TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

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$\quad$

 

TS – Bac Blanc – février 2019

Bac Blanc – Février 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur $I=]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Soit $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Partie A :

Soit $p$ la fonction définie sur $\R$ par $p(x)=2x^3+2x^2-1$.

  1. Dresser le tableau de variation complet de $p$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ tel que $0\pp \alpha \pp 1$.
    $\quad$
  3. Donner le signe de $p(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que $\alpha$ vérifie $\alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}$.
    $\quad$

Partie B : Dans cette partie, on se limite à l’étude de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ et préciser les éventuelles asymptotes de $\Gamma$ .
    $\quad$
  2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{p(x)}{x^2+x}$ ou $p$ est la fonction définie dans la partie A.
    $\quad$
  3. En déduite le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On admet que $1+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{1}{2\alpha^3}$. En déduire que $f(\alpha)=\alpha^2-\ln 2-3\ln \alpha$.
    $\quad$

Partie C : Dans cette partie, la fonction $f$ est définie sur $I=]−\infty;−1[∪] 0;+\infty[$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.
Étudier les positions relatives de $\Gamma$ et de $\mathscr{C}$ sur $I$.
$\quad$

 

Exercice 2     6 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

  1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
    En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
    $\quad$
    b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
    Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
    $\quad$
  2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
    $\quad$
  3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     4 points    

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

  1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par :
    $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(u_{n+1}\right)=\ln\left(u_n\right)-1$.
    La suite $\left(u_n\right) est-elle géométrique ?
    $\quad$
  2. La suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes est définie par :
    $z_0=2+3\ic$ et, pour tout entier naturel n par $z_{n+1}=\left(
    \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right)z_n$.
    Pour quelles valeurs de $n$, $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{−x}$.
    On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan et $T$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point
    d’abscisse $2$.
    Le point $A$ de coordonnées $(4;0)$ appartient-il à $T$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes. Pour cela il réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent
    pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a-5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a-5b$.

  1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.
    Justifier que $N$ est l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $(E)$ det$(M) = 3$.
    On souhaite déterminer tous les couples d’entiers $(a;b)$ solutions de l’équation $(E)$.
    a. Vérifier que le couple $(6;3)$ est une solution de $(E)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le couple d’entiers $(a;b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6) = 5(b-3)$.
    En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$.
    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
  2. Codage avec la matrice  $Q$
    Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
    Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
    \end{array}\end{array}
    $$
    Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
    Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par $26$ et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par $26$.
    Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
    $\quad$
    $$\text{Exemple} : JE \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y=\begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R=\begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to OF.$$
    Le mot $JE$ est codé en le mot $OF$.
    Coder le mot $DO$.
    $\quad$
  3. Procédure de décodage
    On conserve les mêmes notations que pour le codage.
    Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
    a. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\begin{cases}3x_1\equiv3r_1-3r_2 \quad [26]\\3x_2\equiv-5r_1+6r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    b. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases}x_1\equiv r_1-r_2 \quad [26]\\x_2\equiv 7r_1 + 2r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    c. Décoder le mot $SG$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $p'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)$.
    $p'(x)=0\ssi x=0$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$.
    De plus le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=6>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    D’après la limite des termes de plus haut degré on a $\lim\limits_{x\to -\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}2x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}2x^3=+\infty$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $\left]-\infty;0\right[$ on a $p(x)\pp -\dfrac{19}{27}$.
    L’équation $p(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $p$ est continue et strictement croissante.
    De plus $p(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $p(0)=-1<0$ et $p(1)=3>0$ donc $0\pp x \pp 1$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation et la question précédente on a donc :
    – $p(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$ ;
    – $p(\alpha) = 0$ ;
    – $p(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} p(\alpha)=0 &\ssi 2\alpha^3+2\alpha^2-1=0 \\
    &\ssi \alpha^2\left[2(\alpha+1)\right]=1 \\
    &\ssi \alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}1+\dfrac{1}{x}=+\infty$.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$.
    $\lim\limits_{X \to 1} \ln X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}  f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La courbe $\Gamma$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x+\dfrac{~~-\dfrac{1}{x^2}~~}{1+\dfrac{1}{x}} \\
    &=2x-\dfrac{1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{2x^3+2x^2-1}{x^2+x} \\
    &=\dfrac{p(x)}{x^2+x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ positif on a $x^2+x\pg 0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)$.
    D’après la question A.3. cela signifie donc que :
    – $f'(x)<0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    – $f'(\alpha)=0$ ;
    – $f'(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln\left(\dfrac{1}{2\alpha^3}\right) \\
    &=\alpha^2+\ln(1)-\ln\left(2\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-\ln\left(\alpha^3\right) \\
    &=\alpha^2-\ln(2)-3\ln(\alpha)\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x\in]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ on a :
$f(x)-g(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Donc $f(x)-g(x)>0\ssi \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)>0 \ssi 1+\dfrac{1}{x}>1 \ssi \dfrac{1}{x}>0 \ssi x>0$

Ainsi $\Gamma$ est au-dessus de $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et en dessous sur l’intervalle $]0;+\infty[$

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $|j|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
    $j=\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{2\ic\pi/3}$.
    $\quad$
    Ainsi
    $\begin{align*} a’&=-4j \\
    &=2-2\ic\sqrt{3}\quad \text{forme algébrique}\\
    &=-4\e^{2\ic \pi/3} \\
    &=4\e^{2\ic \pi/3+\ic\pi} \\
    &=4\e^{5\ic\pi/3} \quad \text{forme exponentielle}
    \end{align*}$
    $b’=-1+\ic\sqrt{3}$ et $c’=-2+2\ic\sqrt{3}$ $\quad$ Formes algébriques.
    $b’= 2j=2\e^{2\ic\pi/3}$ et $c’=4j=4\e^{2\ic\pi/3}$ $\quad$ Formes exponentielles.
    $\quad$
    b. On a :
  2. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{b’-a’}{c’-a’} &=\dfrac{2j+4j}{4j+4j} \\
    &=\dfrac{6}{8} \\
    &=\dfrac{3}{4}
    \end{align*}$
    Ainsi un argument de $\dfrac{b’-a’}{c’-a’}$ est $0$.
    Les points $A’,B’$ et $C’$ sont donc alignés.
    $\quad$
  3. L’affixe de $M$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{c+a’}{2}\\
    &=\dfrac{4-4j}{2}\\
    &=2-2j\\
    &=2+1-\ic\sqrt{3} \\
    &=3-\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    L’affixe de $N$ est :
    $\begin{align*} n&=\dfrac{c+c’}{2} \\
    &=\dfrac{4+4j}{2}\\
    &=2+2j\\
    &=2-1+\ic\sqrt{3} \\
    &=1+\ic\sqrt{3}\end{align*}$.
    L’affixe de $P$ est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{c’+a}{2} \\
    &=\dfrac{4j-4}{2} \\
    &=2j-2 \\
    &=-1+\ic\sqrt{3}-2 \\
    &=-3+\ic\sqrt{3}
    \end{align*}$.
    Ainsi l’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z_1=1+\ic\sqrt{3}-\left(-3+\ic\sqrt{3}\right)=4$.
    Ainsi $PN=4$
    et l’affixe du vecteur $\vect{NM}$ est $z_2=3-\ic\sqrt{3}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)=2-2\ic\sqrt{3}$
    Ainsi $NM=\sqrt{2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=4$.
    Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.
    $\quad$

