TES/TL – Exercices – AP – Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité (AP)

Exercice 1

On donne la représentation de la fonction densité de probabilité $f$ définie sur l’intervalle $[0;2,5]$.
$X$ suit une loi de probabilité continue de densité $f$.

Déterminer graphiquement :

  1. $P(X<0,5)$
    $\quad$
  2. $P(X=1,5)$
    $\quad$
  3. $P(0,5 \pp X \pp 1,5)$
    $\quad$
  4. $P(X>2)$
    $\quad$
  5. $P(X \pg 1,5)$
    $\quad$
  6. $P(X>1)$
    $\quad$
  7. $P(X>2,5)$
    $\quad
Correction Exercice 1

  1. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X<0,5)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  2. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=1,5)=0$
    $\quad$
  3. Il s’agit de calculer l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent respectivement $1$ et $0,5$.
    Ainsi $P(0,5\pp X\pp 1,5)=1\times 0,5=0,5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer l’aire d’un triangle rectangle isocèle de côté $0,5$.
    Donc $P(X>2)=\dfrac{0,5\times 0,5}{2}=0,125$
    $\quad$
  5. On veut calculer l’aire d’un trapèze rectangle.
    On utilise la formule :
    $\mathscr{A}_{\text{trapèze}}=\dfrac{(\text{petite base $+$ grande base})\times\text{hauteur}}{2}$.
    Ainsi $P(X\pg 1,5)=\dfrac{(1+0,5)\times 0,5}{2}=0,375$
    $\quad$
  6. On utilise la même formule qu’à la question précédente.
    $P(X>1)=\dfrac{(1,5+1)\times 0,5}{2}=0,625$
    $\quad$
  7. La fonction de densité n’est définie que sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    Par conséquent $P(X\pg 2,5)=0$.
    $\quad

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$\quad$

Exercice 2

$X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$. On a $P(X<4)=0,1$ et $P(X>6)=0,3$.
Calculer :

  1. $P(4<X<6)$
    $\quad$
  2. $P(X<6)$
    $\quad$
  3. $P(X>4)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X\pg 3)$
    $\quad$
  6. $P(X=3)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $P(4<X<6)=1-\left(P(X<4)+P(X>6)\right)=1-(0,1+0,3)=0,6$
    $\quad$
  2. $P(X<6)=P(X\pp 0,6)=1-P(X>0,6)=1-0,3=0,7$
    $\quad$
  3. $P(X>4)=P(X\pg 4)=1-P(X<4)=1-0,1=0,9$
    $\quad$
  4. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$ et $1<3$.
    Donc $P(X<1)=0$.
    $\quad$
  5. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l’intervalle $[3;7]$.
    Donc $P(X\pg 3)=1$.
    $\quad$
  6. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=3)=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ telle que $f(x)=-x^2+\dfrac{8}{3}x$.

  1. Montrer que $f$ est une fonction densité de probabilité sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. $X$ est la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité continue de densité $f$.
    a. Calculer $P(X\pp 0,5)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(0,2<X<0,5)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    On a $f(x)=-x\left(x-\dfrac{8}{3}\right)$.
    Les deux racines de ce polynômes du second degré sont donc $0$ et $\dfrac{8}{3}>1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme est $a=-1<0$.
    Ainsi $f(x)$ est positif entre ses racines et $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\begin{align*}\int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(-x^2+\dfrac{8}{3}x\right)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{6}\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\\
    &=\dfrac{3}{3}\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(X\pp 0,5)&=\int_0^{0,5}f(x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2\\
    &=\dfrac{7}{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}P(0,2<X<0,5)&=\int_{0,2}^{0,5}f(x)\dx\\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_{0,2}^{0,5}\\
    &=-\dfrac{0,5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,5^2-\left(-\dfrac{0,2^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0,2^2\right)\\
    &=\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{600}\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$.

  1. Tracer la courbe représentant sa fonction de densité.
    $\quad$
  2. Donner l’expression de la fonction densité.
    $\quad$
  3. Calculer les probabilités suivantes :
    a. $P(X<6)$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)$
    $\quad$
    c. $P(X \pg 15)$
    $\quad$
    d. $P(X>0)$
    $\quad$
    e. $P(X>20)$
    $\quad$
    f. $P(X=12)$
    $\quad$
  4. Calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On obtient la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  2. La fonction de densité est définie par $f(x)=\dfrac{1}{18-3}=\dfrac{1}{15}$ sur l’intervalle $[3;18]$.
    $\quad$
  3. a. $P(X<6)=\dfrac{6-3}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    b. $P(4<X<9)=\dfrac{9-4}{18-3}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    c. $P(X\pg 15)=P(15\pp X\pp 18)=\dfrac{18-15}{18-3}=\dfrac{3}{15}=0,2$
    $\quad$
    d. $P(X>0)=P(X\pg 3)=P(3\pp X\pp 18)=1$
    $\quad$
    e. $P(X>20)=0$ puisque $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[3;18]$ et que $18<20$.
    $\quad$
    f. Quand $X$ suit une loi de probabilité à densité alors, pour tout réel $a$ on a $P(X=a)=0$.
    Ainsi $P(X=12)=0$
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{3+18}{2}=10,5$.
    $\quad$

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TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=-x^2+x$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^1 f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,3}^{0,6} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\int_0^1 \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1\\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-0\\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient donc le graphique suivant :
    $\quad$
    Et
    $$\begin{align*} I&=\int_{0,3}^{0,6} \left(-x^2+x\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0,3}^{0,6}\\
    &=0,108-0,036 \\
    &=0,072\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1,25]$ par $f(x)=0,8$.

  1. Calculer $I=\ds \int_0^{1,25} f(x)\dx$.
    $\quad$
  2. Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,25}^{0,75} f(x)\dx$ et calculer $J$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. On a :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^{1,25} 0,8\dx \\
    &=\Big[0,8x\Big]_0^{1,25}\\
    &=1\end{align*}$$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
    et
    $$\begin{align*} J&=\int_{0,25}^{0,75}0,8\dx\\
    &=\Big[0,8x\Big]_{0.25}^{0,75}\\
    &=0,6-0,2\\
    &=0,4\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer la valeur exacte de la valeur moyenne $M$ de chaque fonction sur l’intervalle consiédéré.

  1. $f(x)=2x-1$ sur $[0;4]$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^x$ sur $[-1;2]$.
    $\quad$
  3. $h(x)=-x^2+x$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 (2x-1)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left[x^2-x\right]_0^4 \\
    &=3\end{align*}$$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[-1;2]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^2 \e^x\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \Big[\e^x\Big]_{-1}^2 \\
    &=\dfrac{\e^2-\e^{-1}}{3}\end{align*}$$
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de $h$ sur l’intervalle $[0;1]$ est :
    $$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{1-0}\int_0^4 (-x^2+x)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un véhicule accélère sur une ligne droite. L’augmentation de sa vitesse en fonction du temps $t$ (en secondes) est décrite par la fonction $v$ définie sur $[0;+\infty[$ par $v(t)=\dfrac{3t^2}{10}$ (en km/h).

