Terminale – Exercices – Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation (QCM)

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.

  1. Pour pouvoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique, il faut que les paramètres $n$ et $p$ vérifient :
    a. $p\pg 5$
    b. $(1-p)n\pg 5$
    c. $np<5$
    d. $np\pg 30$
    $\quad$
    Correction question 1

    Il faut vérifier trois conditions :
    $n\pg 30 \qquad np\pg 5 \qquad n(1-p)\pg 5$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Pour $n=45$ et $p=0,01$, l’intervalle de fluctuation asymptotique est :
    a. inutilisable
    b. utilisable
    $\quad$
    Correction question 2

    Il faut vérifier trois conditions pour pouvoir utiliser l’intervalle de fluctuation asympotique:
    $n\pg 30 \qquad np\pg 5 \qquad n(1-p)\pg 5$$n=45\pg 30 \checkmark$
    $np=0,45<5 \textbf{X}$
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ :
    a. est aussi un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$
    b. est aussi un intervalle de fluctuation au seuil de $99\%$
    $\quad$
    Correction question 3

    On applique le principe du “qui peut le plus peut le moins”.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ un intervalle dans lequel la grandeur observée doit se trouver dans $95\%$ des cas et donc a fortiori dans $90\%$ des cas.
    On n’est cependant pas certain que ce soit le cas dans $99\%$ des cas.
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Dans une usine, une machine fabrique des tiges métalliques. L’ingénieur chargé du réglage affirme que les tiges fabriquées présentent un défaut dans $0,8\%$ des cas.
On s’intéresse à un échantillon de $800$ tiges prélevées au hasard dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour assimiler cela à un tirage au sort avec remise. On note $X$ le nombre de tiges sans défaut.

  1. $X$ suit une loi binomiale de paramètres :
    a. $n=800$ et $p=0,8$
    b. $n=640$ et $p=0,008$
    c. $n=800$ et $p=0,008$
    d. $n=800$ et $p=0,992$
    $\quad$
    Correction question 4

    On effectue $800$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $D$ “la tige a un défaut” et $\conj{D}$.
    De plus $p\left(\conj{D}\right)=0,992$.
    Ainsi $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=800$ et $p=0,992$.
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. À $10^{-3}$ près, un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des tiges dans défaut au seuil de $95\%$ est :
    a. $[0,985\ ;\ 0;999]$
    b. $[0,983\ ;\ 1]$
    c. $[0\ ;\ 0;95]$
    $\quad$
    Correction question 5

    On a $n=800$ et $p=0,992$
    Ainsi $n=800\pg 5 \checkmark \qquad np=793,6\pg 5 \checkmark \qquad n(1-p)=6,4\pg 5\checkmark$
    Un intervalle de fluctuation asympotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des tiges sans défaut est :
    $\begin{align*} I_{800}&=\left[0,992-1,96\sqrt{\dfrac{0,008\times 0,992}{800}};0,992+1,96\sqrt{\dfrac{0,008\times 0,992}{800}}\right] \\
    &\approx [0,985:0,999]\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Un ouvrier trouve $13$ tiges défectueuses dans l’échantillon. Il peut en conclure que :
    a. Au seuil de $95\%$, l’hypothèses de l’ingénieur est à rejeter.
    b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse de l’ingénieur.
    c. Il faut recommencer l’expérience.
    $\quad$
    Correction question 6

    À la question précédente on a déterminé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des tiges sans défaut.
    $I_{800}\approx [0,985:0,999]$
    La fréquence observée de tiges sans défaut est :
    $\begin{align*}f&=\dfrac{800-13}{800}\\
    &=0,983~75\\
    &\notin I_{800}\end{align*}$
    Au risque d’erreur de $5\%$ l’hypothèse de l’ingénieur est à rejeter.
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

$\quad$

$\quad$
Florian affirme que $15\%$ des êtres humains sont gauchers.
Marjolaine trouve ce pourcentage très important; elle souhaite tester cette hypothèse sur un échantillon de $79$ personnes.

  1. À $10^{-3}$ près, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ est :
    a. $[0\ ; \ 0,99]$
    b. $[0,071\ ; \ 0,229]$
    c. $[0,99\ ; \ 1]$
    d. $[0,046\ ; \ 0,254]$
    $\quad$
    Correction question 7

    On a $n=79$ et $p=0,15$
    Donc $n=79\pg 30 \checkmark \qquad np=11,85\pg 5 \qquad n(1-p)=67,15\pg 5 \checkmark$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher au seuil de $99\%$ est :
    $\begin{align*} I_{79}&\left[0,15-2,58\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}};0,15+2,58\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}}\right] \\
    &\approx [0,046\ ; \ 0,254]\end{align*}$
    Or $[0,046\ ;\ 0,254]$ est inclus dans $[0\ ;\ 0,99]$
    Réponse a et d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Elle trouve finalement $19$ gauchers parmi les $79$ personnes étudiées.
    a. Au seuil de $99\%$, l’hypothèse est à rejeter.
    b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse.
    c. Il faut recommencer l’expérience.
    $\quad$
    Correction question 8

    D’après la question précédente, un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher est $I_{79}\approx [0,046\ ; \ 0,254]$.
    La fréquence observée est :
    $\begin{align*}f&=\dfrac{19}{79} \\
    &\approx 0,241\\
    &\in I_{79}\end{align*}$
    On ne peut pas rejet l’hypothèse.
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Elle cherche ensuite à tester l’hypothèse au seuil de $95\%$.
    a. Au seuil de $95\%$, l’hypothèse est à rejeter.
    b. On ne peut pas rejeter l’hypothèse.
    c. Il faut recommencer l’expérience.
    $\quad$
    Correction question 9

    On a $n=79$ et $p=0,15$
    Donc $n=79\pg 30 \checkmark \qquad np=11,85\pg 5 \qquad n(1-p)=67,15\pg 5 \checkmark$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de gaucher au seuil de $99\%$ est :
    $\begin{align*} I_{79}&\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{79}}\right] \\
    &\approx [0,071\ ; \ 0,229]\end{align*}$
    La fréquence observée est :
    $\begin{align*}f&=\dfrac{19}{79} \\
    &\approx 0,241\\
    &\notin I_{79}\end{align*}$
    Au seuil de $95\%$, l’hypothèse est à rejeter.
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Dans un club de sport, $65\%$ des inscrits sont des hommes.
    Lors d’une réunion de $55$ personnes de cette association :
    a. Il y a $35,75$ hommes.
    b. Il y a entre $28$ et $43$ hommes.
    c. Il peut y avoir moins de $15$ hommes.
    $\quad$
    Correction question 10

    On a $n=55$ et $p=0,65$
    Donc $n=55\pg 30 \checkmark \qquad np=35,75\pg 5 \checkmark \quad n(1-p)=19,25 \checkmark$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des hommes est :
    $\begin{align*} I_{55}&=\left[0,65-1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{55}};0,65+1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{55}}\right]\\
    &\approx [0,523;0,777]\end{align*}$
    En multipliant par $55$ on obtient un encadrement du nombre d’hommes.
    Il y a donc entre $28$ et $43$ hommes dans $95\%$ des cas (donc pas tout le temps).
    Il peut cependant y avoir moins de $15$ hommes.
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Un client désœuvré à la terrasse d’un café décide de compte le nombre de voitures roues qui roulent dans la ville.

  1. Sur $504$ voitures, il en a compté $63$ rouges. La proportion de voitures rouges roulant dans la ville est :
    a. Exactement $0,125$
    b. Comprise entre $0,08$ et $0,17$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    c. Comprise entre $0,05$ et $0,2$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    d. Comprise entre $0,13$ et $0,17$ avec une probabilité supérieure à $0,95$
    $\quad$
    Correction question 11

    On a $n=504$ et $f=\dfrac{63}{504}$
    Donc $n=504\pg 30 \checkmark \qquad nf=63\pg 5\checkmark \qquad n(1-f)=441\pg 5\checkmark$
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de la proportion de voitures rouges est :
    $\begin{align*}I_{504}&=\left[\dfrac{63}{504}-\dfrac{1}{\sqrt{504}};\dfrac{63}{504}+\dfrac{1}{\sqrt{504}}\right] \\
    &\approx [0,08\ ;\ 0,17]\end{align*}$
    Mais l’intervalle $[0,08 \ ; \ 0,17]$ est inclus dans l’intervalle $[0,05\ ;\ 0,2]$.
    Réponse b et c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude $0,02$ au seuil de $95\%$, le client aurait dû compter :
    a. $50$ voitures
    b. $100$ voitures
    c. $250$ voitures
    d. $10~000$ voitures
    $\quad$
    Correction question 12

    Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Ainsi son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02&\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,01 \\
    &\ssi \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,01} \\
    &\ssi \sqrt{n}=100\\
    &\ssi n=10~000\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Pour avoir un intervalle de confiance de rayon $0,05$ au seuil de $95\%$ le client aurait dû compter :
    a. $100$ voitures
    b. $400$ voitures
    c. $1~000$ voitures
    d. $4~000$ voitures
    $\quad$
    Correction question 13

    Le rayon est égal à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
    On veut donc :
    $\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,05&\ssi \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,05} \\
    &\ssi \sqrt{n}=20\\
    &\ssi n=400\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

 

Tle – Exercices – Intégration – QCM

Intégration – QCM

Pour chaque question, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s).

