2nd – Exercices – Arithmétique – Nombres premiers

Arithmétique – Nombres premiers

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer, parmi les nombres suivants, les nombres premiers.
$$49 \qquad 59 \qquad 123 \qquad 137 $$

$\quad$

Correction Exercice 1

$49 = 7^2$ Donc $49$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{59}\approx 7,7$. Si $59$ n’est pas un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $7$.
Or $59$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$ et $7$.
Par conséquent $59$ est un nombre premier.

$\sqrt{123}\approx 11,1$. Si $123$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
On a $123=3\times 41$. Ainsi $123$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{137} \approx 11,7$. Si $137$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
Or $137$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
Par conséquent $137$ est un nombre premier.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Décomposer un produit de facteurs premiers les nombres suivants :
$$\begin{array}{l}
A=168\\
B=260\\
C=375\\
D=3~780\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

On a :
$\begin{align*} A&=2\times 84 \\
&=2\times 2\times 42 \\
&=2\times 2\times 2\times 21 \\
&=2^3\times 3\times 7\end{align*}$

$\begin{align*}
B&=260 \\
&=2\times 130 \\
&=2\times 2\times 65 \\
&=2^2\times 5\times 13\end{align*}$

$\begin{align*} C&=375 \\
&=3\times 125 \\
&=3\times 5\times 25 \\
&=3\times 5\times 5\times 5\\
&=3\times 5^3\end{align*}$

$\begin{align*}
D&=3~780 \\
&=2\times 1~890 \\
&=2\times 2 \times 945 \\
&=2^2 \times 3\times 315 \\
&=2^2\times 3\times 3 \times 105 \\
&=2^2\times 3\times 3\times 3 \times 35 \\
&=2^2\times 3^3 \times 5\times 7\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     Crible d’Eratosthène

Écrire les nombres de $2$ à $100$ en écrivant les nombres ayant le même chiffre des unités les uns sous les autres.
$2$ est un nombre premier : on le garde et on raye du tableau tous ses multiples.
On passe au nombre suivant qui n’a pas été rayé et on procède de la même manière.
On continue ainsi jusqu’à ce tous les nombres est été soit sélectionnés (ils sont premiers) soit rayés.

$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient le crible suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Déterminer, en justifiant, les valeurs que peut prendre le chiffre $a$ pour que le nombre dont l’écriture décimale est $43a$ soit un nombre premier.

$\quad$

Correction Exercice 4

$a$ ne peut pas être pair, sinon le nombre $43a$ est divisible par $2$.
$a$ ne peut pas être égal à $5$, sinon le nombre $43a$ est divisible par $5$.
Il ne nous reste plus comme possibilité que $1$, $3$, $7$ et $9$.

Si $a=1$ alors le nombre est $431$
$\sqrt{431}\approx 20,7$. Si $431$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $431$ est un nombre premier.

Si $a=3$ alors le nombre est $433$
$\sqrt{433}\approx 20,8$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $433$ est un nombre premier.

Si $a=7$ alors le nombre est $437$
$\sqrt{437}\approx 20,9$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $437$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ et $17$.
En revanche $437=19\times 23$
Par conséquent $437$ n’est pas un nombre premier.

Si $a=9$ alors le nombre est $439$
$\sqrt{439}\approx 20,95$. Si $439$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $439$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $439$ est un nombre premier.

Ainsi $43a$ est premier si, et seulement si, $a=1$ ou $a=3$ ou $a=9$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère un nombre premier $n$. Le nombre $n^2$ est-il premier?

$\quad$

Correction Exercice 5

Par définition $n^2=n\times n$. Donc $n^2$ possède au moins trois diviseurs positifs : $1$, $n$ et $n^2$.
Par conséquent $n^2$ n’est pas premier.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6     Nombres de Mersenne

Si $n$ est un nombre premier, le nombre $M_n=2^n-1$ est il également un nombre premier?

$\quad$

Correction Exercice 6

Nous allons calculer les premiers nombres de Mersenne et regarder s’ils sont premiers ou non.

  • Si $n=2$ alors $M_2=2^2-1=3$ est premier.
  • Si $n=3$ alors $M_3=2^3-1=7$ est premier.
  • Si $n=5$ alors $M_5=2^5-1=31$ est premier.
  • Si $n=7$ alors $M_7=2^7-1=127$ est premier.
  • Si $n=11$ alors $M_{11}=2^{11}-1=2~047=23\times 89$ n’est pas premier.

Les nombres $M_n$ ne sont donc pas tous premier quand $n$ est premier.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Arithmétique – Nombres pairs et nombres impairs

Arithmétique – Nombres pairs et nombres impairs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Parmi la liste de nombres suivante déterminer lesquels sont pairs :
$$27+15\qquad 5^2 \qquad \sqrt{36} \qquad \dfrac{378}{3} \qquad 15^2-8$$

$\quad$

Correction Exercice 1

$27+15=42=2\times 21$ est pair

$5^2=25=2\times 12+1$ est impair

$\sqrt{36}=6=2\times 3$ est pair

$\dfrac{378}{3}=126=2\times 63$ est pair

$15^2-8=225-8=217=2\times 108+1$ est impair

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Montrer que le carré d’un nombre pair est pair.

$\quad$

Correction Exercice 2

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre pair $n$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
Ainsi :
$\begin{align*} n^2&=(2k)^2 \\
&=4k^2\\
&=2\times 2k^2\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est pair.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.

$\quad$

Correction Exercice 3

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

  • Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
    Ainsi $n(n+1)=2k(n+1)$ est pair.
  • Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
    Par conséquent $n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1)$.
    Ainsi $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ est pair.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

On considère un entier naturel $n$.

  1. Étudier la parité des nombres suivants :
    $$A=2n+6 \qquad B=6n+8 \qquad C=40n+1 $$
    $\quad$
  2. Montrer que $A+C$ est un multiple de $7$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  1. $A=2n+6=2(n+3)$ est pair
    $B=6n+8=2(3n+4)$ est pair
    $C=40n+1=2\times 20n+1$ est impair
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} A+C&=2n+6+40n+1 \\
    &=42n+7 \\
    &=7\times 6n+7\times 1\\
    &=7(6n+1)\end{align*}$
    Donc $A+C$ est un multiple de $7$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Pour tout entier naturel $n$ montrer que $5n^2+3n$ est un nombre pair.

$\quad$

Correction Exercice 5

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  • On suppose que $n$ est impair.
    D’après le cours, on sait que si $n$ est impair alors $n^2$ est également impair.
    Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a+1$ et $n^2=2b+1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 5n^2+3n&=5(2b+1)+3(2a+1) \\
    &=10b+5+6a+3\\
    &=10b+6a+8 \\
    &=2(5b+3a+4)\end{align*}$
    Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
  • On suppose que $n$ est pair.
    On a montré à l’exercice 2, que si $n$ est pair alors $n^2$ est également pair.
    Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a$ et $n^2=2b$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 5n^2+3n &=5(2b)+3(2a) \\
    &=2(5b+3a)\end{align*}$
    Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6     Difficulté +

La somme de deux entiers consécutifs est-elle paire ou impaire?

$\quad$

Correction exercice 6

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

  • Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+(2k+1)\\
    &=4k+1\\
    &=2\times 2k+1\end{align*}$
    Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
  • Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+1+(2k+1+1)\\
    &=4k+3\\
    &=4k+2+1\\
    &=2\times (2k+1)+1\end{align*}$
    Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7     Difficulté +

On considère un entier $k$. Déterminer la parité de $(k+1)^2-k^2$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  • Si $k$ est pair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n$. Ainsi $k+1=2n+1$
    $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+1)^2-(2n)^2 \\
    &=4n^2+4n+1-4n^2\\
    &=4n+1\\
    &=2\times 2n+1\end{align*}$
    Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
  • Si $k$ est impair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n+1$. Ainsi $k+1=2n+2$
    $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+2)^2-(2n+1)^2 \\
    &=4n^2+8n+4-\left(4n^2+4n+1\right)\\
    &=4n+1+8n+4-4n^2-4n-1\\
    &=4n+3\\
    &=4n+2+1\\
    &=2\times (2n+1)+1\end{align*}$
    Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8     Difficulté +

On considère deux entiers naturels impairs $a$ et $b$.
Montrer que $N=a^2+b^2+6$ est divisible par $8$.

