2nd – Exercices – Arithmétique – Diviseurs et multiples

Arithmétiques – Diviseurs et multiples

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

  1. Déterminer les diviseurs de $18$ et de $24$.
    $\quad$
  2. Le nombre $102$ est-il un multiple de $17$?
    $\quad$
  3. Le nombre $24$ est-il un diviseur de $4$?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Les diviseurs de $18$ sont :
    $-18$, $-9$, $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.
    $\quad$
    Les diviseurs de $24$ sont :
    $-24$, $-12$, $-8$, $-6$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$.
    $\quad$
  2. $102=17\times 6$ donc $102$ est un multiple de $17$.
    $\quad$
  3. $24=4\times 6$ donc $4$ est diviseur de $24$ mais $24$ n’est pas un diviseur de $24$.
    Remarque : On pouvait également dire que puisque $24$ est strictement supérieur à $4$ il ne peut pas être un de ses diviseurs.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par $2$? par $3$? par $5$? par $9$? par $10$?

$$20 \qquad 85 \qquad 231 \qquad 972$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$20$ n’est divisible que par $2$, $5$ et $10$.
$\quad$ $20=2\times 10$ et $20=4\times 5$
$\quad$ La somme des chiffres de $20$ est $2$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $20$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$85$ n’est divisible que par $5$
$\quad$ $85=5\times 17$
$\quad$ $85$ n’est pas pair. Donc $85$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ La somme des chiffres de $85$ est $13$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $85$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$231$ n’est divisible que par $3$
$\quad$ $231=3\times 77$
$\quad$ $231$ n’est pas pair. Donc $231$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ Le chiffre des unités de $231$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $231$ n’est pas divisible par $5$.
$\quad$ La somme des chiffres de $231$ est $6$ qui n’est pas un multiple de $9$. Donc $231$ n’est pas divisible par $9$.

$972$ n’est divisible que par $2$, $3$ et $9$
$\quad$ $972=2\times 486$, $972=3\times 324$ et $972=9\times 108$
$\quad$ Le chiffre des unités de $972$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $972$ n’est pas divisible par $5$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère les nombres $a=18$ et $b=24$

  1. Donner deux nombres multiples à la fois de $a$ et de $b$.
    $\quad$
  2. Parmi la liste de tous les multiples strictement positifs communs à $a$ et $b$, déterminer le plus petit d’entre-eux.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. Les premiers multiples positifs de $a$ sont $18$, $36$, $54$, $72$, $90$, $108$, $126$, $144$.
    Les premiers multiples positifs de $b$ sont $24$, $48$, $72$, $96$, $120$, $144$.
    Donc deux multiples communs à $a$ et $b$ sont $72$ et $144$.
    On aurait pu aussi prendre $72$ et $-72$. Il existe une infinité de multiples communs. Ce ne sont donc évidemment pas les seules possibilités.
    $\quad$
  2. D’après les listes des multiples de $a$ et de $b$, le plus petit multiple positif commun à $a$ et $b$ est $72$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$?

$\quad$

Correction Exercice 4

Trois entiers consécutifs peuvent s’écrire : $n$, $n+1$ et $n+2$ où $n$ est un entier relatif.
Ainsi leur somme vaut :
$\begin{align*} S&=n+(n+1)+(n+2)\\
&=3n+3\\
&=3(n+1)\end{align*}$

Par conséquent $S$ est un multiple de $3$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Montrer que le produit de deux multiples de $2$ est un multiple de $4$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On considère deux multiples de $2$notés $a$ et $b$.
Il existe donc deux entiers relatifs $n$ et $m$ tels que $a=2n$ et $b=2m$.
Leur produit est alors :
$\begin{align*} P&=ab\\
&=(2n)\times (2m) \\
&=4nm\end{align*}$

Par conséquent $P$ est un multiple de $4$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.
Montrer que $28$ est un nombre parfait.

$\quad$

Correction Exercice 6

Les diviseurs positifs de $28$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ et $28$.
De plus $1+2+4+7+14=28$
Donc $28$ est un nombre parfait.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère le nombre dont l’écriture décimale est $4a3b$.
Déterminer les valeurs possibles des chiffres $a$ et $b$ pour qu’il soit divisible par $12$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Pour que le nomre $4a3b$ soient divisibles par $12$, il faut qu’il soit divisibles par $3$ et par $4$.
$4a3b$ est divisibles par $4$ si le nombre $3b$ est divisible par $4$.
Par conséquent $b$ ne peut donc prendre comme valeur que $2$, $6$.

$4a3b$ est divisible par $3$ si la somme de ces chiffres est un multiple de $3$.

  • Si $b=2$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+2=9+a$
    $9+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $0$, $3$, $6$ ou $9$
  • Si $b=6$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+6=13+a$
    $13+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $2$, $5$ ou $8$

Finalement, seuls les nombres $4~032$, $4~332$,$4~632$ , $4~932$, $4~236$, $4~536$ et $4~836$ sont divisibles par $12$.

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$\quad$

Exercice 8     Difficulté +

On considère un entier naturel $n$ tel que $n+1$ soit divisible par $4$.
Montrer que $n^2+3$ est également divisible $4$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On a $(n+1)^2=n^2+2n+1$
Donc
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2n+2\\
&=(n+1)^2-2(n-1)\end{align*}$

$n+1$ est divisible par $4$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n+1=4k$
Par conséquent $n-1=n+1-2=4k-2=2(2k-1)$
Ainsi :
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2(n-1) \\
&=(4k)^2-2\times 2(k-1) \\
&=16k^2-4(k-1)\\
&=4\left(4k^2-(k-1)\right)
\end{align*}$

Donc $n^2+3$ est divisible par $4$.
$\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Probabilités

Probabilités

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l’issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
Au cours d’une semaine, on a constaté que $6\%$ des lentilles présentent au moins un des deux défauts, $5\%$ des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et $3\%$ présentent une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

  • $A$ l’événement : “La lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux”;
  • $B$ l’événement : “La lentille prélevée présente une perméabilité à l’oxygène défectueuse”.
  1. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut”.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts”.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $C$ : “la lentille prélevée au hasard n’a qu’un seul des deux défauts”.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On sait que $p(A \cup B)=0,06$ et on veut calculer $p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A \cup B)=1-0,06=0,94$.
    $\quad$
  2. On sait que $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
    Donc $p(A\cap B)=p(A)-p(B)-p(A \cup B)=0,05+0,03-0,06=0,02$.
    $\quad$
  3. On veut donc calculer $p(A\cup B)-p(A\cap B)=0,06-0,02=0,04$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une classe de Seconde compte $28$ élèves. $12$ d’entre eux pratiquent la natation, $7$ le volley-ball et $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. On désigne au hasard un élève de la classe.

Calculer la probabilité qu’il pratique :

  1. l’un, au moins, des deux sports;
    $\quad$
  2. les deux sports.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Sur les $28$ élèves, $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. Cela signifie donc que $28-13=15$ élèves pratiquent au moins l’un des deux sports. La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{15}{28}$.
    $\quad$
  2. Si on appelle $N$ l’événement “l’élève désigné pratique la natation”, et $V$ l’événement “l’élève désigné pratique le volley-ball” alors on a : $p(N)=\dfrac{12}{28}$, $p(V)=\dfrac{7}{28}$ et $p(N\cup V)=\dfrac{15}{28}$.
    Or $p(N\cup V)=p(N)+p(V)-p(N\cap V)$
    soit $p(N\cap V)=p(N)+p(V)-p(N\cup V)=\dfrac{12}{28}+\dfrac{7}{28}-\dfrac{15}{28}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une bijouterie contient $20\%$ de boucles d’oreilles, $40\%$ de colliers, et le reste en bracelets. $60\%$ des bijoux sont en argent. Il y a autant de colliers en or que de colliers en argent. Enfin, $75\%$ des bracelets sont en argent.

