2nd – Calculs semaine 8 – Calcul littéral, équation et fonction affine

Calculs semaine 8

Calcul littéral, équation et fonction affine

Exercice 1

Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$(2x+7)\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$$\begin{array}{lcl}
2x+7=0&\text{ ou }&\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{7}=0\\
\ssi 2x=-7&&\ssi\dfrac{1}{3}x=\dfrac{4}{7}\\\\
\ssi x=-\dfrac{7}{2}&&\ssi x=\dfrac{12}{7}
\end{array}$$
Les solutions de l’équation sont $\dfrac{12}{7}$ et $-\dfrac{7}{2}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

Développer et réduire l’expression $A(x)=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} A(x)&=(3x+4)(4x-1)-(5-3x)(2x-3)\\
&=12x^2-3x+16x-4-\left(10x-15-6x^2+9x\right) \\
&=12x^2+13x-4-\left(-6x^2+19x-15\right)\\
&=12x^2+13x-4+6x^2-19x+15\\
&=18x^2-6x+11
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Factoriser l’expression $B(x)=(4x-5)(2x-6)+4x-5$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B(x)&=(4x-5)(2x-6)+(4x-5)\times 1\\
&=(4x-5)\left[(2x-6)+1\right] \\
&=(4x-5)(2x-5)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 4

Résoudre dans $\R$ l’équation $\dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \dfrac{2}{7}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}&\ssi \dfrac{2}{7}x-\dfrac{2}{3}x=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4} \\
&\ssi \dfrac{6}{21}x-\dfrac{14}{21}x=-\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12} \\
&\ssi -\dfrac{8}{21}x=-\dfrac{7}{12} \\
&\ssi x=\dfrac{~~-\dfrac{7}{12}~~}{-\dfrac{8}{21}} \\
&\ssi x=\dfrac{7}{12}\times \dfrac{21}{8} \\
&\ssi x=\dfrac{7\times 3\times 7}{3\times 4\times 8}\\
&\ssi x=\dfrac{49}{32}
\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{49}{32}$.

$\quad$

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$\quad$

 

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine $f$ vérifiant $f(2)=5$ et $f(-4)=1$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f$ est une fonction affine. Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=ax+b$.

On a donc
$$\begin{align*}a&=\dfrac{f(-4)-f(2)}{-4-2} \\
&=\dfrac{1-5}{-6}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$

Ainsi $f(x)=\dfrac{2}{3}x+b$

On sait que $f(2)=5$ donc
$$\begin{align*} \dfrac{2}{3}\times 2+b=5 &\ssi \dfrac{4}{3}+ b=5\\
&\ssi b=5-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{15}{3}-\dfrac{4}{3}\\
&\ssi b=\dfrac{11}{3}\end{align*}$$

Par conséquent $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{11}{3}$ pour tout réel $x$.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 7 – Calcul numérique, calcul littéral et équation

Calculs semaine 7

Calcul numérique, calcul littéral et équation

Exercice 1

Factoriser $A(x)=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A(x)&=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)\\
&=(5x+4)(2x+3)-(5x+4)\times 1\\
&=(5x+4)\left[(2x+3)-1\right]\\
&=(5x+4)(2x+2)=2(5x+4)(x+1)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Développer et réduire $B(x)=(3x-5)(-4x+2)-(2x-4)(7x-6)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} B(x)&=(3x-5)(-4x+2)-(2x-4)(7x-6) \\
&=-12x^2+6x+20x-10-\left(14x^2-12x-28x+24\right) \\
&=-12x^2+26x-10-\left(14x^2-40x+24\right)\\
&=-26x^2+14-34
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre dans $\R$ l’équation $(7x+4)(4x-3)=0$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$(7x+4)(4x-3)=0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

$$\begin{array}{lcl}
7x+4=0&\text{ ou }&4x-3=0 \\
\ssi 7x=-4&&\ssi 4x=3 \\
\ssi x=-\dfrac{4}{7}&&x=\dfrac{3}{4}\end{array}$$

Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{7}$ et $\dfrac{3}{4}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Calculer, en détaillant, $C=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{5}}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} C&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}}{\dfrac{35}{15}+\dfrac{12}{15}} \\
&=\dfrac{~~-\dfrac{1}{6}~~}{\dfrac{47}{15}}\\
&=-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{15}{47} \\
&=-\dfrac{3\times 5}{3\times 2\times 47}\\
&=-\dfrac{5}{94}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel le plus petit possible, le nombre $D=4\sqrt{24}-3\sqrt{150}+2\sqrt{54}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}D&=4\sqrt{24}-3\sqrt{150}+2\sqrt{54}\\
&=4\sqrt{4\times 6}-3\sqrt{25\times 6}+2\sqrt{9\times 6} \\
&=4\sqrt{4}\times \sqrt{6}-3\sqrt{25}\times \sqrt{6}+2\sqrt{9}\times \sqrt{6} \\
&=4\times 2\sqrt{6}-3\times 5\sqrt{6}+2\times 3\sqrt{6} \\
&=8\sqrt{6}-15\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\
&=-\sqrt{6}
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

2nd – Calculs semaine 6 – Calcul numérique, calcul littéral et équation

Calculs semaine 6

Calcul numérique, calcul littéral et équation

Exercice 1

Développer et réduire $A(x)=(2x+3)(4x-1)-(3x+5)(x-7)$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}
A(x)&=(2x+3)(4x-1)-(3x+5)(x-7) \\
&=8x^2-2x+12x-3-\left(3x^2-21x+5x-35\right) \\
&=8x^2+10x-3-\left(3x^2-16x-35\right)\\
&=5x^2+26x+32
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Factoriser $B(x)=(2x+1)(5x+3)-(3x-4)(2x+1)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}B(x)&=(2x+1)(5x+3)-(3x-4)(2x+1)\\
&=(2x+1)\left[(5x+3)-(3x-4)\right]\\
&=(2x+1)(5x+3-3x+4)\\
&=(2x+1)(2x+7)
\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel le plus petit possible, le nombre suivant $$C=3\sqrt{12}-7\sqrt{75}+\sqrt{48}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} C&=3\sqrt{12}-7\sqrt{75}+\sqrt{48} \\
&=3\sqrt{4\times 3}-7\sqrt{25\times 3}+\sqrt{16\times 3} \\
&=3\times \sqrt{4}\times \sqrt{3}-7\times \sqrt{25}\times \sqrt{3}+\sqrt{16}\times \sqrt{3} \\
&=3\times 2\sqrt{3}-7\times 5\sqrt{3}+4\sqrt{3} \\
&=6\sqrt{3}-35\sqrt{3}+4\sqrt{3} \\
&=-25\sqrt{3}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire sous la forme d’une fraction irréductible le nombre suivant :$D=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}}$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} D&=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}} \\
&=\dfrac{\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{15}{12}} \\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{12}}{~~\dfrac{23}{12}~~} \\
&=-\dfrac{7}{12}\times \dfrac{12}{23} \\
&=-\dfrac{7}{23}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Résoudre dans $\R$ l’équation $\dfrac{1}{3}x+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} &\dfrac{1}{3}x+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x \\
\ssi ~~& \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}+x-\dfrac{1}{3}x \\
\ssi ~~& \dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& \dfrac{6}{10}-\dfrac{15}{10}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& -\dfrac{9}{10}=\dfrac{2}{3}x \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{~~\dfrac{9}{10}~~}{\dfrac{2}{3}} \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{9}{10}\times \dfrac{3}{2} \\
\ssi ~~& x=-\dfrac{27}{20}
\end{align*}$
La solution de l’équation est donc $-\dfrac{27}{20}$.

$\quad$

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$\quad$

Calculs semaine – 2nd

Calculs semaine

Voici une série d’exercices donnés chaque semaine durant toute l’année scolaire 2019/2020 en 2nd afin de travailler le calcul numérique, le calcul littéral, les automatismes et la rigueur:

 

2nd – Calculs semaine 5 – Calcul numérique, inéquation et python

Calculs semaine 5

Calcul numérique, inéquation et Python

Exercice 1

Donner l’écriture scientifique de $A=75~000\times 3~000\times 0,000~2$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=75~000\times 3~000\times 0,000~2 \\
&=7,5\times 10^4\times 3\times 10^3\times 2\times 10^{-4} \\
&=45\times 10^3\\
&=4,5\times 10\times 10^3\\
&=4,5\times 10^4\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre dans $\R$ l’inéquation $|5x-7|\pp \dfrac{1}{2}$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} |5x-7|\pp \dfrac{1}{2} &\ssi -\dfrac{1}{2} \pp 5x-7\pp \dfrac{1}{2} \\
&\ssi -\dfrac{1}{2}+7\pp 5x \pp \dfrac{1}{2}+7 \\
&\ssi \dfrac{13}{2} \pp 5x\pp \dfrac{15}{2} \\
&\ssi \dfrac{13}{10} \pp x \pp \dfrac{3}{2}\end{align*}$

