2nd – Exercices – Inéquations et exercices de recherche

Inéquations – Exercices de recherche

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Le prix $x$ d’un article est compris entre $20$€ et $50$€.
L’offre est le nombre d’articles qu’une entreprise décide de proposer aux consommateurs au prix de $x$ €.
La demande est le nombre probable d’articles achetés par les consommateurs quand l’article est proposé à ce même prix de $x$ €.
La demande, exprimée en centaines d’articles, se calcule avec $d(x)=-750x+45~000$.
L’offre, exprimée en centaines d’articles,  se calcule avec $f(x)=-\dfrac{500~000}{x}+35~000$.
Le but de cet exercice est de trouver pour quels prix l’offre est supérieure à la demande.

  1. Écrire une inéquation traduisant le problème posé.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’inéquation $f(x)>d(x)$ s’écrit aussi $-500~000>-750x^2+10~000x$.
    $\quad$
  3. a. Développer l’expression $(x+20)(3x-100)$.
    $\quad$
    b. En déduire les solutions de $f(x)>d(x)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On veut que $f(x)>d(x) \ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    f(x)>d(x) &\ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000 \\
    &\ssi -\dfrac{500~000}{x}>-750x+10~000 \\
    &\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \quad \text{(car $x>0$)}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} (x+20)(3x-100)&=3x^2-100x+60x-2~000 \\
    &=3x^2-40x-2~000\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(x)>d(x) &\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \\
    &\ssi 750x^2-10~000x-500~000>0 \\
    &\ssi 250\left(3x^2-40x-2~000\right)>0 \\
    &\ssi 3x^2-40x-2~000>0\\
    &\ssi (x+20)(3x-100)>0\end{align*}$
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[20;50]$ on a $x+20>0$.
    Donc le signe de $(x+20)(3x-100)$ ne dépend que de celui de $3x-100$ sur cet intervalle.
    Or $3x-100>0 \ssi 3x>100 \ssi x>\dfrac{100}{3}$
    Les solutions de $f(x)>d(x)$ sont les nombres appartenant à $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
    Ainsi, l’offre est supérieure à la demande si le prix, en euros, appartient à l’intervalle $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.

On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

  1. À quel intervalle appartient $x$?
    $\quad$
  2. Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
    $\quad$
  3. Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
    Donc $x\in [0;4]$.
    $\quad$
  2. L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
    Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
    Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
    Ainsi l’aire de la figure est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
    &=x^2+16-8x+x^2 \\
    &=2x^2-8x+16
    \end{align*}$
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
    &\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
    Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
    Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

    Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ est un carré dont les côtés mesurent $10$ cm. $E$ est un point du segment $[AB]$. Les points $E,F,G,H$ et $I$ sont placés de telle manière que $AEFG$ et $FICH$ soient des carrés.

Déterminer les positions du point $E$ telles que la surface colorée ait une aire inférieure à $58$ cm$^2$.

Indication : On pourra développer $(2x-6)(x-7)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On note $x=AE$ ainsi $EB=10-x$.
L’aire de la partie colorée est donc $\mathscr{A}=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100$.
On veut que $\mathscr{A}\pp 58 \ssi 2x^2-20x+100 \pp 58\ssi 2x^2-20x+42 \pp 0$
Or $(2x-6)(x-7)=2x^2-14x-6x+42=2x^2-20x+42$
Par conséquent $\mathscr{A}(x)\pp 58 \ssi (2x-6)(x-7)\pp 0$
$\quad$
$2x-6=0 \ssi x=3$ et $2x-6>0 \ssi x>3$
$x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$x$ doit donc être appartenir à l’intervalle $[3;7]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

  1. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
  2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^2-2$ et $g(x)=-2x+1$.
    Résoudre l’inéquation $f(x)\pp g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$
    $\quad$
  2. $f(x)\pp g(x)\ssi x^2-2\pp -2x+1 \ssi x^2-2+2x-1\pp 0 \ssi x^2+2x-3 \pp \ssi (x-1)(x+3) \pp 0$
    $\quad$
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    La solution de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$ est donc $[-3;1]$.$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans le plan muni d’un repère $(O;I,J)$ orthogonal, on considère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$f(x)=6x^3+2x^2+x+1\quad \text{et} \quad g(x)=2x^2+19x+13$$