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2+\dfrac{3}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $2$ cm.
    L’aire sous la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
    a. $5+\ln(15)-\ln(3)$ unités d’aire
    b. $8+3\ln(5)$ unités d’aire
    c. $51,2$ cm$^2$
    d. $4\ln\left(5^3\e^8\right)$ cm$^2$
    $\quad$
    Correction Question 1

    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$, on a $\dfrac{3}{x}>0$. Donc $f(x)>0$.
    La fonction est continue sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
    Ainsi l’aire sous la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^5 f(x)\dx \\
    &=\Big[2x+3\ln(x)\Big]_1^5 \\
    &=10+3\ln(5)-\left(2+3\ln(1)\right) \\
    &=10+3\ln(5)-2\\
    &=8+3\ln(5)\text{ u.a.}\end{align*}$
    Or $1\text{ u.a}=2^2$ cm$^2$
    Donc :
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=4\left[8+3\ln(5)\right] \\
    &=4\left(\ln\left(\e^8\right)+\ln\left(5^3\right)\right) \\
    &=4\ln\left(5^3\e^8\right)\text{ cm}^2\end{align*}$
    Réponse b. et c.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. On considère un repère orthogonal $(O ; I, J)$ tel que
    $OI = 2$ cm et $OJ = 3$ cm. Alors :
    a. $1$ unité d’aire $= 1$ cm$^2$
    b. $1$ unité d’aire $= 6$ cm$^2$
    c. $1$ unité d’aire $= 6$ cm$^2$
    d. $1$ unité d’aire $= 5$ cm$^2$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $1$ unité d’aire $=2\times 3$ cm$^2$
    donc $1$ unité d’aire $=6$ cm$^2$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = 1-2\ln(x)$ est :
    a. $F(x)=3x-2x\ln(x)$
    b. $F(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$
    c. $F(x)=-\dfrac{2}{x}$
    d. $F(x)=x-\dfrac{2}{x}$
    $\quad$
    Correction Question 3

    Les réponses c. et d. ne peuvent pas convenir puisque la fonction dérivée de la fonction inverse n’est pas la fonction $\ln$.
    Dérivons maintenant les expressions des réponses a. et b.
    On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=3x-2x\ln(x)$.
    La fonction $F$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} F'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-2\ln(x)-2 \\
    &=1-2\ln(x)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    $\quad$
    On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$.
    La fonction $G$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} G'(x)&=1\times \left(3-\ln(x)\right)+x\times \dfrac{-1}{x} \\
    &=3-\ln(x)-1\\
    &=2-\ln(x)\end{align*}$
    Donc $G$ n’est pas une primitive de $f$.
    Réponse a
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$


$\quad$

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x\e^{x^2}$.
    Alors $\ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx=$ :
    a. $6\e^9-6^{-9}$
    b. $0$
    c. $12\e^9$
    d. $2\e^9$
    $\quad$
    Correction Question 4

    On a :
    $\begin{align*} \ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx&= f(3)-f(-3) \\
    &=6\e^9-\left(-6\e^{9}\right) \\
    &=12\e^9\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La valeur moyenne sur $[-2;1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2$ est :
    a. $9$
    b. $3$
    c. $-7$
    d. $-\dfrac{7}{3}$
    $\quad$
    Correction Question 5

    La valeur moyenne cherchée est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1-(-2)}\ds \int_{-2}^1 3x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\
    &=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\
    &=\dfrac{1+8}{3} \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Soient $f$ et $g$ les fonction définies sur $\R$ par : $f(x)=x^2+8x-7$ et $g(x)=-x^2+2x+13$.
    L’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
    a. $\ds \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)\dx$
    b. $\ds \int_{-5}^2\left(g(x)-f(x)\right)\dx$
    c. $\dfrac{77}{3}$
    d. $\dfrac{343}{7}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[-5;2]$ donc $f-g$ et $g-f$ le sont aussi.
    Il faut déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-5;2]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=x^2+8x-7-\left(-x^2+2x+13\right) \\
    &=x^2+8x-7+x^2-2x-13\\
    &=2x^2+6x-20 \\
    &=2\left(x^2+3x-10\right)\\
    &=2(x-2)(x+5)\end{align*}$
    $f(x)-g(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=2>0$ et les racines sont $2$ et $-5$.
    Par conséquent $f(x)-g(x)\pp 0$ sur $[-5;2]$.
    Ainsi l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_{-5}^2 \left(g(x)-f(x)\right)\dx \\
    &=\int_{-5}^2\left(-2x^2-6x+20\right) \dx \\
    &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-3x^2+20x\right]_{-5}^2 \\
    &=-\dfrac{16}{3}-12+40-\left(\dfrac{250}{3}-75-100\right) \\
    &=-\dfrac{266}{3}+203\\
    &=\dfrac{343}{3}\end{align*}$
    Réponse b. et c.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont :
    a. $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
    b. $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
    c. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}$
    d. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
    Si $k=0$ alors on obtient la fonction définie sur $\R$ $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
    De plus on a $\dfrac{1}{-0,2}=-5$.
    Ainsi les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
    Réponse a. et b.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Une primitive sur $\R$ de $x\mapsto 3(x-2)(x+5)$ est :
    a. $x\mapsto 6x\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left(\dfrac{x^2}{2}+5x\right)$
    b. $x\mapsto 6x+9$
    c. $x\mapsto x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+7$
    d. $x\mapsto x\left(x^2+\dfrac{9}{2}x-30\right)$
    $\quad$
    Correction Question 8

    On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3(x-2)(x+5)$.
    Ainsi
    $\begin{align*}f(x)&=3\left(x^2+3x-10\right) \\
    &=3x^2+9x-30\end{align*}$
    La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que polynôme.
    Les primitives de la fonction $f$ sont donc les fonctions $F$ définies par $F(x)=x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+k$ où $k$ est un réel.
    Si on développe l’expression a. on obtient un polynôme de degré $5$. Cette réponse ne convient donc pas.
    Si on développe l’expression d. on obtient $x^2+\dfrac{9}{2}x^2-30x$.
    Réponse c. et d.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-x\e^{-x^2/2}$.
    La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
    a. $\dfrac{3-\e^{-2}}{2}$
    b. $\dfrac{-3+\e^{-2}}{2}$
    c. $3+\e^{-2}$
    d. $1,43$
    $\quad$
    Correction Question 9

    La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
    $\begin{align*} m&=\ds \dfrac{1}{0-(-2)}\int_{-2}^0 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[x+\e^{-x^2/2}\right]_{-2}^0 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(1-\left(-2+\e^{-2}\right)\right) \\
    &=\dfrac{3-\e^{-2}}{2}\end{align*}$
    Réponse a.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x}$ est :
    a. $F(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x}{\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{8}{3}}$
    b. $F(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
    c. $F(x)=2x-1$
    d. $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+1$
    $\quad$
    Correction Question 10

    Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2x^2-x+3}{x} \\
    &=2x-1+\dfrac{3}{x}\end{align*}$
    Ainsi les primitives de la fonction $f$ sont définies par $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+k$ où $k$ est un réel.
    Réponse d.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Le nombre $\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx$ est égal à :
    a. $6\ln(2)+12$
    b. $\ln(2)+2$
    c. $-6\ln(2)-12$
    d. $\ln(2)-72$
    $\quad$
    Correction Question 11

    On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx \\
    &=\left[x^2-x+3\ln(x)\right]_1^4 \\
    &=16-4+3\ln(4)-\left(1^2-1+3\ln(1)\right) \\
    &=12+3\ln(4)\\
    &=12+3\ln\left(2^2\right) \\
    &=12+6\ln(2)\end{align*}$
    Réponse a.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

 

TS – Bac Blanc – février 2020

Bac Blanc – Février 2020

Bac S – Mathématiques – Correction

Énoncé

Exercice 1     5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d’affixes $1$, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.
Sur le graphique fourni en annexe, le point $A$ a pour affixe $1$.

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    Dans cette question, on pose : $z = \ic$ .
    a. Donner la forme algébrique des nombre complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_1$ d’affixe $z^2$ et $P_1$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_1$
    et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue $z$ : $z^2+z+1=0$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    Dans cette question, on pose : $z=-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_2$ d’affixe $z^2$ et $P_2$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

  1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a : $$z^2-\dfrac{1}{z}=\left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$$
    $\quad$
  2. On rappelle que si $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur, d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}}=kz_{\vect{U}}$ .
    En déduire que, pour $z \neq 0$ , les points $A$, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est un réel.
    $\quad$
  3. On pose $z=x+\ic y$ , où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.
    Justifier que : $z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 0$ tels que les points $A$, $N$ et $P$ soient alignés.
    $\quad$
    b. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
    d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n= 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
    $\quad$
    d. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

On note $r$ l’ensemble des matrices colonnes à $2$ lignes, à coefficients entiers.

Soit $U=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$. À $U$ et $V$, on associe la matrice $A=\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A)=u_1v_2-u_2v_1$.

On dit que $(U, V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d’entiers relatifs $a,b)$ tel que $X= aU+ bV$.

  1. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $X$ ne peut pas s’écrire $X=aU+bV$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. Le couple $(U,V)$ est-il une base de $r$?
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété :
$\hspace{3cm}$ « si $d(A)=1$ , alors $(U,V)$ est une base de $r$ ».

  1. En posant $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$, le but de cette question est de déterminer $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$
    tel que $d(A) = 1$ . On rappelle dans ce cas que la matrice A associée au couple $(U,V)$ s’écrit : $A=\begin{pmatrix}6&v_1\\-11&v_2\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer la condition $d(A) =1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
    b. On considère l’équation $(E) : 11x+6y=1$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des entiers relatifs.
    $\quad$
    d. Déterminer alors une matrice $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d’une part l’égalité $d(A) =1$ et, d’autre part, la condition $0\pp v_1 \pp 10$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$. Ainsi $A=\begin{pmatrix} 6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la matrice $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$ est l’inverse de $A$.
    $\quad$
    b. Soit $X$ un élément de $r$.
    Montrer que l’égalité $X= aU+ bV$ s’écrit matriciellement $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs $(a,b)$ tel que $X=aU+bV$ , c’est-à-dire tel que $(U, V)$ est une base de $r$.
    $\quad$
    d. Déterminer ce couple $(a,b)$ lorsque $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$.

