TES – Exercices – QCM

QCM

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$ :

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Le nombre de solutions sur l’intervalle $]0;10]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est égal à :
    a. $1$
    b. $2$
    c. $3$
    $\quad$
    Correction question 1

    La fonction $f$ change deux fois de sens de variation, pour $x\approx 0,5$ et $x\approx 5,5$.
    L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse b
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Le nombre réel $f'(7)$ est :
    a. nul
    b. strictement positif
    c. strictement négatif
    $\quad$
    Correction question 2

    La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5,5;10]$.
    Donc $f'(7)<0$.
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur $]0;10]$
    b. croissante sur $[4;7]$
    c. décroissante sur $[4;7]$
    $\quad$
    Correction question 3

    La fonction $f$ croît de moins en moins rapidement sur l’intervalle $[4;5,5]$ et décroît de plus en plus rapidement sur l’intervalle $[5,5;7]$.
    Donc $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[4;7]$.
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
    a. $0,512$
    b. $2,4$
    c. $0,262~144$
    d. $0,081~92$
    $\quad$
    Correction question 4

    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
    L’expérience est répétée $6$ fois. Les lances sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
    On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
    Réponse d
    $\quad$

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    $\quad$
  5. $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 2x\e^{x^2}$.
    La valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\dx$ est :
    a. $4\e^{4}-4\e^{-4}$
    b. $4\left(\e^{4}+\e^{-4}\right)$
    c. $0$
    d. $1$
    $\quad$
    Correction question 5

    Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{x^2}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(-2) \\
    &=\e^{4}-\e^{4}\\
    &=0
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$


$\quad$

  1. La courbe $\mathscr{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine $O$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$.

    On considère les points $P(1;3)$ et $R(4;6)$. Le point $Q$ a pour abscisse $\e$, avec $\e\approx 2,718$.
    Les points $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}$. La droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point $Q$.
    La droite $(PR)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $P$ et la droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $Q$.
    On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.$\quad$Parmi les trois proposition ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite $(PR)$?
    a. $y=2x+1$
    b. $y=x+2$
    c. $y=2x+2$
    $\quad$

    Correction question 6

    $P$ et $R$ n’ont pas la même abscisse donc le coefficient directeur de la droite $(PR)$ est $a=\dfrac{6-3}{4-1}=1$
    La seule équation qui vérifie cette information est $y=x+2$.
    Réponse b
    $\quad$

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    $\quad$
  2.  Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}_f$ d’ une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle $[0;7]$. Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2;5)$ et $B(4;6,8)$. La droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

    a.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ admet pour équation :
    Affirmation 1 : $y=-0,9x+3,2$
    Affirmation 2 : $y=0,9x+3,5$
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$
    Affirmation 4 : $y=1,8x+3,2$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : $\ds f(0) \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp f(5)$
    Affirmation 2 : $\ds 2 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 7$
    Affirmation 3 : $\ds 18 \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp 19$
    Affirmation 4 : $\ds 25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$
    Correction question 7

    a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{6,8-5}{4-2}=0,9$ donc $y=0,9x+b$.
    Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $5=0,9\times 2+b$ et $b=3,2$.
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$.
    $\quad$
    b. Une unité d’aire correspond à l’aire d’un carreau.
    En comptant le nombre de carreaux situés entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=7$ on obtient :
    Affirmation 4 : $25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$

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    $\quad$
  3. On écrit les deux algorithmes suivants :
    $$\begin{array}{ll}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    V \gets 10\\
    S \gets 10\\
    N \gets 0\\
    \text{Tant que }S \leqslant 50\\
    \quad V \gets 1,05 \times V\\
    \quad S \gets S + V\\
    \quad N \gets N + 1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } N\\ \hline
    \end{array}
    &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    V\gets 10\\
    S \gets 10\\
    \text{Pour $K$ allant de $1$ à $4$}\\
    \quad V \gets 1,05 \times V\\
    \quad S \gets S + V\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array} \\
    \textbf{algorithme }1&\textbf{algorithme }2
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Affirmation 1 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$
    Correction question 8

    a. L’algorithme 1 affiche le plus petit entier naturel $N$ tel que la somme des $N+1$ termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0=10$ et de raison $q=1,05$ soit inférieur à $50$.
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$.
    $\quad$
    b. L’algorithme 2 affiche la somme des $5$ premiers termes de la suite géométrique définie dans la question précédente.
    Donc $S=10\times \dfrac{1-1,05^5}{1,05}\approx 55,26$
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $55$ et $56$.
    $\quad$

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    $\quad$
  4. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
    On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu’on obtient.
    La probabilité $p(X = 1)$ d’obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:
    a. $0,08$
    b.  $0,17$
    c. $0,40$
    d. $0,80$
    $\quad$
    Correction question 9

    La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
    Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. On considère la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.
    La somme des $13$ premiers termes de cette suite vaut
    a. $4~095$
    b. $8~191$
    c. $\dfrac{1 – 2^{14}}{1 – 2}$
    $\quad$
    Correction question 10

    La somme des $13$ termes de cette suite vaut :
    $S=1 \times \dfrac{1-2^{13}}{1-2} = 8~191$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. La représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses $- 3$ et $0$.
    a.

    $f'(0) = – 1$
    b. $f'(-1) = 0$
    c. $f'(-3) = – 1$
    d. $f'(-3) = 3$
    $\quad$

    Correction question 11

    $f'(0)=0$ donc la réponse a est fausse.
    Il n’y a pas de tangente horizontale en $-1$. La réponse b est fausse.
    Le coefficient directeur de la tangente en $-3$ est négatif donc $f'(-3)<0$. La réponse d est fausse.
    La bonne réponse est la c.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. On considère la fonction $h$ définie sur $[0;7]$ et représentée par la courbe ci-dessous :

    a. $\displaystyle\int_0^5 h(x)\dx = h(5) – h(0)$
    b. $20 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\dx < 30$
    c. $15 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\dx < 20$
    d. $\displaystyle\int_0^5 h(x)\dx = 20$
    $\quad$
    Correction question 12

    $\displaystyle \int_0^1 h(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_h$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Au moins $21$ carré unité sont compris dans ce domaine.
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k\dsec$ d’une fonction $k$
    définie sur $[0;+ \infty[$.

    a. $k$ est concave sur l’intervalle $[1;2]$
    b. $k$ est convexe sur l’intervalle $[0;2]$.
    c. $k$ est convexe sur $[0;+ \infty[$
    d. $k$ est concave sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
    Correction question 13

    $k\dsec(x) \leqslant 0$ sur $[0;2]$ et donc en particulier sur $[1;2]$.
    $k$ est donc concave sur l’intervalle $[1;2]$.
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Le prix d’un produit est passé de $200$ €} à $100$ €.
    Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
    a. $50\%$
    b. $25\%$
    c. $29\%$
    d. $71\%$
    $\quad$
    Correction question 14

    On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $200\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=100$
    Soit $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=0,5$
    Donc $1-\dfrac{x}{100}=\sqrt{0,5}$
    D’où $\dfrac{x}{100}=1-\sqrt{0,5}$
    Et $x\approx 29$.
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle
    $[0;18]$.