  1. Calculer la vitesse initiale de ce véhicule en $t=0$.
    $\quad$
  2. Calculer la vitesse du véhicule au bout de $10$ secondes.
    Même question au bout de $20$ secondes.
    $\quad$
  3. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{0-10}$ de ce véhicule pendant les $10$ premières secondes de son mouvement?
    $\quad$
  4. Quelle a été la vitesse moyenne $V_{10-20}$ de ce véhicule pendant les $10$ secondes suivantes?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Initialement la vitesse est $v(0)=\dfrac{3\times 0^2}{10}=0$ km/h.
    $\quad$
  2. Au bout de $10$ secondes la vitesse est $v(10)=\dfrac{3\times 10^2}{10}=30$ km/h.
    Au bout de $20$ secondes la vitesse est $v(20)=\dfrac{3\times 20^2}{10}=120$ km/h.
    $\quad$
  3. Pendant les $10$ premières secondes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{0-10}&=\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_0^{10}\\
    &=10\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$
  4. Pendant les $10$ secondes suivantes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
    $$\begin{align*}V_{10-20}&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
    &=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_{10}^{20}\\
    &=\dfrac{800-100}{10}\\
    &=70\text{ km/h}\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Bac Blanc ES/L – Février 2019

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2019 – Séries ES/L

Énoncé

Exercice 1    4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

  1. La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=400$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
    La somme $S=u_0+u_1+\ldots+u_{10}$ est égale à :
    a. $2\times \left(1-0,5^{10}\right)$
    b. $2\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    c. $800\times \left(1-0,5^{10}\right)$
    d. $\quad $800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    $\quad$
  2. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 50 \\
    \text{Tant que $U<120$ faire} \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,2\times U \\
    \hspace{1cm} n \leftarrow n+1 \\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } n\\
    \hline
    \end{array}$$
    En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :
    a. $4$
    b. $124,416$
    c. $5$
    d. $96$
    $\quad$

Pour les questions 3. et 4., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses $2$ et $4$.

  1. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$

 

Exercice 2    5 points

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

  1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n \in \N^*$ : $$u_{n+1} = 0,625u_n + 123$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n = u_n-328$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a $u_n = 162 \times 0,625^{n-1} + 328$.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30\%$ par rapport au premier trimestre 2017 ?
    Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
    $\quad$

 

Exercice 3    6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2~;~4]$ par $$f(x) = (2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2;0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
    $\quad$
  4. On note $f”$ la fonction dérivée de $f’$. On admet que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f”(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
    a. Étudier le signe de $f”$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$
  5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2; 4]$ par $g(x) = (2x + 1)\e^{-2x}$.
    a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
    $\quad$
  6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathscr{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.
    a. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements d’un ensemble probabiliste, avec $A$ de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le réel noté $P_{A}(B)$.

L’asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.
En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4\%$ des hommes et $5\%$ des femmes sont asthmatiques.

Dans la population française, on considère l’ensemble des couples homme-femme.

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

On note :

  • $H$ l’événement : « L’homme est asthmatique »,
  • et $F$ l’événement : « La femme est asthmatique ».

On note $\conj{E}$ l’événement contraire de l’événement $E$.

On admet que les événements $H$ et $F$ sont indépendants.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. On note les événements :
    $A$ : « Aucun des deux adultes du couple n’est asthmatique »
    $B$ : «Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
    $C$ : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »
    Montrer que :
    $P(A) = 0,912 ; \quad P(B) = 0,086 \quad ; \quad P(C) = 0,002$.
    $\quad$

 

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

Les études actuelles sur cette maladie montrent que :

  • Si aucun des parents n’est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,1$.
  • Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,3$.
  • Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,5$.

On note E l’événement:« Le premier enfant du couple est asthmatique ».

  1. Reproduire sur votre copie puis compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(E) = 0,118$.
    $\quad$
  3. Calculer $P_{E}(A)$ et interpréter le résultat.
    Déduire $P_{E}\left(\overline{A}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
    (Indication : on pourra chercher à calculer l’événement contraire)
    $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme.
Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

Partie A

  1. Déterminer si le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Déterminer si le graphe est complet.
    $\quad$
  3. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
    $\quad$

Partie B

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de $9$h à $16$h. On obtient le relevé suivant :

Ainsi, à $10$h, il y avait $14$ minutes d’attente à la billetterie. On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[9;16]$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b$ et $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points de coordonnées $(9;9)$ , $(11;20)$ et $(16;2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

  1. Traduire l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a,b$ et $c$.
    $\quad$
  2. Vérifier que ce système est équivalent à l’équation $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 81&9&1\\121&11&1\\256&16&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Résoudre le système.
    $\quad$
  4. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes.
    $\quad$

 

Ex1

Exercice 1

  1. On a $S=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5}=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5}=800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Voici les différentes valeurs prises par les $2$ variables :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U&50&60&72&86,4&103,68&124,416 \\
    \hline
    \phantom{00}n\phantom{00}&\phantom{00}0\phantom{00}&\phantom{00}1\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}5\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’algorithme affiche la dernière valeur de $n$, c’est-à-dire $5$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La courbe semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$.
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse c
    $\quad$

Ex2

Exercice 2

  1. $u_1=490$ Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$ et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a $n=10$ : $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $$u_n\pp 343 \ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 $$
    On a $u_6\approx 343,45$ et $u_7 \approx 337,66$
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    $\quad$

Ex3

Exercice 3

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
    &=-4x\e^{-2x}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    De plus $\alpha\approx -0,8$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
    Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
    $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
    $8x-4<0\ssi x<0,5$.
    La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
    $$\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
    &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
    &=(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
    $\quad$
  6. a. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
    En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
    $\quad$
    c. On a :
    $$\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=-2\e^{-2}+3+1\\
    &=4-2\e^{-2} \\
    &\approx 3,73 \text{u.a.}
    \end{align*}$$
    $\quad$

Ex4 obl

Exercice 4

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. $P(A)=P\left(\conj{H}\cap\conj{F}\right)=0,96\times 0,95=0,912$.
    $P(C)=P(H\cap F)=0,04\times 0,05=0,002$.
    $P(B)=1-P(A)-P(C)=0,086$
    $\quad$

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*}
    P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E) \\
    &=0,912\times 0,1+0,086\times 0,3+0,002\times 0,5 \\
    &=0,091~2+0,025~8,+0,001\\
    &=0,118\end{align*}$$
    $\quad$
  3. $P_{E}(A)=\dfrac{P(E\cap A)}{P(E)}=\dfrac{0,0912}{0,118} \approx 0,773$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait ses deux parents non asthmatiques est environ égale à $0,773$.
    $\quad$
    $P_E\left(\conj{A}\right)=1-P_E(A)\approx 0,227$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,227$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $$\begin{align*} P_{\conj{E}}\left(\conj{A}\right)&=1-P_{\conj{E}}(A) \\
    &=1-\dfrac{P\left(A\cap \conj{E}\right)}{P\left(\conj{E}\right)} \\
    &=1-\dfrac{0,9\times 0,912}{1-0,118} \\
    &=1-\dfrac{0,820~8}{0,882} \\
    &\approx 0,069
    \end{align*}$$
    La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,069$.
    $\quad$

