DNB – Nouvelle Calédonie – 7 décembre 2021

Nouvelle Calédonie – Décembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 fausse
$\dfrac{50}{100}\times 10~350=5~175$

$\quad$

Affirmation 2 vraie
$\dfrac{42}{18}=\dfrac{6\times 7}{6\times 3} = \dfrac{7}{3}$

$\quad$

Affirmation 3 vraie
$2x-4=-x+5$ devient $2x+x=4+5$ soit $3x=9$ et donc $x=3$

$\quad$

Affirmation 4 fausse
Le rayon de la boule est $R=\dfrac{21,6}{2}=10,8$ cm
Le volume de la boule, en cm$^3$, est
$\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi 10,8^3 \\
&\approx 5~276,7 \end{align*}$

$\quad$

Affirmation 5 vraie
Dans le triangle $BDN$ rectangle en $B$ on a
$\tan \widehat{DNB}=\dfrac{BD}{BN}$ soit $\tan \widehat{DNB}=\dfrac{4}{12}$
Par conséquent $\widehat{DNB} \approx 18,4$°.

$\quad$

Affirmation 6 fausse
Il y a $3$ possibilités pour le premier chiffre : $1$, $2$ ou $3$.
Il y a $3$ possibilités pour le deuxième chiffre : $1$, $2$ ou $3$.
Il n’y a qu’une seule possibilité pour le troisième chiffre : $6$.
Il y a donc, au total, $3\times 3\times 1 = 9$ codes différents.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\begin{align*}\dfrac{147+199+40+67+47+54+104+45+63}{9}&=\dfrac{766}{9} \\
    &\approx 85,11\end{align*}$
    La moyenne des précipitations est donc environ égale à $85$ mm.
    $\quad$
  2. $199-40=159$
    L’étendue des précipitations est égale à $159$ mm.
    $\quad$
  3. On réordonne la série : $40;45;47;54;63;67;104;147;199$
    $\dfrac{9}{2}=4,5$.
    La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est à dire $63$.
    La médiane des précipitations est égale à $63$ mm.
    $\quad$
  4. Sur les $9$ mois, les précipitations sont supérieures à $100$ mm durant $3$ mois.
    Or $\dfrac{3}{9} \approx 0,333$.
    Les précipitations sont donc supérieures à $100$ mm durant environ $33\%$ de la période étudiée.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $BAI$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} BI^2&=AI^2+AB^2 \\
    &=155^2+210^2\\
    &=68~125\end{align*}$
    Par conséquent $BI=\sqrt{68~125} \approx 261$ cm.
    $\quad$
  2. Pour chaque vitre, Joanne a besoin d’environ $2\times 261 =522$ cm d’adhésif.
    Elle donc bien besoin d’environ $5,22$ m d’adhésif pour une vitre.
    $\quad$
  3. Pour les $15$ vitres elle a donc besoin d’environ $15\times 5,22 \approx 78,3$ m d’adhésif.
    Les $7$ rouleaux lui fournisse $7\times 10=70$ m d’adhésif.
    Elle n’aura donc pas assez d’adhésif pour toutes les vitres.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $330$ est divisible par $2$ (le chiffre des unités est pair). Il n’est donc pas premier.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} 330&=2\times 165 \\
    &=2\times 3\times 55 \\
    &=2\times 3\times 5\times 11\end{align*}$
    La décomposition en facteurs premiers de $330$ est donc $2\times 3\times 5\times 11$.
    $\quad$
    c. $330=2\times 165$ donc $165$ divise $330$.
    $\quad$
    d. $165$ est divisible par $3$ tandis que $500$ ne l’est pas (la somme de ses chiffres n’est pas un multiple de $3$).
    Par conséquent $165$ ne divise pas $500$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{330}{165}=2$ : il y a donc $2$ biscuits aux noix dans chaque boîte.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{500}{165}\approx 3,03$ : il y a donc $3$ biscuits au chocolat dans chaque boîte.
    $\quad$
    b. $500-3\times 165=5$ : il reste donc $5$ biscuits au chocolat.
    $\quad$
  4. Les $12$ boîtes coûtent, avant réduction, $12\times 3~650=43~800$ francs.
    $43~800\times \dfrac{5}{100}=2~190$.
    On va donc payer $43~800-2~190=41~610$ francs.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Il y a $5+3+3+2+1=14$ cartes par famille.
    Il y a donc $14\times 4=56$ cartes dans le jeu.
    $\quad$
  2. La probabilité d’obtenir $P$ est donc $\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. L’événement contraire de $P$ est « Jack obtient une carte de la famille banane, citron ou fraise».
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement contraire à $P$ est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  4. $4\times 2=8$ cartes ont quatre fruits.
    La probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits est donc égale à $\dfrac{8}{56}=\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

Partie 1 : Distance de réaction

  1. La représentation graphique semble être une demi-droite passant par l’origine du repère et traduit donc une situation de proportionnalité.
    $\quad$
  2. On obtient graphiquement :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse (km/h)}&0&\boldsymbol{54}&90 \\
    \hline
    \text{Distance de réaction (m)}&\boldsymbol{0}&15&\boldsymbol{25}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche

  1. On écrit $=\text{B1*B1/203.2}$
    $\quad$
  2. À $90$ km/h la distance de freinage est
    $\begin{align*}
    d&=\dfrac{90^2}{203,2} \\
    &=\dfrac{8~100}{203,2} \\
    &\approx 39,86\end{align*}$
    La distance de freinage est bien d’environ $40$ m.
    $\quad$

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche

La distance d’arrêt d’un véhicule roulant à $90$ km/h est donc environ égale à $25+40$ soit environ $65$ m.

$\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Surface à peindre :
– au sol : $4\times 8=32$ m$^2$;
– “petites” parois intérieures : $2\times 4\times 1,7=13,6$ m$^2$;
– “grandes” parois intérieures : $2\times 8\times 1,7=27,2$ m$^2$.

La surface totale à peindre est donc égale à $32+13,6+27,2=72,8$ m$^2$.
Il faut deux couches de peinture. Il faut donc peindre $145,6$ m$^2$.

Or $\dfrac{145,6}{35}=4,16$ : il faut  par conséquent acheter $5$ pots de peinture.

$5\times 12~000=60~000$ : Il faut donc prévoir $60~000$ francs pour les travaux de peinture.

$\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. $A$ appartient à $[OH]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} OH&=OA+AH \\
    &=151+260 \\
    &=411 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans les triangles $OAB$ et $OHP$ on a :
    – $A\in [OH]$ et $B\in [OP]$;
    – $(AB)$ et $(HP)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OB}{OP}=\dfrac{AB}{HP}$
    ainsi $\dfrac{151}{411}=\dfrac{AB}{56}$.
    Par conséquent $AB=\dfrac{151 \times 56}{411}$. Donc $AB\approx 21$ m.
    $\quad$
  3. $\widehat{a}$ est le supplémentaire d’un angle de $72$°.
    Par conséquent $\widehat{a}=180-72=108$°.
    $\quad$
  4. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  5. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1      18 points

Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : $50 \%$ de $10~350$ c’est $10~300$.
$\quad$

Affirmation 2 : $\dfrac{7}{3}$ est la forme irréductible de $\dfrac{42}{18}$.
$\quad$

Affirmation 3 : L’équation $2x-4 =-x +5$ a pour solution $3$.
$\quad$

Affirmation 4 : L’arrondi à l’unité près du volume d’une boule de diamètre $21,6$ cm est $42~213$ cm$^3$.
On rappelle la formule du volume d’une boule $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
$\quad$

Affirmation 5 : : Dans la figure codée ci-contre, la mesure
de l’angle $\widehat{DNB}$, arrondie à l’unité près, est $18$°.

Affirmation 6 : On peut composer $6$ codes différents avec un cadenas à $3$ chiffres qui respecte les conditions suivantes :

  • les deux premiers chiffres sont choisis parmi $1$; $2$ et $3$;
  • un chiffre peut apparaître deux fois;
  •  le dernier chiffre est $6$.

$\quad$

$\quad

Exercice 2      10 points

On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020.
On obtient le tableau suivant :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Mois}&\text{Avril}&\text{Mai}&\text{Juin}&\text{Juillet}&\text{Août}&\text{Sept.}&\text{Oct.}&\text{Nov.}&\text{Déc.} \\
\hline
\text{Précipitations en mm}&147&199&40&67&47&54&104&45&63 \\
\hline
\end{array}\\
\scriptsize{\text{Source : https ://www.historigue-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020}}\end{array}$

  1. Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.
    $\quad$
  2. Quelle est l’étendue des précipitations ?
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane des précipitations.
    $\quad$
  4. Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à $100$ mm. Arrondir
    le résultat à l’unité près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3      10 points

$BAI$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $BA = 210$ cm et $AI = 155$ cm.

  1. Déterminer la longueur $BI$ au cm près.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    L’immeuble de Joanne possède $15$ vitres rectangulaires.
    Chaque vitre a pour longueur $210$ cm et pour largeur $155$ cm.
    Lors d’une préalerte cyclonique Joanne pose de l’adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l’immeuble.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Justifier que Joanne a besoin d’environ $5,22$ m d’adhésif pour une vitre.$\quad$

Joanne a $7$ rouleaux d’adhésif de $10$ m chacun.

  1. A-t-elle assez d’adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4      14 points

  1. a. Justifier que $330$ n’est pas un nombre premier.
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $500$ est : $500 = 2^2 ×5^3$.
    $\quad$
    b. Décomposer $330$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
    c. Justifier que $165$ divise $330$.
    $\quad$
    d. Justifier que $165$ ne divise pas $500$.
    $\quad$

La pâtisserie Délices a préparé $330$ biscuits aux noix et $500$ biscuits au chocolat.
La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans $\boldsymbol{165}$ boites.
La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.

  1. Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?
    La pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte.
    $\quad$
  2. a. Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?
    $\quad$
    b. Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?
    $\quad$

Une boîte de biscuits coûte $3~650$ francs.
À partir de $10$ boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de $5 \%$ sur le montant total.

  1. Combien va-t-on payer pour l’achat de $12$ boîtes ?
    Faire apparaître les calculs effectués.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5      18 points

Un jeu est constitué de quatre familles de cartes : banane; prune; citron; fraise.
Voici la répartition des cartes de la famille banane.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de banane(s)}&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Nombre de cartes}&5&3&3&2&1\\
\hline
\end{array}$

La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.

  1. Montrer que ce jeu a $56$ cartes.
    $\quad$
    Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la même chance d’être choisie.
    Soit $P$ l’évènement : « Jack obtient une carte de la famille prune ».
  2. Quelle est la probabilité de l’évènement $P$ ?
    $\quad$
  3. a. Quel est l’évènement contraire de $P$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de l’évènement contraire de $P$ ?
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6      14 points

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Distance de réaction

La distance de réaction d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où il appuie sur la pédale de frein.
On considère un conducteur en bonne santé.
La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l’annexe.

  1. Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Compléter, par lecture graphique, le tableau de l’annexe.
    $\quad$

Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche

La distance de freinage d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule : $$d=\dfrac{v^2}{203,2} \text{ où $v$ est la vitesse exprimée en km/h}$$
On utilise un tableur pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :

  1. Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu’il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite :
    $$\begin{array}{lllll}
    \begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{2*B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} & \phantom{123}&\begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{B1*B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} & \phantom{123}\begin{array}{|c|}
    \hline
    =\text{B1+B1/203.2}\\
    \hline
    \end{array} \end{array}$$
    $\quad$
  2. Un véhicule roule à $90$ km/h.
    Montrer que sa distance de freinage est environ $40$ m.
    $\quad$

Partie 3 : Distance d’arrêt sur route sèche

La distance d’arrêt d’un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l’instant où le conducteur voit un obstacle et l’instant où la voiture s’arrête complètement.
Distance d’arrêt = Distance de réaction + Distance de freinage
Calculer la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à $90$ km/h.
$\quad$

Annexes

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Vitesse (km/h)}&0&\boldsymbol{\ldots}&90 \\
\hline
\text{Distance de réaction (m)}&\boldsymbol{\ldots}&15&\boldsymbol{\ldots}\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

$\quad$

Exercice 7      18 points

On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d’une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.
À l’aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l’on doit prévoir pour les travaux de peinture.

