2nd – Exercices – pourcentages, évolutions successives et réciproques

Pourcentages – Évolutions successives et réciproques

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Au moment des soldes le prix d’un article baisse de $30\%$ puis de $10\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 1

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\\
&=0,7\times 0,9\\
&=0,63\\
&=1-\dfrac{37}{100}\end{align*}$

Le prix de l’article a donc baissé de $37\%$ au total.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de $3\%$ puis baissé de $1\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 2

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\\
&=1,03\times 0,99\\
&=1,019~7\\
&=1+\dfrac{1,97}{100}\end{align*}$

Le chiffre d’affaire a donc augmenté globalement de $1,97\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

La population d’une ville a augmenté de $2\%$ en 2017 puis de $3\%$ en 2018. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 3

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
&=1,02\times 1,03\\
&=1,050~6\\
&=1+\dfrac{5,6}{100}\end{align*}$

Le nombre d’habitants a augmenté globalement de $5,6\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a baissé de $10\%$ en 2018. De quel pourcentage, arrondi à $0,1\%$ près, doit-il augmenter en 2019 pour compenser cette diminution?
$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,9\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9} \\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9}-1 \\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,9}-1\right) \end{align*}$
Ainsi $x\approx 11,1$

Il faut donc que le chiffre d’affaires augmente d’environ $11,1\%$ pour compenser la baisse précédente.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Le nombre d’abonnés à une newsletter a augmenté de $50\%$ en deux ans. La première année il a augmenté de $20\%$. Quel est le pourcentage d’augmentation de la deuxième année?
$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $x$ le pourcentage d’augmentation de la seconde année.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=\left(1+\dfrac{50}{100}\right)&\ssi 1,2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1,5\\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}\\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}-1\\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1,5}{1,2}-1\right)\\
&\ssi x=25\end{align*}$

Le nombre d’abonnés a donc augmenté de $25\%$ la seconde année.
$\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Déterminer dans chacun des cas le taux d’évolution réciproque, arrondi à $0,01\%$ près.

  1. Une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Une augmentation de $14\%$. Le coefficient multiplicateur associé est $1,14$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la baisse réciproque est $\dfrac{1}{1,14} \approx 0,877~2$.
    Or $0,877~2=1-\dfrac{12,28}{100}$
    Il faut donc appliquer une baisse d’environ $12,28\%$ pour compenser une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$. Le coefficient multiplicateur est $1-0,226=0,775$
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,775}\approx 1,290~3$.
    Or $1,290~3=1+\dfrac{29,03}{100}$.
    Il faut donc appliquer une hausse d’environ $29,03\%$ pour compenser une baisse de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    L’entreprise a perdu $12$ employés.
    $\dfrac{12}{113}\approx 0,106~2$.
    Il faut donc que le nombre d’employés augmente d’environ $10,62\%$ pour retrouvé la situation de 2017.
    Remarque : On pouvait également calculer le pourcentage associé à la baisse.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    Le lycée a gagné $35$ élèves. Il compte donc $945$ élèves en 2019.
    $\dfrac{35}{945} \approx 0,037~0$
    Il faut que le nombre d’élèves baisse d’environ $3,70\%$ pour que retrouver la situation de 2018.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On mesure la hauteur d’eau d’un lac sur l’été. On obtient les hauteurs suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{mois}&\text{juin}&\text{juillet}&\text{août}\\
\hline
\text{hauteur en m}&5,4&5,3&5,1\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer les pourcentages de baisse de juin à juillet et de juillet à août, arrondi à $0,01\%$ près.
    $\quad$
  2. Déterminer le pourcentage de baisse global, arrondi à $0,01\%$.
    $\quad$
  3. En déduire de quel pourcentage, arrondi à $0,01\%$ près, la hauteur d’eau doit-elle augmenter pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\dfrac{5,3-5,4}{5,4}\approx -0,185$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $1,85\%$ en juillet.
    $\dfrac{5,1-5,3}{5,3}\approx -0,377$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $3,77\%$ en août.
    $\quad$
  2. $\dfrac{5,1-5,4}{5,4}\approx -0,556$ : La hauteur d’eau a globalement baissé d’environ $5,56\%$.
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $5,56\%$ est $CM=1-\dfrac{5,56}{100}=0,944~4$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,944~4}\approx 1,0589$.
    La hauteur d’eau doit donc augmenter d’environ $5,89\%$ pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

2nd – Exercices – pourcentages, augmentation et diminution

Pourcentages – Augmentation et diminution

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

  1. On augmente une quantité de $2\%$. Quel est le coefficient multiplicateur associé à cette augmentation?
    $\quad$
  2. On diminue une quantité de $6\%$. Quel est le coefficient multiplicateur associé à cette diminution?
    $\quad$
  3. On augmente une quantité de $17\%$. Quel est le coefficient multiplicateur associé à cette augmentation?
    $\quad$
  4. On diminue une quantité de $13\%$. Quel est le coefficient multiplicateur associé à cette diminution?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On augmente une quantité de $2\%$. Le coefficient multiplicateur associé à cette augmentation est $CM_1=1+\dfrac{2}{100}=1,02$.
    $\quad$
  2. On diminue une quantité de $6\%$. Le coefficient multiplicateur associé à cette diminution est $CM_2=1-\dfrac{6}{100}=0,94$.
    $\quad$
  3. On augmente une quantité de $17\%$. Le coefficient multiplicateur associé à cette augmentation est $CM_3=1+\dfrac{17}{100}=1,17$.
    $\quad$
  4. On diminue une quantité de $13\%$. Le coefficient multiplicateur associé à cette diminution est $CM_4=1-\dfrac{13}{100}=0,87$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

  1. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $1,36$. Précisez cette évolution.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $0,71$. Précisez cette évolution.
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $1,05$. Précisez cette évolution.
    $\quad$
  4. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $0,62$. Précisez cette évolution.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $1,36$.
    On a $1,36=1+\dfrac{36}{100}$. Il s’agit donc d’une augmentation de $36\%$.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $0,71$.
    On a $0,71=1-\dfrac{29}{100}$. Il s’agit donc d’une diminution de $29\%$.
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $1,05$.
    On a $1,05=1+\dfrac{5}{100}$. Il s’agit donc d’une augmentation de $5\%$.
    $\quad$
  4. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution est égal à $0,62$.
    On a $0,62=1-\dfrac{38}{100}$. Il s’agit donc d’une baisse de $38\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Le prix d’un article était initialement de $120$ €. Il augmente de $6\%$. Quel est le nouveau prix?
$\quad$

Correction Exercice 3

Le nouveau prix est $120\times \left(1+\dfrac{6}{100}\right)=120\times 1,06=127,20$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Le salaire d’un employé était initialement de $1~800$ €. Il augmente de $2\%$. Quel est le nouveau salaire?
$\quad$

Correction Exercice 4

Le nouveau salaire est $1~800\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=1~800\times 1,02=1~836$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Une usine a fabriqué $40~000$ objets en 2019. Quelle sera la production en 2020 si celle-ci baisse de $1\%$?
$\quad$

