2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

2nd – Exercices – Vecteurs et coordonnées

Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$.

Exercice 1

Donner les coordonnées des vecteurs représentés ci-dessous :

$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\vec{u}(2;0)$ , $\vec{v}(0;3)$ , $\vec{w}(-1;2)$ , $\vec{x}(2;3)$ , $\vec{y}(-2;-1)$ et $\vec{z}(3;-2)$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ dans chacun des cas :

  1. $A(1;2)$ et $B(3;5)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(-1;-2)$
    $\quad$
  3. $A(3;-1)$ et $B(3;1)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On utilise la formule du cours suivante $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

  1. On a $\vect{AB}(3-1;5-2)$ soit $\vect{AB}(2;3)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(-1-(-2);-2-3\right)$ soit $\vect{AB}(1;-5)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}\left(3-3;1-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(0;2)$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère les points $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ suivants :
$$\begin{array}{lclcl} A(-2;3) &\hspace {3cm}& B(5;1) &\hspace {3cm}& C(-6,5;-2) \\\\
D(-8;-3,2)&\hspace {3cm}&E\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{2}\right)&\hspace {2cm}&F\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{7}{4}\right)\\\\
G\left(11;-\sqrt{3}\right)&\hspace {2cm}&H\left(-4;\sqrt{12}\right)& \hspace {2cm}&
\end{array}$$
Calculer les coordonnées des vecteurs :
$$\vect{AB}; \vect{CD}; \vect{EF}; \vect{GH}; \vect{CB}; \vect{FD}$$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\vect{AB}\left(5-(-2);1-3\right)$ donc $\vect{AB}(7;-2)$

$\vect{CD}\left(-8-(-6,5);-3,2-(-2)\right)$ donc $\vect{CD}(-1,5;-1,2)$

$\vect{EF}\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3};-\dfrac{7}{4}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)\right)$ donc $\vect{EF}\left(-\dfrac{11}{12};\dfrac{3}{4}\right)$

$\vect{GH}\left(-4-11;\sqrt{12}-\left(-\sqrt{3}\right)\right)$ donc $\vect{GH}\left(-15;\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)$
or $\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
Donc $\vect{GH}\left(-15;3\sqrt{3}\right)$

$\vect{CB}\left(5-(-6,5);1-(-2)\right)$ donc $\vect{CB}(11,5;3)$

$\vect{FD}\left(-8-\left(-\dfrac{1}{4}\right);-3,2-\left(-\dfrac{7}{4}\right)\right)$ donc $\vect{FD}\left(-\dfrac{31}{4};-\dfrac{29}{20}\right)$

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$\quad$

Exercice 4

On donne $A(1;5)$ et $\vect{AB}(4;-3)$.

Déterminer les coordonnées de $B$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Par conséquent $\begin{cases} x_B-1=4\\y_B-5=-3\end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=5\\y_B=2\end{cases}$

Le point $B$ a pour coordonnées $(5;2)$.

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$\quad$

Exercice 5

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1,1)$, $C(3;0)$ et $D(2;4)$.

  1. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du centre $E$ de ce parallélogramme.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}\left((-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$ et $\vect{DC}\left(3-2;0-4\right)$ soit $\vect{DC}(1;-4)$.
    Par conséquent $\vect{AB}=\vect{DC}$
    Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le point $E$ est donc, par exemple, le milieu de la diagonale $[AC]$.
    Donc $x_E=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_E=\dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$.
    Les coordonnées de $E$ sont donc $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;1)$ et $C(3;0)$.

Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 6

$ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AB}=\vect{DC}$.
Or $\vect{AB}\left(-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$.
Et $\vect{DC}\left(3-x_D;-y_D\right)$.

Par conséquent $\begin{cases} 3-x_D=1\\-y_D=-4\end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=2\\y_D=4\end{cases}$

Le point $D$ a donc pour coordonnées $(2;4)$.
$\quad$

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$\quad$

2nd – Exercice – Probabilités

Exercice – Probabilités

Une machine fabrique en grande quantité des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts : un défaut d’épaisseur, un défaut de longueur ou un défaut de largeur.

Dans un lot de $1~000$ pièces, fabriquées par cette machine, $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut, $0,2\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont comme seul défaut un défaut d’épaisseur. Parmi les $950$ pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur. Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $24\%$ ont un défaut de longueur.

  1. a. Compléter les deux tableaux suivants.
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& & & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& &26 & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&&&\\
    \hline
    \end{array}$$\quad$
    b. On prélève au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables.
    On définit les événements suivants :
    $\bullet$ $A$: « La pièce possède un seul défaut » ;
    $\bullet$ $B$: « La pièce possède exactement deux défauts ».
    Montrer que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces.
    L’issue de cette expérience aléatoire est le nombre de défauts de cette pièce.
    Déterminer, sous forme de tableau, la loi de probabilité de cette expérience.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction

  1. a. On obtient les tableaux suivants :
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10&21 &31 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&19&900&919 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&921&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $950-29=921$
    $29-10=19$
    $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut : $\dfrac{90}{100}\times 1~000=900$
    $921-900=21$
    $10+21=31$
    $19+900=919$
    On vérifie que $919+31=950$.
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&2&12 &14 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&10 &26 &36 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&12&38&50\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $0,2\%$ des pièces ont les trois défauts : $\dfrac{0,2}{100}\times 1~000=2$.
    $1~000-950=50$
    $\dfrac{24}{100}\times 50=12$
    $50-12=38$
    $12-2=10$
    $38-26=12$
    $2+12=14$
    $10+26=36$
    On vérifie que $14+36=50$
    $\quad$
    b. Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $21$ ont un défaut de longueur et $19$ ont un défaut de largeur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $26$ n’ont pas d’autres défauts.
    $P(A)=\dfrac{21+19+26}{1~000}=0,066$
    $\quad$
    Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et d’épaisseur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et $12$ ont un défaut de longueur.
    $P(B)=\dfrac{10+10+12}{1~000}=0,032$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la probabilité qu’il n’y ait aucun défaut est de $90\%$.
    D’après la question précédente, on sait que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    D’après l’énoncé la probabilité que la pièce possède les trois défaut est de $0,2\%$.
    On obtient donc le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de défauts}&0&1&2&3\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0}0,9\phantom{0}&0,066&0,032&0,002\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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2nd – devoir commun – janvier 2019

Devoir commun – 2nd

 Janvier 2019

Énoncé

Exercice 1     4,75 points

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$ dont les courbes représentatives sont représentées ci-dessous.

À l’aide du graphique répondre aux questions suivantes. Les réponses seront données avec la précision permise par le graphique.

  1. Déterminer l’image de $-\dfrac{1}{2}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre d’antécédents de $0,5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $g(x)=0$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$ déterminer les extrema de la fonction $g$.
    Vous préciserez leur valeur et en quelles valeurs ils sont atteints.
    $\quad$
  6. a. Construire le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $\quad$
    b. À partir du tableau de variation de la fonction $g$, comparer les nombres $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ d’une part et $g\left(\dfrac{5}{2}\right)$ et $g(3)$ d’autre part.
    $\quad$
  7. Résoudre l’inéquation $g(x) \pp 0$.
    $\quad$
  8. Résoudre l’inéquation $f(x) > g(x)$.
    $\quad$

 

Exercice 2     5,5 points

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$,on considère les points $A(1;4)$, $B(4;1)$ et $C(-1,2)$

  1. Sur le repère ci-dessous, faire une figure, à compléter au fil des questions.
    $\quad$
  2. a. Calculer $AC$
    $\quad$
    b. On donne $AB=\sqrt{18}$ et $BC=\sqrt{26}$.
    Le triangle $ABC$ est-il rectangle? Justifier.
    $\quad$
  3. Donner la définition d’une médiane d’un triangle.
    $\quad$
  4. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $A’$ de $[BC]$.
    $\quad$
  5. Montrer qu’une équation de la droite $(AA’)$ est $y=9-5x$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer par le calcul les coordonnées de $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite d’équation $y = 3-0,5x$ . Vérifier que $d$ est la droite $(BB’)$.
    $\quad$
  7. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites $(AA’)$ et $(BB’)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     3,25 points

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=4$ cm ; $AD=3$ cm et $AE=5$ cm.