Ex4 spé

Exercice 4

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. La chaîne $A-B-F-G-H-C-D-E$ passe par tous les sommets du graphes donc toute paire de sommets peut être reliée par une chaîne.
    Ce graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Ce graphe n’est pas complet car tous les sommets ne son pas reliés aux autres par une arête. Par exemple, les sommets $A$ et $C$ ne sont pas reliés par une arête.
    $\quad$
  3. Cette question se traduit par l’existence ou non d’une chaîne eulérienne dans ce graphe.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
    \hline
    \text{Degré}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce graphe est connexe et contient exactement $2$ sommets de degré impair. D’après le théorème d’Euler, ce graphe contient une chaîne eulérienne.
    $\quad$
    Appliquons l’algorithme d’Euler :
    Étape 1 : Former une chaîne qui relier les deux sommets de degré impair. Ici $A$ et $F$ :
    On obtient par exemple : $A-B-F$.
    $\quad$
    Étape 2 : À partir du sommet $A$ on construit un cycle $A-E-D-A$.
    On obtient donc $A-E-D-A-B-F$.
    $\quad$
    Étape 3 : On recommence à partir du sommet $B$ : $B-D-C-B$.
    On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F$.
    $\quad$
    Étape 4 : On recommence à partir du sommet $F$ : $F-C-H-G-F$.
    On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F-C-H-G-F$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(9)=9$ or $f(9)=81a+9b+c$ donc $81a+9b+c=9$.
    On a $f(11)=20$ or $f(11)=121a+11b+c$ donc $121a+11b+c=20$.
    On a $f(16)=2$ or $f(16)=256a+16b+c$ donc $256a+16b+c=2$.
    On a donc le système $\begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
    $\quad$
  2. On pose $AX=\begin{pmatrix} 81a+9b+c\\121a+11b+c\\256a+16b+c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$
    Donc $AX=B \ssi \begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice, la matrice $A$ est inversible et on a $A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{14}&-\dfrac{1}{10}&\dfrac{1}{35}\\\\-\dfrac{27}{14}&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{4}{7}\\\\\dfrac{88}{7}&-\dfrac{72}{5}&\dfrac{99}{35}\end{pmatrix}$
    $AX=B \ssi X=A^{-1}B$ donc $X=\begin{pmatrix}-1,3\\31,5\\-169,2\end{pmatrix}$ ainsi $\begin{cases} a=-1,3\\b=31,5\\c=-169,2\end{cases}$
    $\quad$
  4. On a donc, pour $x\in [9;16]$, $f(x)=-1,3x^2+31,5x-169,2$.
    $f(x)\pp 10 \ssi f(x)-10\pp 0 \ssi -1,3x^2+31,5-179,2 \pp 0$
    $\Delta=31,5^2-4\times (-1,3)\times (-179,2)=60,41>0$ donc l’équation $-1,3x^2+31,5x-179,2=0$ admet deux solutions qui sont :
    $x_1=\dfrac{-31,5-\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 15,1$ et $x_2=\dfrac{-31,5+\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 9,1$
    De plus $a=-1,3<0$. On obtient donc le tableau de signes suivant :

    L’attente sera inférieure à dix minutes entre $9$h et $9$h$06$ et entre $15$h$06$ et $16$h.
    $\quad$

Bac Blanc ES/L – Février 2018

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2018 – Série ES/L

Énoncé

Exercice 1    5 points

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ;10]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x = 2$ et la droite d’équation $x = 4$.

Partie A

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.
    $\quad$
  2.  Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de $\ds \int_2^4 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ précédente est définie sur l’intervalle $[-4;10]$ par $f (x) = (x +4)\e^{-0,5x}$.

  1. Montrer que $f'(x) = (-0,5x-1)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$.
    $\quad$
  3. Montrer que sur l’intervalle $[1;6]$ l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.
    On notera $\alpha$ cette unique solution.
    $\quad$
  4. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\e^{-0,5x}$ sur $\R$ ?
    Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. En déduire la valeur exacte de $S$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

  • $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
  • $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
  • parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

  • $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
  • $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.
  1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    $\quad$
  3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
    $\quad$
  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
    $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins deux fiches de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

 

Exercice 3    5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Depuis le 1er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl’Aime est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos. La commune disposait de $200$ vélos au 1er janvier 2015. La société estime que, chaque année, $15\%$ des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que $42$ nouveaux vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l’année 2015 $+ n$

  1. Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$est définie par $u_0=200$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=0,85u_n+42$.
    $\quad$
  3. On donne l’algorithme suivant :
    Variables:
    $\quad$ $N$ entier
    $\quad$ $U$ réel
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $200$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $N<4$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,85\times U+42$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & &&&\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&&&& \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-280$. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=-80$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  7. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-80\times 0,85^n+280$.
    $\quad$
  8. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  9. La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune $300$ € par vélo en circulation au 1er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite $\left(u_n\right)$ étant exprimé avec un nombre entier.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude d’un graphe.

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous.

  1. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.
    $\quad$
  2. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
    $\quad$
  3. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ admet un cycle ou une chaîne eulérienne.
    $\quad$
  4. Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ .
    $\quad$
  5. On donne $M^2=\begin{pmatrix}
    4&2&2&1&2&2&2&1&1\\
    2&5&1&3&1&1&1&2&0\\
    2&1&4&2&1&1&1&2&2\\
    1&3&2&4&1&1&0&1&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&0&0&0&3&2&1\\
    1&2&2&1&0&0&2&4&0\\
    1&0&2&0&0&0&1&1&2\\ \end{pmatrix}$
    $\quad$
    Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$.
    $\quad$

Partie B : Applications

Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s’aidant de la partie A.

On donne ci-dessous le plan simplifié d’un lycée.

  1. Le graphe $\Gamma$ donné en partie A modélise cette situation. Recopier et compléter le tableau suivant :
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée

    $\quad$

  2. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment I. A la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez-vous avec ses parents. Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l’élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins.
    $\quad$
  3. Le lycée organise une journée portes-ouvertes. Déterminer, en justifiant, s’il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. Si oui, déterminer ce chemin.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. L’aire hachurée sur le graphique ci-dessous est :
    a. $\e-\dfrac{1}{2}$
    b. $\e-\dfrac{3}{2}$
    c. $\e-1$
    d. $\e+\dfrac{1}{2}$

    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur $[1;3]$ est :
    a. $3$
    b. $\dfrac{13}{3}$
    c. $\dfrac{26}{3}$
    d. $\dfrac{4}{3}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