  1. Compléter le tableau :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& \phantom{\dfrac{1}{2}{1}} & & & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} &\phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles }\\
    \hline
    \text{Total }&\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} && & 100\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. On choisit au hasard un bijou. Soit $E_1$ l’événement “le bijou choisi est en argent” et $E_2$ l’événement “le bijou choisi est un bracelet”.
    a. Calculer $P\left(E_1\right)$ et $P\left(E_2\right)$.
    $\quad$
    b. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cap E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cap E_2\right)$.
    $\quad$
    c. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cup E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cup E_2\right)$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. Quelle est la probabilité qu’il soit en or?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& 10 &20 &30 & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &10&20 & 10&40 \\
    \hline
    \text{Total }&20&40& 40& 100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $P(E_1) = \dfrac{60}{100} = 0,6$ et $P(E_2) = \dfrac{40}{100} = 0,4$
    $\quad$
    b. $E_1 \cap E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est un bracelet en argent”.
    $P(E_1 \cap E_2) = \dfrac{30}{100} = 0,3$.
    c. $E_1 \cup E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est soit un bracelet soit en argent”.
    $P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{60 + 10}{100} = 0,7$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. La probabilité qu’il soit en or est donc de $\dfrac{10}{40} = 0,25$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

En fin de journée, la caissière d’un magasin relève tous les tickets de caisse qui lui permettent de savoir :

  • Le moyen de paiement utilisé par les acheteurs : Carte Bleue, Chèque ou Espèces.
  • Le montant des achats qu’elle classe en $2$ groupes : montant de moins de $10$ € et montant supérieur ou égal à $10$ €.

Pour la journée dont elle fait le bilan, il y a eu $200$ achats.

  • Il y a eu $50$ paiements par chèque;
  • Il y a eu autant de paiements en carte bancaire que de paiement en espèces;
  • Parmi les paiements en espèces, $15$ sont d’un montant supérieur ou égal à $10$ €;
  • Le tiers des achats payés par carte bancaire correspondent à un montant inférieur à $10$ €;
  • Le magasin n’accepte pas les chèques lorsque l’achat est d’un montant inférieur à $10$ €.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}& &0& & \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}& & & & \\
\hline
\text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50& & 200 \\
\hline
\end{array}$

  1. Compléter, sans justification, le tableau ci-dessus.
    $\quad$
  2. La caissière prend au hasard un ticket de caisse parmi les $200$, on suppose que tous les tickets de caisse ont la même probabilité d’être choisis. On considère les événements suivants :
    $A$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$ €”,
    $B$ : “le paiement a été fait par carte bancaire”,
    $C$ : “le paiement a été fait en espèces”.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $A$, puis celle de l’événement $B$.
    $\quad$
    b. Décrire en une phrase chacun des événements $A\cap B$ et $A\cup B$ puis calculer leur probabilité.
    $\quad$
    c. Décrire en une phrase l’événement $\conj{C}$, puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. La caissière a pris un ticket de caisse correspondant à un paiement par carte bancaire.
    Quelle est la probabilité que le montant de l’achat soit supérieur ou égal à $10$ €?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{25} &0&\boldsymbol{60} &\boldsymbol{85} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{50} &\boldsymbol{50} &\boldsymbol{15} &\boldsymbol{115} \\
    \hline
    \text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}\boldsymbol{75}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50&\boldsymbol{75} & 200 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a. $p(A)=\dfrac{85}{200}=0,425$
    $p(B)=\dfrac{75}{200}=0,375$
    $\quad$
    b. $A\cap B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ et a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cap B)=\dfrac{25}{200}=0,125$
    $A\cup B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ ou a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cup B)=\dfrac{85+50}{200}=\dfrac{135}{200}=0,675$
    $\quad$
    c. $\conj{C}$ : “le paiement n’a pas été fait en espèces”.
    $p\left(\conj{C}\right)=1-p(C)=1-\dfrac{75}{200}=\dfrac{125}{200}=0,625$.
    $\quad$
  3. Parmi les $75$ achats payés par carte bancaire $50$ ont un montant supérieur à $10$€.
    La probabilité cherchée est donc $p=\dfrac{50}{75}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – cours – Périmètres, aires et volumes

Périmètres, aires et volumes

I Dans le plan

  • Triangle

    $\mathscr{A} = \dfrac{B \times h}{2}~~$
    $\quad$

  • Rectangle

    $\mathscr{A} = \ell \times L$
    $\mathscr{P} = 2\times (\ell+L)$
    $\quad$
  • Carré
    $\mathscr{A} = c^2$
    $\mathscr{P} = 4c$
    $\quad$
  • Parallélogramme

    $\mathscr{A} = B \times h$
    $\quad$

  • Losange

    $\mathscr{A} = \dfrac{D \times d}{2}$
    $\mathscr{P} = 4c$
    $\quad$

  • Trapèze

    $\mathscr{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$
    $\quad$
  • Cercle et disque

    $\mathscr{A} = \pi \times r^2$ (disque)
    $\mathscr{P} = 2\pi r$ (cercle)

Convertir : comment changer d’unités d’aire?

ha : hectare
a : are
ca : centiare

Exemples :
$25$ cm$^2 =0,002 5$ m$^2$
$7$ km$^2 = 7~000~000$ m$^2$
$\quad$

$\quad$

II Dans l’espace

  • Cube
     

    $\mathscr{V}=c^3$
    $\mathscr{A}=6c^2$
    $\quad$

  • Parallélépipède rectangle ou pavé droit

    $\mathscr{V} = L \times \ell \times h$
    $\mathscr{A}=2(L\times \ell+L\times h+\ell \times h$
    $\quad$

  • Cylindre de révolution

    $\mathscr{V} = \pi \times r^2 \times h$
    $\mathscr{A}_{\text{latérale}} = 2\pi rh$
    $\quad$
  • Prisme droit

    $\mathscr{V} = \mathscr{A}_{base} \times h$
    $\mathscr{A}_{\text{latérale}} = \mathscr{P}_{base}\times h$
    $\quad$
  • Cône de révolution

    $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\pi \times r^2 \times h$
    $\quad$
  • Pyramide

    $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{base} \times h$
    Remarque : Si la base est un triangle, ce qui est le cas ici, on parle de tétraèdre.
    $\quad$
  • Sphère et boule

    $\mathscr{V} = \dfrac{4}{3}\pi \times r^3$ (boule)
    $\mathscr{A}=4\pi r^2$ (sphère)
    $\quad$

Convertir : comment changer d’unités de volume?

On a également les unités de capacité : $1$ L $=1$ dm$^3$, $1$ mL $=1$ cm$^3$

Exemples :
$25$ cm$^3 = 25~000$ mm$^3$
$7$ km$^3 = 7~000~000~000$ m$^3$

2nd – Exercices – Variations de fonctions et parité d’une fonction

Variations de fonctions et parité d’une fonction

2nd – Exercices corrigés

 

Exercice 1

$f$ est une fonction admettant le tableau de variations suivant :

2nd - DS commun 1 - ex2

 

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|}
\hline
& & A&B&C&\begin{array}{c}\text{Votre}\\\text{choix}\end{array} \\
\hline
1&\begin{array}{l} \text{L’ensemble de}\\ \text{définition de } f \text{est :}\end{array}& [-2;4] & [0;2]\cup[6;9]& [0;11] & \\
\hline
2&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(0) = 2 & f(2) = 0 & \begin{array}{l}\text{L’image de }0 \text{ par }f \text{ est} \\\text{égale à }11 \end{array} &  \\
\hline
3&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(3) \le f(4) & f(3) \ge f(4) & \begin{array}{l} \text{On ne peut pas}\\ \text{comparer} f(3) \text{ et } f(4) \end{array}& \\
\hline
4& f \text{ admet pour minimum :} & -1 \text{ sur } [6;11] & 0 \text{ sur } [0;11] & -2 \text{ sur } [6;11] & \\
\hline
5&f \text{ est } & \begin{array}{l} \text{croissante sur}\\ \text{l’intervalle }[2;4] \end{array} & \begin{array}{l} \text{décroissante sur} \\ \text{l’intervalle }[-2;4]\end{array} & \begin{array}{l} \text{croissante sur} \\ \text{l’intervalle }[0;4]\end{array} & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1
  1. L’ensemble de définition est $[0;11]$ : Réponse C
    $\quad$
  2. $f(0) = 2$ (Pour les autres propositions : $f(2) = -1$ et $f(11) = 0$) : Réponse A
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est croissante sur $[2;6]$ donc $f(3) \le f(4)$ : Réponse A
    $\quad$
  4. $f$ admet pour minimum $-2$ sur $[6;11]$ : Réponse C
    $\quad$
  5. $f$ est croissante sur l’intervalle $[2;6]$. Elle est donc croissante sur l’intervalle $[2;4]$ : Réponse A
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$.

