DNB – Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

DNB – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}&=\dfrac{5^{10}}{5^2}\\&=5^8\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{630}{882}&=\dfrac{2\times 315}{2\times 441} \\
    &=\dfrac{9\times 35}{9\times 49} \\
    &=\dfrac{5\times 7}{7\times 7} \\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x-2)(3x+7) \\
    &=3x^2+7x-6x-14\\
    &=3x^2+x-14\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(2x+1)(-x+3)=0$ si, et seulement si, $2x+1=0$ ou $-x+3=0$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{1}{2}$ et $3$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité de tirer une boule noire est égale à $\dfrac{3}{9}$.
    La probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à $1-\dfrac{3}{9}=\dfrac{6}{9}$
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $280\times 0,50=140$.
    Il va payer $140$ euros avec le tarif « Affaire ».
    $\quad$
  2. Avec le tarif « Affaire » il payera $450\times 0,50=225$ euros.
    Avec le tarif « Voyage court » il payera $120+0,20\times 450=210$ euros.
    Avec le tarif « Voyage long » il payera $230$ euros.
    L’offre « Voyage court » est don la plus avantageuse financièrement pour parcourir $450$ km.
    $\quad$
  3. a. La fonction $l$ est associée au tarif « Voyage long ».
    La fonction $m$ est associée au tarif « Affaire ».
    La fonction $n$ est associée au tarif « Voyage court ».
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $0,5x=0,2x+120$ soit $0,3x=120$.
    Donc $x=400$
    Les deux tarifs sont égaux si la distance parcourue est égale à $400$ km.
    $\quad$
  4. a. On obtient les courbes suivantes :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Graphiquement, la courbe représentant la fonction $l$ est en-dessous des deux autres si on parcourt au moins $550$ km.
    $\quad$


    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le triangle $SLP$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{PSL}=60$°.
    $\quad$
  2. L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe $(PL)$ est le cerf-volant 5.
    $\quad$
  3. L’image du cerf-volant 1 par la symétrie de centre $J$ est le cerf-volant $6$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le cerf-volant suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Seul le script d’Essya possède deux rotations de $90$°.
    C’est donc celui-ci qui est correct.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut écrire $=\text{somme(B2:B13)}$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{2~801~172}{12}=233~431$.
    Le nombre moyen de passages par moi est égal à $233~431$.
    $\quad$
  3. L’étendue est égale à $389~250-62~930=326~320$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{305~214-179~699}{179~699}\approx 0,698$.
    Il y a donc une augmentation du nombre de passages de véhicules d’environ $69\%$.
    $\quad$
  5. $10$ min $=\dfrac{1}{6}$ h et $3~000$ m $=3$ km.
    La vitesse moyenne du cycliste est donc $v=\dfrac{~3~}{\dfrac{1}{6}}=18$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La piscine mesure $6$ m de long.
    $BC=1,8+6+12,20=20$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan\widehat{BCA}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{5,5}{20} \\
    &=0,275\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BCA}\approx 15,4$°.
    Par conséquent $\widehat{BCA}<30$°.
    Le positionnement de la tyrolienne est donc conforme à la réglementation en vigueur.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=20^2+5,5^2 \\
    &=430,25\end{align*}$
    Donc $AC\approx 21$ m
    $\quad$
  4. Dans les triangles $CDE$ et $CBA$, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires à la droite $(BC)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{DE}{AB}$ soit $\dfrac{CD}{20}=\dfrac{1,5}{5,5}$
    Par conséquent $CD=\dfrac{1,5\times 20}{5,5}$
    Ainsi $CD\approx 5,45$ m.
    $\quad$
  5. Le volume de la piscine est :
    $\begin{align*} V&=6\times 6\times 1,6 \\
    &=57,6\end{align*}$
    Le volume de la piscine est égale à $57,6$ m$^3$.
    $\quad$

 

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DNB – Polynésie – 6 septembre 2022

Polynésie – 6 septembre 2022

DNB – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}&=\dfrac{20}{24}+\dfrac{21}{24} \\
    &=\dfrac{41}{24}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 198&=2\times 99 \\
    &=2\times 9\times 11\\
    &=2\times 3^2 \times  11\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 84&=2\times 42 \\
    &=2\times 2\times 21 \\
    &=2\times 2\times 3\times 7\\
    &=2^2\times 3\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent
    $\begin{align*} \dfrac{198}{84}&=\dfrac{2\times 3\times 33}{2\times 3\times 2\times 7} \\
    &=\dfrac{33}{14}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} E&=5(3x-4)-(2x-7) \\
    &=15x-20-2x+7\\
    &=13x-13\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le périmètre du rectangle est
    $\begin{align*} P&=2(4,5+3b+2,9) \\
    &=2(7,4+3b)\\
    &=14,8+6b\end{align*}$
    Or $P=25$ donc $25=14,8+6b$ par conséquent $6b=10,2$ et $b=1,7$.
    $\quad$
  5. L’aire du rectangle de base est :
    $\begin{align*} A&=3\times 4\\
    &=12\end{align*}$
    Par conséquent le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times A\times SH \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 6 \\
    &=24\end{align*}$
    $\quad$
  6. On appelle $P$ le nombre d’habitants de cette ville en 2019.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)=20~692$ soit $1,12P=20~692$.
    Par conséquent $P=\dfrac{20~692}{1,12}$ c’est-à-dire $P=18~475$
    Il y avait donc $18~475$ habitants dans cette ville en 2019.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D’après le théorème de Pythagore on a
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=3,9^2+5,2^2 \\
    &=15,21+27,04 \\
    &=42,25\end{align*}$
    Donc $AC=6,5$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan \widehat{ACB}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{3,9}{5,2} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ACB}\approx 37$°.
    $\quad$
  3. $0,2\times 32,5=6,5$.
    Il faut bien $32,5$ secondes à l’araignée pour parcourir les $6,5$ m à une vitesse de $0,2$ m/s.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $AFH$ et $ABC$, les droites $(FH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(AB)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès:
    $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{FH}{BC}$
    Donc $\dfrac{4}{6,5}=\dfrac{AH}{3,9}=\dfrac{FH}{5,2}$.
    Par conséquent $AH=\dfrac{4\times 3,9}{6,5}$ c’est-à-dire $AH=2,4$ m et $FH=\dfrac{4\times 5,2}{6,5}$ soit $FH=3,2$ m.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} CF+HA&=(AC-AF)+AH \\
    &=6,5-4+2,4 \\
    &=4,9\end{align*}$
    L’araignée met donc $\dfrac{4,9}{0,2}=24,5$ secondes pour parcourir la distance $CF+HA$.
    $\dfrac{3,2}{0,8}=4$ : l’araignée parcourt donc la distance $FH$ en $4$ secondes.
    La seconde araignée met donc $28,5$ secondes pour aller du point $C$ au point $A$. C’est par conséquent cette seconde araignée qui met le moins de temps à arriver en $A$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient le chemin suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le dessin 1, la distance parcourue n’augmente jamais.
    Dans le dessin 3, le premier déplacement est horizontal à la place d’être vertical.
    C’est donc le dessin 2 qui correspond au script 2.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. L’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ est le motif 5.
    $\quad$
    b. L’image du motif 1 par symétrie de centre $B$ est le motif 9.
    $\quad$
    c. L’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ est le motif 12.
    $\quad$
    d. L’image du motif 2 par la symétrie d’axe $(CG)$ est le motif 5.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-5$.
    $\quad$
    b. $-2$ a pour image $5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Un antécédent de $1$ par la fonction $f$ est $0$.
    $\quad$
  2. a. On obtient la succession de nombres suivant :
    $1\underset{+1}{\longrightarrow}2\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 4$
    En choisissant $1$ on obtient le nombre $4$.
    $\quad$
    $-2\underset{+1}{\longrightarrow}(-1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 1$
    En choisissant $-2$ on obtient le nombre $1$.
    $\quad$
    b. $x\underset{+1}{\longrightarrow}(x+1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} (x+1)^2$
    Donc $g(x)=(x+1)^2$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} h(3)&=2\times 3^2-3 \\
    &=2\times 9-3\\
    &=18-3\\
    &=15\end{align*}$
    L’image de $3$ par la fonction $h$ est $15$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} h(-4)&=2\times (-4)^2-3 \\
    &=2\times 16-3\\
    &=32-3\\
    &=29\end{align*}$
    L’image de $-4$ par la fonction $h$ est $29$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $h(x)=5$ soit $2x^2-3=5$.
    Par conséquent $2x^2=8$ c’est-à-dire $x^2=4$.
    Les antécédents de $5$ par la fonction $h$ sont donc $-2$ et $2$.
    $\quad$
  4. $f(0)=1$ et $f(1)=-1$. La courbe représentant la fonction $f$ est donc la représentation n°1.
    $g(x)=(x-1)^2$. Par conséquent, $g(x)\pg 0$ pour tout nombre $x$. La courbe représentative de la fonction $g$ est donc la représentation n°3.
    La courbe représentative de la fonction $h$ est par conséquent la représentation n°2.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Parmi les $36$ boules de l’urne, une seule est noire.
    La probabilité qu’il gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\quad$
    b. Pour qu’il gagne plus de $3$ points, il faut qu’il tire une boule bleue ou une boule noire.
    La probabilité qu’il gagne plus de $3$ points est égale à $\dfrac{6}{36}$ c’est-à-dire $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’il gagne $2$ points est égale à $\dfrac{10}{36}$.
    La probabilité qu’il gagne $5$ points est égale à $\dfrac{5}{36}$.
    Il a donc plus de chance de gagner $2$ points.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{2+1+1+\ldots+1+2}{15}=\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$
    La moyenne des scores obtenus par ces joueurs est égale à $\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
    b. On réordonne les scores dans l’ordre croissant :
    $1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;5;5;5;10;10$
    $\dfrac{15}{2}=7,5$ : la médiane est donc le $8\ieme$ score c’est-à-dire $2$.
    $\quad$
    c. La fréquence du score « 10 points » est égale à $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
  3. La probabilité qu’un joueur gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\dfrac{1}{36}\times 1~000\approx 27,78$.
    On peut donc estimer qu’en moyenne $27$ ou $28$ joueurs obtiendront le score de $10$ points.
    $\quad$

