TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 4

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Problèmes de synthèse

 

Exercice 1 (d’après Nouvelle Calédonie – novembre 2015)

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Partie A

  1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;10]$, $f'(x)=(-2x+7)\e^{-x+4}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
    $\quad$
  3. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;10]$ et déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise fabrique entre $0$ et $1~000$ objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par : $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

  1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?
    Quel est ce bénéfice maximal en euros?
    $\quad$
  2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A

  1. $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=2\e^{-x+4}-(2x-5)\e^{-x+4} = (2-2x+5)\e^{-x+4}=(-2x+7)\e^{-x+4}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $-2x+7$.
    Or $-2x+7=0 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ et $-2x+7 > 0 \ssi x \le \dfrac{7}{2}$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex4
    $f(0) = -5\e^4+20 \approx -252,991$
    $f\left(\dfrac{7}{2}\right)=2\e^{0,5}+20\approx 23,297$
    $f(10)=15\e^{-6}+20\approx 20,037$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $f(0)<0$ et $f\left(\dfrac{7}{2}\right)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    Sur $\left[\dfrac{7}{2};10\right]$, $f(x)\ge f(10) > 0$
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc bien une unique solution sur $[0;10]$.
    $1,59 < \alpha <1,6$
    $\quad$

 

Partie B

  1. D’après le tableau de variations la fonction atteint son maximum pour $x=3,5$.
    Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc fabriquer $350$ objets par semaine.
    $\quad$
    Le bénéfice maximal est d’environ $23~297$ euros.
    $\quad$
  2. Pour avoir un bénéfice positif, il faut donc que l’entreprise fabrique entre $160$ et $1~000$ objets.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (Pondichéry avril 2016)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre $1$ et $15$ tonnes de granulés par jour.

  • Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$C(x) = 0,3x^2-x + \e^{-x + 5}$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
  • Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de $300$ euros.
    La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par: $$R(x) = 3x$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
  • On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathscr{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d’origine $O$.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

  1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
    $\quad$
  2. a. Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus.
    $\quad$
    b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$g(x) =-0,6x + 4 + \e^{-x + 5}$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

  1. a. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
    b. En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;15]$, en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l’unité.
    $\quad$
    b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$

Partie C : Application économique

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a : $$D (x) = -0,3x^2 + 4x -\e^{-x + 5}$$
  2. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $D’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $D$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
    On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
    $\quad$
    b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A : Etude graphique

  1. Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour une production d’environ $4,5$ tonnes.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement $C(6) \approx 5,1$ et $R(6) \approx 18$.
    Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus vaut environ $(18-5,1)\times 100=1~290$ euros.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise un bénéfice quand la production est comprise entre $2,9$ et $13,2$ tonnes environ.
    $\quad$

Partie B : Etude d’une fonction

  1. a. $g'(x)=-0,6-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent $g'(x)<0$ sur $[1;15]$ et la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a.
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 6,9$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est strictement décroissante et s’annule en $\alpha$.
    On a donc le tableau de signes suivant :
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2.2$\quad$

Partie C : Application économique

  1. $D(x)=R(x)-C(x) = 3x-0,3x^2+x-\e^{-x+5}=4x-0,3x^2-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
  2. $D'(x)=4-2\times 0,3x-(-1)\e^{-x+5}=4-0,6x+\e^{-x+5}=g(x)$.
    $\quad$
  3. D’après la question B.2.c :
    – $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$
    – $g$ est décroissante sur l’intevalle $[\alpha;15]$
    $\quad$
  4. a. Le bénéfice est donc maximal quand $x=\alpha$ soit environ $6,9$ tonnes.
    $\quad$
    b. $D(6,9) \approx 13,17$.
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $1~317$ euros.
    $\quad$

[collapse]

TES/TL – Devoir commun – Décembre 2018 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2018

ES/L – Mathématiques – Correction

Ex 1

Exercice 1

  1. $S$ contient la somme des $4$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $9$ et de raison $0,75$.
    Donc $S=9\times \dfrac{1-0,75^4}{1-0,75}\approx 24,6$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} \dfrac{2\text{e}^{a – 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}&=\dfrac{2^{a-1}}{\e^{2a}}\\
    &=2\e^{a-1-2a}\\
    &=2\e^{-1-a}\\
    &=\dfrac{2}{\e^{a+1}}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède exactement deux tangentes horizontales (en $-1$ et $1$).
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est environ $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    Or $f'(x)=\e^x+x\e^x=(1+x)\e^x$
    Donc $f'(1)=2\e$ et $f(1)=\e$.
    Ainsi une équation de la tangente est $y=2\e(x-1)+\e$
    Soit $y=2\e x-\e$.
    Réponse b
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On a $u_0=16~000$.
    $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 16~000=13~600$
    $u_2=0,85\times 13~600=11~560$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Or $0<0,85<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que sur le long teme madame DURAND n’aura plus de capital disponible.
    $\quad$
  4. a. On peut donc écrire :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 16~000\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\pg 2~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,85\times U\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<2~000$
    D’après la calculatrice on a $u_{12} \approx 2~275,87$ et $u_{13}\approx 1~934,49$
    Cela signifie que la variable $N$ contiendra la valeur $13$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$

