2nd – Exercices – tableaux de signes et inéquations

Exercices – Tableaux de signes et inéquations

 

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction $f$ donc une représentation graphique a été donnée.

$\quad$

Correction Exercice 1

On utilise la propriété suivante :

 Propriété : On considère une fonction $f$ et sa représentation graphique $\mathscr{C}_f$.

  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)>0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$.
  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)<0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$
  • $f\left(x_0\right)=0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$  coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x_0$.

On obtient alors les tableaux de signes suivants :

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, par le calcul, le signe des fonctions suivantes définies sur $\R$ :

  1. $f:x\mapsto x+5$
    $\quad$
  2. $g:x\mapsto 2x-3$
    $\quad$
  3. $h:x\mapsto -4x+1$
    $\quad$
  4. $i:x\mapsto \dfrac{1}{2}x+4$
    $\quad$
  5. $j:x\mapsto -\dfrac{2}{3}x+7$
    $\quad$
Correction Exercice 2

    1. On a $f(x)=x+5$.
      $f(x)=0 \ssi x+5=0 \ssi x=-5$
      et
      $f(x)>0 \ssi x+5>0 \ssi x>5$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    2. On a $g(x)=2x-3$
      $g(x)=0 \ssi 2x-3=0 \ssi 2x=3 \ssi x=1,5$
      et
      $g(x)>0 \ssi 2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>1,5$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    3. On a $h(x)=-4x+1
      $h(x)=0 \ssi -4x+1=0 \ssi -4x=-1 \ssi x=0,25$
      et
      $h(x)>0 \ssi -4x+1>0 \ssi -4x>-1 \ssi x<0,25$
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    4. On a $i(x)=\dfrac{1}{2}x+4$
      $i(x)=0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4= 0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-4 \ssi x=-8$
      et
      $i(x)>0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4> 0 \ssi \dfrac{1}{2}x>-4 \ssi x>-8$
      On obtient donc le tableau de signes suivant :

      $\quad$
    5. On a $j(x)=-\dfrac{2}{3}x+7$
      $j(x)=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x+7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x=-7 \ssi x=10,5$
      et
      $j(x)>0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>-7 \ssi x<10,5$
      (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
      On obtient donc le tableau de signes suivant :
    1. $\quad$

 

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Exercice 3

Déterminer graphiquement les solutions des inéquations suivantes :

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. L’ensemble solution est : $]-4;4[$.
    $\quad$
  2. L’ensemble solution est ,environ : $]-\infty;-3,8]\cup[1,8;+\infty[$.
    $\quad$
  3. L’ensemble solution est : $]-1;3[$.
    $\quad$

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2nd – Exercices – Calcul numérique et littéral

Calcul numérique et littéral

Exercice 1

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$A=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8} \qquad B = \dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right) \qquad C = \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}} \qquad D = \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{6} $

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align} A&=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8}\\\\
&= \dfrac{4}{3} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{32}{24} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{22}{24}\\\\
&=\dfrac{11}{12}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} B&=\dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right)\\\\
&= \dfrac{5}{18} \times \dfrac{11}{15}\\\\
&=\dfrac{5 \times 11}{18 \times 3 \times 5}\\\\
&=\dfrac{11}{54}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} C&= \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{6}}{\dfrac{5}{6}}\\\\
&=-\dfrac{7}{6} \times \dfrac{6}{5} \\\\
&=-\dfrac{7}{5}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$$E=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}}  \qquad F=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \qquad G = \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \qquad H= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right)$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align} E&=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \\\\
&= \dfrac{-\dfrac{21}{28}+\dfrac{20}{28}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}} \\\\
&=\dfrac{-\dfrac{1}{28}}{\dfrac{17}{12}}\\\\
&=-\dfrac{1}{28} \times \dfrac{12}{17} \\\\
&=-\dfrac{3}{119}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} G &= \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \\\\
&= \dfrac{3,9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} \\\\
& = \dfrac{3,9}{3} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-5}} \\\\
&= 1,3 \times 10 \\\\
&=13
\end{align}$

$\begin{align} H &= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right) \\\\
&= \left(\dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{12}{15} – \dfrac{10}{15} \right) \\\\
&=\dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{15} \\\\
&=\dfrac{8}{3} \times \dfrac{15}{2} \\\\
&=20
\end{align}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On donne l’expression $A = (x-3)(x+3)-2(x-3)$.

  1. Factoriser $A$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  3. En choisissant l’expression $A$ la plus adaptée parmi celles trouvées aux questions 1. et 2., déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ et pour $x=0$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align} A &=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
    & = (x-3) \left[(x+3) – 2\right] \\\\
    &= (x-3)(x+1)
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A & = (x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
    &= x^2-3^2 – 2x + 6 \\\\
    &= x^2 – 9 – 2x + 6 \\\\
    &= x^2-2x – 3
    \end{align}$
    $\quad$
  3. Pour $x=-1$, on choisit la forme factorisée.
    $A = (-1 – 3)(-1 + 1) = 0$
    $\quad$
    Pour $x=0$, on choisit la forme développée.
    $A = 0^2-2 \times 0 – 3 = -3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère l’expression $A = (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
    &= 9x^2+24x+16 – (-6x^2+3x-8x+4) \\\\
    &= 9x^2+24x+16+6x^2-3x+8x-4\\\\
    &=15x^2+29x+12
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
    & = (3x+4) \left[(3x+4) – (-2x+1)\right] \\\\
    &=(3x+4)(5x+3)
    \end{align}$
    $\quad$
  3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre l’équation $A=0$.
    $$(3x+4)(5x+3) = 0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $3x+4 = 0$ ou $5x+3=3$
    $ x = – \dfrac{4}{3}$ ou $x = – \dfrac{3}{5}$
    L’équation possède donc deux solutions : $- \dfrac{4}{3}$ et $- \dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ en utilisant l’expression factorisée on obtient :
    $$A=(3\times (-1) + 4)(5 \times (-1) + 3) = -2$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère l’expression $A = (2x -3)^2-(2x -3)(x-2)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $A = 0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align} A&=(2x – 3)^2-(2x -3)(x-2) \\\\
    &= (2x)^2-2\times 3\times 2x + 3^2 – \left(2x^2-4x-3x+6\right)\\\\
    &=4x^2-12x+9-\left(2x^2-7x+6 \right)\\\\
    &=2x^2-5x+3
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} A &= (2x -3) \left[ (2x -3) – (x-2) \right] \\\\
    &=(2x -3)(x-1)
    \end{align}$
    $\quad$
  3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre $A=0$.
    $$(2x -3)(x-1)=0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x -3=0 $ $\quad$  ou $\quad$ $x-1=0$
    soit $2x=3$ $\qquad \quad ~~$ ou $\quad$ $ x=1$
    $~~~~x=\dfrac{3}{2}$
    L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. On utilise, par exemple, l’expression développée :
    Si $x=-2$ alors $A = 2 \times (-2)^2 – 5\times (-2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère l’expression $J = (2 x -7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $J$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $J$.
    $\quad$
  3. Résoudre $J=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $J$ pour $x=3$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49\\\\
    &=(2 x – 7)+ (2x)^2-7^2\\\\
    &=(2 x -7) \times 1+(2 x – 7)(2 x + 7) \\\\
    &=(2 x – 7)\left[1 + (2 x + 7) \right] \\\\
    &=(2 x – 7)(2 x + 8)
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49 \\\\
    &= 2 x – 7 + 4x^2 – 49 \\\\
    &=4x^2 + 2 x – 56
    \end{align}$
    $\quad$
  3. Pour résoudre l’équation $J=0$ on va utiliser la forme factorisée:
    $$(2 x – 7)(2 x + 8) = 0$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $2 x – 7 = 0$ ou $2 x + 8 = 0$
    $x=\dfrac{7}{2}$ ou $x = -4$
    $\quad$
  4. Pour $x= 3$ on va utiliser l’expression développée :
    $$J = 4 \times 3^2 + 2 \times 3 – 56 = -14$$
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Devoir commun 9 (mai)

Devoir commun – 2nd

 Mai 2018

Énoncé

Exercice 1   (8 points)

Une entreprise possède trois usines de fabrications de composants :

  • la première se trouve en France;
  • la deuxième se trouve au Maroc;
  • la troisième se trouve en Inde.

Un contrôleur de qualité s’intéresse au nombre de composants produits en janvier 2018 dans chacune des trois usines.
Il a relevé les données suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
\hline
\text{Usine de France}&1~600&\phantom{\dfrac{1}{1}}&33~600\\
\hline
\text{Usine du Maroc}&\phantom{\dfrac{1}{1}}&&12~660\\
\hline
\text{Usine d’Inde}&1~540&\phantom{\dfrac{1}{1}}&\\
\hline
\text{TOTAL}&3~800&\phantom{\dfrac{1}{1}}&82~800\\
\hline
\end{array}$$

  1. Compléter le tableau ci-dessus.
    $\quad$
  2. On prend un composant au hasard dans la production de janvier 2018. On considère les événements suivants :
    $\bullet$ $F$ “le composant provient de l’usine de France”;
    $\bullet$ $M$ “le composant provient de l’usine du Maroc”;
    $\bullet$ $I$ “le composant provient de l’usine d’Inde”;
    $\bullet$ $D$ “le composant est défectueux”.
    $\quad$
    a. Calculer $P(F)$ et $P(D)$.
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’événement $F\cap D$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase l’événement $F\cup D$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    d. Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 2    (8,5 points)

Partie A 

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points $A(-1;5)$, $B(6;1)$ et $C(1;-3)$.

  1. Placer les points dans le repère ci-dessous. La figure sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
    $\quad$
  3. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
    $\quad$
  4. Soit $E(2;-5)$. Les points $A,C$ et $E$ sont-ils alignés? Justifier.
    $\quad$
  5. Placer sur la figure le point $F$ tel que $\vect{AF}=\vect{BC}+2\vect{CE}$.

