2nd – Exercices – Vecteurs – Colinéarité

Vecteurs et colinéarité

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=2\times 4-3\times (-1)=8+3=11$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=4\times 12-(-6)\times (-8)=48-48=0$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-1\times (-8)-(-5)\times (-3)=8-15=-7$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-2\times (-6,3)-3\times 4,2=12,6-12,6=0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{w} \right)=-2\times 5-3\times 7,4=-10-22,4=-32,4 \neq 0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Représenter les points $A(-1;3)$, $B(1;2)$, $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$ dans un repère $\Oij$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient le graphique suivant :2nd - exos - vecteurs - coord3cor$\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$
    Et $\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$.
    $\quad$
  3. Le déterminant des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ est :
    det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=2\times (-3)-(-1)\times 6=-6+6=0$
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On donne les points $M(-2;-1)$, $B(1;0)$ et $F(6;1)$.
Les points $M,B$ et $F$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{MB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{MB}(3;1)$
Et $\vect{MF}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{MF}(8;2)$

Le déterminant de ces deux vecteurs est :
det$\left(\vect{MB};\vect{MF}\right)=3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $M$, $B$ et $F$ ne sont pas alignés.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On se place dans un repère $\Oij$ du plan.
Soient les points $A(1;0)$, $B(0;-2)$, $C(-3;-8)$, $D(4;1)$ et $E\left(2;-\dfrac{4}{3}\right)$.

  1. $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  2. Même question pour $C$, $D$ et $E$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}(0-1;-2-0)$ soit $\vect{AB}(-1;-2)$
    et $\vect{CD}(-3-1;-8-0)$ soit $\vect{CD}(-4;-8)$
    On constate donc que $\vect{CD}=4\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
    Remarque : On pouvait utiliser le déterminant pour prouver la colinéarité.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\left(4-(-3);1-(-8)\right)$ soit $\vect{CD}(7;9)$
    et $\vect{CE}\left(2-(-3);-\dfrac{4}{3}-(-8)\right)$ soit $\vect{CE}\left(5;-\dfrac{20}{3}\right)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{CD};\vect{CE}\right)=7\times \left(-\dfrac{20}{3}\right)-9\times 5=-\dfrac{140}{3}-45=-\dfrac{275}{3}\neq 0$
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points $C$, $D$ et $E$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  3. $\vect{AD}(4-1;1-0)$ donc $\vect{AD}(3;1)$ et $\vect{BE}\left(2-0;-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)$ soit $\vect{BE}\left(2;\dfrac{2}{3}\right)$.
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{AD};\vect{BE}\right)=3\times \dfrac{2}{3}-1\times 2=2-2=0$
    Les deux vecteurs sont colinéaires donc les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Soit $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ d’un repère $\Oij$.

  1. On appelle $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
    Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
    $\quad$
  2. On considère les points $P$ et $Q$ définis par : $\vect{AP}=-3\vect{AB}$ et $\vect{AQ}=-3\vect{AC}$.
    a. Calculer les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Par conséquent $B$ est le milieu de $[AM]$.
    Ainsi : $\begin{cases} -1 = \dfrac{-2+x_M}{2}\\\\4=\dfrac{1+y_M}{2}\end{cases}$ $\ssi\begin{cases} -2=-2+x_M\\\\8=1+y_M\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_M=0\\\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(0;7)$.
    $\quad$
    $N$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$. Par conséquent $C$ est le milieu de $[AN]$.
    Ainsi : $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+x_N}{2}\\\\3=\dfrac{1+y_N}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}4=-2+x_N\\\\6=1+y_N\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_N=6\\\\y_N=5\end{cases}$.
    Donc $N(6;5)$.
    $\quad$
  2. a. $\overrightarrow{AP}\left(x_P+2;y_P-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}(1;3)$.
    On veut que $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$.
    Donc $\begin{cases} x_P+2=-3\\\\y_P-1=-9 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_P=-5\\\\y_P=-8\end{cases}$.
    $\quad$
    $\overrightarrow{AQ}\left(x_Q+2;y_Q-1\right)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2)$.
    On veut que $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
    Donc $\begin{cases} x_Q+2=-12\\\\y_Q-1=-6 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_Q=-14\\\\y_Q=-5\end{cases}$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(-5;-8)$ et $Q(-14;-5)$.
    $\quad$
    b. D’une part $\overrightarrow{MN}(6;-2)$
    D’autre part $\overrightarrow{PQ}(-9;3)$
    Ainsi $6 \times 3-(-2)\times (-9) = 18-18 = 0$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés d’un repère $\Oij$.

  1. Construire les points $E$ et $D$ tels que $\vect{CE}=-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}$ et $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$.
    $\quad$
  2. On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
    $\quad$
    b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. La figure dépend évidemment de l’emplacement des points $A$, $B$ et $C$.
    2nd - exos - vect - coord -ex8
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ on a :
    $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
    Ainsi $\vect{AB}(1;0)$, $\vect{AC}(0;1)$ $\vect{CB}(1;-1)$
    D’après la relation de Chasles on a :
    $\begin{align*}\vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\
    &=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\vect{AE}\left(-0+\dfrac{1}{2}\times 1;-1+\dfrac{1}{2}\times 0\right)$ soit $\vect{AE}(0,5;-1)$.
    Ainsi $E(0,5;-1)$.
    $\quad$
    $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$
    Par conséquent $\vect{AD}\left(\dfrac{5}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1;\dfrac{5}{2}\times 1+\dfrac{1}{2} \times (-1)\right)$ soit $\vect{AD}(0,5;2)$.
    Ainsi $D(0,5;2)$.
    $\quad$.
    b. D’une part $\vect{DE}(0;-3)$
    D’autre part $\vect{CA}(0;-1)$.
    On constate donc que $\vect{DE}=3\vect{CA}$.
    Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Autour des fonctions affines

Autour des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Calculatrice interdite

Exercice 1

Tracer, en justifiant, la représentation graphique de chacune des fonctions suivantes dans un repère différent.

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=1$ alors $f(1)=2\times 1-6=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;-4)$.
    – Si $x=4$ alors $f(4)=2\times 4-6=8-6=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(4;2)$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $g(-3)=-(-3)+1=3+1=4$
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;4)$.
    – Si $x=5$ alors $g(5)=-5+1=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;-4)$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $h$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $h(-4)=-4+3=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;-1)$.
    – Si $x=2$ alors $h(2)=2+3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.$\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $i$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $i(-4)=-2\times (-4)-3=8-3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;5)$.
    – Si $x=2$ alors $i(2)=-2\times 2-3=-4-3=-7$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;-7)$.$\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $j$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $j(-3)=\dfrac{1}{3}\times (-3)-2=-1-2=-3$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;-3)$.
    – Si $x=3$ alors $j(3)=\dfrac{1}{3}\times 3-2=1-2=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(3;-1)$.$\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $k$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times (-5)+4=2+4=6$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-5;6)$.
    – Si $x=5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times 5+4=-2+4=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;2)$.$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, dans chacun des cas, l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que :