2nd-Devoir commun 2-ex4

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies, fausses ou si on ne peut pas répondre.

$\begin{array}{llc}
1. & (-2) < f(-2,5) & \ldots \ldots \ldots \\
2. & f(-3) = -4 & \ldots \ldots \ldots \\
3. & 2 \text{ est un antécédent de } 0 \text{ par }f & \ldots \ldots \ldots \\
4. & \text{Il existe un nombre réel de l’intervalle }[0;3] \text{ qui a pour image }0 \text{ par } f & \ldots \ldots \ldots \\
5. & \text{Tous les réels de l’intervalle }[0;3] \text{ ont une image par } f \text{ positive} & \ldots \ldots \ldots \\
6. & \text{Il existe un réel de l’intervalle }[-3;3] \text{qui a une image strictement négative par }f & \ldots \ldots \ldots
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $f(-2) < f(-2,5)$ FAUX
    $\quad$
  2. $f(-3) = -4$ FAUX
    $\quad$
  3. $2$ est un antécédent de $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  4. Il existe un nombre réel de l’intervalle $[0;3]$ qui a pour image $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  5. Tous les réels de l’intervalle $[0;3]$ ont une image par $f$ positive VRAI
    $\quad$
  6. Il existe un réel de l’intervalle $[-3;3]$ qui a une image strictement négative par $f$ ON NE SAIT PAS

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Déterminer dans chacun des cas si la fonction fournie est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

  1. La fonction $f_1$ définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
    $\quad$
  2. La fonction $f_2$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    $\quad$
  4. La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
    $\quad$
  5. La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
    $\quad$
  6. La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_1(-x)&=4(-x)^2+5 \\
    &=4x^2+5\\
    &=f_1(x)\end{align*}$
    La fonction $f_1$ est donc paire.
    $\quad$
  2. La fonction $f_2$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} f_2(-x)&=\dfrac{5}{-x}+4(-x)^3 \\
    &=-\dfrac{5}{x}-4x^3 \\
    &=-\left(\dfrac{5}{x}+4x^3\right) \\
    &=-f_2(x)\end{align*}$
    La fonction $f_2$ est donc impaire.
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_3(-x)&=\dfrac{-x-3}{(-x)^2+2} \\
    &=-\dfrac{x+3}{x^2+2}\end{align*}$
    Or $-f_3(x)=-\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    Donc $f_3(-x)\neq f_3(x)$ et $f_3(-x)\neq -f_3(x)$.
    La fonction $f_3$ n’est donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  4. La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$, le réel $-x$ n’appartient pas à $[0;+\infty[$.
    La fonction $f_4$ n’est donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  5. La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_5(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{4} \\
    &=\dfrac{-x^3+x}{4} \\
    &=\dfrac{-\left(x^3-x\right)}{4} \\
    &=-\dfrac{x^3-x}{4} \\
    &=-f_5(x)\end{align*}$
    La fonction $f_5$ est donc impaire.
    $\quad$
  6. La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} f_6(-x)&=\dfrac{-2}{(-x)^2}+7 \\
    &=\dfrac{-2}{x^2}+7\\
    &=f_6(x)\end{align*}$
    La fonction $f_6$ est donc paire.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

À partir de la courbe de la fonction représentée, dire si la fonction semble paire, impaire ou ni paire, ni impaire.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. La courbe de la fonction $1$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $1$ semble donc paire.
    $\quad$
  2. La courbe de la fonction $2$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $2$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  3. La courbe de la fonction $3$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $3$ semble donc impaire.
    $\quad$
  4. La courbe de la fonction $4$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $4$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  5. La courbe de la fonction $5$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $5$ semble donc impaire.
    $\quad$
  6. La courbe de la fonction $6$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $6$ semble donc paire.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     Difficulté +

  1. On considère une fonction $f$ paire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-6;-1]$?
    $\quad$
  2. On considère une fonction $g$ impaire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-10;-2]$?
    $\quad$

Remarque : Ces propriétés sont généralisables à tout intervalle inclus dans $[0;+\infty[$.

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-6\pp v<u\pp -1$. On veut comparer $f(u)$ et $f(v)$.
    $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $1 \pp a<b\pp 6$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. On a donc $f(a)<f(b)$.
    La fonction $f$ est paire. Donc $f(a)=f(-a)$ et $f(b)=f(-b)$.
    Ainsi $f(-a)<f(-b)$  c’est-à-dire $f(u)<f(v)$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-6;-1]$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-10\pp v<u\pp -2$. On veut comparer $g(u)$ et $g(v)$.
    $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $2 \pp a<b\pp 10$
    La fonction $g$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Donc $g(a)>g(b)$.
    La fonction $g$ est impaire. Donc $g(-a)=-g(a)$ et $g(-b)=-g(b)$.
    Ainsi $-g(-a)>-g(-b)$ c’est-à-dire $g(-a)<g(-b)$ et donc $g(u)<g(v)$
    La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-10;-2]$.
    $\quad$

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$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Variations des fonctions de référence

Variations des fonctions de référence

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

En utilisant les variations de la fonction carré, comparer les nombres suivants :

  • $2,5^2$ et $1,6^2$
    $\quad$
  • $(-1,3)^2$ et $(-5,2)^2$
    $\quad$
  • $\pi^2$ et $\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    $\quad$
  • $(-5)^2$ et $4^2$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  • $2,5^2$ et $1,6^2$
    La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<1,6<2,5$
    Donc $1,6^2<2,5^2$.
    $\quad$
  • $(-1,3)^2$ et $(-5,2)^2$
    La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    On a $-5,2<-1,3<0$
    Donc $(-5,2)^2<(-1,3)^2$
    $\quad$
  • $\pi^2$ et $\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\pi \approx 3,14$ et $\dfrac{10}{3}\approx 3,33$.
    Ainsi $0<\pi<\dfrac{10}{3}$
    Donc $\pi^2<\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    $\quad$
  • $(-5)^2$ et $4^2$
    D’une part $(-5)^2=5^2$.
    D’autre part la fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<4<5$
    Donc $4^2< 5^2$ ainsi $4^2<(-5)^2$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

En utilisant les variations de la fonction inverse, comparer les nombres suivants :

  • $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$
    $\quad$
  • $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{2,1}$ et $-\dfrac{1}{4,7}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  • $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    On a $0<3<7$
    Donc $\dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  • $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{4}$
    D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    D’autre part, $\sqrt{2}>1$ donc $5\sqrt{2}>5>4>0$
    Donc $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}<\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{2,1}$ et $-\dfrac{1}{4,7}$
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
    On a $-4,7<-2,1$
    Donc $-\dfrac{1}{4,7}>-\dfrac{1}{2,1}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    D’autre part on a $4<5<9$ donc $2<\sqrt{5}<3$ c’est-à-dire $-3<-\sqrt{5}<-2$
    Ainsi $-2<1-\sqrt{5}<-1$ et par conséquent $-8<1-\sqrt{5}<0$.
    Donc $-\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

En utilisant les variations de la fonction racine carrée, comparer les nombres suivants :

