2nd – Exercices – Aires et volumes

Aires et volumes

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Recopier et compléter les égalités suivantes :

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = \ldots ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = \ldots~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = \ldots~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = \ldots ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000 \ldots$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000\ldots$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = \ldots \text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = \ldots \text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = \ldots \text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = \ldots \text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = 32~000 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = 0,005~7 ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = 3~500~000~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = 0,072~5~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = 0,085 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = 200 ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000~ \text{cm}^2$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000~\text{dam}^2$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = 5~765~000 ~\text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = 25~700~\text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = 570~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = 0,007~2 ~\text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = 5,7 ~\text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = 4~750~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $\mathscr{S}$ une sphère de entre $O$ et de rayon $4$ cm.

Calculer son aire et son volume (valeurs exactes et arrondies à $10^{-1}$ près).

$\quad$

Correction Exercice 2

Aire : $4\pi \times R^2 = 4 \pi \times 4^2 $ $= 64\pi \approx 201,1 \text{cm}^2$

Volume : $\dfrac{4}{3} \pi \times R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 4^3 $ $= \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1 \text{cm}^3$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 3

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.
On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.
$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :
$\begin{align*} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\
& = 100\\
SI &= 10
\end{align*}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A} &= \dfrac{SI \times BC}{2} \\
& = \dfrac{10 \times 12}{2} \\
& = 60 \text{m}^2\end{align*}$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.

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$\quad$

Exercice 4

Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon $3$ cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est $2$ fois plus grand.

  1. a. Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. En déduire que le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
    $\quad$
  2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
    Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à $2$ cm de son centre.
    Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la tête et du corps? Arrondir le résultat au cm$^2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un récipient cylindrique de rayon $2$ cm et de hauteur $4,5$ cm, on verse de l’eau jusqu’à atteindre une hauteur de $3$ cm. On pose dans ce verre une bille métallique de $1$ cm de rayon.

  1. Quelle est la hauteur d’eau dans le récipient (arrondie au millimètre) après immersion d’une bille?
    $\quad$
  2. Combien de billes peut-on mettre dans le récipient sans le faire déborder?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le volume de la bille est $V_B=\dfrac{4}{3}\pi\times 1^3=\dfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer la hauteur $h$ que ce volume représente dans le récipient.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $2^2\pi\times h=\dfrac{4}{3}\pi \ssi 4 h=\dfrac{4}{3} \ssi h=\dfrac{1}{3}$
    Après immersion de la bille, la hauteur d’eau est $3+\dfrac{1}{3}\approx 3,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume d’eau du récipient est $V_R=2^2\times \pi\times 4,5=18\pi$ cm$^3$.
    Le volume d’eau est $V_E=2^2\times 3\pi=12\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} n\times V_B\pp V_R-V_E &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n \pp 18\pi-12\pi \\
    &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n\pp 6\pi \\
    &\ssi n\pp \dfrac{6}{~~\dfrac{4}{3}~~} \\
    &\ssi n\pp 6\times \dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n \pp 4,5\end{align*}$
    On peut donc mettre au maximum $4$ billes dans le récipient sans le faire déborder.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Enzo et Lucie effectuent des calculs sur une même sphère. Enzo calcule l’aire (en cm$^2$) et Lucie le volume (en cm$^3$). Leurs résultats sont égaux.
Quel est le rayon de la sphère?

$\quad$

Correction Exercice 6

Le volume d’une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times R^3$.
L’aire d’une sphère de rayon $R$ est $A=4\pi\R^2$.

On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} V=A&\ssi \dfrac{4}{3}\pi \times R^3=4\pi \R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3=R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3-R^2=0\\
&\ssi R^2\left(\dfrac{1}{3}R-1\right)=0\end{align*}$

Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $R^2=0 \ssi R=0$ ou $\dfrac{1}{3}R-1=0 \ssi \dfrac{1}{3}R=1\ssi R=3$.

Le rayon de la sphère est égal à $3$ cm.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Aire du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Aire du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=24,5\pi$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+24,5\pi=55,125\pi$ m$^3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit avec comme base le triangle $ABC$ isocèle en $C$.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.

Madame Duchemin souhaite louer son studio.
Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de $20$ € par m$^2$ de surface habitable.
Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de $1,80$ m (article R111-2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure.
Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à $700$ €.
Peut-elle louer son studio à ce prix ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

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2nd – Exercices – Projeté orthogonal

Projeté orthogonal

Exercices corrigés – 2nd

 

Exercice 1

On appelle $A’$, $B’$ et $C’$ les projetés orthogonaux respectifs des points $A$, $B$ et $C$ sur la droite $\Delta$.

Représenter ces trois points sur la figure ci-dessous.

 

$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient la figure suivante :

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$\quad$

Exercice 2

On considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que l’angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

Le cercle $\mathscr{C}$ de diamètre $[AB]$ coupe le segment $[AC]$ en $B’$.

  1. Montrer que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $C’$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Montrer que $AC’=AB’$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’on a également $BB’=CC’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Le triangle $ABB’$ est inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ et le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. Par conséquent le triangle $ABB’$ est rectangle en $B’$.
    Ainsi les droite $(BB’)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires et le point $B’$ appartient à la droite $(AC)$. Cela signifie donc que le point $B’$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$
  2. On appelle $A’$ le milieu du segment $[BC]$.
    Le triangle $ABC$ étant isocèle en $A$, la droite $(AA’)$ est un axe de symétrie pour ce triangle.
    L’image du point $B$ par cette symétrie est le point $C$.
    Une symétrie axiale conserve les angles. Donc l’image du point $B’$ est le point $C’$ par cette symétrie.
    Une symétrie centrale conserve les longueurs et le point $A$ est sa propre image. Donc $AB’=AC’$.
    $\quad$
  3. Pour répondre à cette question, on peut utiliser les mêmes arguments qu’à la question précédente ou appliquer le théorème de Pythagore (ce que nous allons faire).
    Dans le triangle $BCC’$ rectangle en $C’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AC’^2+CC’^2$
    Dans le triangle $CBB’$ rectangle en $B’$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AB^2=AB’^2+BB’^2$
    Le triangle $ABC$ est iscole en $A$ donc $AB=AC$.
    Ainsi $AC’^2+CC’^2=AB’^2+BB’^2$.
    Puisque $AB’=AC’$ on a, par conséquent, $CC’^2=BB’^2$.
    Or $CC’$ et $BB’$ sont des longueurs. Donc $CC’=BB’$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un triangle équilatéral $ABC$ et un point $M$ à l’intérieur du triangle. On appelle $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les projetés orthogonaux du point $M$ sur les côtés du triangle $ABC$.
Montrer, en calculant des aires, que la somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est constante.