$\quad$

Partie B

On considère l’algorithme suivant (en langage naturel et en langage Python) :

En langage naturel

Lire $a$
Lire $b$
Lire $c$
Lire $d$
$\quad$ Si $a\times d-b\times c=0$ alor
$\qquad$ Afficher “Vrai”
$\quad$ Sinon
$\qquad$ Afficher “Faux”
$\quad$

En Python

def algorithme(a,b,c,d):
$\quad$ if a * d – b * c == 0:
$\qquad$ return(“Vrai”)
$\quad$ else:
$\qquad$ return(“Faux”)
$\quad$

  1. $a$ et $b$ correspondent aux coordonnées du vecteur $\vec{u}$ et $c$ et $d$ aux coordonnées du vecteur $\vec{v}$. Qu’affiche l’algorithme dans les cas suivants?
    a. $\vec{u}(24;-32)$ et $\vec{v}(-42;56)$.
    $\quad$
    b. $\vec{u}(-15;25)$ et $\vec{v}(-6;9)$
    $\quad$
  2. Dans le contexte des vecteurs, expliquer le rôle de l’algorithme.
    $\quad$

Exercice 3    (10,5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant, le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de signe de $f$ sur $\R$.% et les antécédents de $0$ par $f$.
    $\quad$

Partie B

Un cormoran situé au point $C(0;30)$ pêche un poisson situé au point $P(20;-10)$ puis remonte sur une falaise au point $F(40;30)$ en suivant la trajectoire parabolique décrite par la fonction $f$ dans le repère ci-dessous :

 

$\quad$

  1. Expliquer en justifiant que les points $C$ et $F$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. À l’aide la partie A, répondre aux questions suivantes :
    a. Donner les coordonnées des deux points où le cormoran entre et sort de l’eau.
    $\quad$
    b. Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles le cormoran est sous l’eau.
    $\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

 

  1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites.
    $\quad$
  2. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
    $\quad$
  3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$

Partie B

Sur la figure ci-dessous sont représentées :

  • $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$;
  • $\left(d_1\right)$, la droite d’équation $y=\dfrac{15}{8}x$;
  • $\left(d_2\right)$, la droite d’équation $y=-\dfrac{17}{8}x+8$.

 

$\mathscr{C}_f$, $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ semblent avoir un point d’intersection commun. Est-ce la cas? Justifier.

$\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves demandant à aller en 1S

“Si je roule à $90$ km/h, j’arriverai à midi mais si je roule à $65$ km/h j’arriverai alors à $13$h”.
Déterminer l’heure de départ ainsi que le nombre de kilomètres à parcourir.

Indication : on rappelle la formule $v=\dfrac{d}{t}$ qui lie la vitesse $v$ (en km/h), le temps $t$ (en h) et la distance $d$ parcourue (en km).

$\quad$

Exercice 4    (8,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

  1. Donner, sans justifier, l’équation de chacune des droites. $\quad$
  2. a. Tracer sur le graphique les droites $d_4$ et $d_5$ d’équations respectives : $y=2x+2$ et $y=4-3x$.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi les droites $d_4$ et $d_5$ sont sécantes et déterminer, en justifiant, les coordonnées de leur point d’intersection.
  3. On considère les points $A(30;5)$ et $B(6;-3)$. (On ne demande pas de les placer).
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$

Exercice 5    (4,5 points)

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Dans un cinéma, la place coûte $9,80$ €. Si l’on prend un abonnement annuel à $30$ €, on paie la place au tarif réduit de $5,50$ €. À partir de combien de films visionnés dans l’année l’abonnement est-il plus avantageux?

$\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\hspace{2mm}\text{Défecteux}\hspace{2mm}&\text{En bon état}&\hspace{4mm}\text{TOTAL}\hspace{4mm} \\
    \hline
    \text{Usine de France}&1~600&\color{red}{32~000}&33~600\\
    \hline
    \text{Usine du Maroc}&\color{red}{660}&\color{red}{12~000}&12~660\\
    \hline
    \text{Usine d’Inde}&1~540&\color{red}{35~000}&\color{red}{36~540}\\
    \hline
    \text{TOTAL}&3~800&\color{red}{79~000}&82~800\\
    \hline
    \end{array}$$$\quad$
  2. a. La situation précédente étant une situation d’équiprobabilité, on obtient
    $P(F)=\dfrac{33~600}{82~800}=\dfrac{28}{69}$ et $P(D)=\dfrac{3~800}{82~800}=\dfrac{19}{414}$.
    $\quad$
    b. $F\cap D$ correspond à l’événement “le composant vient de France et est défectueux” et
    $P(F\cap D)=\dfrac{1~600}{82~800}=\dfrac{4}{207}$.
    $\quad$
    c. \item $F\cup D$ correspond à l’événement “le composant vient de France ou est défectueux” et
    $\begin{align*} P(F\cup D)&=P(F)+P(D)-P(F\cap D)\\
    &=\dfrac{33~600+3~800-1~600}{82~800} \\
    &=\dfrac{35~800}{82~800}\\
    &=\dfrac{179}{414}
    \end{align*}$.
    $\quad$
    d. On calcule les ratios “nombre de composants en bon état” / “nombre total de composants” pour les trois pays.
    Pour la France, on obtient $\dfrac{32~000}{33600}\approx 0,952$ .
    Pour le Maroc, $\dfrac{12~000}{12~660}\approx 0,948$.
    Et pour l’Inde, $\dfrac{35~000}{36~540}\approx 0,958$.
    L’usine la plus efficace, en terme de qualité de production, semble être celle se situant en Inde.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A 

  1. $\quad$
    $\quad$
  2. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6-(-1)\\1-5\end{pmatrix}$ donc $\vect{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vect{AB}=\vect{DC}$. Or
    $\vect{DC}\begin{pmatrix}1-x_D\\-3-y_D\end{pmatrix}$.
    Donc on obtient $1-x_D=7$ et $-3-y_D=-4$,
    soit$x_D=-6$ et $y_D=1$. Donc $D(-6;1)$.
    $\quad$
  4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}$. On cherche à savoir s’il existe un nombre réel $t$ tel que $\vect{AE}=t\vect{AB}$, c’est-à-dire $3=7t$ et $-10=-4t$.
    Or $\dfrac{3}{7}\neq2,5$ donc il n’existe pas un tel $t$. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points ne sont pas alignés.
    $\quad$
  5. (voir figure)

$\quad$

Partie B

  1. a. $24\times56-(-32)\times(-42)=0$, donc le programme affiche “vrai”.
    $\quad$
    b. $-15\times9-25\times(-6)=15$ donc le programme affiche “faux”.
    $\quad$
  2. Cet algorithme teste si les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}(x-20)^2-10$.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{10}(x^2-40x+400)-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+40-10=\dfrac{1}{10}x^2-4x+30$.
    $\quad$
  2. $1^{\text{ère}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme canonique :
    on en déduit directement les coordonnées du sommet de la parabole : $(20;-10)$.
    Le coefficient $a=\dfrac{1}{10}$ devant la parenthèse étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $2^{\text{ème}}$ méthode : On reconnait une fonction polynôme de degré $2$ sous sa forme développée pour laquelle $a=\dfrac{1}{10}$, $b=-4$ et $c=30$. L’abscisse du sommet est $\dfrac{-b}{2a}=20$ et l’ordonnée du sommet vaut $f(20)=-10$.
    Le coefficient $a$ étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. $\left(\dfrac{1}{10}x-1\right)(x-30)=\dfrac{1}{10}x^2-3x-x+30=f(x)$.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de chaque facteur :
    $\dfrac{1}{10}x-1\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant10$ et $\dfrac{1}{10}x-1=0\Leftrightarrow x=10$ ;
    $x-30\geqslant0\Leftrightarrow x\geqslant 30$ et $x-30=0\Leftrightarrow x=30$ ;
    On obtient donc le tableau de signe ci-dessous :

$\quad$

Partie B

  1. Le point $C(0;30)$ appartient à la parabole représentant $f$ car
    $f(x_C)=f(0)=\dfrac{1}{10}\times0^2-4\times0+30=30=y_C$.
    De même, le point $F(40;30)$ appartient à cette courbe car
    $f(x_F)=f(40)=\dfrac{1}{10}(40-20)^2-10=\dfrac{1}{10}\times400-10=40-10=30=y_F$.
    $\quad$
  2. a. Le cormoran entre et sort de l’eau aux points de la courbe d’ordonnée $0$, qui ont pour abscisse respective $10$ et $30$.
    $\quad$
    b. Le cormoran est finalement sous l’eau pour $x\in[10;30]$.
    $\quad$

Ex 4(S)

Exercice 4

Pour les élèves demandant à aller en 1S

Partie A

  1. $(d_1) : x=-3 $ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) \ y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par :
    $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}$$
    Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
    Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
    $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p$ $\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p$ $\Leftrightarrow p=-5$.
    Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
    $\quad$

Partie B

Les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ n’ont pas le même coefficient directeur$\ $; on calcule dans un premier temps les coordonnées du point d’intersection $M(x_M;y_M)$ de ces deux droites. Ces deux coordonnées satisfont le système

$$\begin{align*} (S) : \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ y_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right.&\ssi \left\{\begin{array}{ll}  y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ \dfrac{15}{8}x_M&=-\dfrac{17}{8}x_M+8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{8}x_M\\ 4x_M&=8\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_M&=\dfrac{15}{4}\\ x_M&=2\\ \end{array}\right.\end{align*}$$

Mais $f(2)=4\neq\dfrac{15}{4}$, donc cet unique point d’intersection des deux droites n’appartient pas à la parabole représentant $f$ : ces trois courbes n’ont donc pas de point d’intersection commun.