Document 1 : pot de peinture
Surface pouvant être peinte : $35$ m$^2$
Prix : $12~000$ F

Document 2 : piscine de base rectangulaire
Longueur : $8$ m $\quad$ Largeur : $4$ m $\quad$ Profondeur : $1,70$ m

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 8      18 points

On dispose des informations suivantes sur le phare Amédée, une balise et une bouée :

  •  la hauteur du phare est de $56$ m;
  •  la balise est située à $260$ m du phare;
  • la balise et la bouée sont distantes de $151$ m;
  • la bouée $O$, le sommet $B$ de la balise et le sommet $P$ du phare sont considérés comme trois points alignés.

Schéma de la situation :

Les droites $\boldsymbol{(PH)}$ et $\boldsymbol{(BA)}$ sont parallèles.

  1. Quelle est la distance $OH$ en m ?
    $\quad$
  2. Déterminer la hauteur $AB$ de la balise. Arrondir au dixième de m près.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$

Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures.

Contour de la sculpture

On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture.

  1. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{a}$ en degré dans la figure ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point $A$ et on s’arrête au point $B$).
    $\quad$

    $\quad$
  2. Compléter le script 1 de l’annexe.
    $\quad$

Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.

  1. Compléter le script final de l’annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

 

DNB – Nouvelle Calédonie – 13 décembre 2022

Nouvelle Calédonie – Décembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation n°1 fausse
En une heure, l’avion a parcouru $1~200$ km.
En une heure le son a parcouru $340,29\times 60^2=1~225~044$ m soit $1~225,044$ km.

$\quad$

Affirmation n°2 fausse
On a :
$\begin{align*} 4(4x-4)+16&=16x-16+16 \\
&=16x\end{align*}$
Et $16x \neq 16x^2$.

$\quad$

Affirmation n°3 fausse
$33=3\times 11$. Donc $33$ n’est pas un nombre premier. $33\times 13$ n’est donc pas une décomposition en produit de facteurs premiers.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire $\text{somme(A1:C1)}$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a donc $\dfrac{15+10+13+9+10+x}{6}=11$ soit $57+x=66$.
    Par conséquent $x=66-57$ c’est-à-dire $x=9$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. L’équateur est un parallèle.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le rayon de la boule est $R=\dfrac{6}{2}$ soit $R=3$ cm.
    Le volume de la boule est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 \\
    &=4\times 3^2 \pi\\
    &=36\pi\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{4}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\boldsymbol{20}&33&\boldsymbol{27}&\boldsymbol{20}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. $5+4+3=12$. La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds durant $12$ jours.
    $\dfrac{12}{15}=0,8$.
    La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds $80\%$ des jours.
    $\quad$
  3. $\dfrac{15}{2}=7,5$.
    La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $15$ (on utilise le tableau de la question 1.).
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le triangle $MWB$, le plus grand côté est $[MB]$.
    D’une part $MB^2=56,25$
    D’autre part $MW^2+WB^2=36+20,25=56,25$
    Par conséquent $MB^2=MW^2+WB^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $MWB$ rectangle en $W$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{BMW}&=\dfrac{BW}{MW} \\
    &=\dfrac{4,5}{6} \\
    &=0,75\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BMW} \approx 37$°.
    $\quad$
  4. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
    c. Dans les triangles $WEF$ et $WMB$ :
    $\qquad \bullet$ $E\in [WM]$ et $F\in [WB]$;
    $\qquad \bullet$ $(MB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{WE}{WM}=\dfrac{WF}{WB}=\dfrac{EF}{MB}$
    c’est-à-dire $\dfrac{WE}{6}=\dfrac{3}{4,5}$
    Ainsi $WE=6\times \dfrac{3}{4,5}$
    Donc $WE=4$ cm.
    $\quad$
  5. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
  6. $W\in [MT]$ donc $MT=MW+WT$.
    Par conséquent $10=6+WT$ et $WT=4$ cm.
    $W\in [ET]$ donc :
    $\begin{align*} ET&=EW+WT \\
    &=4+4 \\
    &=8\end{align*}$.
    Ainsi $ET=8$ cm.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. $4\times 1~600=6~400$.
    Le prix de $4$ heures de cours avec le tarif découverte est de $6~400$ F.
    $\quad$
  2. a. $4~800+4\times 600 = 4~800+2~400=7~200$.
    On doit donc payer $7~200$ F pour $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    b. $4~800+10\times 600 = 4~800+6~000=10~800$.
    On doit donc payer $10~800$ F pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. On a $P(x)=4~800+600x$.
    $\quad$
  3. a. Pour $x$ heures de cours on paye $1~600x$ F avec le tarif découverte et $9~600$ F avec le tarif renforcé.
    On veut donc résoudre $1~600x=9~600$.
    Par conséquent $x=\dfrac{9~600}{1~600}$ soit $x=6$.
    Les tarifs sont donc égaux pour $6$ heures de cours.
    $\quad$
    b. On sait que $P(4)=7~200$ et $P(10)=10~800$.
    Par conséquent la droite représentant la fonction $P$ passe par les points de coordonnées $(4,7~200)$ et $(10,10~800)$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. On a $P(7)=9~000$ et $1~600\times 7=11~200$.
    Par conséquent $9~000<9~600<11~200$.
    Le tarif personnalisé est donc le plus économique pour $7$ heures de cours.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $4~800+600x=9~600$ c’est-à-dire $600x=4~800$.
    Par conséquent $x=\dfrac{4~800}{600}$ soit $x=8$.
    Juliette paie le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé pour $8$ heures de cours.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Gabriel a obtenu $3$ au premier lancer.
    $\quad$
    b. Gabriel a obtenu $2$ au second lancer.
    $\quad$
  2. On peut obtenir :
    $(1;1)$, $(1;2)$, $(1;3)$, $(1;4)$, $(2;1)$, $(2;2)$, $(2;3)$, $(2;4)$, $(3;1)$, $(3;2)$, $(3;3)$, $(3;4)$, $(4;1)$, $(4;2)$, $(4;3)$ ou $(4;4)$.
    $\quad$
  3. Il est impossible d’obtenir une somme égale à $1$ puisque la plus petite somme obtenue est $2$.
    $A$ est donc l’événement impossible.
    $\quad$
  4. L’événement $C$ est obtenu à l’aide des tirages $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$ et $(4;1)$.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’événement $C$ se réalise est :
    $\begin{align*} p(C)&=\dfrac{4}{16} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1  : Vrai ou Faux    18 points

Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation n° 1 : La vitesse d’un avion qui vole à $1~200$ km/h est supérieure à la vitesse du son qui est $340,29$ m/s.

$\quad$

Affirmation n° 2 : Pour tout nombre $x$, on a $4(4x-4)+16 = 16x^
2$.

$\quad$

Affirmation n° 3 : $33\times 13$ est la décomposition en produit de facteurs premiers de $429$.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 : QCM     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Dans un tableur, quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\text{D1}$ pour afficher la somme des nombres des cellules $\text{A1}$, $\text{B1}$ et $\text{C1}$ ?
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}\\
    \hline
    1&3&5&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    Réponse A : $\text{=somme(A1:C1)}$
    Réponse B : $\text{=(A1:C1)}$
    Réponse C : $\text{=somme(A1*C1)}$
    $\quad$
  2. Soit la série de nombres : $15; 10; 13; 9; 10; x$.
    La moyenne de la série est $11$ pour $x$ égal à …
    Réponse A : $9$
    Réponse B : $10$
    Réponse C : $11$
    $\quad$
  3. Sur la terre, l’équateur est :
    Réponse A : un méridien
    Réponse B : un demi-cercle
    Réponse C : un parallèle
    $\quad$
  4. Le volume exact, en cm$^3$, d’une boule de $6$ cm de diamètre est :
    On rappelle le volume $V$ d’une boule de rayon $R$ : $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$
    Réponse A : $36\pi$
    Réponse B : $113,097~335~5$
    Réponse C : $288\pi$
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 13 : Le vent    12 points

On a relevé la vitesse du vent à 13 heures du 1$\ier$ au 15 novembre sur une plage de Nouvelle- Calédonie.
Les vitesses approchées sont données, en nœuds, dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l} \text{Jours du 1$\ier$ au 15}\\\text{novembre}\end{array}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Vitesse du vent en}\\\text{nœuds}\end{array}&10&15&20&20&15&10&10&20&15&25&25&25&20&15&15\\
\hline
\end{array}$

  1. À partir des données ci-dessus, compléter le tableau figurant sur l’annexe.
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage de jours où la vitesse de vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds sur la plage, entre le 1$\ier$ et le 15 novembre.
    $\quad$
  3. Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.
    $\quad$

Annexe :

  1. $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\phantom{123456}&\phantom{123456}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\phantom{123456}&33&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
    \hline
    \end{array}$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 : Construction    20 points

Un triangle $MWB$ est tel que $MB = 7,5$ cm; $WB = 4,5$ cm et $MW = 6$ cm.

  1. Sur la copie, construire le triangle $MWB$.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $BMW$. Arrondir le résultat au degré près.
    $\quad$
  4. a. Placer le point $F$ sur le segment $[WB]$ tel que $WF = 3$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer la parallèle à $(MB)$ passant par $F$. Elle coupe $(MW)$ en $E$. Placer le point $E$.
    $\quad$
    c. Calculer $WE$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  5. a. Placer le point $T$ sur la demi-droite $[MW)$ de la figure précédente tel que $MT = 10$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer le segment $[TB]$.
    $\quad$
  6. Calculer la longueur TE.
    Faire apparaître les différentes étapes du calcul.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 : Le club    20 points

Juliette désire apprendre la planche à voile, elle prend des renseignements auprès d’un club qui propose trois tarifs mensuels.

  • Le tarif découverte à $1~600$ F par heure de cours.
  • Le tarif personnalisé qui comprend une carte d’adhérent à $4~800$ F et un prix fixe de $600$ F par heure de
    cours.
  • Le tarif renforcé à $9~600$ F pour un nombre illimité d’heures de cours.
  1. Calculer le prix à payer pour $4$ heures de cours avec le tarif découverte.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent $7~200$ F.
    $\quad$
    b. Calculer le prix à payer pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    On désigne par $x$ le nombre d’heures de cours. On note $P(x)$ le prix à payer en francs avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
    Les fonctions donnant les prix à payer avec les tarifs découverte et renforcé sont représentées sur l’annexe.
    $\quad$
  3. a. Pour combien d’heures de cours ces deux tarifs sont-ils égaux ?
    $\quad$
    b. Tracer la représentation graphique de la fonction $P$ définie par $P(x) = 600x +4~800$ sur l’annexe.
    $\quad$
    c. Quel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre $7$ heures de cours ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Pour combien d’heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 6 : Les dés     13 points

Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$ et il relève le numéro qui figure sur la face cachée du dé.
Si Gabriel obtient $2$ au premier lancer puis $4$ au second, il note $(2; 4)$.