  1. $f(2)=3$ et $f(4)=-7$
    $\quad$
  2. $f(-1)=2$ et $f(3)=5$
    $\quad$
  3. $f(3)=0$ et $f(-1)=2$
    $\quad$
  4. $f(-2)=4$ et $f(-5)=-3$
    $\quad$
  5. $f(-40)=7$ et $f(30)=8$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(2)-f(4)}{2-4}=\dfrac{3-(-7)}{-2}=\dfrac {3+7}{-2}=-\dfrac{10}{2}=-5$.
    Ainsi $f(x)=-5x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(2)=3 &\ssi -5\times 2+b=3 \\ \ssi -10+b=3 \\ \ssi b=13\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-5x+13$.
    Vérification : $f(4)=-5\times 4+13=-20+13=-7 \checkmark$
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-1)-f(3)}{-1-3}=\dfrac{2-5}{-4}=\dfrac {-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{3}{4}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-1)=2 &\ssi \dfrac{3}{4}\times (-1)+b=2 \\ \ssi -\dfrac{3}{4}+b=2 \\ \ssi b=2+\dfrac{3}{4}\\ \ssi b=\dfrac{11}{4}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{4}$
    Vérification : $f(3)=\dfrac{3}{4}\times 3+\dfrac{11}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}=\dfrac{20}{4}=5 \checkmark$
    $\quad$
  3. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{0-2}{3+1}=\dfrac {-2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(3)=0 &\ssi -\dfrac{1}{2}\times 3+b=0 \\ \ssi -\dfrac{3}{2}+b=0 \\ \ssi b=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
    Vérification : $f(-1)=-\dfrac{1}{2}\times (-1)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \checkmark$
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-2)-f(-5)}{-2-(-5)}=\dfrac{4-(-3)}{-2+5}=\dfrac {4+3}{3}=\dfrac{7}{3}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{7}{3}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-2)=4 &\ssi \dfrac{7}{3}\times (-2)+b=4 \\ \ssi -\dfrac{14}{3}+b=4 \\ \ssi b=4+\dfrac{14}{3}\\ \ssi b=\dfrac{26}{3}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{26}{3}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{7}{3}\times (-5)+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{35}{3}+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{9}{3}=-3 \checkmark$
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-40)-f(30)}{-40-30}=\dfrac{7-8}{-70}=\dfrac {-1}{-70}=\dfrac{1}{70}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{1}{70}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-40)=7 &\ssi \dfrac{1}{70}\times (-40)+b=7 \\ \ssi -\dfrac{4}{7}+b=7 \\ \ssi b=7+\dfrac{4}{7}\\ \ssi b=\dfrac{53}{7}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{1}{70}x+\dfrac{53}{7}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{1}{70}\times 30+\dfrac{53}{7}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{53}{7}=-\dfrac{56}{7}=8 \checkmark$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Dire dans chacun des cas si le point $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $f(1)=3\times 1-5=3-5=-2$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $f(-2)=-2\times (-2)+1=4+1=5 \neq -3$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $f(-1)=2\times (-1)+4=-2+4=2\neq -2$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $f(4)=\dfrac{2}{3}\times 4+\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{15}{3}=5$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les vecteurs

Généralités sur les vecteurs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré. Les points $I,J,K,L$ sont les milieux des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$. $O$ est le centre du carré.

Compléter le tableau.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} & & & & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} &\text{oui} &\text{oui} & \text{non}& \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} &\text{oui} & \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} &\text{non} &\text{non} &\text{oui} & \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} &\text{oui} &\text{non} & \text{non} & \text{non} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la grille ci-dessous placer les points $H,B,K,L$ tels que :

$$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{RH} \qquad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{PR} \qquad \overrightarrow{KP} = \overrightarrow{CR} \qquad \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LH}$$
2nd - exo - vecteurs 1 - ex2

Correction Exercice 2

2nd - exo - vecteurs 1 - ex2-1

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$\quad$

Exercice 3

$ABCD$, $CDGH$ et $BCFE$ sont des parallélogrammes.
Déterminer tous les vecteurs égaux aux vecteurs :
$$\begin{array}{llll}\textbf{1. }\vect{AB}&\hspace{1.5cm}\textbf{2. } \vect{GC}&\hspace{1.5cm}\textbf{3. }\vect{DJ}&\hspace{1.5cm}\textbf{4. }\vect{BF}\end{array}$$

Correction Exercice 3

On a :

$\vect{AB}=\vect{BE}=\vect{DC}=\vect{CF}=\vect{HG}$

$\vect{GC}=\vect{HD}=\vect{DA}=\vect{CB}=\vect{FE}$

$\vect{DJ}=\vect{JB}=\vect{CI}=\vect{IE}=\vect{HK}=\vect{KC}$

$\vect{BF}=\vect{AC}=\vect{DG}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère le rectangle $ABCD$ et les milieux $E$ et $F$ des côtés $[AB]$ et $[CD]$.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex4

Compléter les pointillés :
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B\ldots} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{F\ldots}$$

Correction Exercice 4

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{ED} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{EA} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FA}$$

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$\quad$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle.

Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$.

Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{BE}$? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 4

2nd - exo - vecteurs 1 - ex3

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ donc $ADBC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$ donc $ABEC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$

Ainsi $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$

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$\quad$

2nd – Exercices – Identités remarquables – Divers

Identités remarquables – Divers

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

On considère l’expression $A = (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x)^2+2\times 4\times 3x+4^2-\left(-6x^2+3x-8x+4\right) \\
    &=9x^2+24x+16-\left(-6x^2-5x+4\right)\\
    &=9x^2+24x+16+6x^2+5x-4\\
    &=15x^2+29x+12\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)(3x+4)-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)\left[(3x+4)-(-2x+1)\right] \\
    &=(3x+4)(3x+4+2x-1)\\
    &=(3x+4)(5x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $A=0\ssi (3x+4)(5x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}3x+4=0&\text{  ou  }&5x+3=0 \\
    \ssi 3x=-4&&\ssi 5x=-3\\
    \ssi x=-\dfrac{4}{3}&&\ssi x=-\dfrac{3}{5}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ alors :
    $\begin{align*} A&=15\times (-1)^2+29\times (-1)+12\\
    &=15-29+12\\
    &=-2\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère l’expression $B=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.

  1. Développer et réduire $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $B$ pour $x=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Factoriser $B$.
    $\quad$
  4. Résoudre $B=0$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3\\
    &=3x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=\dfrac{1}{2}$
    On a alors :
    $\begin{align*} A&=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}-2 \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{6}{4}\\
    &=-\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=(x+1)(x+1)+(x+1)(2x-3)\\
    &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
    &=(x+1)(x+1+2x-3)\\
    &=(x+1)(3x-2)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $B=0\ssi (x+1)(3x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+1=0&\text{  ou  }&3x-2=0 \\
    \ssi x=-1&&\ssi 3x=2\\
    &&\ssi x=\dfrac{2}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère l’expression $C=(2x-1)^2-16$.

  1. Calculer $C$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $C$.
    $\quad$
  3. Factoriser $C$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(2x-5)(2x+3)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
    $\begin{align*} C&=\left(2\times \dfrac{1}{2}-1\right)^2-16 \\
    &=(1-1)^2-16\\
    &=-16\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x)^2-2\times 1\times 2x+1^2-16\\
    &=4x^2-4x+1-16\\
    &=4x^2-4x-15\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x-1)^2-4^2\\
    &=\left[(2x-1)-4\right]\left[(2x-1)+4\right] \\
    &=(2x-5)(2x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(2x-5)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}2x-5=0&\text{  ou  }&2x+3=0 \\
    \ssi 2x=5&&\ssi 2x=-3\\
    x=\dfrac{5}{2}&&\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4    Difficulté +

On considère l’expression $D = (2x-7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $D$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $D$.
    $\quad$
  3. Résoudre $D=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D$ pour $x=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x)^2-7^2\\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x-7)(2x+7)\\
    &=(2x-7)\left[(2x-7)+(2x+7)\right] \\
    &=(2x-7)4x\\
    &=4(2x-7)x\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x)^2-2\times 7\times 2x+7^2+4x^2-49\\
    &=4x^2-28x+49+4x^2-49\\
    &=8x^2-28x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $D=0\ssi 4(2x-7)x=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&2x-7=0 \\
    &&\ssi 2x=7\\
    &&\ssi x=\dfrac{7}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  4. Si $x=3$ alors $D=4(2\times 3-7)\times 3=12\times (-1)=-12$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On pose $E = (3x+ 5)^2-(3x-5)^2$.

