DNB – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on utilise le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BD^2&=BC^2+CD^2 \\
    &=1,5^2+2^2\\
    &=2,25+4\\
    &=6,25\end{align*}$
    Par conséquent $BD=\sqrt{6,25}=2,25$.
    $\quad$
  2. Le point $D$ appartient à la droite $(CE)$ et les triangles $BCD$ et $DEF$ sont respectivement rectangles en $C$ et $E$.
    Cela signifie donc que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(CE)$.
    Elles sont par conséquent parallèles entre-elles.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $BCD$ et $DEF$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[BF]$ et $[CE]$
    – les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DB}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$
    Ainsi $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2,5}{DF}$
    D’où $DF=\dfrac{5\times 2,5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La longueur totale du parcours est :
    $\begin{align*} \ell&=AB+BD+DF+FG\\
    &=7+2,5+6,25+3,5\\
    &=19,25 \text{km}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $t$ le temps mis pour effectuer ce trajet.
    On a donc : $16=\dfrac{7}{t}$
    soit $t=\dfrac{7}{16}$ h $=\dfrac{7}{16}\times 60$ min
    Donc $t=26,25$ min ou $t=26$ min $15$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} 2~744&=2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 2\times 686\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 343\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 49\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^3\times 7^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} 2~744^2&=2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^6\times 7^6\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc
    $\begin{align*} 2~744^2&=2^2\times 2^2\times 2^2\times 7^2\times 7^2\times 7^2 \\
    &=\left(2^2\right)^3\times \left(7^2\right)^3\end{align*}$
    Par conséquent, une solution de l’équation $x^3=2~744^2$ est $2^2\times 7^2$ soit $196$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $b^2=a^3=1~000~000=(1~000)^2$.
    Puisque $b\pg 2$ on a $b=1~000$.
    $\quad$
    b. On teste les différentes possibilités :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    x^2&4&9&16&25&36&49&64&81&100\\
    \hline
    x^3&8&27&64&125&216&343&256&729&1~000\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $4^3=8^2$
    Ainsi $a=4$ et $b=8$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le graphique, en 2005 la concentration de CO$_2$ était environ égale à $380$ ppm
    $\quad$
  2. a. Le graphique est relativement proche de celui d’une droite et une fonction affine est représentée par une droite.
    Une fonction affine semble donc appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b.On a $2\times 2~005-3~630=380$ et $2\times 2~005-2~000=2~010$.
    La  proposition d’Arnold semble donc mieux modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre :
    $2x-3~630=450$ soit $2x=4~080$ d’où $x=2~040$
    C’est en $2~040$ que la valeur $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. On a donc $\dfrac{15}{100}\times M=70$ soit $0,15M=70$ donc $M=\dfrac{70}{0,15}\approx 467$.
    La France a donc émis environ $467$ mégatonne de CO$_2$ en 2016.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) est $\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. Pour $250$ g de chocolat noir on a besoin de $\dfrac{30\times 250}{100}=75$ g de farine.
    $\quad$
  3. La côté de la base du petit carré mesure $24-8-8=8$ cm.
    $\quad$
  4. Volume de la tour Carrée :
    $\begin{align*} V_C&=24^2\times 8+(24-8)^2\times 8+8^2\times 8 \\
    &=4~608+2~048+512\\
    &=7~168 \text{ cm}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le rayon du plus grand cylindre de la tour de Pise est égal à $\dfrac{30}{2}=15$ cm.
    Le rayon du deuxième cylindre est égal à $\dfrac{30-8}{2}=11$ cm.
    Le rayon du dernier cylindre est égal à $\dfrac{22-8}{2}=7$ cm.
    Ainsi le volume de la tour de Pise :
    $\begin{align*} V_P&=\pi\times 15^2\times 6+\pi \times 11^2\times 6+\pi\times 7^2\times 6 \\
    &=1~350\pi+726\pi+294\pi \\
    &=2~370\pi \\
    &\approx 7~446 \text{ cm}^3\end{align*}$
    La tour de Pise a donc le plus grand volume.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient le nombre :
    $(4+6)\times (4-5)+30=10\times (-1)+30=-10+30=20$.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $-3$ on obtient :
    $(-3+6)\times (-3-5)+30=3\times (-8)+30=-24+30=6$
    $\quad$
  2. a. $4+4^2=4+16=20$ ce qui correspond à ce qu’affirme Zoé.
    $\quad$
    b. En $B4$ on a pu saisir $=B2\times B3$.
    $\quad$
    c. Si le nombre de départ est $x$ alors on obtient :
    $\begin{align*} (x+6)(x-5)+30&=x^2-5x+6x-30+30 \\
    &=x^2+x\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut donc résoudre l’équation $x^2+x=0$ soit $x(x+1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-1$
    Les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$ sont $0$ et $-1$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Le dé A ne possède que deux numéro $6$ et $2$ tout comme le dé B dont les numéros sont $5$ et $1$.
    Aucun des numéros des dés A et B sont égaux.
    Une partie ne peut donc pas aboutir sur un match nul.
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, alors la seule possibilité que Basile gagne un point c’est qu’Armelle obtienne $1$ avec le dé B. Il y a trois numéro $1$ sur les six faces du dé.
    La probabilité que Basile gagne le point est donc $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. $1$ est inférieur à $2$ et $6$.
    Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$ alors la probabilité qu’Armelle gagne un point est $0$.
    $\quad$
  3. a. $4$ nombres entiers ($1$, $2$, $3$ et $4$) sont strictement inférieurs à $5$. La probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Voici le programme qu’on peut saisir

    $\quad$
    c. On peut saisir le sous-programme suivant :

    $\quad$
  4. a. La fréquence de gain du joueur A est $f=\dfrac{39~901}{60~000}\approx 66,5\%$
    $\quad$
    b. On peut donc conjecturer que la probabilité que A gagne contre B est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

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DNB – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. $(-2)^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=16$
    Réponse A
    Evidemment, si tu as vu en cours permettant de calculer plus rapidement tu peux les utiliser.
    $\quad$
  2. $90$ km/h $=90\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $=25$ m/s
    Réponse C
    $\quad$
  3. $24=2\times 12=2\times 2\times 6=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  4. L’image de $-1$ par la fonction $f$ est :
    $f(-1)=2\times (-1)+5=-2+5=3$
    Réponse A
    $\quad$
  5. Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions d’un rectangle, son aire est multipliée par $3^2=9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $35+23+14+28=100$
    Il a donc téléchargé $100$ titres.
    $\quad$
  2. a. La probabilité de l’événement « Obtenir un titre Pop » est $\dfrac{35}{100}=0,35$.
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement « Le titre diffusé est du Rap » est $\dfrac{23}{100}$.
    Par conséquent la probabilité de l’événement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » est $1-\dfrac{23}{100}=0,77$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{1,5\times 1~000}{4}=375$
    Il peut télécharger au maximum $375$ nouveaux titres musicaux.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La valeur $1~783,04$ représente la somme des salaires versés en 2015.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{SOMME}(A4:L4)$ ou $=\text{SOMME}(C4:L4)$
    $\quad$
    c. On doit saisir cette formule dans la cellule $G16$.
    $\quad$
  2. La somme des salaires versés est $1~783,04+2~446,69+2~069,62=6~299,35$.
    Le montant de « l’indemnité de rupture » est donc $\dfrac{6~299,35}{120}\approx 52,49$ €
    $\quad$
  3. Le salaire moyen versé à l’assistante maternelle sur toute la durée du contrat est :
    $m=\dfrac{6~299,35}{10+12+8}\approx 209,98$ €.
    $\quad$
  4. L’étendue des salaires versés est $270,15-77,81=192,34$ €.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut utiliser la symétrie centrale de centre $A$ pour passer du rectangle $FGHI$ eu rectangle $PQRS$.
    $\quad$
  2. L’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° est le rectangle $JKLM$.
    $\quad$
  3. a. Le point $V$ appartient au côté $[EB]$ du rectangle $BCDE$.
    Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.
    Par conséquent les côtés $[EB]$ et $[DC]$ sont parallèles et les droites $(DC)$ et $(VB)$ sont également parallèles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $AVB$ et $ACD$ :
    – le point $B$ appartient au segment $[AC]$;
    – le point $V$ appartient au segment $[AD]$;
    – les droites $(VB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AV}{AD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{VB}{DC}$
    soit $\dfrac{10}{30}=\dfrac{4}{DC}$
    Donc $DC=\dfrac{30\times 4}{10}=12$ cm
    $\quad$
    c. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{12}{30}=0,4$
    Par conséquent $\widehat{DAC}\approx 22$°.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans le triangle $CDP$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=DP^2+CP^2 \\
    &=1,3^2+1,3^2 \\
    &=3,38\end{align*}$
    Par conséquent $CD=\sqrt{3,38}\approx 1,84$ m.
    $\quad$
  2. $EP=ED+DP=BC+CP=BP$
    Le rectangle $ABPE$ possède donc deux côtés consécutifs de même longueur. C’est un carré.
    $\quad$
  3. On a donc $AB=EP=0,4+1,3=1,7$ m
    Le périmètre du polygone $ABCDE$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{P}&=AB+CB+CD+DE+AE\\
    &\approx 1,7+0,4+1,84+0,4+1,7\\
    &\approx 6,04 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{6,04}{2,4}\approx 2,52$
    On a donc eu besoin de $3$ planches pour construire le tour du bac à sable.
    $\quad$
  5. L’aire du carré $ABPE$ est $\mathscr{A}_1=1,7^2=2,89$ m$^2$.
    L’aire du triangle $DPC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{1,3\times 1,3}{2}=0,845$ m$^2$.
    L’aire du polygone $ABCDE$ est donc :
    $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2=2,045$ m$^2$.
    $\quad$
  6. Volume du prisme droit :
    $V=2,045\times 0,15=0,306~75$ m$^3$ $=306,75$ L
    On a donc eu besoin de plus de $300$ L de sable pour emplir complètement le bac.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. $\dfrac{2,4-1,9}{0,1}=5$.
    La pression sera descendue à $1,9$ bars en $5$ mois s’il n’y a aucun gonflage.
    $\quad$
    b. Pour des pneus gonflés à $1,9$ bars le véhicule consomme entre $2\%$ et environ $4,5\%$ de carburant en plus.
    $\quad$
  2. a. $6\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=5,1$
    La consommation de la voiture de Paul sera de $5,1$ L aux $100$ km.
    $\quad$
    b. Consommation de carburant de Paul avant le stage : $\dfrac{6\times 20~000}{100}=1~200$ L.
    $\dfrac{1~200\times 15}{100}=100$ L
    Il peut donc espérer économiser $100$ L par an.
    $\quad$
    c. $100\times 1,35=135$
    Il pourra réaliser $135$ € d’économie par an.
    $\quad$
    d. $2\times 135=270>200$.
    Son stage sera amorti au bout de deux ans.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Voici, pour le lutin n°1, les différentes étapes de calcul:
    $7\underset{+5}{\longrightarrow}12\underset{\times 2}{\longrightarrow}24\underset{\times -7}{\longrightarrow}17$
    On obtient bien $17$ avec le lutin n°1.
    $\quad$
  2. $7\underset{\times 7}{\longrightarrow}49\underset{-8}{\longrightarrow}41$
    On obtient bien $41$ avec le lutin n°2.
    $\quad$
  3. a. Instruction 3 : $x+5$
    Instruction 4 : $2(x+5)$
    Instruction 5 : $2(x+5)-x$
    $\quad$
    b. $2(x+5)-x=2x+10-x=x+10$
    L’expression peut bien s’écrire $x+10$.
    $\quad$
  4. On peut remplacer l’instruction 3 par celle proposée par Célia et supprimer les instructions 4 et 5.
    $\quad$
  5. L’expression du lutin n°2 est, si on appelle $x$ le nombre saisi, $7x-8$.
    On veut donc résoudre l’équation $7x-8=x+10$
    donc $6x-8=10$
    soit $6x=18$
    d’où $x=3$
    Paul a donc saisi le nombre $3$.
    $\quad$