Partie B

  1. Chaque année elle prélève $15\%$ de son capital. Il lui reste donc $85\%$ de son capital soit $0,85v_n$.
    Elle ajoute $300$ € chaque $1\ier$ décembre. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=0,85v_n+300$.
    $\quad$
  2. a. On a $w_0=v_0-2~000=14~000~$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-2~000$ soit $v_n=w_n+2~000$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-2~000 \\
    &=0,85v_n+300-2~000 \\
    &=0,85v_n-1~700 \\
    &=0,85\left(w_n+2~000\right)-1~700 \\
    &=0,85w_n+1~700-1~700\\
    &=0,85w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=14~000\times 0,85^n$.
    Or $v_n=w_n+2~000$ donc $v_n=14~000\times 0,85^n+2~000$.
    $\quad$
  3. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=2~000$.
    Sur le long terme, son capital disponible sera de $2~000$.
    Il ne sera donc pas toujours supérieur à $2~500$ €.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. a. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-8x\e^{-x}+\left(-4x^2+5\right)\times \left(-\e^x\right) \\
    &=\left(-8x+4x^2-5\right)\e^{-x} \\
    &=\left(4x^2-8x-5\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $4x^2-8x-5$.
    $\Delta=(-8)^2-4\times 4\times (-5)=144>0$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines :
    $x_1=\dfrac{8-\sqrt{144}}{8}=-0,5$ et $x_2=\dfrac{8+\sqrt{144}}{8}=2,5$
    De plus $a=4>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    De plus $f(0)=8>2,95$ et $f(2,5) \approx 1,36 < 2,95$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=2,95$ possède une unique solution $x_0$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[2,5;8]$ on a $f(x)\pg -251\e^{-8}+3$ or $-251\e^{-8}+3\approx 2,92<2,95$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=2,95$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $[2,5;8]$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $f(x)=2,95$ possède exactement une solution$x_0$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    D’après la calculatrice on a $x_0\approx 1,14$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(5)\approx 2,36$.
    Le coût moyen unitaire de production pour une production de $500$ litres de peinture est d’environ $236$ €.
    $\quad$
  2. a. D’après la question A.2. la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=2,5$.
    L’entreprise doit donc produire $250$ litres de peinture pour minimiser le coût moyen de production.
    On a $f(2,5) \approx 1,36$.
    Le coût minimum est alors d’environ $136$ €.
    $\quad$
    b. Le coût moyen unitaire minimum d’environ $136$ €. Un prix fixé à $100$ € ne permet donc pas de réaliser des bénéfices.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation de la fonction $f$ et la question A.3. on a $f(x)\pg 2,95$ sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $f(x)\pp 2,95$ sur l’intervalle $\left[x_0;8\right]$.
    Or $x_0\approx 1,14$.
    Le seuil de rentabilité de l’entreprise est donc de $114$ litres.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(F)=1-P(T)-P(M)=1-0,28-0,48=0,24$.
    Et $P(F\cap G)=0,24\times 0,125=0,03$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} P_M(G)&=\dfrac{P(M\cap G)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,12}{0,48}\\
    &=0,25\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(F\cap G)+P(M\cap G)+P(F\cap G)\\
    &=0,28\times 0,05+0,12+0,03 \\
    &=0,164\end{align*}$
    $\quad$
  5. La recette complémentaire espérée est de :
    $1~000\times 50\times 0,164 = 8~200$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v \leftarrow 9\\
    S \leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{0.5cm} v \leftarrow 0,75 \times v\\
    \hspace{0.5cm} S \leftarrow S + v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable $N$.
    Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\text{e}^{a – 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\text{e}^{3a-1}$
    c. $\text{e}^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\text{e}^{a + 1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3 et 4, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x) = – 0,3$ sur l’intervalle $[-1~;~6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est :
    a. $y=2x-1$
    b. $y=2\e x-\e$
    c. $y=-\e x-\e$
    d. $y=\e x-2\e$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes

Au $1\ier$ janvier 2018, madame DURAND dispose d’un capital de $16~000$ €. Le $1\ier$ juillet de chaque année, elle prélève $15\% du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

Partie A

On modélise le montant du capital de madame DURAND au $1\ier$ janvier par une suite $\left(u_n\right)$. Plus précisément, si $n$ est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le $1\ier$ janvier de l’année 2018$+n$.

On a donc $u_0 = 16~000$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d’années à partir duquel son capital devient inférieur ou égal à $2~000$ €.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le résultat attendu.
    $$\begin{array}{|l|}\hline
    U \leftarrow \ldots\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U \ldots\\
    \hspace{0.5cm}N \leftarrow \ldots\\
    \hspace{0.5cm}U \gets \ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
    $\quad$

Partie B

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d’ajouter à son capital disponible $300$ € chaque $1\ier$ décembre.
On note $v_n$ la valeur du capital le $1\ier$ janvier de l’année 2018 $+ n$. On a ainsi $v_0 = 16~000$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_n + 300$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n-2~000$.
    a. Calculer $w_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n$, $v_n = 2~000 + 14~000 \times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. En s’y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d’un capital supérieur à $2~500$ €. A-t-elle raison ?
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+ \infty[$ par: $$f(x) = \left(-4x^2 + 5\right)\text{e}^{-x} + 3$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.

  1. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0;+ \infty[$, on a : $$f'(x) = \left(4x^2-8x-5\right)\text{e}^{-x}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0;8]$.
    $\quad$
  3. Justifier que l’équation $f(x) = 2,95$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l’intervalle $[0;8[$.
    Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{- 2}$ près.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise produit de la peinture qu’elle vend ensuite. Toute la production est vendue. Le coût moyen unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A :
pour $x$ hectolitres de peinture fabriqués (avec $x \in [0,5;8]$), le nombre $f(x)$ désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d’euros (on rappelle qu’un hectolitre est égal à $100$ litres).
Dans la suite de l’exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A.
Chaque réponse sera justifiée.

  1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l’euro près, pour une production de $500$ litres de peinture.
    $\quad$
  2. a. Combien de litres de peinture l’entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production ? Quel est alors ce coût, arrondi à l’euro près ?
    $\quad$
    b. Le prix de vente d’un hectolitre de peinture est fixé à $100$ euros. À l’aide de la question précédente, déterminer si l’entreprise peut réaliser des bénéfices.
    $\quad$

Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

  1. Le prix de vente d’un hectolitre de peinture est fixé à $295$ euros.
    On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c’est-à-dire qu’elle permet à l’entreprise de réaliser un bénéfice.
    Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise?
    $\quad$

Exercice 4     4 points

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.
Le responsable constate que $28\%$ des acheteurs ont opté pour une tablette, et $48\%$ pour un ordinateur portable.
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, $5\%$ ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, $12,5\%$ ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.
On note :

  • $T$ l’événement « l’acheteur a choisi une tablette » ;
  • $M$ l’avènement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable »;
  • $F$ l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe »;
  • $G$ l’événement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».

On note aussi $\overline{F} , \overline{M} , \overline{T} , \overline{G}$ les événements contraires.

