TS – Cours – Intervalles de fluctuation et estimation

Intervalles de fluctuation et estimation

I Intervalle de fluctuation

Dans toute cette partie on appellera $n$ la taille de l’échantillon choisi et $p$ la proportion dans la population d’un caractère étudié.
On supposera que $n \pg 30$, $np\pg 5$ et $n(1-p) \pg 5$.

1. Dans quel but ?

Lorsqu’on répète plusieurs fois une expérience aléatoire et qu’on s’intéresse à la fréquence d’apparition d’un événement, on constate que cette fréquence varie au cours des expérimentations. On souhaite donc déterminer un intervalle auquel doivent appartenir ces différentes fréquences pour un seuil donné (c’est-à-dire en s’octroyant une petite marge d’erreur nécessaire). Nous allons chercher dans cette partie un type d’intervalle, qu’on appellera intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $\boldsymbol{x\%}$ qui possédera les propriétés suivantes :

  1. il doit être centré autour de la probabilité théorique $p$ associée à la fréquence calculée.
  2. sa longueur doit diminuer quand le nombre d’expériences $n$ augmente

Deux cas vont alors se présenter à nous :

  • On connaît la valeur de $p$ et l’intervalle trouvé permet de trouver des échantillons défectueux;
  • On ne connaît pas la valeur de $p$ mais on fait une hypothèse sur sa valeur et l’intervalle obtenu ainsi que la fréquence d’apparition observée, permettront de valider ou de rejeter l’hypothèse faite.

2. Intervalle de fluctuation asymptotique

On va supposer dans cette partie la probabilité $p$ du caractère étudié est connue.

 Définition 1 : On considère un réel $p \in [0;1]$, un entier naturel $n$ et une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$.

On s’intéresse à la variable aléatoire $F_n = \dfrac{X_n}{n}$. Il s’agit de la variable aléatoire fréquence de succès pour le schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

$\quad$

 Définition 2 : On considère un réel $\alpha$ appartenant à l’intervalle $]0;1[$. On dit qu’un intervalle $I_n$ est un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F_n$, déterminée précédemment, au seuil $1-\alpha$ si $F_n$ appartient à $I_n$ avec une probabilité d’autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.

$\quad$

Remarques :

  • Pour un seuil donné, il existe plusieurs intervalles de fluctuation asymptotique.
  • La probabilité $P(F_n \in I_n)$ n’est pas nécessairement égale à $1-\alpha$ mais elle s’en rapproche quand la taille $n$ de l’échantillon devient de plus en plus grande.
 Propriété 1 : On considère un réel $\alpha \in ]0;1[$, un entier naturel $n$, un réel $p\in [0;1]$ et une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$.
On note $I_n = \left[ p – u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p + u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$.
On a alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P(F_n \in I_n) = 1-\alpha$.

Cela signifie donc que la probabilité que la fréquence $F_n$ prenne ses valeurs dans l’intervalle $I_n$ se rapproche de $1-\alpha$ quand la taille de l’échantillon $n$ devient grande.

Remarque : On dit alors que $I_n$ est un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence $F_n$ au seuil $1-\alpha$.

Preuve Propriété 1

$X_n$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$ donc, d’après le théorème de Moivre-Laplace, la variable aléatoire $Z_n = \dfrac{X_n-E(X_n)}{\sigma(X_n)}$ tend, vers une variable aléatoire $Z$ suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0;1)$.

Cela signifie que, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ on a :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P(a \le Z_n \le b) = \displaystyle \int_a^b {\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-x^2/2}\dx}$.

Or

$\begin{align*} Z_n &= \dfrac{X_n – E(X_n)}{\sigma(X_n)} \\
&=\dfrac{X_n – np}{\sqrt{np(1-p)}} \\
&=\dfrac{n\left(\dfrac{X_n}{n}-p \right)}{n\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\\
&=\dfrac{F_n-p}{\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\end{align*}$

Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P\left(p+a\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \pp F_n \pp p+b\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right)$ $ = \displaystyle \int_a^b {\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-x^2/2}\dx}$

Or, d’après une propriété vue dans le chapitre sur les lois de probabilité à densité, pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, si $X$ suit la loi normale centrée réduite, il existe un unique réel positif $u_\alpha$ tel que $P(-u_\alpha \le X \le u_\alpha) = 1-\alpha$.

On a donc $\displaystyle \int_{-u_\alpha}^{u_\alpha} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-x^2/2}\dx= 1-\alpha$.
En prenant $a=-u_\alpha$ et $b=u_\alpha$, on a
$$\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}P\left(p-u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \pp F_n \pp p+u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right) = 1-\alpha$$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On lance $70$ fois une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir Face est $p=0,7$.
On appelle $X_{70}$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où on obtient Face.
Par conséquent $X_{70}$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(70;0,7)$.
Si on prend $\alpha = 0,05$ alors, $u_{0,05} = 1,96$ d’après le cours sur la loi normale centrée réduite.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{70} &= \left[ 0,7-1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,7 \times 0,3}}{\sqrt{70}}; 0,7 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,7 \times 0,3}}{\sqrt{70}} \right] \\
& \approx [0,592;0,808]
\end{align*}$

On arrondit par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure afin de s’assurer d’avoir une probabilité d’au moins $1-\alpha$.

Avec $70$ lancers, la fréquence d’apparition de l’événement “Face” appartient donc à l’intervalle $[0,592;0,808]$ avec une probabilité de $0,95$.
Si on effectue plus de lancer l’intervalle de fluctuation asymptotique, pour le même seuil, se resserre.

 Propriété 2: Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance $95\%$ de la fréquence $F_n$ d’un caractère dans un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I_{n} = \left[ p-1,96 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$$

$\quad$

Remarques :

  • On avait défini en seconde un intervalle de fluctuation du type $\left[p – \dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$. Il contient l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ défini en TS.
  • L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ défini par cette propriété est centré sur la proportion $p$ ce qui n’est pas nécessairement le cas pour l’intervalle de fluctuation déterminé en classe $1^{\text{ière}}$ à l’aide de la loi binomiale.
 Propriété 3 : Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance $99\%$ de la fréquence $F_n$ d’un caractère dans un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I_{n} = \left[ p-2,58 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p + 2,58 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$$

$\quad$

$\quad$

3. Prise de décision

On va supposer dans cette partie que la proportion du caractère étudié n’est pas connue et on va émettre l’hypothèse qu’elle vaut $p$. On va essayer de déterminer si on peut valider ou rejeter l’hypothèse faite.

Propriété 4 (Règle de décision) : On fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère donné dans la population est égale à $p$. Dans un échantillon de taille $n$ on appelle $f$ la fréquence observée du caractère étudié dans cet échantillon et $I_n$ un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.

  1. Si $f \in I_n$ alors on accepte l’hypothèse faite sur la proportion $p$
  2. Si $f \notin I_n$alors on rejette l’hypothèse faite sur la proportion $p$ au risque de $5\%$.

$\quad$

Remarques :

  • Le risque de rejeter à tord l’hypothèse faite sur $p$ sachant qu’elle est vraie est approximativement égale à $5\%$.
  • Si les conditions sur $n$ et $p$ ne sont pas vérifiées on utilise l’intervalle vu en $1^{\text{ière}}$ avec la loi binomiale : on recherche les plus petits entiers $a$ et $b$ tels que :
    $\quad$ $-$ $P(X \le a) > 0,025$
    $\quad$ $-$ $P(X \le b) \pg 0,975$
    L’intervalle cherché est alors $\left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right]$.

$\quad$

Exemple : Sur un court de Tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir $100$ balles. Sur une séquence de $100$ lancers, $42$ balles ont été lancées à droite.
Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés?

On a $n=100\pg 30$ et $p=0,5$ donc $np=50 \pg 5$ et $n(1-p)=50 \pg 5$.
Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*}
I_{100}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{100}}\right] \\
&=[0,402;0,598]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{42}{100}=0,42\in I_{100}$.
Au risque d’erreur de $5\%$, l’appareil fonctionne correctement et les doutes du joueur ne sont pas justifiés.
$\quad$

II Estimation

1. Dans quel but?

On se trouve dans une situation dans laquelle la proportion $p$ dans la population d’un caractère étudié ne peut être déterminée. On souhaite cependant trouver, à l’aide d’expérimentations un intervalle auquel doit appartenir $p$. C’est notamment le cas quand on parle de sondages. Il est en effet impossible, pour les organismes de sondage, de connaître à l’avance les résultats d’une élection. Ils ne peuvent donc travailler que sur des groupes d’individus censés représenter la population dans sa globalité.

Remarque :  on considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x-x^2$. Cette fonction admet un maximum pour $x=\dfrac{-b}{2a}=0,5$. Ce maximum vaut $f(0,5)=0,25$.
Par conséquent, pour tout réel $p\in[0;1]$ on a $0 \pp \sqrt{p(1-p)} \pp \sqrt{0,25}$ soit $0 \pp \sqrt{p(1-p)} \pp 0,5$.
Cela nous permet d’écrire que $0\pp 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \pp \dfrac{0,98}{\sqrt{n}} \pp \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Pour la suite, l’intervalle de fluctuation asymptotique $I_{n} = \left[ p-1,96 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ sera simplifié en $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
$\quad$

2. Estimation

 Propriété 5 : On considère un réel $p$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, un entier naturel $n$ non nul, $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$ et $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ la variable aléatoire fréquence associée à $X_n$.
Pour $n$ suffisamment grand, $p$ appartient à l’intervalle $J_n=\left[F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}};F_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$.
Preuve Propriété 5

On utilise l’intervalle de fluctuation est $I_n=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
Pour $n$ suffisamment grand $F_n$ appartient à cet intervalle avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$.
$\begin{align*}
F_n \in I_n &\ssi p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \pp F_n \pp p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
&\ssi -\dfrac{1}{\sqrt{n}} \pp F_n-p \pp \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
&\ssi F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \pp p \pp F_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
&\ssi p\in J_n
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

 Définition 3 : On note $f$ la fréquence observée d’un caractère étudié sur un échantillon de taille $n$. L’intervalle $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est appelé intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance $\boldsymbol{0,95}$.

$\quad$

Remarques :

  • L’amplitude d’un intervalle de confiance est : $\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. La précision des intervalles de confiance augmente avec la taille des échantillons.
  • $p$ étant inconnu, on ne peut pas vérifier si les conditions énoncées sur $n$ et $p$ vues dans la partie précédentes sont vraies. On va cependant, demander que : $n \ge 30, nf \ge 5$ et $n(1-f)\ge 5$.
  • Un intervalle de confiance n’est pas nécessairement centré en $p$.
  • Un niveau de confiance $0,95$ signifie que dans $95\%$ des cas, $p$ appartient à l’intervalle de confiance.

$\quad$

Exemple : Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire.
Pour cela, on interroge un échantillon de personnes de cette population et l’on pose une question à chaque personne.

  • On suppose que $1~000$ personnes ont répondu à la question et que, parmi ces personnes, $29\%$ sont favorables au projet d’aménagement.
    On a donc $n=1~000\pg 30$, $f=0,29$ donc $nf=290 \pg 5$ et $n(1-f)=710 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance est donc $I_{1~000}=\left[0,29-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,29+\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right] \approx [0,258;0,322]$.
  • On souhaite que l’amplitude de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $0,95$, soit inférieure ou égale à $0,04$.
    Cela signifie donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,04 \ssi \dfrac{2}{0,04} \pp \sqrt{n} \ssi 50 \pp \sqrt{n} \ssi 2~500 \pp n$.
    Il faut donc qu’au moins $2~500$ personnes répondent à la question pour que l’amplitude de l’intervalle de confiance soit inférieure ou égale à $0,04$.

TS – Cours – Produit scalaire dans l’espace

Produit scalaire dans l’espace

I Généralités

Définition 1 : On considère deux vecteurs de l’espace $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On peut trouver un plan $\mathscr{P}$ contenant un représentant de chacun de ces vecteurs. On définit le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans l’espace comme étant égal au produit scalaire des deux vecteurs dans le plan $\mathscr{P}$.

On le note également $\vec{u}.\vec{v}$

Les propriétés du produit scalaire vues en 1S dans le plan sont donc également valables dans l’espace. En particulier :

 Propriété 1 : On considère deux vecteurs de l’espace $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On a alors :

  1. Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$
  2. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls alors $\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u} \| \|\vec{v}\| \cos\left(\vec{u},\vec{v} \right)$
  3. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls alors :
    $\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2} \left(\|\vec{u} \|^2+\|\vec{v} \|^2-\|\vec{u}-\vec{v} \|^2 \right) = \dfrac{1}{2} \left(\|\vec{u}+\vec{v} \|^2-\|\vec{u} \|^2-\|\vec{v} \|^2 \right)$

$\quad$

 Propriété 2 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ et un réel $k$.

  1. $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$ $\quad$ (commutativité)
  2. $\left(k \vec{u}\right).\vec{v} = k \left(\vec{u}.\vec{v}\right) = \vec{u}.\left(k\vec{v} \right)$
  3. $\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ $\quad$ (distributivité à gauche)
  4. $\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\vec{w} = \vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ $\quad$ (distributivité à droite)

$\quad$

 Propriété 3 :

On considère trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ et le projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(AB)$. On a alors

$\vect{AB}.\vect{AC} = \vect{AB}.\vect{AH} = \begin{cases} AB.AH \quad \text{si} ~ \vect{AB} ~\text{et}~ \vect{AH} ~\text{ont le même sens} \\ -AB.AH \quad \text{si}~ \vect{AB} ~\text{et}~ \vect{AH} ~\text{n’ont pas le même sens}\end{cases}$

$\quad$

  • $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ ont le même sens :
  • $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ n’ont pas le même sens :

 

 Propriété 4 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x’,y’,z’)$ de l’espace muni $\Oijk$ un repère orthonormé. On a alors $$\vec{u}.\vec{v} = xx’+yy’+zz’$$
Preuve Propriété 4

On a $\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ et $\vec{v}=x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k}$

Par conséquent $\vec{u}.\vec{v} = xx’\vec{i}.\vec{i}+xy’\vec{i}.\vec{j}+xz’\vec{i}.\vec{k}+yx’\vec{i}.\vec{j}+yy’\vec{j}.\vec{j}+yz’\vec{j}.\vec{k}+zx’\vec{i}.\vec{k}+zy’\vec{k}.\vec{j}+zz’\vec{k}.\vec{k}$

Le repère est orthonormé donc $\vec{i}.\vec{j}=\vec{j}.\vec{k}=\vec{i}.\vec{k}=0$ et $\vec{i}.\vec{i}=\vec{j}.\vec{j}=\vec{k}.\vec{k}=1$.

D’où $\vec{u}.\vec{v} = xx’+yy’+zz’$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;-2;4)$ et $\vec{v}(2;5;1)$.

On a alors $\vec{u}.\vec{v} = 3 \times 2-2\times 5+4\times 1 = 6-10+4=0$

$\quad$

 Définition 2 : On considère un vecteur $\vec{u}$ de l’espace. On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ le nombre positif noté $\|\vec{u}\|$ défini par $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u}$.

$\quad$

 Propriété 5 : On considère le vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ de l’espace muni d’un repère $\Oijk$.

On a alors : $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Preuve Propriété 5

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u} = x^2+y^2+z^2$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;-2;4)$ et $\vec{v}(2;5;1)$.

On a alors $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2+5^2+1^2}=\sqrt{30}$

$\quad$

II Vecteurs orthogonaux

 Définition 3 : Deux vecteurs non nuls de l’espace sont dits orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales.

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Exemple :

Les couples de vecteurs suivants sont orthogonaux :

  • $\vect{DC}$ et $\vect{DH}$
  • $\vect{AB}$ et $\vect{EH}$
  • $\vect{AE}$ et $\vect{FG}$
 Propriété 6 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v} = 0$.

