Terminale – Cours – Nombres complexes – Équations polynomiales

Nombres complexes – Équations polynomiales

I Équations du second degré

Propriété 1 : On considère, dans $\C$ l’équation du second degré $az^2+bz+c = 0$ où $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a \ne 0$.
On appelle $\Delta = b^2-4ac$.

  • Si $\Delta > 0$ l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • Si $\Delta = 0$ l’équation admet une unique solution $z_0 = \dfrac{-b}{2a}$
  • Si $\Delta < 0$ l’équation admet deux solutions complexes distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} = \conj{z_1}$$
Preuve Propriété 1

Les cas $\Delta >0$ et $\Delta=0$ ont déjà été démontrés en 1ère.
On va donc démontrer le cas $\Delta<0$.

$$\begin{align*}
az^2+bz+c &= a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2 -4ac}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{\Delta}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{\ic^2(-\Delta)}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2-\left(\dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)^2 \right) \\
&= a\left(z + \dfrac{b}{2a} – \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)\left(z + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)
\end{align*}$$

L’équation $az^2+bz+c = 0$ possède alors deux solutions $z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \conj{z_1}$

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$\quad$

Exemple : On considère l’équation complexe $z^2+3z+6 = 0$.
Le discriminant est :
$\begin{align*}\Delta &= 3^2-4\times 6\\
&= -15\\
&< 0\end{align*}$
L’équation possède deux solutions complexes :
$$z_1 = \dfrac{-3-\ic \sqrt{15}}{2} \text{ et } z_2 =\conj{z_1} = \dfrac{-3 +\ic\sqrt{15}}{2}$$

Propriété 2 (cas particulier) : On considère un réel $a$.

  • Si $a>0$ l’équation $z^2=a$ possède deux solutions $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  • Si $a=0$ l’équation $z^2=a$ possède une unique solution $0$.
  • Si $a<0$ l’équation $z^2=a$ possède deux solutions $-\ic\sqrt{-a}$ et $\ic\sqrt{-a}$.
Preuve Propriété 2

Les deux premiers cas ont été vus les années précédentes.

Si $a<0$.
On veut donc résoudre l’équation $z^-a=0$.
Le discriminant est
$\begin{align*}\Delta&=0^2-4\times 1\times (-a)\\
&=4a\\
&<0\end{align*}$
L’équation possède alors deux racines complexes
$\begin{align*}z_1&=\dfrac{-\ic\sqrt{-\delta}}{2} \\
&=\dfrac{-\ic\sqrt{-4a}}{2}\\
&=\dfrac{-2\ic\sqrt{-a}}{2}\\
&=-\ic\sqrt{-a}\end{align*}$ $\qquad$ et $\begin{align*} z_2&=\conj{z_1} \\
&=\ic\sqrt{-a}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Les solutions de l’équation $z^2=-5$ sont $z_1=-\ic\sqrt{5}$ et $z_2=\ic \sqrt{5}$.

$\quad$


$\quad$

II Polynômes à coefficients réels

Définition 1 : On considère un entier naturel $n$.
Un polynôme $P$ de degré $\boldsymbol{n}$ à coefficients réels de la variable complexe $z$ est une expression s’écrivant sous la forme $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0$ où $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_{n-1}$, $a_n$ sont des réels tels que $a_n\neq 0$.
$n$ est appelé le degré du polynôme $P$.

Remarques :

  • On écrit souvent $P(z)=\ds \sum_{k=0}^n a_kx^k$.
  • $n$ est le plus grand exposant de $z^k$ tel que $a_k$ soit non nul.
  • Le polynôme nul est un polynôme dont tous ses coefficients sont nuls.
  • On parle de polynôme à coefficients complexes si les nombres $a_i$ sont complexes. Ce sont ces polynômes qu’on va utiliser dans les définitions et propriétés.

Exemple : $P(z)=5z^4-6z^3+8z^2-z+3$ est un polynôme de degré $4$.

Définition 2 : On considère un polynôme $P$. $z_0$ est une racine de $P$ si $P\left(z_0\right)=0$.

Exemple : On considère le polynôme $P(z)=z^3+4z^2+5z+2$. $-1$ est une racine de $P$. En effet :
$\begin{align*} P(-1)&=(-1)^3+4(-1)^2+5\times (-1)+2 \\
&=-1+4-5+2\\
&=0\end{align*}$

Propriété 3 : On considère un entier naturel $n$ non nul et un nombre complexe $a$.$$z^n-a^n=(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\ldots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right)$$

Preuve Propriété 3

$\begin{align*} &(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\ldots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right) \\
&=z^n+az^{n-1}+\ldots+a^{n-2}z^2+a^{n-1}z\\
&\phantom{=}-\left(az^{n-1}+a^2z^{n-2}+\ldots+a^{n-1}z+a^n\right) \\
&=z^n\textcolor{red}{+az^{n-1}}\textcolor{blue}{+a^2z^{n-2}}+\ldots\textcolor{orange}{+a^{n-2}z^2}\textcolor{Green}{+a^{n-1}z}\\
&\phantom{=z^n~}\textcolor{red}{-az^{n-1}}\textcolor{blue}{-a^2z^{n-2}}-\ldots\textcolor{orange}{-a^{n-2}z^2}\textcolor{Green}{-a^{n-1}z}-a^n\\
&=z^n-a^n\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Remarques :

  • On écrit souvent $z^n-a^n=(z-a)\left(\ds\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-1-k}a^k\right)$
  • La simplification qui apparaît dans la démonstrations s’appelle un télescopage
  • On a donc factoriser le polynôme $z^n-a^n$

Exemples :

  • $z^5-7^5=(z-5)\left(z^4+7z^3+7^2z^2+7^3z+7^4\right)$
  • $z^4-1=(z-1)\left(z^3+z^2+z+1\right)$
  • $z^3+1=z^3-(-1)^3=(z+1)\left(z^2-z+1\right)$
Propriété 4 : On considère un polynôme $P$ de degré $n$ non nul et $a$ un nombre complexe.
Si $P(a)=0$ alors il existe un polynôme $Q$ a coefficients complexes de degré $n-1$ tel que $P(z)=(z-a)Q(z)$.
Preuve Propriété 4

On note $P(z)=\ds \sum_k=0^n c_kz^k$.
$P(a)=0 \ssi \ds \sum_k=0^n c_ka^k=0$
Pour tout nombre complexe $z$ on a :
$\begin{align*} P(z)&=P(z)-P(a) \\
&=\ds \sum_k=0^n c_kz^k-\sum_k=0^n c_ka^k \\
&=\sum_k=0^n c_k\left(z^k-a^k\right)\\
&=\sum_k=1^n c_k\left(z^k-a^k\right) \quad (1)\\
\sum_k=1^n c_k(z-a)\left(\sum_{p=0}^{k-1}z^{k-1-p}a^p\right) \quad (2) \\
&=(z-a)\left(\sum_{k=1}^nc_k\left(\sum_{p=0}^{k-1}z^{k-1-p}a^p\right)\end{align*}$
$c_n \neq 0$ donc $Q(z)=\sum_{k=1}^nc_k\left(\sum_{p=0}^{k-1}z^{k-1-p}a^p\right)$ est un polynôme de degré $n-1$.
Ainsi $P(z)=(z-a)Q(z)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère le polynôme $P$ de degré $3$ défini par $P(z)=z^3+z^2-14z-24$
On constate que :
$\begin{align*} P(4)&=4^3+4^2-14\times 4-24\\
&=0\end{align*}$
Il existe donc un polynôme $Q$ de degré $2$ tel que $P(z)=(z-4)Q(z)$
On note $Q(z)=az^2+bz+c$
Ainsi :
$\begin{align*}P(z)&=(z-4)Q(z)\\
&=(z-4)\left(az^2+bz+c\right)\\
&=az^3+bz^2+cz-4az^2-4bz-4c\\
&=az^3+(b-4a)z^2+(c-4b)z-4c\end{align*}$
Ainsi $P(z)=z^3+z^2-14z-24$ et $P(z)=az^3+(b-4a)z^2+(c-4b)z-4c$
On procède par identification :
$\begin{cases} a=1\\b-4a=1\\c-4b=-14\\-4c=-24 \end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b-4=1\\c=6\\6-4b=-14\end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=5\\c=6\end{cases}$
Par conséquent $P(z)=(z-4)\left(z^2+5z+6\right)$
En utilisant le discriminant on obtient ensuite $P(z)=(z-4)(z+3)(z+2)$.
$\quad$

Propriété 5 : On considère un entier naturel $n$ non nul et un polynôme $P$ de degré $n$.
$P$ possède au plus $n$ racines.
Preuve Propriété 5

On va démontrer cette propriété par récurrence sur $n$.

Initialisation : Si $n=1$ alors $P$ est défini par $P(z)=az+b$.
La seule racine de $P$ est $z_0=-\dfrac{b}{a}$. ($a\neq 0$ puisque $P$ est de degré $1$).
$P$ possède donc bien au plus $1$ racines (il en possède en fait exactement une pour cette valeur de $n$).
La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Tout polynôme de degré $n$ possède donc au plus $n$ racines.
On considère un polynôme $P$ de degré $n+1$.
Deux cas de figures s’offrent à nous :
– $P$ ne possède pas de racines. Puisque $0<n+1$ la propriété est vraie.
– $P$ possède au moins une racine $a$. D’après la propriété précédente il se factorise donc par $z-a$.
Il existe alors un polynôme $Q$ de degré $n$ tel que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $P(z)=(z-a)Q(z)$.
$Q$, étant de degré $n$, possède au plus $n$ racines. Par conséquent $P$ possède au plus $n+1$ racines.
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Cela signifie donc que si on a déterminé $n$ racines d’un polynôme de degré $n$ il n’y en a pas d’autre.

Propriété 6 : On considère un entier naturel $n$ non nul et un polynôme $P$ de degré $n$.
L’équation $P(z)=0$ possède au plus $n$ solutions.
Preuve Propriété 6

C’est une conséquence directe de la propriété précécente.
En effet $z$ est une racine de $P$ si, et seulement si, $P(z)=0$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : L’équation $4z^7+5z^4-2z^3+4z-1=0$ possède donc au plus $7$ racines.

$\quad$

Terminale – Cours – Nombres complexes et trigonométrie

Nombres complexes et trigonométrie

I Formule d’addition et de duplication

Propriété 1 (formules d’addition) : On considère deux réels $a$ et $b$. On a alors :

  • $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
  • $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
  • $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
  • $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

Preuve Propriété 1

  • Dans le repère orthonormé $\Oij$ on considère le point $A$ du cercle trigonométrique image du réel $a$ et le point $B$ du cercle trigonométrique image du réel $b$.
    On va calculer le produit scalaire $\vect{OA}.\vect{OB}$ de deux façons.
    – Avec les coordonnées
    Les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle trigonométrique.
    Donc leurs coordonnées sont $A\left(\cos(a);\sin(a)\right)$ et $B\left(\cos(b);\sin(b)\right)$
    Ainsi $\vect{OA}.\vect{OB}=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
    Avec les normes et cosinus
    $\begin{align*} \vect{OA}.\vect{OB}&=OA\times OB\times \cos\left(\vect{OA};\vect{OB}\right) \\
    &=1\times 1\times \cos(a-b)\\
    &=\cos(a-b)\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*} \cos(a+b)&=\cos\left(a-(-b)\right) \\
    &=\cos(a)\cos(-b)+\sin(a)\sin(-b)\\
    &=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\end{align*}$
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*} \sin(a-b)&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a-b)\right) \\
    &=\cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b\right) \\
    &=\cos(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right))\cos(b)-\sin(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right))\sin(b)\\
    &=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\end{align*}$
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*} \sin(a+b)&=\sin\left(a-(-b)\right)\\
    &=\sin(a)\cos(-b)-\cos(a)\sin(-b)\\
    &=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) &=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{align*}$

Propriété 2 (formule de duplication) : On considère un nombre réel $a$.

  • $\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$
  • $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$

Preuve Propriété 2

  • On a :
    $\begin{align*} \cos(2a)&=\cos(a+a) \\
    &=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)\\
    &=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{align*}$
    De plus, on a $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$
    Donc $\sin^2(a)=1-\cos^2(a)$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\\
    &=\cos^2(a)-\left(1-\cos^2(a)\right)\\
    &=2\cos^2(a)-1\end{align*}$
    On a également $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\\
    &=\left(1-\sin^2(a)\right)-\sin^2(a)\\
    &=1-2\sin^2(a)\end{align*}$
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*}\sin(2a)&=\sin(a+a) \\
    &=\sin(a)\cos(a)+\cos(a)\sin(a) \\
    &=2\sin(a)\cos(a)\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)&=\cos\left(2\times \dfrac{\pi}{8}\right) \\
&=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} \cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}{2}\\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}\end{align*}$
Cela signifie donc que $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}}$ ou $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}}$
Or $0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0$
Ainsi :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}} \\
&=\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

II Notation exponentielle

On considère la fonction $f$ qui a tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $\cos \theta + \ic \sin \theta$.
On a alors :

$$\begin{align*} f(\theta + \theta’) &= \cos(\theta + \theta’)+\ic \sin(\theta+\theta’)\\
& = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)
\end{align*}$$

Mais on a aussi :

$$\begin{align*} f(\theta)\times f(\theta’) &= \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)\\
& = f(\theta + \theta’)\end{align*}$$

On constate donc que cette fonction $f$ possède la même propriété algébrique que la fonction exponentielle.

Définition 1 : C’est pour cette raison qu’on va noter pour tout réel $\theta$, $\e^{\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta$.