 

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DNB – Métropole – Juin 2022

Métropole – Juin 2022

DNB maths – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droites $(AB)$.
    Par conséquent les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $EAC$ et $EBD$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[AB]$ et $[CD]$
    – les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AC}{BD}$
    Donc $\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}$
    Ainsi $AC=4$.
    La largeur de la rivière est de $20$ pas.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ACE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CE^2&=AC^2+AE^2 \\
    &=4^2+20^2\\
    &=16+400\\
    &=416\end{align*}$
    Donc $CE=\sqrt{416}$ pas
    Ainsi $CE = 0,65\times \sqrt{416} \approx 13,3$ m
    $\quad$
  4. a. La vitesse du bâton est :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{CE}{5} \\
    &=\dfrac{0,65\sqrt{416}}{5} \\
    &=0,13\sqrt{416} \\
    &\approx 2,65 \text{ m/s}\end{align*}$
    En prenant $CE \approx 13,3$ on obtient $v\approx \dfrac{13,3}{5}$ soit $v\approx 2,66$ m/s.
    $\quad$
    b. $1$ km $=1~000$ m et $1$ h $=3~600$ s.
    $10$ km/h $=10\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 2,78 $m/s
    L’affirmation «le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h» est donc exacte.

    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme $A$ en $A’$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Graphiquement on a $g(1)=2$.
    Donc $1$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f(3)&=3\times 3^2-7 \\
    &=3\times 9-7 \\
    &=27-7 \\
    &=20\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. On réordonne la série dans l’ordre croissant :
    $$3,41 ~;~ 3,7 ~;~ 4,01 ~;~4,28 ~;~4,3 ~;~ 4,62~;~4,91 ~;~5,15 ~;~5,25 ~;~ 5,42 ~;~ 5,82 ~;~ 6,07 ~;~ 6,11$$
    $\dfrac{13}{2}=6,5$ : la médiane est donc la $7\ieme$ valeur soit $4,91$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. $\dfrac{6,3}{2,1}=3$. Toutes les longueurs du triangle $LAC$ ont été multipliées par $3$ pour obtenir le triangle $BUT$.
    Son aire est donc multipliée par $3^2$ soit $9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $9$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 1.
    $21$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 2.
    $2^2\times 3^2\times 7=252$.
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $252$ est donc obtenue avec la proposition 3.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} 156&=2\times 78 \\
    &=2\times 2\times 39 \\
    &=2^2\times 3\times 13\end{align*}$
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $156$ est $2^2\times 3\times 13$.
    $\quad$
  2. a. $156$ n’est pas divisible par $36$ car $\dfrac{156}{36}\approx 4,33$.
    Elle ne peut donc pas faire $36$ paquets.
    $\quad$
    b. $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $156=2^2\times 3\times 13$.
    Ainsi le plus grand diviseur commun à $252$ et $156$ est $2^2\times 3=12$.
    Elle peut donc réaliser au maximum $12$ paquets.
    $\quad$
    c. $\dfrac{252}{12}=21$ et $\dfrac{156}{12}=13$.
    Il y aura alors $21$ cartes de type « feu » et $13$ cartes de type « terre » par paquet.
    $\quad$
  3. Il y a $252+156=408$ cartes dans le jeu.
    La probabilité que la carte tirée soit du type « terre » est donc égale à $\dfrac{156}{408}$ qu’on peut simplifier en $\dfrac{13}{34}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
    &=x^2+7x-3x-21 \\
    &=x^2+4x-21\end{align*}$.
    $\quad$
  3. On obtient :
    $\quad$
  4. $8^2+4\times 8-21=75$.
    Le programme renvoie donc la valeur $75$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation $x^2=x^2+4x-21$ soit $4x-21=0$ ou encore $4x=21$.
    Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. En une journée il y a $24\times 60\times 60=86~400$ s.
    Il s’écoule une goutte par seconde.
    Il tombe donc $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée.
    $\quad$
  2. En une semaine il tombe $86~400\times 7 =604~800$ gouttes.
    $\dfrac{604~800}{20}=30~240$.
    Le volume d’eau tombé dans la vasque en une semaine est égal à $30~240$ ml soit $30,24$ litres.
    $\quad$
  3. Le volume de la vasque est :
    $\begin{align*} V&=\pi \times 20^2\times 15 \\
    &=6~000\pi \\
    &\approx 18~849,56\text{ cm}^3\\
    &\approx 18,85 \text{ l}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $30,24>18,85$ : l’eau va déborder de la vasque.
    $\quad$
  5. $\dfrac{148-165}{165} \approx -0,10$.
    La consommation d’eau a baissé d’environ $10\%$ entre 2004 et 2018$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     20 points

Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$, $E$ et $D$, de même que $A$, $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)

  1.  Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.
    $\quad$
    Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.
    $\quad$
  3. Montrer que la longueur $CE$ vaut $13,3$ m, en arrondissant au décimètre près.
    $\quad$
  4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$.
    a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

  1. On considère les deux figures suivantes.
    Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?

    Réponse A : une translation
    Réponse B : une homothétie
    Réponse C : une symétrie axiale
    $\quad$

  2. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ suivante :

    Quel est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$ ?
    Réponse A : $2$
    Réponse B : $1$
    Réponse C : $4$
    $\quad$

  3. Soit $f$ la fonction définie par : $$f~:~x\mapsto 3x^2-7$$
    Quelle affirmation est correcte ?
    Réponse A : $29$ est l’image de $2$ par la fonction $f$
    Réponse B : $f(3)=20$
    Réponse C : $f$ est une fonction affine
    $\quad$
  4. On a relevé les performances, en mètres, obtenues au
    lancer du poids par un groupe de $13$ élèves d’une classe.
    $3,41$ m ; $5,25$ m ; $5,42$ m ; $4,3$ m ; $6,11$ m ; $4,28$ m ; $5,15$ m ; $3,7$ m ; $6,07$ m ; $5,82$ m ; $4,62$ m ; $4,91$ m ; $4,01$ m
    Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
    Réponse A : $7$
    Réponse B : $4,91$
    Réponse C : $5,15$
    $\quad$
  5. On considère la configuration suivante, dans laquelle les
    triangles $LAC$ et $BUT$ sont semblables.

    Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $LAC$ pour obtenir l’aire du triangle $BUT$ ?
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $6$
    Réponse C : $9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».

  1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Proposition 1}&\text{Proposition 2}&\text{Proposition 3} \\
    2^2\times 9\times 7&2\times 2\times 3\times 21&2^2\times 3^2\times 7\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$.
    $\quad$
  2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
    a. Peut-elle faire $36$ paquets ?
    $\quad$
    b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
    $\quad$
    c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
    $\quad$
  3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
    Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

  •  un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
  • un carré de côté $x$.

  1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
    Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
    ~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
    $\quad$
  3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
    On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
    Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.

    $\quad$

  4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
    $\quad$
  5. Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
    Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :

  • Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
  • Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
  • En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1$ ml).

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Caractéristiques de la vasque}\\
\quad \text{Diamètre intérieur : $40$ cm}\\
\quad \text{Hauteur intérieure : $15$ cm}\\
\quad \text{Masse : $25$ kg}\\
\hline
\end{array}$

Rappels : 

$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Volume du cylindre $=\pi\times$ rayon$^2\times$ hauteur}\\
1 \text{ dm}^3=1 \text{ litre}\\
\hline
\end{array}$

  1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
    $\quad$
  2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
    $\quad$
  3. Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
    $\quad$
  4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004.
    En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.
    Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Polynésie – juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient
    $\begin{align*} -\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{4}{7}&=\dfrac{-7}{5}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{49}{35}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{25}{35}\\
    &=-\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{35}\neq -\dfrac{5}{7}$. L’affirmation 1 est fausse.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AGE$ et $AMR$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[GR]$ et $[EM]$.
    – $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{4,2}{3}=1,4$ et $\dfrac{AG}{AR}=\dfrac{9,8}{7}=1,4$
    Donc $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AG}{AR}$.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(GE)$ et $(MR)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. $9$ n’est pas un nombre premier. L’affirmation 3 est fausse.
    $\quad$
  4. Dans $11$ ($1+3+7$) volumes de sauce salade, il y a $7$ volumes d’huile.
    $\dfrac{330}{11}\times 7=210$.
    Il y a bien $210$ mL d’huile. L’affirmation 4 est vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La droite $\left(d_1\right)$ passe par l’origine du repère. Le prix payé avec le tarif « liberté » est donc proportionnel au nombre d’heures effectuées dans la salle de sport.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique $f(5)=25$.
    L’image de $5$ par la fonction $f$ est donc $25$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique , l’antécédent de $10$ par la fonction $g$ est $1$.
    $\quad$
  3. D’après le graphique, si la personne effectue entre $0$ et $3$ heures dans la salle de sport, le tarif « liberté » est le plus avantageux et à partir de $3$ heures c’est le tarif « abonné » qui est le plus avantageux.
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction linéaire. Il existe donc un nombre $a$ tel que, pour tout nombre $x$ on ait $f(x)=ax$.
    Or $f(5)=25$ donc $5a=25$ soit $a=5$.
    Ainsi, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=5x$.
    Par conséquent $f(15)=5\times 15=75$.
    Avec le tarif « liberté » on paye $75$ € pour 15 heures effectuées.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