$\quad$

Correction Exercice 3

 

L’aire du triangle $MBC$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{MM_1\times BC}{2}$.
L’aire du triangle $MAB$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{MM_2\times AB}{2}$.
L’aire du triangle $MAC$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{MM_3\times AC}{2}$.
On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $ABC$.

Par conséquent $\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\mathscr{A}$
$\ssi \dfrac{MM_1\times BC}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AC}{2}=\mathscr{A}$
Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc $AB=BC=AC$.
On en déduit donc que :
$\dfrac{MM_1\times AB}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AB}{2}=\mathscr{A}$
$\ssi \left(MM_1+MM_2+MM_3\right)AB=2\mathscr{A}$
$\ssi MM_1+MM_2+MM_3=\dfrac{2\mathscr{A}}{AB}$

La somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est bien constante.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.
Déterminer la distance du point $A$ au côté $[BC]$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A’$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2 \\
&=36+64 \\
&=100\end{align*}$
Par conséquent $BC=10$.

On peut calculer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ de deux façons:
$\mathscr{A} = \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=24$ cm$^2$
$\mathscr{A} = \dfrac{AA’\times BC}{2} \ssi 24=\dfrac{AA’\times 10}{2} \ssi AA’=\dfrac{24}{5}$

La distance du point $A$ au côté $[BC]$ est donc égale à $\dfrac{24}{5}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère une droite $d$, un point $A$ appartenant à cette droite et un point $B$ n’appartenant pas à celle-ci. On appelle $O$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $d$.
Les points $A’$ et $B’$ sont respectivement les symétriques des points $A$ et $B$ par rapport à $O$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABA’B’$?

$\quad$

Correction Exercice 5

Le point $O$ est donc le milieu des segments $[AA’]$ et $[BB’]$.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ se coupend donc en leur milieu.
Par conséquent $ABA’B’$ est un parallélogramme.
$O$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la  droite $(AA’)$.
Cela signifie donc que les droites $(OB)$ et $(AA’)$ sont perpendiculaires.
Les diagonales du quadrilatère $ABA’B’$ sont perpendiculaires. C’est donc un losange.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

autre formule pour calculer l’aire d’un triangle

On considère un triangle quelconque $ABC$. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$.
On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.

  1. Exprimer l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$ en prenant comme base le côté $[BC]$.
    $\quad$
  2. En déduire que $\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin\widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. Application : Déterminer un arrondi à $10^{-2}$ près de l’aire du triangle $ABC$ si $a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times BC}{2}=\dfrac{AH\times a}{2}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi \sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{b} \ssi AH=b\times \sin\widehat{ACB}$
    Donc $\mathscr{A}=\dfrac{AH\times a}{2}=\dfrac{AB\times \sin \widehat{ACB}}{2}$
    $\quad$
  3. Si$a=4$ cm, $b=6$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    Alors
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{4\times 6\times \sin  60}{2} \\
    &=12\sin 60  \\
    &=12\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
    &=6\sqrt{3} \\
    &\approx 10,39\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Formule d’Al Kashi

On considère un triangle quelconque $ABC$ tel que $\widehat{ACB}$ soit aigu. On appelle $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

  1. À l’aide de relations trigonométriques, exprimer $HA$ et $HC$ en fonction de $AC$.
    $\quad$
  2. En déduire une expression de $BH$ en fonction de $BC$, $AC$ et $\cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  3. En déduire que $AB^2=AC^2+BC^2-2\times AC\times BC\times \cos \widehat{ACB}$.
    $\quad$
  4. Application : Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$° déterminer la longueur du segment $[AB]$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AH}{AC} \ssi AH=AC\sin \widehat{ACB}$
    $\cos \widehat{ACB}=\dfrac{HC}{AC} \ssi HC=AC\cos \widehat{ACB}$
    $\quad$
  2. Si $H$ appartient au segment $[BC]$ alors $BH=BC-HC=BC-AC\cos \widehat{ACB}$
    Si $H$ n’appartient pas au segment $[BC]$ (l’angle $\widehat{ABC}$ est alors obtus) alors $BH=HC-BC=AC\cos \widehat{ACB}-BC$
    $\quad$
    On aura par la suite besoin de $BH^2$ qui dans les deux cas vaut $\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2$.
    $\quad$
  3. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$.
    $\begin{align*} AB^2&=BH^2+HA^2 \\
    &=\left(BC-AC\cos \widehat{ACB}\right)^2+\left(AC\sin \widehat{ACB}\right)^2 \\
    &=BC^2+AC^2\cos^2 \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}+AC^2\times \sin^2 \widehat{ACB} \\
    &=BC^2+AC^2\times \left(\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}\right)-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\qquad (*) \\
    &=BC^2+AC^2-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}-2BC\times AC\times \cos \widehat{ACB}\end{align*}$
    $(*)$ car $\cos^2 \widehat{ACB}+\sin^2 \widehat{ACB}=1$ (propriété du cours).
    $\quad$
  4. Si $AC=6$ cm, $BC=8$ cm et $\widehat{ACB}=60$°
    alors $AB^2=8^2+6^2-2\times 8\times 6\times \cos 60= 52$
    Donc $AB=\sqrt{52}$
    $\quad$

 

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$\quad$

2nd – Exercices – Trigonométrie

Trigonométrie

Exercices corrigés – 2nd

Toutes les longueurs seront arrondies au centième près et les angles au degré près.

Exercice 1

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $AB=3$ cm et $\widehat{ABC}=51$°.

Calculer $AC$, $BC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB} \ssi AC=AB\times \tan \widehat{ABC}\ssi AC = 3 \tan 51$
Donc $AC \approx 3,70$ cm.

$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi BC=\dfrac{AB}{\cos \widehat{ABC}}\ssi BC=\dfrac{3}{\cos 51}$
Donc $BC\approx 4,77$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB}=180-90-51=39$°

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $BC=17$ cm et que
$\widehat{ABC}=23$°.