 

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DNB – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – Juillet 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

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Ex 1

Exercice 1

  1. $24=2\times 12=8\times 3=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $2~255$ se termine par $5$ : il est donc divisible par $5$.
    La somme des chiffres du nombre $7~113$ vaut $12$ qui est divisible par $3$. Donc $7~113$ est divisible par $3$.
    Ainsi, par déduction, $8~191$ est premier.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Quand la roue B fait $2$ tours, cela correspond à $2\times 18=36$ mouvements de dents.
    Or $\dfrac{36}{12}=3$.
    La roue A fait donc $3$ tours.
    Réponse A
    $\quad$
  4. Dans les triangles $TRS$ et $PRV$ :
    – les droites $(TS)$ et $(PV)$ sont parallèles;
    – le point $R$ appartient au segment $[TV]$;
    – le point $R$ appartient au segment $[SP]$.
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $\dfrac{RT}{RV}=\dfrac{RS}{RP}=\dfrac{ST}{PV}$
    Donc $\dfrac{7,2}{3}=\dfrac{8,4}{PV}$ soit $PV=\dfrac{3\times 8,4}{7,2}=3,5$ cm.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. D’après la feuille de calcul $f(-1)=-7$.
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul, l’antécédent de $5$ est $3$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est une fonction affine. On doit donc déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, on ait $f(x)=ax+b$.
    On sait, d’après la feuille de calcul, que $f(0)=-4$. Par conséquent $b=-4$.
    Ainsi $f(x)=ax-4$.
    On sait également que $f(-1)=-7$.
    Par conséquent $-7=a\times (-1)-4$
    Soit $-7=-a-4$
    Ainsi $-3=-a$ et $a=3$.
    Donc, pour tout nombre $x$, on a $f(x)=3x-4$.
    $\quad$
    Remarque : D’après la formule $=3*B1-4$ saisie dans la cellule $B2$ on pouvait également dire que $f(x)=3x-4$.
    $\quad$
    d. $f(10)=3\times 10-4=26$.
    $\quad$
  2. a. Voici les différentes étapes du programme de calcul :
    $\bullet$ Choisir un nombre
    $\bullet$ Ajouter $3$ à ce nombre
    $\bullet$ Multiplier le résultat obtenu par $2$
    $\bullet$ Soustraire $5$ du résultat précédent.
    $\quad$
    b. Voici les différents résultats obtenus :
    $8\underset{+3}{\longrightarrow}11\underset{\times 2}{\longrightarrow}22 \underset{-5}{\longrightarrow}17$
    Si on choisit le nombre $8$ au départ, on obtient le nombre $17$.
    $\quad$
    c. On considère un nombre $x$. Voici les différents résultats obtenus :
    $x\underset{+3}{\longrightarrow}x+3\underset{\times 2}{\longrightarrow}2(x+3) \underset{-5}{\longrightarrow}2(x+3)-5$
    Or $2(x+3)-5=2x+6-5=2x+1$.
    On obtient bien le nombre $2x+1$ avec ce programme.
    $\quad$
    d. On veut résoudre l’équation $2x+1=6$ soit $2x=5$ et donc $x=\dfrac{5}{2}$.
    Il faut donc choisir le nombre $\dfrac{5}{2}$ au départ pour obtenir $6$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le nombre $x$ pour que :
    $2x+1=3x-4$
    Donc $1=x-4$ soit $5=x$.
    En choisissant le nombre $5$, la fonction $f$ et le programme calcul donnent le même résultat.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{150}{500}=0,3$.
    La probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet est donc égale à $0,3$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{20}{100}\times 500=100$.
    Il y a donc $100$ bonbons rouges dans son paquet.
    $\quad$
  3. $500-150-100-130=120$.
    Il y a donc $120$ bonbons jaunes dans son paquet.
    Or $120<130$.
    Sam a donc plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert.
    $\quad$
  4. $140+100+60+100=400$ : il reste donc $400$ bonbons dans le paquet d’Aïcha.
    La probabilité de choisir un bonbon bleu dans ce paquet est $\dfrac{140}{400}=0,35>0,3$.
    Aïcha a donc raison.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{35,4}{2~305}=\dfrac{354}{2~305}$.
    Ainsi la hauteur de la pyramide de Khéops est environ égale à $\dfrac{21,6}{k}\approx 140,6$ m.
    $\quad$
  2. Le volume de la pyramide du Louvre est :
    $V=\dfrac{35,4^2\times 21,6}{3} =9~022,752$ m$^3$ \approx $9~023$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Le coefficient d’agrandissement est $k’=\dfrac{2~30,5}{35,4}$.
    Pour déterminer le volume de la pyramide de Khéops, il faut multiplier le volume de la pyramide du Louvre par $k’^3 \approx 276$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle ADC rectangle en $D$ on a :
$\sin \widehat{DCA}=\dfrac{AD}{AC}$ donc $\sin 24 = \dfrac{AD}{5,6}$ et $AD=5,6\sin 24\approx 2,278$

$\cos \widehat{DCA}=\dfrac{CD}{AC}$ donc $\cos 24=\dfrac{CD}{5,6}$ et $CD=5,6\cos 24\approx 5,116$
Le voilier 2 a donc parcouru $CD+DA\approx 7,394$ km soit $7,4$ km arrondi au dixième.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2$ donc $5,6^2=4,8^2+BC^2$
Par conséquent $BC^2=5,6^2-4,8^2=8,32$.
Le voilier 1 a donc parcouru $BC+AB=\sqrt{8,32}+4,8\approx 7,7$ km arrondi au dixième.