$\quad$

Correction Exercice 8

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels impairs. Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=2n+1$ et $b=2m+1$.
$\begin{align*} N&=a^2+b^2+6 \\
&=(2n+1)^2+(2m+1)+6\\
&=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1+6\\
&=4n^2+4n+4m^2+4m+8\\
&=4n(n+1)+4m(m+1)+8\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc deux entiers naturels (car $n$ et $m$ sont des entiers naturels) $p$ et $q$ tels que :
$n(n+1)=2p$ et $m(m+1)=2q$.
Ainsi :
$\begin{align*} N&=4n(n+1)+4m(m+1)+8 \\
&=4\times 2p+4\times 2q+8\\
&=8p+8q+8\times 1\\
&=8(p+q+1)\end{align*}$
Le nombre $N$ est donc divisible par $8$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9     Difficulté +

Montrer que le reste de la division euclidienne par $8$ du carré de tout nombre impair est $1$.

$\quad$

Correction Exercice 9

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre impair $a$. Il existe donc un entier relatif $n$ tel que $a=2n+1$.
Ainsi :
$\begin{align*}a^2&=(2n+1)^2\\
&=4n^2+4n+1\\
&=4n(n+1)+1\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc un entier relatif $p$ tel que $n(n+1)=2p$.
Ainsi :
$\begin{align*} a^2&=4n(n+1)+1 \\
&=4\times 2p+1 \\
&=8p+1\end{align*}$
Or $0\pp 1<8$.
Ainsi le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $8$ est $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – Exercices – Arithmétique – Diviseurs et multiples

Arithmétiques – Diviseurs et multiples

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

  1. Déterminer les diviseurs de $18$ et de $24$.
    $\quad$
  2. Le nombre $102$ est-il un multiple de $17$?
    $\quad$
  3. Le nombre $24$ est-il un diviseur de $4$?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Les diviseurs de $18$ sont :
    $-18$, $-9$, $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.
    $\quad$
    Les diviseurs de $24$ sont :
    $-24$, $-12$, $-8$, $-6$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$.
    $\quad$
  2. $102=17\times 6$ donc $102$ est un multiple de $17$.
    $\quad$
  3. $24=4\times 6$ donc $4$ est diviseur de $24$ mais $24$ n’est pas un diviseur de $24$.
    Remarque : On pouvait également dire que puisque $24$ est strictement supérieur à $4$ il ne peut pas être un de ses diviseurs.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par $2$? par $3$? par $5$? par $9$? par $10$?

$$20 \qquad 85 \qquad 231 \qquad 972$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$20$ n’est divisible que par $2$, $5$ et $10$.
$\quad$ $20=2\times 10$ et $20=4\times 5$
$\quad$ La somme des chiffres de $20$ est $2$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $20$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$85$ n’est divisible que par $5$
$\quad$ $85=5\times 17$
$\quad$ $85$ n’est pas pair. Donc $85$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ La somme des chiffres de $85$ est $13$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $85$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$231$ n’est divisible que par $3$
$\quad$ $231=3\times 77$
$\quad$ $231$ n’est pas pair. Donc $231$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ Le chiffre des unités de $231$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $231$ n’est pas divisible par $5$.
$\quad$ La somme des chiffres de $231$ est $6$ qui n’est pas un multiple de $9$. Donc $231$ n’est pas divisible par $9$.

$972$ n’est divisible que par $2$, $3$ et $9$
$\quad$ $972=2\times 486$, $972=3\times 324$ et $972=9\times 108$
$\quad$ Le chiffre des unités de $972$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $972$ n’est pas divisible par $5$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère les nombres $a=18$ et $b=24$

  1. Donner deux nombres multiples à la fois de $a$ et de $b$.
    $\quad$
  2. Parmi la liste de tous les multiples strictement positifs communs à $a$ et $b$, déterminer le plus petit d’entre-eux.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. Les premiers multiples positifs de $a$ sont $18$, $36$, $54$, $72$, $90$, $108$, $126$, $144$.
    Les premiers multiples positifs de $b$ sont $24$, $48$, $72$, $96$, $120$, $144$.
    Donc deux multiples communs à $a$ et $b$ sont $72$ et $144$.
    On aurait pu aussi prendre $72$ et $-72$. Il existe une infinité de multiples communs. Ce ne sont donc évidemment pas les seules possibilités.
    $\quad$
  2. D’après les listes des multiples de $a$ et de $b$, le plus petit multiple positif commun à $a$ et $b$ est $72$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$?

$\quad$

Correction Exercice 4

Trois entiers consécutifs peuvent s’écrire : $n$, $n+1$ et $n+2$ où $n$ est un entier relatif.
Ainsi leur somme vaut :
$\begin{align*} S&=n+(n+1)+(n+2)\\
&=3n+3\\
&=3(n+1)\end{align*}$

Par conséquent $S$ est un multiple de $3$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Montrer que le produit de deux multiples de $2$ est un multiple de $4$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On considère deux multiples de $2$notés $a$ et $b$.
Il existe donc deux entiers relatifs $n$ et $m$ tels que $a=2n$ et $b=2m$.
Leur produit est alors :
$\begin{align*} P&=ab\\
&=(2n)\times (2m) \\
&=4nm\end{align*}$

Par conséquent $P$ est un multiple de $4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.
Montrer que $28$ est un nombre parfait.

$\quad$

Correction Exercice 6

Les diviseurs positifs de $28$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ et $28$.
De plus $1+2+4+7+14=28$
Donc $28$ est un nombre parfait.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère le nombre dont l’écriture décimale est $4a3b$.
Déterminer les valeurs possibles des chiffres $a$ et $b$ pour qu’il soit divisible par $12$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Pour que le nomre $4a3b$ soient divisibles par $12$, il faut qu’il soit divisibles par $3$ et par $4$.
$4a3b$ est divisibles par $4$ si le nombre $3b$ est divisible par $4$.
Par conséquent $b$ ne peut donc prendre comme valeur que $2$, $6$.

$4a3b$ est divisible par $3$ si la somme de ces chiffres est un multiple de $3$.

  • Si $b=2$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+2=9+a$
    $9+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $0$, $3$, $6$ ou $9$
  • Si $b=6$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+6=13+a$
    $13+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $2$, $5$ ou $8$

Finalement, seuls les nombres $4~032$, $4~332$,$4~632$ , $4~932$, $4~236$, $4~536$ et $4~836$ sont divisibles par $12$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 8     Difficulté +

On considère un entier naturel $n$ tel que $n+1$ soit divisible par $4$.
Montrer que $n^2+3$ est également divisible $4$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On a $(n+1)^2=n^2+2n+1$
Donc
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2n+2\\
&=(n+1)^2-2(n-1)\end{align*}$

$n+1$ est divisible par $4$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n+1=4k$
Par conséquent $n-1=n+1-2=4k-2=2(2k-1)$
Ainsi :
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2(n-1) \\
&=(4k)^2-2\times 2(k-1) \\
&=16k^2-4(k-1)\\
&=4\left(4k^2-(k-1)\right)
\end{align*}$

Donc $n^2+3$ est divisible par $4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Probabilités

Probabilités

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l’issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
Au cours d’une semaine, on a constaté que $6\%$ des lentilles présentent au moins un des deux défauts, $5\%$ des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et $3\%$ présentent une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

  • $A$ l’événement : “La lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux”;
  • $B$ l’événement : “La lentille prélevée présente une perméabilité à l’oxygène défectueuse”.
  1. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut”.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts”.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $C$ : “la lentille prélevée au hasard n’a qu’un seul des deux défauts”.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On sait que $p(A \cup B)=0,06$ et on veut calculer $p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A \cup B)=1-0,06=0,94$.
    $\quad$
  2. On sait que $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
    Donc $p(A\cap B)=p(A)-p(B)-p(A \cup B)=0,05+0,03-0,06=0,02$.
    $\quad$
  3. On veut donc calculer $p(A\cup B)-p(A\cap B)=0,06-0,02=0,04$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Une classe de Seconde compte $28$ élèves. $12$ d’entre eux pratiquent la natation, $7$ le volley-ball et $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. On désigne au hasard un élève de la classe.