$\quad$

Exercice 3     5 points

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse $95 \%$, le marché est saturé.
    Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 0$, on pose : $H(x)=5\ln\left(1+\e^{0,2x}\right)$. Vérifier que $H'(x)=p(x)$.
    $\quad$
    c. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre 2008 et 2010 par $$m=\dfrac{1}{2}\left(H(10)-H(8)\right)$$
    Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $$w_n=1-\ln\left(v_n\right)$$
    Affirmation 1 : Si la suite $\left(v_n\right)$ est majorée alors la suite $\left(w_n\right)$ est majorée.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\bullet$ $u_0=a$ et , pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2+8}$;
    $\bullet$ $v_n={u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2 w_n \pp n^2 +n$$
    Affirmation 3 : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre.
    Pour un seul de ces trois algorithmes la variables $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    i \gets 0\\
    \text{Tant que } i < n\\
    \hspace{1cm}u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm}i \gets i + 1\\
    \text{Fin Tant que}\end{array}&\begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    \text{Pour $i$ allant de 0 à $n$}\\
    \hspace{1cm}u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \text{Fin Pour}\end{array}&\begin{array}{l}
    p \gets 2^n\\
    u \gets \dfrac{p}{p + 1}\\
    \end{array}\\ \hline\end{array}$$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1   

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    a.
    $z^2=\ic^2=-1$
    $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\ic}=\dfrac{1}{\ic}\times \dfrac{\ic}{\ic}=\dfrac{\ic}{-1}=-\ic$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.
    $\quad$
    L’affixe du vecteur $\vect{AN_1}$ est $z_{\vect{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vect{AP_1}$ est $z_{\vect{AP_1}}=-\ic-1$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    On a l’équation $z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\ic \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\ic \sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    a.
    On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
    Donc $z=\e^{2\ic \pi/3} $
    $\quad$
    Ainsi $z^2=\e^{2\times 2\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3}$
    et $\dfrac{1}{z}=\e^{-2\ic \pi/3}$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.$\quad$
    $z^2=\e^{4\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3-2\pi}=\e^{-2\ic\pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
    Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
    Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

  1. Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :
    $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
    &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère un nombre complexe $z$ non nul.
    L’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.
    L’affixe du vecteur $\vect{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.
    $\ssi \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$
    $\ssi z^2+z+1=k$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \R)$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\ic y$.
    $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\ic y)^2+x+\ic y+1 \\
    &=x^2+2\ic xy-y^2+x+\ic y+1\\
    &=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
    si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
    Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé du point $O$.
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2     

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
    c. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $0,1\times 0,75^0+0,8=0,9=r_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $r_{n+1}=0,1\times 0,75^n+0,8$.
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,75r_n+0,2\\
    &=0,75\left(0,1\times 0,75^n+0,8\right)+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,6+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,8\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    $\quad$
    d. On a $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=0,8$.
    Sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
    $aU+BV=\begin{pmatrix}2a+b\\a+2b\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{cases} 2a+b=10\\a+2b=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\a+2(10-2a)=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a+20=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a=-10\end{cases}\end{align*}$
    $10$ n’est pas divisible par $3$ donc l’équation $-3a=-10$ ne possède pas de solution dans $\Z$.
    $X$ ne peut donc pas s’écrire sous la forme $X=aU+bV$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $aU+bV$.
    Par conséquent $(U,V)$ n’est pas une base de $r$.
    $\quad$
  2. a. $d(A)=1\ssi 6v_2+11v_1=1$
    $\quad$
    b. $11\times (-1)+6\times 2=-11+12=1$
    Le couple $(-1;2)$ est donc une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. On considère une solution $(x;y)$ de l’équation $(E)$.
    On a donc $11\times (-1)+6\times 2=1$ et $11x+6y=1$.
    Par différence, on obtient $11(-1-x)+6(2-y)=0 \ssi 6(2-y)=11(1+x)$.
    $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $2-y=11k$ et $1+x=6k$.
    Par conséquent $x=6k-1$ et $y=2-11k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $11(6k-1)+6(2-11k)=66k-11+12-66k=1$
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(6k-1;2-11k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $v_1=6k-1$ et $v_2=2-11k$.
    De plus :
    $0\pp v_1\pp 10\ssi 0\pp 6k-1\pp 10 \ssi 1\pp 6k \pp 9 \ssi \dfrac{1}{6} \pp k\pp \dfrac{3}{2} \ssi k=1$.
    Ainsi $v_1=5$ et $v_2=-9$
    Par conséquent $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}-9\times 6+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+-9\times 11&-11\times (-5)+6\times (-9)\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    La matrice $A$ est donc inversible d’inverse $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un élément de $r$.
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases} \\
    &\ssi X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}X$.
    Ainsi pour une matrice $X$ de $r$ donnée il existe une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    d. Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ alors :
    $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. a. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme tous les individus seront équipés.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} p(x)>0,95 &\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}>0,95 \\
    &\ssi 1+\e^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
    &\ssi \e^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
    &\ssi -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
    &\ssi x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
    Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
    C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $H$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} H'(x)&=5\times \dfrac{0,2\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\\
    &=p(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2}\left(H(10)-H(8)\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\e^2\right)-\ln\left(1+\e^{1,6}\right)\right)\\
    &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\e^2}{1+\e^{1,6}}\\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Prenons par exemple la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\e^{-n}$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n \pp 1$. La suite $\left(v_n\right)$ est donc majorée.
    $w_n=1-\ln\left(v_n\right)=1-\ln \e^{-n} = 1-(-n)=1+n$.
    La suite $\left(w_n\right)$ n’est donc pas majorée.
    L’affirmation 1 est donc fausse.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8\right)-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8-9\right) \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2-1\right)\\
    &=\dfrac{1}{9}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $$\dfrac{n^2}{(n+1)^2}\pp w_n \pp \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2 }$$
    Or, d’après la limite des termes de plus haut degré, on a :
    $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    D’après le théorème des gendarmes on a ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=1$.
    L’affirmation 3 est donc vraie.
    $\quad$

Partie B

  1. $U_1=\dfrac{2U_0}{1+U_0}=\dfrac{1}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $\dfrac{2^n}{1+2^n}=\dfrac{1}{2}=U_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Par conséquent $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire $U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\dfrac{2U^n}{1+U_n} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2\times 2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+\times 2^{n+1}}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme 2 fournit le terme $U_{n+1}$ et non $U_n$ puisque la boucle Pour est effectuée $n+1$ fois.
    $\quad$

TS – Devoir commun – Décembre 2019 – 1er trimestre

Devoir commun – Décembre 2019

S – Mathématiques – Correction – 3h

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a
ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes:

  • $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé
    l’émission;
  • $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:

  • $M$ : “le téléspectateur a regardé le match” ;
  • $E$ : “le téléspectateur a regardé l’émission”.

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a
pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la
    probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$

Partie B

Une usine fabrique des maillots de football qui doivent être cousus par une première machine et décorés par une deuxième machine. Ces deux machines, qui fonctionnent de manière indépendante, ont des probabilités respectives de $0,05$ et $0,08$ de produire des maillots avec un défaut.
On choisit un maillot au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que le maillot choisi présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le maillot présente au moins un défaut ?
    $\quad$

Partie C

Dans l’entrepôt de l’usine de la partie B, des maillots bleus et des maillots rouges sont stockés dans un carton. La proportion de maillots bleus est égale à $0,55$.

  1. Jeanne prend au hasard $10$ maillots dans ce carton pour offrir à un groupe de VIP qui est venu visiter l’usine. Le nombre de maillots présents dans le carton est suffisamment grand pour que les tirages soient considérés comme identiques et indépendants.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de maillots bleus.
    a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier soigneusement la réponse.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Jeanne tire exactement huit maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus (on arrondira le résultat au millième près).
  2. Jeanne prend toujours au hasard des maillots dans le carton. La proportion de maillots bleus est toujours de $0,55$. Combien Jeanne doit-elle prendre de maillots, au minimum, pour que la probabilité d’avoir au moins un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$ ?
    $\quad$

Exercice 2     7 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\
u_0&=&5
\end{array}\right.$

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} – u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et déterminer le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \ne 1$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que } u \geqslant 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6,5 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$f(x) = -2x+\dfrac{x+1}{\e^x}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$g(x) = -2\e^x-x$$

  1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer la dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation complet de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  6. Déterminer le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie C: Étude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $x=0$.
    $\quad$
  2. La tangente $T’$ à $\mathscr{C}_f$ en $x=-1$ a pour équation $y=(\e-2)x+\e$.
    a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $T$ et $T’$. On le nommera $A$.
    $\quad$
    b. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que le point $M$ de coordonnées $(0;\e)$. Tracer les tangentes $T$ et $T’$ puis placer le point $A$.
    $\quad$

$\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

Partie B

  1. La on appelle $C$ l’événement “le maillot présente un défaut de couture” et $D$ l’événement “le maillot présente un défaut de décoration”.
    $C$ et $D$ sont indépendants donc $C$ et $\conj{D}$ le sont aussi.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,05\times (1-0,08) \\
    &=0,046\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente un défaut de couture mais pas de défaut de décoration est égale à $0,046$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(C\cup D)&=1-p\left(\conj{C}\cap \conj{D}\right) \\
    &=1-p\left(\conj{C}\right)\times p\left(\conj{D}\right) \\
    &=1-(1-0,05)\times (1-0,08) \\
    &=0,126\end{align*}$
    La probabilité que le maillot présente au moins un défaut est égale à $0,126$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,55$.
    $\quad$
    b. On a $P(X=8)=\ds \binom{10}{8}\times 0,55^8\times (1-0,55)^2\approx 0,076$
    La probabilité que Jeanne tire exactement huit maillot bleus est environ égale à $0,076$.
    $\quad$
    c. On a $P(X\pg 2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,995$.
    La probabilité que Jeanne tire au moins deux maillots bleus est environ égale à $0,995$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de maillots bleus.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que $2$ issues : $S$ “le maillot est bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,55$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,55$.
    On a $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0,55)^n=1-0,45^n$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,45^n\pg 0,999~9$
    Si $n=12$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~85$
    Si $n=13$ on a $1-0,45^n\approx 0,999~93$
    Jeanne doit donc prendre $13$ maillots au minimum pour que la probabilité d’avoir un maillot bleu soit supérieure ou égale à $0,999~9$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$ et $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Initialisation : On $u_0=5 \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n\pg 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}\pg 1$.
    $\begin{align*} u_n\pg 1&\ssi u_n+4\pg 5 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u_n+4} \pp \dfrac{1}{5} \\
    &\ssi \dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
    &\ssi -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
    &\ssi 3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+2-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-u_n+2-{u_n}^2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-u_n+2-{u_n}^2$
    Ainsi, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$ donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2\pg 0$ et $u_n+4\pg 0$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$; elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\\\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\\\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\\\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10}\\\\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\\\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{5-1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    $0<\dfrac{4}{7}<1$ et $0<\dfrac{2}{5}<1$ donc $v_n <1$ et $v_n\neq 1$.
    $\quad$
  2. $-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les valeurs prises par les variables $u$ (arrondies au millième) et $n$.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    u& n \\
    \hline
    5& 0\\
    \hline
    1,889&1\\
    \hline
    1,302 &2\\
    \hline
    1,114& 3\\
    \hline
    1,045& 4\\
    \hline
    1,018& 5\\
    \hline
    1,007&6\\
    \hline
    \end{array}$$
    la variable $n$ a donc la valeur $6$ après exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que pour tout entier supérieur ou égal à $6$ on a $1\pp u_n\pp 1,01$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{n\to -\infty} \e^x=$ et $\lim\limits_{n\to -\infty}-x=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\e^x=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $g'(x)=-2\e^x-1=-\left(2\e^x+1\right)$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1\pg 1$ et $g(x)<0$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{n\to -\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} g(x)=-\infty$
    $0\in]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice on a $-0,853<\alpha <-0,852$
    $\quad$
  6. D’après le tableau de variations et la question précédente :
    – $g(x)>0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – $g(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : Etude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2+\dfrac{1\times \e^x-(x+1)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=-2+\dfrac{(1-x-1)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=-2+\dfrac{-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{-2\e^x-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{g(x)}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.6. on a donc :
    – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$;
    – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C : Etude de tangentes à $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$