    On peut affirmer que :
    a. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont négatives sur l’intervalle $[0 ; 2]$.
    b. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont négatives sur l’intervalle $[8;12]$.
    c. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[0;2]$.
    d. Toutes les primitives de la fonction $f$sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[8;12]$
    $\quad$
    Correction question 15

    La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[8;12]$.
    Donc toutes les primitives de $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[8;12]$.
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  11. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x + 3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f’$ est donnée par:
    a. $f'(x)=-2\e^{-2x+3}$
    b. $f'(x) = \e^{-2x+3}$
    c. $f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$
    d. $f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$
    $\quad$
    Correction question 16

    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x+3}-2(x+1)\e^{-2x+3} \\
    &=(1-2x-2)\e^{-2x+3} \\
    &=(-1-2x)\e^{-2x+3}
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  12. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f’$ soit aussi dérivable sur $\R$. La courbe ci-dessous représente la fonction $f\dsec$.

    On peut alors affirmer que :
    a. $f$ est convexe sur $[-2;2]$.
    b. $f$ est concave sur $[-2;2]$.
    c. La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ admet un point d’inflexion.
    d. $f’$ est croissante sur $[-2;2]$.
    $\quad$
    Correction question 17

    $f\prime\prime$ s’annule en changeant de signe en $1$.
    La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ possède donc un point d’inflexion.
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[- 1;5]$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ passe par le point $A(0;1)$ et par le point $B$ d’abscisse 1.
La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(2;3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l’axe des abscisses.

  1. La valeur exacte de $f'(1)$ est:
    a. $0$
    b. $1$
    c.$1,6$
    d. autre réponse
    $\quad$
    Correction question 18

    $f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $T_1$.
    Cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
    Donc $f'(1)=0$
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La valeur exacte de $f'(0)$ est:
    a. $0$
    b. $1$
    c. $1,6$
    d. autre réponse
    $\quad$
    Correction question 19

    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_0$, qui passe par les points $A$ et $C$.
    Donc $f'(0)=\dfrac{3-1}{2-0}=1$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La valeur exacte de $f(1)$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $1,6$
    d. autre réponse
    $\quad$
    Correction question 20

    On ne connaît pas précisément l’ordonnée de $B$ (on peut seulement lire qu’elle vaut environ $1,5$).
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx$ par des entiers naturels successifs est :
    a. $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 4$
    b. $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 3$
    c. $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 2$
    d. autre réponse
    $\quad$
    Correction question 21

    $\displaystyle \int_0^2 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=2$.
    Cette aire est comprise entre celle d’un rectangle de dimensions $2\times 1$ et celle d’un rectangle de dimensions $2\times 1,5$ ($1,5$ est une valeur approchée de l’ordonnée de $B$).
    Par conséquent $\displaystyle 2 \leqslant \int_0^2 f(x)\mathrm{d}x \leqslant 3$.
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.
    La somme $S = u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :
    a. $2\times \left(1-0,5^{10}\right)$
    b. $2\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    c. $800\times\left(1-0,5^{10}\right)$
    d. $800 \times \left(1-0.5^{11}\right)$
    $\quad$
    Correction question 22

    $\begin{align*} S_10&=u_0\times \dfrac{1-q^{11}}{1-q} \\
    &=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5} \\
    &=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5} \\
    &=800 \times \left(1-0,5^{11}\right)
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}\hline
    n \gets 0 \\
    U \gets 50 \\
    \text{Tant que } U < 120\\
    \hspace{0.4cm} U \gets 1,2\times U\\
    \hspace{0.4cm} n \gets n+1\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } $n$\\
    \hline
    \end{array}$$
    En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :
    a. $4$
    b. $124,416$
    c. $5$
    d. 96
    $\quad$
    Correction question 23

    Cet algorithme permet de déterminer le plus entier entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 120$ où $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=50$ et de raison $q=1,2$.
    On a donc $u_n=50\times 1,2^n$ pour tout entier naturel $n$.
    On peut, au choix :
    – essayer toutes les valeurs entières proposées;
    – faire calculer les $100$ premières valeurs de cette suite par la calculatrice;
    – résoudre l’équation $u_n \pg 120$ (c’est ce choix qui va être fait ici).
    $\begin{align*} u_n \pg 120 &\ssi 50 \times 1,2^n \pg 120 \\
    &\ssi 1,2^n \pg 2,4 \\
    &\ssi n\ln 1,2 \pg \ln 2,4 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2,4}{\ln 1,2} \\
    & \ssi n \pg 5
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f (x) = x\e^x$ ; la fonction $f$ est :
    a. concave sur $] -\infty; 0]$
    b. convexe sur $]-\infty;0]$
    c. concave sur $[0; +\infty]$
    d. convexe sur $[0;+\infty[$
    $\quad$
    Correction question 24

    La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=\e^x+xe^x$
    $f\prime\prime(x)=\e^x+\e^x+x\e^x = \e^x\left(2+x\right)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f\prime\prime(x)\pg 0 \ssi x\pg -2$.
    La fonction $f$ est convexe sur $[0;+\infty[$.
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. On considère l’équation d’inconnue $x$ : $$(3x + 1)\e^{5x} = 0$$
    Cette équation admet sur $\R$ :
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. plus de $3$ solutions
    $\quad$
    Correction question 25

    La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    Par conséquent $(3x+1)\e^x=0 \ssi 3x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$.
    L’équation possède $1$ solution sur $\R$.
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. On a constaté que, sur $10$ ans, le prix d’une certaine denrée a augmenté de $8\%$ par an.
    On peut affirmer que, sur $10$ ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de :
    a. $80\%$
    b. $116\%$
    c. $216\%$
    d. $43\%$
    $\quad$
    Correction question 26

    Chaque année le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{8}{100}=1,08$.
    Sur $10$ ans, le coefficient multiplicateur est $1,08^{10}\approx 2,16$
    Or $2,16=1+\dfrac{116}{100}$.
    Le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de $116\%$. Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

 

Bac Blanc ES/L – Février 2020

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2020 – Séries ES/L

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0~;~30]$ par: $$f(x) = x^3 – 39x^2 + 315x + 45$$On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative. On a alors:
    A. $f$ est convexe sur l’intervalle $[0;30]$.
    B. $f$ est concave sur l’intervalle $[5;21]$.
    C. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
    D. Si $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f’$ est croissante sur l’intervalle $[0;5]$ et sur l’intervalle $[21;30]$.
    $\quad$
  2. Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$.La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    A. $a=0$
    B. $a=1$
    C. $a=2$
    D. $a=3$
    $\quad$
  3. L’arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{30}$ est :
    A. $283,85$
    A. $984,07$
    A. $1~181,88$
    A. $1~419,26$
    $\quad$
  4. La solution dans $\R$ de l’équation $\e^{\frac{1}{x-2}+1}=1$ est :
    A. $3$
    B. $2$
    C. $1$
    D. $0$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2018, un arboriculteur possède $5~000$ pommiers. Chaque année:

  • il arrache $4\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
  • il replante $300$ nouveaux pommiers.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier de l’année $($2018$+ n)$.
On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = 5~000$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    Combien de pommiers possèdera l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier 2020 ?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-7~500$, pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = 7~500-2~500 \times 0,96^n$.
    $\quad$
  3. La superficie des terrains de l’arboriculteur lui permet d’avoir au maximum $6~000$ pommiers. L’arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.
    On considère l’algorithme ci-dessous
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \text{Ligne } 1 &  n\gets 0\\
    \text{Ligne } 2 & u\gets 5~000\\
    \text{Ligne } 3 & \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \text{Ligne } 4 & \hspace{1cm} n \gets n+1\\
    \text{Ligne } 5 & \hspace{1cm} u \gets \ldots\ldots\\
    \text{Ligne } 6 & \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu’il réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Si l’évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

  • Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
  • Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

  • $L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
  • $M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.
  1. À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.