Calculer $AB$, $AC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi AB=BC\cos \widehat{ABC} \ssi AB=17\cos 23$
Donc $AB\approx 15,65$ cm.

$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC} \ssi AC=BC\sin \widehat{ABC} \ssi AC=17\sin 23$
Donc $AC \approx 6,64$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB} = 180-90-23=67$°

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=30$ cm et $BC=25$ cm.

Calculer $AB$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AB^2&=BC^2+AC^2 \\
&=625+900 \\
&=1~525\end{align*}$
Donc $AB=\sqrt{1~525}=\sqrt{25\times 61}=5\sqrt{61} \approx 39,05$ cm.

$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{30}{25}=1,2$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 50$°.

$\tan \widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$.
Donc $\widehat{BAC}\approx 40$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$. On sait que $\sin \widehat{BAC}=0,2$.

Déterminer la valeur de $\cos \widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{BAC}+\sin^2 \widehat{BAC}=1 \\
\ssi &  ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,2^2=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,04=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}=0,96\end{align*}$

L’angle $\widehat{BAC}$ est aigu. Donc $\cos \widehat{BAC}\pg 0$.
Ainsi $\cos \widehat{BAC}=\sqrt{0,96}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait que $\cos \widehat{ABC}=0,5$.

Déterminer la valeur de $\sin \widehat{ABC}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,5^2+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,25+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~\sin^2 \widehat{ABC}=0,75\end{align*}$

L’angle $\widehat{ABC}$ est aigu. Donc $\sin \widehat{ABC}\pg 0$.
Ainsi $\sin \widehat{ABC}=\sqrt{0,75}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $BC=2CA$.

Déterminer la mesure de $\widehat{CBA}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC}{2AC}=\dfrac{1}{2}$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 27$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $\alpha$.

Montrer que $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $a$ la longueur du côté opposé à l’angle $\alpha$, $b$ la longueur du côté adjacent à l’angle $\alpha$ et $h$ l’hypoténuse.

Ainsi $\cos \alpha=\dfrac{b}{h}$, $\sin \alpha=\dfrac{a}{h}$ et $\tan \alpha=\dfrac{b}{a}$.

première démonstration :

$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{b}{h}\times \dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{a}=\tan \alpha$

deuxième démonstration :

$\tan \alpha=\dfrac{b}{a}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la figure suivante :

On sait que $OA=8$ cm et que le point $O$ appartient au segment $[AD]$.

Déterminer l’aire du quadrilatère $ABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 8

Nous allons calculer les aires des trois triangles rectangles. Pour cela, nous avons besoin de déterminer les longueurs $AB$, $OB$, $BC$, $OC$, $CD$ et $OD$.

Les trois angles bleus, d’après la figure ont la même mesure et l’angle $\widehat{AOD}$ est plat. Donc chacun des angles bleus mesure $\dfrac{180}{3}=60$°.
Du fait de la propriété concernant les angles opposés par le sommet, les angles $\widehat{AOB}$,$\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ mesurent donc également $60$°.

Ainsi :

Dans le triangle $AOB$ rectangle en $B$
$\sin \widehat{AOB}=\dfrac{AB}{OA} \ssi AB=OA\sin \widehat{AOB}\ssi AB=8\sin 60=4\sqrt{3}$
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA} \ssi OB=OA\cos \widehat{AOB}\ssi OB=8\cos 60=4$

Dans le triangle $BOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{BOC}=\dfrac{BC}{OB} \ssi BC=OB\sin \widehat{BOC}\ssi BC=4\sin 60=2\sqrt{3}$
$\cos \widehat{BOC}=\dfrac{OC}{OB} \ssi OC=OB\cos\widehat{BOC}\ssi OC=4\cos 60=2$

Dans le triangle $DOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{COD}=\dfrac{CD}{OC} \ssi CD=OC\sin \widehat{COD}\ssi CD=2\sin 60=\sqrt{3}$
$\cos \widehat{COD}=\dfrac{OD}{OC} \ssi OD=OC\cos \widehat{COD}\ssi OD=2\cos 60=1$

L’aire du triangle $AOB$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{OB\times AB}{2}=\dfrac{4\times 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $BOC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{BC\times OC}{2}=\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $COD$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{CD\times OD}{2}=\dfrac{1\times \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$

L’aire du quadrilatère $ABCD$ est donc $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

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$\quad$

2nd – Exercices – Fonctions de référence (mélange)

Fonctions de référence (mélange)

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. on considère deux points $A(3;2)$ et $B(7;-2)$.

  1. On considère la fonction affine $f$ vérifiant $f(3)=2$ et $f(7)=-2$.
    Déterminer une expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement l’hyperbole d’équation $y = \dfrac{4}{x}$.
    $\quad$
  3. Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, quelles sont les coordonnées des points d’intersection de cette hyperbole et de la droite représentant la fonction $f$?
    Retrouver ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x_A\neq x_B$. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y = ax+b$.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $a= \dfrac{-2-2}{7-3} = -1$.
    Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y = -x + b$.
    On sait que $A$ appartient à cette droite. Par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation.
    $2 = -3 + b \ssi b = 5$.
    $\quad$
    Une équation de $(AB)$ est donc $y = -x + 5$.
    On vérifie que les coordonnées de $B$ vérifient également cette équation : $-7 + 5 = -2$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex8

    $\quad$
  3. $(x-1)(x-4) = x^2-x-4x + 4 = x^2-5x + 4$
    $\quad$
  4. Graphiquement, les points d’intersection des deux courbes sont les poins de coordonnées $(1;4)$ et $(4;1)$.
    Les points d’intersection vérifient $\dfrac{4}{x} = -x + 5$  $\ssi 4 = -x^2 + 5x$ $\ssi x^2-5x + 4 = 0$.
    D’après la question précédente cela revient à résoudre $(x-1)(x-4) = 0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses produits au moins est nul :
    $x-1 = 0 \ssi x = 1$ ou $x-4 =0 \ssi x = 4$.
    Si $x= 1$ alors $y = \dfrac{4}{1} = 4$.
    Si $x = 4$ alors $y = \dfrac{4}{4} = 1$.
    On retrouve ainsi les points identifiés graphiquement.