PARTIE A : Briques de jus de pomme

  1. $\dfrac{24}{2}=12$. La médiane est donc la moyenne de $12\ieme$ et de la $13\ieme$ valeur. Or Ces deux valeurs valent $350$. Ainsi, la médiane de cette série statistique est $350$.
    La moitié des briques contiennent au plus de $350$ mL de jus de pomme et l’autre moitié contient au moins $350$ mL de jus de pomme.
    $\quad$
  2. $357-344=13$. L’étendue de cette série est $13$.
    $\quad$
  3. $2$ briques sur les $24$ contiennent exactement $350$ mL.
    La probabilité que la brique prélevée contienne exactement $350$ mL est donc égale à $\dfrac{2}{24}$ soit $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
  4. $2+4+4+2+3+1+2+3=21$. Sur les $24$ briques, $21$ peuvent être vendues.
    $\dfrac{21}{24}=0,875$.
    Par conséquent $87,5\%$ des briques peuvent être vendues.
    $\quad$

PARTIE B : Briques de jus de raisin

  1. $5\times 6,4=32$.
    L’aire de la base de cette brique est égale à $32$ cm^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{400}{32}=12,5$. Pour que le volume de la brique soit de $400$ cm$^3$ il faut que la hauteur de la brique soit égale à $12,5$ cm.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $7+5=12$ et $7-5=2$.
    $12\times 2=24$
    $24+25=49$
    En choisissant le nombre $7$ on obtient bien $49$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. $-4+5=1$ et $-4-5=-9$
    $1\times (-9)=-9$
    $-9+25=16$
    En choisissant le nombre $-4$ on obtient bien $16$ à la fin du programme.
    $\quad$
  2. a. En appelant $x$ le nombre choisi au départ on obtient $(x+5)(x-5)+25$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. D’après l’identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
    Donc $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
    $\quad$
    c. Ainsi $(x+5)(x-5)-25=x^2-25+25=x^2$.
    L’affirmation de Sarah est exacte.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. $135-6\times 12,5=60$et$\dfrac{60}{5}=12$.
    La profondeur de chaque escalator est égale à $12$ m.
    $\quad$
    b. $\dfrac{32}{5} = 6,4$.
    Chaque escalator a une hauteur de $6,4$ m.
    $\quad$
  2. a. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} ST^2&=RS^2+RT^2 \\
    &=12^2+6,4^2\\
    &=144+40,96 \\
    &=184,96\end{align*}$
    Ainsi $ST=\sqrt{184,96}=13,6$.
    La longueur d’un escalator est égale à $13,6$ m.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, on a $\tan\widehat{RST}=\dfrac{6,4}{12}$
    Donc $\widehat{RST}\approx 28$°.
    $\quad$
  3. On peut écrire le programme suivant :


    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Asie – Juin 2021 (secours)

Asie – Juin 2021 (secours)

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. $4$ n’est pas un nombre premier.
    L’affirmation 1 est donc fausse
    $\quad$
  2. $(-3)^2+2=9+2=11$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)^2-2^2\\
    &=\left[(x+3)-2\right]\left[(x+3)+2\right] \\
    &=(x+3-2)(x+3+2)\\
    &=(x+1)(x+5)\end{align*}$
    $\quad$
    Autre méthode :
    D’une part :
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)(x+3)-4\\
    &=x^2+3x+3x+9-4\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} (x+1)(x+5)&=x^2+5x+x+5\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    Remarque : En connaissant l’identité remarque $(a+b)^2$ on peut aller un peu plus vite dans la première expression.
    $\quad$
    L’affirmation 3 est donc vraie.
    $\quad$
  4. Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_1&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3 \\
    &=18\pi\end{align*}$
    Le volume du cylindre est :
    $\begin{align*} V_2&=\pi\times (1,5)^2\times 8 \\
    &=18\pi \end{align*}$
    L’affirmation 4 est donc vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DB^2=CD^2+CB^2$ soit $8,5^2=CD^2+6,8^2$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CD^2&=8,5^2-6,8^2 \\
    &=26,01 \end{align*}$
    Donc :
    $\begin{align*} CD&=\sqrt{26,01}\\
    &=5,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $DCB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DC\times CB}{2} \\
    &=\dfrac{5,1\times 6,8}{2} \\
    &=17,34\text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{ADC}&=\dfrac{AC}{DC} \\
    &=\dfrac{3,2}{5,1}\end{align*}$
    Donc $\widehat{ADC}\approx 32$°
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABD$ et $CBD$ :
    – $C$ appartient à $[AB]$ et $E$ appartient à $[DB]$
    – $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{6,8}{6,8+3,2}=0,68$
    $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{5,8}{8,5}\approx 0,682$
    Ces deux rapports ne sont pas égaux.
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(AD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. On a $7>3$. C’est donc le « Motif B » qui est affiché.
    $\quad$
  3. Pour que l’écran affiche le « Motif A » il faut que le $2\ieme$ nombre ait pris une valeur entière comprise entre $4$ et $10$. Il y a donc $6$ possibilités.
    La probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A » est égale à $\dfrac{6}{10}$ soit $0,6$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $8$ pistes rouges parmi les $10$ sont ouvertes. Par conséquent $2$ pistes rouges étaient fermées.
    $\quad$
  2. Trois quart des pistes bleues étaient ouvertes.
    $\dfrac{3}{4}\times 8=6$.
    $6$ pistes bleues étaient ouvertes.
    $\quad$
  3. $\dfrac{3}{5}=0,6$ donc $60\%$ des pistes noires étaient ouvertes.
    $\quad$
  4. $5+4+3+1=13$ et $7+8+10+5=30$.
    Or $13<\dfrac{30}{2}$. Moins de la moitié des pistes étaient ouvertes.
    La station doit donc effectuer ce remboursement.
    $\quad$
  5. a. On a pu saisir $=\text{MOYENNE(B2:F2)}$.
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{105+130+115+140+60}{5} \\
    &=110\end{align*}$
    Elle est donc supérieure à la moyenne de la saison 2018-2019.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On a
    $\begin{align*} f(6)&=-\dfrac{3}{19}\times 6+3 \\
    &=-\dfrac{18}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=\dfrac{38}{19}\\
    &=2\end{align*}$
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est donc $2$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre
    $f(x)=0$ soit $-\dfrac{3}{19}x+3=0$ ou encore $\dfrac{3}{19}x=3$.
    Par conséquent $x=19$.
    L’antécédant de $0$ par $f$ est $19$.
    $\quad$
  3. On a $f(6)=2$. Donc le point d’abscisse $6$ a pour ordonnée $2$.
    $\quad$
  4. La vitesse moyenne de la balle est $v=\dfrac{19,2}{0,34}$ m/s soit environ $56,47$ m/s.
    Or $208$ km/h est égale à $208\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s soit environ $57,78$ m/s.
    L’affirmation du commentateur est donc fausse.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} f(12)&=-\dfrac{3}{19}\times 12+3 \\
    &=-\dfrac{36}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=1\end{align*}$
    La balle est donc a une hauteur de $1$ m quand elle passe au-dessus du filet.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     18 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que la réponse doit être justifiée.

  1. Affirmation 1 : $364$ admet comme décomposition en produit de facteurs premiers : $4 \times 7 \times 13$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : le nombre $-3$ est une solution de l’équation $x^2+2=11$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : pour tout nombre $x$, les expressions $(x + 3)^2-4$ et $(x + 1)(x + 5)$ sont égales.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : les deux solides suivants ont le même volume :
    On rappelle les formules suivantes :
    Volume d’une boule : $V =\dfrac{4}{3}\times \pi\times \text{rayon}\times \text{rayon}\times \text{rayon}$
    Volume d’un cylindre : $V = \text{Aire de la base}\times\text{hauteur}$
    Aire d’un disque : $A = \pi\times \text{rayon} \times \text{rayon}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Sur la figure ci-dessous :

  • le triangle $DCB$ est rectangle en $C$ ;
  • les points $A$, $C$ et $B$ sont alignés ;
  • les points $D$, $E$ et $B$ sont alignés ;
  • $AC = 3,2$ cm ;
  • $CB = 6,8$ cm ;
  • $BD = 8,5$ cm ;
  • $BE = 5,8$ cm.

  1. Démontrer que la longueur $DC$ est égale à $5,1$ cm.
    $\quad$
  2. Calculer l’aire du triangle $DCB$ en cm$^2$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$, au degré près.
    $\quad$
  4. Les droites $(AD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

On travaille avec le logiciel Scratch dont voici plusieurs copies d’écran :

  1. Tracer à main levée une allure du motif A défini par le bloc « Motif A ».
    $\quad$
  2. Après avoir cliqué sur le drapeau vert, l’écran affiche :

    Quel motif est alors affiché à l’écran : le « Motif A » ou le « Motif B » ?
    $\quad$

  3. On relance le programme.
    Si la variable « 1er nombre » prend la valeur $3$, calculer la probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Une station de ski compte $30$ pistes. Ces pistes de ski sont soit vertes, soit bleues, soit rouges, soit noires. La couleur de la piste définit son niveau de difficulté pour skier.

Chaque piste de ski peut être soit ouverte, soit fermée.

Sur le site internet de la station de ski, on a pu trouver les informations suivantes :

  1. Déterminer le nombre de pistes rouges fermées le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  2. Justifier qu’il y a six pistes bleues ouvertes le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  3. Parmi les pistes noires, quel est le pourcentage de pistes noires ouvertes le lundi 17 février 2020 ?
    $\quad$
  4. Le mercredi 19 février 2020, la nouvelle répartition affichée sur le site internet est la suivante :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{   Pistes vertes}&\textbf{   Pistes bleues}&\textbf{   Pistes rouges}&\textbf{   Pistes noires}\\
    \text{Nombre de pistes : }7&\text{Nombre de pistes : }8&\text{Nombre de pistes : }10&\text{Nombre de pistes : }5\\
    \text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}\\
    \text{ouvertes : }5&\text{ouvertes : }4&\text{ouvertes : }3&\text{ouvertes : }1\\
    \hline
    \end{array}$$
    Sur le site de la station on peut lire :
    « Votre forfait du jour est remboursé si plus de $50 \%$ des pistes de la station sont fermées. »
    Une cliente demande le remboursement de son forfait du jour du mercredi 19 février 2020.
    La station de ski doit-elle effectuer ce remboursement ?
    $\quad$
  5. On a mesuré les hauteurs maximales de neige dans la station, exprimées en centimètre, pour chaque mois, de novembre 2018 à mars 2019.
    On saisit ces mesures dans une feuille de calcul dont voici une copie d’écran :

    a. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{G2}$ avant d’être étirée jusqu’à la cellule $\text{G3}$ ?
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est-elle supérieure à celle de la saison 2018-2019?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     24 points

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

  1. Calculer l’image de $6$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.
    Un joueur de tennis effectue un service.
    Voici une figure, qui n’est pas à l’échelle, représentant la trajectoire de la balle lors de ce service.