$\quad$

Ex 5(S)

Exercice 5

Pour les élèves demandant à aller en 1S

On note $t$ la durée du parcours (exprimée en heures) et $d$ la distance parcourue (exprimée en km).
À $90$ km$/$h, l’égalité rappelée dans l’énoncé donne $90=\dfrac{d}{t}$, ce qui équivaut à $90t=d$.
À $65$ km$/$h, le trajet dure une heure de plus, donc $65=\dfrac{d}{t+1}$, ce qui équivaut à $65(t+1)=d$. On résout le système :
$$\begin{align*}
(S) : \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ d&=65(t+1)\\ \end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 90t&=65(t+1)\\ \end{array}\right. \\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=90t\\ 25t&=65\\ \end{array}\right.\\
&\ssi \left\{\begin{array}{ll} d&=234\\ t&=2,6\\ \end{array}\right.\end{align*}$$
$0,6$h correspondant à $0,6\times60=36$ minutes, l’heure de départ est donc $9\text{h}24$ et la distance parcourue s’élève à $234$ km.
$\quad$

Ex 4(Non S)

Exercice 4

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

  1. $(d_1) : x=-3\$ ; $(d_2) : y=2x-1$ et $(d_3) : y=-\dfrac{5}{3}x-1$.
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de $(d_4)$ vaut $2$ et celui de $(d_5)$ vaut $-3$ : ces deux nombres étant différents, les droites sont sécantes. Notons $G(x_G;y_G)$ leur point d’intersection. Ses coordonnées vérifient :
    $$\begin{align*} (S): \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\y_G&=4-3x_G\\\end{array}\right. &\ssi \left\{\begin{array}{ll} y_G&=2x_G+2\\2x_G+2&=4-3x_G\\\end{array}\right.\\
    &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=2x_G+2\\5x_G&=2\\\end{array}\right. \\
    &\ssi \left\{\begin{array}{ll}y_G&=\dfrac{14}{5}\\x_G&=\dfrac{2}{5}\\\end{array}\right. \end{align*}$$
    $\quad$
  3. $x_A=30\neq6=x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation du type $y=mx+p$. Le coefficient directeur $m$ est donné par
    $$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-5}{6-30}=\dfrac{-8}{-24}=\dfrac{1}{3}.$$
    Donc $(AB) : y=\dfrac{1}{3}x+p$.
    Pour déterminer $p$, on teste par exemple l’équation avec les coordonnées du point $A$ et on obtient :
    $y_A=\dfrac{1}{3}x_A+p\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{3}\times30+p\Leftrightarrow p=-5$.
    Au final, l’équation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{1}{3}x-5$.
    $\quad$

Ex 5(Non S)

Exercice 5

Pour les élèves ne demandant pas à aller en 1S

Notons $x$ le nombre de films visionnés en une année. Alors, avec le tarif sans abonnement, on paie $9,8x$ euros pour voir ces $x$ films. Avec l’abonnement, on paie $30+5,5x$ euros. On cherche à savoir pour quelles valeurs de $x$ on a $30+5,5x\leqslant9,8x$.
On résout cette inéquation :
$30+5,5x\leqslant9,8x\Leftrightarrow30\leqslant4,3x\Leftrightarrow\dfrac{30}{4,3}\leqslant x$.
Or $\dfrac{30}{4,3}\approx6,98$ et $x$ ne prend que des valeurs entières, donc le tarif avec abonnement est avantageux à partir de $7$ films visionnés dans l’année.
$\quad$

 

2nd – Exercices – Second degré (recherche)

Exercices de recherche – Second degré – 2nd

Exercice 1

Un joueur de foot situé à $25$m du but adverse tente un tir et parvient à marquer.
Son ballon a franchi la ligne de but à une hauteur de $2,20$m passant ainsi tout près de la barre transversale, puis a touché le sol à $1$m derrière la ligne de but.
Sachant que la trajectoire du ballon est une parabole, quelle hauteur maximale le ballon a-t-il atteinte ?

$\quad$

Correction Exercice 1

On peut représenter la situation de la façon suivante.

La fonction $f$ associée à la trajectoire est une fonction du second degré. Il existe un réel $a$ tel que :
$f(x)=ax(x-26)$
On sait que $f(25)=2,2$
Par conséquent, en remplaçant $x$ par $25$ dans l’expression de $f(x)$ on obtient $-25a=2,2 \ssi a=-\dfrac{2,2}{25}=-0,088$.

Donc $f(x)=-0,088x(x-26)$.
Puisque les points d’abscisses $0$ et $26$ ont la même ordonnée ($0$) cela signifie que le sommet de la parabole est atteint pour $x=\dfrac{0+26}{2}=13$.
Donc la hauteur maximale est $h=f(13)=-0,088\times 13\times (-13)=14,872$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.
On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

  1. À quel intervalle appartient $x$?
    $\quad$
  2. Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
    $\quad$
  3. Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
    Donc $x\in [0;4]$.
    $\quad$
  2. L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
    Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
    Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
    Ainsi l’aire de la figure est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
    &=x^2+16-8x+x^2 \\
    &=2x^2-8x+16
    \end{align*}$
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
    &\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
    Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
    Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

    Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
    $\quad$

[collapse]


$\quad$

Exercice 3

Le viaduc de Garabit est encore aujourd’hui l’un des plus remarquables ouvrages d’art jamais construits.
Cet édifice, doté d’une arche monumentale, a été le plus grand ouvrage métallique du monde. Il fut aussi et surtout un véritable laboratoire en vue de la construction de la Tour Eiffel.
Sa portée est de $165$m et sa flèche d’environ $52$m, et l’arche peut être assimilée à une parabole.

Quelle est la hauteur de l’arche à $30$m du bord? On fournira un arrondi à $10^{-2}$m.

source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:France_Cantal_Viaduc_de_Garabit_04.jpg

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

On sait que la portée du viaduc est de $165$m. Cela signifie donc que, dans un repère centré en un des pieds du viaduc, l’abscisse du sommet est $\dfrac{165}{2}=82,5$. Les coordonnées du sommet sont donc $(82,5;52)$.

Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x) = a(x-82,5)^2+52$.
On sait également que $f(165)=0$
Donc $a(165-82,5)^2+52=0 \ssi 82,5^2a=-52 \ssi a=-\dfrac{52}{6~806,25}$

Par conséquent $f(x)=-\dfrac{52}{6~806,25}(x-82,5)^2+52$.

On trouve ainsi $f(30)=-\dfrac{52}{6~806,25}(30-82,5)^2+52 \approx 30,94$m.

À $30$m du bord l’arche à une hauteur d’environ $30,94$ m.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Un massif de fleurs a la forme d’un rectangle dont l’aire vaut $612$m$^2$.
Ce massif est entouré par une allée de largeur $1,50$m formant avec le massif un autre rectangle. L’aire de l’allée est de $165$m$^2$. Quels sont les dimensions du massif ?

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $L$ et $\ell$ respectivement la longueur et la largeur du massif.
On a donc $L\times \ell  =612$.

L’aire de l’allée est $2(L+2\times 1,5)\times 1,5+2\ell\times 1,5=3(L+3)+3\ell$.
Par conséquent $3(L+3)+3\ell=165 \ssi L+3+\ell = 55 \ssi L+\ell =52$.

On doit donc résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} L\times \ell=612 \\L+\ell =52 \end{cases}&\ssi \begin{cases} L\times \ell=612\\\ell=52-L\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ L(52-L)=612\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ -L^2+52L-612=0 \end{cases}
\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-L^2+52L-612$ avec $a=-1$, $b=52$ et $c=-612$.
Son sommet a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=26$.
Son ordonnée est $\beta=f(\alpha)=f(26)=64$.

On peut donc écrire $f(x)=-(x-26)^2+64$.

On veut résoudre :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -(x-26)^2+64=0 \\
&\ssi (x-26)^2=64 \\
&\ssi x-26=8 \text{  ou  }x-26=-8 \\
&\ssi x=34 \text{  ou  }x=18
\end{align*}$

Si on reporte ces valeurs dans le système précédent on a :
Si $L=34$ alors $\ell=52-34=18$
Si $L=18$ alors $\ell=52-18=34$.

Le massif mesure donc $34$m de long et $18$m de large.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Une personne lance une balle d’une hauteur de $1,50$m.
La balle suit une trajectoire parabolique dont le sommet est atteint $4$m plus loin avec une hauteur de $2,50$m.

À quelle distance de la personne la balle retombe-t-elle au sol?

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $f$ la fonction du second degré associée au problème.
Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x)=a(x-4)^2+2,5$
On sait que $f(0)=1,5 \ssi 16a+2,5=1,5 \ssi 16a=-1 \ssi a=-\dfrac{1}{16}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5$

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5=0 \\
&\ssi \dfrac{1}{16}(x-4)^2=2,5 \\
&\ssi (x-4)^2=40 \\
&\ssi x-4=\sqrt{40} \text{  ou  } x-4=-\sqrt{40} \\
&\ssi x=4+\sqrt{40} \text{  ou  } x=4-\sqrt{40}
\end{align*}$

La balle retombe donc à $4+\sqrt{40}$ m de la personne.

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Voici le schéma d’une arche de forme parabolique. Elle mesure $40$m de long. Lorsqu’une personne mesurant $1,75$m se tient à $1,40$m d’une extrémité sa tête touche l’arche.

Quelle est alors la hauteur maximale $h$ de cette arche ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$m.

Correction Exercice 6

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

En plaçant un repère au pied gauche de l’arche, on peut repérer les points $A(0;0)$, $B(40;0)$ et $C(1,4;1,75)$.

