3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 9 – Fonctions affines

Fonctions affines

Exercice 1

On considère la fonction affine $f$ définie, pour tout nombre $x$, par $f(x)=0,5x+1$ dont voici une représentation graphique.

3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex1

  1. Déterminer graphiquement :
    – l’image de $4$ par la fonction $f$;
    – les antécédents par la fonction $f$ des nombres $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. Retrouver ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 1

3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex1cor

  1. Graphiquement :
    – l’image de $4$ par la fonction $f$ est $3$
    – l’antécédent par la fonction $f$ de $-1$ est $-4$ et celui de $1$ est $0$.
    $\quad$
  2. $f(4) = 4 \times 0,5 + 1 = 2 + 1 = 3$ $\checkmark$
    l’image de $4$ par la fonction $f$ est $3$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $-1$ on résout l’équation suivant :
    $0,5x+1=-1$ soit $0,5x=-2$ et donc $x=-\dfrac{2}{0,5}$ d’où $x=-4$ $\checkmark$
    l’antécédent par la fonction $f$ de $-1$ est $-4$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout l’équation suivant :
    $0,5x+1=1$ soit $0,5x=0$ et donc $x=-\dfrac{0}{0,5}$ d’où $x=0$ $\checkmark$
    l’antécédent par la fonction $f$ de $1$ est $0$

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$\quad$

Exercice 2

Les points $A(2;-1)$ et $B(0;4)$ appartiennent-ils à la droite $(d)$ représentant la fonction affine $f$ définie, pour tout nombre $x$, par $f(x)=-2x+4$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Pour savoir si un point de coordonnées $(x;y)$ appartient à la représentation graphique d’une fonction $f$ on regarde si $f(x)=y$.

$f(2)=-2\times 2 + 4 = -4+4=0 \neq -1$ donc le point $A$ n’appartient pas à la droite $(d)$.

$f(0)=-2\times 0 + 4=4$ donc le point $B$ appartient à la droite $(d)$.

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$\quad$

Exercice 3

Les points $C\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ et $D\left(3;-\dfrac{4}{5}\right)$ appartiennent-ils à la droite $(\Delta)$ représentant la fonction affine $g$ définie, pour tout nombre $x$, par $g(x)=x-\dfrac{19}{5}$?

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour savoir si un point de coordonnées $(x;y)$ appartient à la représentation graphique d’une fonction $f$ on regarde si $f(x)=y$.

$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{19}{5}=\dfrac{5}{10}-\dfrac{38}{10}$ $=-\dfrac{33}{10} \neq 0$ donc le point $C$ n’appartient pas à la droite $\Delta$.

$g(3)=3-\dfrac{19}{5}=\dfrac{15}{5}-\dfrac{19}{5}$ $=-\dfrac{4}{5}$ donc le point $D$ appartient à la droite $\Delta$.

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $h$ définie, pour tout nombre $x$, par $h(x)=-2x+3$.

  1. Compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&0&2 \\
    \hline
    h(x)&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. En déduire les coordonnées de deux points appartenant à la représentation graphique de la fonction $h$.
    $\quad$
  3. Représenter graphiquement, en justifiant, cette représentation graphique.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $h(0) = -2 \times 0 + 3 = 3$ et $h(2)=-2\times 2 + 3 = -1$
    On obtient ainsi le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&0&2 \\
    \hline
    h(x)&3&-1\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Ainsi les points de $A(0;3)$ et $B(2;-1)$ appartiennent à la représentation graphique de la fonction $h$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est une fonction affine.
    Elle est donc représentée par une droite passant par les points $A$ et $B$.
    3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex4cor

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$\quad$

Exercice 5

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout nombre $x$ par :
$$f(x)=\dfrac{1}{4}x \qquad g(x)=\dfrac{1}{2}x+1$$

  1. Quelle est la nature de chacune de ces fonctions?
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement, en justifiant, chacune de ces fonctions dans un même repère orthogonal.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces représentations graphiques.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. L’expression algébrique de la fonction $f$ est du type $f(x)=ax$. Il s’agit donc d’une fonction linéaire.
    L’expression algébrique de la fonction $g$ est du type $g(x)=ax+b$. Il s’agit donc d’une fonction affine.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    $f(4)=\dfrac{1}{4}\times 4 = 1$
    Cette droite passe également par le point $A(4;1)$.
    $\quad$
    $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    $g(-2)=\dfrac{1}{2}\times (-2)+1=-1+1=0$
    $g(4)=\dfrac{1}{2} \times 4+1=2+1=3$
    Cette droite passe donc par les points $B(-2;0)$ et $C(4;3)$.
    3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex5cor
  3. L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites vérifie :
    $\dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{2}x+1$ soit $\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}x=1$
    Donc $-\dfrac{1}{4}x=1$ et $x=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}}$ c’est-à-dire $x=-4$.
    De plus $f(-4)=\dfrac{1}{4}\times (-4)=-1$.
    Ainsi le point d’intersection de ces deux droites à pour coordonnées $(-4;-1)$.
    On constate, graphiquement, qu’on obtient les mêmes coordonnées.

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$\quad$

Exercice 6

On considère la fonction affine $f$ telle que $f(3)=5$ et $f(8)=10$.

Déterminer par le calcul le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de cette fonction.

$\quad$

Correction Exercice 6

$f$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.

On a donc $f(3)=3a+b=5$ et $f(8)=8a+b=10$

On résout ainsi le système suivant :

$\begin{cases} 3a+b=5\\8a+b=10 \end{cases}$ soit $\begin{cases} b=5-3a\\8a+(5-3a)=10\end{cases}$ ou encore $\begin{cases}b=5-3a\\8a+5-3a=10\end{cases}$
Donc $\begin{cases}b=5-3a\\5a=10-5 \end{cases}$ c’est-à-dire $\begin{cases}b=5-3a\\5a=5\end{cases}$ d’où $\begin{cases} a=1\\b=5-3\times 1\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$

Ainsi le coefficient directeur est $1$ et l’ordonnée à l’origine $2$.

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$\quad$

Exercice 7

On considère une fonction affine $g$ et le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&3&0&9&\\
\hline
g(x)&-7&-9&&1 \\
\hline
\end{array}$$

Compléter, en justifiant, ce tableau de valeurs.

$\quad$

Correction Exercice 7

On sait que $g(3)=-7$ et $g(0)=-9$.

$g$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $g(x)=ax+b$.

Ainsi $g(3)=3a+b=-7$ et $g(0)=0 \times a + b = -9$ ainsi $b=-9$.

On a alors $3a-9=-7$ soit $3a=-7+9$ c’est-à-dire $3a=2$ donc $a=\dfrac{2}{3}$

Par conséquent, pour tout nombre $x$, $g(x)=\dfrac{2}{3}x-9$.

Ainsi $g(9)=\dfrac{2}{3} \times 9-9 = 6-9=-3$

On veut également résoudre l’équation suivante pour trouver l’antécédent de $1$ :
$\dfrac{2}{3}x-9=1$ soit $\dfrac{2}{3}x=10$ d’où $x=\dfrac{10}{\dfrac{2}{3}}$ et $x=15$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&3&0&9&15\\
\hline
g(x)&-7&-9&-3&1 \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 8

Voici la représentation graphique d’une fonction affine $f$.

3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex8

 

  1. Graphiquement, peut-on déterminer avec précision l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement l’image de $-2$ et celle de $5$.
    $\quad$
  3. Déterminer par le calcul l’expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. L’ordonnée à l’origine d’une fonction affine correspond, graphiquement, à l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
    On ne peut pas lire avec précision cette valeur.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(-2)=0$ et $f(5)=1$.
    $\quad$
  3. $f$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.
    Ainsi $f(-2)=-2a+b=0$ et $f(5)=5a+b=1$
    On doit donc résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} -2a+b=0\\5a+b=1 \end{cases}$ soit $\begin{cases} b=2a \\5a +2a=1 \end{cases}$ c’est-à-dire $\begin{cases} b=2a\\7a=1\end{cases}$
    Donc $\begin{cases} a=\dfrac{1}{7} \\b=\dfrac{2}{7}\end{cases}$.
    Ainsi, pour tout nombre $x$, $f(x)=\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}$

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$\quad$

Exercice 9

Voici la représentation graphique d’une fonction affine $f$.
Déterminer graphiquement son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.

3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex9

$\quad$

Correction Exercice 9

On constate que la droite coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $3$.
Ainsi l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ est $3$.

Pour déterminer le coefficient directeur, on choisit deux points de la droite à coordonnées entières (c’est plus facile 😉 ).

3ème - fiche 9 -fonctions affines - ex9cor

Le coefficient directeur vaut donc $\dfrac{+6}{+3}=2$.

Par conséquent, pour tout nombre $x$, $f(x)=2x+3$.

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3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 8 – Fonctions linéaires

Fonctions linéaires

Exercice 1

Déterminer le coefficient directeur de chacune des fonctions linéaires suivantes.