  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(ax+b)$.
    $\quad$
  2. En déduire sur quels intervalles la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au dessus de $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*}
    (2x+2)(3x+3)(ax+b)&=\left(6x^2+12x+6\right)(ax+b)\\
    &=6ax^3+6bx^2+12ax^2+12bx+6ax+6b \\
    &=6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b
    \end{align*}$
    On veut donc que $6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b=6x^3-18x-12$.
    Par identification des coefficients des termes on a donc :
    $$\begin{cases} 6a=6\\6b+12a=0\\12b+6a=-18\\6b=-12\end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=-2\end{cases}$$
    Par conséquent $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
    $\quad$
  2. On veut déterminer les solutions de :
    $\begin{align*}f(x)>g(x) &\ssi 6x^3+2x^2+x+1>2x^2+19x+13 \\
    &\ssi 6x^3-18x-12>0 \\
    &\ssi (2x+2)(3x+3)(x-2) >0
    \end{align*}$
    $\quad$
    $2x+2=0 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$ et $2x+2>0 \ssi 2x>-2 \ssi x>-1$
    $3x+3=0 \ssi 3x=-3 \ssi x=-1$ et $3x+3>0 \ssi 3x>-3 \ssi x>-1$
    $\quad$
    $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
    Pour tout réel $x$ on note $h(x)=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    Ainsi la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$ sur l’intervalle $]2;+\infty[$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-5x-12$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $f(x)\pp 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a
    $\begin{align*} 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]&=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{121}{16}\right)\\
    &=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x-6\right)\\
    &=2x^2-5x-12
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} f(x) \pp 0 &\ssi 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]\pp 0 \\
    &\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16} \pp 0\\
    &\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\left(\dfrac{11}{4}\right)^2 \pp 0\\
    &\ssi \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\right] \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{11}{4}\right]\pp 0\\
    &\ssi (x-4)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \pp 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    $x-4=0 \ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x> 4$
    $x+\dfrac{3}{2}=0 \ssi x=-\dfrac{3}{2}$ et $x+\dfrac{3}{2}>0 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :La solution de $f(x)\pp 0$ est donc $\left[-\dfrac{3}{2};4\right]$.

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$\quad$

2nd – Exercices – Statistiques – Mélange1

Statistiques – Mélange 1

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On a recopié les données d’une série statistique dans la feuille de calcul d’un tableur.

Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $C2$ pour pouvoir, par recopie vers la droite, obtenir les effectifs correspondant aux fréquences de cette série?

$\quad$

Correction Exercice 1

On peut saisir $=B2*C3/B3$

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$\quad$

Exercice 2

Voici les derniers résultats au devoir de mathématiques de $35$ élèves d’une classe de seconde :
$$\begin{array}{||l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Notes}& 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
\hline
\text{Effectifs}& 2 & 4 &4 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer la moyenne de cette série, arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Calculer la médiane de cette série. Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
  3. Calculer les quartiles $Q_1$ et $Q_3$.
    $\quad$
  4. L’enseignant décide d’ajouter un point à tous les élèves. Quelle sera la nouvelle moyenne à ce devoir?
    $\quad$
  5. Les notes de Tristan sur les cinq devoirs du trimestre sont :
    $\bullet$ $15$ et $19$ coefficient $1$;
    $\bullet$ $16$ coefficient $2$;
    $\bullet$ $15$ et $18$ coefficient $3$.
    a. Quelle est la moyenne de Tristan ?
    $\quad$
    b. Quelle doit être sa note au prochain devoir, qui sera coefficient $2$, pour obtenir $17$ de moyenne?
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La moyenne est donnée par $\overline{x}=\dfrac{5 \times 2 + 7\times 4 + \ldots + 18 \times 2}{35}=\dfrac{397}{35} \approx 11,34$.
    $\quad$
  2. On obtient les effectifs cumulés croissants  (ECC) suivants :
    $$\begin{array}{||l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Notes}& 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
    \hline
    \text{Effectifs}& 2 & 4 &4 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 \\
    \hline
    \text{ECC}&2 & 6 &10 &16 &20 &23 &28 &30 &33 &35 \\
    \hline
    \end{array}$$
    Cela signifie donc que $50\%$ des notes sont inférieures ou égales à $11$ et que $50\%$ des notes sont supérieures ou égales à $11$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{35}{4} = 8,75$ : le premier quartile est donc la $9^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_1 = 8$.$\dfrac{35}{4} \times 3 = 26,25$ : le troisième quartile est donc la $27^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_3 = 14$.$\quad$
  4. L’enseignant décide d’ajouter un point à tous les élèves. La nouvelle moyenne est donc $11,34+1=12,34$.
    $\quad$
  5. a. La moyenne de Tristan est donnée par $\dfrac{15+19+16\times 2 + 15\times 3 +18\times 3}{1+1+2+3+3} = \dfrac{165}{10}=16,5$.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ la note du prochain devoir.
    On doit donc avoir $\dfrac{165+2x}{10+2}=17$ soit $165+2x=204$ par conséquent $2x=39$ et $x=19,5$.Tristan doit donc avoir $19,5$ au prochain devoir pour avoir $17$ de moyenne.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Voici les notes obtenues par 12 élèves lors d’un devoir : $$\begin{array}{cccccccccccc}9 & 17 & 9 & 8 & 6 & 10 & 12 & 18 & 8 & 19 & 18 & 14\end{array}$$

