TS – Exercices – Géométrie dans l’espace

Géométrie dans l’espace

Exercice 1

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$.

  1. Démontrer que les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
    a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    d. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. Soit $P_1$ le plan d’équation $x+y+z=0$ et $P_2$ le plan d’équation $x+4y+2=0$.
    a. Démontrer que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
    $\quad$
    b. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $P_1$ et $P_2$, a pour représentation paramétrique :
    $\begin{cases}x=-4t-2\\y=t\\z=3t+2\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
    c. La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vect{AB}(1;-1;-1)$ et $\vect{AC}(2;-5;-3)$
    $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{-1}{-5}$ : les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Par conséquent les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés (et définissent alors un plan).
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}.\vec{u}=2+1-3=0$ et $\vect{AC}.\vec{u}=4+5-9=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c’est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y+3z+d=0$.
    Le point $A(0;4;1)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Donc $0-4+3+d=0\ssi d=1$.
    Ainsi une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x-y+3z+1=0$.
    $\quad$
    c. La droite $\Delta$ passe par le point $D(7;-1;4)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc :
    $\begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\end{cases} \qquad t\in\R$.
    $\quad$
    d. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2x-y+3z+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\14+4t+1+t+12+9t+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\28+14t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\t=-2\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=3\\y=1\\z=-2\\t=-2\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    Donc $H(3;1;-2)$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur normal au plan $P_1$ est $\vec{n}_1(1;1;1)$.
    Un vecteur normal au plan $P_2$ est $\vec{n}_2(1;4;0)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
    $\quad$
    b. Vérifions que la droite $d$ est incluse dans le plan $P_1$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

L’espèce est rapporté au repère orthonormal $\Oijk$.
On considère les points $A(2;1;-1)$, $B(-1;2;4)$, $C(0;-2;3)$, $D(1;1;-2)$ et le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x-2y+z+1=0$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

  1. Affirmation 1 : La droite $(AC)$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : La droite $(AC)$ a pour représentation paramétrique
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t\\z=1-4t\end{cases} \qquad t\in \R$
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : La droite $(AB)$ est strictement parallèle à la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=-4-3k\\y=3+k\\z=9+5k\end{cases} \qquad k\in\R$.
    $\quad$
  5. Affirmation 5 :La droite passant par le point $B$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;-1;1)$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1.  Regardons si les points $A$ et $C$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$.
    Pour le point $A(2;1;-1)$ : $2-2\times 1+(-1)+1=2-2-1+1=0$. Le point $A$ appartient bien au plan $\mathscr{P}$.
    Pour le point $C(0;-2;3)$ : $0-2\times 2+3+1=-4+3+1=0$. le point $C$ appartient bien au plan $\mathscr{P}$.
    Par conséquent la droite $(AC)$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. $\vect{AB}(-3;1;5)$ et $\vect{CD}(1;3;-5)$
    $\vect{AB}.\vect{CD}=-3+3-25=-25\neq 0$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ne sont pas orthogonaux. Par conséquent les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas orthogonales non plus.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. On considère la représentation paramétrique suivante $\begin{cases} x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t \\z=1-4t\end{cases}\qquad t\in\R$ correspondant à une droite $(d)$.
    On cherche une valeur de $t$ telle que $\begin{cases} 2=1+2t\\1=-\dfrac{1}{2}+3t\\-1=1-4t\end{cases}$
    La solution de ce système est $\dfrac{1}{2}$. Donc le point $A$ appartient à la droite $(d)$.
    On cherche une valeur de $t$ telle que $\begin{cases} 0=1+2t\\-2=-\dfrac{1}{2}+3t\\3=1-4t\end{cases}$
    La solution de ce système est $-\dfrac{1}{2}$. Donc le point $C$ appartient à la droite $(d)$.
    Les deux points $A$ et $C$ appartiennent à la droite $(d)$.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
  4. On a $\vect{AB}(-3;1;5)$. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(-3;1;5)$.
    Par conséquent $\vec{u}=\vect{AB}$. Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont donc parallèles.
    Si on prend $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ alors $\begin{cases} x=-1\\y=2\\z=4\end{cases}$.
    Cela signifie donc que le point $B$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont donc confondues.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$
  5. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;-2;1)$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}(1;-1;1)$ ne sont pas colinéaires.
    Affirmation 5 fausse.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$, représenté ci-dessous et on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

 

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FD)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le vecteur $\vect{n}(1;-1;1)$ est un vecteur normal au plan $(BGE)$ et déterminer une équation du plan $(BGE)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la droite $(FD)$ est perpendiculaire au plan $(BGE)$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $K$ intersection de la droite $(FD)$ et du plan $(BGE)$.
    $\quad$
  5. Quelle est la nature du triangle $BEG$? Déterminer son aire.
    $\quad$
  6. En déduire le volume du tétraèdre $BEGD$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ on a $F(1;0;1)$ et $D(0;1;0)$.
    Par conséquent $\vect{FD}(-1;1;-1)$.
    Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $(FD)$ est $\begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=1-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
  2. On a $B(1;0;0)$, $G(1;1;1)$ et $E(0;0;1)$.
    Donc $\vect{BG}(0;1;1)$ et $\vect{BE}(-1;0;1)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{n}.\vect{BG}=0-1+1=0$ et $\vec{n}.\vect{BE}=-1+0+1=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGE)$ : il est par conséquent normal au plan $(BGE)$.
    $\quad$
    Une équation du plan $(BGE)$ est alors de la forme $x-y+z+d=0$.
    Le point $B(1;0;0)$ appartient au plan.
    Par conséquent $1+0+0+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(BGE)$ est donc $x-y+z-1=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{FD}(-1;1;-1)$ et $\vec{n}(1;-1;1)$.
    Par conséquent $\vect{FD}=-\vec{n}$.
    La droite $(FD)$ est donc perpendiculaire au plan $(BGE)$.
    $\quad$
  4. Les coordonnées du point $K$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=1-t\\x-y+z-1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=1-t\\1-t-t+1-t-1=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=1-t\\1-3t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=1-t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi $K\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. On a $\vect{BG}(0;1;1)$, $\vect{BE}(-1;0;1)$ et $\vect{GE}(-1;-1;0)$.
    Ainsi $BG=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$
    $BE=\sqrt{(-1)^2+0+1^2}=\sqrt{2}$
    $GE=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0}=\sqrt{2}$
    Le triangle $BGE$ est donc équilatéral.
    On appelle $I$ le milieu du segment $[BE]$.
    Ainsi $I\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi des hauteurs.
    On a : $GI=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2+1^2+\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
    Par conséquent l’aire du triangle $BEG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{GI\times BE}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{\dfrac{3}{2}}\times \sqrt{2}}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    \end{align*}$.
    $\quad$
  6. $KD=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}$.
    Le volume du tétraèdre $BEGD$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times KD}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{\dfrac{4}{3}}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

$ABCD$ est un tétraèdre. Le point $J$ est le milieu du segment $[AD]$, $K$ est le milieu du segment $[BC]$, $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ et le point $E$ est tel que $BDCE$ est un parallélogramme.

  1. Décomposer les vecteurs $\vect{JE}$ et $\vect{JG}$ en fonction des vecteurs $\vect{DA}$, $\vect{DB}$ et $\vect{DC}$.
    $\quad$
  2. Les points $J,G$ et $E$ sont-ils alignés?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $BDCE$ est un parallélogramme D’après la règle du parallélogramme on a $\vect{DE}=\vect{DB}+\vect{DC}$
    $J$ est le milieu de $[AD]$ donc $\vect{JD}=-\dfrac{1}{2}\vect{DA}$
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{JE}&=\vect{JD}+\vect{DE}\\
    &=-\dfrac{1}{2}\vect{DA}+\vect{DB}+\vect{DC}
    \end{align*}$
    $\quad$
    $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ donc $\vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AA’}$ où $A’$ est le milieu de $[BC]$ (et donc de également de $[DE]$ puisque $BDCE$ est un parallélogramme).
    $\begin{align*}
    \vect{JG}&=\vect{JA}+\vect{AG}\\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{DA}+\dfrac{2}{3}\vect{AA’}\\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{DA}+\dfrac{2}{3}\left(\vect{AD}+\vect{DA’}\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{DA}+\dfrac{2}{3}\vect{AD}+\dfrac{2}{3}\vect{DA’}\\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{DA}+\dfrac{2}{3}\vect{AD}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}\left(\vect{DB}+\vect{DC}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{6}\vect{DA}+\dfrac{1}{3}\vect{DB}+\dfrac{1}{3}\vect{DC}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Par conséquent $\vect{JG}=\dfrac{1}{3}\vect{JE}$. Les points $J,G$ et $E$ sont donc alignés.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

$ABCD$ est un tétrèdre, $I$ est le point définie par $\vect{AI}=\dfrac{1}{5}\vect{AC}$ et $J$ est le point défini par $\vect{AJ}=\dfrac{1}{5}\vect{AD}$.

$K$ et $L$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$ et $[BD]$.

Les droites $(Ki)$, $(LJ)$ et $(AB)$ sont-elles concourantes?
$\quad$

Correction Exercice 5

On considère le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AC},\vect{AD}\right)$.

On a donc $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $D(0;0;1)$, $I\left(0;\dfrac{1}{5};0\right)$, $J\left(0;0;\dfrac{1}{5}\right)$, $K\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $L\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)$.

  • Un vecteur directeur de la droite $(KI)$ est $\vect{KI}\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{10};0\right)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(KI)$ est $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}t\\y=\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{10}t \\z=0\end{cases} \qquad t\in\R$
    $\quad$
  • Un vecteur directeur de la droite $(LJ)$ est $\vect{LJ}\left(-\dfrac{1}{2};0;-\dfrac{3}{10}\right)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(LJ)$ est $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}k\\y=0 \\z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{10}k\end{cases}\qquad k\in\R$
    $\quad$
  • On cherche, si elles existent, les coordonnées du point d’intersection des droites $(KI)$ et $(LJ)$.
    On résout le système suivant :
    $\begin{align*}
    \begin{cases} -\dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}k\\\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{10}t=0\\0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{10}k \end{cases} &\ssi \begin{cases} -\dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}k\\\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{10}t \\\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}k \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -\dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}k\\t=\dfrac{2}{3} \\k=\dfrac{5}{3} \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}\\t=\dfrac{2}{3} \\k=\dfrac{5}{3} \end{cases}
    \end{align*}$
    On remplace dans une des représentations paramétriques le paramètre par la valeur trouvée dans le système précédent.
    On choisit, par exemple, la droite $(KI)$.
    Les coordonnées du point d’intersection sont donc $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}\\y=0\\z=0\end{cases}$.
    On note $M\left(-\dfrac{1}{3};0;0\right)$.
    $\quad$
  • On a $\vect{AB}(1;0;0)$ et $\vect{AM}\left(-\dfrac{1}{3};0;0\right)$.
    Par conséquent $\vect{AM}=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}$.
    Les points $A,B$ et $M$ sont donc alignés.
    $\quad$
  • Le point $M$ appartient aux droites $(KI)$, $(LJ)$ et $(AB)$.
    Ces trois droites sont donc concourantes en $M$.
    $\quad$

 

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$\quad$

TS – Bac Blanc – février 2017

Bac Blanc – Février 2017

Énoncé

Exercice 1    5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux sacs $S_{1}$ et $S_{2}$ contenant des jetons indiscernables au toucher.
$S_{1}$ contient $k$ jetons rouges ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ jetons bleus.
$S_{2}$ contient $2$ jetons rouges et un jeton bleu.

On tire un jeton au hasard dans $S_{1}$ et on le place dans $S_{2}$. On tire ensuite, au hasard, un jeton dans $S_{2}$. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note $R_{1}$ (respectivement $B_{1}$) l’événement “on a tiré un jeton rouge (resp. bleu) dans le sac $S_{1}$”.
On note $R_{2}$ (respectivement $B_{2}$) l’événement “on a tiré un jeton rouge (resp. bleu) dans le sac $S_{2}$”.

  1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-dessous :

    b. Montrer que la probabilité de l’événement $R_{2}$ est égale à $\dfrac{3k + 6}{4k + 12}$.

    $\quad$
    Dans la suite on considère que $\boldsymbol{k= 12}$.
    Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

  2. Un joueur mise $8$ euros et effectue une épreuve.
    Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire un jeton rouge du deuxième sac, le joueur reçoit $12$ euros.
    Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
    Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.
    a. Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
    $\quad$
    d. Le jeu est-il favorable au joueur ?
    $\quad$
  3. Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.
    Au début de chaque épreuve, le sac $S_{1}$ contient $12$ jetons rouges et $3$ bleus, et le sac $S_{2}$ contient $2$ jetons rouges et 1 bleu.
    Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.
    Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement $R_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 1    5 points

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appellera dans la suite les entiers naturels $1$, $11$, $111$, $1~111$, $\ldots$ des un-entiers.
Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le un-entier s’écrivant avec $p$ fois le chiffre $1$ :

$$N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c} p \text{ répétitions} \\ \text{du chiffre }1\end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.$$

Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des un-entiers.

Partie A : divisibilité des un-entiers dans quelques cas particuliers

  1. Montrer que $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $3$.
    $\quad$
    a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \text{ mod } 3$.
    $\quad$
    b. En déduire que $N_p \equiv p \text{ mod } 3$.
    $\quad$
    c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le un-entier $N_p$ soit divisible par $3$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
    a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l’unique entier relatif appartenantà $  \{-3;- 2;-  1;0;1;2;3\} $ tel que $10^m \equiv a \text{ mod }7$.
    On ne demande pas de justification.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
    a & & & & & & &\\ \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    Montrer que $10^p \equiv 1 \text{ mod }\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
    On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
    $\quad$
  5. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p-1}{9}$.
    $\quad$
  6. Démontrer que “$7$ divise $N_p$” est équivalent à “$7$ divise $9N_p$”.
    $\quad$
  7. En déduire que $N_p$ est divisible par $7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$

Partie B : un un-entier strictement supérieur à $\boldsymbol{1}$ n’est jamais un carré parfait

  1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à-dire $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 10$.
    a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    n \equiv \ldots  [10]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
    n^2 \equiv \ldots  [10]&&&&&&&&&&\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m-1$.
    $\quad$
    c. Conclure que $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 20$.
    $\quad$
  2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?
    $\quad$
  3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le un-entier $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A : Restitution organisée des connaissances

On rappelle que $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\e^t}{t} = + \infty$.
Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$.
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur $[1;+ \infty[$ par $g(x) = x-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\Oij$.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+ \infty[$ par $f(x) = x^2-1 + \ln(x)$.
    Montrer que la fonction $f$ est positive sur $[1;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[1;+ \infty[$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de $g$ sur $[1;+ \infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)-x$. Que peut-on en déduire concernant la courbe $\mathscr{C}$ ?
    $\quad$
    d. On nomme $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y=x$. Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note respectivement $C_k$ et $D_k$ les points d’abscisse $k$ de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $C_kD_k$ entre les points $C_k$ et $D_k$ est donnée par $C_kD_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
    $\quad$
    b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $C_kD_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3    5 points

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite $\left(w_n\right)$ définie par: $$w_0 = a\quad \text{ et, pour tout } n\text{ de } \N,\quad w_{n+1} = \e^{2w_n}-\e^{w_n}.$$

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : $w_{n+1} = \e^{w_n}\left(\e^{w_n}-1\right)$.