Exemple : $\e^{\ic \pi} = -1 \qquad \e^{i\pi/2} = \ic \qquad \e^{\ic \pi/3} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Définition 2 : On considère un nombre complexe $z$ d’argument $\theta$.
On peut alors écrire $z=|z|\e^{\ic \theta}$

Propriété 3 : On considère deux réels $\theta$ et $\theta’$

  1. $\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} = \e^{\ic \left(\theta + \theta’\right)}$
  2. $\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} = \e^{-\ic \theta} = \conj{\e^{\ic \theta}}$
  3. $\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}}=\e^{\ic (\theta – \theta’)}$
  4. $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$ pour tout entier naturel $n$
Preuve Propriété 3

  1. On a : $$\begin{align*}
    \e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} &= \left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\times \left(\cos \theta’+\ic \sin \theta’\right) \\
    &= \cos \theta \cos \theta’ -\sin \theta\sin \theta’+\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
    & = \cos \left(\theta+\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta+\theta’\right) \\
    &=\e^{\ic(\theta+\theta’)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. On a : $$\begin{align*} \dfrac{1}{\e^{\ic \theta}}&=\dfrac{1}{\cos \theta+\ic \sin \theta} \\
    &=\dfrac{1}{\cos \theta+\ic \sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta-\ic \sin \theta}{\cos \theta-\ic \sin \theta}\\
    &=\dfrac{\cos \theta-\ic \sin \theta}{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}\\
    &=\cos \theta-\ic \sin \theta\\
    &=\cos \left(-\theta\right)+\ic \sin\left(-\theta\right)\\
    &=\e^{-\ic\theta}\end{align*}$$
    On a également :
    $$\begin{align*} \conj{\e^{\ic \theta}}&=\conj{\cos \theta+\ic \sin \theta} \\
    &=\cos \theta-\ic \sin \theta \\
    &=\cos \left(-\theta\right)+\ic \sin\left(-\theta\right)\\
    &=\e^{-\ic\theta}\end{align*}$$
    $\quad$
  3. On a $$\begin{align*}\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}} &=\dfrac{\cos \theta+\ic \sin \theta}{\cos \theta’+\ic \sin \theta’} \\
    &=\dfrac{\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\left(\cos \theta’-\ic \sin \theta’\right)}{\cos^2 \theta’+\ic \sin^2 \theta’} \\
    &=\cos \theta \cos \theta’+\sin \theta\sin \theta’ -\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
    & = \cos \left(\theta-\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta-\theta’\right) \\
    &=\e^{\ic(\theta-\theta’)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. On va montrer ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(\e^{\ic \theta}\right)^0=1$ et $\e^{0\times \ic \theta}=\e^0=1$
    La propriété est donc vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$
    $\begin{align*} \left(\e^{\ic \theta}\right)^{n+1}&=\left(\e^{\ic \theta}\right)^{n}\times \left(\e^{\ic \theta}\right)\\
    &=\e^{\ic n\theta}\times \e^{\ic \theta}\\
    &=\e^{\ic (n+1)\theta}\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$.
    $\quad$

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$\quad$
Remarques :

  • Ces propriétés reprennent les résultats vus précédemment sur les modules et les arguments.
  • La propriété 4 est en fait vraie pour tout entier relatif $n$.

Ces propriétés nous permettent de retrouver les propriétés vues dans la propriété 1 :

  1. $\cos(\theta + \theta’) = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’$
  2. $\cos(\theta- \theta’) = \cos \theta \cos \theta’ + \sin \theta \sin \theta’$
  3. $\sin(\theta + \theta’) = \sin \theta \cos \theta’ + \cos \theta \sin \theta’$
  4. $\sin(\theta- \theta’) = \sin \theta \cos \theta’-\cos \theta \sin \theta’$

Exemples : 

  • On a
    $\begin{align*}\e^{\ic\pi/4}\times \e^{\ic 3\pi/5}&=\e^{\ic \left(\pi/4+3\pi/5\right)}\\
    &=\e^{\ic 17\pi/20}\end{align*}$
  • On a :
    $\begin{align*} \dfrac{\e^{\ic 3\pi/4}}{\e^{2\ic\pi/3}} &=\e^{\ic\left(3\pi/4 -2\pi/3\right)} \\
    &=\e^{\ic \pi/12}\end{align*}$

$\quad$

III Formules de Moivre et d’Euler

Propriété 4 (Formule de Moivre) : On considère un entier naturel $n$ et un réel $\theta$ on a alors :
$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^n = \cos n\theta + \ic \sin n\theta$

Exemple : $\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos 2\theta + \ic \sin 2\theta$.

Si on développe le membre de gauche on obtient :

$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta + 2\ic \cos \theta \sin \theta$.
Donc, par identification, on retrouve les égalités $\begin{cases} \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ \sin 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta\end{cases}$

$\quad$

Remarque : Cette propriété provient en fait d’une réécriture du point 4. de la propriété 3.

$\quad$

Propriété 5 (Formule d’Euler) : On considère un réel $\theta$. On a alors :

  1. $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$
Preuve Propriété 5

  1. $\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta + \cos \theta – \ic \sin \theta = 2\cos \theta$
    Donc $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta – \cos \theta + \ic \sin \theta = 2\ic \sin \theta$
    Donc $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$

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$\quad$

Terminale – Cours – Nombres complexes – Point de vue géométrique

Nombres complexes – Point de vue géométrique

I Image d’un nombre complexe et affixe d’un point

Dans le repère orthonormé $\Ouv$ on notera respectivement $I$ et $J$ les points du plan tels que $\vect{OI} = \vec{u}$ et $\vect{OJ} = \vec{v}$

Définition 1 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$.
Le point $M(a;b)$ du plan muni du repère $\Ouv$ est appelé l’image du nombre complexe $z$.
Le nombre $z$ est appelé l’affixe du point $M$. On note alors $M(z)$.

Remarque : On note souvent $z_A$ l’affixe du point $A$.

$\quad$

Exemple : On considère le nombre complexe $z_1 = -3+\ic$. On appelle $A$ L’image de $z_1$.
L’affixe du point $B$ est $z_2 = 5-2\ic$.

Définition 2 (Affixe d’un vecteur) : On considère un vecteur du plan $\vec{w}(a;b)$.
Le nombre $z=a+\ic b$ est appelé affixe du vecteur $\vec{w}$.

Remarque : On note souvent $z_{\vec{u}}$ l’affixe du vecteur $\vec{u}$.

$\quad$

Propriété 1 :

  1. L’affixe du vecteur nul est $0$.
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, et seulement si, $z_{\vec{u}}=z_{\vec{v}}$.
  3. On considère deux points du plan $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $\vect{AB}$ a alors pour affixe $z_B-z_A$.
  4. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. On a alors $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$ 
Preuve Propriété 1

  1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
    Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
  2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
  3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
    Par conséquent :
    $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
    & = x_B + \ic y_B-\left(x_A + \ic y_A \right) \\
    & = z_B-z_A
    \end{align*}$$
  4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
    Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(3-2\ic)$ et $B(4+3\ic)$.
L’affixe du vecteur $\vect{AB}$ est donc :
$$\begin{align*}z_{\vect{AB}}&=z_B-z_A\\
&=4+3\ic-\left(3-2\ic\right) \\
&=1+5\ic
\end{align*}$$
Le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour affixe :
$$\begin{align*}z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2} \\
&=\dfrac{3-2\ic+4+3\ic}{2}\\
&=\dfrac{7-\ic}{2}\\
&=\dfrac{7}{2}-\dfrac{\ic}{2}\end{align*}$$

Propriété 2 : On considère un vecteur $\vec{u}$ d’affixe $z_{\vec{u}}$ et un réel $k$.
Le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz_{\vec{u}}$.
Preuve Propriété 2

Si $z_{\vec{u}}=a+\ic b$ alors le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées, dans le repère $\Ouv$, $(a;b)$.
Par conséquent $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka;kb)$.
Son affixe est donc $z_{k\vec{u}}=(ka)+(kb)\ic$.
Donc $z_{k\vec{u}}=kz_{\vec{u}}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si l’affixe du vecteur $\vec{u}$ est $z=-3+5\ic$ alors l’affixe du vecteur $4\vec{u}=-12+20\ic$.

Propriété 3 : On considère un point $M$ d’affixe $z$.

  • Le point d’affixe $\conj{z}$ est le symétrique du point $M$ par rapport à l’axe des abscisses.
  • Le point d’affixe $-z$ est le symétrique du point $M$ par rapport à l’origine du repère.
Preuve Propriété 3

On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$.

  • On appelle $M_1$ le point d’affixe $\conj{z}$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_1$ sont $(a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
  • On appelle $M_2$ le point d’affixe $-z$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_2$ sont $(-a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par à l’origine du repère.
    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

$\quad$

II Module d’un nombre complexe

Définition 3 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$. On appelle module de $z$, le réel positif, noté $|z|$ tel que $|z| = \sqrt{z\conj{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$

Remarques :

  • Si $z$ est l’affixe de $M$ alors $OM = |z|$.
  • Si $z$ est l’affixe du vecteur $\vect{AB}$ alors $|z| = AB$

Exemple : $|2-4\ic|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Propriété 4 : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $z=0\ssi |z|=0$
  2. $|z| = \left| \conj{z} \right| = |-z|$.
  3. $\left|zz’\right| = |z| \times \left|z’\right|$.
  4. $\left| \dfrac{z}{z’} \right| = \dfrac{|z|}{|z’|}$ avec $z’ \ne 0$.
Preuve Propriété 4

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

  1. Si $z=0$ alors $|z|=\sqrt{0^2+0^2}=0$
    Réciproquement, si $|z|=0$ avec la forme algébrique $z=a+\ic b$
    Par conséquent $\sqrt{a^2+b^2}=0$ soit $a^2+b^2=0$.
    Une somme de nombres positifs est nulle si tous ces nombres sont nuls.
    Donc $a=0$ et $b=0$.
    Par conséquent $z=0$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}\left| \conj{z} \right| &= |a-\ic b|\\
    &= \sqrt{a^2 + (-b)^2}\\
    &= |z|\end{align*}$ $\qquad$et$\qquad$ $\begin{align*}|-z| &= |-a-\ic b|\\& = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2}\\ &= |z|\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
    & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
    &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
    & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
    $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
    $\quad$
  4. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$
    $\quad$

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$\quad$

Attention : Il n’y a pas d’équivalent de ces deux dernières propriétés pour les sommes : $\left|z+z’\right|\neq |z|+\left|z’\right|$

 

Propriété 5 : Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel $n$, tels que $(z;n)\neq (0;0)$, on a $|z^n| = |z|^n$.
Preuve Propriété 5

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ (et $z\neq 0$) alors $|z^n|=|1|$ et $|z|^n=1$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$\begin{align*}|z^{n+1}| &= |z\times z^n|\\
&= |z| \times |z^n|\\
&= |z| \times |z|^n \\
&= |z|^{n+1}\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : La propriété est en fait vraie pour tous entiers relatifs $n$.

Définition 4 : On note $\U$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

Remarque : $z\in\U \ssi |z|=1$.

Propriété 6 : L’ensemble $\U$ est représenté dans le repère $\Ouv$ par le centre de $O$ et de rayon $1$.

Preuve Propriété 6

On considère un nombre complexe $z$ d’image $M$.
$\begin{align*} z\in \U&\ssi |z|=1 \\
&\ssi OM=1\end{align*}$
Donc $z\in \U$^si, et seulement si, $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 7 : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ appartenant à $\U$.

  • $zz’\in \U$
  • $\dfrac{1}{z}\in \U$
Preuve Propriété 7

$z$ et $z’$ appartiennent à $\U$ donc $|z|=1$ et $\left|z’\right|=1$.

  • On a :
    $\begin{align*} \left|zz’\right|&=|z|\times \left|z’\right| \\
    &=1\times 1\\
    &=1\end{align*}$
    Donc $zz’\in \U$.
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*} \left|\dfrac{1}{z}\right|&=\dfrac{1}{|z|}\\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Donc $\dfrac{1}{z}\in \U$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 8 : On considère un nombre complexe $a$ et un réel strictement positif $r$.
L’ensemble des points $M$ dont l’affixe $z$ vérifie $|z-a|=r$ est le cercle de centre $A$ d’affixe $a$ et de rayon $r$.
Correction Propriété 8

On a : $|z-a|=r\ssi AM=r$
Donc $|z-a|=r \ssi M$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z+5|=6$.
$|z+5|=6 \ssi \left|z-(-5)\right|=6 \ssi AM=6$ où $A$ est le point d’affixe $-5$.
L’ensemble des points est donc le cercle de centre $A(-5)$ et de rayon $6$.

$\quad$

III Argument d’un nombre complexe

Définition 5 : On considère un nombre complexe $z$ dont sa forme algébrique est $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle argument de $z$ une mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec{u},\vect{OM} \right)$.
On note arg$(z) = \left(\vec{u},\vect{OM} \right)~~(2\pi)$.

Exemple : arg$(4)=0$ $\qquad$ arg$(-2) = \pi$ $\qquad$ arg($\ic$) = $\dfrac{\pi}{2}$

Propriété 9 : On considère un nombre complexe $z$ de module $1$ et d’argument $\theta$.
Si on note $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des réels, alors :
$$\begin{cases} a = \cos \theta \\b = \sin \theta \end{cases}$$

Remarque : Cela vient du fait que si on considère un point $M(\theta)$ appartenant au cercle trigonométrique alors les coordonnées du point $M$ sont $x_M=\cos \theta$ et $y_M=\sin \theta$.

Propriété 10 : On considère un nombre complexe $z$.

  1. $z$ est un nombre réel $\ssi$ arg$(z)=0~~(\pi)$
  2. $z$ est un imaginaire pur $\ssi$ arg$(z) = \dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$
Preuve Propriété 10

  1. $z$ est un nombre réel si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des abscisses.
    Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\pi~~(2\pi)$
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(\pi)$
    $\quad$
  2. $z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des ordonnées.
    Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$
    $\quad$

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$\quad$

IV Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition 6 : Tout nombre complexe $z$ non nul, peut s’écrire sous la forme $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ où $\theta = $arg$(z)$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Propriété 11 : On considère un nombre complexe $z$ non nul tel que $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels. On note $r= |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$.
On a alors $\begin{cases} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ \cos \theta = \dfrac{a}{r} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{b}{r} \end{cases}$ $ \Leftrightarrow$ $ \begin{cases} a=r\cos \theta \\ b=r \sin \theta \end{cases}$
Preuve Propriété 11

On a :
$\begin{align*} r&=|z|\\
&=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}$

On a $z=a+\ic b$ et $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ soit $z=|z|\cos \theta + \ic |z|\sin \theta$
La forme algébrique d’un nombre complexe étant unique, cela signifie que $\begin{cases} a=|z|\cos \theta \\b=|z|\sin \theta\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}\\\sin \theta=\dfrac{b}{|z|}\end{cases} \ssi \begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{r}\\\sin \theta=\dfrac{b}{r}\end{cases}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • $z = 1 + \ic \sqrt{3}$.
    On a $|z| = \sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z = 2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic \right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
    Donc $z= 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right)$
    $\quad$
  • $z=1-\ic$.
    On a $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ic\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    On a donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}-\ic\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.
    Cette écriture n’est pas la forme trigonométrique de $z$ car elle n’est pas de la forme $r\left( \cos \theta \boldsymbol{+} \sin \theta\right)$.
    On peut également dire que $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$. Il s’agit bien ici de la forme trigonométrique de $z$.