  1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé.
    $\quad$
  2. Calculer $P(F)$ la probabilité de l’événement $F$, puis $P(F \cap G)$.
    $\quad$
  3. On sait de plus que $12\%$ des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie.
    Déterminer la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie.
    $\quad$
  4. Montrer que $P(G) = 0,164$.
    $\quad$
  5. Pour tous les appareils, l’extension de garantie est d’un montant de $50$ euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque $1~000$ appareils seront vendus ?
    $\quad$

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Probabilités conditionnelles

Exercices – Probabilités conditionnelles – AP

Exercice 1

Dans une concession automobile, $85\%$ des acheteurs d’une voiture choisissent une peinture métallisée.
Parmi ceux-ci, $60\%$ choisissent en plus le régulateur de vitesse.
Parmi les acheteurs ne prenant pas de peinture métallisée, seulement $40\%$ choisissent le régulateur de vitesse.

On rencontre une personne qui vient d’acheter une voiture neuve dans cette concession.

  1. Construire un arbre pondéré en lien avec cette situation.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité :
    a. Que cette personne ait choisi la peinture métallisée et le régulateur?
    $\quad$
    b. Que cette personne ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur?
    $\quad$
    c. Que cette personne ait choisi de ne pas prendre le régulateur de vitesse?
    $\quad$
  3. Quel pourcentage des acheteurs opte pour le régulateur de vitesse?
    $\quad$
  4. Répondre aux questions 2. et 3. en s’aidant d’un tableau de pourcentages à double entrée à la place d’un arbre pondéré.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On appelle $M$ l’événement “la personne a choisi la peinture métallisée” et $R$ “la personne a choisi le régulateur de vitesse”.
    Un arbre pondéré est :

    $\quad$
  2. a. On veut calculer $p(M\cap R)=0,85\times 0,6=0,51$.
    La probabilité que cette personne ait choisi la peinture métallisée et le régulateur est $0,51$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right)=0,15\times 0,6=0,09$.
    La probabilité que cette personne n’ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur est $0,09$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{R}\right)&=p\left(M\cap \conj{R}\right)+p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right) \\
    &=0,85\times 0,4+0,15\times 0,6\\
    &=0,43\end{align*}$
    La probabilité que cette personne n’ait pas choisi de prendre le régulateur de vitesse est $0,43$.
    $\quad$
  3. On a donc $p(R)=1-p\left(\conj{R}\right)=0,57$.
    $57\%$ des acheteurs optent donc pour le régulateur de vitesse.
    $\quad$
  4. On a le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &R&\conj{R}&\text{Total}\\
    \hline
    M&0,51&0,34&0,85\\
    \hline
    \conj{M}&0,06&0,09&0,15\\
    \hline
    \text{Total}&0,57&0,43&1\\
    \hline
    \end{array}$
    Pour déterminer $p(M\cap R)$ on effectue le calcul $0,85\times 0,6$. On procède de même pour les autres probabilités.
    On retrouve ainsi : $p(M\cap R)=0,51$, $p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right)=0,09$, $p\left(\conj{R}\right)=0,43$ et $p(R)=0,57$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Une urne contient $12$ boules : $5$ noires, $3$ blanches et $4$ rouges.
On tire au hasard deux boules successivement sans remise.
En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit rouge.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle, pour $i$ valant $1$ ou $2$ :

  • $N_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est noire”;
  • $B_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est blanche”;
  • $R_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est rouge”.

On obtient l’arbre pondéré suivant :

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*} p\left(B_2\right)&=p\left(N_1\cap R_2\right)+p\left(B_1\cap R_2\right)+p\left(R_1\cap R_2\right) \\
&=\dfrac{5}{12}\times \dfrac{4}{11}+\dfrac{3}{12}\times \dfrac{4}{11}+\dfrac{4}{12}\times \dfrac{3}{11} \\
&=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$

La probabilité pour que la deuxième boule tirée soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On donne l’arbre suivant. Compléter les pointillés avec les notations correspondant aux pondérations (à choisir parmi les propositions données sous l’arbre) :

$p(A)$, $p(B)$, $p(C)$, $p(D)$, $p\left(\conj{D}\right)$, $p_D(A)$, $p_{\conj{D}}(A)$, $p_A(D)$, $p_A\left(\conj{D}\right)$, $p_D(B)$, $p_{\conj{D}}(B)$, $p_B(D)$, $p_B\left(\conj{D}\right)$, $p_D(C)$, $p_{\conj{D}}(C)$, $p_C(D)$, $p_C\left(\conj{D}\right)$, $p(A\cap D)$, $p(B\cap D)$, $p(C\cap D)$, $p\left(A\cap \conj{D}\right)$, $p\left(B\cap \conj{D}\right)$, $p\left(C\cap \conj{D}\right)$, $p(A\cap B)$, $p(A\cap C)$, $p(B\cap C)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des questions, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

  1. L’arbre suivant concerne uniquement la question 1.
    a. $p_A(B)=0,6$
    $\quad$
    b. $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,012$
    $\quad$
    c. $p(B)=0,8$
    $\quad$
  2. Pour cette question $A$ et $B$ sont deux événements tels que $p(A)\neq 0$ et $p(B)\neq 0$.
    a. Si $p(A)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,2$ alors $p_B(A)=\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    b. Si $p(A)=0,3$ et $p(B)=0,4$ alors $p(A\cap B)=0,12$
    $\quad$
    c. $p_A(B)=p_B(A)$
    $\quad$
    d. $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\conj{A}\right)\times p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. D’après l’arbre pondéré on a bien $p_A(B)=0,6$
    Réponse vraie
    $\quad$
    b. D’après l’arbre pondéré on a :
    $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3\times 0,4=0,12\neq 0,012$
    Réponse fausse
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,3\times 0,4+0,7\times 0,2 \\
    &=0,12+0,14 \\
    &=0,26\end{align*}$
    Réponse fausse
    $\quad$
  2. a. $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$. On ne connait pas la probabilité de $B$. On ne peut donc calculer $p_B(A)$.
    Réponse fausse
    b. Dans le cas général, $p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)$.
    On a un contre-exemple avec la question 1.
    $p(A\cap B)=0,3\times 0,6=0,18$
    $p(A)\times p(B)=0,3\times 0,26=0,078$
    Réponse fausse
    c. 
    $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ et $p_B=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$.
    Dans le cas général $p(A)$ et $p(B)$ ne sont pas nécessairement égales
    et $p_A(B)\neq p_B(A)$
    Réponse fausse
    d. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)$
    Réponse fausse
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une entreprise vend des calculatrices d’une certaine marque.
Le service après-vente s’est aperçu qu’elles pouvaient présenter deux types de défauts, l’un lié au clavier, l’autre à l’affichage.