  1. Soit $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$h(x) = \e^{2x}-\e^{x}-x.$$
    a. Calculer $h'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $h'(x) = \left(\e^{x}-1\right)\left(2\e^{x} + 1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les variations de la fonction $h$ et donner la valeur de son minimum.
    $\quad$
    c. En remarquant que $w_{n+1}-w_n = h\left(w_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(w_n\right)$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $a \pp 0$.
    a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $w_n \pp 0$.
    $\quad$
    b. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(w_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que $a > 0$.
    La suite $\left(w_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel $n$, $w_n\pg a$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n \pg h(a)$.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_n \pg a + n \times h(a)$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction $g$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $$g(z) = z^2 + 2z + 9.$$

  1. Calculer l’image de $- 1 + \ic\sqrt{3}$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    a. Résoudre dans $\C$ l’équation $g(z) = 5$.
    $\quad$
    b. Calculer les modules des solutions de l’équation précédente.
    $\quad$
    c. Construire sur le graphique les points $A$ et $B$ dont l’affixe est solution de l’équation ($A$ étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
    $\quad$
  2. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l’équation $g(z) = \lambda$ d’inconnue $z$.
    Déterminer l’ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l’équation $g(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
    $\quad$
  3. Soit $(G)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie $$|g(z) – 8| = 3.$$
    Prouver que $(G)$ est le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    Tracer $(G)$ sur le graphique.
    $\quad$
  4. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \ic y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    a. Montrer que la forme algébrique de $g(z)$ est $$x^2 – y^2 + 2x + 9 + \ic (2xy + 2y).$$
    $\quad$
    b. On note $(E)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ est telle que $g(z)$ soit un nombre réel.
    Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
    Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.
    $\quad$
  5. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(G)$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 1 obl

Exercice 1

  1. a. On obtient l’arbre de probabilités suivant :

    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p\left(R_2\right)&= p\left(R_1\cap R_2\right)+p\left(B_1\cap R_2\right) \\
    &=\dfrac{k}{k+3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{k+3}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{3k}{4k+12}+\dfrac{6}{4k+12}\\
    &=\dfrac{3k+6}{4k+12}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Si le joueur tire un jeton rouge du deuxième sac alors il reçoit $12$ euros. Il avait miser $8$ euros initialement. Son gain algébrique est donc de $12-8=4$ euros.
    Si le joueur ne tire pas un jeton rouge du deuxième sac alors il perd sa mise initiale de $8$ euros.
    La variable aléatoire $X$ ne prend donc que deux valeurs $4$ et $-8$.
    $\quad$
    b. D’après la question 1.b. $P(X=4)= \dfrac{3\times 12+6}{4\times 12+12}= \dfrac{7}{10}$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(X=-8)=1-P(X=4) = \dfrac{3}{10}$.
    $\quad$
    c. L’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=4\times P(X=4)+(-8)\times P(X=-8)\\
    &=4\times \dfrac{7}{10}-8\times \dfrac{3}{10}\\
    &=\dfrac{4}{10} \\
    &=\dfrac{2}{5}
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. $E(X)>0$ : le jeu est donc favorable au joueur.
    $\quad$
  3. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de jetons rouges tirés du deuxième sac.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. Chaque tirage possède $2$ issues : $R_2$ et $\overline{R_2}$. On sait que $p\left(R_2\right)=\dfrac{7}{10} = 0,7$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,7$.
    On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*}
    P(Y\pg 1) \pg 0,99&\ssi 1-P(Y=0) \pg 0,99 \\
    &\ssi 1-(1-0,7)^n \pg 0,99\\
    &\ssi -0,3^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,3^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln 0,3 \pp \ln 0,01 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,3}\\
    &\ssi n \pg 4
    \end{align*}$

Ex 1 spé

Exercice 1

Partie A : divisibilité des un-entier dans quelques cas particuliers

  1. Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
    Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
    Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
    $\quad$
  2. a. $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
    $\quad$
    b. $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
    $\quad$
    c. $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    m&0&1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
    Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
    D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
    Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
    Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
    $\quad$
    d. $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
    $\quad$
    e.
    $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\ssi 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\
    &\ssi p \equiv 0 \text{ mod } 6
    \end{align*}$
    Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$

Partie B : un un-entier strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
    \hline
    n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
    Or $9\equiv -1$ mod $10$
    Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
    $\quad$
    c. Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
    Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
    Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
    $\quad$
  2. Si $n\pg 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
    $\quad$
  3. D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
    Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
    Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Restitution organisée des connaissances

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{t \to +\infty}\dfrac{\e^t}{t}=+\infty$.
Par composition des limites on a donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\e^{\ln(x)}}{\ln x}=+\infty$ soit $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{\ln(x)}=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}= \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{x}{\ln(x)}}= 0$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+1}{x}$
    Or sur $[1;+\infty[$ on a $2x^2+1\pg 0$ donc $f'(x) > 0$.
    La fonction $f$ est, par conséquent, strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Or $f(1)=1-1+\ln(1)=0$.
    La fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    La fonction $x\mapsto x^2-1$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    La fonction $\ln$ est positive sur ce même intervalle.
    Par conséquent la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $g'(x)=1-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=1-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{f(x)}{x^2}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x \pg 1$ on a $x^2 >1$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $f(x)$. D’après la question précédente on sait que la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $g'(x) \pg 0$ et la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c. $g(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
    D’après la partie A on sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)-x=0$.
    $\quad$
    Graphiquement, cela signifie que la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d’équation $y=x$ sont très proches l’une de l’autre pour de grandes valeurs de $x$. On dit que la droite est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    d. On sait que $g(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
    Pour tout $x \pg 1$ on a $\ln(x) \pg 0$ et $x > 0$.
    Par conséquent $g(x)-x \pp 0$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    La droite $\mathscr{D}$ est donc toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. a. Les coordonnées des points $C_k$ et $D_k$ sont respectivement $\left(k;g(k)\right)$ et $(k;k)$.
    Ces deux points ont la même abscisse et, d’après la question précédente on sait que $g(k)-k\pp 0$.
    Par conséquent $C_kD_k=k-g(k)=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
    b. Un algorithme répondant à la question est :
    Variables
    $\quad$ $k$ est un nombre entier
    Initialisation
    $\quad$ $k$ prend la valeur $2$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $\dfrac{\ln(k)}{k}>0,01$
    $\qquad$ $k$ prend la valeur $k+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $k$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a : $h'(x)=2\e^{2x}-\e^x-1$.
    Or $\left(\e^x-1\right)\left(2\e^x+1\right)=2\e^{2x}+\e^x-2\e^x-1=2\e^x-\e^x-1=h'(x)$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1 > 0$.
    Le signe de $h'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-1$.
    Or $\e^x>1 \ssi x> 0$.
    Ainsi $h'(x) > 0 \ssi x>0$.
    La fonction $h$ est, par conséquent, strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    La fonction $h$ atteint donc sont minimum en $0$ et $h(0)=1-1-0=0$.
    On en déduit alors que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $w_{n+1}-w_n=\e^{2w_n}-\e^{w_n}-w_n = h\left(w_n\right)$.
    On sait que la fonction $h$ est positive sur $\R$ donc $w_{n+1}-w_n=h\left(w_n\right)\pg 0$.
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $w_0=a<0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n \pp 0$.
    $w_{n+1}=\e^{w_n}\left(\e^{w_n}-1\right)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^{w_n}>0$.
    Par hypothèse $w_n\pp0$ donc $\e^{w_n}\pp 1$ donc $\e^{w_n}-1 \pp 0$.
    Par conséquent $w_{n+1}\pp 0$ et la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $w_n \pp 0$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante et majorée par $0$ : elle converge.
    $\quad$
    c. Montrons que, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=0$.
    Initialisation : Si $n=0$ : $w_0=a=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n=0$
    Alors $w_{n+1}=\e^0-\e^0=1-1=0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$, $w_n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$.
    $\quad$
    Autre méthode (beaucoup plus rapide) : La suite $\left(w_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Puisque $w_0=0$ alors la suite est constante et, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$.
    $\quad$
  3. a. On sait que, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}-w_n=h\left(w_n\right)$.
    On sait de plus que $w_n\pg a > 0$ et que la fonction $h$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Par conséquent $h\left(w_n\right) > h(a)$.
    On en déduit donc que $w_{n+1}-w_n \pg h(a)$.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $w_0=a \pg a + 0\times h(a)$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n \pg a+n\times h(a)$.
    D’après la question précédente :
    $w_{n+1} \pg h(a)+w_n \pg h(a)+a+n \times h(a)$
    Donc $w_{n+1} \pg a+(n+1) \times h(a)$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Pour tout entier naturel $n$, on a $w_n \pg a+n\times h(a)$.
    $\quad$
    c. La fonction $h$ est positive et n’atteint son minimum qu’en $0$.
    Comme $a>0$ cela signifie que $h(a)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a+n\times h(a) =+\infty$.
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=+\infty$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

 

  1. $\quad$
    $\begin{align*} g\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)&=\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)+9 \\
    &=-1-3-2\ic\sqrt{3}-2+2\ic\sqrt{3}+9\\
    &=5
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $g(z)=5\ssi z^2+2z+9=5 \ssi z^2+2z+4=0$
    Le discriminant est $\Delta = 4-4\times 4 = -12<0$.
    L’équation possède donc deux solutions complexes :
    $z_1=\dfrac{-2-\ic\sqrt{12}}{2}=-1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=-1+\ic\sqrt{3}$.
    $\quad$
    b. $\left|z_1\right|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$.
    Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=\left|z_1\right|=2$.
    $\quad$
    c. Les parties réelles de $z_1$ et $z_2$ sont égales à $-1$ et leur module vaut $2$. Les points $A$ et $B$ sont donc les points d’intersection de la droite d’équation $x=-1$ et du cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    (Voir figure)
    $\quad$
  3. $g(z)-\lambda = z^2+2z+9-\lambda$.
    Le discriminant est alors $\Delta = 4-4\times(9-\lambda)=4-36+4\lambda = -32+4\lambda=4(\lambda-8)$.
    Ainsi $\Delta <0 \ssi \lambda-8<0 \ssi \lambda <8$.
    L’équation $g(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées pour toute valeur de $\lambda$ appartenant à l’intervalle $]-\infty;8[$.
    $\quad$
  4. $g(z)-8=z^2+2z+9-8=z^2+2z+1=(z+1)^2$.
    Ainsi $\left|g(z)-8\right|=3\ssi |z+1|^2=3 \ssi |z+1|=\sqrt{3} \ssi \Omega M=\sqrt{3}$ où $\Omega$ est le point du plan d’affixe $-1$ et $M$ celui d’affixe $z$.
    L’ensemble $G$ est donc le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    (Voir figure)
    $\quad$
  5. a. On pose $z=x+\ic y$.
    On a alors :
    $\begin{align*}
    g(z)&=\left(x+\ic y\right)^2+2(x+\ic y)+9 \\
    &=x^2-y^2+2xy\ic +2x+2y \ic + 9 \\
    &=x^2-y^2+2x+9+\ic\left(2xy+2y\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $g(z)$ est un réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle c’est-à-dire si, et seulement si, $2xy+2y=0$.
    Or $2xy+2y=2y(x+1)$.
    Donc $2xy+2y=0 \ssi y=0 \text{ ou } x=-1$.
    $(E)$ est donc la réunion des droites $D_1$ et $D_2$ d’équation respective $y=0$ et $x=-1$.
    (Voir figure)
    $\quad$
    c. Si $M(x+\ic y)$ appartient à $(E)\cap \left(D_1\right)$ alors $y=0$ et $\left|x+\ic y+1\right|=\sqrt{3}$.
    Soit $y=0$ et $|x+1|=\sqrt{3}$
    Donc $y=0$ et $x+1=\sqrt{3}$ ou $x+1=-\sqrt{3}$.
    D’où $y=0$ et $x=\sqrt{3}-1$ ou $x=-1-\sqrt{3}$.
    $\quad$
    Si $M(x+\ic y)$ appartient à $(E)\cap \left(D_2\right)$ alors $x=-1$ et $\left|x+\ic y+1\right|=\sqrt{3}$
    Soit $x=-1$ et $|\ic y|=\sqrt{3}$
    Donc $x=-1$ et $y=\sqrt{3}$ ou $y=-\sqrt{3}$
    Les points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$ ont donc comme coordonnées $\left(\sqrt{3}-1;0\right)$, $\left(-1-\sqrt{3};0\right)$, $\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $\left(-1;-\sqrt{3}\right)$.
    $\quad$

TS – Devoir synthèse 3 – 1er trimestre

Exercice 1

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=2\e^x+2x-7$.

  1. Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    Fournir un encadrement au millième de $\alpha$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ $P$ est un réel strictement positif
    Initialisation :
    $\quad$ $X$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $Y$ prend la valeur $-5$
    Traitement :
    $\quad$Tant que $Y <0$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X+P$
    $\qquad$ $Y$ prend la valeur $g(X)$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie:
    $\quad$ Afficher $X-P$ et $X$
    $\quad$
    On entre une valeur de $P$ égale à $0,1$. Quelles sont les valeurs en sortie?