Preuve Propriété 6

  • Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou si $\vec{v} = \vec{0}$ alors par définition $\vec{u}.\vec{v} = 0$
  • On suppose maintenant que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls.
    On considère trois points coplanaires de l’espace $A$, $B$ et $C$ de l’espace tels que les droites $(AB)$ et $(AC)$ soient respectivement dirigées par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
    $\qquad \ssi$ $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires
    $\qquad \ssi$ $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$
    $\qquad \ssi$ $\cos \widehat{BAC} = 0$
    $\qquad \ssi$ $\vec{u}.\vec{v} = 0$

[collapse]

$\quad$

 Définition 4 : On dit qu’un vecteur non nul de l’espace $\vec{n}$ est normal à un plan $\mathscr{P}$ s’il existe une droite perpendiculaire à $\mathscr{P}$ dirigée par $\vec{n}$.

$\quad$

 Propriété 7 : Un vecteur non nul est normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Preuve Propriété 7

Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

[collapse]

$\quad$

Propriété 8 : On considère un vecteur non nul $\vec{n}$ de l’espace.

$\vec{n}$ est normal à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathscr{P}$.

Preuve Propriété 8

  • D’après la propriété précédente la propriété directe est évidente.
  • Réciproquement, on considère deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\mathscr{P}$ orthogonaux à $\vec{n}$.
    On considère un autre vecteur $\vec{w}$ de $\mathscr{P}$.
    Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Il existe donc deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u}+b \vec{v}$.
    On a ainsi $\vec{w}.\vec{n} = a \vec{u}.\vec{n}+b \vec{v}.\vec{n} = 0$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : On veut déterminer les coordonnées d’un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ défini par $\vec{u}(3;-1;4)$ et $\vec{v}(-2;1;0)$.

Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires. Ils définissent donc un plan $\mathscr{P}$.

On appelle $\vec{n}(x;y;z)$ un vecteur normal à $\mathscr{P}$.
Par conséquent $\vec{n}.\vec{u} = 3x-y+4z = 0$ et $\vec{n}.\vec{v} = -2x+y=0$.
On doit donc résoudre le système suivant $\begin{cases} 3x-y+4z=0 \\ -2x+y=0\end{cases}$

Puisqu’il y a plus d’inconnues que d’équations on va fixer une des inconnues à $1$.
Prenons par exemple $x=1$.

Donc $\begin{cases} 3-y+4z=0 \\-2+y=0 \end{cases} $ $\ssi \begin{cases} y=2 \\4z=y-3 = 0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} y=2 \\z=-\dfrac{1}{4} \end{cases} $

$\vec{n}\left(1;2;-\dfrac{1}{4}\right)$ est donc un vecteur normal à $\mathscr{P}$.

$\quad$

III Équation cartésienne d’un plan

 Propriété 9 : On considère un vecteur de l’espace non nul $\vec{n}$ et un point de l’espace $A$.

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace vérifiant $\vect{AM}.\vec{n} = 0$.

Preuve Propriété 9
  • On considère un point $M$ du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.
    Par définition le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à tous les vecteurs de $\mathscr{P}$, en particulier à $\vect{AM}$. Par conséquent $\vect{AM}.\vec{n}= 0$.
  • Réciproquement, On considère un point $M$ de l’espace tel que $\vect{AM}.\vec{n} = 0$.
    Cela signifie donc que :
    – soit $A = M$
    – soit $(AM)$ est orthogonale à la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$.
    Par conséquent $M$ appartient au plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

[collapse]

$\quad$

Pour les propriétés suivantes, on se place dans un repère $\Oijk$ orthonormé de l’espace :

 Propriété 10 : On considère un vecteur non nul de l’espace $\vec{n}(a;b;c)$ normal à un plan $\mathscr{P}$. Une équation de $\mathscr{P}$ est alors de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $d \in \R$.
Preuve Propriété 10

Soient $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de $\mathscr{P}$ et $M(x;y;z)$ un point de l’espace.

$\begin{align*}
M \in \mathscr{P} & \Leftrightarrow \vect{AM}.\vec{n} = 0 \\
& \Leftrightarrow a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) = 0 \\
& \Leftrightarrow ax + by +cz – (ax_0+by_0+cz_0)=0
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Propriété 11 : On considère quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $a$,$b$ et $c$ ne soient pas tous nuls alors l’ensemble des points de l’espace vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.
Preuve Propriété 11

On appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l’espace vérifiant $ax+by+cz+d=0$.
Les réels $a$, $b$ et $c$ ne sont pas tous nuls, on peut supposer par exemple que $a \ne 0$.
Les coordonnées du point $A \left(-\dfrac{d}{a};0;0\right)$ vérifient cette équation. L’ensemble $\mathscr{E}$ n’est donc pas vide.

Soit $M(x;y;z)$ un point de $\mathscr{E}$ on a :
$ax+by+cz+d=0$
On a de plus $a \times -\dfrac{d}{a} + d = 0$
Par différence, on obtient $a\left(x+\dfrac{d}{a} \right) +by+cz = 0$ $\ssi \vect{AM}.\vec{n} = 0$ avec $\vec{n}(a;b;c)$

$\mathscr{E}$ est donc le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$

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$\quad$

Remarque : Une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ est appelée une équation cartésienne d’un plan.

$\quad$

Exemple : On considère un point de l’espace $A(-1;3;-2)$ et un vecteur de l’espace $\vec{n}(2;-1;-3)$.

On appelle $\mathscr{P}$ le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$.
Une équation de $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-3z+d=0$ où $d \in \R$.
$A \in \mathscr{P}$ donc $2 \times (-1)-3-2\times (-3) +d = 0$ soit $d = -1$.

Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-3z-1=0$.

$\quad$

IV Positions relatives

Propriété 12 : (Droite et plan)

On considère une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par un point $A$ et un plan $\mathscr{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$.

  1. Si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux alors $d$ et $\mathscr{P}$ sont parallèles
    – Si $A \in \mathscr{P}$ alors $d$ est incluse dans $\mathscr{P}$
    – Sinon $d$ et $\mathscr{P}$ sont strictement parallèles.
  2. Si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ ne sont pas orthogonaux alors $d$ et $\mathscr{P}$ sont sécants (cas particulier si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires alors $d$ est perpendiculaire à $\mathscr{P}$.

$\quad$

Exemple : On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $-x+2y-3z-1=0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t \\y=2+3t \qquad t \in \R \\z=-1+2t \end{cases}$.

Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(-1;2;-3)$ et un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}(1;3;2)$.
$\vec{n}.\vec{u} = -1\times 1+2\times 3-3\times 2 = -1 \ne 0$. La droite et le plan sont sécants.

Les coordonnées de leur point d’intersection $M(x;y;z)$ vérifient les équations de $d$ et celle de $\mathscr{P}$.

Par conséquent $\begin{cases} x=t \\y=2+3t \\z=-1+2t \\-x+2y-3z-1=0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x=t \\y=2+3t \\z=-1+2t \\-t+2(2+3t)-3(-1+2t)-1=0 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} t=6 \\x=6\\y=20\\z=11\end{cases}$

Donc $M(6;20;11)$

$\quad$

Propriété 13 : (Plans)

On considère deux plans de l’espace $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ dont les vecteurs normaux respectifs sont $\vec{n}$ et $\vec{n’}$.

  1. Si $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ sont colinéaires alors $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles.
  2. Si $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ ne sont pas colinéaires alors $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants.

$\quad$

Remarque : On considère $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ d’équation respective $ax+by+cz+d = 0$ et $a’x+b’y+c’z+d’ = 0$.
Si $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants alors leur intersection est la droite solution du système :

$\begin{cases} ax+by+cz+d = 0 \\a’x+b’y+c’z+d’ = 0 \end{cases}$

 

TS – Cours – Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité

I Généralités

Les variables aléatoires qui ont été étudiées jusqu’à présent prenaient des valeurs discrètes, c’est-à-dire qu’il y avait nécessairement un écart entre toutes les valeurs. Dans ce chapitre, on va s’intéresser à des variables aléatoires qui vont prendre des valeurs dans un intervalle $I$ de $\R$. Ces variables aléatoires vont alors être qualifiées de \textbf{continue}.

Exemple : La variable aléatoire mesurant la durée de vie d’un composant électronique est une variable aléatoire continue.

 Définition 1 : On dit qu’une fonction est une fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ sur un intervalle $I$ si :

  • $f$ est définie, continue et positive sur $I$
  • $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = 1$

Remarque : En fonction du type d’intervalles rencontrés on va utiliser les notations suivantes :

  • Si $I = [a;b]$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = \int_a^b {f(x)\dx}$.
  • Si $I=[a;+\infty[$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \int_a^t {f(x)\dx}$
  • Si $I=]-\infty;a]$ alors $\displaystyle \int_I {f(x)\dx} =\lim\limits_{t \rightarrow -\infty} \int_t^a {f(x)\dx}$

Exemple de fonctions de densité : Montrons que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=\left(\dfrac{x}{4} \right)^3 $ est une fonction de densité.

  • $f$ est continue sur $[0;4]$ en tant que produit de fonctions continues.
  • Sur $[0;4]$, $x$ est positif donc $\dfrac{x}{4}\pg 0$ et par conséquent $f(x) \pg 0$.
  • $\displaystyle \int_0^4\left(\dfrac{x}{4}\right)^3\dx =\left(\dfrac{1}{4}\right)^3\int_0^4 x^3\dx= \left[\dfrac{1}{4^3}\times \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^4=\dfrac{1}{4^4}\times 4^4=1$

$f$ est donc bien une fonction de densité sur l’intervalle $[0;4]$.

 Propriété 1 : On considère est une variable aléatoire $X$ de fonction de densité $f$. Quel que soit l’intervalle $[a;b]$ de $I$ on a :

$$P(X\in[a;b]) = P(a \pp X \pp b) = \displaystyle \int_a^b{f(x)\dx}$$

 Propriété 2 : On considère une variable aléatoire $X$ définie sur $I$ de fonction de densité $f$.

  1. $P(X \in I) = 1$
  2. $\forall \alpha \in \R, P(X = \alpha) = \displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha} {f(x)\dx} = 0$
  3. Pour tous réels $a$ et $b$, $P\left(X \in [a;b]\right) = P\left(X\in]a;b]\right)= P\left(X\in]a;b[\right)= P\left(X\in[a;b[\right)$
  4. Pour tout réel $a$, $P(X > a) = P(X \ge a)$

Exemple : Si on prend la fonction de densité $f$ de l’exemple précédent définie par $f(x) = \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \text{ sur } [0;4]$ :

$P(1 < X < 3) = \displaystyle \int_1^3 \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \dx = \left[\dfrac{x^4}{4^4}\right]_1^3 = \dfrac{5}{16}$

 Définition 2 : On considère une variable aléatoire $X$ définie sur un intervalle $I$ de fonction de densité $f$. On appelle espérance mathématique de $\boldsymbol{X}$ le nombre défini par :

$$E(X) = \int_I {xf(x)\dx}$$

Remarque : On parle parfois de moyenne de la variable aléatoire $X$ pour désigner $E(X)$.

Exemple :  Si $f(x) = \left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \text{ sur } [0;4]$ alors :
$\begin{align*} E(X) &= \displaystyle \int_0^4{x\left(\dfrac{x}{4} \right)^3 \dx}\\
&= \left[\dfrac{x^5}{5\times 4^3}\right]_0^4 \\
&= \dfrac{16}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\quad$

II Loi uniforme

 Définition 3 : On appelle loi uniforme sur l’intervalle $\boldsymbol{[a;b]}$ la loi de probabilité associée à la fonction de densité $f$ définie sur $\R$ par :

$$f(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} \quad \text{si } a \pp t \pp b \\ \\0 \quad \text{sinon} \end{cases}$$

Remarque: La loi uniforme modélise le tirage aléatoire d’un nombre compris entre $a$ et $b$.

 Propriété 3 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$.

  1. si $x < a$ alors $P(X \pp x) = 0$
  2. si $a \pp x \pp b$ alors $P(X \pp x) = \dfrac{x-a}{b-a}$
  3. si $x > b$ alors $P(X \pp x) = 1$

Preuve Propriété 3

  1. Si $x < a$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x {f(t)\dt} = -\int_x^a {f(t)\dt} = – \int_x^a 0 \dt = 0$.
    $\quad$
  2. Si $a \pp x \pp b$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x {f(t)\dt} = \int_a^x{\dfrac{1}{b-a}\dt} = \dfrac{x-a}{b-a}$.
    $\quad$
  3. Si $x>b$ alors $P(X \pp x) = \displaystyle \int_a^x{f(t)\dt} = \int_a^b{f(t)\dt} + \int_b^x{f(t)\dt} = 1 + \int_b^x{0\dt} = 1$.

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$\quad$

 Propriété 4 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ et deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $a \pp \alpha \pp \beta \pp b$ alors :

$$P(\alpha \pp X \pp \beta) = P(X \pp \beta)-P(X \pp \alpha) = \displaystyle \int_\alpha^\beta \dfrac{1}{b-a}\dt = \dfrac{\beta-\alpha}{b-a}$$

Exemple : On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;20]$.
$P(5 \pp X \pp 10) = P(X \pp 10)-P(X\pp 5)=\dfrac{10-0}{20-0}-\dfrac{5-0}{20-0} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$.

Mais d’après la propriété précédente on peut aussi écrire $P(5 \pp X \pp 10) = \dfrac{10-5}{20-0}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.

 Propriété 5 :

On considère un variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ alors l’espérance de cette variable aléatoire est $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$.

Preuve Propriété 5

$\begin{align*}
E(X) & = \int_a^b {\dfrac{t}{b-a}\dt} \\
& = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b {t\dt} \\
& = \dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_a^b \\
& = \dfrac{b^2 -a^2}{2(b-a)} \\
& = \dfrac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} \\
& = \dfrac{b+a}{2}
\end{align*}$

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Exemple : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;20]$ alors $E(X) = \dfrac{20 + 0}{2} = 10$.

$\quad$

III Loi exponentielle

 Définition 4 : On considère un réel $\lambda > 0$. on dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\boldsymbol{\lambda}$ si sa fonction de densité $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$.
 Propriété 6 : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors, pour tous réels $a$ et $b$ tel que $ 0 \pp a \pp b$ on a :

  1. $P(a \pp X \pp b) = \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$
  2. $P(X \pp b) = 1-\e^{-\lambda b}$
  3. $P(X \pg a) = \e^{-\lambda a}$

Preuve Propriété 6

  1. $P(a \pp X \pp b) = \displaystyle \int_a^b {\lambda\text{e}^{-\lambda t}\dt} = \left[-\e^{-\lambda t} \right]_a^b = \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$
    $\quad$
  2. $P(X \pp b) = P(0 \pp X \pp b) = 1-\e^{-\lambda b}$
    $\quad$
  3. $P(X \pg a) = 1-P(X < a) = 1-P(X \pp a) = \e^{-\lambda a}$

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$\quad$

Exemple : Si $\lambda = 0,2$ alors $P(1 \pp X \pp 2) = \e^{-0,2\times 1}-\e^{-0,2\times 2}=\e^{-0,2}-\e^{-0,4}\approx 0,148$

 Propriété 7 : On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Son espérance mathématique est alors $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
Preuve Propriété 7

$\displaystyle E(X) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x {\lambda t \e^{-\lambda t}\dt}$.

Déterminons une primitive de $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t) = \lambda t \e^{-\lambda t}$

On appelle $F$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $F(t) = (\alpha t + \beta)\e^{-\lambda t}$ ($\alpha$ et $\beta$ étant $2$ réels).

$F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et
$F'(t) = (\alpha-\alpha \lambda t-\lambda \beta)\e^{-\lambda t} = (-\alpha \lambda t+ \alpha-\lambda \beta) \e^{-\lambda t}$.
Si on pose $\alpha = -1$ et $\beta = -\dfrac{1}{\lambda}$. Alors $F'(t) = f(t)$.

Par conséquent $F$ est une primitive de $f$.

Pour tout $x > 0$, on a $\displaystyle \int_0^x \lambda t \e^{-\lambda t} \dt = \Big[F(x)\Big]_0^{\lambda} = \left(-x-\dfrac{1}{\lambda} \right) \e^{-\lambda x} + \dfrac{1}{\lambda}$

Donc :
$\begin{align*}  \displaystyle E(X) &= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x \lambda t \e^{-\lambda t}\dt \\
&= \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \left(\left(-x – \dfrac{1}{\lambda} \right) \e^{-\lambda x} + \dfrac{1}{\lambda}\right)\\
&= \dfrac{1}{\lambda} \text{ car } \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X \\
&=0\end{align*} $.