Ex 3

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{\ln\left(u_{n+1}\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n-1\right)} \\
    &=\e^{\ln\left(u_n\right)}\times \e^{-1} \\
    &=\e^{-1}u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \left|z_{n+1}\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|\times \left|z_n\right| \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\left|z_n\right| \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right| \end{align*}$
    On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=\left|z_n\right|$.
    Cette suite est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $u_0=|2+3\ic|=\sqrt{13}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\sqrt{7}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
    $\begin{align*} \left|z_n\right|\pp 10^{-20}&\ssi \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \pp 10^{-20} \\
    &\ssi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n  \pp \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\
    &\ssi n \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} \approx 136,58$.
    Donc $\left|z_n\right|\pp 10^{-20}$ si, et seulement si, $n \pg 137$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$.
    Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f(2)=2\e^{-2}$ et $f'(2)=-\e^{-2}$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}$.
    Si $x=4$ alors
    $\begin{align*} -\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}&=-\e^{-2}(4-2)+2\e^{-2}\\
    &=-2\e^{-2}+2\e^{-2}\\
    &=0\end{align*}$
    La point $A(4;0)$ appartient donc à $T$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
    $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} > 0,8
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
    Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} N\times M&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3&-b\\-5&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3a-5b&3b-3b\\-5a+5a&-5b+3a\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    Par conséquent $N$ est bien l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. a. $3\times 6-5\times 3=18-15=3$.
    Donc le couple $(6;3)$ est bien solution de l’équation det$(M)=3$.
    $\quad$
    b. On considère un autre couple d’entiers solutions $(a;b)$.
    On a donc $3a-5b=3$ et $3\times 6-5\times 3=3$.
    Par soustraction, on obtient : $3a-3\times 6-5b+5\times 3 = 0$
    Soit $3(a-6)=5(b-3)$.
    Donc si $(a;b)$ est solution de l’équation alors $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    Réciproquement si $3(a-6)=5(b-3)$
    Alors $3a-18=5b-15 \ssi 3a-5b=3$ et $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    Ainsi $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $3(a-6)=5(b-3)$.
    $\quad$
    c. $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $a-6=5k$ et $b-3=3k$.
    Soit $a=6+5k$ et $b=3+3k$.
    $\quad$Réciproquement, soit $k\in \Z$. Alors :
    $3(6+5k)-5(3+3k) = 18+15k-15-15k=3$.
    Donc le couple $(6+5k;3+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
    Ainsi l’inverse de $Q$ est $Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\-5&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. DO$\rightarrow X=\begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix}$
    $Y=QX=\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix}$
    Or $60 \equiv 8~[26]$ et $57\equiv 5~[26]$.
    Donc $R=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$
    Le mot DO est donc codé en IF
    $\quad$
  3. a. $3Q^{-1}Y=3Q^{-1}QX=3X$
    Par conséquent $\begin{cases} 3x_1=3y_1-3y_2\\3x_2=-5y_1+6y_2\end{cases}$
    En passant au modulo, on obtient alors :
    $\begin{cases} 3x_1\equiv 3r_1-3r_2~[26]\\3x_2\equiv -5r_1+6r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    b. $9\times 3 = 27 = 1+26$ donc $9\times 3\equiv 1~[26]$.
    On multiplie chacune des équations du système précédent par $9$.
    On obtient alors :
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv -45r_1+54r_2~[26] \end{cases}$
    soit
    $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv 7r_1+2r_2~[26] \end{cases}$
    $\quad$
    c. SG$\rightarrow R=\begin{pmatrix}18\\6\end{pmatrix}$
    Donc $\begin{cases} x_1\equiv 18-6~[26]\\x_2\equiv 7\times 18+2\times 6~[26] \end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 138~[26]\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 8~[26] \end{cases}$
    Ainsi le mot initial était MI.
    $\quad$

TS – Devoir synthèse 6 – 1er trimestre

Devoir Commun

TS – Décembre 2018 – 3h

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans cet exercice, on s’intéresse à une entreprise qui conditionne du sucre.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{−4}$ près.

Partie A

L’entreprise conditionne des dosettes de sucre à mettre dans le café. Ces dosettes sont emballées dans du papier blanc ou du papier noir. Un grand nombre de ces dosettes est stocké dans une remise.
On sait que dans ce stock, la proportion de dosettes avec un emballage noir est de $0,4$.
On prélève au hasard dans ce stock $50$ dosettes en admettant que ce choix se ramène à $50$ tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de dosettes emballées en noir.

  1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement $20$ des $50$ dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des dosettes prélevées soient emballées en noir.
    $\quad$

Partie B

L’entreprise conditionne également du sucre blanc provenant de deux exploitations $U$ et $V$ en paquets de $1$ kg et de différentes qualités.
Le sucre «extra fin» est conditionné séparément dans des paquets portant le label «extra fin».

On admet que $3\%$ du sucre provenant de l’exploitation $U$ est extra fin et que $5\%$ du sucre provenant de l’exploitation $V$ est extra fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet.
On considère les événements suivants :

  • $U$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $U$»
  • $V$: «Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $V$»
  • $E$: «Le paquet porte le label ”extra fin”»
  1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique $30\%$ de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation $U$ et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation $V$, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
    a. Montrer que la probabilité que le paquet prélevé porte le label ”extra fin” est de $0,044$.
    $\quad$
    b. Sachant qu’un paquet porte le label ”extra fin”, quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation $U$ ?
    $\quad$
  2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label ”extra fin”, $30\%$ d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations $U$ et $V$?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

$\quad$

Exercice 2     7 points

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0 = 3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.
    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que } \ldots \ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow \ldots \ldots \\u \leftarrow \ldots \ldots \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    la notation  « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n \leftarrow 0$ » signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Partie A

Voici deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

 

  1. La fonction $C$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et on note $C’$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.
    À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
    $\quad$
  2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
    $\quad$
  3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration $C$ d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = A t\e^{-t}$$ où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
    a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    “À quantité d’alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente.”
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = 2 t\e^{-t}$$

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. Rappeler la limite de $\dfrac{e^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de $0,2$ g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
    a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
    $\quad$
    b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
    Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède $2$ issues : $S$ “l’emballage est noir” et $\conj{S}$ “l’emballage n’est pas noir”. De plus $p(S)=0,4$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. On a $p(X=20)=\ds \binom{50}{20}\times 0,4^{20}\times 0,6^{30} \approx 0,114~6$.
    La probabilité qu’exactement $20$ dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,114~6$.
    $\quad$
  3. $p(X\pg 25)=1-p(X\pp 24) \approx 0,097~8$.
    La probabilité qu’au moins la moité des dosettes prélevées soient emballées en noir est environ égale à $0,097~8$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a $p(U)=0,3$, $p(V)=0,7$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,3\times 0,03+0,7\times 0,05 \\
    &=0,044
    \end{align*}$
    La probabilité que le paquet prélevé porte le label “extra fin” est $0,044$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(U)&=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,03}{0,044} \\
    &=\dfrac{9}{44}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel appartenant à $[0;1]$.
    On a $p(U)=x$, $p(V)=1-x$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x
    \end{align*}$
    On sait que :
    $\begin{align*} p_E(U)=0,3 &\ssi \dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} =0,3\\
    &\ssi \dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3 \\
    &\ssi 0,03x=0,015-0,006x \\
    &\ssi 0,036x=0,015 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{12}
    \end{align*}$
    Il faut donc que que $p(U)=\dfrac{5}{12}$ et $p(V)=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  2. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
  4. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \pg 1~520$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pg 1~520$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1~520$
    $\begin{align*} u_n \pg 1~520 &\ssi 0,95u_n \pg 1~444 \\
    &\ssi 0,95u_n+76 \pg 1~520 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg1~520
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
    &=-0,05u_n+76 \\
    &\pp 0,05\times 1~520+76 \\
    &\pp 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \ssi u_n=v_n+1~520$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\
    &=0,95u_n+76-1~520 \\
    &=0,95u_n-1~444 \\
    &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\
    &=0,95v_n+1~444-1~444 \\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  7. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n \pp 2~000 &\ssi 1~480\times 0,95^n+1~520 \pp 2~000 \\
    &\ssi 1~480\times 0,95^n \pp 480 \\
    &\ssi 0,95^n \pp \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \pg 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La vitesse est maximale quand le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe $C$ est le plus grand. C’est donc pour $t=0$ que cette vitesse est maximale.
    $\quad$
  2. Plus la personne est corpulente moins, à quantité d’alcool ingérée égale, la concentration d’alcool dans le sang est importante. La courbe $\mathcal{C}_2$ correspond donc à la personne la plus corpulente.
    $\quad$
  3. a. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(t)=A\e^{-t}-At\e^{-t}$
    Donc $f'(0)=A$
    b. Si on appelle $f_1$ et $f_2$ les fonctions associées aux graphiques $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, on constate que $f’_1(0)>f’_2(0)$.
    Donc $A_1>A_2$ (où $A_i$ est la constante liée à la fonction $f_i$).
    Puisque la courbe $\mathcal{C}_2$ correspond à la personne ayant la forte corpulence, l’affirmation est fausse.
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

