TES/TL – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

ES/L – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d’établir que:

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
    risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  •  $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1.  Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients qui acceptent de prendre le produit.

  1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$ à $\ldots$}\\
    \hspace{1.cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
    $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer à partir de quelle année le nombre de médecin est inférieur à $210~000$.
    $\quad$
  7. Sur le long terme combien de médecins la France comptera-t-elle selon cette modélisation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $$f(x) = (200x – 300)\text{e}^{-x-1} + 10$$
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;6]$, $$f^{\prime}(x) = (500-200x)\text{e}^{-x-1}$$
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
    $\quad$
  4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

  1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?
    $\quad$
  2. Démontrer que sur l’intervalle $[1;2]$ l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(20; 0,4)$.
    a. $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
    d. $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. La solution de l’équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = \e^{3x}$ est:
    a. $\dfrac{2}{3}$
    b. $\dfrac{3}{2}$
    c. $1$
    d. $0$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
    Une autre expression de $f(x)$ est:
    a. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)= -x\e^{-x}$
    c. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x \e^{-x}$
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ le nombre $\e^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :
    a. $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$
    b. $\e^{3x}-\e^2$
    c. $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3$
    d. $\dfrac{1}{\e^{\frac{2}{3x}}}$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
  2. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
  3. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice on trouve que $u_{22}\approx 210,18$ et $u_{23}\approx 209,77$.
    Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$
  7.  On a $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=200$.
    Cela signifie donc que sur le long terme la France comptera $200~000$ médecins actifs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $[0;6]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}
    f'(x)&=200\e^{-x-1}+(200x-300)\times \left(-\e^{-x-1}\right) \\
    &=(200-200x+300)\e^{-x-1}\\
    &=(500-200x)\e^{-x-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $500-200x$.
    Or $500-200x=0 \ssi 500=200x\ssi x=2,5$
    Et $500-200x>0 \ssi 500>200x \ssi 2,5>x$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0)=300\e^{-1}+10$
    $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10$
    $f(6)=900\e^{-7}+10$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum en $2,5$.
    $f(2,5)\approx 16,039$
    Il faut donc vendre $250$ objets pour réaliser un bénéfice maximal environ égal à $\np{16039}$ euros.
    $\quad$
  4. On peut utiliser le réglage suivant :
    $x_{\text{min}}=0 \quad x_{\text{max}}=6 \quad y_{\text{min}}=-10 \quad y_{\text{max}}=17$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le graphique, $f(x)=0$ si $x\approx 1,1$. L’entreprise doit donc vendre au moins $110$ objets pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $f(0)\approx -100<0$ et $f(2,5)\approx 16>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[2,5;6]$ on a $f(x)\pg f(6) >0$
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 1,094$ soit $\alpha \approx 1,09$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. L’entreprise ne vend pas à perte dès qu’elle vend au moins $110$ objets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=\e^{3x}\ssi \e^{2x}=\e^{3x}\ssi 2x=3x\ssi x=0$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3=\e^{\frac{x}{2}\times 3}=\e^{\frac{3x}{2}}$
    Réponse c
    $\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance

Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance (AP)

Exercice 1

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses $14~000$ licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les $80$ adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club :
les $80$ adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
    $\quad$
  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. La fréquence observée est $f = \dfrac{66}{80}=0,825$
    $\quad$$
  2. $n=80 \pg 30$, $nf = 80 \times 0,825 = 66 \pg 5$ et $n(1-f) = 14 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de $p$ est :
    $$\begin{align} I_{80} &= \left[0,825 – \dfrac{1}{\sqrt{80}};0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \\\\
    & \approx [0,712;0,837]
    \end{align}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On rappelle qu’en France métropolitaine $0,6 \%$ des médecins pratiquent l’ostéopathie. Une région compte $47~000$ médecins dont $164$ médecins-ostéopathes.
On note $I$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.

  1. a. Vérifier que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Justifier que $I= [0,005~3; 0,006~7]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Peut-on considérer que pour la pratique de l’ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en
    France métropolitaine ? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. $n= 47~000 \pg 30$ , $np = 47~000 \times 0,006 = 282 \pg 5$ et $n(1-p) = 46~718 \pg 5$
    Les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{47~000} &= \left[0,006-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}};0,006+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}} \right] \\\\
    & \approx 0,005~3;0,006~7]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{67}{47~000} \approx 0,0014 \notin I_{47~000}$ et $0,001~4 < 0,0053$.
    La région est donc défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.
Dans un établissement, parmi les $224$ étudiants inscrits à la préparation à ce concours, $26 \%$ ont été admis à la session de mai 2013.

On admet que dans cette population, on a également $60 \%$ des personnes qui se présentaient pour la première fois.