    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
    $\quad$
  4. Justifier que $P(M) = 0,513$.
    $\quad$
  5. Un organisateur affirme qu’au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
    $\quad$
  6. Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont:

  • le stand des vélos de routes $(R)$,
  • le stand des VTT $(T)$,
  • le stand des BMX $(B)$,
  • le stand de l’habillement $(H)$,
  • le stand des compteurs et GPS $(C)$,
  • le stand des accessoires et pièces détachées $(A)$.

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ: les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

  1. Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
    $\quad$
  2. Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d’arrivée.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise qui fournit le stand des compteurs et GPS en objets connectés et dispose des résultats antérieurs suivant :

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre d’objets connectés en milliers}&1&3&5 \\
\hline\text{Coût total annuel de production en centaines d’euros}&~~~11~~~&27,4&~~~83~~~\\
\hline\end{array}$

$\quad$

Le coût total de production des objets connectés est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ;10]$ par $C(x)=ax^3+bx^2+c x+10$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers d’objets connectés produits, $C(x)$ est le coût total annuel de production en centaines d’euros.

  1. Justifier que le triplet $(a,b,c)$ est solution du système suivant : $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$.
    $\quad$
  2. On pose $X=\begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}$, déterminer les matrices $A$ et $B$ qui permettent d’écrire le système précédent sous la forme matricielle $AX=B$.
    $\quad$
  3. Résoudre le système. On détaillera la résolution.
    $\quad$
  4. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût de production pour $8~000$ objets connectés produits.

$\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

La courbe $(\mathscr{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;19]$, représente l’audience journalière d’une chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 (année numéro $0$) et le 1$\ier$ janvier 2019 (année numéro $19$), c’est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.

 

Ainsi, le 1$\ier$ janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ $460~000$ téléspectateurs.

  1. Décrire l’évolution de l’audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 et le 1$\ier$ janvier 2019.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014.
    $\quad$
  3. La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(0;460)$ et $B(3; 82)$, est la tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
    Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathscr{C})$?
    $\quad$

Partie B

On cherche maintenant à prévoir l’évolution de l’audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.
On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$f(x)= (20 x^2-80 x + 460) \e^{-0,1x}$$
où $x$ représente le nombre d’années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l’année 2019).

  1. Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1$\ier$ janvier 2014.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$.
    a. Démontrer que $f’$ est définie par: $$f'(x)= (-2 x^2 +48 x-126) \e^{-0,1x}$$
    $\quad$
    b. On considère l’équation: $-2 x^2 +48 x-126=0$.
    Un logiciel de calcul formel donne:
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Instruction:} & \textbf{Résultat:}\\
    \hline
    \text{Solve}(-2 x^2+48 x-126=0) & \hspace{2.5cm} 3 \text{ et } 21\\
    \hline
    \end{array}$$
    Retrouver ce résultat par le calcul.
    $\quad$
    c. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;29]$ et construire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$. Arrondir les éléments du tableau à l’unité.
    $\quad$
    d. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l’année 2029? Justifier.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[3;21]$. Déterminer un encadrement d’amplitude $1$ de $\alpha$.
    Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il $800~000$ ?
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$F(x)=(-200x^2-3~200x-36~600)\e^{-0,1x}$$
    est une primitive de la fonction $f$.
    Déterminer à mille près l’audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019.
    $\quad$

$\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur l’intervalle $[0;30]$ en  tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $f'(x)=3x^2-78x+315$
    $f\dsec(x)=6x-78$
    Or $6x-78=0 \ssi 6x=78 \ssi x=13$
    et $6x-78>0 \ssi 6x>78 \ssi x>13$
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe pour $x=13$.
    La courbe $\mathscr{C}$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est
    $\begin{align*} m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\displaystyle \int_{-1}^a \left(-x^3+3x^2-1\right)\dx\\
    &= \dfrac{1}{a+1}\left[-\dfrac{x^4}{4}+x^3-x\right]_{-1}^a \\
    &=\dfrac{\dfrac{a^4}{4}+a^3-a-\dfrac{1}{4}}{a+1}\end{align*}$On teste les différentes valeurs et si $a=1$ on trouve $m_a=0$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a $1+1,2+1,2^2+\ldots 1,2^{30}=\dfrac{1-1,2^{31}}{1-1,2}\approx 1~419,26$
    Réponse D
    $\quad$
  4. $\e^{\frac{1}{x-2}+1}=0 \ssi \dfrac{1}{x-2}+1=0 \ssi \dfrac{1}{x-2}=-1 \ssi -(x-2)=1 \ssi -x+2=1 \ssi x=1$Réponse C
    $\quad$

     

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,96u_0+300=0,96\times 5~000+300=5~100$
    $u_2=0,96u_1+300=0,96\times 5~100+300=5~196$
    Au 1$\ier$ janvier 2020 l’arboriculteur aura $5~196$ pommiers.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-7~500$ donc $u_n=v_n+7~500$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-7~500 \\
    &=0,96u_n+300-7~500 \\
    &=0,96u_n-7~200 \\
    &=0,96\left(v_n+7~500\right)-7~200\\
    &=0,96v_n+7~200-7~200\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-7~500=-2~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+7~500=7~500-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \text{Ligne }1& n\leftarrow 0 \\
    \text{Ligne }2&u\leftarrow 5~000\\
    \text{Ligne }3&\text{Tant que }u\pp 6~000\\
    \text{Ligne }4& \hspace{1cm} n\leftarrow n+1 \\
    \text{Ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,96\times u+300\\
    \text{Ligne }6&\text{Fin tant que} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les valeurs prises par les variables $n$ et $u$ (arrondies à l’unité)
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u\\
    \hline
    0 &5~000\\
    \hline
    1 &5~100\\
    \hline
    2 &5~196\\
    \hline
    3 &5~288\\
    \hline
    4 &5~377\\
    \hline
    5 &5~462\\
    \hline
    6 &5~543\\
    \hline
    7 &5~621\\
    \hline
    8 &5~697\\
    \hline
    9 &5~769\\
    \hline
    10 &5~838\\
    \hline
    11 &5~904\\
    \hline
    12 &5~968\\
    \hline
    13 &6~029\\
    \hline
    \end{array}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ a la valeur $13$.
    Cela signifie qu’il faut $13$ années à l’arboriculteur pour atteindre sa capacité maximale.
    $\quad$
  4. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7~500$.
    À terme, cet arboriculteur possèdera $7~500$ pommiers selon ce modèle.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  3. On a$P(L\cap M)=0,7\times 0,66=0,462$
    Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(M\cap L)+P\left(M\cap \conj{L}\right) \\
    &=0,462+0,3\times 0,17 \\
    &=0,462+0,051\\
    &=0,513\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_M(L)&=\dfrac{P(M\cap L)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,462}{0,513} \\
    &\approx 0,900~6\end{align*}$
    Par conséquent au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de $5$ heures sont licenciés dans un club.
    L’organisateur a donc raison.
    $\quad$
  6. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il y a $2$ issues : $M$ et $\conj{M}$.
    De plus $p(M)=0,513$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,513$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}\times 0,513^4\times (1-0,513)^6 \approx 0,194$
    La probabilité qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,194$
    $\quad$
    c. on veut calculer $P(X \pp 3)=\approx 0,151$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,151$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Partie A

