DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2018

Nouvelle Calédonie – décembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $(2x+5)(x-2) $
    $=2x^2-4x+5x-10$
    $=2x^2+x-10$
    Réponse C
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, il existe alors deux nombres entiers $k$ et $k’$ tels que $a=7k$ et $b=7k’$.
    Donc $a+b=7k+7k’=7(k+k’)$.
    $a+b$ est par conséquent un multiple de $7$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABC$ et $AST$ :
    – les droites $(BC)$ et $(ST)$ sont parallèles;
    – le point $S$ appartient au segment $[AB]$;
    – le point $T$ appartient au segment $[AC]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{ST}{BC}$
    Donc $\dfrac{42}{125}=\dfrac{ST}{75}$
    Par conséquent $ST=\dfrac{75\times 42}{125}=25,2$ m.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » est $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement « on gagne des bonbons » est « on ne gagne pas des bonbons ».
    $\quad$.
    c. La probabilité de l’événement « on ne gagne pas des bonbons » est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. $3$ secteurs  permettent de gagner une casquette ou des bonbons.
    La probabilité de l’événement « on gagne une casquette ou
    des bonbons » est donc $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $162=2\times 81=2\times 3^4$.
    $108=2\times 84=2\times 54=2^2\times 27=2^2 \times 3^3$
    $\quad$
  2. Ainsi les nombres $2\times 3^2$ et $3^3$ sont deux diviseurs communs à $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{162}{36}=4,5$.
    $36$ ne divise pas $162$. Le cuisinier ne pourra pas réaliser $36$ barquettes.
    $\quad$
    b. Le nombre de barquettes $N$ doit diviser $162$ et $108$ et être le plus grand possible.
    C’est donc le PGCD de $162$ et $108$.
    En utilisant l’algorithme d’Euclide on obtient :
    $162=1\times 108 + 54$
    $108=2\times 54+0$.
    Le PGCD est le denier reste non nul. Ainsi $N=54$.
    Il pourra donc réaliser au plus $54$ barquettes.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également utiliser la calculatrice pour déterminer le PGCD.
    $\quad$
    c. $\dfrac{162}{54}=3$ et $\dfrac{108}{54}=2$.
    Il y aura alors $3$ nems et $2$ samossas par barquette.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le nageur a parcouru $2~000$ mètres lors de cette course.
    $\quad$
    b. Les $200$ premiers mètres ont été parcourus en $5$ minutes.
    $\quad$
  2. La courbe représentant la distance parcourue en fonction du temps n’est pas une droite passant par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course.
    $\quad$
  3. La vitesse moyenne du nageur 1 est $v=\dfrac{2~000}{45}\approx 44$ m/min.
    $\quad$
  4. a. L’image de $10$ par la fonction $f$ est $f(10)=50\times 10=500$.
    $\quad$
    b. $f(30)=50\times 30=1~500$.
    $\quad$
  5. a. Au bout de $10$ minutes le nageur a parcouru $400$ mètres et, d’après la question 4.a., le nageur 2 a parcouru $500$ mètres. Le nageur 2 est donc en tête.
    $\quad$
    b. Au bout de $30$ minutes le nageur a parcouru $1~600$ mètres et, d’après la question 4.b., le nageur 2 a parcouru $1~500$ mètres. Le nageur 1 est donc en tête.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
&=59^2+198^2 \\
&= 42~685 \end{align*}$

Ainsi $AC=\sqrt{42~685} \approx 206,6$ cm.
Par conséquent $AC>205$.

Allan ne pourra pas redresser le réfrigérateur en position verticale dans le camion.