Le voilier 1 a par conséquent parcouru une plus grande distance que le voilier 2.
$\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. $\dfrac{200}{19,78}\approx 10,11$.
    La vitesse de l’athlète le plus rapide est environ égale à $10,11$ m/s.
    $\quad$
  2. $\dfrac{19,78+20,02+20,12+20,12+20,13+20,19+20,23+20,43}{8}=20,127~5$.
    La moyenne des performances de ces athlètes est environ égale à $20,13$ s.
    $\quad$
  3. L’étendue des performances en 2016 est $e=20,43-19,78=0,65$.
    On constate donc que les performances ont en moyenne baissé mais que l’ écart entre le plus rapide et le plus lent est sensiblement resté le même entre 1964 et 2016.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Le plus haut niveau d’eau dans le port est d’environ $6$ m à $20$ h.
    $\quad$
  2. La hauteur d’eau a été de $5$ m a environ $6$ h, $10$h $30$m, $18$ h et $23$ h.
    $\quad$
  3. a. $14$ h $30-8$ h $16 = 6$h $14$
    Il s’est écoulé $6$h $14$ min entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
    b. $5,89-0,90=4,99$
    Entre les deux marées il y a une différence de $4,99$ m.
    $\quad$
  4. Le coefficient de marée est $C=\dfrac{5,89-0,90}{5,34}\times 100\approx 93$.
    Il s’agissait donc d’une marée de vives-eaux.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     12 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question des réponses sont proposées, une seule est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Pour la question 4, une justification est attendue.

  1. La décomposition en produit de facteurs premiers de $24$ est :
    A. $2\times 3\times 4$
    B. $2\times 2\times 2\times 3$
    C. $2\times 2\times 6$
    $\quad$
  2. Lequel de ces nombres est premier?
    A. $2~255$
    B. $8~191$
    C. $7~113$
    $\quad$
  3. La roue B fait $2$ tours, combien de tours fait la roue A?

    A. $3$ tours
    B. $4$ tours
    C. $5$ tours
    $\quad$
  4. Pour cette question, une justification est attendue.


    A. $PV=3$ cm
    B. $PV=20,16$ cm
    C. $PV=3,5$ cm
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

  1. On a utilisé une feuille de calcul pour obtenir les images de différentes valeurs de $x$ par une fonction affine $f$.
    Voici une copie de l’écran obtenu :

    a. Quelle est l’image de $-1$ par la fonction $f$?
    $\quad$
    b. Quel est l’antécédent de $5$ par la fonction $f$?
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $f(x)$.
    $\quad$
    d. Calculer $f(10)$.
    $\quad$
  2. On donne le programme suivant qui traduit un programme de calcul.

    a. Écrire sur votre copie les deux dernières étapes du programme de calcul :
    $$\begin{array}{|l|} \hline \bullet \text{ Choisir un nombre}\\
    \bullet \text{ Ajouter $3$ à ce nombre.}\\
    \bullet \ldots\\
    \bullet \ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $8$ au départ, quel sera le résultat?
    $\quad$
    c. Si on choisit $x$ comme nombre de départ, montrer que le résultat obtenu avec ce programme de calcul sera $2x+1$.
    $\quad$
    d. Quel nombre doit-on choisir au départ pour obtenir $6$?
    $\quad$
  3. Quel nombre faudrait-il choisir pour que la fonction $f$ et le programme de calcul donnent le même résultat?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Sam préfère les bonbons bleus.
Dans son paquet de $500$ bonbons, $150$ sont bleus, les autres sont rouges, jaunes ou verts.

  1. Quelle est la probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet?
    $\quad$
  2. $20\%$ des bonbons de ce paquet sont rouges. Combien y a-t-il de bonbons rouges?
    $\quad$
  3. Sachant qu’il y a $130$ bonbons verts dans ce paquet, Sam a-t-il plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert ou un bonbon jaune?
    $\quad$
  4. Aïcha avait acheté le même paquet il y a quinze jours, il ne lui reste que $140$ bonbons bleus, $100$ jaunes, $60$ rouges et $100$ verts. Elle dit à Sam « Tu devrais piocher dans mon paquet, plutôt que dans le tien, tu aurais plus de chance d’obtenir un bleu».
    A-t-elle raison?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     12 points

Photo de Benh LIEU SONG

La pyramide du Louvre à Paris est une pyramide à base carrée de côté $35,4$ m et de hauteur $21,6$ m.
C’est une réduction de la pyramide de Khéops en Égypte, qui mesure environ $230,5$ m de côté.

  1. Montrer que la hauteur de la pyramide de Khéops est d’environ $140,6$ m.
    $\quad$
  2. Calculer le volume en m$^3$ de la pyramide du Louvre. (Arrondir à l’unité)
    $\quad$
  3. Par quel nombre peut-on multiplier le volume de la pyramide du Louvre pour obtenir celui de la pyramide de Khéops? (Arrondir à l’unité)

Rappel :

Volume d’une pyramide $=\dfrac{\text{Aire de la base  $\times$ Hauteur}}{3}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Lorsqu’un voilier est face au vent, il peut pas avancer.

Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.

Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième, que chacun a parcourue.

$\quad$

$\quad$

Exercice 6     12 points

Le tableau ci-dessous regroupe les résultats de la finale du 200 m hommes des Jeux olympiques de Rio de Janeiro en 2016, remporté par Usain BOLT en $19,78$ secondes. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Rang}&\textbf{Athlète}&\textbf{Nation}&\textbf{Performance en seconde}\\
\hline
1&\text{U. Bolt}&\text{Jamaïque}&19,78\\
\hline
2&\text{A. De Grasse}&\text{Canada}&20,02\\
\hline
3&\text{C. Lemaitre}&\text{France}&20,12\\
\hline
4&\text{A. Gemili}&\text{Grande-Bretagne}&20,12\\
\hline
5&\text{C. Martina}&\text{Hollande}&20,13\\
\hline
6&\text{L. Meritt}&\text{USA}&20,19\\
\hline
7&\text{A. Edward}&\text{Panam}&20,23\\
\hline
8&\text{R. Guliyev}&\text{Turquie}&20,43\\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer la vitesse moyenne en m/s de l’athlète le plus rapide. Arrondir au centième.
    $\quad$
  2. Calculer la moyenne des performances des athlètes. Arrondir au centième.
    $\quad$
  3. En 1964 à Tokyo, la moyenne des performances des athlètes sur le 200 m hommes était de $20,68$ s et l’étendue était de $0,6$ s. En comptant ces résultats à ceux de 2016, qu’observe-t-on?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     15 points

Le graphique ci-dessous donne les hauteurs d’eau au port de La Rochelle le mercredi $15$ août 2018.

  1. Quel a été le plus haut niveau d’eau dans le port?
    $\quad$
  2. À quelles heures approximativement la hauteur d’eau a-t-elle été de $5$ m?
    $\quad$
  3. En utilisant les données du tableau ci-dessous, calculer :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Heure}&\begin{array}{c}\text{Hauteur}\\\text{(en m)}\end{array}\\
    \hline
    \text{Marée haute}&8\text{h}16&5,89\\
    \hline
    \text{Marée basse}&14\text{h}30&0,90\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Le temps qui s’est écoulé entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
    b. La différence de hauteur d’eau entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
  4. À l’aide des deux documents suivants, comment qualifier la marée du 15 août 2018 entre $8$h$16$ et $14$h$30$ à La Rochelle?
    $\quad$

    Document 1 :
    Le coefficient de marée peut-être calculé de la façon suivante à La Rochelle :
    $\hspace{2cm} C=\dfrac{H_h-H_b}{5,34}\times 100$
    Avec :
    $\quad$ $\bullet$ $H_h$ : hauteur d’eau à marée haute.
    $\quad$ $\bullet$ $H_b$ : hauteur d’eau à marée basse.
    $\quad$
    Document 2 :
    Le coefficient de marée prend une valeur comprise entre $20$ et $120$.
    $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient supérieur à $70$ est qualifiée de marée de vives-eaux.
    $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient inférieur à $70$ est qualifiée de marée de mortes-eaux.
    $\quad$

 