  1. Une équation de la tangente $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f(0)=0+\dfrac{1}{1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\times 1+0}{1}=-2$
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$
    $\quad$
  2. a. On veut donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=-2x+1\\y=(\e-2)x+\e \end{cases} &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\-2x+1=(\e-2)x+\e\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1\\1=\e x+\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=-2x+1 \\\e x=1-\e \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1-\e}{\e} \\y=\dfrac{3\e-2}{\e}\end{cases}\end{align*}$
    Les coordonnées du point $A$ sont donc $\left(\dfrac{1-\e}{\e};\dfrac{3\e-2}{\e}\right)$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$

TS – Exercices – Espace

TS – Exercices – Espace

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-5 +3t\\y=t-1,\quad t\in\R \\z=-3t\end{cases}$
    Pour chaque réponse, on donnera la démarche utilisée. a. Donner un vecteur directeur $\vect{u_D}$ de $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Donner un vecteur $\vect{n_D}$ , normal à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. Donner un vecteur $\vect{n_P}$ normal à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    d. Donner deux vecteurs $\vect{u_P}$ et $\vect{v_P}$ de $\mathscr{P}$, non colinéaires.
    $\quad$
    e. Donner deux points $A$ et $B$ appartenant à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Donner trois points non alignés $C$, $D$ et $E$ appartenant à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    g. La droite $\mathscr{D}$ est-elle parallèle au plan $\mathscr{P}$ ? Justifier.
    Si ce n’est pas le cas, donner les coordonnées du point d’intersection.
    $\quad$
  2. On considère le plan $\mathscr{P}_1$ d’équation $4x – y + 3z + 1 = 0$ et le plan $\mathscr{P}_2$ d’équation $4x – y – 3z + 2 = 0$.
    a. Ces plans sont-ils parallèles ? Justifier.
    $\quad$
    b. Donner les équations paramétriques de la droite d’intersection de ces deux plans.
    $\quad$
    c. Donner l’équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. D’après la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vect{u_D}(3;1;-3)$.
    $\quad$
    b. On considère un vecteur normal $\vect{n_D}(x;y;z)$ à la droite $\mathscr{D}$.
    On a ainsi $\vect{n_D};\vect{u_D}=0$
    Donc $3x+y-3z=0$.
    On pose $x=1$ on a alors $3+y-3z=0 \ssi y=3z-3$.
    Si $z=1$ alors $y=0$.
    Le vecteur $\vect{n_D}(1;0;1)$ est donc un vecteur normal à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. D’après l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$, un vecteur normal à ce plan est $\vect{n_p}(4;-1;3)$.
    $\quad$
    d. On considère un vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ du plan $\mathscr{P}$.
    On alors $\vec{u}.\vect{n_p}=0 \ssi 4x-y+3z=0$.
    – Si $x=0$ alors $-y+3z=0\ssi y=3z$. Ainsi en prenant $z=1$ on obtient $y=3$ et le vecteur $\vect{u_P}(0;3;1)$ est un vecteur du plan.
    – Si $x=1$ alors $4-y+3z=0\ssi y=4+3z$. Ainsi en prenant $z=0$ on obtient $y=4$ et le vecteut $\vect{v_P}(1;4;0)$ est également un vecteur du plan.
    De plus $\dfrac{0}{1}\neq \dfrac{3}{4}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Remarque : Ces deux vecteurs ne sont pas les seuls possibles, bien évidemment.
    $\quad$
    e. Si $t=0$ alors le point $A(-5;-1;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$
    Si $t=1$ alors le point $B(-2;0;-3)$ appartient également à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    f. Dans l’équation $4x-y+3z+1=0$ :
    – si $x=y=0$ alors $z=-\dfrac{1}{3}$ : on obtient ainsi le point $C\left(0;0;-\dfrac{1}{3}\right)$;
    – si $x=z=0$ alors $y=1$ : on obtient ainsi le point $D(0;1;0)$;
    – si $y=z=0$ alors $x=-\dfrac{1}{4}$ : on obtient ainsi le point $E\left(-\dfrac{1}{4};0;0\right)$.
    $\vect{CD}\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$ et $\vect{CE}\left(-\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires; donc les points $C, D$ et $E$ ne sont pas alignés et appartiennent au plan $\mathscr{P}$.
    Remarque : Ces points ne sont évidemment pas les seuls possibles.
    $\quad$
    g. Regardons si les vecteurs $\vect{u_D}(3;1;-3)$ et $\vect{n_P}(4;-1;3)$ sont orthonogaux.
    $\vect{u_D}.\vect{n_P}=12-1-9=2\neq 0$.
    La droite $\mathscr{D}$ n’est pas paralléle au plan $\mathscr{P}$.
    Les coordonnées du point d’intersection sont solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} &\ssi \begin{cases} -20+12t-t+1-9t+1=0\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2t=18\\x=-5+3t\\y=t-1\\z=-3t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=9\\x=22\\y=8\\z=-27\end{cases}\end{align*}$
    Le point d’intersection a pour coordonnées $(22;8;-27)$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vect{n_1}(4;-1;3)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vect{n_2}(4;-1;-3)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les deux plans ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \quad (1)\\4x-y-3z+2=0 \quad (2)\end{cases} &\ssi \begin{cases} 4x-y+3z+1=0 \\6z-1=0 \quad (1)-(2)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\4x-y+\dfrac{1}{2}+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} z=\dfrac{1}{6} \\y=4x+\dfrac{3}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite d’intersection des deux plans est $\begin{cases} x=t\\y=4t+\dfrac{3}{2}\\z=\dfrac{1}{6}\quad t\in \R\end{cases}$.
    Remarque : Cette représentation paramétrique n’est pas unique.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(1;4;0)$. Le vecteur $\vect{n}(0;0;1)$ est normal à cette droite puisque $\vec{u}.\vec{n}=0$.
    Ce vecteur est clairement non colinéaire au vecteur $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$.
    Une équation cartésienne d’un plan dont $\vec{n}$ est un vecteur normal est alors de la forme $z+d=0$.
    Le point $A\left(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{6}\right)$ appartient à la droite d’intersection. Il doit donc également appartenir au plan cherché.
    Par conséquent $\dfrac{1}{6}+d=0\ssi d=-\dfrac{1}{6}$.
    Une équation cartésienne d’un autre plan, contenant la droite d’intersection, et non parallèle à $\mathscr{P}_1$ ou $\mathscr{P}_2$ est donc $z-\dfrac{1}{6}=0$.
    Remarque : là encore, cette réponse n’est pas unique. Tout va dépendre du vecteur $\vec{n}$ choisi.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2  (Liban – mai 2014)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\\\y=1 + t\qquad t\in\R \\\\z=- 5+3t\end{cases}$
On donne les points $A(1;1;0), B(3;0;-1)$ et $C(7;1;-2)$

Proposition 1 :
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\\\y=-1+t \qquad t\in\R \\\\ z=-2+t \end{cases}$

Proposition 2 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.

Proposition 3 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.

Proposition 4 :
La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;-3;-4)$.

Proposition 5 :
Les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 2

Proposition 1 : VRAIE
Regardons si les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient le système d’équations donné.
Si $t=2$ alors $x=5 – 4 = 1$, $y=-1 + 2 = 1$ et $z=-2 + 2 = 0$. C’est vrai pour $A$.
Si $t=1$ alors $x=5-2 = 3$, $y=-1 + 1 = 0$ et $z=-2+1 = -1$. C’est vrai pour $B$.

$~$

Proposition 2 : VRAIE
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(2;1;3)$.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{v}(-2;1;1)$.
$\vec{u}.\vec{v} = -2 \times 2 + 1 \times 1 + 3 \times 1 = -4 + 1 + 3 = 0$
Les $2$ vecteurs sont donc orthogonaux. Les droites associées le sont aussi.

$~$

Proposition 3 : FAUSSE
Si les $2$ droites sont coplanaires, elles sont donc, d’après la proposition précédente, sécantes.
On cherche donc un couple $(t,t’)$ tel que :
$$\begin{align*} &\left\{ \begin{array}{l} 2t=5-2t’ \\\\1+t=-1+t’ \\\\-5+3t=-2+t’ \end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\2(-2+t’)=5-2t’ \\\\-5+3(-2+t’)=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\-4+2t’=5-2t’ \\\\-11+3t’=-2+t’ \end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-2+t’\\\\4t’=9 \\\\2t’=9 \end{array} \right.\end{align*}$$

Les $2$ dernières lignes de ce systèmes ne sont pas compatibles.

$~$

Proposition 4 : FAUSSE
Regardons si le point $E$ appartient au plan : $8 -(-3) + 3\times(-4) + 1 = 8 + 3 – 1 2 + 1 = 0$. Donc $E$ appartient bien au plan.
Regardons maintenant si le point $E$ appartient à la droite :
On cherche la valeur de $t$ telle que :

$$  \left\{ \begin{array}{l} 2t = 8\\\\1+t=-3\\\\-5+3t=-4 \end{array} \right.$$
La première ligne nous donne donc $t=4$ mais $1+4 = 5 \ne -3$

$~$

Proposition 5 : VRAIE
Regardons si le vecteur normal $\vec{n}(1;-1;3)$ au plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\vec{AB}(2;-1;-1)$ et à $\vec{AC}(6;0;-2)$
$\vec{n}.\vec{AB} = 2 \times 1 – 1\times (-1) -1 \times 3 = 2 + 1 – 3 = 0$
$\vec{n}.\vec{AC} = 6 \times 1 – 2 \times 3 = 6 – 6 = 0$
Le vecteur normal $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires de $(ABC)$. C’est donc également un vecteur normal du plan $(ABC)$.