  1. D’après la question A.3. on a :
    $f'(t)=2\e^{-t}-2t\e^{-t}=2\e^{-t}(1-t)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de $(1-t)$.
    Or $1-t>0 \ssi t<1$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La concentration d’alcool dans le sang est donc maximale quand $t=1$.
    Et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  3. On a $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\e^t}{t}=+\infty$.
    Or $f(t)=2\dfrac{t}{\e^t}=2\dfrac{1}{\dfrac{\e^t}{t}}$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0$.
    Cela signifie qu’au bout d’un très grand nombre d’heures la concentration d’alcool dans le sang est nulle et donc que l’alcool a disparu de l’organisme.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0<0,2$ et $f(1) \approx 0,74>0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_1$ sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On procède de même sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f(1) \approx 0,74>0,2$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0<0,2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0,2$ possède une unique solution $t_2$ sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Il existe donc deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t)=0,2$.
    $\quad$
    b. Sur $\left[t_1;t_2\right]$ $f(t)>0,2$ car $f$ est croissante sur $\left[t_1;1\right]$.
    Donc Paul ne pourra prendre le volant qu’après $t_2$.
    On obtient à l’aide de la calculatrice $t_2\approx 3,577$
    Il faut donc que Paul attendent $3$ heures et $35$ minutes avant de pouvoir reprendre le volant.
    $\quad$

TS – Devoir synthèse 5 – 3ème trimestre

Devoir Commun

TS – Avril 2018  – 4h

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

  • la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
    $\quad$
  2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

    Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

  1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
    Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A

On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $h(x) = x\e^{-x}$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.
    a. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on a : $$h(x) =\e^{-x}-h'(x)$$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
    $\quad$
    b. Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par: $$f(x) = x\e^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

  1. Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ et $N$ le point de coordonnées $\left(x;g(x)\right)$ : $M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    a. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
    $\quad$
  2. Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
    a. Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.
    $\quad$
    b. On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : $$A_{\lambda} = 1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$$
    $\quad$
    c. Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$
    Affirmation 1: Les points $A,B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases} ,\quad t\in \R$.
    Affirmation 2: Le point $D\left(-\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{6};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. On considère la droite $\left(d’\right)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} ,\quad t\in \R$ et la droite $(\Delta)$ passant par $N(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
    Affirmation 3: Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  4. On considère les points $E(1;2;3)$, $F(3;0;1)$, $G(-1;0;1)$, $H(-1;-2;3)$ et $I(-2;-3;4)$.
    On admet que la droite $(HI)$ et le plan $(EFG)$ sont sécants.
    Affirmation 4: Leur point d’intersection est le milieu du segment $[FG]$.
    $\quad$

Partie B

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté sur la feuille annexe. $M$ est un point de la droite $(CG)$ et $N$ est un point du segment $[AD]$.
Représenter sur cette feuille la section du cube par le plan $MBN$.
Laisser les traits de construction. On ne demande pas de justifier.

Annexe

$\quad$

Exercice 4    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

  1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
    En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
    On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
    Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
    a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
    $\quad$
    b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
    Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
    $\quad$
    c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Conjectures

  1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
    En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
    $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
    $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
    $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
    $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
    Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
    La  propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
    &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
    &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
    $\quad$
  2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
    Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
    $\quad$
  3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
    Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
    On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
    Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

  1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
    $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
    \end{align*}$
    Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
    $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
    Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $h(x)=x\e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{x}}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=0^+$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$.
    $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \e^{-x}-h'(x)&=\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}-\e^{-x}+x\e^{-x}\\
    &=x\e^{-x}\\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ définie sur $[0;+\infty[$ est la fonction définie sur ce même intervalle par $x\mapsto -\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. On a $h(x)=\e^{-x}-h'(x)$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Par conséquent une primitive de la fonction $h$, continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$, est la fonction $H$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
    $\begin{align*} H(x)&=-\e^{-x}-h(x)\\
    &=-\e^{-x}-x\e^{-x}\\
    &=-(1+x)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après le tableau de variation de la fonction $h$, on a $h(x)=x\e^{-x}\pg 0$.
    Par conséquent, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(x-x)^2+\left(f(x)-g(x)\right)^2} \\
    &=\sqrt{\left(x\e^{-x}\right)^2} \\
    &=x\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    D’après le tableau de variation de la fonction $h$, cette distance est maximale pour $x=1$ et cette distance maximale vaut $\e^{-1}$
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
  2. a. Voir graphique précédent
    $\quad$
    b. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues et sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(x)-g(x)\pg 0$.
    L’aire du domaine $D_{\lambda}$ est :
    $\begin{align*} A_{\lambda} &=\displaystyle \int_0^{\lambda} \left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x}\dx \\
    &=H(\lambda)-H(0) \\
    &=-(1+\lambda)\e^{-\lambda}+1\\
    &=1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}}+\dfrac{1}{\e^{\lambda}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$ (voir la question A.1.)
    Et  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x}=0$
    Ainsi  $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda}=1$.
    $\quad$
    Cela signifie que l’aire du domaine compris entre les deux courbe $C_f$ et $C_g$ vaut $1$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $\vect{AB}(-1;0;-6)$ et $\vect{AC}(-3;1;-10)$.
    Or $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\neq \dfrac{0}{-3}$.
    Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. Les trois points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On veut résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} -\dfrac{11}{3}=2t-3\\\\t-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}\\\\4t+2=-\dfrac{2}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} 2t=-\dfrac{2}{3} \\\\t=-\dfrac{1}{3} \\\\4t=-\dfrac{8}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{3} \\\\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
    Le point $D$ n’appartient donc pas à la droite $(d)$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de ma droite $\left(d’\right)$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    Une coordonnées de $\vec{u}$ est nulle alors que la coordonnée correspondante de $\vec{v}$ ne l’est pas. Les deux vecteurs ne sont donc pas coplanaires. Par conséquent les deux droites ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases}, \quad k\in \R$.
    Déterminons si les deux droites sont sécantes.
    On veut donc résoudre le système :
    $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\1+2k=1+t\\4+k=2\\1+3k=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2 \\-4=t\\1-6=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2\\t=-4\end{cases}$
    Ce système possède une solution. Les droites sont donc sécantes.
    Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ sont coplanaires.
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On appelle $J$ le milieu du segment $[FG]$.
    Par conséquent $J(1;0;1)$.
    Regardons si ce point appartient à la droite $(HI)$.
    $\vect{HJ}(2;2;-2)$ et $\vect{HI}(-1;-1;1)$.
    Donc $\vect{HJ}=2\vect{HI}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $H$, $I$ et $J$ sont donc alignés.
    Affirmation 4 vraie.

Partie B

Le point $I$ est le point d’intersection de la droite $(BM)$ avec la droite $(FG)$.
La droite $(NK)$ est parallèle à la droite $(MB)$.
La droite $(IL)$ est parallèle à la droite $(NB)$.

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
    Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
    Cette équation possède donc deux racines complexes:
    $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
    Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
    Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
    $\quad$
  2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
    Son affixe est :
    $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
    &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
    &=z
    \end{align*}$
    Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
    $\quad$
  3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
    $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
    Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
    $\quad$
    b.