  1. Gabriel a noté $(3; 2)$.
    a. Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer ?
    $\quad$
    b. Quel numéro a-t-il obtenu au second lancer ?
    $\quad$
  2. Quelles sont les $16$ issues possibles de ce jeu ?
    $\quad$
  3. Que dire de l’évènement $A$ : « Obtenir $1$ en additionnant les deux numéros obtenus » ?
    L’évènement $B$ : « Obtenir $7$ en additionnant les deux numéros obtenus » peut être réalisé avec l’issue $(3; 4)$ ou avec l’issue $(4; 3)$.
    $\quad$
  4. Donner les quatre issues possibles qui réalisent l’évènement $C$ : « Obtenir $5$ en additionnant les deux numéros obtenus ».
    $\quad$
  5. Quelle est la probabilité que l’évènement $C$ se réalise ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7 : Le drapeau    11 points

  1. Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch ci-contre, le stylo étant en position d’écriture. On prendra $1$ cm pour $10$ pas.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Sur l’annexe, compléter les informations manquantes du script n° 2 qui permet d’obtenir la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$

Annexe :

$\quad$

$\quad$

 

DNB – Amérique du Sud – 16 novembre 2022

Amérique du Sud – Novembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne A est égale à $\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne B est égale à $\dfrac{11}{25}=0,44$.
    Or $0,4<0,44$. On a donc plus de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On réordonne la série statistique dans l’ordre croissant : $$3~;~7~;~7~;~11~;~12~;~12~;~14~;~14~;~14$$
    Cette série contient $9$ valeurs. $\dfrac{9}{2}=4,5$. La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est-à-dire $12$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. $20$ min $=\dfrac{1}{3}$h.
    La vitesse moyenne, en km/h, du coureur est donc égale à
    $\begin{align*} v&=\dfrac{36}{3+\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{~36~}{\dfrac{10}{3}} \\
    &=36\times \dfrac{3}{10}\\
    &=10,8\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} f(-1)&=-4(-1)-5 \\
    &=4-5\\
    &=-1\end{align*}$
    Graphiquement $g(-1)=-1$.
    Par conséquent $f(-1)=g(-1)$.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$
  5. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+5)^2-4&=(x+5)^2-2^2 \\
    &=\left[(x+5)-2\right]\left[(x+5)+2\right] \\
    &=(x+3)(x+7)\end{align*}$
    L’expression factorisée obtenue n’est pas égale à celle proposée.
    $\quad$
    Autre méthode 1 : Si $x=0$ alors $(x+5)^2-4=25-4=21$
    alors que $(x+1)(x+9)=9$
    Les deux expressions ne fournissent pas la même valeur pour $x=0$. Elles ne sont donc pas égales pour tout nombre $x$.
    $\quad$
    Autre méthode 2 : On calcule la différence des deux expressions en utilisant la forme développée de chacune d’entre elles.
    $\begin{align*} &(x+5)^2-4-(x+1)(x+9) \\
    &=(x+5)(x+5)-4-\left(x^2+9x+x+9\right) \\
    &=x^2+5x+5x+25-4-x^2-10x-9 \\
    &=12 \\
    &\neq 0\end{align*}$
    Remarque : On peut gagner un peu de temps si on connaît l’identité remarquable $(x+5)^2=x^2+2\times 5x+5^2$.
    $\quad$
    Affirmation 5 fausse.
    $\quad$
  6. On considère un carré $ABCD$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $B$.
    D’après le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=36+36 \\
    &=72\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{72}$.
    Les diagonales d’un carré sont de même longueur. Elles mesurent ici $\sqrt{72}$ mètres.
    Affirmation 6 vraie.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La production photovoltaïque du pays E est environ égale à $9,5$ TWh.
    $\quad$
  2. a. La production photovoltaïque des pays A et B est environ égale à $47+24=71$ TWh.
    $\dfrac{71}{131,8} \approx 53,8$
    Les pays A et $B$ totalisent bien à eux seuls environ $54\%$ de la production européenne.
    $\quad$
    b. $\dfrac{131,8-122,3}{122,3}\times 100 \approx 7,768$
    La production photovoltaïque a donc augmenté d’environ $7,8\%$ entre 2018 et 2019.
    $\quad$
  3. a. Les productions éoliennes, solaires et bioénergies ont augmenté chaque année de 2017 à 2019.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{Somme(B3:B8)}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le triangle $DBC$ est isocèle en $B$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \widehat{DBC}&=180-2\widehat{BCD} \\
    &=180-2\times 30 \\
    &=120\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{DBC}=120$°.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on a $\sin \widehat{ADC}=\dfrac{AD}{AC}$
    c’est-à-dire $\sin(30)=\dfrac{AD}{10}$ ainsi $AD=10\sin(30)$
    Par conséquent $AD=5$ cm.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AD^2+DC^2$ soit $10^2=5^2+DC^2$
    Donc $100=25+DC^2$. D’où $DC^2=75$.
    Ainsi $DC=\sqrt{75} \approx 8,7$ cm.
    $\quad$
  4. Le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ donc $\widehat{ABD}=180-(90+30)= 60$°.
    Les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{DBC}$ sont adjacents et supplémentaires.
    Donc
    $\begin{align*} \widehat{ABD}&=180-\widehat{DBC} \\
    &=180-120\\
    &=60\end{align*}$.
    La somme des angles d’un triangle est égale à $180°$ donc $\widehat{ADB}=180-2\times 60=60$°.
    Les trois angles du triangles $ABD$ mesurent $60$°. Le triangle $ABD$ est donc équilatéral.
    Remarque : En fait, deux angles suffisaient. Le troisième mesure nécessairement $60$° si les deux autres mesurent également $60$°.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On effectue une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d’angle $\dfrac{360}{5}=72$°.
    $\quad$
  2. La troisième proposition permet d’obtenir le motif souhaité.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. On peut ajouter cette instruction indifféremment après les instructions 5, 6 ou 7 ou juste avant l’instruction 5.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a besoin de $8$ planches mesurant $1,20$ m.
    On peut obtenir $2$ planches mesurant $1,20$ m à partir d’une planche mesurant $2,50$ m en la coupant en deux.
    Il faut donc acheter $4$ planches.
    $\quad$
    b. On utilise $4$ équerres et $8$ vis par équerre. On a donc besoin de $4\times 8=32$ vis. Un seul lot de vis se donc nécessaire.
    Il faut acheter ainsi $4$ planches, $4$ équerres et un lot de vis.
    Le budget a prévoir est donc égal à :
    $\begin{align*} B&=4\times 5,60+4\times 2,90+5,70 \\
    &=39,70\end{align*}$
    Hors coût de la terre, ce projet revient à $39,70$ €.
    $\quad$
  2. Le volume de terre nécessaire est égal à :
    $\begin{align*} V&=1,18^2\times \dfrac{2}{3}\times 0,30 \\
    &=0,278~48 \text{ m}^3 \\
    &=278,48 \text{ L}\end{align*}$
    Sept sac de terre ont un volume égale à $7\times 40=280$ L.
    Les sept sacs seront donc suffisants.
    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

DNB – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}&=\dfrac{5^{10}}{5^2}\\&=5^8\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{630}{882}&=\dfrac{2\times 315}{2\times 441} \\
    &=\dfrac{9\times 35}{9\times 49} \\
    &=\dfrac{5\times 7}{7\times 7} \\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x-2)(3x+7) \\
    &=3x^2+7x-6x-14\\
    &=3x^2+x-14\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(2x+1)(-x+3)=0$ si, et seulement si, $2x+1=0$ ou $-x+3=0$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{1}{2}$ et $3$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité de tirer une boule noire est égale à $\dfrac{3}{9}$.
    La probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à $1-\dfrac{3}{9}=\dfrac{6}{9}$
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $280\times 0,50=140$.
    Il va payer $140$ euros avec le tarif « Affaire ».
    $\quad$
  2. Avec le tarif « Affaire » il payera $450\times 0,50=225$ euros.
    Avec le tarif « Voyage court » il payera $120+0,20\times 450=210$ euros.
    Avec le tarif « Voyage long » il payera $230$ euros.
    L’offre « Voyage court » est don la plus avantageuse financièrement pour parcourir $450$ km.
    $\quad$
  3. a. La fonction $l$ est associée au tarif « Voyage long ».
    La fonction $m$ est associée au tarif « Affaire ».
    La fonction $n$ est associée au tarif « Voyage court ».
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $0,5x=0,2x+120$ soit $0,3x=120$.
    Donc $x=400$
    Les deux tarifs sont égaux si la distance parcourue est égale à $400$ km.
    $\quad$
  4. a. On obtient les courbes suivantes :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Graphiquement, la courbe représentant la fonction $l$ est en-dessous des deux autres si on parcourt au moins $550$ km.
    $\quad$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le triangle $SLP$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{PSL}=60$°.
    $\quad$
  2. L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe $(PL)$ est le cerf-volant 5.
    $\quad$
  3. L’image du cerf-volant 1 par la symétrie de centre $J$ est le cerf-volant $6$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le cerf-volant suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Seul le script d’Essya possède deux rotations de $90$°.
    C’est donc celui-ci qui est correct.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut écrire $=\text{somme(B2:B13)}$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{2~801~172}{12}=233~431$.
    Le nombre moyen de passages par moi est égal à $233~431$.
    $\quad$
  3. L’étendue est égale à $389~250-62~930=326~320$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{305~214-179~699}{179~699}\approx 0,698$.
    Il y a donc une augmentation du nombre de passages de véhicules d’environ $69\%$.
    $\quad$
  5. $10$ min $=\dfrac{1}{6}$ h et $3~000$ m $=3$ km.
    La vitesse moyenne du cycliste est donc $v=\dfrac{~3~}{\dfrac{1}{6}}=18$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La piscine mesure $6$ m de long.
    $BC=1,8+6+12,20=20$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan\widehat{BCA}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{5,5}{20} \\
    &=0,275\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BCA}\approx 15,4$°.
    Par conséquent $\widehat{BCA}<30$°.
    Le positionnement de la tyrolienne est donc conforme à la réglementation en vigueur.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=20^2+5,5^2 \\
    &=430,25\end{align*}$
    Donc $AC\approx 21$ m
    $\quad$
  4. Dans les triangles $CDE$ et $CBA$, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires à la droite $(BC)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{DE}{AB}$ soit $\dfrac{CD}{20}=\dfrac{1,5}{5,5}$
    Par conséquent $CD=\dfrac{1,5\times 20}{5,5}$
    Ainsi $CD\approx 5,45$ m.
    $\quad$
  5. Le volume de la piscine est :
    $\begin{align*} V&=6\times 6\times 1,6 \\
    &=57,6\end{align*}$
    Le volume de la piscine est égale à $57,6$ m$^3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples).
Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.
Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Aucun point ne sera retiré en cas de mauvaise réponse.