    Le joueur est positionné au point $A$.
    On considère que la balle lancée en $B$ effectue un trajet en ligne droite, qu’elle passe au-dessus du filet en $D$ et qu’elle touche le terrain adverse en $C$.
    La longueur $DE$ représente la hauteur de la balle lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$
    Voici une représentation graphique de la fonction $f$ qui modélise la trajectoire de la balle lors de ce service. On rappelle que $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

Tout point de cette représentation graphique a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $19$.

Dans le repère, le point $A$ a pour coordonnées $(0 ; 0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0 ; 3)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(19 ; 0)$.

  1. On considère le point d’abscisse $6$ de la représentation graphique de la fonction $f$.
    Déterminer l’ordonnée de ce point.
    $\quad$
  2. On admet que la distance $BC$ parcourue par la balle lors de ce service est d’environ $19,2$ m.
    Lors de ce service, la balle a mis $0,34$ seconde pour parcourir la distance $BC$.
    Un commentateur affirme que la vitesse moyenne de la balle lors de ce service est de $208$ km/h.
    Cette affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$
  3. Déterminer la hauteur de la balle, exprimée en mètre, lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Asie – Juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Situation 1

  1. Voici les différentes obtenues successivement quand on choisit le nombre $10$.
    $$10\underset{-7}{\to}3\underset{\times 5}{\to}15\underset{-20}{\to}-5$$
    On obtient bien $-5$ en prenant $10$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différentes obtenues successivement quand le nombre de départ est $x$.
    $$x\underset{-7}{\to}x-7\underset{\times 5}{\to}5(x-7)\underset{-2x}{\to}5(x-7)-2x$$
    Il s’agit donc de l’expression C.
    $\quad$

Situation 2

  1. D’après le graphique, l’image de $-2$ par la fonction $f$ est $-4$.
    $\quad$
  2. On sait que le point $A(3;6)$ appartient à la droite représentant la fonction linéaire $f$.
    Il existe donc un nombre $a$ tel que $6=3a$. Par conséquent $a=2$.
    Donc $f(x)=2x$.
    $\quad$

Situation 3

L’aire du rectangle $CDEF$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=ED\times DC \\
&=30\times 40 \\
&=1~200 \text{ cm}^2\end{align*}$

Le volume de la pyramide est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times GH \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1~200\times 55 \\
&=22~000\text{ cm}^3 \\
&=22 \text{ L}\end{align*}$
Le volume de la pyramide est ainsi supérieur à $20$ L.
$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans les triangles $ABE$ et $DCE$ :
    – $E$ appartient aux segments $[BC]$ et $[AD]$;
    – les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{CD}$
    soit $\dfrac{7,2}{EC}=\dfrac{9}{6}$
    Donc $EC=\dfrac{7,2\times 6}{9}$, c’est-à-dire $EC=4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ECD$, le plus grand côté est $[CD]$.
    D’une part $CD^2=6^2=36$
    D’autre part $ED^2+EC^2=3,6^2+4,8^2=36$
    Donc $CD^2=ED^2+EC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$.
    $\quad$
  4. Les longueurs du triangle $ECD$ sont toutes multipliées par $1,5$ pour obtenir celles du triangle $ABE$.
    Ainsi, l’aire du triangle $ECD$ est multipliée par $1,5^2$ pour obtenir celle du triangle $ABE$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le tableau, l’Australie a obtenu $29$ médailles d’argent.
    $\quad$
  2. $69-(14+29)=26$.
    L’Italie a donc obtenu $26$ médailles de bronze.
    $\quad$
  3. On a pu saisir la formule $=\text{SOMME(C2:E2)}$ en $\text{F2}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{11}{54}\approx 20,3$.
    En prenant une valeur approchée à l’entier l’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
    On réordonne dans l’ordre croissant la série du nombre de médailles d’argent.
    $1~;~11~;~12~;~15~;~15~;~15~;~17~;~20~;~29~;~29~;~33~;~36~;~38~;~47~;~60$
    Or $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $20$.
    Le nombre médian de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $20$.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{65~000-50~000}{50~000}=0,3$
    Cette prime a donc augmenté de $30\%$ entre 2016 et 2021.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $0,17\times 35=5,95$.
    On paye donc $5,95$ € pour $35$ photos.
    $\quad$
    b. $17+0,13\times 50=23,5$.
    On paye bien $23,50$ € pour $150$ photos.
    $\quad$
    c. On ne peut pas commander plus de $100$ photos.
    On appelle $x$ le nombre de photos commandées.
    $0,17x\pp 10$ donc $x\pp \dfrac{10}{0,17}$.
    Or $\dfrac{10}{0,17}\approx 58,8$.
    On peut donc commander au maximum $58$ photos avec un budget de $10$ €.
    $\quad$
  2. À la ligne $3$ on écrit la valeur $100$, à la ligne $4$ on écrit la valeur $0,17$ et à la ligne $7$ on écrit la valeur $17$.
    $\quad$
  3. a. Pour $150$ photos on doit payer, sans réduction $23,50$ € d’après la question 1.b.
    $23,50\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=16,45$.
    Après réduction on payera donc $16,45$ €.
    $\quad$
    b. Les propositions 2 et 4 conviennent puisqu’appliquer une réduction de $30\%$ à un nombre revient à multiplier ce nombre par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ ou à soustraire $30\%$ du nombre à lui-même.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici, graphiquement, les coordonnées des deux villes :
    Canberra : $34$°S $149$°E
    Miami : $25$°N $80$°O
    $\quad$
  2. Le rayon de l’orbite de l’ISS est $R=6~371+380=6~751$ km
    La circonférence de cette orbite est donc $P=2\pi\times R \approx 42~418$ km.
    L’ISS parcourt bien environ $42~400$ km pour effectuer un tout complet de la terre.
    $\quad$
  3. a. On utilise la formule $V=\dfrac{D}{T}$ soit $T=\dfrac{D}{V}$ où $V$ correspond à la vitesse moyenne, $D$ la distance parcourue et $T$ le temps mis pour parcourir cette distance.
    Ainsi $T\approx \dfrac{42~400}{27~600}$. Donc $T\approx 1,536$ h.
    Or $0,536\times 60=32,16$ min.
    Il faut donc environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. La sortie du  spationaute a duré $7$ h $15$ min soit $7,25$ h.
    Or $\dfrac{7,25}{1,536}\approx 4,72$.
    Il a donc effectué $4$ tour complet de la Terre durant cette sortie.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est composé de trois situations qui n’ont pas de lien entre elles.

Situation 1

On considère le programme de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Soustraire }7\\\text{Multiplier par }5\\\text{Soustraire le double du nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Résultat}\\\hline\end{array}\end{array}$$

  1. Montrer que si le nombre de départ est $10$, le résultat obtenu est $-5$.
    $\quad$
  2. On note $x$ le nombre de départ auquel on applique ce programme de calcul.
    Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui correspond au résultat du programme de calcul ? Aucune justification n’est attendue pour cette question.
    Expression A : $x -7\times 5-2x$
    Expression B : $5(x -7)-x^2$
    Expression C : $5(x-7)-2x$
    Expression D : $5x-7-2x$
    $\quad$

Situation 2 :

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ .
Le point $A$ appartient a la droite $(d)$.

  1. À l’aide du graphique, déterminer l’image de $-2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

$\quad$

Situation 3 :

Le dessin ci-dessous représente une pyramide de sommet $G$ et dont la base $CDEF$ est un rectangle.
Le volume de cette pyramide est-il supérieur à $20$ L ?

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

La figure ci-dessous est réalisée à main levée.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $E$.
On a : $ED = 3,6$ cm $\quad$ $CD = 6$ cm
$\hspace{1cm}$ $EB = 7,2$ cm $\quad$ $AB = 9$ cm

  1. Démontrer que le segment $[EC]$ mesure $4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Le triangle $ECD$ est-il rectangle ?
    $\quad$
  3. Parmi les transformations ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$ ?
    Recopier la réponse sur la copie. Aucune justification n’est attendue.
    $$\fbox{Symétrie axiale} \quad \fbox{Homothétie} \quad \fbox{Rotation} \quad \fbox{Symétrie centrale} \quad \fbox{Translation}$$
  4. On sait que la longueur $BE$ est $1,5$ fois plus grande que la longueur $EC$.
    L’affirmation suivante est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    Affirmation : « L’aire du triangle $ABE$ est $1,5$ fois plus grande que l’aire du triangle $ECD$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Lors des Jeux paralympiques de 2021, les médias ont proposé un classement des pays en fonction de la répartition des médailles obtenues. Voici le classement obtenu pour les $15$ premiers pays :

  1. Combien de médailles d’argent l’Australie a-t-elle obtenues ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre de médailles de bronze obtenues par l’Italie.
    $\quad$
  3. Quelle formule a pu être saisie en $\text{F2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    $\quad$
  4. Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
    On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    Affirmation 1 :
    « $20 \%$ des médailles obtenues par l’équipe de France sont en or. »
    $\quad$
    Affirmation 2 :
    « La médiane du nombre de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $29$. »
    $\quad$
  5. Aux Jeux paralympiques de Rio en 2016, la prime pour une médaille d’or française était de $50~000$ euros. Pour ceux de Tokyo en 2021, cette prime était de $65~000$ euros.
    Quel est le pourcentage d’augmentation de cette prime entre 2016 et 2021 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     25 points

Une boutique en ligne vend des photos et affiche les tarifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de photos commandées}&\text{Prix à payer}\\
\hline
\text{De $1$ à $100$ photos}&0,17 \text{ € par photo}\\
\text{Plus de $100$ photos}&17 \text{ € pour l’ensemble des $100$ premières photos et} \\
&0,17 \text{ € par photo supplémentaire}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quel est le prix à payer pour $35$ photos ?
    $\quad$
    b. Vérifier que le prix à payer pour $150$ photos est $23,50$ €.
    $\quad$
    c. On dispose d’un budget de $10$ €. Combien de photos peut-on commander au maximum ?
    $\quad$

On a commencé à construire un programme qui doit permettre de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées :

  1. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Par quelles valeurs peut-on compléter les instructions des lignes $3$, $5$ et $8$ pour que le programme permette de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées ?
    Sur la copie, écrire le numéro de chaque ligne à compléter et la valeur correspondante.
    $\quad$
  2. En période des soldes, le site offre une réduction de $30 \%$ sur le prix à payer, pour toute commande supérieure à $20$ €.
    a. Calculer le prix a payer pour $150$ photos en période des soldes.
    $\quad$
    b. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    On modifie le programme pour qu’il donne le prix à payer en période des soldes en insérant le bloc ci-dessous entre les lignes $8$ et $9$.