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$\quad$

Exemple : Si $\lambda = 0,2$ alors $E(X) = \dfrac{1}{0,2}=5$

Propriété 8 (durée de vie sans vieillissement) : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors, pour tous réels $t$ et $h$ strictement positifs on a:

$$P_{X \ge t}(X \ge t+h) = P(X \ge h)$$

Preuve Propriété 8

$\begin{align*} P_{X \ge t}(X \ge t+h) &= \dfrac{P\left((X \ge t) \cap (X \ge t+h) \right)}{P(X \ge t)}\\
&= \dfrac{P(X \ge t+h)}{P(X \ge t)}\\
&= \dfrac{\e^{-\lambda (t+h)}}{\e^{-\lambda t}}\\
& = \e^{-\lambda h} = P(X \ge h)
\end{align*}$

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$\quad$

Remarque : Cela signifie donc que cette probabilité conditionnelle ne dépend que du délai $h$ et pas du moment $t$ à partir duquel on observe le phénomène.

 

Exemple : Si la variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ alors :

$P_{X \ge 1}(X \ge 3) = P_{X \ge 1}(X \ge 1+2) = P(X \ge 2) = \e^{-0,4}$

$\quad$

Cas d’utilisation de la loi exponentielle : La loi exponentielle permet de modéliser des phénomènes dont la durée de vie n’est pas affectée par l’âge.

Exemples :

  • la magnitude des tremblements de terre
  • la désintégration d’un noyau radioactif
  • la durée de vie de composants électroniques

$\quad$

IV Loi normale centrée réduite $\boldsymbol{\mathscr{N}(0;1)}$

 Définition 5 : On dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0;1)$ si sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.

 

 Propriété 9 : 

  1. L’aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut $1$.
  2. La courbe $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  3. Le maximum de $f$ est atteint en $0$

$\quad$

 Propriété 10 : Si $X$ suit la loi normale centrée réduite alors son espérance mathématique est $E(X) = 0$.
Preuve Propriété 10

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \dfrac{t}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.
Une primitive de $f$ est donc $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = \dfrac{-1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}$.
Donc $\displaystyle \int_0^x f(t)\dt = \Big[F(t)\Big]_0^x=F(x)-F(0)$ et $\displaystyle \int_y^0 f(t)\dt = \Big[F(t)\Big]_y^0=F(0)-F(y)$.
Mais $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} F(x) = \lim\limits_{y \rightarrow -\infty} F(y) = 0$

Donc $E(X) = \displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \int_0^x f(t)\dt + \lim\limits_{y \rightarrow -\infty} \int_y^0 f(t)\dt = F(0)-F(0) = 0$

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$\quad$

 Propriété 11 : La variance d’une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite est $V(X) = E \left((X-E(X))^2\right) = 1$. 

$\quad$

 Propriété 12 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite de fonction de densité $f$.
Pour tout réel $x$ on a : $$\Phi(x) = P(X \pp x)  = \displaystyle \int_{-\infty}^{x} {f(t)\dt} = \dfrac{1}{2} + \int_{0}^{x} {f(t)\dt}$$

 

On utilise, par conséquent, les méthodes suivantes pour calculer les probabilités dans les cas suivants :

 

 Propriété 13 : On considère un réel $a$.

  1. $P(X \pp -a) = P(X \pg a)$
  2. $\Phi(-a) = 1-\Phi(a)$
  3. $P(-a \pp X \pp a) = 2\Phi(a)-1$

Preuve Propriété 13

  1. La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. $\Phi(-a) = P(X \pp -a) = P(X \pg a) = 1-P(X <a) = 1-\Phi(a)$
    $\quad$
  3. $P(-a \pp X \pp a) = P(X \pp a)-P(X < -a) = \Phi(a)-\left(1-\Phi(a) \right) = 2\Phi(a)-1$
    $\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • $P(X \pp 2) = \Phi(2) \approx 0,977~2$
  • $P(X \pg 2) = 1-\Phi(2) \approx 0,022~8$
  • $P(X \pp -2) = 1-\Phi(2) \approx 0,022~8$
  • $P(-2 \pp X \pp 2) = 2\Phi(2)-1 \approx 0,954~5$
 Propriété 14 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite.

Pour tout $\alpha \in ]0;1[$ il existe un unique réel positif $u_\alpha$ tel que $P(-u_{\alpha} \pp X \pp u_{\alpha}) = 1-\alpha$.

Preuve Propriété 14

On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par $F(u) = P(-u \pp X \pp u) = \displaystyle \int_u^u f(t)\dt$ où $f$ est la fonction de densité de la loi normale centrée réduite.
$F$ est donc une fonction continue sur $[0;+\infty[$.
La fonction de densité $f$ est strictement positive sur $\R$. La fonction $F$ est par conséquent strictement croissante sur $\R$

De plus, on a $F(0) = 0$ et $\lim\limits_{u \rightarrow +\infty} F(u) = 1$.
Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$ on a $0 < 1-\alpha < 1$.
D’après le théorème de la bijection, il existe donc un unique réel positif $u_\alpha$ tel que : $F(u_\alpha) = 1-\alpha$.

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$\quad$

 Propriété 15 : Voici $2$ valeurs approchées particulières de $u_\alpha$ à connaître :

  1. $u_{0,05} = 1,96$
  2. $u_{0,01} = 2,58$

Remarque : Ces valeurs seront utilisées dans le chapitre sur l’échantillonnage et les intervalles de fluctuation.

Théorème 1 (Théorème de Moivre-Laplace) :

On considère un entier naturel non nul $n$, un réel $p \in ]0;1[$ et une une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathscr{B}(n;p)$. On considère la variable aléatoire $Z_n = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.

Alors pour tous les réels $a$ et $b$ tels que $a < b$, on a $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} P(a \pp Z_n \pp b) = \displaystyle \int_a^b {\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-t^2/2}\dt}$

Remarque : Les calculs liés à une loi binomiale pour $n$ très grand deviennent vite compliqués pour les ordinateurs. Le théorème précédent permet de trouver rapidement des valeurs approchées.

$\quad$

V Loi Normale $\boldsymbol{\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)}$

 Définition 6 :On considère deux réels strictement positifs $\mu$ et $\sigma$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ si, et seulement si, la variable aléatoire $X’ = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

Voici les représentations graphiques de trois fonctions de densité pour la loi $\mathscr{N}(\mu;1)$.

 

Remarque : Pour chaque valeur de $\mu$, la courbe représentative de la fonction de densité $f$ admet la droite d’équation $x= \mu$ pour axe de symétrie.

 Propriété 16 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ alors :

  1. Son espérance est $E(X) = \mu$
  2. Sa variance est $V(X) = \sigma^2$

 

Remarque : La valeur de $\sigma$ agit sur la dispersion des points de la courbe de la fonction de densité autour de son axe de symétrie: plus $\sigma$ est grand plus la courbe est évasée et, au contraire, plus $\sigma$ est petit plus la courbe est resserrée autour de son axe de symétrie.

 

 Propriété 17 : On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}(\mu;\sigma^2)$ alors :

  • $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,683$
  • $P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
  • $P(\mu-3\sigma \pp X \pp \mu+3\sigma)\approx 0,997$

Utilisation de la loi normale : On utilise une loi normale lorsqu’une variable aléatoire continue dépend d’un grand nombre de causes indépendantes, dont les effets s’additionnent sans qu’aucune ne soit prépondérante.

Exemples :

  • dimensions d’un objet fabriqué (elles dépendent, par exemple, de la température, de l’humidité,du réglage de l’appareil, des vibrations auxquelles il est soumis, de l’homogénéité de la matière première, …)
  • le taux de glycémie
  • durée de fonctionnement de certaines pièces

Remarque : La calculatrice est très utilisée dans ce chapitre. Elle permet, en particulier, de déterminer, pour tout réel $\alpha \in [0;1]$, le réel $k$ tel que $P(X \pp k)=\alpha$.

TS – Cours – Géométrie vectorielle

Géométrie Vectorielle

I Vecteurs de l’espace

1 Généralités

Les vecteurs ont déjà été définis dans le plan. Nous allons étendre, ici, à l’espace les définitions et propriétés existantes.

 Définition 1 : On considère deux points $A$ et $B$ de l’espace.

  • Si $A=B$, le vecteur $\vect{AB}$ est le vecteur nul noté $\vec{0}$;
  • Si $A\neq B$, le vecteur $\vect{AB}$ est défini de la façon suivante :
    – sa direction est la droite $(AB)$;
    – son sens est celui de $A$ vers $B$;
    – sa norme (ou longueur) est la distance $AB$ et on note $\left\Vert \vect{AB}\right\Vert=AB$.

 Propriété 1 :

  1. On considère quatre points de l’espace $A,B,C$ et $D$.
    $\vect{AB}=\vect{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace sont égaux si, et seulement si, ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
  3. Les propriétés vues dans le plan, sur la somme de deux vecteurs, la multiplication d’un vecteur par un réel, la relation de Chasles,… sont également valables dans l’espace.
  4. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
  5. Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l’espace.
  6. Trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
  7. Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires

Exemple : Les vecteurs $\vect{BE}$ et $\vect{CH}$ sont colinéaires.

2 Définition d’un plan

 Propriété 2 : On considère trois points non alignés de l’espace $O$, $A$ et $B$. L’ensemble des points $M$ de l’espace défini par $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$, où $x$ et $y$ sont des réels, est le plan $(OAB)$.
Preuve Propriété 2

Les points $O,A$ et $B$ ne sont pas alignés. Par conséquent les vecteurs $\vect{OA}$ et $\vect{OB}$ ne sont pas colinéaires et $\left(O;\vect{OA},\vect{OB}\right)$ défini un repère du plan $(OAB)$.
Ainsi, pour tout point $M$ du plan $(OAB)$, il existe des réels $x$ et $y$ tels que $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.

Réciproquement, on considère deux réels $x$ et $y$ et un point $M$ de l’espace défini par $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.
On appelle $A’$ le point de l’espace défini par $\vect{OA’} = x\vect{OA}$. Le point $A’$ appartient donc à la droite $(OA)$.
De la même manière, on appelle $B’$ le point de l’espace défini par $\vect{OB’} = y\vect{OB}$. Le point $B’$ appartient donc à la droite $(OB)$.
On a alors $\vect{OM} = \vect{OA’}+\vect{OB’}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{A’M} &= \vect{A’O}+\vect{OM} \\
&= \vect{A’O}+\vect{OA’}+\vect{OB’} \\
&= \vect{OB’}
\end{align*}$
Le point $M$ appartient donc à la droite parallèle à la droite $(OB)$ passant par $A’$.
Il appartient alors au plan $(ABC)$.

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$\quad$

Remarques :

  • Il existe donc un unique plan défini par un point et couple de vecteurs de l’espace non colinéaires.
  • Un plan de l’espace peut donc être défini par trois points de l’espace non alignés ou par un point de l’espace et deux vecteurs non colinéaires.
Propriété 3 : On considère deux points de l’espace $A$ et $A’$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Le plan $\mathscr{P}$ défini par le point $A$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est parallèle au plan $\mathscr{P}’$ défini par le point $A’$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Preuve Propriété 3

La droite $d_1$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à la droite $d_1’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
De même, la droite $d_2$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{v}$ est parallèle à la droite $d_2’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
Les droites $d_1$ et $d_2$ d’une part et $d_1’$ et $d_2’$ d’autre part sont sécantes car les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
Deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}$ sont donc parallèles à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$. Ces deux plans sont par conséquent parallèles.

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$\quad$

$\quad$

3 Vecteurs coplanaires

 Définition 3 : On considère quatre points de l’espace $A,B,C$ et $D$ et trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$, $\vec{v}=\vect{AC}$ et $\vec{w}=\vect{AD}$.
Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont dits coplanaires si les points $A,B,C$ et $D$ sont dans un même plan.
 Propriété 4 : On considère trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne soient pas colinéaires.
Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$.
Preuve Propriété 4

On appelle $A$, $B$, $C$ et $D$ des points tels que $\vect{AB} = \vec{u}$, $\vect{AC} = \vec{v}$ et $\vect{AD} = \vec{w}$. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc un plan.
$D$ appartient à $ABC$ si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AD} = x\vect{AB}+y\vect{AC}$.
Par conséquent $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$.

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$\quad$

 Propriété 5 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont non coplanaires si, et seulement si, l’égalité $a\vec{u} + b\vec{v}+c\vec{w} = \vec{0}$ implique que $(a,b,c) = (0,0,0)$.

Remarque : Cette propriété est la contraposée de la propriété précédente.

$\quad$

 Propriété 6 : Une droite de l’espace est parallèle à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est coplanaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

$\quad$

II Repérage dans l’espace

 Propriété 7 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ non coplanaires.
Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l’espace il existe un unique triplet de réels $(x,y,z)$ tel que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
Ces trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ définissent alors une base de l’espace qu’on notera $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Preuve Propriété 7

Existence : On considère un point $A$ de l’espace et le plan $\mathscr{P}$ défini par le point $A$ et les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

  • Si le vecteur $\vec{u}$ est coplanaire avec les vecteur $\vec{i}$ et $\vec{j}$ alors il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$. On a bien alors une décomposition.
  • Si le vecteur $\vec{u}$ n’est pas coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$, on considère alors le point $B$ de l’espace tel que $\vect{AB} = \vec{u}$ et la droite passant par $B$ et dirigée par $\vec{k}$.
    Cette droite coupe le plan $\mathscr{P}$ en $H$. Le vecteur $\vect{AH}$ est coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$. Il existe donc deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AH}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
    Par conséquent : $\vec{u} = \vect{AB} = \vect{AH}+\vect{HB} = \left(x\vec{i}+y\vec{j} \right) + z\vec{k}$.

Unicité : Supposons qu’il existe deux décomposition pour le vecteur $\vec{u}$:
$\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k}$.
Cela signifie donc que $(x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k}=\vec{0}$. Les trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ne sont pas coplanaires.
Par conséquent $x-x’=0$ et $y-y’=0$ et $z-z’=0$ soit $x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$.

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$\quad$

Exemple : Les vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ et $\vect{AE}$ définissent une base de l’espace.


 Définition 3 : On considère un point de l’espace $O$ et une base de l’espace $\left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$. On dit alors que $\left(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ est un repère de l’espace.
Pour tout point $M$ de l’espace, il existe alors trois réels $x,y$ et $z$ tels que $\vect{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Ces nombres sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $\left(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$. On les appelle respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote (ou altitude) du point $M$.

 Propriété 8 : On considère trois points de l’espace, muni d’un repère \Oijk , $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ et $C(x_C,y_C,z_C)$.

  1. Les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.
  2. Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right)$.
  3. Les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3} \right)$
Preuve Propriété 8
  1. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AB} &= \vect{AO} + \vect{OB} \\
    &= -\vect{OA} + \vect{OB} \\
    &= -\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}\right) + x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k} \\
    &= \left(x_B-x_A\right)\vec{i}+\left(y_B-y_A\right)\vec{j}+\left(z_B-z_A\right)\vec{k}
    \end{align*}$
  2. $\vect{OA}+\vect{OB} = 2\vect{OM}$ donc
    $\begin{align*} \vect{OM}&=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA}+\vect{OB}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}+x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k}\right) \\
    &=\dfrac{x_A+x_B}{2}\vec{i}+\dfrac{y_A+y_B}{2}\vec{j}+\dfrac{z_A+z_B}{2}\vec{k}
    \end{align*}$
  3. $\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC} = 3\vect{OG}$ et on procède de la même manière que précédemment.
    [collapse]

$\quad$

 Propriété 9 : On munit l’espace d’un repère $\Oijk$ dans lequel on considère deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x’,y’,z’)$. On considère également un réel $\lambda$.