Le directeur de l’établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de $22 \%$, ne peut
être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l’enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l’ensemble des candidats.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ du pourcentage d’étudiants admis
    dans un groupe de $224$ personnes.
    $\quad$
  2. Que penser de l’affirmation du directeur de l’établissement ? Justifier.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $n=224 \pg 30$ ,$np = 224 \times 0,22 = 49,28 \pg 5$ et $n(1-p) = 174,72 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{224} &= \left[0,22 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}};0,22 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}} \right] \\\\
    & \approx [0,165;0,275]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est de $f=0,26 \in I_{224}$.
    On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonctions exponentielle et ln

Fonctions exponentielles et logarithmes (AP)

Exercice 1

Résoudre les inéquations suivantes, où $n$ est un entier naturel ;

  1. $2^n>7~000$
    $\quad$
  2. $0,9^n<0,001$
    $\quad$
  3. $70\times 1,1^n>500$
    $\quad$
  4. $1~500\times 0,8^n<750$
    $\quad$
  5. $3^{n-1}>6~200$
    $\quad$
  6. $630\times 1,03^{n-1}>6~000$
    $\quad$
  7. $3~000\times 0,97^{n+1}<100$
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 2^n>7~000 &\ssi n\ln 2> \ln 7~000\\& \ssi n> \dfrac{\ln 7~000}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 7~000}{\ln 2} \approx 12,8$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $13$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} 0,9^n<0,001 &\ssi n \ln 0,9<\ln 0,001\\ &\ssi n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9}\end{align*}$ car $\ln 0,9<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9} \approx 65,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $66$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} 70\times 1,1^n>500 &\ssi 1,1^n > \dfrac{50}{7}\\ &\ssi n \ln 1,1>\ln \dfrac{50}{7} \\ &\ssi n>\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1} \approx 20,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $21$.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*}1~500\times 0,8^n<750 &\ssi 0,8^n < 0,5\\ &\ssi n \ln 0,8 < \ln 0,5\\ &\ssi n>\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\end{align*}$ car $\ln 0,8<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8} \approx 3,1$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $4$.
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*}3^{n-1}>6~200 &\ssi (n-1) \ln 3 > \ln 6~200\\ &\ssi n-1>\dfrac{\ln 6~200}{\ln 3}\\ &\ssi n>1+\dfrac{6~200}{\ln 3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{6~200}{\ln 3} \approx 8,9$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}630\times 1,03^{n-1}>6~000 &\ssi 1,03^{n-1}> \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi (n-1)\ln 1,3 > \ln \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi n-1>\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\\
    &\ssi n >1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3} \approx 9,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $10$.
    $\quad$
  7. On a
    $\begin{align*}3~000\times 0,97^{n+1}<100 &\ssi 0,97^{n+1}<\dfrac{1}{30}\\
    &\ssi (n+1)\ln 0,97 < \ln \dfrac{1}{30}\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}\\
    &\ssi n >\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1\approx 110,7$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $111$.
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119 \ssi 0,6^n>17 \ssi n \ln 0,6> \ln 17$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $n\ln 0,6<0$ et $\ln 17>0$.
    Cette inéquation n’a donc pas de solution.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x\ln x$.

  1. Quel est sont domaine de définition?
    $\quad$
  2. Déterminer son tableau de variation sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{10};1\right]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=1\times\ln x + x\times \dfrac{1}{x} = \ln x +1$
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0 &\ssi \ln x+1\pg 0 \\
    &\ssi\ln x \pg -1\\
    &\ssi x \pg \e^{-1}
    \end{align*}$
    $\e^{-1} \approx 0,37 > \dfrac{1}{10}$. On obtient donc le tableau de signe suivant :

    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0;10]$ par : $$B(x)=x+4\e^{-x}-5$$ où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d’euros.

  1. a. Déterminer $B'(x)$, où $B’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $B'(x)$ s’annule uniquement pour $x=\ln(4)$.
    $\quad$
    c. Calculer les valeurs exactes de $B(0)$, $B(10)$ et $B\left(\ln(4)\right)$.
    $\quad$
    d. Dresser et compléter le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1;10]$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $B'(x)=1+4\times (-1)\e^{-x}=1-4\e^{-x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} B'(x)=0 &\ssi 1-4\e^{-x}=0\\
    &\ssi 4\e^{-x}=1 \\
    &\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x=\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x=-\ln 4\\
    &\ssi x=\ln 4\end{align*}$
    $\quad$c. $B(0)=0+4\times 1-5=-1$
    $B(10)=10+4\e^{-10}-5=5+4\e^{-10}$
    $\begin{align*} B\left(\ln 4\right)&=\ln 4+4\e{-\ln 4}-5\\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{\e^{\ln 4}}-5 \\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{4}-5 \\
    &=\ln4+1-5\\
    &=\ln4-4\end{align*}$
    $\quad$
    d. $\begin{align*} B'(x)>0 &\ssi 1-4\e^{-x}>0\\
    &\ssi 4\e^{-x}<1 \\
    &\ssi \e^{-x}<\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x<\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x<-\ln 4\\
    &\ssi x>\ln 4\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. a. La fonction $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $B\left(\ln 4\right)=\ln4-4<0$ et $B(10)=5+4\e^{-10}>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 4,97$.
    $\quad$
  3. D’après les questions précédentes $B(x)\pg 0 \ssi x\pg \alpha$.
    L’entreprise doit produire et vendre au moins $497$ unités pour être bénéficiaire.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On définit la fonction $f$ par l’expression $$f(x)=3x\ln x-9x+10$$