Correction Exercice 5

L’usine fabriquera $40~000\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)=40~000\times 0,99=39~600$ objets en 2020.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

La facture moyenne annuelle d’électricité en 2018 était de $810$ €. Si celle-ci baisse de $0,2\%$ en 2019 quelle sera son nouveau montant?
$\quad$

Correction Exercice 6

Le nouveau montant sera $810\times \left(1-\dfrac{0,2}{100}\right)=810\times 0,998=808,38$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Le nombre d’abonnés à une newsletter est passé en une année de $40~000$ à $50~000$ abonnés. Quel est le taux d’évolution associé à cette augmentation?
$\quad$

Correction Exercice 7

On a $\dfrac{50~000}{40~000}=1,25=1+\dfrac{25}{100}$

Le nombre d’abonnés à donc augmenté de $25\%$ en un an.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Un site web a eu $130~000$ visiteurs en octobre et $145~000$ visiteurs en novembre de la même année. Quel est le taux d’évolution associé à cette augmentation, arrondi à $0,1\%$ près?
$\quad$

Correction Exercice 8

$\dfrac{145~000}{130~000}\approx 1,115$. Or $1,115=1+\dfrac{11,5}{100}$.
Le nombre de visiteurs a donc augmenté d’environ $11,5\%$ en un mois.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

Lors de sa première semaine de sortie en salle un film a été vu par $325~000$ spectateurs. La semaine suivante $312~000$ spectateurs sont allés le voir. Quel est le taux d’évolution associé à cette diminution?
$\quad$

Correction Exercice 9

$\dfrac{312~000}{325~000}=0,96=1-\dfrac{4}{100}$.
Le nombre de spectateurs étant allés voir ce film a baissé de $4\%$ en une semaine.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

Une société vend des forfaits téléphoniques. Elle comptait $2,7$ millions d’abonnés en 2018 et $2,6$ millions d’abonnés en 2019. Quel est le taux d’évolution associé à cette diminution, arrondi à $0,1\%$ près?
$\quad$

Correction Exercice 10

$\dfrac{2,6}{2,7}\approx 0,963$ or $0,963=1-\dfrac{3,7}{100}$.
Le nombre d’abonnés a donc baissé d’environ $3,7\%$ en un an.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Après une augmentation de $3\%$ un article coûte $158,62$ €. Quel était le prix initial?
$\quad$

Correction Exercice 11

On appelle $P$ le prix initial.
On a donc $P\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=158,62$
$\ssi 1,03P=158,62$
$\ssi P=\dfrac{158,62}{1,03}$
$\ssi P=154$.

L’article coûtait donc $154$ € initialement.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12

En 2019 la température annuelle moyenne à Paris était de $14,2$ °C. Elle a augmenté de $10\%$ par rapport à celle constatée en 2000. Quelle était la température annuelle moyenne en 2000, arrondie à $0,1$ °C près?
$\quad$

Correction Exercice 12

On appelle $T$ la température annuelle moyenne à Paris en 2000.
On a donc $T\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=14,2$
$\ssi 1,1T=14,2$
$\ssi T=\dfrac{14,2}{1,1}$
Ainsi $T\approx 12,9$.

La température annuelle moyenne à Paris en 2000 était d’environ $12,9$ °C.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13

Le chiffre d’affaires d’une entreprise était de $1,421$ millions d’euros en 2018 ce qui représente une baisse de $2\%$ par rapport à l’année précédente. Quel était le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2017?
$\quad$

Correction Exercice 13

On appelle $C$ le chiffre d’affaires en 2017.
On a donc $C\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=1,421$
$\ssi 0,98C=1,421$
$\ssi C=\dfrac{1,421}{0,98}$
$\ssi C=1,45$.

Le chiffre d’affaires de cette entreprise était de $1,45$ millions d’euros en 2017.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 14

Une ville compte $110~954$ en 2019, ce qui représente une baisse de $7,9\%$ par rapport à l’année 1970. Combien d’habitants, arrondi à l’unité, comptait celle ville en 1970?
$\quad$

Correction Exercice 14

On appelle $N$ le nombre d’habitants de cette ville en 1970.
On a ainsi $N\times \left(1-\dfrac{7,9}{100}\right)=110~954$
$\ssi 0,921N=110~954$
$\ssi N=\dfrac{110~954}{0,921}$
Ainsi $N\approx 120~471$.

Il y avait donc environ $120~471$ habitants dans cette ville en 1970.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – pourcentages et calcul de variations

Pourcentages – Calcul de variations

2nd – Exercices corrigés

Tous les pourcentages seront arrondis à $0,1\%$ près.

Exercice 1

Le taux horaire brut du SMIC était de $9,88$ € au $1\ier$ janvier 2018 et de $10,03$ € au $1\ier$ janvier 2019.

  1. Déterminer la variation absolue du taux horaire brut du SMIC entre ces deux dates.
    $\quad$
  2. Déterminer la variation relative du taux horaire brut du SMIC entre ces deux dates.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La variation absolue est $10,03-9,88=0,15$ €.
    $\quad$
  2. La variation relative est $\dfrac{10,03-9,88}{9,88}\approx 0,015$ soit environ $1,5\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Le prix d’un article est passé au moment des soldes de $20$ € à $15$€.

  1. Déterminer la variation absolue du prix de l’article.
    $\quad$
  2. Déterminer la variation relative du prix de l’article.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La variation absolue est $15-20=-5$ €.
    $\quad$
  2. La variation relative est $\dfrac{15-20}{20}=-0,25=-25\%$.
    Le prix a donc baissé de $25\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une émission est diffusée de façon hebdomadaire. La première semaine elle attire $3,586$ millions de téléspectateurs et $3,415$ millions de téléspectateurs la semaine suivante.

  1. Déterminer la variation relative du nombre de téléspectateurs entre les deux semaines.
    $\quad$
  2. Déterminer la variation absolue du nombre de téléspectateurs entre les deux semaines.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. La variation relative est $\dfrac{3,415-3,586}{3,586} \approx -0,048$ soit environ $-4,8\%$.
    $\quad$
  2. La variation absolue est $3,415-3,586=-0,171$ millions de téléspectateurs.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Il y avait $881~400$ enseignants en France en 2018. On en compte $870~900$ en 2019.
Quel est taux d’évolution du nombre d’enseignants en France entre 2018 et 2019?
$\quad$

Correction Exercice 4

$\dfrac{870~900-881~400}{881~400}\approx -0,012$ soit environ $-1,2\%$.
Il s’agit donc d’une baisse d’environ $1,2\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Voici le PIB (Produit Intérieur Brut), en milliards de dollars, de la France et des États-Unis en 2010 et 2018.
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\boldsymbol{2010}&\boldsymbol{2018}\\
\hline
\textbf{France}&1~376&2~778\\
\hline
\textbf{États-unis}&10~252&20~544\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer la variation absolue du PIB de ces deux pays entre 2010 et 2018.
    $\quad$
  2. Quel pays a vu son pays progressé le plus rapidement en pourcentage entre 2010 et 2018?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Variation absolue du PIB de la France : $V_1=2~778-1~376=1~402$ milliards de dollars.
    Variation absolue du PIB des États-unis : $V_2=20~544-10~252=10~292$ milliards de dollars.
    $\quad$
  2. Variation relative du PIB de la France : $t_1=\dfrac{2~778-1~376}{1~376}\approx 1,019$ soit $t_1\approx 101,9\%$.
    Variation relative du PIB des États-unis : $t_1=\dfrac{20~544-10~252}{10~252}\approx 1,004$ soit $t_1\approx 100,4\%$.
    C’est donc le PIB de la France qui a progressé le plus rapidement en pourcentage entre 2010 et 2018.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