$\quad$

Propriété 12 : On considère un nombre complexe $z$ non nul.

  1. arg$(-z) = \text{arg}(z) + \pi ~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \conj{z} \right) = -\text{arg}(z) ~~(2\pi)$
Preuve Propriété 12

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

  1. On note arg$(z) = \theta$ et arg$(-z) = \theta’$.
    $-z=-a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
  2. On note arg$(z) = \theta$ et arg$\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
    $\conj{z}=a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

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$\quad$

Propriété 13 : On considère deux nombres complexes non nuls $z$ et $z’$.

  1. arg$(zz’) =$ arg$(z)+$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. arg$\left(z^n \right) = n$arg$(z)~~(2\pi)$ pour tout entier $n\in \N^*$
Preuve Propriété 13

  1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
    On appelle $\theta = $ arg$(z)$ , $\theta’ = $ arg$(z’)$ et $\alpha = $ arg$(zz’)$.
    $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
    Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
    Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
    On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
    Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
    Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
  2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
    Donc arg$(z) = \text{arg}\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \text{arg}(z’)~~(2\pi)$ soit arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : $4\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \times 3\left( \cos \dfrac{\pi}{5} + \ic \sin \dfrac{\pi}{5} \right) = 12\left( \cos \dfrac{8\pi}{15} + \ic \sin \dfrac{8\pi}{15} \right)$

$\quad$

Propriété 14 : On considère deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ du plan complexe. arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$
Preuve Propriété 14

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$. Ainsi $\vect{OC}=\vect{AB}$.
On a alors arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 15 : On considère quatre points du plan complexe $A(z_A), B(z_B), C(z_C)$ et $D(z_D)$.
arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) = \left(\vect{CD},\vect{AB} \right)~~(2\pi)$
Preuve Propriété 15

$$\begin{align*}
\text{arg} \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \text{arg} (z_B-z_A)-\text{arg}(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$
$\quad$

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$\quad$

Cette propriété est particulièrement utile pour montrer que des droites sont perpendiculaires (argument égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$) ou que des points sont alignés (argument égal à $0$ ou à $\pi$).

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-2+2\ic), B(2-\ic), C(5+7\ic)$ et $D(-1-\ic)$.
$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} &= \dfrac{2-\ic+2-2\ic}{-1-\ic-5-7\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \times \dfrac{-6+8\ic}{-6+8\ic} \\
&=\dfrac{-24+32\ic+18\ic+24}{(-6)^2+8^2} \\
&=\dfrac{50\ic}{100} \\
&=\dfrac{\ic}{2}
\end{align*}$$

Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

 

Terminale – Cours – Nombres Complexes – Point de vue algébrique

Nombres Complexes – Point de vue algébrique

I Ensembles des nombres complexes

Définition 1 : On admet qu’il existe un ensemble, noté $\C$ et appelé ensemble des nombres complexes, vérifiant les propriétés suivantes :

  1. $\C$ contient $\R$;
  2. $\C$ est muni d’une addition et d’une multiplication possédant les mêmes propriétés algébriques (règles de calculs, distributivité, …) que sur $\R$
  3. Il existe un élément de $\C$ noté $\ic$ tel que $\ic^2=-1$
  4. Tout nombre complexe $z$ s’écrit de façon unique sous la forme $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Exemple : Les nombres $-2$, $\sqrt{7}$, $\ic$ et $-2+\ic\sqrt{7}$  appartiennent à $\C$.

Définition 2 : L’écriture d’un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$.
Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$. On la note $\RE{z}$.
Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$. On la note $\IM{z}$.

 

Attention : Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

 

Exemples :

  • Si $z=3-5\ic$ alors $\RE{z}=3$ et $\IM{m}(z) = -5$ (et non $-5\ic$ !).
  • Si $z=-4$ alors $\RE{z}=-4$ et $\IM{z} = 0$.
  • Si $z=2\ic$ alors $\RE{z}=0$ et $\IM{z} = 2$.

$\quad$

Remarque : Le deuxième exemple illustre le fait que l’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes : $\R \subset \C$. En effet, un nombre réel $x$ peut aussi s’écrire $x+0\ic$.

Définition 3 : Lorsque la partie réelle d’un nombre complexe $z$ est nulle on dit alors que $z$ est un imaginaire pur.
L’ensemble des imaginaires purs est note $\ic\R$.

Exemple : $5\ic$, $-3\ic$, $\dfrac{1}{7}\ic$ sont des imaginaires purs.

Remarque : $0$ à la particularité d’être à la fois un nombre réel et un imaginaire pur. C’est le seul nombre complexe possédant cette propriété.

Propriété 1 : On considère deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$.
$$z_1=z_2 \ssi \RE{z_1}= \RE{z_2} \text{et} \IM{z_1} = \IM{z_2}$$
Preuve Propriété 1

Si $\RE{z_1}= \RE{z_2} \text{et} \IM{z_1} = \IM{z_2}$ alors $z_1=z_2$

Réciproquement, si $z_1=a+\ic b$ et $z_2=c+\ic d$ vérifient $z_1=z_2$.
On a donc $a+\ic b=c+\ic d \ssi a-c=\ic(d-b)$.
$\ic(d-b)$ est un imaginaire pur non nul, $a-c$ est un nombre réel et ces deux quantités sont égales.
Le seul nombre complexe qui soit à la fois un réel et un imaginaire pur est $0$.
Donc $a-c=0 \ssi a=c$ et $\ic(d-b)=0\ssi d-b=0\ssi d=b$.
$\quad$

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$\quad$

Remarques :

  • Cela signifie donc qu’un nombre complexe possède une unique écriture algébrique.
  • $z=0 \ssi \RE{z}=0$ et $\IM{z}=0$.

Cette propriété nous permet de résoudre les équations complexes.

$\quad$

Exemple : On veut résoudre dans $\C$ l’équation $3z + 1 -9\ic = -5$
$$\begin{align*}
3z+1-9\ic = -5 &\ssi 3z=-5-1+9\ic \\
&\ssi 3z=-6+9\ic \\
&\ssi z=-2+3\ic
\end{align*}$$

La solution de l’équation est donc $-2+3\ic$.

$\quad$


$\quad$

II Opérations sur les nombres complexes

Propriété 2 (somme) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ dont leur forme algébrique sont $z=a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$.

  • $z+z’=\left(a+a’\right)+\ic\left(b+b’\right)$
  • $z-z’=\left(a-a’\right)+\ic\left(b-b’\right)$

Preuve Propriété 2

L’addition suit les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*} z+z’&=\left(a+\ic b\right)+\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b+a’+\ic b’\\
&=a+a’+\ic b+\ic b’\\
&=\left(a+a’\right)+\ic\left(b+b’\right)
\end{align*}$

$\begin{align*} z-z’&=\left(a+\ic b\right)-\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b-a’-\ic b’\\
&=a-a’+\ic b-\ic b’\\
&=\left(a-a’\right)+\ic\left(b-b’\right)
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $(3-2\ic) + (4+7\ic) = (3+4) + (-2+7)\ic = 7 + 5\ic$

Propriété 3 (produit) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ dont leur forme algébrique sont $z=a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$.
$$zz’=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)$$
Preuve Propriété 3

L’addition et la multiplication suivent les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*}zz’&=(a+\ic b)\left(a’+\ic b’\right) \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b+\ic^2bb’ \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b-bb’ \\
&=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Le produit de $4-2\ic$ par $2+3\ic$ est :
$\begin{align*}
(4-2\ic) \times (2+3\ic)&=4\times 2 + 4\times 3\ic-2\ic \times 2-2\ic \times 3\ic \\
&=8 + 12\ic-4\ic-6\ic^2 \\
&=8+8\ic-6\times (-1) \\
&=8+8\ic+6 \\
&=14+8\ic
\end{align*}$

Remarque : Dans la pratique, on utilise peu la propriété et on fait les calculs comme dans l’exemple.

Propriété 4 (multiplication par un réel) : On considère un nombre complexe $z$ dont la forme algébrique est $z=a+\ic b$ et un réel $k$.
$$kz=ka+\ic kb$$
Preuve Propriété 4

$k$ peut s’écrire sous la forme $k+0\ic$. On applique alors la propriété précédente avec $a’=k$ et $b’=0$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $3(5-4\ic)=15-12\ic$

Définition 4 : On considère un nombre complexe $z$ dont la forme algébrique est $z=a+\ic b$. On appelle opposé de $z$ le nombre noté $-z$ défini par $-z=(-1)\times z$.
Ainsi $-z=-a-\ic b$.

Exemple : L’opposé de $5-4\ic$ est $-5+4\ic$.

Remarque : D’après la définition $z+(-z)=0$.

$\quad$

III Nombre conjugué

Définition 5 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le nombre $a-\ic b$ est appelé conjugué du nombre complexe $z$.
On le note $\conj{z}=a-\ic b$.

Exemple : $\conj{3+2\ic} = 3-2\ic \qquad \conj{5-4\ic} =5+4\ic \qquad \conj{-1+3\ic} =-1-3\ic$

Propriété 5 : On considère un nombre complexe $z$.
On a alors $\RE{\conj{z}} = \RE{z}$ et $\IM{\conj{z}} = -\IM{z}$.

Il s’agit d’une réécriture de la définition.

$\quad$

Propriété 6 (Opérations) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $\conj{z+z’} = \conj{z} + \conj{z’}$
  2. $\conj{z \times z’} = \conj{z} \times \conj{z’}$
  3. $\conj{z^n} = \conj{z}^n$ pour tout entier naturel $n$ tel que $(z;n)\neq (0;0)$
  4. Si $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels alors $z\conj{z} = a^2 + b^2$ 
Preuve Propriété 4

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
    &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
    &= a+a’-\ic (b+b’)\\
    & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
    &= \conj{z} + \conj{z’}
    \end{align*}$$
  2. On a d’une part :
    $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
    et d’autre part :
    $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
  3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
    $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
  4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 7 : On considère un nombre complexe $z$.
On a alors les équivalences suivantes :

  • $z$ est un nombre réel $\ssi z = \conj{z}$
  • $z$ est un imaginaire pur $\ssi z = -\conj{z}$
Preuve Propriété 3

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  • $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
  • $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 8 : On considère un nombre complexe $z$ .
On a alors $\RE{z} = \dfrac{z+\conj{z}}{2}$ $\qquad$ et $\qquad$ $\IM{z} = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$
Preuve Propriété 5

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\RE{z}=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\IM{z}=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.
$\quad$

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$\quad$

IV Inverse d’un nombre complexe

Propriété 9 : On considère un nombre complexe non nul $z$. Il existe un unique nombre complexe $z’$ tel que $zz’=1$.
Ce nombre complexe $z’$ est appelé l’inverse de $z$ et se note $\dfrac{1}{z}$.
Preuve Propriété 9

On considère la forme algébrique $z=a+\ic b$, $(a;b)\neq (0;0)$, et un nombre complexe $z’$ dont la forme algébrique est $z’=a’+\ic b’$
On a $zz’=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)$
Ainsi :
$\begin{align*} zz’=1&\ssi \left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)=1 \\
&\ssi \begin{cases}aa’-bb’=1 \\a’b+ab’=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\ab’=-a’b\end{cases}\end{align*}$

$a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.

  • Si $a=\neq 0$
    $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\b’=-\dfrac{b}{a}a’\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\aa’+\dfrac{b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\\dfrac{a^2+b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
  • Si $b\neq 0$
    $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\a’=-\dfrac{a}{b}b’\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2}{b}b’-b’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2+b^2}{b}b’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$

Ce qui prouve l’existence et l’unicité de l’inverse de $z$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer la forme algébrique de l’inverse de $z=3-4\ic$.
$\begin{align*} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{3-4\ic} \\
&=\dfrac{1}{3-4\ic}\times \dfrac{3+4\ic}{3+4\ic} \qquad (1)\\
&=\dfrac{3+4\ic}{3^2+4^2} \qquad (2)\\
&=\dfrac{3+4\ic}{25}\\
&=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\ic\end{align*}$
$(1)$ on multiplie l’expression par une fraction égale à $1$. On dit qu’on utilise la quantité conjuguée de $z$.
$(2)$ on utilise le fait que $z\conj{z}=a^2+b^2$.

Méthode : Utilisation du nombre conjugué pour obtenir l’écriture algébrique d’un quotient :

L’idée ici est de multiplier le quotient par $1$, en écrivant $1$ sous une forme particulière et en utilisant le conjugué du dénominateur comme on l’a fait dans l’exemple précédent.

Exemple :

$$\begin{align*} \dfrac{3+2\ic}{5+3\ic}&=\dfrac{3+2\ic}{5+3\ic} \times \dfrac{5-3\ic}{5-3\ic} \\\\
&=\dfrac{15-9\ic+10\ic+6}{(5+3\ic)(5-3\ic)} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{5^2+3^2} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{34}
\end{align*}$$

Propriété 10 : On considère  deux nombres complexes $z$ et $z’$ avec $z\neq 0$.
$\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{1}{\conj{z}}$ et $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$
Preuve Propriété 10

  • On a $z\times \dfrac{1}{z}=1$ donc $\conj{z\times \dfrac{1}{z}}=1$ soit $\conj{z}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=1$
    Par conséquent $\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=\dfrac{1}{\conj{z}}$
  • On a :
    $\begin{align*} \conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)}&=\conj{z’}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} \\
    &=\conj{z’}\times \dfrac{1}{\conj{z}}\\
    &=\dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

V Formule du binôme 

Propriété 11 (formule du binôme de Newton) : On considère deux nombres complexes $a$ et $b$ et un entier naturel $n$.$$(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$
Preuve Propriété 11

Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.