$\quad$

Partie B : étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

$$f(x)=(2x-5)\left(1-\e^{-x}\right).$$

  1. Étudier le signe de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  3. Calculer $f'(x)$, où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  5. a. Démontrer l’égalité $f(\alpha)=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $h : x \mapsto \dfrac{(2x-5)^2}{2x-7}$ sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$.
    En déduire, à partir de l’encadrement de $\alpha$ obtenu dans la partie A, un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} 2x-7 = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x-7=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a : $g'(x)=2\e^x+2$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ dans $\R$ on a $g'(x) > 0$.
    On obtient alors le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    A l’aide de la calculatrice on obtient l’encadrement suivant : $0,940 < \alpha < 0,941$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$ et s’annule en $\alpha$. On obtient, par conséquent, le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  5. L’algorithme permet de fournir un encadrement au dixième de $\alpha$ donc les valeurs de sorties seront $0,9$ et $1$.
    $\quad$

Partie B : étude d’une fonction

  1. $2x-5 = 0 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ et $2x-5>0 \ssi x > \dfrac{5}{2}$
    $1-\e^{-x}=0 \ssi \e^{-x}=1 \ssi x=0$ et $1-\e^{-x} > 0 \ssi \e^{-x} < 1 \ssi -x < 0 \ssi x > 0$.
    On obtient alors le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infty}-x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} 1-\e^{-x}=-\infty$
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} 2x-5=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty}-x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\e^{-x}=1$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x-5=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&= 2\left(1-\e^{-x}\right)-\left(-\e^{-x}\right)(2x-5) \\\\
    &=2-2\e^{-x}+2x\e^{-x}-5\e^{-x} \\\\
    &=2-7\e^{-x}+2x\e^{-x} \\\\
    &=\e^{-x}\left(2\e^x+2x-7\right) \\\\
    &=g(x)\e^{-x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    Par conséquent $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
    $\quad$
  4. On obtient alors le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  5. a. On sait que :
    $\begin{align*} g(\alpha)=0 &\ssi 2\e^{\alpha}+2\alpha-7 \\\\
    &\ssi 2\e^{\alpha}=7-2\alpha \\\\
    &\ssi \e^{\alpha}=\dfrac{7-2\alpha}{2} \\\\
    &\ssi \e^{-\alpha}=\dfrac{2}{7-2\alpha}
    \end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*}
    f(\alpha)&=(2\alpha-5)\left(1-\e^{-\alpha}\right) \\\\
    &=(2\alpha-5)\left(1-\dfrac{2}{7-2\alpha}\right) \\\\
    &=(2\alpha-5)\left(\dfrac{7-2\alpha-2}{7-2\alpha}\right) \\\\
    &=(2\alpha-5)\left(\dfrac{5-2\alpha}{7-2\alpha}\right) \\\\
    &=(2\alpha-5)\left(\dfrac{2\alpha-5}{2\alpha-7}\right)\\\\
    &=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $h$ est dérivable sur $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{2\times 2(2x-5)(2x-7)-2(2x-5)^2}{(2x-7)^2} \\\\
    &=\dfrac{2(2x-5)\left(2(2x-7)-(2x-5)\right)}{(2x-7)^2} \\\\
    &=\dfrac{2(2x-5)(4x-14-2x+5)}{(2x-7)^2} \\\\
    &=\dfrac{2(2x-5)(2x-9)}{(2x-7)^2}
    \end{align*}$
    Pour tout $x < \dfrac{5}{2}$ on a $2x-5<0$, $2x-9<0$ et $(2x-7)^2>0$.
    Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[$ et la fonction $h$ est strictement croissante sur cet intervalle.
    On sait que $0,940<\alpha<0,941$ par conséquent $h(0,940)<h(\alpha)<h(0,941)$
    soit $-1,905<f(\alpha)<-1,895$.
    On en déduit donc $-1,91<f(\alpha)<-1,90$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par des piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est $0,98$;
  • la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population “cible”. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

  • $M$ l’événement : “l’individu choisi est atteint du chikungunya”;
  • $T$ l’événement : “le test de l’individu choisi est positif”.

On note $p (0 \pp p \pp 1)$ la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

Partie A : On suppose dans toute cette partie que $p=0,1$.

  1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer $P(M\cap T)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,107$.
    $\quad$
  4. L’individu choisi a un test positif. Quelle est la probabilité qu’il soit atteint par la maladie?(on donnera une valeur arrondie à $0,001$ près).
    $\quad$

Partie B : Dans toute cette partie, $p$ est à nouveau un réel quelconque appartenant à $[0;1]$.

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure ou égale à $0,95$.

  1. Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(p)=\dfrac{98p}{97p+1}$.
    $\quad$
  2. À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
    $\quad$

Partie C

En juillet 2015, l’institut de veille sanitaire d’une île annonce que $15\%$ de la population est atteinte par le virus. On effectue des tests sur un échantillon de $100$ personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer que le choix d’un tel échantillon peut être assimilé à un tirage avec remise de $100$ personnes dans la population.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus.

  1. Déterminer en justifiant la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que sur cet échantillon exactement $10$ personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité qu’au plus $15$ personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à $0,01$ près.)
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A : On suppose dans toute cette partie que $p=0,1$.

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a : $P(M\cap T)=0,1\times 0,98=0,098$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(T)&=P(M\cap T)+p\left(\overline{M}\cap T\right) \\\\
    &=0,098+0,9\times 0,01 \\\\
    &=0,107
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}
    P_T(M)&=\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)} \\\\
    &=\dfrac{0,098}{0,107} \\\\
    &\approx 0,916
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B :

  1. On obtient dans cette situation l’arbre pondéré suivant :$\quad$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right) \\\\
    &=0,98p+0,01(1-p) \\\\
    &=0,97p+0,01
    \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*}
    P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\\\
    &=\dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} \\\\
    &=\dfrac{98p}{97p+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Le test est fiable si :
    $\begin{align*} f(p) \pg 0,95 &\ssi \dfrac{98p}{97p+1} \pg 0,95 \\\\
    &\ssi 98p\pg 0,95(97p+1) \\\\
    &\ssi 98p \pg 92,15p+0,95 \\\\
    &\ssi 5,85p\pg 0,95 \\\\
    &\ssi p \pg \dfrac{0,95}{5,85} \\\\
    &\ssi p \pg \dfrac{17}{119}
    \end{align*}$
    Le test est donc fiable si $p\pg 0,16$ à $0,01$ près.
    $\quad$

Partie C

  1. Il y a $100$ tirages aléatoires, indépendants avec remise. A chaque tirage il n’y a que deux issues : $M$ et $\overline{M}$. De plus $P(M)=0,15$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,15$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X=10)=\displaystyle \binom{100}{10}\times 0,15^{10}\times 0,85^{90} \approx 0,04$
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $P(X \pp 15) \approx 0,57$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

$$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = – \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2}.$$

Partie A : conjecture

  1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
    $\quad$
  3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie B: validation des conjectures

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n-3$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -\dfrac{1}{2}v_n^2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \pp v_n \pp 0$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1}-v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
    $\quad$
  5. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
    On admet que $\ell$ appartient à l’intervalle $[- 1;0]$ et vérifie l’égalité : $\ell = -\dfrac{1}{2}\ell^2$.
    Déterminer la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : conjecture

  1. $u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
    $\quad$
    $u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$
    $\quad$
  2. On a ensuite $u_3 \approx 2,99219$ et $u_4 \approx 2,99997$
    $\quad$
  3. Il semblerait donc que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers $3$.
    $\quad$

Partie B: validation des conjectures

  1. $\quad$
    $\begin{align*} v_{n+1} &= u_{n+1}-3 \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n-\dfrac{3}{2}- 3 \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n-\dfrac{9}{2} \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} \left(u_n^2-6u_n + 9\right) \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} (u_n-3)^2 \\\\
    &= -\dfrac{1}{2} v_n^2
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n = 0$ alors $v_0 = 2-3 = -1$ donc $-1 \le v_0 \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $-1 \le v_n \le 0$.
    Ainsi $ 0 \le v_n^2 \le 1$ et $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0$ soit $-1 \le v_{n+1} \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est également vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le v_n \le 0$.
    $\quad$
  3. a. $v_{n+1}-v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2-v_n = -v_n \left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$
    $\quad$
    b. On sait que $-1 \le v_n \le 0$ donc $-v_n \ge 0$
    De plus $-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0$ soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0$.
    Finalement, $v_{n+1}-v_n \ge 0$.
    La suite $(v_n)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. $\ell = -\dfrac{1}{2}\ell^2 \ssi \ell + \dfrac{1}{2}\ell^2 = 0 \ssi \ell \left(1 + \dfrac{1}{2}\ell \right) = 0$
    Cela signifie donc que $\ell = 0$ ou $\ell + \dfrac{1}{2}\ell = 0$ (et donc $\ell=-2$).
    On sait que $\ell \in [-1;0]$. Par conséquent $\ell = 0$.
    $\quad$
  6. On sait que :
    $\bullet$ la suite $(v_n)$ est croissante et converge vers $0$;
    $\bullet$ $u_n = v_n + 3$ pour tout entier naturel $n$.
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est également croissante et converge vers $3$.
    Les conjectures de la partie A sont donc validées.
    $\quad$

[collapse]

 

TS – Exercices – Lois normales

Exercice 1 $\qquad$ d’après Pondichéry avril 2015

Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle

par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d’écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

TS - Exo - lois normales

  1. a. En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
    $\quad$
    b. Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
    $\quad$
  2. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X – 84}{\sigma}$.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$.
    Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
    a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre $2$ et $5$ ans.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à $10$ ans.
    $\quad$
Correction Exercice 1

Etude de la durée de vie d’un appareil électroménager

  1. a. On a $P(X \le \mu -20) = 0,16$ donc $P(X \ge \mu + 20) = P(X \ge 104)= 0,16$.
    Or $P(X \le 64) + P(64 \le X \le 104) + P(X \ge 104) = 1$
    Par conséquent $P(64 \le X \le 104) = 1 – 2 \times 0,16 = 0,68$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $P(\mu – 20 \le X \le \mu +20) = 0,68$.
    D’après le résultat du cours, cela signifie que $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \le 64) & = P(X – 84 \le -20) \\\\
    & = P\left( \dfrac{X  – 84}{\sigma}\le \dfrac{-20}{\sigma}\right)\\\\
    & = P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc $P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16$.
    Par conséquent, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{-20}{\sigma} \approx -0,9945$
    donc $\sigma \approx 20,11$.
    $\quad$
  3. a. On cherche donc $P(24 \le X \le 60)  \approx 0,115$
    $\quad$
    b. $P(X \le 120) = 0,5 – P(84 \le X \le 120) \approx 0,037$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 $\qquad$ d’après Centres étrangers juin 2015

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre $X$ de cadenas premier prix vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d’écart-type $\sigma = 25$.

  1. Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$.
    $\quad$
  2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas premier prix qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05.  On ne réalimente pas le stock en cours de mois.
    Déterminer la plus petite valeur de l’entier $n$ remplissant cette condition.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. A l’aide de la calculatrice (mais une propriété du cours nous la donne aussi) on trouve :
    $P(725 \le X \le 775) \approx 0,683$
    $\quad$
  2. On cherche donc la valeur de $n$ telle que $P(X>n) = 0,05$
    Ou encore $P(X \le n) = 0,95$.
    A l’aide de la touche “invnorm” ou “normalFRép” de la calculatrice, on trouve $n= 792$ (on arrondit par excès).
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3 $\qquad$ d’après Amérique du Nord juin 2015

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de $100$ grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser $100$ grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre $98$ et $102$ grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 100$ et d’écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.

  1. Calculer la probabilité de l’événement $M$ : “la tablette est mise sur le marché”.
    $\quad$
  2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne $0,97$.
    Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l’événement “la tablette est mise sur le marché” soit égale à $0,97$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Contrôle avant la mise sur le marché

  1. On doit donc calculer $P(98 \le X \le 102) \approx 0,954$.
    $\quad$
  2. On veut que :
    $\begin{align*} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \ssi P(-2 \le X -100 \le 2) = 0,97 \\\\
    & \ssi P\left(-\dfrac{2}{\sigma} \le \dfrac{X -100}{\sigma} \le \dfrac{2}{\sigma}\right) = 0,97
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Z = \dfrac{X -100}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \ssi 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) – 1 = 0,97 \\\\
    &\ssi 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 1,97 \\\\
    &\ssi P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 0,985 \\\\
    & \ssi \dfrac{2}{\sigma} \approx 2,170 \\\\
    & \ssi \sigma \approx 0,922
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ Polynésie juin 2015

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de $18$ à $65$ ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_1 = 165$~cm et d’écart-type $\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de $18$ à $65$ ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_2 = 175$~cm et d’écart-type $\sigma_2 = 11$~cm.

Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

  1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre $1,53$ mètre et $1,77$ mètre ?
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de $1,70$ mètre.
    $\quad$
    b. De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent $52\%$ de la population des personnes dont l’âge est compris entre $18$ et $65$ ans. On choisit au hasard une personne qui a entre $18$ et $65$ ans. Elle mesure plus de $1,70$ m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On cherche donc à calculer $P(153 \le X_1 \le 177) \approx 0,95$ (résultat de cours)
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X_2 \ge 170) &= 0,5 + P(170 \le X_2 \le 175) \\\\
    & \approx 0,68
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Calculons $P(X_1 \ge 170) = 0,5 – P(165 \le X_1 \le 170) \approx 0,20$
    On appelle $G$ l’événement “la personne choisie mesure plus de $1,70$m”.
    On appelle $F$ l’événement “la personne choisie est une femme”.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(G) &= p(F \cap G) + p\left(\overline{F} \cap G\right) \\\\
    &= 0,52 \times 0,20 + 0,48 \times 0,68 \\\\
    & \approx 0,43
    \end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_G(F) &= \dfrac{p(F \cap F)}{p(G)} \\\\
    &=\dfrac{0,52 \times 0,20}{0,43} \\\\
    & \approx 0,24
    \end{align*}$.
    La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle mesure plus de $1,70$ m est donc de $0,24$.
    $\quad$
    Remarque : En ne prenant pas les valeurs arrondies trouvées à chaque question, on obtient : $p_G(F) \approx 0,245 \approx 0,25$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 $\qquad$ d’après Métropole juin 2015

Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur $[0;+ \infty[$ par $$f(x) = \lambda\e^{- \lambda x}.$$
    a. Soit $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \leqslant c < d$.
    Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d)$ vérifie
    $$P(c \leqslant X \leqslant d) = \e^{- \lambda c} – \e^{- \lambda d}$$
    b. Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à $0,05$.
    $\quad$
    c. Donner l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on prend  $\lambda = 0,15$.
    d. Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20)$.
    $\quad$
    e. Calculer la probabilité de l’événement $(X > 18)$.
    $\quad$
  2. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $16$ et d’écart type $1,95$.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21)$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. a. On a :
    $$\begin{align*} P(c \le X \le d) &= \displaystyle \int_c^d f(x)\mathrm{d}x \\\\
    & = \left[-\e^{-\lambda x}\right]_c^d \\\\
    &= -\e^{\lambda d} + \e^{-\lambda c} \\\\
    & = \e^{-\lambda c} – \e^{-\lambda d}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. On veut que :
    $\begin{align*} P(X > 20) = 0,05 & \ssi 1 – P(X \le 20) = 0,05 \\\\
    & \ssi -P(X \le 20) = -0,95 \\\\
    & \ssi P(0 \le X \le 20) = 0,95 \\\\
    & \ssi 1 – \e^{-20 \lambda} = 0,95 \\\\
    & \ssi \e^{-20 \lambda} = 0,05 \\\\
    & \ssi  -20 \lambda = \ln 0,05 \\\\
    & \ssi \lambda = – \dfrac{\ln 0,05}{20}
    \end{align*}$
    Par conséquent : $\lambda \approx 0,150$
    $\quad$
    c. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ $ = -\dfrac{20}{\ln 0,05} \approx 6,676$
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} P(10 \le X \le 20) &= \e^{-10 \times 0,15} – \e^{-20 \times 0,15} \\\\
    & = \e^{-1,5} – \e^{-3} \\\\
    & \approx 0,173
    \end{align*}$
    $\quad$
    e. $P(X > 18) = e^{-0,15 \times 18}  \approx 0,067$
    $\quad$
  2. a. $P(20 \le Y \le 21) \approx 0,015$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right) &= 1 – P(11 \le Y \le 21) \\\\
    & \approx 0,010
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 $\qquad$ d’après Polynésie septembre 2015

On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d’une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.