  1. $\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}$
    Réponse A : $5^{13}$
    Réponse B : $5^{5}$
    Réponse C : $5^{8}$
    $\quad$
  2. La fraction irréductible égale à $\dfrac{630}{882}$ est :
    Réponse A : $\dfrac{5}{7_{}}$
    Réponse B : $\dfrac{35}{49_{}}$
    Réponse C : $\dfrac{315}{441}$
    $\quad$
  3. Une expression développée de $A=(x-2)(3x+7)$ est
    Réponse A : $3x^2+13x+14$
    Réponse B : $3x^2+x+5$
    Réponse C : $3x^2+x-14$
    $\quad$
  4. Les solutions de l’équation $(2x+1)(-x+3)=0$ sont :
    Réponse A : $2$ et $-3$
    Réponse B : $-\dfrac{1}{2}$ et $3$
    Réponse C : $-1$ et $-3$
    $\quad$
  5. Une urne contient $9$ boules indiscernables au toucher :
    $\bullet$ $3$ boules noires,
    $\bullet$ $4$ boules blanches,
    $\bullet$ $2$ boules rouges.
    Quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule noire ?
    Réponse A : $\dfrac{2}{9_{}}$
    Réponse B : $\dfrac{1}{3_{}}$
    Réponse C : $\dfrac{6}{9}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Yanis vit en France métropolitaine. Il part cet été en Guadeloupe en vacances.
Il se renseigne quant aux locations de véhicules.
Une société de location de voitures à Pointe-à-Pitre propose les tarifs suivants pour un véhicule 5 places de taille moyenne, assurances non comprises :

  •  Tarif « Affaire » : $0,50$ € par kilomètre parcouru.
  • Tarif « Voyage court » : un forfait de $120$ € puis $20$ centimes par kilomètre parcouru.
  • Tarif « Voyage long » : un forfait de $230$ €, quel que soit le nombre de kilomètres effectués.
  1. Yanis a préparé son plan de route et il fera $280$ km. Il choisit le tarif « Affaire ».
    Combien va-t-il payer ?
    $\quad$
  2. S’il parcourt $450$ km, quelle offre est la plus avantageuse financièrement ?
    $\quad$
  3. Dans la suite, $x$ désigne le nombre de kilomètres parcourus en voiture.
    On considère les trois fonctions $l$, $m$, $n$ suivantes :
    $$l(x) = 230 \qquad m(x) = 0,5x \qquad n(x) = 0,2x +120$$
    a. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que le tarif « Voyage court » soit égal au tarif « Affaire ».
    $\quad$
  4. a. Sur l’annexe jointe, tracer les courbes représentatives des fonctions $l$, $m$ et $n$ sur la feuille « Annexes ».
    $\quad$
    b. Déterminez graphiquement le nombre de kilomètres que devra atteindre Yanis pour que le tarif « Voyage long »soit le plus avantageux.
    On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.
Les triangles $SLP$ et $PLA$ ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

PARTIE A :

  1. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{PSL}$.
    $\quad$
  2. Quelle est l’image du cerf-volant $2$ par la symétrie d’axe $(PL)$ ? On ne demande pas de justification.
    $\quad$
  3. Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant $6$ ?
    On ne demande pas de justification.
    $\quad$

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.
Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l’aide d’un logiciel de programmation.

Ils écrivent tous un programme « Cerf-volant » différent.

  1. Tracer le programme « Cerf-Volant » de Nicolas, en prenant $1$ cm pour $100$ pas.
    $\quad$
  2. Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Voici le nombre de passages de véhicules au péage du pont de l’île de Ré au cours de l’année 2020, reporté dans une feuille de calcul :

  1. Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule $B14$ pour obtenir le nombre total de passages en 2020 ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre moyen de passages par mois.
    $\quad$
  3. Donner l’étendue de la série.
    $\quad$
  4. Afin d’étudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de passages de véhicules sur le pont de l’île de Ré du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021.
    En mai 2021, $305~214$ véhicules ont passé le péage du pont.
    Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  5. Sachant que le pont a une longueur de $3~000$ mètres, quelle est la vitesse moyenne, exprimée en km/h, d’un cycliste qui le traverse en $10$ minutes ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Lya passe la journée dans un parc aquatique.
Elle y trouve une cabane dans un chêne d’où part une tyrolienne qui mène au-dessus d’une piscine.
Le câble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situé juste derrière la piscine.

Document 1 : schéma de la situation

Document 2 : La réglementation exige que l’angle formé par le câble de la tyrolienne et l’horizontale ait une mesure inférieure à $30$°.

Document 3 : La piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur $6$ m, largeur $6$ m et profondeur $1,60$ m.

Document 4 : Lorsque Lya est suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement $1,50$ m.

  1. Vérifier par un calcul que $BC = 20$ m.
    $\quad$
  2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation en vigueur ?
    $\quad$
  3. Déterminer la longueur $AC$, en mètres, de câble nécessaire. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  4. Lya est suspendue à la tyrolienne verticalement. À quelle distance $DC$ du peuplier, en mètres, les pieds de Lya toucheront-ils l’eau de la piscine ? Arrondir au centième.
    $\quad$
  5. Calculer le volume de la piscine, en m$^3$?
    Rappel : Le volume d’un parallélépipède rectangle est $V = \text{Longueur}\times \text{largeur} \times \text{hauteur}$.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Polynésie – 6 septembre 2022

Polynésie – 6 septembre 2022

DNB – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}&=\dfrac{20}{24}+\dfrac{21}{24} \\
    &=\dfrac{41}{24}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 198&=2\times 99 \\
    &=2\times 9\times 11\\
    &=2\times 3^2 \times  11\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 84&=2\times 42 \\
    &=2\times 2\times 21 \\
    &=2\times 2\times 3\times 7\\
    &=2^2\times 3\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent
    $\begin{align*} \dfrac{198}{84}&=\dfrac{2\times 3\times 33}{2\times 3\times 2\times 7} \\
    &=\dfrac{33}{14}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} E&=5(3x-4)-(2x-7) \\
    &=15x-20-2x+7\\
    &=13x-13\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le périmètre du rectangle est
    $\begin{align*} P&=2(4,5+3b+2,9) \\
    &=2(7,4+3b)\\
    &=14,8+6b\end{align*}$
    Or $P=25$ donc $25=14,8+6b$ par conséquent $6b=10,2$ et $b=1,7$.
    $\quad$
  5. L’aire du rectangle de base est :
    $\begin{align*} A&=3\times 4\\
    &=12\end{align*}$
    Par conséquent le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times A\times SH \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 6 \\
    &=24\end{align*}$
    $\quad$
  6. On appelle $P$ le nombre d’habitants de cette ville en 2019.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)=20~692$ soit $1,12P=20~692$.
    Par conséquent $P=\dfrac{20~692}{1,12}$ c’est-à-dire $P=18~475$
    Il y avait donc $18~475$ habitants dans cette ville en 2019.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D’après le théorème de Pythagore on a
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=3,9^2+5,2^2 \\
    &=15,21+27,04 \\
    &=42,25\end{align*}$
    Donc $AC=6,5$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan \widehat{ACB}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{3,9}{5,2} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ACB}\approx 37$°.
    $\quad$
  3. $0,2\times 32,5=6,5$.
    Il faut bien $32,5$ secondes à l’araignée pour parcourir les $6,5$ m à une vitesse de $0,2$ m/s.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $AFH$ et $ABC$, les droites $(FH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(AB)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès:
    $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{FH}{BC}$
    Donc $\dfrac{4}{6,5}=\dfrac{AH}{3,9}=\dfrac{FH}{5,2}$.
    Par conséquent $AH=\dfrac{4\times 3,9}{6,5}$ c’est-à-dire $AH=2,4$ m et $FH=\dfrac{4\times 5,2}{6,5}$ soit $FH=3,2$ m.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} CF+HA&=(AC-AF)+AH \\
    &=6,5-4+2,4 \\
    &=4,9\end{align*}$
    L’araignée met donc $\dfrac{4,9}{0,2}=24,5$ secondes pour parcourir la distance $CF+HA$.
    $\dfrac{3,2}{0,8}=4$ : l’araignée parcourt donc la distance $FH$ en $4$ secondes.
    La seconde araignée met donc $28,5$ secondes pour aller du point $C$ au point $A$. C’est par conséquent cette seconde araignée qui met le moins de temps à arriver en $A$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient le chemin suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le dessin 1, la distance parcourue n’augmente jamais.
    Dans le dessin 3, le premier déplacement est horizontal à la place d’être vertical.
    C’est donc le dessin 2 qui correspond au script 2.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. L’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ est le motif 5.
    $\quad$
    b. L’image du motif 1 par symétrie de centre $B$ est le motif 9.
    $\quad$
    c. L’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ est le motif 12.
    $\quad$
    d. L’image du motif 2 par la symétrie d’axe $(CG)$ est le motif 5.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-5$.
    $\quad$
    b. $-2$ a pour image $5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Un antécédent de $1$ par la fonction $f$ est $0$.
    $\quad$
  2. a. On obtient la succession de nombres suivant :
    $1\underset{+1}{\longrightarrow}2\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 4$
    En choisissant $1$ on obtient le nombre $4$.
    $\quad$
    $-2\underset{+1}{\longrightarrow}(-1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 1$
    En choisissant $-2$ on obtient le nombre $1$.
    $\quad$
    b. $x\underset{+1}{\longrightarrow}(x+1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} (x+1)^2$
    Donc $g(x)=(x+1)^2$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} h(3)&=2\times 3^2-3 \\
    &=2\times 9-3\\
    &=18-3\\
    &=15\end{align*}$
    L’image de $3$ par la fonction $h$ est $15$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} h(-4)&=2\times (-4)^2-3 \\
    &=2\times 16-3\\
    &=32-3\\
    &=29\end{align*}$
    L’image de $-4$ par la fonction $h$ est $29$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $h(x)=5$ soit $2x^2-3=5$.
    Par conséquent $2x^2=8$ c’est-à-dire $x^2=4$.
    Les antécédents de $5$ par la fonction $h$ sont donc $-2$ et $2$.
    $\quad$
  4. $f(0)=1$ et $f(1)=-1$. La courbe représentant la fonction $f$ est donc la représentation n°1.
    $g(x)=(x-1)^2$. Par conséquent, $g(x)\pg 0$ pour tout nombre $x$. La courbe représentative de la fonction $g$ est donc la représentation n°3.
    La courbe représentative de la fonction $h$ est par conséquent la représentation n°2.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Parmi les $36$ boules de l’urne, une seule est noire.
    La probabilité qu’il gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\quad$
    b. Pour qu’il gagne plus de $3$ points, il faut qu’il tire une boule bleue ou une boule noire.
    La probabilité qu’il gagne plus de $3$ points est égale à $\dfrac{6}{36}$ c’est-à-dire $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’il gagne $2$ points est égale à $\dfrac{10}{36}$.
    La probabilité qu’il gagne $5$ points est égale à $\dfrac{5}{36}$.
    Il a donc plus de chance de gagner $2$ points.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{2+1+1+\ldots+1+2}{15}=\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$
    La moyenne des scores obtenus par ces joueurs est égale à $\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
    b. On réordonne les scores dans l’ordre croissant :
    $1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;5;5;5;10;10$
    $\dfrac{15}{2}=7,5$ : la médiane est donc le $8\ieme$ score c’est-à-dire $2$.
    $\quad$
    c. La fréquence du score « 10 points » est égale à $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
  3. La probabilité qu’un joueur gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\dfrac{1}{36}\times 1~000\approx 27,78$.
    On peut donc estimer qu’en moyenne $27$ ou $28$ joueurs obtiendront le score de $10$ points.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     22 points

Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.

  1. Calculer $\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    On détaillera les calculs.
    $\quad$
  2. a. Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de $198$ et de $84$.
    $\quad$
    b. En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{198}{84}$.
    $\quad$
  3. On donne l’expression littérale suivante : $E = 5(3x-4)-(2x-7)$.
    Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  4. On désigne par $b$ un nombre positif.
    Déterminer la valeur de $b$ telle que le périmètre du rectangle ci-dessous soit égal à $25$.
    $\quad$

    $\quad
  5. Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur $SH = 6$ ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
  6. Le nombre d’habitants d’une ville a augmenté de $12 \%$ entre 2019 et 2020. Cette ville compte $20~692$ habitants en 2020.
    Quel était le nombre d’habitants de cette ville en 2019 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Un poteau électrique vertical $[BC]$ de $5,2$ m de haut est retenu par un câble métallique $[AC]$ comme montré sur le schéma 1 qui n’est pas en vraie grandeur.