  1. Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  2. Calculer $E$ pour $x= 30$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $E = 30$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*} E&= (3x+ 5)^2-(3x-5)^2 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2-\left((3x)^2-2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
    &=9x^2+30x+25-\left(9x^2-30x+25\right) \\
    &=60x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=30$ alors $E=60\times 30=1~800$
    $\quad$
  3. $E=30 \ssi 60x=30\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On pose $F = 9x^2+30x+25$.

  1. Calculer $F$ pour $x=0$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $F = 25$.
    $\quad$
  3. Factoriser $F$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $F = 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Si $x=0$ alors $F=9\times 0^2+30\times 0+25=25$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} F=25&\ssi 9x^2+30x+25=25\\
    &\ssi 9x^2+30x=0 \\
    &\ssi 3x(3x+10)=0\\
    &\ssi x(3x+10)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&3x+10=0 \\
    &&\ssi 3x=-10\\
    &&\ssi x=-\dfrac{10}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $-\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} F &= 9x^2+30x+25 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2 \\
    &=(3x+5)^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} F=0&\ssi (3x+5)^2=0 \\
    &\ssi 3x+5=0\\
    &\ssi 3x=-5\\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans chacun des cas résoudre l’équation $A= 0$.

  1. $A = (2x-3)^2-(x+2)^2$
    $\quad$
  2. $A = (x-1)^2-9$
    $\quad$
  3. $A = 4x^2-9$
    $\quad$
  4. $A = (x+1)^2-(4x+1)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Il faut tout d’abord factoriser cette expression.
    $\begin{align*} A &= (2x-3)^2-(x+2)^2 \\
    &= \left[(2x-3)-(x +2)\right]\left[(2x-3)+(x+2)\right]\\
    &=(x-5)(3x-1)\end{align*}$
    On est alors ramené à résoudre l’équation produit $(x-5)(3x-1) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-5 = 0$ et $x = 5$
    Soit $3x-1 = 0$ et $x = \dfrac{1}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $5$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. On factorise également cette expression.
    $\begin{align*}A &= (x-1)^2-9 \\
    &= (x-1)^2-3^2 \\
    &= (x-1-3)(x-1+3)\\
    &=(x-4)(x+2)\end{align*}$
    On doit donc résoudre l’équation produit $(x-4)(x+2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-4 = 0 $ et $x = 4$
    Soit $x+2 = 0$ et $x = -2$
    Les solutions de l’équation sont donc $4$ et $-2$.
    $\quad$
  3. On doit encore factoriser cette expression.
    $A = 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = (2x-3)(2x+3)$
    On résout donc l’équation produit $(2x-3)(2x+3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $2x-3 = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$
    Soit $2x+3 = 0$ et $x = -\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. Factorisons cette expression.
    $\begin{align} A &= (x+1)^2 -(4x+1)^2 \\
    &= \left[(x+1)-(4x+1)\right] \left[(x+1)+(4x+1)\right] \\
    &= -3x(5x + 2)
    \end{align}$
    On résout maintenant l’équation produit $-3x(5x + 2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $-3x =0$ et $x = 0$
    Soit $5x + 2 = 0$ et $x = -\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équations sont donc $-\dfrac{2}{5}$ et $0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Un rectangle a un périmètre égal à $20$ cm. Déterminer ses dimensions pour que son aire soit égale à $25$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On appelle $x$ la longueur du rectangle.
Le périmètre du rectangle est égal à $20$ cm. Par conséquent la largeur $\ell$ de ce rectangle vérifie $x+\ell=10 \ssi \ell=10-x$.

On est donc ramené à résoudre l’équation suivante :
$\begin{align*} x(10-x)=25 &\ssi 10x-x^2=25 \\
&\ssi x^2-10x+25=0\\
&\ssi x^2-2\times 5\times x+5^2=0\\
&\ssi (x-5)^2=0 \\
&\ssi x-5=0\\
&\ssi x=5\end{align*}$

Le rectangle est finalement un carré dont les côtés mesures $5$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=7$ cm et $BC=5$ cm et un point $M$ appartenant au segment $[AB]$. On note $AM=x$ avec $(0<x<5)$.
On a placé sur la figure les points $N,P$ et $Q$ tels que $AM=BN=CP=DQ$.

Déterminer, en justifiant votre démarche, la valeur de $x$ telle que l’aire $\mathscr{A}$ du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 9

On a $DQ=CP=BN=AM=x$ donc $CN=AQ=5-x$ et $MB=DP=7-x$
Les triangles $AMQ$ et $CPN$ on la même aire $\mathscr{A}_1=\dfrac{AM\times AQ}{2}=\dfrac{x(5-x)}{2}$ .
Les triangles $DQP$ et $BMN$ on la même aire $\mathscr{A}_2=\dfrac{BM\times BN}{2}=\dfrac{x(7-x)}{2}$ .
Par conséquent l’aire du quadrilatère $MNPQ$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=5\times 7-\left(2\times \dfrac{x(5-x)}{2}+2\times \dfrac{x(7-x)}{2}\right) \\
&=35-\left(5x-x^2+7x-x^2\right) \\
&=35-12x+2x^2
\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*}
2x^2-12x+35=17&\ssi 2x^2-12x+18=0 \\
&\ssi 2\left(x^2-6x+9\right)=0 \\
&\ssi 2(x-3)^2=0\\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x-3=0
\end{align*}$

La solution de cette équation est $3$.

De plus $0<3<5$. On doit donc donner la valeur $3$ à $x$ pour que l’aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

On considère deux nombres réels $a$ et $b$ quelconque.

  1. Montrer que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
    $\quad$
  2. En déduire l’expression développée et réduite de $\left(5x^2+3\right)^3$.
    $\quad$
  3. En utilisant la question 1. et sans tout développer donner l’expression développée et réduite de $(a-b)^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^3&=(a+b)^2(a+b) \\
    &=\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\\
    &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3\\
    &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On utilise la propriété précédente avec $a=5x^2$ et $b=3$.
    On obtient :
    $\begin{align*}
    \left(5x^2+3\right)^3&=\left(5x^2\right)^3+3\left(5x^2\right)^2\times 3+3\times 5x^2\times 3^2+3^3 \\
    &=125x^6+225x^4+135x^2+27
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}
    (a-b)^3&=\left(a+(-b)\right)^3 \\
    &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Quand on veut calculer le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est $5$, on multiplie le nombre de dizaines par son successeur et on ajoute, à droite de l’écriture décimale du produit, le nombre $25$.

Exemple : On veut calculer le carré de $205$.
Il y a $20$ dizaines.
Or $20\times (20+1)=420$
On ajoute $25$ à droite de l’écriture décimale de $420$ et on obtient alors que $205^2=42~025$.

En remarquant qu’un nombre se terminant par $5$ peut s’écrire sous la forme $10\times a+5$, où $a$ est un entier naturel, démontrer cette propriété.