  • $\sqrt{5}$ et $\sqrt{8}$
    $\quad$
  • $\sqrt{4,2}$ et $\sqrt{2,4}$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{4}{7}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    $\quad$
  • $\sqrt{10^{-4}}$ et $\sqrt{10^{-8}}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  • $\sqrt{5}$ et $\sqrt{8}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<5<8$
    Donc $\sqrt{5}<\sqrt{8}$
    $\quad$
  • $\sqrt{4,2}$ et $\sqrt{2,4}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<2,4<4,2$
    Donc $\sqrt{2,4}<\sqrt{4,2}$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{4}{7}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    D’une part, la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    D’autre part $\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{2}{21}$
    Ainsi $0<\dfrac{4}{7}<\dfrac{2}{3}$
    Par conséquent $\sqrt{\dfrac{4}{7}}<\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    $\quad$
  • $\sqrt{10^{-4}}$ et $\sqrt{10^{-8}}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Or $0<10^{-8}<10^{-4}$
    Donc $\sqrt{10^{-4}}>\sqrt{10^{-8}}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

En utilisant les variations de la fonction cube, comparer les nombres suivants :

  • $4,2^3$ et $5,1^3$
    $\quad$
  • $(-2,4)^3$ et $(-1,3)^3$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}^3$ et $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    $\quad$
  • $(-10)^3$ et $2^3$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  • $4,2^3$ et $5,1^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $4,2<5,1$
    Donc $4,2^3 < 5,1^3$
    $\quad$
  • $(-2,4)^3$ et $(-1,3)^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $-2,4<-1,3$
    Donc $(-2,4)^3<(-1,3)^3$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}^3$ et $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $\sqrt{2}>1$ et $\dfrac{1}{4}=0,25$. Ainsi $\sqrt{2}>\dfrac{1}{4}$
    Donc $\sqrt{2}^3 > \left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    $\quad$
  • $(-10)^3$ et $2^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $-10<2$
    Donc $(-10)^3<2^3$
    Remarque : On pouvait également dire que $(-10)^3<0$ et que $2^3>0$ puis conclure.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+2)^2 – 4$.

  1. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$.
    $\quad$
  4. Quel est donc le minimum de de la fonction $f$? En quel point est-il atteint?

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$.
    $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4 – \left((b+2)^2-4\right) \\
    & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
    & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
    & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $a<b<-2$ alors $a+b+4 < -2 -2 + 4$ soit $a+b+4<0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) >0$
    Donc $f(a)-f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2<a < b $.
    $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4-\left((b+2)^2-4\right) \\
    & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
    & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
    & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $-2<a<b$ alors $a+b+4 > -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
    Donc $f(a)-f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    2nd - fonction carré - ex8
    $\quad$
  4. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x-5$.

  1. Montrer que $f(x)=-(x-3)^2+4$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x)\pp 4$ pour tout réel $x$. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum.
    $\quad$
  3. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;3]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -(x-3)^2+4&=-\left(x^2-6x+9\right)+4 \\
    &=-x^2+6x-9+4\\
    &=-x^2+6x-5\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $(x-3)^2\pg 0$
    Donc $-(x-3)^2\pp 0$
    Et par conséquent $-(x-3)^2+4\pp 4$
    Cela signifie alors que $f(x) \pp 4$.
    $\quad$
    De plus $f(3)=-0^2+4=4$
    La fonction $f$ admet donc un maximum égal à $4$ atteint pour $x=3$.
    $\quad$
  3. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
    $\begin{align*} f(a)<f(b) &= -(a-3)^2+4-\left(-(b-3)^2+4\right) \\
    &-(a-3)^2+(b-3)^2 \\
    &=(b-3)^2-(a-3)^2 \\
    &=\left[(b-3)+(a-3)\right]\left[(b-3)-(a-3)\right]\\
    &=(b-3+a-3)(b-3-a+3)\\
    &=(b+a-6)(b-a)\end{align*}$
    $\bullet$ Si $a<b<3$
    $a<b$ : donc $b-a>0$
    $a<b<3$ donc $a+b<3+3$ soit $a+b<6$ et donc $b+a-6<0$.
    Par conséquent $(b+a-6)(b-a)<0$.
    Cela signifie donc que $f(a)-f(b)<0$ c’est-à-dire que $f(a)<f(b)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;3]$.
    $\quad$
    $\bullet$ Si $3<a<b$
    $a<b$ : donc $b-a>0$
    $3<a<b$ donc $a+b>3+3$ soit $a+b>6$ et donc $b+a-6>0$.
    Par conséquent $(b+a-6)(b-a)>0$.
    Cela signifie donc que $f(a)-f(b)>0$ c’est-à-dire que $f(a)>f(b)$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $g$ définie sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$ par $g(x)=\sqrt{2x+3}$.
Déterminer le sens de variation de la fonction $g$.
$\quad$

Correction Exercice 7

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-\dfrac{3}{2}\pp a<b$
donc $-3 \pp 2a<2b$ soit $0\pp 2a+3 < 2b+3$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Par conséquent $\sqrt{2a+3}<\sqrt{2b+3}$ c’est-à-dire $g(a)<g(b)$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $h$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{1}{x^3}$.

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
    En utilisant le sens de variation de la fonction cube et de la fonction inverse, comparer les réels $h(a)$ et $h(b)$. En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. En utilisant un raisonnement analogue sur l’intervalle $]-\infty;0[$, déterminer le sens de variation de la fonction $h$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
    La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $0<a^3<b^3$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b<0$.
    La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $a^3<b^3<0$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
    Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=5x^3+2x-4$.
Déterminer, en justifiant, les variations de la fonction $k$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Exercice 9

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
D’une part, la fonction cube étant strictement croissante on a $a^3<b^3$ et par conséquent $5a^3<5b^3$.
D’autre part, le coefficient directeur de la fonction affine $x\mapsto 2x-4$ est $2>0$. Cette fonction est donc strictement croissante. Ainsi $2a-4<2b-4$.

Ainsi $5a^3+2a-4<5b^3+2a-4<5b^3+2b-4$ donc $k(a)<k(b)$
La fonction $k$ est donc strictement croissante sur $\R$.

Remarque : Il est toujours utile de représenter sur sa calculatrice la fonction étudiée pour avoir une idée de ce qu’on doit montrer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Variations des fonctions affines

Variations des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ et préciser ,en justifiant, le sens de variation de la fonction.

  1. $f(x)=3x+5$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Il s’agit dans tous les cas de fonctions affines.

  1. $f(x)=3x+5$ donc le coefficient directeur est $a=3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=5$.
    Puisque $a=3> 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$ donc le coefficient directeur est $a=-2$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-7,5$.
    Puisque $a=-2<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$ donc le coefficient directeur est $a=-\dfrac{5}{7}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=0,9$.
    Puisque $a=-\dfrac{5}{7}<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$ donc le coefficient directeur est $a=-3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=2$.
    Puisque $a=-3<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$ donc le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-3$.
    Puisque $a=\dfrac{1}{2} > 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=4-2x \quad \text{et} \quad g(x)= \dfrac{4}{5}x+1$$

  1. Déterminer le sens de variation de chacune de ces fonctions.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine. $f(x)=4-2x$ donc son coefficient directeur est $a=-2<0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine. $g(x)=\dfrac{4}{5}x+1$ donc son coefficient directeur est $a=\dfrac{4}{5} >0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex2.1
    $\quad$
    $\dfrac{4}{5}x+1 = 0 \ssi \dfrac{4}{5}x=-1 \ssi x = -\dfrac{5}{4}$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+3$.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=-2x+3$ donc le coefficient directeur de cette fonction affine est $a=-2<0$. $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est affine; sa représentation graphique est donc une droite.
    Si $x=-1$ alors $f(-1) = -2\times (-1)+3=5$.
    Si $x=3$ alors $f(3) = -2 \times 3 + 3 = -3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-1;5)$ et $(3;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex3
  3. $-2x+3=0 \ssi -2x = -3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex3.2

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes :

  • $f$ est définie par $f(x)= 4x-5$.
    $\quad$
  • $g$ est définie par $g(x)= 2+\dfrac{1}{2}x$.
    $\quad$
  • $h$ est définie par $h(x)= -\dfrac{1}{5}x+2$.
    $\quad$
  • $i$ est définie par $i(x)= -3$.
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction (toutes les fonctions seront représentées sur un même graphique).
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=4>0$. Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}>0$. Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $\R$.
    $h$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{5}<0$. Par conséquent $h$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $i$ est une fonction constante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $f(1)=4\times 1-5=-1$ et $f(3)=4\times 3-5=7$
    La droite passe donc par les points de coordonnées $A(1;-1)$ et $B(3;7)$.
    $\quad$
    $g$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $g(-4)=2+\dfrac{1}{2} \times (-4) = 0$ et $g(2) = 2 + \dfrac{1}{2} \times 2 = 3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $C(-4;0)$ et $D(2;3)$.
    $\quad$
    $h$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $h(-5)=-\dfrac{1}{5} \times (-5) + 2 =3$ et $h(5)=-\dfrac{1}{5}\times 5 + 2 = 1$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $E(-5;3)$ et $F(5;1)$.
    $\quad$
    La fonction est constante. Elle est représentée par une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex4
  3. $4x-5=0 \ssi 4x=5 \ssi x=\dfrac{5}{4}$
    La fonction $f$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.1
    $\quad$
    $2+\dfrac{1}{2}x=0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-2 \ssi x=-4$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.2
    $\quad$
    $ -\dfrac{1}{5}x+2 = 0 \ssi -\dfrac{1}{5}x=-2 \ssi x = 10$
    La fonction $h$ est strictement décroissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.3
    $\quad$
    Pour tout réel $x$, on a $h(x)=-3<0$.
    On a ainsi le tableau de signes :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.4

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Systèmes d’équations

Systèmes d’équations

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons linéaires.

$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases}2x+3y=8\\5x-7y=-9\end{cases} &\phantom{123}&\begin{cases} 3x-4y=-16\\5x+9y=-11\end{cases} &\phantom{123}&\begin{cases} 4x-6y=3\\5x+7y=1\end{cases}\\\\
\begin{cases}-7x+2y=-4\\6x+3y=5 \end{cases}&&\begin{cases} x+3y=4\\8x-4y=5 \end{cases}&&\begin{cases}2x+5y=-3\\4x-3y=2\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} \begin{cases}2x+3y=8&L_1\\5x-7y=-9&L_2\end{cases} &\ssi  \begin{cases}2x+3y=8& L_1\\-29y=-58 &2L_2-5L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}2x+3y=8\\y=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\2x+6=8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\2x=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $(1;2)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 3x-4y=-16&L_1\\5x+9y=-11&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 3x-4y=-16&L_1\\47y=47&3L_2-5L1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3x-4y=-16\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ 3x-4=-16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ 3x=-12\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ x=-4\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(-4;1)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 4x-6y=3&L_1\\5x+7y=1&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x-6y=3&L_1\\58y=-11&4L2-5L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 4x-6y=3\\y=-\dfrac{11}{58}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&4x+\dfrac{66}{58}=3\end{cases}\\
&\ssi  \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&4x=\dfrac{54}{29}\end{cases}\\
&\ssi  \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&x=\dfrac{27}{58}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{27}{58};-\dfrac{11}{58}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}-7x+2y=-4&L_1\\6x+3y=5&L_2 \end{cases} &\ssi  \begin{cases}-7x+2y=-4&L_1\\-33y=-11&-7L_2-6L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}-7x+2y=-4\\y=\dfrac{1}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}\\-7x+\dfrac{2}{3}=-4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3} \\-7x =-\dfrac{14}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3} \\x =\dfrac{2}{3} \end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} x+3y=4&L_1\\8x-4y=5&L_2 \end{cases}&\ssi \begin{cases} x+3y=4&L_1\\-28y=-27&L_2-8L_1 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x+3y=4\\y=\dfrac{27}{28} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{27}{28}\\x+\dfrac{81}{28}=4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{27}{28}\\x=\dfrac{31}{28} \end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{31}{28};\dfrac{27}{28}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}2x+5y=-3&L_1\\4x-3y=2&L_2\end{cases}&\ssi \begin{cases}2x+5y=-3&L_1\\-13y=8&L_2-2L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}2x+5y=-3\\y=-\dfrac{8}{13}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\2x-\dfrac{40}{13}=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\2x=\dfrac{1}{13}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\x=\dfrac{1}{26}\end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{1}{26};-\dfrac{8}{13}\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode par substitution.

$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases} x+3y=8\\2x-5y=-17\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases} 2x+y=4\\5x+3y=9\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases} 4x-3y=-13\\4x-y=1\end{cases} \\\\
\begin{cases} 8x+3y=-4\\x+5y=1\end{cases}&&\begin{cases} 7x-y=-2\\3x+4y=5\end{cases}&&\begin{cases} -x+6y=7\\3x-5y=4\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} \begin{cases} x+3y=8\\2x-5y=-17\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=8-3y\\2(8-3y)-5y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\16-6y-5y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\16-11y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\-11y=-33\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\y=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3\\x=8-9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3\\x=-1\end{cases} \end{align*}$
La solution du système est $(-1;3)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+y=4\\5x+3y=9\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=4-2x\\5x+3(4-2x)=9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\5x+12-6x=9\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\-x=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\x=3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=4-6\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=-2\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(3;-2)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 4x-3y=-13\\4x-y=1\end{cases}  &\ssi \begin{cases} 4x-3y=-13\\y=4x-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\4x-3(4x-1)=-13\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\4x-12x+3=-13\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\-8x=-16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\x=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=8-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=7\end{cases} \end{align*}$
La solution du système est $(2;7)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 8x+3y=-4\\x+5y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 8x+3y=-4\\x=1-5y\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\8(1-5y)+3y=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\8-40y+3y=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\-37y=-12\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-\dfrac{60}{37}\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{23}{37}\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{23}{37};-\dfrac{12}{37}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 7x-y=-2\\3x+4y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=7x+2\\3x+4(7x+2)=5\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\3x+28x+8=5\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\31x=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\x=-\dfrac{3}{31}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{31}\\y=-\dfrac{21}{31}+2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{31}\\y=\dfrac{41}{31}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{3}{31};\dfrac{41}{31}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} -x+6y=7\\3x-5y=4\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=6y-7\\3(6y-7)-5y=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\18y-21-5y=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\13y=25\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\y=\dfrac{25}{13}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{25}{13}\\x=\dfrac{150}{13}-7\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{25}{13}\\x=\dfrac{59}{13}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{59}{13};\dfrac{25}{13}\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix.
$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases} 5x-3y=4\\3x+y=5\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases}
6x-2y=4\\3x-y=5\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases}4x+7y=11\\8x+2y=0\end{cases}\\\\
\begin{cases} -3x-7y=2\\3x+2y=5\end{cases} &&\begin{cases} 9x-5y=-2\\6x-5y=4\end{cases}&&\begin{cases} 2x+4y=-1\\-6x-12y=3\end{cases}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} \begin{cases} 5x-3y=4\\3x+y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 5x-3y=4\\y=5-3x\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\5x-3(5-3x)=4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\5x-15+9x=4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\14x=19\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{19}{14}\\y=5-\dfrac{57}{14}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{19}{14}\\y=\dfrac{13}{14}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{19}{14};\dfrac{13}{14}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}6x-2y=4\\3x-y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 6x-2y=4\\y=3x-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\6x-2(3x-5)=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\6x-6x+10=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\10=4\end{cases} \end{align*}$
Le système n’admet pas de solution.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}4x+7y=11\\8x+2y=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}4x+7y=11\\2y=-8x\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}4x+7y=11\\y=-4x\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-4x \\4x-28x=11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-4x \\-24x=11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}x=-\dfrac{11}{24}\\y=\dfrac{11}{6}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{11}{24};\dfrac{11}{6}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} -3x-7y=2&L_1\\3x+2y=5&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} -3x-7y=2&L_1\\-5y=7&L_2+L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} -3x-7y=2\\y=-\dfrac{7}{5}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\-3x+\dfrac{49}{5}=2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\-3x=-\dfrac{39}{5}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\x=\dfrac{13}{5}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{13}{5};-\dfrac{7}{5}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 9x-5y&L_1=-2\\6x-5y=4&L_2\end{cases}&\ssi \begin{cases} 9x-5y=-2&L_1\\-3x=6&3L_2-L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 9x-5y=-2\\x=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\-18-5y=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\-5y=16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\y=-\dfrac{16}{5}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-2;-\dfrac{16}{5}\right)$.
$\quad$