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’expression de sa fonction dérivée est : $f'(x)=3\ln x-6$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $f'(x)\pg 0$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;20]$.
    $\quad$
  5. Combien l’équation $f(x)=0$ a-t-elle de solution sur l’intervalle $[1;20]$?
    Donner leur valeur approchée au dixième près.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=3\times \ln x+3x\times\dfrac{1}{x}-9\\
    &=3\ln x+3-9\\
    &=3\ln x-6\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0&\ssi 3\ln x-6\pg 0\\
    &\ssi 3\ln x\pg 6\\
    & \ssi \ln x\pg 2\\
    &\ssi x\pg \e^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $f(1)=3\times 0-9+10=1$
    $f\left(\e^2\right)=3\e^2\times 2-9\e^2+10=6\e^2-9\e^2+10=10-3\e^2$.
    $f(20)=60\ln 20-180+10=60\ln 20-170$
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $f(1)=1>0$ et $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$ et $f(20)\approx 9,7>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $\quad$
    À l’aide de la calculatrice on obtient $\alpha \approx 1,2$ et $\beta \approx 16,4$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonction logarithme népérien

Fonctions logarithme népérien (AP)

Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations avec exponentielle

  1. $\e^x=5$
    $\quad$
  2. $5\e^x=10$
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9$
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    $\quad$
  5. $\e^{2x+3}=1$
    $\quad$
  6. $\e^x<10$
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1$
    $\quad$
  8. $3\e^{2x}>12$
    $\quad$
  9. $2\e^{x-3}-5<1$
    $\quad$
  10. $-2\e^{-3x}\pg -8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\e^x=5 \ssi \e^x=\e^{\ln 5} \ssi x=\ln 5$
    La solution de l’équation est $\ln 5$.
    $\quad$
  2. $5\e^x=10 \ssi \e^x=2 \ssi \e^x=\e^{\ln 2}\ssi x=\ln 2$
    La solution de l’équation est $\ln 2$.
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9 \ssi \e^x=14 \ssi \e^x=\e^{\ln 14} \ssi x=\ln 14$
    La solution de l’équation est $\ln 14$.
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \e^{2x+3}=1&\ssi \e^{2x+3}=\e^0 \\
    &\ssi 2x+3=0\\
    &\ssi 2x=-3\\
    &\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  6. $\e^x<10 \ssi \e^x < \e^{\ln 10} \ssi x<\ln 10$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;\ln 10[$.
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1 \ssi \e^{-x}\pp e^0\ssi -x \pp 0 \ssi x\pg 0$
    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} 3\e^{2x}>12 & \ssi \e^{2x}>4 \\
    &\ssi \e^{2x}> \e^{\ln 4} \\
    &\ssi 2x > \ln 4 \\
    &\ssi x > \dfrac{\ln 4}{2}\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]\dfrac{\ln 4}{2};+\infty\right[$.
    Remarque : On a $\dfrac{\ln 4}{2}=\ln \left(\sqrt{4}\right)=\ln 2$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*} 2\e^{x-3}-5<1&\ssi 2\e^{x-3}<6 \\
    &\ssi \e^{x-3}<3 \\
    &\ssi \e^{x-3}<\e^{\ln 3} \\
    &\ssi x-3<\ln 3\\
    &\ssi x<3+\ln 3 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;3+\ln 3]$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*}-2\e^{-3x}\pg -8 &\ssi \e^{-3x} \pp 4 \\
    &\ssi \e^{-3x} \pp \e^{\ln 4} \\
    &\ssi -3x \pp \ln 4 \\
    &\ssi x\pg-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left[-\dfrac{\ln 4}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations avec logarithme