  1. $x\mapsto 3x$
    $\quad$
  2. $x \mapsto -7x$
    $\quad$
  3. $x \mapsto \dfrac{1}{4}x$
    $\quad$
  4. $x \mapsto -2,4x$
    $\quad$
  5. $x \mapsto 0$
    $\quad$
  6. $x \mapsto -x$
    $\quad$
  7. $x\mapsto x$
    $\quad$
  8. $x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x\mapsto 3x$ : le coefficient directeur est $3$.
    $\quad$
  2. $x \mapsto -7x$ : le coefficient directeur est $-7$.
    $\quad$
  3. $x \mapsto \dfrac{1}{4}x$ : le coefficient directeur est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. $x \mapsto -2,4x$ : le coefficient directeur est $-2,4$.
    $\quad$
  5. $x \mapsto 0$ : le coefficient directeur est $0$.
    $\quad$
  6. $x \mapsto -x$ : le coefficient directeur est $-1$ car $-x=-1 \times x$.
    $\quad$
  7. $x\mapsto x$ : le coefficient directeur est $1$ car $x= 1\times x$.
    $\quad$
  8. $x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$ : le coefficient directeur est $-\dfrac{5}{7}$ car $-\dfrac{5x}{7}=-\dfrac{5}{7}x$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère une fonction linéaire $f$ telle que $15$ ait pour image $5$.

  1. Déterminer le coefficient directeur de la fonction $f$. Le résultat sera donné sous la forme d’une fraction irréductible.
    Fournir ensuite l’expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Calculer les images de $2$, $-9$, $-3$ et $\dfrac{2}{5}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $1$, $-\dfrac{4}{3}$, $9$ et $-12$ par la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction linéaire. On appelle $a$ son coefficient directeur.
    On sait que $f(15)=5$ donc $15a=5$.
    Par conséquent $a=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    Donc, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=\dfrac{1}{3}x$.
    $\quad$
  2. $f(2)=\dfrac{1}{3}\times 2 = \dfrac{2}{3}$
    $f(-9)=\dfrac{1}{3}\times (-9)=-\dfrac{9}{3}=-3$
    $f(-3)=\dfrac{1}{3} \times (-3)=\dfrac{3}{3}=1$
    $f\left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$
    $\quad$
  3. Antécédents de $1$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=1$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=1$ soit $x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} = 3$
    L’antécédent de $1$ est $3$.
    $\quad$
    Antécédents de $-\dfrac{4}{3}$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=-\dfrac{4}{3}$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=-\dfrac{4}{3}$ soit $x=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{1}{3}} = -4$
    L’antécédent de $-\dfrac{4}{3}$ est $-4$.
    $\quad$
    Antécédents de $9$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=9$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=9$ soit $x=\dfrac{9}{\dfrac{1}{3}} = 27$
    L’antécédent de $9$ est $27$.
    $\quad$
    Antécédents de $-12$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=-12$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=-12$ soit $x=\dfrac{-12}{\dfrac{1}{3}} = -36$
    L’antécédent de $-12$ est $-36$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On sait que l’image de $-3$ est $5,1$ par une fonction linéaire $f$.
Quelle est l’image de $-12$ par $f$?
$\quad$

Correction Exercice 3

On peut procéder de plusieurs façons :

en utilisant la proportionnalité
On cherche le nombre manquant dans ce tableau de proportionnalité :
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
-3&-12 \\
\hline
5,1&x \\
\hline
\end{array}$
Par conséquent $x=\dfrac{5,1 \times (-12)}{-3} = 20,4$

en calculant le coefficient directeur
On appelle $a$ le coefficient directeur de la fonction linéaire $f$. Ainsi $-3a=5,1$ soit $a=\dfrac{5,1}{-3}=-1,7$
Ainsi $f(x)=-1,7x$ pour tout nombre $x$.
Donc $f(-12)=-1,7 \times (-12)=20,4$

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$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction linéaire $g$ telle que $g(2)=9$.
Déterminer $g(10)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Déterminons le coefficient directeur $a$ de la fonction $g$.
On sait que $g(2)=9$.
Par conséquent $2a=9$.
Donc $a=\dfrac{9}{2}$

On en déduit alors que $g(10)=\dfrac{9}{2}\times 10 = 45$.

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$\quad$

Exercice 5

On considère une fonction linéaire $h$ telle que $h(7)=63$.
Exprimer $h(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que $h(7) = 63$.
Par conséquent le coefficient directeur de la fonction affine $h$ est $\dfrac{63}{7}=9$.

Donc, pour tout nombre $x$, on a $h(x)=9x$.

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$\quad$

Exercice 6

Sur le graphique suivant, on a représenté les fonctions linéaires suivantes :
$f:x \mapsto \dfrac{1}{2}x$
$g:x \mapsto -x$
Quelle courbe représente chacune de ces fonctions?
3ème - fiche 8 - généralités fonctions - ex6

Correction Exercice 6

La fonction $f$ est représentée par la droite $e$ et la fonction $g$ par la droite $c$.

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$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction linéaire $f$ de coefficient directeur $-2$.

  1. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement l’image de $-2$ et $3$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement les antécédents de $10$ et de $-8$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x$.
    On sait que la droite passe par l’origine du repère. Pour la tracer, il faut donc trouver un deuxième point appartenant à cette droite.
    On choisit une abscisse au hasard : $x=3$.
    $f(-3)=-2 \times (-3) = 6$.
    La droite passe donc par le point de coordonnées $(-3;6)$.
    $\quad$
  2. Graphiquement :
    – l’image de $-2$ est $4$;
    – l’image de $3$ est $-6$.
    $\quad$
  3. Graphiquement :
    – l’antécédent de $10$ est $-5$;
    – l’antécédent de $8$ est $-4$.
    3ème - fiche 8 - généralités fonctions - ex7

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre $x$ par $g(x)=-3x$.

Les points suivants appartiennent-ils à la droite représentant la fonction $g$?

$$A(3;1),B(2;-6),C(1;3),D\left(\dfrac{2}{3};-2\right)$$

Correction Exercice 8

$g(3)=-3 \times 3 = -9 \neq 1$ donc $A$ n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g(2)=-3\times 2 = -6$ donc $B$ appartient à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g(1)=-3 \times 1 = -3 \neq 3$ donc $C$ n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g\left(\dfrac{2}{3}\right) = -3 \times \dfrac{2}{3}=-2$ donc $D$ appartient à la représentation graphique de la fonction $g$.

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3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 7 – Fonctions (généralités)

Fonctions

Exercice 1

Traduire chacune des phrases suivantes avec une égalité du type $f(\ldots)=\ldots$ :

  1. L’image de $4$ par la fonction $f$ est $-2$.
    $\quad$
  2. $5$ est l’image par la fonction $f$ de $8$.
    $\quad$
  3. L’image par la fonction $f$ de $-4$ est $3$.
    $\quad$
  4. $7$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  5. L’antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. L’image de $4$ par la fonction $f$ est $-2$ : $f(4)=-2$.
    $\quad$
  2. $5$ est l’image par la fonction $f$ de $8$ : $f(8)=5$.
    $\quad$
  3. L’image par la fonction $f$ de $-4$ est $3$ : $f(-4)=3$.
    $\quad$
  4. $7$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $f$ : $f(7)=2$.
    $\quad$
  5. L’antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $-1$ : $f(-1)=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une fonction $f$ est représentée par la courbe suivante :

3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2

 

  1. Déterminer graphiquement les images par $f$ de $-1$, $0$ et $2$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement les antécédents par $f$ de $1$, $-2$ et $0$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement $f(3)$ et $f(-2)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. L’image de $-1$ par $f$ est $1$.
    L’image de $0$ par $f$ est $2$.
    L’image de $2$ par pfp est $-2$.3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr1
  2. Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $-2$ sont $-2$ et $2$.
    Les antécédents de $0$ sont approximativement $-1,4$ et $1,4$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr2
  3. $f(3) = -7$ et $f(-2) = -2$
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr3

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$\quad$

Exercice 3

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$.

3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3

  1. Déterminer graphiquement les image de $-2$ et $2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement les antécédents de $3$, $-1$, $2$ et $4$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer $f(2)$ et $f(0)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est $3$.
    L’image de $2$ par la fonction $f$ est $0$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr1
  2. Les antécédents de $3$ par la fonction $f$ sont $-2$ et $4$.
    Les antécédents de $-1$ par la fonction $f$ sont $0$ et environ $1,3$.
    Les antécédents de $2$ par la fonction $f$ sont environ $-1,8$, $3$ et $5$.
    $4$ ne possède pas d’antécédent pas la fonction $f$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr2
  3. $f(0)=-1$ et $f(2)=0$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr3

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$\quad$

Exercice 4

Ecrire en utilisant les notations mathématiques.

  1. L’image de $x$ par la fonction $f$ est le triple du carré de $x$.
    $\quad$
  2. L’image de $x$ par la fonction $g$ est l’opposé de la somme de $x$ et $4$.
    $\quad$
  3. L’image de $x$ par la fonction $h$ est l’inverse de la somme de $x$ et $3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. L’image de $x$ par la fonction $f$ est le triple du carré de $x$ : $f(x)=3x^2.
    $\quad$
  2. L’image de $x$ par la fonction $g$ est l’opposé de la somme de $x$ et $4$ : $g(x)=-(x+4)$.
    $\quad$
  3. L’image de $x$ par la fonction $h$ est l’inverse de la somme de $x$ et $3$ $h(x)=\dfrac{1}{x+3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$.