  1. Le vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’;z+z’)$.
  2. Le vecteur $\lambda\vec{u}$ a pour coordonnées $(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$.
  3. Égalité de deux vecteurs : $\vec{u} = \vec{v} \ssi x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$.
Preuve Propriété 9

  1. $\vec{u}+\vec{v} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}+x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k} = (x+x’)\vec{i}+(y+y’)\vec{j}+(z+z’)\vec{k}$
  2. $\lambda \vec{u}= \lambda \left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \right) = \lambda x \vec{i} + \lambda y \vec{j} + \lambda z \vec{k}$
  3. $\vec{u} = \vec{v} \ssi \vec{u}-\vec{v} = \vec{0}$\\
    $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi (x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k} = \vec{0}$ \\
    $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$

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$\quad$

 Définition 4 : Dans un repère orthonormé, la norme de $\vec{u}$ est $\left\Vert \vec{u} \right\Vert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Exemple : Dans un repère $\Oijk$, on considère les points $A(3;1;-2)$ et $B(-4;2;3)$ alors
$AB = \left\Vert \vect{AB} \right\Vert = \sqrt{(-4-3)^2+(2-1)^2+\left(3-(-2)\right)^2} = \sqrt{75}$

$\quad$

III Représentation paramétrique d’une droite

Propriété 10 : On considère, dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ , la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(a;b;c)$ ainsi qu’un point $M(x;y;z)$ .

$M\in\mathscr{D}\ssi$ il existe $t\in\R$ tel que $\begin{cases}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{cases}$

Preuve Propriété 10

$\vect{AM}\left(x-x_A;y-y_A;z-z_A\right)$.

$M\in\mathscr{D}\ssi$ il existe $t\in\R$ tel que $\vect{AM} = t \vect{u}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}} \ssi
\begin{cases}
x -x_A = ta\\
y – y_A = tb\\
z – z_A = tc
\end{cases}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}}\ssi
\begin{cases}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{cases}$

[collapse]

$\quad$

 Définition 5 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ in considère la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(a;b;c)$.
On appelle représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ le système d’équation
$\begin{cases}
x = x_A + ta\\
y = y_A + tb \qquad t \in \R \\
z = z_A + tc
\end{cases}
$.

Le réel $t$ est appelé paramètre du point $M$.

Remarque : Il suffit de changer de point ou de vecteur directeur pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$. Par conséquent une droite possède une infinité de représentations paramétriques.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(-1;3;-5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;-2;4)$.

Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x= -1 + 3t \\y=3-2t \qquad t\in \R \\z=-5+4t \end{cases}$.

$\quad$

IV Représentation paramétrique d’un plan

Propriété 11 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}(a;b;c)$ et $\vect{v}(a’;b’;c’)$ et un point $M(x,y,z)$ de l’espace.

$M\in\mathscr{P}\ssi$ il existe $t\in\R$ et $t’\in\R$ tels que
$\begin{cases}
x=x_A+ta+t’a’\\
y=y_A+tb+t’b’\\
z=z_A+tc+t’c’
\end{cases}
$

Preuve Propriété 11

$M\in\mathscr{P} \ssi$ $t\in\R \text{ et } t’ \in \R, \vect{AM} = t\vect{u}+t’\vect{v}$
$\phantom{M\in\mathscr{P}} \ssi \begin{cases} x_M-x_A = ta+t’a’ \\y_M-y_A = tb+t’b’ \\z_M-z_A = tc+t’c’\end{cases}$

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$\quad$

Définition 6 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}(a;b;c)$ et $\vect{v}(a’;b’;c’)$.

On appelle représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ le système d’équations
$\begin{cases}
x =x_A + ta + t’a’\\
y = y_A + tb +t’b’ \qquad t \in \R \text{ et} t’ \in \R \\
z = z_A + tc + t’c’
\end{cases}$

Exemple : On considère le plan $\mathscr{P}$ passant par $A(-1;-4;3)$ dirigé par les vecteurs $\vec{u}(2;3;-5)$ et $\vec{v}(-4;0;1)$.
Une représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ est $\begin{cases} x=-1 + 2t-4t’ \\y=-4+3t \qquad t \in \R \text{ et } t’\in \R \\z=3-5t+t’ \end{cases} $.

$\quad$

Remarque : Un plan possède également une infinité de représentations paramétriques.

$\quad$

TS – Cours – Géométrie dans l’espace

Géométrie dans l’espace

 

I Positions relatives

1. Positions relatives d’une droite et d’un plan

 Définition 1 : Une droite est dite parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si le plan et la droite n’ont aucun point en commun.

La droite peut donc être :

  • Sécante au plan
    2nd - cours - expace fig 20
  • Strictement parallèle au plan
    2nd - cours - expace fig 18
  • Incluse dans le plan
    2nd - cours - expace fig 19

2. Positions relatives de deux droites

 Définition 2 : Deux droites sont dites coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

2 droites peuvent donc être :

  • Coplanaires : elles sont alors sécantes, strictement parallèles ou confondues;
    2nd - cours - espace - fig252nd - cours - expace fig 162nd - cours - expace fig 17 (1)
  • Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun.

2nd - cours - expace fig 15

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent être :

  • Parallèles : Ils sont alors soit confondus, soit strictement parallèles
    2nd - cours - expace fig 222nd - cours - expace fig 21
  • Sécants
 Propriété 1 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

2nd - cours - expace fig 23 (1)

$\quad$

$\quad$

II Parallélisme

 Propriété 2 : Si deux droites de l’espace sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

$\quad$

 Propriété 3 : Une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, il existe une droite $d’$ du plan $\mathscr{P}$ parallèle à la droite $d$. 

2nd - cours - expace fig 11

Preuve Propriété 3

  • On suppose que $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $-$ Si $d$ est appartient au plan $\mathscr{P}$ alors il suffit de choisir un point $A$ de $\mathscr{P}$ n’appartenant pas à $d$ et de considérer la droite parallèle à $d$ passant par $A$.
    $-$ On suppose que $d$ n’est pas une droite de $\mathscr{P}$.
    On appelle $A$ un point du plan $\mathscr{P}$ et $d’$ la droite parallèle à $d$ passant par $A$.
    Puisque les droites $d$ et $d’$ sont parallèles il existe un plan $\mathscr{P}’$ contenant ces deux droites.
    Le point $A$ appartient donc au deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$. On appelle $\Delta$ l’intersection de ces deux plans. Le point $A$ appartient par définition à cette droite $\Delta$.
    Les droites $d$ et $\Delta$ sont coplanaires et sont parallèles car sinon la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ auraient un point en commun.
    Ainsi les droites $d’$ et $\Delta$ sont deux droites du plan $\mathscr{P}$ parallèles à la droite $d$ passant par le point $A$. Elles sont donc confondues.
  • On suppose qu’il existe une droite $d’$ du plan $\mathscr{P}$ telle que les droites $d$ et $d’$ soient parallèles.
    Seule le cas où $d$ n’est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$ est à montrer; le résultat est immédiat sinon.
    Supposons que la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ soient sécants en $A$.
    On appelle $\Delta$ la droite parallèle $d’$ passant par $A$.
    Ainsi la droite $\Delta$ est à la fois parallèle à $d$, car parallèle à $d’$, et sécante en $A$ avec $d$ ce qui est impossible.
    Donc la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ sont strictement parallèle.

[collapse]

$\quad$

Propriété 4 : Si deux plans strictement parallèles sont coupés par un troisième plan alors les droites d’intersections sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 24

 Propriété 5 : Deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles si, seulement si, il existe deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$ parallèles au plan $\mathscr{P}$.
Preuve Propriété 5

  • On suppose que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont strictement parallèles.
    On considère deux droites sécantes $d$ et $d’$ appartenant au plan $\mathscr{P}’$.
    On suppose que la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ soient sécants en $A$.
    Le point $A$ appartient alors aux deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ ce qui est impossible car ils sont strictement parallèles.
    Le plan $\mathscr{P}$ est par conséquent parallèle à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$.
  • On suppose qu’il existe deux droites sécantes $d$ et $d’$ du plan $\mathscr{P}’$ parallèles au plan $\mathscr{P}$.
    On suppose que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants et on appelle $\Delta$ leur intersection.
    Une droite d’un plan ne peut pas être parallèle à deux droites sécantes d’un même plan en même temps.
    On peut donc supposer que les droites $\Delta$ et $d$ sont sécantes en $A$.
    Ainsi le point $A$ appartient à la droite $\Delta$ et donc au plan $\mathscr{P}$ et à la droite $d$ ce qui est impossible car la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ sont parallèles.
    Par conséquent les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles.

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$\quad$

Pour prouver que deux plans sont parallèles on utilisera très souvent la propriété suivante qui est une conséquence directe de celle que nous venons de voir.

Propriété 6 :  Si deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ d’un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes $d’_1$ et $d’_2$ d’un plan $\mathscr{P}’$ alors les deux plans sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 13

 Propriété 7 : Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

$\quad$

Théorème 1 (Théorème du toit) : On considère deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$ appartenant respectivement à deux plans sécants $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ dont l’intersection est la droite $\Delta$.

Les droites $\Delta$, $d_1$ et $d_2$ sont alors parallèles.

2nd - cours - expace fig 14

Preuve Théorème 1

  • Si les droites $d_1$ et $d_2$ sont confondues alors la droite $\Delta$ est également confondue avec les droites $d_1$ et $d_2$ et le théorème est vrai.
  • Si les droites $d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles.
    On suppose que les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes en $A$.
    $A$ appartient à $\Delta$ donc également au plan $\mathscr{P}_2$.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles donc le point $A$ n’appartient pas à la droite $d_2$. Ainsi la droite $d_2$ et le point $A$ définissent le plan $\mathscr{P}_2$.
    La droite $d_1$ est parallèle à la droite $d_2$ et le point $A$ appartient à la droite $d_1$. Par conséquent la droite $d_1$ appartient au plan $\mathscr{P}_2$.
    La droite $d_1$ est donc l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$. Ainsi les droites $\Delta$ et $d_1$ sont confondues ce qui est impossible car on les a supposées sécantes.
    Les droites $d_1$ et $\Delta$ ne peuvent donc pas être sécantes. On sait qu’elles sont coplanaires; elles ne peuvent donc qu’être parallèles.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ d’une part et $d_1$ et $\Delta$ d’autre part sont parallèles. On en déduit donc que ces trois droites sont parallèles.

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$\quad$

III Orthogonalité

 Définition 3 : Deux droites de l’espace $d$ et $d’$ sont orthogonales lorsque leurs droites parallèles respectives par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires.


Remarque : Deux droites orthogonales, comme l’illustre la figure, ne sont pas nécessairement coplanaires : elles n’ont donc pas nécessairement de point d’intersection.

 Propriété 8 : Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’une est également orthogonale à l’autre.
Preuve Propriété 8

On considère deux droites parallèles de l’espace $d_1$ et $d_2$ et une droite $\Delta$ orthogonale à $d_1$.
On considère un point quelconque $A$ de l’espace. Il existe alors une droite $d_1’$ parallèle à la droite $d_1$ et une droite $\Delta’$ parallèle à la droite $\Delta$, toutes les deux passant par $A$, telles que les droites $d_1’$ et $\Delta$ soient perpendiculaires.
La droite $d_2$ est également parallèle à $d_1’$.
Par conséquent les droites $d_2$ et $\Delta$ sont orthogonales.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Dans l’espace, si on considère deux droites orthogonales $d_1$ et $d_2$ et une troisième droite $d_3$ orthogonale à $d_1$ alors les droites $d_2$ et $d_3$ ne sont pas nécessairement parallèles (contrairement aux droites perpendiculaires du plan).

 Définition 4 : Une droite est dite orthogonale à un plan si elle orthogonale à toutes les droites de ce plan.

$\quad$

 Propriété 9 : Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 


Preuve Propriété 9

Nous n’allons montrer que la partie réciproque de la propriété; la partie directe étant évidente.
Pour démontrer cette propriété nous allons utiliser le produit scalaire dans l’espace, qui fait l’objet d’un chapitre à part.
On considère deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ du plan $\mathscr{P}$ de vecteurs directeurs respectifs $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ et une droite $\Delta$, de vecteur directeur $\vec{v}$, orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$.
Les vecteurs $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ ne sont pas colinéaires (car les droites associées sont sécantes). Ils définissent donc une base du plan $\mathscr{P}$.
On considère une autre droite $d_3$ du plan $\mathscr{P}$ de vecteur directeur $\vect{u_3}$.
Il existe donc un unique couple de réels $(\alpha;\beta)$ tel que $\vect{u_3}=\alpha \vect{u_1}+\beta \vect{u_2}$.
Ainsi $\vec{v}.\vect{u_3}=\alpha \vec{v}.\vect{u_1}+\beta \vec{v}.\vect{u_2}=0$.
La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonale à la droite $d_3$.
On en déduit alors que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.

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$\quad$

 Propriété 10 :

  1. Il existe une unique droite passant par un point et orthogonale à un plan donné.
  2. Il existe un unique plan passant par un point et orthogonal à une droite donnée.

$\quad$

 Propriété 11 : Si deux droites sont parallèles alors tout plan orthogonal à l’une est également orthogonal à l’autre.
Preuve Propriété 11

On considère deux droites $d$ et $d’$ de l’espace parallèles.
On considère une droite $\Delta$ du plan $\mathscr{P}$.
La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. Elle est donc orthogonale à la droite $\Delta$.
Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles. Par conséquent les droites $d’$ et $\Delta$ sont orthogonales.
Donc la droite $d’$ et le plan $\mathscr{P}$ sont orthogonaux.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 12 : Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles.
Preuve Propriété 12

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ orthogonales à un même plan $\mathscr{P}$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la droite $d_1$ avec le plan $\mathscr{P}$.
La droite $d_3$ parallèle à $d_2$ passant par le point $A$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. La propriété précédente nous assure que les droites $d_3$ et $d_1$ sont confondues.
Ainsi les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 13 : Si deux plans sont parallèles alors toute droite orthogonal à l’un est également orthogonal à l’autre.
Preuve Propriété 13

On considère deux plans de l’espace parallèles $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ et une droite $d$ orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $\mathscr{P}$.
On considère une droite $\Delta$ du plan $\mathscr{P}’$ et on appelle $\mathscr{Q}$ le plan défini par le point $A$ et la droite $\Delta$.
L’intersection des plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ est la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ passant par le point $A$.
La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$ : elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan en particulier à la droite $\Delta’$.
Les droites $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles et la droite $d$ est orthogonale à la droite $\Delta’$. Elle est donc également orthogonale à la droite $\Delta$.
Par conséquent la droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}’$.

[collapse]

$\quad$

 Définition 5 : Deux plans sont dits perpendiculaires si l’un d’eux contient une droite orthogonale à l’autre.


 Définition 6 : On considère deux points de l’espace $A$ et $B$. On appelle plan médiateur d’un segment $[AB]$ l’ensemble des points $M$ équidistants des extrémités $A$ et $B$.

 Propriété 14 : le plan médiateur $\mathscr{P}$ d’un segment $[AB]$ est orthogonal à la droite $(AB)$ passant par le milieu $I$ du segment $[AB]$.

 

TS – Cours – Intégration

Intégration

I Intégrale d’une fonction continue positive

Définition 1

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
On appelle intégrale de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$ l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface comprise entre :

  • $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$,
  • l’axe des abscisses,
  • les droites d’équations $x=a$ et $x=b$.

On note alors cette intégrale $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx$ qui se lit “Intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)$ $\dx$”.

 

Exemples :

  • On veut calculer $\displaystyle I = \int_0^4 \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\dx$.
    Il s’agit de calculer l’aire ci-dessous :

    Il s’agit de l’aire d’un trapèze. Donc $I=\dfrac{(1+3)\times 4}{2} = 8$ u.a.
    Où u.a. signifie “unité d’aire”.
  • On veut calculer $\displaystyle J = \int_1^5 |x-2|\dx$.

    On veut donc calculer la somme des aires des deux triangles.
    Par conséquent $J=\dfrac{1\times 1}{2}+\dfrac{3\times 3}{2} = 5$ u.a.

 

Remarques :

  • En physique, on utilise souvent une variable de temps, notée $t$. On va donc souvent rencontrer des intégrales de la forme suivante $\displaystyle \int_a^b f(t)\dt$.
  • Si, dans l’intégrale, on a $a=b$ alors l’intégrale est nulle puisque on cherche à calculer l’aire d’une surface dont la largeur est nulle.

$\quad$


$\quad$

II Primitives d’une fonction

Théorème 1

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. On appelle $F$ la fonction définie sur $[a;b]$ par $F(t) = \displaystyle \int_a^t f(x)\dx$.
La fonction $F$ est alors dérivable sur $[a;b]$ et pour tout $x\in[a;b]$ on a $F'(t) = f(t)$.