DNB – Grèce – Juin 2019

Grèce – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Les nombres possibles sont : $16$, $17$, $18$, $19$, $26$, $27$, $28$, $29$, $36$, $37$, $38$, $39$, $46$, $47$, $48$ et $49$.
    $\quad$
  2. Sur les $16$ nombres possibles seuls $4$ sont supérieurs à $40$.
    La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est donc $p=\dfrac{4}{16}=0,25$.
    $\quad$
  3. Les nombres qu’il est possible d’obtenir divisibles par $3$ sont :
    $18$, $27$, $36$, $39$ et $48$.
    La probabilité d’obtenir un nombre divisible par $3$ est donc égale à $\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $TSR$ rectangle en $T$ on a :
    $\cos \widehat{TSR}=\dfrac{TS}{RS}=\dfrac{14}{28}=0,5$
    Donc $\widehat{TSR}=60$°.
    $\quad$
  2. La somme des angles d’un triangle vaut $180$°. Donc $\widehat{TRS}=30$°.
    Dans le triangle $SPU$, pour la même raison $\widehat{PSU}=60$°.
    Ainsi les angles des triangles $TRS$ et $SUP$ sont égaux.
    Ces triangles sont donc semblables.
    $\quad$
  3. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{SP}{ST}=\dfrac{10,5}{14}=0,75$.
    $\quad$
  4. Ainsi $Su=0,75\times SR=21$ cm.
    $\quad$
  5. L’angle $\widehat{TSP}$ est plat.
    Par conséquent $\widehat{KSL}=180-\widehat{TSR}-\widehat{USP}=60$°.
    La somme des angles d’un triangle est égale à $180$°.
    Par conséquent, dans le triangle $KLS$, on a $\widehat{KLS}=60$°.
    Tous les angles de ce triangles ont la même mesure.
    Par conséquent le triangle $SKL$ est équilatéral.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Vitesse moyenne de Marc : $v=\dfrac{400}{2}=200$ m/min
    Pour parcourir $1~000$ m Marc mettra $\dfrac{1~000}{200}=5$ min.
    L’échauffement de Marc dure donc $5$ minutes.
    $\quad$
  2. $200$ m/min $ = 200\times \dfrac{0,001}{\dfrac{1}{60}}=12$ km/h.
    La vitesse moyenne de Marc est de $12$ km/h.
    $\quad$
  3. Le périmètre de la piste est $P=2\times 90+70\pi\approx 399,91 \approx 400$ m. (ce qui confirme l’information donnée au début).
    Marc effectue un tour en $2$ min.
    Il repasse donc au point $A$ au bout de $2$ min, $4$ min, $6$ min, $8$ min, $10$ min.
    Jim effectue un tour en $1$ min $40$ s.
    Il repasse donc au point $A$ au bout de $1$ min $40$ s, $3$ min $20$ s, $5$ min, $6$ min $40$ s, $8$ min $20$ s, $10$ min.
    Ils se retrouvent donc tous les deux au point $A$ au bout de $10$ min.
    Marc a effectué $5$ tours et Jim $6$ tours.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le programme suivant :
    $\quad$
  2. On a effectué une rotation de centre le sommet commun à tous les losanges (celui de coordonnées $(0;0)$) et d’angles $\dfrac{360}{12}=30$ °.
    $\quad$
  3. Le programme 1 est associé à la figure B.
    Le programme 2 est associé à la figure C.
    Le programme 3 est associé à la figure A.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps.
    $2\underset{+1}{\longrightarrow}3\underset{x^2}{\longrightarrow}9\underset{-2^2}{\longrightarrow}5$.
    Lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient bien le nombre $5$ au final.
    $\quad$
  2. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps quand on choisit le nombre $-3$ au départ.
    $-3\underset{+1}{\longrightarrow}-2\underset{x^2}{\longrightarrow}4\underset{-(-3)^2}{\longrightarrow}-5$.
    Lorsqu’on choisit le nombre $-3$ au départ, on obtient bien le nombre $-5$ au final.
  3. Pour tout nombre $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)^2-x^2\\
    &=(x+1)(x+1)-x^2\\
    &=x^2+x+x+1-x^2\\
    &=2x+1\end{align*}$
    $\quad$
  4. Question 1. La fonction $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    $f(2)=5$ La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.
    Il s’agit donc de la représentation C.
    Réponse C
    $\quad$
    Question 2. Sur la représentation A, l’image de $1$ par la fonction représentée est $4$.
    Réponse A
    $\quad$
    Question 3. En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$ par la fonction représentée est $-1$.
    Réponse A
    $\quad$

 

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Dans les triangles $ABS$ et $EFS$ on a :
    – les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles
    – Le point $E$ appartient au segment $[AS]$
    – Le point $F$ appartient au segment $[SB]$
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{SF}{SB}=\dfrac{EF}{AB}$
    Puisque $B$ est le milieu de $[AC]$ on a $AB=\dfrac{AC}{2}=6$ cm et :
    $\dfrac{5}{20}=\dfrac{EF}{6}$
    Par conséquent $EF=\dfrac{6\times 5}{20}=1,5$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume de sauce est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\pi \times EF^2\times SF}{3} \\
    &=\dfrac{1,5^2\times 5\pi}{3} \\
    &=\dfrac{15\pi}{4}\\
    &\approx 11,78\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
  3. Volume d’une bouteille de mayonnaise : $V_m=\pi\times 2,5^2\times 15=93,75\pi \approx 294,52$ cm$^3$
    $20\%$ des acheteurs prennent de la mayonnaise.
    Le volume de mayonnaise nécessaire est donc $V_1=400\times 0,2\times 11,78=942,4$ cm$^3$.
    Or $\dfrac{942,4}{294,52}\approx 3,2$.
    Il faudra donc $4$ bouteilles de mayonnaise.
    $\quad$
    $80\%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate.
    Le volume de sauce tomate nécessaire est donc $V_2=400\times 0,8\times 11,78=3~769,6$ cm$^3$.
    Le volume d’une bouteille de sauce tomate est égal à $500$ mL soit $500$ cm$^3$.
    Or $\dfrac{3~769,6}{500} \approx 7,5$.
    Il faudra donc $8$ bouteilles de sauce tomate.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     12 points

Mathilde fait tourner deux roues de loterie A et B comportant chacune quatre secteurs numérotés comme sur le schéma ci-dessous :

La probabilité d’obtenir chacun des secteurs d’une roue est la même. Les flèches indiquent les deux secteurs obtenus.
L’expérience de Mathilde est la suivante : elle fait tourner les deux roues pour obtenir un nombre à deux chiffres. Le chiffre obtenu avec la roue A est le chiffre des dizaines et celui avec la roue B est le chiffre des unités.
Dans l’exemple ci-dessus, elle obtient le nombre $27$ (Roue A : $2$ et Roue B : $7$).

  1. Écrire tous les nombres possibles issus de cette expérience.
    $\quad$
  2. Prouver que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est $0,25$.
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que Mathilde obtienne un nombre divisible par $3$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Données :
$TSR$ et $SPU$ sont des triangles rectangles respectivement en $T$ et en $P$.
$TS = 14$ cm
$SP = 10,5$ cm
$RS = 28$ cm
$\widehat{SKL} = 60$° ; $\widehat{SUP}= 30$°
Les points $T$, $S$ et $P$ sont alignés
Les points $R$, $K$ et $S$ sont alignés
Les points $S$, $L$ et $U$ sont alignés

  1. Montrer que la mesure de l’angle $\widehat{TSR}$ est $60$°.
    $\quad$
  2. Démontrer que les triangles $SRT$ et $SUP$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Déterminer le coefficient de réduction liant les triangles $SRT$ et $SUP$.
    $\quad$
  4. Calculer la longueur $SU$.
    $\quad$
  5. Quelle est la nature du triangle $SKL$ ? À justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Marc et Jim, deux amateurs de course à pied, s’entraînent sur une piste d’athlétisme dont la longueur du tour mesure $400$ m.

Marc fait un temps moyen de $2$ minutes par tour.
Marc commence son entrainement par un échauffement d’une longueur d’un kilomètre.

  1. Combien de temps durera l’échauffement de Marc ?
    $\quad$
  2. Quelle est la vitesse moyenne de course de Marc en km/h ?
    $\quad$

À la fin de l’échauffement, Marc et Jim décident de commencer leur course au même point de départ A et vont effectuer un certain nombre de tours.
Jim a un temps moyen de $1$ minute et $40$ secondes par tour.
Le schéma ci-dessous représente la piste d’athlétisme de Marc et Jim constituée de deux segments $[AB]$ et $[CD]$ et de deux demi-cercles de diamètre $[AD]$ et $[BC]$.
(Le schéma n’est pas à l’échelle et les longueurs indiquées sont arrondies à l’unité.)

$ABCD$ est un rectangle
$AB = 90$ m et $AD = 70$ m

  1. Calculer le temps qu’il faudra pour qu’ils se retrouvent ensemble, au même moment, et pour la première fois au point $A$.
    Puis déterminer combien de tours de piste cela représentera pour chacun d’entre eux.
    $\quad$
    Toute trace de recherche, même non aboutie, devra apparaître sur la copie. Elle sera prise en compte dans l’évaluation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour occuper son petit frère, Lucie, qui aime bien l’informatique, décide de fabriquer des rosaces à colorier. Elle décide de partir d’un motif ayant la forme d’un losange.
A l’aide d’un logiciel de programmation assisté (type scratch), elle a représenté le motif suivant :

Il s’agit d’un losange dont les côtés ont pour longueur $50$ pixels et dont les angles aigus mesurent $30$°et les angles obtus $150$°.
Afin de représenter ce losange, elle a écrit le programme suivant :

  1. Compléter dans l’annexe jointe le programme ci-dessus en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.
    $\quad$
  2. En utilisant le losange ci-dessus, elle obtient la rosace suivante qui n’est pas en vraie grandeur :

    Quelle transformation géométrique, partant du premier losange $ABCD$ et répétée $12$ fois, a été utilisée pour obtenir cette figure ? Définir le mieux que vous pouvez cette transformation.
    $\quad$
  3. Pour finir, Lucie souhaite encore compléter cette rosace de trois façons différentes. Pour cela trois programmes ont été effectués.
    Recopier sur votre copie le numéro des trois programmes, et pour chacun, la lettre de la figure qui lui est associée.