  1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart-type $\sigma = 8$.
    On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée.
    Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de $50$ ng.mL$^{-1}$ et que $10\%$ d’entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à $43$ ng.mL$^{-1}$.
    On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée.
    On admet que $T’$ suit la loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$.
    Préciser la valeur de $\mu’$ et déterminer la valeur de $\sigma’$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On veut calculer $P(T \ge 60) = 0,5 – P(40 \le T \le 60) \approx 0,0062$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, on a $\mu’=50$.
    On sait également que :
    $\begin{align*} P(T’ \le 43) = 0,1 & \ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le \dfrac{43-50}{\sigma’}\right)=0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le -\dfrac{7}{\sigma’}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $\dfrac{T’-50}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent à l’aide de la touche Inverve Loi Normale on obtient $-\dfrac{7}{\sigma’} \approx -1,2816$ soit $\sigma’ \approx 5,4621$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7 $\qquad$ d’après Nouvelle-Calédonie novembre 2015

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d’écart-type $1,6$.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d’écart-type $\sigma$.

Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à $6,5$ mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.

  1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
    $\quad$
  3. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B contienne de l’eau très peu calcaire est $0,1$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On veut calculer $P(6,4 \le X \le 9,6) \approx 0,683$.
    $\quad$
  2. On a $P(X \le 6,5) = 0,5 – P(6,5 \le X \le 8) \approx 0,159$
    $\quad$
  3. On veut que :
    $\begin{align*} P(Y \le 6,5) = 0,1 &\ssi P(Y – 9 \le -2,5)  = 0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-9}{\sigma}\le -\dfrac{2,5}{\sigma}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve que  $P(Y’\le a)=0,1$ pour $a\approx -1,282$
    Par conséquent $-\dfrac{2,5}{\sigma} \approx -1,282 \ssi \sigma \approx \dfrac{2,5}{1,282} \ssi \sigma \approx 1,95$.
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 8 $\qquad$ d’après Nouvelle-Calédonie mars 2016

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.
On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

  1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,06$.
    On note $C$ l’événement “la médaille est conforme”.
    Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d’espérance $\mu = 10$ et d’écart-type $\sigma$.
    $\quad$
  3. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y – 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
    $\quad$
  4. Sachant que cette machine produit $6\%$ de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
    Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
    Donc :
    $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
    &\ssi P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
    &\ssi P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
    \end{align*}$
    A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
    $\quad$

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Bac Blanc TS 2016

Exercice 1 $\qquad$ 4 points

Une librairie vend des cahiers qui proviennent de trois fournisseurs différents : $35\%$ des cahiers proviennent du fournisseur F$_{1}$, $25\%$ du fournisseur F$_{2}$ et le reste du fournisseur F$_{3}$. Chaque fournisseur livre deux types de cahiers : des cahiers à petits carreaux et des cahiers à grands carreaux.

La livraison du fournisseur F$_{1}$ comporte $80\%$ de cahiers à grands carreaux alors que celle du fournisseur F$_{2}$ n’en comporte que $50\%$ et celle du fournisseur F$_{3}$ seulement $30\%$.

  1. Le gérant de la librairie choisit un cahier au hasard dans son stock.
    On envisage les événements suivants :
    • $F_{1}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{1}$”,
    • $F_{2}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{2}$”,
    • $F_{3}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{3}$”,
    • $P$ : “le cahier est à petits carreaux”,
    • $G$ : “le cahier est à grands carreaux”.
    $\quad$
    a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le cahier choisi soit un cahier à grands carreaux acheté chez le fournisseur F$_{3}$.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité de l’événement $G$ est égale à $0,525$.
    $\quad$
    d. Le cahier choisi est à grands carreaux.
    Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez le fournisseur F$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un échantillon de $10$~cahiers dans le stock de cette librairie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ cahiers dans le stock.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de cahiers à grands carreaux de l’échantillon choisi.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement $5$~cahiers à grands carreaux?
    On arrondira à $10^{-3}$.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux cahiers à petits carreaux ?
    On arrondira à $10^{-3}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. L’arbre pondéré correspondant à la situation est :
    Bac blanc - BB2016 - ex1cor$\quad$
    b. On veut calculer $p\left(F_3 \cap G\right) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*}
    p(G)&=p\left(F_1\cap G\right)+p\left(F_2\cap G\right)+p\left(F_3\cap G\right) \\
    &=0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,12 \\
    &=0,525
    \end{align*}$$
    $\quad$
    d. On veut calculer $p_G\left(F_1\right) = \dfrac{p\left(F_1\cap G\right)}{p(G)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533$.
    $\quad$
  2. a. Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
    De plus, à chaque tirage il y a deux issues : $G$ et $\overline{G}$ avec $p(G)=0,525$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.
    $\quad$
    b. $P(X=5) = \displaystyle \binom{10}{5}\times 0,525^5 \times (1-0,525)^5\approx 0,243$.
    $\quad$
    c. $P(X \le 8) = 1-P(X\ge 9) = 1-\left(P(X=9)+P(X=10)\right)$
    $\phantom{P(X \ge 2)} =1-\left(\displaystyle \binom{10}{9}\times 0,525^9 \times (1-0,525)^{1}+ 0,525^{10} \right)$
    $\phantom{P(X \ge 2)} \approx 0,984$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 $\qquad$ 6 points

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par: $$g(x) = 2x^3 – 1 + 2\ln x$$

  1. Déterminer le tableau de variations de la fonction $g$ .
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.
    Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par: $$f(x) = 2x – \frac{\ln x}{x^2}$$

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d’un repère orthogonal $\Oij$, notée $\mathscr{C}_f$, est donnée en annexe.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. On remarquera que $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Montrer que $f(\alpha) = 3\alpha – \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
    $\quad$

Partie C

On appelle $(\Delta)$ la droite d’équation $y=2x$.

  1. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $(\Delta)$.
    $\quad$
  2. Tracer $(\Delta)$.
    $\quad$
  3. Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une seule tangente $(T)$ parallèle à $(\Delta)$, en un point $E$ dont on précisera les coordonnées.
    Déterminer une équation de $(T)$.
    $\quad$
  4. On appelle $d$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $$d(x)=2x-f(x).$$
    Déterminer la limite de $d$ en $+\infty$.
    Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
    $\quad$
  5. Pour $x>1$, on appelle $M$ le point de $\mathscr{C}_f$ d’abscisse $x$ et $M’$ celui de $(\Delta)$ d’abscisse $x$.
    A partir de quelle valeur de $x$, arrondie au dixième par excès, la distance $MM’$ est-elle inférieure à $0,01$?

$\quad$

Annexe

Bac blanc - BB2016 - ex2

$\quad$

Correction Exercice 2

Partie A

  1. $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $g'(x)=2\times 3x^2+\dfrac{2}{x}$.
    Sur $]0;+\infty[$, $3x^2 > 0$ et $\dfrac{2}{x}>0$.
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
    Bac blanc - BB2016 - ex2cor1
    $\lim\limits_{x \to 0^+} 2x^3-1 = -1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x^3-1 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est continue, car dérivable, et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    De plus $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $0$ appartient bien à l’intervalle image de $]0;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$.
    D’après le menu table de la calculatrice, on a $0,8 < \alpha < 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty$ et s’annule en $\alpha$. Par conséquent :
    • $g(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    • $g(\alpha)=0$;
    • $g(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{x \to 0^+} 2x=0$
    $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x^2}=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x=+\infty$
    $\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $f'(x)=2-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2 – 2x\ln x}{x^4} = 2 – \dfrac{x-2x\ln x}{x^3}$
    $\phantom{f'(x)}=2-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=\dfrac{2x^3-1+2 \ln x}{x^3} = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
    $\quad$
    b. Sur $]0;+\infty[$, $x^3 > 0$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.3 on a :
    Bac blanc - BB2016 - ex2cor2
    c. On sait que $g(\alpha)=0 \ssi 2\alpha^3-1+2\ln \alpha = 0 \ssi \ln \alpha=\dfrac{1-2\alpha^3}{2}$
    $f(\alpha)=2\alpha-\dfrac{\ln \alpha}{\alpha^2} = 2\alpha -\dfrac{1-2\alpha^3}{2\alpha^2}=2\alpha-\dfrac{1}{2\alpha^2}+\alpha=3\alpha-\dfrac{1}{2\alpha^2}$

Partie C

  1. $f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$
    Le signe de $f(x)-2x$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    Par conséquent $\begin{cases} f(x)-2x \ge 0 \text{ sur } ]0;1] \\f(x)-2x \le 0 \text{ sur } [1;+\infty[\end{cases}$
    Ainsi $\mathscr{C}$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $]0;1]$ et au-dessous sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    Bac blanc - BB2016 - ex2cor3$\quad$
  3. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
    On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
    $$\begin{align*}
    f'(x)=2 &\ssi 2-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=2 \\
    &\ssi \dfrac{2\ln x-1}{x^3} = 0 \\
    &\ssi 2\ln x-1=0 \\
    &\ssi \ln x = \dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x=\e^{\frac{1}{2}}
    \end{align*}$$
    Il existe donc une seule tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(\Delta)$.
    $f\left(\e^{\frac{1}{2}}\right) = 2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}$.
    Ainsi $E$ a pour coordonnées $\left(\e^{\frac{1}{2}};2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}\right)$.
    Une équation de $(T)$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
    Donc, ici, $(T) : y=2\left(x-\e^{\frac{1}{2}}\right)+2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}$
    Soit $y=2x-\dfrac{1}{2\e}$.
    $\quad$
  4. $d(x)=2x-f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$.
    On a vu que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} =0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} d(x)=0$.
    Pour de très grandes valeurs de $x$ $(\Delta)$ et $\mathscr{C}_f$ sont très proches l’une de l’autre.
    Remarque : On dit que la droite $(\Delta)$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  5. On a $MM’=d(x)$.
    On cherche donc la valeur de $x$ telle que $\dfrac{\ln x}{x^2} < 0,01$.
    $d(16,7) \approx 0,010~095$ et $d(16,8) \approx 0,009~997$.
    C’est donc à partir de $x=16,8$ que $MM'<0,01$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 $\qquad$ 5 points

 Partie A : Restitution organisée de connaissances

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n} = \overline{z}^n$.

$\quad$

Partie B

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise ne compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.

  1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation d’inconnue $z$ : $$z^2 -\overline{z} -1=0 \qquad (E)$$
    Affirmation 1 : L’équation $(E)$ admet au moins une solution.
    $\quad$
  2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, les points $A,B$ et $C$ d’affixes respectives $a=1+\ic$, $b=3\ic$ et $c=\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\right)$.
    Affirmation 2 : Le triangle $ABC$ est équilatéral.
    $\quad$
  3. $(D)$ est l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que $|z-1|=|z+2|$.
    Affirmation 3 : $(D)$ est une droite parallèle à l’axe des réels.
    $\quad$
  4. Les points $B$, $C$ et $D$ ont pour affixes respectives $b=\ic$, $c=-1$ et $d=-\ic$.
    $(F)$ est l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que $\dfrac{z+\ic}{z+1}$ soit un imaginaire pur .
    Affirmation 4 : $(F)$ est le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A

Démontrons ce résultat par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}=\overline{z}^n$.
Initialisation : Si $n= 0$ alors $\overline{z^n} = \overline{1} = \overline{z}^n$
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\overline{z^n} = \overline{z}^n$
$\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n \times z} = \overline{z^n} \times \overline{z} = \overline{z}^n \times \overline{z} = \overline{z}^{n+1}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$, on a $\overline{z^n} = \overline{z}^n$.

Partie B

  1. On pose $z=x+\ic y$
    Alors :
    $$\begin{align*}
    z^2-\overline{z}-1=0&\ssi (x+\ic y)^2-(x-\ic y)-1 = 0\\
    &\ssi x^2-y^2+2\ic xy-x+\ic y-1 =0 \\
    &\ssi x^2-y^2-x-1+\ic y(2x+1)=0
    \end{align*}$$
    Prenons $y=0$ ce qui permet d’annuler la partie imaginaire de cette équation.
    Pour annuler la partie réelle, il faut alors que $x^2-x-1=0$.
    $\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-1) =5>0$
    $x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ sont donc solution de $x^2-x-1$ mais également de $z^2-\overline{z}-1=0$.
    Affirmation 1 : Vraie.
    Remarque : $x_1$ et $x_2$ ne sont pas les seules solutions de cette équation.
    $\quad$
  2. $AB=|b-a|=|2\ic -1|=\sqrt{5}$
    $AC=|c-a|=\left|\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\right| $ $=\sqrt{3-\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}+1+\sqrt{3} }= \sqrt{5}$
    $BC=|c-b|=\left|\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\right| $ $= \sqrt{3+\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}+1-\sqrt{3}}=\sqrt{5}$
    Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
    Affirmation 2 : Vraie.
    $\quad$
  3. On appelle $A$ le point d’affixe $1$ et $B$ le point d’affixe $-2$.
    $|z-1|=|z+2| \ssi \left|z-z_A\right| = \left|z-z_B\right| \ssi AM=BM$.
    $(D)$ est donc la médiatrice de $[AB]$.
    $A$ et $B$ sont deux points de l’axe des réels. La médiatrice de $[AB]$ est donc perpendiculaire à l’axe des réels.
    Affirmation 3 : Fausse.
    $\quad$
  4. On pose $z=x+\ic y$.
    $$\begin{align*}
    \dfrac{z+\ic}{z+1} &=\dfrac{x+\ic y+\ic}{x+\ic y+1} \\\\
    &=\dfrac{x+\ic(y+1)}{(x+1)+\ic y} \times \dfrac{(x+1)-\ic y}{(x+1) -\ic y} \\\\
    &=\dfrac{x(x+1)+y(y+1)+\ic \left((x+1)y-xy\right)}{(x+1)^2+y^2}
    \end{align*}$$
    $\dfrac{z+\ic}{z+1}$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\dfrac{x(x+1)+y(y+1)}{(x+1)^2+y^2}=0$
    $\ssi x^2+x+y^2+y=0$ et $(x,y)\neq (-1;0)$
    $\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = 0$ et $(x,y) \neq (-1;0)$
    $\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ et $(x,y) \neq (-1;0)$
    $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ est l’équation du cercle de centre $I\left(\dfrac{-1-\ic}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Le milieu de $[CD]$ a pour affixe $\dfrac{-1-\ic}{2}=z_I$ et $CD=|\ic-1|=\sqrt{2} = 2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc $[CD]$ est un diamètre du cercle précédent.
    Le point tel que $(x,y) \neq (-1;0)$ est le point $C$.
    Affirmation 4 : Vraie.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite numérique $\left(a_{n}\right)$ définie par
$$\left\{\begin{array}{rcl}a_0&=&2 \\ \text{et pour tout entier naturel } n, a_{n+1}&=&\dfrac{1}{5} a_n +3\times 0,5^n.\end{array}\right.$$

  1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(a_{n}\right)$ en utilisant des arrondis à $10^{-2}$ près: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
    n& 0&1&2&3&4\\ \hline
    a_{n}&\phantom{1}2\phantom{1}&\phantom{111}&\phantom{111}&\phantom{111}&\phantom{111}\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. A l’aide ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$a_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.$$
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_{n+1} – a_{n} =-\dfrac{4}{5}\left(a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n\right)$.
    $\quad$
    c. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$ puis justifier qu’elle est convergente.
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer, dans cette question, la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    Soit $\left(b_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $b_{n} = a_{n} – 10 \times 0,5^n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(b_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire, que pour tout entier naturel $n$, $$a_{n} = – 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$
    $\quad$
  4. Recopier et compléter les lignes numérotées de l’algorithme suivant afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $a_{n} \leqslant 0,01$.
    $\quad$
    Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $2$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $\ldots (1)$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots (2)$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $\ldots (3)$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
Correction Exercice 4 (obligatoire)