  1. $\ln x=3$
    $\quad$
  2. $5\ln x=35$
    $\quad$
  3. $\ln(2x-3)=1$
    $\quad$
  4. $\ln(3-2x)=-4$
    $\quad$
  5. $\ln(1-x)=\ln(x+3)$
    $\quad$
  6. $\ln x<5$
    $\quad$
  7. $\ln x\pg -3$
    $\quad$
  8. $\ln(x+2)<-2$
    $\quad$
  9. $14-2\ln x>0$
    $\quad$
  10. $-2-4\ln(x-5)>0$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x=3 \ssi \ln x=\ln \left(\e^3\right) \ssi x=\e^3$
    La solution de l’équation est $\e^3$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x=35 \ssi \ln x=7 \ssi \ln x=\ln \left(\e^7\right) \ssi x=\e^7$
    La solution de l’équation est $\e^7$.
    $\quad$
  3. Il faut que $2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
    $\begin{align*} \ln(2x-3)=1&\ssi \ln(2x-3)=\ln \e \\
    &\ssi 2x-3=\e \\
    &\ssi 2x=3+\e\\
    &\ssi x=\dfrac{3+\e}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3+\e}{2} \in \left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3+\e}{2}$.
    $\quad$
  4. Il faut que $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$.
    Sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$,
    $\begin{align*} \ln(3-2x)=-4 &\ssi \ln(3-2x)=\ln\left(\e^{-4}\right) \\
    &\ssi 3-2x=\e^{-4} \\
    &\ssi -2x=\e^{-4}-3\\
    & \ssi x=\dfrac{3-\e^{-4}}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}\in \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}$.
    $\quad$
  5. Il faut que $1-x>0$ et $x+3>0$
    C’est-à-dire $x<1$ et $x>-3$.
    Sur l’intervalle $]-3;1[$,
    $\begin{align*} \ln(1-x)=\ln(x+3) &\ssi 1-x=x+3 \\
    &\ssi -2=2x \\
    &\ssi x=-1 \end{align*}$
    $-1\in ]-3;1[$.
    La solution de l’équation est donc $-1$.
    $\quad$
  6. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x<5 \ssi \ln x< \ln \left(\e^5\right) \ssi x<\e^5$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]0;\e^5\right[$.
    $\quad$
  7. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x\pg -3 \ssi \ln x \pg \ln\left(\e^{-3}\right) \ssi x \pg \e^{-3}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left[\e^{-3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  8. Il faut que $x+2>0 \ssi x>-2$.
    Sur l’intervalle $]-2;+\infty[$,
    $\begin{align*} \ln(x+2)<-2 &\ssi \ln(x+2)<\ln \left(\e^{-2}\right)  \\
    &\ssi x+2<\e^{-2} \\
    &\ssi x<\e^{-2}-2\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-2;\e^{-2}-2\right[$.
    $\quad$
  9. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} 14-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>-14 \\
    &\ssi \ln x<7 \\
    &\ssi \ln x<\ln\left(\e^7\right) \\
    &\ssi x<\e^7 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]0;\e^7\right[$.
    $\quad$
  10. Il faut que $x-5>0 \ssi x>5$.
    Sur l’intervalle $]5;+\infty[$,
    $\begin{align*}-2-4\ln(x-5)>0 &\ssi -4\ln(x-5)>2 \\
    &\ssi \ln(x-5)<-\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \ln(x-5)<\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    &\ssi x-5<\e^{-\frac{1}{2}} \\
    &\ssi x<5+\e^{-\frac{1}{2}} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]5;5+\e^{-\frac{1}{2}}\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Dresser le tableau de signes des expressions suivantes :
    a. $f(x)=\e^x-1$
    $\quad$
    b. $g(x)=2\e^{-3x}-8$
    $\quad$
  2. Étudier le signe des expressions suivantes sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    a. $f(x)=2\ln x+4$
    $\quad$
    b. $g(x)=5\ln x-20$
    $\quad$
    c. $h(x)=-5-3\ln x$
    $\quad$
    d. $i(x)=(x-2)\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8=0 &\ssi 2\e^{-3x}=8 \\
    &\ssi \e^{-3x}=4 \\
    &\ssi -3x=\ln 4 \\
    &\ssi x=-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8>0 &\ssi 2\e^{-3x}>8 \\
    &\ssi \e^{-3x}>4 \\
    &\ssi -3x>\ln 4 \\
    &\ssi x<-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $2\ln x+4=0\ssi 2\ln x=-4\ssi \ln x=-2\ssi x=\e^{-2}$
    $2\ln x+4>0\ssi 2\ln x>-4\ssi \ln x>-2\ssi x>\e^{-2}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x-20=0 \ssi 5\ln x=20 \ssi \ln x =4 \ssi x=\e^4$
    $5\ln x-20>0 \ssi 5\ln x>20 \ssi \ln x >4 \ssi x>\e^4$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $-5-3\ln x=0\ssi-3\ln x=5\ssi \ln x=-\dfrac{5}{3}\ssi x=\e^{-5/3}$
    $-5-3\ln x>0\ssi-3\ln x>5\ssi \ln x<-\dfrac{5}{3}\ssi x<\e^{-5/3}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour chaque fonction, donner son domaine de définition et dresser son tableau de variation.