  1. Montrer que la longueur du câble $[AC]$ est égale à $6,5$ m.
    $\quad$
  2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ au degré près.
    $\quad$

Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point $C$) décident de rejoindre le bas du câble (point $A$) par deux chemins différents.

  1. La première araignée se déplace le long du câble $[AC]$ à une vitesse de $0,2$ m/s.
    Vérifier qu’il lui faut $32,5$ secondes pour atteindre le bas du câble.
    $\quad$
  2. La deuxième araignée décide de parcourir le chemin $CFHA$ indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n’est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble $[CF]$ en marchant, puis descend verticalement le long de $[FH]$ grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de $[HA]$.
    Calculer les longueurs $FH$ et $HA$.
    $\quad$

    $\quad$

  3. La deuxième araignée marche à une vitesse de $0,2$ m/s le long des segments $[CF]$ et $[HA]$ et descend le long du segment $[FH]$ à une vitesse de $0,8$ m/s.
    Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en $A$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

On utilise un logiciel de programmation.
On rappelle que « s’orienter à $0$° » signifie qu’on oriente le stylo vers le haut.
On considère les deux scripts suivants :

  1. On exécute le script 1 ci-dessus.
    Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.
    Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
    $\quad$

    $\quad$

  3. On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :
    $\quad$

    $\quad$
    Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4
    $\quad$
  4. À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :
    a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du motif 1 par la symétrie de centre $B$ ?
    $\quad$
    c. Quelle est l’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ ?
    $\quad$
    d. Quelle est l’image du motif 2 par la symétrie d’axe ($CG)$ ?
    $\quad$

ANNEXE

Question 1

Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
La position de départ du stylo est indiquée sur la figure ci-dessus.

Question 3

$\quad$

Exercice 4     17 points

  1. Voici un tableau de valeurs d’une fonction $f$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&3&4&5\\
    \hline
    f(x)&5&3&1&-1&-5&-7&-9\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $f$ ?
    $\quad$
    b. Donner un nombre qui a pour image $5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner un antécédent de $1$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. On considère le programme de calcul suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Choisir un nombre}\\
    \text{Ajouter 1}\\
    \text{Calculer le carré du résultat}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quel résultat obtient-on en choisissant $1$ comme nombre de départ ? Et en choisissant $-2$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
    b. On note $x$ le nombre choisi au départ et on appelle $g$ la fonction qui à $x$ fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.
    Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est définie par $h(x) = 2x^2-3$.
    a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $h$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image de $-4$ par la fonction $h$ ?
    $\quad$
    c. Donner un antécédent de $5$ par la fonction $h$. En existe-t-il un autre ?
    $\quad$
  4. On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions $f$, $g$ et $h$ citées dans les questions précédentes.
    Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     19 points

Une urne contient $20$ boules rouges, $10$ boules vertes, $5$ boules bleues et $1$ boule noire.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne.

Lorsqu’un joueur tire une boule noire, il gagne $10$ points.
Lorsqu’il tire une boule bleue, il gagne $5$ points.
Lorsqu’il tire une boule verte, il gagne $2$ points.
Lorsqu’il tire une boule rouge, il gagne $1$ point.

  1. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.
    a. Quelle est la probabilité qu’il gagne $10$ points ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’il gagne plus de $3$ points ?
    $\quad$
    c. A-t-il plus de chance de gagner $2$ points ou de gagner $5$ points ?
    $\quad$
  2. Le tableau ci-dessous récapitule les scores obtenus par $15$ joueurs :
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{JOUEUR}&\text{SCORE}\\
    \text{JOUEUR A}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR B}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR C}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR D}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR E}&\text{10 points}\\
    \text{JOUEUR F}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR G}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR H}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR I}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR J}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR K}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR L}&\text{10 points}\\
    \text{JOUEUR M}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR N}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR O}&\text{2 points}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ?
    $\quad$
    b. Quelle est la médiane des scores ?
    $\quad$
    c. Déterminer la fréquence du score « $10$ points ».
    $\quad$
  3. Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de $10$ points ? La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Métropole – Juin 2022

Métropole – Juin 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droites $(AB)$.
    Par conséquent les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $EAC$ et $EBD$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[AB]$ et $[CD]$
    – les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AC}{BD}$
    Donc $\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}$
    Ainsi $AC=4$.
    La largeur de la rivière est de $20$ pas.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ACE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CE^2&=AC^2+AE^2 \\
    &=4^2+20^2\\
    &=16+400\\
    &=416\end{align*}$
    Donc $CE=\sqrt{416}$ pas
    Ainsi $CE = 0,65\times \sqrt{416} \approx 13,3$ m
    $\quad$
  4. a. La vitesse du bâton est :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{CE}{5} \\
    &=\dfrac{0,65\sqrt{416}}{5} \\
    &=0,13\sqrt{416} \\
    &\approx 2,65 \text{ m/s}\end{align*}$
    En prenant $CE \approx 13,3$ on obtient $v\approx \dfrac{13,3}{5}$ soit $v\approx 2,66$ m/s.
    $\quad$
    b. $1$ km $=1~000$ m et $1$ h $=3~600$ s.
    $10$ km/h $=10\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 2,78 $m/s
    L’affirmation «le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h» est donc exacte.

    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme $A$ en $A’$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Graphiquement on a $g(1)=2$.
    Donc $1$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f(3)&=3\times 3^2-7 \\
    &=3\times 9-7 \\
    &=27-7 \\
    &=20\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. On réordonne la série dans l’ordre croissant :
    $$3,41 ~;~ 3,7 ~;~ 4,01 ~;~4,28 ~;~4,3 ~;~ 4,62~;~4,91 ~;~5,15 ~;~5,25 ~;~ 5,42 ~;~ 5,82 ~;~ 6,07 ~;~ 6,11$$
    $\dfrac{13}{2}=6,5$ : la médiane est donc la $7\ieme$ valeur soit $4,91$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. $\dfrac{6,3}{2,1}=3$. Toutes les longueurs du triangle $LAC$ ont été multipliées par $3$ pour obtenir le triangle $BUT$.
    Son aire est donc multipliée par $3^2$ soit $9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $9$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 1.
    $21$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 2.
    $2^2\times 3^2\times 7=252$.
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $252$ est donc obtenue avec la proposition 3.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} 156&=2\times 78 \\
    &=2\times 2\times 39 \\
    &=2^2\times 3\times 13\end{align*}$
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $156$ est $2^2\times 3\times 13$.
    $\quad$
  2. a. $156$ n’est pas divisible par $36$ car $\dfrac{156}{36}\approx 4,33$.
    Elle ne peut donc pas faire $36$ paquets.
    $\quad$
    b. $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $156=2^2\times 3\times 13$.
    Ainsi le plus grand diviseur commun à $252$ et $156$ est $2^2\times 3=12$.
    Elle peut donc réaliser au maximum $12$ paquets.
    $\quad$
    c. $\dfrac{252}{12}=21$ et $\dfrac{156}{12}=13$.
    Il y aura alors $21$ cartes de type « feu » et $13$ cartes de type « terre » par paquet.
    $\quad$
  3. Il y a $252+156=408$ cartes dans le jeu.
    La probabilité que la carte tirée soit du type « terre » est donc égale à $\dfrac{156}{408}$ qu’on peut simplifier en $\dfrac{13}{34}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
    &=x^2+7x-3x-21 \\
    &=x^2+4x-21\end{align*}$.
    $\quad$
  3. On obtient :
    $\quad$
  4. $8^2+4\times 8-21=75$.
    Le programme renvoie donc la valeur $75$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation $x^2=x^2+4x-21$ soit $4x-21=0$ ou encore $4x=21$.
    Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. En une journée il y a $24\times 60\times 60=86~400$ s.
    Il s’écoule une goutte par seconde.
    Il tombe donc $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée.
    $\quad$
  2. En une semaine il tombe $86~400\times 7 =604~800$ gouttes.
    $\dfrac{604~800}{20}=30~240$.
    Le volume d’eau tombé dans la vasque en une semaine est égal à $30~240$ ml soit $30,24$ litres.
    $\quad$
  3. Le volume de la vasque est :
    $\begin{align*} V&=\pi \times 20^2\times 15 \\
    &=6~000\pi \\
    &\approx 18~849,56\text{ cm}^3\\
    &\approx 18,85 \text{ l}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $30,24>18,85$ : l’eau va déborder de la vasque.
    $\quad$
  5. $\dfrac{148-165}{165} \approx -0,10$.
    La consommation d’eau a baissé d’environ $10\%$ entre 2004 et 2018$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     20 points

Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$, $E$ et $D$, de même que $A$, $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)

  1.  Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.
    $\quad$
    Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.
    $\quad$
  3. Montrer que la longueur $CE$ vaut $13,3$ m, en arrondissant au décimètre près.
    $\quad$
  4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$.
    a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

  1. On considère les deux figures suivantes.
    Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?

    Réponse A : une translation
    Réponse B : une homothétie
    Réponse C : une symétrie axiale
    $\quad$

  2. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ suivante :

    Quel est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$ ?
    Réponse A : $2$
    Réponse B : $1$
    Réponse C : $4$
    $\quad$

  3. Soit $f$ la fonction définie par : $$f~:~x\mapsto 3x^2-7$$
    Quelle affirmation est correcte ?
    Réponse A : $29$ est l’image de $2$ par la fonction $f$
    Réponse B : $f(3)=20$
    Réponse C : $f$ est une fonction affine
    $\quad$
  4. On a relevé les performances, en mètres, obtenues au
    lancer du poids par un groupe de $13$ élèves d’une classe.
    $3,41$ m ; $5,25$ m ; $5,42$ m ; $4,3$ m ; $6,11$ m ; $4,28$ m ; $5,15$ m ; $3,7$ m ; $6,07$ m ; $5,82$ m ; $4,62$ m ; $4,91$ m ; $4,01$ m
    Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
    Réponse A : $7$
    Réponse B : $4,91$
    Réponse C : $5,15$
    $\quad$
  5. On considère la configuration suivante, dans laquelle les
    triangles $LAC$ et $BUT$ sont semblables.

    Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $LAC$ pour obtenir l’aire du triangle $BUT$ ?
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $6$
    Réponse C : $9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».

  1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Proposition 1}&\text{Proposition 2}&\text{Proposition 3} \\
    2^2\times 9\times 7&2\times 2\times 3\times 21&2^2\times 3^2\times 7\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$.
    $\quad$
  2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
    a. Peut-elle faire $36$ paquets ?
    $\quad$
    b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
    $\quad$
    c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
    $\quad$
  3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
    Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

  •  un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
  • un carré de côté $x$.

  1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
    Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
    ~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
    $\quad$
  3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
    On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
    Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.

    $\quad$

  4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
    $\quad$
  5. Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
    Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :

  • Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
  • Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
  • En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1$ ml).