$~$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3  (Amérique du Nord – mai 2014)

 

 

Bac s -amérique du nord - mai 2014 - ex3

On considère le cube $ABCDEFCH$ ci-dessus

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4} \vec{HG}$.

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
    Construire le point $L$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
    On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
    a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
    $\quad$
    b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
    $\quad$
    c. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
    Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Les $2$ droites appartiennent à la face $EFGH$. Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont parallèles et le point $M$ appartient à $[EH]$ mais pas le point $P$. Par conséquent les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes.
    $~$
  2.  b. L’intersection des $2$ plans est représentée en trait plein rouge (les $2$ droites $(PT)$ et $(RQ)$ sont parallèles).
    TS - amerique du nord - mai 2014
  3. La section du cube par le plan $(MNP)$ est représentée par le polygône $RMPTQ$.
    Remarque : on peut vérifier que les droites $(TQ)$ et $(RM)$ sont parallèles.

Partie B

  1. $M(0;0,5;1)$ $\quad N(1;0,5;0,5)$ $\quad P(0,25;1;1)$
    $~$
  2. $\vec{MP} (0,25;0,5;0)$
    Une représentation paramétrique de $(MP)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=0,25t \\\\y=0,5 + 0,5t \quad t \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    $\vec{FG}(0;1;0)$
    Une représentation paramétrique de $(FG)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=1 \\\\y=k \quad k \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    Cela signifie donc que $0,25t = 1$ soit $t=4$
    Par conséquent $y=0,5 + 0,5 \times 4 = 2,5$
    Les coordonnées de $L$ sont donc $(1;2,5;1)$
    $~$
  3. $TP^2 = (0,25-1)^2 + 0^2+\left(1-\dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{45}{64}$
    $TN^2 = 0^2+(-0,5)^2+\left(0,5 – \dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{17}{64}$
    $NP^2 = (-0,75)^2+0,5^2+0,5^2 = \dfrac{17}{16}$
    Or $\dfrac{45}{64}+\dfrac{17}{64} = \dfrac{31}{32} \ne \dfrac{17}{16}$
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $TPN$ n’est pas rectangle en $T$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4  (Centres étrangers – juin 2014)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : $A(1;2;7),\quad B(2;0;2),\quad C(3;1;3),\quad D(3; -6;1) \text{ et } E(4;-8;-4).$$

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{u}(1;b;c)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x – 2 y + z – 4 = 0$.
    $\quad$
    c. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
  3. On considère la droite $\mathscr{D}$ de l’espace dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x =2t+3\\\\y = – 4t + 5\\\\ z =2t-1 \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$$
    a. La droite $\mathscr{D}$ est-elle orthogonale au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Étudier la position de la droite $(DE)$ par rapport au plan $(ABC)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vec{AB} = (1;-2;-5)$ et $\vec{AC}(2;-1;-4)$.
    Les $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les points $A$, $B$ et$ C$ ne sont pas alignés.
    $~$
  2. a. On veut donc que :
    $$\begin {align} \begin{cases} \vec{u}.\vec{AB} = 0  \\\\\vec{u}.\vec{AC} = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 1 – 2b – 5c = 0 \\\\2 -b-4c = 0 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b= 2-4c \\\\-2(2-4c)-5c=-1 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} b=2-4c \\\\3c=3 \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \\\\b= -2 \end{cases}
    \end{align}$$
    Donc $\vec{u}(1,-2,1)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est alors de la forme :
    $$x-2y+z+d=0$$
    Or $A$ appartient au plan $ABC$ donc :
    $$1 -4 + 7 +d = 0 \Leftrightarrow d = -4$$
    Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc bien $x-2y+z-4=0$
    $~$
    c. Regardons si les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation précédente :
    $$3 + 12 + 1 – 4 = 12 \ne 0$$
    Donc $D$ n’appartient pas à $(ABC)$.
    $~$
  3. a. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{v}(2;-4;2) = 2\vec{u}$.
    Donc $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $~$
    b. Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan on va injecter dans l’équation du plan les équations paramétriques de la droite.
    $$\begin{align} 2t+3 -2(-4t+5)+(2t-1)-4 = 0 &\Leftrightarrow 2t+3+8t-10+2t-1-4=0 \\\\
    & \Leftrightarrow 12t-12=0 \\\\
    &\Leftrightarrow t = 1
    \end{align}$$
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(5;1;1)$
    $~$
  4. $\vec{DE}(1;-2;-5)$. Ce vecteur n’est pas colinéaire $ \vec{u}$ donc la droite $(DE)$ n’est pas orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\vec{DE}.\vec{u} = 1 +4 – 5 =  0$. Donc la droite $(DE)$ est pas parallèle au plan $(ABC)$. Puisque $D$ n’appartient pas à $(ABC)$ alors la droite est strictement parallèle au plan.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5  (Polynésie – juin 2014)

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points $$A(5;-5;2), B(-1;1;0), C(0;1;2)\quad \text{et} \quad D(6;6;-1).$$

  1.  Déterminer la nature du triangle $BCD$ et calculer son aire.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h$, où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  6. \item On admet que $AB = \sqrt{76}$ et $AC = \sqrt{61}$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\vec{BC }\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\2 \end{pmatrix}$ et $\vec{CD }\begin{pmatrix}6\\\\5\\\\-3 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vec{BC}.\vec{CD} = 6 – 6 = 0$. Le triangle $BCD$ est donc rectangle en $C$.
    $~$
    $BC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
    $CD = \sqrt{6^2+5^2+(-3)^2} = \sqrt{70}$
    Le triangle n’est donc pas isocèle.
    $~$
    Son aire est $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}$
    $~$
  2. a. Il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan :
    $\vec{n}.\vec{BC} = -2 + 2 = 0$.
    $\vec{n}.\vec{CD} = -12 + 15 – 3 = 0$.
    $\vec{n}$ est donc bien normal au plan $(BCD)$.
    $~$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est de la forme :
    $$-2x+3y+z+d=0$$
    Or $B\in (BCD)$. Donc ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    $$2+3+0+d=0 \Leftrightarrow d = -5$$
    Une équation du plan est donc :
    $$-2x+3y+z-5=0$$
  3. $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
    $$\begin{cases} 5 -2t\\\\-5+3t \qquad t\in \R\\\\2+t \end{cases}$$
  4. Pour déterminer les coordonnées de $H$ on injecte les équations de $\mathscr{D}$ dans l’équation du plan $(BCD)$
    $$\begin{align} -2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5 = 0 &\Leftrightarrow -10 +4t-15+9t+2+t-5 = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow 14t-28 = 0\\\\
    &\Leftrightarrow t = 2
    \end{align}$$
    Les coordonnées de $H$ sont donc $(1;1;4)$
    $~$
  5. $AH$ est la hauteur de ce tétraèdre relative à la base $BCD$.
    $AH = \sqrt{(1 – 5)^2+(1+5)^2+(4-2)^2} = \sqrt{56}$
    Donc $\mathscr{V}=\dfrac{\sqrt{56} \times \dfrac{5\sqrt{14}}{2}}{3} = \dfrac{70}{3}$.
    $~$
    $\vec{AB} \begin{pmatrix} -6\\\\6\\\\-2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC} \begin{pmatrix} -5\\\\6\\\\0 \end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $$ \begin{align} \vec{AB}.\vec{AC} & = 66 \\\\
    & =AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} \\\\
    &= \sqrt{76} \times \sqrt{61} \times \cos \widehat{BAC}
    \end{align}$$
    Par conséquent :
    $$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{66}{\sqrt{4636}}$$
    et
    $$ \widehat{BAC} \approx 14,2°$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

 

 

TS – Lois normales

TS – Exercices – Loi normales

Exercice 1

Les questions sont indépendantes.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(5;9)$. Calculer une valeur approchée au dix-millième de $P(X<2)$.
    $\quad$
  2. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $2$ et d’écart-type $6$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(2<X<3)$. En déduire $P(X<3)$.
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $5$ et d’écart-type $3$. Calculer une valeur approchée au millième de $P(X<0)$. En déduire $P(X>0)$.
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $-3$ et d’écart-type $1,5$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,6$. En déduire $P(Y>t)$.
    $\quad$
  5. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(-1;4)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y<t)=0,2$.
    $\quad$
  6. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr(1,1;3)$. Déterminer une valeur approchée au centième de $t$ telle que $P(Y>t)=0,6$.
    $\quad$
  7. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $1,5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(Z<3)=0,75$. Déterminer l’écart-type de cette loi, au dix-millième près.
    $\quad$
  8. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $5$, et d’écart-type inconnu. On sait que $P(2<Z<8)=0,954$. Déterminer l’écart-type de cette loi.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(X<2)=0,5-P(2<X<5) \approx 0,158~7$.
    Remarque : $\sigma^2=9$ donc $\sigma=3$
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(2<X<3)\approx 0,066$.
    Donc $P(X<3)=0,5+P(2<X<3)\approx 0,566$.
    $\quad$
  3. On a $P(X<0)=0,5-P(0<X<5) \approx 0,048$
    Donc $P(X>0)=1-P(X<0)\approx 0,952$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,6$ est environ égale à $-2,62$.
    De plus $P(Y>t)=1-P(Y<t)=0,4$.
    $\quad$
  5. On a $\sigma^2=4$ donc $\sigma=2$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,2$ est environ égale à $-2,68$.
    $\quad$
  6. On a $\sigma^2=3$ donc $\sigma=\sqrt{3}$.
    $P(Y>t)=0,6\ssi P(Y<t)=0,4$
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que la valeur de $t$ pour que $P(Y<t)=0,4$ est environ égale à $0,66$.
    $\quad$
  7. On a $P(Z<3)=0,75$
    La variable aléatoire $X=\dfrac{Z-1,5}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Z<3)=0,75&\ssi P(Z-1,5<1,5)=0,75\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Z-1,5}{\sigma}<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,5\\
    &\ssi P\left(X<\dfrac{1,5}{\sigma}\right)=0,75\end{align*}$
    D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,5}{\sigma} \approx 0,674~5$ et $\sigma \approx 2,223~9$.
    $\quad$
  8. $P(2<Z<8)=0,954\ssi P(5-3<Z<5+3)=0,954$.
    Cela signifie donc que $2\sigma=3$ soit $\sigma=1,5$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2  (Liban 2014)

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour $8\text{h}00$. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à $7 \text{h}40$ de son domicile et doit arriver à $8\text{h}00$ à son lycée. Il prend le vélo $7$ jours sur $10$ et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l’événement “L’élève se rend au lycée à vélo”, $B$ l’événement ‘l’élève se rend au lycée en bus’ et $R$ l’événement “L’élève arrive en retard au lycée”.