Des études statistiques ont permis à l’entreprise d’utiliser la modélisation suivante :

  • La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à $0,04$.
  • En présence du défaut de clavier, la probabilité pour que la calculatrice soit en panne d’affichage est de $0,03$.
  • En l’absence de défaut de clavier, la probabilité pour que la calculatrice ne présente pas de défaut d’affichage est de $0,94$.

On note $C$ l’événement “la calculatrice présente un défaut de clavier” et $A$ l’événement “La calculatrice présente un défaut d’affichage”.

  1. a. Préciser, à l’aide de l’énoncé, les probabilités suivantes : $p_C\left(\conj{A}\right)$, $p_C(A)$ et $p(C)$.
    $\quad$
    b. Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
    $\quad$
  2. On choisit une calculatrice de cette marque au hasard.
    a. Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts.
    $\quad$
    b. Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d’affichage, mais pas le défaut de clavier.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. a. On a  $p_C(A)=0,03$, $p(C)=0,04$ et $p_C\left(\conj{A}\right)=1-p_C(A)=0,97$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. a. On veut calculer $p(C\cap A)=0,04\times 0,03=0,001~2 $
    La probabilité que la calculatrice présente les deux défauts est $0,001~2$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $p\left(\conj{C}\cap A\right)=0,96\times 0,06=0,057~6$.
    La probabilité que la calculatrice présente le défaut d’affichage mais pas le défaut de clavier est $0,057~6$.
    $\quad$

[collapse]

 

TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 3

Exercices – Fonction exponentielle – AP

autour de $\boldsymbol{\e^u}$

Exercice 1

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions définies sur $\R$ suivantes dont une expression algébriques a été fournie.

  1. $f(x)=2x-5\e^{2-x}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\e^{x^2-1}$
    $\quad$
  3. $h(x)=3\e^{1-4x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=2x-5\e^{2-x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2-x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-1$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonction dérivables sur $\R$.
    Par conséquent :
    $f'(x)=2-5\times (-1)\times \e^{2-x}=2+5\e^{2-x}$.
    $\quad$
  2. $g(x)=\e^{x^2-1}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2-1$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$.
    Par conséquent $g'(x)=2x\e^{x^2-1}.
    $\quad$
  3. $h(x)=3\e^{1-4x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=1-4x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-4$.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$.
    Par conséquent :
    $h'(x)=3\times (-4)\times \e^{1-4x}=-12\e^{1-4x}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions définies sur $\R$ suivantes dont une expression algébriques a été fournie.

  1. $f(x)=(3x-2)\e^{-5x}$
    $\quad$
  2. $g(x)=6x\e^{2x}-3\e^{2x}+4=(6x-3)\e^{2x}+4$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=(3x-2)\e^{-5x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=-5x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-5$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=3x-2$ et $b(x)=\e^{-5x}$.
    $a'(x)=3$ et $b'(x)=-5\times \e^{-5x}$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=3\e^{-5x}-(3x-2)\times 5\e^{-5x} \\
    &=\left(3-5(3x-2)\right)\e^{-5x} \\
    &=(3-15x+10)\e^{-5x}\\
    &=(13-15x)\e^{-5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=6x\e^{2x}-3\e^{2x}+4=(6x-3)\e^{2x}+4$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=6x-3$ et $b(x)=\e^{2x}$.
    $a'(x)=6$ et $b'(x)=2\times \e^{-5x}$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} g'(x)&=6\times \e^{2x}+(6x-3)\times 2\e^{2x} \\
    &=\left[6+2(6x-3)\right]\e^{2x} \\
    &=(6+12x-6)\e^{2x} \\
    &=12x\e^{2x}
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer le tableau des variations des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

  1. La fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $f(x)=2x\e^{3-x^2}$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-4;1]$ par $g(x)=\left(x^2-1\right)\e^x$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur l’intervalle $[-1;2]$ par $f(x)=6(x-1)\e^{x-x^2}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=3-x^2$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-2x$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=2x$ et $b(x)=\e^{3-x^2}$.
    $a'(x)=2$ et $b'(x)=-2x\times \e^{3-x^2}$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{3-x^2}+2x\times (-2x)\times \e^{3-x^2} \\
    &=\left(2-4x^2\right)\e^{3-x^2} \\
    &=2\left(1-2x^2\right)\e^{3-x^2}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré.
    $\Delta=0^2-4\times (-2)\times 1=8>0$
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{-\sqrt{8}}{-4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $x_2=\dfrac{\sqrt{8}}{-4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0$.
    $a=-2<0$. On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $\quad$
  2. On considère les fonctions $u$ et $v$ définies et dérivables sur $\R$ par $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=\e^{x}$.
    $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^{x}$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-1\right)\e^x \\
    &=\left(2x+x^2-1\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+2x-1\right)\e^x
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré.
    $\Delta=2^2-4\times 1\times (-1)=8>0$
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$
    $a=1>0$. On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $g\left(-1-\sqrt{2}\right)=\left(2+2\sqrt{2}\right)\e^{-1-\sqrt{2}}$ et $g\left(-1+\sqrt{2}\right)=\left(2-2\sqrt{2}\right)\e^{-1+\sqrt{2}}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x-x^2$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=1-2x$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=x-1$ et $b(x)=\e^{x-x^2}$.
    $a'(x)=1$ et $b'(x)=(1-2x)\times \e^{x-x^2}$.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} h'(x)&=6\left[1\times \e^{x-x^2}+(x-1)(1-2x)\e^{x-x^2}\right] \\
    &=6\left(1+x-2x^2-1+2x\right)\e^{x-x^2} \\
    &=6\left(-2x^2+3x\right)\e^{x-x^2} \\
    &=6x(3-2x)\e^{x-x^1}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x(3-2x)$.
    Or $3-2x=0 \ssi -2x=-3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$
    Et $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$
    On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 2

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Exercice 1

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x}-\dfrac{\e^x}{3}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^6}{6}-\e^x$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x}-\dfrac{\e^x}{3}$
    On a donc $f(x)=4\times\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\e^x$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(x)&=4\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{3}\e^x \\
    &=-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{\e^x}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^6}{6}-\e^x$
    On a donc $f(x)=\dfrac{1}{6}x^6-\e^x$
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{6}\times 6 x^5-\e^x \\
    &=x^5-\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$
    On note $u(x)=\e^x$ et $v(x)=x$
    Donc $u'(x)=\e^x$ et $v'(x)=1$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-1\times \e^x}{x^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie. Factoriser au maximum l’expression obtenue.