  1. Calculer l’étendue de cette série
    $\quad$
  2. Calculer la moyenne de cette série de notes. Vous donnerez une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane de cette série.
    $\quad$
  4. Calculer le premier et le troisième quartile.
    $\quad$
  5. Calculer l’écart-type de cette série.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On va réordonner la série statistique : $$\begin{array}{cccccccccccc}6&8&8&9&9&10&12&14&17&18&18&19\end{array}$$
    L’étendue est donc $19-6=13$.
    $\quad$
  2. La moyenne est $\conj{x}=\dfrac{6+8+\ldots+19}{12}=\dfrac{37}{3}\approx 12,33$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{12}{2}=6$. La médiane est donc la moyenne de la $6\ieme$ et de la $7\ieme$ valeur soit $\dfrac{10+12}{2}=11$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{12}{4}=3$ donc $Q_1$ est la $3\ieme$ valeur soit $Q_1=8$.
    $\dfrac{12\times 3}{4}=9$ donc $Q_3$ est la $9\ieme$ valeur soit $Q_3=17$.
    $\quad$
  5. L’écart-type de cette série est :
    $\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{\left(6-\dfrac{37}{3}\right)^2+\left(8-\dfrac{37}{3}\right)^2+\ldots+\left(19-\dfrac{37}{3}\right)^2}{12}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{179}{9}}\\
    &\approx 4,46\end{align*}$
    $\quad$

\end{enumerate}

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$\quad$

Exercice 4

L’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est-elle, supérieure ou inférieure à la moyenne de ces nombres?

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres strictement positifs $x$ et $y$.
Les inverses sont donc $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{y}$. La moyenne de ces inverses est par conséquent $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}$.

L’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est :$$\dfrac{1}{~~\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}~~}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{2}{\dfrac{y+x}{xy}}=\dfrac{2xy}{x+y}$$

Comparons maintenant ce nombre à $\dfrac{x+y}{2}$.
$$\begin{align*} \dfrac{2xy}{x+y}-\dfrac{x+y}{2}&=\dfrac{4xy}{2(x+y)}-\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{4xy-\left(x^2+y^2+2xy\right)}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{-x^2-y^2+2xy}{2(x+y)}\\
&=-\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}\\
&\pp 0 \quad \text{car $x$ et $y$ sont positifs}
\end{align*}$$

Cela signifie que $\dfrac{2xy}{x+y}\pp \dfrac{x+y}{2}$.

Par conséquent l’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est inférieure à la moyenne de ces nombres.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Au cours d’un trimestre, les $6$ notes de mathématiques de Yohann sont : $9, 10$ et $12$ en contrôles et $15, 13$ et $16$ en devoirs à la maison.

  1. Quelle est la moyenne de ses $6$ notes?
    $\quad$
  2. Son professeur lui annonce comme moyenne trimestrielle $11,2$. En effet, celui-ci pondère les notes. Il laisse les DM au coefficient $1$. Quel est le coefficient affecté aux notes des contrôles? Justifier votre démarche.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La moyenne des $6$ notes est $\conj{x_1}=\dfrac{9+10+12+15+13+16}{6}=\dfrac{75}{6}=12,5$
    $\quad$
  2. On note $x$ le coefficient des notes des contrôles.
    On a donc
    $$\begin{align*}
    \dfrac{(9+10+12)x+15+13+16}{3x+3}=11,2 &\ssi \dfrac{31x+44}{3x+3}=11,2 \\
    &\ssi 31x+44=11,2(3x+3) \quad \text{car } x>0\\
    &\ssi 31x+44=33,6x+33,6 \\
    &\ssi 10,4=2,6x\\
    &\ssi x=\dfrac{10,4}{2,6}\\
    &\ssi x=4
    \end{align*}$$
    Le coefficient des notes des contrôles est donc $4$.

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$\quad$

2nd – Exercices – Calculs d’écart-types

Statistiques – Écart-type

2nd – Exercices corrigés

Arrondir, si nécessaire, les résultats au centième

Exercice 1

Déterminer l’écart-type de la série statistique suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline\text{Caractère}&~~6~~&~8~&~~10~~&~~11~~&~15~ \\
\hline\text{Effectif}&~~2~~&~13~&~~9~~&~~5~~&~~1~~\\
\hline\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

La moyenne de cette série statistique est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{6\times 2+8\times 13+\ldots+15\times 1}{2+13+\ldots+1}\\
&=\dfrac{276}{30} \\
&=9,2\end{align*}$

L’écart-type de cette série est :
$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\dfrac{2(6-9,2)^2+13(8-9,2)^2+1\times(15-9,2)^2}{30}} \\
&=\sqrt{\dfrac{94,8}{30}} \\
&=\sqrt{3,16} \\
&\approx 1,78\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

\medskip

Déterminer l’écart-type de la série statistique suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline\text{Caractère}&~~-7~~&~2~&~~15~~&~~20~~&~25~ \\
\hline\text{Effectif}&~~14~~&~~7~~&~~14~~&~~7~~&~~8~~\\
\hline\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

La moyenne de cette série statistique est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{-7\times 14+2\times 7+\ldots+25\times 8}{14+7+\ldots+8} \\
&=\dfrac{466}{50}\\
&=9,32\end{align*}$

L’écart-type de cette série statistique est :
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{14(-7-9,32)^2+7(2-9,32)^2+\ldots+8(25-9,32)^2}{50}} \\
&=\sqrt{\dfrac{7320,88}{50}}\\
&=\sqrt{146,417~6} \\
&\approx 12,10\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

\medskip

Voici les notes obtenues à un devoir par un groupe de $20$ élèves.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Notes}&8&9&12&15&16&18\\
\hline
\textbf{Effectif}&4&8&6&4&2&1\\
\hline
\end{array}$$

Déterminer l’écart-type des notes obtenues.