Calculer la probabilité qu’il pratique :

  1. l’un, au moins, des deux sports;
    $\quad$
  2. les deux sports.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Sur les $28$ élèves, $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. Cela signifie donc que $28-13=15$ élèves pratiquent au moins l’un des deux sports. La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{15}{28}$.
    $\quad$
  2. Si on appelle $N$ l’événement “l’élève désigné pratique la natation”, et $V$ l’événement “l’élève désigné pratique le volley-ball” alors on a : $p(N)=\dfrac{12}{28}$, $p(V)=\dfrac{7}{28}$ et $p(N\cup V)=\dfrac{15}{28}$.
    Or $p(N\cup V)=p(N)+p(V)-p(N\cap V)$
    soit $p(N\cap V)=p(N)+p(V)-p(N\cup V)=\dfrac{12}{28}+\dfrac{7}{28}-\dfrac{15}{28}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une bijouterie contient $20\%$ de boucles d’oreilles, $40\%$ de colliers, et le reste en bracelets. $60\%$ des bijoux sont en argent. Il y a autant de colliers en or que de colliers en argent. Enfin, $75\%$ des bracelets sont en argent.

  1. Compléter le tableau :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& \phantom{\dfrac{1}{2}{1}} & & & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} &\phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles }\\
    \hline
    \text{Total }&\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} && & 100\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. On choisit au hasard un bijou. Soit $E_1$ l’événement “le bijou choisi est en argent” et $E_2$ l’événement “le bijou choisi est un bracelet”.
    a. Calculer $P\left(E_1\right)$ et $P\left(E_2\right)$.
    $\quad$
    b. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cap E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cap E_2\right)$.
    $\quad$
    c. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cup E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cup E_2\right)$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. Quelle est la probabilité qu’il soit en or?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& 10 &20 &30 & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &10&20 & 10&40 \\
    \hline
    \text{Total }&20&40& 40& 100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $P(E_1) = \dfrac{60}{100} = 0,6$ et $P(E_2) = \dfrac{40}{100} = 0,4$
    $\quad$
    b. $E_1 \cap E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est un bracelet en argent”.
    $P(E_1 \cap E_2) = \dfrac{30}{100} = 0,3$.
    c. $E_1 \cup E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est soit un bracelet soit en argent”.
    $P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{60 + 10}{100} = 0,7$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. La probabilité qu’il soit en or est donc de $\dfrac{10}{40} = 0,25$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

En fin de journée, la caissière d’un magasin relève tous les tickets de caisse qui lui permettent de savoir :

  • Le moyen de paiement utilisé par les acheteurs : Carte Bleue, Chèque ou Espèces.
  • Le montant des achats qu’elle classe en $2$ groupes : montant de moins de $10$ € et montant supérieur ou égal à $10$ €.

Pour la journée dont elle fait le bilan, il y a eu $200$ achats.

  • Il y a eu $50$ paiements par chèque;
  • Il y a eu autant de paiements en carte bancaire que de paiement en espèces;
  • Parmi les paiements en espèces, $15$ sont d’un montant supérieur ou égal à $10$ €;
  • Le tiers des achats payés par carte bancaire correspondent à un montant inférieur à $10$ €;
  • Le magasin n’accepte pas les chèques lorsque l’achat est d’un montant inférieur à $10$ €.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}& &0& & \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}& & & & \\
\hline
\text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50& & 200 \\
\hline
\end{array}$

  1. Compléter, sans justification, le tableau ci-dessus.
    $\quad$
  2. La caissière prend au hasard un ticket de caisse parmi les $200$, on suppose que tous les tickets de caisse ont la même probabilité d’être choisis. On considère les événements suivants :
    $A$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$ €”,
    $B$ : “le paiement a été fait par carte bancaire”,
    $C$ : “le paiement a été fait en espèces”.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $A$, puis celle de l’événement $B$.
    $\quad$
    b. Décrire en une phrase chacun des événements $A\cap B$ et $A\cup B$ puis calculer leur probabilité.
    $\quad$
    c. Décrire en une phrase l’événement $\conj{C}$, puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. La caissière a pris un ticket de caisse correspondant à un paiement par carte bancaire.
    Quelle est la probabilité que le montant de l’achat soit supérieur ou égal à $10$ €?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{25} &0&\boldsymbol{60} &\boldsymbol{85} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{50} &\boldsymbol{50} &\boldsymbol{15} &\boldsymbol{115} \\
    \hline
    \text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}\boldsymbol{75}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50&\boldsymbol{75} & 200 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a. $p(A)=\dfrac{85}{200}=0,425$
    $p(B)=\dfrac{75}{200}=0,375$
    $\quad$
    b. $A\cap B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ et a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cap B)=\dfrac{25}{200}=0,125$
    $A\cup B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ ou a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cup B)=\dfrac{85+50}{200}=\dfrac{135}{200}=0,675$
    $\quad$
    c. $\conj{C}$ : “le paiement n’a pas été fait en espèces”.
    $p\left(\conj{C}\right)=1-p(C)=1-\dfrac{75}{200}=\dfrac{125}{200}=0,625$.
    $\quad$
  3. Parmi les $75$ achats payés par carte bancaire $50$ ont un montant supérieur à $10$€.
    La probabilité cherchée est donc $p=\dfrac{50}{75}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – cours – Périmètres, aires et volumes

Périmètres, aires et volumes

I Dans le plan

  • Triangle

    $\mathscr{A} = \dfrac{B \times h}{2}~~$
    $\quad$

  • Rectangle

    $\mathscr{A} = \ell \times L$
    $\mathscr{P} = 2\times (\ell+L)$
    $\quad$
  • Carré
    $\mathscr{A} = c^2$
    $\mathscr{P} = 4c$
    $\quad$
  • Parallélogramme

    $\mathscr{A} = B \times h$
    $\quad$

  • Losange

    $\mathscr{A} = \dfrac{D \times d}{2}$
    $\mathscr{P} = 4c$
    $\quad$

  • Trapèze

    $\mathscr{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$
    $\quad$
  • Cercle et disque

    $\mathscr{A} = \pi \times r^2$ (disque)
    $\mathscr{P} = 2\pi r$ (cercle)

Convertir : comment changer d’unités d’aire?

ha : hectare
a : are
ca : centiare

Exemples :
$25$ cm$^2 =0,002 5$ m$^2$
$7$ km$^2 = 7~000~000$ m$^2$
$\quad$

$\quad$

II Dans l’espace

  • Cube
     

    $\mathscr{V}=c^3$
    $\mathscr{A}=6c^2$
    $\quad$

  • Parallélépipède rectangle ou pavé droit

    $\mathscr{V} = L \times \ell \times h$
    $\mathscr{A}=2(L\times \ell+L\times h+\ell \times h$
    $\quad$

  • Cylindre de révolution

    $\mathscr{V} = \pi \times r^2 \times h$
    $\mathscr{A}_{\text{latérale}} = 2\pi rh$
    $\quad$
  • Prisme droit

    $\mathscr{V} = \mathscr{A}_{base} \times h$
    $\mathscr{A}_{\text{latérale}} = \mathscr{P}_{base}\times h$
    $\quad$
  • Cône de révolution

    $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\pi \times r^2 \times h$
    $\quad$
  • Pyramide

    $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{base} \times h$
    Remarque : Si la base est un triangle, ce qui est le cas ici, on parle de tétraèdre.
    $\quad$
  • Sphère et boule

    $\mathscr{V} = \dfrac{4}{3}\pi \times r^3$ (boule)
    $\mathscr{A}=4\pi r^2$ (sphère)
    $\quad$

Convertir : comment changer d’unités de volume?