$19~855~000$ véhicules roulaient au diesel en 2017 ce qui représente une baisse de $45~000$ véhicules par rapport à 2016.
Quel est le taux d’évolution du nombre de véhicules roulant au diesel entre 2016 et 2017?
$\quad$

Correction Exercice 6

Le taux d’évolution est $t=\dfrac{-45~000}{19~855~000}\approx -0,002$ soit $t\approx -0,2\%$.
Le nombre de véhicules roulant au diesel a baissé d’environ $0,2\%$ entre 2016 et 2017.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

2nd – Exercices – proportions et pourcentages

Proportions et pourcentages

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans une classe de $35$ élèves, il y a $21$ filles. Quel est le pourcentage de filles dans cette classe?
$\quad$

Correction Exercice 1

On a $\dfrac{21}{35}=0,6=60\%$.

$60\%$ des élèves de cette classe sont donc des filles.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans une entreprise employant $200$ salariés, $55\%$ d’entre eux sont des hommes. Combien y a-t-il d’hommes dans cette entreprise?
$\quad$

Correction Exercice 2

$\dfrac{55}{100}\times 200=110$.

Il y a donc $110$ hommes dans cette entreprise.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Quel est le prix d’un article quand $16\%$ de celui-ci représente $175$€.
$\quad$

Correction Exercice 3

On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{prix (en €)}&x&175\\
\hline
\text{pourcentage}&100&16\\
\hline
\end{array}$

Ainsi $x=\dfrac{175 \times 100}{16}=1~093,75$.

L’article coûte donc $1~093,75$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Un smartphone a une capacité de stockage de $64$ Go. Le système d’exploitation occupe $6$ Go et les applications installées occupent $40\%$ de l’espace total.
Quel est pourcentage de la mémoire encore libre?
$\quad$

Correction Exercice 4

$\dfrac{6}{64}=0,093~75=9,375\%$ : Le système d’exploitation occupe donc $9,375\%$ de l’espace total.
Les applications installées occupent $40\%$ de l’espace total.
$100-40-9,7375=50,625$ : $56,625\%$ de la capacité de stockage est encore libre.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Voici les résultats au baccalauréat général (session juin 2019) par séries au premier groupe :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Séries}&\textbf{Présents}&\textbf{Admis}\\
\hline
\text{S}&201~083&161~511\\
\hline
\text{ES}&132~148&102~744\\
\hline
\text{L}&56~788&46~372\\
\hline
\end{array}$$
Déterminer le pourcentage de candidats admis par rapport aux candidats présents, arrondi au dixième, dans chacune des séries générales.
$\quad$

Correction Exercice 5

$\dfrac{161~511}{201~083}\approx 0,803$ : Environ $80,3$ des candidats de la série S ont été admis au premier tour.

$\dfrac{102~744}{132~148}\approx 0,777$ : Environ $77,7$ des candidats de la série ES ont été admis au premier tour.

$\dfrac{46~372}{56~788}\approx 0,817$ : Environ $81,7$ des candidats de la série L ont été admis au premier tour.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Voici le pourcentage de mention par type de baccalauréat (session de juin 2019).
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Série}&\textbf{Présents}&\textbf{Très bien}&\phantom{aa}\textbf{Bien}\phantom{aa}&\textbf{Assez bien}\\
\hline
\text{Général}&390~019&11,7 \%& 16,8\%&24,1\%\\
\hline
\text{Technologique}&156~385&2,5 \%&11,1\%&26,8\%\\
\hline
\text{Professionnel}&209~499&2,0 \%&11,3\%&28,4\%\\
\hline\end{array}$$
Déterminer, en arrondissant à l’entier près, le nombre de candidats ayant obtenus ces mentions dans les différentes séries.
$\quad$

Correction Exercice 6

On calcule le nombre de candidats ayant obtenus une mention très bien dans la série général ainsi : $\dfrac{11,7}{100}\times 390~019\approx 45~632$.
On procède de la même manière pour les autres mentions et autres séries.
On obtient au final :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Série}&\textbf{Présents}&\textbf{Très bien}&\phantom{aa}\textbf{Bien}\phantom{aa}&\textbf{Assez bien}\\
\hline
\text{Général}&390~019&45~632 & 65~523&93~995\\
\hline
\text{Technologique}&156~385&3~910&17~359&41~911\\
\hline
\text{Professionnel}&209~499&4~190&23~673&59~498\\
\hline\end{array}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Le prix Hors Taxe (H.T.) d’une voiture est de $7~880$ €. Quel est le montant de la T.V.A., dont le taux est de $20\%$ pour cette voiture?
$\quad$

Correction Exercice 7

$\dfrac{20}{100}\times 7~880=1~576$.
La T.V.A. s’élève donc à $1~576$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Le tableau suivant indique le nombre de femmes élues députées à l’assemblée nationale en France lors de différentes élections.
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Année}&\textbf{Nombre de sièges}&\textbf{Nombre de femmes} \\
\hline
2017&577&224\\
\hline
2012&577&155\\
\hline
1997&577&63\\
\hline
1945&586&33\\
\hline
\end{array}$$
Pour chacune de ces années, déterminer le pourcentage, arrondi au dixième, de femmes députées à l’assemblée nationale.
$\quad$

Correction Exercice 8

Pour l’année 2017, on effectue le calcul suivant : $\dfrac{224}{577}\approx 0,388$. Environ $38,8\%$ des députés sont des femmes.
On procède de la même manière pour les autres années et on obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Année}&\textbf{Nombre de sièges}&\textbf{Nombre de femmes}&\textbf{Pourcentage} \\
\hline
2017&577&224&38,8\%\\
\hline
2012&577&155&26,9\%\\
\hline
1997&577&63&10,9\%\\
\hline
1945&586&33&5,6\%\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

 

 

TS – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

S – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a
ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes:

  • $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé
    l’émission;
  • $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

  • $M$ : “le téléspectateur a regardé le match” ;
  • $E$ : “le téléspectateur a regardé l’émission”.

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a
pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la
    probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$

Partie B

Une usine fabrique des maillots de football qui doivent être cousus par une première machine et décorés par une deuxième machine. Ces deux machines, qui fonctionnent de manière indépendante, ont des probabilités respectives de $0,05$ et $0,08$ de produire des maillots avec un défaut.
On choisit un maillot au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que le maillot choisi présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le maillot présente au moins un défaut ?
    $\quad$

Partie C

Dans l’entrepôt de l’usine de la partie B, des maillots bleus et des maillots rouges sont stockés dans un carton. La proportion de maillots bleus est égale à $0,55$.