Preuve Théorème 1

On ne démontrer ce théorème que dans le cas où $f$ est une fonction continue, positive et strictement croissante.
On considère un réel strictement positif $h$ et un réel $t\in[a;b[$ tels que $t+h\in[a;b]$.
Alors $F(t+h) = \displaystyle \int_a^{t+h} f(x)\dx$ est l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=t+h$.
Ainsi $F(t+h)-F(t)$ correspond à l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=t$ et $x=t+h$.

 

L’aire de la partie bleue est donc comprise entre l’aire du rectangle $ABCD$ et celle de $ABEF$.
Or l’aire du rectangle $ABCD$ vaut $f(t)\times h$ et celle du rectangle $ABEF$ vaut $f(t+h)\times h$.
Par conséquent $f(t) \times h \pp F(t+h)-F(t) \pp f(t+h)\times h$.
Donc $f(t) \pp \dfrac{F(t+h)-F(t)}{h} \pp f(t+h)$.

Par hypothèse la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[a;b]$.
Cela signifie alors que $\lim\limits_{h \rightarrow 0} f(t+h) = f(t)$
D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{F(t+h)-F(t)}{h} = f(t)$

On utilise un raisonnement similaire pour montrer que $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{F(t)-F(t-h)}{h} = f(t)$.

$F$ est donc dérivable sur $[a;b]$ et $F'(t) = f(t)$

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$\quad$

Définition 2

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$. On dit qu’une fonction $F$ est une \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F’=f$

Exemple : On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^5-3x^2+2x-1$.
$F$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme et $F'(x)=5x^4-6x+2$.
On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5x^4-6x+2$.
La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

 Propriété 1

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive.

Preuve Propriété 1

On ne va démontrer ce résultat que dans le cas particulier où on considère l’intervalle $I = [a;b]$ et une fonction $f$ admettant un minimum $m$ sur $I$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x) = f(x)-m$.
Cette fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $I$.
La fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\displaystyle \int_a^x g(t)\dt$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $I$.
On appelle $F$ la fonction définie sur $I$ par $F(x) = mx+G(x)$.
La fonction $F$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur $I$.

$\begin{align*} F'(x) &= m + G'(x) \\
&= m + g(x)\\
&= m + f(x) – m\\
&= f(x)
\end{align*}$

Par conséquent $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

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$\quad$

 Propriété 2

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$.
Deux fonctions $F$ et $G$ sont des primitives de la fonction $f$ sur $I$ si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $G(x) = F(x) + k$ pour tout $x\in I$.

Preuve Propriété 2

On considère deux primitives $F$ et $G$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$.
On appelle $H$ la fonction définie sur $I$ par $H(x) = G(x)-F(x)$.
Cette fonction $H$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Ainsi $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x) = 0$.
La fonction $H$ est donc constante sur $I$.
Il existe donc un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ pour tout $x \in I$.

Réciproquement, on considère une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ et un réel $k$.
On appelle $G$ la fonction définie sur $\R$ par $G(x) = F(x) + k$.
$G$ est dérivable sur $I$ comme somme de fonctions dérivables sur $I$.
$G'(x) = F'(x) = f(x)$.
Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x) = x^3$ et $G(x) = x^3-2$ sont deux primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2$.

Propriété 3

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$, un réel $x_0$ appartenant à $I$ et un réel quelconque $y_0$.
Il existe une unique primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Preuve Propriété 3

La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$; elle possède donc une primitive $G$ sur $I$.
On note $k = y_0-G(x_0)$ et on appelle $F$ la fonction définie sur $I$ par $F(x) = G(x) + k$.
D’après la propriété précédente $F$ est également une primitive de $f$ et $F(x_0) = G(x_0) + k = y_0$.

Montrons maintenant que cette primitive est unique.
On considère deux primitives $F$ et $G$ de $f$ sur l’intervalle $I$ telles que $F(x_0) = G(x_0)$.
Il existe donc un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ sur $I$.
C’est donc en particulier vrai en $x_0$ : $F(x_0) = G(x_0) + k$.
Puisque $F(x_0) = G(x_0)$ cela signifie que $k = 0$.

Il existe donc une unique primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x + 1$.
On veut déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(2)=3$
Les primitives de $f$ sont les fonctions $F$ définies par $F(x) = x^2 +k$ où $k \in \R$.
On recherche la valeur de $k$ telle que $F(2) = 2^2+k = 3$ soit $4+k=3$ donc $k = -1$.

Propriété 4 (Primitives usuelles)

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Fonction } \boldsymbol{f} & \text{Primitive } \boldsymbol{F} & \text{Intervalle} \\
\hline
f(x) = k & F(x) = kx & \R \\
\hline
f(x) = \dfrac{1}{x} & F(x) = \ln x & ]0;+\infty[ \\
\hline
\begin{array}{c} f(x) = x^n \\ n \text{ entier}, n \ne 0 \text{ et } n \ne -1 \end{array} & F(x) = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} & \begin{array}{c} \R \text{ quand }n>0\\ \text{et } ]-\infty;0[ \text{ ou } ]0;+\infty[ \text{ si } n<-1 \end{array} \\
\hline
f(x)= \e^x & F(x)= \e^x & \R \\
\hline
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} & F(x)= 2\sqrt{x} & ]0;+\infty[ \\
\hline
f(x) = \cos (ax + b)~~ a \ne 0 & F(x) = \dfrac{1}{a}\sin (ax+b) & \R \\
\hline
f(x) = \sin(ax + b) ~~a \ne 0 & F(x) = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) &\R \\
\hline
\end{array}$

Exemple : Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \e^x + \dfrac{2}{x}$ est la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x) = \e^x + 2\ln x$

 Propriété 5

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Fonction} & \text{Primitive} \\
\hline
ku’ \quad k \in \R & ku\\
\hline
\begin{array}{c} u’u^n \quad n \in \Z\setminus \{-1 \} \\ u \text{ ne s’annulant pas si } n<0 \end{array} & \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} \\
\hline
\begin{array}{c} \dfrac{u’}{u} \\ u \text{ strictement positive} \end{array} & \ln u \\
\hline
\begin{array}{c} \dfrac{u’}{2\sqrt{u}} \\ u \text{ strictement positive} \end{array} & \sqrt{u} \\
\hline
u’\e^u & \e^u \\
\hline
u’ \sin u & -\cos u \\
\hline
u’ \cos u & \sin u \\
\hline
\end{array}$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+5}$.
Le discriminant associé au dénominateur est négatif : le dénominateur ne s’annule donc jamais et la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$ avec $u(x) = x^2+x+5$.
Une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = \ln \left(x^2+x+5 \right)$.

$\quad$

III Intégrale d’une fonction continue

 Propriété 6

On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $[a;b]$.
$$\int_a^b f(x)\dx = F(b) – F(a)$$

Preuve Propriété 6

La fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x) = \displaystyle \int_a^x f(t)\text{d}t$ est une primitive de $f$ sur $I$.
On considère une autre primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$. Il existe alors un réel $k$ tel que $F(x) = G(x) + k$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[a;b]$
On a alors :

$\begin{align*} F(b)-F(a) &= G(b)+k-\left(G(a)+k\right) \\
&=G(b)-G(a)\\
&= \int_a^b f(t)\dt – 0\\
&= \int_a^b f(x)\dx
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Remarque : On note parfois $F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$

 

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + \e^x$, une primitive de $f$ est $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \e^x$

Par conséquent :

$\begin{align*} \int_0^1 \left(x^3 +\e^x\right)\dx &= \big[ F(x)\big]_0^1 \\
&=F(1)-F(0)\\
&= \dfrac{1}{4}+\e-1 \\
&=\e-\dfrac{3}{4} \text{u.a.}
\end{align*}$

 

Définition 3 (Généralisation)

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$, une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $I$ et deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$.
On définit l’intégrale de $f$ sur $[a;b]$ comme étant le nombre $F(b)-F(a)$.
Et on note $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx = F(b)-F(a)$.

Propriété 7 (Opérations)

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a$ , $b$ et $c$ trois réels appartenant à l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^a f(x)\dx = 0$
  2. $\displaystyle \int_b^a f(x)\dx = – \int_a^b f(x)\dx$
  3. $\displaystyle \int_a^b kf(x)\dx = k \int_a^b f(x)\dx$ pour tout $k \in \R$
  4.  $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx + \int_b^c f(x)\dx = \int_a^c f(x)\dx $ (Relation de Chasles)
  5. Si $a<b$ et $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[a;b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg 0$

 

Preuve Propriété 7

On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^a f(x)\dx = F(a)- F(a) = 0$
  2. $\displaystyle \int_b^a f(x)\dx = F(a)- F(b) = – \left(F(b)-F(a)\right) = – \int_a^b f(x)\dx$
  3. $kF$ est une primitive de $kf$ donc
    $\displaystyle \int_a^b kf(x)\dx = (kF)(b)-(kF)(a)= k\left(F(b)-F(a)\right)=k \int_a^b f(x)\dx$
  4.  $\quad$
    $\begin{align*} \int_a^b f(x)\dx + \int_b^c f(x)\dx &= F(b)-F(a)+F(c)-F(b) \\
    &= F(c)-F(a) \\
    & = \int_a^c f(x)\dx
    \end{align*}$
  5. Il s’agit dans ce cas de figure d’appliquer la définition initiale d’une intégrale : l’aire du domaine est donc positive.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 8

On considère deux fonctions continues $f$ et $g$ sur un intervalle $I$ ainsi que deux réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$.

  1. $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx + \displaystyle \int_a^b g(x)\dx = \displaystyle \int_a^b \left(f(x) + g(x) \right)\dx$
  2. Si $f(x) \pg g(x)$ sur $[a;b]$ alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg \displaystyle \int_a^b g(x)\dx$

Preuve Propriété 8

  1. $F+G$ est une primitive de $f+g$. Par conséquent
    $\begin{align*}
    \displaystyle \int_a^b \left(f(x) + g(x) \right)\text{d}x &= F(b)+G(b)-F(a)-G(a) \\
    &= F(b)-F(a) + G(b) – G(a) \\
    & = \int_a^b f(x)\text{d}x + \int_a^b g(x)\dx
    \end{align*}$
  2. Si $f(x) \pg g(x)$ sur $[a;b]$ alors $f(x)-g(x) \pg 0$ donc $\displaystyle \int_a^b \left(f(x)-g(x) \right)\dx \pg 0$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_a^b f(x)\dx \pg \displaystyle \int_a^b g(x)\dx$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 9

On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues sur l’intervalle $[a;b]$ telles que $g(x) \pp f(x)$ sur cet intervalle. L’aire, en unités d’aire, comprise entre les deux courbes représentant ces fonctions $f$ et $g$ et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est égale à $\displaystyle \int_a^b \left(f(x)-g(x) \right)\dx$

 Définition 4

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$. On appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a;b]$ le nombre $M$ défini par :
$$M = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dx$$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[1;4]$ est :

$\begin{align*} M &= \dfrac{1}{4 – 1}\int_1^4 \dfrac{2}{x} \dx \\
&= \dfrac{1}{3} \Big[[2\ln(x)\Big]_1^4 \\
&= \dfrac{2\big(\ln(4)-\ln(1)\big)}{3} \\
&= \dfrac{2\ln(4)}{3}
\end{align*}$

TS – Cours – Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

I La fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\R$. On sait de plus que $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), pour tous réels $b$ strictement positifs, il existe un unique réel $a$ tel que $\e^a=b$.

 Définition 1

Pour tous réels strictement positifs $b$, on note $\ln b$, le logarithme népérien de $b$, l’unique solution de l’équation $\e^x = b$
On définit ainsi la fonction logarithme népérien qui à tous réels $x$ strictement positifs associe le réel $\ln x$.

Remarque : On dit alors que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les courbes représentant la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

 

La définition de la fonction logarithme népérien permet de fournir la propriété suivante.

 Propriété 1

  1. La fonction $\ln$ est définie et continue sur $]0;+\infty[$.
  2. $\forall x\in \R, \ln \left(\e^x \right) = x$
  3. $\ln 1 = 0$ et $\ln \e = 1$
  4. $\forall x > 0, \e^{\ln x} = x$

$\quad$

 Propriété 2

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tous réels $x$ strictement positifs on a $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

Preuve Propriété 2

On considère un réel strictement positif $b$ et on va étudier le taux d’accroissement de la fonction $\ln$.

$$\begin{align*} \dfrac{\ln x – \ln b}{x-b} &= \dfrac{\ln x – \ln b}{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}} \\
& = \dfrac{1}{\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b}}
\end{align*}$$

Nous allons étudier $\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b}$. Pour cela on va poser $X = \ln x$.
On obtient ainsi :

$$\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b} = \dfrac{\e^{X} – \e^{\ln b}}{X – \ln b}$$

On sait que la fonction $\ln$ est continue.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to b} \ln x = \ln b$.
Donc $\lim\limits_{x \to b} X = \ln b$.
Ainsi $\lim\limits_{x \to b}\dfrac{\e^{X} – \e^{\ln b}}{X – \ln b} = \e^{\ln b}$ (Il s’agit du nombre dérivé de la fonction exponentielle en $\ln b$).
On obtient alors $\lim\limits_{x \to b} \dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b} = \e^{\ln b} = b$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to b} \dfrac{\ln x – \ln b}{x-b} = \dfrac{1}{b}$.
On a donc montré que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que, pour tous réel $x$ strictement positifs $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 3

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Preuve Propriété 3

Pour tous réels $x$ strictement positifs on a $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$.
La fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 4

  1. Pour tous réels $x$ strictement positifs, $\ln x < 0 \ssi 0 < x < 1$
  2. Pour tous réels $x$ strictement positifs, $\ln x > 0 \ssi x > 1$

Preuve Propriété 4

On sait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et que $\ln 1 = 0$.
On obtient ainsi les équivalences de la propriété.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 5

  1. Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a =b$.
  2. Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a <b$.

Preuve Propriété 5

Ces deux propriétés découlent du fait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Cette propriété nous permet de résoudre des équations et des inéquations dans lesquelles figurent des logarithmes.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $\ln \left[(2x-6)(2-x) \right] \pp \ln \left[ (2x-6)(-x+1) \right]$
Avant toute chose, il faut définir sur quel(s) intervalle(s) cette inéquation est définie.

Pour le premier logarithme : il faut que $(2x-6)(2-x) > 0$.
Cela signifie donc que $x$ doit appartenir à l’intervalle $]2;3[$.

On procède de la même manière avec le second logarithme.
Pour qu’il soit défini, il faut que $(2x-6)(-x+1)>0$.
Cela signifie alors que $x$ doit appartenir à l’intervalle $]1;3[$.

L’inéquation est donc définie sur $]2;3[\cap ]1;3[=]2;3[$.
Sur cet intervalle :

$$\begin{align*}
\ln \left[(2x-6)(2-x) \right] \le \ln \left[ (2x-6)(-x+1) \right] &\ssi (2x-6)(2-x) \pp (2x-6)(-x+1) \\
&\ssi (2x-6)(-x+1)-(2x-6)(2-x) \pp 0 \\
&\ssi (2x-6)\left[(-x+1)-(2-x)\right] \pp 0 \\
&\ssi (2x-6) \times 3 \pp 0 \\
&\ssi x \pp 3
\end{align*}$$

La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;3] \cap ]2;3[ = ]2;3[$.

 

 

II Propriétés algébriques

 Propriété 6

On considère deux réels $a$ et $b$ strictement positifs.

$$\ln(ab)=\ln a + \ln b$$

Preuve Propriété 6

On sait que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a $\e^{\ln a} = a$, $\e^{\ln b} = b$ et $e^{\ln (ab)} = ab$.
Ainsi $a\times b = ab \ssi \e^{\ln a} \times \e^{\ln b} = \e^{\ln (ab)}$.
D’après les propriété algébrique de la fonction exponentielle on a également $\e^{\ln a} \times \e^{\ln b} = \e^{\ln a + \ln b}$.
Par conséquent $\e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln (ab)}$.
Donc $\ln (ab) = \ln a + \ln b$.

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$\quad$

Exemple : $\ln 39 = \ln(3 \times 13) = \ln 3 + \ln 13$

 Propriété 7

Pour tous réels $a$ strictement positifs on a $\ln \dfrac{1}{a} = -\ln a$.