Initialisation : Si $n=0$ (on suppose que $a+b\neq 0$).
$(a+b)^n=1$ et $\ds\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}a^kb^{n-k}=\binom{0}{0}a^0b^0=1$
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
$\begin{align*}(a+b)^{n+1}&=(a+b)^n(a+b)\\
&=\left(ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)(a+b) \\
&=a\times \left(\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)+b\times \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)\\
&=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\
&=\ds \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\binom{n}{0}a^0b^{n+1-0}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \\
&=\ds a^{n+1} +\sum_{k=1}^na^kb^{n+1-k}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \\
&=\ds a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)a^kb^{n+1-k}+b^{n+1} \quad (1)\\
&=\ds a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+b^{n+1}\\
&=\ds \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+\binom{n+1}{n+1}b^{n+1}\\
&=\ds \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

$(1)$ on utilise la propriété $\ds \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$.
On a également utilisé dans cette hérédité le fait que $\ds \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Remarques :

  • On retrouve ainsi l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
  • Dans la somme, les exposants de $a^kb^{n-k}$ ont toujours une somme égale à $n$.

Exemple : 
$\begin{align*} (z+2)^3&=\ds \binom{3}{0}z^0\times 2^3+\binom{3}{1}z^1\times 2^2+\binom{3}{2}z^2\times 2^1+\binom{3}{3}z^3\times 2^0\\
&=8+3z\times 4+3z^2\times 2+z^3 \\
&=z^3+6z^2+12z+8\end{align*}$

 

Terminale – Cours – Chaînes de Markov

Chaînes de Markov

I Chaînes de Markov

Définition 1 : On dit qu’un graphe est pondéré si toutes ses arêtes (ou arcs) sont affectées d’un nombre réel positif appelé le poids de cette arête.

Exemples :

 

Définition 2 : Un graphe probabiliste est un graphe pondéré orienté tel que la somme des poids des arêtes issues de chacun des sommets est égale à $1$.

Remarque :

  • Les poids d’un graphe pondéré étant des nombres positifs, les poids d’un graphe probabiliste sont donc des réels compris entre $0$ et $1$.
  • On utilise les graphes probabilistes pour modéliser des phénomènes (ou processus) aléatoires.
Définition 3 : Dans un graphe probabiliste les sommets du graphe sont les états du phénomène qu’on observe.

Remarques :

  • Le poids d’un arc allant du sommet $s_i$ au sommet $s_j$ représente la probabilité de passer de l’état $s_i$ à l’état $s_j$.
  • S’il n’y a pas d’arête allant du sommet $s_i$ au sommet $s_j$ cela signifie la probabilité de passer de l’état $s_i$ à l’état $s_j$ est égale à $0$.

$\quad$

Dans la suite de ce chapitre on n’évoquera que des situations à 2 ou 3 états.

$\quad$

Définition 4 : On considère une suite de variables aléatoires $\left(X_n\right)$ définies sur un même espace fini muni d’une probabilité. On dit que $\left(X_n\right)$ est une chaîne de Markov à deux états $a$ et $b$ (respectivement à trois états $a$, $b$ et $c$) si :

  • pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in \lbrace a,b\rbrace$ $\Big($respectivement $x\in \lbrace a,b,c\rbrace\Big)$ $P\left(X_{n+1}\right)=x$ ne dépend que de l’état du processus à l’instant $n$;
  • la probabilité de passer d’un état à un autre (éventuellement le même) de dépend de $n$

Remarques :

  • On dit que $E=\lbrace a,b\rbrace$ (respectivement $E=\lbrace a,b,c\rbrace$) est l’espace des états.
  • La probabilité $P_{x_n=x_n}\left(X_{n+1}=x_{n+1}\right)$ est appelé probabilité de transition de l’état $x_n$ à l’état $x_{n+1}$.
  • Dans une chaîne de Markov les états passés n’ont aucune influence sur les états futurs. Seul l’état présent compte.
Définition 5 : On appelle distribution initiale d’une chaîne de Markov $\left(X_n\right)$ la loi de probabilité de $X_0$.

Exemple : La mairie d’une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit aux 12-18 ans à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que $10 \%$ des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, $30 \%$ de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l’année précédente achètent la carte. On fait l’hypothèse que l’effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l’évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

Voici le graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ où le sommet $A$ représente l’état « posséder une carte jeune » et $B$ l’état « ne pas posséder une carte jeune » associé à ce phénomène.


La distribution initiale est $P\left(X_0=A\right)=0,2$ et $P\left(X_0=A\right)=0,8$ où $\left(X_n\right)$ est la chaîne de Markov associée à ce processus.
$\quad$

$\quad$

II Lien avec les matrices

À toute étape $k$, $k\in \N$, on représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_k$ d’une chaîne de Markov à l’aide d’une matrice ligne $\pi_k=\begin{pmatrix}a_k&b_k\end{pmatrix}$ $\Big($respectivement $\pi_k=\begin{pmatrix} a_k&b_k&c_k\end{pmatrix}\Big)$.
La matrice $\pi_0$ représente donc la distribution initiale.

Exemple : Dans l’exemple précédent on a donc $\pi_0=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$

Définition 7 : La matrice de transition associée à une chaîne de Markov à $n$ états, $n\in \N^*$, est la matrice carrée $T=\left(t_{ij}\right)$ d’ordre $n$ dont le coefficient $t_{ij}$ est le poids de l’arête allant du sommet $s_i$ au sommet $s_j$ (si l’arête n’existe pas alors $t_{ij}=0$).

Exemples :

  • Cas $n=2$

    La matrice de transition est $T=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}$
  • Cas $n=3$

    La matrice de transition est $T=\begin{pmatrix}0,5&0,4&0,1\\0,1&0,2&0,7\\0,2&0,2&0,6\end{pmatrix}$
Propriété 1 : On considère une chaîne de Markov $\left(X_n\right)$ de distribution initiale $\pi_0$ et de matrice de transition $T$.
La matrice ligne donnant la distribution à l’étape $k+1$, $k\in \N$, est $\pi_{k+1}=\pi_kT$.
Preuve Propriété 1

On va montrer la propriété dans le cas d’une chaîne de Markov à $3$ états $a$, $b$ et $c$ mais cela se généralise facilement aux chaînes de Markov à $q$ états.

Pour tout entier naturel $k$, les événements $\lbrace X_k=a\rbrace$, $\lbrace X_k=b\rbrace$ et $\lbrace X_k=c\rbrace$ forment un système complet d’événement fini.
D’après la formule des probabilités totales on a pour tout $x_j\in\brace a,b,c\rbrace$ :
$$\left(X_{k+1}=x_j\right)=P_{\left(X_k=a\right)}\left(X_{k+1}=x_j\right)P\left(X_k=a\right)+P_{\left(X_k=b\right)}\left(X_{k+1}=x_j\right)P\left(X_k=b\right)+P_{\left(X_k=c\right)}\left(X_{k+1}=x_j\right)P\left(X_k=c\right)$$
Ainsi $\left(X_{k+1}=x_j\right)$ est le $j$-ième coefficient de la matrice ligne $\pi_kT$.
Par conséquent $\pi_{k+1}=\pi_kT$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 2 : On considère une chaîne de Markov $\left(X_n\right)$ de distribution initiale $\pi_0$ et de matrice de transition $T$.
La matrice ligne donnant la distribution à l’étape $k$, $k\in \N$, est $\pi_k=\pi_0T^k$.
Preuve Propriété 2

On considère une chaîne de Markov à $p$ état.
On va raisonner par récurrence sur $k$.

Initialisation : Si $k=0$ alors $T^0=I_p$ car $T\neq O_p$ (la somme des coefficients, tous positifs, de chacune des lignes vaut $1$; il y a donc au moins un coefficient de $T$ non nul par ligne.)
Par conséquent $\pi_0T^0=\pi_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $k$ : $\pi_k=\pi_0T^k$.
$\begin{align*} \pi_{k+1}&=\pi_kT\\
&=\pi_0T^kT\\
&=\pi_0T^{k+1}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $k+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $k$ on a donc $\pi_k=\pi_0T^k$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre.
En 2017, $45 \%$ des clients se fournissaient chez le grossiste A et $55 \%$ chez le grossiste B.
D’une année sur l’autre, $6 \%$ des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve $86 \%$ de ses clients.
Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.
Pour tout entier naturel $n$ on note :

  • $a_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste A en (2017$+n$),
  • $b_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste B en (2017$+n$).

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l’état probabiliste de l’année (2017$+n$).
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

On obtient le graphe probabiliste suivant :

Ainsi la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$
$\quad$
En 2020 on a $n=3$.
Ainsi, $P_3=P_0T^3=\begin{pmatrix}0,572&0,428\end{pmatrix}$.
Le grossiste A possédera donc, en 2020, $57,2\%$ des parts de marché et le grossiste B $42,8\%$.

Définition 8 : On dit qu’une distribution $\pi$, représentée à l’aide d’une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $T$ si $\pi=\pi T$.

Remarque : On parle parfois d’état stable.

Exemple : on considère la matrice de transition $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$  d’une chaîne de Markov $\left(X_n\right)$. Si cette chaîne possède un état stable $\pi=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ alors $\pi=\pi T$ et $x+y=1$
$\ssi \begin{cases} 0,94x+0,14x=x\\0,06x+0,86y=y\\x+y=1\end{cases}$
$\ssi \begin{cases}0,14y=0,06x\\0,06x=0,14y\\x+y=1\end{cases}$
$\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{7}x\\x+y=1\end{cases}$
$\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{7}x\\x+\dfrac{3}{7}x=1\end{cases}$
$\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{7}x\\\dfrac{10}{7}x=1\end{cases}$
$\ssi \begin{cases}x=0,7 \\y=0,3\end{cases}$
La distribution stationnaire est donc, si elle existe, $\pi=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\end{pmatrix}$.

Remarque : Dans les problèmes étudiés, la distribution stationnaire correspondra souvent à l’état probabiliste du processus sur le long terme.
Dans l’exemple précédent, sur le long terme, $70\%$ des clients se fourniront chez le grossiste A.

$\quad$

Terminale – Cours – Graphes

Graphes

I Définitions

Définition 1 : Un graphe est un ensemble de points, appelés sommets, pouvant être reliés entre eux par des arêtes.
Il peut être :

  • non orienté : les arêtes ne possèdent pas de sens de parcours;
  • orienté : les arêtes, appelées alors arcs, possèdent un sens de parcours représenté sur chacune des arêtes par une flèche.

Exemples :

  • Un graphe non orienté :
  • Un graphe orienté
Définition 2 : L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de celui-ci.

Exemple : Le graphe non orienté précédent est d’ordre $8$.

Définition 3 : Le dégré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité

Remarques :

  • Dans un graphe orienté, on compte pour $1$ les arêtes entrantes et pour $1$ les arêtes sortantes.
  • Dans un graphe orienté, une boucle compte alors pour $2$.
  • On recense souvent les degrés des sommets à l’aide d’un tableau.

Exemples :

  • Pour le graphe non orienté :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommets}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
    \hline
    \text{Degrés}&2&4&5&5&4&4&2&0\\
    \hline
    \end{array}$$
  • Pour le graphe orienté :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommets}&A&B&C\\
    \hline
    \text{Degrés}&3&5&4\\
    \hline
    \end{array}$$
Propriété 1 : Dans un graphe d’ordre $n\pg 1$, la somme des degrés de tous les sommets est égale au double du nombre d’arêtes.

Remarque : La somme des degrés de tous les sommets est donc paire.

Preuve Propriété 1

Pour compter le degré d’un sommet on compte le nombre d’arêtes associées à ce sommet. En faisant la somme de tous les degrés, chaque arête est alors comptées deux fois (une par extrémité).
Cette somme est donc égale au double du nombre d’arêtes.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 2 : Dans un graphe il y a un nombre pair de sommets de degrés impairs.
Preuve Propriété 2

On appelle $p$ le somme des degrés des sommets pairs, $q$ la somme des degrés des sommets impairs et $N$ le nombre d’arêtes du graphe.
On a donc $p+q=2N\ssi q=2N-p$.
$2N$ et $p$ sont pairs donc $q$ l’est aussi.
Une somme d’entiers impair est paire si, et seulement si, il y a un nombre pair de termes.
Le nombre de sommets de degrés impairs est donc pair.
$\quad$

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$\quad$

Définition 4 : Un graphe est dit simple s’il ne possède pas de boucle et si deux sommets distincts sont reliés par au plus une arête.

Exemple : Le graphe non orienté donné en exemple précédemment est simple.

Propriété 3 : Dans un graphe simple d’ordre $n>1$, il existe au moins deux sommets possédant le même degré.
Preuve Propriété 3

Chaque sommet $S_i$ du graphe possède un degré $d_i$ vérifiant $0\pp d_i\pp n-1$.
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde et supposer que tous les sommets ont des degrés différents.
Par conséquent, les degrés des $n$ sommets sont $\lbrace 0;1;\ldots;n-1\rbrace$.
Il existe donc un sommet $s_p$ de degré $0$ et un sommet $s_q$ de degré $n-1$.
Le sommet $s_p$ n’est adjacent à aucun sommet du graphe et le sommet $s_q$ est adjacent à tous les sommets du graphe, en particulier à $s_p$, ce qui est absurde.
Deux sommets du graphe, au moins, ont donc le même degré.
$\quad$

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$\quad$

Définition 5 : Deux sommets distincts sont dits adjacents s’ils sont reliés par une arête.

Exemple : Dans l’exemple du graphe non orienté, les sommets $A$ et $B$ sont adjacents et le sommet $H$ n’est adjacents à aucun sommet du graphe.

Définition 6 : Un graphe d’ordre $n\pg 1$ est dit complet si tous ses sommets sont deux à deux adjacents.

Exemples :

  • Le graphe non orienté donné précédemment en exemple n’est pas complet.
  • Le graphe suivant est complet.
Définition 7 : Dans un graphe non orienté, une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de cette liste soit adjacent au suivant.
La longueur de la chaîne est le nombre d’arêtes la composant.

Exemple : Dans le graphe précédent, $A-D-F-C$ est une chaîne de longueur $3$.

Définition 8 : Dans un graphe non orienté, une chaîne est dite fermée lorsque son premier sommet est également son dernier sommet.

Exemple : Dans le graphe précédent $A-D-F-C-A$ est une chaîne fermée.

Définition 9 : Dans un graphe non orienté, un cycle est une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes.