  1. Jeanne prend au hasard $10$ maillots dans ce carton pour offrir à un groupe de VIP qui est venu visiter l’usine. Le nombre de maillots présents dans le carton est suffisamment grand pour que les tirages soient considérés comme identiques et indépendants.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de maillots bleus.
    a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier soigneusement la réponse.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Jeanne tire exactement huit maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
  2. Jeanne prend toujours au hasard des maillots dans le carton. La proportion de maillots bleus est toujours de $0,55$. Combien Jeanne doit-elle prendre de maillots, au minimum, pour que la probabilité d’avoir au moins un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$ ?
    $\quad$

Exercice 2     7 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\
u_0&=&5
\end{array}\right.$

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} – u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et déterminer le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \ne 1$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que } u \geqslant 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6,5 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$f(x) = -2x+\dfrac{x+1}{\e^x}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$g(x) = -2\e^x-x$$

  1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer la dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation complet de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  6. Déterminer le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie C: Étude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$.
    $\quad$
  2. La tangente $T’$ à $\mathscr{C}_f$ en $x=-1$ a pour équation $y=(\e-2)x+\e$.
    a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $T$ et $T’$. On le nommera $A$.
    $\quad$
    b. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que le point $M$ de coordonnées $(0;\e)$. Tracer les tangentes $T$ et $T’$ puis placer le point $A$.
    $\quad$

$\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

Partie B

  1. La on appelle $C$ l’événement “le maillot présente un défaut de couture” et $D$ l’événement “le maillot présente un défaut de décoration”.
    $C$ et $D$ sont indépendants donc $C$ et $\conj{D}$ le sont aussi.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,05\times (1-0,08) \\
    &=0,046\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration est égale à $0,046$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(C\cup D)&=1-p\left(\conj{C}\cap \conj{D}\right) \\
    &=1-p\left(\conj{C}\right)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=1-(1-0,05)\times (1-0,08) \\
    &=0,126\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente au moins un défaut est égale à $0,126$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,55$.
    $\quad$
    b. On a $P(X=8)=\ds \binom{10}{8}\times 0,55^8\times (1-0,55)^2\approx 0,076$
    La probabilité que Jeanne tire exactement huit maillot bleus est environ égale à $0,076$.
    $\quad$
    c. On a $P(X\pg 2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,995$.
    La probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus est environ égale à $0,995$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de maillots bleus.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,55$.
    On a $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0,55)^n=1-0,45^n$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,45^n\pg 0,999~9$
    Si $n=12$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~85$
    Si $n=13$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~93$
    Jeanne doit donc prendre $13$ maillots au minimum pour que la probabilité d’avoir un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$ et $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Initialisation : On $u_0=5 \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n\pg 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}\pg 1$.
    $\begin{align*} u_n\pg 1&\ssi u_n+4\pg 5 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u_n+4} \pp \dfrac{1}{5} \\
    &\ssi \dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
    &\ssi -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
    &\ssi 3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+2-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-u_n+2-{u_n}^2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-u_n+2-{u_n}^2$
    Ainsi, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$ donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2\pg 0$ et $u_n+4\pg 0$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$; elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\\\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\\\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10}\\\\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\\\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{5-1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    $0<\dfrac{4}{7}<1$ et $0<\dfrac{2}{5}<1$ donc $v_n <1$ et $v_n\neq 1$.
    $\quad$
  2. $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les valeurs prises par les variables $u$ (arrondies au millième) et $n$.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    u& n \\
    \hline
    5& 0\\
    \hline
    1,889&1\\
    \hline
    1,302 &2\\
    \hline
    1,114& 3\\
    \hline
    1,045& 4\\
    \hline
    1,018& 5\\
    \hline
    1,007&6\\
    \hline
    \end{array}$$
    la variable $n$ a donc la valeur $6$ après exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que pour tout entier supérieur ou égal à $6$ on a $1\pp u_n\pp 1,01$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{n\to -\infty} \e^x=$ et $\lim\limits_{n\to -\infty}-x=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\e^x=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $g'(x)=-2\e^x-1=-\left(2\e^x+1\right)$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1\pg 1$ et $g(x)<0$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $0\in]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice on a $-0,853<\alpha <-0,852$
    $\quad$
  6. D’après le tableau de variations et la question précédente :
    – $g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – $g(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : Etude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2+\dfrac{1\times \e^x-(x+1)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=-2+\dfrac{(1-x-1)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=-2+\dfrac{-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{-2\e^x-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{g(x)}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.6. on a donc :
    – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$;
    – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C : Etude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Une équation de la tangente $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f(0)=0+\dfrac{1}{1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\times 1+0}{1}=-2$
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$
    $\quad$
  2. a. On veut donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=-2x+1\\y=(\e-2)x+\e \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\-2x+1=(\e-2)x+\e\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1\\1=\e x+\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\\e x=1-\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1-\e}{\e} \\y=\dfrac{3\e-2}{\e}\end{cases}\end{align*}$
    Les coordonnées du point $A$ sont donc $\left(\dfrac{1-\e}{\e};\dfrac{3\e-2}{\e}\right)$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$

TES/TL – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

ES/L – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d’établir que:

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
    risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  •  $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1.  Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients qui acceptent de prendre le produit.

  1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$ à $\ldots$}\\
    \hspace{1.cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
    $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer à partir de quelle année le nombre de médecin est inférieur à $210~000$.
    $\quad$
  7. Sur le long terme combien de médecins la France comptera-t-elle selon cette modélisation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $$f(x) = (200x – 300)\text{e}^{-x-1} + 10$$
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;6]$, $$f^{\prime}(x) = (500-200x)\text{e}^{-x-1}$$
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
    $\quad$
  4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

  1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?
    $\quad$
  2. Démontrer que sur l’intervalle $[1;2]$ l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(20; 0,4)$.
    a. $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
    d. $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. La solution de l’équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = \e^{3x}$ est:
    a. $\dfrac{2}{3}$
    b. $\dfrac{3}{2}$
    c. $1$
    d. $0$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
    Une autre expression de $f(x)$ est:
    a. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)= -x\e^{-x}$
    c. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x \e^{-x}$
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ le nombre $\e^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :
    a. $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$
    b. $\e^{3x}-\e^2$
    c. $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3$
    d. $\dfrac{1}{\e^{\frac{2}{3x}}}$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
  2. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
  3. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice on trouve que $u_{22}\approx 210,18$ et $u_{23}\approx 209,77$.
    Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$
  7.  On a $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=200$.
    Cela signifie donc que sur le long terme la France comptera $200~000$ médecins actifs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $[0;6]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}
    f'(x)&=200\e^{-x-1}+(200x-300)\times \left(-\e^{-x-1}\right) \\
    &=(200-200x+300)\e^{-x-1}\\
    &=(500-200x)\e^{-x-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $500-200x$.
    Or $500-200x=0 \ssi 500=200x\ssi x=2,5$
    Et $500-200x>0 \ssi 500>200x \ssi 2,5>x$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0)=300\e^{-1}+10$
    $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10$
    $f(6)=900\e^{-7}+10$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum en $2,5$.
    $f(2,5)\approx 16,039$
    Il faut donc vendre $250$ objets pour réaliser un bénéfice maximal environ égal à $\np{16039}$ euros.
    $\quad$
  4. On peut utiliser le réglage suivant :
    $x_{\text{min}}=0 \quad x_{\text{max}}=6 \quad y_{\text{min}}=-10 \quad y_{\text{max}}=17$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le graphique, $f(x)=0$ si $x\approx 1,1$. L’entreprise doit donc vendre au moins $110$ objets pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $f(0)\approx -100<0$ et $f(2,5)\approx 16>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[2,5;6]$ on a $f(x)\pg f(6) >0$
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 1,094$ soit $\alpha \approx 1,09$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. L’entreprise ne vend pas à perte dès qu’elle vend au moins $110$ objets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=\e^{3x}\ssi \e^{2x}=\e^{3x}\ssi 2x=3x\ssi x=0$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3=\e^{\frac{x}{2}\times 3}=\e^{\frac{3x}{2}}$
    Réponse c
    $\quad$