$\quad$

Correction Exercice 3

La moyenne à ce devoir est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{4\times 8+8\times 9+\ldots +1\times 18}{4+8+\ldots+1} \\
&=\dfrac{286}{25}\\
&=11,44\end{align*}$

L’écart-type des notes est :
$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\dfrac{4(8-11,44)^2+8(9-11,44)^2+\ldots+1\times (18-11,44)^2}{25}} \\
&=\sqrt{\dfrac{232,16}{25}}\\
&=\sqrt{9,286~4}\\
&\approx 3,05\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

\medskip

Les températures en (°C) relevées dans $15$ villes différentes sont les suivantes
: $$\begin{array}{ccccc}
25& 28& 26& 28& 30\\
32& 25& 27& 28& 30\\
31& 32& 26& 31& 33 \end{array}$$

Déterminer l’écart-type des températures.

$\quad$

Correction Exercice 4

La température moyenne est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{25+28+\ldots +33}{15} \\
&=\dfrac{432}{15} \\
&=28,8\end{align*}$

L’écart-type des températures est :
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{(25-28,8)^2+(28-28,8)^2+\ldots+(33-28,8)^2}{15}} \\
&=\sqrt{\dfrac{100,4}{15}}\\
&\approx 2,59\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

\medskip

Voici les prix en euros d’un même article observés dans différents magasins.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Prix}&30&32&35&40&50\\
\hline
\textbf{Effectif}&2&1&4&2&1\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer l’écart-type des prix.
    $\quad$
  2. Tous les magasins décident de baisser leur prix de $2$ euros. Quel est le nouvel écart-type des prix?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le prix moyen est :
    $\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{2\times 30+1\times 32+\ldots+1\times 50}{2+1+4+2+1} \\
    &=\dfrac{362}{10}\\
    &=36,2\end{align*}$
    L’écart-type des températures est :
    $\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{2(30-36,2)^2+1\times (32-36,2)^2+\ldots+1\times (50-36,2)^2}{10}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{319,6}{10}} \\
    &=\sqrt{31,96}\\
    &\approx 5,65\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si les prix baissent de $2$ euros alors la moyenne baisse également de $2$ euros.
    Le nouvel écart-type est alors :
    $\begin{align*} \sigma’&=\sqrt{\dfrac{2\left(30-2-(36,2-2)\right)^2+\ldots+1\times \left(50-2-(36,2-2)\right)^2}{10}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{2(30-36,2)^2+1\times (32-36,2)^2+\ldots+1\times (50-36,2)^2}{10}} \\
    &=\sigma\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

2nd – Exercices – Calculs de quartiles

Statistiques – Quartiles

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de la série statistique suivante :
$$\begin{array}{cccccccccccc}
2&5&6&7&7&9&12&12&13&19&21&23\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

L’effectif total est $12$.
$\dfrac{12}{4}=3$. Le premier quartile est donc la $3\ieme$ valeur de la série. Ainsi $Q_1=6$.

$\dfrac{12\times 3}{4}=9$. Le troisième quartile est donc la $9\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=13$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=13-6=7$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de la série statistique suivante :
$$\begin{array}{cccccccccc}
12&15&17&20&23&35&50&55&70\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

L’effectif total est $9$.
$\dfrac{9}{4}=2,25$. Le premier quartile est donc la $3\ieme$ valeur. Ainsi $Q_1=17$.

$\dfrac{9\times 3}{4}=6,75$. Le troisième quartile est la $7\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=50$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=50-17=33$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Voici la production, en milliers, de véhicules de différents pays d’Europe en 2018.

Source : https://ccfa.fr/wp-content/uploads/2019/09/ccfa-2019-fr-web-v2.pdf

$$\begin{array}{ccccccccc}
5~120&308&2~820&2~270&1~060&~~197~~&1~604&~~291~~&1~550\end{array}$$

Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de cette série statistique.

$\quad$

Correction Exercice 3

On range les valeurs dans l’ordre croissant :
$$\begin{array}{ccccccccc}
197&291&308&1~060&1~550&1~604&2~270&2~820&5~120\end{array}$$

L’effectif total est $9$.
$\dfrac{9}{4}=2,25$. Le premier quartile est la $3\ieme$ valeur. Ainsi $Q_1=308$.

$\dfrac{9\times 3}{4}=6,75$. Le troisième quartile est la $7\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=2~270$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=2~270-308=1~962$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Dans ce tableau, on a reporté les salaires d’un groupe d’individus.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Salaire}&1~500&1~600&1~800&2~000&2~300&2~500\\
\hline
\textbf{Effectif}&25&34&51&31&24&12\\
\hline\end{array}$$

Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de cette série statistique.

$\quad$

Correction Exercice 4

On calcule les effectifs cumulés croissants (ECC).
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Salaire}&1~500&1~600&1~800&2~000&2~300&2~500\\
\hline
\textbf{Effectif}&25&34&51&31&24&12\\
\hline
\textbf{ECC}&25&59&110&141&165&177\\
\hline
\end{array}$$

L’effectif total est donc $177$.
$\dfrac{177}{4}=44,25$. Le premier quartile est la $45\ieme$ valeur. Ainsi $Q_1=1~600$.