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Caractéristiques de la vasque}\\
\quad \text{Diamètre intérieur : $40$ cm}\\
\quad \text{Hauteur intérieure : $15$ cm}\\
\quad \text{Masse : $25$ kg}\\
\hline
\end{array}$

Rappels : 

$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Volume du cylindre $=\pi\times$ rayon$^2\times$ hauteur}\\
1 \text{ dm}^3=1 \text{ litre}\\
\hline
\end{array}$

  1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
    $\quad$
  2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
    $\quad$
  3. Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
    $\quad$
  4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004.
    En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.
    Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Polynésie – juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient
    $\begin{align*} -\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{4}{7}&=\dfrac{-7}{5}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{49}{35}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{25}{35}\\
    &=-\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{35}\neq -\dfrac{5}{7}$. L’affirmation 1 est fausse.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AGE$ et $AMR$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[GR]$ et $[EM]$.
    – $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{4,2}{3}=1,4$ et $\dfrac{AG}{AR}=\dfrac{9,8}{7}=1,4$
    Donc $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AG}{AR}$.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(GE)$ et $(MR)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. $9$ n’est pas un nombre premier. L’affirmation 3 est fausse.
    $\quad$
  4. Dans $11$ ($1+3+7$) volumes de sauce salade, il y a $7$ volumes d’huile.
    $\dfrac{330}{11}\times 7=210$.
    Il y a bien $210$ mL d’huile. L’affirmation 4 est vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La droite $\left(d_1\right)$ passe par l’origine du repère. Le prix payé avec le tarif « liberté » est donc proportionnel au nombre d’heures effectuées dans la salle de sport.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique $f(5)=25$.
    L’image de $5$ par la fonction $f$ est donc $25$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique , l’antécédent de $10$ par la fonction $g$ est $1$.
    $\quad$
  3. D’après le graphique, si la personne effectue entre $0$ et $3$ heures dans la salle de sport, le tarif « liberté » est le plus avantageux et à partir de $3$ heures c’est le tarif « abonné » qui est le plus avantageux.
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction linéaire. Il existe donc un nombre $a$ tel que, pour tout nombre $x$ on ait $f(x)=ax$.
    Or $f(5)=25$ donc $5a=25$ soit $a=5$.
    Ainsi, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=5x$.
    Par conséquent $f(15)=5\times 15=75$.
    Avec le tarif « liberté » on paye $75$ € pour 15 heures effectuées.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

PARTIE A : Briques de jus de pomme

  1. $\dfrac{24}{2}=12$. La médiane est donc la moyenne de $12\ieme$ et de la $13\ieme$ valeur. Or Ces deux valeurs valent $350$. Ainsi, la médiane de cette série statistique est $350$.
    La moitié des briques contiennent au plus de $350$ mL de jus de pomme et l’autre moitié contient au moins $350$ mL de jus de pomme.
    $\quad$
  2. $357-344=13$. L’étendue de cette série est $13$.
    $\quad$
  3. $2$ briques sur les $24$ contiennent exactement $350$ mL.
    La probabilité que la brique prélevée contienne exactement $350$ mL est donc égale à $\dfrac{2}{24}$ soit $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
  4. $2+4+4+2+3+1+2+3=21$. Sur les $24$ briques, $21$ peuvent être vendues.
    $\dfrac{21}{24}=0,875$.
    Par conséquent $87,5\%$ des briques peuvent être vendues.
    $\quad$

PARTIE B : Briques de jus de raisin

  1. $5\times 6,4=32$.
    L’aire de la base de cette brique est égale à $32$ cm^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{400}{32}=12,5$. Pour que le volume de la brique soit de $400$ cm$^3$ il faut que la hauteur de la brique soit égale à $12,5$ cm.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $7+5=12$ et $7-5=2$.
    $12\times 2=24$
    $24+25=49$
    En choisissant le nombre $7$ on obtient bien $49$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. $-4+5=1$ et $-4-5=-9$
    $1\times (-9)=-9$
    $-9+25=16$
    En choisissant le nombre $-4$ on obtient bien $16$ à la fin du programme.
    $\quad$
  2. a. En appelant $x$ le nombre choisi au départ on obtient $(x+5)(x-5)+25$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. D’après l’identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
    Donc $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
    $\quad$
    c. Ainsi $(x+5)(x-5)-25=x^2-25+25=x^2$.
    L’affirmation de Sarah est exacte.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. $135-6\times 12,5=60$et$\dfrac{60}{5}=12$.
    La profondeur de chaque escalator est égale à $12$ m.
    $\quad$
    b. $\dfrac{32}{5} = 6,4$.
    Chaque escalator a une hauteur de $6,4$ m.
    $\quad$
  2. a. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} ST^2&=RS^2+RT^2 \\
    &=12^2+6,4^2\\
    &=144+40,96 \\
    &=184,96\end{align*}$
    Ainsi $ST=\sqrt{184,96}=13,6$.
    La longueur d’un escalator est égale à $13,6$ m.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, on a $\tan\widehat{RST}=\dfrac{6,4}{12}$
    Donc $\widehat{RST}\approx 28$°.
    $\quad$
  3. On peut écrire le programme suivant :


    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Asie – Juin 2021 (secours)

Asie – Juin 2021 (secours)

DNB – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. $4$ n’est pas un nombre premier.
    L’affirmation 1 est donc fausse
    $\quad$
  2. $(-3)^2+2=9+2=11$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)^2-2^2\\
    &=\left[(x+3)-2\right]\left[(x+3)+2\right] \\
    &=(x+3-2)(x+3+2)\\
    &=(x+1)(x+5)\end{align*}$
    $\quad$
    Autre méthode :
    D’une part :
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)(x+3)-4\\
    &=x^2+3x+3x+9-4\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} (x+1)(x+5)&=x^2+5x+x+5\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    Remarque : En connaissant l’identité remarque $(a+b)^2$ on peut aller un peu plus vite dans la première expression.
    $\quad$
    L’affirmation 3 est donc vraie.
    $\quad$
  4. Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_1&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3 \\
    &=18\pi\end{align*}$
    Le volume du cylindre est :
    $\begin{align*} V_2&=\pi\times (1,5)^2\times 8 \\
    &=18\pi \end{align*}$
    L’affirmation 4 est donc vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DB^2=CD^2+CB^2$ soit $8,5^2=CD^2+6,8^2$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CD^2&=8,5^2-6,8^2 \\
    &=26,01 \end{align*}$
    Donc :
    $\begin{align*} CD&=\sqrt{26,01}\\
    &=5,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $DCB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DC\times CB}{2} \\
    &=\dfrac{5,1\times 6,8}{2} \\
    &=17,34\text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{ADC}&=\dfrac{AC}{DC} \\
    &=\dfrac{3,2}{5,1}\end{align*}$
    Donc $\widehat{ADC}\approx 32$°
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABD$ et $CBD$ :
    – $C$ appartient à $[AB]$ et $E$ appartient à $[DB]$
    – $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{6,8}{6,8+3,2}=0,68$
    $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{5,8}{8,5}\approx 0,682$
    Ces deux rapports ne sont pas égaux.
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(AD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. On a $7>3$. C’est donc le « Motif B » qui est affiché.
    $\quad$
  3. Pour que l’écran affiche le « Motif A » il faut que le $2\ieme$ nombre ait pris une valeur entière comprise entre $4$ et $10$. Il y a donc $6$ possibilités.
    La probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A » est égale à $\dfrac{6}{10}$ soit $0,6$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $8$ pistes rouges parmi les $10$ sont ouvertes. Par conséquent $2$ pistes rouges étaient fermées.
    $\quad$
  2. Trois quart des pistes bleues étaient ouvertes.
    $\dfrac{3}{4}\times 8=6$.
    $6$ pistes bleues étaient ouvertes.
    $\quad$
  3. $\dfrac{3}{5}=0,6$ donc $60\%$ des pistes noires étaient ouvertes.
    $\quad$
  4. $5+4+3+1=13$ et $7+8+10+5=30$.
    Or $13<\dfrac{30}{2}$. Moins de la moitié des pistes étaient ouvertes.
    La station doit donc effectuer ce remboursement.
    $\quad$
  5. a. On a pu saisir $=\text{MOYENNE(B2:F2)}$.
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{105+130+115+140+60}{5} \\
    &=110\end{align*}$
    Elle est donc supérieure à la moyenne de la saison 2018-2019.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On a
    $\begin{align*} f(6)&=-\dfrac{3}{19}\times 6+3 \\
    &=-\dfrac{18}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=\dfrac{38}{19}\\
    &=2\end{align*}$
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est donc $2$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre
    $f(x)=0$ soit $-\dfrac{3}{19}x+3=0$ ou encore $\dfrac{3}{19}x=3$.
    Par conséquent $x=19$.
    L’antécédant de $0$ par $f$ est $19$.
    $\quad$
  3. On a $f(6)=2$. Donc le point d’abscisse $6$ a pour ordonnée $2$.
    $\quad$
  4. La vitesse moyenne de la balle est $v=\dfrac{19,2}{0,34}$ m/s soit environ $56,47$ m/s.
    Or $208$ km/h est égale à $208\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s soit environ $57,78$ m/s.
    L’affirmation du commentateur est donc fausse.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} f(12)&=-\dfrac{3}{19}\times 12+3 \\
    &=-\dfrac{36}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=1\end{align*}$
    La balle est donc a une hauteur de $1$ m quand elle passe au-dessus du filet.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     18 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que la réponse doit être justifiée.

  1. Affirmation 1 : $364$ admet comme décomposition en produit de facteurs premiers : $4 \times 7 \times 13$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : le nombre $-3$ est une solution de l’équation $x^2+2=11$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : pour tout nombre $x$, les expressions $(x + 3)^2-4$ et $(x + 1)(x + 5)$ sont égales.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : les deux solides suivants ont le même volume :
    On rappelle les formules suivantes :
    Volume d’une boule : $V =\dfrac{4}{3}\times \pi\times \text{rayon}\times \text{rayon}\times \text{rayon}$
    Volume d’un cylindre : $V = \text{Aire de la base}\times\text{hauteur}$
    Aire d’un disque : $A = \pi\times \text{rayon} \times \text{rayon}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Sur la figure ci-dessous :

  • le triangle $DCB$ est rectangle en $C$ ;
  • les points $A$, $C$ et $B$ sont alignés ;
  • les points $D$, $E$ et $B$ sont alignés ;
  • $AC = 3,2$ cm ;
  • $CB = 6,8$ cm ;
  • $BD = 8,5$ cm ;
  • $BE = 5,8$ cm.

  1. Démontrer que la longueur $DC$ est égale à $5,1$ cm.
    $\quad$
  2. Calculer l’aire du triangle $DCB$ en cm$^2$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$, au degré près.
    $\quad$
  4. Les droites $(AD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

On travaille avec le logiciel Scratch dont voici plusieurs copies d’écran :

  1. Tracer à main levée une allure du motif A défini par le bloc « Motif A ».
    $\quad$
  2. Après avoir cliqué sur le drapeau vert, l’écran affiche :

    Quel motif est alors affiché à l’écran : le « Motif A » ou le « Motif B » ?
    $\quad$

  3. On relance le programme.
    Si la variable « 1er nombre » prend la valeur $3$, calculer la probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Une station de ski compte $30$ pistes. Ces pistes de ski sont soit vertes, soit bleues, soit rouges, soit noires. La couleur de la piste définit son niveau de difficulté pour skier.

Chaque piste de ski peut être soit ouverte, soit fermée.