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln x+x \\
    &=x(2\ln x+1)
    \end{align*}$
    Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
    Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln x+1$.
    $\quad$
    $\begin{align*} 2\ln x+1=0 &\ssi 2\ln x=-1\\
    &\ssi \ln x=-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln x+1>0 &\ssi 2\ln x>-1\\&\ssi \ln x>-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
    &=\ln x+1-2 \\
    &=\ln x-1
    \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln x-1=0 \\
    &\ln x=1 \\
    &x=\e\end{align*}$ $\quad$et$\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln x-1>0 \\
    &\ln x>1 \\
    &x>\e\end{align*}$
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
    Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ n dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
    On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
    $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
    Les deux racines réelles sont :
    $x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

  1. Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$ et $\ln 10$.
    $A=\ln 100$
    $\quad$
    $B=\ln 30$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000$
    $\quad$
    $D=\ln 8+\ln 6$
    $\quad$
  2. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul logarithme.
    $A=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7$
    $\quad$
    $C=3\ln 2+\ln 3$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $A=\ln 100=\ln\left(10^2\right)=2\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 30=\ln\left(3\times 10\right)=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000=\ln\left(10^3\right)=3\ln 10$
    $\quad$
    $\begin{align*} D&=\ln 8+\ln 6\\
    &=\ln\left(2^3\right)+\ln(2\times 3)\\
    &=3\ln 2+\ln 2+\ln 3\\
    &=4\ln 2 +\ln 3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A=\ln 3+\ln 10=\ln(3\times 10)=\ln 30$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7=\ln \dfrac{28}{7}=\ln 4$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=3\ln 2+\ln 3\\
    &=\ln \left(2^3\right)+\ln 3\\
    &=\ln 8+\ln 3\\
    &=\ln(8\times 3)\\
    &=\ln 24\end{align*}$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7=\ln \sqrt{3}-\ln 7=\ln\dfrac{\sqrt{3}}{7}$
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – QCM et Vrai/Faux au bac

QCM et Vrai/Faux

TES/TL – BAC 2018

Exercice 1 (Pondichéry – Mai 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 (Liban – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
    Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
    $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
    &=1-2P(X \pp 649) \\
    &\approx 0,683
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Amérique du Nord – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\ds \int_2^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient $8$ carreaux d’aire $1$ u.a. et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $2$ unités.
    Donc l’aire est au mois égale à $8+\dfrac{2\times 1}{2}=9$.
    De plus le domaine est compris dans un rectangle mesurant $2\times 5$ unités.
    Par conséquent $9 \pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\ln(x)-x$.
    $G'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)=g(x)$.
    $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln(1)=0$.
    Donc $\ln(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 (Centres étrangers – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 (Antilles Guyane – Juin 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 (Métropole – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 (Asie – Juin 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8 (Polynésie – Juin 2018)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9 (Antilles Guyane – Septembre 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

  1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
    a. $(−7−7x)\e^x$
    b. $−7\e^x$
    c. $−7x\e^x$
    d. $(−7x +7)\e^x$
    $\quad$
  2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
    a. $3 < A < 4$
    b. $5 < A < 6$
    c. $A < 0$
    d. $A > 7$
    $\quad$
  3. On a :
    a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
    c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
    d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
    $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

  1. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
    a. $0,385$
    b. $0,084$
    c. $0,885$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
    a. $p \approx 0,885$
    b. $p \approx 0,115$
    c. $p \approx 0,385$
    d. $p \approx 0,501$
    $\quad$
  3. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
    a. $k = 19$
    b. $k = 29$
    c. $k = 20$
    d. $k = 14$
    $\quad$
Correction Exercice 9

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10 (Polynésie – Septembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

Correction Exercice 10

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11 (Métropole – Septembre 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
Correction Exercice 11

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 12 (Amérique du Sud – Novembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

  1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
    Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

  1. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

  1. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

  1. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$

Correction Exercice 12

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 13 (Nouvelle-Calédonie – Novembre 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 14 (Nouvelle-Calédonie – Mars 2019)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.
    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$
Correction Exercice 14

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

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$\quad$

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

  1. On a représenté ci-dessous les graphiques de deux lois normales. Déterminer leur espérance.

    $\quad$
  2. Le graphique ci-dessous donne la loi normale $\mathscr{N}\left(0;2^2\right)$.

    On a représenté ci-dessous dans le désordre trois lois normales : $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$ ; $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$ et $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$.
    Associer à chaque courbe sa loi.

    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Loi 1 : La droite d’équation $x=0$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_1=0$.
    Loi 2 : La droite d’équation $x=6$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_2=6$.
    $\quad$
  2. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe représentant la fonction de densité est “évasée”.
    Par conséquent  :
    – la loi 1 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$;
    – la loi 2 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$;
    – la loi 3 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(25;9\right)$.

