2nd – Calculs semaine 31 – Équations de droites

Calculs semaine 31

Équations de droites

Exercice 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x-2y+5=0$. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d’$ parallèle à $d$ passant par le point $A(1;-3)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles. Une équation de la droite $d’$ est donc de la forme $4x-2y+c=0$.
$A(1;-3)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $4\times 1-2\times (-3)+c=0 \ssi 10+c=0 \ssi c=-10$.

Une équation cartésienne de la droite $d’$ est donc $4x-2y-10=0$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la droite $d$ d’équation $2x+y-3=0$ et la droite $d’$ d’équation $5x-2y+1=0$.

  1. Justifier, sans calculer les coordonnées du point d’intersection, que les droites $d$ et $d’$ sont sécantes.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $2\times (-2)-1\times 5=-9\neq 0$ : les droites $d$ et $d’$ ne sont donc pas parallèles. Elles sont par conséquent sécantes.
    $\quad$
  2. Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x+y-3=0\\5x-2y+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\5x-2(3-2x)+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\9x-6+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\x=\dfrac{5}{9} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{5}{9}\\[3mm]y=\dfrac{17}{9}\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection des deux droites $d$ et $d’$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{17}{9}\right)$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère la droite $d$ d’équation $4x-7y+2=0$ et la droite $d’$ d’équation $mx+3y-1=0$ où $m$ est un réel.
Déterminer la valeur de $m$ tel que les droites $d$ et $d’$ soient parallèles.

$\quad$

Correction Exercice 3

$d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si :
$4\times 3-(-7)m=0 \ssi 12+7m=0 \ssi m=-\dfrac{12}{7}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer le coefficient directeur de la droite $d$ dont une équation cartésienne est $7x+3y+2=0$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$7x+3y+2=0 \ssi 3y=-7x-2\ssi y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$
Le coefficient directeur de la droite $d$ est donc $-\dfrac{7}{3}$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 30 – Équations de droites

Calculs semaine 30

Équations de droites

Exercice 1

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. Les points suivants appartiennent ils à la droite $d$ d’équation $4x+5y+2=0$?

  • $A(6;-4)$
  • $B(-3;2)$

$\quad$

Correction Exercice 1

  • $4\times 6+5\times (-0,5)+2=6$ donc $A$ n’appartient pas à $d$.
    $\quad$
  • $4\times (-3)+5\times 2+2=0$ donc $B$ appartient à $d$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans un repère orthonormé $\Oij$ représenter, en justifiant, la droite d’équation $2x-3y+1=0$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On a :

  • Le point $A(1;1)$ appartient à la droite car $2-3+1=0$.
  • Le point $B(-2;-1)$ appartient à la droite car $-4+3+1=0$.

La droite d’équation $2x-3y+1=0$ est donc la droite $(AB)$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(-1;4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(5;2)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Le vecteur $\vec{u}(5;2)$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $2x-5y+c=0$.
Le point $A(-1;4)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $-2-20+c=0 \ssi c=22$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x-5y+22=0$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A(2;0)$ et $B(-4;3)$ sont deux points du plan muni d’un repère $\Oij$.

$\quad$

Correction Exercice 4

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}(-6;3)$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+6y+c=0$.
Le point $A(2;0)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $6+0+c=0\ssi c=-6$
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+6y-6=0$.

Vérification : avec les coordonnées de $B$
$3\times (-4)+6\times 3-6=0 \checkmark$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Le plan est muni d’un repère $\Oij$. Déterminer une équation réduite de la droite $(AB)$ où $A(3;-1)$ et $B(6;2)$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation réduite de $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le coefficient directeur est
$\begin{align*}
m&=\dfrac{-1-2}{3-6} \\
&=1
\end{align*}$
Une équation réduite est donc de la forme $y=x+p$
Le point $A(3;-1)$ appartient à cette droite. Ainsi $-1=3+p \ssi p=-4$
Une équation réduite de $(AB)$ est donc $y=x-4$.