$\dfrac{177\times 3}{4}=132,75$. Le troisième quartile est $133\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=2~000$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=2~000-1~600=400$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On a relevé, dans un jeu télévisé, le nombre de candidats ayant répondu correctement à une liste de questions.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\begin{array}{c}\textbf{Nombre de } \\\textbf{bonnes réponses}\end{array}&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6~~&~~7~~&~~8~~&~~9~~&~10~ \\
\hline
\textbf{Effectif}&~~1~~&~~2~~&~~5~~&~~8~~&~15~&~45~&~32~&~21~&~~9~~&~~2~~ \\
\hline
\end{array}$$

Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de cette série statistique.

$\quad$

Correction Exercice 5

On détermine les effectifs cumulés croissants (ECC).
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\begin{array}{c}\textbf{Nombre de } \\\textbf{bonnes réponses}\end{array}&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6~~&~~7~~&~~8~~&~~9~~&~10~ \\
\hline
\textbf{Effectif}&~~1~~&~~2~~&~~5~~&~~8~~&~15~&~45~&~32~&~21~&~~9~~&~~2~~ \\
\hline
\textbf{ECC}&1&3&8&16&31&76&108&129&138&140\\
\hline
\end{array}$$

L’effectif total est $140$.
$\dfrac{140}{4}=35$. Le premier quartile est la $35\ieme$ valeur. Ainsi $Q_1=6$.

$\dfrac{140\times 3}{4}=105$. Le troisième quartile est la $105\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=7$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=7-6=1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Le tableau ci-dessous donne le nombre d’essais marqués par match durant un tournoi de rugby.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c} \textbf{Nombre}\\\textbf{d’essais}\end{array}&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~8~~&~10~&~12~ \\
\hline
\begin{array}{c} \textbf{Nombre}\\\textbf{de matchs}\end{array}&~~4~~&~~2~~&~~1~~&~~6~~&~~3~~&~~1~~&~~1~~ \\
\hline
\end{array} $$
Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l’écart interquartile de cette série statistique.

$\quad$

Correction Exercice 6

On calcule les effectifs cumulés croissants (ECC).
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c} \textbf{Nombre}\\\textbf{d’essais}\end{array}&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~8~~&~10~&~12~ \\
\hline
\begin{array}{c} \textbf{Nombre}\\\textbf{de matchs}\end{array}&~~4~~&~~2~~&~~1~~&~~6~~&~~3~~&~~1~~&~~1~~ \\
\hline
\textbf{ECC}&4&6&7&13&16&17&18\\
\hline
\end{array} $$

L’effectif total est $18$.
$\dfrac{18}{4}=4,5$. Le premier quartile est la $5\ieme$ valeur. Ainsi $Q_1=3$.

$\dfrac{18\times 3}{4}=13,5$. Le troisième quartile est donc la $14\ieme$ valeur. Ainsi $Q_3=8$.

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1=8-3=5$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Calculs de médianes

Statistiques – Médiane

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer, en justifiant, la médiane de la série statistique suivante :
$$\begin{array}{cccccccccc}
1&4&6&7&7&8&12&13&13&19\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

La série compte $10$ valeurs.
$\dfrac{10}{2}=5$. La médiane est donc la moyenne de la $5\ieme$ et $6\ieme$ valeur.
Ainsi la médiane est $\dfrac{7+8}{2}=7,5$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, en justifiant, la médiane de la série statistique suivante :
$$\begin{array}{ccccccccc}
4&4&5&7&13&15&16&16&23\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

La série compte $9$ valeurs.
$\dfrac{9}{2}=4,5$. La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est-à-dire $13$.
$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 3

Voici les temps (en s) de la finale du 100m hommes des JO de 2016.
$$\begin{array}{cccccccc}
10,06&9,94&9,89&10,04&9,81&9,91&9,96&9,93\end{array}$$
Déterminer le temps médian de cette course.

$\quad$

Correction Exercice 3

Il faut, dans un premier temps, ordonner la série.
On obtient :
$$\begin{array}{cccccccc}
9,81&9,89&9,91&9,93&9,94&9,96&10,04&10,06\end{array}$$
Il y a $8$ valeurs.
$\dfrac{8}{2}=4$. La médiane est donc la moyenne de $4\ieme$ et $5\ieme$ valeur, c’est-à-dire $\dfrac{9,93+9,94}{2}=9,935$.
Le temps médian est donc $9,935$ s.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Voici les températures moyennes relevées, exprimées en °C, sur $7$ jours dans une ville.
$$\begin{array}{ccccccc}
6,7&6,4&5,9&5,5&6,3&7,5&7,1\end{array}$$
Déterminer la température moyenne médiane.