  1. Compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&2&3\\
    \hline
    f(x)&&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Pourquoi $1$ n’a-t-il pas d’image par $f$?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&2&3\\
    \hline
    f(x)&0,5&0&2&1,5\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Si $x=1$ alors $x-1=0$. Or on ne peut pas diviser par $0$.
    Donc $1$ ne possède pas d’image par la fonction $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $2x$.

  1. On appelle $p$ la fonction qui à tout réel $x$ associe le périmètre du rectangle.
    Exprimer $p(x)$ et simplifier son expression.
    $\quad$
  2. Calculer $p(3)$ et $p(15)$.
    Interpréter ces résultats.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $p(x)=24$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a donc $p(x)=2(x+2x) = 6x$.
    $\quad$
  2. $p(3) = 18$ et $p(15) = 90$.
    Si la largeur du rectangle mesure $3$ alors le périmètre du rectangle mesure $18$.
    Si la largeur du rectangle mesure $15$ alors le périmètre du rectangle mesure $90$.
    $\quad$
  3. $p(x)=24$
    revient à $6x=24$
    soit $x=\dfrac{24}{6}$
    D’où $x=4$.
    La solution de l’équation $p(x)=24$ est $4$.
    Cela signifie que pour obtenir un périmètre de $24$ il faut que la largeur mesure $4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre $x$ par $f(x)=x^2+5x+4$.

  1. Calculer l’image de $0,5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f(-5)$.
    $\quad$
  3. Représenter graphiquement la fonction $f$ pour les nombres $x$ compris entre $-6$ et $1$.
    $\quad$
  4. Déterminer graphiquement les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.
    Vérifier ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(0,5) = 0,5^2 + 5\times 0,5 + 4 = 0,25 + 2,5+4 = 6,75$
    L’image de $0,5$ par la fonction $f$ est $6,75$.
    $\quad$
  2. $f(-5)=(-5)^2+5\times (-5)+4 = 25-25+4=4$.
    $\quad$
  3. On détermine les images de plusieurs nombres (à coordonnées entières par exemple).
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex7
    $\quad$
  4. Les antécédents de $-2$ semblent être $-3$ et $-2$.
    On vérifie :
    $f(-3)=(-3)^2+5\times (-3)+4=9-15+4=-2$
    $f(-2)=(-2)^2+5\times (-2)+4=4-10+4=-2$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre $x$ différent de $3$ par $g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$.

  1. Compléter le tableau suivant:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&2\\
    \hline
    g(x)&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. A l’aide du tableau ou d’un calcul, déterminer :
    – l’image de $0$
    – un antécédent de $0$
    – l’image de $-3$
    – un antécédent $-3$
    $\quad$
  3. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
    Le point de coordonnées $\left(-2;\dfrac{1}{5}\right)$ appartient-il à la courbe représentant la fonction $g$?
    Même question avec le point de coordonnées $(0;-1)$.
    $\quad$
  4. Représenter cette courbe pour les valeurs de $x$ comprises entre $-2$ et $2$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. Compléter le tableau suivant:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&2\\
    \hline
    g(x)&0,2&0&-\dfrac{1}{3}&-1&-3\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. – l’image de $0$ est $-\dfrac{1}{3}$ : $f(0)=-\dfrac{1}{3}$
    – un antécédent de $0$ est $-1$ : $f(-1)=0$
    – l’image de $-3$ est $\dfrac{1}{3}$: $f(-3)=\dfrac{-3+1}{-3-3}=\dfrac{1}{3}$
    – un antécédent $-3$ est $2$ : $f(2)=-3$
    $\quad$
  3. $f(-2)=0,2=\dfrac{1}{5}$ donc le point de coordonnées $\left(-2;\dfrac{1}{5}\right)$ appartient à la courbe représentant la fonction $g$.
    $f(0)=-\dfrac{1}{3}\neq -1$ donc le point de coordonnées $(0;-1)$ n’appartient pas à la courbe représentant la fonction $g$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex8

[collapse]

 

3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 6 – Equation

Équations

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes :

  1. $4x-3=2x+9$
    $\quad$
  2. $5x-9=3x+4$
    $\quad$
  3. $8-(3x+2)=5x-5$
    $\quad$
  4. $7+2(3-x)=4x-1$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

  1. $4x-3=2x+9$
    $\ssi 4x-3-2x=9$
    $\ssi 2x=9+3$
    $\ssi 2x=12$
    $\ssi x=\dfrac{12}{2}$
    $\ssi x=6$
    La solution de cette équation est $6$.
    $\quad$
  2. $5x-9=3x+4$
    $\ssi 5x-9-3x=4$
    $\ssi 2x=4+9$
    $\ssi 2x=13$
    $\ssi x=\dfrac{13}{2}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{13}{2}$.
    $\quad$
  3. $8-(3x+2)=5x-5$
    $\ssi 8-3x-2=5x-5$
    $\ssi 6-3x=5x-5$
    $\ssi 6=5x-5+3x$
    $\ssi 6=8x-5$
    $\ssi 6+5=8x$
    $\ssi 11=8x$
    $\ssi x=\dfrac{11}{8}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{11}{8}$.
    $\quad$
  4. $7+2(3-x)=4x-1$
    $\ssi 7+6-2x=4x-1$
    $\ssi 13-2x=4x-1$
    $\ssi 13=4x-1+2x$
    $\ssi 13=6x-1$
    $\ssi 13+1=6x$
    $\ssi 14=6x$
    $\ssi x=\dfrac{14}{6}$
    $\ssi x=\dfrac{7}{3}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{7}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations suivantes :

  1. $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
    $\quad$
  2. $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
    $\quad$
  3. $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
    $\quad$
  4. $3x-5(3-2x)=6x-15$
    $\quad$
Correction Exercice 2

Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

  1. $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
    $\ssi 4x-15+10x=4-2x+7$
    $\ssi 14x-15=11-2x$
    $\ssi 14x-15+2x=11$
    $\ssi 16x-15=11$
    $\ssi 16x=11+15$
    $\ssi 16x=26$
    $\ssi x=\dfrac{26}{16}$
    $\ssi x=\dfrac{13}{8}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{13}{8}$.
    $\quad$
  2. $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
    $\ssi 9x-12+9x=2-(35-12+6x)$
    $\ssi 18x-12=2-35+12-6x$
    $\ssi 18x-12=-21-6x$
    $\ssi 18x-12+6x=-21$
    $\ssi 24x-12=-21$
    $\ssi 24x=-21+12$
    $\ssi 24x=-9$
    $\ssi x=-\dfrac{9}{24}$
    $\ssi x=-\dfrac{3}{8}$
    La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{8}$.
    $\quad$
  3. $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
    $\ssi 5x-21+36-24x=15-5x-4$
    $\ssi 15-19x=11-5x$
    $\ssi 15=11-5x+19x$
    $\ssi 15=11+14x$
    $\ssi 15-11=14x$
    $\ssi 4=14x$
    $\ssi x=\dfrac{4}{14}$
    $\ssi x=\dfrac{2}{7}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  4. $3x-5(3-2x)=6x-15$
    $\ssi 3x-15+10x=6x-15$
    $\ssi 13x-15=6x-15$
    $\ssi 13x-15-6x=-15$
    $\ssi 7x-15=-15$
    $\ssi 7x=-15+15$
    $\ssi 7x=0$
    $\ssi x=0$
    La solution de cette équation est $0$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes :

  1. $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
    $\quad$
  2. $0=-3-2x$
    $\quad$
  3. $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

  1. $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi \dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi x=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{3}{2}}$
    $\ssi x=\dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{3}$
    $\ssi x=\dfrac{2}{15}$
    La solution de cette équation est $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
  2. $0=-3-2x$
    $\ssi 2x=-3$
    $\ssi $x=-\dfrac{3}{2}$
    La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
    On multiplie les deux membres de cette équation par $3\times 4$.
    $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
    $\ssi 4(x-4)=3(x+3)$
    $\ssi 4x-16=3x+9$
    $\ssi 4x-16-3x=9$
    $\ssi x-16=9$
    $\ssi x=9+16$
    $\ssi x=25$
    La solution de cette équation est $25$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

  1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
    $\quad$
  2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
    $\quad$
  3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
    $\quad$
  4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
    $\quad$
  5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
    $\quad$
  6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
    $\quad$
Correction Exercice 4
  1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $7x-1=0$ ou $-2x-5=0$
    Soit $7x=1$ ou $-2x=5$
    D’où $x=\dfrac{1}{7}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{7}$ et $- \dfrac{5}{2}$.
    $\quad$
  2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $4x+3=0$ ou $-5x+1=0$
    Soit $4x=-3$ ou $-5x=-1$
    D’où $x=- \dfrac{3}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
    Les solutions de cette équation sont $- \dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
  3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $-5x+2=0$ ou $3x-7=0$
    Soit $-5x=-2$ ou $3x=7$
    D’où $x=\dfrac{2}{5}$ ou $x=\dfrac{7}{3}$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{7}{3}$.
    $\quad$
  4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $4x-1=0$ ou $-7x+2=0$
    Soit $4x=1$ ou $-7x=-2$
    D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
    $\ssi (4x-1)\left[(x+5)-(2x+3)\right]=0$
    $\ssi (4x-1)(x+5-2x-3)=0$
    $\ssi (4x-1)(-x+2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $4x-1=0$ ou $-x+2=0$
    Soit $4x=1$ ou $-x=-2$
    D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=2$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $2$.
    $\quad$
  6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
    $\ssi (-2x+3)\left[(5x+2)+4-7x\right]=0$
    $\ssi (-2x+3)(-2x+6)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $-2x+3=0$ ou $-2x+6=0$
    Soit $-2x=-3$ ou $-2x=-6$
    D’où $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=3$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{3}{2}$ et $3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Résoudre les équations suivantes :

  1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
    $\quad$
  2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
    $\quad$
  3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
    $\quad$
  4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 5

Dans cet exercice on utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour factoriser les expressions et obtenir ainsi une équation produit.