Il existe ainsi un réel $a$ tel que $f(x)=ax(x-40)$.
Or :
$\begin{align*} f(1,4)=1,75 &\ssi a\times 1,4 \times (-38,6)=1,75 \\
&\ssi a=-\dfrac{1,75}{54,04} \\
&\ssi a=-\dfrac{25}{772}
\end{align*}$

Donc $f(x)=-\dfrac{25}{772}x(x-40)$.

Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée. Par conséquent l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+40}{2}=20$.
Son ordonnée est $f(20)=-\dfrac{25}{772}\times 20 \times (-20)=\dfrac{2~500}{193} \approx 12,95$.

Ainsi, l’arche a une hauteur d’environ $12,95$m.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Exercices – Second degré

Exercice 1

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
On appelle $\mathscr{P}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr{P}$. Quel type d’extremum admet la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $f(x)=2$.
    Retrouver l’abscisse du sommet de la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1.  la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
    Donc $a=1$, $b=6$ et $c=2$.
    Le sommet de la parabole a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-3$.
    Son ordonnée est $\beta=f(-3)=(-3)^2+6\times (-3)+2=-7$
    De plus $a=1>0$
    Donc le tableau de variation de la fonction $f$ est :

    $\quad$
  2. D’après le tableau précédent, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-3;-7)$.
    Puisque $a=1>0$, il s’agit d’un minimum.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi x^2+6x+2=2 \\
    &\ssi x^2+6x=0 \\
    &\ssi x(x+6)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x=0$ ou $x+6=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $-6$.
    $\quad$
    Le sommet appartient à l’axe de symétrie de la parabole. Donc l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+(-6)}{2}=-3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+4x+5$.

  1. Montrer que $f(x)=(x+2)^2+1$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x)\pg 1$ pour tout réel $x$. En déduire que la fonction $f$ admet un minimum.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (x+2)^2+1&=x^2+4x+4+1 \\
    &=x^2+4x+5\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$, on a $(x+2)^2 \pg 0$
    Par conséquent $(x+2)^2 +1\pg 1$
    C’est-à-dire $f(x) \pg 1$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x) \pg 1$ et $f(-2)=(-2+2)^2+1=1$.
    Par conséquent la fonction $f$ admet $1$ pour minimum atteint pour $x=-2$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x-1)(x+5)$.

  1. Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $f(x)=2(x-1)(x+5)$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+5=0 \ssi x=-5$ et $x+5>0 \ssi x>-5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. D’après la question précédente on a $f(1)=f(-5)=0$.
    Puisque le sommet de la parabole représentant la fonction $f$ appartient à l’axe de symétrie, l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{1+(-5)}{2}=-2$.
    Son ordonnée est $f(-2)=2(-2-1)(-2+5)=-18$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$
    Remarque : On pouvait également développer l’expression de $f(x)$ et retrouver l’abscisse du sommet à l’aide la formule $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction polynôme du second degré $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Compléter le tableau de variation.

$\quad$

Correction Exercice 4

$f$ est une fonction du second degré. Pour tout réel $x$, il existe trois réels $a$, $\alpha$ et $\beta$ tels que :
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique).
Le tableau de variation nous dit que $\alpha=2$ et $\beta =10$.
Ainsi $f(x)=a(x-2)^2+10$.
On sait de plus que :
$\begin{align*} f(8)=1 &\ssi a(8-2)^2+10=1 \\
&\ssi a\times 6^2=-9 \\
&\ssi 36a=-9 \\
&\ssi a=-\dfrac{9}{36} \\
&\ssi a=-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+10$

Ainsi $f(-2)=-\dfrac{1}{4}(-2-2)^2+10=-\dfrac{1}{4}\times 16+10=6$

On obtient donc le tableau de variation suivant :

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Montrer que les expressions suivantes définissent la même fonction polynôme du second degré.

$$A(x)=-3(x-2)^2+75 \quad \text{et} \quad B(x)=3(7-x)(x+3)$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A(x)&=-3(x-2)^2+75 \\
&=-3\left(x^2-4x+4\right)+75 \\
&=-3x^2+12x-12+75 \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

$\begin{align*} B(x)&=3(7-x)(x+3) \\
&=3\left(7x+21-x^2-3x\right) \\
&=3\left(-x^2+4x+21\right) \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

Par conséquent $A(x)=B(x)=-3x^2+12x+63$. Les deux expressions définissent donc bien la même fonction polynôme du second degré.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Systèmes d’équations – Problème

Problèmes – Systèmes d’équations à 2 inconnues

Tous les systèmes sont résolus à l’aide de la méthode par combinaisons linéaires (ou méthode du pivot de Gauss.)
Ne pas oublier de vérifier les calculs à l’aide par exemple de la calculatrice (qui sait très bien résoudre ce type de système)

Exercice 1

Dans un magasin, tous les articles d’une même catégorie sont au même prix.
Pierre et Clothilde décident d’y acheter des DVD et des bandes dessinées.
Ils possèdent chacun $75$ €. Pierre achète un DVD et $4$ bandes dessinées ; il lui reste $14,50$ €.
Clothilde dépense 73,50 € pour l’achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
Calculer le prix de chaque article.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $D$ le prix d’un DVD et $B$ celui d’une bande dessinée.
Pour Pierre : $D+4B=75-14,50 \ssi D+4B=60,5$
Pour Clothilde : $2D+3B=73,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} D+4B=60,5&\quad L_1\\2D+3B=73,5&\quad L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &2D+3B=73,5 \\
-2L_1 &: &-\left( 2D+8B=121\right)\\
\hline
&& -5B=-47,5
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5&\\-5B=-47,5&L_2-2L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5\\B=9,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+4\times 9,5=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+38=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D=22,5 \end{cases}
\end{align*}$

Ainsi un DVD coûte $22,5$ € et une bande dessinée $9,5$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long.
Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.
Déterminer la longueur en mètre d’une locomotive et celle d’un wagon-citerne.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle : $L$ la longueur d’une locomotive et $W$ la longueur d’un wagon-citerne.

Ainsi, “Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long” permet d’écrire l’équation :
$2L+10W=152$
Et “Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.” fournit l’équation :
$2L+10W-L+2W=160 \ssi L+12W=160″.

On a donc le système $S=\begin{cases} 2L+10W=152&L_1 \\L+12W=160&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2L+24W=320 \\
-L_1 &: &-\left( 2L+10W=152\right)\\
\hline
&& 14W=168
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152&\\14W=168&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152\\W=12 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12 \\2L+10\times 12=152 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L+120=152\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L=32 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\L=16 \end{cases}
\end{align*}$

Une locomotive mesure donc $16$ m et un wagon-citerne $12$ m.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Pour offrir un cadeau à l’un d’eux, les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ € , soit 45 pièces en tout.
Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $D$ le nombre de pièces de $2$ € et $U$ le nombre de pièces de $1$ €.

Ainsi “les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ €” fournit l’équation $2D+1U=75 \ssi 2D+U=75$.
Et “soit 45 pièces en tout” nous permet d’écrire $D+U=45$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 2D+U=75&L_1\\D+U=45&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2D+2U=90 \\
-L_1 &: &-\left( 2D+U=75\right)\\
\hline
&& U=15
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2D+U=75& \\U=15&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D+15=75 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\D=30\end{cases}
\end{align*}$

Les élèves ont donc collecté $30$ pièces de $2$ € et $15$ pièces de $1$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une entreprise artisanale fabrique deux types d’objets en bois, notés A et B.
Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois pour fabriquer $43$ objets.
Déterminer le nombre d’objets réalisés pour chaque type.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A$ le nombre d’objets de type A fabriqués et $B$ le nombre d’objets de type B fabriqués.

Ainsi “Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois” permet d’écrire $3A+5B=163$.
Et “… pour fabriquer $43$ objets” nous fournit l’équation $A+B=43$.

On obtient donc le système $S=\begin{cases}3A+5B=163&L_1\\A+B=43&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
3L_2 &: &3A+3B=129 \\
-L_1 &: &-\left( 3A+5B=163\right)\\
\hline
&& -2B=-34
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi\begin{cases} 3A+5B=163& \\-2B=-34&3L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3A+5B=163\\B=17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+5\times 17=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+85=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A=78 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\A=26 \end{cases} \end{align*}$

L’entreprise a donc fabriqué $26$ objets de type A et $17$ objets de type B.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.
Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.
Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $V$ le prix du kilogramme de vernis et $C$ celui du kilogramme de cire.

“Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.” permet d’écrire : $6V+4C=95$
“Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.” fournit : $3V+3C=55,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} 6V+4C=95&L_1\\3V+3C=55,5&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &6V+6C=111 \\
-L_1 &: &-\left( 6V+4C=95\right)\\
\hline
&& 2C=16
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95&\\2C=16&2L_2-L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95\\C=8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+4\times 8=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+32=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V=63\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8 \\V=10,5\end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme de vernis coûte donc $10,$ euros et un kilogramme de cire coûte $8$ euros.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Un torréfacteur met en vente deux sortes de mélange de café. Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme. Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.
Quel est le prix du kilogramme d’Arabica et du kilogramme de Robusta ?

Remarque : la monnaie utilisée est le franc pacifique.

$\quad$

Correction Exercice 6

On appelle $A$ le prix d’un kilogramme d’Arabica et $R$ le prix d’un kilogramme de Robusta.

“Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme” fournit l’équation $0,6A+0,4R=86,4$.
“Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.” donne l”équation $0,4A+0,6R=79,6$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&L_1\\0,4A+0,6R=79,6&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
0,6L_2 &: &0,24A+0,36R=47,76 \\
-0,4L_1 &: &-\left( 0,24A+0,16R=34,56\right)\\
\hline
&& 0,2R=13,2
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&\\0,2R=13,2&0,6L_2-0,4L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4 \\R=66 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66 \\0,6A+0,4\times 66=86,4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A+26,4=86,4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\A=100 \end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme d’Arabica coûte donc $100$ F et un kilogramme de Robusta coûte $66$ F.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Pour financer une partie de leur voyage de fin d’année, des élèves de troisième vendent des gâteaux qu’ils ont confectionnés eux-même.
Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.
Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros.
La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.
Déterminer combien ils ont vendu de tartes de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $M$ le nombre de tartes aux myrtilles vendues et $P$ le nombre de tartes aux pommes vendues.

“Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.” fournit l’équation $M+P=15$.
“Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros. La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.” nous permet d’écrire $4M+2P=42$.

On obtient le système $S=\begin{cases} M+P=15&L_1\\4M+2P=42&L_2\end{cases}$.

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &4M+2P=42 \\
-4L_1 &: &-\left( 4M+4P=60\right)\\
\hline
&& -2P=-18
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} M+P=15 &\\-2P=-18&L_2-4L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} M+P=15\\P=9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M+9=15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M=6\end{cases}
\end{align*}$

Par conséquent ils ont vendu $6$ tartes aux myrtilles et $9$ tartes aux pommes.

$\quad$

[collapse]

 

2nd – devoir commun – janvier 2018

Devoir commun de mathématiques

Janvier 2018

Énoncé

Exercice 1     10 points

Le dessin ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$. Si les réponses ne sont pas des nombres entiers, vous arrondissez au dixième qui vous semble le plus proche.

 

  1. Quel est le domaine de définition de $f$?
    $\quad$
  2. Quelle est l’image de $-2$ par $f$?
    $\quad$
  3. Quels sont les antécédents de $1$ par $f$?
    $\quad$
  4. A combien est égal $f(1)$?
    $\quad$
  5. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=-1$.
    $\quad$
  6. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)< 1$.
    $\quad$
  7. Dresser le tableau de variation de $f$ sur son domaine de définition.
    $\quad$
  8. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur son domaine de définition.
    $\quad$
  9. Compléter les affirmations suivantes:
    a. Si $-3 \pp a \pp b \pp -1$ alors $f(a) \dots \dots \dots f(b)$;
    $\quad$
    b. Si $x \pp -3$ alors $f(x) \pp \dots \dots \dots $;
    $\quad$
    c. Si $ -1 \pp x \pp 6$ alors $ \dots \dots \dots \pp f(x) \pp \dots \dots \dots $.
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2     7 points

Nous avons relevé les temps de parcours de navigateurs de la Route du Rhum et du Vendée Globe dans les tableaux ci dessous.

Podiums de la Route du Rhum :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Jours} &7 &8 &9 &10 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18 &23 \\
\hline
\text{Nombre de navigateurs} &2 &4 &2 &1 &3 &2 &7 &1 &1 &1 &3 &3 \\
\hline
\end{array}$

Vendée Globe :

$\small\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
\hline
\text{Navigateurs} &4 &8 &15 &11 &17 &10 &3 &1 &3 \\
\hline
\end{array}$

  1. La route du Rhum :
    a. 
    Déterminer l’effectif total de la série statistique des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
    b. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
    c. Déterminer, en justifiant, la moyenne des temps de parcours des navigateurs présents sur un podium de la Route du Rhum.
    $\quad$
  2. Le Vendée Globe :
    a. 
    Déterminer, en justifiant, une estimation au centième de la moyenne des temps de parcours des navigateurs du Vendée Globe.
    $\quad$
    b. En utilisant la courbe ou le tableau des fréquences cumulées croissantes, estimer la valeur de la médiane et des quartiles.
    Tableau des fréquences cumulées croissantes (arrondies à l’unité) :
    $\small
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
    \hline
    \text{Fréquences} & & & & & & & & & \\
    \text{cumulées} & 6\%&17\% &38\% &53\% &77\% &91\% &95\% &96\% &100\% \\
    \text{croissantes}& & & & & & & & & \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Courbes des fréquences cumulées croissantes :

$\quad$

Exercice 3     6 points

Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm.

  1. Déterminer la longueur du côté des petits triangles si la somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone gris restant.
    $\quad$
  2. Déterminer la longueur du côté des petits triangles si la somme des aires des trois petits triangles est égale à l’aire de l’hexagone gris restant.
    On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
    $\quad$

Exercice 4     9 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{-7+(2x-3)^2-(4+2x)^2}{14}$ et $g(x)=x^2-10x+11$.

  1. Étude de la fonction $f$ :
    a. Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x)=-2x-1$.
    $\quad$
    b. En déduire la nature de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’antécédent de $\dfrac{1}{4}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    d. Déterminer les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
    e. Déterminer le tableau de signe de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Étude de la fonction $g$ :
    a. Déterminer l’image exacte de $\dfrac{4}{3}$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout réel $x$, $g(x)=\left(x-3\right) \left(x-7 \right)-10 $.
    $\quad$
    c. En déduire les antécédents de $-10$ par la fonction $g$.
    $\quad$

Exercice 5     8 points

Soient $A(0;2)$, $B(8;6)$ et $C(2;0)$ trois points du plan muni d’un repère orthonormée $\left(O,I,J \right) $.
On complétera la figure ci-dessous au fur et à mesure de l’exercice.

  1. Démontrer que le milieu $E$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(4;4)$.
    $\quad$
  2. Déterminer les distances $AB$ et $BC$.
    $\quad$
  3. Sachant que $AC=\sqrt{8}$, déterminer la nature du triangle $ABC$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du symétrique du point $C$ par rapport au point $E$. On le nommera $D$.
    $\quad$
  5. En déduire la nature exacte du quadrilatère $ACBD$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

  1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=[-6;6]$.
    $\quad$
  2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est environ $2,5$.
    $\quad$
  3. Les antécédents de $1$ par la fonction $f$ sont $-4$; $-1$ et $3$.
    $\quad$
  4. On a $f(1)\approx 1,8$.
    $\quad$
  5. Les solutions de l’équation $f(x)=-1$ sont $-6$ et $5$.
    $\quad$
  6. La solution de l’inéquation $f(x)<1$ est $[-6;-4[\cup ]3;6]$.
    $\quad$
  7. Le tableau de variation de la fonction $f$ est :
    $\quad$
  8. Le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $4$ (atteint en $-3$) et le minimum est $-2$ (atteint en $6$).
    $\quad$
  9. a. Si $-3a \pp a \pp b \pp -1$ alors $f(a) \pg f(b)$ ;
    $\quad$
    b. Si $x \pp -3$ alors $f(x) \pp 4$ ;
    $\quad$
    c. Si $-1 \pp x \pp 6$ alors $-2 \pp f(x) \pp 2$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. L’effectif total est $2+4+2+\ldots+3=30$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{30}{2}=15$ La médiane est donc la moyenne de la $15^{\text{ème}}$ et de la $16^{\text{ème}}$ valeur. Soit $m_1=\dfrac{14+14}{2}=14$.
    $\quad$
    $\dfrac{30}{4}=7,5$ donc $Q_1$ est la $8^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_1=9$.
    $\quad$
    $\dfrac{30\times 3}{4}=22,5$ donc $Q_3$ est la $23^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_3=16$.
    $\quad$
    c. La moyenne est $x_1=\dfrac{7\times 2+8\times 4+\ldots+23\times 3}{30}=\dfrac{405}{30}=13,5$.
    $\quad$
  2. a. On détermine le centre des classes :
    $\small
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Jours} & [70;80[& [80;90[ &[90;100[ &[100;110[ &[110;120[ &[120;130[ &[130;140[ &[140;150[&[150;170[ \\
    \hline
    \text{Fréquences} & & & & & & & & & \\
    \text{cumulées} & 6\%&17\% &38\% &53\% &77\% &91\% &95\% &96\% &100\% \\
    \text{croissantes}& & & & & & & & & \\
    \hline
    \text{Centre} & 75&85&95&105&115&125&135&145&160 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Une estimation de la moyenne est donc $x_2=\dfrac{75\times 4+85\times 8+\ldots+160\times 3}{4+8+\ldots+3}=\dfrac{7~795}{72}\approx 108,26$.
    $\quad$
    b. À partir du graphique on peut lire que :
    $\bullet$ la médiane est $m_2\approx 107$;
    $\bullet$ $Q_1\approx 93$
    $\bullet$ $Q_3 \approx 118$

Ex 3

Exercice 3

  1. On appelle $x$ la longueur d’un côté d’un petit triangle.
    Le périmètre d’un petit triangle est $P_1=3x$ donc la somme des périmètres des trois petits triangles est $P_2=3\times 3x=9x$.
    Le périmètre de l’hexagone est $P_3=3(6-2x)+3x=18-6x+3x=18-3x$.
    On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*}
    P_3=P_2 &\ssi 18-3x=9x \\
    &\ssi 18=12x \\
    &\ssi x=\dfrac{18}{12} \\
    &\ssi x= \dfrac{3}{2}
    \end{align*}$
    La somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone si $x=1,5$.
    $\quad$
  2. L’aire d’un petit triangle est $\mathscr{A}_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$
    La somme des aires des petits triangles est $\mathscr{A}_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\times 3$
    L’aire du grand triangle est $\mathscr{A}_3=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}$
    L’aire de l’hexagone est $\mathscr{A}_4=9\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2$
    On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*}
    \mathscr{A}_2=\mathscr{A}_4&\ssi \dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2=9\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2 \\
    &\ssi \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2=9\sqrt{3} \\
    &\ssi x^2=\dfrac{9\sqrt{3}\times 2}{3\sqrt{3}} \\
    &\ssi x^2=6\\
    &\ssi x=\sqrt{6} \quad \text{car }x>0
    \end{align*}$
    La somme des aires des trois petits triangles est égale à l’aire de l’hexagone si $x=\sqrt{6}$.
    $\quad$

