TS – Devoir synthèse 5 – 3ème trimestre

Devoir Commun

TS – Avril 2018  – 4h

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

  • la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
    $\quad$
  2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

    Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

  1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
    Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A

On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $h(x) = x\e^{-x}$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.
    a. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on a : $$h(x) =\e^{-x}-h'(x)$$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
    $\quad$
    b. Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par: $$f(x) = x\e^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

  1. Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ et $N$ le point de coordonnées $\left(x;g(x)\right)$ : $M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    a. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
    $\quad$
  2. Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
    a. Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.
    $\quad$
    b. On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : $$A_{\lambda} = 1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$$
    $\quad$
    c. Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ .
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$
    Affirmation 1: Les points $A,B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases} ,\quad t\in \R$.
    Affirmation 2: Le point $D\left(-\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{6};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. On considère la droite $\left(d’\right)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} ,\quad t\in \R$ et la droite $(\Delta)$ passant par $N(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
    Affirmation 3: Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  4. On considère les points $E(1;2;3)$, $F(3;0;1)$, $G(-1;0;1)$, $H(-1;-2;3)$ et $I(-2;-3;4)$.
    On admet que la droite $(HI)$ et le plan $(EFG)$ sont sécants.
    Affirmation 4: Leur point d’intersection est le milieu du segment $[FG]$.
    $\quad$

Partie B

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté sur la feuille annexe. $M$ est un point de la droite $(CG)$ et $N$ est un point du segment $[AD]$.
Représenter sur cette feuille la section du cube par le plan $MBN$.
Laisser les traits de construction. On ne demande pas de justifier.

Annexe

$\quad$

Exercice 4    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

  1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
    En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
    On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
    Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
    a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
    $\quad$
    b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
    Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
    $\quad$
    c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Conjectures

  1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
    En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
    $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
    $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
    $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
    $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
    Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
    La  propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
    &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
    &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
    $\quad$
  2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
    Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
    $\quad$
  3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
    Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
    On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
    Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

  1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
    $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
    \end{align*}$
    Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
    $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
    Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $h(x)=x\e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{x}}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=0^+$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$.
    $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \e^{-x}-h'(x)&=\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}-\e^{-x}+x\e^{-x}\\
    &=x\e^{-x}\\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ définie sur $[0;+\infty[$ est la fonction définie sur ce même intervalle par $x\mapsto -\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. On a $h(x)=\e^{-x}-h'(x)$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Par conséquent une primitive de la fonction $h$, continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$, est la fonction $H$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
    $\begin{align*} H(x)&=-\e^{-x}-h(x)\\
    &=-\e^{-x}-x\e^{-x}\\
    &=-(1+x)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après le tableau de variation de la fonction $h$, on a $h(x)=x\e^{-x}\pg 0$.
    Par conséquent, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(x-x)^2+\left(f(x)-g(x)\right)^2} \\
    &=\sqrt{\left(x\e^{-x}\right)^2} \\
    &=x\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    D’après le tableau de variation de la fonction $h$, cette distance est maximale pour $x=1$ et cette distance maximale vaut $\e^{-1}$
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
  2. a. Voir graphique précédent
    $\quad$
    b. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues et sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(x)-g(x)\pg 0$.
    L’aire du domaine $D_{\lambda}$ est :
    $\begin{align*} A_{\lambda} &=\displaystyle \int_0^{\lambda} \left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x}\dx \\
    &=H(\lambda)-H(0) \\
    &=-(1+\lambda)\e^{-\lambda}+1\\
    &=1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}}+\dfrac{1}{\e^{\lambda}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$ (voir la question A.1.)
    Et  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x}=0$
    Ainsi  $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda}=1$.
    $\quad$
    Cela signifie que l’aire du domaine compris entre les deux courbe $C_f$ et $C_g$ vaut $1$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $\vect{AB}(-1;0;-6)$ et $\vect{AC}(-3;1;-10)$.
    Or $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\neq \dfrac{0}{-3}$.
    Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. Les trois points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On veut résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} -\dfrac{11}{3}=2t-3\\\\t-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}\\\\4t+2=-\dfrac{2}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} 2t=-\dfrac{2}{3} \\\\t=-\dfrac{1}{3} \\\\4t=-\dfrac{8}{3} \end{cases} \ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{3} \\\\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
    Le point $D$ n’appartient donc pas à la droite $(d)$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de ma droite $\left(d’\right)$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    Une coordonnées de $\vec{u}$ est nulle alors que la coordonnée correspondante de $\vec{v}$ ne l’est pas. Les deux vecteurs ne sont donc pas coplanaires. Par conséquent les deux droites ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases}, \quad k\in \R$.
    Déterminons si les deux droites sont sécantes.
    On veut donc résoudre le système :
    $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\x=1+t\\y=2\\z=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\1+2k=1+t\\4+k=2\\1+3k=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2 \\-4=t\\1-6=3+2t\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\\k=-2\\t=-4\end{cases}$
    Ce système possède une solution. Les droites sont donc sécantes.
    Les droites $\left(d’\right)$ et $(\Delta)$ sont coplanaires.
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On appelle $J$ le milieu du segment $[FG]$.
    Par conséquent $J(1;0;1)$.
    Regardons si ce point appartient à la droite $(HI)$.
    $\vect{HJ}(2;2;-2)$ et $\vect{HI}(-1;-1;1)$.
    Donc $\vect{HJ}=2\vect{HI}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $H$, $I$ et $J$ sont donc alignés.
    Affirmation 4 vraie.

Partie B

Le point $I$ est le point d’intersection de la droite $(BM)$ avec la droite $(FG)$.
La droite $(NK)$ est parallèle à la droite $(MB)$.
La droite $(IL)$ est parallèle à la droite $(NB)$.

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
    Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
    Cette équation possède donc deux racines complexes:
    $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
    Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
    Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
    $\quad$
  2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
    Son affixe est :
    $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
    &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
    &=z
    \end{align*}$
    Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
    $\quad$
  3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
    $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
    Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
    $\quad$
    b.

    $\quad$
    c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
    $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
    Donc $MA=MM’$.
    Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
    $\quad$

Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S

Propriété 1 : Les 4 expressions du produit scalaire : (en pratique, la première expression est peu utilisée)

  • Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan : $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\left\|\vec{u}\right\|^2-\left\|\vec{v}\right\|^2\right)$.
  • Dans un repère orthonormé \Oij, si on a $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$ alors $\vec{u}.\vec{v}=xx’+yy’$.
  • $A, B$ et $C$ sont tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|\times \left\|\vec{v}\right\| \times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC}$.
  • Soient $A, B$ et $C$ trois points de l’espace et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
    On a : $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AH}$.
    De plus $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ ont le même sens}\\-AB \times AH & \text{si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ n’ont pas le même sens}\end{cases}$.

Illustration de la quatrième expression du produit scalaire

 

Application 1 :

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ (ou $\vec{u}.\vec{v}$ pour le cas 2) :

$\quad$

Correction Application 1

Cas 1 :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
&=AB\times AH \\
&= 6\times 4\\
&= 24\end{align*}$.

Cas 2 : On a $\vec{u}(4;2)$ et $\vec{v}(1;2)$. Donc :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=4\times 1+2\times 2\\
&=8\end{align*}$.

Cas 3 :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC \times \cos \widehat{BAC} \\
&= 2\times 2 \times \cos \dfrac{2\pi}{3}\\
&= -2\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

À quoi ça sert?

Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux

Définition 1 :

  • $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux signifie que si $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{CD}$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  • Par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tout autre vecteur.

 

Priopriété 2 :

$\vec{u}.\vec{v}=0$ si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Application 2 :

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\vect{AB}(-2;3)$ et $\vect{CD}(6;4)$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont-ils orthogonaux? Justifier.

$\quad$

Correction Application 2

$\vect{AB}.\vect{CD}=-2\times 6+3\times 4=-12+12=0$

Par conséquent les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont orthogonaux.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Deuxième utilisation : avec la deuxième expression. Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.

Définition 2 :

Dire qu’un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à une droite $(d)$ signifie que $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de la droite $(d)$.

$\quad$

Propriété 2 (Conséquence) :

Soit $(d)$ la droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$.
Alors $(d)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{AM}.\vec{n}=0$.

Application 3 :

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ passant par le point $A(2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4;5)$. Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$.
Traduire l’égalité $\vect{AM}.\vec{n}=0$ afin d’obtenir une équation cartésienne de $(d)$.

$\quad$

Correction Application 3

On a $\vect{AM}(x-2;y-3)$.
Par  conséquent :
$\begin{align*} \vect{AM}.\vec{n}=0&\ssi 4(x-2)+5(y-3) =0 \\
&\ssi 4x-8+5y-15=0\\
&\ssi 4x+5y-23=0
\end{align*}$

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $4x+5y-23=0$.

[collapse]

$\quad$

Propriété 3 : 

  • Une droite $(d)$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ où $c$ est un nombre réel.
  • La droite $(d)$ d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ admet le vecteur $\vec{n}(a,b)$ pour vecteur normal.

Application 4 :

Dans un repère orthonormé, on a $A(5;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;3)$. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.

$\quad$

Correction Application 4

On appelle $(h)$ la hauteur issue de $A$ dans le triangle $(ABC)$.
Par conséquent le vecteur $\vect{BC}$ est un vecteur normal à la droite $(h)$. On a $\vect{BC}(-1;4)$.

Par conséquent une équation cartésienne de la droite $(h)$ est de la forme $-x+4y+c=0$.
Le point $A(5;-2)$ appartient à la droite $(h)$.
Par conséquent : $-5+4\times (-2)+c=0 \ssi c=13$.

Une équation cartésienne de la droite $(h)$ est donc $-x+4y+13=0$.
$\quad$

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$\quad$


$\quad$

 

Exercices

 

Exercice 1

Dans chaque cas, calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ en justifiant la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 1

Figure 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=3\times 2\times \cos 120\text{°} \\
&=-3
\end{align*}$

Figure 2

On a $\vect{AB}(4;0)$ et $\vect{AC}(-2;3)$.

Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4\times (-2)+0\times 3=-8$

Figure 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2 \ssi 25=AB^2+9 \ssi AB^2=16$

$\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}.\vect{AB}=AB^2=16$
Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

  1. $(d)$ est la droite de vecteur normal $\vec{n}(2;-1)$ et passant par le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Déterminer une équation de $(d)$.
    $\quad$
  2. Soient $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ les droites d’équations respectives $5x-4y+8=0$ et $y=2x+3$.
    Pour chacune d’elles, déterminer les coordonnées d’un vecteur normal.
    $\quad$
  3. $(d)$ et $(d’)$ sont deux droites d’équations respectives : $3x-5y+2=0$ et $2x+\dfrac{6}{5}y=0$.
    a. Préciser un vecteur directeur et un vecteur normal pour chacune de ces droites.
    $\quad$
    b. Démontrer que ces droites sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Soit $D(-2;2)$, $E(4;-1)$ et $F(1;3)$.
    Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$.
    $\quad$
  5. Soit $(d)$ la droite d’équation $5x-3y+1=0$.
    Déterminer une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $(d)$ passant par le point $P(2;-1)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Une équation de la droite $(d)$ est de la forme $2x-y+c=0$.
    Le point $A\left(-5;\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la droite $(d)$. Donc :
    $\begin{align*} 2\times (-5)-\dfrac{1}{2}+c=0&\ssi -10-\dfrac{1}{2}+c=0 \\
    &\ssi c=\dfrac{21}{2}
    \end{align*}$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $2x-y+\dfrac{21}{2}=0$.
    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $\left(d_1\right)$ d’équation cartésienne $5x-4y+8=0$ est $\vect{u_1}(5;-4)$
    Une équation de droite $\left(d_2\right)$ est $y=2x+3$.
    Donc une équation cartésienne de cette droite est $2x-y+3=$. Un vecteur normal à la droite $\left(d_2\right)$ est $\vect{u_2}(2;-1)$.
    $\quad$
  3. a. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $3x-5y+2=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u}(5;3)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(3;-5)$
    $\quad$
    Une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est $2x+1,2y=0=0$.
    Un vecteur directeur à cette droite est donc $\vec{u’}(-1,2;2)$ et un vecteur normal est $\vec{n’}(2;1,2)$
    $\quad$
    b. On a $\vec{u}.\vec{u’}=5\times (-1,2)+3\times 2=-6+6=0$
    Les vecteurs directeurs des deux droites sont donc orthogonaux.
    Par conséquent, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. On a $\vect{DE}(6;-3)$.
    Une équation de la droite $(d)$perpendiculaire à $(DE)$ passant par $F$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $F(1;3)$ appartient à cette droite. Par conséquent :
    $6\times 1-3\times 3+c=0 \ssi c=3$
    Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $6x-3y+3=0$ soit $2x-y+1=0$.
    $\quad$
  5. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(3;5)$.
    Ce vecteur est donc normal à la droite $(d)$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est, par conséquent, de la forme $3x+5y+c=0$.
    Le point $P(2;-1)$ appartient à la droite $\Delta$. Donc :
    $3\times 2+5\times (-1)+c=0 \ssi c=-1$.
    Une équation cartésienne de la droite $\Delta$ est donc $3x+5y-1=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés placés comme sur la figure ci-dessous.
Que peut-on dire des droites $(AG)$ et $(EC)$? Justifier la réponse.

$\quad$

Correction Exercice 3

Première méthode : en utilisant des décompositions selon des vecteurs orthogonaux.

On a, d’après la relation de Chasles : $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{BG}$ et $\vect{EC}=\vect{EB}+\vect{BC}$
Ainsi :

$\begin{align*}
\vect{AG}.\vect{EC}&=\left(\vect{AB}+\vect{BG}\right).\left(\vect{EB}+\vect{BC}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{EB}+\vect{AB}.\vect{BC}+\vect{BG}.\vect{EB}+\vect{BG}.\vect{BC} \\
&=-AB\times BE+0+0+BG\times BC \quad (*)\\
&=-AB\times BE+BE\times AB \quad (**)\\
&=0
\end{align*}$
$(*)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ d’une part et $\vect{BG}$ et $\vect{EB}$ d’autre part sont orthogonaux. De plus $\vect{AB}$ et $\vect{EB}$ sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire.
$(**)$ $ABCD$ et $BEFG$ sont deux carrés donc $BG=BE$ et $AB=BC$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

Deuxième méthode : en utilisant le repère orthonormé $\boldsymbol{\left(A;\vect{AB},\vect{AD}\right)}$

On a, dans ce repère $A(0;0)$,  $C(1;1)$, $E(1+x;0)$ et $G(1;x)$ où $x$ est un réel strictement positif.

Ainsi $\vect{AG}(1;x)$ et $\vect{EC}(-x;1)$.
D’où $\vect{AG}.\vect{EC}=-x+x=0$.

Les vecteurs $\vect{AG}$ et $\vect{EC}$ sont orthogonaux. Les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5$ et $AD=2$.

  1. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
  2. En déduire la valeur approchée par défaut au dixième de degré près de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vect{AB}.\vect{AC}=\vect{AB}\times \vect{AB}=AB^2=25$ car $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$.
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AB^2+BC^2=25+4=29$.
    Donc $AC=\sqrt{29}$.
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}$.
    En utilisant le résultat de la question 1. on obtient donc :
    $5\sqrt{29}\cos \widehat{BAC}=25$
    $\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{25}{5\sqrt{29}}$
    Et donc $\widehat{BAC} \approx 21,8$°.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-2;-2)$, $B(3;1)$ et $C(-1;2)$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ en radians.

$\quad$

Correction Exercice 5

On a $\vect{AB}(5;3)$ et $\vect{AC}(1;4)$. Ainsi $AB=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$ et $AC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=5\times 1+3\times 4=17$
Mais on a également :
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=\sqrt{34}\times \sqrt{17}\cos \widehat{BAC} \\
&=17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}
\end{align*}$

Par conséquent :
$17\sqrt{2}\cos \widehat{BAC}=17$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\ssi \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ rad

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=2$ et $AD=\sqrt{2}$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Démontrer que $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.

$\quad$

Correction Exercice 6

 

En utilisant la relation de Chasles on obtient :

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{ID}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{IA}+\vect{AD}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{IA}+\vect{AB}.\vect{AD}+\vect{BC}.\vect{IA}+\vect{BC}.\vect{AD}\\
&=-AB\times IA+0+0+BC\times AD \\
&=-2\times 1+\sqrt{2}\times \sqrt{2} \\
&=-2+2\\
&=0
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{ID}$ sont donc orthogonaux.
Par conséquent, les droites $(AC)$ et $(ID)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

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TS – Bac Blanc – février 2018

Bac Blanc – Février 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

 

Énoncé

Exercice 1    4 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
    $\quad$
  2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
    Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
    $\quad$

Partie B

Cette chocolaterie vend également de délicieux rochers pralinés emballés dans de jolis papiers de différentes couleurs. Une cuve contient une grande quantité de rochers. La probabilité que le rocher soit emballé avec un papier bleu est de $0,3$.

  1. Dans cette question un gourmand pioche au hasard $30$ rochers de la cuve. Le nombre de rochers est suffisamment grand pour que le tirage soit considéré comme un tirage avec remise.
    Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus ? Justifier soigneusement la réponse. Arrondir au millième.
    $\quad$
  2. On aimerait connaître le nombre minimum de rochers que le gourmand doit piocher pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$ .
    a. Montrer que cela revient à résoudre l’inéquation : $0,7^n \pp 0,01$.
    $\quad$
    b. Résoudre cette inéquation et répondre au problème posé.
    $\quad$

 

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative d $f$ dans un repère orthonormé.

  1. a. Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f(x)=4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  4. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
    $\quad$
    c. Calculer $f (1)$ et $f\left(\e^2\right)$.
    On obtient alors le tableau de variation ci-dessous.

    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    3 points

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.$$
On se place dans le plan complexe d’origine $O$.

  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d’affixe $z_n$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
    $\quad$
    b. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=3$, $u_1=6$  et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$$

Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A 

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $B4$, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne $B$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{−3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de $2$ à $5$.
    $\quad$
  3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

On considère les suite $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $$v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \quad \text{et} \quad w_n=u_n-7$$

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. En utilisant le résultat de la question 1.b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un territoire donné, on s’intéresse à l’évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies).
Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par :

$$\begin{cases} b_0&=1~000\\c_0&=1~500\\b_{n+1}&=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}&=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases}$$

où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le 1$^{\text{er}}$ juin de l’année 2000+$n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