2nd – Exercices – Vecteurs – Colinéarité

Vecteurs et colinéarité

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=2\times 4-3\times (-1)=8+3=11$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=4\times 12-(-6)\times (-8)=48-48=0$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-1\times (-8)-(-5)\times (-3)=8-15=-7$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-2\times (-6,3)-3\times 4,2=12,6-12,6=0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{w} \right)=-2\times 7,4-3\times 5=-14,8-15=-29,8 \neq 0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Représenter les points $A(-1;3)$, $B(1;2)$, $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$ dans un repère $\Oij$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient le graphique suivant :2nd - exos - vecteurs - coord3cor$\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$
    Et $\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$.
    $\quad$
  3. Le déterminant des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ est :
    det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=2\times (-3)-(-1)\times 6=-6+6=0$
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On donne les points $M(-2;-1)$, $B(1;0)$ et $F(6;1)$.
Les points $M,B$ et $F$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{MB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{MB}(3;1)$
Et $\vect{MF}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{MF}(8;2)$

Le déterminant de ces deux vecteurs est :
det$\left(\vect{MB};\vect{MF}\right)=3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $M$, $B$ et $F$ ne sont pas alignés.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On se place dans un repère $\Oij$ du plan.
Soient les points $A(1;0)$, $B(0;-2)$, $C(-3;-8)$, $D(4;1)$ et $E\left(2;-\dfrac{4}{3}\right)$.

  1. $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  2. Même question pour $C$, $D$ et $E$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}(0-1;-2-0)$ soit $\vect{AB}(-1;-2)$
    et $\vect{CD}(-3-1;-8-0)$ soit $\vect{CD}(-4;-8)$
    On constate donc que $\vect{CD}=4\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
    Remarque : On pouvait utiliser le déterminant pour prouver la colinéarité.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\left(4-(-3);1-(-8)\right)$ soit $\vect{CD}(7;9)$
    et $\vect{CE}\left(2-(-3);-\dfrac{4}{3}-(-8)\right)$ soit $\vect{CE}\left(5;-\dfrac{20}{3}\right)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{CD};\vect{CE}\right)=7\times \left(-\dfrac{20}{3}\right)-9\times 5=-\dfrac{140}{3}-45=-\dfrac{275}{3}\neq 0$
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points $C$, $D$ et $E$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  3. $\vect{AD}(4-1;1-0)$ donc $\vect{AD}(3;1)$ et $\vect{BE}\left(2-0;-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)$ soit $\vect{BE}\left(2;\dfrac{2}{3}\right)$.
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{AD};\vect{BE}\right)=3\times \dfrac{2}{3}-1\times 2=2-2=0$
    Les deux vecteurs sont colinéaires donc les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Soit $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ d’un repère $\Oij$.

  1. On appelle $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
    Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
    $\quad$
  2. On considère les points $P$ et $Q$ définis par : $\vect{AP}=-3\vect{AB}$ et $\vect{AQ}=-3\vect{AC}$.
    a. Calculer les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Par conséquent $B$ est le milieu de $[AM]$.
    Ainsi : $\begin{cases} -1 = \dfrac{-2+x_M}{2}\\\\4=\dfrac{1+y_M}{2}\end{cases}$ $\ssi\begin{cases} -2=-2+x_M\\\\8=1+y_M\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_M=0\\\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(0;7)$.
    $\quad$
    $N$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$. Par conséquent $C$ est le milieu de $[AN]$.
    Ainsi : $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+x_N}{2}\\\\3=\dfrac{1+y_N}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}4=-2+x_N\\\\6=1+y_N\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_N=6\\\\y_N=5\end{cases}$.
    Donc $N(6;5)$.
    $\quad$
  2. a. $\overrightarrow{AP}\left(x_P+2;y_P-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}(1;3)$.
    On veut que $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$.
    Donc $\begin{cases} x_P+2=-3\\\\y_P-1=-9 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_P=-5\\\\y_P=-8\end{cases}$.
    $\quad$
    $\overrightarrow{AQ}\left(x_Q+2;y_Q-1\right)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2)$.
    On veut que $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
    Donc $\begin{cases} x_Q+2=-12\\\\y_Q-1=-6 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_Q=-14\\\\y_Q=-5\end{cases}$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(-5;-8)$ et $Q(-14;-5)$.
    $\quad$
    b. D’une part $\overrightarrow{MN}(6;-2)$
    D’autre part $\overrightarrow{PQ}(-9;3)$
    Ainsi $6 \times 3-(-2)\times (-9) = 18-18 = 0$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés d’un repère $\Oij$.

  1. Construire les points $E$ et $D$ tels que $\vect{CE}=-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}$ et $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$.
    $\quad$
  2. On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
    $\quad$
    b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. La figure dépend évidemment de l’emplacement des points $A$, $B$ et $C$.
    2nd - exos - vect - coord -ex8
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ on a :
    $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
    Ainsi $\vect{AB}(1;0)$, $\vect{AC}(0;1)$ $\vect{CB}(1;-1)$
    D’après la relation de Chasles on a :
    $\begin{align*}\vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\
    &=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\vect{AE}\left(-0+\dfrac{1}{2}\times 1;-1+\dfrac{1}{2}\times 0\right)$ soit $\vect{AE}(0,5;-1)$.
    Ainsi $E(0,5;-1)$.
    $\quad$
    $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$
    Par conséquent $\vect{AD}\left(\dfrac{5}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1;\dfrac{5}{2}\times 1+\dfrac{1}{2} \times (-1)\right)$ soit $\vect{AD}(0,5;2)$.
    Ainsi $D(0,5;2)$.
    $\quad$.
    b. D’une part $\vect{DE}(0;-3)$
    D’autre part $\vect{CA}(0;-1)$.
    On constate donc que $\vect{DE}=3\vect{CA}$.
    Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Autour des fonctions affines

Autour des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Calculatrice interdite

Exercice 1

Tracer, en justifiant, la représentation graphique de chacune des fonctions suivantes dans un repère différent.