    On note $I=\ds \int_{-10}^{-5} g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-10\pp I \pp -5$
    b. $2\pp I \pp 7$
    c. $10\pp I \pp 35$
    d. $4\pp I \pp 8$
  4. $A$ et $B$ sont deux événement d’une expérience aléatoire. On note $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$. On sait que $p(A)=0,6$ ; $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,42$. On peut affirmer que :
    a. $p_A(B)=0,3$
    b. $p(A\cup B)=0,58$
    c. $p_B(A)=0,84$
    d. $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,28$
    $\quad$
  5. Si le prix d’un produit avait augmenté de $3,4\%$ par an durant $6$ ans, le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été de :
    a. $20,4\%$
    b. $23,1\%$
    c. $22,21\%$
    d. $24,21\%$
    $\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    Par conséquent $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, $f'(4)$ semble être négatif (fonction décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$).
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$. Calculer $\ds\int_2^4 f(x)\dx$ revient donc à calculer l’aire du domaine grisé.
    L’aire $\mathscr{A}$ du domaine grisé peut être encadrée par l’aire d’un trapèze (grande base =$2$, petite base=$1$, hauteur=$2$) et l’aire d’un carré de côté $2$.
    Donc $\dfrac{(2+1)\times 2}{2} <\mathscr{A}<2^2$ soit $3<\mathscr{A}<4$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f$ est dérivable sur $[-4;10]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-0,5x}-0,5(x+4)\e^{-0,5x} \\
    &=(1-0,5x-2)\e^{-0,5x} \\
    &=(-0,5x-1)\e^{-0,5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5x-1$
    $-0,5x-1=0\ssi -0,5x=1\ssi x=-2$
    $-0,5x-1>0\ssi -0,5x>1\ssi x<-2$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[-4;-2]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    $f(1)=5\e^{-0,5}\approx 3,03>1,5$ et $f(6)=10\e^{-3}\approx 0,50<1,5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 3,11$.
    $\quad$
  5. La fonction $F$ est dérivable sur $[-4;10]$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ on montre que $F'(x)=f(x)$.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2\e^{-0,5x}+(-2x-12)\times (-0,5\e^{-0,5x} \\
    &=(-2+x+6)\e^{-0,5x} \\
    &=(x+4)\e^{-0,5x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_2^4 f(x)\dx \\
    &=F(4)-F(2) \\
    &=-20\e^{-2}+16\e^{-1} \\
    &\approx 3,18 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a $p(S)=0,18$ et $p_{\conj{F}}(S)=0,175$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. D’après l’arbre précédent on a :
    $p\left(\conj{F}\cap S\right)=0,48\times 0,175=0,084$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_S\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{F}\cap S\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,084}{0,18} \\
    &\approx 0,467
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)=p(F\cap S)+p\left(\conj{F}\cap S\right) &\ssi 0,18=p(F\cap S)+0,084 \\
    &\ssi p(F\cap S)=0,096
    \end{align*}$
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} p_F(S)&=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,096}{0,52}\\
    &\approx 0,185
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeur d’emploi sans expérience.

On répète $5$ fois une expérience aléatoire, avec remise. Les expériences sont indépendantes les unes des autres et à chaque tirage il y a deux issues : $S$ et $\conj{S}$. On sait que $p(S)=0,18$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,18$.

On veut calculer :
$\begin{align*}P(X\pg 2)&=1-P(X=1)-P(X=0) \\
&\approx 0,222
\end{align*}$

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est $0,629$.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2016, il y aura $200 \times 0,85 + 42 = 212$ vélos.
    $\quad$
  2. Chaque année $85\%$ des vélos restent en service. Cela représente donc $0,85u_n$.
    On rajoute $42$ nouveaux vélos chaque année.
    On obtient ainsi la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,85u_n + 42$.
    $\quad$
  3. a. 
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & 212 &222&231&238\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Faux} \\
    \hline
    \end{array}$$
    L’algorithme affiche donc $238$.
    b. L’algorithme affiche donc $u_4$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1} & =u_{n+1} – 280 \\\\
    &=0,85u_n + 42 – 280 \\\\
    &= 0,85u_n – 238 \\\\
    &= 0,85u_n – 0,85 \times 280 \\\\
    &=0,85(u_n – 280) \\\\
    &=0,85v_n
    \end{align*}$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    De plus son premier terme est $v_0 = u_0 – 280 = 200 – 280 = -80$.
    $\quad$
    b. Ainsi $v_n = -80 \times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n = v_n + 280 = -80 \times 0,85^n+ 280$
    $\quad$
    d. Puisque $0 < 0,85 <1$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 280$.
    Au bout d’un grand nombre d’année, le nombre de vélo en circulation se stabilisera à $280$.
    $\quad$
  5. On doit donc calculer le nombre de vélo mis en service sur les cinq années :
    $\begin{align*} S &= u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 \\\\
    &= 200 + 212 +222+231+238 \\\\
    & = 1~103
    \end{align*}$
    Le coût total est donc de $1~103 \times 300 = 330~900$ euros sur cette période.
    $\quad$

Ex 3 Spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Etude d’un graphe

  1. Les sommets A et E, par exemple, ne sont pas adjacents. Le graphe $\Gamma$ n’est donc pas complet.
    $\quad$
  2. On peut toujours passer d’un sommet à un autre par une chaîne : le graphe $\mathscr{G}$ est donc connexe.
    $\quad$
  3. $\quad$
    sommet A B C D E F G H I
    degré $4$ $5$ $4$ $4$ $2$ $2$ $3$ $4$ $2$

    $\quad$
    Il y a donc $1$ sommets de degré impair. Le graphe $\mathscr{G}$ ne possède pas de cycle eulérien mais possède une chaîne eulérienne.
    $~$

  4. La matrice associée est :
    $$M = \begin{pmatrix}
    0&1&1&1&0&0&0&1&0 \\
    1&0&1&1&1&1&0&0&0 \\
    1&1&0&0&0&0&1&1&0 \\
    1&1&0&0&1&1&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&0&1&0&0&0&0&1&1 \\
    1&0&1&0&0&0&1&0&1 \\
    0&0&0&0&0&0&1&1&0
    \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  5. On a $M^3 = M \times M^2$
    On multiplie donc la $7^\text{ème}$ ligne de $M$ avec la $4^\text{ème}$ colonne de $M^2$
    $\begin{array}{c|c} &  \begin{pmatrix} 1\\3\\2\\4\\1\\1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \\
    \hline
    \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0&0&1&0&1 \end{pmatrix}  & 1 + 2 = 3 \end{array}$

$\quad$

Partie B : Applications

  1. $\quad$
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée
    administration
    Hall $1$
    Hall $2$
    Salle des professeurs
    CDI
    Cantine
    Bâtiment $1$
    Vie scolaire et infirmerie
    Bâtiment $2$
  2. L’élève veut donc aller du sommet G au sommet D en $3$ étapes. D’après la question 4 de la partie A, il existe $3$ chemins pour ce trajet :
    G-C-B-D $\quad$ G-C-A-D $\quad$G-H-A-D
    $\quad$
  3. Puisque le graphe $\Gamma$ possède une chaîne eulérienne, on peut visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut calculer $\ds \int_0^1 \e^x \dx =\left[\e^x\right]_0^1=\e^1-\e^0=\e-1$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-1}\ds \int_1^3 x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 \\
    &=\dfrac{27-1}{6} \\
    &=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. Il correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-10$ et $x=-5$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $2\times 5=10$.
    Ce domaine est contenu donc un rectangle dont les dimensions sont $7$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $7\times 5=35$.
    Par conséquent $10 \pp I\pp 35$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. On a $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,42}{0,5}=0,84$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le coefficient multiplicateur global est $\left(1+\dfrac{3,4}{100}\right)^6\approx 1,222~146$.
    Le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été d’environ $22,21\%$.
    Réponse c
    $\quad$

TES/TL – Exercices – AP – probabilités conditionnelles – loi binomiale

Exercices – Probabilités conditionnelles – Loi binomiale (AP)

Exercice 1     d’après Antilles Guyane septembre 2015

Un supermarché dispose d’un stock de pommes. On sait que $40\%$ des pommes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il a été constaté que $85\%$ des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de $95\%$ pour le fournisseur B.
Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :

  • $A$ : “la pomme provient du fournisseur A”;
  • $B$ : “la pomme provient du fournisseur B”;
  • $C$ : “la pomme est commercialisable”.