    Dans la liste suivante, indiquer une proposition qui convient pour compléter la case vide :
    Proposition 1 :
    Proposition 2 :
    Proposition 3 :
    Proposition 4 :
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

L’ISS (International Space Station) est une station spatiale internationale placée en orbite autour de la Terre.

  1. Dans la journée du 21 juin 2021, l’ISS est passée à la verticale de Canberra (Australie) puis à la verticale de Miami (Etats-Unis).
    À l’aide du planisphère ci-dessous, donner les coordonnées géographiques de ces deux villes avec la précision permise par le graphique.

On représente la Terre, l’ISS et son orbite (trajectoire de l’ISS) à l’aide du schéma ci-dessous.

On considère que :

  • la Terre est assimilée a une sphère de rayon $6~371$ km;
  • l’orbite de l’ISS est un cercle de même centre que celui de la Terre;
  • l’ISS tourne autour de la Terre a une altitude de $380$ km.
  1. Montrer que l’ISS parcourt environ $42~400$ km pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
  2. On estime que l’ISS tourne autour de la Terre à la vitesse moyenne de $27~600$ km/h.
    a. Montrer qu’il faut environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. Le 19 juin 2020, de $14$ h $30$ à $21$ h $45$ (heure de Paris), le spationaute français Thomas Pesquet a effectué une sortie extravéhiculaire en restant attaché à l’ISS.
    Durant cette sortie, combien de fois Thomas Pesquet a-t-il fait le tour complet de la Terre ?
    $\quad$

$\quad$

DNB – Antilles Guyane- Septembre 2020

Antilles Guyane – Septembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
    D’une part $AC^2=108,16$
    D’autre part $BC^2+BA^2=92,16+16=108,16$
    Ainsi $AC^2=BC^2+BA^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $CBA$ et $CKL$:
    – $K$ appartient à $[CB]$ et $L$ appartient à $[CA]$;
    – la droite $(KL)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    D’après le théorème de Thalès on a $\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CL}{CA}=\dfrac{LK}{AB}$
    Soit $\dfrac{3}{9,6}=\dfrac{CL}{10,4}$ donc $CL=\dfrac{10,4\times 3}{9,6}$ et par conséquent $CL=3,25$ cm.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos\widehat{CAB}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos\widehat{CAB}=\dfrac{4}{10,4}$
    Par conséquent $\widehat{CAB}\approx 67$°.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d’un cube par $3$ alors son volume est multiplié par $3^3=27$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $(-4)^2+3\times (-4)+4=16-12+4=8$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. $1~500~000~000=1,5\times 10^{9}$
    Réponse D
    $\quad$
  5. $(x-2)\times (x+2)=x^2-2^2=x^2-4$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’image du polygone ❶ par la symétrie centrale de centre $O$ est le polygone ❸.
    $\quad$
    b. L’image du polygone ❹ par la rotation de centre O qui transforme le polygone ❶ en le polygone ❷ est le polygone ❶.
    $\quad$
  2. La translation de vecteur $\vect{AB}$ permet d’obtenir le polygone ❺ en partant du polygone ❶.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{315}{9}=35$ et $\dfrac{270}{9}=30$.
    $9$ divise donc à la fois $315$ et $270$.
    On peut, par conséquent, choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, on imprimera alors $35\times 30=1~050$ carrés de $9$ cm de côté. sur le tissu.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. La nageuse a donc nagé le 100 mètres en $53,35$ secondes.
    $\quad$
  2. $\dfrac{100}{52,93}\approx 1,89$.
    La vitesse moyenne de cette nageuse est d’environ $1,9$ m/s.
    $\quad$
  3. On ordonne la série dans l’ordre croissant :
    $$52,93~;~53,23~;~53,35~;~53,61~;~54,04~;~54,07~;~54,52~;~54,56$$
    $\dfrac{8}{2}=4$ : la médiane est donc la moyenne du $4\ieme$ et du $5\ieme$ temps soit $\dfrac{53,61+54,04}{2}=53,825$.
    La moyenne est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{52,93+52,23+\ldots+54,56}{8}\\
    &=\dfrac{430,31}{8} \\
    &\approx 53,789\end{align*}$
    La moyenne de la série est donc légèrement inférieure à la médiane.
    $\quad$
  4. La Grande Bretagne et l’Italie ont obtenu, à elles deux, $21$ médailles d’Or tandis que la Russie a obtenu $23$ médailles d’Or.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4}{12}\approx 33,33\%<35\%$.
    L’affirmation est donc également fausse.
    $\quad$
  6. On a pu écrire $=\text{SOMME(C2:E2)}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le tirage $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ bleue et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ rouge est bien une issue de l’événement « On obtient deux nombres premiers ».
    L’événement « On obtient deux nombres premiers » est donc possible.
    $\quad$
    La somme maximale qu’on peut obtenir est $4+5=9<12$. L’événement « La somme des deux nombres est égale à $12$ » est donc impossible.
    $\quad$
    b. Il y a $2$ nombres premiers dans l’urne bleue et $3$ nombres premiers dans l’urne rouge. Il y a donc $2\times 3=6$ tirages favorables.
    Il y a $3\times 4=12$ tirages possibles.
    La probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers » est donc égale à $\dfrac{6}{12}$ soit $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Les doubles possibles sont $(2;2)$, $(3;3)$ et $(4;4)$.
    La probabilité de tirer un double est donc égale à $\dfrac{3}{12}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. Il faut remplacer $\text{A}$ par $1~000$, $\text{B}$ par $4$ et $\text{C}$ par $5$.
    $\quad$
    b. Il faut placer ce bloc juste après l’instruction “répéter $1000$ fois”.
    $\quad$
    c. Il faut placer ce bloc juste après “quand le drapeau est cliqué”.
    $\quad$
    d. La proposition $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ permet d’obtenir la fréquence souhaitée.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     20 points

La figure ci-dessous est dessinée à main levée.
On donne les informations suivantes :

  • $ABC$ est un triangle tel que $AC = 10,4$ cm, $AB = 4$ cm et $BC = 9,6$ cm ;
  • les points $A$, $L$ et $C$ sont alignés;
  • les points $B$, $K$ et $C$ sont alignés;
  • la droite $(KL)$ est parallèle à la droite $(AB)$;
  • $CK = 3$ cm.

  1. À l’aide des instruments de géométrie, construire la figure en vraie grandeur sur la copie en laissant les traits de construction apparents.
    $\quad$
  2. Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $CL$ en cm.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{CAB}$, au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées, une seule d’entre elle est exacte.
Pour chacune des cinq questions, indiquer la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
On rappelle que toute réponse doit être justifiée.
Une réponse fausse ou une absence de réponse ne retire pas de point.

  1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d’un cube par 3, alors le volume du cube sera multiplié par :
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $9$
    Réponse C : $12$
    Réponse D : $27$
    $\quad$
  2. Lorsque $x = -4$ alors $x^2 +3x +4$ est égal à :
    Réponse A : $8$
    Réponse B : $0$
    Réponse C : $-24$
    Réponse D : $-13$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\ldots$
    Réponse A : $\dfrac{2}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $0,583$
    Réponse C : $\dfrac{7}{12}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse D : $\dfrac{1}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  4. La notation scientifique de $1~500~000~000$ est …
    Réponse A : $15\times 10^{-8}$
    Réponse B : $15\times 10^8$
    Réponse C : $1,5\times 10^{-9}$
    Réponse D : $1,5\times 10^9$
    $\quad$
  5. $(x-2)\times (x+2)=\ldots$
    Réponse A : $x^2-4$
    Réponse B : $x^2+4$
    Réponse C : $2x-4$
    Réponse D : $2x$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     18 points

Dans cet exercice, le carré $ABCD$ n’est pas représenté en vraie grandeur.
Aucune justification n’est attendue pour les questions 1. et 2. On attend des réponses justifiées pour la question 3.