On a également les unités de capacité : $1$ L $=1$ dm$^3$, $1$ mL $=1$ cm$^3$

Exemples :
$25$ cm$^3 = 25~000$ mm$^3$
$7$ km$^3 = 7~000~000~000$ m$^3$

2nd – Exercices – Variations de fonctions et parité d’une fonction

Variations de fonctions et parité d’une fonction

2nd – Exercices corrigés

 

Exercice 1

$f$ est une fonction admettant le tableau de variations suivant :

2nd - DS commun 1 - ex2

 

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|}
\hline
& & A&B&C&\begin{array}{c}\text{Votre}\\\text{choix}\end{array} \\
\hline
1&\begin{array}{l} \text{L’ensemble de}\\ \text{définition de } f \text{est :}\end{array}& [-2;4] & [0;2]\cup[6;9]& [0;11] & \\
\hline
2&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(0) = 2 & f(2) = 0 & \begin{array}{l}\text{L’image de }0 \text{ par }f \text{ est} \\\text{égale à }11 \end{array} &  \\
\hline
3&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(3) \le f(4) & f(3) \ge f(4) & \begin{array}{l} \text{On ne peut pas}\\ \text{comparer} f(3) \text{ et } f(4) \end{array}& \\
\hline
4& f \text{ admet pour minimum :} & -1 \text{ sur } [6;11] & 0 \text{ sur } [0;11] & -2 \text{ sur } [6;11] & \\
\hline
5&f \text{ est } & \begin{array}{l} \text{croissante sur}\\ \text{l’intervalle }[2;4] \end{array} & \begin{array}{l} \text{décroissante sur} \\ \text{l’intervalle }[-2;4]\end{array} & \begin{array}{l} \text{croissante sur} \\ \text{l’intervalle }[0;4]\end{array} & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1
  1. L’ensemble de définition est $[0;11]$ : Réponse C
    $\quad$
  2. $f(0) = 2$ (Pour les autres propositions : $f(2) = -1$ et $f(11) = 0$) : Réponse A
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est croissante sur $[2;6]$ donc $f(3) \le f(4)$ : Réponse A
    $\quad$
  4. $f$ admet pour minimum $-2$ sur $[6;11]$ : Réponse C
    $\quad$
  5. $f$ est croissante sur l’intervalle $[2;6]$. Elle est donc croissante sur l’intervalle $[2;4]$ : Réponse A
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$.

2nd-Devoir commun 2-ex4

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies, fausses ou si on ne peut pas répondre.

$\begin{array}{llc}
1. & (-2) < f(-2,5) & \ldots \ldots \ldots \\
2. & f(-3) = -4 & \ldots \ldots \ldots \\
3. & 2 \text{ est un antécédent de } 0 \text{ par }f & \ldots \ldots \ldots \\
4. & \text{Il existe un nombre réel de l’intervalle }[0;3] \text{ qui a pour image }0 \text{ par } f & \ldots \ldots \ldots \\
5. & \text{Tous les réels de l’intervalle }[0;3] \text{ ont une image par } f \text{ positive} & \ldots \ldots \ldots \\
6. & \text{Il existe un réel de l’intervalle }[-3;3] \text{qui a une image strictement négative par }f & \ldots \ldots \ldots
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $f(-2) < f(-2,5)$ FAUX
    $\quad$
  2. $f(-3) = -4$ FAUX
    $\quad$
  3. $2$ est un antécédent de $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  4. Il existe un nombre réel de l’intervalle $[0;3]$ qui a pour image $0$ par $f$ VRAI
    $\quad$
  5. Tous les réels de l’intervalle $[0;3]$ ont une image par $f$ positive VRAI
    $\quad$
  6. Il existe un réel de l’intervalle $[-3;3]$ qui a une image strictement négative par $f$ ON NE SAIT PAS

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Déterminer dans chacun des cas si la fonction fournie est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

  1. La fonction $f_1$ définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
    $\quad$
  2. La fonction $f_2$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    $\quad$
  4. La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
    $\quad$
  5. La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
    $\quad$
  6. La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_1(-x)&=4(-x)^2+5 \\
    &=4x^2+5\\
    &=f_1(x)\end{align*}$
    La fonction $f_1$ est donc paire.
    $\quad$
  2. La fonction $f_2$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} f_2(-x)&=\dfrac{5}{-x}+4(-x)^3 \\
    &=-\dfrac{5}{x}-4x^3 \\
    &=-\left(\dfrac{5}{x}+4x^3\right) \\
    &=-f_2(x)\end{align*}$
    La fonction $f_2$ est donc impaire.
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_3(-x)&=\dfrac{-x-3}{(-x)^2+2} \\
    &=-\dfrac{x+3}{x^2+2}\end{align*}$
    Or $-f_3(x)=-\dfrac{x-3}{x^2+2}$
    Donc $f_3(-x)\neq f_3(x)$ et $f_3(-x)\neq -f_3(x)$.
    La fonction $f_3$ n’est donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  4. La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$, le réel $-x$ n’appartient pas à $[0;+\infty[$.
    La fonction $f_4$ n’est donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  5. La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
    Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
    $\begin{align*} f_5(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{4} \\
    &=\dfrac{-x^3+x}{4} \\
    &=\dfrac{-\left(x^3-x\right)}{4} \\
    &=-\dfrac{x^3-x}{4} \\
    &=-f_5(x)\end{align*}$
    La fonction $f_5$ est donc impaire.
    $\quad$
  6. La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
    Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} f_6(-x)&=\dfrac{-2}{(-x)^2}+7 \\
    &=\dfrac{-2}{x^2}+7\\
    &=f_6(x)\end{align*}$
    La fonction $f_6$ est donc paire.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

À partir de la courbe de la fonction représentée, dire si la fonction semble paire, impaire ou ni paire, ni impaire.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. La courbe de la fonction $1$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $1$ semble donc paire.
    $\quad$
  2. La courbe de la fonction $2$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $2$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  3. La courbe de la fonction $3$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $3$ semble donc impaire.
    $\quad$
  4. La courbe de la fonction $4$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $4$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
    $\quad$
  5. La courbe de la fonction $5$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $5$ semble donc impaire.
    $\quad$
  6. La courbe de la fonction $6$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $6$ semble donc paire.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5     Difficulté +

  1. On considère une fonction $f$ paire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-6;-1]$?
    $\quad$
  2. On considère une fonction $g$ impaire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-10;-2]$?
    $\quad$

Remarque : Ces propriétés sont généralisables à tout intervalle inclus dans $[0;+\infty[$.