$\quad$

Correction Exercice 4

On va réordonner la série. On obtient ainsi :
$$\begin{array}{ccccccc}
5,5&5,9&6,3&6,4&6,7&7,1&7,5\end{array}$$
Il y a $7$ valeurs.
$\dfrac{7}{2}=3,5$. La médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $6,4$.
La température médiane est $6,4$°C.
$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 5

Voici les prix en euros d’un même article dans $30$ magasins différents.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline\textbf{Prix}&17,5&~~~18~~~&18,5&~~~19~~~&19,5&~~~20~~~\\
\hline\textbf{Effectifs}&1&~~~1~~~&2&~~~2~~~&4&~~~5~~~\\
\hline
\textbf{Prix}&20,5&~~~21~~~&21,5&~~~22~~~&22,5&~~~23~~~\\
\hline
\textbf{Effectifs}&5&~~~4~~~&3&~~~1~~~&1&~~~1~~~\\
\hline\end{array}$$
Déterminer le prix médian de cet article.

$\quad$

Correction Exercice 5

Dans un premier temps, on a va déterminer les effectifs cumulés croissants (ECC) de cette série.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline\textbf{Prix}&17,5&~~~18~~~&18,5&~~~19~~~&19,5&~~~20~~~\\
\hline\textbf{Effectifs}&1&~~~1~~~&2&~~~2~~~&4&~~~5~~~\\
\hline
\textbf{ECC}&1&2&4&6&10&15\\
\hline
\textbf{Prix}&20,5&~~~21~~~&21,5&~~~22~~~&22,5&~~~23~~~\\
\hline
\textbf{Effectifs}&5&~~~4~~~&3&~~~1~~~&1&~~~1~~~\\
\hline
\textbf{ECC}&20&24&27&28&29&30
\\
\hline\end{array}$$

$\dfrac{30}{2}=15$. La médiane est la moyenne de la $15\ieme$ et de la $16\ieme$ valeur.
D’après le tableau, la $15\ieme$ valeur est $20$ et la $16\ieme$ est $20,5$.
La médiane est donc $\dfrac{20+20,5}{2}=20,25$.
Le prix médian est donc $20,25$ €.
$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 6

Voici le résultat d’une enquête menée dans un village concernant le nombre d’enfants par famille.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Nombre d’enfants}&0&1&2&3&4&5&~~6~~\\
\hline
\textbf{Effectif}&75&93&70&55&30&18&~~4~~\\
\hline\end{array}$$

Déterminer le nombre d’enfants médian par famille dans ce village.

$\quad$

Correction Exercice 6

On va déterminer les effectifs cumulés croissants (ECC) de la série.$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Nombre d’enfants}&0&1&2&3&4&5&~~6~~\\
\hline
\textbf{Effectif}&75&93&70&55&30&18&~~4~~\\
\hline
\textbf{ECC}&75&168&238&293&323&341&345\\\hline\end{array}$$

$\dfrac{345}{2}=172,5$. La médiane est donc la $173\ieme$ valeur, c’est-à-dire $2$.

Le nombre médian d’enfants par famille dans ce village est donc $2$.
$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

2nd – Exercices – Calculs de moyennes

Statistiques – Moyenne

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer la moyenne de la série statistique suivante :
$$\begin{array}{cccccccccc}
0&3&4&6&6&7&9&11&13&20\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

La moyenne de la série est :
$$\begin{align*}\conj{x}&={0+3+4+6+6+7+9+11+13+20}{10} \\
&=\dfrac{79}{10} \\
&=7,9\end{align*}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On a mesuré la taille, exprimée en cm, de $20$ enfants de six ans.

$$\begin{array}{ccccc}
116&121&114&128&125\\
112&118&119&114&108\\
121&111&120&122&118\\
119&112&122&108&113\end{array}$$

Déterminer la taille moyenne de ce groupe d’enfants.

$\quad$

Correction Exercice 2

La taille moyenne de ce groupe d’enfants est :
$$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{116+121+\ldots+113}{20} \\
&=\dfrac{2~341}{20} \\
&=117,05\end{align*}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans une classe de $25$ élèves, les notes obtenues à un devoir sont :
$$\begin{array}{ccccc}
14 & 15 & 14 & 7 & 11 \\
10 & 12 & 12 & 16 & 10 \\
18 & 12 & 13 & 11 & 14 \\
10 & 13 & 6 & 12 & 10 \\
9&14&18&12&7\end{array}$$

  1. Quelle est la note moyenne de cette classe à ce devoir?
    $\quad$
  2. L’enseignant décide d’augmenter de $5\%$ l’ensemble des notes. Quelle sera la nouvelle moyenne?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La moyenne de la classe à ce devoir est :
    $$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{14+15+14+\ldots+10}{25} \\
    &=\dfrac{300}{25} \\
    &=12\end{align*}$$
    $\quad$
  2. L’enseignant décide d’augmenter de $5\%$ l’ensemble des notes. Toutes les notes sont donc multipliées par $1,05$.
    La nouvelle moyenne est donc $1,05\conj{x}=12,6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Les dernières notes d’un élève dans une matière sont : $10$, $13$, $14$, $9$ et $8$.

Il espère remonter sa moyenne grâce au prochain devoir. Quelle note doit-il obtenir pour avoir au moins $11$ de moyenne ce trimestre ?