On place un point $I$ sur le segment $[AB]$ tel que $AI=x$ et un point $J$ sur le segment $[AE]$ tel que $AJ=5-2x$.

  1. Construire sur votre feuille le patron du tétraèdre $AIJD$ pour $x=2$.
    $\quad$
  2. Déterminer le volume du tétraèdre $AIJD$ quand $x=2$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse dans cette question à la fonction $V$ qui donne le volume du tétraèdre $AIJD$ en fonction de la valeur de $x$.
    La fonction $V$ est donnée par l’expression: $V(x)=-x^2+\dfrac{5}{2}x$
    a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&0,25&0,5&0,75&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}&\phantom{2,25}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. À l’aide du tableau de valeurs, tracer la courbe de la fonction $V$ pour $x \in \left[ 0;\dfrac{5}{2}\right] $ dans le repère ci-dessous:
    $\quad$
    c. En déduire pour quelle valeur de $x$ le volume du tétraèdre $AIJD$ semble maximal.
    $\quad$

Exercice 4     3,75 points

On pose $D(x)=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2$.

  1. Développer et réduire $D(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $D(x)=(2x-7)(10x+10)$.
    $\quad$
  3. En déduire les valeurs de $x$ telles que $D(x)=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D(x)$ pour $x=2$ puis pour $x=-4$.
    $\quad$
  5. Compléter l’algorithme (l’une des deux versions seulement) suivant pour qu’il indique si un nombre $x$ fourni par l’utilisateur est solution ou non de l’inéquation $(2x-7)(10x+10)<0$
    $\quad$
    En langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \ldots\ldots$
    Si $\ldots \ldots$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ $\ldots \ldots$
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = ……
    if ……. :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    ……
    $\quad$

 

Exercice 5     2,75 points

Une balle de tennis a un diamètre de $6,4$ cm.
On place $4$ balles dans une boîte qui a la forme d’un pavé droit de hauteur $6,4$ cm.
La boîte est juste assez grande pour contenir les $4$ balles.

 

Calculer le pourcentage du volume de la boîte occupé par les quatre balles. Arrondir à $0,1 \%$ près.
Justifier soigneusement la réponse. Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

Ex1

  1. $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\approx-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. $f\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 1$.
    $\quad$
  3. On lit sur le graphique que $0,5$ admet deux antécédents par $f$, qui sont environ $0,5$ et environ $2,5$.
    $\quad$
  4. On lit sur le graphique que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions qui sont environ $0$ et environ $3$.
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]$, le minimum de $g$ vaut environ $-1$ et est atteint en $x\approx 2$.
    Le maximum de $g$ vaut environ $0$ et est atteint en $x\approx 0$.
    $\quad$
  6. a. Le tableau de variation de la fonction $g$ est :
    $\quad$
    a. On a : $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}<2$. Or, sur l’intervalle $\left[0;2\right]$, la fonction $g$ est décroissante. Donc $g\left(\dfrac{1}{2}\right)>g\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
    De plus : $2<\dfrac{5}{2}<3<\dfrac{7}{2}$.
    Or, sur l’intervalle $\left[2;\dfrac{7}{2}\right]$, la fonction $g$ est croissante, donc $g\left(\dfrac{5}{2}\right)<g\left(3\right)$.
    $\quad$
  7. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S$ de l’inéquation $g(x) \pp 0$ est $S=[-1;3]$.
    $\quad$
  8. Graphiquement, on voit que l’ensemble solution $S’$ de l’inéquation $f(x) > g(x)$ est $S’=]0;3[$.
    $\quad$

Ex2

  1. Voir figure ci-dessous.

    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
    &=\sqrt{(-1-1)^2+(2-4)^2}\\
    &=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\\
    &=\sqrt{4+4}\\
    &=\sqrt{8} \end{align*}$.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$ puisqu’on remarque que $\sqrt{8}<\sqrt{18}<\sqrt{26}$.
    D’une part $AB^2+AC^2=\left(\sqrt{18}\right)^2+\left(\sqrt{8}\right)^2=18+8=26$
    D’autre part $BC^2=\left(\sqrt{26}\right)^2=26$
    Donc $BC^2=AB^2+AC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
    $\quad$
  4. D’après la formule des coordonnées du milieu, on a $A’\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$ donc $A’\left(\dfrac{4+(-1)}{2};\dfrac{1+2}{2}\right)$ d’où $A’\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  5. $x_A=1\neq\dfrac{3}{2}=x_{A’}$ donc une équation de $(AA’)$ est du type $y=ax+b$.
    Le coefficient directeur $a$ est donné par
    $\begin{align*} a&=\dfrac{y_{A’}-y_{A}}{x_{A’}-x_A}\\
    &=\dfrac{\dfrac{3}{2}-4}{\dfrac{3}{2}-1} \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\
    &=-\dfrac{5}{2}\times2\\
    &=-5 \end{align*}$.
    Donc $(AA’) : y=-5x+b$.
    Or $A\in(AA’)$ donc $y_A=-5x_A+b$ d’où $4=-5\times1+b$ et donc $b=9$.
    Au final, on a bien $(AA’) : y=-5x+9$.
    $\quad$
  6. a. Comme précédemment, on a :
    $B’\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $B’\left(0;3\right)$.
    $\quad$
    b. Vérifions dans un premier temps que $B\in d$. On a :
    $3-0,5x_B=3-0,5\times4=1=y_B$ donc $B\in d$. De même, vérifions que $B’\in d$.
    On a : $3-0,5x_{B’}=3-0,5\times0=3=y_{B’}$ donc $B’\in d$.
    Au final, $(BB’)=d$. Donc $(BB’)\ :\ y=3-0,5x$.
    $\quad$
  7. D’après les questions précédentes, les droites $(AA’)$ et $(BB’)$ ont des coefficients directeurs différents ($-5\neq-0,5$) : elles sont donc sécantes. Notons alors $G\left(x_G;y_G\right)$ leur point d’intersection.
    $$\begin{align*}G\left(x_G;y_G\right)\in(AA’)\cap(BB’)&\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ y_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\9-5x_G&=3-0,5x_G \end{array}\right. \\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ 6&=4,5x_G \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} y_G&=9-5x_G\\ \dfrac{4}{3}&=x_G\end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=9-5\times\dfrac{4}{3} \end{array}\right.\\
    &\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll} x_G&=\dfrac{4}{3}\\y_G&=\dfrac{7}{3} \end{array}\right.\end{align*}$$
    $\quad$