  1. a. 
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0&1&2&3&4\\ \hline
    a_{n}&2&3,4&2,18&1,19&0,61\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(a_n\right)$ soit décroissante à partir du rang $1$.
    $\quad$
  2. a.
    Initialisation : Si $n=1$
    $a_1= 3,4$ et $\dfrac{15}{4}\times 0,5^1=1,875$ donc $a_1 \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
    $$\begin{align*}
    a_{n+1} &= \dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n \\
    &\geqslant \dfrac{1}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3\times 0,5^n \\
    &\geqslant \left(\dfrac{3}{4}+3\right) \times 0,5^n \\
    &\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \\
    &\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^{n+1} \quad \text{car } 0,5^n \geqslant 0,5^{n+1}
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
    $\quad$
    b.
    $$\begin{align*}
    a_{n+1}-a_n &= \dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n-a_n \\
    &=-\dfrac{4}{5}a_n+3\times 0,5^n \\
    &=-\dfrac{4}{5}a_n+\dfrac{-4}{5}\times 3\times \dfrac{-5}{4}\times 0,5^n \\
    &=-\dfrac{4}{5} \left(a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n\right)
    \end{align*}$$
    c. D’après la question \textbf{2.a} on sait que $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
    Donc $a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n \ge 0$.
    Par conséquent $a_{n+1}-a_n \leqslant 0$.
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc décroissante à partir du rang $1$.
    $\quad$
    On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
    Par conséquent, $a_n \geqslant 0$, pour tout entier naturel $n$.
    La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{align*}
    b_{n+1} &= a_{n+1}-10\times 0,5^{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n-5\times 0,5^n \\
    &=\dfrac{1}{5}a_n-2\times 0,5^n \\
    &=\dfrac{1}{5} \left(a_n-10\times 0,5^n\right) \\
    &=\dfrac{1}{5} b_n
    \end{align*}$$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $b_0=2-10=-8$.
    $\quad$
    b. Ainsi $b_n=-8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
    Par conséquent $a_n=b_n+10\times 0,5^n = -8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n$.
    $\quad$
    c. $0 < \dfrac{1}{5} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n = 0$.
    $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0$.
    $\quad$
  4. Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $2$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $a>0,01$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $-8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    ou
    $\quad$
    Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $2$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $a>0,01$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{5}a+3\times 0,5^{n-1}$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

 

Un câbleur de connexions en fibres optiques A souhaite prévoir l’évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les câbleurs A et B ont chacun $300$ milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, du câbleur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, du câbleur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} =0,7a_n+0,2b_n+60\\b_{n+1}=0,1a_n+0,6b_n+70\end{cases}$.
On considère les matrices $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,2 \\0,1&0,6\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix} 60\\70\end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n =\begin{pmatrix} a_n \\ b_n\end{pmatrix}$.

On rappelle que si $M$ est une matrice, on dit qu’elle est inversible s’il existe une matrice, notée $M^{-1}$ telle que $M^{-1} \times M =I$ où $I$ est la matrice identité : $\begin{pmatrix} 1&0 \\0&1\end{pmatrix}$. On admettra qu’alors, on a aussi $ M \times M^{-1} =I$

  1. a. Déterminer $U_1$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times (I – M)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la matrice $I – M$ est inversible et préciser son inverse.
    $\quad$
    c. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n – U$.
    a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $$V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\
    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$$
    a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite\index{suite} $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre d’abonnés du câbleur A à long terme.
    $\quad$
Correction Exercice 4 (spécialité)

 

  1. a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
    et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
    Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\\\280 \end{pmatrix}$.
    $~$
    b. $~$
    $$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\\\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\\\70 \end{pmatrix} \\\\
    &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\\\
    &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\\\
    &=U_{n+1}
    \end{align}$$
  2. a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\\\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
    Donc $ \begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix} \times (I-M) = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix} = I$.
    $~$
    b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix}$.
    $~$
    c. On veut que :
    $$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\\\
    & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\\\
    &\Leftrightarrow U = (I – M)^{-1} \times P \\\\
    & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\\\270 \end{pmatrix}
    \end{align}$$
  3. a. $~$
    $$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\\\
    & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\\\
    &= M \times U_n – M \times U \\\\
    &= M \times (U_n – U) \\\\
    &= M \times V_n
    \end{align}$$
    b. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $~$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
    Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $~$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
    $~$
  4. a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
    Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
    et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$.
    $~$
    b. A long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.

 

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TS – Exercices – Nombres complexes 4

Exercice 1

On considère le polynôme $P(z)=z^4-2z^3-2z-1$.

  1. Calculer $P(\ic)$ et $P(-\ic)$.
    $\quad$
  2. En déduire que $P(z)=\left(z^2+1\right)\left(az^2+bz+c\right)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qu’on déterminera.
    $\quad$
  3. En déduire la résolution de l’équation $P(z)=0$ dans $\C$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(\ic) = \ic^4-2\ic^3-2\ic -1 = 1 +2\ic-2\ic-1 = 0$.
    $P(-\ic)=(-\ic)^4-2(-\ic)^3-2(-\ic)-1 = 1-2\ic+2\ic-1=0$.
    $\quad$
  2. Il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
    $$P(z)=(z-\ic)(z+\ic)\left(az^2+bz+c\right)$$
    Soit
    $$\begin{align*}
    P(z) &= \left(z^2+1\right)\left(az^2+bz+c\right)\\
    &=az^4+bz^3+cz^2+az^2+bz+c \\
    &=az^4+bz^3+(a+c)z^2+bz+c
    \end{align*}$$
    On identifie avec le polynôme initial. On trouve alors :
    $$\begin{cases} a=1 \\b=-2\\a+c=0\\b=-2\\c=-1 \end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$$
    Par conséquent $P(z)=\left(z^2+1\right)\left(z^2-2z-1\right)$.
    $\quad$
  3. Résolvons l’équation $z^2-2z-1=0$.
    $\Delta = (-2)^2-4\times 1 \times (-1) = 8 >0$
    Il y a donc deux racines réelles $z_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $z_2=1+\sqrt{2}$.
    Ainsi
    $$\begin{align*}
    P(z)=0 &\ssi \left(z^2+1\right)\left(z^2-2z-1\right) = 0 \\
    &\ssi z^2+1=0 \text{ ou } z^2-2z-1=0 \\
    &\ssi z \in \left\{\ic,-\ic,1-\sqrt{8},1+\sqrt{8}\right\}
    \end{align*}$$
    Les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont donc $\ic,-\ic, 1-\sqrt{8},1+\sqrt{8}$.
    $z_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}$ et $z_2=1+\sqrt{2}$.

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Exercice 2

Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $\dfrac{z+1}{z-\ic}$ soit

  1. un imaginaire pur
    $\quad$
  2. un réel
    $\quad$
Correction Exercice 2

On note $z=x+\ic y$. Pour tout complexe $z\neq \ic$ on a :

$$\begin{align*}
\dfrac{z+1}{z-\ic} &= \dfrac{x+\ic y +1}{x+\ic y – \ic}\\
&= \dfrac{x+1+\ic y}{x + \ic(y-1) } \\
&= \dfrac{x+1+\ic y}{x + \ic (y-1)} \times \dfrac{x – \ic(y-1)}{x – \ic(y-1)} \\
&=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)+\ic\left(yx-(x+1)(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2} \\
&=\dfrac{x^2+x+y^2-y+\ic (yx-xy+x-y+1)}{x^2+(y-1)^2} \\
&=\dfrac{x^2+x+y^2-y+\ic (x-y+1)}{x^2+(y-1)^2}
\end{align*}$$

  1. $\quad$
    $$\begin{align*}\dfrac{z+1}{z-\ic} \text{ est un imaginaire pur} &\ssi \dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}=0\\
    &\ssi x^2+x+y^2-y=0 \text{ et } x^2+(y-1)^2\neq 0 \\
    &\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = 0 \text{ et } (x;y)\neq(0;1) \\
    &\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2= \dfrac{1}{2} \text{ et } (x;y)\neq(0;1) \\
    \end{align*}$$
    Donc l’ensemble des points cherché est le cercle de centre $A\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ privé du point d’affixe $\ic$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \dfrac{z+1}{z-\ic} \text{ est un réel} &\ssi \dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=0 \\
    &\ssi x-y+1=0 \text{ et } (x;y)\neq (0;1)
    \end{align*}$$
    Donc l’ensemble des points cherché est la droite d’équation $x-y+1=0$ privée du point d’affixe $\ic$.
    $\quad$

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Exercice 3

 

Les deux questions sont indépendantes

  1. Déterminer et représenter l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right| = |z-1|$.
    $\quad$
  2. Déterminer et représenter l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z|=2|z-\ic|$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On cherche donc l’ensemble des points qui vérifient à la fois $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right|$ et $|z|=|z-1|$.
    $$|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right| \ssi |z|^2=|2+\ic| \ssi |z|^2=\sqrt{5} \ssi |z|=\sqrt{\sqrt{5}}$$
    L’ensemble des points vérifiant $|z|=\left|\dfrac{2+\ic}{z}\right|$ est le cercle de centre $O$, l’origine du repère, et de rayon $\sqrt{\sqrt{5}}$.
    Si on appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ le point d’affixe $1$ alors $|z|=|z-1| \ssi OM=AM$.
    L’ensemble des points vérifiant $|z|=|z-1|$ est donc la médiatrice du segment $[0A]$.
    L’ensemble des points cherché est donc l’intersection du cercle et de la droite, c’est-à-dire les points $B$ et $C$.
    ts-exercices-complexes4-ex3.1
  2. On note $z=x+\ic y$.
    $$\begin{align*}
    |z|=2|z-\ic\| &\ssi |z|^2=4|z-\ic|^2 \\
    &\ssi x^2+y^2=4\left|x+\ic y – \ic\right|^2 \\
    &\ssi x^2+y^2=4\left(x^2+(y-1)^2\right) \\
    &\ssi x^2+y^2=4(x^2+y^2-2y+1) \\
    &\ssi 0=3x^2+3y^2-8y+4 \\
    &\ssi x^2+y^2-\dfrac{8}{3}y+\dfrac{4}{3}=0 \\
    &\ssi x^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{3} =0\\
    &\ssi x^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}
    \end{align*}$$
    L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre le point $A$ d’affixe $\dfrac{4}{3}\ic$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$.ts-exercices-complexes4-ex3.2

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Exercice 4

Pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, montrer que :

$$\dfrac{z^2}{z+1}\in \R \ssi z=\overline{z} \text{ ou } \overline{z}z+z+\overline{z}=0.$$

Correction Exercice 4

On note $z=x+\ic y$.

$$\begin{align*}
\dfrac{z^2}{z+1} &=\dfrac{(x^+\ic y)^2}{x+\ic y+1} \\
&=\dfrac{x^2-y^2+2\ic xy}{(x+1)+\ic y} \times \dfrac{(x+1)-\ic y}{(x+1)-\ic y} \\
&=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)(x+1)+2xy^2-\left(x^2-y^2\right)\ic y + 2\ic xy(x+1)}{(x+1)+y^2} \\
&=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)(x+1)+2xy^2+\ic \left(-\left(x^2-y^2\right)y + 2 xy(x+1)\right)}{(x+1)^2+y^2}
\end{align*}$$

 

Or

$$\begin{align*} \dfrac{z^2}{z+1}\in \R &\ssi \Im\text{m}\left(\dfrac{z^2}{z+1}\right) = 0\\
& \ssi \dfrac{-\left(x^2-y^2\right)y + 2 xy(x+1)}{(x+1)^2+y^2} =0 \\
& \ssi y\left(-\left(x^2-y^2\right) + 2 x(x+1)\right) = 0 \text{ et } (x+1)^2+y^2\neq =0 \\
& \ssi y\left(-x^2+y^2+2x^2+2x\right)=0 \text{ et } (x;y)\neq (-1;0) \\
& \ssi y\left(x^2+y^2+2x\right)=0 \text{ et } (x;y) \neq (-1;0) \\
& \ssi \left(y=0 \text{ ou } x^2+y^2+2x=0\right) \text {et } (x;y) \neq (-1;0)
\end{align*}$$

Mais $y=0 \ssi z=\overline{z}$ et $\overline{z}z+z+\overline{z} = x^2+y^2+x+\ic y + x-\ic y = x^2+y^2+2x$.

Par conséquent, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$ :
$$\dfrac{z^2}{z+1}\in \R \ssi z=\overline{z} \text{ ou } \overline{z}z+z+\overline{z}=0.$$

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TS – Devoir synthèse 2 – 1er trimestre

Exercice 1

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-x\e^x+1$.

  1. Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Prouver que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. En déduire le signe de la fonction $g$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x+1}{\e^x+1}$.

On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\Oij$ (unité : $1$ cm).