Vérification : avec les coordonnées de $B$
$6-4=2=y_B \checkmark$

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 29 – Probabilités

Calculs semaine 29

Probabilités

Exercice 1

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,3$ , $p(B)=0,4$ et $p(A\cap B)=0,1$.
Quelle est la probabilité de l’événement $A\cup B$?

$\quad$

Correction Exercice 1

On a :
$\begin{align*}
p(A\cup B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\
&=0,3+0,4-0,1\\
&=0,6
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(B)=0,6$ , $p(A\cap B)=0,5$ et $p(A\cup B)=0,9$.
Quelle est la probabilité de l’événement $\conj{A}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a
$\begin{align*}p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)&\ssi p(A)=p(A\cup B)+p(A\cap B)-p(B)\\
&=0,9+0,5-0,6 \\
&=0,8
\end{align*}$
Donc
$\begin{align*}
p\left(\conj{A}\right)&=1-p(A)\\
&=0,2
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un cadenas dont la clé est un code à $3$ chiffres. On tente une combinaison au hasard.
Quelle est la probabilité de trouver le bon code?

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour chaque chiffre il y a $10$ possibilités. On a donc $10^3=1~000$ combinaisons possibles.
La probabilité de trouver le bon code est donc $\dfrac{1}{1~000}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On choisit au hasard un élève d’un lycée. On note $A$ l’événement : « l’élève choisi est en Seconde » et $B$ l’événement : « l’élève choisi est un garçon ».
Décrire par une phrase les événements $A\cup B$ et $A\cap B$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$A\cup B$ : « l’élève choisi est en seconde ou est un garçon »
$A\cap B$ : « l’élève choisi est en seconde et est un garçon »

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On lance un dé cubique truqué tel que la face numérotée $1$ a pour probabilité $0,5$ et les faces numérotées de $2$ à $6$ ont la même probabilité.
Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de $3$?

$\quad$

Correction Exercice 5

Les cinq faces numérotées de $2$ à $6$ ont la même probabilité $p$.
Par conséquent $5p+0,5=1 \ssi p=0,1$.
Deux faces portent des numéros qui sont des multiples de $3$ qui ont toutes les deux la même probabilité d’apparition égale à $0,1$.
Par conséquent, la probabilité d’obtenir un multiple de $3$ est $2\times 0,1=0,2$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 25 – Statistiques

Calculs semaine 25

Statistiques

Exercice 1

Une cargaison de tomates, de masse moyenne égale à $102$ g, contient deux types de tomates, A et B.
La moyenne de la masse des tomates A est $97$ g. Celle de la masse des tomates B est $112$ g.
Quelle est la proportion de chaque type de tomates dans la cargaison?

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $x$ la proportion de tomates A. La proportion de tomates B est donc $1-x$.
Ainsi
$\begin{align*}97x+112(1-x)=102 &\ssi 97x+112-112x=102\\
&\ssi -15x=-10\\
&\ssi x=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Dans cette cargaison $\dfrac{2}{3}$ des tomates sont de type A et $\dfrac{1}{3}$ de type B.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Calculer l’écart-type, arrondi au centième, de la série suivante : $$57 ~;~ 59 ~;~62~;~86~;~98~;~100$$

$\quad$

Correction Exercice 2

La moyenne de la série est $\conj{x}=\dfrac{57+59+62+86+98+100}{6}=\dfrac{462}{6}=77$
L’écart-type est alors
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{(57-77)^2+(59-77)^2+(62-77)^2+(86-77)^2+(98-77)^2+(100-77)^2}{6}} \\
&=\sqrt{\dfrac{2~000}{6}} \\
&\approx 18,26
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer une série de cinq valeurs de moyenne $40$, de médiane $20$ et d’étendue $100$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On peut utiliser, par exemple, la série $10~;~15~;~20~;~45~;~110$
En effet, par construction, l’étendue est $110-10=100$ et, la série étant ordonnée, la médiane est la $3^{\text{ième}}$ valeur soit $20$.
La moyenne est $\conj{x}=\dfrac{10+15+20+45+110}{5}=40$.