  1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n\\c_n\end{pmatrix}$.
    a. Vérifier que $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n$.
    On donne les matrices $P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
    a. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
    $\quad$
    b. On admet que $A=PTQ$ démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, $$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Lucie exécute l’algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N=40$
    Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols?
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $1~500$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $B>2$ ou $C>2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $B$
    $\qquad$ $B$ prend la valeur $0,3R+0,5C$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $-0,5R+1,3C$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$U_n=\begin{pmatrix} 1~000\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\\1~500 \times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\end{pmatrix}$$
    et
    $$n\pp 10\times 1,1^n$$
    a. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    b. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieur à au moins $50$ individus.
    À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l’exercice vous paraît-il cohérent?
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\conj{A}\cap C\right) \\
    &=0,98x+0,95(1-x)\\
    &=0,98x+0,95-0,95x\\
    &=0,03x+0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On sait que  :
    $\begin{align*} p(C)=0,96 &\ssi 0,03x+0,95=0,96\\
    &\ssi 0,03x=0,01\\
    &\ssi x = \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
    On effectue $30$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,3$.
    Ainsi $P(X=10)=\displaystyle \binom{30}{10}\times 0,3^{10}\times 0,7^{20} \approx 0,142$.
    La probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus est donc environ égale à $0,142$.
    $\quad$
  2. a. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,3$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}
    P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0) \pg 0,99 \\
    &\ssi 1-0,7^n \pg 0,99 \\
    &\ssi -0,7^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,7^n \pp 0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*}
    0,7^n \pp 0,01 &\ssi n\ln(0,7) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)} \approx 12,91$.
    Ainsi $n \pg 13$. Il faut donc piocher au minimum $13$ rochers pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} \left(\ln x\right)^2=+\infty$
    $\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} f(x)=+\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est donc une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $0$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2 &=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2 \\
    &=4\times \dfrac{\dfrac{1}{4}\left(\ln x\right)^2}{x} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =0$.
    L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \dfrac{1}{x}\times \ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{2\ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $2-\ln(x)=0 \ssi x=\e^2$ et $2-\ln(x)>0 \ssi 2>\ln(x)\ssi \e^2>x$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)$.
    On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
    $\quad$
    c. $\ln(1)=0$ donc $f(1)=0$
    $f\left(\e^2\right)=\dfrac{\ln\left(\e^2\right)^2}{\e^2}=\dfrac{2^2}{\e^2}=\dfrac{4}{\e^2}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=0$
    Donc $1\in [0;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Sur l’intervalle $[1;+\infty[$ on a $f(x)\pp \dfrac{4}{\e^2}<1$. L’équation $f(x)=1$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Cela signifie par conséquent que l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et $\alpha \in ]0,49;0,50[$ d’après la calculatrice.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $z_{n+4}=\dfrac{1+\ic}{(1-\ic)^n(1-\ic)^4}=\dfrac{1+\ic}{-4(1-\ic)^n}=\dfrac{-1}{4}z_n$
    Par conséquent $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}=-\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. Un argument de $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est donc $\pi$.
    Or $\left(\vect{OA_n},\vect{OA_{n+4}}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_{n+4}}{z_n}\right)+2k\pi=\pi+2k\pi$
    Les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont donc alignés.
    $\quad$
  2. $|1+\ic|=\sqrt{2}$ donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$
    De même $1-\ic=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    Ainsi $z_n=\dfrac{\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}}{\left(\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}\right)^n}=\sqrt{2}^{1-n}\e^{\ic(n+1)\pi/4}$
    $z_n$ est réel si, et seulement si, $n+1=4k$ avec $k\in \Z$
    si, et seulement si, $n=4k-1$ avec $k\in \Z$
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5 

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On peut saisir $=5/4*B3-B2/4$
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    1&n&u_n\\
    \hline
    2&0&3\\
    \hline
    3&1&6\\
    \hline
    4&2&\boldsymbol{6,75}\\
    \hline
    5&3&\boldsymbol{6,938}\\
    \hline
    6&4&\boldsymbol{6,984}\\
    \hline
    7&5&\boldsymbol{6,996}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
    &=v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc constante et $v_0=u_1-\dfrac{u_0}{4}=\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$. On a $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0<u_1<15$
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n<u_{n+1}<15$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_{n+2}<15$
    $\begin{align*} u_n<u_{n+1}<15 &\ssi \dfrac{1}{4}u_n<\dfrac{1}{4}u_{n+1}<\dfrac{15}{4} \\
    &\ssi \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{21}{4}<\dfrac{15}{4}+\dfrac{21}{4} \\
    &\ssi u_{n+1}<u_{n+2}<9<15
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $15$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_n&=u_{n+1}-7 \\
    &=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}-7\\
    &=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(u_n-7\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=3-7=-4$
    $\quad$
    b. Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-4\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    Or $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    $\quad$
    c. $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7$.
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On a $\begin{cases} b_1=0,3\times 1~000+0,5\times 1~500\\c_1=-0,5\times 1~000+1,3\times 1~500\end{cases}$ soit $\begin{cases} b_1=1~050\\c_1=1~450\end{cases}$
    Ainsi $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} b_{n+1}=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases} \ssi \begin{pmatrix}b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_n\\c_n\end{pmatrix}$ $\ssi U_{n+1}AU_n$.
    $\quad$
  2. a. $Q$ est la matrice inverse de $P$ donc
    $\begin{align*} PQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}1&0\\1+a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\
    &\ssi 1+a=0 \\
    &\ssi a=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence sur $n$ que $A^n=PT^nQ$.
    Initialisation : il est admis que $A=PTQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PT^nQ$
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant c’est-à-dire $A^{n+1}=PT^{n+1}Q$
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=PT^nQPTQ \\
    &=PT^nTQ\\
    &=PT^{n+1}Q
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ on a :
    $\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
    La propriété est donc vraie au rang $1$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme permet de dire qu’en 2040 le nombre de buses et celui de campagnols seront inférieurs ou égaux à $2$ (ce qui est très bas).
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $b_n=1~000\times 0,8n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$ et $c_n=1~500\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$
    On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$
    On a admis que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $n \pp 10 \times 1,1^n \ssi n \times 0,8^n \pp 10 \times 0,88^n$
    Or $-1<0,88<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,88^n=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}  b_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0$
    $\quad$
    b. Les mesures effectuées permettent de dire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n \pg 50$ et $c_n \pg 50$ ce qui contredit le fait que les limites respectives des suites sont nulles.
    Le modèle proposé ne paraît donc pas cohérent.
    $\quad$

TS – Exercices – Nombres complexes

Exercice 1

  1. Associer à chaque nombre complexe $z_k$ de la colonne de gauche, son écriture sous forme exponentielle et placer leurs points $M_k$ d’affixe $z_k$ dans le plan complexe.
    $\begin{array}{lcl} \bullet z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\bullet 3\e^{\ic \pi}\\
    \bullet z_2=\sqrt{3}-\ic && \bullet 2\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}\\
    \bullet  z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/6} \\
    \bullet z_4=-3 &&\bullet 3\e^{5\ic \pi/6} \\
    \bullet z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic &&\bullet \e^{2\ic \pi/3}\\
    \bullet z_6=2-2\ic &&\bullet \e^{-3\ic \pi/4}\\
    \bullet z_7=1-\sqrt{3} \ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/2}\\
    \bullet z_8=-2\ic &&\bullet 2\e^{-\ic \pi/3}
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Choisir la forme la plus adaptée pour déterminer les nombres suivants :
    a. $z_5+z_8$
    $\quad$
    b. $z_2z_6$
    $\quad$
    c.
    ${z_7}^2$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $z_1=-\dfrac{1}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\left|z_1\right|=1$ et arg$\left(z_1\right)=\dfrac{2\pi}{3}$
    Donc $z_1=\e^{2\ic \pi/3}$
    $\quad$
    $z_2=\sqrt{3}-\ic$ donc $\left|z_2\right|=2$
    Ainsi $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}$
    Par conséquent arg$\left(z_2\right)=-\dfrac{\pi}{6}$
    D’où $z_2=2\e^{-\ic \pi/6}$
    $\quad$
    $z_3=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    Ainsi $\left|z_3\right|=1$
    et arg$\left(z_3\right)=\dfrac{5\pi}{4} ~~(2\pi)=-\dfrac{3\pi}{4}$
    D’où $z_3=\e^{-3\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $z_4=-3$ donc $\left|z_3\right|=3$ et arg$\left(z_3\right)=\pi$.
    Ainsi $z_4=\e^{\ic \pi}$
    $\quad$
    $z_5 = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic$
    $\left|z_5\right|=3$
    d’où $z_5=3\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)$
    Ainsi arg$\left(z_5\right)=-\dfrac{5\pi}{6}$
    $z_5=3\e^{-5\ic\pi/6}$
    $\quad$
    $z_6=2-2\ic $
    $\left|z_6\right|=2\sqrt{2}$ ainsi $z_6=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$.
    Donc $z_6=2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $ z_7=1-\sqrt{3} \ic $
    $\left|z_7\right| = 2$ donc $z_7=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\e^{-\ic\pi/3}$
    $\quad$
    $z_8=-2\ic=2\e^{-\ic\pi/2}$
  2. a. $z_5+z_8=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-2\ic=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic$
    $\quad$
    b. $z_2z_6=2\e^{-\ic \pi/6} \times 2\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}=4\sqrt{2}\e^{-5\ic\pi/12}$
    $\quad$
    c. ${z_7}^2=\left(2\e^{-\ic\pi/3}\right)^2=4\e^{-2\ic\pi/3}$
    $\quad$
    d. $z_5+\conj{z_5}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\ic-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\ic=-3\sqrt{3}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

  1. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic +1\right|=3$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z_M$ vérifie $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right|$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\left|z_M-\ic +1\right|=3 \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=3 \ssi AM=3$ avec $A(-1+\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-1+\ic)$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  2. $\left|z_M-\ic+1\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi \left|z_M-(-1+\ic)\right|=\left|z_M-\ic\right| \ssi AM=BM$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.
    L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(-1+\ic)$ et $B(\ic)$.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3      d’après Centres étrangers – juin 2014

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par $$\begin{cases} z_0=16\\z_{n+1}=\dfrac{1+\ic}{2}z_n \text{ pour tout entier naturel }n\end{cases}$$
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$ on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

  1. Calculer $z_1$, $z_2$, $z_3$.
    $\quad$
  2. Placer dans le repère les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
  3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1+\ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $z_0=16$
    $z_1=\dfrac{1+\ic}{2}\times 16=8(1+\ic)=8+8\ic$
    $z_2=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8(1+\ic)=4(1+\ic)^2=4\times 2\ic=8\ic$
    $z_3=\dfrac{1+\ic}{2}\times 8\ic=4\ic(1+\ic)=-4+4\ic$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. $\left|\dfrac{1+\ic}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Donc $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    Ainsi $\dfrac{1+\ic}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$.
    $\quad$
  4. Calculons :
    $\begin{align*} \dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}&=\dfrac{16-8-8\ic}{0-8-8\ic} \\
    &=\dfrac{8-8\ic}{-8-8\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic} \\
    &=-\dfrac{1-\ic}{1+\ic}\times \dfrac{1-\ic}{1-\ic} \\
    &=-\dfrac{1-2\ic-1}{2} \\
    &=\ic
    \end{align*}$
    Ainsi $\left(\vect{A_1O},\vect{A_1A_0}\right)=\text{arg}(\ic)=\dfrac{\pi}{2}$
    Et $\dfrac{A_1A_0}{A1O}=\left|\dfrac{z_{A_0}-z_{A_1}}{z_{O}-z_{A_1}}\right|=1$ et $A_1A_0=A_1O$.
    Le triangle $OA_0A_1$ est donc rectangle en $A_1$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment calculer les trois longueurs du triangle pour démontrer le résultat.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4     QCM

Donner la seule réponse exacte parmi les trois proposées.