  1. $f(x)=(2x-5)\e^x$
    $\quad$
  2. $f(x)=\left(x^3-2x^2\right)\e^x$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=(2x-5)\e^x$
    On a donc $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$
    Ainsi $u'(x)=2$ et $'(x)=\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x \\
    &=(2+2x-5)\e^x \\
    &=(2x-3)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\left(x^3-2x^2\right)\e^x$
    On a donc $u(x)=\left(x^3-2x^2\right)$ et $v(x)=\e^x$
    Ainsi $u'(x)=3x^2-4x$ et $v'(x)=\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(3x^2-4x\right)\e^x+\left(x^3-2x^2\right)\e^x \\
    &=\left(3x^2-4x+x^3-2x^2\right)\e^x \\
    &=\left(x^3+x^2-4x\right)\e^x \\
    &=x\left(x^2+x-4\right)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x+\e^x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{4-\e^x}{1-x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2+\e^x}{4-3x}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x+\e^x}$
    On va utiliser la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$ avec $u(x)=x+\e^x$ et donc $u'(x)=1+\e^x$
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{1+\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{4-\e^x}{1-x}$
    On a $u(x)=4-\e^x$ et $v(x)=1-x$
    Donc $u'(x)=-\e^x$ et $v'(x)=-1$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^x\times (1-x)-(-1)\times \left(4-\e^x\right)}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{-\e^x+x\e^x+4-\e^x}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x-2\e^x+4}{(1-x)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2+\e^x}{4-3x}$
    On a $u(x)=x^2+\e^x$ et $v(x)=4-3x$
    Ainsi $u'(x)=2x+\e^x$ et $v'(x)=-3$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(2x+\e^x\right)(4-3x)-(-3)\left(x^2+\e^x\right)}{(4-3x)^2} \\
    &=\dfrac{8x-6x^2+4\e^x-3x\e^x+3x^2+3\e^x}{(4-3x)^2} \\
    &=\dfrac{-3x^2+8x+7\e^x-3x\e^x}{(4-3x)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-1\right)\e^x$.

$\quad$

Correction Exercice 4

Pour tout réel $x$ on note :
$u(x)=x^2-1$ et $v(x)=\e^x$
Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^x$

Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-1\right)\e^x \\
&=\left(x^2+2x-1\right)\e^x\end{align*}$

La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-1$.
Le discriminant est :
$\Delta = 2^2-4\times 1\times (-1)=8>0$.
Les racines du polynôme du second degré sont donc :
$x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$.

Le coefficient principal du polynôme de second degré est $a=1>0$.
Ainsi $f'(x)$ est positif sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$ et négatif sur l’intervalle $\left[-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right]$.

Par conséquent la fonction $f$ est :

  • croissante sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
  • décroissante sur l’intervalle $\left[-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right]$.

$\quad$

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TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Exercice 1

  1. Simplifier les expressions suivantes de manière à ce que le $\e$ de l’exponentielle n’apparaisse qu’une seule fois dans le calcul.
    $A=\dfrac{\e^{3x}\times \e^{-1}}{\e^{x-3}}$
    $\quad$
    $B=\left(2\e^x\right)^3\times \e^{-3x}$
    $\quad$
    $C=\dfrac{\e^{-4x}}{\e^{4-6x}}$
    $\quad$
    $D=\dfrac{\e^3\times e^x}{\e^{-5}\times \e^{-x}}$
    $\quad$
  2. Mettre les expressions suivantes sous la forme d’un seul quotient :
    $A=\dfrac{1}{\e^x}+\dfrac{1}{\e^{x+1}}$
    $\quad$
    $B=\dfrac{1+\e^{2x}}{\e^{-x}}-\dfrac{3}{\e^{2x}}$
    $\quad$
    $C=\dfrac{\e^{2x}}{x}+\dfrac{\e^{-x}}{1+\e^x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\dfrac{\e^{3x}\times \e^{-1}}{\e^{x-3}}\\
    &=\e^{3x-1-(x-3)} \\
    &=\e^{3x-1-x+3}\\
    &=\e^{2x+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} B&=\left(2\e^x\right)^3\times \e^{-3x}\\
    &=8\e^{3x}\times \e^{-3x} \\
    &=8\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=\dfrac{\e^{-4x}}{\e^{4-6x}}\\
    &=\e^{-4x-(4-6x)} \\
    &=\e^{-4x-4+6x} \\
    &=\e^{2x-4}\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} D&=\dfrac{\e^3\times e^x}{\e^{-5}\times \e^{-x}}\\
    &=\e^{3+x-\left((-5+(-x)\right)} \\
    &=\e^{3+x+5+x} \\
    &=\e^{2x+8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\dfrac{1}{\e^x}+\dfrac{1}{\e^{x+1}} \\
    &=\dfrac{\e^{x+1}+\e^x}{\e^x\e^{x+1}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}B&=\dfrac{1+\e^{2x}}{\e^{-x}}-\dfrac{3}{\e^{2x}} \\
    &=\e^{-x}+\e^{2x+x}-3\e^{-2x}\\
    &=\e^{-x}+\e^{3x}-3\e^{-2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=\dfrac{\e^{2x}}{x}+\dfrac{\e^{-x}}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{\left(1+\e^x\right)\e^{2x}+x\e^{-x}}{x\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{\e^{2x}+\e^{3x}+x\e^{-x}}{x\left(1+\e^x\right)}
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Factoriser et dresser le tableau de signes des expressions suivantes :

$f(x)=\e^x-3x\e^x$

$\quad$

$g(x)=\dfrac{\e^x}{x^2}-\e^x$

$\quad$

$h(x)=\e^x-\e^{x+3}$

$\quad$

$i(x)=-2x\e^x+\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\e^x$

$\quad$

Correction Exercice 2

$f(x)=\e^x-3x\e^x = (1-3x)\e^x$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-3x$.
Or $1-3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$
et $1-3x>0 \ssi x<\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

$\begin{align*} g(x)&=\dfrac{\e^x}{x^2}-\e^x\\
&=\dfrac{\e^x-x^2\e^x}{x^2} \\
&=\dfrac{\e^x\left(1-x^2\right)}{x^2}\\
&=\dfrac{\e^x(1-x)(1+x)}{x^2}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $g(x)$ ne dépend donc que de celui de $\dfrac{(1-x)(1+x)}{x^2}$
Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
et $1+x=0 \ssi x=-1$ et $1+x>0 \ssi x>-1$
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

$\quad$

$h(x)=\e^x-\e^{x+3}=\e^x\left(1-\e^3\right)$
La fonction exponentielle est strictement positive. Donc pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\e^3>\e^0$ soit $\e^3>1$.
Par conséquent $1-\e^3<0$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $h(x)<0$.