Remarque : Cette série n’est évidemment pas unique.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 4

Déterminer la médiane de la série suivante : $$20~;~30~;~26~;~22~;~18~;~30~;~20~;~28~;~30~;~24$$

$\quad$

Correction Exercice 4

On réordonne la série : $18~;~20~;~20~;~22~;~24~;~26~;~28~;~30~;~30~;~30$
Il y a $10$ valeurs et $\dfrac{10}{2}=5$.
La médiane est donc la moyenne de la $5^{\text{ième}}$ et $6^{\text{ième}}$ valeur c’est-à-dire $\dfrac{24+26}{2}=25$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Déterminer les quartiles de la série suivante : $$14~;~15~;~15~;~16~;~17~;~17~;~17~;~18~;~20~;~20~;~20~;~20~;~25$$

$\quad$

Correction Exercice 5

La série contient $13$ valeurs.
$\dfrac{13}{4}=3,25$. $Q_1$ est donc la $4^{\text{ième}}$. Par conséquent $Q_1=16$
$\dfrac{13\times 3}{4}=9,75$. $Q_3$ est donc la $10^{\text{ième}}$. Par conséquent $Q_3=20$

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 24 – Pourcentages

Calculs semaine 24

Pourcentages

Exercice 1

Une classe comporte $40\%$ de garçons. la moitié de ceux-ci ont eu la moyenne au dernier contrôle.
Déterminer la proportion de garçons ayant eu la moyenne parmi tous les élèves de la classe.

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $0,4\times 0,5=0,2=20\%$
La proportion de garçons ayant eu la moyenne parmi tous les élèves de la classe est égale à $20\%$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Un loyer d’un montant de $700$ € a augmenté de $2\%$ chaque année.

  1. Déterminer le montant du loyer au bout de deux ans.
    $\quad$
  2. Déterminer l’évolution en pourcentage correspondante.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $2\%$ est $1+\dfrac{2}{100}=1,02$.
    Ainsi, au bout d’une année, le montant du loyer est $700\times 1,02=714$ €.
    Au bout de deux ans, le montant du loyer est donc $714\times 1,02=728,28$ €.
    $\quad$
  2. Au bout de deux ans, le coefficient multiplicateur est $1,02\times 1,02=1,040~4$.
    Il s’agit donc d’une augmentation de $4,04\%$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Un prix passe de $4$ à $5$ euros.
Quelle évolution doit-il subir pour revenir à son prix initial?

$\quad$

Correction Exercice 3

Le pourcentage d’évolution du prix doit être $\dfrac{4-5}{5}=-0,2=-20\%$
Il faut donc qu’il y ait une baisse de $20\%$ pour revenir au prix initial.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 4

Le nombre de communes en France métropolitaine a baissé de $5,17\%$ entre 2012 et 2019. Il est alors de $34~851$ en 2019.
Quel était le nombre de communes en France métropolitaine en 2012? Le résultat sera arrondi à l’unité.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $C$ le nombre de communes en France métropolitaine en 2012.
On a ainsi $C\times \left(1-\dfrac{5,17}{100}\right)=34~851 \ssi 0,948~3C=34~851 \ssi C=\dfrac{34~851}{0,948~3}$
Par conséquent $C\approx 36~751$.
Il y avait donc $36~751$ communes en 2012.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 23 – Pourcentages

Calculs semaine 23

Pourcentages

Exercice 1

Le prix d’un article est passé de $120$ € à $138$ €.
Quel est le pourcentage d’augmentation associé?

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\dfrac{138-120}{120}=0,15=15\%$.
Le pourcentage d’augmentation est de $15\%$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Après une augmentation de $12\%$ le prix d’un article est de $154$ €.
Quel était le prix initial de cet article?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $P$ le prix initial.
On a ainsi :
$\begin{align*}
P\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)=154 &\ssi 1,12P=154 \\
&\ssi P=\dfrac{154}{1,12} \\
&\ssi P=137,5
\end{align*}$
L’article coûtait initialement $137,5$ €.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Le cours d’une action en bourse a augmenté de $4\%$ une journée et baissé de $5\%$ le lendemain.
Quel est le taux d’évolution global?