$\begin{cases} 2x+4y=-1&L_1\\-6x-12y=3&L_2\end{cases}\ssi \begin{cases} 2x+4y=-1&L_1\\0=0&L_2+3L_1\end{cases}$
Le système admet une infinité de solution : tous les couples de réels $(x;y)$ vérifiant $2x+4y=-1$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4     cas des équations réduites

$$\begin{array}{lclclcl}
\begin{cases}y=2x+1\\y=-3x+6\end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases} y=5x+6\\x=-2\end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases} y=-4x+1\\y=2x-3 \end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases}\\\\
\begin{cases} y =3x-4 \\y=3x+5\end{cases}&&\begin{cases} y=5x+1\\y=-2x+3\end{cases} && \begin{cases} y=6x-1\\y=4x-1\end{cases} && \begin{cases} y=2x+4 \\2y=4x+8\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \begin{cases} y=2x+1\\y=-3x+6 \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=2x+1 \\2x+1=-3x+6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=2x+1 \\x=1\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=3\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(1;3)$.
$\quad$

$\begin{cases} y=5x+6\\x=-2 \end{cases} \ssi \begin{cases} x=-2\\y=-4\end{cases}$
La solution du système est $(-2;-4)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} y=-4x+1\\y=2x-3\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-4x+1\\-4x+1=2x-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-4x+1\\4=6x\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\\\y=-\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases} & \ssi \begin{cases} y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ \dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ \dfrac{26}{21} = \dfrac{4}{15}x \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ x=\dfrac{65}{14} \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{65}{14} \\\\ y=\dfrac{89}{42}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{65}{14};\dfrac{89}{42}\right)$.
$\quad$

$\begin{cases} y=3x-4\\y=3x+5 \end{cases} \ssi \begin{cases} y=3x-4\\3x-4=3x+5\end{cases} \ssi \begin{cases} y=3x-4 \\ 0=9 \end{cases}$
Ce système ne possède pas de solution.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=5x+1\\y=-2x+3\end{cases}& \ssi \begin{cases} y=5x+1\\5x+1=-2x+3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=5x+1\\ 7x=2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5x+1\\x=\dfrac{2}{7} \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{7} \\\\y=\dfrac{17}{7}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{17}{7}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases} y=6x-1\\y=4x-1\end{cases} &\ssi \begin{cases}y=6x-1\\6x-1=4x-1\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=6x-1\\2x=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=6x-1\\x=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=0\\y=-1\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(0;-1)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=2x+4\\2y=4x+8\end{cases}& \ssi \begin{cases} y=2x+4\\2(2x+4)=4x+8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=2x+4\\4x+8=4x+8 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=2x+4\\ 0=0\end{cases}\end{align*}$
Il y a donc une infinité de solution à ce système : tous les couples de réels $(x;y)$ vérifiant $y=2x+4$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5     difficulté +

Résoudre les systèmes suivants.

$$\begin{array}{lclcl} \begin{cases} 2x^2-3y^2=-67\\4x^2-y^2=11\end{cases}&\phantom{123}& \begin{cases}
\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=5\\-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases}-5\sqrt{x}+7\sqrt{y}=-9\\2\sqrt{x}+8\sqrt{y}=36 \end{cases}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour résoudre le système $\begin{cases} 2x^2-3y^2=-67\\4x^2-y^2=11\end{cases}$ on va poser $X=x^2$ et $Y=y^2$.
On obtient alors le sytème suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} 2X-3Y=-67\\4X-Y=11\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2X-3Y=-67\\Y=4X-11\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\2X-3(4X-11)=-67\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\2X-12X+33=-67\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\-10X=-100\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\X=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} X=10\\Y=40-11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} X=10\\Y=29\end{cases}\end{align*}$
On a donc $X=10$ et $Y=29$ en ayant noté $X=x^2$ et $Y=y^2$.
Ainsi $x^2=10$ et $y^2=29$.
Les solutions du système initial sont donc les couples $\left(\sqrt{10};\sqrt{29}\right)$, $\left(-\sqrt{10};\sqrt{29}\right)$, $\left(\sqrt{10};-\sqrt{29}\right)$ et $\left(-\sqrt{10};-\sqrt{29}\right)$
$\quad$

Pour résoudre le système $\begin{cases} \dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=5\\-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} $ on va noter $X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=\dfrac{1}{y}$.
On obtient alors le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} 3X+2Y=5&L_1\\-2X+Y=2&L_2 \end{cases} &\ssi\begin{cases} 3X+2Y=5&L_1\\7Y=16&3L2+2L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3X+2Y=5\\Y=\dfrac{16}{7} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\3X+\dfrac{32}{7}=5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\3X=\dfrac{3}{7} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\X=\dfrac{1}{7} \end{cases} \end{align*}$
On a donc $X=\dfrac{1}{7}$ et $Y=\dfrac{16}{7}$ en ayant noté $X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=\dfrac{1}{y}$.
Ainsi $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}$ et $\dfrac{1}{y}=\dfrac{16}{7}$
Par conséquent $x=7$ et $y=\dfrac{7}{16}$.
La solution du système est donc $\left(7;\dfrac{7}{16}\right)$.
$\quad$

Pour résoudre le système $\begin{cases}-5\sqrt{x}+7\sqrt{y}=-9\\2\sqrt{x}+8\sqrt{y}=36 \end{cases}$ on va noter $X=\sqrt{x}$ et $Y=\sqrt{y}$.
On obtient alors le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}-5X+7Y=-9&L_1\\2X+8Y=36&L_2 \end{cases} &\ssi \begin{cases}-5X+7Y=-9&L_1\\54Y=162&5L_2+2L_1 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}-5X+7Y=-9\\Y=3 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\-5X+21=-9 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\-5X=-30 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\X=6 \end{cases}\end{align*}$
On a donc $X=6$ et $Y=3$ en ayant noté $X=\sqrt{x}$ et $Y=\sqrt{y}$.
Ainsi $\sqrt{x}=6$ et $\sqrt{y}=3$.
Par conséquent $x=36$ et $y=9$.
La solution du système est donc $(36;9)$.
$\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Equations cartésiennes

Équations cartésiennes de droites

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, dire si le point $A$ appartient à la droite $d$.

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\begin{align*} 2\times (-1)+4\times 2-5&=-2+8-5 \\
    &=8-7\\
    &=1\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $d$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\begin{align*} 3\times (-2)-2\times (-1)+4&=-6+2+4 \\
    &=-6+6\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\begin{align*} -4+3\times 1+1&=-4+3+1 \\
    &=-4+4\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\begin{align*} 6\times 2-12-2&=12-12-2\\
    &=-2\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient pas à la droite $d$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Représenter, en justifiant, chacune des droites suivantes :

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    Si $y=0$ alors $2x+0-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=0,5$ : le point $A(0,5;0)$ appartient à la droite $d_1$
    Si $x=2$ alors $4+3y-1=0 \ssi 3y=-3 \ssi y=-1$ : le point $B(2;-1)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    Si $x=0$ alors $0+y-2=0 \ssi y=2$ : le point $C(0;2)$ appartient à la droite $d_2$.
    Si $y=-4$ alors $-3x-4-2=0\ssi -3x=6 \ssi x=-2$ : le point $D(-2;-4)$ appartient à la droite $d_2$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    Si $x=0$ alors $0+5y=0 \ssi y=0$ : le point $E(0;0)$ appartient à la droite $d_3$.
    Si $y=2$ alors $2x+10=0 \ssi 2x=-10 \ssi x=-5$ : le point $F(-5;2)$ appartient à la droite $d_3$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    Si $x=0$ alors $0-y-4=0 \ssi y=-4$ : le point $G(0;-4)$ appartient à la droite $d_4$
    Si $x=5$ alors $3-y-4=0 \ssi y=-1$ : le point $H(5;-1)$ appartient à la droite $d_4$.
    $\quad$