Exemples : Dans le graphe précédent :

  • $B-D-C-F-D-A-B$ est un cylce.
  • $B-D-C-F-D-B$ n’est pas un cycle car l’arête reliant les sommets $B$ et $D$ est présente deux fois.
Définition 10 : Dans un graphe orienté, un chemin est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de cette liste soit adjacent au suivant en respectant le sens de parcours.

Remarque : Dans un chemin, un sommet possédant une boucle, peut successivement plusieurs fois.

Exemple : Dans le graphe orienté donné en exemple au début de cette partie, $A-C-B-A-B$ et $A-C-C-B$ sont des chemins.

Définition 11 : Dans un graphe orienté, un circuit est un chemin dont toutes les arêtes sont distinctes.
$

Exemple : Dans le graphe orienté donné en exemple au début de cette partie, $A-C-B-A-B$ n’est pas un circuit et $A-C-C-B$ est un circuit.

Définition 12 : Un graphe est dit connexe si toute paire de sommets peut être reliée par une chaîne.

Remarque : C’est notamment le cas si le graphe possède un cycle.
$\quad$

$\quad$

II Lien avec les matrices

Définition 13 : À tout graphe d’ordre $n$ de sommets $s_1, s_2, \ldots, s_n$ on peut associer une matrice carrée $M=\left(m_{ij}\right)$ d’ordre $n$ où $m_{ij}$ est égale au nombre d’arêtes reliant (en respectant le sens de parcours dans le cas d’un graphe orienté) le sommet $s_i$ au sommet $s_j$.
La matrice $M$ est appelée la matrice d’adjacence du graphe.

Exemples :

  • Cas d’un graphe non orienté :

    La matrice d’adjacence de ce graphe est, en respectant l’ordre alphabétique :
    $$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0&0\\
    1&0&1&1&1&0&0&0\\
    1&1&0&1&1&1&0&0\\
    0&1&1&0&1&1&1&0\\
    0&1&1&1&0&1&0&0\\
    0&0&1&1&1&0&1&0\\
    0&0&0&1&0&1&0&0\\
    0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$
  • Un graphe orienté

    La matrice d’adjacence de ce graphe est, en respectant l’ordre alphabétique :
    $$M=\begin{pmatrix}0&1&1\\
    1&1&0\\
    0&1&1\end{pmatrix}$$

Remarque : La matrice d’adjacence d’un graphe non orienté est symétrique.

Théorème 1 : On considère un graphe d’ordre $n$ de sommets $s_1, s_2, \ldots, s_n$ et sa matrice d’adjacence $M$. Pour tout entier naturel $p$ non nul, le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de la matrice $M^p$ est égal au nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du somme $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
Preuve Théorème 1

On notera dans cette preuve $m_{ij}^{(p)}$ le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de la matrice $M^p$.

On démontre ce théorème par récurrence sur l’entier naturel non nul $p$.

Initialisation : Si $p=1$ alors $M^p=M$ et pour tout entier naturel $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ et tout entier naturel $j\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $m_{ij}^{(p)}=m_{ij}$.
$m_{ij}$ est bien le nombre de chaînes ou chemins de longueur $1$ partant le sommet $s_i$ et arrivant au somme $s_j$.
La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel $p$ tel que la propriété soit vraie.
On a $M^{p+1}=M^p\times M$.
Pour tout entier naturel $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ et tout entier naturel $j\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
$$\begin{align*} m_{ij}^{(p+1)}&=\ds \sum_{k=1}^n m_{ik}^{(p)}m_{kj} \\
&=m_{i1}^{(p)}m_{1j}+m_{i2}^{(p)}m_{12}+\ldots+m_{in}^{(p)}m_{nj}\end{align*}$$
Pour tout entier $k\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ $m_{ik}^{(p)}$ est le nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_k$ et $m_{kj}$ est le nombre nombre de chaînes ou chemins de longueur $1$ partant du sommet $s_k$ et arrivant au sommet $s_j$
Ainsi $m_{ik}^{(p)}m_{kj}$ est le nombre de chaînes ou chemins de longueur $p+1$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$  en passant par $s_k$.
En faisant la somme pour tous les entiers $k\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on obtient le nombres de chaînes ou chemins de longueur $p+1$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La  propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $p$ non nul $m_{ij}^{(p)}$ est égal au nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du somme $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On reprend l’exemple précédent du graphe non orienté. On a :
$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0&0\\
1&0&1&1&1&0&0&0\\
1&1&0&1&1&1&0&0\\
0&1&1&0&1&1&1&0\\
0&1&1&1&0&1&0&0\\
0&0&1&1&1&0&1&0\\
0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$ et $M^4=\begin{pmatrix}15&20&24&28&25&21&10&0\\
20&44&48&45&41&42&51&0\\
24&\textcolor{red}{48}&61&55&52&45&28&0\\
28&45&55&61&52&48&24&0\\
25&41&52&52&50&41&25&0\\
21&42&45&48&41&44&20&0\\
10&21&28&24&25&20&15&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

Cela signifie donc qu’il existe $48$ chaînes de longueur $4$ partant du sommet $C$ et arrivant au sommet $B$.

$\quad$

 

 

 

 

 

Terminale – Cours – Applications du calcul matriciel

Applications du calcul matriciel

I Systèmes linéaires 

Propriété 1 : Un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ $$\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\ldots+a_{1,n}x_n=b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\ldots+a_{2,n}x_n=b_2\\\ldots \\a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\ldots+a_{n,n}x_n=b_n\end{cases}$$ peut s’écrire sous la forme $AX=B$ où $A=\left(a_{ij}\right)$ est une matrice carrée d’ordre $n$ et $X=\left(x_i\right)$ et $B=\left(b_i\right)$ sont deux matrices colonnes à $n$ lignes.
De plus, si $A$ est inversible alors le système possède une unique solution donnée par $X=A^{-1}B$.

Exemple : On considère le système $\begin{cases} 2x+3y+5z=5\\4x-5y+z=-23\\-2x+4y-6z=16\end{cases}$
En considérant $A=\begin{pmatrix}2&3&5\\4&-5&1\\-2&4&-6\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}5&-23&16\end{pmatrix}$ le système s’écrit alors $AX=B$.
À l’aide de la calculatrice on constate que la matrice $A$ est inversible.
Donc $X=A^{-1}B$ soit $X=\begin{pmatrix}-2&3&0\end{pmatrix}$.
$\quad$

$\quad$

II Transformations géométriques

On munit le plan d’un repère orthonormé direct $\Oij$, c’est-à-dire que $\left(\vec{i},\vec{j}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.

Propriété 2 (translation) : On considère deux réels $a$ et $b$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. La translation $t$ associe à tout point $M(x;y)$ du plan le point $M’\left(x’;y’\right)$ tel que $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$
Preuve Propriété 2

En effet :
$\begin{align*} t(M)=M’&\ssi \vect{MM’}=\vec{u} \\
&\ssi \begin{cases} x’-x=a\\y’-y=b \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x’=x+a\\y’=y+b\end{cases} \\
&\ssi \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$. On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(5;4)$ par cette translation.
Ainsi :
$\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}\end{align*}$.
Le point $M’$ a donc pour coordonnées $(8;2)$.

Propriété 3 (rotation de centre $\boldsymbol{O}$) : On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$.
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
Preuve Propriété 3

On note $z=x+\ic y$ l’affixe du point $M$ et $z’=x’+\ic y’$ l’affixe du point $M’$.
$M’$ est l’image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$
$\ssi z’=z\e^{\ic \theta}$
$\ssi x’+\ic y’=(x+\ic y)\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)$
$\ssi x’+\ic y’=x\cos \theta -y\sin \theta +y\ic \cos \theta +x\ic \sin \theta $
$\ssi \begin{cases} x’=x\cos \theta -y\sin \theta \\y’=x\sin \theta+y\cos \theta\end{cases}$
$\ssi \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si $\theta =\dfrac{\pi}{3}$ on a alors $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
Ainsi si $M’\left(x’;y’\right)$ est l’image du point $M(-2;4)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ on a :
$\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}-1-2\sqrt{3}\\2-\sqrt{3}\end{pmatrix}\end{align*}$

Remarques :

  • Si $\theta=\pi$ (symétrie centrale de centre $O$) la matrice associée à la rotation est $M=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
  • Pour obtenir les coordonnées du point $M’$ image du point $M$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\theta$ on effectue une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ puis on applique une translation de vecteur $\vect{OA}$.
Propriété 4 :  On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
Preuve Propriété 4

Le point $M’$ a en effet pour coordonnées $(x;-y)$ et $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
Preuve Propriété 5

Le point $M’$ a en effet pour coordonnées $(-x;y)$ et $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}$.
$\quad$

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$\quad$

III Suites récurrentes

1. Suites récurrentes imbriquées

Exemple : On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$, $b_0=2$ et $\begin{cases} a_{n+1}=-2a_n+3b_n\\b_{n+1}=a_n-4b_n\end{cases}$.

On considère la suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
On a alors $U_{n+1}=AU_n$ avec $A=\begin{pmatrix}-2&3\\1&-4\end{pmatrix}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
On constate que $A=PDP^{-1}$ où $P=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}-5&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
On montre alors par récurrence que $A^n=PD^nP^{-1}$.
Après calcul, on obtient $A^n=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}(-5)^n+3\times(-1)^n&-3\times (-5)^n+3\times (-1)^n\\-(-5)^n+(-1)^n&3\times (-5)^n+(-1)^n\end{pmatrix}$.
Ainsi $U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{4}\times (-1)^n-\dfrac{5}{4}\times (-5)^n\\\dfrac{3}{4}\times (-1)^n+\dfrac{5}{4}\times 5^n\end{pmatrix}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$\begin{cases} a_n=\dfrac{9}{4}\times (-1)^n-\dfrac{5}{4}\times (-5)^n\\b_n=\dfrac{3}{4}\times (-1)^n+\dfrac{5}{4}\times 5^n\end{cases}$$

$\quad$

2. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Exemple (tiré du bac S métropole septembre 2018) : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$, $u_1=6$ et, pour tout entier naturel $n$ $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$.
On considère la suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.
On a alors $U_{n+1}=AU_n$ où $A=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=A_nU_0$.
On montre, par récurrence, que $A_n=2^nB+4^nC$ où $B=\begin{pmatrix}2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}-1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$.
On obtient alors $U_n=\begin{pmatrix}-2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_n=-2^n+2\times 4^n$$

$\quad$

Terminale – Cours – Suites de matrices

Suites de matrices

I Définitions

Définition 1 : Une suite de matrices colonnes à $p$ lignes où $p$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$ est une fonction qui à tout entier naturel $n$ lui associe une matrice colonne à $p$ lignes.

Exemple : On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n=\begin{pmatrix} n^2\\n+4\\5n\end{pmatrix}$ est suite de matrices dont les termes sont ceux des suites numériques $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ telles que $u_n=n^2$, $v_n=n+4$ et $w_n=5n$ pour tout entier naturel $n$.
De plus on a $U_3=\begin{pmatrix} 9\\7\\15\end{pmatrix}$.

Remarque : De façon analogue on définit une suite de matrices lignes.

Définition 2 : On dit qu’une suite de matrices colonnes converge si, et seulement si, les suites consitutées des coefficients de cette matrice convergent.

Exemple : On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n=\begin{pmatrix} 4+5\times 0,2^n\\2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{pmatrix}$.
$-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 4+5\times 0,2^n=4$
$-1<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$
Ainsi la suite $\left(U_n\right)$ converge vers la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$.

$\quad$

$\quad$

II Suites de la forme $\boldsymbol{U_{n+1}=AU_n}$

Propriété 1 : On considère une matrice carrée $A$ d’ordre $p$, différente de $O_p$, et une suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ à $p$ lignes telles que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a alors $U_n=A^nU_0$.
Preuve Propriété 1

Nous allons faire un raisonnement par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_p$ (car $A\neq O_p$) donc $A^0U_0=U_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $U_ {n+1}=A^nU_0$.
$\begin{align*} U_{n+1}&=AU_n\\
&=A\times A^nU_0\\
&=A^{n+1}U_0\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 2 : On considère une matrice carrée $A$ d’ordre $p$, une matrice colonne $B$ à $p$ lignes et une suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ à $p$ lignes telles que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n+B$.
Si la matrice $I_p-A$ est inversible alors il existe une matrice colonne $C$ à $p$ lignes telle que $C=AC+B$ et pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^n\left(U_0-C\right)+C$.

Remarques :

  • Il n’est pas nécessaire de connaître par cœur l’expression exacte de la matrice $U_n$; il est préférable de savoir redémontrer ce résultat dans le cas particulier qui sera à étudier.
  • Si la matrice $C$ existe on dit qu’il s’agit d’un état stable.
Preuve Propriété 2

On suppose que $I_p-A$ est inversible alors
$\begin{align*}C=AC+B &\ssi C-AC=B \\
&\ssi I_p \times C-AC=B\\
&\ssi \left(I_p-A\right)C=B\\
&\ssi C=\left(I_p-A\right)^{-1}B\end{align*}$
Il existe donc une matrice $C$ vérifiant $C=AC+B$.

On considère la suite de matrices colonnes $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n=U_n-C$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-C\\
&=AU_n+B-C\\
&=AU_n+B-\left(AC+B\right) \\
&=AU_n+B-AC+B\\
&=AU_n-AC\\
&=A\left(U_n-C\right)\\
&=AV_n\end{align*}$
D’après la propriété précédente, pour tout entier naturel $n$ on a $V_n=A^nV_0$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n-C=A^n\left(U_0-C\right)$ soit $U_n=A_n\left(U_0-C\right)+C$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Voici un exercice type (bac S – Polynésie juin 2013) sur ce sujet.

Énoncé

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\\\b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.

On considère les matrices $M =\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.