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  3. a. Calculer l’expression de la fonction dérivée de $f$ et prouver que, pour tout réel $x$ de $\R$, $f'(x)$ et $g(x)$ sont de même signe.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Donner une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. Tracer $\mathscr{T}$, les éventuelles asymptotes et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\Oij $ sur l’annexe.
    $\quad$

Annexe

TS - DS - 3h - ex1.0

 

Correction Exercice 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x=0$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=1$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^x=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $g'(x)=-\e^x-x\e^x = -\e^x(1+x)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive, par conséquent, pour tout réel $x$, on a $-\e^x<0$.
    Étudions maintenant le signe de $x+1$ : $x+1=0 \ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    TS - DS - 3h - ex1$\quad$
  3. Sur l’intervalle $]-\infty;-1]$, on a $g(x) \ge 1$.
    Par conséquent l’équation $g(x)=0$ ne possède pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[-1;+\infty[$.
    $f(-1)=\e^{-1}+1 > 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    Par conséquent $0$ appartient à l’intervalle image de $[-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
    Donc l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    D’après la calculatrice on a $0,56 < \alpha < 0,57$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations on a :
    TS - DS - 3h - ex1.1$\quad$

Partie B

  1. La fonction exponentielle étant strictement positive, l’expression $\e^x+1$ ne s’annule jamais.
    Par conséquent l’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f=\R$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty \\\\ \lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0 \text{ donc } \lim\limits_{x \to -\infty} e^x+1=1 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    Transformons l’expression de $f(x)$ pour ne plus avoir de forme indéterminée en $+\infty$.
    $f(x)=\dfrac{\e^{-x}(x+1)}{\e^{-x}\left(\e^x+1\right)} = \dfrac{x\e^{-x}+\e^{-x}}{1+\e^{-x}} = \dfrac{-(-x)\e^{-x}+\e^{-x}}{1+\e^{-x}}$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^{-x} =0$
    $\quad$
    et
    $\quad$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} e^X=0 \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x} =0$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} -(-x)\e^{-x}+\e{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. a. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
    $$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x+1-(x+1)\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\\\
    &=\dfrac{1-x\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\\\
    &=\dfrac{g(x)}{\left(\e^x+1\right)^2}
    \end{align*}$$
    Le dénominateur est strictement positif, par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
    $\quad$
    b. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    TS - DS - 3h - ex1.2$\quad$
  4. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}$
    Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    TS - DS - 3h - ex1.3

 

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Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par :

$$u_0=1 \text{ et pour tout } n\in \N, u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2$$

  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4, u_n \geqslant 0$.
    $\quad$
    b. On admet que, pour tout entier naturel $n \geqslant 5, u_n \geqslant n-3$.
    En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ par : pour tout $n\in \N, v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que : pour tout $n\in \N, u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
    c. Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
    $$S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k = u_0+u_1+\ldots+u_n$$
    Déterminer l’expression de $S_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $u_1=\dfrac{1}{3} \times 1 + 0 – 2 = – \dfrac{5}{3}$
    $u_2=\dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{5}{3}\right) + 1 -2 =-\dfrac{14}{9}$
    $u_3=\dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{14}{9}\right) + 2 -2=-\dfrac{14}{27}$
    $\quad$
  2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout $n\geqslant 4$ on a $u_n \geqslant 0$.
    Initialisation : Si $n=4$ $u_4 = \dfrac{1}{3} \left(-\dfrac{14}{27}\right)+3-2 = \dfrac{67}{81} \geqslant 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $4$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 0$.
    $$\begin{align*}
    u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n+n-2 \\
    &\geqslant n-2 \\
    &\geqslant 0 \quad \left(\text{ car } n\geqslant 4\right)
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $4$ et est héréditaire.
    Par conséquent pour tout $n\geqslant 4$ on a $u_n \geqslant 0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\geqslant 5$, $u_n \ge n-3$.
    $\lim\limits_{n \to +\infty} n-3 =+\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_{n+1}&= -2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2} \\
    &=-\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2} \\
    &=-\dfrac{2}{3}u_n+n-\dfrac{7}{2} \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}v_n
    \end{align*}$$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=-\dfrac{25}{2}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent $v_n=-\dfrac{25}{2} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ pour tout entier naturel $n$.
    Or :
    $$\begin{align*}
    v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2} &\ssi 2u_n=-v_n+3n-\dfrac{21}{2}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{1}{2}\left(-v_n+3n-\dfrac{21}{2}\right) \\
    &\ssi u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c. On a par conséquent :
    $$\begin{align*}
    S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n \\
    &=\dfrac{25}{4} \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^0+\left(\dfrac{1}{3}\right)^1+\ldots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)+\dfrac{3}{2}(0+1+\ldots+n)-\dfrac{21}{4}(n+1)\\
    &=\dfrac{25}{4}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{21}{4}(n+1)\\
    &=\dfrac{75}{8}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3n(n+1)}{4}-\dfrac{21}{4}(n+1)
    \end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire. Démontrer que, si $A$ et $B$ sont indépendants pour une probabilité $P$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également.
$\quad$

Partie B

Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

  • “À quel niveau est votre bureau ?”
  • “Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ?”

Voici les réponses :

  • $225$ personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, $50$ vont au $1^{\text{er}}$ niveau, $75$ vont au $2^{\text{e}}$  niveau et $100$ vont au $3^{\text{e}}$  niveau.
  • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au $2^{\text{e}}$  niveau, les autres vont au $1^{\text{er}}$  niveau.

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les événements suivants :

  • N$_{1}$ : “La personne va au premier niveau.”
  • N$_{2}$ : “La personne va au deuxième niveau.”
  • N$_{3}$ : “La personne va au troisième niveau.”
  • E : “La personne emprunte l’escalier.”
  1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au $2^{\text{e}}$ niveau par l’escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. Montrer que les événements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
  3. On interroge désormais $20$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux $20$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au $2^{\text{e}}$ niveau.
    a. Justifier le fait que $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que $5$ personnes exactement aillent au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
    c. En moyenne sur les $20$ personnes, combien vont au $2^{\text{e}}$ niveau?
    $\quad$
    d. Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
    Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l’événement “au moins un personne va au $2^{\text{e}}$ niveau” soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A : ROC

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants par conséquent $p(A \cap B)=p(A)p(B)$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
p(B)=p(B\cap A)+p\left(B \cap \overline{A}\right) &\ssi p(B)=p(A)p(B)+p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
&\ssi p(B)-p(A)p(B)=p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
& \ssi p(B)\left(1-p(A)\right)=p\left(B \cap \overline{A}\right) \\
&\ssi p(B)p\left(\overline{A}\right)=p\left(B \cap \overline{A}\right)
\end{align*}$$

Les événement $\overline{A}$ et $B$ sont donc indépendants.

$\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    TS - DS - 3h - ex3$\quad$
  2. a. On veut calculer $p\left(E\cap N_2\right) = 0,25 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p\left(N_1\right) &=p\left(E \cap N_1\right)+p\left(\overline{E} \cap N_2\right)\\
    &=0,25\times \dfrac{2}{3}+0,75\times \dfrac{50}{225}\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$$
    D’après l’arbre pondéré on a $p(N_3)=0,75\times \dfrac{100}{225}=\dfrac{1}{3}$
    Puisque $p\left(N_1\right)+p\left(N_2\right)+p\left(N_3\right)=1$ alors $p\left(N_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    Les événements $N_1$, $N_2$ et $N_3$ sont donc équiprobables.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $$\begin{align*}
    p_{N2}(E)&=\dfrac{p\left(N_2\cap E\right)}{p\left(N_2\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{1}{4}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. a. Il y a $20$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. A chaque tirage, il n’y a que deux issues : $N_2$ et $\overline{N_2}$ et $p\left(N_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=5)=\displaystyle \binom{20}{5}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{15} \approx 0,1457$
    $\quad$
    c. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=\dfrac{20}{3}\approx 6,6667$.
    Par conséquent environ $6,6667$ personnes vont au $2^{\text{e}}$ niveau.
    $\quad$
    d. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, aux $n$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au $2^{\text{e}}$ niveau.
    Pour les mêmes raison qu’à la question 3.a. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
    On veut trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,99$.
    $$\begin{align*}
    p(Y \geqslant 1) \geqslant 0,99 &\ssi 1-P(Y=0) \geqslant 0,99 \\
    &\ssi 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \geqslant 0,99 \\
    &\ssi \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \leqslant 0,01
    \end{align*}$$
    A l’aide de la calculatrice on trouve $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{11} \approx 0,0116$ et $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12} \approx 0,0077$.
    La plus petite valeur de $n$ est donc $12$.

[collapse]

$\quad$

TS – Exercices corrigés – dérivation

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, justifier brièvement pourquoi la fonction $f$ est dérivable, calculer $f'(x)$ et fournir l’ensemble de dérivabilité de $f$, $D_{f’}$.

  1. $f(x)=\dfrac{3x^2-5}{2x+3}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\left(2-3x^2\right)\sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\sin(1-2x)$
    $\quad$
  4. $f(x)=\sqrt{2x^2+3x+4}$
    $\quad$
  5. $f(x)=\left(6x^2+3x+7\right)^3$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5x-3}}$
    $\quad$
  7. $f(x)=\dfrac{1}{2x^2-1}$
    $\quad$
  8. $f(x)=\dfrac{1-\sin x}{3+\cos x}$
    $\quad$
  9. $f(x)=\cos^5 x$
    $\quad$
  10. $f(x)=\sqrt{\dfrac{3x}{2-x}}$
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. $f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[$ et sur $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ces intervalles dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6x(2x+3)-2\left(3x^2-5\right)}{(2x+3)^2} \\\\
    &=\dfrac{12x^2+18x-6x^2+10}{(2x+3)^2} \\\\
    &=\dfrac{6x^2+18x+10}{(2x+3)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=-6x\sqrt{x}+\dfrac{2-3x^2}{2\sqrt{x}} \\\\
    &=\dfrac{-12x^2+2-3x^2}{2\sqrt{x}}\\\\
    &=\dfrac{-15x^2+2}{2\sqrt{x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=-2\cos(1-2x)$
    $\quad$
  4. Étudions tout d’abord le signe de $2x^2+3x+4$. $\Delta = 3^2-4\times 4\times 2 = -23<0$
    Par conséquent $2x^2+3x+4 >0$ pour tout réel $x$.
    Ainsi $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $f'(x)=\dfrac{4x+3}{2\sqrt{2x^2+3x+4}}$
    $\quad$
  5. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=3(12x+3)\left(6x^2+3x+7\right)^2$
    $\quad$
  6. $f$ est dérivable sur $\left]\dfrac{3}{5};+\infty\right[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{\dfrac{5}{2\sqrt{5x-3}}}{5x-3} \\\\
    &=-\dfrac{5}{2(5x-3)\sqrt{5x-3}}
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[$, $\left]-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $f'(x)=-\dfrac{4x}{\left(2x^2-1\right)^2}$
    $\quad$
  8. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\cos x(3+\cos x)+\sin x(1-\sin x)}{(3+\cos x)^2} \\\\
    &=\dfrac{-3\cos x-\cos^2 x+\sin x-\sin^2 x}{(3+\cos x)^2}\\\\
    &=\dfrac{-3\cos x+\sin x-1}{(3+\cos x)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=-5\sin x \left(\cos x\right)^4$
    $\quad$
  10. Il faut tout d’abord étudier le signe de $\dfrac{3x}{2-x}$.
    Cette expression est strictement positive sur $]0;2[$.
    Donc $f$ est dérivable sur $]0;2[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{\dfrac{3(2-x)+3x}{(2-x)^2}}{2\sqrt{\dfrac{3x}{2-x}}} \\\\
    &=\dfrac{6-3x+3x}{2(2-x)^2\sqrt{\dfrac{3x}{2-x}}} \\\\
    &=\dfrac{3}{(2-x)^2\sqrt{\dfrac{3x}{2-x}}}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 2

$f$ est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}$.

Démontrer rigoureusement que $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ et calculer, pour tout $x$ de $]1;+\infty[$, $f'(x)$.
$\quad$

Correction Exercice 2

La fonction $x\to \dfrac{x^3}{x-1}$ est strictement positive sur $]1;+\infty[$. Elle est également dérivable sur cet intervalle en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle.
La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$.

$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}}{2\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}} \\\\
&=\dfrac{2x^3-3x^2}{2(x-1)^2\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet principal $A$ est inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $1$. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. On note $\alpha$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{HOC}$. On suppose que $0\le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$.

TS-exos-dérivation (1)

  1. a. Exprimer $BC$ et $AH$ en fonction de $\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire, en fonction de $\alpha$ l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $f(\alpha)=\left(1+\cos \alpha\right)\sin \alpha$.
    Montrer que $f'(\alpha)=2\cos^2 \alpha + \cos \alpha – 1$.
    $\quad$
  3. a. Factoriser le polynôme $2X^2+X-1$ et en déduire une factorisation de $f'(\alpha)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$
  4. Démontrer qu’il existe une valeur de $\alpha$,que l’on déterminera, pour laquelle l’aire du triangle $ABC$ est maximale.
    Préciser ce maximum.
    Quelle est alors la nature du triangle $ABC$?
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. a. Dans le triangle $OHC$ on a $\sin \alpha = \dfrac{HC}{OC} = HC$.
    Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Par conséquent $H$ est le milieu de $[BC]$.
    Ainsi $BC=2\sin \alpha$
    $\quad$
    On a également $\cos \alpha =\dfrac{OH}{OC} = OH$
    Ainsi $AH=AO+OH=1+\cos \alpha$.
    $\quad$
    b. L’aire du triangle $ABC$ est donc :
    $\mathscr{A} = \dfrac{AH \times BC}{2} = \dfrac{2\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{2} = (1+\cos \alpha)\sin \alpha$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(\alpha)&=-\sin \alpha \sin \alpha + (1+\cos \alpha)\cos \alpha \\
    &=-\sin^2 \alpha +\cos \alpha + \cos^2 \alpha \\
    &=\cos^2 \alpha – 1 +\cos \alpha + \cos^2 \alpha \\
    &=2\cos^2 \alpha + \cos \alpha – 1
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\Delta = 1 – 4 \times 2 \times (-1) = 9$.
    Il y a donc deux racines : $X_1=\dfrac{-1-3}{4} = -1$ et $X_2=\dfrac{-1+3}{4} = \dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $2X^2+X-1=2(X+1)\left(X-\dfrac{1}{2}\right) = (X+1)(2X-1)$.
    $\quad$
    Par conséquent $f'(\alpha)=(\cos \alpha+1)(2\cos \alpha – 1)$
    $\quad$
    $\cos \alpha + 1 \ge 0$. Par conséquent le signe de $f'(\alpha)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos \alpha -1$.
    Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $2\cos \alpha -1 \ge 0 \ssi \cos \alpha \ge \dfrac{1}{2} \ssi \alpha \in \left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    ts-exos-dérivation-tabvar-ex3
  4. La fonction $f$ atteint donc son maximum en $\dfrac{\pi}{3}$.
    L’angle au centre $\widehat{BOC}$  mesure donc $\dfrac{2\pi}{3}$.
    L’angle inscrit $\widehat{BAC}$ intercepte le même arc. Par conséquent $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$.
    Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
    Son aire maximale est alors $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\Oij$.