    $\quad$
    c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
    $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
    Donc $MA=MM’$.
    Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
    $\quad$

Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Propriété 1 : Les 4 expressions du produit scalaire : (en pratique, la première expression est peu utilisée)

  • Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan : $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\left\|\vec{u}\right\|^2-\left\|\vec{v}\right\|^2\right)$.
  • Dans un repère orthonormé $\Oij$, si on a $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$ alors $\vec{u}.\vec{v}=xx’+yy’$.
  • $A, B$ et $C$ sont tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|\times \left\|\vec{v}\right\| \times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC}$.
  • Soient $A, B$ et $C$ trois points de l’espace et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
    On a : $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AH}$.
    De plus $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ ont le même sens}\\-AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ n’ont pas le même sens}\end{cases}$.

Illustration de la quatrième expression du produit scalaire

 

Application 1 :

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ (ou $\vec{u}.\vec{v}$ pour le cas 2) :

$\quad$

Correction Application 1

Cas 1 :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
&=AB\times AH \\
&= 6\times 4\\
&= 24\end{align*}$.

Cas 2 : On a $\vec{u}(4;2)$ et $\vec{v}(1;2)$. Donc :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=4\times 1+2\times 2\\
&=8\end{align*}$.

Cas 3 :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC} \\
&= 2\times 2 \times \cos \dfrac{2\pi}{3}\\
&= -2\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

À quoi ça sert?

Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux

Définition 1 :

  • $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux signifie que si $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{CD}$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  • Par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tout autre vecteur.

 

Priopriété 2 :

$\vec{u}.\vec{v}=0$ si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Application 2 :

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\vect{AB}(-2;3)$ et $\vect{CD}(6;4)$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont-ils orthogonaux? Justifier.

$\quad$

Correction Application 2

$\vect{AB}.\vect{CD}=-2\times 6+3\times 4=-12+12=0$

Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont orthogonaux.

$\quad$

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$\quad$

Deuxième utilisation : avec la deuxième expression. Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.

Définition 2 :

Dire qu’un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à une droite $(d)$ signifie que $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de la droite $(d)$.

$\quad$

Propriété 2 (Conséquence) :

Soit $(d)$ la droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$.
Alors $(d)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}.\vec{n}=0$.

Application 3 :

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ passant par le point $A(2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4;5)$. Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$.
Traduire l’égalité $\vect{AM}.\vec{n}=0$ afin d’obtenir une équation cartésienne de $(d)$.

$\quad$

Correction Application 3

On a $\vect{AM}(x-2;y-3)$.
Par  conséquent :
$\begin{align*} \vect{AM}.\vec{n}=0&\ssi 4(x-2)+5(y-3) =0 \\
&\ssi 4x-8+5y-15=0\\
&\ssi 4x+5y-23=0
\end{align*}$

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $4x+5y-23=0$.

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$\quad$

Propriété 3 : 

  • Une droite $(d)$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ où $c$ est un nombre réel.
  • La droite $(d)$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ admet le vecteur $\vec{n}(a,b)$ pour vecteur normal.

Application 4 :

Dans un repère orthonormé, on a $A(5;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;3)$. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.

$\quad$

Correction Application 4

On appelle $(h)$ la hauteur issue de $A$ dans le triangle $(ABC)$.
Par conséquent le vecteur $\vect{BC}$ est un vecteur normal à la droite $(h)$. On a $\vect{BC}(-1;4)$.

Par conséquent une équation cartésienne de la droite $(h)$ est de la forme $-x+4y+c=0$.
Le point $A(5;-2)$ appartient à la droite $(h)$.
Par conséquent : $-5+4\times (-2)+c=0 \ssi c=13$.

Une équation cartésienne de la droite $(h)$ est donc $-x+4y+13=0$.
$\quad$

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$\quad$


$\quad$

 

Exercices

 

Exercice 1

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ en justifiant la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 1

Figure 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=3\times 2\times \cos 120\text{°} \\
&=-3
\end{align*}$

Figure 2

On a $\vect{AB}(4;0)$ et $\vect{AC}(-2;3)$.

Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4\times (-2)+0\times 3=-8$

Figure 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2 \ssi 25=AB^2+9 \ssi AB^2=16$

$\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AB}=AB^2=16$
Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. $(d)$ est la droite de vecteur normal $\vec{n}(2;-1)$ et passant par le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Déterminer une équation de $(d)$.
    $\quad$
  2. Soient $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ les droites d’équations respectives $5x-4y+8=0$ et $y=2x+3$.
    Pour chacune d’elles, déterminer les coordonnées d’un vecteur normal.
    $\quad$
  3. $(d)$ et $(d’)$ sont deux droites d’équations respectives : $3x-5y+2=0$ et $2x+\dfrac{6}{5}y=0$.
    a. Préciser un vecteur directeur et un vecteur normal pour chacune de ces droites.
    $\quad$
    b. Démontrer que ces droites sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Soit $D(-2;2)$, $E(4;-1)$ et $F(1;3)$.
    Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$.
    $\quad$
  5. Soit $(d)$ la droite d’équation $5x-3y+1=0$.
    Déterminer une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $(d)$ passant par le point $P(2;-1)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Une équation de la droite $(d)$ est de la forme $2x-y+c=0$.
    Le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la droite $(d)$. Donc :
    $\begin{align*} 2\times (-5)-\dfrac{1}{2}+c=0&\ssi -10-\dfrac{1}{2}+c=0 \\
    &\ssi c=\dfrac{21}{2}
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $2x-y+\dfrac{21}{2}=0$.
    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $\left(d_1\right)$ d’équation cartésienne $5x-4y+8=0$ est $\vect{u_1}(5;-4)$
    Une équation de droite $\left(d_2\right)$ est $y=2x+3$.
    Donc une équation cartésienne de cette droite est $2x-y+3=$. Un vecteur normal à la droite $\left(d_2\right)$ est $\vect{u_2}(2;-1)$.
    $\quad$
  3. a. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $3x-5y+2=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u}(5;3)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(3;-5)$
    $\quad$
    Une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est $2x+1,2y=0=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u’}(-1,2;2)$ et un vecteur normal est $\vec{n’}(2;1,2)$
    $\quad$
    b. On a $\vec{u}.\vec{u’}=5\times (-1,2)+3\times 2=-6+6=0$
    Les vecteurs directeurs des deux droites sont donc orthogonaux.
    Par conséquent, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. On a $\vect{DE}(6;-3)$.
    Une équation de la droite $(d)$perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $F(1;3)$ appartient à cette droite. Par conséquent :
    $6\times 1-3\times 3+c=0 \ssi c=3$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $6x-3y+3=0$ soit $2x-y+1=0$.
    $\quad$
  5. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(3;5)$.
    Ce vecteur est donc normal à la droite $(d)$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est, par conséquent, de la forme $3x+5y+c=0$.
    Le point $P(2;-1)$ appartient à la droite $\Delta$. Donc :
    $3\times 2+5\times (-1)+c=0 \ssi c=-1$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est donc $3x+5y-1=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés placés comme sur la figure ci-dessous.
Que peut-on dire des droites $(AG)$ et $(EC)$? Justifier la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 3

Première méthode : en utilisant des décompositions selon des vecteurs orthogonaux.

On a, d’après la relation de Chasles : $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{BG}$ et $\vect{EC}=\vect{EB}+\vect{BC}$
Ainsi :

$\begin{align*}
\vect{AG}.\vect{EC}&=\left(\vect{AB}+\vect{BG}\right).\left(\vect{EB}+\vect{BC}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{EB}+\vect{AB}.\vect{BC}+\vect{BG}.\vect{EB}+\vect{BG}.\vect{BC} \\
&=-AB\times BE+0+0+BG\times BC \quad (*)\\
&=-AB\times BE+BE\times AB \quad (**)\\
&=0
\end{align*}$
$(*)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ d’une part et $\vect{BG}$ et $\vect{EB}$ d’autre part sont orthogonaux. De plus $\vect{AB}$ et $\vect{EB}$ sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire.
$(**)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc $BG=BE$ et $AB=BC$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

Deuxième méthode : en utilisant le repère orthonormé $\boldsymbol{\left(A;\vect{AB},\vect{AD}\right)}$

On a, dans ce repère $A(0;0)$,  $C(1;1)$, $E(1+x;0)$ et $G(1;x)$ où $x$ est un réel strictement positif.