  1. Calculer $P(20<X<25)$ (arrondir au millième).
    $\quad$
  2. En déduire $P(X<20)$ et $P(X>30)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

On a $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$.

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(20<X<25) \approx 0,452$.
    $\quad$
  2. $P(X<20)=0,5-P(20<X<25) \approx 0,048$
    $\begin{align*} P(X>30)&=0,5-P(25<X<30)\\
    &=0,5-P(20<X<25) \\
    &\approx 0,048\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma$. On donne $P(X<45)=0,2$. On arrondira les résultats au millième.

  1. Déterminer $P(45<X<55)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On sait que $\mu=50$ donc :
    $P(X<45)=P(X<50-5)=P(X>50+5)=P(X>55)$.
    Par conséquent :
    $P(45<X<55)=1-\left(P(X<45)+P(X>55)\right)=0,6$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a donc :
    $\begin{align*} P(45<X<55)=0,6&\ssi P(-5<X-50<5)=0,6\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<\dfrac{X-50}{\sigma}<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)-1=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=1,6 \\
    &\ssi P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,8\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{5}{\sigma}\approx 0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    $\begin{align*} P(X<45)=0,2&\ssi P\left(X-50<-5\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-50}{\sigma}<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(Y<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{5}{\sigma}\approx -0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un lot de Kiwis a été calibré. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque Kiwis pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(90;3^2\right)$.
On prélève un kiwi au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que sa masse soit comprise entre $81$ g et $99$ g?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que sa masse soit inférieure à $87$ g?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On a $\sigma^2=3^2$ donc $\sigma=3$.

  1. D’après la calculatrice $P(81<M<99)\approx 0,997$
    On peut également remarquer que :
    $P(81<M<99)= P(\mu-3\sigma<M<\mu+3\sigma)\approx 0,997$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M<87)&=0,5-P(87<M<90) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une entreprise produit des sachets de lait en poudre de $500$ g. Selon le réglage de la machine les sachets ont une masse $M$ qui varie autour de $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(500;4\right)$.
On règle la balance de telle sorte qu’elle conserve tous les sachets dont la masse appartient à l’intervalle $500-\alpha<M<500+\alpha$ où $\alpha$ un réel strictement positif.

  1. Quelle valeur donner à $\alpha$ au centigramme près pour que $95\%$ des sachets soient conservés.
    $\quad$
  2. Quel pourcentage de sachet aura une masse $M$ inférieure à $495$ g?
    $\quad$

Pour améliorer la qualité de la production l’entreprise décide de régler la machine de façon à ce que moins de $1\%$ des sachets ait une masse inférieure à $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit alors une loi normale $\mathscr{N}(\mu,4)$.

  1. Déterminer $\mu$ pour atteindre l’objectif annoncé. (arrondir au centième).
    $\quad$
Correction Exercice 5

On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.

  1. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-500}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(500-\alpha<M<500+\alpha)=0,95&\ssi P(-\alpha<M-500<\alpha)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{M-500}{2}<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)-1=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=1,95 \\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,975\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{\alpha}{2}\approx 1,96$ soit $\alpha\approx 3,92$.
    $\quad$
  2. $P(M<495)=0,5-P(495<M<500)\approx 0,006$.
    Ainsi environ $0,6\%$ des sachets auront une masse inférieure à $495$ g.
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-\mu}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On veut que :
    $\begin{align*} P(M<500)<0,01 &\ssi P(M-\mu<500-\mu)<0,01 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{M-\mu}{2}<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{500-\mu}{2}\approx -2,326$ soit $500-\mu\approx -4,653$ et donc $\mu \approx 504,65$.
    $\quad$

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TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

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$\quad$

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
On donne $P(0<X<1,4)=0,42$ arrondie au centième.
Déterminer les probabilités suivantes sans utiliser la calculatrice.

  1. $P(X<1,4)$
    $\quad$
  2. $P(X<-1,4)$
    $\quad$
  3. $P(-1,4<X<1,4)$
    $\quad$
  4. $P(X=1,4)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(X<1,4)=P(X<0)+P(0<X<1,4)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  2. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$.
    Ainsi $P(X<-1,4)=P(X<0)-P(-1,4<X<0)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  3. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$
    $P(-1,4<X<1,4)=2P(0<X<1,4)=0,84$
    $\quad$
  4. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi à densité alors, pour tout réel $a$, on a $P(X=a)=0$.
    Donc $P(X=1,4)=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer une valeur des probabilités suivante à l’aide de la calculatrice. Les réponses seront arrondies au centième.