$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&3,4\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&100\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $100-(5,2+3,3+85,9+2,2)=3,4$.
    En $B7$ : on fait la somme des nombres de la colonne $B$.
    $\quad$
  2. En $B7$ on a pu écrire $=$SOMME$(B2:B6)$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&9 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&6\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&4\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&180\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $\dfrac{18~333\times 180}{550~560}$.
    En $C6$ : $\dfrac{12~281\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
  4. On obtient le diagramme suivant :
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

L’aire du grand carré est $6^2=36$.
L’aire du petit carré est $x^2$.
Par différence, l’aire de la partie grisée est donc $36-x^2$.
$\quad$

Affirmation 2 : VRAIE

Le chiffe $8$ est présent dans les nombres $8$, $18$, $28$, $38$, $48$, $58$, $68$, $78$, $80$, $81$, $82$, $83$, $84$, $85$, $86$, $87$, $88$, $89$, $98$.
On a écrit $20$ fois le chiffre $8$.
$\quad$

 

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On obtient le dessin suivant :
    $\quad$
  2. a. On obtient le dessin numéro 2 (à chaque tour de boucle on avance d’un carreau de moins).
    $\quad$
    b. Pour obtenir ce chemin, il faut répéter la série d’instruction 3 fois.
    $\quad$

 

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DNB – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – novembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Exercice 1

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3,5}{7}=\dfrac{1}{2}$
    Donc $\widehat{ABC}=30$°. Réponse A
  2. Les deux triangles sont symétriques par rapport à $O$.

     

    on a donc $\widehat{DEF}=\widehat{CBA}=35$° Réponse A
  3. La transformation qui permet d’obtenir la figure 2 à partir de la figure 1 est une homothétie. Réponse B

     

    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Hugo a déposé $\dfrac{15}{100}\times 300=45$ BD à la déchèterie.
Il lui reste donc $300-45=255$ BD.

Il vend $\dfrac{3}{5}\times 255=153$ BD à la braderie.

Il lui reste donc $255-153=102$ BD à la fin de la braderie.

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Voici les différents étapes de calcul : $$3\to -2\to -8$$ 
    On obtient donc le nombre $-8$.
    $\quad$
    b. Voici les différentes étapes de calcul : $$3\to 18\to -2 \to -8$$
    On obtient donc le nombre $-8$.
    $\quad$
  2. Avec le programme 1 :
    Soustraire $5$ : $-2-5=-7$
    Multiplier par $4$ : $-7\times 4=-28$
    $\quad$
    Avec le programme 2 :
    Multiplier par $6$ : $-2\times 6=-12$
    Soustraire $20$ : $-12-20=-32$
    Soustraire le double du nombre de départ : $-32-2\times (-2)=-32+4=28$
    $\quad$
    On obtient bien deux fois le même résultat.
    $\quad$
  3. On a pu saisir dans la cellule $B2$ la formule $=A2*5-4$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre choisi.
    Avec le programme 1 on obtient : $(x-5)\times 4=4x-20$.
    Avec le programme 2 on obtient : $6x-20-2x=4x-20$.
    Lucie a donc raison.
    $\quad$


Ex 4

Exercice 4

Calculons la largeur de l’écran : $\dfrac{16}{9}\times 60=\dfrac{320}{3}$ cm.
Calculons la diagonale de l’écran : On applique pour cela le théorème de Pythagore.
$d^2=60^2+\left(\dfrac{320}{3}\right)^2=\dfrac{134~800}{9}$
Donc $d\approx 122,4$ cm.

D’après le graphique, pour cette diagonale d’écran, la distance écran-téléspectateur doit être comprise entre $205$ cm et $420$ cm.

Or $3,05$ m $=305$ cm. Cette distance est bien comprise entre les distances minimales et maximales.