  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V \cap R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement $R$ est $0,019~2$
    $\quad$
  4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus?
    $\quad$

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d’espérance $\mu = 17$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.

  1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre $15$ et $20$ minutes pour se rendre à son lycée.
    $\quad$
  2. Il part de son domicile à vélo à $7\text{h}40$. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée?
    $\quad$
  3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T’$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu’ = 15$ et d’écart-type $\sigma’$.
On sait que la probabilité qu’il mette plus de $20$ minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$.

On note $Z’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T’-15}{\sigma’}$

  1. Quelle loi la variable aléatoire $Z’$ suit-elle ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l’écart-type $\sigma’$ de la variable aléatoire $T’$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A


  1. TS - liban - mai 2013 - ex1
  2. D’après l’arbre de probabilités précédent on a :
    $$P(V \cap R) = 0,7 \times 0,006 = 4,2 \times 10^{-3}$$
    $~$
  3. D’après la propriété des probabilités totales, on a :
    $$P(R) = P(R\cap V) + P(R\cap B) = 4,2\times 10^{-3} + 0,3 \times 0,05 = 0,0192$$
    $~$
  4. On cherche donc $P_R(B) = \dfrac{P(R\cap B)}{P(R)} = \dfrac{0,3 \times 0,05}{0,0192}= 0,78125$
    $~$

Partie B : le vélo

  1. On cherche donc $P(15 \le T \le 20) \approx 0,9460$ d’après la calculatrice.
    L’élève a donc une probabilité de $94,6\%$ de se rendre à son lycée entre $15$ et $20$ minutes.
    $~$
  2. Il arrive en retard s’il met plus de $20$ minutes.
    On cherche donc $P(T \ge 20) = 1 – P(T \le 20) \approx 0,0062$
    Il a donc une probabilité de $0,62\%$ d’arriver en retard en partant à $7\text{h }40$.
    $~$
  3. On cherche donc la valeur de $a$ telle que $P(T\le a) = 0,9$ soit $a \approx 19$.
    Il doit partir avant $7\text{ h}41$ pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$.
    $~$

Partie C : le bus

  1. En faisant le changement de variable $Z’ = \dfrac{T’-15}{\sigma’}$, quand $T’$ suit la loi normale d’espérance $µ’=15$ et d’écart-type $\sigma’$, suit la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. On a donc :
    $$ P(T’ > 20) = 0,05$$
    $$P(T’-15 > 20 – 15) = 0,05$$
    $$P\left( \dfrac{T’-15}{\sigma’} > \dfrac{5}{\sigma’}\right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ > \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,05$$
    $$P\left( Z’ < \dfrac{5}{\sigma’} \right) = 0,95$$
    A l’aide la calculatrice, on trouve $\dfrac{5}{\sigma’} \approx 1,6449$
    $~$
    D’où $\sigma’ =  3,0398$

$~$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (D’après Amérique du Nord mai 2014)

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    $\quad$
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \le u) = 0, 06$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
    $\quad$
  3. Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
    a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On cherche donc $P(X \le 49) \approx 0,202$
    $~$
  2. a. La variable aléatoire $Z = \dfrac{X – 50}{\sigma’}$ suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
    b. Grace à la calculatrice, on trouve $u \approx -1,555$
    $~$
    c. On veut que :
    $$ \begin{align} P(X \le 49) &= 0,06 \\\\
    &=P(X – 50 \le -1) = 0,06\\\\
    &=P\left(\dfrac{X-50}{\sigma’} \le \dfrac{-1}{\sigma’} \right)= 0,06 \end{align}$$
    Par conséquent $\dfrac{-1}{\sigma’} = -1,555$ donc $\sigma’ = \dfrac{1}{1,555} \approx 0,643$
    $~$
  3. a. Il y a $50$ pots. Les tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède $2$ issues : le pot est conforme ou non conforme.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,06$
    $~$
    b. On cherche donc $P(Y \le 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y=2)$
    Or $P(Y = 2) = \binom{50}{2} 0,06^2 \times 0,94^{48}$
    $P(Y = 1) = \binom{50}{1} 0,06^1 \times 0,94^{49}$
    $P(Y=0) = 0,94^{50}$
    Donc $P(Y \le 2) \approx 0,416$
    $~$
    Remarque : on peut également faire directement le calcul à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 (D’après Antilles-Guyane juin 2014)

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : “la plate” et “la japonaise”. Chaque année, les huîtres plates représentent $15\%$ de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n° 3 lorsque leur masse est comprise entre $66$ g et $85$ g.
Seulement $10\%$ des huîtres plates sont de calibre n° 3, alors que $80\%$ des huîtres japonaises le sont.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

  1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
    On considère les événements suivants :
    • $J$ : “l’huître prélevée est une huître japonaise”,
    • $C$ : “l’huître prélevée est de calibre n° 3”.
    a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n° 3.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n° 3 est $0,695$.
    $\quad$
    d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n° 3.
    Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
    $\quad$
  2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d’écart-type $\sigma = 2$.
    a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre $87$ g et $89$ g.
    $\quad$
    b. Donner $P(X \ge 91)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

 

  1. a.$~$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex1

    $~$
    b. On cherche donc $P\left( \bar{J} \cap C \right) = 0,15 \times 0,1 =  0,015$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$\begin{align} P(C) &= P(J \cap C) + P\left( \bar{J} \cap C \right) \\\\
    &=0,85 \times 0,8 + 0,015 \\\\
    &= 0,695
    \end{align}$$
    $~$
    d. On cherche à calculer :
    $$\begin{align} P_C\left( \bar{J} \right) & = \dfrac{P\left( C \cap \bar{J} \right)}{P(C)} \\\\
    &= \dfrac{0,015}{0,695} \\\\
    &=\dfrac{3}{139} \\\\
    & \approx 0,0216
    \end{align}$$
  2. a. D’après la calculatrice $P(87 \le X \le 89) \approx 0,2417$
    $~$
    b. $P(X \ge 91) = 0,5 – P(90 \le X \le 91) \approx 0,3085$
    $~$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 (D’après Asie juin 2014)

Le taux d’hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d’hématocrite d’un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d’écart-type $\sigma$.

Partie A

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} = \dfrac{X – 45,5}{\sigma}$.

  1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $P(X \le \mu)$.
    $\quad$
  2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \le X \le 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Partie B

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence $1\%$. On sait d’autre part que $30\%$ de la population française a plus de 50 ans, et que $90\%$ des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.

On choisit au hasard un individu dans la population française.

On note $\alpha$ l’unique réel tel que $P(X \le \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l’exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.

On définit les événements :

  • $M$ “l’individu est porteur de la maladie V” ;
  • $S$ “l’individu a plus de 50 ans” ;
  • $H$ “l’individu a un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$”.

Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.

D’autre part, une étude statistique a révélé que $60\%$ des individus ayant un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

  1. Déterminer $P(M \cap S)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité $P(H)$.
    $\quad$
    b. L’individu choisi au hasard a un taux d’hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 5

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X – µ}{\sigma}$.
    Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. b. Par définition $P(X \le µ) = 0,5$
    $~$
  3.  $P(37,9 \le X \le 53,1) =  P(µ-2\sigma \le X \le µ + 2\sigma) \approx 0,95$
    $~$

Partie B

  1. a. On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
    Par conséquent :
    $$\begin{align} P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\\\
    P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\\\
    &= 0,9 \times 0,01 \\\\
    & = 0,009
    \end{align}$$
    $~$
    b. On calcule donc :
    $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} =  \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
  2. a. $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
    $~$
    b. On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
    Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
    Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{align} P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\\\
    \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,01 – 0,003 \\\\
    &= 0,007
    \end{align}$$
    On obtient donc :
    $$\begin{align} P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\\\
    & = \dfrac{0,007}{0,995} \\\\
    & \approx 0,007
    \end{align}$$

[collapse]

$\quad$

TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

[collapse]

$\quad$

 

TS – Bac Blanc – février 2019

Bac Blanc – Février 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur $I=]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Soit $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Partie A :

Soit $p$ la fonction définie sur $\R$ par $p(x)=2x^3+2x^2-1$.

  1. Dresser le tableau de variation complet de $p$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ tel que $0\pp \alpha \pp 1$.
    $\quad$
  3. Donner le signe de $p(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que $\alpha$ vérifie $\alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}$.
    $\quad$

Partie B : Dans cette partie, on se limite à l’étude de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ et préciser les éventuelles asymptotes de $\Gamma$ .
    $\quad$
  2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{p(x)}{x^2+x}$ ou $p$ est la fonction définie dans la partie A.
    $\quad$
  3. En déduite le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On admet que $1+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{1}{2\alpha^3}$. En déduire que $f(\alpha)=\alpha^2-\ln 2-3\ln \alpha$.
    $\quad$

Partie C : Dans cette partie, la fonction $f$ est définie sur $I=]−\infty;−1[∪] 0;+\infty[$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.
Étudier les positions relatives de $\Gamma$ et de $\mathscr{C}$ sur $I$.
$\quad$

 

Exercice 2     6 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

  1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
    En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
    $\quad$
    b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
    Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
    $\quad$
  2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
    $\quad$
  3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     4 points    

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

  1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par :
    $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(u_{n+1}\right)=\ln\left(u_n\right)-1$.
    La suite $\left(u_n\right) est-elle géométrique ?
    $\quad$
  2. La suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes est définie par :
    $z_0=2+3\ic$ et, pour tout entier naturel n par $z_{n+1}=\left(
    \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right)z_n$.
    Pour quelles valeurs de $n$, $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{−x}$.
    On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan et $T$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point
    d’abscisse $2$.
    Le point $A$ de coordonnées $(4;0)$ appartient-il à $T$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes. Pour cela il réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent
    pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a-5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a-5b$.