  1. Les sommets $B$ et $A$ ne sont pas adjacents. Ce graphe n’est donc pas complet.
    Le cycle $A-C-H-B-R-T-A$ contient tous les sommets du graphe. Il est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de tous les sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&H&R&T\\
    \hline
    \text{Degré}&4&2&3&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets ont un degré impair. Le graphe est connexe et possède donc une chaîne eulérienne.
    Il est donc possible de visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées.
    On peut utiliser le trajet suivant : $C-H-A-C-R-B-H-T-R-A-T$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\bullet$ $C(1)=a+b+c+10=11 \ssi a+b+c=1$
    $\bullet$ $C(3)=27a+9b+3c+10=27,4 \ssi 27a+9b+3c=17,4$
    $\bullet$ $C(5)=125a+25b+5c+10=83 \ssi 125a+25b+5c=73$
    Le triplet $(a,b,c)$ est donc solution de $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$.
    $\quad$
  2. On note $A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\27&9&3\\125&25&5\end{bmatrix}$ et $B=\begin{bmatrix} 1\\17,4\\73 \end{bmatrix}$
    Le système $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$ est alors équivalent à $AX=B$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice, la matrice $A$ est inversible.
    Ainsi $AX=B \ssi X=A^{-1}B=\begin{bmatrix} 0,5\\0,4\\0,1\end{bmatrix}$
    $\quad$
  4. Ainsi $C(x)=0,5x^3+0,4x^2+0,1x+10$
    Et $C(8)=292,4$
    Selon cette modélisation, le coût de production pour $8~000$ objets connectés produit s’élève à $29~240$ euros.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le nombre de téléspectateurs a diminué entre les années 2000 et 2003 , passant de $460~000$ à environ $300~000$, puis a augmenté a augmenté de 2003 à 2019, passant d’environ $300~000$ à environ $910~000$.
    $\quad$
  2. En 2014, il y avait environ $800~000$ téléspectateurs.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$, tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{460-82}{0-3}=-126$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(14)=\left(20\times 14^2-80\times 14+460\right)\e^{-1,4}\approx 804$.
    Il y avait donc environ $804~000$ téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014$.
    $\quad$
  2. a. La fonction est dérivable sur $[0;29]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;29]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(20\times 2x-80)\e^{-0,1x}+\left(20x^2-80x+460\right)\times (-0,1)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(40x-80-2x^2+8x-46\right)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(-2x^2+48x-126\right)\e^{-0,1x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère l’équation $-2x^2+48x-126=0$
    $\Delta=48^2-4\times (-2)\times (-126)=1~296>0$
    L’équation possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-48-\sqrt{1~296}}{-4}=21$ et $x_2=\dfrac{-48+\sqrt{1~296}}{-4}=3$
    On a bien retrouvé les valeurs fournies par le logiciel.
    $\quad$
    c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x^2+48x-12$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On a $f(3)=400\e^{-0,3}\approx 296$
    $f(21)= 7~600\e^{-2,1}\approx 931$
    $f(29)=14~960\e^{-2,9}\approx 823$
    $\quad$
    d. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;29]$ on a $f(x)\pp f(21)<1~000$.
    Le nombre journalier de téléspectateur de cette chaîne de télévision ne dépassera jamais la barre du million avant l’année 2029.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;21]$.
    $f(3)\approx 296 <800$ et $f(21) \approx 931 > 800$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=800$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[3;21]$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve $13<\alpha<14$.
    C’est donc au cours de l’année 2013 que le nombre journalier de téléspectateur de la chaîne de télévision dépassera $800~000$.
    $\quad$
  4. L’audience journalière moyenne de téléspectateur de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019 est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{19-18}\ds \int_{18}^{19} f(x)\dx  \\
    &=F(19)-F(18) \\
    &=-169~600\e^{-1,9}+159~000\e^{-1,8}\\
    &\approx 916\end{align*}$
    Sur cette période, l’audience journalière moyenne de la chaîne de télévision était d’environ $916~000$ de téléspectateur.
    $\quad$

 

 

 

TES/TL – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

ES/L – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet
d’établir que:

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits
    risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  •  $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1.  Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients qui acceptent de prendre le produit.

  1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$ à $\ldots$}\\
    \hspace{1.cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ :
    $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer à partir de quelle année le nombre de médecin est inférieur à $210~000$.
    $\quad$
  7. Sur le long terme combien de médecins la France comptera-t-elle selon cette modélisation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par $$f(x) = (200x – 300)\text{e}^{-x-1} + 10$$
Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;6]$, $$f^{\prime}(x) = (500-200x)\text{e}^{-x-1}$$
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).
    $\quad$
  4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

  1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?
    $\quad$
  2. Démontrer que sur l’intervalle $[1;2]$ l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(20; 0,4)$.
    a. $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième
    d. $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. La solution de l’équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = \e^{3x}$ est:
    a. $\dfrac{2}{3}$
    b. $\dfrac{3}{2}$
    c. $1$
    d. $0$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
    Une autre expression de $f(x)$ est:
    a. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)= -x\e^{-x}$
    c. $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x \e^{-x}$
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ le nombre $\e^{\frac{3x}{2}}$ est égal à :
    a. $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$
    b. $\e^{3x}-\e^2$
    c. $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3$
    d. $\dfrac{1}{\e^{\frac{2}{3x}}}$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
  2. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
  3. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice on trouve que $u_{22}\approx 210,18$ et $u_{23}\approx 209,77$.
    Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$
  7.  On a $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=200$.
    Cela signifie donc que sur le long terme la France comptera $200~000$ médecins actifs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal »

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $[0;6]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}
    f'(x)&=200\e^{-x-1}+(200x-300)\times \left(-\e^{-x-1}\right) \\
    &=(200-200x+300)\e^{-x-1}\\
    &=(500-200x)\e^{-x-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $500-200x$.
    Or $500-200x=0 \ssi 500=200x\ssi x=2,5$
    Et $500-200x>0 \ssi 500>200x \ssi 2,5>x$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0)=300\e^{-1}+10$
    $f(2,5)=200\e^{-3,5}+10$
    $f(6)=900\e^{-7}+10$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum en $2,5$.
    $f(2,5)\approx 16,039$
    Il faut donc vendre $250$ objets pour réaliser un bénéfice maximal environ égal à $\np{16039}$ euros.
    $\quad$
  4. On peut utiliser le réglage suivant :
    $x_{\text{min}}=0 \quad x_{\text{max}}=6 \quad y_{\text{min}}=-10 \quad y_{\text{max}}=17$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le graphique, $f(x)=0$ si $x\approx 1,1$. L’entreprise doit donc vendre au moins $110$ objets pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $f(0)\approx -100<0$ et $f(2,5)\approx 16>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[2,5;6]$ on a $f(x)\pg f(6) >0$
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 1,094$ soit $\alpha \approx 1,09$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. L’entreprise ne vend pas à perte dès qu’elle vend au moins $110$ objets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=\e^{3x}\ssi \e^{2x}=\e^{3x}\ssi 2x=3x\ssi x=0$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^3=\e^{\frac{x}{2}\times 3}=\e^{\frac{3x}{2}}$
    Réponse c
    $\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance

Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance (AP)

Exercice 1

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses $14~000$ licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les $80$ adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club :
les $80$ adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
    $\quad$
  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. La fréquence observée est $f = \dfrac{66}{80}=0,825$
    $\quad$$
  2. $n=80 \pg 30$, $nf = 80 \times 0,825 = 66 \pg 5$ et $n(1-f) = 14 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de $p$ est :
    $$\begin{align} I_{80} &= \left[0,825 – \dfrac{1}{\sqrt{80}};0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \\\\
    & \approx [0,712;0,837]
    \end{align}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On rappelle qu’en France métropolitaine $0,6 \%$ des médecins pratiquent l’ostéopathie. Une région compte $47~000$ médecins dont $164$ médecins-ostéopathes.
On note $I$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.

  1. a. Vérifier que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Justifier que $I= [0,005~3; 0,006~7]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Peut-on considérer que pour la pratique de l’ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en
    France métropolitaine ? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. $n= 47~000 \pg 30$ , $np = 47~000 \times 0,006 = 282 \pg 5$ et $n(1-p) = 46~718 \pg 5$
    Les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{47~000} &= \left[0,006-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}};0,006+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}} \right] \\\\
    & \approx 0,005~3;0,006~7]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{67}{47~000} \approx 0,0014 \notin I_{47~000}$ et $0,001~4 < 0,0053$.
    La région est donc défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.
Dans un établissement, parmi les $224$ étudiants inscrits à la préparation à ce concours, $26 \%$ ont été admis à la session de mai 2013.

On admet que dans cette population, on a également $60 \%$ des personnes qui se présentaient pour la première fois.

Le directeur de l’établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de $22 \%$, ne peut
être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l’enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l’ensemble des candidats.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ du pourcentage d’étudiants admis
    dans un groupe de $224$ personnes.
    $\quad$
  2. Que penser de l’affirmation du directeur de l’établissement ? Justifier.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $n=224 \pg 30$ ,$np = 224 \times 0,22 = 49,28 \pg 5$ et $n(1-p) = 174,72 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{224} &= \left[0,22 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}};0,22 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}} \right] \\\\
    & \approx [0,165;0,275]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est de $f=0,26 \in I_{224}$.
    On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonctions exponentielle et ln

Fonctions exponentielles et logarithmes (AP)

Exercice 1

Résoudre les inéquations suivantes, où $n$ est un entier naturel ;

  1. $2^n>7~000$
    $\quad$
  2. $0,9^n<0,001$
    $\quad$
  3. $70\times 1,1^n>500$
    $\quad$
  4. $1~500\times 0,8^n<750$
    $\quad$
  5. $3^{n-1}>6~200$
    $\quad$
  6. $630\times 1,03^{n-1}>6~000$
    $\quad$
  7. $3~000\times 0,97^{n+1}<100$
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 2^n>7~000 &\ssi n\ln 2> \ln 7~000\\& \ssi n> \dfrac{\ln 7~000}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 7~000}{\ln 2} \approx 12,8$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $13$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} 0,9^n<0,001 &\ssi n \ln 0,9<\ln 0,001\\ &\ssi n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9}\end{align*}$ car $\ln 0,9<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9} \approx 65,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $66$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} 70\times 1,1^n>500 &\ssi 1,1^n > \dfrac{50}{7}\\ &\ssi n \ln 1,1>\ln \dfrac{50}{7} \\ &\ssi n>\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1} \approx 20,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $21$.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*}1~500\times 0,8^n<750 &\ssi 0,8^n < 0,5\\ &\ssi n \ln 0,8 < \ln 0,5\\ &\ssi n>\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\end{align*}$ car $\ln 0,8<0$.
    Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8} \approx 3,1$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $4$.
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*}3^{n-1}>6~200 &\ssi (n-1) \ln 3 > \ln 6~200\\ &\ssi n-1>\dfrac{\ln 6~200}{\ln 3}\\ &\ssi n>1+\dfrac{6~200}{\ln 3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{6~200}{\ln 3} \approx 8,9$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}630\times 1,03^{n-1}>6~000 &\ssi 1,03^{n-1}> \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi (n-1)\ln 1,3 > \ln \dfrac{200}{21}\\
    &\ssi n-1>\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\\
    &\ssi n >1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3} \approx 9,6$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $10$.
    $\quad$
  7. On a
    $\begin{align*}3~000\times 0,97^{n+1}<100 &\ssi 0,97^{n+1}<\dfrac{1}{30}\\
    &\ssi (n+1)\ln 0,97 < \ln \dfrac{1}{30}\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}\\
    &\ssi n >\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1\approx 110,7$
    Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $111$.
    $\quad$
  8. $7\times 0,6^n>119 \ssi 0,6^n>17 \ssi n \ln 0,6> \ln 17$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $n\ln 0,6<0$ et $\ln 17>0$.
    Cette inéquation n’a donc pas de solution.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x\ln x$.

  1. Quel est sont domaine de définition?
    $\quad$
  2. Déterminer son tableau de variation sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{10};1\right]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=1\times\ln x + x\times \dfrac{1}{x} = \ln x +1$
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0 &\ssi \ln x+1\pg 0 \\
    &\ssi\ln x \pg -1\\
    &\ssi x \pg \e^{-1}
    \end{align*}$
    $\e^{-1} \approx 0,37 > \dfrac{1}{10}$. On obtient donc le tableau de signe suivant :

    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0;10]$ par : $$B(x)=x+4\e^{-x}-5$$ où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d’euros.

  1. a. Déterminer $B'(x)$, où $B’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $B'(x)$ s’annule uniquement pour $x=\ln(4)$.
    $\quad$
    c. Calculer les valeurs exactes de $B(0)$, $B(10)$ et $B\left(\ln(4)\right)$.
    $\quad$
    d. Dresser et compléter le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1;10]$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $B'(x)=1+4\times (-1)\e^{-x}=1-4\e^{-x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} B'(x)=0 &\ssi 1-4\e^{-x}=0\\
    &\ssi 4\e^{-x}=1 \\
    &\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x=\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x=-\ln 4\\
    &\ssi x=\ln 4\end{align*}$
    $\quad$c. $B(0)=0+4\times 1-5=-1$
    $B(10)=10+4\e^{-10}-5=5+4\e^{-10}$
    $\begin{align*} B\left(\ln 4\right)&=\ln 4+4\e{-\ln 4}-5\\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{\e^{\ln 4}}-5 \\
    &=\ln 4+\dfrac{4}{4}-5 \\
    &=\ln4+1-5\\
    &=\ln4-4\end{align*}$
    $\quad$
    d. $\begin{align*} B'(x)>0 &\ssi 1-4\e^{-x}>0\\
    &\ssi 4\e^{-x}<1 \\
    &\ssi \e^{-x}<\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -x<\ln\dfrac{1}{4}\\
    &\ssi -x<-\ln 4\\
    &\ssi x>\ln 4\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. a. La fonction $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $B\left(\ln 4\right)=\ln4-4<0$ et $B(10)=5+4\e^{-10}>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 4,97$.
    $\quad$
  3. D’après les questions précédentes $B(x)\pg 0 \ssi x\pg \alpha$.
    L’entreprise doit produire et vendre au moins $497$ unités pour être bénéficiaire.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On définit la fonction $f$ par l’expression $$f(x)=3x\ln x-9x+10$$