  1. Soient $z_1=(-1+\ic)$ et $z_2=\left(\sqrt{3}-\ic\right)$.
    La forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{z_1}{z_2}$ est :
    a. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic \pi/12}$
    b. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{7\ic \pi/12}$
    c. $\e^{7\ic \pi/12}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n=\left(\sqrt{3}+\ic\right)^n$.
    $z_n$ est un nombre imaginaire pur lorsque $n$ est égal à :
    a. $3+3k~~(k\in \Z)$
    b. $3+6k~~(k\in \Z)$
    c. $3k~~(k\in \Z)$
    $\quad$
  3. Dans le plan complexe, on donne deux points distincts $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$ non nulles.
    Si $\dfrac{z_B-z_A}{z_B}=-\dfrac{\ic}{2}$, alors le triangle $OAB$ est :
    a. rectangle
    b. isocèle
    c. quelconque
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\left|z_1\right|=\sqrt{2}$ et $z_1=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}$.
    $\left|z_2\right|=2$ et $z_2=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\ic\right)=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Ainsi
    $\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}}{2\e^{-\ic\pi/6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{\ic\left(3\pi/4+\pi/6\right)} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{11\ic\pi/12}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left|\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)$
    Ainsi $\sqrt{3}+\ic=2\e^{\ic\pi/6}$
    Donc $z_n=2^n\e^{n\ic\pi/6}$
    $z_n$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\dfrac{n\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
    si, et seulement si, $n=3+6k$
    $\quad$
  3. $\left(\vect{OB},\vect{AB}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_B}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$.
    Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $B$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5     d’après Nouvelle Calédonie 2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Ouv$.
On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition 1 : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+\ic)^{4n}=(-4)^n$.
    $\quad$
  2. Soit $(E)$ l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition 2 : Les points dont les affixes sont solutions dans $\C$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
    $\quad$
  3. Proposition 3 : Pour tout nombre réel $\alpha$, $1+\e^{2\ic \alpha}=2\e^{\ic \alpha}\cos(\alpha)$.
    $\quad$
  4. Soit $A$ le point d’affixe $z_A=\dfrac{1}{2}(1+\ic)$ et $M_n$ le point d’affixe $\left(z_A\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition 4 : si $n-1$ est divisible par $4$, alors les points $O,A$ et $M_n$ sont alignés.
    $\quad$
  5. Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition 5 : $1+j+j^2=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $(1+\ic)^{4n}=\left(\left((1+\ic)^2\right)^2\right)^n=\left((2\ic)^2\right)^n=(-4)^n$
    Proposition 1 vraie
    $\quad$
  2. Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  3. $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
    Affirmation vraie
    $\quad$
  4. affixe de $\vect{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vect{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\ssi \dfrac{m_n}{a}\in \R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \R \ssi \dfrac{n-1}{4}\in \N \ssi n-1$ divisible par $4$.

    Affirmation vraie
    $\quad$
  5. $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$. Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

    Affirmation vraie

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TS – Exercices – Fonction ln

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition et les limites aux bornes des fonctions définies par :

  1. $f_1(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}$
    $\quad$
  2. $f_2(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)$
    $\quad$
  3. $f_3(x)=x-\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $I=]0;1[\cup]1;+\infty[$ (il faut que $x>0$ et que $\ln x\neq 0$).
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)=0^-$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^-} \ln x=0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=-\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^+} \ln x=0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f_1(x)=+\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=0$
    $\quad$
  2. On étudie dans un premier temps le signe de $x^2+2x+3$.
    $\Delta=2^2-4\times 3\times 1=-8<0$. Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Donc l’expression est toujours strictement positive.
    Ainsi la fonction $f_2$ est définie sur $\R$.
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_2(x)=+\infty$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré. De plus $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$
    $\quad$
  3. La fonction $f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$
    $\bullet$ $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_3(x)=+\infty$
    $\bullet$ $f_3(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=+\infty$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions et les limites indiquées.

  1. $f_1(x)= \dfrac{\ln(1+x)}{x^2}$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)$
    $\quad$
  2. $f_2(x)=x+x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)$
    $\quad$
  3. $f_3(x)=\dfrac{\ln x}{x^4}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\ln(1+x)$ existe pour tout $x\in ]-1;+\infty[$.
    Donc $f_1$ est définie sur $]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
    $f_1(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{\ln(1+x)}{x}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} f_1(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Il faut que $1+\dfrac{1}{x}>0 \ssi \dfrac{1+x}{x}>0$.
    Donc $f_2$ est définie sur $]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$.
    $f_2(x)=x\left(1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\dfrac{1}{x}=1$ ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_2(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. $f_3$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $f_3(x)=\dfrac{1}{x^3} \times \dfrac{\ln x}{x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$.
    $\quad$
    Remarque : On peut aussi utiliser la propriété (hors programme) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les limites aux bornes.
    $\quad$
  3. En déduire l’existence d’asymptotes.
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} x+1=1$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$
    $f(x)=\dfrac{x}{x+1}\times \dfrac{\ln x}{x}$
    D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x+1}=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. Il y a donc deux asymptotes d’équation $x=0$ et $y=0$.
    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle qui ne s’annule pas.
    $f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{x}-\ln(x)}{(x+1)^2}$
    Ainsi $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{x-1}{2}$.

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)}$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $1$.
    Donc la fonction $f$ est définie sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty[$ en tant que produit et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    On va utiliser la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x\ln(x)$.
    $u'(x)=\ln(x)+\dfrac{x}{x}=\ln(x)+1$.
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{\ln(x)+1}{\left(x\ln(x)\right)^2}$
    Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $-\left(\ln(x)+1\right)$
    $\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x) > -1 \ssi x>\e^{-1}$
    Donc $f'(x)<0 sur \left]\e^{-1};1\right[\cup]1;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{-1}\right[$ et décroissante sur les intervalles $\left]\e^{-1};1\right[$ et $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est :
    $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$
    Or $f'(\e)=-\dfrac{\ln(\e)+1}{\left(\e\ln(\e)\right)^2}=-\dfrac{2}{\e^2}$
    et $f(\e)=\dfrac{1}{\e}$
    Ainsi une équation de la tangente est :
    $y=-\dfrac{2}{\e^2}(x-\e)+\dfrac{1}{\e}=-\dfrac{2x}{\e^2}+\dfrac{3}{\e}$
    $\quad$

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$\quad$

TS – Exercices – Fonction ln

Exercice 1

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 3$.

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\ln \left( \dfrac{1}{9} \right)=-\ln 9=-\ln\left(3^2\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  2.  $\ln 24-\ln 216=\ln\left(\dfrac{24}{216}\right)=\ln \left(\dfrac{1}{9}\right)=-2\ln 3$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{3}{4} + \ln 4=\ln \left(\dfrac{3}{4}\times 4\right)=\ln 3$
    $\quad$
  4. $2\ln 3-\ln 27=2\ln 3\ln \left(3^3\right)=2\ln 3-3\ln 3=-\ln 3$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{3} \right)=\ln 9 + \ln \sqrt{3}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln 3=\dfrac{5}{2}\ln 3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 

Propriétés algébriques – Pour s’entraîner 

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln x$.

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\ln \left( \dfrac{x}{3} \right)=\ln x-\ln 3$
    $\quad$
  2. $\ln \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$
  3. $\ln \dfrac{x}{4} + \ln x=\ln x-\ln 4+\ln x=2\ln x+\ln 4$
    $\quad$
  4. $2\ln x-\ln \left( x^{45} \right)=2\ln x-45\ln x=-43\ln x$
    $\quad$
  5. $\ln \left( 9\sqrt{x} \right)=\ln 9+\ln \sqrt{x}=2\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln x$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 

Équations et inéquations – Pour s’entraîner

Résoudre :

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    $\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\ln (2-3x) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-3x>0 \ssi x<\dfrac{2}{3}$.
    Sur $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-3x) \pg 0 &\ssi \ln(2-3x) \pg \ln 1 \\
    &\ssi 2-3x \pg 1 \\
    &\ssi -3x \pg -1 \\
    &\ssi x\pp \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$
  2. $\ln(2-x)+1=0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $2-x>0 \ssi x<2$.
    Sur $]-\infty;2[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(2-x)+1=0 &\ssi \ln(2-x)=-1 \\
    &\ssi \ln(2-x)=\ln \left(\e^{-1}\right) \\
    &\ssi 2-x=\e^{-1} \\
    &\ssi -x=\e^{-1}-2 \\
    &\ssi x=2-\e^{-1}
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $2-\e^{-1}$.
    $\quad$
  3. $\ln(x+5)=\ln3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $x+5>0 \ssi x>-5$.
    Sur $]-5;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln(x+5)=\ln 3 &\ssi x+5=3 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$
  4. $\ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3}{x}>0 \ssi x>0$.
    Sur $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3}{x} \right) \pg \ln 3 &\ssi \dfrac{3}{x} \pg 3 \\
    &\ssi 0 < \dfrac{x}{3} \pp \dfrac{1}{3} \\
    &\ssi 0<x\pp 1
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]0;1]$.
    $\quad$
  5. $\e^x \pp \dfrac{1}{2} \ssi x \pp \ln \dfrac{1}{2} \ssi x \pp -\ln 2$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;-\ln 2]$.
    $\quad$
  6. $\ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0$
    On cherche dans un premier temps l’intervalle d’étude. Il faut que $\dfrac{3x-1}{x+2} >0$.
    $3x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $3x-1>0 \ssi x > \dfrac{1}{3}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Sur $]-\infty;-2[\cup\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ on a :
    $\begin{align*} \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg 0 &\ssi \ln \left( \dfrac{3x-1}{x+2} \right) \pg \ln 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2} \pg 1 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1}{x+2}-1 \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{3x-1-x-2}{x+2} \pg 0 \\
    &\ssi \dfrac{2x-3}{x+2} \pg 0
    \end{align*}$
    $2x-3=0 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0 \ssi x > \dfrac{3}{2}$
    $x+2=0 \ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$