Ainsi $\vect{AG}(1;x)$ et $\vect{EC}(-x;1)$.
D’où $\vect{AG}.\vect{EC}=-x+x=0$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5$ et $AD=2$.

  1. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  2. En déduire la valeur approchée par défaut au dixième de degré près de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AB}=AB^2=25$ car $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$.
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AB^2+BC^2=25+4=29$.
    Donc $AC=\sqrt{29}$.
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}$.
    En utilisant le résultat de la question 1. on obtient donc :
    $5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}=25$
    $\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{25}{5\sqrt{29}}$
    Et donc $\widehat{BAC} \approx 21,8$°.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-2;-2)$, $B(3;1)$ et $C(-1;2)$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ en radians.

$\quad$

Correction Exercice 5

On a $\vect{AB}(5;3)$ et $\vect{AC}(1;4)$. Ainsi $AB=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$ et $AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=5\times 1+3\times 4=17$
Mais on a également :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=\sqrt{34}\times \sqrt{17}\cos \widehat{BAC} \\
&=17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}
\end{align*}$

Par conséquent :
$17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}=17$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\ssi \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ rad

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=2$ et $AD=\sqrt{2}$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Démontrer que $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.

$\quad$

Correction Exercice 6

 

En utilisant la relation de Chasles on obtient :

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{ID}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{IA}+\vect{AD}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{IA}+\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{BC}.\vect{IA}+\vect{BC}.\vect{AD}\\
&=-AB\times IA+0+0+BC\times AD \\
&=-2\times 1+\sqrt{2}\times \sqrt{2} \\
&=-2+2\\
&=0
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{ID}$ sont donc orthogonaux.
Par conséquent, les droites $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

[collapse]

TS – Bac Blanc – février 2018

Bac Blanc – Février 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

 

Énoncé

Exercice 1    4 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
    $\quad$
  2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
    Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
    $\quad$

Partie B

Cette chocolaterie vend également de délicieux rochers pralinés emballés dans de jolis papiers de différentes couleurs. Une cuve contient une grande quantité de rochers. La probabilité que le rocher soit emballé avec un papier bleu est de $0,3$.

  1. Dans cette question un gourmand pioche au hasard $30$ rochers de la cuve. Le nombre de rochers est suffisamment grand pour que le tirage soit considéré comme un tirage avec remise.
    Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus ? Justifier soigneusement la réponse. Arrondir au millième.
    $\quad$
  2. On aimerait connaître le nombre minimum de rochers que le gourmand doit piocher pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$ .
    a. Montrer que cela revient à résoudre l’inéquation : $0,7^n \pp 0,01$.
    $\quad$
    b. Résoudre cette inéquation et répondre au problème posé.
    $\quad$

 

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative d $f$ dans un repère orthonormé.

  1. a. Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f(x)=4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  4. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
    $\quad$
    c. Calculer $f (1)$ et $f\left(\e^2\right)$.
    On obtient alors le tableau de variation ci-dessous.

    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    3 points

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.$$
On se place dans le plan complexe d’origine $O$.

  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d’affixe $z_n$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
    $\quad$
    b. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=3$, $u_1=6$  et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$$

Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A 

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $B4$, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne $B$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{−3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de $2$ à $5$.
    $\quad$
  3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

On considère les suite $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $$v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \quad \text{et} \quad w_n=u_n-7$$

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. En utilisant le résultat de la question 1.b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un territoire donné, on s’intéresse à l’évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies).
Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par :

$$\begin{cases} b_0&=1~000\\c_0&=1~500\\b_{n+1}&=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}&=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases}$$

où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le 1$^{\text{er}}$ juin de l’année 2000+$n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

  1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n\\c_n\end{pmatrix}$.
    a. Vérifier que $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n$.
    On donne les matrices $P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
    a. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
    $\quad$
    b. On admet que $A=PTQ$ démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, $$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Lucie exécute l’algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N=40$
    Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols?
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $1~500$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $B>2$ ou $C>2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $B$
    $\qquad$ $B$ prend la valeur $0,3R+0,5C$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $-0,5R+1,3C$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$U_n=\begin{pmatrix} 1~000\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\\1~500 \times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\end{pmatrix}$$
    et
    $$n\pp 10\times 1,1^n$$
    a. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    b. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieur à au moins $50$ individus.
    À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l’exercice vous paraît-il cohérent?
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\conj{A}\cap C\right) \\
    &=0,98x+0,95(1-x)\\
    &=0,98x+0,95-0,95x\\
    &=0,03x+0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On sait que  :
    $\begin{align*} p(C)=0,96 &\ssi 0,03x+0,95=0,96\\
    &\ssi 0,03x=0,01\\
    &\ssi x = \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
    On effectue $30$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,3$.
    Ainsi $P(X=10)=\displaystyle \binom{30}{10}\times 0,3^{10}\times 0,7^{20} \approx 0,142$.
    La probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus est donc environ égale à $0,142$.
    $\quad$
  2. a. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,3$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}
    P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0) \pg 0,99 \\
    &\ssi 1-0,7^n \pg 0,99 \\
    &\ssi -0,7^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,7^n \pp 0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*}
    0,7^n \pp 0,01 &\ssi n\ln(0,7) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)} \approx 12,91$.
    Ainsi $n \pg 13$. Il faut donc piocher au minimum $13$ rochers pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} \left(\ln x\right)^2=+\infty$
    $\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} f(x)=+\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est donc une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $0$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2 &=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2 \\
    &=4\times \dfrac{\dfrac{1}{4}\left(\ln x\right)^2}{x} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =0$.
    L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \dfrac{1}{x}\times \ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{2\ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $2-\ln(x)=0 \ssi x=\e^2$ et $2-\ln(x)>0 \ssi 2>\ln(x)\ssi \e^2>x$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)$.
    On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
    $\quad$
    c. $\ln(1)=0$ donc $f(1)=0$
    $f\left(\e^2\right)=\dfrac{\ln\left(\e^2\right)^2}{\e^2}=\dfrac{2^2}{\e^2}=\dfrac{4}{\e^2}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=0$
    Donc $1\in [0;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Sur l’intervalle $[1;+\infty[$ on a $f(x)\pp \dfrac{4}{\e^2}<1$. L’équation $f(x)=1$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Cela signifie par conséquent que l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et $\alpha \in ]0,49;0,50[$ d’après la calculatrice.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $z_{n+4}=\dfrac{1+\ic}{(1-\ic)^n(1-\ic)^4}=\dfrac{1+\ic}{-4(1-\ic)^n}=\dfrac{-1}{4}z_n$
    Par conséquent $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}=-\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. Un argument de $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est donc $\pi$.
    Or $\left(\vect{OA_n},\vect{OA_{n+4}}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_{n+4}}{z_n}\right)+2k\pi=\pi+2k\pi$
    Les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont donc alignés.
    $\quad$
  2. $|1+\ic|=\sqrt{2}$ donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$
    De même $1-\ic=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    Ainsi $z_n=\dfrac{\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}}{\left(\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}\right)^n}=\sqrt{2}^{1-n}\e^{\ic(n+1)\pi/4}$
    $z_n$ est réel si, et seulement si, $n+1=4k$ avec $k\in \Z$
    si, et seulement si, $n=4k-1$ avec $k\in \Z$
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5 