$\quad$

Correction Exercice 11

On a $(10\times a+5)^2=(10a)^2+2\times 10a\times 5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$

On a donc $a(a+1)$ centaines et $25$ unités; ce qu’il fallait démontrer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12

On considère trois nombres réels $a$, $b$ et $c$.
Donner une expression développée et réduite de $(a+b+c)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 12

$\begin{align*} (a+b+c)^2&=\left(a+(b+c)\right)^2 \\
&=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\
&=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\
&=a^x+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13    Difficulté +

On considère l’expression $G=x^2+6x-7$.

  1. Compléter l’égalité $G=(x+3)^2-\ldots$
    $\quad$
  2. En déduire une factorisation de $G$.
    $\quad$
  3. Résoudre alors l’équation $G=0$.
    $\quad$
  4. En adoptant la même démarche, résoudre les équations suivantes :
    a. $x^2+4x-21=0$
    $\quad$
    b. $x^2+11x+30=0$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour répondre à cette question, on peut suivre (au moins) deux pistes.
    Piste 1
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x+3^2-3^2-7 \qquad (*)\\
    &=(x+3)^2-9-7\\
    &=(x+3)^2-16\end{align*}$
    À l’étape $(*)$ on fait apparaître une identité remarquable dont avait $2$ des $3$ termes.
    $\quad$
    Piste 2
    $(x+3)^2=x^2+6x+9$
    Donc $x^2+6x=(x+3)^2-9$
    Et $G=x^2+6x-7=(x+3)^2-9-7=(x+3)^2-16$.
    $\quad$
    Remarque : Cette écriture de $G$ est appelée sa forme canonique.
    $\quad$
  2. On a ainsi :
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=(x+3)^2-16\\
    &=(x+3)^2-4^2\\
    &=\left[(x+3)-4\right]\left[(x+3)+4\right] \\
    &=(x-1)(x+7)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $G=0 \ssi (x-1)(x+7)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-1=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=1&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $-7$.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} x^2+4x-21=0&\ssi x^2+2\times 2\times x-21=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+2^2-2^2-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-4-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-25=0\\
    &\ssi (x+2)^2-5^2=0\\
    &\ssi \left[(x+2)-5\right]\left[(x+2)+5\right]=0\\
    &\ssi (x-3)(x+7)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-3=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=3&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $3$ et $-7$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} x^2+11x+30=0&\ssi x^2+2\times 5,5\times x+30=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 5,5\times x+5,5^2-5,5^2+30=0 \\
    &\ssi (x+5,5)^2-30,25+30=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25^2=0\\
    &\ssi \left[(x+5,5)-0,5\right]\left[(x+5,5)+0,5\right]=0\\
    &\ssi (x+5)(x+6)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+5=0&\text{  ou  }&x+6=0 \\
    x=-5&&\ssi x=-6\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $-6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 14    Difficulté +

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ désigne un carré de côté $1$. $M$ est un point sur le segment $[AB]$. La perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AC]$ en $E$ et le segment $[DC]$ en $G$. On note $F$ le point tel que $AMEF$ soit un carré.
Déterminer la position du point $M$ telle que le carré $AMEF$ et le triangle $CGE$ aient la même aire.

Correction Exercice 14

  • On appelle $x$ la longueur $AM$. Le nombre $x$ appartient donc à l’intervalle $[0;1]$.
    L’aire du carré $AMEF$ est donc $\mathscr{A}_1=x^2$.
  • $G$ appartient au segment $[DC]$. Par conséquent $GC=1-x$. De même $GE=1-x$.
    L’aire du triangle $CGE$ est donc $\mathscr{A}_2=\dfrac{(1-x)^2}{2}$.
  • On veut que :
    $$\begin{array}{clll}\mathscr{A}_1=\mathscr{A}_2&\ssi x^2=\dfrac{(1-x)^2}{2} \\
    &\ssi x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2 \\
    &\ssi x=\dfrac{1-x}{\sqrt{2}} & \text{ou} & x=-\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\\
    &\ssi x\sqrt{2}=1-x & \text{ou} & x\sqrt{2}=x-1 \\
    &\ssi x\sqrt{2}+x=1 & \text{ou} & x\sqrt{2}-x=-1 \\
    &\ssi x\left(\sqrt{2}+1\right)=1 & \text{ou} & x\left(\sqrt{2}-1\right)=-1\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} & \text{ou} & x=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}
    \end{array}$$
    Or $\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}<0$
    Donc le point $M$ doit se trouver à $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ de $A$.

Remarque : Pour résoudre l’équation $x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2$ on pouvait également écrire que :
$x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\ssi x^2-\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2=0$ et factoriser cette expression à l’aide de l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\quad$

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2nd – Exercices – Racines carrées et identités remarquables

Racines carrées et identités remarquables

Exercice 1

Développer à l’aide des identités remarquables

  1. $A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  2. $B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  3. $C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  4. $D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  5. $E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  6. $F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
    $\quad$
  7. $G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
    $\quad$
  8. $H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
    $\quad$
  9. $I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  10. $J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=3-2\sqrt{15}+5 \\
    &=8-2\sqrt{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
    &=2+6\sqrt{10}+45 \\
    &=47+6\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
    &=2-3 \\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=5-2\sqrt{10}+2 \\
    &=7-2\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20+12\sqrt{10}+18 \\
    &=38+12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
    &=9\times 2-9 \\
    &=18-9\\
    &=9
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
    &=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
    &=18+6\sqrt{2}+1 \\
    &=19+6\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
    &=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
    &=4\times 3-1\\
    &=12-1\\
    &=11
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20-12\sqrt{10}+18\\
    &=38-12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=3-2\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 – Difficulté +

Pour tout réel $x$ positif, déterminer l’inverse de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Cet inverse sera écrit sans fraction.

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour tout réel $x$ positif on a :

$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \quad (*)\\
&=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} \\
&=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\end{align*}$

À l’étape $(*)$, au dénominateur, on se retrouve, en effet, avec :
$\begin{align*} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)&=\sqrt{x+1}^2-\sqrt{x}^2\\
&=x+1-x\\
&=1\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

Comparer les nombres $\dfrac{x+y}{2}$ et $\sqrt{xy}$.

Remarque : $a=\dfrac{x+y}{2}$ est appelée la moyenne arithmétique et $g=\sqrt{xy}$ la moyenne géométrique des deux réels $x$ et $y$.
Géométriquement, si on considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $y$, alors $a$ est la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle et $g$ est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à celle du rectangle.

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

$\begin{align*} \dfrac{x+y}{2}-\sqrt{xy}&=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}^2}{2} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \\
&\pg 0\end{align*}$

Par conséquent $\dfrac{x+y}{2}\pg \sqrt{xy}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Identités remarquables – Factorisation

Identités remarquables – Factorisation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Factoriser en utilisant des identités remarquables.