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est $0,09$.
    $\quad$
  3. La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois plus de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison?

Partie B

On admet que la proportion de pommes non commercialisables est $0,09$ et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.

On prend au hasard $15$ pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

  1. Quelle est la probabilité que les $15$ pommes soient toutes commercialisables?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’au moins $14$ pommes soient commercialisables?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    BAC ESL-Antilles-septembre 2015-ex2
  2. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*}
    p\left(\overline{C}\right) &=p\left(A\cap \overline{C}\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)\\\\
    &=0,4 \times 0,15+0,6\times 0,05\\\\
    &=0,09
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On va calculer $p_{\overline{C}}(A)$ et $p_{\overline{C}}(B )$
    $\begin{align*} p_{\overline{C}}(A) &= \dfrac{p\left(A \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,4\times 0,15}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$ $\qquad$ $\begin{align*} p_{\overline{C}}(B) &= \dfrac{p\left(B \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Le responsable a donc raison.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pommes commercialisables.
    On prélève $15$ pommes; le tirage est considéré comme étant aléatoire et avec remise. Les tirages sont indépendants et à chaque fois on ne peut avoir que deux événements $C$ et $\overline{C}$.
    De plus $p(C)=1-0,09=0,91$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,91)$.
    Ainsi $P(X=15)=0,91^{15}\approx 0,243$.
    $\quad$
  2. On veut ici calculer:
    $\displaystyle \begin{align*} P(X\ge 14) &=P(X=14)+P(X=15)\\\\
    &=\binom{15}{14}\times0,91^{14}\times 0,09+0,91^{15}\\\\
    &\approx 0,604
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     Antilles Guyane juin 2015

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que $70\%$ des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, $80\%$ pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve $10\%$ qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

  • $S$ : “l’élève interrogé est sensible au développement durable”;
  • $T$ : “l’élève interrogé” pratique le tri sélectif”.
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité $P(T)$ de l’événement $T$ est $0,59$.
    $\quad$
  4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
    Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à $10\%$.
    $\quad$
  5. On interroge successivement et de façon indépendant quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les $4$ élèves interrogés.
    Le nombre d’élèves de l’établissement est suffisamment grand pour que l’on considère que $X$ suit une loi binomiale.
    a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    BAC ESL - Antilles Guyane - juin 2015 - ex2
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(S \cap T) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T) &= P(S \cap T) + P\left(\overline{S} \cap T\right) \\\\
    &= 0,56 + 0,3 \times 0,1 \\\\
    &= 0,59
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\overline{T}}(S) & =\dfrac{P\left(\overline{T} \cap S\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\\\
    &= \dfrac{0,7 \times 0,2}{1-0,59} \\\\
    & \approx 0,34
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,59)$.
    $\quad$
    b. $P(X = 0) = \ds \binom{4}{0} \times 0,59^0 \times 0,41^4 \approx 0,03$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X \ge 2) & = 1 – \left(P(X = 0) + P(X = 1)\right) \\\\
    &\approx 1 – 0,19 \\\\
    &\approx 0,81
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

 

TES/TL – Exercices – Loi binomiale

Loi binomiale

probabilités conditionnelles, lois de probabilité

 

Exercice 1     d’après Liban mai 2018 

$80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:
    $\bullet$ la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;
    $\quad$
    $\bullet$ la probabilité qu’au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
    $\quad$
  4. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1.  On répète $80$ fois la même expérience aléatoire. Toutes les “tirages” sont identiques, indépendants. Chaque expérience possède exactement deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,021~92$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,021~92$.
    $\quad$
  2. $E(X)=np=1,753~6$.
    Un moyenne environ $1,7$ personnes feront sonner le portique.
    $\quad$
  3. La probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est :
    $P(X \pg 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,021~92)^{80} \approx 0,830$
    $\quad$
    La probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique est :
    $P(X \pp 5) \approx 0,992$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  4. En utilisant le mode table de la calculatrice on obtient :
    $P(X \pp 2) \approx 0,744$ et $P(X \pp 3) \approx 0,901$
    Donc $3$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2     d’après Asie juin 2018

Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?

$\quad$

Correction Exercice 2

On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
De plus $p(E)=0,2$.
La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 3     d’après Antilles Guyane juin 2018

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types: “Terre”, “Air” ou “Feu”.
Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
La probabilité que Victor obtienne un personnage de type “Terre” est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type “Terre” obtenus au début de ses $10$ parties.

  1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type “Terre” au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type “Terre” au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Il y a $10$ tirages indépendants, aléatoires, identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $p(T)=0,3$
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. $P(Y=3)=\ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27$
    La probabilité que Victor ait obtenu exactement $3$ personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égale à $0,27$
    $\quad$
  3. $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-0,7^{10}\approx 0,97$.
    La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égal à $0,97$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4     d’après Antilles Guyane septembre 2018

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de sur-réservation afin d’abaisser les coûts.
Les réservations ne peuvent se faire qu’auprès d’une agence ou sur le site Internet de la compagnie.
Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.
On suppose que le nombre de clients se présentant à l’embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.

  1. Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement.
    $\quad$
  3. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de sur-réservation (c’est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l’embarquement que de places).
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
    La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
    La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
    $\quad$
  3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
    La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     Métropole juin 2017

L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :

  • si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas ;
  • si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas.

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

  • $B$ l’événement : “l’angine du malade est bactérienne” ;
  •  $T$ l’événement : “le test effectué sur le malade est positif” .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
    $\quad$
    c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
    $\quad$
  3. On choisit au hasard cinq malades atteints d’une angine.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut déterminer $p(B\cap T)=0,2\times 0,7=0,14$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1 \\
    &=0,22
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,14}{0,22} \\
    &=\dfrac{7}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$. De plus $p(T)=0,22$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 1) = 1-p(X=0) =1-0,78^5\approx 0,711$
    $\quad$
    c. L’espérance est $E(X)=np=1,1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6     Nouvelle Calédonie novembre 2017

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour. À l’aller, le bateau est choisi dans $65\%$ des cas.
Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour $9$ fois sur $10$.
Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans $70\%$ des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants :

  • $A$ : “le client choisit de faire l’aller en bateau” ;
  • $R$ : “le client choisit de faire le retour en bateau” .