L’ensemble solution est l’ensemble des nombres appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{2}\right]$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire le nombre suivant sous la forme d’une fraction irréductible en détaillant les étapes.
$$B=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} B&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}}{4-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{20}{5}-\dfrac{8}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{5}{15}-\dfrac{8}{15}}{\dfrac{12}{5}} \\
&=\dfrac{~~-\dfrac{3}{15}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{12}{5}} \\
&=-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{5}{12} \\
&=-\dfrac{1}{12}
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Écrire le nombre suivant sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible.
$$C=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} C&=5\sqrt{48}-7\sqrt{27}+2\sqrt{75} \\
&=5\sqrt{16\times 3}-7\sqrt{9\times 3}+2\sqrt{25\times 3} \\
&=5 \sqrt{16}\times \sqrt{3}-7\sqrt{9}\times \sqrt{3}+2\sqrt{25}\times \sqrt{3} \\
&=5\times 4\sqrt{3}-7\times 3\sqrt{3}+2\times 5\times \sqrt{3} \\
&=20\sqrt{3}-21\sqrt{3}+10\sqrt{3} \\
&=9\sqrt{3}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans ce programme Python, quelle valeur est contenue dans la variable $X$ à la fin :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{X = 5}\\
\text{X = X + X}\\
\text{X = X – 20}\\
\text{X = abs(X)}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Voici les différentes valeurs prises par la variable $X$ :
$$5\underset{X+X}{\longrightarrow}10\underset{X-20}{\longrightarrow}-10\underset{|X|}{\longrightarrow} 10$$
La variable $X$ contient donc le nombre $10$ à la fin de l’algorithme.

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$\quad$

 

 

2nd – Calcul semaine 4 – Calcul numérique

Calculs semaine 4

Calcul numérique

Exercice 1

Calculer $A=|5-7|$ et $B=\left|\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{3}\right|$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=|5-7|\\
&=|-2|\\
&=2\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\left|\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{3}\right|\\
&=\left|\dfrac{21}{12}-\dfrac{20}{12}\right|\\
&=\left|\dfrac{1}{12}\right|\\
&=\dfrac{1}{12}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire le nombre suivant sous la forme d’une fraction irréductible en détails les étapes.
$$C=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{7}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{5}}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{7}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{28}{21}-\dfrac{6}{21}}{\dfrac{20}{15}+\dfrac{3}{15}} \\
&=\dfrac{~~\dfrac{22}{21}~~}{\dfrac{23}{15}} \\
&=\dfrac{22}{21}\times \dfrac{15}{23} \\
&=\dfrac{2\times 11\times 3\times 5}{3\times 7\times 23} \\
&=\dfrac{110}{161}
\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire les nombres suivants sous la forme $a^n$ où $a$ est un réel et $n$ un entier relatif.

$$D=\dfrac{5^3\times 5^7}{\left(5^2\right)^6\times 5^{-4}} \qquad E=2^{199}\times 2^{357}\times \left(\left(2^8\right)^9\right)^{-3}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}D&=\dfrac{5^3\times 5^7}{\left(5^2\right)^6\times 5^{-4}}\\
&=\dfrac{5^{10}}{5^{12}\times 5^{-4}}\\
&=\dfrac{5^{10}}{5^8}\\
&=5^{10-8}\\
&=5^{2}\end{align*}$

$\begin{align*}E&=2^{199}\times 2^{357}\times \left(\left(2^8\right)^9\right)^{-3}\\
&=2^{556}\times \left(2^{72}\right)^{-3}\\
&=2^{556}\times 2^{-216}\\
&=2^{340}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Calcul semaine 2 – Calcul numérique et équation