$A=x^2-10x+25$
$\quad$
$B=9+6x+x^2$
$\quad$
$C=1-x^2$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=x^2-16$
$\quad$
$F=9x^2-4$
$\quad$
$G=9x^2-6x+1$
$\quad$
$H=25-4x^2$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=x^2-10x+25 \\
&=x^2-2\times x \times 5+5^2 \\
&=(x-5)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=9+6x+x^2 \\
&=3^2+2\times 3 \times x+x^2 \\
&=(3+x)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=1-x^2 \\
&=1^2-x^2 \\
&=(1-x)(1+x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 \\
&=(2x+3)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-16 \\
&=x^2-4^2\\
&=(x-4)(x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=9x^2-4 \\
&=(3x)^2-2^2 \\
&=(3x-2)(3x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=9x^2-6x+1 \\
&=(3x)2-2\times 3x \times 1+1^2 \\
&=(3x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=25-4x^2 \\
&=5^2-(2x)^2 \\
&=(5-2x)(5+2x)
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=25x^2-10x+1$
$\quad$
$B=36x^2+84x+49$
$\quad$
$C=81x^2-16$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=64x^2-121$
$\quad$
$F=256x^2+384x+144$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=25x^2-10x+1 \\
&=(5x)^2-2\times 1\times 5x+1^2\\
&=(5x-1)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=36x^2+84x+49\\
&=(6x)^2+2\times 7\times 6x+7^2\\
&=(6x+7)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=81x^2-16\\
&=(9x)^2-4^2\\
&=(9x-4)(9x+4)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9\\
&=(2x)^2+2\times 3\times 2x+3^2\\
&=(2x+3)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=64x^2-121\\
&=(8x)^2-11^2\\
&=(8x-11)(8x+11)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=256x^2+384x+144\\
&=(16x)^2+2\times 12\times 16+12^2\\
&=(16x+12)^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Lorsque cela est possible, factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=4x^2+20x+25$
$\quad$
$B=36x^2+12x-1$
$\quad$
$C=9x^2+4$
$\quad$
$D=100-49x^2$
$\quad$
$E=16x^2+32x+64$
$\quad$
$F=x^2+1-2x$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=4x^2+20x+25\\
&=(2x)^2+2\times 5\times 2x+5^2\\
&=(2x+5)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=36x^2+12x-1 \\
&=(6x)^2+2\times 1\times 6x-1^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2-2ab+b^2$ mais le signe $-$ ne porte pas sur le terme associé au double produit. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}C&=9x^2+4 \\
&=(3x)^2+2^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2-b^2$ mais on a une somme dans notre expression à la place d’une différence. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}D&=100-49x^2\\
&=10^2-(7x)^2\\
&=(10-7x)(10+7x)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=16x^2+32x+64\\
&=(4x)^2+8\times 4x+8^2\end{align*}$
Cette expression ressemble à $a^2+2ab+b^2$ mais il manque le $2$ du double produit. On ne peut donc pas utiliser cette identité remarquable.
$\quad$
$\begin{align*}F&=x^2+1-2x \\
&=x^2-2\times 1\times x+1^2\\
&=(x-1)^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Factoriser

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$
$\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$
$\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$
$\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$
$\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$
$\quad$
$F=25-(2x+3)^2$
$\quad$
$G=3x^2-6x+3$
$\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
$\quad$

Correction Exercice 4

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ est du type $a^2-b^2$ avec $a=(x-1)$ et $b=(4x-2)$
$\begin{align*} A&=(x-1)^2-(4x-2)^2 \\
&=\left[(x-1)-(4x-2)\right]\left[(x-1)+(4x-2)\right] \\
&=(x-1-4x+2)(x-1+4x-2) \\
&=(-3x+1)(5x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=9x^2-(x+1)^2 \\
&=(3x)^2-(x+1)^2  \\
&=\left[(3x)-(x+1)\right]\left[(3x)+(x+1)\right] \\
&=(3x-x-1)(3x+x+1) \\
&=(2x-1)(4x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=(2x+3)^2-(1+x)^2 \\
&=\left[(2x+3)-(1+x)\right]\left[(2x+3)+(1+x)\right] \\
&=(2x+3-1-x)(2x+3+1+x) \\
&=(x+2)(3x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x+2)^2-(5x+1)^2 \\
&=\left[(3x+2)-(5x+1)\right]\left[(3x+2)+(5x+1)\right] \\
&=(3x+2-5x-1)(3x+2+5x+1) \\
&=(-2x+1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=x^2+6x+9-(x+3)(x-2) \\
&=x^2+2\times x \times 3+3^2-(x+3)(x-2) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-2) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-2)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+2) \\
&=(x+3)(5) \\
&=5(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=25-(2x+3)^2 \\
&=5^2-(2x+3)^2 \\
&=\left[5-(2x+3)\right]\left[5+(2x+3)\right] \\
&=(5-2x-3)(5+2x+3) \\
&=(2-2x)(8+2x)
\end{align*}$
On peut également constater que $(2-2x)=2(1-x)$ et que $(8+2x)=2(4+x)$.
Donc $F=4(1-x)(4+x)$ mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu.
$\quad$
$\begin{align*} G&=3x^2-6x+3 \\
&=3\left(x^2-2x+1\right) \\
&=3(x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(3x+3)-(x+1)(2x-1) \\
&=3\underline{(x+1)}-\underline{(x+1)}(2x-1) \\
&=(x+1)\left[3-(2x-1)\right] \\
&=(x+1)(3-2x+1) \\
&=(x+1)(4-2x)
\end{align*}$
On peut encore aller plus loin en écrivant $H=2(x+1)(2-x)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.

$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$
$\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$
$\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$
$\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$
$\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=x^2+(x+2)(x+3) \\
&=x^2-2^2+(x+2)(x+3) \\
&=(x-2)\underline{[(x+2)}+\underline{(x+2)}(x+3) \\
&=(x+2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x+2)(x-2+x+3) \\
&=(x+2)(2x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=x^2+6x+9-(x+3)(x-1) \\
&=x^2+2\times x \times 3 + 3^2-(x+3)(x-1) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-1) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-1) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-1)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+1) \\
&=(x+3)(4) \\
&=4(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(x+5)+9x^2-4 \\
&=(3x-2)(x+5)+(3x)^2-2^2 \\
&=\underline{(3x-2)}(x+5)+\underline{(3x-2)}(3x+2) \\
&=(3x-2)\left[(x+5)+(3x+2)\right] \\
&=(3x-2)(x+5+3x+2) \\
&=(3x-2)(4x+7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=9x^2-1+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x)^2-1^2+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x-1)\underline{(3x+1)}+\underline{(3x+1)}(2x+3) \\
&=(3x+1)\left[(3x-1)+(2x+3)\right] \\
&=(3x+1)(3x-1+2x+3) \\
&=(3x+1)(5x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-4x+4+(x+3)(x-2) \\
&=x^2-2\times x\times 2+2^2+(x+3)(x-2) \\
&=(x-2)^2+(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x-2)}(x-2)+(x+3)\underline{(x-2)} \\
&=(x-2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x-2)(x-2+x+3) \\
&=(x-2)(2x+1)
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes en utilisant des identités remarquables.