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $x$ la note cherchée. Au moment du calcul de la moyenne, il y aura $6$ notes.
On veut donc résoudre l’inéquation suivante :
$$\begin{align*} &\dfrac{10+13+14+9+8+x}{6}\pg 11 \\
\ssi&\dfrac{54+x}{6}\pg 11 \\
\ssi &54+x\pg 66 \\
\ssi &x\pg 12\end{align*}$$

L’élève doit donc obtenir au moins $12$ au prochain devoir.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans une usine on compte, parmi les ouvriers, $46$ femmes et $75$ hommes. Le salaire moyen mensuel d’un ouvrier est de $1~982$ €. Sachant que le salaire moyen d’un homme ouvrier est de $2~040$ €, déterminer le salaire moyen des femmes ouvrières dans cette usine arrondi à l’euro près.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $F$ le salaire moyen des femmes.
On a ainsi :
$$\begin{align*} &\dfrac{2~040\times 75+46F}{75+46}=1~982 \\
\ssi& \dfrac{153~000+46F}{121}=1~982 \\
\ssi& 153~000+46F=1~982\times 121 \\
\ssi& 153~000+46F=239~822\\
\ssi& 46F=86~822 \\
\ssi& F=\dfrac{86~822}{46}\end{align*}$$
Ainsi $F\approx 1~887$

Le salaire moyen des femmes ouvrières dans cette usine est d’environ $1~887$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Tableaux de variations

Tableaux de variations

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

À partir de la courbe représentative de la fonction $f$ dresser son tableau de variations.

 

$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient le tableau de variations suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

À partir de la courbe représentative de la fonction $f$ dresser son tableau de variations.

$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient le tableau de variations suivant :

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

À partir de la courbe représentative de la fonction $f$ dresser son tableau de variations.

 

$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient le tableau de variations suivant :

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction $g$ dont le tableau de variations est :

$\quad$

Correction Exercice 4

On peut construire la courbe suivante (mais ce n’est évidemment pas la seule) :

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction $h$ dont le tableau de variations est :

$\quad$

Correction Exercice 5

On peut construire la courbe suivante (mais ce n’est évidemment pas la seule) :

 

$\quad$

 

[collapse]

$\quad$

 

 

 

 

2nd – Exercices – Tableaux de signes

Tableaux de signes

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction $f$ donc une représentation graphique a été donnée.

$\quad$

Correction Exercice 1

On utilise la propriété suivante :

 Propriété : On considère une fonction $f$ et sa représentation graphique $\mathscr{C}_f$.

  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)>0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$.
  • Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)<0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$
  • $f\left(x_0\right)=0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$  coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x_0$.

On obtient alors les tableaux de signes suivants :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

À partir de la représentation graphique de la fonction $f$ suivante, dresser son tableau de signes.

$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient le tableau de signes suivant :

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

À partir de la représentation graphique de la fonction $f$ suivante, dresser son tableau de signes.

$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient le tableau de signes suivant :

 

 

$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 4

À partir de la représentation graphique de la fonction $f$ suivante, dresser son tableau de signes.

$\quad$

Correction Exercice 4

On obtient le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Tableaux de valeurs

Tableaux de valeurs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x+2$.

Construire le tableau de valeurs pour $x$ appartenant à l’intervalle $[-4;6]$ avec un pas de $1$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5&6 \\
\hline
f(x)&-50&-16&0&4&2&0&4&20&54&112&200\\
\hline
\end{array}$$

Un moyen rapide de compléter ce tableau est d’utiliser le menu table de la calculatrice.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+5x+4$.

Construire le tableau de valeurs pour $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;3]$ avec un pas de $0,5$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&-0.5&0&0.5&1&1.5&2&2.5&3 \\
\hline
f(x)&-4&0,75&4&5,75&6&4,75&2&-2,25&-8\\
\hline
\end{array}$$

Ici encore, le tableau de valeurs peut être rapidement complété à l’aide de la calculatrice.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Représenter, en construisant au préalable un tableau de valeurs, la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-1;3]$ par $f(x)=2x^2-4x-3$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On va utiliser un pas de $0,5$ pour construire le tableau de valeurs.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&-0.5&0&0.5&1&1.5&2&2.5&3 \\
\hline
f(x)&3&-0,5&-3&-4,5&-5&-4,5&-3&-0,5&3\\
\hline
\end{array}$$

On place ensuite les points de coordonnées $(-1;3)$, $(-0,5;-0,5)$, $(0;-3), … dans un repère adapté. On relie enfin les points en faisant en sorte d’obtenir une courbe lisse.
On obtient ainsi le graphique suivant :

 

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Représenter, en construisant au préalable un tableau de valeurs, la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2;5]$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{4}-x^2+1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On va utiliser un pas de $0,5$ pour construire le tableau de valeurs. Les valeurs sont arrondies au centième près.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&-1.5&-1&-0.5&0&0.5&1&1.5&2&2,5&3&3,5&4&4,5&5 \\
\hline
f(x)&-5&-2,09&-0,25&0,72&1&0,78&0,25&-0,41&-1&-1,34&-1,25&-0,53&1&3,53&7,25\\
\hline
\end{array}$$