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$\quad$

Exercice 2

  1. Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :
    $f(x) = \dfrac{2}{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    $\quad$
    $g(x) = 2x – 3$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2};-4\right)$ sont communs à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  3. En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex9
  2. $\dfrac{2}{2} = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times 2-3 = 4-3 = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
    $\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times \dfrac{-1}{2}-3 = -1- 3 = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
  3. Par conséquent $f(x) \pg g(x)$ sur $\left[-\dfrac{1}{2};0\right[\cup [2;+\infty[$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Les canettes utilisées par les fabricants de soda sont des cylindres dont la hauteur est égale à cinq fois son rayon.
On appelle $V$ la fonction qui, à tout rayon $r$ du disque de base exprimé en cm, associe le volume de la canette en cm$^3$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $V$.
    $\quad$
  2. Exprimer $V(r)$ en fonction de $r$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rayon, arrondi au millimètre, de la canette pour que celle-ci ait un volume de $25$ cL.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Le rayon peut prendre toutes les valeurs strictement positives.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]0;+\infty[$.
    On exclut $0$ pour que la canette ne soit pas réduite à un point.
    $\quad$
  2. La hauteur $h$ de la canette est égale à cinq fois celle de son rayon. Par conséquent $h=5r$.
    Ainsi $V(r)=\pi r^2\times 5r=5\pi r^3$.
    $\quad$
  3. $25$ cL $=250$ cm$^3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} V(r)=250 &\ssi 5\pi r^3=250 \\
    &\ssi r^3=\dfrac{250}{5\pi} \\
    &\ssi r=\sqrt[3]{\dfrac{250}{5\pi}}\end{align*}$
    Par conséquent $r\approx 2,5$ cm.

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$\quad$

Exercice 4

Une approximation de la vitesse $v$, exprimée en km/h, d’un satellite tournant autour de la terre selon une trajectoire circulaire est donnée par la formule suivante : $$v=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}}$$ où $h$ est l’altitude, exprimée en km, du satellite.

  1. On suppose que la vitesse du satellite est de $9~553$ km/h. À quelle altitude, arrondie au km, se situe-t-il?
    $\quad$
  2. Les satellites géostationnaires sont situés à une altitude de $35~786$ km.
    Quelle est alors la vitesse, arrondi au km/h, de ces satellites?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a donc :
    $\begin{align*} 9~553=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}} &\ssi 9~553\sqrt{6~371+h}=356\times 6~371 \\
    &\ssi \sqrt{6~371+h}=\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \end{align*}$
    Ainsi $6~371+h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2$
    Soit $h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2-6~371$.
    Par conséquent $h\approx 49~997$ km.
    Le satellite se trouve donc à une altitude d’environ $49~997$ km.
    $\quad$
  2. Si $h=35~786$ alors :
    $v=\dfrac{356\times 6~371}{\sqrt{6~371+35~786}} \approx 11~046$ km/h.
    La vitesse des satellites géostationnaires est donc d’environ $11~046$ km/h.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$, dont la somme n’est pas nulle, et la fonction inverse $f$.
On s’intéresse aux couples de nombres $(a;b)$ vérifiant la relation : $$f(a+b)=f(a)\times f(b) \qquad (E)$$

  1. Montrer que le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Peut-on trouver un couple de la forme $(1;b)$ qui vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le couple $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$. Exprimer $b$ en fonction de $a$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Si $a=-2$ et $b=\dfrac{2}{3}$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{-2+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{-4}{3}=-\dfrac{3}{4}$.
    $f(a)\times f(b)=\dfrac{1}{-2}\times \dfrac{1}{~~\dfrac{2}{3}~~}=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Si $a=1$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{1+b}$
    $f(a)\times f(b)=1\times \dfrac{1}{b}$
    On doit donc résoudre l’équation : $\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1}{b}\ssi 1+b=b$ qui n’a pas de solution.
    Aucun coupe de la forme $(1;b)$ ne vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le coupe $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$.
    On a alors :
    $\begin{align*} f(a+b)=f(a)\times f(b) &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\times \dfrac{1}{b} \\
    &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{ab} \\
    &\ssi a+b=ab \\
    &\ssi a=ab-b \\
    &\ssi a=(a-1)b \\
    &\ssi b=\dfrac{a}{a-1}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On dispose d’un carré en métal de $40$ cm de côté. Pour construire une boîte parallélépipédique, on retire à chaque coin un carré de côté $x$ cm et on relève les bords par pliage (voir figure).
On note $f$ la fonction qui au nombre $x$ associe le volume $f(x)$ de la boîte obtenue.

  1. Donner l’ensemble de définition de la $f$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(5)$ et interpréter le sens concret de ce résultat.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de $f(x)$.
    $\quad$

On répondra aux questions suivantes à l’aide de la représentation graphique de $f$, donnée ci-dessous, avec la précision permise par ce graphique. On laissera apparents sur le graphique les pointillés utiles pour la lecture graphique.