  1. $P(0<X<1)$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $P(0<X<1)\approx 0,34$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)\approx 0,68$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)\approx 0,48$
    $\quad$
  4. $P(X<1)=0,5+P(0<X<1)\approx 0,84$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)=0,5+P(-1<X<0)\approx 0,84$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)=0,5-P(-2<X<0)\approx 0,02$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Tous les résultats seront arrondis au centième.

  1. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,7$.
    $\quad$
  2. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-1<X<a)=0,6$.
    $\quad$
  4. Déterminer le réel $a$ tel que $P(0,5<X<a)=0,1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-a<X<a)=0,5$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx 0,52$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx -0,52$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(-1<X<a)=0,6&\ssi P(X<a)-P(X<-1)=0,6\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(X<-1)\\
    &\ssi P(X<a) = 0,6+0,5-P(-1<X<0)\\
    &\ssi P(X<a)=1,1-P(-1<X<0)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,76$.
    D’où $a\approx 0,70$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(0,5<X<a)=0,1&\ssi P(X<a)-P(X<0,5)=0,1\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+P(X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+0,5+P(0<X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(0<X<0,5)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,79$.
    D’où $a\approx 0,81$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(-a<X<a)=0,5 &\ssi 2\Phi(a)-1=0,5\\
    &\ssi 2\Phi(a)=1,5\\
    &\ssi \Phi(a)=0,75\end{align*}$
    D’où $a\approx 0,67$.

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$\quad$

Exercice 4

$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)^2$ avec $\mu=100$ et $\sigma=30$.
Déterminer les probabilités suivantes, arrondies au centième, à l’aide de la calculatrice.

  1. $P(100<X<110)$
    $\quad$
  2. $P(X<110)$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$
    $\quad$
  4. $P(90<X<110)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P(100<X<110)\approx 0,13$
    $\quad$
  2. $P(X<110)=0,5+P(100<X<110)\approx 0,63$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$\approx 0,63$
    $\quad$
  4. $P(90<X<100)=P(100<X<110)$ par symétrie.
    Donc $P(90<X<110)=P(100<X<110)\approx 0,26$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment utiliser la calculatrice comme pour la question 3.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité (AP)

Exercice 1

On donne la représentation de la fonction densité de probabilité $f$ définie sur l’intervalle $[0;2,5]$.
$X$ suit une loi de probabilité continue de densité $f$.

Déterminer graphiquement :

  1. $P(X<0,5)$
    $\quad$
  2. $P(X=1,5)$
    $\quad$
  3. $P(0,5 \pp X \pp 1,5)$
    $\quad$
  4. $P(X>2)$
    $\quad$
  5. $P(X \pg 1,5)$
    $\quad$
  6. $P(X>1)$
    $\quad$
  7. $P(X>2,5)$
    $\quad
Correction Exercice 1

  1. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X<0,5)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  2. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=1,5)=0$
    $\quad$
  3. Il s’agit de calculer l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent respectivement $1$ et $0,5$.
    Ainsi $P(0,5\pp X\pp 1,5)=1\times 0,5=0,5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X>2)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  5. On veut calculer l’aire d’un trapèze rectangle.
    On utilise la formule :
    $\mathscr{A}_{\text{trapèze}}=\dfrac{(\text{petite base $+$ grande base})\times\text{hauteur}}{2}$.
    Ainsi $P(X\pg 1,5)=\dfrac{(1+0,5)\times 0,5}{2}=0,375$
    $\quad$
  6. On utilise la même formule qu’à la question précédente.
    $P(X>1)=\dfrac{(1,5+1)\times 0,5}{2}=0,625$
    $\quad$
  7. La fonction de densité n’est définie que sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    Par conséquent $P(X\pg 2,5)=0$.
    $\quad

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$\quad$

Exercice 2

$X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$. On a $P(X<4)=0,1$ et $P(X>6)=0,3$.
Calculer :

  1. $P(4<X<6)$
    $\quad$
  2. $P(X<6)$
    $\quad$
  3. $P(X>4)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X\pg 3)$
    $\quad$
  6. $P(X=3)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $P(4<X<6)=1-\left(P(X<4)+P(X>6)\right)=1-(0,1+0,3)=0,6$
    $\quad$
  2. $P(X<6)=P(X\pp 0,6)=1-P(X>0,6)=1-0,3=0,7$
    $\quad$
  3. $P(X>4)=P(X\pg 4)=1-P(X<4)=1-0,1=0,9$
    $\quad$
  4. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$ et $1<3$.
    Donc $P(X<1)=0$.
    $\quad$
  5. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$.
    Donc $P(X\pg 3)=1$.
    $\quad$
  6. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=3)=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ telle que $f(x)=-x^2+\dfrac{8}{3}x$.