    Ainsi la solution de l’inéquation est $]-\infty;-2[\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.$\quad$
  7. $2 \left( \ln(x-1) \right) ^{2} +5 \ln(x-1)-15 = 0$
    On résout cette équation sur $]1;+\infty[$.
    On pose $X=\ln(x-1)$
    On obtient ainsi l’équation $2X^2+5X-15=0$
    Le discriminant est $\Delta=5^2-4\times 2\times (-15)=145>0$
    Les solutions sont donc $\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}$ et $\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}$.
    On résout maintenant sur $]1;+\infty$ les équations :
    $\begin{array}{ll|l}
    \ln(x-1)=\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4} && \ln(x-1)=\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4} \\
    \ssi x-1=\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right) && \ssix-1=\exp \left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right) \\
    \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)&& \ssi x=1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)
    \end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1+\exp\left(\dfrac{-5-\sqrt{145}}{4}\right)$ et $1+\exp\left(\dfrac{-5+\sqrt{145}}{4}\right)$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 

Limites – Pour s’entraîner

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x $
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x $
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty $
    $\lim\limits_{X \to +\infty} X^2-X=\lim\limits_{X \to +\infty} X^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \ln x \right) ^{2}-\ln x=+\infty$
    $\quad$
  2. $\ln x-2x=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-2\right)$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x-2x=-\infty$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \to 0^+}  \ln x=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+}  \left(\ln x\right)^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( \ln x \right) ^{2}-3\ln x =+\infty$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left( x^2 +105x + 18\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+105x-18=\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(x^2+105x+18\right)=+\infty$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5 

Limites – Pour s’entraîner

  1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)$
    $\quad$
  3. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)$
    $\quad$
  4. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $t(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)-\ln 1}{1+x-1}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=f'(0)$ (limite du taux d’accroissement $t(x)$) où $f(x)=\ln(1+x)$
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}$ donc $f'(0)=1$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  2. Si on pose $X=\dfrac{1}{x}$ alors $x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{\ln(1+X}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)= \lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  3. Si on pose $X=\e^{-x}$ alors $\e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right)=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \ln \left( 1+e^{-x} \right) =\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$
  4. Si on pose $X=\sqrt{X}$ alors $\dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$
    $\quad$

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TS – Exercices – suites et nombres complexes

Suites et nombres complexes

Exercice 1     D’après Centres étrangers Juin 2010

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}.$$
Le but de cet exercice est d’étudier des suites $\left(u_n\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_0$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right).$$

  1. Étude de propriétés de la fonction $f$.
    a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans l’intervalle $[0;+\infty[$ l’équation $f(x)=x$.
    On note $\alpha$ la solution.
    $\quad$
    c. Montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    De même, montrer que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(u_n\right)$ pour $u_0=0$.
    Dans cette question, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)=6-\dfrac{5}{u_n+1}.$$
    a. Sur le graphique représenté dans l’annexe sont représentées les courbes d’équations $y=x$ et $y=f(x)$.
    Placer le point $A_0$ de coordonnées $\left(u_0;0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_0$ les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d’ordonnées nulle et d’abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
    Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Démontrer, par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \alpha.$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
    $\quad$
  3. Étude des suites $\left(u_n\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_0$.
    Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_0$?
    $\quad$

ANNEXE

 

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $f'(x)=-\left(-\dfrac{5}{(x+1)^2}\right)=\dfrac{5}{(x+1)^2}>0$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 6-\dfrac{5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6(x+1)-5}{x+1}=x \\
    &\ssi \dfrac{6x+1}{x+1}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x(x+1)}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{6x+1-x^2-x}{x+1}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}=0
    \end{align*}$
    On cherche donc les solutions de $-x^2+5x+1=0$ telles que $x\pg 0$
    On résout $-x^2+5x+1=0$
    Son discriminant est $\Delta=29>0$
    Les solutions sont $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2} > 0$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{-2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}<0$
    Donc $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[0;\alpha]$
    $\begin{align*} 0\pp x \pp \alpha &\ssi f(0)\pp f(x) \pp f(\alpha) \\
    &\ssi 1 \pp f(x) \pp \alpha\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$
    $\begin{align*} \alpha \pp x &\ssi  f(\alpha) \pp f(x) \\
    &\ssi \alpha \pp f(x)\end{align*}$
    Donc si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
  2. a.

    La suite $\left(u_n\right)$ semble donc être strictement croissante et converger vers $\alpha$.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 =0$ et $u_1=1$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Ce réel $\ell$ est solution dans $[0;+\infty[$ de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell=\alpha$.
    $\quad$
  3. Étudions tout d’abord le signe de $f(x)-x$ sur $[0;+\infty[$.
    $f(x)-x=\dfrac{-x^2+5x+1}{x+1}$
    Sur $[0;+\infty[$, le signe de $f(x)-x$ ne dépend que de celui de $-x^2+5x+1$.
    Donc $f(x)-x>0$ sur $[0;\alpha[$ et $f(x)-x<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\bullet$ Soit $u_0\in[0;\alpha]$
    Montrons par récurrence que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors  $u_1=f\left(u_0\right)>u_0$ d’après ce qu’on vient de montrer.
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[0;\alpha]$.
    Donc $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    On sait que $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\alpha]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(\alpha)$ soit $1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    Par conséquent $0 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est croissante, majorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0=\alpha$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante. Elle converge donc vers $\alpha$
    $\quad$
    $\bullet$ si $u_0\in]\alpha;+\infty[$.
    Montrons par récurrence que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n}$ pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_1=f\left(u_0\right)<u_0$ d’après ce qui a été montré en début de question
    On sait également que si $x$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ alors $f(x)$ appartient à l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $\alpha \pp u_1 \pp u_0 $.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $\alpha \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    On sait que $\alpha \pp u_{n+1} \pp u_{n} $.
    D’après la question 1. on sait également que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    Donc $f(\alpha) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_{n}\right)$ soit $\alpha\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} $.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $\alpha\pp u_{n+1} \pp u_{n}$.
    $\quad$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $\alpha$. Elle converge vers le réel $\ell$ qui vérifie $f(\ell)=\ell$. Donc $\ell=\alpha$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 :     Application

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-1}{x+2}$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. En déduite que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ sachant qu’elle vérifie $f(\ell)=\ell$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{4x+8-4x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{9}{(x+2)^2} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=5$ et $u_1=f(5)=\dfrac{19}{7}$
    Ainsi $u_0>u_1 \pp 1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>u_{n+2} \pg 1$.
    On sait que $u_n>u_{n+1} \pg 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
    Donc $f\left(u_n\right) > f\left(u_{n+1}\right) \pg f(1)$
    soit $u_{n+1} > u_{n+2} \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > u_{n+1} \pg 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ : elle converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. On résout l’équation $f(x)=x$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}=x \\
    &\ssi \dfrac{4x-1}{x+2}-x=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x(x+2)}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{4x-1-x^2-2x}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-x^2+2x-1}{x+2}=0\\
    &\ssi \dfrac{-(x-1)^2}{x+2}=0 \\
    &\ssi x=1
    \end{align*}$
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3     D’après Asie Juin 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$. L’unité graphique est $4$ cm.
Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes par : $$\begin{cases} z_0=0\\z_{n+1}=\lambda z_n+\ic\end{cases}$$

On note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.

  1. Calcul de $z_n$ en fonction de $n$ et de $\lambda$.
    a. Vérifier les égalités: $z_1=\ic$; $z_2=(\lambda+1)\ic$; $z_3=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. Étude du cas $\lambda=\ic$.
    a. Montrer que $z_4=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_n$.
    $\quad$
    c. Représenter les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ dans le repère $\Ouv$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $z_0=0$.
    $z_1=\lambda \times 0+\ic=\ic$.
    $z_2=\lambda \times \ic + \ic=(\lambda+1)\ic$.
    $z_3=\lambda \times (\lambda+1)\ic+\ic =\left(\lambda(\lambda+1)+1\right)\ic$ $=\left(\lambda^2+\lambda+1\right)\ic$.
    $\quad$
    b. Démontrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $z_1=\ic$
    $\dfrac{\lambda^1-1}{\lambda-1}\ic=\ic=z_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n > 0$ : $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $z_{n+1}=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\begin{align*} z_{n+1}&=\lambda z_n+\ic \\
    &=\dfrac{\lambda\left(\lambda^n-1\right)}{\lambda-1}\ic+\ic \\
    &=\dfrac{\left(\lambda^{n+1}-\lambda+\lambda-1\right)\ic}{\lambda-1} \\
    &=\dfrac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda-1}\ic
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $z_n=\dfrac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\ic$.
    $\quad$
  2. a. Si $\lambda=\ic$
    Alors $z_3=(-1+\ic+1)\ic=-1$ donc $z_4=\ic \times (-1)+\ic=0$.
    $\quad$
    b. On a $z_4=z_0=0$
    Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} z_{n+4}&=\dfrac{\lambda^{n+4}-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times \lambda^4-1}{\lambda-1}\ic \\
    &=\dfrac{\lambda^n\times 1-1}{\lambda-1}\ic \text{   car } \ic^4=1 \\
    &=z_n
    \end{align*}$
    Donc, pour tout entier naturel, on a $z_{n+4}=z_n$.
    $\quad$
    c.

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$\quad$

Exercice 4     Encore une étude de suite …

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1}$.
    Que peut-on en déduire?
    $\quad$
Correction Exercice 4

On veut donc démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp u_{n+1}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{u_0+1}=\sqrt{2}$
On a bien $u_0<u_1$
La propriété est vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n\pp u_{n+1}$
$\begin{align*} u_n\pp  u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
&\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*)\\
&\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
\end{align*}$
$(*)$ par croissance de la fonction racine carrée.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent  la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

[collapse]

$\quad$

TS – Devoir synthèse 4 – 1er trimestre

Devoir Commun

TS – Décembre 2017 – 3h

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$

De plus :
$\begin{align*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)& \ssi 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)\\
&\ssi P(A\cap B)=0,84
\end{align*}$

$84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.