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-6\pp v<u\pp -1$. On veut comparer $f(u)$ et $f(v)$.
    $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $1 \pp a<b\pp 6$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. On a donc $f(a)<f(b)$.
    La fonction $f$ est paire. Donc $f(a)=f(-a)$ et $f(b)=f(-b)$.
    Ainsi $f(-a)<f(-b)$  c’est-à-dire $f(u)<f(v)$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-6;-1]$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-10\pp v<u\pp -2$. On veut comparer $g(u)$ et $g(v)$.
    $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $2 \pp a<b\pp 10$
    La fonction $g$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Donc $g(a)>g(b)$.
    La fonction $g$ est impaire. Donc $g(-a)=-g(a)$ et $g(-b)=-g(b)$.
    Ainsi $-g(-a)>-g(-b)$ c’est-à-dire $g(-a)<g(-b)$ et donc $g(u)<g(v)$
    La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-10;-2]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Variations des fonctions de référence

Variations des fonctions de référence

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

En utilisant les variations de la fonction carré, comparer les nombres suivants :

  • $2,5^2$ et $1,6^2$
    $\quad$
  • $(-1,3)^2$ et $(-5,2)^2$
    $\quad$
  • $\pi^2$ et $\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    $\quad$
  • $(-5)^2$ et $4^2$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  • $2,5^2$ et $1,6^2$
    La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<1,6<2,5$
    Donc $1,6^2<2,5^2$.
    $\quad$
  • $(-1,3)^2$ et $(-5,2)^2$
    La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    On a $-5,2<-1,3<0$
    Donc $(-5,2)^2<(-1,3)^2$
    $\quad$
  • $\pi^2$ et $\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\pi \approx 3,14$ et $\dfrac{10}{3}\approx 3,33$.
    Ainsi $0<\pi<\dfrac{10}{3}$
    Donc $\pi^2<\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
    $\quad$
  • $(-5)^2$ et $4^2$
    D’une part $(-5)^2=5^2$.
    D’autre part la fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<4<5$
    Donc $4^2< 5^2$ ainsi $4^2<(-5)^2$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

En utilisant les variations de la fonction inverse, comparer les nombres suivants :

  • $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$
    $\quad$
  • $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{2,1}$ et $-\dfrac{1}{4,7}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  • $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    On a $0<3<7$
    Donc $\dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  • $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{4}$
    D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    D’autre part, $\sqrt{2}>1$ donc $5\sqrt{2}>5>4>0$
    Donc $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}<\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{2,1}$ et $-\dfrac{1}{4,7}$
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
    On a $-4,7<-2,1$
    Donc $-\dfrac{1}{4,7}>-\dfrac{1}{2,1}$
    $\quad$
  • $-\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    D’autre part on a $4<5<9$ donc $2<\sqrt{5}<3$ c’est-à-dire $-3<-\sqrt{5}<-2$
    Ainsi $-2<1-\sqrt{5}<-1$ et par conséquent $-8<1-\sqrt{5}<0$.
    Donc $-\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

En utilisant les variations de la fonction racine carrée, comparer les nombres suivants :

  • $\sqrt{5}$ et $\sqrt{8}$
    $\quad$
  • $\sqrt{4,2}$ et $\sqrt{2,4}$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{4}{7}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    $\quad$
  • $\sqrt{10^{-4}}$ et $\sqrt{10^{-8}}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  • $\sqrt{5}$ et $\sqrt{8}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<5<8$
    Donc $\sqrt{5}<\sqrt{8}$
    $\quad$
  • $\sqrt{4,2}$ et $\sqrt{2,4}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On a $0<2,4<4,2$
    Donc $\sqrt{2,4}<\sqrt{4,2}$
    $\quad$
  • $\sqrt{\dfrac{4}{7}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    D’une part, la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    D’autre part $\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{2}{21}$
    Ainsi $0<\dfrac{4}{7}<\dfrac{2}{3}$
    Par conséquent $\sqrt{\dfrac{4}{7}}<\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    $\quad$
  • $\sqrt{10^{-4}}$ et $\sqrt{10^{-8}}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Or $0<10^{-8}<10^{-4}$
    Donc $\sqrt{10^{-4}}>\sqrt{10^{-8}}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

En utilisant les variations de la fonction cube, comparer les nombres suivants :

  • $4,2^3$ et $5,1^3$
    $\quad$
  • $(-2,4)^3$ et $(-1,3)^3$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}^3$ et $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    $\quad$
  • $(-10)^3$ et $2^3$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  • $4,2^3$ et $5,1^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $4,2<5,1$
    Donc $4,2^3 < 5,1^3$
    $\quad$
  • $(-2,4)^3$ et $(-1,3)^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $-2,4<-1,3$
    Donc $(-2,4)^3<(-1,3)^3$
    $\quad$
  • $\sqrt{2}^3$ et $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $\sqrt{2}>1$ et $\dfrac{1}{4}=0,25$. Ainsi $\sqrt{2}>\dfrac{1}{4}$
    Donc $\sqrt{2}^3 > \left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
    $\quad$
  • $(-10)^3$ et $2^3$
    Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
    On a $-10<2$
    Donc $(-10)^3<2^3$
    Remarque : On pouvait également dire que $(-10)^3<0$ et que $2^3>0$ puis conclure.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+2)^2 – 4$.

  1. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$.
    $\quad$
  4. Quel est donc le minimum de de la fonction $f$? En quel point est-il atteint?

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$.
    $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4 – \left((b+2)^2-4\right) \\
    & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
    & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
    & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $a<b<-2$ alors $a+b+4 < -2 -2 + 4$ soit $a+b+4<0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) >0$
    Donc $f(a)-f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2<a < b $.
    $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4-\left((b+2)^2-4\right) \\
    & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
    & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
    & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $-2<a<b$ alors $a+b+4 > -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
    Donc $f(a)-f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    2nd - fonction carré - ex8
    $\quad$
  4. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x-5$.

  1. Montrer que $f(x)=-(x-3)^2+4$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x)\pp 4$ pour tout réel $x$. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum.
    $\quad$
  3. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;3]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -(x-3)^2+4&=-\left(x^2-6x+9\right)+4 \\
    &=-x^2+6x-9+4\\
    &=-x^2+6x-5\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $(x-3)^2\pg 0$
    Donc $-(x-3)^2\pp 0$
    Et par conséquent $-(x-3)^2+4\pp 4$
    Cela signifie alors que $f(x) \pp 4$.
    $\quad$
    De plus $f(3)=-0^2+4=4$
    La fonction $f$ admet donc un maximum égal à $4$ atteint pour $x=3$.
    $\quad$
  3. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
    $\begin{align*} f(a)<f(b) &= -(a-3)^2+4-\left(-(b-3)^2+4\right) \\
    &-(a-3)^2+(b-3)^2 \\
    &=(b-3)^2-(a-3)^2 \\
    &=\left[(b-3)+(a-3)\right]\left[(b-3)-(a-3)\right]\\
    &=(b-3+a-3)(b-3-a+3)\\
    &=(b+a-6)(b-a)\end{align*}$
    $\bullet$ Si $a<b<3$
    $a<b$ : donc $b-a>0$
    $a<b<3$ donc $a+b<3+3$ soit $a+b<6$ et donc $b+a-6<0$.
    Par conséquent $(b+a-6)(b-a)<0$.
    Cela signifie donc que $f(a)-f(b)<0$ c’est-à-dire que $f(a)<f(b)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;3]$.
    $\quad$
    $\bullet$ Si $3<a<b$
    $a<b$ : donc $b-a>0$
    $3<a<b$ donc $a+b>3+3$ soit $a+b>6$ et donc $b+a-6>0$.
    Par conséquent $(b+a-6)(b-a)>0$.
    Cela signifie donc que $f(a)-f(b)>0$ c’est-à-dire que $f(a)>f(b)$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $g$ définie sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$ par $g(x)=\sqrt{2x+3}$.
Déterminer le sens de variation de la fonction $g$.
$\quad$

Correction Exercice 7

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-\dfrac{3}{2}\pp a<b$
donc $-3 \pp 2a<2b$ soit $0\pp 2a+3 < 2b+3$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Par conséquent $\sqrt{2a+3}<\sqrt{2b+3}$ c’est-à-dire $g(a)<g(b)$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $h$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{1}{x^3}$.