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $\left(1+\dfrac{4}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=1,04\times 0,95=0,988$.
Or $0,988=1-\dfrac{1,2}{100}$.
Le taux d’évolution global est donc de $-1,2\%$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

En une année le nombre d’employés d’une entreprise a baissé de $12\%$. Quel devrait être le pourcentage d’augmentation nécessaire pour revenir à la situation initiale. Le résultat sera arrondi à $0,1\%$ près.

$\quad$

Correction Exercice 4

On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{12}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,88\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1\\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,88}\\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,88}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 13,6$
Il faudrait donc augmenter le nombre d’employés d’environ $13,6\%$ pour retrouver la situation initiale.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Une entreprise a affecté $14,5\%$ de son chiffre d’affaires, soit $211~120$ €, à la publicité cette année.
Quel était son chiffre d’affaires?

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $C$ le chiffre d’affaires.
On a donc
$\begin{align*}\dfrac{14,5}{100}C=211~120 &\ssi C=\dfrac{211~120}{\dfrac{14,5}{100}}\\
&\ssi C=1~456~000\end{align*}$

L’entreprise a donc réalisé un chiffre d’affaires de $1~456~000$ €.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 22 – Fonctions, vecteurs et problème

Calculs semaine 22

Fonctions, vecteurs et problème

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+20}}{7x+4}$.
Déterminer son ensemble de définition.

$\quad$

Correction Exercice 1

Pour que la racine carrée soit définie il faut que $3x+20 >0 \ssi 3x>-20 \ssi x>-\dfrac{20}{3}$.
Pour que la fraction soit définie sil faut que $7x+4 \neq 0$ c’est-à-dire que $x\neq -\dfrac{4}{7}$.
Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\left[-\dfrac{20}{3};-\dfrac{4}{7}\right[\cup\left]-\dfrac{4}{7};+\infty\right[$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère \Oij on considère les points $A(-14;10)$, $B\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ et $C(2;-1)$.
Sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AB}\left(\dfrac{29}{2};-10\right)$ et $\vect{AC}(16;-11)$
det$\left(\vect{AB};\vect{AC}\right)=\dfrac{29}{2}\times (-11)-(-10)\times 16=-\dfrac{319}{2}+160=\dfrac{1}{2} \neq 0$
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Les légionnaires romains, sur le champ de bataille, se disposaient en carré pour une plus grande efficacité.
La compagnie de Brutus est telle que si elle avait comportée $400$ hommes de plus, le carré ainsi formé aurait dix rangées de plus. De combien d’hommes la compagnie de Brutus est-elle constituée ?

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $x$ le nombre de légionnaires placés sur chaque ligne du carré initial. Il y a donc $x^2$ légionnaires.
En ajoutant $400$ hommes, on a placé $x+10$ légionnaires sur chaque ligne du carré.
Ainsi $(x+10)^2=x^2+400 \ssi x^2+20x+100=x^2+400 \ssi 20x=300 \ssi x=15$.
La compagnie de Brutus est donc constituée de $15^2=225$ légionnaires.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ et les points $M$ et $N$ définis par $\vect{AM}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$ et $\vect{CN}=\dfrac{1}{5}\vect{CA}$.
Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}\vect{MN}&=\vect{MA}+\vect{AC}+\vect{CN}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\vect{AC}+\dfrac{1}{5}\vect{CA}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{4}{5}\vect{AC}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que pour tout point $M$ du plan on a $2\vect{MA}-3\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour tout point $M$ on a $2\vect{MA}-3\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.
En particulier si $M=A$ on a $-3\vect{AB}+\vect{AC}=\vec{0} \ssi \vect{AC}=3\vect{AB}$.
Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{AB}$ sont donc colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont par conséquent alignés.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 21 – Vecteurs et calcul littéral

Calculs semaine 21

Vecteurs et calcul littéral

Exercice 1

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(7,8)$.
Sont-ils colinéaires?