$A=\dfrac{1}{4}-25x^2$
$\quad$
$B=\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{25}{49}$
$\quad$
$C=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{49}{36}+\dfrac{14}{9}x$
$\quad$
$D=\dfrac{81}{16}x^2-\dfrac{33}{2}x+\dfrac{121}{9}$
$\quad$
$E=\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{169}{144}$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*}A&=\dfrac{1}{4}-25x^2\\
&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(5x)^2\\
&=\left(\dfrac{1}{2}-5x\right)\left\(dfrac{1}{2}+5x\right)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{25}{49}\\
&=\left(\dfrac{x}{6}\right)^2-\left(\dfrac{5}{7}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5}{7}\right)\left(\dfrac{x}{6}+\dfrac{5}{7}\right)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{49}{36}+\dfrac{14}{9}x\\
&=\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2+2\times \dfrac{7}{6}\times \dfrac{2}{3}x \\
&=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{6}\right)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{81}{16}x^2-\dfrac{33}{2}x+\dfrac{121}{9}\\
&=\left(\dfrac{9}{4}x\right)^2-2\times \dfrac{11}{3}\times \dfrac{9}{4}x+\left(\dfrac{11}{3}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{9}{4}x-\dfrac{11}{3}\right)^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{169}{144}\\
&=\left(\dfrac{5}{2}x\right)^2-\left(\dfrac{13}{12}\right)^2\\
&=\left(\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{12}\right)\left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{13}{12}\right)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Identités remarquables – Développement

Identités remarquables – Développement

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(x+5)^2$
$\quad$
$B=(x-3)^2$
$\quad$
$C=(x+4)(x-4)$
$\quad$
$D=(x+7)^2$
$\quad$
$E=(x-1)^2$
$\quad$
$F=(x-6)(x+6)$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=(x+5)^2\\&=x^2+2\times 5 \times x+5^2\\&=x^2+10x+25\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(x-3)^2\\&=x^2-2\times 3\times x+3^2\\&=x^2-6x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(x+4)(x-4)\\&=x^2-4^2\\&=x^2-16\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(x+7)^2\\&=x^2+2\times 7\times x+7^2\\&=x^2+14x+49\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(x-1)^2\\&=x^2-2\times 1\times x+1^2\\&=x^2-2x+1\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(x-6)(x+6)\\&=x^2-6^2\\&=x^2-36\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(2x+3)^2$
$\quad$
$B=(5x-4)^2$
$\quad$
$C=(3x-2)(3x+2)$
$\quad$
$D=(6-3x)^2$
$\quad$
$E=(1+8x)^2$
$\quad$
$F=(4x+5)(5-4x)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=(2x+3)^2\\&=(2x)^2+2\times 3\times 2x+3^2\\&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(5x-4)^2\\&=(5x)^2-2\times 4\times 5x+4^2\\&=25x^2-40x+16\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(3x+2)\\&=(3x)^2-2^2\\&=9x^2-4\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(6-3x)^2\\&=6^2-2\times 6\times 3x+(3x)^2\\&=36-36x+9x^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(1+8x)^2\\&=1^2+2\times 1\times 8x+(8x)^2\\&=1+16x+64x^2\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(4x+5)(5-4x)\\&=(5+4x)(5-4x)\\&=5^2-(4x)^2\\&=25-16x^2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(4x+3)^2$
$\quad$
$B=(6x-7)^2$
$\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$
$\quad$
$D=(3x+7)^2$
$\quad$
$E=(7x-5)^2$
$\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$
$\quad$
$G=(7-4x)^2$
$\quad$
$H=(2x+9)^2$
$\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} A&=(4x+3)^2 \\
&=(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2 \\
&=16x^2+24x+9
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(6x-7)^2 \\
&=(6x)^2-2\times 6x \times 7 + 7^2 \\
&=36x^2-84x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x+4)(5x-4) \\
&=(5x)^2-4^2 \\
&=25x^2-16
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=(3x+7)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times 7 + 7^2 \\
&=9x^2+42x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=(7x-5)^2 \\
&=(7x)^2-2\times 7x \times 5+5^2 \\
&=49x^2-70x+25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(3x-5)(3x+5) \\
&=(3x)^2-5^2 \\
&=9x^2-25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=(7-4x)^2 \\
&=7^2-2\times 7 \times 4x + (4x)^2 \\
&=49-56x+16x^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(2x+9)^2 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 9 + 9^2 \\
&=4x^2+36x+81
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} I&=(6-2x)(6+2x) \\
&=6^2-(2x)^2 \\
&=36-4x^2
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$
$\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$
$\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$
$\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} A&=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+2 \times x\times \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x \times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-2x+\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right) \\
&=(6x)^2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \\
&=36x^2-\dfrac{4}{25}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times \dfrac{7}{6}+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=9x^2+7x+\dfrac{49}{36}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x \times \dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-8x+\dfrac{16}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{49}{16}x^2-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-10x+\dfrac{25}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x\times \dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-14x+\dfrac{49}{9}
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(2x+5)^2-(3x-4)^2$
$\quad$
$B=(5x+7)^2+(2x-6)^2$
$\quad$
$C=(7x+2)^2-(4x-3)(4x+3)$
$\quad$
$D=(3x-5)(3x+5)-(3x+5)^2$
$\quad$
$E=(5x-3)^2-(3x-7)^2$
$\quad$
$F=(7x-3)(7x+3)-(8x+5)(8x-5)$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=(2x+5)^2-(3x-4)^2\\
&=(2x)^2+2\times 5\times 2x+5^2-\left((3x)^2-2\times 3x\times 4+ 4^2\right) \\
&=4x^2+20x+25-\left(9x^2-24x+16\right) \\
&=4x^2+20x+25-9x^2+24x-16\\
&=-5x^2+44x+9\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=(5x+7)^2+(2x-6)^2\\
&=(5x)^2+2\times 7\times 5x+7^2+(2x)^2-2\times 6\times 2x+6^2\\
&=25x^2+70x+49+4x^2-24x+36\\
&=29x^2+46x+85\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(7x+2)^2-(4x-3)(4x+3) \\
&=(7x)^2+2\times 2\times 7x+2^2-\left((4x)^2-3^2\right) \\
&=49x^2+28x+4-\left(16x^2-9\right) \\
&=49x^2+28x+4-16x^2+9\\
&=33x^2+28x+13\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x-5)(3x+5)-(3x+5)^2\\
&=(3x)^2-5^2-\left((3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
&=9x^2-25-\left(9x^2+30x+25\right) \\
&=9x^2-25-9x^2-30x-25\\
&=-30x-50\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(5x-3)^2-(3x-7)^2\\
&=(5x)^2-2\times 3\times 5x+3^2-\left((3x)^2-2\times 7\times 3x+7^2\right) \\
&=25x^2-30x+9-\left(9x^2-42x+49\right) \\
&=25x^2-30x+9-9x^2+42x-49\\
&=16x^2+12x-40\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(7x-3)(7x+3)-(8x+5)(8x-5) \\
&=(7x)^2-3^2-\left((8x)^2-5^2\right) \\
&=49x^2-9-\left(64x^2-25\right) \\
&=49x^2-9-64x^2+25\\
&=-15x^2+16
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Aires et volumes

Aires et volumes

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Recopier et compléter les égalités suivantes :

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = \ldots ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = \ldots~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = \ldots~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = \ldots ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000 \ldots$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000\ldots$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = \ldots \text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = \ldots \text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = \ldots \text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = \ldots \text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = 32~000 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = 0,005~7 ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = 3~500~000~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = 0,072~5~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = 0,085 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = 200 ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000~ \text{cm}^2$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000~\text{dam}^2$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = 5~765~000 ~\text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = 25~700~\text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = 570~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = 0,007~2 ~\text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = 5,7 ~\text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = 4~750~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $\mathscr{S}$ une sphère de entre $O$ et de rayon $4$ cm.

Calculer son aire et son volume (valeurs exactes et arrondies à $10^{-1}$ près).

$\quad$

Correction Exercice 2

Aire : $4\pi \times R^2 = 4 \pi \times 4^2 $ $= 64\pi \approx 201,1 \text{cm}^2$

Volume : $\dfrac{4}{3} \pi \times R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 4^3 $ $= \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1 \text{cm}^3$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 3

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.
On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.
$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :
$\begin{align*} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\
& = 100\\
SI &= 10
\end{align*}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A} &= \dfrac{SI \times BC}{2} \\
& = \dfrac{10 \times 12}{2} \\
& = 60 \text{m}^2\end{align*}$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon $3$ cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est $2$ fois plus grand.