Ex3

  1. On obtient le patron suivant :
    $\quad$
  2. On considère le triangle $AIJ$ comme base du tétraèdre $AIJD$. Ce triangle est rectangle en $A$ donc son aire $\mathscr{A}$ est donnée par $\mathscr{A}=\dfrac{AI\times AJ}{2}=1$.
    Donc, le volume $V$ du tétraèdre $AIJD$ est donné par $V=\dfrac{\mathscr{A}\times AD}{3}=1$. Quand $x=2$, le volume du tétraèdre vaut $1$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&\phantom{00}0\phantom{00}&0,25&0,5&0,75&\phantom{00}1\phantom{00}&1,25&1,5&1,75&\phantom{00}2\phantom{00}&2,25&2,5\\
    \hline
    V(x)&\color{red}0&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}1,3125&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,5625&\phantom{0}\color{red}1,5\phantom{0}&\color{red}1,3125&\phantom{00}\color{red}1\phantom{00}&\color{red}0,5625&\phantom{00}\color{red}0\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Ce qui nous permet d’obtenir la représentation graphique suivante :

    $\quad$
    c. Graphiquement, on obtient un volume maximal pour $x=1,25$.
    $\quad$

Ex4

  1. $D(x)=24x^2-78x-21-\left(4x^2-28x+49\right)=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel. Alors : $(2x-7)(10x+10)=20x^2+20x-70x-70=20x^2-50x-70$.
    $\quad$
  3. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $D(x)=0\Leftrightarrow (2x-7)(10x+10)=0\Leftrightarrow 2x-7=0 \text{ ou } 10x+10=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}\\text{ou}\ x=-1$.
    L’ensemble solution $S$ de l’équation $D(x)=0$ est $S=\left\lbrace-1,\dfrac{7}{2}\right\rbrace$.
    $\quad$
  4. $D(2)=(2\times2-7)\times(10\times2+10)=-3\times30=-90$ et $D(-4)=(2\times(-4)-7)\times(10\times(-4)+10)=450$.
    $\quad$
  5. Langage naturel
    Saisir $x$
    $D\leftarrow \color{red}{(2x-7)\times(10x+10)}$
    Si $\color{red}{D<0}$
    Alors
    $\quad$ Afficher « $x$ est solution de l’inéquation »
    Sinon
    $\quad$ Afficher « $\color{red}x$ n’est pas solution»
    Fin Si
    $\quad$
    En python
    x=float(input(“Saisir la valeur de x”))
    D = (2*x-7)*(10*x+10)
    if D < 0 :
    print(“x est solution de l’inéquation”)
    else :
    print(“x n’est pas solution”)
    $\quad$

Ex5

D’après les informations de l’énoncé, la boîte est un parallélépipède rectangle de dimensions $6,4$ cm, $12,8$ cm et $12,8$ cm. Son volume $\mathscr{V}_{\text{boîte}}$ vaut donc $\mathscr{V}_{\text{boîte}}=6,4\times12,8\times12,8=1048,576$ (cm$^3$ !).

Chaque balle a un diamètre de $6,4$ cm, ce qui donne un rayon de $3,2$ cm. Donc, le volume d’une balle  vaut $\dfrac{4}{3}\times\pi\times3,2^3=\dfrac{131,072\pi}{3}$ cm$^3$. Donc le volume des quatre balles vaut $\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}=\dfrac{524,288\pi}{3}$.

Donc $\dfrac{\mathscr{V}_{4\ \text{balles}}}{\mathscr{V}_{\text{boîte}}}\approx 0,524$. Les quatre balles occupent donc environ $52,4 \%$ de la boîte.

$\quad$

2nd – Exercices – Racines carrées

Racines carrées

Exercice 1

Écrire ces expressions sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est un entier naturel le plus petit possible et $a$ un entier relatif.

$A=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108}$
$\quad$
$B=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245}$
$\quad$
$C=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175}$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+7\sqrt{108} \\
&=5\sqrt{3\times 16}-2\sqrt{3\times 25}+7\sqrt{3\times 36} \\
&=5\times 4\sqrt{3}-2\times 5\sqrt{3}+7\times 6\sqrt{3}\\
&=20\sqrt{3}-10\sqrt{3}+42\sqrt{3}\\
&=52\sqrt{3}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=3\sqrt{20}+2\sqrt{45}-6\sqrt{245} \\
&=3\sqrt{4\times 5}+2\sqrt{9\times 5}-6\sqrt{49\times 5}\\
&=3\times 2\sqrt{5}+2\times 3\sqrt{5}-6\times 7\sqrt{5}\\
&=6\sqrt{5}+6\sqrt{5}-42\sqrt{5}\\
&=-30\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=-5\sqrt{28}+3\sqrt{112}+2\sqrt{175} \\
&=-5\sqrt{4\times 7}+3\sqrt{16\times 7}+2\sqrt{25\times 7}\\
&=-5\times 2\sqrt{7}+3\times 4\sqrt{7}+2\times 5\sqrt{7} \\
&=-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}+10\sqrt{7} \\
&=12\sqrt{7}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}$
$\quad$
$C=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}$
$\quad$
$D=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}$
$\quad$
$E=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$A=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}=\dfrac{3}{2\sqrt{7}}\times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{2\times 7}=\dfrac{3\sqrt{7}}{14}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}=\dfrac{5}{3\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{3\times 2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$
$\quad$
$C=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}=\dfrac{8}{3\sqrt{6}}\times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{8\sqrt{6}}{3\times 6}=\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$
$\quad$
$D=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}=\dfrac{-2}{5\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{5\times 3}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{15}$
$\quad$
$E=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}=\dfrac{7}{4\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{7\sqrt{5}}{4\times 5}=\dfrac{7\sqrt{5}}{20}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(\sqrt{2}-3\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{11}\right)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^2 \\
&=\sqrt{3}^2-2\times \sqrt{3}\times \sqrt{7}+\sqrt{7}^2\\
&=3-2\sqrt{21}+7\\
&=10-2\sqrt{21}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\left(\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)^2 \\
&=\sqrt{5}^2+2\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2\\
&=5+4\sqrt{15}+4\times 3\\
&=5+4\sqrt{15}+12\\
&=17+4\sqrt{15}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}-3\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{5}\right) \\
&=3\times \sqrt{2}^2+4\sqrt{10}-9\sqrt{10}-12\times \sqrt{5}^2\\
&=3\times 2-5\sqrt{10}-12\times 5\\
&=6-5\sqrt{10}-60\\
&=-54-5\sqrt{10}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{11}\right) \\
&=\sqrt{2}^2-\sqrt{11}^2\\
&=2-11\\
&=-9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

 

2nd – Exercices – tableaux de signes et inéquations

Exercices – Tableaux de signes et inéquations

 

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction $f$ donc une représentation graphique a été donnée.

$\quad$

Correction Exercice 1

On utilise la propriété suivante :

 Propriété : On considère une fonction $f$ et sa représentation graphique $\mathscr{C}_f$.

  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)>0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$.
  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)<0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$
  • $f\left(x_0\right)=0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$  coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x_0$.