Sur le site internet de la station de ski, on a pu trouver les informations suivantes :

  1. Déterminer le nombre de pistes rouges fermées le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  2. Justifier qu’il y a six pistes bleues ouvertes le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  3. Parmi les pistes noires, quel est le pourcentage de pistes noires ouvertes le lundi 17 février 2020 ?
    $\quad$
  4. Le mercredi 19 février 2020, la nouvelle répartition affichée sur le site internet est la suivante :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{   Pistes vertes}&\textbf{   Pistes bleues}&\textbf{   Pistes rouges}&\textbf{   Pistes noires}\\
    \text{Nombre de pistes : }7&\text{Nombre de pistes : }8&\text{Nombre de pistes : }10&\text{Nombre de pistes : }5\\
    \text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}\\
    \text{ouvertes : }5&\text{ouvertes : }4&\text{ouvertes : }3&\text{ouvertes : }1\\
    \hline
    \end{array}$$
    Sur le site de la station on peut lire :
    « Votre forfait du jour est remboursé si plus de $50 \%$ des pistes de la station sont fermées. »
    Une cliente demande le remboursement de son forfait du jour du mercredi 19 février 2020.
    La station de ski doit-elle effectuer ce remboursement ?
    $\quad$
  5. On a mesuré les hauteurs maximales de neige dans la station, exprimées en centimètre, pour chaque mois, de novembre 2018 à mars 2019.
    On saisit ces mesures dans une feuille de calcul dont voici une copie d’écran :

    a. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{G2}$ avant d’être étirée jusqu’à la cellule $\text{G3}$ ?
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est-elle supérieure à celle de la saison 2018-2019?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     24 points

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

  1. Calculer l’image de $6$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.
    Un joueur de tennis effectue un service.
    Voici une figure, qui n’est pas à l’échelle, représentant la trajectoire de la balle lors de ce service.

    Le joueur est positionné au point $A$.
    On considère que la balle lancée en $B$ effectue un trajet en ligne droite, qu’elle passe au-dessus du filet en $D$ et qu’elle touche le terrain adverse en $C$.
    La longueur $DE$ représente la hauteur de la balle lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$
    Voici une représentation graphique de la fonction $f$ qui modélise la trajectoire de la balle lors de ce service. On rappelle que $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

Tout point de cette représentation graphique a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $19$.

Dans le repère, le point $A$ a pour coordonnées $(0 ; 0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0 ; 3)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(19 ; 0)$.

  1. On considère le point d’abscisse $6$ de la représentation graphique de la fonction $f$.
    Déterminer l’ordonnée de ce point.
    $\quad$
  2. On admet que la distance $BC$ parcourue par la balle lors de ce service est d’environ $19,2$ m.
    Lors de ce service, la balle a mis $0,34$ seconde pour parcourir la distance $BC$.
    Un commentateur affirme que la vitesse moyenne de la balle lors de ce service est de $208$ km/h.
    Cette affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$
  3. Déterminer la hauteur de la balle, exprimée en mètre, lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Asie – Juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Situation 1

  1. Voici les différentes obtenues successivement quand on choisit le nombre $10$.
    $$10\underset{-7}{\to}3\underset{\times 5}{\to}15\underset{-20}{\to}-5$$
    On obtient bien $-5$ en prenant $10$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différentes obtenues successivement quand le nombre de départ est $x$.
    $$x\underset{-7}{\to}x-7\underset{\times 5}{\to}5(x-7)\underset{-2x}{\to}5(x-7)-2x$$
    Il s’agit donc de l’expression C.
    $\quad$

Situation 2

  1. D’après le graphique, l’image de $-2$ par la fonction $f$ est $-4$.
    $\quad$
  2. On sait que le point $A(3;6)$ appartient à la droite représentant la fonction linéaire $f$.
    Il existe donc un nombre $a$ tel que $6=3a$. Par conséquent $a=2$.
    Donc $f(x)=2x$.
    $\quad$

Situation 3

L’aire du rectangle $CDEF$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=ED\times DC \\
&=30\times 40 \\
&=1~200 \text{ cm}^2\end{align*}$

Le volume de la pyramide est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times GH \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1~200\times 55 \\
&=22~000\text{ cm}^3 \\
&=22 \text{ L}\end{align*}$
Le volume de la pyramide est ainsi supérieur à $20$ L.
$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans les triangles $ABE$ et $DCE$ :
    – $E$ appartient aux segments $[BC]$ et $[AD]$;
    – les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{CD}$
    soit $\dfrac{7,2}{EC}=\dfrac{9}{6}$
    Donc $EC=\dfrac{7,2\times 6}{9}$, c’est-à-dire $EC=4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ECD$, le plus grand côté est $[CD]$.
    D’une part $CD^2=6^2=36$
    D’autre part $ED^2+EC^2=3,6^2+4,8^2=36$
    Donc $CD^2=ED^2+EC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$.
    $\quad$
  4. Les longueurs du triangle $ECD$ sont toutes multipliées par $1,5$ pour obtenir celles du triangle $ABE$.
    Ainsi, l’aire du triangle $ECD$ est multipliée par $1,5^2$ pour obtenir celle du triangle $ABE$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le tableau, l’Australie a obtenu $29$ médailles d’argent.
    $\quad$
  2. $69-(14+29)=26$.
    L’Italie a donc obtenu $26$ médailles de bronze.
    $\quad$
  3. On a pu saisir la formule $=\text{SOMME(C2:E2)}$ en $\text{F2}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{11}{54}\approx 20,3$.
    En prenant une valeur approchée à l’entier l’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
    On réordonne dans l’ordre croissant la série du nombre de médailles d’argent.
    $1~;~11~;~12~;~15~;~15~;~15~;~17~;~20~;~29~;~29~;~33~;~36~;~38~;~47~;~60$
    Or $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $20$.
    Le nombre médian de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $20$.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{65~000-50~000}{50~000}=0,3$
    Cette prime a donc augmenté de $30\%$ entre 2016 et 2021.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $0,17\times 35=5,95$.
    On paye donc $5,95$ € pour $35$ photos.
    $\quad$
    b. $17+0,13\times 50=23,5$.
    On paye bien $23,50$ € pour $150$ photos.
    $\quad$
    c. On ne peut pas commander plus de $100$ photos.
    On appelle $x$ le nombre de photos commandées.
    $0,17x\pp 10$ donc $x\pp \dfrac{10}{0,17}$.
    Or $\dfrac{10}{0,17}\approx 58,8$.
    On peut donc commander au maximum $58$ photos avec un budget de $10$ €.
    $\quad$
  2. À la ligne $3$ on écrit la valeur $100$, à la ligne $4$ on écrit la valeur $0,17$ et à la ligne $7$ on écrit la valeur $17$.
    $\quad$
  3. a. Pour $150$ photos on doit payer, sans réduction $23,50$ € d’après la question 1.b.
    $23,50\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=16,45$.
    Après réduction on payera donc $16,45$ €.
    $\quad$
    b. Les propositions 2 et 4 conviennent puisqu’appliquer une réduction de $30\%$ à un nombre revient à multiplier ce nombre par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ ou à soustraire $30\%$ du nombre à lui-même.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici, graphiquement, les coordonnées des deux villes :
    Canberra : $34$°S $149$°E
    Miami : $25$°N $80$°O
    $\quad$
  2. Le rayon de l’orbite de l’ISS est $R=6~371+380=6~751$ km
    La circonférence de cette orbite est donc $P=2\pi\times R \approx 42~418$ km.
    L’ISS parcourt bien environ $42~400$ km pour effectuer un tout complet de la terre.
    $\quad$
  3. a. On utilise la formule $V=\dfrac{D}{T}$ soit $T=\dfrac{D}{V}$ où $V$ correspond à la vitesse moyenne, $D$ la distance parcourue et $T$ le temps mis pour parcourir cette distance.
    Ainsi $T\approx \dfrac{42~400}{27~600}$. Donc $T\approx 1,536$ h.
    Or $0,536\times 60=32,16$ min.
    Il faut donc environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. La sortie du  spationaute a duré $7$ h $15$ min soit $7,25$ h.
    Or $\dfrac{7,25}{1,536}\approx 4,72$.
    Il a donc effectué $4$ tour complet de la Terre durant cette sortie.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est composé de trois situations qui n’ont pas de lien entre elles.

Situation 1

On considère le programme de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Soustraire }7\\\text{Multiplier par }5\\\text{Soustraire le double du nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Résultat}\\\hline\end{array}\end{array}$$

  1. Montrer que si le nombre de départ est $10$, le résultat obtenu est $-5$.
    $\quad$
  2. On note $x$ le nombre de départ auquel on applique ce programme de calcul.
    Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui correspond au résultat du programme de calcul ? Aucune justification n’est attendue pour cette question.
    Expression A : $x -7\times 5-2x$
    Expression B : $5(x -7)-x^2$
    Expression C : $5(x-7)-2x$
    Expression D : $5x-7-2x$
    $\quad$

Situation 2 :

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ .
Le point $A$ appartient a la droite $(d)$.

  1. À l’aide du graphique, déterminer l’image de $-2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

$\quad$

Situation 3 :

Le dessin ci-dessous représente une pyramide de sommet $G$ et dont la base $CDEF$ est un rectangle.
Le volume de cette pyramide est-il supérieur à $20$ L ?

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

La figure ci-dessous est réalisée à main levée.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $E$.
On a : $ED = 3,6$ cm $\quad$ $CD = 6$ cm
$\hspace{1cm}$ $EB = 7,2$ cm $\quad$ $AB = 9$ cm

  1. Démontrer que le segment $[EC]$ mesure $4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Le triangle $ECD$ est-il rectangle ?
    $\quad$
  3. Parmi les transformations ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$ ?
    Recopier la réponse sur la copie. Aucune justification n’est attendue.
    $$\fbox{Symétrie axiale} \quad \fbox{Homothétie} \quad \fbox{Rotation} \quad \fbox{Symétrie centrale} \quad \fbox{Translation}$$
  4. On sait que la longueur $BE$ est $1,5$ fois plus grande que la longueur $EC$.
    L’affirmation suivante est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    Affirmation : « L’aire du triangle $ABE$ est $1,5$ fois plus grande que l’aire du triangle $ECD$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Lors des Jeux paralympiques de 2021, les médias ont proposé un classement des pays en fonction de la répartition des médailles obtenues. Voici le classement obtenu pour les $15$ premiers pays :

  1. Combien de médailles d’argent l’Australie a-t-elle obtenues ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre de médailles de bronze obtenues par l’Italie.
    $\quad$
  3. Quelle formule a pu être saisie en $\text{F2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    $\quad$
  4. Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
    On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    Affirmation 1 :
    « $20 \%$ des médailles obtenues par l’équipe de France sont en or. »
    $\quad$
    Affirmation 2 :
    « La médiane du nombre de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $29$. »
    $\quad$
  5. Aux Jeux paralympiques de Rio en 2016, la prime pour une médaille d’or française était de $50~000$ euros. Pour ceux de Tokyo en 2021, cette prime était de $65~000$ euros.
    Quel est le pourcentage d’augmentation de cette prime entre 2016 et 2021 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     25 points

Une boutique en ligne vend des photos et affiche les tarifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de photos commandées}&\text{Prix à payer}\\
\hline
\text{De $1$ à $100$ photos}&0,17 \text{ € par photo}\\
\text{Plus de $100$ photos}&17 \text{ € pour l’ensemble des $100$ premières photos et} \\
&0,17 \text{ € par photo supplémentaire}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quel est le prix à payer pour $35$ photos ?
    $\quad$
    b. Vérifier que le prix à payer pour $150$ photos est $23,50$ €.
    $\quad$
    c. On dispose d’un budget de $10$ €. Combien de photos peut-on commander au maximum ?
    $\quad$

On a commencé à construire un programme qui doit permettre de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées :

  1. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Par quelles valeurs peut-on compléter les instructions des lignes $3$, $5$ et $8$ pour que le programme permette de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées ?
    Sur la copie, écrire le numéro de chaque ligne à compléter et la valeur correspondante.
    $\quad$
  2. En période des soldes, le site offre une réduction de $30 \%$ sur le prix à payer, pour toute commande supérieure à $20$ €.
    a. Calculer le prix a payer pour $150$ photos en période des soldes.
    $\quad$
    b. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    On modifie le programme pour qu’il donne le prix à payer en période des soldes en insérant le bloc ci-dessous entre les lignes $8$ et $9$.