  1. a. Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. En déduire que le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
    $\quad$
  2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
    Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à $2$ cm de son centre.
    Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la tête et du corps? Arrondir le résultat au cm$^2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans un récipient cylindrique de rayon $2$ cm et de hauteur $4,5$ cm, on verse de l’eau jusqu’à atteindre une hauteur de $3$ cm. On pose dans ce verre une bille métallique de $1$ cm de rayon.

  1. Quelle est la hauteur d’eau dans le récipient (arrondie au millimètre) après immersion d’une bille?
    $\quad$
  2. Combien de billes peut-on mettre dans le récipient sans le faire déborder?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le volume de la bille est $V_B=\dfrac{4}{3}\pi\times 1^3=\dfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer la hauteur $h$ que ce volume représente dans le récipient.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $2^2\pi\times h=\dfrac{4}{3}\pi \ssi 4 h=\dfrac{4}{3} \ssi h=\dfrac{1}{3}$
    Après immersion de la bille, la hauteur d’eau est $3+\dfrac{1}{3}\approx 3,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume d’eau du récipient est $V_R=2^2\times \pi\times 4,5=18\pi$ cm$^3$.
    Le volume d’eau est $V_E=2^2\times 3\pi=12\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} n\times V_B\pp V_R-V_E &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n \pp 18\pi-12\pi \\
    &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n\pp 6\pi \\
    &\ssi n\pp \dfrac{6}{~~\dfrac{4}{3}~~} \\
    &\ssi n\pp 6\times \dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n \pp 4,5\end{align*}$
    On peut donc mettre au maximum $4$ billes dans le récipient sans le faire déborder.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Enzo et Lucie effectuent des calculs sur une même sphère. Enzo calcule l’aire (en cm$^2$) et Lucie le volume (en cm$^3$). Leurs résultats sont égaux.
Quel est le rayon de la sphère?

$\quad$

Correction Exercice 6

Le volume d’une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times R^3$.
L’aire d’une sphère de rayon $R$ est $A=4\pi\R^2$.

On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} V=A&\ssi \dfrac{4}{3}\pi \times R^3=4\pi \R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3=R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3-R^2=0\\
&\ssi R^2\left(\dfrac{1}{3}R-1\right)=0\end{align*}$

Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $R^2=0 \ssi R=0$ ou $\dfrac{1}{3}R-1=0 \ssi \dfrac{1}{3}R=1\ssi R=3$.

Le rayon de la sphère est égal à $3$ cm.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Volume du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Volume du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=\dfrac{24,5\pi}{3}$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+\dfrac{24,5\pi}{3}=\dfrac{931\pi}{24}$ m$^3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit avec comme base le triangle $ABC$ isocèle en $C$.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.

Madame Duchemin souhaite louer son studio.
Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de $20$ € par m$^2$ de surface habitable.
Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de $1,80$ m (article R111-2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure.
Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à $700$ €.
Peut-elle louer son studio à ce prix ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

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2nd – Exercices – Projeté orthogonal

Projeté orthogonal

Exercices corrigés – 2nd

 

Exercice 1

On appelle $A’$, $B’$ et $C’$ les projetés orthogonaux respectifs des points $A$, $B$ et $C$ sur la droite $\Delta$.

Représenter ces trois points sur la figure ci-dessous.

 

$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient la figure suivante :

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$\quad$

Exercice 2

On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que l’angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

Le cercle $\mathscr{C}$ de diamètre $[AB]$ coupe le segment $[AC]$ en $B’$.

  1. Montrer que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $C’$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Montrer que $AC’=AB’$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’on a également $BB’=CC’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Le triangle $ABB’$ est inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ et le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. Par conséquent le triangle $ABB’$ est rectangle en $B’$.
    Ainsi les droite $(BB’)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires et le point $B’$ appartient à la droite $(AC)$. Cela signifie donc que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $A’$ le milieu du segment $[BC]$.
    Le triangle $ABC$ étant isocèle en $A$, la droite $(AA’)$ est un axe de symétrie pour ce triangle.
    L’image du point $B$ par cette symétrie est le point $C$.
    Une symétrie axiale conserve les angles. Donc l’image du point $B’$ est le point $C’$ par cette symétrie.
    Une symétrie centrale conserve les longueurs et le point $A$ est sa propre image. Donc $AB’=AC’$.
    $\quad$
  3. Pour répondre à cette question, on peut utiliser les mêmes arguments qu’à la question précédente ou appliquer le théorème de Pythagore (ce que nous allons faire).
    Dans le triangle $BCC’$ rectangle en $C’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AC’^2+CC’^2$
    Dans le triangle $CBB’$ rectangle en $B’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AB^2=AB’^2+BB’^2$
    Le triangle $ABC$ est iscole en $A$ donc $AB=AC$.
    Ainsi $AC’^2+CC’^2=AB’^2+BB’^2$.
    Puisque $AB’=AC’$ on a, par conséquent, $CC’^2=BB’^2$.
    Or $CC’$ et $BB’$ sont des longueurs. Donc $CC’=BB’$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un triangle équilatéral $ABC$ et un point $M$ à l’intérieur du triangle. On appelle $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les projetés orthogonaux du point $M$ sur les côtés du triangle $ABC$.
Montrer, en calculant des aires, que la somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est constante.

$\quad$

Correction Exercice 3

 

L’aire du triangle $MBC$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{MM_1\times BC}{2}$.
L’aire du triangle $MAB$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{MM_2\times AB}{2}$.
L’aire du triangle $MAC$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{MM_3\times AC}{2}$.
On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $ABC$.

Par conséquent $\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\mathscr{A}$
$\ssi \dfrac{MM_1\times BC}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AC}{2}=\mathscr{A}$
Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc $AB=BC=AC$.
On en déduit donc que :
$\dfrac{MM_1\times AB}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AB}{2}=\mathscr{A}$
$\ssi \left(MM_1+MM_2+MM_3\right)AB=2\mathscr{A}$
$\ssi MM_1+MM_2+MM_3=\dfrac{2\mathscr{A}}{AB}$

La somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est bien constante.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.
Déterminer la distance du point $A$ au côté $[BC]$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A’$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2 \\
&=36+64 \\
&=100\end{align*}$
Par conséquent $BC=10$.

On peut calculer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ de deux façons:
$\mathscr{A} = \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=24$ cm$^2$
$\mathscr{A} = \dfrac{AA’\times BC}{2} \ssi 24=\dfrac{AA’\times 10}{2} \ssi AA’=\dfrac{24}{5}$

La distance du point $A$ au côté $[BC]$ est donc égale à $\dfrac{24}{5}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère une droite $d$, un point $A$ appartenant à cette droite et un point $B$ n’appartenant pas à celle-ci. On appelle $O$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $d$.
Les points $A’$ et $B’$ sont respectivement les symétriques des points $A$ et $B$ par rapport à $O$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABA’B’$?

$\quad$

Correction Exercice 5

Le point $O$ est donc le milieu des segments $[AA’]$ et $[BB’]$.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ se coupend donc en leur milieu.
Par conséquent $ABA’B’$ est un parallélogramme.
$O$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la  droite $(AA’)$.
Cela signifie donc que les droites $(OB)$ et $(AA’)$ sont perpendiculaires.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ sont perpendiculaires. C’est donc un losange.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

autre formule pour calculer l’aire d’un triangle

On considère un triangle quelconque $ABC$. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$.
On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.