  1. Donner les éventuels antécédents de $2~500$ par $f$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $x$ le volume de la boîte est-il inférieur à $2~000$ cm $^3$?
    $\quad$
  3. Quel volume maximum peut-on obtenir en fabriquant une boîte comme celle-ci?
    Pour quelle valeur de $x$ ce volume maximal est-il atteint?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On retire à chaque coin du carré de côté $40$ cm un carré de côté $x$ cm.
    Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=]0;20[$.
    $\quad$
  2. si $x=5$ alors le carré de base de la boîte a pour côté $40-2\times 5=30$ cm.
    $\quad$
    Ainsi le volume de la boîte est $f(5)=5\times 30^2=4~500$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Le carré de base de la boîte a pour côté $40-2x$.
    Par conséquent $f(x)=x(40-2x)^2$
    $\quad$
  4. Les antécédents de $2~500$ par $f$ sont environ $1,9$ et $13$.
    Cela signifie donc qu’il existe deux façons d’obtenir un volume de $2~500$ cm$^3$ : si $x=1,9$ ou si $x=13$.
    $\quad$
  5. $f(x)< 2~000$ si $x\in]0;1,5[\cup]14;20[$.
    $\quad$
  6. Le volume maximal est environ $4~750$ cm$^3$. Il est obtenu pour $x=6,5$ cm.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-7)^2-9$.
On a utilisé un logiciel de calcul formel pour obtenir la forme factorisée et la forme développée réduite de $f(x)$.
$$\begin{array}{lr}
\hline
\text{f(x):=(x-7)^2-9}& \\
&\text{(x)->(x-7)^2-9}\\
\hline
\text{factoriser(f(x))}& \\
&(x-10)(x-4)\\
\hline
\text{developper(f(x))}& \\
&x^2-14x+40 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier que la forme factorisée obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  2. Vérifier que la forme développée et réduite obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  3. Calculer les images de $0$ puis de $7$ par $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $f(x)=40$.
    $\quad$
  6. Le nombre $-10$ possède-t-il un ou des antécédent(s) par $f$? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=(x-7)^2-3^2=\left[(x-7)-3\right][\left[(x-7)+3\right]=(x-10)(x-4)$.
    On retrouve bien la forme factorisée fournie par logiciel.
    $\quad$
  2. $f(x)=x^2-14x+49-9=x^2-14x+40$.
    On retrouve bien la forme développée fournie par logiciel.
    $\quad$
  3. $f(0) = 0^2-14\times 0 + 40 = 40$.
    $f(7)=(7-7)^2-9=-9$
    $\quad$
  4. On veut résoudre $f(x)=0$. On utilise la forme factorisée : $(x-10)(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x-10=0$ ou $x-4=0$.
    Les solutions sont $10$ et $4$.
    Par conséquent les antécédents de $0$ sont $10$ et $4$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=40 &\ssi x^2-14x+40=40 \\
    &\ssi x^2-14x=0 \\
    &\ssi x(x-14)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x=0$ ou $x-14=0$.
    Les solutions de l’équation sont par conséquent $0$ et $14$.
    $\quad$
  6. On veut résoudre l’équation $f(x)=-10$ soit $(x-7)^2-9=-10$ ou encore $(x-7)^2=-1$.
    Un carré étant toujours positif, cette équation n’a pas de solution et $-10$ ne possède pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction racine carrée des nombres suivants :

  1. $81$
    $\quad$
  2. $144$
    $\quad$
  3. $225$
    $\quad$
  4. $10^8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction racine carrée.

  1. $f(81)=\sqrt{9^2}=9$
    $\quad$
  2. $f(144)=\sqrt{12^2}=12$
    $\quad$
  3. $f(225)=\sqrt{225^2}=25$
    $\quad$
  4. $f\left(10^8\right)=\sqrt{\left(10^4\right)^2}=10^4$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction racine carrée des nombres suivants :

  1. $4$
    $\quad$
  2. $\dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  3. $-9$
    $\quad$
  4. $10^3$
    $\quad$
  5. $\sqrt{5}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=4 \ssi x=16$.
    L’antécédent de $4$ est $16$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\dfrac{3}{5} \ssi x=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\ssi x=\dfrac{9}{25}$
    L’antécédent de $\dfrac{3}{5}$ est $\dfrac{9}{25}$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=-9$.
    Cette équation n’a pas de solution.
    Le nombre $-9$ n’a donc pas d’antécédent.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=10^3 \ssi x=\left(10^3\right)^2\ssi x=10^6$.
    L’antécédent de $10^3$ est $10^6$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\sqrt{5} \ssi x=5$.
    L’antécédent de $\sqrt{5}$ est $5$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée les inéquations suivantes :

  1. $\sqrt{x}<16$
    $\quad$
  2. $\sqrt{x} \pg 25$
    $\quad$
  3. $\sqrt{x} > -1$
    $\quad$
  4. $\sqrt{x} \pp 10^{-2}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\sqrt{x}<16$

    La solution de l’inéquation est $[0;256[$.
    $\quad$
  2. $\sqrt{x} \pg 25$

    La solution de l’inéquation est $[625;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\sqrt{x} > -1$

    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $\sqrt{x} \pp 10^{-2}$

    La solution de l’inéquation est $\left[0;10^{-4}\right]$.

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Dans chacun des cas, indiquer l’ensemble de définition de la fonction $f$ dont l’expression algébrique a été fournie.

  1. $f(x)=\sqrt{x+2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\sqrt{-x}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\sqrt{3-x}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=\sqrt{x+2}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $x+2\pg 0 \ssi x\pg -2$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=[-2;+\infty[$
    $\quad$
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
    Pour tout réel $x$ on a $x^2+1\pg 1\pg 0$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $mathscr{D}_f=\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)=\sqrt{-x}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $-x\pg 0 \ssi x\pp 0$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;0]$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\sqrt{3-x}$
    $f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $3-x\pg 0 \ssi -x\pg -3 \ssi x\pp 3$.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;3]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On considère la fonction racine carrée $f$ et sa courbe représentative $\mathscr{C}$ dans un repère $(O;I,J)$. Indiquer, dans chacun des cas, si le point appartient à la courbe $\mathscr{C}$.

  1. $A(4;2)$
    $\quad$
  2. $B(3;9)$
    $\quad$
  3. $C(1,44;1,2)$
    $\quad$
  4. $D(1,7;1,3)$
    $\quad$
  5. $E(-25;5)$
    $\quad$
  6. $F\left(10^{10};10^5\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\sqrt{4}=2$
    Le point $A(4;2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. On a $\sqrt{3}\neq 9$
    Le point $B(3;9)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. On a $\sqrt{1,44}=1,2$
    Le point $C(1,44;1,2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  4. On a $\sqrt{1,7} \neq 1,3$
    Le point $D(1,7;1,3)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. $-25<0$ et la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Le point $E(-25;5)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  6. On a $\sqrt{10^{10}}=\sqrt{\left(10^5\right)^2}=10^5$
    Le point $F\left(10^{10};10^5\right)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Fonction inverse

Fonction inverse

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On considère la fonction inverse $f$.