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’expression de sa fonction dérivée est : $f'(x)=3\ln x-6$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $f'(x)\pg 0$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;20]$.
    $\quad$
  5. Combien l’équation $f(x)=0$ a-t-elle de solution sur l’intervalle $[1;20]$?
    Donner leur valeur approchée au dixième près.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=3\times \ln x+3x\times\dfrac{1}{x}-9\\
    &=3\ln x+3-9\\
    &=3\ln x-6\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f'(x)\pg 0&\ssi 3\ln x-6\pg 0\\
    &\ssi 3\ln x\pg 6\\
    & \ssi \ln x\pg 2\\
    &\ssi x\pg \e^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $f(1)=3\times 0-9+10=1$
    $f\left(\e^2\right)=3\e^2\times 2-9\e^2+10=6\e^2-9\e^2+10=10-3\e^2$.
    $f(20)=60\ln 20-180+10=60\ln 20-170$
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $f(1)=1>0$ et $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$ et $f(20)\approx 9,7>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
    $\quad$
    À l’aide de la calculatrice on obtient $\alpha \approx 1,2$ et $\beta \approx 16,4$.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonction logarithme népérien

Fonctions logarithme népérien (AP)

Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations avec exponentielle

  1. $\e^x=5$
    $\quad$
  2. $5\e^x=10$
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9$
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    $\quad$
  5. $\e^{2x+3}=1$
    $\quad$
  6. $\e^x<10$
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1$
    $\quad$
  8. $3\e^{2x}>12$
    $\quad$
  9. $2\e^{x-3}-5<1$
    $\quad$
  10. $-2\e^{-3x}\pg -8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\e^x=5 \ssi \e^x=\e^{\ln 5} \ssi x=\ln 5$
    La solution de l’équation est $\ln 5$.
    $\quad$
  2. $5\e^x=10 \ssi \e^x=2 \ssi \e^x=\e^{\ln 2}\ssi x=\ln 2$
    La solution de l’équation est $\ln 2$.
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9 \ssi \e^x=14 \ssi \e^x=\e^{\ln 14} \ssi x=\ln 14$
    La solution de l’équation est $\ln 14$.
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \e^{2x+3}=1&\ssi \e^{2x+3}=\e^0 \\
    &\ssi 2x+3=0\\
    &\ssi 2x=-3\\
    &\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  6. $\e^x<10 \ssi \e^x < \e^{\ln 10} \ssi x<\ln 10$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;\ln 10[$.
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1 \ssi \e^{-x}\pp e^0\ssi -x \pp 0 \ssi x\pg 0$
    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} 3\e^{2x}>12 & \ssi \e^{2x}>4 \\
    &\ssi \e^{2x}> \e^{\ln 4} \\
    &\ssi 2x > \ln 4 \\
    &\ssi x > \dfrac{\ln 4}{2}\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]\dfrac{\ln 4}{2};+\infty\right[$.
    Remarque : On a $\dfrac{\ln 4}{2}=\ln \left(\sqrt{4}\right)=\ln 2$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*} 2\e^{x-3}-5<1&\ssi 2\e^{x-3}<6 \\
    &\ssi \e^{x-3}<3 \\
    &\ssi \e^{x-3}<\e^{\ln 3} \\
    &\ssi x-3<\ln 3\\
    &\ssi x<3+\ln 3 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;3+\ln 3]$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*}-2\e^{-3x}\pg -8 &\ssi \e^{-3x} \pp 4 \\
    &\ssi \e^{-3x} \pp \e^{\ln 4} \\
    &\ssi -3x \pp \ln 4 \\
    &\ssi x\pg-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left[-\dfrac{\ln 4}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations avec logarithme

  1. $\ln x=3$
    $\quad$
  2. $5\ln x=35$
    $\quad$
  3. $\ln(2x-3)=1$
    $\quad$
  4. $\ln(3-2x)=-4$
    $\quad$
  5. $\ln(1-x)=\ln(x+3)$
    $\quad$
  6. $\ln x<5$
    $\quad$
  7. $\ln x\pg -3$
    $\quad$
  8. $\ln(x+2)<-2$
    $\quad$
  9. $14-2\ln x>0$
    $\quad$
  10. $-2-4\ln(x-5)>0$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x=3 \ssi \ln x=\ln \left(\e^3\right) \ssi x=\e^3$
    La solution de l’équation est $\e^3$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x=35 \ssi \ln x=7 \ssi \ln x=\ln \left(\e^7\right) \ssi x=\e^7$
    La solution de l’équation est $\e^7$.
    $\quad$
  3. Il faut que $2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
    $\begin{align*} \ln(2x-3)=1&\ssi \ln(2x-3)=\ln \e \\
    &\ssi 2x-3=\e \\
    &\ssi 2x=3+\e\\
    &\ssi x=\dfrac{3+\e}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3+\e}{2} \in \left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3+\e}{2}$.
    $\quad$
  4. Il faut que $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$.
    Sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$,
    $\begin{align*} \ln(3-2x)=-4 &\ssi \ln(3-2x)=\ln\left(\e^{-4}\right) \\
    &\ssi 3-2x=\e^{-4} \\
    &\ssi -2x=\e^{-4}-3\\
    & \ssi x=\dfrac{3-\e^{-4}}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}\in \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}$.
    $\quad$
  5. Il faut que $1-x>0$ et $x+3>0$
    C’est-à-dire $x<1$ et $x>-3$.
    Sur l’intervalle $]-3;1[$,
    $\begin{align*} \ln(1-x)=\ln(x+3) &\ssi 1-x=x+3 \\
    &\ssi -2=2x \\
    &\ssi x=-1 \end{align*}$
    $-1\in ]-3;1[$.
    La solution de l’équation est donc $-1$.
    $\quad$
  6. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x<5 \ssi \ln x< \ln \left(\e^5\right) \ssi x<\e^5$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]0;\e^5\right[$.
    $\quad$
  7. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x\pg -3 \ssi \ln x \pg \ln\left(\e^{-3}\right) \ssi x \pg \e^{-3}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left[\e^{-3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  8. Il faut que $x+2>0 \ssi x>-2$.
    Sur l’intervalle $]-2;+\infty[$,
    $\begin{align*} \ln(x+2)<-2 &\ssi \ln(x+2)<\ln \left(\e^{-2}\right)  \\
    &\ssi x+2<\e^{-2} \\
    &\ssi x<\e^{-2}-2\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-2;\e^{-2}-2\right[$.
    $\quad$
  9. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} 14-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>-14 \\
    &\ssi \ln x<7 \\
    &\ssi \ln x<\ln\left(\e^7\right) \\
    &\ssi x<\e^7 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]0;\e^7\right[$.
    $\quad$
  10. Il faut que $x-5>0 \ssi x>5$.
    Sur l’intervalle $]5;+\infty[$,
    $\begin{align*}-2-4\ln(x-5)>0 &\ssi -4\ln(x-5)>2 \\
    &\ssi \ln(x-5)<-\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \ln(x-5)<\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    &\ssi x-5<\e^{-\frac{1}{2}} \\
    &\ssi x<5+\e^{-\frac{1}{2}} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]5;5+\e^{-\frac{1}{2}}\right[$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Dresser le tableau de signes des expressions suivantes :
    a. $f(x)=\e^x-1$
    $\quad$
    b. $g(x)=2\e^{-3x}-8$
    $\quad$
  2. Étudier le signe des expressions suivantes sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    a. $f(x)=2\ln x+4$
    $\quad$
    b. $g(x)=5\ln x-20$
    $\quad$
    c. $h(x)=-5-3\ln x$
    $\quad$
    d. $i(x)=(x-2)\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8=0 &\ssi 2\e^{-3x}=8 \\
    &\ssi \e^{-3x}=4 \\
    &\ssi -3x=\ln 4 \\
    &\ssi x=-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8>0 &\ssi 2\e^{-3x}>8 \\
    &\ssi \e^{-3x}>4 \\
    &\ssi -3x>\ln 4 \\
    &\ssi x<-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $2\ln x+4=0\ssi 2\ln x=-4\ssi \ln x=-2\ssi x=\e^{-2}$
    $2\ln x+4>0\ssi 2\ln x>-4\ssi \ln x>-2\ssi x>\e^{-2}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x-20=0 \ssi 5\ln x=20 \ssi \ln x =4 \ssi x=\e^4$
    $5\ln x-20>0 \ssi 5\ln x>20 \ssi \ln x >4 \ssi x>\e^4$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $-5-3\ln x=0\ssi-3\ln x=5\ssi \ln x=-\dfrac{5}{3}\ssi x=\e^{-5/3}$
    $-5-3\ln x>0\ssi-3\ln x>5\ssi \ln x<-\dfrac{5}{3}\ssi x<\e^{-5/3}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Pour chaque fonction, donner son domaine de définition et dresser son tableau de variation.