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On peut saisir $=5/4*B3-B2/4$
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    1&n&u_n\\
    \hline
    2&0&3\\
    \hline
    3&1&6\\
    \hline
    4&2&\boldsymbol{6,75}\\
    \hline
    5&3&\boldsymbol{6,938}\\
    \hline
    6&4&\boldsymbol{6,984}\\
    \hline
    7&5&\boldsymbol{6,996}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
    &=v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc constante et $v_0=u_1-\dfrac{u_0}{4}=\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$. On a $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0<u_1<15$
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n<u_{n+1}<15$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_{n+2}<15$
    $\begin{align*} u_n<u_{n+1}<15 &\ssi \dfrac{1}{4}u_n<\dfrac{1}{4}u_{n+1}<\dfrac{15}{4} \\
    &\ssi \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{21}{4}<\dfrac{15}{4}+\dfrac{21}{4} \\
    &\ssi u_{n+1}<u_{n+2}<9<15
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $15$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_n&=u_{n+1}-7 \\
    &=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}-7\\
    &=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(u_n-7\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=3-7=-4$
    $\quad$
    b. Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-4\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    Or $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    $\quad$
    c. $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7$.
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On a $\begin{cases} b_1=0,3\times 1~000+0,5\times 1~500\\c_1=-0,5\times 1~000+1,3\times 1~500\end{cases}$ soit $\begin{cases} b_1=1~050\\c_1=1~450\end{cases}$
    Ainsi $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} b_{n+1}=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases} \ssi \begin{pmatrix}b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_n\\c_n\end{pmatrix}$ $\ssi U_{n+1}AU_n$.
    $\quad$
  2. a. $Q$ est la matrice inverse de $P$ donc
    $\begin{align*} PQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}1&0\\1+a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\
    &\ssi 1+a=0 \\
    &\ssi a=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence sur $n$ que $A^n=PT^nQ$.
    Initialisation : il est admis que $A=PTQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PT^nQ$
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant c’est-à-dire $A^{n+1}=PT^{n+1}Q$
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=PT^nQPTQ \\
    &=PT^nTQ\\
    &=PT^{n+1}Q
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ on a :
    $\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
    La propriété est donc vraie au rang $1$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme permet de dire qu’en 2040 le nombre de buses et celui de campagnols seront inférieurs ou égaux à $2$ (ce qui est très bas).
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $b_n=1~000\times 0,8n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$ et $c_n=1~500\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$
    On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$
    On a admis que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $n \pp 10 \times 1,1^n \ssi n \times 0,8^n \pp 10 \times 0,88^n$
    Or $-1<0,88<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,88^n=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}  b_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0$
    $\quad$
    b. Les mesures effectuées permettent de dire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n \pg 50$ et $c_n \pg 50$ ce qui contredit le fait que les limites respectives des suites sont nulles.
    Le modèle proposé ne paraît donc pas cohérent.
    $\quad$

TS – Exercices – Nombres complexes

Exercice 1

  1. Associer à chaque nombre complexe $z_k$ de la colonne de gauche, son écriture sous forme exponentielle et placer leurs points $M_k$ d’affixe $z_k$ dans le plan complexe.
    $\begin{array}{lcl} \bullet z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\bullet 3\e^{\ic \pi}\\
    \bullet z_2=\sqrt{3}-\ic && \bullet 2\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}\\
    \bullet  z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/6} \\
    \bullet z_4=-3 &&\bullet 3\e^{5\ic \pi/6} \\
    \bullet z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic &&\bullet \e^{2\ic \pi/3}\\
    \bullet z_6=2-2\ic &&\bullet \e^{-3\ic \pi/4}\\
    \bullet z_7=1-\sqrt{3} \ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/2}\\
    \bullet z_8=-2\ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/3}
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Choisir la forme la plus adaptée pour déterminer les nombres suivants :
    a. $z_5+z_8$
    $\quad$
    b. $z_2z_6$
    $\quad$
    c.
    ${z_7}^2$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\left|z_1\right|=1$ et arg$\left(z_1\right)=\dfrac{2\pi}{3}$
    Donc $z_1=\e^{2\ic \pi/3}$
    $\quad$
    $z_2=\sqrt{3}-\ic$ donc $\left|z_2\right|=2$
    Ainsi $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}$
    Par conséquent arg$\left(z_2\right)=-\dfrac{\pi}{6}$
    D’où $z_2=2\e^{-\ic \pi/6}$
    $\quad$
    $z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    Ainsi $\left|z_3\right|=1$
    et arg$\left(z_3\right)=\dfrac{5\pi}{4} ~~(2\pi)=-\dfrac{3\pi}{4}$
    D’où $z_3=\e^{-3\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $z_4=-3$ donc $\left|z_3\right|=3$ et arg$\left(z_3\right)=\pi$.
    Ainsi $z_4=\e^{\ic \pi}$
    $\quad$
    $z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic$
    $\left|z_5\right|=3$
    d’où $z_5=3\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)$
    Ainsi arg$\left(z_5\right)=-\dfrac{5\pi}{6}$
    $z_5=3\e^{-5\ic\pi/6}$
    $\quad$
    $z_6=2-2\ic $
    $\left|z_6\right|=2\sqrt{2}$ ainsi $z_6=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$.
    Donc $z_6=2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $ z_7=1-\sqrt{3} \ic $
    $\left|z_7\right| = 2$ donc $z_7=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\e^{-\ic\pi/3}$
    $\quad$
    $z_8=-2\ic=2\e^{-\ic\pi/2}$
  2. a. $z_5+z_8=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-2\ic=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic$
    $\quad$
    b. $z_2z_6=2\e^{-\ic \pi/6} \times 2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}=4\sqrt{2}\e^{-5\ic\pi/12}$
    $\quad$
    c. ${z_7}^2=\left(2\e^{-\ic\pi/3}\right)^2=4\e^{-2\ic\pi/3}$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\ic=-3\sqrt{3}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic +1\right|=3$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right|$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\left|z_M-\ic +1\right|=3 \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=3 \ssi AM=3$ avec $A(-1+\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-1+\ic)$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  2. $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi AM=BM$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3      d’après Centres étrangers – juin 2014

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par $$\begin{cases} z_0=16\\z_{n+1}=\dfrac{1+\ic}{2}z_n \text{ pour tout entier naturel }n\end{cases}$$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$ on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

  1. Calculer $z_1$, $z_2$, $z_3$.
    $\quad$
  2. Placer dans le repère les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
  3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1+\ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $z_0=16$
    $z_1=\dfrac{1+\ic}{2}\times 16=8(1+\ic)=8+8\ic$
    $z_2=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8(1+\ic)=4(1+\ic)^2=4\times 2\ic=8\ic$
    $z_3=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8\ic=4\ic(1+\ic)=-4+4\ic$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. $\left|\dfrac{1+\ic}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Donc $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    Ainsi $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$.
    $\quad$
  4. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}&=\dfrac{16-8-8\ic}{0-8-8\ic} \\
    &=\dfrac{8-8\ic}{-8-8\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic}\times \dfrac{1-\ic}{1-\ic} \\
    &=-\dfrac{1-2\ic-1}{2} \\
    &=\ic
    \end{align*}$
    Ainsi $\left(\vect{A_1O},\vect{A_1A_0}\right)=\text{arg}(\ic)=\dfrac{\pi}{2}$
    Et $\dfrac{A_1A_0}{A1O}=\left|\dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}\right|=1$ et $A_1A_0=A_1O$.
    Le triangle $OA_0A_1$ est donc rectangle en $A_1$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment calculer les trois longueurs du triangle pour démontrer le résultat.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4     QCM

Donner la seule réponse exacte parmi les trois proposées.