    Pour plus de lisibilité, le losange initial a été grisé.
    $\quad$

Annexe

Question 1
Compléter le programme ci-dessous en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.

$\quad$

Exercice 5     15 points

On donne le programme de calcul suivant :

  • Choisir un nombre
  • Ajouter $1$
  • Élever le résultat au carré
  • Soustraire au résultat le carré du nombre de départ
  1. Montrer que lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient le nombre $5$ au final.
    $\quad$
  2. Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit au départ le nombre $-3$ ?
    $\quad$
  3. On définit une fonction $f$ qui, à tout nombre $x$ choisi à l’entrée du programme, associe le résultat obtenu à la fin de ce programme.
    $\quad$
    $\hspace{2cm}$ Ainsi, pour tout x,on obtient $f(x) = (x+1)2-x^2$
    $\quad$
    Montrer que $f(x)=2x+1$.
    $\quad$
  4. Cette question est un questionnaire à choix multiples (QCM).
    Dans chaque cas, une seule réponse est correcte. Pour chacune des questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la bonne réponse.
    Aucune justification n’est demandée
    Question 1
    La représentation graphique de la fonction $f$ est :
    A. La représentation A
    B. La représentation B
    C. La représentation C

    $\quad$
    Question 2
    En utilisant la représentation A, l’image de $1$ par la
    fonction représentée est :
    A. $4$
    B. $-2$
    C. $0$
    $\quad$
    Question 3
    En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$
    par la fonction représentée est :
    A. $-1$
    B. $-5$
    C. $2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     22 points

Dans le village de Jean, une brocante est organisée chaque année lors du premier week-end de juillet.
Jean s’est engagé à s’occuper du stand de vente de frites. Pour cela, il fabrique des cônes en papier qui lui serviront de barquette pour les vendre.
Dans le fond de chaque cône, Jean versera de la sauce : soit de la mayonnaise, soit de la sauce tomate

Il décide de fabriquer $400$ cônes en papier et il doit estimer le nombre de bouteilles de mayonnaise et de sauce tomate à acheter pour ne pas en manquer.
Voici les informations dont Jean dispose pour faire ses calculs :

La sauce sera versée dans le fond du cône jusqu’au cercle de diamètre $[EG]$.

Le cône de frites :


Le schéma et les mesures de Jean :

$B$ est le milieu de $[AC]$
$F$ est le milieu de $[EG]$
$BS = 20$ cm; $FS = 5$ cm; $AC= 12$ cm

Les acheteurs :
$80 \%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate et tous les autres prennent de la mayonnaise.

Les sauces :
La bouteille de mayonnaise est assimilée à un cylindre de révolution dont le diamètre de base est $5$ cm et la hauteur est $15$ cm.
La bouteille de sauce tomate a une capacité de $500$ mL.

  1. Montrer que le rayon $[EF]$ du cône de sauce a pour mesure $1,5$ cm.
    $\quad$
  2. Montrer que le volume de sauce pour un cône de frites est d’environ $11,78$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre de bouteilles de chaque sauce que Jean devra acheter.
    Toute trace de recherche même non aboutie devra apparaître sur la copie.

Rappels :
Volume d’un cône de révolution : $\dfrac{\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}}{3}$
Volume d’un cylindre de révolution : $\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}$
$1~000$ cm$^3$ $=1$ Litre

$\quad$

DNB – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $69=3\times 23$
    $\begin{align*}1~150&=115\times 10\\
    &=5\times 23\times 2\times 5\\
    &=2\times 5^2\times 23\end{align*}$
    $\begin{align*} 4~140&=414\times 10\\
    &=2\times 207\times 2\times 5\\
    &=2\times 9\times 23\times 2\times 5\\
    &=2^2\times 3^2\times 5\times 23\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le trésor est partagé équitablement entre tous les marins. Le nombre $N$ de marins doit donc diviser à la fois $69$, $1~150$ et $4~140$.
    Le seul diviseur commun, supérieur à $1$, à ces trois nombres est $23$.
    Il y a donc $23$ marins.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$ on a :
    $\tan \widehat{ADM}=\dfrac{AM}{AD}$
    Donc $\tan 60=\dfrac{AM}{2}$
    Par conséquent $AM=2\tan 60 \approx 3,46$ m.
    $\quad$
  2. L’aire de la plaque est $\mathscr{A}_1=4\times 2=8$ m$^2$.
    L’aire du rectangle $AMND$ est $\mathscr{A}_2=AM\times AD\approx 2\times 3,46$
    Donc $\mathscr{A}_2\approx 6,92$ m$^2$.
    Ainsi la proportion de la plaque utilisée est : $\dfrac{6,92}{8}=0,865$.
    La proportion de la plaque qui n’est pas utilisée est donc environ égale à $1-0,865$ soit environ $0,14$.
    $\quad$
  3. Les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{AMD}$ d’une part et les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{PDN}$ d’autre part sont complémentaires.
    Ainsi $\widehat{AMD}=\widehat{PDN}$.
    Dans le triangle $PDN$ rectangle en $P$ les angles $\widehat{PDN}$ et $\widehat{PND}$ sont complémentaires. Donc $\widehat{PND}=\widehat{ADM}$.
    Les angles du triangles $AMD$ sont donc égaux à ceux du triangle $PDN$. Ils sont par conséquent semblables.
    $\quad$
    Les angles $\widehat{DNP}$ et $\widehat{PNM}$ sont complémentaires et le triangle $PNM$ est rectangle en $P$.
    Les triangles $PNM$ et $PDN$ sont donc également semblables.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AMD$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DM^2=AM^2+AD^2=2^2+\left(2\tan 60\right)^2=16$
    Donc $DM=4$ m.
    Ainsi le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ est :
    $k=\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{4}{2\tan 60} \approx 1,15<1,5$.
    Le coefficient d’agrandissement est donc bien plus petit que $1,5$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Volume du cylindre C$_2$ :
    $V_2=\pi \times \left(\dfrac{1,5}{2}\right)^2\times 4,2=2,362~5\pi$ cm$^2$.
    Volume de sable au départ : $V=\dfrac{2}{3}\times 2,362~5\pi=1,575\pi \approx 4,95$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le temps nécessaire pour le sable s’écoule dans le cylindre inférieur est :
    $t=\dfrac{V}{1,98}\approx \dfrac{4,95}{1,98}$ soit $t\approx 2,5$ min.
    Le sable va donc s’écouler en $2$ minutes et $30$ secondes.
    $\quad$
  2. a. $1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40$
    On a donc réalisé $40$ tests.
    $\quad$
    b. L’étendue des temps est $e=158-142=16$ secondes (les temps ont été convertis en secondes). Le premier critère est donc vérifié.
    $\dfrac{40}{2}=20$. La médiane de cette série statistique est donc la moyenne de la $20\ieme$ et de la $21\ieme$ valeur. Ainsi la médiane est la moyenne de $2$ min $29$ s et $2$ min $30$ s soit $2$ min $29,5$ s. Le deuxième critère est vérifié.
    Pour calculer la moyenne, puisque tous les temps sont compris entre $2$ min $22$ s et $2$ min $38$ s on ne va calculer la moyenne que la partie en secondes.
    $\dfrac{22\times 1+24\times 1+26\times 2+\ldots+38\times 3}{40}=30,1$.
    Ainsi la moyenne est égale à $2$ min $30,1$ s.
    $\quad$
    Les trois critères sont vérifiés. Le sablier ne sera pas éliminé.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. Avec le script 1, il y a une alternance de carré et de tiret.
    Le script 1 est donc associé au dessin B et le script B au dessin A.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que le premier nombre tiré aléatoirement soit égal à $1$ est $\dfrac{1}{2}$.
    La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. En réalisant un arbre de probabilité, on constate que seul un chemin sur les $4$ nous permet d’obtenir que les deux premiers éléments soient des carrés.
    Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. On peut insérer le bloc suivant entre la ligne 6 et la ligne 7.

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $4$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $1$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $2$ par l’homothétie de centre $D$ et de rapport $3$.
    Remarque : On pouvait également choisir le rectangle $3$ et le centre $B$ ou le rectangle $4$ et le centre $C$.
    $\quad$
  2. Le rectangle $ABCD$ est agrandissement du petit rectangle $2$ de rapport $3$.
    L’aire d’un petit rectangle est donc égale à $\dfrac{1,215}{3^2}=0,135$ m$^2$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ la largeur d’un rectangle. Sa longueur est donc égale à $\dfrac{3}{2}x$ soit $1,5x$.
    Ainsi l’aire d’un petit rectangle est égale à $1,5x^2$.
    Donc $1,5x^2=0,135$ donc $x^2=0,09$.
    Puisque $x$ est positif on a alors $x=0,3$.
    La largeur d’un petit rectangle est $0,3$ m et sa longueur $0,45$ m.
    Par conséquent la largeur du rectangle $ABCD$ est $0,3\times 3=0,9$ m et sa longueur est $0,45\times 3=1,35$ m.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Avec le programme 1, on obtient $5\times 3+1=16$.
    Avec le programme 2, on obtient $(5-1)\times (5+2)=4\times 7=28$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $A(x)=3x+1$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $A(x)=0$ soit $3x+1=0$
    Donc $3x=-1$ et $x=-\dfrac{1}{3}$.
    Il faut donc choisir le nombre $-\dfrac{1}{3}$ pour obtenir le nombre $0$ comme résultat du programme $1$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} B(x)&=(x-1)(x+2)\\
    &=x²+2x-x-2\\
    &=x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout nombre $x$ on a :
    $B(x)-A(x)=x^2+x-2-(3x+1)=x^2+x-2-3x-1=x^2-2x-3$
    Or $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
    Donc $B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)$.
    $\quad$
    b. $B(x)-A(x)=0$ si, et seulement si, $(x+1)(x-3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+1=0$ ou $x-3=0$
    soit $x=-1$ ou $x=3$.
    Les seuls nombres permettant aux programmes 1 et 2 de donner le même résultat sont $-1$ et $3$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     10 points

Le capitaine d’un navire possède un trésor constitué de $69$ diamants, $1~150$ perles et $4~140$ pièces d’or.