  1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.
    Justifier que $N$ est l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $(E)$ det$(M) = 3$.
    On souhaite déterminer tous les couples d’entiers $(a;b)$ solutions de l’équation $(E)$.
    a. Vérifier que le couple $(6;3)$ est une solution de $(E)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le couple d’entiers $(a;b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6) = 5(b-3)$.
    En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$.
    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
  2. Codage avec la matrice  $Q$
    Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
    Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
    \end{array}\end{array}
    $$
    Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
    Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par $26$ et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par $26$.
    Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
    $\quad$
    $$\text{Exemple} : JE \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y=\begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R=\begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to OF.$$
    Le mot $JE$ est codé en le mot $OF$.
    Coder le mot $DO$.
    $\quad$
  3. Procédure de décodage
    On conserve les mêmes notations que pour le codage.
    Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
    a. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\begin{cases}3x_1\equiv3r_1-3r_2 \quad [26]\\3x_2\equiv-5r_1+6r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    b. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases}x_1\equiv r_1-r_2 \quad [26]\\x_2\equiv 7r_1 + 2r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    c. Décoder le mot $SG$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $p'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)$.
    $p'(x)=0\ssi x=0$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$.
    De plus le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=6>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    D’après la limite des termes de plus haut degré on a $\lim\limits_{x\to -\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}2x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}2x^3=+\infty$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $\left]-\infty;0\right[$ on a $p(x)\pp -\dfrac{19}{27}$.
    L’équation $p(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $p$ est continue et strictement croissante.
    De plus $p(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $p(0)=-1<0$ et $p(1)=3>0$ donc $0\pp x \pp 1$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation et la question précédente on a donc :
    – $p(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$ ;
    – $p(\alpha) = 0$ ;
    – $p(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} p(\alpha)=0 &\ssi 2\alpha^3+2\alpha^2-1=0 \\
    &\ssi \alpha^2\left[2(\alpha+1)\right]=1 \\
    &\ssi \alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}1+\dfrac{1}{x}=+\infty$.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$.
    $\lim\limits_{X \to 1} \ln X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}  f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La courbe $\Gamma$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x+\dfrac{~~-\dfrac{1}{x^2}~~}{1+\dfrac{1}{x}} \\
    &=2x-\dfrac{1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{2x^3+2x^2-1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{p(x)}{x^2+x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ positif on a $x^2+x\pg 0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)$.
    D’après la question A.3. cela signifie donc que :
    – $f'(x)<0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    – $f'(\alpha)=0$ ;
    – $f'(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln\left(\dfrac{1}{2\alpha^3}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln(1)-\ln\left(2\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-\ln\left(\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-3\ln(\alpha)\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x\in]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ on a :
$f(x)-g(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Donc $f(x)-g(x)>0\ssi \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)>0 \ssi 1+\dfrac{1}{x}>1 \ssi \dfrac{1}{x}>0 \ssi x>0$

Ainsi $\Gamma$ est au-dessus de $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et en dessous sur l’intervalle $]0;+\infty[$

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $|j|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
    $j=\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{2\ic\pi/3}$.
    $\quad$
    Ainsi
    $\begin{align*} a’&=-4j \\
    &=2-2\ic\sqrt{3}\quad \text{forme algébrique}\\
    &=-4\e^{2\ic \pi/3} \\
    &=4\e^{2\ic \pi/3+\ic\pi} \\
    &=4\e^{5\ic\pi/3} \quad \text{forme exponentielle}
    \end{align*}$
    $b’=-1+\ic\sqrt{3}$ et $c’=-2+2\ic\sqrt{3}$ $\quad$ Formes algébriques.
    $b’= 2j=2\e^{2\ic\pi/3}$ et $c’=4j=4\e^{2\ic\pi/3}$ $\quad$ Formes exponentielles.
    $\quad$
    b. On a :
  2. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{b’-a’}{c’-a’} &=\dfrac{2j+4j}{4j+4j} \\
    &=\dfrac{6}{8} \\
    &=\dfrac{3}{4}
    \end{align*}$
    Ainsi un argument de $\dfrac{b’-a’}{c’-a’}$ est $0$.
    Les points $A’,B’$ et $C’$ sont donc alignés.
    $\quad$
  3. L’affixe de $M$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{c+a’}{2}\\
    &=\dfrac{4-4j}{2}\\
    &=2-2j\\
    &=2+1-\ic\sqrt{3} \\
    &=3-\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    L’affixe de $N$ est :
    $\begin{align*} n&=\dfrac{c+c’}{2} \\
    &=\dfrac{4+4j}{2}\\
    &=2+2j\\
    &=2-1+\ic\sqrt{3} \\
    &=1+\ic\sqrt{3}\end{align*}$.
    L’affixe de $P$ est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{c’+a}{2} \\
    &=\dfrac{4j-4}{2} \\
    &=2j-2 \\
    &=-1+\ic\sqrt{3}-2 \\
    &=-3+\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    Ainsi l’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z_1=1+\ic\sqrt{3}-\left(-3+\ic\sqrt{3}\right)=4$.
    Ainsi $PN=4$
    et l’affixe du vecteur $\vect{NM}$ est $z_2=3-\ic\sqrt{3}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)=2-2\ic\sqrt{3}$
    Ainsi $NM=\sqrt{2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=4$.
    Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.
    $\quad$

Ex 3

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{\ln\left(u_{n+1}\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n-1\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n\right)}\times \e^{-1} \\
    &=\e^{-1}u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \left|z_{n+1}\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|\times \left|z_n\right| \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\left|z_n\right| \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right| \end{align*}$
    On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=\left|z_n\right|$.
    Cette suite est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $u_0=|2+3\ic|=\sqrt{13}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\sqrt{7}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
    $\begin{align*} \left|z_n\right|\pp 10^{-20}&\ssi \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \pp 10^{-20} \\
    &\ssi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n  \pp \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\
    &\ssi n \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} \approx 136,58$.
    Donc $\left|z_n\right|\pp 10^{-20}$ si, et seulement si, $n \pg 137$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$.
    Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f(2)=2\e^{-2}$ et $f'(2)=-\e^{-2}$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}$.
    Si $x=4$ alors
    $\begin{align*} -\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}&=-\e^{-2}(4-2)+2\e^{-2}\\
    &=-2\e^{-2}+2\e^{-2}\\
    &=0\end{align*}$
    La point $A(4;0)$ appartient donc à $T$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
    $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} > 0,8
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
    Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} N\times M&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3&-b\\-5&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3a-5b&3b-3b\\-5a+5a&-5b+3a\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    Par conséquent $N$ est bien l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. a. $3\times 6-5\times 3=18-15=3$.
    Donc le couple $(6;3)$ est bien solution de l’équation det$(M)=3$.
    $\quad$
    b. On considère un autre couple d’entiers solutions $(a;b)$.
    On a donc $3a-5b=3$ et $3\times 6-5\times 3=3$.
    Par soustraction, on obtient : $3a-3\times 6-5b+5\times 3 = 0$
    Soit $3(a-6)=5(b-3)$.
    Donc si $(a;b)$ est solution de l’équation alors $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    Réciproquement si $3(a-6)=5(b-3)$
    Alors $3a-18=5b-15 \ssi 3a-5b=3$ et $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    Ainsi $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    c. $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $a-6=5k$ et $b-3=3k$.
    Soit $a=6+5k$ et $b=3+3k$.
    $\quad$Réciproquement, soit $k\in \Z$. Alors :
    $3(6+5k)-5(3+3k) = 18+15k-15-15k=3$.
    Donc le couple $(6+5k;3+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
    Ainsi l’inverse de $Q$ est $Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\-5&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. DO$\rightarrow X=\begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix}$
    $Y=QX=\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix}$
    Or $60 \equiv 8~[26]$ et $57\equiv 5~[26]$.
    Donc $R=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$
    Le mot DO est donc codé en IF
    $\quad$
  3. a. $3Q^{-1}Y=3Q^{-1}QX=3X$
    Par conséquent $\begin{cases} 3x_1=3y_1-3y_2\\3x_2=-5y_1+6y_2\end{cases}$
    En passant au modulo, on obtient alors :
    $\begin{cases} 3x_1\equiv 3r_1-3r_2~[26]\\3x_2\equiv -5r_1+6r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    b. $9\times 3 = 27 = 1+26$ donc $9\times 3\equiv 1~[26]$.
    On multiplie chacune des équations du système précédent par $9$.
    On obtient alors :
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv -45r_1+54r_2~[26] \end{cases}$
    soit
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv 7r_1+2r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    c. SG$\rightarrow R=\begin{pmatrix}18\\6\end{pmatrix}$
    Donc $\begin{cases} x_1\equiv 18-6~[26]\\x_2\equiv 7\times 18+2\times 6~[26] \end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 138~[26]\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 8~[26] \end{cases}$
    Ainsi le mot initial était MI.
    $\quad$

TS – Devoir synthèse 6 – 1er trimestre

Devoir Commun

TS – Décembre 2018 – 3h

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans cet exercice, on s’intéresse à une entreprise qui conditionne du sucre.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{−4}$ près.

Partie A

L’entreprise conditionne des dosettes de sucre à mettre dans le café. Ces dosettes sont emballées dans du papier blanc ou du papier noir. Un grand nombre de ces dosettes est stocké dans une remise.
On sait que dans ce stock, la proportion de dosettes avec un emballage noir est de $0,4$.
On prélève au hasard dans ce stock $50$ dosettes en admettant que ce choix se ramène à $50$ tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de dosettes emballées en noir.

  1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement $20$ des $50$ dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$

Partie B

L’entreprise conditionne également du sucre blanc provenant de deux exploitations $U$ et $V$ en paquets de $1$ kg et de différentes qualités.
Le sucre «extra fin» est conditionné séparément dans des paquets portant le label «extra fin».