  1. a. Déterminer $U_1$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
    $\quad$
  2. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
    a. Calculer $(I – M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. En déduire que la matrice $I – M$ est inversible et préciser son inverse.
    $\quad$
    c. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n – U$.
    a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $$V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\\dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$$
    a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.
    $\quad$

Correction

  1. a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
    et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
    Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\280 \end{pmatrix}$.
    $\quad$$
    b. $~$
    $$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\70 \end{pmatrix} \\
    &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\
    &=U_{n+1}
    \end{align}$$
  2. a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
    Donc $(I-M) \times \begin{pmatrix} 4&2\\1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\0&1 \end{pmatrix} = I$.
    $\quad$$
    b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\1&3 \end{pmatrix}$.
    $\quad$$
    c. On veut que :
    $$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\
    & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\
    &\Leftrightarrow U = (I-M)^{-1} \times P \\
    & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\270 \end{pmatrix}
    \end{align}$$
  3. a. $\quad$$
    $$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\
    & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\
    &= M \times U_n – M \times U \\
    &= M \times (U_n – U) \\
    &= M \times V_n
    \end{align}$$
    b. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
    Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
    $\quad$$
  4. a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
    Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
    et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 380$.
    $\quad$$
    b. Sur le long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.
    $\quad$

$\quad$

Et un exercice type (bac S – Métropole juin 2013) faisant intervenir une matrice diagonale.

Énoncé

On étudie la population d’une région imaginaire. Le $1^{\text{er}}$ janvier 2013, cette région comptait $250~000$ habitants dont $70\%$ résidaient à la campagne et $30\%$ en ville.
L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l’effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, $5\%$ de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et $1\%$ de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au $1^{\text{er}}$ janvier de l’année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
    $\quad$
  2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.
    On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a, b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
    Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = A^n X_{0}$.
    $\quad$
  3. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
    $\quad$
    b. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
    $\quad$
  4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que
    $$v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 – 0,94^n\right)c_{0}.$$
    Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
    $\quad$

Correction

  1. On a donc $v_{n+1} = (1 – 0,05)v_n+0,01c_n = 0,95v_n+0,01c_n$
    Et $c_{n+1} = 0,05v_n+0,99c_n$
    $\quad$
  2. $Y=AX$ donc $c=0,95a+0,01b$ et $d=0,05a+0,99b$
    $~$
  3. a. $PQ = \begin{pmatrix} 6&0\\0&6 \end{pmatrix}$ et $QP = \begin{pmatrix} 6&0 \\0&6 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{6}Q$
    $\quad$
    b. $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1&0 \\0&0,94 \end{pmatrix} = D$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $PDP^{-1} = PP^{-1}APP^{-1} = A$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons le propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$
    Alors :
    $\begin{align} A^{n+1}&=AA^n \\
    &= PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\
    &= PDD^nP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, $A^n=PD^nP^{-1}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{n \to + \infty} 0,94^n$ car $-1 < 0,94 < 1$
    Donc $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{6}v_0+\dfrac{1}{6}c_0 = \dfrac{1}{6}(v_0+c_0) = \dfrac{250~000}{6} = \dfrac{125~000}{3}$
    $\quad$
    La population citadine sera, au bout d’un grand nombre d’années de $\dfrac{125~000}{3}$ habitants.
    $\quad$

$\quad$

 

Terminale – Cours – Calcul matriciel

Calcul matriciel

I Notion de matrices

Définition 1 : On considère deux entiers naturels $m$ et $n$ non nuls.
Une matrice de taille $\boldsymbol{m\times n}$ est un tableau rectangulaire de nombres réels de $m$ lignes et de $n$ colonnes.
Le coefficient d’une matrice $A$ situé sur la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne est noté $a_{ij}$.
L’ensemble des matrices à coefficients réels de taille $m\times n$ est noté $\mathscr{M}_{m,n}(\R)$.

Remarque : 

  • On parle également de matrice de dimension $m\times n$.
  • On note souvent les matrices ainsi $A=\left(a_{ij}\right)$.

Exemples :

  • $A=\begin{pmatrix} 1&7\\-2&5\\8&0\end{pmatrix}$ est une matrice de taille $3\times 2$.
    $a_{1,2}=7$ et $a_{3,1}=8$
  • $B=\begin{pmatrix} 1&-2&5&7\\
    0&4&-1&3\end{pmatrix}$ est une matrice de taille $2\times 4$.
    $b_{1,3}=5$ et $b_{2,4}=3$

Remarque : On note parfois les matrices avec des crochets. $A=\begin{bmatrix} 1&7\\-2&5\\8&0\end{bmatrix}$

Définition 2 :

  • Si $m=1$ on dit qu’il s’agit d’une matrice ligne;
  • Si $n=1$ on dit qu’il s’agit d’une matrice colonne;
  • Si $m=n$ on dit qu’il s’agit d’une matrice carré d’ordre $\boldsymbol{n}$.

Exemples : 

  • $A=\begin{pmatrix} -3&5&8&1\end{pmatrix}$ est une matrice ligne.
  • $B=\begin{pmatrix}7\\-2\\-5\\3\end{pmatrix}$ est une matrice colonne.
  • $C=\begin{pmatrix}4&8&0\\3&-4&-3\\2&9&1\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d’ordre $3$.
Définition 3 :

  • On dit qu’une matrice $A$ d’ordre $n$ est une matrice diagonale si tous ses coefficients sont nuls à l’exception de coefficients de la diagonale principale, c’est-à-dire de coefficients de la forme $a_{ii}$.
  • On appelle matrice identité d’ordre $\boldsymbol{n}$ la matrice diagonale $I_n$ dont les tous coefficients diagonaux sont égaux à $1$.
  • La matrice nulle d’ordre $\boldsymbol{n}$ est la matrice carrée d’ordre $n$ notée $O_n$ dont tous les coefficients sont nuls.

Exemples : 

  • Les matrices $\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&-4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ sont des matrices diagonales.
  • La matrice identité d’ordre $2$ est $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et la matrice identité d’ordre $3$ est $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
  • La matrice nulle d’ordre $2$ est $O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et la matrice nulle d’ordre $3$ est $O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.
Définition 4 : Deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ sont égales si :

  • $A$ et $B$ sont de la même taille $m\times n$;
  • Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=b_{ij}$.

Définition 5 : Une matrice carrée $A=\left(a_{ij}\right)$ d’ordre $n$ est dite symétrique si pour tout $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=a_{ji}$.

Exemple : La matrice $A=\begin{pmatrix}4&5&0\\5&1&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}$ est symétrique.

Définition 6 : On appelle matrice transposée d’une matrice $A$ de taille $m\times n$ la matrice notée ${}^tA$ de taille $n\times m$ où pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a ${}^ta_{ij}=a_{ji}$.

Exemples :

  • La matrice transposée de $A=\begin{pmatrix}1&4&7\\3&2&5\end{pmatrix}$ est ${}^tA=\begin{pmatrix}1&3\\4&2\\7&5\end{pmatrix}$.
  • La matrice transposée de $B=\begin{pmatrix}4&-1&9\\5&2&-3\\0&6&-7\end{pmatrix}$ est ${}^tB=\begin{pmatrix} 4&5&0\\-1&2&6\\9&-3&-7\end{pmatrix}$.

$\quad$


$\quad$

II Opérations sur les matrices

1. Somme de deux matrices

Définition 7 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ deux matrices de taille $m\times n$.
La matrice somme des matrices $A$ et $B$ notée $A+B$ est la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ telle que pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Exemple : On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 1&2&5&4\\-2&3&6&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-3&2&4&1\\2&-1&7&9\end{pmatrix}$
On a alors $A+B=\begin{pmatrix}-2&4&9&5\\0&2&13&9\end{pmatrix}$.

Propriété 1 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ et $C=\left(c_{ij}\right)$ trois matrices de taille $m\times n$.

  1. $A+B=B+A$ On dit que la somme de deux matrices est commutative.
  2. $(A+B)+C=A+(B+C)$ On dit que la somme est associative.

Preuve Propriété 1

  1. On note $D=A+B$ et $E=B+A$
    Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
    $$\begin{align*}d_{ij}&=a_{ij}+b_{ij} \\
    &=b_{ij}+a_{ij}\\
    &=e_{ij}\end{align*}$$
    Donc $D=E$ c’est-à-dire $A+B=B+A$
    $\quad$
  2. On note $D=A+B$, $E=D+C$, $F=B+C$ et $G=A+F$
    Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
    $$\begin{align*}e_{ij}&=d_{ij}+c_{ij} \\
    &=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)+ci{ij}\\
    &=a_{ij}+\left(b_{ij}+c_{ij}\right) \\
    &=a_{ij}+f_{ij} \\
    &=g_{ij}\end{align*}$$
    Donc $(A+B)+C=A+(B+C)$
    $\quad$

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$\quad$

2. Multiplication par un réel

Définition 8 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ et un réel $k$.
Le produit de la matrice $\boldsymbol{A}$ par le réel $\boldsymbol{k}$ noté $kA$ est la matrice $B$ de taille $m\times n$ définie par pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $b_{ij}=k\times a_{ij}$.

Exemple : On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 7&5&-3\\2&1&0\end{pmatrix}$.
Alors $3A=\begin{pmatrix}21&15&-9\\6&3&0\end{pmatrix}$.

Propriété 2 : On considère deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$  de taille $m\times n$ et deux réel $k$ et $k’$.

  1. $1\times A=A$
  2. $k(A+B)=kA+kB$ (distributivité)
  3. $\left(k+k’\right)A=kA+k’A$

Preuve Propriété 2

  1. Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $1\times a_{ij}=a_{ij}$
    Donc $1\times A=A$
    $\quad$
  2. On note $C=A+B$ et $D=kC$
    Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a
    $$\begin{align*} d_{ij}&=kc_{ij}\\
    &=k\left(a_{ij}+b_{ij}\right) \\
    &=ka_{ij}+kb_{ij}\end{align*}$$
    Donc $k(A+B)=kA+kB$
    $\quad$
  3. On note $B=\left(k+k’\right)A$
    Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a
    $$\begin{align*}]B_{ij}&=\left(k+k’\right)a_{ij} \\
    &=ka_{ij}+k’a_{ij}\end{align*}$$
    Donc $\left(k+k’\right)A=kA+k’A$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 3 : On considère deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $O=\left(b_{ij}\right)$  de taille $m\times n$ telles que tous les coefficients de la matrice $O$ soient nuls et un réel $k$.
$$kA=O \ssi k=0 \text{ ou } A=O$$
Preuve Propriété 3

Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $k\times a_{ij}=0 \ssi k=0$ ou $a_{ij}=0$
Ainsi
$kA=O \ssi k=0$ ou pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=0$
Donc $kA=0 \ssi k=0$ ou $A=O$.
$\quad$

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$\quad$

Définition 9 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ .
On appelle matrice opposée de la matrice $A$ notée $-A$ la matrice de taille $m\times n$ $B$ définie par $B=-1\times A$.

Remarques :

  • Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $b_{ij}=-a_{ij}$.
  • Cela permet donc de définir des calculs matriciels de la forme $2A-3B$, $A-B$, $-1,5A-2,4B$, …

$\quad$

3. Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne

Définition 10 : On considère une matrice ligne $A=\left(a_{1,j}\right)$ de taille $1\times n$ et une matrice colonne $B=\left(b_{i,1}\right)$ de taille $n\times 1$.
On définit le produit $A\times B$ par $$\begin{align*} A\times B&=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{a_{1,1}}&\textcolor{blue}{a_{1,2}}&\ldots&\textcolor{Green}{a_{1,n}}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \textcolor{red}{b_{1,1}}\\\textcolor{blue}{b_{2,1}}\\\ldots \\\textcolor{Green}{b_{n,1}}\end{pmatrix} \\
&=\textcolor{red}{a_{1,1}}\times \textcolor{red}{b_{1,1}}+\textcolor{blue}{a_{1,2}}\times \textcolor{blue}{b_{2,1}}+\ldots+\textcolor{Green}{a_{1,n}}\times \textcolor{Green}{b_{n,1}}\end{align*}$$

Remarques : En reprenant les notations de la définition

  • Il faut donc que le nombre de colonnes de la matrice $A$ et le nombre de lignes de la matrice $B$ soient égaux.
  • le produit $B\times A$ n’est pas défini. Il faut donc bien faire attention à l’ordre des matrices qu’on utilise.
  • On note souvent $A\times B=\ds \sum_{j=1}^n a_{1,j}b_{j,1}$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix}4&5&-3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}$ alors $$\begin{align*} A\times B&=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{4}&\textcolor{blue}{5}&\textcolor{Green}{-3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \textcolor{red}{-2}\\\textcolor{blue}{6}\\ \textcolor{Green}{1}\end{pmatrix} \\
&=\textcolor{red}{4}\times \textcolor{red}{(-2)}+\textcolor{blue}{5}\times \textcolor{blue}{6}+\textcolor{Green}{(-3)}\times \textcolor{Green}{1}\\
&=19\end{align*}$$

$\quad$

4. Produit de deux matrices

Définition 11 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times \textcolor{red}{n}$ et une matrice $B=\left(b_{ij}\right)$ de taille $\textcolor{red}{n}\times p$.
La matrice produit de $A$ par $B$, noté $AB$ ou $A\times B$, est une matrice de taille $m\times p$ dont le coefficient $c_{ij}$ situé à la ligne $i$, où $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$, et la colonne $j$ , où $j\in\lbrace 1,2,\ldots,p\rbrace$, est le produit de la ligne $i$ de la matrice $A$ et de la colonne $j$ de la matrice $B$.
On a ainsi $c_{ij}=\ds \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix} 1&2&5\\3&-4&6\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}7&0&6&2\\-3&4&1&9\\-1&-2&0&5\end{pmatrix}$
$$\begin{array}{rcl}
&&\begin{pmatrix}7&\textcolor{Green}{0}&6&2\\-3&\textcolor{Green}{4}&1&9\\-1&\textcolor{Green}{-2}&0&5\end{pmatrix}\\
&\times&\\
\begin{pmatrix} 1&2&5\\\textcolor{Green}{3}&\textcolor{Green}{-4}&\textcolor{Green}{6}\end{pmatrix}&&\begin{pmatrix}–4&-2&8&45\\27&\textcolor{Green}{-28}&14&0\end{pmatrix}\end{array}$$
En effet $3\times 0+(-4)\times 4+6\times (-2)=-28$.