  1. Montrer que $f$ est une fonction densité de probabilité sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. $X$ est la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité continue de densité $f$.
    a. Calculer $P(X\pp 0,5)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(0,2<X<0,5)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    On a $f(x)=-x\left(x-\dfrac{8}{3}\right)$.
    Les deux racines de ce polynômes du second degré sont donc $0$ et $\dfrac{8}{3}>1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=-1<0$.
    Ainsi $f(x)$ est positif entre ses racines et $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\begin{align*}\int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(-x^2+\dfrac{8}{3}x\right)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{6}\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\\
    &=\dfrac{3}{3}\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(X\pp 0,5)&=\int_0^{0,5}f(x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2\\
    &=\dfrac{7}{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}P(0,2<X<0,5)&=\int_{0,2}^{0,5}f(x)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_{0,2}^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2-\left(-\dfrac{0,2^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,2^2\right)\\
    &=\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{600}\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

$X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$.

  1. Tracer la courbe représentant sa fonction de densité.
    $\quad$
  2. Donner l’expression de la fonction densité.
    $\quad$
  3. Calculer les probabilités suivantes :
    a. $P(X<6)$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)$
    $\quad$
    c. $P(X \pg 15)$
    $\quad$
    d. $P(X>0)$
    $\quad$
    e. $P(X>20)$
    $\quad$
    f. $P(X=12)$
    $\quad$
  4. Calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On obtient la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  2. La fonction de densité est définie par $f(x)=\dfrac{1}{18-3}=\dfrac{1}{15}$ sur l’intervalle $[3;18]$.
    $\quad$
  3. a. $P(X<6)=\dfrac{6-3}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)=\dfrac{9-4}{18-3}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    c. $P(X\pg 15)=P(15\pp X\pp 18)=\dfrac{18-15}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    d. $P(X>0)=P(X\pg 3)=P(3\pp X\pp 18)=1$
    $\quad$
    e. $P(X>20)=0$ puisque $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$ et que $18<20$.
    $\quad$
    f. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=12)=0$
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{3+18}{2}=10,5$.
    $\quad$

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TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=-x^2+x$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^1 f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,3}^{0,6} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\int_0^1 \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-0\\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient donc le graphique suivant :
    $\quad$
    Et
    $$\begin{align*} I&=\int_{0,3}^{0,6} \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0,3}^{0,6}\\
    &=0,108-0,036 \\
    &=0,072\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1,25]$ par $f(x)=0,8$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^{1,25} f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,25}^{0,75} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^{1,25} 0,8\dx \\
    &=\Big[0,8x\Big]_0^{1,25}\\
    &=1\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
    et
    $$\begin{align*} J&=\int_{0,25}^{0,75}0,8\dx\\
    &=\Big[0,8x\Big]_{0.25}^{0,75}\\
    &=0,6-0,2\\
    &=0,4\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer la valeur exacte de la valeur moyenne $M$ de chaque fonction sur l’intervalle consiédéré.

  1. $f(x)=2x-1$ sur $[0;4]$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^x$ sur $[-1;2]$.
    $\quad$
  3. $h(x)=-x^2+x$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 (2x-1)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left[x^2-x\right]_0^4 \\
    &=3\end{align*}$$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[-1;2]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^2 \e^x\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \Big[\e^x\Big]_{-1}^2 \\
    &=\dfrac{\e^2-\e^{-1}}{3}\end{align*}$$
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de $h$ sur l’intervalle $[0;1]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{1-0}\int_0^4 (-x^2+x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un véhicule accélère sur une ligne droite. L’augmentation de sa vitesse en fonction du temps $t$ (en secondes) est décrite par la fonction $v$ définie sur $[0;+\infty[$ par $v(t)=\dfrac{3t^2}{10}$ (en km/h).

  1. Calculer la vitesse initiale de ce véhicule en $t=0$.
    $\quad$
  2. Calculer la vitesse du véhicule au bout de $10$ secondes.
    Même question au bout de $20$ secondes.
    $\quad$
  3. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{0-10}$ de ce véhicule pendant les $10$ premières secondes de son mouvement?
    $\quad$
  4. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{10-20}$ de ce véhicule pendant les $10$ secondes suivantes?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Initialement la vitesse est $v(0)=\dfrac{3\times 0^2}{10}=0$ km/h.
    $\quad$
  2. Au bout de $10$ secondes la vitesse est $v(10)=\dfrac{3\times 10^2}{10}=30$ km/h.
    Au bout de $20$ secondes la vitesse est $v(20)=\dfrac{3\times 20^2}{10}=120$ km/h.
    $\quad$
  3. Pendant les $10$ premières secondes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{0-10}&=\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_0^{10}\\
    &=10\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$
  4. Pendant les $10$ secondes suivantes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{10-20}&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_{10}^{20}\\
    &=\dfrac{800-100}{10}\\
    &=70\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$