  1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
    $\ssi \left[(2x-3)-(4x+2)\right]\left[(2x-3)+(4x+2)\right]=0$
    $\ssi (2x-3-4x-2)(2x-3+4x+2)=0$
    $\ssi (-2x-5)(6x-1)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $-2x-5=0$ ou $6x-1=0$
    Soit $-2x=5$ ou $6x=1$
    D’où $x=-\dfrac{5}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
    Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
    $\ssi \left[(5x+7)-(2x+5)\right]\left[(5x+7)+(-2x+5)\right]=0$
    $\ssi (5x+7+2x-5)(5x+7-2x+5)=0$
    $\ssi (7x+2)(3x+12)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $7x+2=0$ ou $3x+12=0$
    Soit $7x=-2$ ou $3x=-12$
    D’où $x=-\dfrac{2}{7}$ ou $x=-4$
    Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{2}{7}$ et $-4$.
    $\quad$
  3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
    $\ssi (7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
    $\ssi \left[(7x-5)-(-2x+3)\right]\left[(7x-5)+(-2x+3)\right]=0$
    $\ssi (7x-5+2x-3)(7x-5-2x+3)=0$
    $\ssi (9x-8)(5x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $9x-8=0$ ou $5x-2=0$
    Soit $9x=8$ ou $5x=2$
    D’où $x=\dfrac{8}{9}$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de cette équation sont $\dfrac{8}{9}$ et $\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
    $\ssi (-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
    $\ssi \left[(-4x-3)-(-5x+6)\right]\left[(-4x-3)+(-5x+6)\right]=0$
    $\ssi (-4x-3+5x-6)(-4x-3-5x+6)=0$
    $\ssi (x-9)(-9x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
    Donc $x-9=0$ ou $-9x+3=0$
    Soit $x=9$ ou $-9x=-3$
    D’où $x=9$ ou $x=\dfrac{1}{3}$
    Les solutions de cette équation sont $9$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

 

Exercices 3ème


Vous trouverez ici une liste d’exercices de mathématiques corrigés classés par thèmes pour la 3ème.

Cette partie est en construction. Les exercices arriveront progressivement.

Les nombres relatifs

$\quad$ Fiche 1

Les fractions

$\quad$ Fiche 1

Les puissances

$\quad$ Fiche 1

Les racines carrées

$\quad$ Fiche 1

Développements et factorisations

$\quad$ Fiche 1
$\quad$ Fiche 2 : Factorisation (facteur commun)

Équations

$\quad$ Fiche 1

Les fonctions

$\quad$ Fiche 1 : Généralités
$\quad$ Fiche 2 : Les fonctions linéaires
$\quad$ Fiche 3 : Les fonctions affines

 

 

 

3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 5 – Développement et factorisation

Développement et factorisation

Exercice 1

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

$A=(x+1)(x+3)$
$\quad$
$B=(2x+8)(x+5)$
$\quad$
$C=(4x-1)(x+2)$
$\quad$
$D=(5x+4)(4x+7)$
$\quad$
$E=(4x+3)(3x-2)$
$\quad$
$F=(7x-4)(2x-1)$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3 \\
&=x^2+4x+3
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40 \\
&=2x^2+18x+40
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7) \\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=(4x+3)^2$
$\quad$
$B=(6x-7)^2$
$\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$
$\quad$
$D=(3x+7)^2$
$\quad$
$E=(7x-5)^2$
$\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$
$\quad$
$G=(7-4x)^2$
$\quad$
$H=(2x+9)^2$
$\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} A&=(4x+3)^2 \\
&=(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2 \\
&=16x^2+24x+9
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(6x-7)^2 \\
&=(6x)^2-2\times 6x \times 7 + 7^2 \\
&=36x^2-84x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x+4)(5x-4) \\
&=(5x)^2-4^2 \\
&=25x^2-16
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=(3x+7)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times 7 + 7^2 \\
&=9x^2+42x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=(7x-5)^2 \\
&=(7x)^2-2\times 7x \times 5+5^2 \\
&=49x^2-70x+25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(3x-5)(3x+5) \\
&=(3x)^2-5^2 \\
&=9x^2-25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=(7-4x)^2 \\
&=7^2-2\times 7 \times 4x + (4x)^2 \\
&=49-56x+16x^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(2x+9)^2 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 9 + 9^2 \\
&=4x^2+36x+81
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} I&=(6-2x)(6+2x) \\
&=6^2-(2x)^2 \\
&=36-4x^2
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.

$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$
$\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$
$\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$
$\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} A&=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+2 \times x\times \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x \times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-2x+\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right) \\
&=(6x)^2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \\
&=36x^2-\dfrac{4}{25}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times \dfrac{7}{6}+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=9x^2+7x+\dfrac{49}{36}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x \times \dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-8x+\dfrac{16}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{49}{16}x^2-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-10x+\dfrac{25}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x\times \dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-14x+\dfrac{49}{9}
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$
$\quad$
$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$
$\quad$
$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$
$\quad$
$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$
$\quad$
$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3) \\
&=12x^2+6x+4x+2-(10x-15) \\
&=12x^2+10x+2-10x+15 \\
&=12x^2+17
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1) \\
&=20x^2-12x-5x+3+21x-7\\
&=20x^2+4x-4
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9) \\
&=15x^2+35x-12x-28+20x^2+36x-10x-18\\
&=35x^2+49x-46
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2) \\
&=x^2-2^2-\left(6x^2-4x+3x-2\right) \\
&=x^2-4-\left(6x^2-x-2\right) \\
&=x^2-4-6x^2+x+2\\
&=-5x^2+x-2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3) \\
&=4\left((3x)^2+2\times 3x\times 1 + 1\right)-\left((2x)^2-3^2\right) \\
&=4\left(9x^2+6x+1\right)-\left(4x^2-9\right) \\
&=36x^2+24x+4-4x^2+9\\
&=32x^2+24x+13
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Factoriser

$A=5(x+1)+x(x+1)$
$\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$
$\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$
$\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$
$\quad$
$E=2(3-x)(2x+5)-(2x+5)$
$\quad$
$F=-3(x+1)(1-x)+(1-x)(7x-8)$
$\quad$
$G=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
$\quad$

Correction Exercice 5

$A=5\underline{(x+1)}+x\underline{(x+1)} = (x+1)(5+x)$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\underline{(x-1)}(2x+3)+\underline{(x-1)}(5x-2) \\
&=(x-1)\left[(2x+3)+(5x-2)\right] \\
&=(x-1)(2x+3+5x-2)\\
&=(x-1)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\underline{(2x-5)}(4x-3)-\underline{(2x-5)}(3x-1) \\
&=(2x-5)\left[(4x-3)-(3x-1)\right] \\
&=(2x-5)(4x-3-3x+1)\\
&=(2x-5)(x-2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=2(3x-1)\underline{(x+3)}-3\underline{(x+3)}(4x+1) \\
&=(x+3)\left[2(3x-1)-3(4x+1)\right] \\
&=(x+3)(6x-2-12x-3) \\
&=(x+3)(-6x-5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=2(3-x)(2x+5)-(2x+5) \\
&=2(3-x)\underline{(2x+5)}-\underline{(2x+5)} \times 1 \\
&=(2x+5)\left[2(3-x)-1\right] \\
&=(2x+5)(6-2x-1) \\
&=(2x+5)(-2x+5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=-3(x+1)\underline{(1-x)}+\underline{(1-x)}(7x-8) \\
&=(1-x)\left[-3(x+1)+(7x-8)\right] \\
&=(1-x)(-3x-3+7x-8) \\
&=(1-x)(4x-11)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2) \\
&=\underline{(5x-2)}\times 1+4(2x+1)\underline{(5x-2)} \\
&=(5x-2)\left[1+4(2x+1)\right] \\
&=(5x-2)(1+8x+4) \\
&=(5x-2)(5+8x)
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Factoriser en utilisant des identités remarquables.