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
    En utilisant le sens de variation de la fonction cube et de la fonction inverse, comparer les réels $h(a)$ et $h(b)$. En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. En utilisant un raisonnement analogue sur l’intervalle $]-\infty;0[$, déterminer le sens de variation de la fonction $h$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
    La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $0<a^3<b^3$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b<0$.
    La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $a^3<b^3<0$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
    Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=5x^3+2x-4$.
Déterminer, en justifiant, les variations de la fonction $k$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Exercice 9

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
D’une part, la fonction cube étant strictement croissante on a $a^3<b^3$ et par conséquent $5a^3<5b^3$.
D’autre part, le coefficient directeur de la fonction affine $x\mapsto 2x-4$ est $2>0$. Cette fonction est donc strictement croissante. Ainsi $2a-4<2b-4$.

Ainsi $5a^3+2a-4<5b^3+2a-4<5b^3+2b-4$ donc $k(a)<k(b)$
La fonction $k$ est donc strictement croissante sur $\R$.

Remarque : Il est toujours utile de représenter sur sa calculatrice la fonction étudiée pour avoir une idée de ce qu’on doit montrer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Variations des fonctions affines

Variations des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ et préciser ,en justifiant, le sens de variation de la fonction.

  1. $f(x)=3x+5$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Il s’agit dans tous les cas de fonctions affines.

  1. $f(x)=3x+5$ donc le coefficient directeur est $a=3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=5$.
    Puisque $a=3> 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$ donc le coefficient directeur est $a=-2$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-7,5$.
    Puisque $a=-2<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$ donc le coefficient directeur est $a=-\dfrac{5}{7}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=0,9$.
    Puisque $a=-\dfrac{5}{7}<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$ donc le coefficient directeur est $a=-3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=2$.
    Puisque $a=-3<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$ donc le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-3$.
    Puisque $a=\dfrac{1}{2} > 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=4-2x \quad \text{et} \quad g(x)= \dfrac{4}{5}x+1$$

  1. Déterminer le sens de variation de chacune de ces fonctions.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine. $f(x)=4-2x$ donc son coefficient directeur est $a=-2<0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine. $g(x)=\dfrac{4}{5}x+1$ donc son coefficient directeur est $a=\dfrac{4}{5} >0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex2.1
    $\quad$
    $\dfrac{4}{5}x+1 = 0 \ssi \dfrac{4}{5}x=-1 \ssi x = -\dfrac{5}{4}$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+3$.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=-2x+3$ donc le coefficient directeur de cette fonction affine est $a=-2<0$. $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est affine; sa représentation graphique est donc une droite.
    Si $x=-1$ alors $f(-1) = -2\times (-1)+3=5$.
    Si $x=3$ alors $f(3) = -2 \times 3 + 3 = -3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-1;5)$ et $(3;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex3
  3. $-2x+3=0 \ssi -2x = -3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex3.2

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes :

  • $f$ est définie par $f(x)= 4x-5$.
    $\quad$
  • $g$ est définie par $g(x)= 2+\dfrac{1}{2}x$.
    $\quad$
  • $h$ est définie par $h(x)= -\dfrac{1}{5}x+2$.
    $\quad$
  • $i$ est définie par $i(x)= -3$.
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction (toutes les fonctions seront représentées sur un même graphique).
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=4>0$. Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}>0$. Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $\R$.
    $h$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{5}<0$. Par conséquent $h$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $i$ est une fonction constante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $f(1)=4\times 1-5=-1$ et $f(3)=4\times 3-5=7$
    La droite passe donc par les points de coordonnées $A(1;-1)$ et $B(3;7)$.
    $\quad$
    $g$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $g(-4)=2+\dfrac{1}{2} \times (-4) = 0$ et $g(2) = 2 + \dfrac{1}{2} \times 2 = 3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $C(-4;0)$ et $D(2;3)$.
    $\quad$
    $h$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $h(-5)=-\dfrac{1}{5} \times (-5) + 2 =3$ et $h(5)=-\dfrac{1}{5}\times 5 + 2 = 1$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $E(-5;3)$ et $F(5;1)$.
    $\quad$
    La fonction est constante. Elle est représentée par une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex4
  3. $4x-5=0 \ssi 4x=5 \ssi x=\dfrac{5}{4}$
    La fonction $f$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.1
    $\quad$
    $2+\dfrac{1}{2}x=0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-2 \ssi x=-4$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.2
    $\quad$
    $ -\dfrac{1}{5}x+2 = 0 \ssi -\dfrac{1}{5}x=-2 \ssi x = 10$
    La fonction $h$ est strictement décroissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.3
    $\quad$
    Pour tout réel $x$, on a $h(x)=-3<0$.
    On a ainsi le tableau de signes :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.4

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Systèmes d’équations

Systèmes d’équations

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons linéaires.

$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases}2x+3y=8\\5x-7y=-9\end{cases} &\phantom{123}&\begin{cases} 3x-4y=-16\\5x+9y=-11\end{cases} &\phantom{123}&\begin{cases} 4x-6y=3\\5x+7y=1\end{cases}\\\\
\begin{cases}-7x+2y=-4\\6x+3y=5 \end{cases}&&\begin{cases} x+3y=4\\8x-4y=5 \end{cases}&&\begin{cases}2x+5y=-3\\4x-3y=2\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} \begin{cases}2x+3y=8&L_1\\5x-7y=-9&L_2\end{cases} &\ssi  \begin{cases}2x+3y=8& L_1\\-29y=-58 &2L_2-5L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}2x+3y=8\\y=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\2x+6=8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\2x=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $(1;2)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 3x-4y=-16&L_1\\5x+9y=-11&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 3x-4y=-16&L_1\\47y=47&3L_2-5L1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3x-4y=-16\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ 3x-4=-16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ 3x=-12\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=1\\ x=-4\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(-4;1)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 4x-6y=3&L_1\\5x+7y=1&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x-6y=3&L_1\\58y=-11&4L2-5L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 4x-6y=3\\y=-\dfrac{11}{58}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&4x+\dfrac{66}{58}=3\end{cases}\\
&\ssi  \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&4x=\dfrac{54}{29}\end{cases}\\
&\ssi  \begin{cases} y=-\dfrac{11}{58}&x=\dfrac{27}{58}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{27}{58};-\dfrac{11}{58}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}-7x+2y=-4&L_1\\6x+3y=5&L_2 \end{cases} &\ssi  \begin{cases}-7x+2y=-4&L_1\\-33y=-11&-7L_2-6L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}-7x+2y=-4\\y=\dfrac{1}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}\\-7x+\dfrac{2}{3}=-4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3} \\-7x =-\dfrac{14}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3} \\x =\dfrac{2}{3} \end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} x+3y=4&L_1\\8x-4y=5&L_2 \end{cases}&\ssi \begin{cases} x+3y=4&L_1\\-28y=-27&L_2-8L_1 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x+3y=4\\y=\dfrac{27}{28} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{27}{28}\\x+\dfrac{81}{28}=4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{27}{28}\\x=\dfrac{31}{28} \end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{31}{28};\dfrac{27}{28}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}2x+5y=-3&L_1\\4x-3y=2&L_2\end{cases}&\ssi \begin{cases}2x+5y=-3&L_1\\-13y=8&L_2-2L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}2x+5y=-3\\y=-\dfrac{8}{13}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\2x-\dfrac{40}{13}=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\2x=\dfrac{1}{13}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-\dfrac{8}{13}\\x=\dfrac{1}{26}\end{cases}
\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{1}{26};-\dfrac{8}{13}\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode par substitution.