On obtient alors les tableaux de signes suivants :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, par le calcul, le signe des fonctions suivantes définies sur $\R$ :

  1. $f:x\mapsto x+5$
    $\quad$
  2. $g:x\mapsto 2x-3$
    $\quad$
  3. $h:x\mapsto -4x+1$
    $\quad$
  4. $i:x\mapsto \dfrac{1}{2}x+4$
    $\quad$
  5. $j:x\mapsto -\dfrac{2}{3}x+7$
    $\quad$
Correction Exercice 2

    1. On a $f(x)=x+5$.
      $f(x)=0 \ssi x+5=0 \ssi x=-5$
      et
      $f(x)>0 \ssi x+5>0 \ssi x>5$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    2. On a $g(x)=2x-3$
      $g(x)=0 \ssi 2x-3=0 \ssi 2x=3 \ssi x=1,5$
      et
      $g(x)>0 \ssi 2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>1,5$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    3. On a $h(x)=-4x+1
      $h(x)=0 \ssi -4x+1=0 \ssi -4x=-1 \ssi x=0,25$
      et
      $h(x)>0 \ssi -4x+1>0 \ssi -4x>-1 \ssi x<0,25$
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    4. On a $i(x)=\dfrac{1}{2}x+4$
      $i(x)=0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4= 0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-4 \ssi x=-8$
      et
      $i(x)>0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4> 0 \ssi \dfrac{1}{2}x>-4 \ssi x>-8$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    5. On a $j(x)=-\dfrac{2}{3}x+7$
      $j(x)=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x+7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x=-7 \ssi x=10,5$
      et
      $j(x)>0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>-7 \ssi x<10,5$
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :
    1. $\quad$

 

[collapse]

Exercice 3

Déterminer graphiquement les solutions des inéquations suivantes :

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. L’ensemble solution est : $]-4;4[$.
    $\quad$
  2. L’ensemble solution est ,environ : $]-\infty;-3,8]\cup[1,8;+\infty[$.
    $\quad$
  3. L’ensemble solution est : $]-1;3[$.
    $\quad$

[collapse]

2nd – Exercices – Calcul numérique et littéral

Calcul numérique et littéral

Exercice 1

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$A=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8} \qquad B = \dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right) \qquad C = \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}} \qquad D = \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{6} $

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align} A&=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8}\\\\
&= \dfrac{4}{3} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{32}{24} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{22}{24}\\\\
&=\dfrac{11}{12}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} B&=\dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right)\\\\
&= \dfrac{5}{18} \times \dfrac{11}{15}\\\\
&=\dfrac{5 \times 11}{18 \times 3 \times 5}\\\\
&=\dfrac{11}{54}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} C&= \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{6}}{\dfrac{5}{6}}\\\\
&=-\dfrac{7}{6} \times \dfrac{6}{5} \\\\
&=-\dfrac{7}{5}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$$E=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}}  \qquad F=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \qquad G = \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \qquad H= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right)$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align} E&=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \\\\
&= \dfrac{-\dfrac{21}{28}+\dfrac{20}{28}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}} \\\\
&=\dfrac{-\dfrac{1}{28}}{\dfrac{17}{12}}\\\\
&=-\dfrac{1}{28} \times \dfrac{12}{17} \\\\
&=-\dfrac{3}{119}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} G &= \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \\\\
&= \dfrac{3,9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} \\\\
& = \dfrac{3,9}{3} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-5}} \\\\
&= 1,3 \times 10 \\\\
&=13
\end{align}$

$\begin{align} H &= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right) \\\\
&= \left(\dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{12}{15} – \dfrac{10}{15} \right) \\\\
&=\dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{15} \\\\
&=\dfrac{8}{3} \times \dfrac{15}{2} \\\\
&=20
\end{align}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On donne l’expression $A = (x-3)(x+3)-2(x-3)$.

  1. Factoriser $A$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  3. En choisissant l’expression $A$ la plus adaptée parmi celles trouvées aux questions 1. et 2., déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ et pour $x=0$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align} A &=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
    & = (x-3) \left[(x+3) – 2\right] \\\\
    &= (x-3)(x+1)
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A & = (x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
    &= x^2-3^2 – 2x + 6 \\\\
    &= x^2 – 9 – 2x + 6 \\\\
    &= x^2-2x – 3
    \end{align}$
    $\quad$
  3. Pour $x=-1$, on choisit la forme factorisée.
    $A = (-1 – 3)(-1 + 1) = 0$
    $\quad$
    Pour $x=0$, on choisit la forme développée.
    $A = 0^2-2 \times 0 – 3 = -3$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère l’expression $A = (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
    &= 9x^2+24x+16 – (-6x^2+3x-8x+4) \\\\
    &= 9x^2+24x+16+6x^2-3x+8x-4\\\\
    &=15x^2+29x+12
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
    & = (3x+4) \left[(3x+4) – (-2x+1)\right] \\\\
    &=(3x+4)(5x+3)
    \end{align}$
    $\quad$
  3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre l’équation $A=0$.
    $$(3x+4)(5x+3) = 0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $3x+4 = 0$ ou $5x+3=3$
    $ x = – \dfrac{4}{3}$ ou $x = – \dfrac{3}{5}$
    L’équation possède donc deux solutions : $- \dfrac{4}{3}$ et $- \dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ en utilisant l’expression factorisée on obtient :
    $$A=(3\times (-1) + 4)(5 \times (-1) + 3) = -2$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère l’expression $A = (2x -3)^2-(2x -3)(x-2)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $A = 0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align} A&=(2x – 3)^2-(2x -3)(x-2) \\\\
    &= (2x)^2-2\times 3\times 2x + 3^2 – \left(2x^2-4x-3x+6\right)\\\\
    &=4x^2-12x+9-\left(2x^2-7x+6 \right)\\\\
    &=2x^2-5x+3
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A &= (2x -3) \left[ (2x -3) – (x-2) \right] \\\\
    &=(2x -3)(x-1)
    \end{align}$
    $\quad$
  3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre $A=0$.
    $$(2x -3)(x-1)=0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x -3=0 $ $\quad$  ou $\quad$ $x-1=0$
    soit $2x=3$ $\qquad \quad ~~$ ou $\quad$ $ x=1$
    $~~~~x=\dfrac{3}{2}$
    L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. On utilise, par exemple, l’expression développée :
    Si $x=-2$ alors $A = 2 \times (-2)^2 – 5\times (-2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère l’expression $J = (2 x -7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $J$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $J$.
    $\quad$
  3. Résoudre $J=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $J$ pour $x=3$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49\\\\
    &=(2 x – 7)+ (2x)^2-7^2\\\\
    &=(2 x -7) \times 1+(2 x – 7)(2 x + 7) \\\\
    &=(2 x – 7)\left[1 + (2 x + 7) \right] \\\\
    &=(2 x – 7)(2 x + 8)
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49 \\\\
    &= 2 x – 7 + 4x^2 – 49 \\\\
    &=4x^2 + 2 x – 56
    \end{align}$
    $\quad$
  3. Pour résoudre l’équation $J=0$ on va utiliser la forme factorisée:
    $$(2 x – 7)(2 x + 8) = 0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $2 x – 7 = 0$ ou $2 x + 8 = 0$
    $x=\dfrac{7}{2}$ ou $x = -4$
    $\quad$
  4. Pour $x= 3$ on va utiliser l’expression développée :
    $$J = 4 \times 3^2 + 2 \times 3 – 56 = -14$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Devoir commun 9 (mai)

Devoir commun – 2nd

 Mai 2018

Énoncé

Exercice 1   (8 points)

Une entreprise possède trois usines de fabrications de composants :

  • la première se trouve en France;
  • la deuxième se trouve au Maroc;
  • la troisième se trouve en Inde.