On rappelle que si $E$ est un événement, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un client de l’agence.
    a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à $0,31$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard $20$ clients de cette agence.
    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
    On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.
    a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’exactement $12$ clients utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins $2$ clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
  4. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de $1~560$ € en bateau ; il est de $1~200$ € en train.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
    a. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer $p(A\cap R)=0,65\times 0,9=0,585$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap R\right)+p\left(A \cap\conj{R}\right)&=0,65\times 0,1+0,35\times 0,7 \\
    &=0,065+0,245\\
    &=0,31
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Les paramètres de loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ sont $n=20$ et $p=0,31$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $p(X=12)=\displaystyle \binom{20}{12}\times 0,31^{12}\times 0,69^8\approx 0,005$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $p(X\pg 2)=1-P(X\pp 1)\approx 0,994$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  4. a. Le coût d’un aller-retour en bateau est de $3~120$€. La probabilité associée est $0,585$
    Le coût d’un voyage utilisant les deux moyens de transports est de $2~760$€. La probabilité associée est $0,31$.
    le coût d’un aller-retour en train est de $2~400$€. La probabilité associée est $1-0,585-0,31=0,105$.
    On obtient ainsi la loi de probabilité suivante:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i&3~120&2~760&2~400\\
    \hline
    P\left(Y=y_i\right)&0,585&0,31&0,105\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} E(Y)&=0,585\times 3~120+0,31\times 2~760+0,105\times 2~400\\
    &=2~932,8
    \end{align*}$
    Cela signifie donc qu’en moyenne un client payera $2~932,8$€ pour un aller-retour.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7     d’après Nouvelle Calédonie février 2018

Cette étude porte sur l’utilisation principale des véhicules du parc automobile français.
Les réponses seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Les véhicules de la région parisienne représentent $16\%$ du parc automobile français en 2015.
$22\%$ des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $34\%$ pour les loisirs.
En province, $49\%$ des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $31\%$ pour les loisirs.
On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

On note :

  • $R$ l’événement : “le véhicule provient de la région parisienne”,
  • $\conj{R}$ l’événement : “le véhicule provient de la province”,
  • $T$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail”,
  • $L$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs”,
  • $F$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour d’autres fonctions que le travail ou les loisirs”.

On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux événements, $p(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à $0,446~8$.
    $\quad$
  3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l’utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne ?
    $\quad$

$\quad$

Partie B

On sélectionne un échantillon aléatoire de $10$ véhicules du parc automobile français. On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

  1. Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(R\cap T)+p\left(\conj{R}\cap T\right) \\
    &=0,16 \times 0,22 + 0,84\times 0,49 \\
    &=0,446~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On calcule dans un premier temps, à l’aide de la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(L)&=p(R\cap L)+p\left(\conj{R}\cap L\right) \\
    &=0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\
    &=0,314~8
    \end{align*}$
    Ainsi $p_L(R)=\dfrac{p(R\cap L)}{p(L)}=\dfrac{0,16\times 0,34}{0,314~8}\approx 0,172~8$
    et $p_T(R)=\dfrac{R\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,16\times 0,22}{0,446~8} \approx 0,078~8$
    Ainsi Madame Dupont a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne.
    $\quad$

Partie B

  1. Le nombre de véhicule du parc automobile français est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage à un tirage aléatoire avec remise.
    Les $10$ tirages sont également indépendants et possède chacun $2$ issues : $T$ et $\conj{T}$
    Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,446~8$.
    $\quad$
  2. $P(X=2)=\displaystyle \binom{10}{2}\times 0,446~8^2\times (1-0,446~8)^8\approx 0,078~8$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,446~8)^{10}\\
    &\approx 0,997~3
    \end{align*}$
    $\quad$

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TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=(x-3)^2+1$.

  1. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  2. En déduire les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\quad$
  3. Calculer l’aire du domaine hachuré.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=\left(x-3\right)^2+1 \\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+9+1\\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+10\\
    &\ssi 2x^2-12x+10=0 \end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme est $\Delta =(-12)^2-4\times 2\times 10=64=8^2>0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $x_1=\dfrac{12-8}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{12+8}{4}=5$.
    $\quad$
  2. De plus $f(1)=5$ et $f(5)=5$.
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(1;5)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(5;5)$.
    $\quad$
  3. $f(x)\pg g(x) \ssi -2x^2+12x-10\pg 0 \ssi x\in[1;5]$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    Par conséquent l’aire du domaine hachuré est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds\int_1^5\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^5\left(-2x^2+12x-10\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+6x^2-10x\right]_1^5 \\
    &=\dfrac{50}{3}-\left(-\dfrac{14}{3}\right) \\
    &=\dfrac{64}{3} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=x+4$.

  1. Calculer l’aide du domaine hachuré.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0;6]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On détermine dans un premier temps les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=x+4 \\
    &\ssi -x^2+5x-4=0\end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta = 5^2-4\times (-1)\times (-4)=9=3^2>0$
    Les solutions de l’équation $-x^2+5x-4=0$ sont donc $x_1=\dfrac{-5-3}{-2}=4$ et $x_2=\dfrac{-5+3}{-2}=1$.
    Or $f(1)=5$ et $f(4)=8$.
    Le coefficient principal du polynôme $-x^2+5x-4$ est $-1<0$. Il est par conséquent positif sur l’intervalle $[1;4]$.
    On en déduit donc que sur l’intervalle $[1;4]$ on a $f(x)\pg g(x)$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    L’aire du domaine hachuré est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^4\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^4 \left(-x^2+5x-4\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2-4x\right]_1^4 \\
    &=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{11}{6}\right) \\
    &=\dfrac{9}{2} \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;6]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{6-0}\ds\int_0^6 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\int_0^6\left(-x^2+6x\right)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\left[-\dfrac{1}{3}x^3+3x^2\right]_0^6 \\
    &=\dfrac{36}{6}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Ne pas confondre “dériver” et “déterminer une primitive”!

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2\right)\e^x$.

  1. Déterminer l’expression algébrique de la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x\right)\e^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Calculer $I=\ds \int_2^5 f(x)\dx$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note : $u(x)=x^2-2$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(2x+x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+2x-2\right)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note $u(x)=x^2-2x$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x-2$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Nous allons étudier le signe de $f'(x)=\left(x^2+2x-2\right)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-2$.
    $\Delta =2^2-4\times 1\times (-2)=12>0$.
    Les racines de ce polynômes sont : $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{12}}{2}=-1-\sqrt{3}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{12}}{2}=-1+\sqrt{3}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x) \pg 0$ sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$
    $\bullet$ $f'(x)\pp 0$ sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_2^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(2) \\
    &=15\e^5\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

Exercices – TES/TL – Intégration et études de fonctions

Intégration et étude de fonctions

Exercice 1     Pondichéry 2017  

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
    $\quad$
  3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
    a. $[9;17]$
    b. $[18;26]$
    c. $[27;35]$
    $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
    $\quad$
    b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
    a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
    a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
    $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)

$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A

  1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
    $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
    $\quad$
  3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.

    Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
    Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[18;26]$ Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
    $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;7]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
    $\quad$
  4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur de l’aire du domaine est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
    &=F(3)-F(1)\\
    &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
    &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
    &\approx 10,778
    \end{align*}$
    Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
    $\quad$
    b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
    D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
    L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2    Centres étrangers 2017

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3    Métropole septembre 2017

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de $300$ euros.
On note $x$ le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l’intervalle $[3;10]$, si le prix de vente d’une enceinte est $x$ centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par : $$f(x)=e^{-0,25x+5}$$
Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros.
Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d’acheteurs est approché par $f(4)$.

  1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
    $\quad$
  2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte?
    On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros par enceinte.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$, $$g(x)=(x-3)\e^{-0,25x+5}$$
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{factoriser(dériver}\left[(x-3)*\exp(-0,25x+5)\right] \\
    \hline
    \hspace{3cm} -\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5} \\
    \hline
    \end{array}$
    a. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b. Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près.
    $\quad$
  5. Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3;10]$.
    a. Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. On pose $I=\ds \int_3^{10} g(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(4)=\e^{-0,25\times 4+5}=\e^{4} \approx 54,60$
    On peut donc prévoir environ $55$ acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    $\quad$
  2. La marge brute, si le prix de vente est de $400$ euros, est $55*400-300\times 55=5~500$ euros.
    $\quad$
  3. Si $x$ appartient à l’intervalle $[3;10]$ alors :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)-3f(x) \\
    &=(x-3)f(x) \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5}
    \end{align*}$
  4. a. D’après l’affichage du calcul formel on a $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$.
    La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-(x-7)$.
    Ainsi :
    $\bullet$ si $x\pp 7$ alors $x-7\pp 0$ et $-(x-7)\pg 0$ : la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[3;7]$.
    $\bullet$ si $x\pg 7$ alors $x-7\pg 0$ et $-(x-7) \pp 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[7;10]$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est maximale quand $x=7$ et $g(7)=4\e^{3,25}\approx 103,16$.
    L’entreprise réaliser une marge brute maximale d’environ $10~316$ euros quand le prix de vente unitaire est de $700$ euros.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;10]$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-4\e^{-0,25x+5}-0,25\times (-4x-4)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(-4+x+1)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I&=\int_3^{10} g(x)\dx \\
    &=G(10)-G(3) \\
    &=-44\e^{2,5}-\left(-16\e^{4,25}\right) \\
    &=-44\e^{2,5}+16\e^{4,25}
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

 

TES/TL – Exercices – AP – Intégration

Exercices – Intégration – AP

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+5$

  1. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
    $\quad$
  2. Résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement l’aire du domaine compris entre  la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=2,5$.
    $\quad$
  4. En déduire la valeur de $I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx$.
    $\quad$
  5. Calculer la valeur de $I$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On obtient la courbe suivante :

    $\quad$
  2. $f(x)\pg 0 \ssi -2x+5\pg 0 \ssi -2x\pg -5 \ssi x \pp 2,5$
    $\quad$
  3. On calcule l’aire d’un triangle rectangle : $\mathscr{A}=\dfrac{2,5\times 5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2,5]$ donc
    $I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx = 6,25$ u.a.
    $\quad$
  5. À l’aide de la calculatrice on retrouve $I=6,25$ u.a.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=-x^2+4x$.
On souhaite déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses.

  1. Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale que l’on appellera $I$.
    $\quad$
  2. Encadrer cette aire par une somme d’aires de de carrés situés au-dessous de la courbe et au-dessus de la courbe. En déduire un encadrement grossier ce de cette aire.
    $\quad$
  3. Donner un encadrement de cette aire à une unité près.
    $\quad$
  4. Calculer $I$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;4]$. Par conséquent :
    $I=\ds \int_0^{4}f(x)\dx$
    $\quad$
  2. On peut écrire l’encadrement : $ 6\pp I\pp 16$.
    $\quad$
  3. Pour obtenir un encadrement à une unité près on peut écrire $10 \pp I\pp 11$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice on a $I\approx 10,67$ u.a.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Indiquer à quoi correspond chaque aire hachurée à l’aide d’une intégrale et déterminer graphiquement sa valeur en unité d’aire.

 

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On veut calculer l’aire d’un trapèze :
    $\mathscr{A}_1=\ds\int_{-1}^2 (x+3)\dx=\dfrac{(2+5)\times 3}{2}=10,5$ u.a.
    $\quad$
  2. On veut calculer également l’aire d’un trapèze :
    $\begin{align*}\mathscr{A}_2 &=\ds \int_{-2}^2\left(-\dfrac{1}{3}x+3\right)\dx \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\times 2+3-\dfrac{1}{3}\times 2+3\right)\times 4}{2} \\
    &=12 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes dont une expression algébrique est fournie:

  1. $f(x)=5$ $\quad$ $g(x)=5x$ $\quad$ $h(x)=6-3x$ $\quad$ $i(x)=x^2-3$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^x$ $\quad$ $g(x)=\e^x-2x$ $\quad$ $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$ avec $x\neq 0$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=5x$.
    Une primitive de la fonction $G$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{5}{2}x^2$.
    Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=6x-\dfrac{3}{2}x^2$.
    Une primitive de la fonction $i$ est la fonction $I$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{x}{3}-3x$.
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x$.
    Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-x^2$.
    Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R^*$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x}$.
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 5

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $u’\e^u$.

  1. $f(x)=(x+1)\e^{x^2+2x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\e^{1-7x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\e^{3x-5}$
    $\quad$
  4. $f(x)=5x+4+\e^{-2x}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\e^x+\e^{-x}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $u(x)=x^2+2x$ donc $u'(x)=2x+2$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+2x}$.
    $\quad$
  2. On a $u(x)=1-7x$ donc $u'(x)=-7$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{7}\e^{1-7x}$.
    $\quad$
  3. On a $u(x)=3x-5$ donc $u'(x)=3$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{3x-5}$.
    $\quad$
  4. On a $u(x)=-2x$ donc $u'(x)=-2$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+4x-\dfrac{1}{2}\e^{-2x}$.
    $\quad$
  5. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-\e^{-x}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $\dfrac{u’}{u^2}$ ou $u’\times u$.

  1. $f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
    $\quad$
  2. $f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
    On a $u(x)=x^2+x$ donc $u'(x)=2x+1$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^2+x\right)^2$.
    $\quad$
  2. $f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
    $u(x)=3x^2+4x$ donc $u'(x)=6x+4$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)\times u(x)$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{4}\left(x^2+x\right)^2$.
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
    On a $u(x)=x^2+3x$ donc $u'(x)=2x+3$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x^2+3x}$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
    On a $u(x)=\e^x+7x+2$ donc $u'(x)=\e^x+7$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
    On a $u(x)=\e^x-x$ donc $u'(x)=\e^x-1$.
    On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{-u’}{u^2}$ est $\dfrac{1}{u}$.
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ puis proposer une autre fonction $G$ telle que pour tout $x\in I$ on ait $G'(x)=f(x)$.