  1. On considère le carré $ABCD$ de centre $O$ représenté ci-contre, partagé en quatre polygones superposables, numérotés ❶, ❷, ❸ et ❹.a. Quelle est l’image du polygone ❶ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du polygone ❹ par la rotation de centre $O$ qui transforme le polygone ❶ en le polygone ❷ ?
    $\quad$
  2. La figure ci-dessous est une partie d’un pavage dont un motif de base est le carré $ABCD$ de la question 1.
    Quelle transformation partant du polygone ❶ permet d’obtenir le polygone ❺ ? $\quad$
  3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur $315$ cm et de largeur $270$ cm.
    On souhaite que le tissu soit entièrement par les carrés identiques à $ABCD$, sans découpe et de sorte que les côtés
    du carré mesure un nombre entier de centimètres.
    a. Montrer qu’on peut choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. Dans ce cas, combien de carrés de $9$ cm de côté seront imprimés sur le tissu ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     24 points

Voici la série des temps exprimés en secondes, et réalisé par des nageuses lors de la finale du 100 mètres féminin nage libre lors des championnats d’Europe de natation en 2018 : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
53,23&54,04&53,61&54,52&53,35&52,93&54,56&54,07\\
\hline
\end{array}$$

  1. La nageuse française, Charlotte BONNET, est arrivée troisième à cette finale.
    Quel est le temps exprimé en secondes, de cette nageuse ?
    $\quad$
  2. Quelle est la vitesse moyenne, exprimée en m/s, de la nageuse ayant parcouru les 100 mètres en $52,93$ s?
    Arrondir au dixième près.
    $\quad$
  3. Comparer moyenne et médiane des temps de cette série.
    Sur une feuille de calcul, on a reporté le classement des dix premiers pays selon le nombre de médailles d’or lors de ces championnats d’Europe de natation, toutes disciplines confondues :
    $\quad$
  4. Est-il vrai qu’à elle deux, la Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu autant de médailles d’or que la Russie ?
    $\quad$
  5. Est-il vrai que plus de $35 \%$ des médailles remportées par la France sont des médailles d’or ?
    $\quad$
  6. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $\text{F2}$ de cette feuille de calcul, avant qu’elle soit étirée vers le bas
    jusqu’à la cellule $\text{F11}$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     23 points

On dispose de deux urnes :

  • une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$;
  • une urne rouge contenant quatre boules rouges numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$.

Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirée.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{    Urne bleue    }&\text{    Urne rouge    }\\
\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}&\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}\\
\hline
\end{array}$$

On s’intéresse à l’expérience aléatoire suivante :
« On tire au hasard une boule bleue, on note son numéro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son numéro. »

Exemple : si on tire la boule bleue numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ puis la boule rouge numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ , le tirage obtenu sera noté $(3;4)$.

On précise que le tirage $(3;4)$ est différent du tirage $(4;3)$.

  1. On définit les deux événements suivants :
    « On obtient deux nombres premiers. » et « La somme des deux nombres est égale à $12$. »
    a. Pour chacun des deux événements précédents dire s’il est possible ou impossible lorsqu’on effectue l’expérience aléatoire.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers. »
    $\quad$
  2. On obtient un « double »lorsque les deux boules tirées portent le même numéro.
    Justifier que la probabilité d’obtenir « un double »lors de cette expérience est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. Dans cette question aucune justification n’est attendue.
    On souhaite simuler cette expérience $1~000$ fois.
    Pour cela on a commencé à écrire un programme, à ce stade, encore incomplet. Voici des copies d’écran :
    a. Pour quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C.
    $\quad$
    b. Dans le script principal, indiquer où placer le block .
    $\quad$
    c. Dans le script principal , indiquer où placer l’élément mettre .
    $\quad$
    d. On souhaite obtenir la fréquence d’apparition du nombre de « doubles » obtenus.
    Parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer à la fin du script principal après la boucle « répéter » ?$\quad$

$\quad$

DNB – Centres étrangers – Juin 2022

Centres étrangers – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le coefficient directeur est $a=2>0$ : ce n’est donc pas la réponse B.
    L’ordonnée à l’origine est $b=3\neq 0$ : ce n’est donc pas la réponse C.
    Réponse A
    $\quad$
  2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est :
    $\begin{align*} f(-2)&=2\times (-2)+3 \\
    &=-4+3 \\
    &=-1\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La formule à saisir est $=\text{2*B1+3}$.
    Réponse B
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (2x-1)(3x+4)-2x&=6x^2+8x-3x-4-2x \\
    &=6x^2+3x-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $CDE$ le plus grand côté est $[DE]$.
    D’une part $DE^2=5,5^2=30,25$
    D’autre part $CD^2+CE^2=3,6^2+4,2^2=30,6$
    Par conséquent $DE^2\neq CD^2+CE^2$.
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ n’est pas rectangle.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La distance moyenne parcourue est :
    $\begin{align*} d_m&=\dfrac{166+188+187,5+200+202,5+119,5+93}{7} \\
    &=\dfrac{1~156,5}{7} \\
    &\approx 165,2\end{align*}$
    La distance moyenne parcourue est environ égale à $165,2$ km.
    $\quad$
    b. On ordonne la série de valeurs dans l’ordre croissant :
    $$93~;~119,5~;~166~;~187,5~;~188~;~200~;~202,5$$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $187,5$.
    La médiane des distances parcourues par étapes est $187,5$ km.
    $\quad$
    c. $202,5-93=109,5$.
    L’étendue de la série formée par les distances parcourues par étape est égale à $109,5$.
    $\quad$
  2. $4$ étapes sur les $7$ se sont déroulées sur un parcours accidenté.
    $\dfrac{4}{7}\approx 0,57$.
    Le journaliste a donc raison.
    $\quad$
  3. $30$ h $12$ min $- 28$ h $50$ min $= 1$ h $22$ min.
    Le dernier au classement a donc accumulé $1$ h $22$ min de retard par rapport au vainqueur.
    $\quad$
  4. $51$ min $=0,85$ h
    $\dfrac{166}{3,85}\approx 43$.
    La vitesse moyenne du coureur est environ égale à $43$ km/h.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos(60)=\dfrac{AB}{8}$
    Par conséquent $AB=8\cos(60)$ et donc $AB=4$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $ADE$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[CE]$ et $[BD]$
    – $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{19,2}{8}=2,4$ et $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{9,6}{4}=2,4$
    Par conséquent $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. La droite $(DE)$ est parallèle à la droite $(BC)$ et les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, les droites $(DB)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ADE$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AD^2+DE^2$ soit $19,2^2=9,6^2+DE^2$
    Ainsi $DE^2=19,2^2-9,6^2$ soit $DE^2=276,48$.
    L’aire du triangle $ADE$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AD\times DE}{2} \\
    &=\dfrac{9,6\times \sqrt{276,48}}{2} \\
    &\approx 80\end{align*}$
    L’aire du triangle $ADE$ est environ égale à $80$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On obtient le bloc d’instructions suivant :

 

$\quad$

Partie B

  1. Pour lancer le programme de l’élève B il faut appuyer sur la barre espace.
    $\quad$
  2. a. On obtient la figure $1$ avec le programme de l’élève A.
    $\quad$
    b. On obtient la figure $4$ avec le programme de l’élève B.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a
    $\begin{align*} 125&=5\times 25 \\
    &=5^3\end{align*}$
    $\begin{align*} 175&=5\times 35\\
    &=5^2\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs communs à $125$ et $175$ sont : $1$, $5$ et $25$.
    $\quad$
    c. Le nombre de boîtes doit diviser $125$ et $175$ et être le plus grand possible.
    D’après la question précédente, le PGCD de $125$ et $175$ est $25$.
    On pourra donc réaliser au maximum $25$ boîtes.
    $\quad$
    d. $\dfrac{125}{25}=5$ et $\dfrac{175}{25}=7$.
    Il y aura donc $5$ truffes parfumées au café et $7$ truffes enrobées de noix de coco dans chaque boîte.
    $\quad$
  2. Le rayon d’une truffe est $r=\dfrac{1,5}{2}=0,75$ cm.
    Le volume d’une truffe est donc :
    $\begin{align*} V_T&=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 0,75^3 \\
    &\approx 1,77 \text{ cm}^3\end{align*}$
    Le volume des $12$ truffes est :
    $\begin{align*} V_D&=12V_T \\
    &\approx 21,21\end{align*}$
    Le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V_C&=\dfrac{1}{3}\times 4,8^2\times 5 \\
    &\approx 38,4\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_C-V_D\\
    &\approx 17,19\\
    &\pp V_D\end{align*}$
    Le volume du pavé droit est :
    $\begin{align*} V_P&=5\times 3,5^2 \\
    &=61,25\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_P-V_D\\
    &\approx 40,04\\
    &\pg V_D\end{align*}$
    On ne peut donc utiliser que la boîte pyramidale.
    $\quad$

Énoncé

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DNB – Amérique du Nord – Juin 2022

Amérique du Nord – Juin 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore : $MS^2=HM^2+HS^2$.
    Donc $13^2=5^2+HS^2$ soit $169=25+HS^2$
    Par conséquent $HS^2=144$ et $HS=12$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $HMS$ et $AMT$ :
    – $M\in [AS]$ et $M\in [HT]$
    – les droites $(AT)$ et $(HS)$ sont parallèles puisque  toutes les deux perpendiculaires à la droite $(HT)$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{MA}{MS}=\dfrac{MT}{MH}=\dfrac{AT}{HS}$
    Soit $\dfrac{7}{5}=\dfrac{AT}{12}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AT&=12\times \dfrac{7}{5} \\
    &=16,8\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on a
    $\begin{align*}\cos \widehat{HMS}&=\dfrac{HM}{MS} \\
    &=\dfrac{5}{13}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{HMS}\approx 67$°
    $\quad$
  4. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ (et c’est la seule transformation puisque toutes les autres conservent les longueurs).
    $\quad$
  5. L’aire du triangle $MAT$ est $1,4^2=1,96$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Il y a $5$ faces dont le numéro est inférieur ou égal à $5$.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. Il y a donc huit volumes (un de sirop et sept d’eau) dans cette boisson. $\dfrac{560}{8}=70$. Il faut donc $70\times 7=490$ mL d’eau.
    Réponse D
    $\quad$
  3. $f$ est linéaire, il existe donc un nombre $a$ tel que $f(x)=ax$.
    $\dfrac{5}{4}\times \dfrac{4}{5}=1$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. On a $
    $\begin{align*} 195&=3\times 65 \\
    &=3\times 5\times 13\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  5. L’aire du triangle de base est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{3\times 5}{2} \\
    &=7,5 \text{ cm}^2\end{align*}$
    Le volume du prisme droit est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\mathscr{A}\times 8 \\
    &=7,5\times 8\\
    &=60\text{ cm}^3\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{81}{100}\times 1~600~000=1~296~000$.
    $1,296$ million d’adolescents de 11 à 17 ans ne respectent pas la recommandation sur les $1,6$ million d’adolescents interrogés.
    $\quad$
  2. a. L’étendue est $e=1$h$40$min$-0$ min c’est-à-dire $1$h$40$min.
    $\quad$
    b. On ordonne la série dans l’ordre croissant
    $0$min;$~15$min;$~15$min;$~30$min;$~30$min;$~40$min;$~50$min;$~1$h:$~1$h;$~1$h;$~1$h;$~1$h$30$min;$~1$h$30$min;$~1$h$40$min.
    $\dfrac{14}{2}=7$.
    La médiane est donc la moyenne de $7\ieme$ et de la $8\ieme$ durée.
    C’est donc $\dfrac{50+60}{2}=55$ min
    $\quad$
  3. a. La moyenne de cette série est, après avoir converti les durées en minutes :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{0+15+15+30+30+40+50+60+60+60+60+90+90+100}{14}\\
    &=\dfrac{700}{14}\\
    &=50\end{align*}$
    En moyenne il a fait $50$ minutes de pratique physique par jour sur ces $14$ jours.
    Il n’a donc pas atteint son objectif.
    $\quad$
    b. Il doit faire au moins $21\times 60=1~260$ minutes de pratique physique sur ces $21$ jours.
    Sur les $14$ premiers jours, il a déjà effectué $700$ minutes de pratique physique.
    Il doit donc faire au moins $1~260-700=560$ minutes de pratique physique sur les $7$ derniers jours, soit en moyenne $80$ minutes par jour.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient un rectangle de $60$ pas de large sur $80$ pas de haut soit $3$ cm sur $4$ cm.
    $\quad$