Remarque : Il est possible de mettre ces questions en équation de plusieurs façons.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)&=\dfrac{-7+(2x-3)^2-(4+2x)^2}{14} \\
    &=\dfrac{-7+4x^2+9-12x-\left(16+4x^2+16x\right)}{14}\\
    &=\dfrac{-7+4x^2+9-12x-16-4x^2-16x}{14}\\
    &=\dfrac{-28x-14}{14}\\
    &=-2x-1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc affine.
    $\quad$
    c. On veut résoudre
    $\begin{align*}
    f(x)=\dfrac{1}{4}&\ssi -2x-1=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -2x=\dfrac{5}{4} \\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{8}
    \end{align*}$
    L’antécédent de $\dfrac{1}{4}$ par la fonction $f$ est $-\dfrac{5}{8}$.
    $\quad$
    d. Le coefficient directeur de la fonction affine $f$ est $a=-2<0$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R$.
    $\quad$
    e. $f(x)=0 \ssi -2x-1=0 \ssi -2x=1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.
    Puisque la fonction $f$ est décroissante sur $\R$ on a le tableau de signes suivant :
  2. a.
    $\begin{align*} g\left(\dfrac{4}{3}\right)&=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-10\times \dfrac{4}{3}+11 \\
    &=\dfrac{16}{9}-\dfrac{40}{3}+11\\
    &=\dfrac{16}{9}-\dfrac{120}{9}+\dfrac{99}{9}\\
    &=-\dfrac{5}{9}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*}
    (x-3)(x-7)-10&=x^2-7x-3x+21-10 \\
    &=x^2-10x+11\\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\quad$
    $\begin{align*}
    g(x)=-10 &\ssi (x-3)(x-7)-10=-10\\
    &\ssi (x-3)(x-7)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-3=0 \ssi x=3$ ou $x-7=0 \ssi x=7$.
    Les antécédents de $-10$ par la fonction $g$ sont donc $3$ et $7$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Les coordonnées de $E$ sont :
    $$\begin{array}{rlcrl}
    x_E&=\dfrac{x_A+x_B}{2}&&y_E&=\dfrac{y_A+y_B}{2} \\\\
    &=\dfrac{0+8}{2}&&&=\dfrac{2+6}{2}\\
    &=4&&&=4
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{array}{rlcrl}
    AB&=\sqrt{(8-0)^2+(6-2)^2}&&BC&=\sqrt{(2-8)^2+(0-6)^2}\\
    &=\sqrt{64+16}&&&=\sqrt{36+36}\\
    &=\sqrt{80}&&&=\sqrt{72}
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=80$
    D’autre part $AC^2+BC^2=72+8=80$
    Donc $AB^2=AC^2+BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  4. $D$ est le symétrique du point $C$ par rapport à $E$. Donc $E$ est le milieu du segment $[DC]$.
    Ainsi :
    $$\begin{array}{rlcrl}
    x_E=\dfrac{x_C+x_D}{2} &\ssi 4=\dfrac{2+x_D}{2} &&y_E=\dfrac{y_C+y_D}{2}&\ssi 4=\dfrac{0+y_D}{2} \\
    &\ssi 8=2+x_D&& &\ssi y_D=8\\
    &\ssi x_D=6&&&
    \end{array}$$
    Donc le point $D$ a pour coordonnées $(6;8)$.
    \item Les diagonales $[CD]$ et $[AB]$ se coupent en leur milieu. Donc $ACBD$ est un parallélogramme.
    Le triangle $ACB$ est rectangle en $C$. Donc le parallélogramme $ACBD$ est un rectangle.
    $AC\neq CB$ donc $ACBD$ n’est pas un carré.

2nd – Exercices – variations d’une fonction

Exercices – Variations d’une fonction, minimum et maximum

Exercice 1

Tracer une courbe susceptible de représenter une fonction $f$ sachant que :

  • $f$ est définie sur l’intervalle $[-5;4]$;
  • $f$ admet un minimum $–3$ et un maximum $5$ qui ne sont atteints ni en $–5$ ni en $4$;
  • l’image de $–5$ est négative;
  • $0$ possède trois antécédents.

$\quad$

Correction Exercice 1

Voici une proposition (il en existe une infinité).

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$\quad$

Exercice 2

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. Déterminer l’ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Préciser le minimum et le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}_f$ et pour quelles valeurs sont-ils atteints?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=[-2;6]$.
    $\quad$
  2. Le tableau de variation de la fonction $f$ est :
  3. Le minimum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $-4$. Il est atteint en $-1$ et $3$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $5$. Il est atteint en $6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est :

  1. Quel est l’ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Préciser le minimum et le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$.
    $\quad$
  3. Préciser le minimum et le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$.
    $\quad$
  4. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
    $\quad$
    a. $\ldots \ldots \pp f(-5) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
    b. $\ldots \ldots \pp f(20)\pp \ldots \ldots$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=[-10;30]$.
    $\quad$
  2. Le minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;30]$ est $-52$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;30]$ est $33$.
    $\quad$
  3. Le minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$ est $-25$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$ est $33$.
    $\quad$
  4. a. $-25 \pp f(-5) \pp 33$
    $\quad$
    b. $-52 \pp f(20)\pp 20$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est le suivant :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. a. Quel est le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$?
    $\quad$
    b. Quel est le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$?
    $\quad$
  3. a. Quel est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$?
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de solution de l’équation $f(x)=2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$.
    $\quad$
  2. a. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$ est $0$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]-\infty;10]$ le maximum est $0$. On a donc $f(x)\pp 0$ pour tout réel $x\in]-\infty;10]$.
    $f(x)$ est donc négatif ou nul sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. a. Le maximum de la fonction $f$ sur $\R$ est $\dfrac{13}{7}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pp \dfrac{13}{7}<2$.
    $2$ ne possède donc pas d’antécédent par la fonction $f$ et l’équation $f(x)=2$ ne possède pas de solution sur $\R$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On considère une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4;5]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 : $f(4)\pg 0$.

$\quad$

Affirmation 2 : La courbe représentant la fonction $f$ coupe l’axe des abscisses en un seul point.

$\quad$

Correction Exercice 5

D’après le tableau de variation on sait que $-2 \pp f(4) \pp 1$.
On ne peut donc pas déterminer le signe de $f(4)$.
Affirmation 1 fausse

D’après le tableau de variation on sait que $f(-1)=0$. La courbe représentant la fonction $f$ coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisses $-1$.
On sait également que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[3;5]$ et qu’elle prend des valeurs comprises entre $-2$ et $1$. Elle prendra donc une nouvelle fois sur cet intervalle (il faudra attendre la terminale pour avoir une justification précise) la valeur $0$.
Affirmation 2 fausse

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Combien d’antécédents le nombre $5$ possède-t-il par la fonction $f$ sur son ensemble de définition?
    $\quad$
  3. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
    $\quad$
    a. $\ldots \ldots \pp f(3) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
    b. $\ldots \ldots \pp f(-2) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=[-10;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $[-10;0]$ le maximum de la fonction $f$ est $1$. Par conséquent $5$ ne possède pas d’antécédent sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ le maximum de la fonction $f$ est $5$, atteint pour $x=2$. Par conséquent $5$ possède un unique antécédent sur cet intervalle.
    Le nombre $5$ possède donc un unique antécédent par la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$.
    $\quad$
  3. a. $-1 \pp f(3) \pp 5$
    $\quad$
    b. $-7 \pp f(-2) \pp 1$
    $\quad$

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$\quad$

Exercices – Factorisation (facteur commun)

Factorisation

Exercice 1    Factorisation par un réel (numérique)

Factoriser les expressions suivantes :

$A=7a+21$
$\quad$
$B=14a-35$
$\quad$
$C=10x+5$
$\quad$
$D=27x-36$
$\quad$

Correction Exercice 1

$A=7a+21 = 7\times a + 7\times 3 = 7(a+3)$
$\quad$
$B=14a-35=7\times 2a-7\times 5=7(2a-5)$
$\quad$
$C=10x+5=5\times 2x+5\times 1=5(2x+1)$
Remarque : il ne faut surtout pas oublié le $1$.
$\quad$
$D=27x-36=9\times 3x-9\times 4=9(3x-4)$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2    Factorisation par un réel (littéral)

Factoriser les expressions suivantes :

$A=a^2+2a$
$\quad$
$B=3a^2-6a$
$\quad$
$C=12x^2-14x$
$\quad$
$D=27x^4-18x^3-15x^2$
$\quad$

Correction Exercice 2

$A=a^2+2a=a\times a+a\times 2=a(a+2)$
$\quad$
$B=3a^2-6a=3a\times a-3a\times 2=3a(a-2)$
$\quad$
$C=12x^2-14x=2x\times 6x-2x\times 7=2x(6x-7)$
$\quad$
$D=27x^4-18x^3-15x^2=3x^2\times 9x^2-3x^2\times 6x-3x^2\times 5=3x^2\left(9x^2-6x-5\right)$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Facteur commun