Calculer les images par $f$ des réels suivants :

  1. $\dfrac{5}{7}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{1}{9}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4}{9}$
    $\quad$
  4. $10^{-8}$
    $\quad$
  5. $10^4$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $f\left(\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{7}{5}$
    $\quad$
  2. $f\left(-\dfrac{1}{9}\right) = -9$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{9}{4}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^{-8}\right) = 10^8$
    $\quad$
  5. $f\left(10^4\right) = 10^{-4}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Utiliser la représentation graphique de la fonction inverse pour dire à quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ lorsque :

  1. $x \in [2;7]$
    $\quad$
  2. $x \in ]0;5]$
    $\quad$
  3. $x \in \left]-2;-\dfrac{1}{5}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 2

On utilise la propriété suivante :

On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe. On a alors : $$a<b \ssi \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$$
  1. $2\pp x \pp 7$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{7};\dfrac{1}{2}\right]$
    $\quad$
  2. $0<x\pp 5$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{5};+\infty \right[$
    $\quad$
  3. $-2<x \pp -\dfrac{1}{5}$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[-5;- \dfrac{1}{2}\right[$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. On sait que $x \pg 0$. Comparer $\dfrac{1}{x+7}$ et $\dfrac{1}{x + 2}$.
    $\quad$
  2. On sait que $x \pp 0$. Comparer $\dfrac{1}{x – 6}$ et $\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. On sait que $x \pg 3$. Comparer $\dfrac{1}{4x – 2}$ et $\dfrac{1}{10}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On a $x+7  > x + 2 > 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x + 7} < \dfrac{1}{x+2}$.
    $\quad$
  2. On a $x-6 < x-\sqrt{10} < 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x – 6} >\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. $x \pg 3 \Leftrightarrow 4x \pg 12$ $\Leftrightarrow 4x-2 \pg 10>0$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{4x – 2} \pp \dfrac{1}{10}$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Si $3 \pp x \le 4$ alors $\dfrac{1}{3} \pp \dfrac{1}{x} \pp \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Si $-2 \pp x \le 1$ alors $-0,5 \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.
    $\quad$
  3. Si $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ alors $0,1 \pp x \pp 1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. Affirmation fausse. On a $0<3 \pp x \pp 4$. Par conséquent  $\dfrac{1}{3} \pg\dfrac{1}{x} \pg \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Affirmation fausse. La fonction inverse n’est pas définie en $0$. On doit donner un encadrement quand $-2 \pp x < 0$ et un autre quand $0 < x \pp 1$.
    $\quad$
  3. Affirmation vraie. $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ donc $\dfrac{1}{10} \pp \dfrac{1}{~~\dfrac{1}{x}~ } \pp \dfrac{1}{1}$ soit $0,1 \pp x \pp 1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. $\dfrac{1}{x} \ge -3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{x} \ge 2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{x} \le 1$

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour résoudre ces inéquations il est préférable de s’aider de la courbe de la fonction inverse.

  1. $\mathscr{S} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right] \cup ]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\mathscr{S} = \left]0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. $\mathscr{S} = ]-\infty;0[\cup [1;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Compléter :

  1. Si $x < -1$ alors $\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\ldots \pp \dfrac{1}{x} \pp \ldots$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. Si $x < -1$ alors $-1< \dfrac{1}{x} < 0$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Fonction cube

Fonction cube

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $4$
    $\quad$
  2. $-2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{5}{2}$
    $\quad$
  4. $10^5$
    $\quad$
  5. $\sqrt{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. $f(4)=4^3=64$
    $\quad$
  2. $f(-2)=(-2)^3=-8$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^5\right)=\left(10^5\right)^3=10^{15}$
    $\quad$
  5. $f\left(\sqrt{7}\right)=\left(\sqrt{7}\right)^3=\left(\sqrt{7}\right)^2\times \sqrt{7}=7\sqrt{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $-27$
    $\quad$
  2. $125$
    $\quad$
  3. $\dfrac{8}{1~000}$
    $\quad$
  4. $-1$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=-27 \ssi x^3=(-3)^3 \ssi x=-3$
    L’antécédent de $-27$ est $-3$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $f(x)=125 \ssi x^3=5^3 \ssi x=5$.
    L’antécédent de $125$ est $5$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $f(x)=\dfrac{8}{1~000} \ssi x^3=\dfrac{2^3}{10^3}\ssi x=\dfrac{2}{10}$
    L’antécédent de $\dfrac{8}{1~000}$ est $\dfrac{2}{10}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $f(x)=-1 \ssi x^3=(-1)^3 \ssi x=-1$
    L’antécédent de $-1$ est $-1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction cube les inéquations suivantes :

  1. $x^3 < 27$
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $x^3 < 27$

    La solution est $]-\infty;3[$.
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$

    La solution est $[-5;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$

    La solution est $]-\infty;-4]$.
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$

    La solution est $]10;+\infty[$.$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

  1. On considère deux nombres réels $a$ et $b$.
    Montrer que $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Démontrer que $b^3-a^3$ et $b-a$ ont le même signe puis en déduire que $a<b \ssi a^3<b^3$
    $\quad$
  3. En déduire que pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a $a<b\ssi a^3<b^3$.
    Aide : Il faut étudier tous les cas possibles (on parle alors de disjonction de cas)
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)&=a^2b+ab^2+b^3-a^3-a^2b-ab^2 \\
    &=b^3-a^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Par conséquent $a^2$, $b^2$ et $ab$ sont tous les trois positifs.
    Ainsi $\left(a^2+ab+b^2\right)$ est positif.
    D’après la question précédente, on a $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    Cela signifie donc que $b^3-a^3$ et $a-b$ ont le même signe.
    Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ alors $a^2+ab+b^2>0$
    $\quad$
    Si $a<b$ alors $b-a>0$. On a bien $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ donc $a^2+ab+b^2>0$
    Or $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$
    Cela signifie donc, en tant que produit de deux nombres strictement positifs, que $b^3-a^3>0$ et donc que $a^3<b^3$
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$ alors $b^3-a^3>0$
    Comme $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$ alors $b-a\neq 0$ et $\left(a^2+ab+b^2\right)\neq 0$.
    $b^3-a^3$ et $b-a$ sont de même signe.
    Donc $b-a>0$ et $a<b$
  3. Nous allons considérer les cas suivants :
    – $a$ et $b$ sont de même signe. D’après la question précédente on a $a<b \ssi a^3<b^3$
    – Si $a$ et $b$ sont de signe contraire.
    $\quad$ $\bullet$ Si $a=0$ et $b>0$ alors $a^3=0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0$ et $b=0$ alors $a^3<0$ et $b^3=0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0<b$ alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    Par conséquent, si $a<b$ alors $a^3<b^3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3=0$ et $b^3>0$ alors $a=0$ et $b>0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0$ et $b^3=0$ alors $a<0$ et $b=0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0<b^3$ alors $a<0$ et $b>0$ donc $a<b$
    Par conséquent, si $a^3<b^3$ alors $a<b$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Fonction carré

Fonction carré

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c’est possible, des réels :

  1.  $1$
    $\quad$
  2. $-16$
    $\quad$
  3. $ \dfrac{9}{5}$
    $\quad$
  4. $25$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation $x^2 = 1$.
    Cette équation possède deux solutions : $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $x^2 = -16$.
    Un carré ne peut pas être négatif.
    $-16$ n’a donc aucun antécédent.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $x^2 = 25$.
    Cette équation possède deux solutions : $-5$ et $5$.
    Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction carré définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$
  3. Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.
    $\quad$
  4. Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.