    $\quad$
  2. On avance de $100-60=40$ pas entre chaque figure.
    Donc $d=40$ pas.
    $\quad$
  3. Les seuls nombres entiers compris entre $1$ et $2$ sont $\acco{1;2}$.
    Chaque nombre a la même probabilité d’apparaître.
    La probabilité que le premier motif soit une croix est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On obtient les $8$ affichages suivants :

    $\quad$
  5. La probabilité que le joueur gagne est donc égale à $\dfrac{2}{8}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  6. On peut écrire :

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. Si le nombre de départ est $15$ alors sont carré est $225$.
    À l’arrivée on obtient $225+15=240$.
    $\quad$
  2. On a pu écrire $=\text{A2}*\text{A2}+\text{A2}$.
    $\quad$
  3. Le résultat obtenu est $x^2+x$.
    $\quad$

Partie B

  1. Si le nombre de départ est $9$ alors on obtient à l’arrivée $9^2+9=90$.
    Et $90=9\times 10$.
    L’affirmation est vraie quand le nombre choisi au départ est $9$.
    $\quad$
  2. Si $x$ est un nombre entier, on a alors $x^2+x=x\times x+x\times 1=x(x+1)$.
    L’affirmation est donc vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$
  3. Parmi deux nombres entiers consécutifs l’un d’entre eux est pair.
    Ainsi le produit de deux nombres entiers consécutifs est pair.
    Le nombre obtenu à l’arrivée est donc toujours pair.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     22 points

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

  • les points $M$, $A$ et $S$ sont alignés
  • les points $M$, $T$ et $H$ sont alignés
  • $MH = 5$ cm
  • $MS = 13$ cm
  • $MT = 7$ cm

  1. Démontrer que la longueur $HS$ est égale à $12$ cm.
    $\quad$
  2. Calculer la longueur $AT$.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HMS}$. On arrondira le résultat au degré près.
    $\quad$
  4. Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ ?
    Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Recopier la réponse sur la copie.
    $$\begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{centrale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{axiale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une}\\\phantom{12~}\text{rotation}\phantom{12~}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{2}\text{translation}\phantom{2}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{1}\text{homothétie}\phantom{1}\\\hline\end{array}$$
    $\quad$
  5. Sachant que la longueur $MT$ est $1,4$ fois plus grande que la longueur $HM$, un élève affirme : « L’aire du triangle $MAT$ est $1,4$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$. »
    Cette affirmation est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte.

Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. On lance un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$.
    La probabilité pour que le numéro tiré soit inférieur ou égal à $5$ est …
    Réponse A $\dfrac{1}{20}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse B $\dfrac{1}{4}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse C $\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse D $\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    $\quad$
  2. Une boisson est composée de sirop et d’eau dans la proportion d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau (c’est-à-dire dans le ratio $1 : 7$).
    La quantité d’eau nécessaire pour préparer $560$ mL de cette boisson est …
    Réponse A $70$ mL
    Réponse B $80$ mL
    Réponse C $400$ mL
    Réponse D $490$ mL
    $\quad$
  3. La fonction linéaire $f$ telle que $f\left(\dfrac{4}{5}\right)=1$ est …
    Réponse A $f(x)=x+\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse B $f(x)=\dfrac{4}{5}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse C $f(x)=\dfrac{5}{4}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse D $f(x)=x-\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    $\quad$
  4. La décomposition en produit de facteurs premiers de $195$ est …
    Réponse A $5\times 39$
    Réponse B $3\times 5\times 13$
    Réponse C $1\times 100+9\times 10+5$
    Réponse D $3\times 65$
    $\quad$
  5. $\quad$

    Le volume de ce prisme droit est …
    Réponse A $40$ cm$^3$
    Réponse B $60$ cm$^3$
    Réponse C $64$ cm$^3$
    Réponse D $120$ cm$^3$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, $81 \%$ d’entre eux ne respectent pas cette  recommandation.

D’après un communiqué de presse sur la santé

  1. Sur les $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, combien ne respectent pas cette recommandation ?

Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.

Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »

Pendant $14$ jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant, la durée quotidienne qu’il consacre à sa pratique physique :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Jour 1}&\textbf{Jour 2}&\textbf{Jour 3}&\textbf{Jour 4}&\textbf{Jour 5}&\textbf{Jour 6}&\textbf{Jour 7} \\
\hline
50\text{ min}&15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }40\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h }30\text{ min}&40\text{ min}\\
\hline
\textbf{Jour 8}&\textbf{Jour 9}&\textbf{Jour 10}&\textbf{Jour 11}&\textbf{Jour 12}&\textbf{Jour 13}&\textbf{Jour 14} \\
\hline
15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }30\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h}&0\text{ min}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelle est l’étendue des $14$ durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
    $\quad$
    b. Donner une médiane de ces $14$ durées quotidiennes.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur les $14$ premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
    $\quad$
    b. Pendant les $7$ jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport pour atteindre son objectif sur l’ensemble des $21$ jours.
    Sur ces $7$ derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum prévoir pour atteindre son objectif ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     21 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est unrectangle.
Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite :

  1. En prenant pour échelle $1$ cm pour $20$ pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
    $\quad$
  2. Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :Quelle est la distance $d$ entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
    $\quad$
  4. Dessiner à main levée les $8$ affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
    $\quad$
  5. On admettra que les $8$ affichages ont la même probabilité d’apparaître. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
    $\quad$
  6. On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne
    $\quad$
  7. Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases : .
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :

$$\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre choisi}\\\text{au départ}\\ \hline\end{array} \\
\boldsymbol{\Downarrow} \\
\begin{array}{|c|} \hline
\text{Programme de calcul} \\\bullet~\text{Calculer le carré du nombre de départ}\\ \bullet~\text{Ajouter le nombre de départ}\\ \hline \end{array}\\
\boldsymbol{\Downarrow}\\
\begin{array}{|c|} \hline \text{Nombre obtenu à}\\ \text{l’arrivée}\\\hline \end{array}\end{array}$$

PARTIE A

  1. Vérifier que si le nombre de départ est $15$, alors le nombre obtenu à l’arrivée est $240$.
    $\quad$
  2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :

    Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ.
    Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{B2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. On note $x$ le nombre de départ.
    Écrire, en fonction de $x$, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.
    $\quad$

PARTIE B

On considère l’affirmation suivante :
« Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »

  1. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est $9$.
    $\quad$
  2. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$
  3. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme de calcul est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$

$\quad$

 

 

DNB – Amérique du Sud – Novembre 2021

Amérique du Sud – Novembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 : Vraie

$72 = 6\times 12$ et $72=4\times 18$
Donc $72$ est un multiple commun à $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : Faux

Si $n=1$ alors $(1-5)^2=(-4)^2=16$
Mais $1^2-5^2=-24$
$16\neq -24$ donc l’égalité annoncée n’est pas vraie pour tout nombre $n$.

$\quad$

Affirmation 3 : Vraie

$2x+5=6$ revient à $2x=1$ soit $x=\dfrac{1}{6}$.
L’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Affirmation 4 : Faux

$\dfrac{5+7+11+8+5+6}{6}=\dfrac{42}{6}=7\neq 6,5$.
La moyenne de ces six températures est égale à $7$°C.

$\quad$

Affirmation 5 : Vraie

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore:
$\begin{align*} AC^2&=BC^2+AB^2 \\
&=9^2+12^2 \\
&=81+144 \\
&=225\end{align*}$
Donc $AC=15$.