On place ensuite dans un repère les points de coordonnées $(-2;-5)$, $(-1,5;-2,09)$, …

On obtient le graphique suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Compléter le tableau de valeurs suivant à l’aide de la représentation graphique de la fonction $g$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0 \\
\hline
g(x)&&&&&&&\phantom{-1} \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

On lit sur la courbe les ordonnées des points dont les abscisses sont fournies dans le tableau.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-6&-5&-4&-3&-2&-1&~~0~~ \\
\hline
g(x)&1&-1,5&-3&-3,5&-3&-1,5&~~1~~ \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

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$\quad$

 

2nd – Exercices – pourcentages, évolutions successives et réciproques

Pourcentages – Évolutions successives et réciproques

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Au moment des soldes le prix d’un article baisse de $30\%$ puis de $10\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 1

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\\
&=0,7\times 0,9\\
&=0,63\\
&=1-\dfrac{37}{100}\end{align*}$

Le prix de l’article a donc baissé de $37\%$ au total.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de $3\%$ puis baissé de $1\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 2

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\\
&=1,03\times 0,99\\
&=1,019~7\\
&=1+\dfrac{1,97}{100}\end{align*}$

Le chiffre d’affaire a donc augmenté globalement de $1,97\%$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

La population d’une ville a augmenté de $2\%$ en 2017 puis de $3\%$ en 2018. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 3

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
&=1,02\times 1,03\\
&=1,050~6\\
&=1+\dfrac{5,06}{100}\end{align*}$

Le nombre d’habitants a augmenté globalement de $5,06\%$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a baissé de $10\%$ en 2018. De quel pourcentage, arrondi à $0,1\%$ près, doit-il augmenter en 2019 pour compenser cette diminution?
$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,9\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9} \\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9}-1 \\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,9}-1\right) \end{align*}$
Ainsi $x\approx 11,1$

Il faut donc que le chiffre d’affaires augmente d’environ $11,1\%$ pour compenser la baisse précédente.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Le nombre d’abonnés à une newsletter a augmenté de $50\%$ en deux ans. La première année il a augmenté de $20\%$. Quel est le pourcentage d’augmentation de la deuxième année?
$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $x$ le pourcentage d’augmentation de la seconde année.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=\left(1+\dfrac{50}{100}\right)&\ssi 1,2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1,5\\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}\\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}-1\\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1,5}{1,2}-1\right)\\
&\ssi x=25\end{align*}$

Le nombre d’abonnés a donc augmenté de $25\%$ la seconde année.
$\quad$

 

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer dans chacun des cas le taux d’évolution réciproque, arrondi à $0,01\%$ près.

  1. Une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Une augmentation de $14\%$. Le coefficient multiplicateur associé est $1,14$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la baisse réciproque est $\dfrac{1}{1,14} \approx 0,877~2$.
    Or $0,877~2=1-\dfrac{12,28}{100}$
    Il faut donc appliquer une baisse d’environ $12,28\%$ pour compenser une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$. Le coefficient multiplicateur est $1-0,226=0,775$
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,775}\approx 1,290~3$.
    Or $1,290~3=1+\dfrac{29,03}{100}$.
    Il faut donc appliquer une hausse d’environ $29,03\%$ pour compenser une baisse de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    L’entreprise a perdu $12$ employés.
    $\dfrac{12}{113}\approx 0,106~2$.
    Il faut donc que le nombre d’employés augmente d’environ $10,62\%$ pour retrouvé la situation de 2017.
    Remarque : On pouvait également calculer le pourcentage associé à la baisse.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    Le lycée a gagné $35$ élèves. Il compte donc $945$ élèves en 2019.
    $\dfrac{35}{945} \approx 0,037~0$
    Il faut que le nombre d’élèves baisse d’environ $3,70\%$ pour que retrouver la situation de 2018.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On mesure la hauteur d’eau d’un lac sur l’été. On obtient les hauteurs suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{mois}&\text{juin}&\text{juillet}&\text{août}\\
\hline
\text{hauteur en m}&5,4&5,3&5,1\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer les pourcentages de baisse de juin à juillet et de juillet à août, arrondi à $0,01\%$ près.
    $\quad$
  2. Déterminer le pourcentage de baisse global, arrondi à $0,01\%$.
    $\quad$
  3. En déduire de quel pourcentage, arrondi à $0,01\%$ près, la hauteur d’eau doit-elle augmenter pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\dfrac{5,3-5,4}{5,4}\approx -0,185$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $1,85\%$ en juillet.
    $\dfrac{5,1-5,3}{5,3}\approx -0,377$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $3,77\%$ en août.
    $\quad$
  2. $\dfrac{5,1-5,4}{5,4}\approx -0,556$ : La hauteur d’eau a globalement baissé d’environ $5,56\%$.
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $5,56\%$ est $CM=1-\dfrac{5,56}{100}=0,944~4$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,944~4}\approx 1,0589$.
    La hauteur d’eau doit donc augmenter d’environ $5,89\%$ pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$

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$\quad$