Preuve Propriété 7

On considère un réel $a$ strictement positif.
$\dfrac{1}{a} \times a = 1$ donc, d’après la propriété précédente, on a $\ln \dfrac{1}{a} + \ln a = \ln 1$.
Or $\ln 1 = 0$. Par conséquent $\ln \dfrac{1}{a} + \ln a = 0$.
On obtient ainsi : $\ln \dfrac{1}{a} =-\ln a $

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$\quad$

Exemple : $\ln 0,2 = \ln \dfrac{1}{5} = -\ln 5$

 Propriété 8

Pour tous réels $a > 0$ et tous entiers relatifs $n$, $\ln (a^n) = n \ln a$.

Preuve Propriété 8

Nous allons montrer cette propriété par récurrence.
On considère un réel strictement positif $a$.

Dans un premier temps, on considère un entier naturel $n$.
Initialisation : Si $n=0$. $\ln a^0 = \ln 1 = 0$ et $0 \times \ln a = 0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$: $\ln (a^n) = n \ln a$.
Ainsi
$$\begin{align*} \ln (a^{n+1}) &= \ln (a \times a^n) \\
& = \ln a + \ln (a^n) \\
& = \ln a + n\ln a \\
&= (n+1)\ln a\end{align*}$$

La propriété est donc vraie au rang $(n+1)$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc pour tous entiers naturels $n$ on a $\ln (a^n) = n\ln a$.

$\quad$

On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif. Il existe donc un entier naturel strictement positif $m$ tel que $-n=m $.
$$\begin{align*} \ln (a^n)& = \ln \left(\dfrac{1}{a^{-n}} \right) \\
&=\ln \left(\dfrac{1}{a^{m}} \right)\\
& = \ln \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m} \\
& = m\ln \dfrac{1}{a} \\
&= -n \left(-\ln a\right) \\
& = n \ln a \end{align*}$$

La propriété est donc vraie pour tous entiers relatifs $n$.

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$\quad$

Exemple : $\ln (10~000) = \ln 10^4 = 4\ln 10$

 Propriété 9

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln \dfrac{a}{b} = \ln a-\ln b$.

Preuve Propriété 9

$$\begin{align*} \ln \dfrac{a}{b} &= \ln \left(a \times \dfrac{1}{b} \right) \\
& = \ln a + \ln \dfrac{1}{b} \\
& = \ln a-\ln b \end{align*}$$

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$\quad$

Exemple : $\ln \dfrac{2}{7} = \ln 2-\ln 7$

 Propriété 10

Pour tous réels $a$ strictement positifs, $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$.

Preuve Propriété 10

On utilise le fait que, pour tous entiers relatifs $n$ et tous réels $b$ on a $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$ avec $n=2$ et $b=\sqrt{a}$.
$2\ln \sqrt{a} = \ln \left( \sqrt{a} \right)^2 = \ln a$.
On a donc montré que $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$.

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$\quad$

Exemple : $\ln \sqrt{7} = \dfrac{1}{2} \ln 7$

 

III Quelques limites

 Propriété 11

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

Preuve Propriété 11

  1. On considère un réel strictement positif $A$.
    On considère maintenant un réel $x$ tel que $x > \e^A$.
    On sait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent $\ln x > \ln \e^A$ soit $\ln x > A$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.\item On considère un réel $x$ strictement positif.
  2. $\ln x = -\ln \dfrac{1}{x}$.
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\lim\limits_{x \to 0^+} \ln \dfrac{1}{x}$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X = +\infty \end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln \dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty$

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$\quad$

On est maintenant en mesure de fournir le tableau de variation suivant :

 

 

 Propriété 12

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x} = 1$

Preuve Propriété 12

On remarque que $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = \dfrac{\ln(1+x) – \ln 1}{1 + x-1}$.

Il s’agit du taux d’accroissement de la fonction $\ln$ en $1$.

Or on sait que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc en particulier en $1$.

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \ln'(1) = \dfrac{1}{1}=1$

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$\quad$

 Propriété 13

On considère un entier naturel $n$ non nul.

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to 0^+}x \ln x = 0$.

Preuve Propriété 13

On ne démontre que les résultats pour $n=1$.

  1. On considère un réel strictement positif $x$ et pose $X=\ln x$.
    Donc $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{X}{\e^X} = \dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}$.
    Or :
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} X=\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty \end{array} \right\}$ donc, par limite d’un quotient $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
  2. On considère un réel strictement positif $x$ et pose $X=\ln x$.
    Donc $x\ln x=\e^X \times X$.
    Or :
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to 0^+} X=\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty \\ \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0 \end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$.

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$\quad$

 

IV Fonctions composées et $\boldsymbol{\ln}$

 Propriété 14

On considère une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
La fonction $\ln u$ est alors définie et dérivable sur $I$ et, pour tous réels $x$ appartenant à $I$ on a $\left( \ln u \right)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln(5x^2+2x+1)$.
On appelle $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=5x^2+2x+1$
Le discriminant de $5x^2+2x+1$ est $\Delta = 2^2-4\times 5 \times 1 = -16<0$.
Ainsi, pour tous réels $x$, $5x^2+2x+1>0$ et la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
De plus $u'(x)=2\times 5x+2=10x+2$
Par conséquent $f$ est définie et dérivable sur $\R$ et $f'(x) = \dfrac{10x+2}{5x^2+2x+1}$ pour tous réels $x$.

 

V Fonction logarithme décimal

 Définition 2

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $\log$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$$

On obtient ainsi la propriété suivante :

 Propriété 15

  1. La fonction $\log$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
  2. Pour tous entiers relatifs $n$ on a $\log 10^n =n$
  3. $\log 10 = 1$ et $\log 1 = 0$.
  4. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n$ entiers relatifs :
    $$\begin{align*}
    \log (ab) &= \log a + \log b \\
    \log \dfrac{a}{b} &= \log a-\log b \\
    \log \left( a^n \right) &= n\log a
    \end{align*}$$

 

Preuve Propriété 15

  1. Pour tous réels $x$ strictement positifs, on a $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$.
    La fonction $\ln$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $]0;+\infty[$. La fonction $\log$ l’est donc également.
  2. Pour tous entiers relatifs $n$ on a :
    $$\begin{align*} \log 10^n &= \dfrac{\ln 10^n}{\ln 10} \\
    & = \dfrac{n \ln 10}{\ln 10} \\
    & = n
    \end{align*}$$
  3. $\log 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 10} = 1$ et $\log 1=\dfrac{\ln 1}{\ln 10} = 0$.
    1. On considère deux réels $a$ et $b$ strictement positifs.
      $$\begin{align*}
      \log(ab)&= \dfrac{\ln(ab)}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a+\ln b}{\ln 10} \\
      &= \dfrac{\ln a}{\ln 10}+\dfrac{\ln b}{\ln 10} \\
      &=\log a+\log b
      \end{align*}$$
      $\quad$
      $$\begin{align*}
      \log \dfrac{a}{b}&= \dfrac{\ln \dfrac{a}{b}}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a-\ln b}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a}{\ln 10}-\dfrac{\ln b}{\ln 10} \\
      &=\log a-\log b
      \end{align*}$$
      $\quad$
      Pour tous entiers relatifs $n$
      $$\begin{align*}
      \log\left(a^n\right)&=\dfrac{\ln\left(a^n\right)}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{n\ln a}{\ln 10} \\
      &=n \log a
      \end{align*}$$

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$\quad$

Exemples d’utilisation de la fonction $\boldsymbol{\log}$

  • pH : ph = $-\log \left[\text{H}_3 \text{O}^+ \right]$ où $\left[\text{H}_3 \text{O}^+ \right]$ est exprimé en mol.$\text{L}^{-1}$.
  • Echelle de Richter : magnitude = $\log \dfrac{I}{I_{0}}$ où $I$ est l’intensité du séisme et $I_0$ une intensité de référence.
  • Décibels : puissance du son = $10 \log \dfrac{I}{I_{0}}$ où $I$ est l’intensité du son mesurée et $I_0$ une intensité de référence.

 

TS – cours – Nombres complexes

Nombres complexes

I Forme algébrique d’un nombre complexe

On note $\ic$ une des solutions de l’équation $x^2=-1$.

 Définition 1 :

Tous les nombres de la forme $a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels, sont appelés nombres complexes.
L’ensemble des nombres complexes se note $\C$.
Dans cet ensemble, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que l’addition et la multiplication des réels.

Exemples :

  • Addition : $(3-2\ic) + (4+7\ic) = (3+4) + (-2+7)\ic = 7 + 5\ic$
  • Multiplication :
    $$\begin{align*}
    (4-2\ic) \times (2+3\ic)&=4\times 2 + 4\times 3\ic-2\ic \times 2-2\ic \times 3\ic \\
    &=8 + 12\ic-4\ic-6\ic^2 \\
    &=8+8\ic-6\times (-1) \\
    &=8+8\ic+6 \\
    &=14+8\ic
    \end{align*}$$

Il existe différentes façons d’écrire des nombres complexes. Les prochaines parties de ce cours les aborderont.

 Définition 2 :

On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$.
La forme $a+\ic b$ de ce nombre complexe est appelée forme algébrique de $z$.
Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$. On la note $\Re \e(z)$.
Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$. On la note $\Im \text{m}(z)$.

 

Attention : Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

 

Exemples :

  • Si $z=3-5\ic$ alors $\Re \e(z)=3$ et $\Im \text{m}(z) = -5$ (et non $-5\ic$ !).
  • Si $z=-4$ alors $\Re \e(z)=-4$ et $\Im \text{m}(z) = 0$.
  • Si $z=2\ic$ alors $\Re \e(z)=0$ et $\Im \text{m}(z) = 2$.

$\quad$

Remarque : Le deuxième exemple illustre le fait que l’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes : $\R \subset \C$. En effet, un nombre réel $x$ peut aussi s’écrire $x+0\ic$.

 Définition 3 :

Lorsque la partie réelle d’un nombre complexe $z$ est nulle on dit alors que $z$ est un imaginaire pur.

Remarque : $0$ à la particularité d’être à la fois un nombre réel et un imaginaire pur. C’est le seul nombre complexe possédant cette propriété.

$\quad$

 Propriété 1 :

On considère deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$.
$$z_1=z_2 \ssi \Re \e\left(z_1\right)= \Re \e\left(z_2\right) \text{et} \Im \text{m}\left(z_1\right) = \Im \text{m}\left(z_2\right)$$

Remarque : Cela signifie donc qu’un nombre complexe possède une unique écriture algébrique.

Cette propriété nous permet de résoudre les équations complexes.

$\quad$

Exemple : On veut résoudre dans $\C$ l’équation $3z + 1 -9\ic = -5$

$$\begin{align*}
3z + 1 -9\ic = -5 &\ssi 3z=-5-1+9\ic \\
&\ssi 3z=-6+9\ic \\
&\ssi z=-2+3\ic
\end{align*}$$

La solution de l’équation est donc $-2+3\ic$.

$\quad$

II Nombre Conjugué

 Définition 4 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le nombre $a-\ic b$ est appelé conjugué du nombre complexe $z$.
On le note $\conj{z}=a-\ic b$.

Exemples : $\conj{3+2\ic} = 3-2\ic \qquad \conj{5-4\ic} =5+4\ic \qquad \conj{-1+3\ic} =-1-3\ic$

$\quad$

 Propriété 2 :

On considère un nombre complexe $z$.
On a alors $\Re \e\left( \conj{z} \right) = \Re \e(z)$ et $\Im \text{m} \left( \conj{z} \right) = -\Im \text{m}(z)$.

$\quad$

 Propriété 3 :

On considère un nombre complexe $z$.
On a alors les équivalences suivantes :

  • $z$ est un nombre réel $\ssi z = \conj{z}$
  • $z$ est un imaginaire pur $\ssi z = -\conj{z}$
Preuve Propriété 3

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  • $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
  • $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.

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$\quad$

 Propriété 4 (Opérations) :

On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $\conj{z+z’} = \conj{z} + \conj{z’}$
  2. $\conj{z \times z’} = \conj{z} \times \conj{z’}$
  3. $\conj{z^n} = \conj{z}^n$ pour tout entier naturel $n$
  4. Si $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels alors $z\conj{z} = a^2 + b^2$
  5. Si $z \ne 0$ alors $\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{1}{\conj{z}}$ et $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$
Preuve Propriété 4

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
    &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
    &= a+a’-\ic (b+b’)\\
    & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
    &= \conj{z} + \conj{z’}
    \end{align*}$$
  2. On a d’une part :
    $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
    et d’autre part :
    $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
  3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
    $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
  4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
  5. Si $z \ne 0$, on a $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{\conj{z}}{\conj{z}} = \dfrac{\conj{z}}{z\conj{z}}=\dfrac{\conj{z}}{a^2+b^2}$.
    Par conséquent $\conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{z}{a^2+b^2}$.
    On a également $\dfrac{1}{\conj{z}} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \dfrac{z}{z}=\dfrac{z}{z\conj{z}} = \dfrac{z}{a^2+b^2} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)}$
    $\quad$
    $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \conj{\dfrac{1}{z} \times z’} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} \times \conj{z’} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \conj{z’} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$

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$\quad$

Méthode : Utilisation du nombre conjugué pour obtenir l’écriture algébrique d’un quotient :

L’idée ici est de multiplier le quotient par $1$, en écrivant $1$ sous une forme particulière et en utilisant le conjugué du dénominateur.

Exemple :

$$\begin{align*} \dfrac{3+2\ic}{5+3\ic}&=\dfrac{3+2\ic}{5+3\ic} \times \dfrac{5-3\ic}{5-3\ic} \\\\
&=\dfrac{15-9\ic+10\ic+6}{(5+3\ic)(5-3\ic)} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{5^2+3^2} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{34}
\end{align*}$$

 Propriété 5 :

On considère un nombre complexe $z$ .
On a alors $\Re \e(z) = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$ $\qquad$ et $\qquad$ $\Im \text{m}(z) = \dfrac{z – \conj{z}}{2\ic}$

Preuve Propriété 5

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\Re \e(z)=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\Im \text{m}(z)=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.

[collapse]

$\quad$

III Équations du second degré

 Propriété 6 :

On considère, dans $\C$ l’équation du second degré $az^2+bz+c = 0$ où $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a \ne 0$.
On appelle $\Delta = b^2-4ac$.

  • Si $\Delta > 0$ l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • Si $\Delta = 0$ l’équation admet une unique solution $z_0 = \dfrac{-b}{2a}$
  • Si $\Delta < 0$ l’équation admet deux solutions complexes distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} = \conj{z_1}$$
Preuve Propriété 6

Les cas $\Delta >0$ et $\Delta=0$ ont déjà été démontrés en 1S.
On va donc démontré le cas $\Delta<0$.

$$\begin{align*}
az^2+bz+c &= a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2 -4ac}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\Delta}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\ic^2(-\Delta)}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)^2 \right) \\
&= a\left(z + \dfrac{b}{2a} – \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)\left(z + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)
\end{align*}$$

L’équation $az^2+bz+c = 0$ possède alors deux solutions $z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \conj{z_1}$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère l’équation complexe $z^2+3z+6 = 0$.
On a donc $\Delta = 3^2-4\times 6 = -15 < 0$
L’équation possède deux solutions complexes :
$$z_1 = \dfrac{-3 -\ic \sqrt{15}}{2} \text{ et } z_2 =\conj{z_1} = \dfrac{-3 +\ic\sqrt{15}}{2}$$

$\quad$

IV Affixe et module

1 Affixe

Dans le repère orthonormé $\Ouv$ on notera respectivement $I$ et $J$ les points du plan tels que $\vect{OI} = \vec{u}$ et $\vect{OJ} = \vec{v}$

Définition 5 (Affixe d’un point) :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$.
Le point $M(a;b)$ du plan muni du repère $\Ouv$ est appelé l’image du nombre complexe $z$.
Le nombre $z$ est appelé l’affixe du point $M$. On note alors $M(z)$.

Remarque : On note souvent $z_A$ l’affixe du point $A$.