  1. Exprimer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ en prenant comme base le côté $[BC]$.
    $\quad$
  2. En déduire que $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin\widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. Application : Déterminer un arrondi à $10^{-2}$ près de l’aire du triangle $ABC$ si $a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times BC}{2}=\dfrac{AH\times a}{2}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi \sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{b} \ssi AH=b\times \sin\widehat{ACB}$
    Donc $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times a}{2}=\dfrac{AB\times \sin \widehat{ACB}}{2}$
    $\quad$
  3. Si$a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    Alors
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{4\times 6\times \sin  60}{2} \\
    &=12\sin 60  \\
    &=12\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
    &=6\sqrt{3} \\
    &\approx 10,39\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Formule d’Al Kashi

On considère un triangle quelconque $ABC$ tel que $\widehat{ACB}$ soit aigu. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

  1. À l’aide de relations trigonométriques, exprimer $HA$ et $HC$ en fonction de $AC$.
    $\quad$
  2. En déduire une expression de $BH$ en fonction de $BC$, $AC$ et $\cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. En déduire que $AB^2=AC^2+BC^2-2\times AC\times BC\times \cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  4. Application : Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$° déterminer la longueur du segment $[AB]$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi AH=AC\sin \widehat{ACB}$
    $\cos \widehat{ACB}=\dfrac{HC}{AC} \ssi HC=AC\cos \widehat{ACB}$
    $\quad$
  2. Si $H$ appartient au segment $[BC]$ alors $BH=BC-HC=BC-AC\cos \widehat{ACB}$
    Si $H$ n’appartient pas au segment $[BC]$ (l’angle $\widehat{ABC}$ est alors obtus) alors $BH=HC-BC=AC\cos \widehat{ACB}-BC$
    $\quad$
    On aura par la suite besoin de $BH^2$ qui dans les deux cas vaut $\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2$.
    $\quad$
  3. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$.
    $\begin{align*} AB^2&=BH^2+HA^2 \\
    &=\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2+\left(AC\sin \widehat{ACB}\right)^2 \\
    &=BC^2+AC^2\cos^2 \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}+AC^2\times \sin^2 \widehat{ACB} \\
    &=BC^2+AC^2\times \left(\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}\right)-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\qquad (*) \\
    &=BC^2+AC^2-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\end{align*}$
    $(*)$ car $\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}=1$ (propriété du cours).
    $\quad$
  4. Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    alors $AB^2=8^2+6^2-2\times 8\times 6\times \cos 60= 52$
    Donc $AB=\sqrt{52}$
    $\quad$

 

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$\quad$

2nd – Exercices – Trigonométrie

Trigonométrie

Exercices corrigés – 2nd

Toutes les longueurs seront arrondies au centième près et les angles au degré près.

Exercice 1

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $AB=3$ cm et $\widehat{ABC}=51$°.

Calculer $AC$, $BC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB} \ssi AC=AB\times \tan \widehat{ABC}\ssi AC = 3 \tan 51$
Donc $AC \approx 3,70$ cm.

$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi BC=\dfrac{AB}{\cos \widehat{ABC}}\ssi BC=\dfrac{3}{\cos 51}$
Donc $BC\approx 4,77$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB}=180-90-51=39$°

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $BC=17$ cm et que
$\widehat{ABC}=23$°.

Calculer $AB$, $AC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi AB=BC\cos \widehat{ABC} \ssi AB=17\cos 23$
Donc $AB\approx 15,65$ cm.

$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC} \ssi AC=BC\sin \widehat{ABC} \ssi AC=17\sin 23$
Donc $AC \approx 6,64$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB} = 180-90-23=67$°

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=30$ cm et $BC=25$ cm.

Calculer $AB$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AB^2&=BC^2+AC^2 \\
&=625+900 \\
&=1~525\end{align*}$
Donc $AB=\sqrt{1~525}=\sqrt{25\times 61}=5\sqrt{61} \approx 39,05$ cm.

$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{30}{25}=1,2$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 50$°.

$\tan \widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$.
Donc $\widehat{BAC}\approx 40$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$. On sait que $\sin \widehat{BAC}=0,2$.

Déterminer la valeur de $\cos \widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{BAC}+\sin^2 \widehat{BAC}=1 \\
\ssi &  ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,2^2=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,04=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}=0,96\end{align*}$

L’angle $\widehat{BAC}$ est aigu. Donc $\cos \widehat{BAC}\pg 0$.
Ainsi $\cos \widehat{BAC}=\sqrt{0,96}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait que $\cos \widehat{ABC}=0,5$.

Déterminer la valeur de $\sin \widehat{ABC}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,5^2+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,25+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~\sin^2 \widehat{ABC}=0,75\end{align*}$

L’angle $\widehat{ABC}$ est aigu. Donc $\sin \widehat{ABC}\pg 0$.
Ainsi $\sin \widehat{ABC}=\sqrt{0,75}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $BC=2CA$.

Déterminer la mesure de $\widehat{CBA}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC}{2AC}=\dfrac{1}{2}$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 27$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $\alpha$.

Montrer que $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $a$ la longueur du côté adjacent à l’angle $\alpha$, $b$ la longueur du côté opposé à l’angle $\alpha$ et $h$ l’hypoténuse.

Ainsi $\cos \alpha=\dfrac{a}{h}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{h}$ et $\tan \alpha=\dfrac{b}{a}$.

première démonstration :

$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{b}{h}\times \dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{a}=\tan \alpha$

deuxième démonstration :

$\tan \alpha=\dfrac{b}{a}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la figure suivante :

On sait que $OA=8$ cm et que le point $O$ appartient au segment $[AD]$.

Déterminer l’aire du quadrilatère $ABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 8

Nous allons calculer les aires des trois triangles rectangles. Pour cela, nous avons besoin de déterminer les longueurs $AB$, $OB$, $BC$, $OC$, $CD$ et $OD$.

Les trois angles bleus, d’après la figure ont la même mesure et l’angle $\widehat{AOD}$ est plat. Donc chacun des angles bleus mesure $\dfrac{180}{3}=60$°.
Du fait de la propriété concernant les angles opposés par le sommet, les angles $\widehat{AOB}$,$\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ mesurent donc également $60$°.

Ainsi :

Dans le triangle $AOB$ rectangle en $B$
$\sin \widehat{AOB}=\dfrac{AB}{OA} \ssi AB=OA\sin \widehat{AOB}\ssi AB=8\sin 60=4\sqrt{3}$
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA} \ssi OB=OA\cos \widehat{AOB}\ssi OB=8\cos 60=4$

Dans le triangle $BOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{BOC}=\dfrac{BC}{OB} \ssi BC=OB\sin \widehat{BOC}\ssi BC=4\sin 60=2\sqrt{3}$
$\cos \widehat{BOC}=\dfrac{OC}{OB} \ssi OC=OB\cos\widehat{BOC}\ssi OC=4\cos 60=2$

Dans le triangle $DOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{COD}=\dfrac{CD}{OC} \ssi CD=OC\sin \widehat{COD}\ssi CD=2\sin 60=\sqrt{3}$
$\cos \widehat{COD}=\dfrac{OD}{OC} \ssi OD=OC\cos \widehat{COD}\ssi OD=2\cos 60=1$

L’aire du triangle $AOB$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{OB\times AB}{2}=\dfrac{4\times 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $BOC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{BC\times OC}{2}=\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $COD$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{CD\times OD}{2}=\dfrac{1\times \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$

L’aire du quadrilatère $ABCD$ est donc $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

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$\quad$