$\quad$

Partie B

  1. a. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \conj{A}\right) \\
    &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
    &=0,822~5
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer la probabilité :
    $\begin{align*} P_{\conj{S}}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap\conj{A}\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
    &\approx 0,070~4
    \end{align*}$
    La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
    $\quad$
  2. a. On effectue $20$ tirages identiques, aléatoires et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,822~5$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,822~5$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=15)=\displaystyle \binom{20}{15}0,822~5^{15}\times (1-0,822~5)^5 \approx 0,145~7$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $P(X \pg 17)=1-P(X\pp 16) \approx 0,514~4$ d’après la calculatrice.
    Remarque : On pouvait également calculer
    $P(X \pg 17)=P(X = 17)+P(X =18)+P(X = 19)+P(X =20)$.
    $\quad$

Partie C

On obtient l’arbre pondéré suivant, en notant $p(V)=x$ :

On sait également que $p(H)=0,6$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
p(H)=p(A\cap H)+p\left(\conj{A}\cap H\right) &\ssi 0,6=0,4x+0,7(1-x)\\
&\ssi 0,6=0,7-0,3x\\
&\ssi 0,1=0,3x\\
&\ssi x=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$

Ainsi $p(V)=\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un cas particulier

  1. La fonction $C$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$ C'(t) =12\left(-\left(-\dfrac{7}{80}\right)\e^{-\frac{7}{80}t}\right) =\dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t}$$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, on a $C'(t)>0$ pour tout réel $t$ positif.
    La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80}t=-\infty \\\\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{7}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=12\neq 15$
    Le traitement de ce patient n’est donc pas efficace.
    $\quad$

Partie B : étude de fonctions

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    $\begin{align*} f'(x)&=105\times \dfrac{-x\times\left(-\dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\right)-\left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)}{x^2} \\
    &=105\times \dfrac{\dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}+\e^{-\frac{3}{40}x}-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{105g(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après le tableau de variation de la fonction $g$ on sait que $g(x)\pp 0$ pour tout réel $x$ positif.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;80]$.
    $f(1)=105\left(1-\e^{-\frac{3}{40}}\right)\approx 7,59 >5,9$
    $f(80)=\dfrac{105}{80}\left(1-\e^{-6}\right) \approx 1,31<5,9$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=5,9$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;80]$.
    La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et $f(1) \approx 7,59$ et $f(80)\approx 1,31$.
    Par conséquent, $f(x)\pg f(1)>5,9$ sur l’intervalle $]0;1]$ et $5,9>f(80)\pg f(x)$ sur l’intervalle $[80;+\infty[$.
    L’équation $f(x)=5,9$ possède donc bien une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. D’après la calculatrice $\alpha \approx 8,1$
    $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

  1. a. $C(6)=\dfrac{105}{a}\left(1-\e^{-\frac{3a}{40}}\right)=f(a)$
    $\quad$
    b. D’après la question B.3. on en déduit que $a\approx 8,1$ l.h$^{-1}$.
    $\quad$
  2. On a donc $C(t)=\dfrac{d}{8,1}\left(1-\e^{-\frac{8,1}{80}t}\right)$.
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{8,1}{80}t=-\infty \\\\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{8,1}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{d}{8,1}$
    On veut que le plateau soit égal à $15$
    $\ssi \dfrac{d}{8,1}=15$
    $\ssi d= 121,5$ µmol.h$^{-1}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
$f'(x)=\e^x-1$ pour tout réel $x$.
$f'(x)\pg 0 \ssi \e^x \pg 1\ssi \e^x \pg \e^0 \ssi x\pg 0$.
La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

De plus $f(0)=\e^0=1 > 0$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ positif on a $f(x)>0$ et par conséquent $\e^x>x$.

Or $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison on a ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$ et $u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
    Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \pg 0$.
    De plus : $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\pp 0$
    Par conséquent $0\pp u_{n+1} \pp 0,9u_n$.
    $\quad$
    b. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \pp u_0 \pp 0,3 \times 0,9^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1}$
    On sait que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,9u_n \pp 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
    Soit $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1} $
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3\times 0,9^n=0$.
    Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  3. Variable :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u\pg 0,03$ faire :
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $1999+n$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $x\mapsto x+3$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Donc la fonction $x\mapsto \dfrac{16}{x+3}$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
  2. Initialisation : si $n=0$ alors $v_0=1,07$ et $1\pp v_0 \pp 2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp v_n\pp 2$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $1\pp v_{n+1} \pp 2$.
    $\begin{align*}
    1\pp v_n\pp 2 &\ssi 4\pp v_n+3\pp 5 \\
    &\ssi \dfrac{1}{5} \pp \dfrac{1}{v_n+3}\pp \dfrac{1}{4} \\
    &\ssi -4 \pp -\dfrac{16}{v_n+3} \pp -\dfrac{16}{5} \\
    &\ssi 1\pp 5-\dfrac{16}{v_n+3} \pp \dfrac{9}{5}
    \end{align*}$
    Par conséquent $1\pp v_{n+1} \pp 2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp v_n\pp 2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}
    v_{n+1}-v_n&=5-\dfrac{16}{v_n+3}-v_n \\
    &=\dfrac{5\left(v_n+3\right)-16-v_n\left(v_n+3\right)}{v_n+3} \\
    &=\dfrac{5v_n+15-16-{v_n}^2-3v_n}{v_n+3}\\
    &=\dfrac{-{v_n}^2+2v_n-1}{v_n+3}\\
    &=-\dfrac{\left(v_n-1\right)^2}{v_n+3}
    \end{align*}$
    On sait que $1\pp v_n\pp 2$ donc $v_n+3> 0$
    Par conséquent, $v_{n+1}-v_n\pp 0$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    Autre méthode : Montrons par récurrence que $v_{n+1}<v_n$
    Initialisation : $v_0=1,07$ et $v_1\approx 1,069$ donc $v_1<v_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $v_{n+1}<v_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $v_{n+2}<v_{n+1}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent $1\pp v_{n+1}<v_n \pp 2$ implique que $f(1) \pp f\left(v_{n+1}\right) < f\left(v_n\right) \pp f(2)$.
    Or $v_{n+2}=f\left(v_{n+1}\right)$ et $v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)$
    Ainsi $v_{n+2}<v_{n+1}$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_{n+1}<v_n$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pg 1$.
    On est donc assuré d’avoir au moins $100$ tortues tous les ans. L’espèce n’est donc plus menacée d’extinction.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à $1,40$ m et dont l’âge est compris entre 10 et 70 ans.
Des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{-4}$.
Les parties A,B et C sont indépendantes.

Partie A :

Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigée, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction?

$\quad$

Partie B

  1. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30$ min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
    En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30$ min ne sont pas satisfaites de l’attraction.
    On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
    On note $A$ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30$ min” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
    $\quad$
    a. Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822~5$.
    $\quad$
    b. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min?
    $\quad$
  2. Dans le but d’améliorer la satisfaction des visiteurs, on réalise une petite enquête. On interroge au hasard $20$ visiteurs au sujet du tout nouveau grand huit. Le nombre de visiteurs est suffisamment grand pour qu’on considère qu’il s’agisse d’un tirage avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de visiteurs satisfaits de l’attraction.
    a. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’exactement $15$ visiteurs soient satisfaits.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’au moins $17$ visiteurs soient satisfaits.
    $\quad$

Partie C :

Les visiteurs du parc sont soit des abonnés soit des visiteurs de passage.
On s’intéresse aux visiteurs du 11 novembre 2017.
$40\%$ des visiteurs de passage et $70\%$ des abonnés au parc sont allés sur le nouveau grand huit lors de leur visite.
On sait également que $60\%$ des visiteurs sont allés sur le nouveau grand huit ce jour-là.

On appelle :

  • $V$ l’événement “le visiteur est un visiteur de passage”;
  • $H$ l’événement “le visiteur est allé sur le nouveau grand huit”.

Calculer la probabilité de l’événement $V$.

$\quad$

Exercice 2    6 points

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par : $$C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$$ où $C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre, $t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure, $d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure, $a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre $a$ est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle “plateau” la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.

Partie A : étude d’un cas particulier

La clairance $a$ d’un certain patient vaut $7$, et on choisit un débit $d$ égal à $84$.
Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = 12\left(1-\e^{-\frac{7}{80} t}\right)$.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à $15$. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
    $\quad$

Partie B : étude de fonctions

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$ de $]0;+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\ + \e^{-\frac{3}{40}x}-1$.
    $\quad$
  2. On donne le tableau de variation de la fonction $g$ :

    En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    On ne demande pas les limites de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;80]$.
    En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
    $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à $15$.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. À cette fin, on règle provisoirement le débit $d$ à $105$, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l’ intervalle $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$.
On cherche à déterminer la clairance $a$ d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à $105$.

