensembles de nombres. Voici la liste des plus connus et utiles :

  • Les entiers naturels ($\N$) : Exemple : $0;1;5;123;\ldots$
  • Les entiers relatifs ($\Z$) : Exemple : $\ldots;-5;-2;0;1;6;\ldots$. Il contient l’ensemble $\N$.
  • Les nombres décimaux ($\D$) : Exemple : $\ldots; -4,25;-2;0;1,728;7;\ldots$. Il contient l’ensemble $\Z$.
  • Les nombres rationnels ($\Q$) : Exemple : $\ldots; -\dfrac{10}{3};-2,12;0;3;\dfrac{127}{4};\ldots$. Il contient l’ensemble $\D$ et il est contenu dans $\R$.

On obtient ainsi la chaîne d’inclusions suivante : $\N \subset \Z \subset \D \subset \Q \subset \R$

 Définition 2 : On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $]a;b[$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $[a;b]$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \le x \le b$.

Exemple : 

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarque :  On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
$\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \le x < b$
$\quad$  $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \le b$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \le x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit “plus l’infini”, et $-\infty$, qui se lit “moins l’infini”.

 Définition 3 : Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\le a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \le x$.

Remarque : L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

En plus de pouvoir écrire des intervalles sous la forme d’inégalités on peut également les représenter graphiquement :

$x\in[-2;1[$ peut être représenté par2nd - cours - intervalles - fig1
$x \in ]4;+\infty[$ peut être représenté par 2nd - cours - intervalles - fig2

Remarque : On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (ou $\cup$ signifie “union”)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

II Vocabulaire sur les fonctions

 Définition 4 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appelé ensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Remarque : Le nombre $x$ est appelé la variable de la fonction.
L’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe. Il est parfois noté $\mathscr{D}_f$.

Exemple 1 : On considère la fonction $f$ définie pour tous les réels qui a tout nombre associe sa moitié.
On a ainsi : $\mathscr{D}_f = \R$ et $f(x) = \dfrac{x}{2}$.

Exemple 2 : On considère la fonction $g$ qui a tout nombre positif associe sa racine carrée.
On a ainsi $\mathscr{D}_g = [0;+\infty[$ et $g(x) = \sqrt{x}$.
Cette fonction sera étudiée en classe de première.

Exemple 3 : Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ ont donc la même image par la fonction $h$.

Remarque : La définition 4 précise bien qu’un réel ne peut pas avoir plusieurs images par une même fonction. En revanche, comme on vient de la constater, plusieurs réels peuvent avoir la même image.

Définition 5 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Ainsi dans l’exemple 3, $1$ et $-3$ sont deux antécédents de $3$.

 Définition 6 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

2nd - cours - intervalles - fig 3.1

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

III Exemples de modélisation d’une fonction

Voici quelques façons de définir une fonction. Cette liste n’est pas exhaustive.

  • A l’aide d’une courbe
    2nd - cours - intervalles - fig 4.1

    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f = [0;13]$.
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est $2$.
    Un antécédente de $4$ par la fonction $f$ est $4$.
  • A l’aide d’un tableau de valeurs$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x & 1 & 2& 3& 4& 5 \\
    \hline
    f(x) & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}4 & \phantom{-}8\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f = \lbrace 1;2;3;4;5\rbrace$.
    L’image de $2$ par la fonction $f$ est $1$.
    Un antécédente de $-2$ par la fonction $f$ est $3$.
  • A l’aide d’une expression algébrique
    La fonction $f$ est définie sur $[-2;5]$ par $f(x) = 2x^2 -3x$.
    Son ensemble de définition est $\mathscr{D}_f = [-2;5]$.
    L’image de $1$ par la fonction $f$ est $2 \times 1^2 – 3 \times 1 = -1$.
    Un antécédent de $-1$ par la fonction $f$ est $1$.

IV Résolution graphique d’équations

  • Équation $f(x) = k$
    On trace la courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite d’équation $y=k$.
    2nd - cours - intervalles - fig5.1

    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses ces points qui sont les solutions de l’équation $f(x)=k$.
  • Équation $f(x) = g(x)$
    On trace les deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    2nd - cours - intervalles - fig 6
    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses de ces points qui sont les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$.

Remarque : On résout selon le même principe des inéquations du type $f(x) < g(x)$, en indiquant sous forme d’intervalle ou d’ensemble de nombres, les abscisses des points de la courbe $\mathscr{C}_f$ qui sont situés en-dessous des points de la courbe $\mathscr{C}_g$.

Les autres cours de 2nd sont ici.

2nd – Cours

Vous trouverez ici les cours de mathématiques et quelques exercices corrigés pour la classe de seconde.