Valentin a fait un choix adapté.
$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Le temps du vainqueur de la finale en 2016 est $9,81$ s.
    $\quad$
  2. La moyenne des temps de la finale de 2016 est :
    $m=\dfrac{10,04+9,96+\ldots+9,94}{8} \approx 9,94 < 10,01$.
    La moyenne des temps pour effectuer $100$ m est la plus petite en 2016.
    $\quad$
  3. En 2012, le meilleur temps est $11,99-2,36=9,63<9,81$.
    C’est donc lors de la finale de $2012$ que le meilleur temps a été réalisé.
    $\quad$
  4. La médiane des temps en 2012 est de $9,84$.
    Cela signifie donc que $4$ athlètes ont mis au plus $9,84$ s pour parcourir le $100$ m de la finale de 2012.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  5. En 2016, $6$ athlètes ont réalisé un temps inférieur à $10$ s.
    C’est en 2012, qu’il y a eu le plus d’athlètes ayant réussi à parcourir le $100$ m de la finale en moins de $10$ s. Ils étaient donc au moins $7$ à avoir obtenu un tel temps.
    Un athlète parmi ces $8$ a mis $11,99$ s.
    Cela signifie donc que $7$ athlètes ont parcouru le $100$ m en moins de $10$ s en 2012.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Si on prend la valeur $40$ il n’y a alors plus d’espace entre les carrés.
    La valeur effacée est donc $60$.
    $\quad$
    b. On obtient la figure suivante :


    $\quad$

  2. On peut utiliser : $a=3$, $b=40$ et $c=120$.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

$20$ min $=\dfrac{1}{3}$ h.
La vitesse moyenne de Noémie est $v=\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=21$ km/h.
Affirmation 1 fausse

$\quad$

Marie-Amélie Le Fur a parcouru les $400$ m en $\dfrac{0,4}{24,3} \times 60 \approx 0,988$ min
Affirmation 2 vraie

$\quad$

 

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DNB – Métropole Antilles Guyane – Septembre 2018

Métropole – Antilles Guyane – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $32$ participants sur les $80$ sont des femmes.
    La proportion de femmes participant à la course est $\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    $40\%$ des participants sont dons des femmes.
    $\quad$
  2. a. $p(V)=\dfrac{48}{80}=\dfrac{3}{5}=0,6$.
    $\quad$
    b. $3$ femmes et $4$ hommes ont un dossard dont le numéro est un multiple de $10$.
    Ainsi $p(M)=\dfrac{3+4}{80}=\dfrac{7}{80}$.
    $\quad$
    c. Parmi les $32$ femmes $3$ ont un numéro de dossard qui est un multiple de $10$.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{3}{32}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. La série contient $20$ valeurs. Dans la liste des valeurs ordonnées dans l’ordre croissant, la médiane est la médiane de le $19\ieme$ et $20\ieme$ valeur.
    Ainsi la médiane est $m=\dfrac{1979+1981}{2}=1980$.
    $\quad$
  2. On a pu saisir $=somme(B2:B21)/20$
    $\quad$
  3. On considère la série $1959 \quad 1959 \quad 1962$.
    La médiane de cette série est $1959$ tandis que sa moyenne est $\dfrac{1959+1959+1962}{3}=1960$.
    La moyenne et la médiane d’une série ne sont donc pas toujours égales.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} 588&=22\times 3\times 72 \\
    &=2\times 11\times 3\times 2^3\times 3^2 \\
    &=2^4\times 3^3\times 11
    \end{align*}$
    Les diviseurs premiers de $588$ sont donc $2$;$3$ et $11$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 27~000~000&=27\times 10^6 \\
    &=3^3\times (2\times 5)^6 \\
    &=3^3\times 2^6\times 5^6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs premiers de $27~000~000$ sont donc $2$; $3$ et $5$.
    $\quad$
  3. Les trois plus petits nombres premiers sont $3$; $5$ et $7$.
    Le nombre cherché est donc $3\times 5\times 7=105$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Bob  parcouru $10,5$ km en $1$h $03$min soit $1+\dfrac{3}{60}$h.
    Sa vitesse moyenne est donc $v=\dfrac{10,5}{1+\dfrac{3}{60}}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=\dfrac{60}{1}=60$ et $f(2)=\dfrac{60}{2}=30$.
    On a $2=2\times 1$ mais $f(2)=30 \neq 2\times f(1)$.
    La fonction $f$ n’est donc pas linéaire.
    $\quad$
    b. $f(5)=\dfrac{60}{5}=12$.
    La vitesse de Bob était donc de $12$ km/h lors de sa dernière course.
    $\quad$
  3. a. D’après le graphique, un antécédent de $10$ par la fonction $f$ est $6$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique si un pièton se déplace à environ $14$ min/km alors sa vitesse est d’environ $4,25$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{masse en mg}&100&75~000~000\\
    \hline
    \text{charge en mg}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $x=\dfrac{80\times 75~000~000}{100}=60~000~000$ mg $=60$ kg.
    $\quad$
  2. a. Le volume du prisme est $V=23\times 11,5=264,5$ mm$^3$ (il fallait convertir $1,15$ cm en mm).
    $\quad$
    b. $6\times 10^{-5}$ litre $=6\times 10^{-5}\times 10^6$ mm$^3$ soit $60$ mm$^3$.
    Or $\dfrac{264,5}{60} \approx 4,4$.
    L’abeille devra donc faire au minimum $5$ sorties pour remplir une alvéole.
    $\quad$
  3. a. $3~965+1~869+4~556+5~709=16~099$.
    $16~099$ tonnes de miel ont été récoltées en 2016.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le pourcentage de baisse cherché.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 24~224\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=16~099 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{16~099}{24~224} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}= \dfrac{16~099}{24~224} -1\\
    &\ssi x=-100\times \left(\dfrac{16~099}{24~224} -1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 33,5$.
    On constate donc une baisse d’environ $33,5\%$ de la récolte de miel.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le bloc suivant :
  2. À l’issue de l’exécution du programme le point d’arrivée à pour coordonnées $(0;0)$ et on est orienté vers la droite.
    $\quad$
  3. a. On obtient le nouveau script suivant :