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=1$ alors $f(1)=2\times 1-6=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;-4)$.
    – Si $x=4$ alors $f(4)=2\times 4-6=8-6=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(4;2)$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $g(-3)=-(-3)+1=3+1=4$
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;4)$.
    – Si $x=5$ alors $g(5)=-5+1=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;-4)$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $h$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $h(-4)=-4+3=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;-1)$.
    – Si $x=2$ alors $h(2)=2+3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.$\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $i$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $i(-4)=-2\times (-4)-3=8-3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;5)$.
    – Si $x=2$ alors $i(2)=-2\times 2-3=-4-3=-7$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;-7)$.$\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $j$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $j(-3)=\dfrac{1}{3}\times (-3)-2=-1-2=-3$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;-3)$.
    – Si $x=3$ alors $j(3)=\dfrac{1}{3}\times 3-2=1-2=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(3;-1)$.$\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $k$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times (-5)+4=2+4=6$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-5;6)$.
    – Si $x=5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times 5+4=-2+4=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;2)$.$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, dans chacun des cas, l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que :

  1. $f(2)=3$ et $f(4)=-7$
    $\quad$
  2. $f(-1)=2$ et $f(3)=5$
    $\quad$
  3. $f(3)=0$ et $f(-1)=2$
    $\quad$
  4. $f(-2)=4$ et $f(-5)=-3$
    $\quad$
  5. $f(-40)=7$ et $f(30)=8$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(2)-f(4)}{2-4}=\dfrac{3-(-7)}{-2}=\dfrac {3+7}{-2}=-\dfrac{10}{2}=-5$.
    Ainsi $f(x)=-5x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(2)=3 &\ssi -5\times 2+b=3 \\ \ssi -10+b=3 \\ \ssi b=13\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-5x+13$.
    Vérification : $f(4)=-5\times 4+13=-20+13=-7 \checkmark$
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-1)-f(3)}{-1-3}=\dfrac{2-5}{-4}=\dfrac {-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{3}{4}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-1)=2 &\ssi \dfrac{3}{4}\times (-1)+b=2 \\ \ssi -\dfrac{3}{4}+b=2 \\ \ssi b=2+\dfrac{3}{4}\\ \ssi b=\dfrac{11}{4}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{4}$
    Vérification : $f(3)=\dfrac{3}{4}\times 3+\dfrac{11}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}=\dfrac{20}{4}=5 \checkmark$
    $\quad$
  3. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{0-2}{3+1}=\dfrac {-2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(3)=0 &\ssi -\dfrac{1}{2}\times 3+b=0 \\ \ssi -\dfrac{3}{2}+b=0 \\ \ssi b=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
    Vérification : $f(-1)=-\dfrac{1}{2}\times (-1)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \checkmark$
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-2)-f(-5)}{-2-(-5)}=\dfrac{4-(-3)}{-2+5}=\dfrac {4+3}{3}=\dfrac{7}{3}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{7}{3}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-2)=4 &\ssi \dfrac{7}{3}\times (-2)+b=4 \\ \ssi -\dfrac{14}{3}+b=4 \\ \ssi b=4+\dfrac{14}{3}\\ \ssi b=\dfrac{26}{3}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{26}{3}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{7}{3}\times (-5)+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{35}{3}+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{9}{3}=-3 \checkmark$
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-40)-f(30)}{-40-30}=\dfrac{7-8}{-70}=\dfrac {-1}{-70}=\dfrac{1}{70}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{1}{70}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-40)=7 &\ssi \dfrac{1}{70}\times (-40)+b=7 \\ \ssi -\dfrac{4}{7}+b=7 \\ \ssi b=7+\dfrac{4}{7}\\ \ssi b=\dfrac{53}{7}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{1}{70}x+\dfrac{53}{7}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{1}{70}\times 30+\dfrac{53}{7}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{53}{7}=-\dfrac{56}{7}=8 \checkmark$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dire dans chacun des cas si le point $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $f(1)=3\times 1-5=3-5=-2$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $f(-2)=-2\times (-2)+1=4+1=5 \neq -3$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $f(-1)=2\times (-1)+4=-2+4=2\neq -2$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $f(4)=\dfrac{2}{3}\times 4+\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{15}{3}=5$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Généralités sur les vecteurs

Généralités sur les vecteurs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré. Les points $I,J,K,L$ sont les milieux des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$. $O$ est le centre du carré.

Compléter le tableau.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} & & & & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} &\text{oui} &\text{oui} & \text{non}& \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} &\text{oui} & \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} &\text{non} &\text{non} &\text{oui} & \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} &\text{oui} &\text{non} & \text{non} & \text{non} \\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Sur la grille ci-dessous placer les points $H,B,K,L$ tels que :

$$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{RH} \qquad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{PR} \qquad \overrightarrow{KP} = \overrightarrow{CR} \qquad \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LH}$$
2nd - exo - vecteurs 1 - ex2

Correction Exercice 2

2nd - exo - vecteurs 1 - ex2-1

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

$ABCD$, $CDGH$ et $BCFE$ sont des parallélogrammes.
Déterminer tous les vecteurs égaux aux vecteurs :
$$\begin{array}{llll}\textbf{1. }\vect{AB}&\hspace{1.5cm}\textbf{2. } \vect{GC}&\hspace{1.5cm}\textbf{3. }\vect{DJ}&\hspace{1.5cm}\textbf{4. }\vect{BF}\end{array}$$

Correction Exercice 3

On a :

$\vect{AB}=\vect{BE}=\vect{DC}=\vect{CF}=\vect{HG}$

$\vect{GC}=\vect{HD}=\vect{DA}=\vect{CB}=\vect{FE}$

$\vect{DJ}=\vect{JB}=\vect{CI}=\vect{IE}=\vect{HK}=\vect{KC}$

$\vect{BF}=\vect{AC}=\vect{DG}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère le rectangle $ABCD$ et les milieux $E$ et $F$ des côtés $[AB]$ et $[CD]$.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex4

Compléter les pointillés :
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B\ldots} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{F\ldots}$$

Correction Exercice 4

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{ED} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{EA} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FA}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle.

Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$.

Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{BE}$? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 4

2nd - exo - vecteurs 1 - ex3

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ donc $ADBC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$ donc $ABEC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$

Ainsi $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$

[collapse]

$\quad$

2nd – Exercices – Identités remarquables – Divers

Identités remarquables – Divers

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

On considère l’expression $A = (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x)^2+2\times 4\times 3x+4^2-\left(-6x^2+3x-8x+4\right) \\
    &=9x^2+24x+16-\left(-6x^2-5x+4\right)\\
    &=9x^2+24x+16+6x^2+5x-4\\
    &=15x^2+29x+12\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)(3x+4)-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)\left[(3x+4)-(-2x+1)\right] \\
    &=(3x+4)(3x+4+2x-1)\\
    &=(3x+4)(5x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $A=0\ssi (3x+4)(5x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}3x+4=0&\text{  ou  }&5x+3=0 \\
    \ssi 3x=-4&&\ssi 5x=-3\\
    \ssi x=-\dfrac{4}{3}&&\ssi x=-\dfrac{3}{5}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ alors :
    $\begin{align*} A&=15\times (-1)^2+29\times (-1)+12\\
    &=15-29+12\\
    &=-2\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère l’expression $B=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.