Un contrôleur de qualité s’intéresse au nombre de composants produits en janvier 2018 dans chacune des trois usines.
Il a relevé les données suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
\hline
\text{Usine de France}&1~600&\phantom{\dfrac{1}{1}}&33~600\\
\hline
\text{Usine du Maroc}&\phantom{\dfrac{1}{1}}&&12~660\\
\hline
\text{Usine d’Inde}&1~540&\phantom{\dfrac{1}{1}}&\\
\hline
\text{TOTAL}&3~800&\phantom{\dfrac{1}{1}}&82~800\\
\hline
\end{array}$$

  1. Compléter le tableau ci-dessus.
    $\quad$
  2. On prend un composant au hasard dans la production de janvier 2018. On considère les événements suivants :
    $\bullet$ $F$ “le composant provient de l’usine de France”;
    $\bullet$ $M$ “le composant provient de l’usine du Maroc”;
    $\bullet$ $I$ “le composant provient de l’usine d’Inde”;
    $\bullet$ $D$ “le composant est défectueux”.
    $\quad$
    a. Calculer $P(F)$ et $P(D)$.
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’événement $F\cap D$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase l’événement $F\cup D$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    d. Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 2    (8,5 points)

Partie A 

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points $A(-1;5)$, $B(6;1)$ et $C(1;-3)$.

  1. Placer les points dans le repère ci-dessous. La figure sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
    $\quad$
  3. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
    $\quad$
  4. Soit $E(2;-5)$. Les points $A,C$ et $E$ sont-ils alignés? Justifier.
    $\quad$
  5. Placer sur la figure le point $F$ tel que $\vect{AF}=\vect{BC}+2\vect{CE}$.

$\quad$

Partie B

On considère l’algorithme suivant (en langage naturel et en langage Python) :

En langage naturel

Lire $a$
Lire $b$
Lire $c$
Lire $d$
$\quad$ Si $a\times d-b\times c=0$ alor
$\qquad$ Afficher “Vrai”
$\quad$ Sinon
$\qquad$ Afficher “Faux”
$\quad$

En Python

def algorithme(a,b,c,d):
$\quad$ if a * d – b * c == 0:
$\qquad$ return(“Vrai”)
$\quad$ else:
$\qquad$ return(“Faux”)
$\quad$

  1. $a$ et $b$ correspondent aux coordonnées du vecteur $\vec{u}$ et $c$ et $d$ aux coordonnées du vecteur $\vec{v}$. Qu’affiche l’algorithme dans les cas suivants?
    a. $\vec{u}(24;-32)$ et $\vec{v}(-42;56)$.
    $\quad$
    b. $\vec{u}(-15;25)$ et $\vec{v}(-6;9)$
    $\quad$
  2. Dans le contexte des vecteurs, expliquer le rôle de l’algorithme.
    $\quad$

Exercice 3    (10,5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant, le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de signe de $f$ sur $\R$.% et les antécédents de $0$ par $f$.
    $\quad$

Partie B

Un cormoran situé au point $C(0;30)$ pêche un poisson situé au point $P(20;-10)$ puis remonte sur une falaise au point $F(40;30)$ en suivant la trajectoire parabolique décrite par la fonction $f$ dans le repère ci-dessous :

 

$\quad$

  1. Expliquer en justifiant que les points $C$ et $F$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. À l’aide la partie A, répondre aux questions suivantes :
    a. Donner les coordonnées des deux points où le cormoran entre et sort de l’eau.
    $\quad$
    b. Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles le cormoran est sous l’eau.
    $\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

 

  1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites.
    $\quad$
  2. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
    $\quad$
  3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$

Partie B

Sur la figure ci-dessous sont représentées :

  • $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$;
  • $\left(d_1\right)$, la droite d’équation $y=\dfrac{15}{8}x$;
  • $\left(d_2\right)$, la droite d’équation $y=-\dfrac{17}{8}x+8$.

 

$\mathscr{C}_f$, $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ semblent avoir un point d’intersection commun. Est-ce la cas? Justifier.

$\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

“Si je roule à $90$ km/h, j’arriverai à midi mais si je roule à $65$ km/h j’arriverai alors à $13$h”.
Déterminer l’heure de départ ainsi que le nombre de kilomètres à parcourir.

Indication : on rappelle la formule $v=\dfrac{d}{t}$ qui lie la vitesse $v$ (en km/h), le temps $t$ (en h) et la distance $d$ parcourue (en km).

$\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

  1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites. $\quad$
  2. a. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi les droites $d_4$ et $d_5$ sont sécantes et déterminer, en justifiant, les coordonnées de leur point d’intersection.
  3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Dans un cinéma, la place coûte $9,80$ €. Si l’on prend un abonnement annuel à $30$ €, on paie la place au tarif réduit de $5,50$ €. À partir de combien de films visionnés dans l’année l’abonnement est-il plus avantageux?

$\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
    \hline
    \text{Usine de France}&1~600&\color{red}{32~000}&33~600\\
    \hline
    \text{Usine du Maroc}&\color{red}{660}&\color{red}{12~000}&12~660\\
    \hline
    \text{Usine d’Inde}&1~540&\color{red}{35~000}&\color{red}{36~540}\\
    \hline
    \text{TOTAL}&3~800&\color{red}{79~000}&82~800\\
    \hline
    \end{array}$$$\quad$
  2. a. La situation précédente étant une situation d’équiprobabilité, on obtient
    $P(F)=\dfrac{33~600}{82~800}=\dfrac{28}{69}$ et $P(D)=\dfrac{3~800}{82~800}=\dfrac{19}{414}$.
    $\quad$
    b. $F\cap D$ correspond à l’événement “le composant vient de France et est défectueux” et
    $P(F\cap D)=\dfrac{1~600}{82~800}=\dfrac{4}{207}$.
    $\quad$
    c. \item $F\cup D$ correspond à l’événement “le composant vient de France ou est défectueux” et
    $\begin{align*} P(F\cup D)&=P(F)+P(D)-P(F\cap D)\\
    &=\dfrac{33~600+3~800-1~600}{82~800} \\
    &=\dfrac{35~800}{82~800}\\
    &=\dfrac{179}{414}
    \end{align*}$.
    $\quad$
    d. On calcule les ratios “nombre de composants en bon état” / “nombre total de composants” pour les trois pays.
    Pour la France, on obtient $\dfrac{32~000}{33600}\approx 0,952$ .
    Pour le Maroc, $\dfrac{12~000}{12~660}\approx 0,948$.
    Et pour l’Inde, $\dfrac{35~000}{36~540}\approx 0,958$.
    L’usine la plus efficace, en terme de qualité de production, semble être celle se situant en Inde.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A 

  1. $\quad$
    $\quad$
  2. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6-(-1)\\1-5\end{pmatrix}$ donc $\vect{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vect{AB}=\vect{DC}$. Or
    $\vect{DC}\begin{pmatrix}1-x_D\\-3-y_D\end{pmatrix}$.
    Donc on obtient $1-x_D=7$ et $-3-y_D=-4$,
    soit$x_D=-6$ et $y_D=1$. Donc $D(-6;1)$.
    $\quad$
  4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}$. On cherche à savoir s’il existe un nombre réel $t$ tel que $\vect{AE}=t\vect{AB}$, c’est-à-dire $3=7t$ et $-10=-4t$.
    Or $\dfrac{3}{7}\neq2,5$ donc il n’existe pas un tel $t$. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés.
    $\quad$
  5. (voir figure)