    b. À la fin de l’exécution du script voici les nouvelles valeurs des variables :
    Longueur : $50\times 1,3=65$
    Largeur : $30\times 1,3=39$
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Si le nombre de départ est $1$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times 1-5=-3$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times 1+2=5$.
    On obtient donc finalement le nombre $-3\times 5= -15$
    $\quad$
  2. Si le nombre de départ est $x$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times x-5=2x-5$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times x+2=3x+2$.
    On obtient donc finalement le nombre $(2x-5)\times (3x+2)$
    Réponse B
    $\quad$
  3. D’une part on a :
    $(2x-5)\times (3x+2)=6x^2+4x-15x-10=6x^2-11x-10$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} D&=(3x+2)^2-(x+7)(3x+2) \\
    &=(3x)^2+2\times 2\times 3x+2^2-\left(3x^2+2x+21x+14\right) \\
    &=9x^2+12x+4-\left(3x^2+23x+14\right) \\
    &=6x^2-11x-10
    \end{align*}$
    L’expression $D$ fournit donc bien le même résultat que $(2x-5)\times (3x+2)$. L’affirmation de Lily est par conséquent vraie.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DF^2=DE^2+EF^2$
    soit $3~800^2=DE^2+3~790^2$
    donc $DE^2=3~800^2-3~790^2$
    Par conséquent $DE^2=75~900$ et $DE=\sqrt{75~900} \approx 275,5$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $FGH$ rectangle en G on a :
    $\sin 12=\dfrac{HG}{FH}$
    Donc $HG=FH \times \sin 12=4~100 \times \sin 12 \approx 852,4$ m
    Le dénivelé de la seconde étape est donc d’environ $825,4$ m.
    $\quad$
  3. $48$ min $=\dfrac{48}{60}$ h $=0,8$ h
    On a donc
    $\begin{align*} V_a&=\dfrac{EF+HG}{0,8} \\
    &=\dfrac{\sqrt{75~900}+4~100\sin 12}{0,8} \\
    &\approx 1~410 \\
    &> 1~400
    \end{align*}$
    Le coureur atteint donc son objectif.
    $\quad$
    Remarque : dans le calcul de $V_a$ on pouvait également utiliser les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes mais elles ont le défaut de n’être que des valeurs approchées et non des valeurs exactes.
    $\quad$

Énoncé

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