Remarques :

  • Le nombre de colonne de la matrice $A$ doit être égale au nombre de ligne de la matrice $B$.
  • En général, $AB\neq BA$
Propriété 4 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ et $C=\left(c_{ij}\right)$ dont les tailles sont compatibles avec les opérations menées et un réel $k$

  1. $(AB)C=A(BC)=ABC$
  2. $A(B+C)=AB+AC$
  3. $(A+B)C=AC+BC$
  4. $(kA)B=A(kB)=kAB$
  5. $I_nA=AI_n=A$

Ces propriétés sont admises

Remarque : Il est possible que tous les coefficients de la matrice $AB$ soient nuls sans que les coefficients de la matrice $A$ ou ceux de la matrice $B$ soient tous nuls.

Définition 12 : On considère une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ et un entier naturel $k$ non nul.
On définit la $\boldsymbol{k}$-ième puissance de la matrice $A$ notée $A^k$ par $A^k=\underbrace{A\times A\times \ldots\times A}_{k\text{ fois}}$.

Remarques :

  • Ainsi $A^2=A\times A$, $A^3=A\times A\times A$, …
  • Par convention, si $A\neq O_n$ alors $A^0=I_n$.

Exemples : 

  • $\begin{pmatrix}4&2\\-1&3\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}42&70\\-35&7\end{pmatrix}$
    $\quad$
  • $\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-4&-1\\0&5&-7\end{pmatrix}^4=\begin{pmatrix}-269&780&-370\\147&-904&1~043\\1~170&-2~875&821\end{pmatrix}$
Propriété 5 (puissance d’une matrice diagonale) : On considère une matrice diagonale $D=\begin{pmatrix}d_1&0&\ldots& 0\\0&d_2&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots  &0\\0&\ldots&0 &d_n\end{pmatrix}$ d’ordre $n$ et un entier naturel $p$ non nul.
On a alors $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots  &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$
Preuve Propriété 5

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $p=1$ alors $D^1=D$. $D^1$ est donc une matrice diagonale et, pour tout $i\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $d_i={d_i}^1$.
La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$, c’est-à-dire que $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots  &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$.
Montrons que la propriété est vraie au rang suivant.
On a $D^{p+1}=D^p\times D$. Pour simplifier l’écriture on va noter $M=D^p$ et $Q=D^{p+1}$ avec $M=\left(m_{ij}\right)$ et $Q=\left(q_{ij}\right)$.
Pour tout $i\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ et $j\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $q_{ij}=\ds \sum_{k=1}^nm_{ik}d_{kj}$
$D$ et $M$ sont des matrices diagonales donc tous les coefficients qui ne sont pas situés sur la diagonale sont nuls
– Si $i\neq j$ alors $q_{ij}=m_{ii}d_{ij}+m{ji}d_{jj}$
Or $d_{ij}=0$ et $m{ji}=0$
Donc $q_{ij}=0$.
La matrice $Q=D^{p+1}$ est donc diagonale
– Si $i=j$ alors
$\begin{align*} q_{ii}&=m_{ii}d_{ii}\\
&={d_{ii}}^p\times d_{ii}\\
&={d_{ii}}^{p+1}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $p$ non nul $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots  &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $\begin{pmatrix} 5&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{pmatrix}^7=\begin{pmatrix} 5^7&0&0\\0&(-1)^7&0\\0&0&4^7\end{pmatrix}$

$\quad$

III Inverse d’une matrice

Définition 13 : Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est dite inversible si, et seulement si, il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB=BA=I_n$.
On dit alors que la matrice $B$ est l’inverse de la matrice $A$ et on la note $A^{-1}$.

Remarque : Toutes les matrices ne sont pas inversibles.

Exemple : On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}$ et la matrice $B=\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}$
On a alors $\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}$.

Propriété 6 : Si la matrice $A$ est inversible alors son inverse est unique.
Preuve Propriété 6

On suppose que la matrice carré $A$ d’ordre $n$ est inversible et qu’il existe deux matrices carrées $B$ et $C$ d’ordre $n$ telles que $AB=BA=I_n$ et $AC=CA=I_n$.
On a donc $AB=AC$.
En multipliant à gauche par $B$ on obtient $(BA)B=(BA)C$ soit $B=C$.
Ce qui prouve l’unicité de l’inverse.

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$\quad$

Définition 14 : On considère une matrice carrée $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ d’ordre $2$.
On appelle déterminant de la matrice $A$ le nombre $\text{det}(A)=ad-bc$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}$ alors
$\begin{align*}\text{det}{A}&=4\times 2-7\times 1\\
&=1\end{align*}$

Propriété 7 : On considère une matrice carrée $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ d’ordre $2$.
$A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.
Dans ce cas $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.
Preuve Propriété 7

On note $B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

On a $AB=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}$.
Ainsi $AB =(ad-bc)I_2$.

Si $ad-bc\neq 0$ alors $A$ est inversible et son inverse est $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Si $ad-bc=0$ on a alors $AB =O_2$
Supposons que la matrice $A$ soit inversible d’inverse $A^{-1}$
On a alors $\left(A^{-1}A\right)B=A^{-1}O_2$ soit $B=O_2$.
Cela signifie donc que $a=0$, $b=0$, $c=0$ et $d=0$.
Par conséquent $A=O_2$ et cette matrice n’est pas inversible.
Il y a donc une contradiction.

Ainsi $A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Pour des matrices carrées $A$ d’ordre $n$ avec $n>2$ on définit également un nombre appelé déterminant et noté $\text{det}(A)$ et la matrice $A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.

Exemples :

  • On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 8&3\\-2&5\end{pmatrix}$
    On a
    $\begin{align*} \text{det}(A)&=8\times 5-(-2)\times 3\\
    &=46\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{46}\begin{pmatrix}5&-3\\2&8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  • On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}2&-3\\6&-9\end{pmatrix}$
    On a
    $\begin{align*} \text{det}(B)&=2\times (-9)-(-3)\times 6 \\
    &=-18+18\\
    &=0\end{align*}$
    La matrice $B$ n’est pas inversible.
Propriété 8 : On considère une matrice inversible $A$ et un réel $k$ non nul.
La matrice $kA$ est inversible d’inverse $\dfrac{1}{k}A^{-1}$.
Preuve Propriété 8

$\begin{align*}kA\times \dfrac{1}{k}A^{-1}&=k\times \dfrac{1}{k}A\times A^{-1} \\
&=1\times I_n\\
&=I_n\end{align*}$
Donc $kA$ est inversible d’inverse $\dfrac{1}{k}A^{-1}$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 9 : On considère une matrice inversible $A$ d’ordre $n$ et une matrice colonne $X$ et $B$ à $n$ lignes.
Il existe une unique matrice colonne $X$ à $n$ lignes telle que $AX=B$ et $X=A^{-1}B$.
Preuve Propriété 9

On a :
$\begin{align*}A\times A^{-1}B&=I_n\times B\\
&=B\end{align*}$
La matrice $X=A^{-1}B$ vérifie bien $AX=B$

Supposons qu’il existe deux matrices colonnes $X$ et $Y$ telles que $AX=B$ et $AY=B$
On a alors $AX=AY\ssi A^{-1}AX=A^{-1}AY\ssi I_nX=I_nY\ssi X=Y$.
La matrice colonne $X$ est donc unique.
$\quad$

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$\quad$

 

 

 

 

Terminale – Cours – PGCD et applications

PGCD et applications

I PGCD

On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$. On note $\Delta(a;b)$ l’ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$.

Exemples :

  • $\Delta(12;18)=\lbrace -6;-3;-2;-1;1;2;3;6\rbrace$
  • $\Delta(-4;6)=\lbrace -2;-1;1;2\rbrace$

Remarque : $\Delta(a;b)=\Delta(b;a)$.

Propriété 1 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
$\Delta(a;b)$ est un ensemble non vide.
Preuve Propriété 1

Tout entier relatif est divisible par $1$ et $-1$.
Donc $\Delta(a;b)$ contient au moins les nombres $1$ et $-1$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 2 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$.
$\Delta(a;b)$ possède un nombre fini d’éléments.
Preuve Propriété 2

Un entier relatif non nul possède un nombre fini de diviseurs.
Supposons que $a$ soit non nul (s’il est nul alors $b$ ne l’est pas). L’ensemble des diviseurs de $a$ contient donc $\Delta(a;b)$.
Par conséquent $\Delta(a;b)$ possède un nombre fini d’éléments.

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$\quad$

Remarque : $\Delta(a;b)$ possède alors un plus grand élément.

Propriété 3 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $b\neq 0$ et $a=bq+r$ où $q$ et $r$ sont des entiers relatifs.
$\Delta(a;b)=\Delta(b;r)$.
Preuve Propriété 3

On va montrer cette propriété par double inclusion, c’est-à-dire que chaque ensemble contient l’autre

  • On considère un élément de $\Delta(a;b)$.
    $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$ il divise alors toutes leurs combinaisons linéaires en particulier $a-bq$, c’est-à-dire $r$.
    Donc $d$ appartient à $\Delta(b;r)$.
  • On considère un élément de $\Delta(b;r)$.
    $d$ est un diviseur commun à $b$ et $r$ il divise alors toutes leurs combinaisons linéaires en particulier $bq+r$, c’est-à-dire $a$.
    Donc $d$ appartient à $\Delta(a;b)$.

Ainsi $\Delta(a;b)=\Delta(b;r)$.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Cette propriété est en particulier vraie quand on écrit la division euclidienne de $a$ par $b$, c’est-à-dire quand $0\pp r<b$.

Définition 1 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$.
On appelle PGCD de $a$ et $b$ le plus grand élément de $\Delta(a;b)$. Il s’agit donc du plus grand diviseur commun à $a$ et $b$.
On le note $\PGCD(a;b)$.

Remarque : Par convention $\PGCD(0;0)=0$.

Exemple : On a $\Delta(12;18)=\lbrace -6;-3;-2;-1;1;2;3;6\rbrace$ donc $\PGCD(12;18)=6$.

Propriété 4 :On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$.

  1. $\PGCD(a;b)=\PGCD(b;a)$
  2. $\PGCD(a;b)\pg 1$
  3. $\PGCD(1;a)=1$
  4. $\PGCD(a;a)=|a|$
  5. $\PGCD(a;0)=|a|$
  6. $\PGCD(a;b)=\PGCD(-a;b)$ $=\PGCD(a;-b)=\PGCD(-a;-b)$ $=\PGCD\left(|a|;|b|\right)$
  7. Si $b$ divise $a$ alors $\PGCD(a;b)=|b|$
  8. $\PGCD(a;b)=\PGCD(a-b;b)$

Preuve Propriété 4

  1. On a $\Delta(a;b)=\Delta(b;a)$.
    Par conséquent leur plus grand élément est le même et par conséquent $\PGCD(a;b)=\PGCD(b;a)$.
    $\quad$
  2. $1$ appartient à $\Delta(a;b)$ donc son plus grand élément est supérieur ou égal à $1$.
    $\PGCD(a;b)\pg 1$
    $\quad$
  3. On a $\PGCD(1;a)\pg 1$.
    Le plus grand diviseur de $1$ est $1$. Donc $\PGCD(1;a)=1$.
    $\quad$
  4. Le plus grand diviseur de $a$ est $|a|$ donc le plus grand diviseur commun à $a$ et $a$ est $|a|$.
    $\quad$
  5. $0$ est divisible par tous les entiers relatifs non nul en particulier par $|a|$.
    $|a|$ est le plus grand diviseur de $a$ donc $\PGCD(a;0)=|a|$.
    $\quad$
  6. Un nombre et son opposé ont les mêmes diviseurs.
    Donc $\Delta(a;b)=\Delta(-a;b)=\Delta(a;-b)=\Delta(-a;-b)=\Delta(|a|;|b|)$.
    Ainsi :
    $\PGCD(a;b)=\PGCD(-a;b)$ $=\PGCD(a;-b)=\PGCD(-a;-b)$ $=\PGCD\left(|a|;|b|\right)$
    $\quad$
  7. Si $b$ divise $a$ alors $|b|$ est un diviseur commun à $a$ et $b$. $|b|$ est également le plus grand diviseur de $b$.
    Donc $\PGCD(a;b)=|b|$.
    $\quad$
  8. D’après la propriété 3. on a $\Delta(a;b)=\Delta(a-b;b)$
    Par conséquent $\PGCD(a;b)=\PGCD(a-b;b)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exemples : 

  • $\PGCD(45;12)=\PGCD(12;45)$
  • $\PGCD(-45;12)=\PGCD(12;-45)=\PGCD(12;45)=\PGCD(-12;-45)$
  • $\PGCD(56;7)=7$ car $7$ divise $56$
  • On a :
    $\begin{align*} \PGCD(45;12)&=\PGCD(33;12) \quad \text{car }45-12=33 \\
    &=\PGCD(21;12) \quad \text{car }33-12=21\\
    &=\PGCD(9;12) \quad \text{car }21-12=9\\
    &=\PGCD(9;3)\quad \text{car }12-9=3\\
    &=3\quad \text{car $3$ divise $9$}\end{align*}$

$\quad$

$\quad$

II Algorithme d’Euclide

Propriété 5 : On considère un entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $b>0$ et $a=bq+r$ où $q$ est un entier relatif et $r$ est un entier naturel tel que $0\pp r<b$.
$\PGCD(a;b)=\PGCD(b;r)$
Preuve Propriété 5

D’après la propriété 3. on a $\Delta(a;b)=\Delta(b;r)$.
Donc $\PGCD(a;b)=\PGCD(b;r)$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 6 (algorithme d’Euclide) : On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a>b>0$.

  • $r_0$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
  • Si $r_0\neq 0$ on appelle alors $r_1$ le reste de la division euclidienne de $b$ par $r_0$.
  • Si $r_1\neq 0$ on appelle alors $r_2$ le reste de la division euclidienne de $r_1$ par $r_0$.
  • Si $r_{n-1}\neq 0$ on appelle alors $r_n$ le reste de la division euclidienne de $r_{n-2}$ par $r_{n-1}$.
  • Si $r_n\neq 0$ et que le reste de la division euclidienne de $r_{n-1}$ par $r_n$ est nul alors $\PGCD(a;b)=r_n$.