$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer un vecteur directeur à coordonnées entières pour chacune de ces droites.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

On utilise la propriété qui dit qu’un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(5;3)$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-9;-7)$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-3;4)$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(2;\dfrac{3}{4}\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=4\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(8;3)$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(-\dfrac{2}{3};2\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=3\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(-2;6)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

Il existe au moins deux méthodes différentes pour répondre à ce type de questions. On va utiliser, de manière alternée, chacune d’entre elles ici.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $5x-4y+c=0$
    Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite donc :
    $5\times (-2)-4\times 3+c=0 \ssi -10-12+c=0 \ssi c=22$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $5x-4y+22=0$.
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-1;y+4)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x-1)-(-2)(y+4)=0$
    $\ssi 3x-3+2y+8=0$
    $\ssi 3x+2y+5=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+2y+5=0$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4x-7y+c=0$
    Le point $A(-3;-1)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times (-3)-7\times (-1)+c=0 \ssi 12+7+c=0 \ssi c=-19$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4x-7y-19=0$.
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-2;y)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi -8(x-2)-(-3)(y)=0$
    $\ssi -8x+16+3y=0$
    $\ssi -8x+3y+16=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-8x+3y+16=0$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4y+c=0$
    Le point $A(3;2)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times 2+c=0 \ssi -8+c=0 \ssi c=8$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4y+8=0$.
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+4;y-1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x+4)-0(y-1)=0$
    $\ssi 3x+12=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+12=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    $\quad$
Correction Exercice 5

On va utiliser les deux mêmes méthodes que dans l’exercice précédent.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    On a $\vect{AB}(-5;-3)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$.
    Le point $A(4;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $-3\times 4+5\times 5+c=0 \ssi -12+25+c=0 \ssi c=-13$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $-3x+5y-13=0$.
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    On a $\vect{AB}(9;-2)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+2;y-3)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi -2(x+2)-9(y-3)=0$
    $\ssi -2x+4-9y+27=0$
    $\ssi -2x-9y+23=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-2x-9y+23=0$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    On a $\vect{AB}(3;6)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $A(0;-2)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $6\times 0-3\times (-2)+c=0 \ssi 6+c=0 \ssi c=-6$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $6x-3y-6=0$.
    $\quad$
    Remarque : En divisant les deux membres de l’équation par $3$ on obtient l’équation $2x-y-2=0$.
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    On a $\vect{AB}(9;1)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+6;y+1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi (x+6)-9(y+1)=0$
    $\ssi x+6-9y-9=0$
    $\ssi x-9y-3=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $x-9y-3=0$
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Inéquations et exercices de recherche

Inéquations – Exercices de recherche

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Le prix $x$ d’un article est compris entre $20$€ et $50$€.
L’offre est le nombre d’articles qu’une entreprise décide de proposer aux consommateurs au prix de $x$ €.
La demande est le nombre probable d’articles achetés par les consommateurs quand l’article est proposé à ce même prix de $x$ €.
La demande, exprimée en centaines d’articles, se calcule avec $d(x)=-750x+45~000$.
L’offre, exprimée en centaines d’articles,  se calcule avec $f(x)=-\dfrac{500~000}{x}+35~000$.
Le but de cet exercice est de trouver pour quels prix l’offre est supérieure à la demande.

  1. Écrire une inéquation traduisant le problème posé.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’inéquation $f(x)>d(x)$ s’écrit aussi $-500~000>-750x^2+10~000x$.
    $\quad$
  3. a. Développer l’expression $(x+20)(3x-100)$.
    $\quad$
    b. En déduire les solutions de $f(x)>d(x)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On veut que $f(x)>d(x) \ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    f(x)>d(x) &\ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000 \\
    &\ssi -\dfrac{500~000}{x}>-750x+10~000 \\
    &\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \quad \text{(car $x>0$)}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} (x+20)(3x-100)&=3x^2-100x+60x-2~000 \\
    &=3x^2-40x-2~000\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(x)>d(x) &\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \\
    &\ssi 750x^2-10~000x-500~000>0 \\
    &\ssi 250\left(3x^2-40x-2~000\right)>0 \\
    &\ssi 3x^2-40x-2~000>0\\
    &\ssi (x+20)(3x-100)>0\end{align*}$
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[20;50]$ on a $x+20>0$.
    Donc le signe de $(x+20)(3x-100)$ ne dépend que de celui de $3x-100$ sur cet intervalle.
    Or $3x-100>0 \ssi 3x>100 \ssi x>\dfrac{100}{3}$
    Les solutions de $f(x)>d(x)$ sont les nombres appartenant à $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
    Ainsi, l’offre est supérieure à la demande si le prix, en euros, appartient à l’intervalle $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.

On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

  1. À quel intervalle appartient $x$?
    $\quad$
  2. Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
    $\quad$
  3. Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
    Donc $x\in [0;4]$.
    $\quad$
  2. L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
    Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
    Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
    Ainsi l’aire de la figure est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
    &=x^2+16-8x+x^2 \\
    &=2x^2-8x+16
    \end{align*}$
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
    &\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
    Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
    Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

    Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ est un carré dont les côtés mesurent $10$ cm. $E$ est un point du segment $[AB]$. Les points $E,F,G,H$ et $I$ sont placés de telle manière que $AEFG$ et $FICH$ soient des carrés.

Déterminer les positions du point $E$ telles que la surface colorée ait une aire inférieure à $58$ cm$^2$.

Indication : On pourra développer $(2x-6)(x-7)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On note $x=AE$ ainsi $EB=10-x$.
L’aire de la partie colorée est donc $\mathscr{A}=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100$.
On veut que $\mathscr{A}\pp 58 \ssi 2x^2-20x+100 \pp 58\ssi 2x^2-20x+42 \pp 0$
Or $(2x-6)(x-7)=2x^2-14x-6x+42=2x^2-20x+42$
Par conséquent $\mathscr{A}(x)\pp 58 \ssi (2x-6)(x-7)\pp 0$
$\quad$
$2x-6=0 \ssi x=3$ et $2x-6>0 \ssi x>3$
$x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$x$ doit donc être appartenir à l’intervalle $[3;7]$.

$\quad$

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$\quad$
Exercice 4

  1. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
  2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^2-2$ et $g(x)=-2x+1$.
    Résoudre l’inéquation $f(x)\pp g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$
    $\quad$
  2. $f(x)\pp g(x)\ssi x^2-2\pp -2x+1 \ssi x^2-2+2x-1\pp 0 \ssi x^2+2x-3 \pp \ssi (x-1)(x+3) \pp 0$
    $\quad$
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    La solution de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$ est donc $[-3;1]$.

    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans le plan muni d’un repère $(O;I,J)$ orthogonal, on considère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$f(x)=6x^3+2x^2+x+1\quad \text{et} \quad g(x)=2x^2+19x+13$$

  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(ax+b)$.
    $\quad$
  2. En déduire sur quels intervalles la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au dessus de $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*}
    (2x+2)(3x+3)(ax+b)&=\left(6x^2+12x+6\right)(ax+b)\\
    &=6ax^3+6bx^2+12ax^2+12bx+6ax+6b \\
    &=6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b
    \end{align*}$
    On veut donc que $6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b=6x^3-18x-12$.
    Par identification des coefficients des termes on a donc :
    $$\begin{cases} 6a=6\\6b+12a=0\\12b+6a=-18\\6b=-12\end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=-2\end{cases}$$
    Par conséquent $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
    $\quad$
  2. On veut déterminer les solutions de :
    $\begin{align*}f(x)>g(x) &\ssi 6x^3+2x^2+x+1>2x^2+19x+13 \\
    &\ssi 6x^3-18x-12>0 \\
    &\ssi (2x+2)(3x+3)(x-2) >0
    \end{align*}$
    $\quad$
    $2x+2=0 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$ et $2x+2>0 \ssi 2x>-2 \ssi x>-1$
    $3x+3=0 \ssi 3x=-3 \ssi x=-1$ et $3x+3>0 \ssi 3x>-3 \ssi x>-1$
    $\quad$
    $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
    Pour tout réel $x$ on note $h(x)=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    Ainsi la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$ sur l’intervalle $]2;+\infty[$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-5x-12$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $f(x)\pp 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a
    $\begin{align*} 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]&=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{121}{16}\right)\\
    &=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x-6\right)\\
    &=2x^2-5x-12
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} f(x) \pp 0 &\ssi 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]\pp 0 \\
    &\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16} \pp 0\\
    &\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\left(\dfrac{11}{4}\right)^2 \pp 0\\
    &\ssi \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\right] \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{11}{4}\right]\pp 0\\
    &\ssi (x-4)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \pp 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    $x-4=0 \ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x> 4$
    $x+\dfrac{3}{2}=0 \ssi x=-\dfrac{3}{2}$ et $x+\dfrac{3}{2}>0 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    La solution de $f(x)\pp 0$ est donc $\left[-\dfrac{3}{2};4\right]$.