Factoriser

$A=5(x+1)+x(x+1)$
$\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$
$\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$
$\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$
$\quad$
$E=7(x-7)-x(x-7)+4(x-7)$
$\quad$
$F=(2x+5)(3x-7)-(2x+5)(5x-3)$
$\quad$
$G=(5x+7)(x-1)+(x-1)(3x-4)$
$\quad$
$H=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2$
$\quad$
$I=(x+7)(5x+2)-3(5x+2)^2$
$\quad$
$J=(3x-4)(2x+3)-(2x-3)(3x-4)$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=5\underline{(x+1)}+x\underline{(x+1)}\\
&=(x+1)(5+x)\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\underline{(x-1)}(2x+3)+\underline{(x-1)}(5x-2)\\
&=(x-1)\left[(2x+3)+(5x-2)\right]\\
&=(x-1)(2x+3+5x-2)\\
&=(x-1)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\underline{(2x-5)}(4x-3)-\underline{(2x-5)}(3x-1)\\
&=(2x-5)\left[(4x-3)-(3x-1)\right]\\
&=(2x-5)(4x-3-3x+1)\\
&=(2x-5)(x-2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=2(3x-1)\underline{(x+3)}-3\underline{(x+3)}(4x+1)\\
&=(x+3)\left[2(3x-1)-3(4x+1)\right]\\
&=(x+3)(6x-2-12x-3)\\
&=(x+3)(-6x-5)
\end{align*}$
Remarque : Attention à la gestion des signes dans le crochet
$\quad$
$\begin{align*}E&=7\underline{(x-7)}-x\underline{(x-7)}+4\underline{(x-7)}\\
&=(x-7)(7-x+4)\\
&=(x-7)(11-x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\underline{(2x+5)}(3x-7)-\underline{(2x+5)}(5x-3)\\
&=(2x+5)\left[(3x-7)-(5x-3)\right]\\
&=(2x+5)(3x-7-5x+3)\\
&=(2x+5)(-2x-4) \quad(*)\\
&=(2x+5)\left[-2(x+2)\right]\\
&=-2(2x+5)(x+2)
\end{align*}$
Remarque : La forme attendue est $(*)$. Trouver la dernière est parfait ;).
$\quad$
$\begin{align*}G&=(5x+7)\underline{(x-1)}+\underline{(x-1)}(3x-4)\\
&=(x-1)\left[(5x+7)+(3x-4)\right] \\
&=(x-1)(5x+7+3x-4)\\
&=(x-1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=(3x-2)(x-5)+(x-5)^2\\
&=(3x-2)\underline{(x-5)}+\underline{(x-5)}(x-5)\\
&=(x-5)\left[(3x-2)+(x-5)\right]\\
&=(x-5)(4x-7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}I&=(x+7)(5x+2)-3(5x+2)^2\\
&=(x+7)\underline{(5x+2)}-3\underline{(5x+2)}(5x+2)\\
&=(5x+2)\left[(x+7)-3(5x+2)\right]\\
&=(5x+2)(x+7-15x-6)\\
&=(5x+2)(-14x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}J&=\underline{(3x-4)}(2x+3)-(2x-3)\underline{(3x-4)} \\
&=(3x-4)\left[(2x+3)-(2x-3)\right] \\
&=(3x-4)(2x+3-2x+3)\\
&=(3x-4)\times 6\\
&=6(3x-4)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4    Facteur commun (subtilités)

Factoriser

$A=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
$\quad$
$B=7x(2x+3)+2x+3$
$\quad$
$C=(3x+5)(x-1)+(x-1)$
$\quad$
$D=(7x-2)(3x+4)-(3x+4)$
$\quad$
$E=(5x-1)(2x+3)-5x+1$
$\quad$
$F=(7x-2)(x-9)+14x-4$
$\quad$
$G=(x+4)^2+(x-4)(x+4)+2x+8$
$\quad$
$H=(2x+6)(x-5)+3x+9$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2) \\
&=\underline{(5x-2)}\times 1+4(2x+1)\underline{(5x-2)} \\
&=(5x-2)\left[1+4(2x+1)\right]\\
&=(5x-2)(1+8x+4)\\
&=(5x-2)(5+8x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=7x(2x+3)+2x+3 \\
&=7x\underline{(2x+3)}+\underline{(2x+3)}\times 1\\
&=(2x+3)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x+5)(x-1)+(x-1)\\
&=(3x+5)\underline{(x-1)}+\underline{(x-1)}\times 1\\
&=(x-1)\left[(3x+5)+1\right] \\
&=(x-1)(3x+5+1)\\
&=(x-1)(3x+6)\quad  \text{forme attendue}\\
&=(x-1)(3x+3\times 2)\\
&=3(x-1)(x+2) \quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(7x-2)(3x+4)-(3x+4)\\
&=(7x-2)\underline{(3x+4)}-\underline{(3x+4)}\times 1\\
&=(3x+4)\left[(7x-2)-1\right]\\
&=(3x+4)(7x-2-1)\\
&=(3x+4)(7x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(5x-1)(2x+3)-5x+1 \\
&=(5x-1)(2x+3)-(5x-1)\\
&=\underline{(5x-1)}(2x+3)-\underline{(5x-1)}\times 1\\
&=(5x-1)\left[(2x+3)-1\right]\\
&=(5x-1)(2x+3-1)\\
&=(5x-1)(2x+2)\quad \text{forme attendue}\\
&=2(5x-1)(x+1)\quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=(7x-2)(x-9)+14x-4\\
&=\underline{(7x-2)}(x-9)+2\underline{(7x-2)}\\
&=(7x-2)\left[(x-9)+2\right] \\
&=(7x-2)(x-9+2)\\
&=(7x-2)(x-7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=(x+4)^2+(x-4)(x+4)+2x+8 \\
&=\underline{(x+4)}(x+4)+(x-4)\underline{(x+4)}+2\underline{(x+4)}\\
&=(x+4)\left[(x+4)+(x-4)+2\right] \\
&=(x+4)(x+4+x-4+2)\\
&=(x+4)(2x+2) \quad \text{forme attendue}\\
&=2(x+4)(x+1)\quad \text{forme espérée}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=(2x+6)(x-5)+3x+9 \\
&=2\underline{(x+3)}(x-5)+3\underline{(x+3)}\\
&=(x+3)\left[2(x-5)+3\right]\\
&=(x+3)(2x-10+3)\\
&=(x+3)(2x-7)
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

 

2nd – Exercices – Fractions

Fractions

Exercice 1    Somme

Calculer les nombres suivants en fournissant le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.

  1. $\quad$ $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{3}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{11}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $3+\dfrac{2}{5}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $1-\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
  8. $\quad$ $\dfrac{1}{3}-2$
    $\quad$
  9. $\quad$ $-\dfrac{2}{7}-5$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$ $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{2\times 2}{3\times 2}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{12}{15}-\dfrac{25}{15}=-\dfrac{13}{15}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{28}-\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{28}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{20}{24}+\dfrac{18}{24}=-\dfrac{2}{24}=-\dfrac{1}{12}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{11}=-\dfrac{22}{55}-\dfrac{15}{55}=-\dfrac{37}{55}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $3+\dfrac{2}{5}=\dfrac{15}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $1-\dfrac{5}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  8. $\quad$ $\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{1}{3}-\dfrac{6}{3}=-\dfrac{5}{3}$
    $\quad$
  9. $\quad$ $-\dfrac{2}{7}-5=-\dfrac{2}{7}-\dfrac{35}{7}=-\dfrac{37}{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2    Produit

Calculer les nombres suivants en fournissant le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.

  1. $\quad$ $2\times \dfrac{4}{5}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $6\times \dfrac{8}{15}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $\dfrac{3}{4}\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $-\dfrac{5}{9}\times \dfrac{3}{10}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $\dfrac{8}{7}\times \dfrac{14}{3}$
    $\quad$
  8. $\quad$ $-\dfrac{3}{4}\times \left(-\dfrac{10}{9}\right)$
    $\quad$
  9. $\quad$ $\dfrac{8}{5}\times \dfrac{15}{2}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$ $2\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{2\times 4}{5}=\dfrac{8}{5}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $6\times \dfrac{8}{15}=\dfrac{3\times 2\times 8}{3\times 5}=\dfrac{16}{5}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $\dfrac{3}{4}\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)=-\dfrac{21}{8}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{5\times 3}{6\times 5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $-\dfrac{5}{9}\times \dfrac{3}{10}=\dfrac{5\times 3}{3\times 3\times 2 \times 5}=\dfrac{1}{6}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $\dfrac{8}{7}\times \dfrac{14}{3}=\dfrac{8\times 2 \times 7}{7 \times 3}=\dfrac{16}{3}$
    $\quad$
  8. $\quad$ $-\dfrac{3}{4}\times \left(-\dfrac{10}{9}\right)=\dfrac{3\times 2 \times 5}{2\times 2\times 3\times 3}=\dfrac{5}{6}$
    $\quad$
  9. $\quad$ $\dfrac{8}{5}\times \dfrac{15}{2}=\dfrac{2\times 4\times 3\times 5}{5\times 2}=12$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3    Quotient

Calculer les nombres suivants en fournissant le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.

  1. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{2}{5}~}{\dfrac{7}{3}}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{5}{6}~}{\dfrac{3}{4}}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{-\dfrac{3}{4}~~}{\dfrac{5}{8}}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $\dfrac{2}{~\dfrac{5}{4}~}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{1}{~\dfrac{1}{4}~}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{2}{5}~}{6}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{2}{5}~}{\dfrac{7}{3}}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{7}=\dfrac{6}{35}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{5}{6}~}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{5\times 2\times 2}{3\times 2\times 3}=\dfrac{10}{9}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{-\dfrac{3}{4}~~}{\dfrac{5}{8}}=-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{5}=-\dfrac{3\times 4\times 2}{4\times 5}=-\dfrac{6}{5}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $\dfrac{2}{~\dfrac{5}{4}~}=2\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{1}{~\dfrac{1}{4}~}=1\times \dfrac{4}{1}=4$
    $\quad$
  6. $\quad$ $\dfrac{~\dfrac{2}{5}~}{6}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{5\times 2\times 3}=\dfrac{1}{15}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4    Mélange

Calculer les nombres suivants en fournissant le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.