$\quad$

Partie B

  1. a. $24\times56-(-32)\times(-42)=0$, donc le programme affiche “vrai”.
    $\quad$
    b. $-15\times9-25\times(-6)=15$ donc le programme affiche “faux”.
    $\quad$
  2. Cet algorithme teste si les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{10}(x^2-40x+400)-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+40-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
    $\quad$
  2. $1^{\text{ère}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme canonique :
    on en déduit directement les coordonnées du sommet de la parabole : $(20;-10)$.
    Le coefficient $a=\dfrac{1}{10}$ devant la parenthèse étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $2^{\text{ème}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme développée pour laquelle $a=\dfrac{1}{10}$, $b=-4$ et $c=30$. L’abscisse du sommet est $\dfrac{-b}{2a}=20$ et l’ordonnée du sommet vaut $f(20)=-10$.
    Le coefficient $a$ étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. $\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)=\dfrac{1}{10}x^2-3x-x+30=f(x)$.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de chaque facteur :
    $\dfrac{1}{10}x-1\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant10$ et $\dfrac{1}{10}x-1=0\Leftrightarrow x=10$ ;
    $x-30\geqslant0\Leftrightarrow x\geqslant 30$ et $x-30=0\Leftrightarrow x=30$ ;
    On obtient donc le tableau de signe ci-dessous :

$\quad$

Partie B

  1. Le point $C(0;30)$ appartient à la parabole représentant $f$ car
    $f(x_C)=f(0)=\dfrac{1}{10}\times0^2-4\times0+30=30=y_C$.
    De même, le point $F(40;30)$ appartient à cette courbe car
    $f(x_F)=f(40)=\dfrac{1}{10}(40-20)^2-10=\dfrac{1}{10}\times400-10=40-10=30=y_F$.
    $\quad$
  2. a. Le cormoran entre et sort de l’eau aux points de la courbe d’ordonnée $0$, qui ont pour abscisse respective $10$ et $30$.
    $\quad$
    b. Le cormoran est finalement sous l’eau pour $x\in[10;30]$.
    $\quad$

Ex 4(S)

Exercice 4

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Partie A

  1. $(d_1) : x=-3 $ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) \ y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par :
    $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}$$
    Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
    Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
    $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p$ $\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p$ $\Leftrightarrow p=-5$.
    Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
    $\quad$

Partie B

Les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ n’ont pas le même coefficient directeur$\ $; on calcule dans un premier temps les coordonnées du point d’intersection $M(x_M;y_M)$ de ces deux droites. Ces deux coordonnées satisfont le système

$$\begin{align*} (S) : \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ y_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right.&\ssi \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ \dfrac{15}{8}x_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ 4x_M&=8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{4}\\ x_M&=2\\ \end{array}\right.\end{align*}$$

Mais $f(2)=4\neq\dfrac{15}{4}$, donc cet unique point d’intersection des deux droites n’appartient pas à la parabole représentant $f$ : ces trois courbes n’ont donc pas de point d’intersection commun.

$\quad$

Ex 5(S)

Exercice 5

Pour les élèves demandant à aller en 1S

On note $t$ la durée du parcours (exprimée en heures) et $d$ la distance parcourue (exprimée en km).
À $90$ km$/$h, l’égalité rappelée dans l’énoncé donne $90=\dfrac{d}{t}$, ce qui équivaut à $90t=d$.
À $65$ km$/$h, le trajet dure une heure de plus, donc $65=\dfrac{d}{t+1}$, ce qui équivaut à $65(t+1)=d$. On résout le système :
$$\begin{align*}
(S) : \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ d&=65(t+1)\\ \end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 90t&=65(t+1)\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 25t&=65\\ \end{array}\right.\\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=234\\ t&=2,6\\ \end{array}\right.\end{align*}$$
$0,6$h correspondant à $0,6\times60=36$ minutes, l’heure de départ est donc $9\text{h}24$ et la distance parcourue s’élève à $234$ km.
$\quad$

Ex 4(Non S)

Exercice 4

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

  1. $(d_1) : x=-3\$ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) : y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de $(d_4)$ vaut $2$ et celui de $(d_5)$ vaut $-3$ : ces deux nombres étant différents, les droites sont sécantes. Notons $G(x_G;y_G)$ leur point d’intersection. Ses coordonnées vérifient :
    $$\begin{align*} (S): \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\y_G&=4-3x_G\\\end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_G&=2x_G+2\\2x_G+2&=4-3x_G\\\end{array}\right.\\
    &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\5x_G&=2\\\end{array}\right. \\
    &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=\dfrac{14}{5}\\x_G&=\dfrac{2}{5}\\\end{array}\right. \end{align*}$$
    $\quad$
  3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par
    $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}.$$
    Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
    Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
    $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p\Leftrightarrow p=-5$.
    Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
    $\quad$

Ex 5(Non S)

Exercice 5

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Notons $x$ le nombre de films visionnés en une année. Alors, avec le tarif sans abonnement, on paie $9,8x$ euros pour voir ces $x$ films. Avec l’abonnement, on paie $30+5,5x$ euros. On cherche à savoir pour quelles valeurs de $x$ on a $30+5,5x\leqslant9,8x$.
On résout cette inéquation :
$30+5,5x\leqslant9,8x\Leftrightarrow30\leqslant4,3x\Leftrightarrow\dfrac{30}{4,3}\leqslant x$.
Or $\dfrac{30}{4,3}\approx6,98$ et $x$ ne prend que des valeurs entières, donc le tarif avec abonnement est avantageux à partir de $7$ films visionnés dans l’année.
$\quad$

 

2nd – Exercices – Second degré (recherche)

Exercices de recherche – Second degré – 2nd

Exercice 1

Un joueur de foot situé à $25$m du but adverse tente un tir et parvient à marquer.
Son ballon a franchi la ligne de but à une hauteur de $2,20$m passant ainsi tout près de la barre transversale, puis a touché le sol à $1$m derrière la ligne de but.
Sachant que la trajectoire du ballon est une parabole, quelle hauteur maximale le ballon a-t-il atteinte ?

$\quad$

Correction Exercice 1

On peut représenter la situation de la façon suivante.

On considère un repère orthonormé $(O;I,J)$ dont l’origine est le”pied” gauche de la parabole.

La fonction $f$ associée à la trajectoire est une fonction du second degré. Il existe un réel $a$ tel que :
$f(x)=ax(x-26)$
On sait que $f(25)=2,2$
Par conséquent, en remplaçant $x$ par $25$ dans l’expression de $f(x)$ on obtient $-25a=2,2 \ssi a=-\dfrac{2,2}{25}=-0,088$.

Donc $f(x)=-0,088x(x-26)$.
Puisque les points d’abscisses $0$ et $26$ ont la même ordonnée ($0$) cela signifie que le sommet de la parabole est atteint pour $x=\dfrac{0+26}{2}=13$.
Donc la hauteur maximale est $h=f(13)=-0,088\times 13\times (-13)=14,872$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.
On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

  1. À quel intervalle appartient $x$?
    $\quad$
  2. Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
    $\quad$
  3. Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
    Donc $x\in [0;4]$.
    $\quad$
  2. L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
    Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
    Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
    Ainsi l’aire de la figure est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
    &=x^2+16-8x+x^2 \\
    &=2x^2-8x+16
    \end{align*}$
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
    &\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
    Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
    Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

    Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
    $\quad$

[collapse]


$\quad$

Exercice 3

Le viaduc de Garabit est encore aujourd’hui l’un des plus remarquables ouvrages d’art jamais construits.
Cet édifice, doté d’une arche monumentale, a été le plus grand ouvrage métallique du monde. Il fut aussi et surtout un véritable laboratoire en vue de la construction de la Tour Eiffel.
Sa portée est de $165$m et sa flèche d’environ $52$m, et l’arche peut être assimilée à une parabole.