    Dans la liste suivante, indiquer une proposition qui convient pour compléter la case vide :
    Proposition 1 :
    Proposition 2 :
    Proposition 3 :
    Proposition 4 :
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

L’ISS (International Space Station) est une station spatiale internationale placée en orbite autour de la Terre.

  1. Dans la journée du 21 juin 2021, l’ISS est passée à la verticale de Canberra (Australie) puis à la verticale de Miami (Etats-Unis).
    À l’aide du planisphère ci-dessous, donner les coordonnées géographiques de ces deux villes avec la précision permise par le graphique.

On représente la Terre, l’ISS et son orbite (trajectoire de l’ISS) à l’aide du schéma ci-dessous.

On considère que :

  • la Terre est assimilée a une sphère de rayon $6~371$ km;
  • l’orbite de l’ISS est un cercle de même centre que celui de la Terre;
  • l’ISS tourne autour de la Terre a une altitude de $380$ km.
  1. Montrer que l’ISS parcourt environ $42~400$ km pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
  2. On estime que l’ISS tourne autour de la Terre à la vitesse moyenne de $27~600$ km/h.
    a. Montrer qu’il faut environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. Le 19 juin 2020, de $14$ h $30$ à $21$ h $45$ (heure de Paris), le spationaute français Thomas Pesquet a effectué une sortie extravéhiculaire en restant attaché à l’ISS.
    Durant cette sortie, combien de fois Thomas Pesquet a-t-il fait le tour complet de la Terre ?
    $\quad$

$\quad$

DNB – Antilles Guyane- Septembre 2020

Antilles Guyane – Septembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
    D’une part $AC^2=108,16$
    D’autre part $BC^2+BA^2=92,16+16=108,16$
    Ainsi $AC^2=BC^2+BA^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $CBA$ et $CKL$:
    – $K$ appartient à $[CB]$ et $L$ appartient à $[CA]$;
    – la droite $(KL)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    D’après le théorème de Thalès on a $\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CL}{CA}=\dfrac{LK}{AB}$
    Soit $\dfrac{3}{9,6}=\dfrac{CL}{10,4}$ donc $CL=\dfrac{10,4\times 3}{9,6}$ et par conséquent $CL=3,25$ cm.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos\widehat{CAB}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos\widehat{CAB}=\dfrac{4}{10,4}$
    Par conséquent $\widehat{CAB}\approx 67$°.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d’un cube par $3$ alors son volume est multiplié par $3^3=27$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $(-4)^2+3\times (-4)+4=16-12+4=8$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. $1~500~000~000=1,5\times 10^{9}$
    Réponse D
    $\quad$
  5. $(x-2)\times (x+2)=x^2-2^2=x^2-4$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’image du polygone ❶ par la symétrie centrale de centre $O$ est le polygone ❸.
    $\quad$
    b. L’image du polygone ❹ par la rotation de centre O qui transforme le polygone ❶ en le polygone ❷ est le polygone ❶.
    $\quad$
  2. La translation de vecteur $\vect{AB}$ permet d’obtenir le polygone ❺ en partant du polygone ❶.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{315}{9}=35$ et $\dfrac{270}{9}=30$.
    $9$ divise donc à la fois $315$ et $270$.
    On peut, par conséquent, choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, on imprimera alors $35\times 30=1~050$ carrés de $9$ cm de côté. sur le tissu.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. La nageuse a donc nagé le 100 mètres en $53,35$ secondes.
    $\quad$
  2. $\dfrac{100}{52,93}\approx 1,89$.
    La vitesse moyenne de cette nageuse est d’environ $1,9$ m/s.
    $\quad$
  3. On ordonne la série dans l’ordre croissant :
    $$52,93~;~53,23~;~53,35~;~53,61~;~54,04~;~54,07~;~54,52~;~54,56$$
    $\dfrac{8}{2}=4$ : la médiane est donc la moyenne du $4\ieme$ et du $5\ieme$ temps soit $\dfrac{53,61+54,04}{2}=53,825$.
    La moyenne est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{52,93+52,23+\ldots+54,56}{8}\\
    &=\dfrac{430,31}{8} \\
    &\approx 53,789\end{align*}$
    La moyenne de la série est donc légèrement inférieure à la médiane.
    $\quad$
  4. La Grande Bretagne et l’Italie ont obtenu, à elles deux, $21$ médailles d’Or tandis que la Russie a obtenu $23$ médailles d’Or.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4}{12}\approx 33,33\%<35\%$.
    L’affirmation est donc également fausse.
    $\quad$
  6. On a pu écrire $=\text{SOMME(C2:E2)}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le tirage $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ bleue et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ rouge est bien une issue de l’événement « On obtient deux nombres premiers ».
    L’événement « On obtient deux nombres premiers » est donc possible.
    $\quad$
    La somme maximale qu’on peut obtenir est $4+5=9<12$. L’événement « La somme des deux nombres est égale à $12$ » est donc impossible.
    $\quad$
    b. Il y a $2$ nombres premiers dans l’urne bleue et $3$ nombres premiers dans l’urne rouge. Il y a donc $2\times 3=6$ tirages favorables.
    Il y a $3\times 4=12$ tirages possibles.
    La probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers » est donc égale à $\dfrac{6}{12}$ soit $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Les doubles possibles sont $(2;2)$, $(3;3)$ et $(4;4)$.
    La probabilité de tirer un double est donc égale à $\dfrac{3}{12}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. Il faut remplacer $\text{A}$ par $1~000$, $\text{B}$ par $4$ et $\text{C}$ par $5$.
    $\quad$
    b. Il faut placer ce bloc juste après l’instruction “répéter $1000$ fois”.
    $\quad$
    c. Il faut placer ce bloc juste après “quand le drapeau est cliqué”.
    $\quad$
    d. La proposition $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ permet d’obtenir la fréquence souhaitée.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     20 points

La figure ci-dessous est dessinée à main levée.
On donne les informations suivantes :

  • $ABC$ est un triangle tel que $AC = 10,4$ cm, $AB = 4$ cm et $BC = 9,6$ cm ;
  • les points $A$, $L$ et $C$ sont alignés;
  • les points $B$, $K$ et $C$ sont alignés;
  • la droite $(KL)$ est parallèle à la droite $(AB)$;
  • $CK = 3$ cm.

  1. À l’aide des instruments de géométrie, construire la figure en vraie grandeur sur la copie en laissant les traits de construction apparents.
    $\quad$
  2. Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $CL$ en cm.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{CAB}$, au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées, une seule d’entre elle est exacte.
Pour chacune des cinq questions, indiquer la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
On rappelle que toute réponse doit être justifiée.
Une réponse fausse ou une absence de réponse ne retire pas de point.

  1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d’un cube par 3, alors le volume du cube sera multiplié par :
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $9$
    Réponse C : $12$
    Réponse D : $27$
    $\quad$
  2. Lorsque $x = -4$ alors $x^2 +3x +4$ est égal à :
    Réponse A : $8$
    Réponse B : $0$
    Réponse C : $-24$
    Réponse D : $-13$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\ldots$
    Réponse A : $\dfrac{2}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $0,583$
    Réponse C : $\dfrac{7}{12}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse D : $\dfrac{1}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  4. La notation scientifique de $1~500~000~000$ est …
    Réponse A : $15\times 10^{-8}$
    Réponse B : $15\times 10^8$
    Réponse C : $1,5\times 10^{-9}$
    Réponse D : $1,5\times 10^9$
    $\quad$
  5. $(x-2)\times (x+2)=\ldots$
    Réponse A : $x^2-4$
    Réponse B : $x^2+4$
    Réponse C : $2x-4$
    Réponse D : $2x$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     18 points

Dans cet exercice, le carré $ABCD$ n’est pas représenté en vraie grandeur.
Aucune justification n’est attendue pour les questions 1. et 2. On attend des réponses justifiées pour la question 3.

  1. On considère le carré $ABCD$ de centre $O$ représenté ci-contre, partagé en quatre polygones superposables, numérotés ❶, ❷, ❸ et ❹.a. Quelle est l’image du polygone ❶ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du polygone ❹ par la rotation de centre $O$ qui transforme le polygone ❶ en le polygone ❷ ?
    $\quad$
  2. La figure ci-dessous est une partie d’un pavage dont un motif de base est le carré $ABCD$ de la question 1.
    Quelle transformation partant du polygone ❶ permet d’obtenir le polygone ❺ ? $\quad$
  3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur $315$ cm et de largeur $270$ cm.
    On souhaite que le tissu soit entièrement par les carrés identiques à $ABCD$, sans découpe et de sorte que les côtés
    du carré mesure un nombre entier de centimètres.
    a. Montrer qu’on peut choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. Dans ce cas, combien de carrés de $9$ cm de côté seront imprimés sur le tissu ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     24 points

Voici la série des temps exprimés en secondes, et réalisé par des nageuses lors de la finale du 100 mètres féminin nage libre lors des championnats d’Europe de natation en 2018 : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
53,23&54,04&53,61&54,52&53,35&52,93&54,56&54,07\\
\hline
\end{array}$$

  1. La nageuse française, Charlotte BONNET, est arrivée troisième à cette finale.
    Quel est le temps exprimé en secondes, de cette nageuse ?
    $\quad$
  2. Quelle est la vitesse moyenne, exprimée en m/s, de la nageuse ayant parcouru les 100 mètres en $52,93$ s?
    Arrondir au dixième près.
    $\quad$
  3. Comparer moyenne et médiane des temps de cette série.
    Sur une feuille de calcul, on a reporté le classement des dix premiers pays selon le nombre de médailles d’or lors de ces championnats d’Europe de natation, toutes disciplines confondues :
    $\quad$
  4. Est-il vrai qu’à elle deux, la Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu autant de médailles d’or que la Russie ?
    $\quad$
  5. Est-il vrai que plus de $35 \%$ des médailles remportées par la France sont des médailles d’or ?
    $\quad$
  6. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $\text{F2}$ de cette feuille de calcul, avant qu’elle soit étirée vers le bas
    jusqu’à la cellule $\text{F11}$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     23 points

On dispose de deux urnes :

  • une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$;
  • une urne rouge contenant quatre boules rouges numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$.

Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirée.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{    Urne bleue    }&\text{    Urne rouge    }\\
\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}&\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}\\
\hline
\end{array}$$

On s’intéresse à l’expérience aléatoire suivante :
« On tire au hasard une boule bleue, on note son numéro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son numéro. »

Exemple : si on tire la boule bleue numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ puis la boule rouge numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ , le tirage obtenu sera noté $(3;4)$.

On précise que le tirage $(3;4)$ est différent du tirage $(4;3)$.

  1. On définit les deux événements suivants :
    « On obtient deux nombres premiers. » et « La somme des deux nombres est égale à $12$. »
    a. Pour chacun des deux événements précédents dire s’il est possible ou impossible lorsqu’on effectue l’expérience aléatoire.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers. »
    $\quad$
  2. On obtient un « double »lorsque les deux boules tirées portent le même numéro.
    Justifier que la probabilité d’obtenir « un double »lors de cette expérience est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. Dans cette question aucune justification n’est attendue.
    On souhaite simuler cette expérience $1~000$ fois.
    Pour cela on a commencé à écrire un programme, à ce stade, encore incomplet. Voici des copies d’écran :
    a. Pour quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C.
    $\quad$
    b. Dans le script principal, indiquer où placer le block .
    $\quad$
    c. Dans le script principal , indiquer où placer l’élément mettre .
    $\quad$
    d. On souhaite obtenir la fréquence d’apparition du nombre de « doubles » obtenus.
    Parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer à la fin du script principal après la boucle « répéter » ?$\quad$

$\quad$