$\quad$

$\begin{align*} i(x)&=-2x\e^x+\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\e^x \\
&=\e^x\left(-2x+\dfrac{1}{x}+1\right) \\
&=\e^x\times \dfrac{-2x^2+x+1}{x}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $i(x)$ ne dépend donc que de celui de $\dfrac{-2x^2+x+1}{x}$.
On étudie le signe de $-2x^2+x+1$.
$\Delta=1^2-4\times (-2)\times 1=9>0$
Ainsi $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{-4}=1$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
De plus $a=-2<0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

  1. $\e^x=1$
    $\quad$
  2. $\e^{2x-1}=\e^{3x-5}$
    $\quad$
  3. $\e^{x^2-3x-1}=\e^{-3}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\e^x=1 \ssi \e^x=\e^0\ssi x=0$
    La solution de l’équation est $0$.
    $\quad$
  2. $\e^{2x-1}=\e^{3x-5} \ssi 2x-1=3x-5\ssi x=4 $
    La solution de l’équation est $4$.
    $\quad$
  3. $\e^{x^2-3x-1}=\e^{-3} \ssi x^2-3x-1=-3 \ssi x^2-3x+2=0$
    $\Delta = (-3)^2-4\times 1\times 2=1>0$
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$
    Les solutions de l’équation sont donc $1$ et $2$.
    $\quad$

[collapse]

 

 

TES/TL – Exercices – AP – Dérivations

Exercices – Dérivation – AP

Exercice 1 : Dérivation de fonctions

Dans chacun des cas, déterminer l’expression des dérivées des fonctions $f$ dont une expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=3-x+2x^7$
    $\quad$
  2. $f(x)=5x^{10}+x-\sqrt{3}$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7x}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{5}{3x}-4$
    $\quad$
  5. $f(x)=0,3x^4-x^2+2x-7$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=3-x+2x^7$
    Donc $f'(x)=-1+2\times 7x^6=-1+14x^6$
    $\quad$
  2. $f(x)=5x^{10}+x-\sqrt{3}$
    Donc $f'(x)=5\times 10x^9+1=50x^9+1$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7x}=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{1}{x}$
    Donc $f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{7x^2}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{5}{3x}-4=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{1}{x}-4$
    Donc $f'(x)=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-1}{x^2}=-\dfrac{5}{3x^2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=0,3x^4-x^2+2x-7$
    Donc $f'(x)=0,3\times 4x^3-2x+2=1,2x^3-2x+2$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$. La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$.
    Donc $f'(x)=-\dfrac{2x-3}{\left(x^2-3x+2\right)^2}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 : Études des variations de fonctions

Dans chacun des cas, déterminer l’expression des dérivées des fonctions $f$ dont une expression algébrique est fournie puis étudier les variations des fonctions.

  1. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{1-2x}$ sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\cup \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ on a :
    $f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
    $\quad$
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$
    $x^2$ est toujours positif et ne s’annule qu’en $0$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$ et décroissante sur $[-1;0[$ et sur $]0;1]$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{1-2x}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(1-2x)-(-2)x^2}{(1-2x)^2}\\
    &=\dfrac{2x-4x^2+2x^2}{(1-2x)^2} \\
    &=\dfrac{2x-2x^2}{(1-2x)^2} \\
    &=\dfrac{2x(1-x)}{(1-2x)^2}
    \end{align*}$
    $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    $(1-2x)^2$ est toujours positif et ne s’annule qu’en $\dfrac{1}{2}$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et sur $[1;+\infty[$ et croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right[$ et sur $\left]\dfrac{1}{2};1\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 : Simplifier avant de dériver

  1. Simplifier les fonctions en somme de fractions puis dériver.
    $f(x)=\dfrac{4x^2-8x+6}{2x}$ pour $x\neq 0$
    $\quad$
    $g(x)=\dfrac{x^3-5x^2+2x}{3x^2}$ pour $x\neq 0$
    $\quad$
  2. Développer puis dériver.
    $f(x)=(2-5x)^2$
    $\quad$
    $g(x)=3x(x-6)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=\dfrac{4x^2-8x+6}{2x} = 2x-4+\dfrac{3}{x}$
    Donc $f'(x)=2-\dfrac{3}{x^2}$
    $\quad$
    $g(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3x}$
    Donc $g'(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3x^2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=(2-5x)^2=4-20x+25x^2$
    Donc $f'(x)=-20+2\times 25x=-20+50x$
    $\quad$
    $g(x)=3x(x-6)=3x^2-18x$
    Donc $g'(x)=6x-18$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 : Tangentes et nombre dérivé

On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ d’une fonction $f$.

Déterminer graphiquement :

  1. L’image de $3$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. La valeur de la dérivée $f’$ en $x=-4$.
    $\quad$
  3. $f(-4)$ et $f(0)$
    $\quad$
  4. $f'(3)$ et $f'(0)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-2$.
    $\quad$
  2. $f'(-4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x=-4$.
    Donc $f'(-4)=\dfrac{4-3}{-2-(-4)}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. $f(-4)=3$ et $f(0)=2$
    $\quad$
  4. $f'(3)=0$ (tangente horizontale)
    et $f'(0)=\dfrac{5-2}{-1-0}=-3$.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Les suites

Exercices – Les suites – AP

Exercice 1 : suites géométriques

Dans chacun des cas on considère une suite $\left(u_n\right)$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

  1. $u_0=25$ et $u_{n+1}=0,3u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. $u_0=3$ et $u_{n+1}=4u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. $u_0=-6$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
Exercice 1

  1. $u_0=25$ et $u_{n+1}=0,3u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$ et de premier terme $u_0=25$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=25\times 0,3^n$.
    $\quad$
  2. $u_0=3$ et $u_{n+1}=4u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $4$ et de premier terme $u_0=3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 4^n$.
    $\quad$
  3. $u_0=-6$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=-6$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-6\times 2^n$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 : suites arithmético-géométriques

Dans chacun des cas on considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique puis exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.