$A=x^2-10x+25$
$\quad$
$B=9+6x+x^2$
$\quad$
$C=1-x^2$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=x^2-16$
$\quad$
$F=9x^2-4$
$\quad$
$G=9x^2-6x+1$
$\quad$
$H=25-4x^2$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*} A&=x^2-10x+25 \\
&=x^2-2\times x \times 5+5^2 \\
&=(x-5)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=9+6x+x^2 \\
&=3^2+2\times 3 \times x+x^2 \\
&=(3+x)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=1-x^2 \\
&=1^2-x^2 \\
&=(1-x)(1+x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 \\
&=(2x+3)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-16 \\
&=x^2-4^2\\
&=(x-4)(x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=9x^2-4 \\
&=(3x)^2-2^2 \\
&=(3x-2)(3x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=9x^2-6x+1 \\
&=(3x)2-2\times 3x \times 1+1^2 \\
&=(3x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=25-4x^2 \\
&=5^2-(2x)^2 \\
&=(5-2x)(5+2x)
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.

$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$
$\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$
$\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$
$\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$
$\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
$\quad$

Correction Exercice 7

$\begin{align*} A&=x^2+(x+2)(x+3) \\
&=x^2-2^2+(x+2)(x+3) \\
&=(x-2)\underline{[(x+2)}+\underline{(x+2)}(x+3) \\
&=(x+2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x+2)(x-2+x+3) \\
&=(x+2)(2x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=x^2+6x+9-(x+3)(x-1) \\
&=x^2+2\times x \times 3 + 3^2-(x+3)(x-1) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-1) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-1) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-1)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+1) \\
&=(x+3)(4) \\
&=4(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(x+5)+9x^2-4 \\
&=(3x-2)(x+5)+(3x)^2-2^2 \\
&=\underline{(3x-2)}(x+5)+\underline{(3x-2)}(3x+2) \\
&=(3x-2)\left[(x+5)+(3x+2)\right] \\
&=(3x-2)(x+5+3x+2) \\
&=(3x-2)(4x+7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=9x^2-1+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x)^2-1^2+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x-1)\underline{(3x+1)}+\underline{(3x+1)}(2x+3) \\
&=(3x+1)\left[(3x-1)+(2x+3)\right] \\
&=(3x+1)(3x-1+2x+3) \\
&=(3x+1)(5x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-4x+4+(x+3)(x-2) \\
&=x^2-2\times x\times 2+2^2+(x+3)(x-2) \\
&=(x-2)^2+(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x-2)}(x-2)+(x+3)\underline{(x-2)} \\
&=(x-2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x-2)(x-2+x+3) \\
&=(x-2)(2x+1)
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Factoriser

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$
$\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$
$\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$
$\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$
$\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$
$\quad$
$F=25-(2x+3)^2$
$\quad$
$G=3x^2-6x+3$
$\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
$\quad$

Correction Exercice 8

$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ est du type $a^2-b^2$ avec $a=(x-1)$ et $b=(4x-2)$
$\begin{align*} A&=(x-1)^2-(4x-2)^2 \\
&=\left[(x-1)-(4x-2)\right]\left[(x-1)+(4x-2)\right] \\
&=(x-1-4x+2)(x-1+4x-2) \\
&=(-3x+1)(5x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=9x^2-(x+1)^2 \\
&=(3x)^2-(x+1)^2  \\
&=\left[(3x)-(x+1)\right]\left[(3x)+(x+1)\right] \\
&=(3x-x-1)(3x+x+1) \\
&=(2x-1)(4x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=(2x+3)^2-(1+x)^2 \\
&=\left[(2x+3)-(1+x)\right]\left[(2x+3)+(1+x)\right] \\
&=(2x+3-1-x)(2x+3+1+x) \\
&=(x+2)(3x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x+2)^2-(5x+1)^2 \\
&=\left[(3x+2)-(5x+1)\right]\left[(3x+2)+(5x+1)\right] \\
&=(3x+2-5x-1)(3x+2+5x+1) \\
&=(-2x+1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=x^2+6x+9-(x+3)(x-2) \\
&=x^2+2\times x \times 3+3^2-(x+3)(x-2) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-2) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-2)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+2) \\
&=(x+3)(5) \\
&=5(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=25-(2x+3)^2 \\
&=5^2-(2x+3)^2 \\
&=\left[5-(2x+3)\right]\left[5+(2x+3)\right] \\
&=(5-2x-3)(5+2x+3) \\
&=(2-2x)(8+2x)
\end{align*}$
On peut également constater que $(2-2x)=2(1-x)$ et que $(8+2x)=2(4+x)$.
Donc $F=4(1-x)(4+x)$ mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu.
$\quad$
$\begin{align*} G&=3x^2-6x+3 \\
&=3\left(x^2-2x+1\right) \\
&=3(x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(3x+3)-(x+1)(2x-1) \\
&=3\underline{(x+1)}-\underline{(x+1)}(2x-1) \\
&=(x+1)\left[3-(2x-1)\right] \\
&=(x+1)(3-2x+1) \\
&=(x+1)(4-2x)
\end{align*}$
On peut encore aller plus loin en écrivant $H=2(x+1)(2-x)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

Factoriser les expressions suivantes :

$A=2(1-6x)(x+1)-3(2x-1)(1-6x)$
$\quad$
$B=(5x+2)(3x-4)-(3x-4)$
$\quad$
$C=(2x-1)(3x+2)-4x(2x-1)$
$\quad$
$D=3(3x+4)(2x+3)-2(3x+4)(5-6x)$
$\quad$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} A&=2\underline{(1-6x)}(x+1)-3(2x-1)\underline{(1-6x)} \\
&=(1-6x)\left[2(x+1)-3(2x-1)\right] \\
&=(1-6x)(2x+2-6x+3) \\
&=(1-6x)(-4x+5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(5x+2)(3x-4)-(3x-4) \\
&=(5x+2)\underline{(3x-4)}-\underline{(3x-4)} \times 1 \\
&=(3x-4)\left[(5x+2)-1\right] \\
&=(3x-4)(5x+2-1) \\
&=(3x-4)(5x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\underline{(2x-1)}(3x+2)-4x\underline{(2x-1)} \\
&=(2x-1)\left[(3x+2)-4x\right] \\
&=(2x-1)(3x+2-4x) \\
&=(2x-1)(2-x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=3\underline{(3x+4)}(2x+3)-2\underline{(3x+4)}(5-6x) \\
&=(3x+4)\left[(3(2x+3)-2(5-6x)\right] \\
&=(3x+4)(6x+9-10+12x) \\
&=(3x+4)(18x-1)
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

On donne l’expression $A=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.

  1. Développer, réduire et ordonner $A$.
    $\quad$
  2. Calculer $A$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. Factoriser $A$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3 \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-x-3 \\
    &=3x^2+x-2
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
    $\begin{align*} A&=\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(2\times \dfrac{1}{2}-3\right) \\
    &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2} \times (1-3) \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2} \times (-2) \\
    &=\dfrac{9}{4}-3 \\
    &=\dfrac{9}{4}-\dfrac{12}{4} \\
    &=-\dfrac{3}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=\underline{(x+1)}(x+1)+\underline{(x+1)}(2x-3) \\
    &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
    &=(x+1)(x+1+2x-3) \\
    &=(x+1)(3x-2)
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $(x+1)(3x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc soit $x+1=0$ ou $3x-2=0$.
    soit $x=-1$ ou $3x=2$
    donc $x=-1$ ou $x=\dfrac{2}{3}$
    Les solutions de l’équation sont par conséquent $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 11

On donne l’expression $A=(x-3)(x+3)-2(x-3)$.

  1. Factoriser $A$.
    $\quad$
  2. Développer, réduire et ordonner $A$.
    $\quad$
  3. En choisissant la forme la mieux adaptée de $A$ déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ puis pour $x=0$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(x-3)(x+1)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 11

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\underline{(x-3)}(x+3)-2\underline{(x-3)} \\
    &=(x-3)\left[(x+3)-2\right] \\
    &=(x-3)(x+3-2) \\
    &=(x-3)(x+1)\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\
    &=x^2-9-2x+6 \\
    &=x^2-2x-3
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Si $x=-1$ alors on choisit l’expression factorisée : $A=(-1-3)(-1+1)=0$.
    Si $x=0$ alors on choisit l’expression développée : $A=0-0-3=-3$.
    $\quad$
  4. $(x-3)(x+1)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc soit $x-3=0$ ou $x+1=0$.
    D’où $x=3$ ou $x=-1$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$

[collapse]

3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 4 – Racines carrées

Racines carrées

Exercice 1

Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels ($b$ étant le plus petit possible).