  1. Décomposer $69$ ; $1~150$ et $4~140$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
    Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire $ABCD$ de $4$ m sur $2$ m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2).

Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :

  • Le triangle $ADM$ est rectangle en $A$
  • $AD$ = $2$ m
  • $\widehat{ADM} = 60$°
  1. Montrer que $[AM]$ mesure environ $3,46$ m.
    $\quad$
  2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.
    $\quad$
  3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.
    $\quad$
  4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ soit plus petit que $1,5$. Est-ce le cas ? Justifier
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de

  • Deux cylindres $C_₁$ et $C_₂$ de hauteur $4,2$ cm et de diamètre $1,5$ cm
  • Un cylindre $C_3$
  • Deux demi-sphères $S_₁$ et $S_₂$ de diamètre $1,5$ cm

On rappelle le volume $V$ d’un cylindre d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ : $$V = B\times h$$

  1. a. Au départ, le sable remplit le cylindre $C_₂$ aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ $4,95$ cm$^3$ .
    $\quad$
    b. On retourne le sablier. En supposant que le débit d’écoulement du sable est constant et égal à $1,98$ cm$^3$/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s’écouler dans le cylindre inférieur.
    $\quad$
  2. En réalité, le débit d’écoulement d’un même sablier n’est pas constant.
    Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d’écoulement dans ce sablier. Voici les différents temps récapitulés
    dans le tableau suivant :
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }22\text{ s}&2\text{ min }24\text{ s}&2\text{ min }26\text{ s}&2\text{ min }27\text{ s}&2\text{ min }28\text{ s}&2\text{ min }29\text{ s}&2\text{ min }30\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&1&1&2&6&3&7&6\\
    \hline\end{array}}$
    $\quad$
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }31\text{ s}&2\text{ min }32\text{ s}&2\text{ min }33\text{ s}&2\text{ min }34\text{ s}&2\text{ min }35\text{ s}&2\text{ min }38\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&3&1&2&3&2&3\\
    \hline\end{array}}$
    a. Combien de tests ont été réalisés au total ?
    $\quad$
    b. Un sablier est mis en vente s’il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.
    $\quad$
    $\quad$ $\bullet$ L’étendue des temps est inférieure à $20$ s
    $\quad$ $\bullet$ La médiane des temps est comprise entre $2$ min $29$ s et $2$ min $31$ s
    $\quad$ $\bullet$ La moyenne des temps est comprise entre $2$ min $28$ s et $2$ min $32$ s
    Le sablier testé sera-t-il éliminé ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     19 points

On veut réaliser un dessin constitué de deux types d’éléments (tirets et carrés) mis bout à bout.
Chaque script ci-dessous trace un élément, et déplace le stylo.
On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie qu’on oriente le stylo vers la droite.

  1. En prenant $1$ cm pour $2$ pixels, représenter la figure obtenue si on exécute le script Carré.
    Préciser les positions de départ et d’arrivée du stylo sur votre figure.
    $\quad$

Pour tracer le dessin complet, on a réalisé 2 scripts qui se servent des blocs « Carré » et « Tiret » ci-dessus :

On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.


$\quad$

  1. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.
    $\quad$
  2. On exécute le script 2.
    a. Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés ?
    $\quad$
  3. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléatoire, avec à chaque fois $50 \%$ de chance d’avoir un élément noir et $50 \%$ de chance d’avoir un élément rouge.
    Écrire la suite d’instructions qu’il faut alors créer et préciser où l’insérer dans le script 2.
    Indication : on pourra utiliser les instructions et
    pour choisir la couleur du stylo.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     18 points

Olivia s’est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.
Ce tableau, représenté ci-dessous, est constitué de quatre rectangles identiques nommés ①, ②, ③ et ④ dessinés à l’intérieur d’un grand rectangle $ABCD$ d’aire égale à $1,215$ m$^2$. Le ratio longueur : largeur est égal à $3 : 2$ pour chacun des cinq rectangles.

  1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n’est demandée.
    a. Le rectangle $\ldots$ est l’image du rectangle $\ldots$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle ③ est l’image du rectangle $\ldots$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $\ldots$ par l’homothétie de centre $\ldots$ et de rapport $3$.
    (Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)
    $\quad$
  2. Quelle est l’aire d’un petit rectangle ?
    $\quad$
  3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle $ABCD$ ?
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 6     17 points

Voici deux programmes de calcul.

  1. Vérifier que si on choisit $5$ comme nombre de départ,
    $\quad$ Le résultat du programme 1 vaut $16$.
    $\quad$ Le résultat du programme 2 vaut $28$.

On appelle $A(x)$ le résultat du programme 1 en fonction du nombre $x$ choisi au départ.
La fonction $B ∶ x \mapsto (x−1)(x + 2)$ donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre 𝑥 choisi au départ.

  1. a. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre que l’on doit choisir au départ pour obtenir $0$ comme résultat du programme 1.
    $\quad$
  2. Développer et réduire l’expression : $$B(x) = (x-1)(x+2)$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)-A(x) = (x+ 1)(x-3)x.
    $\quad$
    b. Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

 

 

DNB – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

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Ex 1

Exercice 1

  1. Les nombres écrits sur le deuxième dé sont : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ et $11$.
    Les nombres écrits sur le troisième dé sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
    $\quad$
  2. a. Le seul nombre dont le carré est égal à $25$ est $5$.
    Elle a donc lu le nombre $5$.
    $\quad$
    b. Seuls les nombres $6$, $8$, $10$ et $12$ ont des carrés supérieurs à $25$.
    La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé est $\dfrac{4}{6}$ soit $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. a. $525=5\times 5\times 3\times 7$. C’est la seule décomposition possible (aux permutations de nombres près) de $525$.
    Lors des quatre lancers, Mohamed a donc obtenu les nombres $3$, $5$ deux fois et $7$.
    $\quad$
    b. Ces trois nombres apparaissent à la fois sur le deuxième et le troisième dé. Il n’est donc pas possible de déterminer quel dé à été choisi.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. C’est le script suivant qui permet d’obtenir le motif souhaité :
    $\quad$
  3. a. Il s’agit d’une rotation de centre le point commun aux quatre motifs et d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    b. Il faut modifier le script commun ainsi.

    $\quad$
  4. Voici où est placé le centre de symétrie $O$.