On admet que $3\%$ du sucre provenant de l’exploitation $U$ est extra fin et que $5\%$ du sucre provenant de l’exploitation $V$ est extra fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet.
On considère les événements suivants :

  • $U$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $U$»
  • $V$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $V$»
  • $E$: «Le paquet porte le label ”extra fin”»
  1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique $30\%$ de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation $U$ et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation $V$, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
    a. Montrer que la probabilité que le paquet prélevé porte le label ”extra fin” est de $0,044$.
    $\quad$
    b. Sachant qu’un paquet porte le label ”extra fin”, quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation $U$ ?
    $\quad$
  2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label ”extra fin”, $30\%$ d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations $U$ et $V$?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

$\quad$

Exercice 2     7 points

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0 = 3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que } \ldots \ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow \ldots \ldots \\u \leftarrow \ldots \ldots \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    la notation  « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n \leftarrow 0$ » signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Partie A

Voici deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

 

  1. La fonction $C$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et on note $C’$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.
    À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
    $\quad$
  2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
    $\quad$
  3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration $C$ d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = A t\e^{-t}$$ où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
    a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    “À quantité d’alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente.”
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = 2 t\e^{-t}$$

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. Rappeler la limite de $\dfrac{e^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de $0,2$ g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
    a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
    $\quad$
    b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
    Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède $2$ issues : $S$ “l’emballage est noir” et $\conj{S}$ “l’emballage n’est pas noir”. De plus $p(S)=0,4$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. On a $p(X=20)=\ds \binom{50}{20}\times 0,4^{20}\times 0,6^{30} \approx 0,114~6$.
    La probabilité qu’exactement $20$ dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,114~6$.
    $\quad$
  3. $p(X\pg 25)=1-p(X\pp 24) \approx 0,097~8$.
    La probabilité qu’au moins la moité des dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,097~8$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a $p(U)=0,3$, $p(V)=0,7$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,3\times 0,03+0,7\times 0,05 \\
    &=0,044
    \end{align*}$
    La probabilité que le paquet prélevé porte le label “extra fin” est $0,044$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(U)&=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,03}{0,044} \\
    &=\dfrac{9}{44}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel appartenant à $[0;1]$.
    On a $p(U)=x$, $p(V)=1-x$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x
    \end{align*}$
    On sait que :
    $\begin{align*} p_E(U)=0,3 &\ssi \dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} =0,3\\
    &\ssi \dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3 \\
    &\ssi 0,03x=0,015-0,006x \\
    &\ssi 0,036x=0,015 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{12}
    \end{align*}$
    Il faut donc que que $p(U)=\dfrac{5}{12}$ et $p(V)=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  2. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
  4. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \pg 1~520$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pg 1~520$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1~520$
    $\begin{align*} u_n \pg 1~520 &\ssi 0,95u_n \pg 1~444 \\
    &\ssi 0,95u_n+76 \pg 1~520 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg1~520
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
    &=-0,05u_n+76 \\
    &\pp 0,05\times 1~520+76 \\
    &\pp 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \ssi u_n=v_n+1~520$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\
    &=0,95u_n+76-1~520 \\
    &=0,95u_n-1~444 \\
    &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\
    &=0,95v_n+1~444-1~444 \\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  7. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n \pp 2~000 &\ssi 1~480\times 0,95^n+1~520 \pp 2~000 \\
    &\ssi 1~480\times 0,95^n \pp 480 \\
    &\ssi 0,95^n \pp \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \pg 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La vitesse est maximale quand le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe $C$ est le plus grand. C’est donc pour $t=0$ que cette vitesse est maximale.
    $\quad$
  2. Plus la personne est corpulente moins, à quantité d’alcool ingérée égale, la concentration d’alcool dans le sang est importante. La courbe $\mathcal{C}_2$ correspond donc à la personne la plus corpulente.
    $\quad$
  3. a. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(t)=A\e^{-t}-At\e^{-t}$
    Donc $f'(0)=A$
    b. Si on appelle $f_1$ et $f_2$ les fonctions associées aux graphiques $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, on constate que $f’_1(0)>f’_2(0)$.
    Donc $A_1>A_2$ (où $A_i$ est la constante liée à la fonction $f_i$).
    Puisque la courbe $\mathcal{C}_2$ correspond à la personne ayant la forte corpulence, l’affirmation est fausse.
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

  1. D’après la question A.3. on a :
    $f'(t)=2\e^{-t}-2t\e^{-t}=2\e^{-t}(1-t)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de $(1-t)$.
    Or $1-t>0 \ssi t<1$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La concentration d’alcool dans le sang est donc maximale quand $t=1$.
    Et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  3. On a $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\e^t}{t}=+\infty$.
    Or $f(t)=2\dfrac{t}{\e^t}=2\dfrac{1}{\dfrac{\e^t}{t}}$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0$.
    Cela signifie qu’au bout d’un très grand nombre d’heures la concentration d’alcool dans le sang est nulle et donc que l’alcool a disparu de l’organisme.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0<0,2$ et $f(1) \approx 0,74>0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_1$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On procède de même sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1) \approx 0,74>0,2$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0<0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_2$ sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Il existe donc deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t)=0,2$.
    $\quad$
    b. Sur $\left[t_1;t_2\right]$ $f(t)>0,2$ car $f$ est croissante sur $\left[t_1;1\right]$.
    Donc Paul ne pourra prendre le volant qu’après $t_2$.
    On obtient à l’aide de la calculatrice $t_2\approx 3,577$
    Il faut donc que Paul attendent $3$ heures et $35$ minutes avant de pouvoir reprendre le volant.
    $\quad$

TS – Devoir synthèse 5 – 3ème trimestre

Devoir Commun

TS – Avril 2018  – 4h

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

  • la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
    $\quad$
  2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

    Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

  1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
    Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A

On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $h(x) = x\e^{-x}$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.
    a. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on a : $$h(x) =\e^{-x}-h'(x)$$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
    $\quad$
    b. Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par: $$f(x) = x\e^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

  1. Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ et $N$ le point de coordonnées $\left(x;g(x)\right)$ : $M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    a. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
    $\quad$
  2. Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
    a. Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.
    $\quad$
    b. On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : $$A_{\lambda} = 1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$$
    $\quad$
    c. Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$
    Affirmation 1: Les points $A,B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases} ,\quad t\in \R$.
    Affirmation 2: Le point $D\left(-\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{6};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. On considère la droite $\left(d’\right)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} ,\quad t\in \R$ et la droite $(\Delta)$ passant par $N(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
    Affirmation 3: Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  4. On considère les points $E(1;2;3)$, $F(3;0;1)$, $G(-1;0;1)$, $H(-1;-2;3)$ et $I(-2;-3;4)$.
    On admet que la droite $(HI)$ et le plan $(EFG)$ sont sécants.
    Affirmation 4: Leur point d’intersection est le milieu du segment $[FG]$.
    $\quad$

Partie B

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté sur la feuille annexe. $M$ est un point de la droite $(CG)$ et $N$ est un point du segment $[AD]$.
Représenter sur cette feuille la section du cube par le plan $MBN$.
Laisser les traits de construction. On ne demande pas de justifier.

Annexe

$\quad$

Exercice 4    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

  1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
    En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
    On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
    Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
    a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
    $\quad$
    b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
    Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
    $\quad$
    c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Conjectures

  1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
    En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
    $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
    $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
    $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
    $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
    Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
    La  propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
    &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
    &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
    $\quad$
  2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
    Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
    $\quad$
  3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
    Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
    On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
    Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

  1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
    $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
    \end{align*}$
    Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
    $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
    Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $h(x)=x\e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{x}}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=0^+$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$.
    $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \e^{-x}-h'(x)&=\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}-\e^{-x}+x\e^{-x}\\
    &=x\e^{-x}\\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ définie sur $[0;+\infty[$ est la fonction définie sur ce même intervalle par $x\mapsto -\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. On a $h(x)=\e^{-x}-h'(x)$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Par conséquent une primitive de la fonction $h$, continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$, est la fonction $H$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
    $\begin{align*} H(x)&=-\e^{-x}-h(x)\\
    &=-\e^{-x}-x\e^{-x}\\
    &=-(1+x)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après le tableau de variation de la fonction $h$, on a $h(x)=x\e^{-x}\pg 0$.
    Par conséquent, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(x-x)^2+\left(f(x)-g(x)\right)^2} \\
    &=\sqrt{\left(x\e^{-x}\right)^2} \\
    &=x\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    D’après le tableau de variation de la fonction $h$, cette distance est maximale pour $x=1$ et cette distance maximale vaut $\e^{-1}$
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
  2. a. Voir graphique précédent
    $\quad$
    b. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues et sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(x)-g(x)\pg 0$.
    L’aire du domaine $D_{\lambda}$ est :
    $\begin{align*} A_{\lambda} &=\displaystyle \int_0^{\lambda} \left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x}\dx \\
    &=H(\lambda)-H(0) \\
    &=-(1+\lambda)\e^{-\lambda}+1\\
    &=1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}}+\dfrac{1}{\e^{\lambda}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$ (voir la question A.1.)
    Et  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x}=0$
    Ainsi  $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda}=1$.
    $\quad$
    Cela signifie que l’aire du domaine compris entre les deux courbe $C_f$ et $C_g$ vaut $1$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $\vect{AB}(-1;0;-6)$ et $\vect{AC}(-3;1;-10)$.
    Or $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\neq \dfrac{0}{-3}$.
    Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. Les trois points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On veut résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} -\dfrac{11}{3}=2t-3\\\\t-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}\\\\4t+2=-\dfrac{2}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} 2t=-\dfrac{2}{3} \\\\t=-\dfrac{1}{3} \\\\4t=-\dfrac{8}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{3} \\\\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
    Le point $D$ n’appartient donc pas à la droite $(d)$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de ma droite $\left(d’\right)$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    Une coordonnées de $\vec{u}$ est nulle alors que la coordonnée correspondante de $\vec{v}$ ne l’est pas. Les deux vecteurs ne sont donc pas coplanaires. Par conséquent les deux droites ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases}, \quad k\in \R$.
    Déterminons si les deux droites sont sécantes.
    On veut donc résoudre le système :
    $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\1+2k=1+t\\4+k=2\\1+3k=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2 \\-4=t\\1-6=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2\\t=-4\end{cases}$
    Ce système possède une solution. Les droites sont donc sécantes.
    Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ sont coplanaires.
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On appelle $J$ le milieu du segment $[FG]$.
    Par conséquent $J(1;0;1)$.
    Regardons si ce point appartient à la droite $(HI)$.
    $\vect{HJ}(2;2;-2)$ et $\vect{HI}(-1;-1;1)$.
    Donc $\vect{HJ}=2\vect{HI}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $H$, $I$ et $J$ sont donc alignés.
    Affirmation 4 vraie.

Partie B

Le point $I$ est le point d’intersection de la droite $(BM)$ avec la droite $(FG)$.
La droite $(NK)$ est parallèle à la droite $(MB)$.
La droite $(IL)$ est parallèle à la droite $(NB)$.

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
    Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
    Cette équation possède donc deux racines complexes:
    $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
    Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
    Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
    $\quad$
  2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
    Son affixe est :
    $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
    &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
    &=z
    \end{align*}$
    Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
    $\quad$
  3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
    $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
    Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
    $\quad$
    b.

    $\quad$
    c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
    $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
    Donc $MA=MM’$.
    Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
    $\quad$