Preuve Propriété 6

  • $a=bq_0+r_0$ avec $0\pp r_0<b$ donc $\PGCD(a;b)=\PGCD\left(b;r_0\right)$
  • $b=r_0q_1+r_1$ avec $0\pp r_1<r_0$ donc $\PGCD\left(b;r_0\right)=\PGCD\left(r_0;r_1\right)$
  • $r_0=r_1q_2+r_2$ avec $0\pp r_2<r_1$ donc $\PGCD\left(r_0;r_1\right)=\PGCD\left(r_1;r_2\right)$
  • $r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n$ avec $0< r_n<r_{n-1}$ donc $\PGCD\left(r_{n-2};r_{n-1}\right)=\PGCD\left(r_{n-1};r_n\right)$
  • $r_{n-1}=r_nq_{n+1}+0$ donc $\PGCD\left(r_{n-1};r_n\right)=r_n$ car $r_n$ divise $r_{n-1}$

La suite $\left(r_n\right)$ est une suite d’entiers positifs strictement décroissante. Un des restes dans cet algorithme sera donc nul.
On a également :
$\begin{align*} \PGCD(a;b)&=\PGCD\left(b;r_0\right)\\
&=\PGCD\left(r_0;r_1\right)\\
&=\PGCD\left(r_1;r_2\right)\\
&=\ldots \\
&=\PGCD\left(r_{n-1};r_n\right)\\
&=r_n\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer $\PGCD(756;120)$
On utilise l’algorithme d’Euclide.
$756=6\times {\textcolor{red}{120}}+{\textcolor{blue}{36}}$
${\textcolor{red}{120}}=3\times {\textcolor{blue}{36}}+{\textcolor{orange}{12}}$
${\textcolor{blue}{36}}=3\times {\textcolor{orange}{12}}+0$
Le dernier reste non nul est $12$ donc $\PGCD(756;120)=12$

Propriété 7 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$ et un entier naturel $k$ non nul.
$\PGCD(ka;bk)=k\times \PGCD(a;b)$.
Preuve Propriété 7

  • Si $b$ divise $a$ alors $bk$ divise $ak$ et le plus rand diviseur de $bk$ est $k|b|$.
    Donc $\PGCD(ka;bk)=k|b|$
    Or, du fait que $b$ divise $a$, on également $\PGCD(a;b)=|b|$
    Par conséquent $k\PGCD(a;b)=k|b|$ et donc $\PGCD(ka;bk)=k\PGCD(a;b)$.
    On procède de la même manière si $a$ divise $b$.
  • Si $a$ ne divise pas $b$ et si $b$ ne divise pas $a$.
    D’après la propriété 4. on peut donc se ramener au cas où $a>b>0$.
    $k$ est un entier naturel non nul donc $ka>kb>0$.
    On a $a=bq+r$ avec $0\pp r<b$ par conséquent $ka=kbq+kr$ avec $0\pp kr < kb$
    En appliquant l’algorithme d’Euclide pour déterminer $\PGCD(ka;kb)$ on reprend en fait toutes les étapes du calcul de $\PGCD(a;b)$ en les multipliant par $k$.
    Si $r_n$ est le dernier reste non nul dans l’algorithme permettant de calculer $\PGCD(a;b)$ alors $kr_n$ est le dernier reste non nul dans l’algorithme permettant de calculer $\PGCD(ka;kb)$.
    Par conséquent $\PGCD(ka;bk)=k\times \PGCD(a;b)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : $\PGCD(57;18)=3\PGCD(19;6)$ car $57=3\times 19$ et $18=3\times 6$.
Or le seuls diviseurs positifs de $6$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$ et ceux de $19$ sont $1$ et $19$.
Par conséquent $\PGCD(19;6)=1$ et $\PGCD(57;18)=3$.

Propriété 8 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $(a;b)\neq (0;0)$.
$n$ est un diviseur commun de $a$ et $b$ si, et seulement si $n$ divise $\PGCD(a;b)$.
Preuve Propriété 8

On note $d=\PGCD(a;b)$.
On va montrer que $\Delta(a;b)$ est en fait l’ensemble des diviseurs de $d$.

En reprenant l’algorithme d’Euclide on a :
$\Delta(a;b)=\Delta\left(b;r_0\right)=\Delta\left(r_0;r_1\right)=\ldots=\Delta\left(r_{n-1};r_{n}\right)$.
Mais $r_n$ divise $r_{n-1}$ donc $\Delta\left(r_{n-1};r_{n}\right)$ est l’ensemble des diviseurs de $r_n$.
$r_n$ étant le dernier reste non nul on a $r_n=d$.
Par conséquent $\Delta(a;b)$ est en fait l’ensemble des diviseurs de $d$.

Donc $n$ est un diviseur commun de $a$ et $b$ si, et seulement si $n$ divise $\PGCD(a;b)$.
$\quad$

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$\quad$

III Nombres premiers entre eux

Définition 2 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ non nuls.
On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux si $\PGCD(a;b)=1$.

Exemples :

  • $\PGCD(3;2)=1$ donc $2$ et $3$ sont premiers entre eux.
  • $\PGCD(19;6)=1$ donc $19$ et $6$ sont premiers entre eux.
Propriété 9 : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ non nuls et on note $d=\PGCD(a;b)$.
Les nombres $a’=\dfrac{a}{d}$ et $b’=\dfrac{b}{d}$ sont premiers entre eux.
Preuve Propriété 9

On a donc $a=a’d$ et $b=b’d$.
Par conséquent :
$\begin{align*} d&=\PGCD(a;b) \\
&=\PGCD\left(da’;db’\right) \\
&=d\times \PGCD\left(a’;b’\right)\end{align*}$
Ainsi $\PGCD\left(a’;b’\right)=1$ et les nombres $a’$ et $b’$ sont premiers entre eux.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $\PGCD(68;24)=4$ et $\dfrac{68}{4}=17$ et $\dfrac{24}{4}=6$.
Par conséquent $17$ et $6$ sont premiers entre eux.

$\quad$

IV Théorème de Bézout

Propriété 10 (égalité de Bézout) : On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$ non nuls et on note $d=\PGCD(a;b)$.
Il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$.
Preuve Propriété 10

On suppose que $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls (la propriété 4.6 nous permet de ne considérer que ce cas).

On considère l’ensemble $\mathscr{E}=\lbrace au+bv \in \N^*,u\in\Z\text{ et }v\in \Z\rbrace$.
$a=a\times 1+b\times 0$. Donc $\mathscr{E}$ est non vide.
$\mathscr{E}$ est donc une partie non vide de $\N$. Il possède donc un plus petit élément $g$.
$g\in \mathscr{E}$ : il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $g=au+bv$.
On va montrer que $g=d$.

  • Montrons que $d\pp g$
    $d$ divise toutes les combinaisons linéaires de $a$ et $b$. Par conséquent $d$ divise $g$.
    $d$ et $g$ sont deux entiers naturels donc $d\pp g$.
  • Montrons que $g\pp d$
    On a $a=gq+r$ avec $0\pp r<g$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} r&=a-gq \\
    &=a-(au+bv)q \\
    &=a-auq-bvq \\
    &=a(1-uq)-bvq\end{align*}$
    $r$ est donc une combinaison linéaire de $a$ et $b$ .
    Supposons que $r> 0$  alors $r\in \mathscr{E}$ et $r<g$, ce qui est absurde car $g$ est le plus petit élément de $\mathscr{E}$.
    Donc $r=0$
    Ainsi $g$ divise $a$.
    On montre de la même manière que $g$ divise $b$.
    $g$ est par conséquent un diviseur commun à $a$ et $b$.
    Par conséquent $g\pp d$.

Cela signifie donc que $d=g$
Il existe par conséquent deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$.
$\quad$

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$\quad$

Remarques : 

  • Le couple $(u;v)$ tel que $au+bv=d$ n’est pas unique.
  • On peut utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer un tel couple $(u;v)$.

Exemple : On a vu (exemple de l’algorithme d’Euclide) que $\PGCD(756;120)=12$.
On veut déterminer un couple $(u;v)$ tel que $756u+120v=12$
– $756=6\times 120+36$ donc $36=756-6\times 120$
– $120=3\times 36+12$ donc $12=120-3\times 36$
Par conséquent $12=120-3(756-6\times 120)$ soit $12=120-3\times 756+18\times 120$
Donc $12=-3\times 756+19\times 120$

Théorème 1 (théorème de Bézout) : Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
Preuve Théorème 1

  • Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $\PGCD(a;b)=1$ et, d’après la propriété précédente, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
  • On suppose qu’il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
    On appelle $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$. Il divise donc toutes les combinaisons linéaires de $a$ et $b$, en particulier $au+bv$.
    $d$ divise par conséquent $1$.
    Ainsi $d=-1$ ou $d=1$.
    Le seul diviseur positif commun à $a$ et $b$ est donc $1$.
    Ainsi $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : Montrons que, pour tout entier naturel $n$, les nombres $2n+1$ et $7n+3$ sont premiers entre eux.
Pour tout entier naturel $n$, $2n+1$ et $7n+3$ sont également des entiers naturels.
On a :
$\begin{align*} 7(2n+1)-2(7n+3) &=14n+7-14n-6 \\
&=1\end{align*}$
D’après le théorème de Bézout les nombres $2n+1$ et $7n+3$ sont donc premiers entre eux.

Propriété 11 : On considère trois entiers relatifs non nuls $a$, $b$ et $c$.
Si $\PGCD(a;b)=1$ et si $\PGCD(a;c)=1$ alors $\PGCD(a;bc)=1$.
Preuve Propriété 11

$\PGCD(a;b)=1$ : il existe donc deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$
$\PGCD(a;c)=1$ : il existe donc deux entiers relatifs $m$ et $n$ tels que $am+cn=1$
Par conséquent $(au+bv)(am+cn)=1$
Or
$\begin{align*} (au+bv)(am+cn)&=auam+aucn+bvam+bvcn \\
&=a(aum+ucn+bvm)+bc(vn)\end{align*}$
Ainsi $a(aum+ucn+bvm)+bc(vn)=1$
D’après le théorème de Bézout les nombres $a$ et $bc$ sont premiers entre eux, c’est-à-dire $\PGCD(a;bc)=1$.
$\quad$

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$\quad$

V Théorème de Gauss

Théorème 2 (théorème de Gauss) : On considère trois entiers relatifs non nuls $a$, $b$ et $c$.
Si $a$ est premier avec $b$ et divise $bc$ alors $a$ divise $c$.
Preuve Théorème 2

$a$ et $b$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe donc deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
Par conséquent $acu+bcv=c$.
$a$ divise donc $acu$ et $bcv$ (car il divise $bc$). $a$ divise donc toutes leurs combinaisons linéaires, en particulier $acu+bcv$ c’est-à-dire $c$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 12 : On considère trois entiers relatifs non nuls $a$, $b$ et $c$.
Si $b$ et $c$ sont premiers entre eux et divisent $a$ alors $bc$ divise $a$.
Preuve Propriété 12

$a$ est divisible par $b$. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $a=bk$.
$a$ est divisible par $c$, donc $bk$ est divisible par $c$ avec $b$ et $c$ premiers entre eux.
D’après le théorème de Gauss, $c$ divise $k$.
Il existe donc un entier relatif $k’$ tel que $k=k’c$.
Par conséquent $a=bck’$.
$bc$ divise donc $a$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si un entier $n$ est divisible par $2$ et par $3$ alors, puisque $2$ et $3$ sont premiers entre eux, $n$ est divisible par $6$.

Propriété 13 (conséquence) : On considère un entier relatif $a$, un entier naturel $k$ et deux entiers naturels premiers entre eux $m$ et $n$.
Si $a\equiv k~[n]$ et $a\equiv k~[m]$ alors $a\equiv k~[mn]$.
Preuve Propriété 13

$a\equiv k~[n]$ et $a\equiv k~[m]$
Donc $a-k$ est divisible par $n$ et $m$ premiers entre eux.
D’après la propriété précédente, $a-k$ est divisible par $mn$, c’est-à-dire $a\equiv k~[mn]$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple :  $1~145\equiv 5~[12]$ et $1~145\equiv 5~[19]$. $12$ et $19$ sont premiers entre eux et $12\times 19=228$.
Donc $1~145\equiv 5~[228]$.

VI Équations diophantienne

On considère trois entiers relatifs $a$, $b$ et $c$ tels que $c$ soit un multiple de $\PGCD(a;b)$. On souhaite déterminer l’ensemble des couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $ax+by=c$.

Exemple : On veut déterminer l’ensemble des couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $(E) :\quad 6x+8y=56$.

  • 1ère étape : On simplifie l’équation par $\PGCD(a;b)$ et on obtient l’équation $a’x+b’y=c’$
    $\PGCD(6;8)=2$ : $6x+8y=56\ssi 3x+4y=28$
    $\quad$
  • 2ème étape : On cherche une solution particulière de l’équation $a’x+b’y=1$
    On cherche donc ici une solution de l’équation $3x+4y=1$
    On peut reprendre la méthode vue dans l’exemple de l’identité de Bézout ou voir, ici, que $3\times 3+4\times (-2)=1$.
    $\quad$
  • 3ème étape : On cherche une solution particulière de l’équation $a’x+b’y=c’$.
    On multiplie chacun des nombres du couple solution par $c’$
    Ainsi $(3\times 28;-2\times 28)$ soit $(84;-56)$ est une solution de l’équation $3x+4y=28$.
    $\quad$
  • 4ème étape : On détermine toutes les autres solutions
    On considère $(x;y)$ une solution de l’équation $3x+4y=28$.
    On a donc $3\times 84+4\times (-56)=28$ et $3x+4y=28$
    Par différence, on obtient alors $3(84-x)+4(-56-y)=0$
    Soit $3(84-x)=4(56+y) \quad (1)$
    $3$ et $4$ sont premiers entre eux.
    Donc, d’après le théorème de Gauss, $3$ divise $56+y$.
    Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $56+y=3k$.
    En remplaçant dans l’équation $(1)$ on obtient $3(84-x)=4\times 3k$ soit $84-x=4k$.
    Par conséquent $56+y=3k$ et $84-x=4k$ soit $x=84-4k$ et $y=-56+3k$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc de la forme $(84-4k;-56+3k)$.
    $\quad$
    Montrons que la réciproque est vraie, c’est-à-dire que, pour tout entier relatif $k$, le couple $(84-4k;-56+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\begin{align*} 6(84-4k)+8(-56+3k)&=504-24k-448+24k\\
    &=56\end{align*}$
    $\quad$
  • Conclusion : Les solutions de l’équation $(E)$ sont les couples $(84-4k;-56+3k)$ pour tout $k\in\Z$.
    $\quad$