  1. $\sqrt{50}$
    $\quad$
  2. $\sqrt{8}$
    $\quad$
  3. $\sqrt{32}$
    $\quad$
  4. $\sqrt{12}$
    $\quad$
  5. $\sqrt{48}$
    $\quad$
  6. $\sqrt{27}$
Correction Exercice 1

  1. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25}\times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
    $\quad$
  3. $\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16}\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
    $\quad$
  4. $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
    $\quad$
  5. $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$
    $\quad$
  6. $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$

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$\quad$

Exercice 2

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}$
    $\quad$
  3. $C=\sqrt{12}\times \sqrt{27}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}$
    $\quad$
  5. $E=\sqrt{98}\times \sqrt{50}$
    $\quad$
  6. $F=\sqrt{15}\times \sqrt{135}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6} = \sqrt{3\times 6}=\sqrt{3\times 3\times 2}=3\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5\times 20}=\sqrt{100}=10$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=\sqrt{12}\times \sqrt{27}\\
    &=\sqrt{12\times 27} \\
    &=\sqrt{3\times 4 \times 9 \times 3} \\
    &= 3 \times 2 \times 3 \\
    & = 18
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}D&=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8} \\
    &= \sqrt{3 \times 6 \times 8} \\
    &= \sqrt{3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 4} \\
    &= 3 \times 2 \times 2 \\
    &=12
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}E&=\sqrt{98}\times \sqrt{50} \\
    &= \sqrt{49 \times 2} \times \sqrt{25 \times 2} \\
    &=7\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \\
    &=35 \times 2 \\
    &=70
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} F&=\sqrt{15}\times \sqrt{135} \\
    &= \sqrt{15} \times \sqrt{9 \times 15} \\
    &= 15 \times 3 \\
    &= 45
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=2\sqrt{2}\times \sqrt{50}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10}$
    $\quad$
  3. $C=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3}$
    $\quad$
  4. $D=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2}$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=2\sqrt{2}\times \sqrt{50} \\
    &= 2\sqrt{2 \times 50} \\
    &= 2\sqrt{100} \\
    &= 2 \times 10 \\
    &= 20
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10} \\
    &=\sqrt{3 \times 5} \times 3 \times \sqrt{2 \times 5} \\
    &=3 \times 5 \sqrt{3 \times 2} \\
    &=15\sqrt{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3} \\
    &=12 \sqrt{27 \times 3} \\
    &=12 \sqrt{81} \\
    &=12 \times 9 \\
    &=108
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2} \\
    &= 6 \times 2 \times \sqrt{8} \\
    &=12 \sqrt{4 \times 2} \\
    &= 24 \sqrt{2}
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Simplifier les sommes suivantes :

  1. $A=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7}$
    $\quad$
  2. $B=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32}$
    $\quad$
  3. $C=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-5\sqrt{4\times 7}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-10\sqrt{7}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-11\sqrt{7}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32} \\
    &=7\sqrt{2}-\sqrt{9 \times 2}-2\sqrt{16 \times 2} \\
    &=7\sqrt{2}-3\sqrt{2}-8\sqrt{2} \\
    &=-4\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27} \\
    &=2\sqrt{4 \times 3}-4\sqrt{25 \times 3}+3\sqrt{9 \times 3} \\
    &=4\sqrt{3}-20\sqrt{3}+9\sqrt{3} \\
    &=-7\sqrt{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50} \\
    &=\sqrt{4 \times 2}-\sqrt{16 \times 2}+\sqrt{25 \times 2} \\
    &=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}+5\sqrt{2} \\
    &=3\sqrt{2}
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}}$
    $\quad$
  2. $B=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}}$
    $\quad$
  3. $C=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}}$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{9\times 25}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9 \times 25}} \\
    &=\dfrac{2}{3 \times 5} \\
    &=\dfrac{2}{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}} \\
    &=2\times \sqrt{\dfrac{2 \times 3}{27 \times 8}} \\
    &=2\times \sqrt{\dfrac{1}{9\times 4}} \\
    &=2\times \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9} \times \sqrt{4}} \\
    &=2\times \dfrac{1}{3 \times 2} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40} \\
    &=\sqrt{\dfrac{8\times 40}{5}} \\
    &=\sqrt{8\times 8} \\
    &=8
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{9\times 40}{10 \times 81}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{9}} \\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Ecrire les nombres suivants sans le symbole racine carré au dénominateur.

Exemple : $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

  1. $\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}&= \dfrac{\sqrt{4} \times \sqrt{7}}{\sqrt{3}\times \sqrt{7}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}&=\dfrac{3\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}&=\dfrac{4\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}&=\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt{3 \times 6}}{3 \times 6} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{18}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}&=\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}} \times \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{20}-2\sqrt{50}}{3\times 10} \\
    &= \dfrac{\sqrt{4 \times 5}-2\sqrt{25 \times 2}}{30} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{5}-10\sqrt{2}}{30} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}&=\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}} \times \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} \\
    &=\dfrac{10\sqrt{90}-3\sqrt{150}}{2\times 15} \\
    &=\dfrac{30\sqrt{10}-15\sqrt{6}}{30} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Développer à l’aide des identités remarquables

  1. $A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  2. $B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  3. $C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  4. $D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  5. $E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  6. $F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
    $\quad$
  7. $G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
    $\quad$
  8. $H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
    $\quad$
  9. $I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  10. $J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=3-2\sqrt{15}+5 \\
    &=8-2\sqrt{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
    &=2+6\sqrt{10}+45 \\
    &=47+6\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
    &=2-3 \\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=5-2\sqrt{10}+2 \\
    &=7-2\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20+12\sqrt{10}+18 \\
    &=38+12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
    &=9\times 2-9 \\
    &=18-9\\
    &=9
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
    &=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
    &=18+6\sqrt{2}+1 \\
    &=19+6\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
    &=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
    &=4\times 3-1\\
    &=12-1\\
    &=11
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20-12\sqrt{10}+18\\
    &=38-12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=3-2\\
    &=1
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

 

3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 3 – Puissances

Puissances

Puissances de 10

Exercice 1

Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissance de $10$.

$$\begin{array}{lclclcl}
10~000&\phantom{aaa}&0,000~1&\phantom{aaa}&0,1 \\
-1~000~000&&0,000~01 && \dfrac{1}{1~000~000} \\
-\dfrac{1}{1~000}& & & &
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$10~000 = 10^4$

$0,000~1 = 10^{-4}$

$0,1=10^{-1}$

$-1~000~000=-10^6$

$0,000~01 = 10^{-5}$

$\dfrac{1}{1~000~000} =\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}$

$-\dfrac{1}{1~000}=-\dfrac{1}{10^3}=-10^{-3}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire sous forme décimale :

$A=10^4$

$B=10^{-2}$

$C=3,076\times 10^7$

$D=5\times 10={-5}$

$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2}$

Correction Exercice 2

$A=10^4 = 10~000$

$B=10^{-2}=0,01$

$C=3,076\times 10^7 = 3,076 \times 10~000~000 = 30~760~000$

$D=5\times 10={-5} = 5\times 0,000~01 = 0,000~05$

$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2} = 0,3-0,012 = 0,288$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous forme décimale :

$A=10^{-15}\times 10^{17}$

$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}$

$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}$

$D=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}}$

Correction Exercice 3

$A=10^{-15}\times 10^{17} = 10^{-15+17}=10^2 = 100$

$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}=6\times 10^{6-8}=6\times 10^{-2}=0,06$

$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}=2,5\times 10^{-7+8}=25$

$\begin{align*} D&=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}} \\
&=\dfrac{1,5}{4}\times \dfrac{-6}{10^{-10}} \\
&=0,375\times 10^4\\
&=3~750
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}$

$B=\left(10^{-4}\right)^3$

$C=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2$

$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}}$

$E=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3}$

$F=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8}$

Correction Exercice 4

$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}=6\times 10^{-5-10}=6\times 10^{-15}$

$B=\left(10^{-4}\right)^3 = 10^{4\times 3}=10^{-12}$

$\begin{align*} C&=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2  \\
&= 3 \times 10^6\times 25\times 10^{-16}\\
&=75\times 10^{-10}\\
&=7,5\times 10^{-9}
\end{align*}$

$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}} = 10^{5-(-3)}=10^8$

$\begin{align*} E&=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3} \\
&=0,3\times 10^{-7-3} \\
&=0,3\times 10^{-10} \\
&=3 \times 10^{-11}
\end{align*}$

$\begin{align*} F&=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8} \\
&= \dfrac{4\times 15}{5} \times 10^{-3+2-8} \\
&=12\times 10^{-9} \\
&=1,2 \times 10^{-8}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Calculer en utilisant les puissances de $10$:

$A=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000$

$B=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000$

$C=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5$

$D=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000 \\
&= 7\times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^4 \\
&= 210 \times 10^{-5-6+4} \\
&=2,1\times 10^{-5} \\
&= 0,000~021
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000 \\
&=2\times 10^{-3} \times 4 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-5} \times 2\times 10^{5} \\
&=48 \times 10^{-3+2-5+5} \\
&=48 \times 10^{-1} \\
&=4,8
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5 \\
&=1,2 \times 10^4\times 2 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-7} \\
&=36 \times 10^{4-3+3-7} \\
&=36 \times 10^{-3} \\
&=0,036
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005 \\
&=1,1 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-1} \times 2 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-3} \\
&=165 \times 10^{7-1+2-4-3} \\
&=165 \times 10 \\
&=1~650
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Puissances d’un nombre quelconque

Exercice 6

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un nombre relatif et $n$ un entier naturel, chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lcl}
2^5\times 2^6 &\phantom{aaa} & (-3)^4\times (-3)^5 \\
(-7)^2 \times (-7)^4 && (-5)^4\times (-5) \\
(-8)^2 \times 8^7 && 4^2\times (-4)^3 \\
(-3)^4 \times (-5)^4 & & (-2)^4\times 3^4 \\
(-5)^3 \times 2^3 && (-4)^5 \times (-2)^5 \\
\left((-3)^5\right)^3&& \left((-6)^7\right)^4
\end{array}$$

Correction Exercice 6

$2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$

$(-3)^4\times (-3)^5 = (-3)^{4+5}=(-3)^9$
On peut aussi écrire $-3^9$ car l’exposant est impair.

