2nd – Méthode 3 – Repérage dans le plan

Fiche méthode

Déterminer la nature d’un triangle à l’aide des coordonnées

Le but : déterminer si le triangle est quelconque, isocèle, rectangle, rectangle isocèle ou équilatéral

Comment : on va déterminer la longueur des côtés à l’aide de la propriété suivante :

 Propriété : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(-8;0)$, $B(3;3)$ et $C(2;-2)$
Quelle est la nature du triangle $ABC$?

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle.

$\begin{align*} AB^2 &= \left(3-(-8)\right)^2 + (3-0)^2 \\\\
&=11^2+3^2 \\\\
&=121+9\\\\
& = 130\\\\
AB&=\sqrt{130}\end{align*}$

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$\begin{align*} AC^2 &= \left((2-(-8)\right)^2 + (-2-0)^2 \\\\
&= 10^2 + (-2)^2\\\\
&= 100+4\\\\
&=104\\\\
AC&=\sqrt{104}
\end{align*}$

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$\begin{align*} BC^2&=(2-3)^2+(-2-3)^2 \\\\
&= (-1)^2+(-5)^2\\\\
&=1+25\\\\
&=26\\\\
BC&=\sqrt{26}
\end{align*}$

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On constate donc qu’aucun côté n’a la même longueur. Le triangle $ABC$ n’est donc ni isocèle ni équilatéral. Regardons s’il est rectangle.

Le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2 = 130$
D’autre part $AC^2+BC^2 = 104 + 26 = 130$
Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

 

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2nd – Méthode 2 – Repérage dans le plan

Fiche méthode

Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

Le but : On connait les coordonnées de trois sommets d’un parallélogramme. On veut déterminer les coordonnées du dernier sommet.

Comment : On va déterminer les coordonnées du milieu des diagonales et les utiliser pour trouver celles du sommet manquant.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :

 Propriété : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.
Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(-1;1)$, $B(0;-2)$ et $C(4;-3)$. Le point $D$ est tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

On appelle $M\left(x_M;y_M\right)$ le milieu de la diagonale $[AC]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{-1 + 4}{2} = \dfrac{3}{2} \\\\y_M=\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1 \end{cases}$

Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.

Par conséquent $M$ est aussi le milieu de $[BD]$.
$\begin{cases} x_M = \dfrac{x_B+x_D}{2} \\\\y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeur.

$\begin{cases} \dfrac{3}{2} = \dfrac{0 + x_D}{2} \\\\-1 = \dfrac{-2 + y_D}{2} \end{cases}$

Il ne nous reste plus alors qu’à résoudre chacune des équations :
$$\begin{array}{rclcrcl}
\dfrac{3}{2} &=& \dfrac{0+x_D}{2} & \text{et} & -1& =& \dfrac{-2+y_D}{2} \\\\
3 &=& x_D & & -2 &=& -2 +y_D \\\\
& & & & 0 &=& y_D
\end{array}$$

Ainsi $D(3;2)$

On vérifie ensuite sur un graphique que les coordonnées trouvées, pour $M$ et $D$, sont correctes.

2nd - fiches méthode - repérage2

 

 

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2nd – Méthode 1 – Repérage dans le plan

Fiche méthode

Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Le but : On connait les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère. On veut montrer que c’est un parallélogramme.

Comment : On va montrer que les deux diagonales ont le même milieu.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :

 Propriété : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.
Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

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Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(0;2)$, $B(-1;-1)$, $C(4;-2)$ et $D(5;1)$
On peut commencer par placer les points dans un repère pour mieux se représenter la situation
2nd - fiches méthode - repérage1

On appelle $M\left(x_M;y_M\right)$ le milieu de $[AC]$ avec $A(0;2)$ et $C(4;-2)$
$\begin{cases} x_M = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\\\\y_M=\dfrac{2 + (-2)}{2} = 0 \end{cases}$

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On appelle $N\left(x_N;y_N\right)$ le milieu de $[BD]$ avec $B(-1;-1)$ et $D(5;1)$
$\begin{cases} x_N = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \\\\y_N = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0 \end{cases}$

On constate donc que les points $M$ et $N$ ont les mêmes coordonnées. Ils sont donc confondus.

Par conséquent, les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se croisent en leur milieu et c’est un parallélogramme.

Remarque : Quand plusieurs points sont donnés, il peut être utile de recopier ceux dont on aura besoin dans les calculs et éviter ainsi les “erreurs d’énoncé”.

 

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