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln x+x \\
    &=x(2\ln x+1)
    \end{align*}$
    Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
    Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln x+1$.
    $\quad$
    $\begin{align*} 2\ln x+1=0 &\ssi 2\ln x=-1\\
    &\ssi \ln x=-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln x+1>0 &\ssi 2\ln x>-1\\&\ssi \ln x>-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
    &=\ln x+1-2 \\
    &=\ln x-1
    \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln x-1=0 \\
    &\ln x=1 \\
    &x=\e\end{align*}$ $\quad$et$\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln x-1>0 \\
    &\ln x>1 \\
    &x>\e\end{align*}$
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
    Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ n dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
    On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
    $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
    Les deux racines réelles sont :
    $x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

  1. Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$ et $\ln 10$.
    $A=\ln 100$
    $\quad$
    $B=\ln 30$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000$
    $\quad$
    $D=\ln 8+\ln 6$
    $\quad$
  2. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul logarithme.
    $A=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7$
    $\quad$
    $C=3\ln 2+\ln 3$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $A=\ln 100=\ln\left(10^2\right)=2\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 30=\ln\left(3\times 10\right)=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000=\ln\left(10^3\right)=3\ln 10$
    $\quad$
    $\begin{align*} D&=\ln 8+\ln 6\\
    &=\ln\left(2^3\right)+\ln(2\times 3)\\
    &=3\ln 2+\ln 2+\ln 3\\
    &=4\ln 2 +\ln 3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A=\ln 3+\ln 10=\ln(3\times 10)=\ln 30$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7=\ln \dfrac{28}{7}=\ln 4$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=3\ln 2+\ln 3\\
    &=\ln \left(2^3\right)+\ln 3\\
    &=\ln 8+\ln 3\\
    &=\ln(8\times 3)\\
    &=\ln 24\end{align*}$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7=\ln \sqrt{3}-\ln 7=\ln\dfrac{\sqrt{3}}{7}$
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – QCM et Vrai/Faux au bac

QCM et Vrai/Faux

TES/TL – BAC 2018

Exercice 1 (Pondichéry – Mai 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 (Liban – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
    Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
    $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
    &=1-2P(X \pp 649) \\
    &\approx 0,683
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Amérique du Nord – Mai 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\ds \int_2^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient $8$ carreaux d’aire $1$ u.a. et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $2$ unités.
    Donc l’aire est au mois égale à $8+\dfrac{2\times 1}{2}=9$.
    De plus le domaine est compris dans un rectangle mesurant $2\times 5$ unités.
    Par conséquent $9 \pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\ln(x)-x$.
    $G'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)=g(x)$.
    $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln(1)=0$.
    Donc $\ln(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 (Centres étrangers – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 (Antilles Guyane – Juin 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 (Métropole – Juin 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7 (Asie – Juin 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[\beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8 (Polynésie – Juin 2018)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 9 (Antilles Guyane – Septembre 2018)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

  1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
    a. $(−7−7x)\e^x$
    b. $−7\e^x$
    c. $−7x\e^x$
    d. $(−7x +7)\e^x$
    $\quad$
  2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
    a. $3 < A < 4$
    b. $5 < A < 6$
    c. $A < 0$
    d. $A > 7$
    $\quad$
  3. On a :
    a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
    c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
    d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
    $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

  1. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
    a. $0,385$
    b. $0,084$
    c. $0,885$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
    a. $p \approx 0,885$
    b. $p \approx 0,115$
    c. $p \approx 0,385$
    d. $p \approx 0,501$
    $\quad$
  3. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
    a. $k = 19$
    b. $k = 29$
    c. $k = 20$
    d. $k = 14$
    $\quad$
Correction Exercice 9

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10 (Polynésie – Septembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

Correction Exercice 10

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 11 (Métropole – Septembre 2018)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
Correction Exercice 11

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 12 (Amérique du Sud – Novembre 2018)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

  1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
    Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

  1. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

  1. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

  1. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$

Correction Exercice 12

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 13 (Nouvelle-Calédonie – Novembre 2018)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 14 (Nouvelle-Calédonie – Mars 2019)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.
    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$
Correction Exercice 14

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

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$\quad$

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

  1. On a représenté ci-dessous les graphiques de deux lois normales. Déterminer leur espérance.

    $\quad$
  2. Le graphique ci-dessous donne la loi normale $\mathscr{N}\left(0;2^2\right)$.

    On a représenté ci-dessous dans le désordre trois lois normales : $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$ ; $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$ et $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$.
    Associer à chaque courbe sa loi.

    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Loi 1 : La droite d’équation $x=0$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_1=0$.
    Loi 2 : La droite d’équation $x=6$ est un axe de symétrie pour la courbe. Son espérance est donc $\mu_2=6$.
    $\quad$
  2. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe représentant la fonction de densité est “évasée”.
    Par conséquent  :
    – la loi 1 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2^2\right)$;
    – la loi 2 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;1,5^2\right)$;
    – la loi 3 correspond à $\mathscr{N}\left(2,5;2,5^2\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(25;9\right)$.