  1. Développer et réduire $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $B$ pour $x=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Factoriser $B$.
    $\quad$
  4. Résoudre $B=0$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3\\
    &=3x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=\dfrac{1}{2}$
    On a alors :
    $\begin{align*} A&=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}-2 \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{6}{4}\\
    &=-\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=(x+1)(x+1)+(x+1)(2x-3)\\
    &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
    &=(x+1)(x+1+2x-3)\\
    &=(x+1)(3x-2)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $B=0\ssi (x+1)(3x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+1=0&\text{  ou  }&3x-2=0 \\
    \ssi x=-1&&\ssi 3x=2\\
    &&\ssi x=\dfrac{2}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère l’expression $C=(2x-1)^2-16$.

  1. Calculer $C$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $C$.
    $\quad$
  3. Factoriser $C$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(2x-5)(2x+3)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
    $\begin{align*} C&=\left(2\times \dfrac{1}{2}-1\right)^2-16 \\
    &=(1-1)^2-16\\
    &=-16\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x)^2-2\times 1\times 2x+1^2-16\\
    &=4x^2-4x+1-16\\
    &=4x^2-4x-15\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x-1)^2-4^2\\
    &=\left[(2x-1)-4\right]\left[(2x-1)+4\right] \\
    &=(2x-5)(2x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(2x-5)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}2x-5=0&\text{  ou  }&2x+3=0 \\
    \ssi 2x=5&&\ssi 2x=-3\\
    x=\dfrac{5}{2}&&\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4    Difficulté +

On considère l’expression $D = (2x-7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $D$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $D$.
    $\quad$
  3. Résoudre $D=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D$ pour $x=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x)^2-7^2\\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x-7)(2x+7)\\
    &=(2x-7)\left[(2x-7)+(2x+7)\right] \\
    &=(2x-7)4x\\
    &=4(2x-7)x\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x)^2-2\times 7\times 2x+7^2+4x^2-49\\
    &=4x^2-28x+49+4x^2-49\\
    &=8x^2-28x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $D=0\ssi 4(2x-7)x=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&2x-7=0 \\
    &&\ssi 2x=7\\
    &&\ssi x=\dfrac{7}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  4. Si $x=3$ alors $D=4(2\times 3-7)\times 3=12\times (-1)=-12$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

On pose $E = (3x+ 5)^2-(3x-5)^2$.

  1. Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  2. Calculer $E$ pour $x= 30$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $E = 30$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*} E&= (3x+ 5)^2-(3x-5)^2 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2-\left((3x)^2-2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
    &=9x^2+30x+25-\left(9x^2-30x+25\right) \\
    &=60x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=30$ alors $E=60\times 30=1~800$
    $\quad$
  3. $E=30 \ssi 60x=30\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

On pose $F = 9x^2+30x+25$.

  1. Calculer $F$ pour $x=0$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $F = 25$.
    $\quad$
  3. Factoriser $F$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $F = 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Si $x=0$ alors $F=9\times 0^2+30\times 0+25=25$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} F=25&\ssi 9x^2+30x+25=25\\
    &\ssi 9x^2+30x=0 \\
    &\ssi 3x(3x+10)=0\\
    &\ssi x(3x+10)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&3x+10=0 \\
    &&\ssi 3x=-10\\
    &&\ssi x=-\dfrac{10}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $-\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} F &= 9x^2+30x+25 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2 \\
    &=(3x+5)^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} F=0&\ssi (3x+5)^2=0 \\
    &\ssi 3x+5=0\\
    &\ssi 3x=-5\\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Dans chacun des cas résoudre l’équation $A= 0$.

  1. $A = (2x-3)^2-(x+2)^2$
    $\quad$
  2. $A = (x-1)^2-9$
    $\quad$
  3. $A = 4x^2-9$
    $\quad$
  4. $A = (x+1)^2-(4x+1)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Il faut tout d’abord factoriser cette expression.
    $\begin{align*} A &= (2x-3)^2-(x+2)^2 \\
    &= \left[(2x-3)-(x +2)\right]\left[(2x-3)+(x+2)\right]\\
    &=(x-5)(3x-1)\end{align*}$
    On est alors ramené à résoudre l’équation produit $(x-5)(3x-1) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-5 = 0$ et $x = 5$
    Soit $3x-1 = 0$ et $x = \dfrac{1}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $5$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. On factorise également cette expression.
    $\begin{align*}A &= (x-1)^2-9 \\
    &= (x-1)^2-3^2 \\
    &= (x-1-3)(x-1+3)\\
    &=(x-4)(x+2)\end{align*}$
    On doit donc résoudre l’équation produit $(x-4)(x+2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-4 = 0 $ et $x = 4$
    Soit $x+2 = 0$ et $x = -2$
    Les solutions de l’équation sont donc $4$ et $-2$.
    $\quad$
  3. On doit encore factoriser cette expression.
    $A = 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = (2x-3)(2x+3)$
    On résout donc l’équation produit $(2x-3)(2x+3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $2x-3 = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$
    Soit $2x+3 = 0$ et $x = -\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. Factorisons cette expression.
    $\begin{align} A &= (x+1)^2 -(4x+1)^2 \\
    &= \left[(x+1)-(4x+1)\right] \left[(x+1)+(4x+1)\right] \\
    &= -3x(5x + 2)
    \end{align}$
    On résout maintenant l’équation produit $-3x(5x + 2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $-3x =0$ et $x = 0$
    Soit $5x + 2 = 0$ et $x = -\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équations sont donc $-\dfrac{2}{5}$ et $0$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Un rectangle a un périmètre égal à $20$ cm. Déterminer ses dimensions pour que son aire soit égale à $25$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On appelle $x$ la longueur du rectangle.
Le périmètre du rectangle est égal à $20$ cm. Par conséquent la largeur $\ell$ de ce rectangle vérifie $x+\ell=10 \ssi \ell=10-x$.

On est donc ramené à résoudre l’équation suivante :
$\begin{align*} x(10-x)=25 &\ssi 10x-x^2=25 \\
&\ssi x^2-10x+25=0\\
&\ssi x^2-2\times 5\times x+5^2=0\\
&\ssi (x-5)^2=0 \\
&\ssi x-5=0\\
&\ssi x=5\end{align*}$

Le rectangle est finalement un carré dont les côtés mesures $5$ cm.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=7$ cm et $BC=5$ cm et un point $M$ appartenant au segment $[AB]$. On note $AM=x$ avec $(0<x<5)$.
On a placé sur la figure les points $N,P$ et $Q$ tels que $AM=BN=CP=DQ$.