Quelle est la hauteur de l’arche à $30$m du bord? On fournira un arrondi à $10^{-2}$m.

source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:France_Cantal_Viaduc_de_Garabit_04.jpg

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

On sait que la portée du viaduc est de $165$m. Cela signifie donc que, dans un repère centré en un des pieds du viaduc, l’abscisse du sommet est $\dfrac{165}{2}=82,5$. Les coordonnées du sommet sont donc $(82,5;52)$.

Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x) = a(x-82,5)^2+52$.
On sait également que $f(165)=0$
Donc $a(165-82,5)^2+52=0 \ssi 82,5^2a=-52 \ssi a=-\dfrac{52}{6~806,25}$

Par conséquent $f(x)=-\dfrac{52}{6~806,25}(x-82,5)^2+52$.

On trouve ainsi $f(30)=-\dfrac{52}{6~806,25}(30-82,5)^2+52 \approx 30,94$m.

À $30$m du bord l’arche à une hauteur d’environ $30,94$ m.

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$\quad$

Exercice 4

Un massif de fleurs a la forme d’un rectangle dont l’aire vaut $612$m$^2$.
Ce massif est entouré par une allée de largeur $1,50$m formant avec le massif un autre rectangle. L’aire de l’allée est de $165$m$^2$. Quels sont les dimensions du massif ?

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $L$ et $\ell$ respectivement la longueur et la largeur du massif.
On a donc $L\times \ell  =612$.

L’aire de l’allée est $2(L+2\times 1,5)\times 1,5+2\ell\times 1,5=3(L+3)+3\ell$.
Par conséquent $3(L+3)+3\ell=165 \ssi L+3+\ell = 55 \ssi L+\ell =52$.

On doit donc résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} L\times \ell=612 \\L+\ell =52 \end{cases}&\ssi \begin{cases} L\times \ell=612\\\ell=52-L\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ L(52-L)=612\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ -L^2+52L-612=0 \end{cases}
\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-L^2+52L-612$ avec $a=-1$, $b=52$ et $c=-612$.
Son sommet a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=26$.
Son ordonnée est $\beta=f(\alpha)=f(26)=64$.

On peut donc écrire $f(x)=-(x-26)^2+64$.

On veut résoudre :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -(x-26)^2+64=0 \\
&\ssi (x-26)^2=64 \\
&\ssi x-26=8 \text{  ou  }x-26=-8 \\
&\ssi x=34 \text{  ou  }x=18
\end{align*}$

Si on reporte ces valeurs dans le système précédent on a :
Si $L=34$ alors $\ell=52-34=18$
Si $L=18$ alors $\ell=52-18=34$.

Le massif mesure donc $34$m de long et $18$m de large.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une personne lance une balle d’une hauteur de $1,50$m.
La balle suit une trajectoire parabolique dont le sommet est atteint $4$m plus loin avec une hauteur de $2,50$m.

À quelle distance de la personne la balle retombe-t-elle au sol?

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $f$ la fonction du second degré associée au problème.
Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x)=a(x-4)^2+2,5$
On sait que $f(0)=1,5 \ssi 16a+2,5=1,5 \ssi 16a=-1 \ssi a=-\dfrac{1}{16}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5$

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5=0 \\
&\ssi \dfrac{1}{16}(x-4)^2=2,5 \\
&\ssi (x-4)^2=40 \\
&\ssi x-4=\sqrt{40} \text{  ou  } x-4=-\sqrt{40} \\
&\ssi x=4+\sqrt{40} \text{  ou  } x=4-\sqrt{40}
\end{align*}$

La balle retombe donc à $4+\sqrt{40}$ m de la personne.

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$\quad$

Exercice 6

Voici le schéma d’une arche de forme parabolique. Elle mesure $40$m de long. Lorsqu’une personne mesurant $1,75$m se tient à $1,40$m d’une extrémité sa tête touche l’arche.

Quelle est alors la hauteur maximale $h$ de cette arche ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$m.

Correction Exercice 6

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

En plaçant un repère au pied gauche de l’arche, on peut repérer les points $A(0;0)$, $B(40;0)$ et $C(1,4;1,75)$.

Il existe ainsi un réel $a$ tel que $f(x)=ax(x-40)$.
Or :
$\begin{align*} f(1,4)=1,75 &\ssi a\times 1,4 \times (-38,6)=1,75 \\
&\ssi a=-\dfrac{1,75}{54,04} \\
&\ssi a=-\dfrac{25}{772}
\end{align*}$

Donc $f(x)=-\dfrac{25}{772}x(x-40)$.

Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée. Par conséquent l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+40}{2}=20$.
Son ordonnée est $f(20)=-\dfrac{25}{772}\times 20 \times (-20)=\dfrac{2~500}{193} \approx 12,95$.

Ainsi, l’arche a une hauteur d’environ $12,95$m.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Second degré

Exercice 1

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
On appelle $\mathscr{P}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr{P}$. Quel type d’extremum admet la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $f(x)=2$.
    Retrouver l’abscisse du sommet de la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1.  la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
    Donc $a=1$, $b=6$ et $c=2$.
    Le sommet de la parabole a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-3$.
    Son ordonnée est $\beta=f(-3)=(-3)^2+6\times (-3)+2=-7$
    De plus $a=1>0$
    Donc le tableau de variation de la fonction $f$ est :

    $\quad$
  2. D’après le tableau précédent, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-3;-7)$.
    Puisque $a=1>0$, il s’agit d’un minimum.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi x^2+6x+2=2 \\
    &\ssi x^2+6x=0 \\
    &\ssi x(x+6)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x=0$ ou $x+6=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $-6$.
    $\quad$
    Le sommet appartient à l’axe de symétrie de la parabole. Donc l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+(-6)}{2}=-3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+4x+5$.

  1. Montrer que $f(x)=(x+2)^2+1$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x)\pg 1$ pour tout réel $x$. En déduire que la fonction $f$ admet un minimum.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (x+2)^2+1&=x^2+4x+4+1 \\
    &=x^2+4x+5\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$, on a $(x+2)^2 \pg 0$
    Par conséquent $(x+2)^2 +1\pg 1$
    C’est-à-dire $f(x) \pg 1$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x) \pg 1$ et $f(-2)=(-2+2)^2+1=1$.
    Par conséquent la fonction $f$ admet $1$ pour minimum atteint pour $x=-2$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x-1)(x+5)$.

  1. Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $f(x)=-2(x-1)(x+5)$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+5=0 \ssi x=-5$ et $x+5>0 \ssi x>-5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. D’après la question précédente on a $f(1)=f(-5)=0$.
    Puisque le sommet de la parabole représentant la fonction $f$ appartient à l’axe de symétrie, l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{1+(-5)}{2}=-2$.
    Son ordonnée est $f(-2)=-2(-2-1)(-2+5)=-18$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$
    Remarque : On pouvait également développer l’expression de $f(x)$ et retrouver l’abscisse du sommet à l’aide la formule $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction polynôme du second degré $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Compléter le tableau de variation.