  1. $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=5u_n+2$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+50$ et $v_n=u_n-75$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=5u_n+2$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{2}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=v_n-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+\dfrac{1}{2} \\
    &=5u_n+2+\dfrac{1}{2} \\
    &=5u_n+\dfrac{5}{2} \\
    &=5\left(v_n-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{5}{2} \\
    &=5v_n-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2} \\
    &=5v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    On peut aussi procéder ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{1}{2} \\
    &=5u_n+2+\dfrac{1}{2} \\
    &=5u_n+\dfrac{5}{2} \\
    &=5\left(u_n+\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=5v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0+\dfrac{1}{2}=1$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=5^n$ et donc $u_n=v_n-\dfrac{1}{2}=5^n-\dfrac{1}{2}$.
  2. $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+50$ et $v_n=u_n-75$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=v_n+75$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-75 \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n+50-75 \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n-25 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(v_n+75\right)-25 \\
    &=\dfrac{1}{3}v_n+25-25\\
    &=\dfrac{1}{3}v_n\end{align*}$
    $\quad$
    On peut aussi procéder ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-75 \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n+50-75 \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n-25 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(u_n-75\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-75=25$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=25\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et donc $u_n=v_n+75=25\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+75$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 : Problème avec une suite arithmético-géométrique

On estime que la population d’un village augmente de $4\%$ par an mais on estime également que chaque année $20$ personnes quittent le village. En 2017 la population était de $3~500$ habitants.
On modélise cette population par une suite $\left(u_n\right)$. Où $u_n$ représente le nombre d’habitants du village l’année $n+$2017 et $u_0=3~000$.
  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ telle que $v_n=u_n-500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. En quelle année la population du village aura-t-elle dépassée $5~000$ habitants?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. la population d’un village augmente de $4\%$ par an. Donc pour tout entier naturel $n$ cela représente $\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n$.
    Ainsi :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n-20=1,04u_n-20$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-500 \ssi u_n=v_n+500$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
    &=1,04u_n-20-500 \\
    &=1,04u_n-520 \\
    &=1,04\left(v_n+500\right)-520\\
    &=1,04v_n+520-520\\
    &=1,04v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-500=2~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=2~500\times 1,04^n$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n-500=2~500\times 1,04^n-500$
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que  $2~500\times 1,04^n-500 \pg 5~000$.
    On a $u_{14} \approx 4~829$ et $u_{15} \approx 5~002$.
    Par conséquent $n=15$
    C’est donc en 2032 que la population du village dépassera les $5~000$ habitants.
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Suites géométriques

Exercices – Suites géométriques – AP

Exercice 1 – Pour commencer

La suite $\left(u_n\right)$ est un suite géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $u_0=250$.

  1. Calculer les $3$ premiers termes de la suite.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Calculer $u_{10}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $u_0=250$ $\quad$ $u_1=250\times 1,12=280$ $\quad$ $u_2=280\times 1,12=313,6$
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est un suite géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $u_0=250$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,12u_n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=250\times 1,12^n$.
    $\quad$
  4. $u_{10}=250\times 1,12^{10} \approx 776,46$.
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 2 – Montrer qu’une suite est géométrique

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2}$.

  1. Calculer les $3$ premiers termes de la suite.
    $\quad$
  2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et préciser la raison et le premier terme.
    $\quad$
  3. Refaire les question 1. et 2. avec la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\dfrac{3^{n+1}}{4}$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $u_0=3^0\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{0+2}=1\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}$.
    $u_1=3^1\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{1+2}=3\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{24}{125}$.
    $u_2=3^2\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{2+2}=9\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^4=\dfrac{144}{625}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=3^{n+1}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1+2} \\
    &=3\times 3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2}\times \dfrac{2}{5} \\
    &=\dfrac{6}{5}\times 3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2} \\
    &=\dfrac{6}{5}u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{6}{5}$ et de premier terme $u_0=\dfrac{4}{25}$.
    $\quad$
  3. $v_0=\dfrac{3^{0+1}}{4}=\dfrac{3}{4}$
    $v_1=\dfrac{3^{1+1}}{4}=\dfrac{9}{4}$
    $v_2=\dfrac{3^{2+1}}{4}=\dfrac{27}{4}$
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{3^{n+1+1}}{4} \\
    &=3\times \dfrac{3^{n+1}}{4} \\
    &=3v_n \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 – Rechercher un seuil

Anne a acheté une voiture d’une valeur de $28~000$ euros.
Chaque année, sa voiture perd $16\%$ de sa valeur.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur, en euro, de la voiture après $n$ années de baisse.

  1. Déterminer $u_1$.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à $5~000$ €? (on pourra construire un tableau de valeurs en utilisant le mode table de la calculatrice.)
    $\quad$
  5. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à $10$ €?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{16}{100}\right)=28~000\times 0,84=23~520$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{16}{100}\right)=0,84u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,84$ et de premier terme $u_0=28~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=28~000\times 0,84^n$.
    $\quad$
  4. On a $u_{9} \approx 5~830 > 5~000$ et $u_{10} \approx 4~897 < 5~000$
    La valeur de revente de la voiture deviendra inférieur à $5~000$ € après $10$ ans.
    $\quad$
  5. On a $u_{45} \approx 10,96 > 10$ et $u_{46} \approx 9,2<10$.
    La valeur de revente de la voiture deviendra inférieure à $10$ € après $46$ ans.
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 4 – Calculer une somme