Déterminer, en justifiant votre démarche, la valeur de $x$ telle que l’aire $\mathscr{A}$ du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 9

On a $DQ=CP=BN=AM=x$ donc $CN=AQ=5-x$ et $MB=DP=7-x$
Les triangles $AMQ$ et $CPN$ on la même aire $\mathscr{A}_1=\dfrac{AM\times AQ}{2}=\dfrac{x(5-x)}{2}$ .
Les triangles $DQP$ et $BMN$ on la même aire $\mathscr{A}_2=\dfrac{BM\times BN}{2}=\dfrac{x(7-x)}{2}$ .
Par conséquent l’aire du quadrilatère $MNPQ$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=5\times 7-\left(2\times \dfrac{x(5-x)}{2}+2\times \dfrac{x(7-x)}{2}\right) \\
&=35-\left(5x-x^2+7x-x^2\right) \\
&=35-12x+2x^2
\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*}
2x^2-12x+35=17&\ssi 2x^2-12x+18=0 \\
&\ssi 2\left(x^2-6x+9\right)=0 \\
&\ssi 2(x-3)^2=0\\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x-3=0
\end{align*}$

La solution de cette équation est $3$.

De plus $0<3<5$. On doit donc donner la valeur $3$ à $x$ pour que l’aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

On considère deux nombres réels $a$ et $b$ quelconque.

  1. Montrer que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
    $\quad$
  2. En déduire l’expression développée et réduite de $\left(5x^2+3\right)^3$.
    $\quad$
  3. En utilisant la question 1. et sans tout développer donner l’expression développée et réduite de $(a-b)^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^3&=(a+b)^2(a+b) \\
    &=\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\\
    &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3\\
    &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On utilise la propriété précédente avec $a=5x^2$ et $b=3$.
    On obtient :
    $\begin{align*}
    \left(5x^2+3\right)^3&=\left(5x^2\right)^3+3\left(5x^2\right)^2\times 3+3\times 5x^2\times 3^2+3^3 \\
    &=125x^6+225x^4+135x^2+27
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}
    (a-b)^3&=\left(a+(-b)\right)^3 \\
    &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Quand on veut calculer le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est $5$, on multiplie le nombre de dizaines par son successeur et on ajoute, à droite de l’écriture décimale du produit, le nombre $25$.

Exemple : On veut calculer le carré de $205$.
Il y a $20$ dizaines.
Or $20\times (20+1)=420$
On ajoute $25$ à droite de l’écriture décimale de $420$ et on obtient alors que $205^2=42~025$.

En remarquant qu’un nombre se terminant par $5$ peut s’écrire sous la forme $10\times a+5$, où $a$ est un entier naturel, démontrer cette propriété.

$\quad$

Correction Exercice 11

On a $(10\times a+5)^2=(10a)^2+2\times 10a\times 5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$

On a donc $a(a+1)$ centaines et $25$ unités; ce qu’il fallait démontrer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12

On considère trois nombres réels $a$, $b$ et $c$.
Donner une expression développée et réduite de $(a+b+c)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 12

$\begin{align*} (a+b+c)^2&=\left(a+(b+c)\right)^2 \\
&=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\
&=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\
&=a^x+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13    Difficulté +

On considère l’expression $G=x^2+6x-7$.

  1. Compléter l’égalité $G=(x+3)^2-\ldots$
    $\quad$
  2. En déduire une factorisation de $G$.
    $\quad$
  3. Résoudre alors l’équation $G=0$.
    $\quad$
  4. En adoptant la même démarche, résoudre les équations suivantes :
    a. $x^2+4x-21=0$
    $\quad$
    b. $x^2+11x+30=0$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour répondre à cette question, on peut suivre (au moins) deux pistes.
    Piste 1
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x+3^2-3^2-7 \qquad (*)\\
    &=(x+3)^2-9-7\\
    &=(x+3)^2-16\end{align*}$
    À l’étape $(*)$ on fait apparaître une identité remarquable dont avait $2$ des $3$ termes.
    $\quad$
    Piste 2
    $(x+3)^2=x^2+6x+9$
    Donc $x^2+6x=(x+3)^2-9$
    Et $G=x^2+6x-7=(x+3)^2-9-7=(x+3)^2-16$.
    $\quad$
    Remarque : Cette écriture de $G$ est appelée sa forme canonique.
    $\quad$
  2. On a ainsi :
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=(x+3)^2-16\\
    &=(x+3)^2-4^2\\
    &=\left[(x+3)-4\right]\left[(x+3)+4\right] \\
    &=(x-1)(x+7)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $G=0 \ssi (x-1)(x+7)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-1=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=1&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $-7$.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} x^2+4x-21=0&\ssi x^2+2\times 2\times x-21=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+2^2-2^2-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-4-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-25=0\\
    &\ssi (x+2)^2-5^2=0\\
    &\ssi \left[(x+2)-5\right]\left[(x+2)+5\right]=0\\
    &\ssi (x-3)(x+7)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-3=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=3&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $3$ et $-7$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} x^2+11x+30=0&\ssi x^2+2\times 5,5\times x+30=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 5,5\times x+5,5^2-5,5^2+30=0 \\
    &\ssi (x+5,5)^2-30,25+30=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25^2=0\\
    &\ssi \left[(x+5,5)-0,5\right]\left[(x+5,5)+0,5\right]=0\\
    &\ssi (x+5)(x+6)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+5=0&\text{  ou  }&x+6=0 \\
    x=-5&&\ssi x=-6\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $-6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 14    Difficulté +

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ désigne un carré de côté $1$. $M$ est un point sur le segment $[AB]$. La perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AC]$ en $E$ et le segment $[DC]$ en $G$. On note $F$ le point tel que $AMEF$ soit un carré.
Déterminer la position du point $M$ telle que le carré $AMEF$ et le triangle $CGE$ aient la même aire.

Correction Exercice 14

  • On appelle $x$ la longueur $AM$. Le nombre $x$ appartient donc à l’intervalle $[0;1]$.
    L’aire du carré $AMEF$ est donc $\mathscr{A}_1=x^2$.
  • $G$ appartient au segment $[DC]$. Par conséquent $GC=1-x$. De même $GE=1-x$.
    L’aire du triangle $CGE$ est donc $\mathscr{A}_2=\dfrac{(1-x)^2}{2}$.
  • On veut que :
    $$\begin{array}{clll}\mathscr{A}_1=\mathscr{A}_2&\ssi x^2=\dfrac{(1-x)^2}{2} \\
    &\ssi x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2 \\
    &\ssi x=\dfrac{1-x}{\sqrt{2}} & \text{ou} & x=-\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\\
    &\ssi x\sqrt{2}=1-x & \text{ou} & x\sqrt{2}=x-1 \\
    &\ssi x\sqrt{2}+x=1 & \text{ou} & x\sqrt{2}-x=-1 \\
    &\ssi x\left(\sqrt{2}+1\right)=1 & \text{ou} & x\left(\sqrt{2}-1\right)=-1\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} & \text{ou} & x=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}
    \end{array}$$
    Or $\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}<0$
    Donc le point $M$ doit se trouver à $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ de $A$.

Remarque : Pour résoudre l’équation $x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2$ on pouvait également écrire que :
$x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\ssi x^2-\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2=0$ et factoriser cette expression à l’aide de l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\quad$

[collapse]