Mise à jour réforme 2019

Ensembles de nombres et intervalles

Calcul numérique et bases de calcul littéral

Les fonctions de référence

 

Identités remarquables

$\quad$ Cours
$\quad$ Des exercices d’entraînement au calcul littéral sont ici.
$\quad$

Configurations du plan

$\quad$ Cours
$\quad$ Des exercices d’entraînement sur les configurations du plan sont ici.
$\quad$

Repérage dans le plan

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Coordonnées et milieux dans le plan
$\qquad$ Fiche 2 : Calculs de distance et de coordonnées de milieu+géométrie dans le plan
$\quad$ Fiches Méthode
$\qquad$ Fiche 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
$\qquad$ Fiche 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme
$\qquad$ Fiche 3 : Déterminer la nature d’un triangle
$\quad$

Intervalles et généralités sur les fonctions

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Généralités sur les fonctions
$\qquad$ Fiche 2 : Généralités sur les fonctions
$\qquad$ Fiche 3 : Recherches d’antécédents (graphiquement et par le calcul) et d’images (calcul)
$\quad$

$\quad$

Statistiques

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Calculs de moyenne, médiane, quartiles, …
$\qquad$ Fiche 2 : Calculs de moyenne, médiane, quartiles, …


$\quad$

Variations de fonctions – Fonctions affines et linéaires

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Variations de fonctions et extremum
$\qquad$ Fiche 2 : Les fonctions linéaires et affines
$\quad$

Équations de droites

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Détermination d’équations, point d’intersection, points alignés, droites parallèles,…
$\qquad$ Fiche 2 : Équations de droites, point d’intersection
$\quad$

Fonctions de référence

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : La fonction carré
$\qquad$ Fiche 2 : La fonction inverse
$\quad$

Les vecteurs

$\quad$Cours :
$\qquad$ Partie 1 : Aspect géométrique
$\qquad$ Partie 2 : Avec des coordonnées
$\quad$

Probabilités

$\quad$ Cours
$\quad$

Géométrie dans l’espace

$\quad$ Cours
$\quad$ Exercices corrigés
$\qquad$ Fiche 1 : Patrons de solide, conversions d’aires et de volume, calculs d’aires latérales et de volumes
$\qquad$ Fiche 2 : Parallélisme et section de plan
$\quad$

Inéquations et tableaux de signes

$\quad$ Cours
$\quad$ Fiche 1 : Inéquations et tableaux de signes
$\quad$

Fonctions polynômes du second degré et homographiques

$\quad$ Cours
$\quad$ Fiche 1 : Second degré
$\quad$ Fiche 2 : Fonctions homographiques
$\quad$

Trigonométrie

$\quad$ Cours
$\quad$ Fiche 1 : Positionnement sur le cercle trigonométrique, équations, problème géométrique

$\quad$

 

Retrouvez ces fiches d’exercices et bien d’autres sur cette page.

 

En construction, soyez patient…
$\quad$
$\quad$

2nd – Cours – Repérage dans le plan

Repérage dans le plan

I Définitions

 Définition 1 : 

  • Pour définir un repère d’un plan, il suffit de fournir trois points non alignés $O$, $I$ et $J$. On note alors ce repère $(O;I,J)$. L’ordre dans lequel les points sont écrits est important.
  • Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, le repère $(O;I,J)$ est dit orthogonal.
  • Si le repère $(O;I,J)$ est orthogonal et que $OI = OJ$ alors le repère est dit orthonormé.

 Définition 2 : On considère le repère $(O;I,J)$.

  • Le point $O$ est appelé l’origine du repère.
  • La droite $(OI)$ est appelé l’axe des abscisses. La longueur $OI$ est la longueur unité de cet axe.
  • La droite $(OJ)$ est appelé l’axe des ordonnées. La longueur $OJ$ est la longueur unité de cet axe.
2nd - cours - repérage dans le plan - fig1

Repère orthonormé

$\quad$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1bis

Repère orthogonal

Remarque 1 : Puisque la longueur $OI$ est la longueur unité de l’axe des abscisse, cela signifie donc que $OI = 1$. C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

 Définition 3 : Soit $M$ un point du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On construit le parallélogramme $OM_xMM_y$ tel que :

  • $M_x \in (OI)$
  • $M_y \in (OJ)$

On note alors $x_M = OM_x$ et $y_M = OM_y$.
Le couple $\left(x_M,y_M\right)$ est appelé coordonnées du point $M$.

$x_M$ est l’abscisse du point $M$ et $y_M$ est l’ordonnée du point $M$. Le couple ainsi défini est unique.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig2

Exemple : 

2nd - cours - repérage dans le plan - fig3

Les coordonnées de :

  • $A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
  • $B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
  • $C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
  • $D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$

Remarque 1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$.

Remarque 2 : On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$

Propriété 1 : On considère deux points $A$ et $B$ d’un plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

II Milieu d’un segment

 Propriété 2 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.

Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

Exemple 1 : Dans le repère $(O;I,J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont :
$\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

2nd - cours - repérage dans le plan - fig4

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$.

On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$.
Soit $A\left(x_A,y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par $2$.
$\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}$

Par conséquent $x_A = 0$ et $y_A = 7$.
Ainsi $A(0;7)$.

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig5

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

Main méthode  Fiche méthode 1 : Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Main méthode  Fiche méthode 2 : Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

III Longueur d’un segment

 Propriété 3 : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig6

Exemple : Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$.
On a ainsi :
$$\begin{align*} AB^2 &=  \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\\\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\\\
&= (-2)^2 + 4^2 \\\\
&= 4 + 16 \\\\
&= 20 \\\\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$

Remarque 1 : Il est plus “pratique”, du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

Main méthode  Fiche méthode 3 : Déterminer la nature d’un triangle

$\quad$

Les autres cours de 2nd sont ici.