  1. a. Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
    $\quad$
    b. Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang; elle est égale à $5,9$ micromole par litre.
    Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
    $\quad$

Exercice 3 : ROC    2 points

Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
On pourra utiliser la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\e^x-x$.
$\quad$

Exercice 4    6 points

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l’an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases}u_0=0,3\\u_{n+1}=0,9u_n\left(1-u_n\right)\end{cases}$$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

  1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1-u_n$ appartiennent à l’intervalle $[0;1]$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1}\pp 0,9u_n$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_n \pp 0,3\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues?
    $\quad$
  3. Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$ individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
    On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues.
    Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.
    $\quad$
    Variable :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $\ldots$ faire :
    $\quad$ $\ldots$
    $\quad$ $\ldots$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $\ldots$
    $\quad$

Partie B

Au début de l’année 2003, il ne reste déjà plus que $107$ tortues.
Afin d’assurer la pérennité de l’espèce des actions sont menées.
L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisée par la suite $\left(v_n\right)$ : $\begin{cases} v_0=1,07 \\v_{n+1}=5-\dfrac{16}{v_n+3}\end{cases}$ où $v_n$ modélise, pour tout entier naturel $n$, le nombre de tortues en centaines au début de l’année 2003$+n$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;2]$ par $f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}$.
    Étudier le sens de variation de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que $1\pp v_n\pp 2$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  4. La pérennité de l’espèce est-elle assurée? (Justifier brièvement votre réponse).
    $\quad$

TS – Exercices – suites et récurrence

Exercice 1

On donne la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=2u_n-3$ et $u_0=7$.
Démontrer que, pour tout entier $n$, $u_n=2^{n+2}+3$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Montrons ce résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $2^{0+2}+3=4+3=7=u_0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2^{n+3}+3$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-3\\
&=2\left(2^{n+2}+3\right)-3\\
&=2^{n+3}+6-3\\
&=2^{n+3}+3
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^{n+2}+3$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On considère la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ et $u_0=1$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $u_n \le u_{n+1}$. Que peut-on en déduire ?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Montrons par récurrence sur $n$ que $0<u_n<2$.
    Initialisation : $u_0=1$ donc $0<u_0<2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n<2$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0<u_{n+1}<2$.
    $\begin{align*} 0<u_n<2 &\ssi 1<u_n+1<3\\
    &\ssi 1<\sqrt{u_n+1}<\sqrt{3} \\
    &\ssi 1<u_{n+1}<\sqrt{3}
    \end{align*}$
    Or $0<1$ et $\sqrt{3}<2$
    Par conséquent $0<u_{n+1}<2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel on a $0<u_n<2$.
    $\quad$
  2. Démontrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}$ donc $u_0\pp u_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pp u_{n+1}$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    $\begin{align*} u_n \pp u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
    &\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*) \\
    &\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp u_{n+1}$.
    $\quad$
    $(*)$ On peut appliquer la fonction racine carrée car $u_n>0$ donc $u_n+1>0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.

  1. Conjecturer le sens de variation de $(u_n)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$
  3. Démontrer la conjecture.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $u_0=10$, $u_1=6$, $u_2=4$, $u_3=3$, $u_4=2,5$.
    La suite $\left(u_n\right)$ semble donc décroissante.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    $f'(x)=\dfrac{1}{2}>0$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, c’est-à-dire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}<u_n$.
    Initialisation : $u_0=10$ et $u_1=5$ donc $u_1<u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1}<u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+2}<u_{n+1}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}<u_n &\ssi f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right) \quad (*) \\
    &\ssi u_{n+2}<u_{n+1}
    \end{align*}$
    $(*)$ car la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Démontrer que $$\sum_{k=0}^{n}k^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$\quad$

Correction Exercice 4

On note $S_n=\ds \sum_{k=0}^{n}k^{2}$

Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0^2 = 0$ et $\dfrac{0(0+1)(2\times 0+ 1)}{6} = 0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour entier naturel $n$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 5

  1. Démontrer que $$ \sum_{k=0}^{n}k^{3} = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} $$
    $\quad$
  2. En déduire que $$ \sum_{k=0}^{n}k^{3} = \left( \sum_{k=1}^{n}k \right)^2$$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On note $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\ldots+n^3$
    Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $S_n=0$ et $\dfrac{0^2\times (0+1)^2}{4}=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 0^3+1^3+2^3+\ldots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
    $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
    $\begin{align*}S_{n+1}&=1^3+2^3+\ldots+n^3+(n+1)^3 \\
    &=S_n+(n+1)^3 \\
    &=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\
    &=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+n+1\right) \\
    &=(n+1)^2\times \dfrac{n^2+4n+4}{4} \\
    &=(n+1)^2\times \dfrac{(n+2)^2}{4}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $ S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 =  \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
    $\quad$
  2. On sait que pour tout entier naturel $n$ on a $\ds \sum_{k=1}^{n}k  =\dfrac{n(n+1)}{2}$
    Par conséquent $\ds \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=0}^{n} k^3$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6 ( D’après Polynésie juin 2013)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
    $\quad$
  2. On admet que $u_n <1$ pour tout entier naturel $n$.
    Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  3. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $3$.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
    $\quad$
    b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0<u_{n+1}$.
    $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
    Donc $u_{n+1} > 0$
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-u_n \\\\
    & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}-\dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
    \end{align}$
    On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1}-u_n > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
    &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &=3v_n
    \end{align}$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
    $\quad$
    b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
    $\quad$
    c.
    $ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \ssi 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &\ssi (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
    & \ssi 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
    & \ssi u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
    \end{align}$
    d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 1$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 (D’après Asie juin 2013)

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}$$
On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 1$.
    $\quad$
  2. a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :$u_{n+1}-u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \textbf{Entrée} & \text{Soit un entier naturel non nul }n \\
    \hline
    \textbf{Initialisation} & \text{Affecter à } u \text{ la valeur } 2 \\
    \hline
    & \text{POUR }i \text{ allant de } 1 \text{ à } n \\
    \textbf{Traitement} & \qquad \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1+0,5u}{0,5 + u} \\
    \textbf{et sortie}  & \qquad \text{Afficher } u \\
    & \text{FIN POUR} \\
    \hline
    \end{array}$
    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i& 1 & 2 & 3 \\
    \hline
    u & & & \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Pour $n= 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
    \hline
    u& 1,008~3 & 0,997~3 & 1,00~09 & 0,999~7 & 1,000~1 & 0,999~97 &1,000~01 & 0,999~996 & 1,000~001 \\
    \hline
    \end{array}$
    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ à l’infini.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n+1}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. Calculer $v_0$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \ne 1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

Partie A

  1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>1$
    Alors
    $\begin{align*} u_{n+1}& = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\
    &=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}\\
    &=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}
    \end{align*}$
    D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tout entier naturel$n$, $u_n > 1$.
    $\quad$
    Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l(inverse change le sens des inégalités !
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n \\
    &=\dfrac{1 + 3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n} \\
    &=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la question 1. on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
    Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i& 1 & 2 & 3 \\
    \hline
    u & 0,800&1,077 &0,976 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} \\
    &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} } \\
    &=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}
    &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\
    &=\dfrac{-1}{3}v_n
    \end{align*}$
    $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \pp 1$ donc $v_n \pp \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
    $\quad$
    b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
    $\begin{align*} (1+u_n)v_n = u_n – 1&\ssi  v_n+1=u_n-u_n \times v_n \\
    &\ssi u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
    Par conséquent :
    $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$

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TS – Exercices à prises d’initiatives (bac 2017)

Exercice 1 (Pondichéry Avril 2017)

On considère un cube $ABCDEFGH$ fourni en annexe.
L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{3}z-1=0$.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

$\quad$

Correction Exercice 1

On recherche trois points du cube appartenant au plan $\mathscr{P}$.

Les points $B(1;0;0)$, $I\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $J\left(\dfrac{2}{3};0;1\right)$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$ d’équation $x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z-1=0$.

En effet  :

  • $1+0+0-1=0$ (point $B)$
  • $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0-1=0$ (point $I$)
  • $\dfrac{2}{3}+0+\dfrac{1}{3}-1=0$ (point $J$)

Les plan $\mathscr{P}$ et $(BIJ)$ sont donc confondus.

Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont parallèles. Par conséquent, l’intersection du plan $(EFG)$ avec le plan $(BIJ)$ est la droite parallèle à $(BI)$ passant par $J$. Le point $L$ est le point d’intersection de cette droite avec l’arête $[GH]$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 (Amérique du Nord Juin 2017)

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder $4$ mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0<a\pp 2$.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés $[AD]$ et $[BC]$ dont perpendiculaires au seuil $[CD]$ du portail. Entre les points $A$ et $B$, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par :

$$f(x)=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}+\e^{-\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \text{  où } b>0$$

Le repère est choisi de façon que les points $A,B,C$ et $D$ aient pour coordonnées respectives $\left(-a;f(-a)\right)$, $\left(a;f(a)\right)$, $(a;0)$ et $(-a;0)$ et on note $S$ le sommet de la courbe de $f$, comme illustré ci-dessous.

Partie A

  1. Montrer que , pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;2]$, $f(-x)=f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. On appelle $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;2]$ :
    $$f'(x)=-\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right).$$
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;2]$ et en déduire les coordonnées du point $S$ en fonction de $b$.
    $\quad$

Partie B

La hauteur du mur est de $1,5$ m. On souhaite que le point $S$ soit à $2$ m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

  1. Justifier que $b=1$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x)=1,5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
    $\quad$
  3. dans cette question, on choisit $a=1,8$ et $b=1$. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède $60$ kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$ kg.m$^{-2}$. Que décide le client?
    $\quad$

Partie C

On conserve les valeurs $a=1,8$ et $b=1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG$ comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $F$ d’abscisse $1$.