$(-7)^2 \times (-7)^4 = (-7)^{2+4}=(-7)^6$
On peut aussi écrire $7^6$ car l’exposant est pair.

$(-5)^4\times (-5) = (-5)^{4+1}=(-5)^5$
On peut aussi écrire $-5^5$ car l’exposant est impair.

$(-8)^2 \times 8^7 = 8^2\times 8^7 = 8^9$

$4^2\times (-4)^3 =4^2 \times \left(-4^3\right) = -4^5$

$(-3)^4 \times (-5)^4 =\left(-3 \times (-5)\right)^4 = 15^4 $

$(-2)^4\times 3^4 =(-2 \times 3)^4 = (-6)^4 = 6^4$

$(-5)^3 \times 2^3 = (-5 \times 2)^3=(-10)^3=-10^3$

$(-4)^5 \times (-2)^5 =\left(-4 \times (-2)\right)^5 = 8^5$

$\left((-3)^5\right)^3 = (-3)^{5\times 3}=(-3)^{15} = -3^{15}$

$\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7 \times 4} = (-6)^{28}=6^{28}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible :

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3$

$C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2$

$D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3$

Correction Exercice 7

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{4^3}=-\dfrac{27}{64}$

$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2 \\
&=\left(-\dfrac{3 \times 14}{7 \times 4}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{3^2}{2^2} \\
&=\dfrac{9}{4}
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3 \\
&=\left(-\dfrac{4 \times 7}{7 \times 2}\right)^3 \\
&= (-2)^3 \\
&=-8
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Écrire sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

$$\begin{array}{lcl}
A=4^{-3}&\phantom{aaa}& B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}&&D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}&&F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} \\
G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2}&&H=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \end{array}$$

Correction Exercice 8

$A=4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$

$B=\dfrac{7^9}{7^{11}} = \dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{16}{25} $

$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} =-\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{2^3} = -\dfrac{27}{8}$

$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} =5^{-3}= \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}$

$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} =2^{3-(-2)}=2^5=32$

$G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2} = -9^{4-2-2} = -9^0=-1$

$\begin{align*} H&=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \\
&=-6^{5-4-3-(2-5)} \\
&=-6^{1} \\
&=-6
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

Calculer :

$I=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5}$

$J=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} I&=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5} \\
&= \dfrac{2^2 \times 3^3}{3^4 \times 5^{3}} \\
&=\dfrac{2^2}{3 \times 5^3} \\
&=\dfrac{4}{375}
\end{align*}$

$\begin{align*} J&=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3 \\
&= \dfrac{5^{-6} \times 11^{15} \times 11^6 \times 5^6}{11^{10}\times 5^{-6} \times 5^6 \times 11^12} \\
&=\dfrac{11^{21}}{11^{22}} \\
&=11^{-1} \\
&=\dfrac{1}{11}
\end{align*}$

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3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 2 – Fractions

Fractions

Simplifications et mise au même dénominateur

Exercice 1

Simplifier les fractions suivantes :

$$\begin{array}{lllllll}
\dfrac{56}{24}&\phantom{aaa}&\dfrac{77}{154}&\phantom{aaa}&\dfrac{42}{91}&\phantom{aaa}&\dfrac{125}{350}\end{array}$$

Correction Exercice 1

$\dfrac{56}{24} = \dfrac{8 \times 7}{8 \times 3}=\dfrac{7}{3}$
$\quad$
$\dfrac{77}{154}=\dfrac{11 \times 7}{11 \times 14}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$
$\quad$
$\dfrac{42}{91}=\dfrac{7 \times 6}{7 \times 13}=\dfrac{6}{13}$
$\quad$
$\dfrac{125}{350}=\dfrac{25 \times 5}{25 \times 14}=\dfrac{5}{14}$

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$\quad$

Exercice 2

Simplifier les fractions suivantes :

$\dfrac{11\times 5}{3 \times 11} \qquad \dfrac{3\times 4 \times 2}{6}$

Correction Exercice 2

$\dfrac{11\times 5}{3 \times 11}=\dfrac{5}{3}$
$\quad$
$\dfrac{3\times 4 \times 2}{6} = \dfrac{6 \times 4}{6} = 4$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Mettre au même dénominateur :

  1. $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{10}{14}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{4}{98}$ et $\dfrac{230}{490}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{3}{21}$ et $-\dfrac{13}{5}$
Correction Exercice 3

  1. $\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$
    Un dénominateur commun est donc $4\times 7 =28$.
    $\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} = \dfrac{3\times 7}{4 \times 7}=\dfrac{21}{28}$
    $\quad$
    $\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7} = \dfrac{5\times 4}{4\times 7} = \dfrac{20}{28}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{4}{98} = \dfrac{2}{49}$ et $\dfrac{230}{490}=\dfrac{23}{49}$
    Les deux fractions sont déjà au même dénominateur.
    $\quad$
  3. $\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{13}{5}$
    Un dénominateur commun est donc $5\times 7 =35$.
    $\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}=\dfrac{5}{35}$
    $\quad$
    $-\dfrac{13}{5}=-\dfrac{13\times 7}{5 \times 7}=-\dfrac{91}{35}$

[collapse]

$\quad$

Additions et soustractions

Exercice 4

Calculer :

$A=\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}$

$B=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} A&=\dfrac{7}{36}+\dfrac{9}{36}\\
&= \dfrac{7+9}{36} \\
&=\dfrac{16}{36} \\
&= \dfrac{4\times 4}{4\times 9} \\
&=\dfrac{4}{9}
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4} \\
&=\dfrac{-1+5}{4} \\
&=\dfrac{4}{4} \\
&=1\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Calculer : $A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2} \\
&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{2} \\
&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{4} \\
&=\dfrac{7}{4}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Calculer :

$A=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\right)$

$B=\left[\dfrac{2}{5}-\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{5}{4}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}\right)\right]$

Correction Exercice 6

$\begin{align*} A&=\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{5}\right) \\
&= \dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{2}{5} \\
&=\dfrac{10}{12}-\dfrac{9}{12}-\dfrac{18}{12}-\dfrac{28}{12} \\
&=-\dfrac{45}{12} \\
&=-\dfrac{15}{4}
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=\left[\dfrac{2}{5}-\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{5}{4}\right)\right]-\left[\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{3}\right)+\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}\right)\right] \\
&=\dfrac{2}{5}-\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{5} \\
&=\dfrac{6}{5}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{8}{4}-\dfrac{7}{3} \\
&=\dfrac{36}{30}-\dfrac{25}{30}-2-\dfrac{70}{30} \\
&=-\dfrac{59}{30}-\dfrac{60}{30} \\
&=-\dfrac{119}{30}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Multiplications et divisions

Exercice 7

Calculer en simplifiant s’il y a lieu :

  1. $\dfrac{12}{14}\times \dfrac{21}{18}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{24}{42}\times \dfrac{35}{36}$
    $\quad$
  3. $-\dfrac{25}{34}\times \left(-\dfrac{17}{45}\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    $ \begin{align*} \dfrac{12}{14}\times \dfrac{21}{18}&= \dfrac{2\times 6 \times 3 \times 7}{2 \times 7 \times 3 \times 6} \\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -\dfrac{24}{42}\times \dfrac{35}{36}&= \dfrac{12}{21}\times \dfrac{35}{36} \\
    &=-\dfrac{2 \times 6 \times 5\times 7}{3\times 7 \times 6 \times 6} \\
    &=-\dfrac{10}{18} \\
    &=-\dfrac{5}{9}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} -\dfrac{25}{34}\times \left(-\dfrac{17}{45}\right)&=\dfrac{5\times 5 \times 17}{2 \times 17 \times 5 \times 9 }\\
    &=\dfrac{5}{18}
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Calculer :

$A=\dfrac{3}{7}\div \dfrac{3}{4}$

$B=-\dfrac{2}{7}\div \left(-\dfrac{5}{6}\right)$

$C=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}}$

$D=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{-\dfrac{15}{22}}$

Correction Exercice 8

$\begin{align*} A&=\dfrac{3}{7}\div \dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{3} \\
&=\dfrac{4}{7}
\end{align*}$

$\begin{align*}B&=-\dfrac{2}{7}\div \left(-\dfrac{5}{6}\right) \\
&=\dfrac{2}{7} \times \dfrac{6}{5} \\
&=\dfrac{12}{35}
\end{align*}$