  1. Calculer $P(20<X<25)$ (arrondir au millième).
    $\quad$
  2. En déduire $P(X<20)$ et $P(X>30)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

On a $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$.

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(20<X<25) \approx 0,452$.
    $\quad$
  2. $P(X<20)=0,5-P(20<X<25) \approx 0,048$
    $\begin{align*} P(X>30)&=0,5-P(25<X<30)\\
    &=0,5-P(20<X<25) \\
    &\approx 0,048\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma$. On donne $P(X<45)=0,2$. On arrondira les résultats au millième.

  1. Déterminer $P(45<X<55)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On sait que $\mu=50$ donc :
    $P(X<45)=P(X<50-5)=P(X>50+5)=P(X>55)$.
    Par conséquent :
    $P(45<X<55)=1-\left(P(X<45)+P(X>55)\right)=0,6$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a donc :
    $\begin{align*} P(45<X<55)=0,6&\ssi P(-5<X-50<5)=0,6\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<\dfrac{X-50}{\sigma}<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{5}{\sigma}<Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)-1=0,6 \\
    &\ssi 2P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=1,6 \\
    &\ssi P\left(P(Y<\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,8\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{5}{\sigma}\approx 0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    $\begin{align*} P(X<45)=0,2&\ssi P\left(X-50<-5\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-50}{\sigma}<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\\
    &\ssi P\left(Y<-\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,2\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{5}{\sigma}\approx -0,842$ soit $\sigma\approx 5,941$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un lot de Kiwis a été calibré. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque Kiwis pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(90;3^2\right)$.
On prélève un kiwi au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que sa masse soit comprise entre $81$ g et $99$ g?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que sa masse soit inférieure à $87$ g?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On a $\sigma^2=3^2$ donc $\sigma=3$.

  1. D’après la calculatrice $P(81<M<99)\approx 0,997$
    On peut également remarquer que :
    $P(81<M<99)= P(\mu-3\sigma<M<\mu+3\sigma)\approx 0,997$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M<87)&=0,5-P(87<M<90) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une entreprise produit des sachets de lait en poudre de $500$ g. Selon le réglage de la machine les sachets ont une masse $M$ qui varie autour de $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit une loi normale $\mathscr{N}\left(500;4\right)$.
On règle la balance de telle sorte qu’elle conserve tous les sachets dont la masse appartient à l’intervalle $500-\alpha<M<500+\alpha$ où $\alpha$ un réel strictement positif.

  1. Quelle valeur donner à $\alpha$ au centigramme près pour que $95\%$ des sachets soient conservés.
    $\quad$
  2. Quel pourcentage de sachet aura une masse $M$ inférieure à $495$ g?
    $\quad$

Pour améliorer la qualité de la production l’entreprise décide de régler la machine de façon à ce que moins de $1\%$ des sachets ait une masse inférieure à $500$ g. On considère que la variable aléatoire $M$ qui, à chaque sachet pris au hasard, associe sa masse en grammes suit alors une loi normale $\mathscr{N}(\mu,4)$.

  1. Déterminer $\mu$ pour atteindre l’objectif annoncé. (arrondir au centième).
    $\quad$
Correction Exercice 5

On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.

  1. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-500}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(500-\alpha<M<500+\alpha)=0,95&\ssi P(-\alpha<M-500<\alpha)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{M-500}{2}<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)-1=0,95\\
    &\ssi 2P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=1,95 \\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{\alpha}{2}\right)=0,975\end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{\alpha}{2}\approx 1,96$ soit $\alpha\approx 3,92$.
    $\quad$
  2. $P(M<495)=0,5-P(495<M<500)\approx 0,006$.
    Ainsi environ $0,6\%$ des sachets auront une masse inférieure à $495$ g.
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X=\dfrac{M-\mu}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On veut que :
    $\begin{align*} P(M<500)<0,01 &\ssi P(M-\mu<500-\mu)<0,01 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{M-\mu}{2}<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{500-\mu}{2}\right)<0,01 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{500-\mu}{2}\approx -2,326$ soit $500-\mu\approx -4,653$ et donc $\mu \approx 504,65$.
    $\quad$

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TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

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$\quad$

 

TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
On donne $P(0<X<1,4)=0,42$ arrondie au centième.
Déterminer les probabilités suivantes sans utiliser la calculatrice.

  1. $P(X<1,4)$
    $\quad$
  2. $P(X<-1,4)$
    $\quad$
  3. $P(-1,4<X<1,4)$
    $\quad$
  4. $P(X=1,4)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(X<1,4)=P(X<0)+P(0<X<1,4)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  2. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$.
    Ainsi $P(X<-1,4)=P(X<0)-P(-1,4<X<0)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  3. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$
    $P(-1,4<X<1,4)=2P(0<X<1,4)=0,84$
    $\quad$
  4. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi à densité alors, pour tout réel $a$, on a $P(X=a)=0$.
    Donc $P(X=1,4)=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer une valeur des probabilités suivante à l’aide de la calculatrice. Les réponses seront arrondies au centième.

  1. $P(0<X<1)$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $P(0<X<1)\approx 0,34$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)\approx 0,68$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)\approx 0,48$
    $\quad$
  4. $P(X<1)=0,5+P(0<X<1)\approx 0,84$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)=0,5+P(-1<X<0)\approx 0,84$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)=0,5-P(-2<X<0)\approx 0,02$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Tous les résultats seront arrondis au centième.

  1. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,7$.
    $\quad$
  2. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-1<X<a)=0,6$.
    $\quad$
  4. Déterminer le réel $a$ tel que $P(0,5<X<a)=0,1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-a<X<a)=0,5$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx 0,52$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx -0,52$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(-1<X<a)=0,6&\ssi P(X<a)-P(X<-1)=0,6\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(X<-1)\\
    &\ssi P(X<a) = 0,6+0,5-P(-1<X<0)\\
    &\ssi P(X<a)=1,1-P(-1<X<0)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,76$.
    D’où $a\approx 0,70$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(0,5<X<a)=0,1&\ssi P(X<a)-P(X<0,5)=0,1\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+P(X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+0,5+P(0<X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(0<X<0,5)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,79$.
    D’où $a\approx 0,81$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(-a<X<a)=0,5 &\ssi 2\Phi(a)-1=0,5\\
    &\ssi 2\Phi(a)=1,5\\
    &\ssi \Phi(a)=0,75\end{align*}$
    D’où $a\approx 0,67$.

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$\quad$

Exercice 4

$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)$ avec $\mu=100$ et $\sigma=30$.
Déterminer les probabilités suivantes, arrondies au centième, à l’aide de la calculatrice.

  1. $P(100<X<110)$
    $\quad$
  2. $P(X<110)$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$
    $\quad$
  4. $P(90<X<110)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P(100<X<110)\approx 0,13$
    $\quad$
  2. $P(X<110)=0,5+P(100<X<110)\approx 0,63$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$\approx 0,63$
    $\quad$
  4. $P(90<X<100)=P(100<X<110)$ par symétrie.
    Donc $P(90<X<110)=P(100<X<110)\approx 0,26$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment utiliser la calculatrice comme pour la question 3.
    $\quad$

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$\quad$