    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On appelle $N$ le nombre de décès sur l’ensemble des routes en France.
    Ainsi $0,55\times N=1~911$.
    Par conséquent $N=\dfrac{1~911}{0,55}\approx 3~475$.
    En 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
    $\quad$
    b. $\dfrac{400}{3~475}\approx 0,115$.
    Le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait donc baissé d’environ $11,5\%$.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{82\times 1+86\times 7+90\times 4+91\times 3+97\times 6}{1+7+4+3+6}=\dfrac{1~899}{21}\approx 90,4$.
    La vitesse moyenne de ces automobilistes est d’environ $90,4$ km/h.
    $\quad$
    b. L’étendue est égale à $27$ km/h.
    La valeur contenue dans la cellule $B1$ est donc $97-27=70$.
    La médiane est égale à $82$ km/h, valeur présente qu’une seule fois dans cette série statistique.
    Il y a donc autant de valeurs qui lui sont supérieures que de valeurs qui lui sont inférieures.
    $20$ vitesses sont supérieures à $82$ km/h.
    or $2+10+6=18$. Par conséquent, la valeur de la cellule $B2$ est égale à $20-18$ soit $2$.
    $\quad$
    c. On peut saisir la formule $=\text{SOMME}(B2:J2)$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $B$ on a :
    $\tan \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{324}{600}=0,54$
    Par conséquent $\widehat{HAB}\approx 28$°.
    $\quad$
  2. On appelle $T$ le point de la figure correspondant au sommet de la tête de Leila.
    On veut donc que l’angle $\widehat{TAL}$ soit égal à $\widehat{HAB}$.
    Dans le triangle $ALT$ rectangle en $L$ on a :
    $\tan \widehat{TAL}=\dfrac{TL}{AL}=\dfrac{1,70}{AL}$.
    On veut donc que $\dfrac{1,70}{AL}=0,54$ soit $AL=\dfrac{1,70}{0,54}$.
    Or $\dfrac{1,70}{0,54}\approx 3,148$.
    Leila doit donc se situer à moins de $3,15$ m de l’objectif.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $4\times 5+(5-2)^2=20+3^2=29$.
    $\quad$
    b. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $5^2+6=25+6=31$.
    $\quad$
  2. Avec le programme A, on obtient :
    $\begin{align*} 4x+(x-2)^2&=4x+(x-2)\times (x-2) \\
    &=4x+x^2-2x-2x+4\\
    &=x^2+4\end{align*}$
    Remarque : Si tu connais les identités remarquables, tu peux écrire directement que $(x-2)^2=x^2-2\times 2\times x+2^2=x^2-4x+4$.
    $\quad$
  3. Avec le programme B, on obtient : $x^2+6$.
    $\quad$
  4. a. Si on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$ dans le programme B on obtient alors :
    $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+6=\dfrac{4}{9}+\dfrac{54}{9}=\dfrac{58}{9}$.
    L’affirmation A est vraie.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $0$ dans le programme B on obtient alors :
    $0^2+6=6$ qui est pair.
    L’affirmation B est donc fausse.
    Remarque : On peut choisir, en fait, n’importe quel nombre pair.
    $\quad$
    c. $6$ et $x^2$ sont des nombres positifs. Leur somme est donc également positive.
    L’affirmation C est vraie.
    $\quad$
    d. On a $x^2+6=x^2+4+2$.
    Ainsi le résultat du programme B est égal au résultat du programme A augmenté de $2$.
    Un nombre pair augmenté de $2$ est pair et un nombre impair augmenté de $2$ est également impair.
    Les nombres obtenus avec les programme A et B ont donc la même parité.
    L’affirmation D est vraie.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. La représentation graphique associée au verre A est une droite passant par l’origine du repère. Il y a donc proportionnalité entre le volume et la hauteur de jus de fruits avec le verre A.
    $\quad$
    b. Si la hauteur est de $5$ cm alors le volume est de $140$ cm$^3$.
    $\quad$
    c. Si on verse $50$ cm$^3$ dans le verre B alors la hauteur de jus de fruit est de $5,6$ cm.
    $\quad$
  2. Volume du verre A :
    $\begin{align*} V_A&=\pi\times 3^2\times 10 \\
    &=90\pi \\
    &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    Volume du verre B :
    $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 5,2^2 \times 10\\
    &=\dfrac{1~352\pi}{3}\\
    &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    Les deux verres ont donc le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
    $\quad$
  3. Le volume de jus de fruit contenu dans le verre A correspond à celui d’un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $h$.
    Le volume est donc égal à $V=\pi\times 3^2\times h=9\pi\times h$.
    Par conséquent $9\pi\times h=200$ soit $h=\dfrac{200}{9\pi} \approx 7$.
    Il y a donc environ $7$ cm de jus de fruits dans le verre A.
    Remarque : On vérifie que c’est cohérent avec ce qu’on peut lire sur le graphique.
    $\quad$
  4. a. Graphiquement, avec le verre A, il obtient un volume supérieur à celui obtenu avec le verre B.
    Il doit donc choisir le verre B pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$
    b. Volume de jus de fruits dans le verre A : $\pi \times 3^2\times 8=72\pi$ cm$^3$.
    Or $1$ L $=1~000$ cm$^3$.
    Et $\dfrac{1~000}{72\pi}\approx 4,42$.
    Il pourra donc servir au maximum $4$ verres.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     13 points

Damien a fabriqué trois dés à six faces parfaitement équilibrés mais un peu particuliers.
Sur les faces du premier dé sont écrits les six plus petits nombres pairs strictement positifs : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$.
Sur les faces du deuxième dé sont écrits les six plus petits nombres impairs positifs.
Sur les faces du troisième dé sont écrits les six plus petits nombres premiers.
Après avoir lancé un dé, on note le nombre obtenu sur la face du dessus.

  1. Quels sont les six nombres figurant sur le deuxième dé ? Quels sont les six nombres figurant sur le troisième dé ?
    $\quad$
  2. Zoé choisit le troisième dé et le lance. Elle met au carré le nombre obtenu.
    Léo choisit le premier dé et le lance. Il met au carré le nombre obtenu.
    a. Zoé a obtenu un carré égal à 25. Quel était le nombre lu sur le dé qu’elle a lancé ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé ?
    $\quad$
  3. Mohamed choisit un des trois dés et le lance quatre fois de suite. Il multiplie les quatre nombres obtenus et obtient $525$.
    a. Peut-on déterminer les nombres obtenus lors des quatre lancers ? Justifier.
    $\quad$
    b. Peut-on déterminer quel est le dé choisi par Mohamed ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     18 points

« S’orienter à $90$ » signifie que l’on se tourne vers la droite.

Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l’aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le script commun ci-dessous, mais écrivent un script Motif différent.

 

  1. Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle : $1$ cm pour $10$ pixels.
    $\quad$
  2. Quel élève a un script permettant d’obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier.
    $\quad$
  3. a. On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-dessous.

    Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du motif $1$ au motif $2$, du motif $2$ au motif $3$ et du motif $3$ au motif $4$ ?
    $\quad$
    b. Modifier le script commun à partir de la ligne $7$ incluse pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser certaines ou toutes les instructions suivantes :
    $\quad$

  4. Un élève trace les deux figures A et B que vous trouverez en ANNEXE.
    Placer sur cette annexe, qui est à rendre avec la copie, le centre $O$ de la symétrie centrale qui transforme la figure A en figure B.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     17 points

Le premier juillet 2018, la vitesse maximale autorisée sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, a été abaissée de $90$ km/h à $80$ km/h.
En 2016, $1~911$ personnes ont été tuées sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, ce qui représente environ $55 \%$ des décès sur l’ensemble des routes en France.
Source : www.securite-routiere.gouv.fr

  1. a. Montrer qu’en 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
    $\quad$
    b. Des experts ont estimé que la baisse de la vitesse à $80$ km/h aurait permis de sauver $400$ vies en 2016. De quel pourcentage le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait-il baissé ? Donner une valeur approchée à $0,1\%$ près.
    $\quad$
  2. En septembre 2018, des gendarmes ont effectué une série de contrôles sur une route dont la vitesse maximale autorisée est $80$ km/h. Les résultats ont été entrés dans un tableur dans l’ordre croissant des vitesses. Malheureusement, les données de la colonne B ont été effacées.

    a. Calculer la moyenne des vitesses des automobilistes contrôlés qui ont dépassé la vitesse maximale autorisée. Donner une valeur approchée à $0,1$ km/h près.
    $\quad$
    b. Sachant que l’étendue des vitesses relevées est égale à $27$ km/h et que la médiane est égale à $82$ km/h, quelles sont les données manquantes dans la colonne B ?
    $\quad$
    c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $K2$ pour obtenir le nombre total d’automobilistes contrôlés ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     10 points

Leila est en visite à Paris. Aujourd’hui, elle est au Champ de Mars où l’on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale $BH$ est $324$ m.

Elle pose son appareil photo au sol à une distance $AB = 600$ m du monument et le programme pour prendre une photo (voir le dessin ci-dessous).

  1. Quelle est la mesure, au degré près, de l’angle $\widehat{HAB}?
    $\quad$
  2. Sachant que Leila mesure $1,70$ m, à quelle distance $AL$ de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ?
    Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près.

    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

Voici deux programmes de calcul :

  1. a. Montrer que, si l’on choisit le nombre $5$, le résultat du programme A est $29$.
    $\quad$
    b. Quel est le résultat du programme B si on choisit le nombre $5$ ?
    $\quad$
  2. Si on nomme 𝑥 le nombre choisi, expliquer pourquoi le résultat du programme A peut s’écrire $x^2+4$.
    $\quad$
  3. Quel est le résultat du programme B si l’on nomme 𝑥 le nombre choisi ?
    $\quad$
  4. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs :
    a. « Si l’on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$, le résultat du programme B est $\dfrac{58}{9}$. »
    $\quad$
    b. « Si l’on choisit un nombre entier, le résultat du programme B est un nombre entier impair. »
    $\quad$
    c. « Le résultat du programme B est toujours un nombre positif. »
    $\quad$
    d. « Pour un même nombre entier choisi, les résultats des programmes A et B sont ou bien tous les deux des entiers pairs, ou bien tous les deux des entiers impairs. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     20 points

Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres : un verre cylindrique A de hauteur $10$ cm et de rayon $3$ cm et un verre conique B de hauteur $10$ cm et de rayon $5,2$ cm.

Le graphique situé en ANNEXE représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu’ils contiennent.