$\quad$

Correction Exercice 4

$f$ est une fonction du second degré. Pour tout réel $x$, il existe trois réels $a$, $\alpha$ et $\beta$ tels que :
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique).
Le tableau de variation nous dit que $\alpha=2$ et $\beta =10$.
Ainsi $f(x)=a(x-2)^2+10$.
On sait de plus que :
$\begin{align*} f(8)=1 &\ssi a(8-2)^2+10=1 \\
&\ssi a\times 6^2=-9 \\
&\ssi 36a=-9 \\
&\ssi a=-\dfrac{9}{36} \\
&\ssi a=-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+10$

Ainsi $f(-2)=-\dfrac{1}{4}(-2-2)^2+10=-\dfrac{1}{4}\times 16+10=6$

On obtient donc le tableau de variation suivant :

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Montrer que les expressions suivantes définissent la même fonction polynôme du second degré.

$$A(x)=-3(x-2)^2+75 \quad \text{et} \quad B(x)=3(7-x)(x+3)$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A(x)&=-3(x-2)^2+75 \\
&=-3\left(x^2-4x+4\right)+75 \\
&=-3x^2+12x-12+75 \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

$\begin{align*} B(x)&=3(7-x)(x+3) \\
&=3\left(7x+21-x^2-3x\right) \\
&=3\left(-x^2+4x+21\right) \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

Par conséquent $A(x)=B(x)=-3x^2+12x+63$. Les deux expressions définissent donc bien la même fonction polynôme du second degré.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Systèmes d’équations – Problème

Problèmes – Systèmes d’équations à 2 inconnues

Tous les systèmes sont résolus à l’aide de la méthode par combinaisons linéaires (ou méthode du pivot de Gauss.)
Ne pas oublier de vérifier les calculs à l’aide par exemple de la calculatrice (qui sait très bien résoudre ce type de système)

Exercice 1

Dans un magasin, tous les articles d’une même catégorie sont au même prix.
Pierre et Clothilde décident d’y acheter des DVD et des bandes dessinées.
Ils possèdent chacun $75$ €. Pierre achète un DVD et $4$ bandes dessinées ; il lui reste $14,50$ €.
Clothilde dépense 73,50 € pour l’achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
Calculer le prix de chaque article.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $D$ le prix d’un DVD et $B$ celui d’une bande dessinée.
Pour Pierre : $D+4B=75-14,50 \ssi D+4B=60,5$
Pour Clothilde : $2D+3B=73,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} D+4B=60,5&\quad L_1\\2D+3B=73,5&\quad L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &2D+3B=73,5 \\
-2L_1 &: &-\left( 2D+8B=121\right)\\
\hline
&& -5B=-47,5
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5&\\-5B=-47,5&L_2-2L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5\\B=9,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+4\times 9,5=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+38=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D=22,5 \end{cases}
\end{align*}$

Ainsi un DVD coûte $22,5$ € et une bande dessinée $9,5$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long.
Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.
Déterminer la longueur en mètre d’une locomotive et celle d’un wagon-citerne.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle : $L$ la longueur d’une locomotive et $W$ la longueur d’un wagon-citerne.

Ainsi, “Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long” permet d’écrire l’équation :
$2L+10W=152$
Et “Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.” fournit l’équation :
$2L+10W-L+2W=160 \ssi L+12W=160″.

On a donc le système $S=\begin{cases} 2L+10W=152&L_1 \\L+12W=160&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2L+24W=320 \\
-L_1 &: &-\left( 2L+10W=152\right)\\
\hline
&& 14W=168
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152&\\14W=168&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152\\W=12 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12 \\2L+10\times 12=152 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L+120=152\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L=32 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\L=16 \end{cases}
\end{align*}$

Une locomotive mesure donc $16$ m et un wagon-citerne $12$ m.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Pour offrir un cadeau à l’un d’eux, les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ € , soit 45 pièces en tout.
Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $D$ le nombre de pièces de $2$ € et $U$ le nombre de pièces de $1$ €.

Ainsi “les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ €” fournit l’équation $2D+1U=75 \ssi 2D+U=75$.
Et “soit 45 pièces en tout” nous permet d’écrire $D+U=45$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 2D+U=75&L_1\\D+U=45&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2D+2U=90 \\
-L_1 &: &-\left( 2D+U=75\right)\\
\hline
&& U=15
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2D+U=75& \\U=15&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D+15=75 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\D=30\end{cases}
\end{align*}$

Les élèves ont donc collecté $30$ pièces de $2$ € et $15$ pièces de $1$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une entreprise artisanale fabrique deux types d’objets en bois, notés A et B.
Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois pour fabriquer $43$ objets.
Déterminer le nombre d’objets réalisés pour chaque type.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A$ le nombre d’objets de type A fabriqués et $B$ le nombre d’objets de type B fabriqués.

Ainsi “Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois” permet d’écrire $3A+5B=163$.
Et “… pour fabriquer $43$ objets” nous fournit l’équation $A+B=43$.

On obtient donc le système $S=\begin{cases}3A+5B=163&L_1\\A+B=43&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
3L_2 &: &3A+3B=129 \\
-L_1 &: &-\left( 3A+5B=163\right)\\
\hline
&& -2B=-34
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi\begin{cases} 3A+5B=163& \\-2B=-34&3L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3A+5B=163\\B=17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+5\times 17=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+85=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A=78 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\A=26 \end{cases} \end{align*}$

L’entreprise a donc fabriqué $26$ objets de type A et $17$ objets de type B.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.
Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.
Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $V$ le prix du kilogramme de vernis et $C$ celui du kilogramme de cire.

“Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.” permet d’écrire : $6V+4C=95$
“Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.” fournit : $3V+3C=55,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} 6V+4C=95&L_1\\3V+3C=55,5&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &6V+6C=111 \\
-L_1 &: &-\left( 6V+4C=95\right)\\
\hline
&& 2C=16
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95&\\2C=16&2L_2-L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95\\C=8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+4\times 8=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+32=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V=63\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8 \\V=10,5\end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme de vernis coûte donc $10,$ euros et un kilogramme de cire coûte $8$ euros.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Un torréfacteur met en vente deux sortes de mélange de café. Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme. Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.
Quel est le prix du kilogramme d’Arabica et du kilogramme de Robusta ?

Remarque : la monnaie utilisée est le franc pacifique.

$\quad$

Correction Exercice 6

On appelle $A$ le prix d’un kilogramme d’Arabica et $R$ le prix d’un kilogramme de Robusta.

“Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme” fournit l’équation $0,6A+0,4R=86,4$.
“Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.” donne l”équation $0,4A+0,6R=79,6$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&L_1\\0,4A+0,6R=79,6&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
0,6L_2 &: &0,24A+0,36R=47,76 \\
-0,4L_1 &: &-\left( 0,24A+0,16R=34,56\right)\\
\hline
&& 0,2R=13,2
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&\\0,2R=13,2&0,6L_2-0,4L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4 \\R=66 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66 \\0,6A+0,4\times 66=86,4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A+26,4=86,4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\A=100 \end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme d’Arabica coûte donc $100$ F et un kilogramme de Robusta coûte $66$ F.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Pour financer une partie de leur voyage de fin d’année, des élèves de troisième vendent des gâteaux qu’ils ont confectionnés eux-même.
Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.
Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros.
La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.
Déterminer combien ils ont vendu de tartes de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $M$ le nombre de tartes aux myrtilles vendues et $P$ le nombre de tartes aux pommes vendues.

“Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.” fournit l’équation $M+P=15$.
“Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros. La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.” nous permet d’écrire $4M+2P=42$.

On obtient le système $S=\begin{cases} M+P=15&L_1\\4M+2P=42&L_2\end{cases}$.

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &4M+2P=42 \\
-4L_1 &: &-\left( 4M+4P=60\right)\\
\hline
&& -2P=-18
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} M+P=15 &\\-2P=-18&L_2-4L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} M+P=15\\P=9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M+9=15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M=6\end{cases}
\end{align*}$

Par conséquent ils ont vendu $6$ tartes aux myrtilles et $9$ tartes aux pommes.

$\quad$

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