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$\quad$

2nd – Exercices – Statistiques – Mélange1

Statistiques – Mélange 1

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On a recopié les données d’une série statistique dans la feuille de calcul d’un tableur.

Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $C2$ pour pouvoir, par recopie vers la droite, obtenir les effectifs correspondant aux fréquences de cette série?

$\quad$

Correction Exercice 1

On peut saisir $=B2*C3/B3$

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$\quad$

Exercice 2

Voici les derniers résultats au devoir de mathématiques de $35$ élèves d’une classe de seconde :
$$\begin{array}{||l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Notes}& 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
\hline
\text{Effectifs}& 2 & 4 &4 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer la moyenne de cette série, arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Calculer la médiane de cette série. Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
  3. Calculer les quartiles $Q_1$ et $Q_3$.
    $\quad$
  4. L’enseignant décide d’ajouter un point à tous les élèves. Quelle sera la nouvelle moyenne à ce devoir?
    $\quad$
  5. Les notes de Tristan sur les cinq devoirs du trimestre sont :
    $\bullet$ $15$ et $19$ coefficient $1$;
    $\bullet$ $16$ coefficient $2$;
    $\bullet$ $15$ et $18$ coefficient $3$.
    a. Quelle est la moyenne de Tristan ?
    $\quad$
    b. Quelle doit être sa note au prochain devoir, qui sera coefficient $2$, pour obtenir $17$ de moyenne?
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La moyenne est donnée par $\overline{x}=\dfrac{5 \times 2 + 7\times 4 + \ldots + 18 \times 2}{35}=\dfrac{397}{35} \approx 11,34$.
    $\quad$
  2. On obtient les effectifs cumulés croissants  (ECC) suivants :
    $$\begin{array}{||l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Notes}& 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
    \hline
    \text{Effectifs}& 2 & 4 &4 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 \\
    \hline
    \text{ECC}&2 & 6 &10 &16 &20 &23 &28 &30 &33 &35 \\
    \hline
    \end{array}$$
    Cela signifie donc que $50\%$ des notes sont inférieures ou égales à $11$ et que $50\%$ des notes sont supérieures ou égales à $11$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{35}{4} = 8,75$ : le premier quartile est donc la $9^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_1 = 8$.$\dfrac{35}{4} \times 3 = 26,25$ : le troisième quartile est donc la $27^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_3 = 14$.$\quad$
  4. L’enseignant décide d’ajouter un point à tous les élèves. La nouvelle moyenne est donc $11,34+1=12,34$.
    $\quad$
  5. a. La moyenne de Tristan est donnée par $\dfrac{15+19+16\times 2 + 15\times 3 +18\times 3}{1+1+2+3+3} = \dfrac{165}{10}=16,5$.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ la note du prochain devoir.
    On doit donc avoir $\dfrac{165+2x}{10+2}=17$ soit $165+2x=204$ par conséquent $2x=39$ et $x=19,5$.Tristan doit donc avoir $19,5$ au prochain devoir pour avoir $17$ de moyenne.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Voici les notes obtenues par 12 élèves lors d’un devoir : $$\begin{array}{cccccccccccc}9 & 17 & 9 & 8 & 6 & 10 & 12 & 18 & 8 & 19 & 18 & 14\end{array}$$

  1. Calculer l’étendue de cette série
    $\quad$
  2. Calculer la moyenne de cette série de notes. Vous donnerez une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane de cette série.
    $\quad$
  4. Calculer le premier et le troisième quartile.
    $\quad$
  5. Calculer l’écart-type de cette série.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On va réordonner la série statistique : $$\begin{array}{cccccccccccc}6&8&8&9&9&10&12&14&17&18&18&19\end{array}$$
    L’étendue est donc $19-6=13$.
    $\quad$
  2. La moyenne est $\conj{x}=\dfrac{6+8+\ldots+19}{12}=\dfrac{37}{3}\approx 12,33$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{12}{2}=6$. La médiane est donc la moyenne de la $6\ieme$ et de la $7\ieme$ valeur soit $\dfrac{10+12}{2}=11$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{12}{4}=3$ donc $Q_1$ est la $3\ieme$ valeur soit $Q_1=8$.
    $\dfrac{12\times 3}{4}=9$ donc $Q_3$ est la $9\ieme$ valeur soit $Q_3=17$.
    $\quad$
  5. L’écart-type de cette série est :
    $\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{\left(6-\dfrac{37}{3}\right)^2+\left(8-\dfrac{37}{3}\right)^2+\ldots+\left(19-\dfrac{37}{3}\right)^2}{12}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{179}{9}}\\
    &\approx 4,46\end{align*}$
    $\quad$

\end{enumerate}

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$\quad$

Exercice 4

L’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est-elle, supérieure ou inférieure à la moyenne de ces nombres?

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres strictement positifs $x$ et $y$.
Les inverses sont donc $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{y}$. La moyenne de ces inverses est par conséquent $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}$.

L’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est :$$\dfrac{1}{~~\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}~~}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{2}{\dfrac{y+x}{xy}}=\dfrac{2xy}{x+y}$$

Comparons maintenant ce nombre à $\dfrac{x+y}{2}$.
$$\begin{align*} \dfrac{2xy}{x+y}-\dfrac{x+y}{2}&=\dfrac{4xy}{2(x+y)}-\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{4xy-\left(x^2+y^2+2xy\right)}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{-x^2-y^2+2xy}{2(x+y)}\\
&=-\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}\\
&\pp 0 \quad \text{car $x$ et $y$ sont positifs}
\end{align*}$$

Cela signifie que $\dfrac{2xy}{x+y}\pp \dfrac{x+y}{2}$.

Par conséquent l’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est inférieure à la moyenne de ces nombres.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Au cours d’un trimestre, les $6$ notes de mathématiques de Yohann sont : $9, 10$ et $12$ en contrôles et $15, 13$ et $16$ en devoirs à la maison.

  1. Quelle est la moyenne de ses $6$ notes?
    $\quad$
  2. Son professeur lui annonce comme moyenne trimestrielle $11,2$. En effet, celui-ci pondère les notes. Il laisse les DM au coefficient $1$. Quel est le coefficient affecté aux notes des contrôles? Justifier votre démarche.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La moyenne des $6$ notes est $\conj{x_1}=\dfrac{9+10+12+15+13+16}{6}=\dfrac{75}{6}=12,5$
    $\quad$
  2. On note $x$ le coefficient des notes des contrôles.
    On a donc
    $$\begin{align*}
    \dfrac{(9+10+12)x+15+13+16}{3x+3}=11,2 &\ssi \dfrac{31x+44}{3x+3}=11,2 \\
    &\ssi 31x+44=11,2(3x+3) \quad \text{car } x>0\\
    &\ssi 31x+44=33,6x+33,6 \\
    &\ssi 10,4=2,6x\\
    &\ssi x=\dfrac{10,4}{2,6}\\
    &\ssi x=4
    \end{align*}$$
    Le coefficient des notes des contrôles est donc $4$.

[collapse]

$\quad$