La forme $1$ est la plus simple, mais visuellement la forme $2$ semble plus économique. Evaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme $2$ plutôt que la forme $1$.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :

$$Aire=\dfrac{b+B}{2}\times h.$$

$\quad$

Correction Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(-x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{-\frac{-x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La courbe représentative de la fonction $f$ est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\dfrac{1}{b}\e^{\frac{x}{b}}-\dfrac{1}{b}\e^{-\frac{x}{b}}\right) \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in[0;2]$ on a, puisque $b>0$ :
    $\dfrac{x}{b}\pg -\dfrac{x}{b}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}} \pg \e^{-\frac{x}{b}}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}} \pg 0$
    $\ssi -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right) \pp 0$
    $\ssi f'(x) \pp 0$
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    Par symétrie, la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;0]$.
    On obtient le tableau de variation suivant :

    Avec $f(-2)=-\dfrac{b}{8}\left(e^{\dfrac{-2}{b}}+\e^{\dfrac{2}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(2)$
    Et $f(0)=-\dfrac{b}{8}\times 2+\dfrac{9}{4}=\dfrac{-b+9}{4}$.
    Ainsi $S\left(0;\dfrac{-b+9}{4}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut que  :
    $\begin{align*} f(0)=2&\ssi \dfrac{-b+9}{4}=2 \\
    &\ssi -b+9=8 \\
    &\ssi -b=-1 \\
    &\ssi b=1
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(e^x+e^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}$.
    et $f(2)=-\dfrac{1}{8}\left(e^2+e^{-2}\right)+\dfrac{9}{4}\approx 1,309$
    Sur l’intervalle $[0;2]$, la fonction $f$ est continue, car dérivable, et strictement décroissante.
    $f(0)=2>1,5$ et $f(2)\approx 1,309<1,5$
    Donc $1,5\in\left[f(2);f(0)\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution dont une valeur approchée est $1,76$.
    Ainsi $a\approx 1,76$.
    $\quad$
  3. Calculons la surface d’un vantail.
    Il s’agit de l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=0$ et $ x=1,8$.
    Puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0;1,8]$ (le minimum est $1,5$ d’après ce qui a été dit à la question précédente) l’aire cherchée est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{1,8}f(x)\dx \phantom{\dfrac{1}{1}} \\
    &=\left[-\dfrac{1}{8}\left[e^x-e^{-x}\right]+\dfrac{9}{4}x\right]_0^{1,8} \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-\e^{-1,8}\right)+\dfrac{9}{4}\times 1,8-0\\
    &\approx 3,314
    \end{align*}$
    La masse du vantail est donc :
    $M=20\times \mathscr{A}\approx 66,289>60$
    Le client décidera donc d’automatiser son portail.
    $\quad$

Partie C

Avec la forme 1
Le rectangle a donc pour dimension $1,8\times 2$
L’aire de partie perdue est :
$\mathscr{A}_1=2\times 1,8-\mathscr{A}\approx 0,286$

$\quad$

Avec la forme 2
$f'(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)$ et $f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}$
Une équation de la tangente $T$ au point $F$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
L’ordonnée à l’origine est donc
$\begin{align*} -f'(1)+f(1)&=\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} \\
&=-2\times \dfrac{1}{8}e^{-1}+\dfrac{9}{4} \\
&=\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}
\end{align*}$
Le point de la tangente $T$ ayant pour abscisse $1,8$ a pour ordonnée :
$\begin{align*} y&=f'(1)\times (1,8-1)+f(1) \\
&=f'(1)\times 0,8+f(1) \\
&=-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}
\end{align*}$
Ainsi l’aire du trapèze est :
$\mathscr{A}_T=\dfrac{\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} }{2}\times 1,8 $
L’aire de la partie perdue est $\mathscr{A_2}=\mathscr{A}_T-\mathscr{A}\approx 0,094$

Par conséquent on économise environ $0,286-0,094= 0,191$ m$^2$ de bois en choisissant la forme 2.

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$\quad$

Exercice 3 (Liban Juin 2017)

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par :

$$f_k(x)=x+k\e^{-x}$$.

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. Il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas?

$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

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$\quad$

 

Exercice 4 (Polynésie Juin 2017)

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane $\text{CH}_4$ de la façon suivante :

  • Les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier.
  • Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone-hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

  1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets $A$ et $C$ du cube et les deux autres atomes d’hydrogène sur deux autres sommets du cube.
    Représenter la molécule dans le cube donné en annexe.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
  2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube.
    $\quad$
  3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène c’est-à-dire l’angle $\widehat{A\Omega C}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  • Les segments $[AH]$, $[HF]$, $[FC]$, $[AC]$ et $[AF]$ sont des diagonales des carrés correspondant à des faces du cube. Ils ont donc tous la même longueur.
    Le tétraèdre $ACFH$ est donc régulier.
    On peut par conséquent inscrire le tétraèdre associé à la molécule de méthane dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant les atomes d’hydrogène sur les sommes $A$, $C$, $F$ et $H$.
    On obtient :
  • L’atome de carbone doit être à égale distance des atomes d’hydrogène.
    Or le centre du cube $\Omega$ est à égale distance de tous les sommets du cube en particulier des sommets $A, C, F$ et $H$.
    L’atome de carbone est donc au centre du cube.
    $\quad$
  • Dans le repère proposé on a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $\Omega(0,5;0,5;0,5)$.
    Ainsi $\vect{\Omega C}(0,5;0,5;-0,5)$ et $\vect{\Omega A}(-0,5;-0,5;-0,5)$.
    $\Omega C=\sqrt{0,5^2+0,5^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
    $\Omega A=\sqrt{(-0,5)^2+(-0,5)^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
    D’une part $\vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}=-0,25-0,25+0,25=-0,25$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}&=\Omega A\times \Omega C\times \cos\left(\vect{\Omega A},\vect{\Omega C}\right) \\
    &=\sqrt{0,75}\times \sqrt{0,75}\times \cos \widehat{A\Omega C} \\
    &=0,75\times \cos \widehat{A\Omega C}
    \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} -0,25=0,75 \times \cos \widehat{A\Omega C} &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
    &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
    &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=-\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Donc $\widehat{A\Omega C} \approx 109,5$

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$\quad$

Exercice 5 (Antilles Guyane Juin 2017)

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par

$$f(x)=\e^x \text{ et } g(x)=\e^{-x}.$$

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $C_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $C_f$ d’abscisse $a$ et $N$ le point de $C_g$ d’abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $C_f$ coupe l’axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $C_g$ coupe l’axe des abscisses en $Q$.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$.

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.

  1. Démontre que la tangente en $M$ à $C_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $C_g$.
    $\quad$
  2. a. Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$?
    $\quad$
  3. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  • La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ donc les fonctions $f$ et $g$ le sont également.
    $f'(x)=\e^x$ et $g(x)=-\e^{-x}$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T_a$ en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est $f'(a)=\e^a$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T’_a$ en $N$ à $\mathscr{C}_g$ est $g'(a)=-\e^{-a}$.
    Par conséquent un vecteur directeur de $T_a$ est $\vec{u}\left(1;\e^a\right)$ et un vecteur directeur de $T’_a$ est $\vec{v}\left(1;-\e^{-a}\right)$.
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=1\times 1+\e^a\times \left(-\e^{-a}\right)=1-1=0$.
    Donc la tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ en $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  • a. Il semblerait que la longueur $PQ$ soit toujours égale à $2$.
    $\quad$
    b. Cherchons une équation de $(PM)$.
    Elle est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Soit $y=\e^a(x-a)+\e^a$
    D’où $y=\e^a(x-a+1)$.
    L’abscisse du point $P$ est solution de l’équation $\e^a(x-a+1)=0 \ssi x-a+1=0 \ssi x=a-1$
    Par conséquent le point $P$ a pour coordonnées $(a-1;0)$.
    $\quad$
    Cherchons maintenant une équation de $(QN)$
    Elle est de la forme $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
    Soit $y=-\e^{-a}(x-a)+\e^{-a}$
    D’où $y=-\e^{-a}(-x+a+1)$
    L’abscisse du point $Q$ est solution de l’équation $\e^a(-x+a+1)=0 \ssi -x+a+1=0 \ssi x=a+1$
    Par conséquent le point $Q$ a pour coordonnées $(a+1;0)$.
    $\quad$
    On en déduit alors :
    $PQ=\sqrt{\left(1+a-(a-1)\right)^2+0^2}=\sqrt{2^2}=2$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6 (Métropole Juin 2017)

L’espace est muni d’un repère $Oijk$.
Soit $\mathscr{P}$ le plan d’équation cartésienne : $2x-z-3=0$.
On note $A$ le point de coordonnées $\left(1;a;a^2\right)$, où $a$ est un nombre réel.
$\quad$

  1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ (de paramètre noté $t$) passant par le point $A$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Soit $M$ un point appartenant à la droite $\mathscr{D}$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.
    Exprimer la distance $AM$ en fonction du réel $t$.

    On note $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale à $\mathscr{P}$ et passant par le point $A$. Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$, et la distance $AH$ est appelée distance du point $A$ au plan $\mathscr{P}$.
  3. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance $AH$ du point $A$ de coordonnées $\left(1;a;a^2\right)$ au plan $\mathscr{P}$ est minimale? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Remplaçons $x,y$ et $z$ de l’équation du plan $\mathscr{P}$ par les coordonnées du point $A$.
    $2-a^2-3=-a^2-1=-(a^2+1)>0$ pour tout réel $a$.
    Quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;0;-1)$.
    Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est :
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\end{cases}\quad,t\in \R$.
    $\quad$
    b. On a $M(1-2t;a;a^2-t)$.
    Donc, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} AM&=\sqrt{(1+2t-1)^2+(a-a)^2+\left(a^2-t-a^2\right)^2} \\
    &=\sqrt{(2t)^2+0+(-t)^2}\\
    &=\sqrt{4t^2+t^2} \\
    &=\sqrt{5t^2}\\
    &=|t|\sqrt{5}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le point $H$ appartient à la fois à la droite $\mathscr{D}$ et au plan $\mathscr{P}$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2x-z-3=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2(1+2t)-\left(a^2-t\right)-3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2+4t-a^2+t-3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\-a^2-1=-5t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2\times \dfrac{1+a^2}{5}\\y=a\\z=a^2-\dfrac{1+a^2}{5}\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \end{align*}$
    D’après la question précédente, on a :
    $AH=\left|\dfrac{1+a^2}{5}\right|\sqrt{5}= \dfrac{1+a^2}{\sqrt{5}}$
    La fonction carré admettant un minimum en $0$, la distance $AH$ est minimale si $a=0$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 (Asie Juin 2017)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right)u_n$.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n=(n+1)u_n$.

  1. La feuille de calcul ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.
    Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $B3$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
  2. a. Conjecturer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On peut écrire dans la cellule $B3$ la formule $=A3/(2*A2+4)*B2$
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que $u_n=0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$, $v_0=1$ et $0,5^0=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $v_n=0,5^n$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=(n+2)u_{n+1} \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2n+4}u_n \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2(n+2)}u_n\\
    &=\dfrac{n+1}{2}u_n\\
    &=0,5v_n \\
    &=0,5^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,5^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{v_n}{n+1}=\dfrac{0,5^n}{n+1}$
    $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$