Calculs semaine 2

Calcul numérique et équation

Exercice 1

Calculer et simplifier, si nécessaire, les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}$ $\qquad$ $B=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{3}$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6} \\
&= \dfrac{6}{12}+\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}\\
&=\dfrac{6+9-10}{12}\\
&=\dfrac{5}{12}\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{3}\\
&=\dfrac{11}{2}-\dfrac{35}{6}\\
&=\dfrac{33}{6}-\dfrac{35}{6}\\
&=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$C=1,9-(-3)\times (-0,9)$ $\qquad$ $D=-4\times (8-5)^2+6\times (-7)$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=1,9-(-3)\times (-0,9)\\
&=1,9-2,7\\
&=-0,8\end{align*}$

$\begin{align*}D&=-4\times (8-5)^2+6\times (-7)\\
&=-4\times 3^2-42\\
&=-4\times 9-42\\
&=-36-42\\
&=-78\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante : $7x-5=19x$

À chacune des étapes vous écrirez une phrase expliquant ce que vous faites.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} 7x-5=19x &\ssi -5=19x-7x \qquad \text{On soustrait $7x$ aux deux membres} \\
&\ssi -5=12x \qquad \text{On réduit le membre de droite} \\
&\ssi x=-\dfrac{5}{12} \qquad \text{On divise les deux membres par $12$}
\end{align*}$

La solution de l’équation est $\dfrac{5}{12}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Calculs semaine 1 – Calcul numérique et équation

Calculs semaine 1

Calcul numérique et équation

Exercice 1

Calculer et simplifier, si nécessaire, les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}$ $\qquad$ $B=\dfrac{24}{35}\times \dfrac{21}{60}$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}\\
&= \dfrac{6}{8}+\dfrac{5}{8}\\
&=\dfrac{11}{8}\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{24}{35}\times \dfrac{21}{60}\\
&=\dfrac{4\times 6\times 3 \times 7}{5\times 7\times 10 \times 6}\\
&=\dfrac{4\times 3}{5\times 10}\\
&=\dfrac{12}{50}\\
&=\dfrac{2\times 6}{2\times 25}\\
&=\dfrac{6}{25}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer les expressions suivantes, en justifiant chacune des étapes :

$C=4-3\times 7+2$ $\qquad$ $D=-8-7-\left(2-3^2\right)^2$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}C&=4-3\times 7+2 \\
&= 4-21+2\\
&=6-21\\
&=-15\end{align*}$

$\begin{align*}D&=-8-7-\left(2-3^2\right)^2\\
&=-15-(2-9)^2\\
&=-15-(-7)^2\\
&=-15-49\\
&=-64\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante : $2x+4=1$

À chacune des étapes vous écrirez une phrase expliquant ce que vous faites.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}
&~~ 2x+4=1 \\
\ssi&~~ 2x=1-4 \qquad \text{On ajoute $-4$ aux deux membres de l’équation} \\
\ssi&~~ 2x=-3 \qquad \text{On simplifie le membre de droite}\\
\ssi&~~ x=-\dfrac{3}{2} \qquad \text{On divise les deux membres par $2$}
\end{align*}$
La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Arithmétique – Nombres premiers

Arithmétique – Nombres premiers

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer, parmi les nombres suivants, les nombres premiers.
$$49 \qquad 59 \qquad 123 \qquad 137 $$

$\quad$

Correction Exercice 1

$49 = 7^2$ Donc $49$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{59}\approx 7,7$. Si $59$ n’est pas un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $7$.
Or $59$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$ et $7$.
Par conséquent $59$ est un nombre premier.

$\sqrt{123}\approx 11,1$. Si $123$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
On a $123=3\times 41$. Ainsi $123$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{137} \approx 11,7$. Si $137$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
Or $137$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
Par conséquent $137$ est un nombre premier.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Décomposer un produit de facteurs premiers les nombres suivants :
$$\begin{array}{l}
A=168\\
B=260\\
C=375\\
D=3~780\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

On a :
$\begin{align*} A&=2\times 84 \\
&=2\times 2\times 42 \\
&=2\times 2\times 2\times 21 \\
&=2^3\times 3\times 7\end{align*}$

$\begin{align*}
B&=260 \\
&=2\times 130 \\
&=2\times 2\times 65 \\
&=2^2\times 5\times 13\end{align*}$

$\begin{align*} C&=375 \\
&=3\times 125 \\
&=3\times 5\times 25 \\
&=3\times 5\times 5\times 5\\
&=3\times 5^3\end{align*}$