$ C=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}} =\dfrac{4}{7}$

$\begin{align*} D&=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{-\dfrac{15}{22}} \\
&=-\dfrac{4}{11}\times \dfrac{22}{15} \\
&=-\dfrac{4 \times 2 \times 11}{11 \times 15} \\
&=-\dfrac{8}{15}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

Effectuer :

$A=\left(2+\dfrac{5}{3}\right)\left(3-\dfrac{4}{5}\right)$

$B=3\times \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{3}\times 6+\dfrac{3}{2}$

$C=-\dfrac{8}{3}\times \left(-\dfrac{3}{7}\right)-\dfrac{4}{14}-\dfrac{11}{7}$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} A&=\left(2+\dfrac{5}{3}\right)\left(3-\dfrac{4}{5}\right) \\
&=\left(\dfrac{6}{3}+\dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{15}{5}-\dfrac{4}{5}\right) \\
&=\dfrac{11}{3}\times \dfrac{11}{5} \\
&=\dfrac{121}{15}
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=3\times \dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{3}\times 6+\dfrac{3}{2} \\
&=\dfrac{5}{2}-8+\dfrac{3}{2} \\
&=\dfrac{8}{2}-8 \\
&=4-8 \\
&=-4
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=-\dfrac{8}{3}\times \left(-\dfrac{3}{7}\right)-\dfrac{4}{14}-\dfrac{11}{7} \\
&=\dfrac{8}{7}-\dfrac{2}{7}-\dfrac{11}{7} \\
&=-\dfrac{5}{7}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

Calculer :

$A=\left(5+\dfrac{7}{3}\right)\left(8-\dfrac{5}{7}\right)$

$B=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}$

$C=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{3}$

$D=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{2-\dfrac{1}{5}}$

Correction Exercice 10

$\begin{align*} A&=\left(5+\dfrac{7}{3}\right)\left(8-\dfrac{5}{7}\right) \\
&=\left(\dfrac{15}{3}+\dfrac{7}{3}\right)\left(\dfrac{56}{7}-\dfrac{5}{7}\right) \\
&=\dfrac{22}{3} \times \dfrac{51}{7} \\
&=\dfrac{22  \times 3 \times 17}{3 \times 7} \\
&=\dfrac{374}{7}
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=1-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}} \\
&=1-\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} \\
&=1-\dfrac{2}{3} \\
&=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{3} \\
&=\dfrac{3}{2}-\dfrac{10}{9} \\
&=\dfrac{27}{18}-\dfrac{20}{18} \\
&=\dfrac{7}{18}
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=\dfrac{1+\dfrac{3}{4}}{2-\dfrac{1}{5}} \\
&=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{9}{5}} \\
&=\dfrac{7}{4}\times \dfrac{5}{9} \\
&=\dfrac{35}{36}
\end{align*}$

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3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 1 – Nombres relatifs

Nombres relatifs

Exercice 1

Calculer :

$A=2+8-6-2+3$
$B=-6\times 2\times (-1):(-4)$
$C=5\times 3+3\times 2-1$
$D=-1+3\times(-4+2)$
$E=5-5\times 8+2$
$F=-2+10:2$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} A&=2+8-6-2+3 \\
&=13-8 \\
&=5
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=-6\times 2\times (-1):(-4) \\
&=12:(-4) \\
&=-3
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=5\times 3+3\times 2-1 \\
&=15+6-1 \\
&=21-1 \\
&=20
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=-1+3\times(-4+2) \\
&=-1+3\times (-2) \\
&=-1-6 \\
&=-7
\end{align*}$

$\begin{align*} E&=5-5\times 8+2 \\
&=5-40+2 \\
&=7-40 \\
&=-33
\end{align*}$

$\begin{align*} F&=-2+10:2 \\
&=-2+5 \\
&=3
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer :

$A=10-\left[6-(5+4)\right]$
$B=-3\times \left[12\times 2-(3-2-5)\right]$
$C=(2\times 5-2)\times 4 + (-2)$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} A&=10-\left[6-(5+4)\right] \\
&=10-(6-9) \\
&=10-(-3) \\
&=13
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=-3\times \left[12\times 2-(3-2-5)\right] \\
&=-3\times \left(24-(-4)\right) \\
&=-3\times (24+4) \\
&=-3 \times 28 \\
&=-84\end{align*}$

$\begin{align*} C&=(2\times 5-2)\times 4 + (-2) \\
&=(10-2)\times 4-2 \\
&=8\times 4-2 \\
&=32-2 \\
&=30
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Sachant que $a=-4$, $b=4$, $c=-2$, $d=-10$, $e=2$ et $f=7$, calculer :

$A=4-a+b-c$
$B=-9+b-e-f+c$
$C=13-f-b+4-c+a+d$
$D=9-(4-a)+(-b+4)-(c-2)$
$E=-15+(7-b)-5-(-e-c)+(d-13)$
$F=19-(13-b)-(5-e+a-c)+(-f+8)$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} A&=4-a+b-c \\
&=4-(-4)+4-(-2) \\
&=4+4+4+2 \\
&=14
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=-9+b-e-f+c \\
&=-9+4-2-7+(-2) \\
&=-18+4-2 \\
&=-20+4\\
&=-16
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=13-f-b+4-c+a+d \\
&=13-7-4+4-(-2)+(-4)+(-10) \\
&=13-7+2-4-10 \\
&=15-21 \\
&=-6
\end{align*}$

 

$\begin{align*} D&=9-(4-a)+(-b+4)-(c-2) \\
&=9-\left(4-(-4)\right)+(-4+4)-(-2-2) \\
&=9-(4+4)-(-4) \\
&=9-8+4 \\
&=5
\end{align*}$

$\begin{align*} E&=-15+(7-b)-5-(-e-c)+(d-13) \\
&=-15+(7-4)-5-\left(-2-(-2)\right)+(-10-13) \\
&=-15+3-5-0-23 \\
&=3-43 \\
&=-40
\end{align*}$

$\begin{align*} F&=19-(13-b)-(5-e+a-c)+(-f+8) \\
&=19-(13-4) \\
&=19-9\\
&=10
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Simplifier les expressions suivantes :

$A=3(2a-5b)-7(2a+3b)+2(-5a+9b) $
$B=5(2x-3y+2)-2(4x+9y-1)+6(-2x-y)$
$C=\left[3b-7(5a-2b)\right]-\left[-3a+8(2a-5b+3)\right] $
$D=6(2x-3y+7)-4(2x+6)+5(-3+2y+x)$

 

Correction Exercice 4

$\begin{align*} A&=3(2a-5b)-7(2a+3b)+2(-5a+9b) \\
&=6a-15b-14a-21b-10a+18b\\
&=-18a-18b
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=5(2x-3y+2)-2(4x+9y-1)+6(-2x-y) \\
&=10x-15y+10-8x-18y+2-12x-6y \\
&=-10x-39y+12
\end{align*}$

$\begin{align*}C&=\left[3b-7(5a-2b)\right]-\left[-3a+8(2a-5b+3)\right] \\
&=(3b-35a+14b)-(-3a+16a-40b+24) \\
&=(17b-35a)-(13a-40b+24) \\
&=17b-35a-13a+40b-24\\
&=-48a+57b-24
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=6(2x-3y+7)-4(2x+6)+5(-3+2y+x) \\
&=12x-18y+42-8x-24-15+10y+5x \\
&=9x-8y+3
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Simplifier puis calculer $A$ pour $x=1,2$, $y=-1$ et $z=-1,5$:

$A=2(5x-3y+2z)-3(2x+4y)-5(5y-3z)$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=2(5x-3y+2z)-3(2x+4y)-5(5y-3z) \\
&=10x-6y+4z-6x-12y-25y+15z \\
&=4x-43y+19z
\end{align*}$

Donc :

$\begin{align*} A&=4\times 1,2-43\times (-1)+19\times (-1,5) \\
&=4,8+43-28,5 \\
&=47,8-28,5\\
&=19,3
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Calculer $B$ pour $x=0$ puis pour $x=-1$

$B=2x^2-3x+7$

Correction Exercice 6

Si $x=0$
$\begin{align*} B&=2x^2-3x+7 \\
&=0-0+7 \\
&=7
\end{align*}$

Si $x=-1$
$\begin{align*} B&=2x^2-3x+7 \\
&=2\times (-1)^2-3\times (-1)+7 \\
&=2 \times 1 +3+7 \\
&=2+3+7\\
&=12
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Simplifier $C=\dfrac{2x+6}{2}$
Puis calculer $C$ pour $x=-133$

Correction Exercice 7

$C=\dfrac{2x+6}{2} = x+3$

Si $x=-133$ alors $C=-133+3=-130$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Écrire plus simplement $D=2x\times (-3x)+1$.
Calculer $D$ pour $x=-2$.

Correction Exercice 8

$D=2x\times (-3x)+1 = -6x^2+1$

Si $x=-2$ alors

$\begin{align*} D&=-6x^2+1 \\
&=-6\times (-2)^2+1\\
&=-6\times 4 +1\\
&=-24+1\\
&=-23
\end{align*}$

[collapse]