  1. Quel est l’ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x\in \mathscr{D}_f$, $f(-x)f(x)=-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis en déduire celle de $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  4. Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $f$ est définie quand $x^2-1\ge 0$. Par conséquent $\mathscr{D}_f=]-\infty;-]\cap[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Soit $x\in\mathscr{D}_f$.
    $\begin{align*} f(-x)f(x)&=\left(-x+\sqrt{x^2-1}\right)\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \\
    &=x^2-1-x^2\\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-1 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    Puisque $f(-x)f(x)=-1$ pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, cela signifie que $f(x)\neq 0$.
    Ainsi $f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{f(x)}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;-1[$ et sur $]1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur ces intervalles.
    $\begin{align*} f'(x)&=1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} \\\\
    &=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} \\\\
    &=\dfrac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}  \quad (1)\\\\
    &=\dfrac{x^2-1-x^2}{\left(\sqrt{x^2-1}-x\right)\sqrt{x^2-1}} \quad (2) \\\\
    &=\dfrac{-1}{\left(\sqrt{x^2-1}-x\right)\sqrt{x^2-1}} \quad (3)
    \end{align*}$
    On obtient l’expression $(2)$ à l’aide de l’expression conjuguée.
    Si $x\in]-\infty;-1[$, en utilisant l’expression $(3)$, on obtient que $f(x)<0$.
    Si $x\in]1;+\infty[$, en utilisant l’expression $(1)$, on obtient que $f(x)>0$.
    Ce qui nous donne le tableau de variation suivant :
    ts-exos-dérivation-tabvar-ex4 (1)

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$\quad$

Exercice 5

Un crocodile traque une proie située $20$ mètres plus loin en amont sur la rive opposée d’une rivière.
Le crocodile avance sur terre et dans l’eau à une vitesse différente.
Le temps mis par le crocodile pour rejoindre sa proie peut être minimisée s’il nage jusqu’à un point particulier $P$ situé $x$ mètres en amont sur l’autre rive comme indiqué sur le schéma.

crocodile

Le temps $T$, exprimé en secondes, mis par le crocodile pour rejoindre sa proie est donné par : $$T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x)$$

  1. Calculer le temps mis par le crocodile pour rejoindre sa proie dans les deux cas suivants :
    a. son trajet ne se fait que dans l’eau.
    $\quad$
    b. le crocodile parcourt la distance la plus courte possible dans l’eau.
    $\quad$
  2. Entre ces deux situations extrêmes, il existe une une valeur de $x$ qui minimise le temps $T$.
    Déterminer cette valeur $x$ et ensuite calculer le temps minimal pour que le crocodile atteigne sa proie.
    $\quad$
Correction Exercice 5
  1. a. Il faut donc calculer $T(20) = 10\sqrt{109} \approx 104,4$ secondes.
    $\quad$
    b. On doit calculer $T(0) = 110$ secondes.
    $\quad$
  2. La fonction $T$ est dérivable sur $[0;20]$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} T'(x) &= \dfrac{5\times 2x}{2\sqrt{36+x^2}}-4 \\\\
    &=\dfrac{5x}{\sqrt{36+x^2}}-4\\\\
    &=\dfrac{5x-4\sqrt{36+x^2}}{\sqrt{36+x^2}} \\\\
    &=\dfrac{25x^2-16\left(36+x^2\right)}{\left(5+4\sqrt{36+x^2}\right)\sqrt{36+x^2}} \\\\
    &=\dfrac{9x^2-576}{\left(5+4\sqrt{36+x^2}\right)\sqrt{36+x^2}} \\\\
    &=\dfrac{(3x-24)(3x+24)}{\left(5+4\sqrt{36+x^2}\right)\sqrt{36+x^2}} \\\\
    \end{align*}$
    Sur $[0;20]$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $3x-24$ qui s’annule en $8$.
    $f'(x)<0$ sur $[0;8]$ et $f'(x)>0$ sur $[8;20]$.
    Ainsi la fonction $f$ atteint son minimum en $8$ et $T(8)=98$.
    Le crocodile mettra donc au moins $98$ secondes pour atteindre sa proie.

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$\quad$

Exercice 6

On désigne par $g$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $\begin{cases} g(0)=0 \\g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{cases}$ où $g’$ désigne la dérivée de la fonction $g$ sur $]-1;1[$; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $]-\pi;0[$ par $h(x)=g(\cos x)$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de $]-\pi;0[$, on a $h'(x)=1$ où $h’$ désigne la dérivée de $h$.
    $\quad$
  2. Calculer $h\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l’expression de $h(x)$.
    $\quad$
aide : Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $f$ une fonction définie et dérivable sur $J$ telle que $f(x) \in I$ pour tout $x \in J$.
La fonction $h=g \circ f$ est dérivable sur $J$ et $h'(x) = f'(x) \times g’\left( f(x) \right)$ pour tout $x \in J$.
Correction Exercice 6

  1. $h$ est dérivable sur $]-\pi;0[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $\displaystyle h'(x)=-\sin x \times \frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 x}}$ $ = \dfrac{-\sin x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \dfrac{-\sin x}{|\sin x|}$.
    Or sur $]-\pi;0[$, $-\sin x=|\sin x|$ donc $h'(x)=1$.
    $\quad$
  2. $h\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g(0)=0$
    Puisque $h'(x)=1$, on en déduit que la fonction $h$ est une fonction affine.
    Il existe donc un réel $b$ tel que $h(x)=x+b$.
    Or $h\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ donc $-\dfrac{\pi}{2}+b=0$ et $b=\dfrac{\pi}{2}$.
    Par conséquent $h(x)=x+\dfrac{\pi}{2}$.

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TS – Exercices – études de fonctions

Exercice 1 

Polynésie juin 2014

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par

$$f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} – 1.$$

On note $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

  1. Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ ont un point commun d’abscisse $0$ et qu’en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.
    $\quad$
  2. Étude de la position relative de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
    Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} – x – 2$.
    a. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout réel $x, h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} – 1 – \dfrac{2}{x}\right)$.
    En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$.
    $\quad$
    c. On note $h’$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$
    d. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout réel $x$, $2\text{e}^{\frac{x}{2}} – 1 \geqslant x + 1$.
    $\quad$
    f. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
    $\quad$
  3. Étude de la position relative des courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$
    a. Pour tout réel $x$, développer l’expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} – 1\right)^2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$.
    $\quad$
  4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ et les droites d’équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $f(0) = \text{e}^0 = 1$ et $g(0)=2\text{e}^0 – 1 = 1$.
    Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont donc un point commun d’abscisse $0$.
    $~$
    Les $2$ fonctions sont dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = \text{e}^x$ donc $f'(0) = \text{e}^0 = 1$
    $g'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2}\text{e}^{x/2}= \text{e}^{x/2}$ donc $g'(0) = 1$.
    Les $2$ tangentes ont donc le même coefficient directeur. Elles sont par conséquent parallèles. De plus elles possèdent un point en commun.
    Les $2$ courbes ont donc la même tangente en $0$.
    $~$
    Une équation de $\Delta$ est : $y = f'(0)(x-0)+f(0) = x+1$.
    $~$
  2. a. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^{x/2} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -x-2 = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h(x) = +\infty$
    $~$
    b. $~$
    $$\begin{align} x\left(\dfrac{\text{e}^{x/2}}{x/2} – 1 – \dfrac{2}{x} \right) &= \dfrac{\text{e}^{x/2}}{1/2} -x – 2 \\\\
    &= 2\text{e}^{x/2} – x – 2 \\\\
    &=h(x)
    \end{align}$$
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^{x/2}}{x/2} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} h(x) = +\infty$
    $~$

    c. $h'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2} \text{e}^{x/2} – 1 = \text{e}^{x/2} – 1$.
    $$\begin{align} h'(x) > 0 & \Leftrightarrow \text{e}^{x/2} – 1 > 0 \\\\
    &\Leftrightarrow \text{e}^{x/2} > 1 \\\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} > 0 \\\\
    &\Leftrightarrow x > 0
    \end{align}$$
    Par conséquent $h'(x) < 0$ sur $]-\infty;0[$ , $h'(x) > 0$ sur $]0;+\infty[$ et $h'(0) = 0$.
    $~$
    d. $~$
    TS - polynésie - juin 2014 - ex4

    e. 
    Cela signifie donc que pour tout $x \in \R$ :$$\begin{align} h(x) \ge 0 &\Leftrightarrow 2\text{e}^{x/2} – x – 2 \ge 0\\\\&\Leftrightarrow 2\text{e}^{x/2} -x -1 -1 \ge 0 \\\\&\Leftrightarrow 2\text{e}^{x/2} -1 \ge x +1 \end{align}$$
    f. Cela signifie donc que la courbe $\mathscr{C}_g$ est toujours au-dessus de sa tangente $\Delta$.
    $~$
  3. a. $~$
    $$\begin{align} \left( \text{e}^{x/2} – 1 \right)^2 &= \left(\text{e}^{x/2} \right)^2 – 2\text{e}^{x/2} + 1 \\\\
    &= \text{e}^{x} – 2\text{e}^{x/2} + 1\\\\
    &= f(x) – g(x)
    \end{align}$$
    b. Un carré étant toujours positif, on en déduit donc que $f(x) – g(x) \ge 0$.
    Par conséquent $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$.
    $~$
  4. On doit donc calculer :
    $$\begin{align} \mathscr{A} &= \int_0^1 \left(f(x)-g(x) \right) \text{d}x \\\\
    &= \int_0^1\left( \text{e}^{x} – 2\text{e}^{x/2} + 1 \right) \text{d}x \\\\
    &= \left[\text{e}^{x}-4\text{e}^{x/2} + x\right]_0^1 \\\\
    &=\text{e}^1-4\text{e}^{1/2}+1 – (1 – 4) \\\\
    &=\text{e}-4\text{e}^{1/2}+4 \text{ u.a}
    \end{align}$$

[collapse]

Exercice 2 

Antilles-Guyane juin 2014

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par

$$f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.$$

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.

Partie A

  1. Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ par $$g(x) = 1 – x + \text{e}^x.$$
    Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
    En déduire le signe de $g(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  3. On appelle $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$, $$f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.
    $\quad$
  6. a. Démontrer que la droite $T$ d’équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $T$.
    $\quad$

Partie B

 

  1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$H(x) = (- x – 1)\text{e}^{- x}.$$
    Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x\text{e}^{- x}$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, la droite $T$ et les droites d’équation $x = 1$ et $x = 3$.
    Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathscr{D}$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A

  1. $g'(x) = -1 + \text{e}^x$
    Etudions le signe de $g'(x)$
    $$\begin{align} g'(x) > 0 & \Leftrightarrow -1 + \text{e}^x > 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \text{e}^x > 1\\\\
    & \Leftrightarrow x > 0
    \end{align}$$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex2
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x+1 = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=-\infty$Par conséquent :$$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x + 1 = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$

    Par conséquent :

    $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$$

  3. $~$
    $$\begin{align} f'(x) &= 1 + \dfrac{\text{e}^x – x\text{e}^x}{\text{e}^2x} \\\\
    &= 1 + \dfrac{1 -x}{\text{e}^x} \\\\
    &=\dfrac{\text{e}^x + 1 – x}{\text{e}^x} \\\\
    &=\text{e}^{-x}g(x)
    \end{align}$$
  4. D’après le tableau de variations de la fonction $g$ on constate que $g(x) > 0$ pour tout $x$. On sait de plus que la fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent :
    $$\forall x\in \R, f'(x) > 0$$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex22
  5. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
    $0 \in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\R$.
    $~$
    $f(-1) = -\text{e}^{-1} < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ donc $-1 <\alpha < 0$.
    $~$
  6. a. Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
    $f'(0) = 2$ et $f(0) = 1$. Donc la tangente en $0$ à $\mathscr{C}$ a pour équation $y =2x+1$
    $~$
    b. Pour étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de $T$ on étudie le signe de  :
    $$\begin{align} f(x) – (2x+1) &= x+1 + \dfrac{x}{\text{e}^x} -2x – 1 \\\\
    &= -x + \dfrac{x}{\text{e}^x} \\\
    &= x\dfrac{ -\text{e}^x + 1}{\text{e}^x} \\\\
    &=\dfrac{-xg'(x)}{\text{e}^x} \le 0
    \end{align}$$
    La droite $T$ est donc toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.

Partie B

  1. $H'(x) = -\text{e}^{-x} – (-x-1)\text{e}^{-x} $ $= x\text{e}^{-x} = h(x)$
    Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
    $~$
  2. L’aire cherchée est :
    $$\begin{align} \mathscr{A} &=\int_1^3((2x+1)-f(x))\text{d}x \\\\
    &=\int_1^3 (x-h(x)) \text{d}x \\\\
    &=\left[\dfrac{x^2}{2} – H(x) \right]_1^3 \\\\
    &= \dfrac{9}{2} + 4\text{e}^{-3} – \dfrac{1}{2} + (-2)\text{e}^{-1} \\\\
    &= 4 + 4\text{e}^{-3} -2\text{e}^{-1} \text{ u.a}
    \end{align}$$

[collapse]

Exercice 3 

Métropole septembre 2014

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\Oij$, une courbe $\mathscr{C}$ et la droite $(AB)$ où $A$ et $B$ sont les points de coordonnées respectives $(0;1)$ et $(-1;3)$.

 

 

TS - exo - etude fonctions 3

On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathscr{C}$.

On suppose, de plus, qu’il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, $$f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.$$

  1. a. Justifier que la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $A$.
    $\quad$
    b. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x) = 1 – a\left(2x^2 – 1\right)\text{e}^{- x^2}.$$
    $\quad$
    d. On suppose que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    Déterminer la valeur du réel $a$.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, pour tout réel $x$, $$f(x) = x + 1 – 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 – 1\right)\text{e}^{- x^2}.$$
    a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
    $\quad$
    c. Démontrer qu’il existe un unique réel $c$ de l’intervalle $\left[- \dfrac{3}{2};1\right]$ tel que $f(c) = 0$.
    Justifier que $c < – \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
    $\quad$
  3. On désigne par $\mathscr{A}$ l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par : $$c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).$$
    a. Écrire $\mathscr{A}$ sous la forme d’une intégrale.
    $\quad$
    b. On admet que l’intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathscr{A}$ à $10^{-3}$ près.
    Calculer la valeur exacte de l’intégrale $I$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Exercice 1

  1.  a. $f(0) = 0 + 1 + a \times 0 \times 1 = 1$. donc $A(0;1)$ appartient bien à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\begin{align} d &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\
    &=\dfrac{3 – 1}{-1 – 0} \\\\
    &= -2
    \end{align}$
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $$f'(x) = 1 + a\text{e}^{-x^2} – 2x \times ax\text{e}^{-x^2} = 1 – a(2x^2 – 1)\text{e}^{-x^2}$$
    $\quad$
    d. Si la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ cela signifie donc que $f'(0) = d$.
    Par conséquent $f'(0) = 1 + a = -2$ soit $a= -3$.
    $\quad$
  2. a. si $x \in ]-1;0[$ alors $x+1 \in ]0;1[$ et $-3x \in ]0;3[$.
    la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc sur $]-1;0[$ en particulier.
    Par conséquent $-3x\text{e}^{-x^2} > 0$ et donc $f(x) > 0$.
    $\quad$
    b. Si $x<-1$ alors $2x^2> 2$ et $2x^2-1 > 1$. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    On a donc bien $f'(x) > 0$.
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $\left[ -\dfrac{3}{2};-1 \right]$, $f'(x) > 0$. Donc la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    De plus $f\left(-\dfrac{3}{2} \right) \approx -0,03 <0$ et $f(-1) \approx 1,10 > 0$.
    $0 \in \left[f\left(-\dfrac{3}{2} \right);f(-1) \right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection) l’équation $f(x) = 0$ possède bien une unique solution $c$ dans $\left[ -\dfrac{3}{2};-1 \right]$.
    $\quad$
    $\left(-\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2} \right) \approx 0,02 >0$. Donc $c < -\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2}$
    $\quad$
  3. a. Par définition on a donc $\mathscr{A} = \displaystyle \int_c^0 f(x) \mathrm{d}x$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $R$ par
    $$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x + \dfrac{3}{2}\text{e}^{-x^2}$$
    $\begin{align} I & = \displaystyle \int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x) \mathrm{d}x \\\\
    &= F(0) – F\left(-\dfrac{3}{2} \right) \\\\
    &= \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} \\\\
    &= \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.}
    \end{align}$

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Exercice 4

Liban juin 2014

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par $$f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;~+\infty[$.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

Partie B

Soit $\mathscr{A}$ la fonction définie sur l’intervalle

$[0;~+\infty[$ de la façon suivante : pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0~;~+\infty[$ $\mathscr{A}(t)$ est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations $x = 0$ et $x = t$.