  1. $f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  2. $f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  3. $f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  4. $f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
    $\quad$
  6. $f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
    $\quad$
  7. $f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times\e^{-x}-(-x-3)\e^{-x} \\
    &=(-1+x+3)\e^{-x} \\
    &=(x+2)\e^{-x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=(-x-3)\e^{-x}+1$
    $\quad$
  2. $f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+x\e^x-4\times 2x \\
    &=(1+x)\e^x-8x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=x\e^x-4x^2+1$
    $\quad$
  3. $f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{7}{2}\times 2x+5 \\
    &=x^2-7x+5\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x$
    $\quad$
  4. $f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=2(4x+7)+(2x-1)\times 4 \\
    &=8x+14+8x-4\\
    &=16x+10\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=8x^2+10x$
    $\quad$
  5. $f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1\times (x-1)-(x+5)\times 1}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{-6}{(x-1)^2} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x+5}{x-1}+1$
    $\quad$
  6. $f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=2\left(\e^x-1\right)+2x\times \e^x \\
    &=2\e^x-2+2x\e^x \\
    &=2(1+x)\e^x-2\\
    &=2\left((x+1)\e^x-1\right)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=2x\left(\e^x-1\right)+1$
    $\quad$
  7. $f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
    La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{5}{x^2}-4 \\
    &=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
    Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{5}{x}-4x+1$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Soit $f$ une fonction définie sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $f(x)=-2x+5$.

  1. On définit la fonction $F$ sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $F(x)=-x^2+5x$.
    Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Calculer $F(2,5)-F(0)$.
    $\quad$
  3. En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ et comparer à la valeur de $I$ calculée à l’exercice 1.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. La fonction $F$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ en tant que fonction polynôme.
    $F'(x)=-2x+5=f(x)$.
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. $F(2,5)-F(0)=6,25-0=6,25$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est positive et continue sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ est donc :
    $\ds \int_0^{2,5} f(x)\dx=F(2,5)-F(0)=6,25$ u.a.
    $\quad$
    On retrouve la valeur de $I$ de l’exercice 1.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 9

On se propose de déterminer la valeur exacte de l’aire de l’exercice 2.

  1. Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+4x$ qui s’annule en $x=0$.
    $\quad$
  2. Calculer $F(4)$ et comparer cette valeur à celle de l’intégrale calculée à la question 4 de l’exercice 2.
    $\quad$
Correction Exercice 9

  1. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2$.
    De plus $F(0)=0$.
    $\quad$
  2. $F(4)=-\dfrac{4^3}{3}+2\times 16=\dfrac{32}{3}$
    $\quad$
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $4$ est donc :
    $\ds\int_0^4 f(x)\dx=F(4)-F(0)=\dfrac{32}{3}$ u.a.
    C’est cohérent avec la valeur approchée trouvée à la question 4 de l’exercice 2.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 10

  1. Déterminer un encadrement à une unité d’aire près de l’aire délimitée par la surface grisée.
    $\quad$
  2. La représentation graphique donnée ci-dessus est celle de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=1+0,3(x-4)^2$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de l’aire délimitée par la surface grisée.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. L’aire de la surface grisée est comprise entre $6$ et $7$ u.a.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} \ds \int_1^5 f(x)\dx &=\left[x+\dfrac{0,3}{3}(x-4)^3\right]_1^5 \\
    &=5+0,1(5-4)^3-1-0,1(1-4)^3 \\
    &=6,8 \text{u.a.}\end{align*}$

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$\quad$

TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 4

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Problèmes de synthèse

 

Exercice 1 (d’après Nouvelle Calédonie – novembre 2015)

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Partie A

  1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;10]$, $f'(x)=(-2x+7)\e^{-x+4}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
    $\quad$
  3. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;10]$ et déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise fabrique entre $0$ et $1~000$ objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par : $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

  1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?
    Quel est ce bénéfice maximal en euros?
    $\quad$
  2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A

  1. $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme, composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=2\e^{-x+4}-(2x-5)\e^{-x+4} = (2-2x+5)\e^{-x+4}=(-2x+7)\e^{-x+4}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $-2x+7$.
    Or $-2x+7=0 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ et $-2x+7 > 0 \ssi x \le \dfrac{7}{2}$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex4
    $f(0) = -5\e^4+20 \approx -252,991$
    $f\left(\dfrac{7}{2}\right)=2\e^{0,5}+20\approx 23,297$
    $f(10)=15\e^{-6}+20\approx 20,037$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $f(0)<0$ et $f\left(\dfrac{7}{2}\right)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    Sur $\left[\dfrac{7}{2};10\right]$, $f(x)\ge f(10) > 0$
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc bien une unique solution sur $[0;10]$.
    $1,59 < \alpha <1,6$
    $\quad$

 

Partie B

  1. D’après le tableau de variations la fonction atteint son maximum pour $x=3,5$.
    Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc fabriquer $350$ objets par semaine.
    $\quad$
    Le bénéfice maximal est d’environ $23~297$ euros.
    $\quad$
  2. Pour avoir un bénéfice positif, il faut donc que l’entreprise fabrique entre $160$ et $1~000$ objets.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (Pondichéry avril 2016)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre $1$ et $15$ tonnes de granulés par jour.

  • Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$C(x) = 0,3x^2-x + \e^{-x + 5}$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
  • Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de $300$ euros.
    La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par: $$R(x) = 3x$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
  • On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathscr{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d’origine $O$.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

  1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
    $\quad$
  2. a. Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus.
    $\quad$
    b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$g(x) =-0,6x + 4 + \e^{-x + 5}$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

  1. a. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
    b. En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;15]$, en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l’unité.
    $\quad$
    b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$

Partie C : Application économique

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a : $$D (x) = -0,3x^2 + 4x -\e^{-x + 5}$$
  2. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $D’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $D$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
    On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
    $\quad$
    b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A : Etude graphique

  1. Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour une production d’environ $4,5$ tonnes.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement $C(6) \approx 5,1$ et $R(6) \approx 18$.
    Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus vaut environ $(18-5,1)\times 100=1~290$ euros.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise un bénéfice quand la production est comprise entre $2,9$ et $13,2$ tonnes environ.
    $\quad$

Partie B : Etude d’une fonction

  1. a. $g'(x)=-0,6-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent $g'(x)<0$ sur $[1;15]$ et la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a.
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 6,9$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est strictement décroissante et s’annule en $\alpha$.
    On a donc le tableau de signes suivant :
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2.2$\quad$

Partie C : Application économique

  1. $D(x)=R(x)-C(x) = 3x-0,3x^2+x-\e^{-x+5}=4x-0,3x^2-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
  2. $D'(x)=4-2\times 0,3x-(-1)\e^{-x+5}=4-0,6x+\e^{-x+5}=g(x)$.
    $\quad$
  3. D’après la question B.2.c :
    – $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$
    – $g$ est décroissante sur l’intevalle $[\alpha;15]$
    $\quad$
  4. a. Le bénéfice est donc maximal quand $x=\alpha$ soit environ $6,9$ tonnes.
    $\quad$
    b. $D(6,9) \approx 13,17$.
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $1~317$ euros.
    $\quad$

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