  1. Rappeler la formule permettant de calculer la somme des termes d’une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $1$ : $$1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n= \ldots\ldots$$
    $\quad$
  2. Calculer les sommes suivantes :
    $S_1=1+3+9+27+81+\ldots+59~049$
    $\quad$
    $S_2=2+10+50+250+1~250+\ldots+156~250$
    $\quad$
    $S_3=1+0,2+0,2^2+0,2^3+\ldots+0,2^{10}$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n= \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} S_1&=1+3+9+27+81+\ldots+59~049 \\
    &=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+\ldots 3^{10} \\
    &=\dfrac{1-3^{11}}{1-3} \\
    &=88~573
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} S_2&=2+10+50+250+1~250+\ldots+156~250 \\
    &=2\times 5^0+2\times 5+2\times 5^2+2\times 5^3+\ldots 2\times 5^7 \\
    &=2\times \dfrac{1-5^8}{1-5} \\
    &=195~312 \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} S_3&=1+0,2+0,2^2+0,2^3+\ldots+0,2^{10} \\
    &=0,2^0+0,2^1+0,2^2+0,2^3+\ldots +0,2^{10} \\
    &=\dfrac{1-0,2^{11}}{1-0,2} \\
    &=\dfrac{1-0,2^{11}}{0,8} \\
    &=\dfrac{1-0,2^{11}}{\dfrac{4}{5}} \\
    &=\dfrac{5}{4}\times \left(1-0,2^{11}\right)\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Second degré et tableaux de signes

Exercices – Second degré – Tableaux de signes – AP

Équations du second degré

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes

  1. $x^2-10x+21=0$
    $\quad$
  2. $3x^2-5x+4=0$
    $\quad$
  3. $x^2-2x=0$
    $\quad$
  4. $36-x^2=0$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x^2-10x+21=0$
    $\Delta = (-10)^2-4\times 1\times 21 = 16>0$.
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{10-\sqrt{16}}{2}=3$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{16}}{2}=7$.
    Les solutions de l’équations sont donc $3$ et $7$.
    $\quad$
  2. $3x^2-5x+4=0$
    $\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 4=-23<0$.
    L’équation ne possède donc pas de solution réelle.
    $\quad$
  3. $x^2-2x=0 \ssi x(x-2)$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x-2=0 \ssi x=2$.
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $2$.
    $\quad$
  4. $36-x^2=0 \ssi 6^2-x^2=0 \ssi (6-x)(6+x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $6-x=0$ ou $6+x=0$
    soit $x=6$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation sont donc $-6$ et $6$.$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations suivantes

  1. $20x^2+60x+45=0$
    $\quad$
  2. $16-x^2=0$
    $\quad$
  3. $-x^2+3x+1=0$
    $\quad$
  4. $3x-18x^2=0$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $20x^2+60x+45=0$
    $\Delta=60^2-4\times 20\times 45=0$
    L’équation possède une unique solution $\dfrac{-60}{2\times 20}=-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  2. $16-x^2=0 \ssi 4^2-x^2=0\ssi (2-x)(2+x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2-x=0$ ou $2+x=0$
    Soit $x=2$ ou $x=-2$
    Les solutions de l’équation sont $2$ et $-2$.
    $\quad$
  3. $-x^2+3x+1=0$
    $\Delta = 3^2-4\times (-1)\times 1=9+4=13>0$
    L’équation possède deux solutions réelles.
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$
    $\quad$
  4. $3x-18x^2=0 \ssi 3x(1-6x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $3x=0$ ou $1-6x=0$
    Soit $x=0$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $\dfrac{1}{6}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes

  1. $-x^2+6x-5=0$
    $\quad$
  2. $4x^2-7x=0$
    $\quad$
  3. $x^2+2x+1=0$
    $\quad$
  4. $4x^2-9=0$
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $-x^2+6x-5=0$
    $\Delta = 6^2-4\times (-1) \times (-5)=16>0$
    L’équation possède donc $2$ solutions réelles.
    $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{-2}=1$.
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $5$.
    $\quad$
  2. $4x^2-7x=0\ssi x(4x-7)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $4x-7=0\ssi x=\dfrac{7}{4}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{4}$
    $\quad$
  3. $x^2+2x+1=0 \ssi (x+1)^2=0$
    L’équation possède donc une unique solution $-1$.
    $\quad$
  4. $4x^2-9=0 \ssi (2x)^2-3^2=0 \ssi (2x-3)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-3=0$ ou $2x+3=0$
    Soit $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Tableaux de signes

Exercice 4

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$
    On étudie le signe de $3x^2-5x-2$.
    $\Delta=(-5)^2-4\times 3\times (-2)=49>0$
    Ce polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{5-\sqrt{49}}{6}=-\dfrac{1}{3}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{49}}{6}=2$
    $a=3>0$ : ce polynômes est donc positif à l’extérieur des racines.
    $\quad$
    On étudie le signe de $4x-20$.
    $4x-20=0 \ssi 4x=20 \ssi x=5$ et $4x-20>0 \ssi 4x>20 \ssi x>5$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$
    Un carré est toujours positif. Donc $(x-2)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=2$.
    $\quad$
    $9-3x=0\ssi -3x=-9 \ssi x=3$ et $9-3x>0 \ssi -3x>-9 \ssi x<3$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$
    $x+4=0 \ssi x=-4$ et $x+4>0 \ssi x>-4$
    $\quad$
    On étudie le signe de $-x^2-x+6$.
    $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 6=25>0$
    Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{-2}=-3$.
    $a=-1<0$. Le polynôme est donc négatif à l’extérieur des racines.
    $\quad$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$
    $2x=0\ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $\quad$
    $3-x=0 \ssi x=3$ et $3-x>0 \ssi x<3$
    $\quad$
    Un carré est toujours positifs donc $(2+5x)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=-\dfrac{5}{2}$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$
    $5-3x=0 \ssi x=\dfrac{5}{3}$ et $5-3x>0 \ssi -3x>-5 \ssi x<\dfrac{5}{3}$
    $\quad$
    On étudie le signe de $x^2+3x-10$
    $\Delta = 3^2-4\times 1\times (-10)=49>0$.
    Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2}=-5$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2}=2$.
    De plus $a=1>0$. Le polynôme est donc positif à l’extérieur de ses racines.
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$
    Un carré est toujours positif. Donc $(2x+5)^2\pg 0$ et ne s’annule qu’en $-\dfrac{5}{2}$.
    $-2-x=0 \ssi -x=2 \ssi x=-2$ et $-2-x>0 \ssi -x>2 \ssi x<-2$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

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