$\quad$

Correction Exercice 1

On a det$\left(\vec{u},\vec{v}\right)=2\times 8-3\times 7=16-21=-5\neq 0$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$ on considère les points $A(-10;-23)$, $B(4;19)$ et $C(25;82)$.
Sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AB}(14;42)$ et $\vect{AC}(35;105)$
det$\left(\vect{AB};\vect{AC}\right)=14\times 105-42\times 35=1~470-1~470=0$.

Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $\vect{AM}=5\vect{BM}$.
Exprimer $\vect{AM}$ en fonction de $\vect{AB}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}\vect{AM}=5\vect{BM}&\ssi \vect{AM}=5\left(\vect{BA}+\vect{AM}\right)  \\
&\ssi \vect{AM}=-5\vect{AB}+5\vect{AM}\\
&\ssi -4\vect{AM}=-5\vect{AB}\\
&\ssi \vect{AM}=\dfrac{5}{4}\vect{AB}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $M$ et $N$ tels que $\vect{BM}=2\vect{CA}$ et $\vect{AN}=\dfrac{2}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}$.
Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont-elles parallèles?

$\quad$

Correction Exercice 4

D’une part
$\begin{align*}\vect{AM}&=\vect{AB}+\vect{BM}\\
&=\vect{AB}+2\vect{CA}\\
&=\vect{AB}-2\vect{AC}\end{align*}$

D’autre part
$\begin{align*}\vect{BN}&=\vect{BA}+\vect{AN}\\
&=-\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AM}\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{BN}$ et $\vect{AM}$ sont donc colinéaires et les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont parallèles.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Factoriser $A(x)=(5x-1)^2-(8x-7)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}
A(x)&=(5x-1)^2-(8x-7)^2 \\
&=\left[(5x-1)-(8x-7)\right]\left[(5x-1)+(8x-7)\right] \\
&=(5x-1-8x+7)(5x-1+8x-7)\\
&=(-3x+6)(13x-8)
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Calculs semaine 20 – Vecteurs et fonctions

Calculs semaine 20

Vecteurs et fonctions

Exercice 1

Dans un repère du plan $\Oij$ on considère les points $A(5;-4)$ et $B(-1;3)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{BA}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\vect{BA}\left(5-(-1);-4-3\right)$ soit $\vect{BA}(6;-7)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère un parallélogramme $ABCD$ et un point $E$ tel que $\vect{AE}=\vect{AC}+\vect{DB}$.
Démontrer que $B$ est le milieu de $[AE]$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On a
$\begin{align*}\vect{BE}&=\vect{BA}+\vect{AE}\\
&=\vect{BA}+\vect{AC}+\vect{DB}\\
&=\vect{DB}+\vect{BA}+\vect{AC}\\
&=\vect{DC}\end{align*}$
De plus, $ABCD$ est un parallélogramme donc $\vect{AB}=\vect{DC}$.
Par conséquent $\vect{AB}=\vect{BE}$ et $B$ est le milieu du segment $[AE]$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Il existe plusieurs unités pour mesurer la température. Le degré Fahrenheit est utilisé, entre autre, aux États-unis et le degré Celcius est largement utilisé dans le reste du monde.
Pour convertir une température en degré Celcius, $T_C$, en dégré Fahrenheit, $T_F$, on utilise la formule suivante : $T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32$.
En détaillant votre démarche, déterminer la température pour laquelle les deux unités fournissent la même valeur.