$\quad$

Affirmation 6 : Vraie

Dans les triangles $BAC$ et $BDE$ :
– $E$ appartient à $[BC]$ et $D$ appartient à $[AB]$;
– $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Par conséquent $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BE}{BC}$.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Le point de coordonnées $(2;10)$ appartient à la courbe représentant le parcours de la mère. Elle a donc mis $2$ heures pour rentre chez elle.
    $\quad$
    b. $\dfrac{10}{2}=5$. Sur l’ensemble du parcours, la vitesse moyenne de la mère est de $5$ km/h.
    $\quad$
    c. La courbe représentant le parcours de la mère semble être une droite passant par l’origine du repère. La distance parcourue par la mère est donc proportionnelle au temps.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique, la fille a fait une pause de $30$ minutes.
    $\quad$
    b. Avant la pause, la vitesse moyenne de la fille est égale à $\dfrac{3}{~\dfrac{1}{4}~}=12$ km/h.
    Après la pause,  elle parcourt les $7$ kilomètres restants en environ $1$ heure et $5$ minutes. Sa vitesse moyenne est donc inférieure à $7$ km/h.
    Elle a donc couru le plus vite avant sa pause.
    $\quad$
  3. Les deux courbes se croisent trois fois : au départ, au  bout d’environ $35$ minutes et au bout de $1$h $15$min.
    La mère et la fille se sont retrouvées deux fois au même endroit et au même moment si on exclut le départ.
    $\quad$
  4. La distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps et sa vitesse moyenne est égale à $5$ km/h.
    Donc  $f(x)=5x$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $12\times 350=4~200$.
    Sur le site A, la commande coûterait $4~200$ €.
    $\quad$
  2. a. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ € et $380$ maillots coûtent $4~550$ €.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=B1+B2$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{650}{50}=13$ et $\dfrac{5~200}{440}\approx 11,82\neq 13$.
    Le coût total n’est donc pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
    $\quad$
  3. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ €. Il faut donc encore acheter $20$ maillots.
    $3~900+20\times 13=4~160<4~200$.
    Le club doit donc passer sa commande sur le site B.
    $\quad$
  4. Sur $7$ maillots il faut donc $5$ noirs et $2$ rouges.
    Sur $350 (=50\times 7)$ maillots, il faut donc $250$ maillots noirs et $100$ rouges.
    $\quad$
  5. La probabilité qu’il contienne des gourdes bleues égale à $\dfrac{3}{3+4}$ soit $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. Le script A permet d’obtenir la figure 2 et le script B permet d’obtenir la figure 1.
    $\quad$
  3. On peut écrire le script suivant :

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On peut placer $10$ cubes sur la largeur, $6$ dans la profondeur et $6$ en hauteur.
    Cela représente donc $6\times 6\times 10=360$ cubes de cire d’abeille.
    $\quad$
    b. Volume d’un cube de cire d’abeille : $V_c=6^3=216$ cm$^3$.
    Volume de tous les cubes : $V=360\times 216=77~760$ cm$^3$.
    La masse de cire d’abeille est donc égale à $0,95\times 77~760=73~872$ g soit environ $74$ kilogrammes.
    $\quad$
  2. a. Le volume d’une bougie est :
    $\begin{align*} V_b&=\pi \times 3^2\times 6 \\
    &=54\pi \\
    &\approx 170\end{align*}$
    Le volume d’une bougie est donc bien environ égale à $170$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. On récupère environ $216-170=46$g de cire d’abeille par cube.
    $\dfrac{216}{46}\approx 4,7$.
    Il faut donc découper $5$ cubes pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm avec la cire perdue.
    $\quad$
  3. Soit $P$ le prix d’achat ‘une bougie.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=9,6$ soit $1,2P=9,6$ et donc $P=\dfrac{9,6}{1,8}=8$.
    Il paie donc $8$€ le cube de cire d’abeille à l’usine.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     24 points

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : $72$ est un multiple commun des nombres $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : pour tout nombre $n$, on a l’égalité suivante : $(n-5)^2 = n^2-5^2$.

$\quad$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x +5$.
Affirmation 3 : l’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Voici les températures relevées en degré Celsius (noté °C) pendant six jours dans une même ville :
$5$ °C, $7$ °C, $11$ °C, $8$ °C, $5$ °C et $6$ °C.
Affirmation 4 : la moyenne de ces six températures est égale à $6,5$ °C.

$\quad$

Les points $B$, $D$ et $A$ sont alignés.
Les points $B$, $E$ et $C$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$BA = 12$ cm; $BC = 9$ cm;
$BD = 8$ cm et $BE = 6$ cm.
La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle.

Affirmation 5 : la longueur $AC$ est égale à $15$ cm.

$\quad$

Affirmation 6 : les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Une mère et sa fille rentrent chez elles à pied en empruntant le même trajet de $10$ kilomètres. La mère décide de s’y rendre en marchant et sa fille en courant.
Le graphique ci-dessous modélise les parcours de la mère et de la fille depuis leur départ.

 

  1. a. Indiquer le temps mis par la mère pour rentrer chez elle, avec la précision que permet la lecture du graphique.
    $\quad$
    b. Déterminer la vitesse moyenne en km/h de la mère sur l’ensemble de son parcours.
    $\quad$
    c. La distance parcourue par la mère est-elle proportionnelle au temps ?
    $\quad$
  2. La fille est partie à $16$ h et est arrivée chez elle à $17$ h $50$. Elle a fait une pause durant sa course.
    a. Indiquer la durée de la pause de la fille, avec la précision que permet la lecture graphique.
    $\quad$
    b. Quand a-t-elle couru le plus vite : avant ou après sa pause ?
    $\quad$
  3. Combien de fois la mère et la fille se sont retrouvées au même endroit et au même moment, au cours de leur trajet ?
    $\quad$
  4. Dans cette question, on note $f$ la fonction qui, au temps de parcours x (exprimé en heure) de la mère depuis le départ, associe la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par la mère depuis le départ.
    Parmi les propositions suivantes, recopier sans justification l’expression de $f(x)$ :
    $$f(x)=\dfrac{1}{5}x \quad ; \quad f(x)=5x \quad ; \quad f(x)=x+5$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     23 points

Un club de handball souhaite commander des maillots avec le nom du club inscrit dessus. À l’issue de sa commande, le club veut recevoir exactement $350$ maillots.
Après quelques recherches, deux sites internet ont été sélectionnés :

  • sur le site A : les maillots sont vendus à $12$ € l’unité;
  • sur le site B : les maillots sont vendus à $13$ €  l’unité, avec la promotion :

« $10$ maillots offerts pour $100$ achetés ».

  1. Déterminer le montant, exprimé en euro, de la commande du club envisagée sur le site A.
    $\quad$
  2. Un tableur ci-dessous présente des exemples de dépenses en fonction du nombre de maillots payés sur le site B. Voici une copie d’écran de ce tableur.a. À la lecture de ce tableur, le trésorier du club affirme que le montant de la commande sera compris entre $3~900$ € et $4~550$ €. Son affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$
    b. Sachant que les lignes $1$ et $2$ du tableur ont été complétées auparavant, quelle formule a-t-on pu saisir ensuite dans la cellule $\text{B3}$ avant de l’étirer jusqu’à la cellule $\text{I3}$, pour remplir la ligne $3$ du tableur ?
    $\quad$
    c. Le coût total exprimé en euro est-il proportionnel au nombre de maillots reçus ?
    $\quad$
  3. Sur quel site le club doit-il passer sa commande pour recevoir exactement $350 $maillots, tout en payant le moins cher ?
    $\quad$
  4. Le club souhaite que ces $350$ maillots soient répartis entre des maillots noirs et des maillots rouges dans le ratio $5 : 2$.
    Combien faut-il commander de maillots noirs et de maillots rouges ?
    $\quad$
  5. Le club a aussi commandé des gourdes. Les cartons reçus sont indiscernables tant par leurs dimensions que par leur forme.
    Il y a $4$ cartons de gourdes blanches et $3$ cartons de gourdes bleues.
    On ouvre un carton au hasard. Quelle est la probabilité qu’il contienne des gourdes bleues ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     14 points

Dans tout cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On donne le programme suivant :

 

On rappelle que l’instruction  signifie que l’on s’oriente vers la droite.

  1. On lance le programme.
    Construire la figure obtenue en prenant $1$ cm pour $25$ unités de longueur.
    On modifie le Script principal et on obtient deux scripts ci-dessous :


    $\quad$

  2. Parmi les trois figures ci-dessous, associer sur votre copie chacun des deux scripts principaux A et B à la figure qu’il permet de réaliser :


    On souhaite réaliser la figure suivante :


    $\quad$
    Le point de départ se situe au centre de la figure.

  3. Compléter le nouveau script principal ci-dessous en recopiant sur la copie uniquement les lignes 5 et 7. Pour mémoire, l’énoncé rappelle ci-dessous à droite le descriptif du bloc Carré.

 

$\quad$

Exercice 5     20 points

Une usine de fabrication de bougies reçoit des cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
Ils sont disposés dans des cartons remplis (sans espace vide).

Informations sur les cartons :
Forme : pavé droit
Dimensions :

  • largeur : $60$ cm
  • hauteur : $36$ cm
  • profondeur : $36$ cm

(On ne tient pas compte de l’épaisseur des cartons)

 

Information sur la cire d’abeille :
Masse volumique : $0,95$ g/cm3

 

  1.  a. Montrer que chaque carton contient $360$ cubes de cire d’abeille.
    $\quad$
    b. Quelle est la masse de cire d’abeille contenue dans un carton rempli de cubes ? On donnera la réponse en kg, arrondie à l’unité près, en ne tenant pas compte de la masse du carton
    $\quad$
  2.  À l’usine, on découpe les cubes de cire d’abeille afin d’obtenir des cylindres de hauteur $6$ cm et de diamètre $6$ cm avec lesquels on fera des bougies en installant une mèche.

    On ne tiendra pas compte de la masse, du volume et du prix de la mèche dans la suite de l’exercice.
    $\quad$
    a. Montrer que le volume d’une bougie est d’environ $170$ cm$^3$.
    $\quad$
    On rappelle que le volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $$V = \pi\times r^2 \times h$$
    $\quad$
    b. En découpant les cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm pour former des bougies  cylindriques, la cire perdue est réutilisée pour former à nouveau d’autres cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
    Combien de cubes au départ doit-on découper pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm, avec la cire perdue ?
    $\quad$

  3. Un commerçant vend les bougies de cette usine au prix de $9,60$ € l’unité. Il les vend $20 \%$ plus chères qu’il ne les achète à l’usine.
    Combien paie-t-il à l’usine pour l’achat d’une bougie ?
    $\quad$

$\quad$