 

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathscr{A}$.
    $\quad$
  2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses est égale à 1 unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathscr{A}$?
    $\quad$
  3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d’équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
    a. Démontrer que l’équation $\mathscr{A}(t)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$
    b. Sur le graphique fourni en annexe (à rendre avec la copie) sont tracées la courbe $\mathscr{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathscr{A}$.
    Sur le graphique de l’annexe, identifier les courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}$.
    En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$. Hachurer le domaine correspondant à $\mathscr{A}(\alpha)$.
    $\quad$
  4. On définit la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;~+\infty[$ par $g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}$.
    a. On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;~+\infty[$.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;~+\infty[$, une expression de $\mathscr{A}(t)$.
    $\quad$
    c. Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathscr{A}(6)$.

 

$\quad$

Représentations graphiques des fonctions $f$ et $\mathscr{A}$

 

TS - exo - etude fonctions 4

 

Correction Exercice 4

Partie A

  1.  $f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x}$ $= (1 – x)\text{e}^{-x}$
    La fonction exponentielle est toujours positive.
    Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$
    Cela signifie donc que :
    – sur $[0;1]$ , $f'(x) \ge 0$ et la fonction $f$ est croissante.
    – sur $[1;+\infty[$, $f'(x) \le 0$ et la fonction $f$ est décroissante.
    $~$
  2. $f(x) = -(-x)\text{e}^{-x}$
    Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (-x)\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \rightarrow – \infty} x\text{e}^{x} = 0$
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$

$~$

Partie B

  1. On a $\mathcal{A(t)} = \displaystyle \int_0^t f(x)dx$.
    La fonction $f$ étant positive et continue sur $[0;+\infty[$, on a donc $\mathcal{A}'(t) = f(t) \ge 0$.
    La fonction $\mathcal{A}$ est donc strictement croissante.
    $~$
  2. Cela signifie donc que $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \displaystyle \int_0^t f(x)dx) = 1$.
    par conséquent $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\mathcal{A}(t) = 1$.
    $~$
  3. a. La fonction $\mathcal{A}$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\mathcal{A}(0) = 0$ et $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\mathcal{A}(t) = 1$
    or $\dfrac{1}{2} \in ]0;1[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $ \mathcal{A}(t) = \dfrac{1}{2}$ possède une unique solution.
    $~$
    b.
    TS - liban - mai 2013 - ex3$~$
  4. a. $g'(x) = \text{e}^{-x} – (x+1)\text{e}^{-x} = -x\text{e}^{-x}$
    $~$
    b. Par conséquent $-g$ est une primitive de $f$.
    On a donc $\mathcal{A}(t) = -g(t) – (- g(0)) = -g(t) + g(0) = -(t+1)\text{e}^{-t} + 1$
    $~$
    c. $\mathcal{A}(6) = -7\text{e}^{-6}+1 \approx 0,98$ u.a.
    $~$

 

[collapse]

TS – probabilités et échantillonnage

Exercice 1

Polynésie 2014

 

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

  1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
    Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans $80\%$ des cas.
    Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$.
    Affirmation 1 : “Zoé utilise la voiture un jour sur deux.”
    $\quad$
  2. Dans l’ensemble $E$ des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.
    Affirmation 2 : “Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.”
    $\quad$
  3. On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$.
    Affirmation 3 : “La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,7$ environ.”
    $\quad$
    Affirmation 4 : “Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes.”
    $\quad$
  4. On sait que $39\%$ de la population française est du groupe sanguin A+.
    On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
    On interroge $183$ donneurs de sang et parmi eux, $34\%$ sont du groupe sanguin A+.
    Affirmation 5 : “On ne peut pas rejeter, au seuil de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de $39\%$ comme dans l’ensemble de la population.”
Correction Exercice 1

  1. Affirmation 1 VRAIE
    On appelle $P$ l’événement : “il pleut” et $V$ l’événement “Elle prend sa voiture”
    On obtient alors l’arbre suivant :
    TS - polynésie - juin 2014 - ex31



    D’après la propriété des probabilités totales on a :
    $$\begin{align} p\left( \bar{V} \right) &= p\left( P\cap \bar{V} \right) + p\left( \bar{P} \cap \bar{V} \right) \\\\
    &= 0,25 \times 0,2 + 0,75 \times 0,6 \\\\
    &=0,5
    \end{align}$$
  2. Affirmation 2 VRAIE
    $A$ et $B$ sont indépendant donc $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
    D’après la propriété des probabilités totales :
    $$ \begin{align} p(A) &= p(A \cap B) + p\left(A \cap \bar{B} \right) \\\\
    p(A) &= p(A)\times p(B) + p\left(A \cap \bar{B} \right) \\\\
    p(A) – p(A) \times p(B) &= p\left(A \cap \bar{B} \right) \\\\
    p(A) \left(1 – p(B) \right) &= p\left(A \cap \bar{B} \right) \\\\
    p(A) \times p\left( \bar{B} \right) &= p\left(A \cap \bar{B} \right)
    \end{align}$$
  3. Affirmation 3 FAUSSE
    On cherche donc $P(T \ge 5) =\text{e}^{-5\times 0,7} \approx 0,03$
    $~$
    Affirmation 4 FAUSSE
    Le temps moyen d’attente est donné par :
    $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} \approx 1,4 \approx 1$ min $24$ secondes.
    $~$
  4. Affirmation 5 VRAIE
    $n=183 \ge 30$, $np = 183 \times 0,39 = 71,37 \ge 5$ et $n(1-p) = 111,63 \ge 5$
    Donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $$\begin{align} I_{183} &= \left[ 0,39 – 1,96\dfrac{\sqrt{0,39 \times 0,61}}{\sqrt{183}};0,39 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,39 \times 0,61}}{\sqrt{183}} \right] \\\\
    & \approx [0,319;0,461]
    \end{align}$$
    La fréquence observée est $0,34 \in I_{183}$.

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Exercice 2

Antilles Guyane juin 2014

Les parties A et B sont indépendantes

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près

Partie A

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : “la plate”  et “la japonaise”. Chaque année, les huîtres plates représentent $15\%$ de sa production.

Les huîtres sont dites de calibre n°3 lorsque leur masse est comprise entre $66$ g et $85$ g.

Seulement $10\%$ des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que $80\%$ des huîtres japonaises le sont.

  1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
    On considère les évènements suivants :
    • $J$ : “l’huître prélevée est une huître japonaise”,
    • $C$ : “l’huître prélevée est de calibre n°3”.
    $\quad$
    a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n°3 est $0,695$.
    $\quad$
    d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n°3.
    Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
    $\quad$
  2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d’écart-type $\sigma = 2$.
    a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre $87$ g et $89$ g.
    $\quad$
    b. Donner $P(X \geqslant 91)$.

$\quad$

 Partie B

Cet ostréiculteur affirme que $60\%$ de ses huîtres ont une masse supérieure à $91$ g.

Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur.

Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur $10$ douzaines d’huîtres qu’on considérera comme un échantillon de $120$ huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.

Il constate que $65$ de ces huîtres ont une masse supérieure à $91$ g.

 

  1. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $120$ huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à $91$ g.
    Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la variable aléatoire $F$.
    $\quad$
  2. Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ?
Correction Exercice 2

  1. a.$~$
    TS - antilles-guyane-juin2014-ex1

    $~$
    b. On cherche donc $P\left( \bar{J} \cap C \right) = 0,15 \times 0,1 =  0,015$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$\begin{align} P(C) &= P(J \cap C) + P\left( \bar{J} \cap C \right) \\\\
    &=0,85 \times 0,8 + 0,015 \\\\
    &= 0,695
    \end{align}$$
    $~$
    d. On cherche à calculer :
    $$\begin{align} P_C\left( \bar{J} \right) & = \dfrac{P\left( C \cap \bar{J} \right)}{P(C)} \\\\
    &= \dfrac{0,015}{0,695} \\\\
    &=\dfrac{3}{139} \\\\
    & \approx 0,0216
    \end{align}$$
  2. a. D’après la calculatrice $P(87 \le X \le 89) \approx 0,2417$
    $~$
    b. $P(X \ge 91) = 0,5 – P(90 \le X \le 91) \approx 0,3085$
    $~$

Partie B

  1. $n = 120 \ge 30$, $np = 120 \times 0,6 = 72 \ge 5$ et $n(1-p) = 48 \ge 5$
    Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $$\begin{align} I_{120} &= \left[0,6 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,6 \times 0,4}}{\sqrt{120}};0,6 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,6 \times 0,4}}{\sqrt{120}} \right] \\\\
    & \approx [0,5123;0,6877]
    \end{align}$$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{65}{120} \approx 0,5417 \in I_{120}$.
    L’ostréiculteur a donc raison d’affirmer que $60\%$ de ses huitres ont une masse supérieure à $91$g avec une marge d’erreur de $5\%$.

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Exercice 3

Asie 2014

Le taux d’hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d’hématocrite d’un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d’écart-type $\sigma$.

 

Partie A

 

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} = \dfrac{X – 45,5}{\sigma}$.

  1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $P(X \leqslant \mu)$.
    $\quad$
  2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Partie B

 

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence $1\%$. On sait d’autre part que $30\%$ de la population française a plus de 50 ans, et que $90\%$ des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.

On choisit au hasard un individu dans la population française.

On note $\alpha$ l’unique réel tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l’exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.

 

On définit les évènements :

 

  • $M$ “l’individu est porteur de la maladie V” ;
  • $S$ “l’individu a plus de 50 ans” ;
  • $H$ “l’individu a un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$” .

 

Ainsi $P(M) = 0,01$, $P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.

D’autre part, une étude statistique a révélé que $60\%$ des individus ayant un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

 

  1. a. Déterminer $P(M \cap S)$.
    $\quad$
    b. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité $P(H)$.
    $\quad$
    b. L’individu choisi au hasard a un taux d’hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
    $\quad$

 

Partie C

Le but de cette partie est d’étudier l’influence d’un gène sur la maladie V.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille $1~000$, prélevés au hasard et avec remise dans l’ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l’intervalle au millième.
    $\quad$
  2. Dans un échantillon aléatoire de $1~000$ personnes possédant le gène, on a trouvé 14~personnes porteuses de la maladie V.
    Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de $95\%$, que le gène a une influence sur la maladie ?
Correction Exercice 3

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X – µ}{\sigma}$.
    Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. b. Par définition $P(X \le µ) = 0,5$
    $~$
  3.  $P(37,9 \le X \le 53,1) =  P(µ-2\sigma \le X \le µ + 2\sigma) \approx 0,95$
    $~$

Partie B

  1. a. On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
    Par conséquent :
    $$\begin{align} P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\\\
    P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\\\
    &= 0,9 \times 0,01 \\\\
    & = 0,009
    \end{align}$$
    $~$
    b. On calcule donc :
    $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} =  \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
  2. a. $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
    $~$
    b. On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
    Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
    Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{align} P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\\\
    \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,1 – 0,003 \\\\
    &= 0,007
    \end{align}$$
    On obtient donc :
    $$\begin{align} P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\\\
    & = \dfrac{0,007}{0,995} \\\\
    & \approx 0,007
    \end{align}$$

Partie C

  1. $n = 1000 \ge 30$, $np =  1000 \times 0,01 = 10 \ge 5$ et $n(1-p) = 990 \ge 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{1000}& = \left[0,01 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}};0,01 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}} \right] \\\\
    &\approx [0,003;0,017]
    \end{align}$$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{1000} = 0,014 \in I_{1000}$.
    On ne peut donc pas dire que le gêne a une influence sur la maladie.

[collapse]

Exercice 4

Métropole juin 2014

 

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est $0,001$.

 

  1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1\,\%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
    $\quad$
    On note $M$ l’événement “la personne choisie est malade” et $T$ l’événement “le test est positif”.
    a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l’évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$.
    $\quad$
    c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
    Affirmation : “Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade”.
    $\quad$
  2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.
    $\quad$
    À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
    $\quad$

Partie B

 

La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.

 

  1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d’écart-type $\sigma = 7$.
    a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’entier positif $h$ tel que $P(900 – h \leqslant X \leqslant 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins $97\%$ de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de $1~000$ comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à $1 000$ tirages successifs avec remise.
    $\quad$
    Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$ comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
    Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

Partie A

  1. a.
    TS-métropole-juin2014-ex2
    $~$
    b.D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align} P(T) &= P(T \cap M) + P\left( T \cap \bar{M} \right) \\\
    &= 0,001 \times 0,99 + 0,999\times 0,001 \\\\
    &= 0,001989 \\\\
    &= 1,989 \times 10^{-3}
    \end{align}$$
    c. Déterminons :
    $$\begin{align} P_T(M) &= \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} \\\\
    &= \dfrac{0,001 \times 0,99}{1,989 \times 10^{-3}} \\\\
    &=\dfrac{110}{221} < 0,5
    \end{align}$$Si le test est positif, il y a donc moins d’une chance sur $2$ que la personne soit malade. L’affirmation est vraie.
    $~$
  2. On obtient alors l’arbre suivant :
    TS-métropole-juin2014-ex22
    En utilisant la formule des probabilités totales on obtient :
    $$\begin{align} P(T) &= 0,99x + 0,001(1-x) \\\\
    &= 0,001 + 0,989x
    \end{align}$$
    On veut :
    $$\begin{align} P_T(M) \ge 0,95 & \Leftrightarrow \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \ge 0,95\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{0,99x}{0,001+0,989x} \ge 0,95\\\\
    & \Leftrightarrow 0,99x \ge 0,95(0,001 + 0,989x) \\\\
    & \Leftrightarrow 0,05045x \ge 0,00095 \\\\
    & \Leftrightarrow x \ge \dfrac{19}{1009}
    \end{align}$$
    Il faut donc que $x \ge \dfrac{19}{1009}$ pour que le laboratoire commercialise le test.
    $~$

Partie B

  1. a. On calcule donc $P(890 \le X \le 920) \approx 0,92$
    $~$
    b. $~$
    $$ \begin{align} P(900 -h \le X \le 900+h) \approx 0,99 & \Leftrightarrow P \left(-\dfrac{h}{7} \le \dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,99 \\\\
    &\Leftrightarrow 2P(\left( \dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) – 1 \approx 0,99 \\\\
    &\Leftrightarrow 2P \left(\dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 1,99 \\\\
    &\Leftrightarrow P\left(\dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,995
    \end{align}$$
    En effet la variable $\dfrac{X-900}{7}$ suit la loi normale centrée réduite.
    La calculatrice nous donne donc $\dfrac{h}{7} \approx 2,5758 $ d’où $h = 18$ ($h$ est un entier)
    $~$
    Remarque : Puisqu’on sait que $h$ est un entier, on peut calculer, en expliquant sa démarche sur la copie, toutes les valeurs de $P(900-h \le X \le 900+h)$ jusqu’à ce qu’on obtienne environ $0,99$.
    $~$
  2. $n=1000 \ge 30$ , $np = 970 \ge 5$ et $n(1-p) = 30 \ge 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{1000} & = \left[0,97 – 1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}};0,97 + 1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}} \right] \\\\
    &\approx [0,959;0,981]
    \end{align}$$
    La fréquence observée des comprimés conformes est $f=\dfrac{947}{1000} = 0,947 \notin I_{1000}$.
    De plus $f < 0,959$.
    Les réglage faits par le laboratoire ne sont donc pas convenables.

[collapse]