$\quad$

Correction Exercice 3

On veut donc que $T_F=T_C$.
On obtient par conséquent l’équation :
$\begin{align*}T_C=\dfrac{9}{5}T_C+32 &\ssi T_C-\dfrac{9}{5}T_C=32 \\
&\ssi -\dfrac{4}{5}T_C=32 \\
&\ssi T_C=\dfrac{32}{-\dfrac{4}{5}}\\
&\ssi T_C=-40\end{align*}$
Ainsi si $T_C=-40$ alors $T_F=-40$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Dans un repère du plan \Oij on considère les points $R(-2;6)$, $S(7;3)$ et $T(-1;6)$.
Déterminer les coordonnées du point $U$ telles que $\vect{RU}=\dfrac{2}{7}\vect{ST}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{ST}(-1-7;6-3)$ soit $\vect{ST}(-8;3)$.
On a $U(x;y)$. Par conséquent $\vect{RU}\left(x-(2);y-6\right)$ soit $\vect{RU}(x+2;y-6)$.
$\begin{align*}\vect{RU}=\dfrac{2}{7}\vect{ST}&\ssi \begin{cases} x+2=\dfrac{2}{7}\times (-8)\\y-6=\dfrac{2}{7}\times 3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{16}{7}-2\\y=6+\dfrac{6}{7}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{30}{7}\\y=\dfrac{48}{7}\end{cases}\end{align*}$.

Le point $U$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{30}{7};\dfrac{48}{7}\right)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{4x+8}{\sqrt{5-2x}}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour que la racine carrée soit définie il faut que $5-2x\pg 0 \ssi -2x\pg -5 \ssi x\pg 2,5$.
Pour que la fraction soit définie il faut que $\sqrt{5-2x} \neq 0 \ssi 5-2x \neq 0 \ssi x\neq 2,5$.
La fonction $f$ est définie sur $]-\infty;2,5[$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 18 – Équations, problème, racine carré et calcul littéral

Calculs semaine 18

Équations, problème, racine carré et calcul littéral

Exercice 1

On munit le plan d’un repère $(O;I,J)$. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ et la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x-1$.
En résolvant une équation déterminer l’abscisse du point d’intersection des courbes représentant ces deux fonctions.

$\quad$

Correction Exercice 1

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}f(x)=g(x) &\ssi x^2=2x-1\\
&\ssi x^2-2x+1=0 \\
&\ssi (x-1)^2=0 \\
&\ssi x=1\end{align*}$
L’abscisse du point d’intersection des deux courbes est $1$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ l’équation $(3x-1)^2=(8x+5)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} (3x-1)^2=(8x+5)^2 &\ssi (3x-1)^2-(8x+5)^2=0\\
&\ssi \left[(3x-1)-(8x+5)\right]\left[(3x-1)+(8x+5)\right]=0\\
&\ssi
(-5x-6)(11x+4)=0 \end{align*}$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Donc $-5x-6=0 \ssi -5x=6 \ssi x=-\dfrac{6}{5}$
ou $11x+4=0\ssi 11x=-4 \ssi x=-\dfrac{4}{11}$.

Les solutions sont donc $-\dfrac{6}{5}$ et $-\dfrac{4}{11}$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Problème datant de 1650 avant notre ère

Une quantité et son septième additionnés deviennent $19$. Quelle est la quantité?

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $x$ la quantité cherchée.
On a donc $x+\dfrac{x}{7}=19 \ssi \dfrac{8}{7}x=19 \ssi x=\dfrac{~~19~~}{\dfrac{8}{7}} \ssi x= \dfrac{19\times 7}{8}\ssi x=\dfrac{133}{8}$

La solution de l’équation est $\dfrac{133}{8}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire sans racine carrée au dénominateur le nombre $\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}&=\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{5\times 2+\sqrt{6}+15\sqrt{6}+3\times 3}{\left(5\sqrt{2}\right)^2-3} \\
&=\dfrac{10+16\sqrt{6}+9}{50-3}\\
&=\dfrac{19+16\sqrt{6}}{47}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Factoriser $A(x)=5x^2-7$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A(x)&=5x^2-7\\
&=\left(x\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\\
&=\left(x\sqrt{5}-\sqrt{7}\right)\left(x\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$