$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases} x+3y=8\\2x-5y=-17\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases} 2x+y=4\\5x+3y=9\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases} 4x-3y=-13\\4x-y=1\end{cases} \\\\
\begin{cases} 8x+3y=-4\\x+5y=1\end{cases}&&\begin{cases} 7x-y=-2\\3x+4y=5\end{cases}&&\begin{cases} -x+6y=7\\3x-5y=4\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} \begin{cases} x+3y=8\\2x-5y=-17\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=8-3y\\2(8-3y)-5y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\16-6y-5y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\16-11y=-17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\-11y=-33\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=8-3y\\y=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3\\x=8-9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3\\x=-1\end{cases} \end{align*}$
La solution du système est $(-1;3)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+y=4\\5x+3y=9\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=4-2x\\5x+3(4-2x)=9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\5x+12-6x=9\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\-x=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=4-2x\\x=3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=4-6\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=-2\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(3;-2)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 4x-3y=-13\\4x-y=1\end{cases}  &\ssi \begin{cases} 4x-3y=-13\\y=4x-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\4x-3(4x-1)=-13\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\4x-12x+3=-13\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\-8x=-16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=4x-1\\x=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=8-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=7\end{cases} \end{align*}$
La solution du système est $(2;7)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 8x+3y=-4\\x+5y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 8x+3y=-4\\x=1-5y\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\8(1-5y)+3y=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\8-40y+3y=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\-37y=-12\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-5y\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1-\dfrac{60}{37}\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{23}{37}\\y=\dfrac{12}{37}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{23}{37};-\dfrac{12}{37}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 7x-y=-2\\3x+4y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=7x+2\\3x+4(7x+2)=5\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\3x+28x+8=5\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\31x=-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=7x+2\\x=-\dfrac{3}{31}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{31}\\y=-\dfrac{21}{31}+2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{3}{31}\\y=\dfrac{41}{31}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{3}{31};\dfrac{41}{31}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} -x+6y=7\\3x-5y=4\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=6y-7\\3(6y-7)-5y=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\18y-21-5y=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\13y=25\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6y-7\\y=\dfrac{25}{13}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{25}{13}\\x=\dfrac{150}{13}-7\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{25}{13}\\x=\dfrac{59}{13}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{59}{13};\dfrac{25}{13}\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix.
$$\begin{array}{lclcl}
\begin{cases} 5x-3y=4\\3x+y=5\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases}
6x-2y=4\\3x-y=5\end{cases}&\phantom{123}&\begin{cases}4x+7y=11\\8x+2y=0\end{cases}\\\\
\begin{cases} -3x-7y=2\\3x+2y=5\end{cases} &&\begin{cases} 9x-5y=-2\\6x-5y=4\end{cases}&&\begin{cases} 2x+4y=-1\\-6x-12y=3\end{cases}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} \begin{cases} 5x-3y=4\\3x+y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 5x-3y=4\\y=5-3x\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\5x-3(5-3x)=4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\5x-15+9x=4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5-3x\\14x=19\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{19}{14}\\y=5-\dfrac{57}{14}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{19}{14}\\y=\dfrac{13}{14}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{19}{14};\dfrac{13}{14}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}6x-2y=4\\3x-y=5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 6x-2y=4\\y=3x-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\6x-2(3x-5)=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\6x-6x+10=4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=3x-5\\10=4\end{cases} \end{align*}$
Le système n’admet pas de solution.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases}4x+7y=11\\8x+2y=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}4x+7y=11\\2y=-8x\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}4x+7y=11\\y=-4x\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-4x \\4x-28x=11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-4x \\-24x=11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}x=-\dfrac{11}{24}\\y=\dfrac{11}{6}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-\dfrac{11}{24};\dfrac{11}{6}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} -3x-7y=2&L_1\\3x+2y=5&L_2\end{cases} &\ssi \begin{cases} -3x-7y=2&L_1\\-5y=7&L_2+L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} -3x-7y=2\\y=-\dfrac{7}{5}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\-3x+\dfrac{49}{5}=2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\-3x=-\dfrac{39}{5}\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-\dfrac{7}{5}\\x=\dfrac{13}{5}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{13}{5};-\dfrac{7}{5}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} 9x-5y&L_1=-2\\6x-5y=4&L_2\end{cases}&\ssi \begin{cases} 9x-5y=-2&L_1\\-3x=6&3L_2-L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 9x-5y=-2\\x=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\-18-5y=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\-5y=16\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-2\\y=-\dfrac{16}{5}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(-2;-\dfrac{16}{5}\right)$.
$\quad$

$\begin{cases} 2x+4y=-1&L_1\\-6x-12y=3&L_2\end{cases}\ssi \begin{cases} 2x+4y=-1&L_1\\0=0&L_2+3L_1\end{cases}$
Le système admet une infinité de solution : tous les couples de réels $(x;y)$ vérifiant $2x+4y=-1$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4     cas des équations réduites

$$\begin{array}{lclclcl}
\begin{cases}y=2x+1\\y=-3x+6\end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases} y=5x+6\\x=-2\end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases} y=-4x+1\\y=2x-3 \end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases}\\\\
\begin{cases} y =3x-4 \\y=3x+5\end{cases}&&\begin{cases} y=5x+1\\y=-2x+3\end{cases} && \begin{cases} y=6x-1\\y=4x-1\end{cases} && \begin{cases} y=2x+4 \\2y=4x+8\end{cases}\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \begin{cases} y=2x+1\\y=-3x+6 \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=2x+1 \\2x+1=-3x+6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=2x+1 \\x=1\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=3\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(1;3)$.
$\quad$

$\begin{cases} y=5x+6\\x=-2 \end{cases} \ssi \begin{cases} x=-2\\y=-4\end{cases}$
La solution du système est $(-2;-4)$.
$\quad$

$\begin{align*} \begin{cases} y=-4x+1\\y=2x-3\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-4x+1\\-4x+1=2x-3\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-4x+1\\4=6x\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\\\y=-\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases} & \ssi \begin{cases} y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ \dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{3} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ \dfrac{26}{21} = \dfrac{4}{15}x \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{7} \\\\ x=\dfrac{65}{14} \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{65}{14} \\\\ y=\dfrac{89}{42}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{65}{14};\dfrac{89}{42}\right)$.
$\quad$

$\begin{cases} y=3x-4\\y=3x+5 \end{cases} \ssi \begin{cases} y=3x-4\\3x-4=3x+5\end{cases} \ssi \begin{cases} y=3x-4 \\ 0=9 \end{cases}$
Ce système ne possède pas de solution.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=5x+1\\y=-2x+3\end{cases}& \ssi \begin{cases} y=5x+1\\5x+1=-2x+3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=5x+1\\ 7x=2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=5x+1\\x=\dfrac{2}{7} \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{7} \\\\y=\dfrac{17}{7}\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{17}{7}\right)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases} y=6x-1\\y=4x-1\end{cases} &\ssi \begin{cases}y=6x-1\\6x-1=4x-1\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=6x-1\\2x=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=6x-1\\x=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=0\\y=-1\end{cases}\end{align*}$
La solution du système est $(0;-1)$.
$\quad$

$\begin{align*}\begin{cases}y=2x+4\\2y=4x+8\end{cases}& \ssi \begin{cases} y=2x+4\\2(2x+4)=4x+8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} y=2x+4\\4x+8=4x+8 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=2x+4\\ 0=0\end{cases}\end{align*}$
Il y a donc une infinité de solution à ce système : tous les couples de réels $(x;y)$ vérifiant $y=2x+4$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5     difficulté +

Résoudre les systèmes suivants.