  1. Soient $z_1=(-1+\ic)$ et $z_2=\left(\sqrt{3}-\ic\right)$.
    La forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_1}{z_2}$ est :
    a. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic \pi/12}$
    b. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{7\ic \pi/12}$
    c. $\e^{7\ic \pi/12}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n=\left(\sqrt{3}+\ic\right)^n$.
    $z_n$ est un nombre imaginaire pur lorsque $n$ est égal à :
    a. $3+3k~~(k\in \Z)$
    b. $3+6k~~(k\in \Z)$
    c. $3k~~(k\in \Z)$
    $\quad$
  3. Dans le plan complexe, on donne deux points distincts $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$ non nulles.
    Si $\dfrac{z_B-z_A}{z_B}=-\dfrac{\ic}{2}$, alors le triangle $OAB$ est :
    a. rectangle
    b. isocèle
    c. quelconque
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\left|z_1\right|=\sqrt{2}$ et $z_1=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}$.
    $\left|z_2\right|=2$ et $z_2=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic\right)=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Ainsi
    $\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}}{2\e^{-\ic\pi/6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{\ic\left(3\pi/4+\pi/6\right)} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic\pi/12}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left|\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)$
    Ainsi $\sqrt{3}+\ic=2\e^{\ic\pi/6}$
    Donc $z_n=2^n\e^{n\ic\pi/6}$
    $z_n$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\dfrac{n\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
    si, et seulement si, $n=3+6k$
    $\quad$
  3. $\left(\vect{OB},\vect{AB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_B}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$.
    Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $B$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     d’après Nouvelle Calédonie 2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Ouv$.
On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition 1 : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+\ic)^{4n}=(-4)^n$.
    $\quad$
  2. Soit $(E)$ l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition 2 : Les points dont les affixes sont solutions dans $\C$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
    $\quad$
  3. Proposition 3 : Pour tout nombre réel $\alpha$, $1+\e^{2\ic \alpha}=2\e^{\ic \alpha}\cos(\alpha)$.
    $\quad$
  4. Soit $A$ le point d’affixe $z_A=\dfrac{1}{2}(1+\ic)$ et $M_n$ le point d’affixe $\left(z_A\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition 4 : si $n-1$ est divisible par $4$, alors les points $O,A$ et $M_n$ sont alignés.
    $\quad$
  5. Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition 5 : $1+j+j^2=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $(1+\ic)^{4n}=\left(\left((1+\ic)^2\right)^2\right)^n=\left((2\ic)^2\right)^n=(-4)^n$
    Proposition 1 vraie
    $\quad$
  2. Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  3. $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
    Affirmation vraie
    $\quad$
  4. affixe de $\vect{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vect{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\ssi \dfrac{m_n}{a}\in \R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \R \ssi \dfrac{n-1}{4}\in \N \ssi n-1$ divisible par $4$.

    Affirmation vraie
    $\quad$
  5. $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$. Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

    Affirmation vraie

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TS – Exercices – Fonction ln

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition et les limites aux bornes des fonctions définies par :

  1. $f_1(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}$
    $\quad$
  2. $f_2(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)$
    $\quad$
  3. $f_3(x)=x-\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $I=]0;1[\cup]1;+\infty[$ (il faut que $x>0$ et que $\ln x\neq 0$).
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)=0^-$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^-} \ln x=0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=-\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^+} \ln x=0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f_1(x)=+\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=0$
    $\quad$
  2. On étudie dans un premier temps le signe de $x^2+2x+3$.
    $\Delta=2^2-4\times 3\times 1=-8<0$. Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Donc l’expression est toujours strictement positive.
    Ainsi la fonction $f_2$ est définie sur $\R$.
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_2(x)=+\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_3(x)=+\infty$
    $\bullet$ $f_3(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=+\infty$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions et les limites indiquées.

  1. $f_1(x)= \dfrac{\ln(1+x)}{x^2}$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)$
    $\quad$
  2. $f_2(x)=x+x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)$
    $\quad$
  3. $f_3(x)=\dfrac{\ln x}{x^4}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\ln(1+x)$ existe pour tout $x\in ]-1;+\infty[$.
    Donc $f_1$ est définie sur $]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
    $f_1(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{\ln(1+x)}{x}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} f_1(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Il faut que $1+\dfrac{1}{x}>0 \ssi \dfrac{1+x}{x}>0$.
    Donc $f_2$ est définie sur $]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$.
    $f_2(x)=x\left(1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\dfrac{1}{x}=1$ ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. $f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $f_3(x)=\dfrac{1}{x^3} \times \dfrac{\ln x}{x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$.
    $\quad$
    Remarque : On peut aussi utiliser la propriété (hors programme) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les limites aux bornes.
    $\quad$
  3. En déduire l’existence d’asymptotes.
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} x+1=1$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$
    $f(x)=\dfrac{x}{x+1}\times \dfrac{\ln x}{x}$
    D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x+1}=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. Il y a donc deux asymptotes d’équation $x=0$ et $y=0$.
    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle qui ne s’annule pas.
    $f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{x}-\ln(x)}{(x+1)^2}$
    Ainsi $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{x-1}{2}$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $1$.
    Donc la fonction $f$ est définie sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty[$ en tant que produit et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    On va utiliser la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x\ln(x)$.
    $u'(x)=\ln(x)+\dfrac{x}{x}=\ln(x)+1$.
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{\ln(x)+1}{\left(x\ln(x)\right)^2}$
    Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $-\left(\ln(x)+1\right)$
    $\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x) > -1 \ssi x>\e^{-1}$
    Donc $f'(x)<0 sur \left]\e^{-1};1\right[\cup]1;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{-1}\right[$ et décroissante sur les intervalles $\left]\e^{-1};1\right[$ et $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est :
    $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$
    Or $f'(\e)=-\dfrac{\ln(\e)+1}{\left(\e\ln(\e)\right)^2}=-\dfrac{2}{\e^2}$
    et $f(\e)=\dfrac{1}{\e}$
    Ainsi une équation de la tangente est :
    $y=-\dfrac{2}{\e^2}(x-\e)+\dfrac{1}{\e}=-\dfrac{2x}{\e^2}+\dfrac{3}{\e}$
    $\quad$

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$\quad$

TS – Exercices – Fonction ln

Exercice 1

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 3$.

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)=-\ln 9=-\ln\left(3^2\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216=\ln\left(\dfrac{24}{216}\right)=\ln \left(\dfrac{1}{9}\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4=\ln \left(\dfrac{3}{4}\times 4\right)=\ln 3$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27=2\ln 3\ln \left(3^3\right)=2\ln 3-3\ln 3=-\ln 3$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)=\ln 9 + \ln \sqrt{3}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln 3=\dfrac{5}{2}\ln 3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln x$.

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)=\ln x-\ln 3$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x=\ln x-\ln 4+\ln x=2\ln x+\ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)=2\ln x-45\ln x=-43\ln x$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)=\ln 9+\ln \sqrt{x}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 

Équations et inéquations – Pour s’entraîner

Résoudre :

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    $\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-3x>0 \ssi x<\dfrac{2}{3}$.
    Sur $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-3x) \pg 0 &\ssi \ln(2-3x) \pg \ln 1 \\
    &\ssi 2-3x \pg 1 \\
    &\ssi -3x \pg -1 \\
    &\ssi x\pp \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-x>0 \ssi x<2$.
    Sur $]-\infty;2[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-x)+1=0 &\ssi \ln(2-x)=-1 \\
    &\ssi \ln(2-x)=\ln \left(\e^{-1}\right) \\
    &\ssi 2-x=\e^{-1} \\
    &\ssi -x=\e^{-1}-2 \\
    &\ssi x=2-\e^{-1}
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $2-\e^{-1}$.
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $x+5>0 \ssi x>-5$.
    Sur $]-5;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(x+5)=\ln 3 &\ssi x+5=3 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3}{x}>0 \ssi x>0$.
    Sur $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3 &\ssi \dfrac{3}{x} \pg 3 \\
    &\ssi 0 < \dfrac{x}{3} \pp \dfrac{1}{3} \\
    &\ssi 0<x\pp 1
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]0;1]$.
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2} \ssi x \pp \ln \dfrac{1}{2} \ssi x \pp -\ln 2$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;-\ln 2]$.
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3x-1}{x+2} >0$.
    $3x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $3x-1>0 \ssi x > \dfrac{1}{3}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Sur $]-\infty;-2[\cup\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0 &\ssi \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg \ln 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2} \pg 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2}-1 \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1-x-2}{x+2} \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{2x-3}{x+2} \pg 0
    \end{align*}$
    $2x-3=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0 \ssi x > \dfrac{3}{2}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-2[\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.$\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    On résout cette équation sur $]1;+\infty[$.
    On pose $X=\ln(x-1)$
    On obtient ainsi l’équation $2X^2+5X-15=0$
    Le discriminant est $\Delta=5^2-4\times 2\times (-15)=145>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}$ et $\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}$.
    On résout maintenant sur $]1;+\infty[$ les équations :
    $\begin{array}{ll|l}
    \ln(x-1)=\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4} && \ln(x-1)=\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4} \\
    \ssi x-1=\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right) && \ssi x-1=\exp \left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right) \\
    \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)&& \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)
    \end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)$ et $1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 