$\quad$

Correction Exercice 2
  1. VRAI : La fonction carré est définie sur $\R$. Par conséquent tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
    $\quad$
  2. VRAI : $-1$ ne possède pas d’antécédent. (on peut choisir n’importe quel réel strictement négatif).
    $\quad$
  3. FAUX : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)
    $\quad$
  4. VRAI : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{10}{3};3\right]$ par $f(x) = x^2$.

  1. Tracer la représentation graphique de $f$.
    $\quad$
  2. Dans les trois situations suivantes, déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur l’intervalle $I$ fourni.
    a. $I = \left[\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
    b. $I = \left[-3;-\dfrac{1}{3}\right]$
    $\quad$
    c. $I = \left[-\dfrac{10}{3};\dfrac{1}{3}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex3
  2. a. minimum = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $3^2 = 9$
    $\quad$
    b. minimum = $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $(-3)^2 = 9$
    $\quad$
    c. minimum = $0^2 = 0$ $\quad$ maximum = $\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On considère deux nombres réels $n$ et $m$ quelconques.

Calculer en fonction de $n$ et $m$, l’expression suivante :$\dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right]$.

Simplifier l’expression.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}  \dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right] &= \dfrac{1}{2} \left[(n+m)^2 – n^2 – m^2\right] \\\\
& = \dfrac{1}{2}(n^2 + m^2 + 2nm – n^2 – m^2) \\\\
& = \dfrac{1}{2}(2nm) \\\\
& = nm
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre graphiquement dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $x^2 > 16$
    $\quad$
  2. $x^2 \le 3$
    $\quad$
  3. $x^2 \ge -1$
    $\quad$
  4. $x^2 \le -2$
    $\quad$
  5. $x^2 > 0$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-1
    La solution est $]-\infty;-4[\cup]4;+\infty[$.
  2. $\quad$
    2nd - fonction carré - ex5-2
    La solution est $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.
  3. Un carré est toujours positifs donc la solution est $\R$.
    $\quad$
  4. Un carré ne peut pas être négatif. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation.
    $\quad$
  5. Un carré est toujours positif ou nul et ne s’annule que pour $x = 0$.
    La solution est donc $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas fournir, en justifiant, un encadrement de $x^2$.

  1. $x \in [-5;-2]$
    $\quad$
  2. $x \in [-5;2]$
    $\quad$
  3. $x \in ]-1;3]$
    $\quad$
  4. $x \in [1;16[$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et donc en particulier sur $[-5;-2]$.
    Par conséquent $x^2 \in [4;25]$.
    $\quad$
  2. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $[-5;0]$ et $[0;2]$
    Si $x\in [-5;0]$ alors $x^2 \in [0;25]$
    Si $x\in [0;2]$ alors $x^2 \in [0;4]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in[-5;2]$ alors $x^2\in[0;25]$.
    $\quad$
  3. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    On va donc considérer les intervalles $]-1;0]$ et $[0;3]$
    Si $x\in ]-1;0]$ alors $x^2 \in [0;1[$
    Si $x\in [0;3]$ alors $x^2 \in [0;9]$
    $\quad$
    Finalement, si $x\in]-1;3]$ alors $x^2\in[0;9]$.
    $\quad$
  4. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur $[0;16[$.
    Par conséquent $x^2 \in [1;256[$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

2nd – Exercices corrigés

Dans le(s) cas où il n’est possible de fournir une valeur exacte, fournissez une valeur approchée au dixième.

Exercice 1

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $1$ par la fonction $f$.

fct1

Correction Exercice 1

fct1 cor

$1$ possède donc trois antécédents : $-3$ ; $-1$ et $2$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.

fct2

Correction Exercice 2

fct2 cor

Les antécédents de $-2$ sont : $-5$ ; $-0,5$ et $1$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $2$ par la fonction $f$.

fct3

Correction Exercice 3

fct3 cor

On constate que $2$ possède deux antécédents qui sont environ : $-2,2$ et $2,2$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

 

ex2

  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(1)$ et  de $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $0,5$, de $2$ et de $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
Correction Exercice 4

  1. $f(1) = 0$ et $f(0) \approx 1,2$
    ex2 cor1
  2. Les antécédents de $0,5$ sont (environ) : $-1,9$ ; $0,4$ ; $1,7$ et $2,8$
    $\quad$
    Les antécédents de $2$ sont (environ) : $-1,7$ et $-0,4$.
    $\quad$
    $-1$ n’a pas d’antécédent par $f$.
    ex2 cor2 (2)
  3. La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

  1. Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.
Correction Exercice 5

  1. On veut donc calculer :
    $f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
    $\quad$
  2. $f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
    $\quad$
  3. On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, donnant la hauteur d’eau dans un bassin naturel d’eau de mer en fonction des heures de la journée.

 

  1. Déterminer graphiquement l’intervalle $I$.
    $\quad$
  2. Que lit-on sur l’axe des abscisses?
    $\quad$
  3. Que lit-on sur l’axe des ordonnées ?
    $\quad$
  4. Utiliser le graphique pour compléter le tableau ci-dessous :

Source : Académie de Clermont-Ferrand

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $I=[0;24]$
    $\quad$
  2. On lit les heures de la journée sur l’axes des abscisses.
    $\quad$
  3. On lit la hauteur de l’eau sur l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  4. $\quad$


$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2x-3}{x-1}$.