$\quad$

Exemple : On considère le nombre complexe $z_1 = -3+\ic$. On appelle $A$ L’image de $z_1$.
L’affixe du point $B$ est $z_2 = 5-2\ic$.

Définition 6 (Affixe d’un vecteur) :

On considère un vecteur du plan $\vec{w}(a;b)$.
Le nombre $z=a+\ic b$ est appelé \textbf{affixe} du vecteur $\vec{w}$.

Remarque : On note souvent $z_{\vec{u}}$ l’affixe du vecteur $\vec{u}$.

$\quad$

 Propriété 7 :

  1. L’affixe du vecteur nul est $0$.
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, et seulement si, $z_{\vec{u}}=z_{\vec{v}}$.
  3. On considère deux points du plan $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $\vect{AB}$ a alors pour affixe $z_B – z_A$.
  4. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. On a alors $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$
  5. Deux points d’affixes conjuguées sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Preuve Propriété 7

  1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
    Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
  2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
  3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
    Par conséquent :
    $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
    & = x_B + \ic y_B – \left(x_A + \ic y_A \right) \\
    & = z_B – z_A
    \end{align*}$$
  4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
    Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
  5. On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle $M’$ le point d’affixe $\conj{z}$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M’$ sont $(a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(3-2\ic)$ et $B(4+3\ic)$.
L’affixe du vecteur $\vect{AB}$ est donc :
$$\begin{align*}z_{\vect{AB}}&=z_B-z_A\\
&=4+3\ic-\left(3-2\ic\right) \\
&=1+5\ic
\end{align*}$$

$\quad$

2 Module

 Définition 7 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$. On appelle module de $z$, le réel positif, noté $|z|$ tel que $|z| = \sqrt{z\conj{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$

Remarques :

  1. Si $z$ est l’affixe de $M$ alors $OM = |z|$.
  2. Si $z$ est l’affixe du vecteur $\vect{AB}$ alors $|z| = AB$

$\quad$

Exemple : $|2-4\ic|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$\quad$

Propriété 8 :

On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $|z| = \left| \conj{z} \right| = |-z|$.
  2. $\left|zz’\right| = |z| \times \left|z’\right|$.
  3. $\left| \dfrac{z}{z’} \right| = \dfrac{|z|}{|z’|}$ avec $z’ \ne 0$.
Preuve Propriété 8

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

  1. $\left| \conj{z} \right| = |a – \ic b| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |z|$
    $|-z| = |-a-\ic b| = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2} = |z|$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
    & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
    &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
    & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
    $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
  3. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$

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$\quad$

Attention : Il n’y a pas d’équivalent de ces deux dernières propriétés pour les sommes : $\left|z+z’\right|\neq |z|+\left|z’\right|$

 

 Propriété 9 :

Pour tous nombres complexes $z$ et tous entiers naturels $n$ on a $|z^n| = |z|^n$

Preuve Propriété 9

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $|z^n|=|1| = |z|^n$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$|z^{n+1}| = |z\times z^n| = |z| \times |z^n| = |z| \times |z|^n = |z|^{n+1}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.

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$\quad$

Remarques :

  1. La propriété est en fait vraie pour tous entiers relatifs $n$.
  2. On s’intéresse souvent avec les nombres complexes au ensemble de nombres vérifiant une relation algébrique. Ici l’ensemble des points d’affixe $z$ vérifiant $|z|=r$ , où $r$ un réel positif, est le cercle de centre $O$ et de rayon $r$.

$\quad$

V Argument d’un nombre complexe

 Définition 8 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle argument de $z$ une mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec{u},\vect{OM} \right)$.
On note arg$(z) = \left(\vec{u},\vect{OM} \right)~~(2\pi)$.

Exemple : arg$(4)=0$ $\qquad$ arg$(-2) = \pi$ $\qquad$ arg($\ic$) = $\dfrac{\pi}{2}$

 Propriété 10 :

On considère un nombre complexe $z$ de module $1$ et d’argument $\theta$.
Si on note $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des réels, alors :
$$\begin{cases} a = \cos \theta \\b = \sin \theta \end{cases}$$

Remarque : Cela vient du fait que si on considère un point $M(\theta)$ appartenant au cercle trigonométrique alors $x_M=\cos \theta$ et $y_M=\sin \theta$.

$\quad$

 Propriété 11 :

On considère un nombre complexe $z$.

  1. $z$ est un nombre réel $\Leftrightarrow$ arg$(z)=0~~(\pi)$
  2. $z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow$ arg$(z) = \dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$

$\quad$

VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe

 Définition 9 :

Tout nombre complexe $z$ non nul, peut s’écrire sous la forme $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ où $\theta = $arg$(z)$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

 Propriété 12 :

On considère un nombre complexe $z$ non nul tel que $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels. On note $r= |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$.
On a alors $\begin{cases} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ \cos \theta = \dfrac{a}{r} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{b}{r} \end{cases}$ $ \Leftrightarrow$ $ \begin{cases} a=r\cos \theta \\ b=r \sin \theta \end{cases}$

Exemples :

  • $z = 1 + \ic \sqrt{3}$.
    On a $|z| = \sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z = 2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic \right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
    Donc $z= 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right)$
  • $z=1-\ic$.
    On a $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ic\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    On a donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}-\ic\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.
    Cette écriture n’est pas la forme trigonométrique de $z$ car elle n’est pas de la forme $r\left( \cos \theta \boldsymbol{+} \sin \theta\right)$.
    On peut également dire que $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$. Il s’agit bien ici de la forme trigonométrique de $z$.

$\quad$

 Propriété 13 :

On considère un nombre complexe $z$ non nul.

  1. arg$(-z) = \text{arg}(z) + \pi ~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \conj{z} \right) = -\text{arg}(z) ~~(2\pi)$
Preuve Propriété 13

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

  1. On note arg$(z) = \theta$ et arg$(-z) = \theta’$.
    $-z=-a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
  2. On note arg$(z) = \theta$ et arg$\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
    $\conj{z}=a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

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$\quad$

 Propriété 14 :

On considère deux nombres complexes non nuls $z$ et $z’$.

  1. arg$(zz’) =$ arg$(z)+$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. arg$\left(z^n \right) = n$arg$(z)~~(2\pi)$ pour tout entier $n\in \N^*$
Preuve Propriété 14

  1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
    On appelle $\theta = $ arg$(z)$ , $\theta’ = $ arg$(z’)$ et $\alpha = $ arg$(zz’)$.
    $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
    Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
    Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
    On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
    Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
    Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
  2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
    Donc arg$(z) = \text{arg}\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \text{arg}(z’)~~(2\pi)$ soit arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).

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$\quad$

Exemple : $4\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \times 3\left( \cos \dfrac{\pi}{5} + \ic \sin \dfrac{\pi}{5} \right) = 12\left( \cos \dfrac{8\pi}{15} + \ic \sin \dfrac{8\pi}{15} \right)$

$\quad$

 Propriété 15 :

On considère deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ du plan complexe. arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$

Preuve Propriété 15

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$.
On a alors arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$

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$\quad$

 Propriété 16 :

On considère quatre points du plan complexe $A(z_A), B(z_B), C(z_C)$ et $D(z_D)$.
arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) = \left(\vect{CD},\vect{AB} \right)~~(2\pi)$

Preuve Propriété 16

$$\begin{align*}
\text{arg} \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \text{arg} (z_B-z_A)-\text{arg}(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$

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$\quad$

Cette propriété est particulièrement utile pour montrer que des droites sont perpendiculaires (argument égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$) ou que des points sont alignés (argument égal à $0$ ou à $\pi$).

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-2+2\ic), B(2-\ic), C(5+7\ic)$ et $D(-1-\ic)$.

$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} &= \dfrac{2-\ic+2-2\ic}{-1-\ic-5-7\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \times \dfrac{-6+8\ic}{-6+8\ic} \\
&=\dfrac{-24+32\ic+18\ic+24}{(-6)^2+8^2} \\
&=\dfrac{50\ic}{100} \\
&=\dfrac{\ic}{2}
\end{align*}$$

Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

VII Notation exponentielle

On considère la fonction $f$ qui a tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $\cos \theta + \ic \sin \theta$.
On a alors :

$$\begin{align*} f(\theta + \theta’) &= \cos(\theta + \theta’)+\ic \sin(\theta+\theta’)\\
& = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)
\end{align*}$$

Mais on a aussi :

$$\begin{align*} f(\theta)\times f(\theta’) &= \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)\\
& = f(\theta + \theta’)\end{align*}$$

On constate donc que cette fonction $f$ possède la même propriété algébrique que la fonction exponentielle.

 Définition 10 :

C’est pour cette raison qu’on va noter pour tout réel $\theta$, $\e^{\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta$.

Exemple : $\e^{\ic \pi} = -1 \qquad \e^{i\pi/2} = \ic \qquad \e^{\ic \pi/3} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

 Définition 11 :

On considère un nombre complexe $z$ d’argument $\theta$.
On peut alors écrire $z=|z|\e^{\ic \theta}$

 Propriété 17 :

On considère deux réels $\theta$ et $\theta’$

  1. $\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} = \e^{\ic \left(\theta + \theta’\right)}$
  2. $\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} = \e^{-\ic \theta} = \conj{\e^{\ic \theta}}$
  3. $\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}}=\e^{\ic (\theta – \theta’)}$
  4. $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$ pour tout entier naturel $n$

Ces propriétés reprennent les résultats vus précédemment sur les modules et les arguments.

On retrouve ainsi les propriétés vues en $1$S :

  1. $\cos(\theta + \theta’) = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’$
  2. $\cos(\theta- \theta’) = \cos \theta \cos \theta’ + \sin \theta \sin \theta’$
  3. $\sin(\theta + \theta’) = \sin \theta \cos \theta’ + \cos \theta \sin \theta’$
  4. $\sin(\theta- \theta’) = \sin \theta \cos \theta’-\cos \theta \sin \theta’$
Preuve Propriété 17

On ne va démontrer ici que la première et la troisième propriété :

$$\begin{align*}
\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} &= \left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\times \left(\cos \theta’+\ic \sin \theta’\right) \\
&= \cos \theta \cos \theta’ -\sin \theta\sin \theta’+\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta+\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta+\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta+\theta’)}
\end{align*}$$

$\quad$

$$\begin{align*}
\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}} &=\dfrac{\cos \theta+\ic \sin \theta}{\cos \theta’+\ic \sin \theta’} \\
&=\dfrac{\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\left(\cos \theta’-\ic \sin \theta’\right)}{\cos^2 \theta’+\ic \sin^2 \theta’} \\
&=\cos \theta \cos \theta’+\sin \theta\sin \theta’ -\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta-\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta-\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta-\theta’)}
\end{align*}$$

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$\quad$

Propriété 18 (Formule de Moivre) :

On considère un entier naturel $n$ et un réel $\theta$ on a alors :
$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^n = \cos n\theta + \ic \sin n\theta$

Exemple : $\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos 2\theta + \ic \sin 2\theta$.

Si on développe le membre de gauche on obtient :

$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta + 2\ic \cos \theta \sin \theta$.
Donc, par identification, on retrouve les égalités $\begin{cases} \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ \sin 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta\end{cases}$

$\quad$

Remarque : Cette propriété provient en fait du point 4. de la propriété 17.

$\quad$

Propriété 19 (Formule d’Euler) :

On considère un réel $\theta$. On a alors :

  1. $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$
Preuve Propriété 19

  1. $\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta + \cos \theta – \ic \sin \theta = 2\cos \theta$
    Donc $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta – \cos \theta + \ic \sin \theta = 2\ic \sin \theta$
    Donc $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$

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$\quad$

TS – cours – Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

I Définition

Le théorème suivant définit une nouvelle fonction très utile en mathématiques et dans de nombreuses autres matières.

Théorème 1 : Définition de l’exponentielle
Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant :

  • $f'(x)=f(x)$ pour tout $x$
  • $f(0)=1$.

Cette fonction est appelée exponentielle et on la note “exp”.
$\exp(x)$ se lit “exponentielle de $x$” ou “exponentielle $x$”.

Preuve Théorème 1

  • On admet l’existence d’une telle fonction.
  • Nous allons montrer l’unicité d’une telle fonction.
    Nous allons dans un premier temps montrer qu’une fonction vérifiant ces propriétés ne s’annule pas.
    On appelle $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) \times f(-x)$.
    La fonction $f$ étant dérivable sur $\R$ alors la fonction $\varphi$ l’est aussi, par produit.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \varphi'(x) &= f'(x)\times f(-x) + f(x) \times \left(-f'(-x) \right) \\
    &= f(x)\times f(-x) – f(x) \times f(-x) \qquad \text{(car } f'(x) = f(x) \\
    &= 0
    \end{align*}$$
    On en déduit donc que la fonction $\varphi$ est constante.
    Or on sait que $f(0)=1$. Par conséquent $\varphi(0)= 1$.
    Donc, pour tous réels $x$, $f(x) \times f(-x) = 1$ et la fonction $f$ ne s’annule jamais.
    $\quad$
    Montrons maintenant l’unicité de la fonction $f$.
    Nous allons considérer une autre fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $g'(x)=g(x)$ et $g(0) = 1$.
    On appelle $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$ (On sait que la fonction $f$ ne s’annule pas; la fonction $h$ est donc bien définie).
    $h$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $$\begin{align*} h'(x) &= \dfrac{g'(x) \times f(x) – g(x) \times f'(x)}{\left(f(x) \right)^2} \\
    & = \dfrac{g(x)\times f(x) – g(x) \times f(x)}{\left(f(x) \right)^2} \\
    &= 0
    \end{align*}$$
    La fonction $h$ est donc également constante.
    Or $h(0) = \dfrac{g(0)}{f(0)} = 1$.
    Donc pour tous réels $x$, $\dfrac{g(x)}{f(x)} = 1$.
    Cela signifie donc que, pour tous réels $x$, on a $f(x) = g(x)$.
    La fonction $f$ est bien unique.

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$\quad$

II Propriétés de la fonction exponentielle

 Propriété 1 :

La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : Cette propriété découle directement de la définition de la fonction exponentielle.

 Propriété 2 :

Pour tous réels $a$ et $b$ on a $\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)$.

Preuve Propriété 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x)$.
Cette fonction est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
$$\begin{align*} f'(x) &= -\exp'(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a + b -x) \times \exp'(x) \\
&= -\exp(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a+b-x) \times \exp(x)\\
&= 0
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc constante.
Mais $f(0) = \exp(a+b) \times \exp(0) = \exp(a + b)$.
Ainsi Pour tous réels $x$, on a donc $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x) = \exp(a+b)$.
En particulier si $x=b$, $f(b) = \exp(a) \times \exp(b) = \exp(a+b)$

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$\quad$

Exemple : $\exp(5)=\exp(2+3)=\exp(2) \times \exp(3)$

 Propriété 3 :

Pour tous réels $x$, on a $\exp(x) > 0$.

Preuve Propriété 3

Pour tous réels $x$, on a $x=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}$.
On peut alors utiliser la propriété précédente :
$$\begin{align*} \exp(x) &= \exp \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} \right) \\
&= \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \times \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \\
& = \left( \exp \left(\dfrac{x}{2} \right) \right)^2 \\
& > 0 \end{align*}$$
En effet, d’après la preuve du théorème-définition, la fonction exponentielle ne s’annule jamais.

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$\quad$

 Propriété 4 :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.

Preuve Propriété 4

On sait que pour tout $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
D’après la propriété précédente $\exp(x) > 0$.
Donc $\exp'(x) > 0$.

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$\quad$

 Propriété 5 :

On considère deux réels $a$ et $b$ ainsi qu’un entier relatif $n$.