Limites – Pour s’entraîner

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x $
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x $
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty $
    $\lim\limits_{X \to +\infty} X^2-X=\lim\limits_{X \to +\infty} X^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x=+\infty$
    $\quad$
  2. $\ln x-2x=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-2\right)$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x=-\infty$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+}  \ln x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+}  \left(\ln x\right)^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x =+\infty$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+105x-18=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(x^2+105x+18\right)=+\infty$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 

Limites – Pour s’entraîner

  1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)$
    $\quad$
  3. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)$
    $\quad$
  4. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $t(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)-\ln 1}{1+x-1}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=f'(0)$ (limite du taux d’accroissement $t(x)$) où $f(x)=\ln(1+x)$
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}$ donc $f'(0)=1$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Si on pose $X=\dfrac{1}{x}$ alors $x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{\ln(1+X}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)= \lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  3. Si on pose $X=\e^{-x}$ alors $\e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right) =\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  4. Si on pose $X=\sqrt{X}$ alors $\dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$

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TS – Exercices – suites et nombres complexes

Suites et nombres complexes

Exercice 1     D’après Centres étrangers Juin 2010

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}.$$
Le but de cet exercice est d’étudier des suites $\left(u_n\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_0$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right).$$

  1. Étude de propriétés de la fonction $f$.
    a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans l’intervalle $[0;+\infty[$ l’équation $f(x)=x$.
    On note $\alpha$ la solution.
    $\quad$
    c. Montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    De même, montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(u_n\right)$ pour $u_0=0$.
    Dans cette question, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)=6-\dfrac{5}{u_n+1}.$$
    a. Sur le graphique représenté dans l’annexe sont représentées les courbes d’équations $y=x$ et $y=f(x)$.
    Placer le point $A_0$ de coordonnées $\left(u_0;0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_0$ les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d’ordonnées nulle et d’abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
    Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Démontrer, par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \alpha.$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
    $\quad$
  3. Étude des suites $\left(u_n\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_0$.
    Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_0$?
    $\quad$

ANNEXE

 

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $f'(x)=-\left(-\dfrac{5}{(x+1)^2}\right)=\dfrac{5}{(x+1)^2}>0$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 6-\dfrac{5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6(x+1)-5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6x+1}{x+1}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x(x+1)}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x^2-x}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}=0
    \end{align*}$
    On cherche donc les solutions de $-x^2+5x+1=0$ telles que $x\pg 0$
    On résout $-x^2+5x+1=0$
    Son discriminant est $\Delta=29>0$
    Les solutions sont $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2} > 0$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}<0$
    Donc $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[0;\alpha]$
    $\begin{align*} 0\pp x \pp \alpha &\ssi f(0)\pp f(x) \pp f(\alpha) \\
    &\ssi 1 \pp f(x) \pp \alpha\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$
    $\begin{align*} \alpha \pp x &\ssi  f(\alpha) \pp f(x) \\
    &\ssi \alpha \pp f(x)\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
  2. a.

    La suite $\left(u_n\right)$ semble donc être strictement croissante et converger vers $\alpha$.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 =0$ et $u_1=1$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Ce réel $\ell$ est solution dans $[0;+\infty[$ de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell=\alpha$.
    $\quad$
  3. Étudions tout d’abord le signe de $f(x)-x$ sur $[0;+\infty[$.
    $f(x)-x=\dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}$
    Sur $[0;+\infty[$, le signe de $f(x)-x$ ne dépend que de celui de $-x^2+5x+1$.
    Donc $f(x)-x>0$ sur $[0;\alpha[$ et $f(x)-x<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\bullet$ Soit $u_0\in[0;\alpha]$
    Montrons par récurrence que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors  $u_1=f\left(u_0\right)>u_0$ d’après ce qu’on vient de montrer.
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est croissante, majorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0=\alpha$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante. Elle converge donc vers $\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0\in]\alpha;+\infty[$.
    Montrons par récurrence que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n}$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_1=f\left(u_0\right)<u_0$ d’après ce qui a été montré en début de question
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $\alpha \pp u_1 \pp u_0 $.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $\alpha \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    On sait que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n} $.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $f(\alpha) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_{n}\right)$ soit $\alpha\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} $.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 :     Application

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-1}{x+2}$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. En déduite que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ sachant qu’elle vérifie $f(\ell)=\ell$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{4x+8-4x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{9}{(x+2)^2} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=5$ et $u_1=f(5)=\dfrac{19}{7}$
    Ainsi $u_0>u_1 \pp 1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>u_{n+2} \pg 1$.
    On sait que $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    Donc $f\left(u_n\right) > f\left(u_{n+1}\right) \pg f(1)$
    soit $u_{n+1} > u_{n+2} \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ : elle converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. On résout l’équation $f(x)=x$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}=x \\
    &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x(x+2)}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x^2-2x}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-x^2+2x-1}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-(x-1)^2}{x+2}=0 \\
    &\ssi x=1
    \end{align*}$
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3     D’après Asie Juin 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$. L’unité graphique est $4$ cm.
Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes par : $$\begin{cases} z_0=0\\z_{n+1}=\lambda z_n+\ic\end{cases}$$

On note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.

  1. Calcul de $z_n$ en fonction de $n$ et de $\lambda$.
    a. Vérifier les égalités: $z_1=\ic$; $z_2=(\lambda+1)\ic$; $z_3=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. Étude du cas $\lambda=\ic$.
    a. Montrer que $z_4=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_n$.
    $\quad$
    c. Représenter les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ dans le repère $\Ouv$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $z_0=0$.
    $z_1=\lambda \times 0+\ic=\ic$.
    $z_2=\lambda \times \ic + \ic=(\lambda+1)\ic$.
    $z_3=\lambda \times (\lambda+1)\ic+\ic =\left(\lambda(\lambda+1)+1\right)\ic$ $=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $z_1=\ic$
    $\dfrac{\lambda^1-1}{\lambda-1}\ic=\ic=z_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n > 0$ : $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $z_{n+1}=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\begin{align*} z_{n+1}&=\lambda z_n+\ic \\
    &=\dfrac{\lambda\left(\lambda^n-1\right)}{\lambda-1}\ic+\ic \\
    &=\dfrac{\left(\lambda^{n+1}-\lambda+\lambda-1\right)\ic}{\lambda-1} \\
    &=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. a. Si $\lambda=\ic$
    Alors $z_3=(-1+\ic+1)\ic=-1$ donc $z_4=\ic \times (-1)+\ic=0$.
    $\quad$
    b. On a $z_4=z_0=0$
    Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} z_{n+4}&=\dfrac{\lambda^{n+4}-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times \lambda^4-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times 1-1}{\lambda-1}\ic \text{   car } \ic^4=1 \\
    &=z_n
    \end{align*}$
    Donc, pour tout entier naturel, on a $z_{n+4}=z_n$.
    $\quad$
    c.

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$\quad$

Exercice 4     Encore une étude de suite …

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1}$.
    Que peut-on en déduire?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On veut donc démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp u_{n+1}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{u_0+1}=\sqrt{2}$
On a bien $u_0<u_1$
La propriété est vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n\pp u_{n+1}$
$\begin{align*} u_n\pp  u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
&\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*)\\
&\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
\end{align*}$
$(*)$ par croissance de la fonction racine carrée.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent  la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

[collapse]

$\quad$