$\begin{align*}
D&=3~780 \\
&=2\times 1~890 \\
&=2\times 2 \times 945 \\
&=2^2 \times 3\times 315 \\
&=2^2\times 3\times 3 \times 105 \\
&=2^2\times 3\times 3\times 3 \times 35 \\
&=2^2\times 3^3 \times 5\times 7\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     Crible d’Eratosthène

Écrire les nombres de $2$ à $100$ en écrivant les nombres ayant le même chiffre des unités les uns sous les autres.
$2$ est un nombre premier : on le garde et on raye du tableau tous ses multiples.
On passe au nombre suivant qui n’a pas été rayé et on procède de la même manière.
On continue ainsi jusqu’à ce tous les nombres est été soit sélectionnés (ils sont premiers) soit rayés.

$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient le crible suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Déterminer, en justifiant, les valeurs que peut prendre le chiffre $a$ pour que le nombre dont l’écriture décimale est $43a$ soit un nombre premier.

$\quad$

Correction Exercice 4

$a$ ne peut pas être pair, sinon le nombre $43a$ est divisible par $2$.
$a$ ne peut pas être égal à $5$, sinon le nombre $43a$ est divisible par $5$.
Il ne nous reste plus comme possibilité que $1$, $3$, $7$ et $9$.

Si $a=1$ alors le nombre est $431$
$\sqrt{431}\approx 20,7$. Si $431$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $431$ est un nombre premier.

Si $a=3$ alors le nombre est $433$
$\sqrt{433}\approx 20,8$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $433$ est un nombre premier.

Si $a=7$ alors le nombre est $437$
$\sqrt{437}\approx 20,9$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $437$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ et $17$.
En revanche $437=19\times 23$
Par conséquent $437$ n’est pas un nombre premier.

Si $a=9$ alors le nombre est $439$
$\sqrt{439}\approx 20,95$. Si $439$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $439$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $439$ est un nombre premier.

Ainsi $43a$ est premier si, et seulement si, $a=1$ ou $a=3$ ou $a=9$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère un nombre premier $n$. Le nombre $n^2$ est-il premier?

$\quad$

Correction Exercice 5

Par définition $n^2=n\times n$. Donc $n^2$ possède au moins trois diviseurs positifs : $1$, $n$ et $n^2$.
Par conséquent $n^2$ n’est pas premier.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6     Nombres de Mersenne

Si $n$ est un nombre premier, le nombre $M_n=2^n-1$ est il également un nombre premier?

$\quad$

Correction Exercice 6

Nous allons calculer les premiers nombres de Mersenne et regarder s’ils sont premiers ou non.

  • Si $n=2$ alors $M_2=2^2-1=3$ est premier.
  • Si $n=3$ alors $M_3=2^3-1=7$ est premier.
  • Si $n=5$ alors $M_5=2^5-1=31$ est premier.
  • Si $n=7$ alors $M_7=2^7-1=127$ est premier.
  • Si $n=11$ alors $M_{11}=2^{11}-1=2~047=23\times 89$ n’est pas premier.

Les nombres $M_n$ ne sont donc pas tous premier quand $n$ est premier.

$\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Arithmétique – Nombres pairs et nombres impairs

Arithmétique – Nombres pairs et nombres impairs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Parmi la liste de nombres suivante déterminer lesquels sont pairs :
$$27+15\qquad 5^2 \qquad \sqrt{36} \qquad \dfrac{378}{3} \qquad 15^2-8$$

$\quad$

Correction Exercice 1

$27+15=42=2\times 21$ est pair

$5^2=25=2\times 12+1$ est impair

$\sqrt{36}=6=2\times 3$ est pair

$\dfrac{378}{3}=126=2\times 63$ est pair

$15^2-8=225-8=217=2\times 108+1$ est impair

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$\quad$

Exercice 2

Montrer que le carré d’un nombre pair est pair.

$\quad$

Correction Exercice 2

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre pair $n$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
Ainsi :
$\begin{align*} n^2&=(2k)^2 \\
&=4k^2\\
&=2\times 2k^2\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est pair.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.

$\quad$

Correction Exercice 3

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

  • Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
    Ainsi $n(n+1)=2k(n+1)$ est pair.
  • Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
    Par conséquent $n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1)$.
    Ainsi $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ est pair.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

On considère un entier naturel $n$.