$$\begin{array}{lclcl} \begin{cases} 2x^2-3y^2=-67\\4x^2-y^2=11\end{cases}&\phantom{123}& \begin{cases}
\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=5\\-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} &\phantom{123}& \begin{cases}-5\sqrt{x}+7\sqrt{y}=-9\\2\sqrt{x}+8\sqrt{y}=36 \end{cases}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour résoudre le système $\begin{cases} 2x^2-3y^2=-67\\4x^2-y^2=11\end{cases}$ on va poser $X=x^2$ et $Y=y^2$.
On obtient alors le sytème suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} 2X-3Y=-67\\4X-Y=11\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2X-3Y=-67\\Y=4X-11\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\2X-3(4X-11)=-67\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\2X-12X+33=-67\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\-10X=-100\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=4X-11\\X=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} X=10\\Y=40-11\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} X=10\\Y=29\end{cases}\end{align*}$
On a donc $X=10$ et $Y=29$ en ayant noté $X=x^2$ et $Y=y^2$.
Ainsi $x^2=10$ et $y^2=29$.
Les solutions du système initial sont donc les couples $\left(\sqrt{10};\sqrt{29}\right)$, $\left(-\sqrt{10};\sqrt{29}\right)$, $\left(\sqrt{10};-\sqrt{29}\right)$ et $\left(-\sqrt{10};-\sqrt{29}\right)$
$\quad$

Pour résoudre le système $\begin{cases} \dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=5\\-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases} $ on va noter $X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=\dfrac{1}{y}$.
On obtient alors le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} 3X+2Y=5&L_1\\-2X+Y=2&L_2 \end{cases} &\ssi\begin{cases} 3X+2Y=5&L_1\\7Y=16&3L2+2L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3X+2Y=5\\Y=\dfrac{16}{7} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\3X+\dfrac{32}{7}=5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\3X=\dfrac{3}{7} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} Y=\dfrac{16}{7}=2\\X=\dfrac{1}{7} \end{cases} \end{align*}$
On a donc $X=\dfrac{1}{7}$ et $Y=\dfrac{16}{7}$ en ayant noté $X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=\dfrac{1}{y}$.
Ainsi $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}$ et $\dfrac{1}{y}=\dfrac{16}{7}$
Par conséquent $x=7$ et $y=\dfrac{7}{16}$.
La solution du système est donc $\left(7;\dfrac{7}{16}\right)$.
$\quad$

Pour résoudre le système $\begin{cases}-5\sqrt{x}+7\sqrt{y}=-9\\2\sqrt{x}+8\sqrt{y}=36 \end{cases}$ on va noter $X=\sqrt{x}$ et $Y=\sqrt{y}$.
On obtient alors le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}-5X+7Y=-9&L_1\\2X+8Y=36&L_2 \end{cases} &\ssi \begin{cases}-5X+7Y=-9&L_1\\54Y=162&5L_2+2L_1 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}-5X+7Y=-9\\Y=3 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\-5X+21=-9 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\-5X=-30 \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}Y=3\\X=6 \end{cases}\end{align*}$
On a donc $X=6$ et $Y=3$ en ayant noté $X=\sqrt{x}$ et $Y=\sqrt{y}$.
Ainsi $\sqrt{x}=6$ et $\sqrt{y}=3$.
Par conséquent $x=36$ et $y=9$.
La solution du système est donc $(36;9)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Equations cartésiennes

Équations cartésiennes de droites

2nd – Exercices corrigés

Dans tous les exercices le plan est muni d’un repère $\left(O;I,J\right)$.

Exercice 1

Dans chacun des cas, dire si le point $A$ appartient à la droite $d$.

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\begin{align*} 2\times (-1)+4\times 2-5&=-2+8-5 \\
    &=8-7\\
    &=1\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $d$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\begin{align*} 3\times (-2)-2\times (-1)+4&=-6+2+4 \\
    &=-6+6\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\begin{align*} -4+3\times 1+1&=-4+3+1 \\
    &=-4+4\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\begin{align*} 6\times 2-12-2&=12-12-2\\
    &=-2\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient pas à la droite $d$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Représenter, en justifiant, chacune des droites suivantes :

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    Si $y=0$ alors $2x+0-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=0,5$ : le point $A(0,5;0)$ appartient à la droite $d_1$
    Si $x=2$ alors $4+3y-1=0 \ssi 3y=-3 \ssi y=-1$ : le point $B(2;-1)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    Si $x=0$ alors $0+y-2=0 \ssi y=2$ : le point $C(0;2)$ appartient à la droite $d_2$.
    Si $y=-4$ alors $-3x-4-2=0\ssi -3x=6 \ssi x=-2$ : le point $D(-2;-4)$ appartient à la droite $d_2$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    Si $x=0$ alors $0+5y=0 \ssi y=0$ : le point $E(0;0)$ appartient à la droite $d_3$.
    Si $y=2$ alors $2x+10=0 \ssi 2x=-10 \ssi x=-5$ : le point $F(-5;2)$ appartient à la droite $d_3$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    Si $x=0$ alors $0-y-4=0 \ssi y=-4$ : le point $G(0;-4)$ appartient à la droite $d_4$
    Si $x=5$ alors $3-y-4=0 \ssi y=-1$ : le point $H(5;-1)$ appartient à la droite $d_4$.
    $\quad$


$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer un vecteur directeur à coordonnées entières pour chacune de ces droites.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

On utilise la propriété qui dit qu’un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(5;3)$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-9;-7)$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-3;4)$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(2;\dfrac{3}{4}\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=4\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(8;3)$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(-\dfrac{2}{3};2\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=3\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(-2;6)$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

Il existe au moins deux méthodes différentes pour répondre à ce type de questions. On va utiliser, de manière alternée, chacune d’entre elles ici.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $5x-4y+c=0$
    Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite donc :
    $5\times (-2)-4\times 3+c=0 \ssi -10-12+c=0 \ssi c=22$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $5x-4y+22=0$.
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-1;y+4)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x-1)-(-2)(y+4)=0$
    $\ssi 3x-3+2y+8=0$
    $\ssi 3x+2y+5=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+2y+5=0$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4x-7y+c=0$
    Le point $A(-3;-1)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times (-3)-7\times (-1)+c=0 \ssi 12+7+c=0 \ssi c=-19$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4x-7y-19=0$.
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-2;y)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi -8(x-2)-(-3)(y)=0$
    $\ssi -8x+16+3y=0$
    $\ssi -8x+3y+16=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-8x+3y+16=0$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4y+c=0$
    Le point $A(3;2)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times 2+c=0 \ssi -8+c=0 \ssi c=8$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4y+8=0$.
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+4;y-1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x+4)-0(y-1)=0$
    $\ssi 3x+12=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+12=0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    $\quad$
Correction Exercice 5

On va utiliser les deux mêmes méthodes que dans l’exercice précédent.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    On a $\vect{AB}(-5;-3)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$.
    Le point $A(4;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $-3\times 4+5\times 5+c=0 \ssi -12+25+c=0 \ssi c=-13$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $-3x+5y-13=0$.
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    On a $\vect{AB}(9;-2)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+2;y-3)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi -2(x+2)-9(y-3)=0$
    $\ssi -2x+4-9y+27=0$
    $\ssi -2x-9y+23=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-2x-9y+23=0$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    On a $\vect{AB}(3;6)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $A(0;-2)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $6\times 0-3\times (-2)+c=0 \ssi 6+c=0 \ssi c=-6$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $6x-3y-6=0$.
    $\quad$
    Remarque : En divisant les deux membres de l’équation par $3$ on obtient l’équation $2x-y-2=0$.
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    On a $\vect{AB}(9;1)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+6;y+1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi (x+6)-9(y+1)=0$
    $\ssi x+6-9y-9=0$
    $\ssi x-9y-3=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $x-9y-3=0$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$