  1. $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$
  2. $\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b)$
  3. $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$

Preuve Propriété 5

  1. On sait que $\exp(0) = 1$
    Mais on a aussi $\exp(0) = \exp(a+(-a)) = \exp(a) \times \exp(-a)$.
    Par conséquent $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \exp(a-b) &= \exp \left( a+(-b) \right)\\
    & = \exp(a) \times \exp(-b) \\
    & = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} \\
    & = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. Nous allons démontrer par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $\exp(0 \times a) = \exp(0) = 1$ et $\exp(a)^0=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété vraie au rang $n$ : $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$
    $$\begin{align*} \exp \left((n+1)a \right) &= \exp(na + a) \\
    & = \exp(na) \times \exp(a) \\
    & = \left( \exp(a) \right)^n \times \exp(a) \\
    &= \left( \exp(a) \right)^{n+1}
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tous entiers naturels $n$, on a $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$.
    $\quad$
    On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif.
    Il existe donc un entier naturel $m$ tel que $n=-m$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \exp(na) &= \dfrac{1}{\exp(-na)} \\
    &=\dfrac{1}{\exp(ma)} \\
    & = \dfrac{1}{\left( \exp(a) \right)^{m}} \\
    & = \left( \exp(a) \right)^{-m}\\
    & = \left(\exp(a)\right)^n
    \end{align*}$$

[collapse]

$\quad$

Exemples :

  • $\exp(-10)=\dfrac{1}{\exp(10)}$
  • $\dfrac{\exp(12)}{\exp(2)} = \exp(12-2)=\exp(10)$
  • $\exp(30) = \exp(3 \times 10) = \left(\exp(10)\right)^3$

$\quad$

III Notation $\boldsymbol{\e^x}$

Notation : Par convention on note $\e=\exp(1)$ dont une valeur approchée est $2,7182$.

D’après la propriété 5, on peut écrire, pour tous entiers relatifs $n$ :

$$\begin{align*} \exp(n) &= \exp(1 \times n) \\
&= \left( \exp(1) \right)^n \\
&= \e^n
\end{align*}$$

Définition 1 :
On généralise cette écriture valable pour les entiers relatifs à tous les réels $x$ : $\exp(x) = \e^x$.
On note $\e$ la fonction définie sur $\R$ qui à tous réels $x$ associe $\e^x$.

 Propriété 6 :

  1. La fonction $\e : x \mapsto \e^x$ est dérivable sur $\R$ et pour tous réels $x$ $\e’^x=\e^x$.
  2. Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
    $\quad$ $\e^{a+b} = \e^a \times \e^b$
    $\quad$ $\e^{-a}=\dfrac{1}{\e^a}$
    $\quad$ $\e^{a-b} = \dfrac{\e^a}{\e^b}$
  3. Pour tous réels $a$ et tous entiers relatifs $n$, $\e^{na} = \left(\e^a \right)^n$.
  4. $\e^0 = 1$ et pour touts réels $x$, $\e^x > 0$.

$\quad$

IV Équations et inéquations

 Propriété 7 :
On considère deux réels $a$ et $b$.

  1. $\e^a = \e^b \ssi a = b$
  2. $\e^a < \e^b \ssi a < b$

Preuve Propriété 7

  1. $\bullet$ Si $a=b$ alors $\e^a=\e^b$.
    $\bullet$ Réciproquement, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $\e^a=\e^b$ et on suppose que $a\neq b$.
    Deux cas se présentent : $a<b$ ou $b<a$.
    On suppose que $a<b$. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on a alors $\e^a<\e^b$. Cela contredit l’hypothèse que $\e^a=\e^b$.
    On raisonne de la même manière pour montrer que l’hypothèse $b<a$ ne convient pas.
    Finalement on a $a=b$.
  2. Cette propriété provient de la stricte croissance de la fonction exponentielle.

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$\quad$

Exemples :

  1. On veut résoudre l’équation $\e^{2x+1} = \e^{x-1}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*} \e^{2x+1} = \e^{x-1} &\ssi 2x+1=x-1 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
  2. On veut résoudre l’inéquation $\e^{-3x+5} < \e^{x-3}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*}
    \e^{-3x+5} < \e^{x+2} &\ssi -3x+5<x-3 \\
    &\ssi -4x<-8 \\
    &\ssi x>2
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc l’intervalle $]2;+\infty[$

$\quad$

V Étude de la fonction exponentielle

 Propriété 8 :

$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x = 0$.

Preuve Propriété 8

  • Nous allons montrer que pour tous réels $x \ge 0$ on a $\e^x \ge x$.
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x-x$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et $f'(x) = \e^x-1$.
    On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante et que $\e^0=1$.
    Par conséquent, pour tous réels $x>0$, on a $\e^x > 1$.
    Donc pour tous réel $x \ge 0$, $f'(x) \ge 0$.
    On en déduit alors que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ et $f(0) = \e^0 = 1 > 0$.
    Par conséquent, pour tous réels $x \ge 0$ $\e^x \ge x$.
    On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$.
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x = \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{\e^{-x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x} = 0$ car $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$.

[collapse]

$\quad$

On est donc en mesure de construire le tableau de variation suivant :

ts-cours-exponentielle-fig1

 

ts-cours-exponentielle-fig2

 Propriété 9 :

  1. Pour tous $n \in \N^*$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\e^x = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x} = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x = 0$.
  2. $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\e^x-1}{x} = 1$.

Preuve Propriété 9

  1. Cette propriété ne sera prouvé que pour $n=1$.
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x) = \e^x – \dfrac{x^2}{2}$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R^+$ et $f'(x) = \e^x – x$.
    Dans la preuve précédente, on a montré que la fonction $f’$ était croissante sur $\R^+$ et que $f'(0) = 1$.
    Par conséquent, pour tous réels $x \ge 0$, $f'(x) > 0$ et $f$ est croissante sur $\R^+$.
    Or $f(0) = 1$.
    Cela signifie donc, que pour tous $x \ge 0$, $\e^x > \dfrac{x^2}{2}$ et par conséquent $\dfrac{\e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$.
    Mais on sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x} = +\infty$.
    $\quad$
    Pour montrer que cette propriété est vraie pour tous entiers naturels $n$ non nuls, on peut utiliser le fait que $\dfrac{\e^x}{x^n}=\dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{\e^{x/n}}{\dfrac{x}{n}}\right)^n$ et on applique ce qu’on vient de prouver en posant $X=\dfrac{x}{n}$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x = \lim\limits_{x \to -\infty} – \dfrac{-x}{\e^{-x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} – \dfrac{x}{\e^x} = 0$
    $\quad$
    Pour généraliser, on peut utiliser le fait que $x^ne^x=n^n\left(\dfrac{x}{n}\e^{x/n}\right)^n$.
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\e^x – 1}{x} &= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\e^x – \e^0}{x – 0} \\
    & = \e’^0 \\
    &= \e^0 \\
    &= 1
    \end{align*}$
    On a donc utilisé le taux d’accroissement de la fonction exponentielle et le fait que cette fonction soit dérivable sur $\R$ et donc, en particulier, en $0$.

[collapse]

$\quad$

Propriété 10 : composition

On considère une fonction $u$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.
La fonction $f$ définie pour tous réels $x$ par $f(x) = \e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = u'(x) \times \e^{u(x)}$

Exemple :

On considère la fonction $f$ définie pour tous réels $x$ par $f(x)=\e^{x^2+4x-1}$.
On appelle $u$ la fonction définie pour tous réels $x$ par $u(x)=x^2+4x-1$.
Cette fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on a $u'(x)=2x+4$.
$f$ est donc, d’après cette propriété, également dérivable sur $\R$ et $f'(x) = (2x+4)\e^{x^2+4x-1}$.
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+4$.
$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$ et $2x+4 > 0 \ssi 2x > -4 \ssi x>-2$

ts-cours-exponentielle-fig3

En utilisant les limites du termes de plus haut degré pour déterminer les :

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty} x^2+4x-1 = \lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty \\
\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} x^2+4x-1 = \lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty \\\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

TS – Cours – Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

I Rappels

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

Définition 1 :
On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig1

 

Exemple : Dans un lancé de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.

L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

Définition 2 :
L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig2

 

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.

L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

Définition 3 :
L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig3

 

Exemple : Dans un lancé de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.

L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

Définition 4 :
Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig4

Exemple : Dans un lancé de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques : 

  • Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
  • Pour tout événement $A$, $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.
Propriété 1 :
 Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

Propriété 2 :
 Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

  1. $0 \le p(A) \le 1$
  2. $p\left(\Omega\right) = 1$
  3. $p\left(\varnothing\right) = 0$
  4. $p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$

$\quad$

Propriété 3 :
 On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

 

II Probabilités conditionnelles

 Définition 5 :
On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.
On appelle probabilité conditionnelle de $\boldsymbol{B}$ sachant $\boldsymbol{A}$ le nombre $$p_A(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

Exemple : On tire une carte noire d’un jeu de $32$ cartes. On veut déterminer la probabilité que cette carte soit un roi.

On considère alors les événements :

  • $N$ : “la carte tirée est noire”;
  • $R$ : “la carte tirée est un roi”.

On veut donc calculer $p_N(R) = \dfrac{p(N\cap R)}{p(N)}$

Or $p(N \cap R)=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}$ et $p(N)=\dfrac{1}{2}$

Donc $p_N(R)=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{16} \times 2 = \dfrac{1}{8}$.

 

Les probabilités conditionnelles suivent les mêmes règles que les probabilités en général, c’est-à-dire :

 Propriété 4 :
On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.

  1. $0 \pp p_A(B) \pp 1$
  2. $p_A(\emptyset)=0$
  3. $p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right)=p_A(A)=1$

Preuve Propriété 4

  1. $p(A\cap B) \pg 0$ et $p(A)\pg 0$ donc $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \pg 0$.
    De plus $A\cap B$ est inclus dans $A$. Par conséquent $p(A\cap B) \pp p(A)$ et $p_A(B) \pp 1$.
    $\quad$
  2. $p(A\cap \emptyset)=0$ donc $p_A(\emptyset)=0$
    $\quad$
  3. D’une part $p_A(A)=\dfrac{p(A\cap A)}{p(A)} = \dfrac{p(A)}{p(A)} = 1$
    D’autre part
    $\begin{align*}p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right) &= \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}+\dfrac{p\left(A\cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\
    &= \dfrac{p(A\cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\
    &= \dfrac{p(A)}{p(A)} \\
    &=1
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

 Propriété 5 :

On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilités tous les deux non nulles.
$$p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)=p_B(A) \times p(B)$$

Preuve Propriété 5

Par définition $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ donc $p(A\cap B)=p_A(B) \times p(A)$.

 

De même $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ donc $p(A\cap B)=p_B(A) \times p(B)$.

[collapse]

 

 

III Du côté des arbres pondérés

On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.

On a alors un arbre pondéré de ce type qui se généralise aux situations dans lesquelles il y a plus de deux événements :

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig5

 

 Propriété 6 :

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.

Remarque : On retrouve en effet la propriété $p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right)=1$

 

 Propriété 7 :

Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui le composent.

 

Remarque : On retrouve ainsi la propriété $p(A\cap B)=p_A(B) \times p(A)$

 

Exemple (D’après Liban 2015) : En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intention de vote de futurs électeurs.
Parmi les $1~200$ personnes qui ont répondu au sondage, $47\%$ affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que $10\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que $20\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

 

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

  • $A$ l’événement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A”;
  • $B$ l’événement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B”;
  • $V$ l’événement “La personne interrogée dit la vérité”.

Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

On sait que $p(A)=0,47$ donc $p(B)=1-p(A)=0,53$.
De plus $p_A\left(\overline{V}\right)=0,1$ donc $p_A(V)=0,9$ et $p_B\left(\overline{V}\right)=0,2$ donc $p_B(V)=0,8$
Ce qui nous donne l’arbre pondéré suivant :

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig6

 

D’après l’arbre pondéré, on peut dire que $p(A\cap V) = 0,47 \times 0,9 = 0,423$.

 

IV Les probabilités totales

 Définition 6 :

On considère un entier naturel $n$ non nul.
Les événements $A_1,A_2,\ldots,A_n$ forment une partition de l’univers $\Omega$ si :

  1. Pour tout $i\in\left\{1,2,\ldots,n\right\}$, $p\left(A_i\right)\neq 0$;
  2. Les événements $A_i$ sont disjoints deux à deux;
  3. $A_1\cup A_2 \cup \ldots \cup A_n=\Omega$

Exemple :

ts-cours-probabilites-conditionnelles-fig7

 

 

Remarque : On parle également parfois de partition de l’unité.

Propriété 8 : (Probabilités totales – cas général)

On considère les événements $A_1,A_2,\ldots,A_n$ formant une partition de l’univers $\Omega$ et un événement B.

$$\begin{align*}
p(B)&=p\left(A_1\cap B\right)+p\left(A_2\cap B\right)+\ldots+p\left(A_n\cap B\right) \\
&=p_{A_1}(B)p\left(A_1\right)+p_{A_2}(B)p\left(A_2\right)+\ldots+p_{A_n}(B)p\left(A_n\right)
\end{align*}$$

Très souvent dans les exercices on utilisera cette propriété dans les cas suivants :

  • Si $n=2$ : La partition est alors constituée de $A$ et de $\overline{A}$. Par conséquent $0<p(A)<1$ et
    $$\begin{align*}
    p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right) \\
    &=p_A(B)p(A)+p_{\overline{A}}(B)p\left(\overline{A}\right)
    \end{align*}$$
    $\quad$
  • Si $n=3$
    $$\begin{align*}
    p(B)&=p\left(A_1\cap B\right)+p\left(A_2\cap B\right)+p\left(A_3\cap B\right) \\
    &=p_{A_1}(B)p\left(A_1\right)+p_{A_2}(B)p\left(A_2\right)+p_{A_3}(B)p\left(A_n\right)
    \end{align*}$$

Exemple : On reprend l’exemple de la partie sur les arbres pondérés.

D’après la formule des probabilités totales :
$$\begin{align*}
p(V)&=p(A \cap V)+p(B \cap V) \\
&= 0,47 \times 0,9+0,53 \times 0,8 \\
&=0,847
\end{align*}$$

Ainsi $84,7\%$ des personnes interrogées disent la vérité.

 

V Indépendance

 Définition 7 :

On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$.
Cela signifie que les deux événements peuvent se produire indépendamment l’un de l’autre.

Exemple : On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes.

On considère les événements suivants :

  • $A$ “la carte tirée est un as”;
  • $C$ “la carte tirée est un cœur”.

$p(A)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ et $p(C)=\dfrac{1}{4}$ donc $p(A)\times p(C)=\dfrac{1}{32}$
Il n’y a qu’un seul as de cœur donc $p(A\cap C)=\dfrac{1}{32}$
Par conséquent $p(A)\times p(C)=p(A\cap C)$ et les événements $A$ et $C$ sont indépendants.

danger
Attention :

  • Ne pas confondre indépendant et incompatible;
  • $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$ que dans le cas des événements indépendants.
    $\qquad$ Dans les autres cas on a $p(A\cap B)=p(A) \times p_A(B)$.
 Propriété 9 :

On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ alors $A$ et $\overline{B}$ sont également indépendants.

Preuve Propriété 9

On suppose que $0<p(B)<1$.
$A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
p(A)&= p(A\cap B)+p\left(A\cap \overline{B}\right) \\
&=p(A) \times p(B) + p\left(A\cap \overline{B}\right)
\end{align*}$$

Par conséquent :
$$\begin{align*}
p\left(A\cap \overline{B}\right) &= p(A)-p(A)\times p(B) \\
&=\left(1-p(B)\right) \times p(A) \\
&=p\left(\overline{B}\right) \times p(A)
\end{align*}$$

$A$ et $\overline{B}$ sont donc indépendants.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 10 :

On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles.

$$\begin{align*} A \text{ et } B \text{ sont indépendants } &\ssi p_A(B)=p(B) \\
& \ssi p_B(A)=p(A)
\end{align*}$$

Preuve Propriété 10

$$\begin{align*} A \text{ et } B \text{ sont indépendants } &\ssi p(A\cap B)=p(A) \times p(B) \\
&\ssi p_A(B) \times p(A)=p(A) \times p(B) \\
&\ssi p_A(B) = p(B)
\end{align*}$$

On procède de même pour montrer que $p_B(A)=p(A)$.

[collapse]

$\quad$

 Définition 8 :

On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un univers $\Omega$.
On appelle $x_1,x_2,\ldots,x_n$ et $y_1,y_,\ldots, y_p$ les valeurs prises respectivement par $X$ et $Y$.
Ces deux variables aléatoires sont dites indépendantes si, pour tout $i\in \left\{1,\ldots,n\right\}$ et $j\in\left\{1,\ldots,p\right\}$ les événements $\left(X=x_i\right)$ et $\left(Y=y_j\right)$ sont indépendants.