  1. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{5}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{5}{2}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}}{\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{7}}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{3}}$
    $\quad$
  5. $5-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{7}{2}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{1+\dfrac{3}{5}}{4-\dfrac{1}{2}}$
    $\quad$
  7. $\dfrac{\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{4}}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$ $\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{10}{30}+\dfrac{9}{30}=\dfrac{19}{30}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{10}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{8}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}}{\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{7}}=\dfrac{\dfrac{3}{6}+\dfrac{8}{6}}{\dfrac{21}{35}-\dfrac{10}{35}}=\dfrac{~\dfrac{11}{6}~}{\dfrac{11}{35}}=\dfrac{11}{6}\times \dfrac{35}{11}=\dfrac{35}{6}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{3}}=\dfrac{\dfrac{9}{12}-\dfrac{20}{12}}{\dfrac{9}{12}+\dfrac{20}{12}}=\dfrac{-\dfrac{11}{12}~~}{\dfrac{29}{12}}=-\dfrac{11}{12}\times \dfrac{12}{29}=-\dfrac{11}{29}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $5-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{7}{2}=5-\dfrac{7}{3}=\dfrac{15}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $\dfrac{1+\dfrac{3}{5}}{4-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{5}{5}+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{8}{2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{~\dfrac{8}{5}~}{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{8}{5}\times \dfrac{2}{7}=\dfrac{16}{35}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $\dfrac{\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{8}{20}-\dfrac{25}{20}}=\dfrac{~\dfrac{3}{10}~}{-\dfrac{17}{20}}=-\dfrac{3}{10}\times \dfrac{20}{17}=-\dfrac{6}{17}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5    Calcul littéral

Donner l’expression la plus simple des expressions suivantes.

  1. $\quad$ $3+\dfrac{5}{2+x}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $2-\dfrac{4}{1-x}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3x+1}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $5+\dfrac{x+1}{x-2}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{2x+5}{3x-1}+1$
    $\quad$
  6. $\quad$ $\dfrac{3x+2}{5x+3}-1$
    $\quad$
  7. $\quad$ $\dfrac{2x-1}{4x+2}+4$
    $\quad$
  8. $\quad$ $\dfrac{5x-3}{2x+3}-5$
    $\quad$
  9. $\quad$ $\dfrac{6x-2}{3-4x}-3$
    $\quad$
  10. $\quad$ $\dfrac{x-3}{2-3x}+6$
    $\quad$
  11. $\quad$ $\dfrac{2x+5}{3x-1}-\dfrac{3x-2}{5x-3}$
    $\quad$
  12. $\quad$ $\dfrac{3x-2}{2x+3}+\dfrac{7x-1}{2x+1}$
    $\quad$
  13. $\quad$ $\dfrac{x-2}{4x+2}-\dfrac{4x-1}{3x-2}$
    $\quad$
  14. $\quad$ $\dfrac{-2x+3}{2x-3}+\dfrac{3x+7}{4x+5}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$ $3+\dfrac{5}{2+x}=\dfrac{3(2+x)}{2+x}+\dfrac{5}{2+x}$
    $\quad$ $\phantom{3+\dfrac{5}{2+x}}=\dfrac{6+3x}{2+x}+\dfrac{5}{2+x}=\dfrac{11+3x}{2+x}$
    $\quad$
  2. $\quad$ $2-\dfrac{4}{1-x}=\dfrac{2(1-x)}{1-x}-\dfrac{4}{1-x}$
    $\quad$ $\phantom{2-\dfrac{4}{1-x}}=\dfrac{2-2x}{1-x}-\dfrac{4}{1-x}=\dfrac{-2-2x}{1-x}$
    $\quad$
  3. $\quad$ $\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3x+1}=\dfrac{3(3x+1)}{5(3x+1)}+\dfrac{10}{5(3x+1)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3x+1}}=\dfrac{9x+3}{15x+5}+\dfrac{10}{15x+5}=\dfrac{9x+13}{15x+5}$
    $\quad$
  4. $\quad$ $5+\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{5(x-2)}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-2}$
    $\quad$ $\phantom{5+\dfrac{x+1}{x-2}}=\dfrac{5x-10}{x-2}+\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{6x-9}{x-2}$
    $\quad$
  5. $\quad$ $\dfrac{2x+5}{3x-1}+1=\dfrac{2x+5}{3x-1}+\dfrac{3x-1}{3x-1}=\dfrac{5x+4}{3x-1}$
    $\quad$
  6. $\quad$ $\dfrac{3x+2}{5x+3}-1=\dfrac{3x+2}{5x+3}-\dfrac{5x+3}{5x+3}=\dfrac{-2x-1}{5x+3}$
    $\quad$
  7. $\quad$ $\dfrac{2x-1}{4x+2}+4=\dfrac{2x-1}{4x+2}+\dfrac{4(4x+2)}{4x+2}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{2x-1}{4x+2}+4}=\dfrac{2x-1}{4x+2}+\dfrac{16x+8}{4x+2}=\dfrac{18x+7}{4x+2}$
    $\quad$
  8. $\quad$ $\dfrac{5x-3}{2x+3}-5=\dfrac{5x-3}{2x+3}-\dfrac{5(2x+3)}{2x+3}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{5x-3}{2x+3}-5}=\dfrac{5x-3}{2x+3}-\dfrac{10x+15}{2x+3}=\dfrac{-5x-18}{2x+3}$
    $\quad$
  9. $\quad$ $\dfrac{6x-2}{3-4x}-3=\dfrac{6x-2}{3-4x}-\dfrac{3(3-4x)}{3-4x}=\dfrac{6x-2}{3-4x}-\dfrac{9-12x}{3-4x}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{6x-2}{3-4x}-3}=\dfrac{6x-2-9+12x}{3-4x}=\dfrac{18x-11}{3-4x}$
    $\quad$
  10. $\quad$ $\dfrac{x-3}{2-3x}+6=\dfrac{x-3}{2-3x}+\dfrac{6(2-3x)}{2-3x}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{x-3}{2-3x}+6}=\dfrac{x-3}{2-3x}+\dfrac{12-18x}{2-3x}=\dfrac{-17x+9}{2-3x}$
    $\quad$
  11. $\quad$ $\dfrac{2x+5}{3x-1}-\dfrac{3x-2}{5x-3}=\dfrac{(2x+5)(5x-3)}{(3x-1)(5x-3)}-\dfrac{(3x-2)(3x-1)}{(3x-1)(5x-3)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{2x+5}{3x-1}-\dfrac{3x-2}{5x-3}} =\dfrac{10x^2-6x+25x-15}{(3x-2)(5x-3)}-\dfrac{9x^2-3x-6x+2}{(3x-2)(5x-3)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{2x+5}{3x-1}-\dfrac{3x-2}{5x-3}} = \dfrac{10x^2+19x-15}{(3x-2)(5x-3)}-\dfrac{9x^2-9x+2}{(3x-2)(5x-3)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{2x+5}{3x-1}-\dfrac{3x-2}{5x-3}} =\dfrac{x^2+28x-17}{(3x-2)(5x-3)}$
    $\quad$
  12. $\quad$ $\dfrac{3x-2}{2x+3}+\dfrac{7x-1}{2x+1}=\dfrac{(3x-2)(2x+1)}{(2x+3)(2x+1)}+\dfrac{(7x-1)(2x+3)}{(2x+3)(2x+1)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{3x-2}{2x+3}+\dfrac{7x-1}{2x+1}}=\dfrac{6x^2+3x-4x-2}{(2x+3)(2x+1)}+\dfrac{14x^2+21x-2x-3}{(2x+3)(2x+1)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{3x-2}{2x+3}+\dfrac{7x-1}{2x+1}}=\dfrac{6x^2-x-2}{(2x+3)(2x+1)}+\dfrac{14x^2+19x-3}{(2x+3)(2x+1)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{3x-2}{2x+3}+\dfrac{7x-1}{2x+1}}=\dfrac{20x^2+18x-5}{(2x+3)(2x+1)}$
    $\quad$
  13. $\quad$ $\dfrac{x-2}{4x+2}-\dfrac{4x-1}{3x-2}=\dfrac{(x-2)(3x-2)}{(4x+2)(3x-2)}-\dfrac{(4x-1)(4x+2)}{(4x+2)(3x-2)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{x-2}{4x+2}-\dfrac{4x-1}{3x-2}}=\dfrac{3x^2-2x-6x+4}{(4x+2)(3x-2)}-\dfrac{16x^2+8x-4x-2}{(4x+2)(3x-2)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{x-2}{4x+2}-\dfrac{4x-1}{3x-2}}=\dfrac{3x^2-8x+4}{(4x+2)(3x-2)}-\dfrac{16x^2+4x-2}{(4x+2)(3x-2)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{x-2}{4x+2}-\dfrac{4x-1}{3x-2}}=\dfrac{-13x^2-12x+6}{(4x+2)(3x-2)}$
    $\quad$
  14. $\quad$ $\dfrac{-2x+3}{2x-3}+\dfrac{3x+7}{4x+5}=\dfrac{(-2x+3)(4x+5)}{(2x-3)(4x+5)}+\dfrac{(3x+7)(2x-3)}{(2x-3)(4x+5)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{-2x+3}{2x-3}+\dfrac{3x+7}{4x+5}}=\dfrac{-8x^2-10x+12x+15}{(2x-3)(4x+5)}+\dfrac{6x^2-9x+14x-21}{(2x-3)(4x+5)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{-2x+3}{2x-3}+\dfrac{3x+7}{4x+5}}=\dfrac{-8x^2+2x+15}{(2x-3)(4x+5)}+\dfrac{6x^2+5x-21}{(2x-3)(4x+5)}$
    $\quad$ $\phantom{\dfrac{-2x+3}{2x-3}+\dfrac{3x+7}{4x+5}}=\dfrac{-2x^2+7x-6}{(2x-3)(4x+5)}$
    $\quad$

[collapse]