  1. Étudier la parité des nombres suivants :
    $$A=2n+6 \qquad B=6n+8 \qquad C=40n+1 $$
    $\quad$
  2. Montrer que $A+C$ est un multiple de $7$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  1. $A=2n+6=2(n+3)$ est pair
    $B=6n+8=2(3n+4)$ est pair
    $C=40n+1=2\times 20n+1$ est impair
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} A+C&=2n+6+40n+1 \\
    &=42n+7 \\
    &=7\times 6n+7\times 1\\
    &=7(6n+1)\end{align*}$
    Donc $A+C$ est un multiple de $7$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Pour tout entier naturel $n$ montrer que $5n^2+3n$ est un nombre pair.

$\quad$

Correction Exercice 5

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  • On suppose que $n$ est impair.
    D’après le cours, on sait que si $n$ est impair alors $n^2$ est également impair.
    Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a+1$ et $n^2=2b+1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 5n^2+3n&=5(2b+1)+3(2a+1) \\
    &=10b+5+6a+3\\
    &=10b+6a+8 \\
    &=2(5b+3a+4)\end{align*}$
    Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
  • On suppose que $n$ est pair.
    On a montré à l’exercice 2, que si $n$ est pair alors $n^2$ est également pair.
    Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a$ et $n^2=2b$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 5n^2+3n &=5(2b)+3(2a) \\
    &=2(5b+3a)\end{align*}$
    Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6     Difficulté +

La somme de deux entiers consécutifs est-elle paire ou impaire?

$\quad$

Correction exercice 6

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

  • Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+(2k+1)\\
    &=4k+1\\
    &=2\times 2k+1\end{align*}$
    Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
  • Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+1+(2k+1+1)\\
    &=4k+3\\
    &=4k+2+1\\
    &=2\times (2k+1)+1\end{align*}$
    Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7     Difficulté +

On considère un entier $k$. Déterminer la parité de $(k+1)^2-k^2$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

  • Si $k$ est pair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n$. Ainsi $k+1=2n+1$
    $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+1)^2-(2n)^2 \\
    &=4n^2+4n+1-4n^2\\
    &=4n+1\\
    &=2\times 2n+1\end{align*}$
    Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
  • Si $k$ est impair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n+1$. Ainsi $k+1=2n+2$
    $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+2)^2-(2n+1)^2 \\
    &=4n^2+8n+4-\left(4n^2+4n+1\right)\\
    &=4n+1+8n+4-4n^2-4n-1\\
    &=4n+3\\
    &=4n+2+1\\
    &=2\times (2n+1)+1\end{align*}$
    Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8     Difficulté +

On considère deux entiers naturels impairs $a$ et $b$.
Montrer que $N=a^2+b^2+6$ est divisible par $8$.

$\quad$

Correction Exercice 8

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels impairs. Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=2n+1$ et $b=2m+1$.
$\begin{align*} N&=a^2+b^2+6 \\
&=(2n+1)^2+(2m+1)+6\\
&=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1+6\\
&=4n^2+4n+4m^2+4m+8\\
&=4n(n+1)+4m(m+1)+8\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc deux entiers naturels (car $n$ et $m$ sont des entiers naturels) $p$ et $q$ tels que :
$n(n+1)=2p$ et $m(m+1)=2q$.
Ainsi :
$\begin{align*} N&=4n(n+1)+4m(m+1)+8 \\
&=4\times 2p+4\times 2q+8\\
&=8p+8q+8\times 1\\
&=8(p+q+1)\end{align*}$
Le nombre $N$ est donc divisible par $8$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 9     Difficulté +

Montrer que le reste de la division euclidienne par $8$ du carré de tout nombre impair est $1$.

$\quad$

Correction Exercice 9

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre impair $a$. Il existe donc un entier relatif $n$ tel que $a=2n+1$.
Ainsi :
$\begin{align*}a^2&=(2n+1)^2\\
&=4n^2+4n+1\\
&=4n(n+1)+1\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc un entier relatif $p$ tel que $n(n+1)=2p$.
Ainsi :
$\begin{align*} a^2&=4n(n+1)+1 \\
&=4\times 2p+1 \\
&=8p+1\end{align*}$
Or $0\pp 1<8$.
Ainsi le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $8$ est $1$.
$\quad$

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$\quad$