  1. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
    $\quad$
  2. Déterminer $f(0), $f(-1) et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $0$; $1$, $-2$ et $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. La fonction $f$ est définie pour toutes valeurs de $x$ telles que $x-1\neq 0$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$.
    La fonction $f$ est par conséquent définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3$
    $f(-1)=\dfrac{2\times (-1)-3}{-1-1}=\dfrac{5}{2}$
    $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)-3}{-\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  3. Pour déterminer les antécédents de $0$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=0 \\
    &\ssi 2x-3=0 \\
    &\ssi 2x=3\\
    &\ssi x=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    On a bien $\dfrac{3}{2}\neq 1$.
    L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=1 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=1 \\
    &\ssi 2x-3=x-1 \\
    &\ssi 2x-x=-1+3\\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    On a bien $2\neq 1$.
    L’antécédent de $1$ est $2$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $-2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=-2 \\
    &\ssi 2x-3=-2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=-2x+2 \\
    &\ssi 2x+2x=2+3\\
    &\ssi 4x=5 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{5}{3}\neq 1$.
    L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=2 \\
    &\ssi 2x-3=2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=2x-2\\
    &\ssi 2x-2x=-2+3\\
    &\ssi 0=1\end{align*}$
    Le nombre $2$ ne possède donc pas d’antécédent.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.

Compléter le tableau de valeurs de suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 8

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1  & \dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x+5}$.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$?

$O(0;0)$ ; $A\left(1;\dfrac{1}{6} \right)$ ; $B\left(3;\dfrac{1}{4} \right)$ ; $C\left(-2;\dfrac{4}{7} \right)$ ; $D\left(-3;\dfrac{9}{2} \right)$

$\quad$

Correction Exercice 9

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$

$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$\quad$

$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.
$\quad$

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$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Mise en équation

Mise en équation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Un théâtre propose des places à $15$ € et d’autres places à $20$ €. Le soir d’une représentation où il a affiché complet, la recette a été de $8~000$ €.
Le nombre des spectateurs était de $470$.
Déterminer le nombre de places à $15$ €, puis le nombre de places à $20$ €.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $n$ le nombre de places à $15$ €. Par conséquent $470-n$ places à $20$ € ont été vendues.
La recette est donc $15n+20(470-n)$.
On doit donc résoudre l’équation :

$\begin{align*} 15n+20(470-n)=8~000 &\ssi 15n+9~400-20n=8~000 \\
&\ssi -5n=-1~400 \\
&\ssi n=280\end{align*}$

$280$ places à $15$ € et $190$ places à $20$ € ont donc été vendues.

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$\quad$

Exercice 2

En augmentant de $7$ cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de $81$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du carré initial?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ la longueur du côté initial.
L’aire du nouveau carré est donc $(x+7)^2$ et l’aire du carré initial est $x^2$.
On obtient par conséquent l’équation suivante :

$\begin{align*} (x+7)^2=x^2+81&\ssi (x+7)(x+7)=x^2+81\\
&\ssi x^2+7x+7x+49=x^2+81 \\
&\ssi 14x=81-49 \\
&\ssi 14x=32\\
&\ssi x=\dfrac{32}{14} \\
&\ssi x=\dfrac{16}{7}\end{align*}$

L’aire du carré initial est donc $\mathscr{A}=x^2=\left(\dfrac{16}{7}\right)^2=\dfrac{256}{49}$ cm$^2$.

Remarque : Si les identités remarquables ont été vues, il est tout à fait possible de les utiliser pour développer $(x+7)^2$ plus rapidement.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut $603$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $n$ le plus petit des deux entiers naturels. Les deux entiers naturels consécutifs sont donc $n$ et $n+1$.
On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} (n+1)^2-n^2=603&\ssi (n+1)(n+1)-n^2=603 \\
&\ssi n^2+n+n+1-n^2=603 \\
&\ssi 2n+1=603\\
&\ssi 2n=603-1\\
&\ssi 2n=602 \\
&\ssi n=301\end{align*}$

Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $301$ et $302$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $V=\dfrac{d}{T}$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps mis pour parcourir la distance $d$ (attention à la concordance des unités).

  1. Un automobiliste parcourt $36$ km en $18$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h?
    $\quad$
  2. Exprimer $T$ en fonction de $V$ et $d$.
    Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $30$ km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir $18$ km?
    $\quad$
  3. Exprimer $d$ en fonction de $V$ et $T$.
    Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de $110$ km/h pendant $42$ minutes.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $18$ min $= \dfrac{18}{60}$ h soit $0,3$ h. La vitesse moyenne de l’automobiliste est $V=\dfrac{36}{0,3}=120$ km/h.
    $\quad$
  2. $V=\dfrac{d}{T} \ssi T=\dfrac{d}{V}$.
    Ainsi si $V=30$ km/h et $d=18$ km alors $T=\dfrac{18}{30}=0,6$ h $=0,6\times 60$ min soit $36$ min.
    Le cycliste a donc mis $36$ min pour parcourir $18$ km à la vitesse moyenne de $30$ km/h
    $\quad$
  3. $V=\dfrac{d}{T}\ssi d=V\times T$
    Ainsi si $V=110$ km/h et $T=42$ min c’est-à-dire $\dfrac{42}{60}$ h soit $0,7$ h on obtient alors $d=110\times 0,7=77$ km.
    On a donc parcouru $77$ km en moto en roulant $42$ minutes à la vitesse moyenne de $110$ km/h.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Exprimer la longueur du rayon d’un disque en fonction de son aire.
Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de $30$ cm$^2$?

$\quad$

Correction Exercice 5

L’aire d’un disque est donnée par la formule $\mathscr{A}=\pi r^2$ où $r$ est le rayon du disque.
Ainsi $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi} $ et $r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}$ car $r>0$.

Par conséquent si $\mathscr{A}=30$ cm$^2$ alors $r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Deux variables $x$ et $y$ sont liées par la relation $y=\dfrac{2x+1}{x+4}$ où $x$ est un réel différent de $-4$ et $y$ un réel différent de $2$.
Exprimer $x$ en fonction de $y$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Pour tout réel $x$ différent de $-4$ et tout réel $y$ différent de $2$ on a :

$\begin{align*} y=\dfrac{2x+1}{x+4}&\ssi (x+4)y=2x+1 \\
&\ssi xy+4y=2x+1 \\
&\ssi xy-2x=1-4y\\
&\ssi x(y-2)=1-4y \\
&\ssi x=\dfrac{1-4y}{y-2}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Quel même nombre doit-on ajouter à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{6}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $\dfrac{8}{7}$?
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ le nombre qu’on ajoute au numérateur et au dénominateur. On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} \dfrac{1+x}{6+x}=\dfrac{8}{7} &\ssi 7(1+x)=8(6+x) \\
&\ssi 7+7x=48+8x \\
&\ssi 7-48=8x-7x\\
&\ssi x=-41\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$