  1. Répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique en ANNEXE :
    a. Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier.
    $\quad$
    b. Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de $5$ cm ?
    $\quad$
    c. Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse $50$ cm$^3$ dans le verre B ?
    $\quad$
  2. Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
    $\quad$
  3. Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à $200$ cm$^3$. Donner une valeur approchée au centimètre près.
    $\quad$
  4. Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à $8$ cm.
    a. Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$
    b. Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu’il pourra servir avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

DNB – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Avec le programme de Nina : $1\underset{-1}{\longrightarrow}0\underset{\times (-2)}{\longrightarrow}0\underset{+2}{\longrightarrow}2$
    Avec le programme de Claire $1\underset{\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{\longrightarrow}-\dfrac{1}{2}\underset{+1}{\longrightarrow}\dfrac{1}{2}$.
    De plus $\dfrac{1}{2}\times 4=2$.
    Si les deux filles choisissent $1$ comme nombre de départ, Nina obtiendra un résultat final $4$ fois plus grand que celui de Claire.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le nombre choisi par Nina.
    $x\underset{-1}{\longrightarrow}x-1\underset{\times (-2)}{\longrightarrow}-2(x-1)\underset{+2}{\longrightarrow}-2(x-1)+2$
    On veut donc déterminer la valeur de $x$ pour que :
    $-2(x-1)+2=0$ soit $-2x+2+2=0$ donc $2x=4$.
    Nina doit par conséquent choisir le nombre $2$ pour obtenir $0$ à la fin.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre choisi par Claire.
    $x\underset{\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{\longrightarrow}-\dfrac{x}{2}\underset{+1}{\longrightarrow}1-\dfrac{x}{2}$
    Nina obtient le nombre $-2x+4$ et Claire le nombre $1-\dfrac{x}{2}$.
    De plus $4\times \left(1-\dfrac{x}{2}\right)=4-2x$.
    Nina a donc raison.
    $\quad$
    Remarque : Si on choisit $x=2$ alors les deux programmes renvoient le nombre $0$. On a bien $4\times 0=0$ mais, dans le langage courant, ce n’est plus $4$ fois plus grand. En argumentant soigneusement ce point de français on pourrait dire que l’affirmation est fausse pour $0$. Je pense que les concepteurs du sujet pensaient à ce que j’ai proposé initialement, en comprenant que $4$ fois  plus grand signifie le quadruple, mais je peux me tromper.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $5~680,9\times \left(1-\dfrac{21}{100}\right)=5~680,9\times 0,79\approx 4~487,9$.
    L’Union Européenne a émis $4~487,9$ million de tonnes équivalent CO$_2$ en 2013.
    $\quad$
  2. $549,4\times \left(1-\dfrac{2}{5}\right)=329,64$
    La France devra donc émettre $329,64$ millions de tonnes équivalent CO$_2$ en 2030.
    De plus $\dfrac{329,64-490,2}{490,2}\approx -0,33$.
    Cela correspond donc bien à une diminution d’environ $\dfrac{1}{3}$ de ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 2013.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient le motif suivant :

    $\quad$
  2. a. Le programme n°2 permet d’obtenir le motif voulu.
    $\quad$
    b. Avec le programme n°1 on obtient le motif suivant :
    $\quad$
  3. Il suffit d’écrire le programme $4(1\text{S}~~2\text{E}~~1\text{N})$ pour obtenir le motif souhaité.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Rayon intérieur d’un cylindre : $r_1=45$ cm $=0,45$ m
Rayon extérieur d’un cylindre $r_2=50,5$ cm $=0,505$ m

Volume d’un cylindre :
$\begin{align*} V_1&=\pi\times 0,505^2\times 0,5-\pi\times 0,45^2\times 0,5 \\
&=\pi\times 0,5\times \left(0,505^2-0,45^2\right)\\
&=0,262~625\pi \text{ m}^3\end{align*}$

Masse d’un cylindre : $M_1=2~400\times V_1=63,03\pi$ kg
Donc $M\approx 198$ kg.

Madame Martin ne pourra donc transporter que $2$ cylindres à la fois.

Elle devra par conséquent faire $3$ allers-retours pour tous les transporter.

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. D’après le schéma les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu et ont la même longueur. $ABCD$ est donc un rectangle.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $OAB$, le plus grand côté est $AB$.
    D’une part : $AB^2=25$
    D’autre part : $OA^2+OB^2=3,5^2+3,5^2=24,5$.
    Par conséquent $AB^2\neq OA^2+OB^2$
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle $OAB$ n’est pas rectangle en $O$.
    $\quad$
    Les diagonales du rectangle $ABCD$ ne sont pas perpendiculaires. Ce n’est pas un carré.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. $19~741+11~984=31~725$.
    Il y avait donc $31~725$ milliers soit $31~725~000$ voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014.
    $\quad$
  2. $\dfrac{11~984}{31~725}\approx 0,38$.
    Donc environ $38\%$ des voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014 roulaient à l’essence.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{103~824}{7}=14~832$
    Hugo a donc parcouru en moyenne $14~832$ km par an ce qui est très proche de $15~430$ km, correspondant au parcours moyen annuel des véhicules diesel.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, environ $38\%$ des véhicules en circulation sont des véhicules essence. Le parcours moyen annuel de ces véhicules en de $8~344$ km. Comme il s’agit d’une moyenne, certains véhicules parcourent plus de kilomètres et d’autres moins que cette distance.
    Il est donc possible que la voiture de Hugo soit un véhicule essence.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    La courbe $C_2$ représente donc la fonction $f$.
    $\quad$
  2. $f(3)=-2\times 3+8=2$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation :
    $-2x+8=6$ soit $-2x=-2$ par conséquent $x=1$.
    Le nombre $1$ a pour image $6$ par la fonction $f$. On dit que $1$ est l’antécédent de $6$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  4. On peut saisir la formule $=-2*B1+8$.
    $\quad$

Énoncé

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     14 points

Nina et Claire ont chacune un programme de calcul.

$$\begin{array}{|l|l|}\hline\textbf{Programme de Nina} &\textbf{Programme de Claire}\\
\text{Choisir un nombre de départ}&\text{ Choisir un nombre de départ}\\
\text{Soustraire }1 &\text{Multiplier ce nombre par }-\dfrac{1}{2}\\
\text{Multiplier le résultat par } -2 & \text{Ajouter $1$ au résultat}\\
\text{Ajouter }2& \\
\hline
\end{array}$$

  1. Montrer que si les deux filles choisissent $1$ comme nombre de départ, Nina obtiendra un résultat final $4$ fois plus grand que celui de Claire.
    $\quad$
  2. Quel nombre de départ Nina doit-elle choisir pour obtenir $0$ à la fin ?
    $\quad$
  3. Nina dit à Claire : «Si on choisit le même nombre de départ, mon résultat sera toujours quatre fois plus grand que le tien».
    A-t-elle raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     11 points

Le tableau ci-dessous présente les émissions de gaz à effet de serre pour la France et l’Union Européenne, en millions de tonnes équivalent CO$_2$, en 1990 et 2013. $$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&1990\text{ en millions de tonnes équivalent CO$_2$)}&2013\text{ en millions de tonnes équivalent CO$_2$)} \\
\hline
\text{France}&549,4&490,2\\
\hline
\text{Union Européenne}&5~680,9&\\
\hline\end{array}\\
\hspace{5cm} \textit{Source : Agence européenne pour l’environnement, } 2015$$

  1. Entre 1990 et 2013, les émissions de gaz à effet de serre dans l’Union Européenne ont diminué de $21 \%$.
    Quelle est la quantité de gaz à effet de serre émise en 2013 par l’Union Européenne ?
    Donner une réponse à $0,1$ million de tonnes équivalent CO$_2$ près.
    $\quad$
  2. La France s’est engagée d’ici 2030 à diminuer de $\dfrac{2}{5}$ ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 1990.
    Justifier que cela correspond pour la France à diminuer d’environ $\dfrac{1}{3}$ ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 2013.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Un programme permet à un robot de se déplacer sur les cases d’un quadrillage. Chaque case atteinte est colorée en gris. Au début d’un programme, toutes les cases sont blanches, le robot se positionne sur une case de départ indiquée par un «d» et la colore aussitôt en gris.

Voici des exemples de programmes et leurs effets :

  • $1W$ : Le robot avance de $1$ case vers l’ouest.
  • $2E~1W~2N$ : Le robot avance de $2$ cases vers l’est, puis de $1$ case vers l’ouest, puis de $2$ cases vers le nord.
  • $3(1S~2E)$ : Le robot répète $3$ fois le déplacement suivant :
    « avancer de $1$ case vers le sud puis de $2$ cases vers
    l’est »,
    Soit $3$ fois :
  1. Voici un programme :
    Programme : $1W~2N~2E~4S~2W$
    On souhaite dessiner le motif obtenu avec ce programme.
    Sur votre copie, réaliser ce motif en utilisant des carreaux, comme dans les exemples précédents. On marquera un «d» sur la case de départ.
    $\quad$
  2. Voici deux programmes :
    Programme n° 1 : $1S~3(1N~3E~2S)$
    Programme n° 2 : $3(1S~1N~3E~1S)$
    a. Lequel des deux programmes permet d’obtenir le motif ci-dessous ?


    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi l’autre programme ne permet pas d’obtenir le motif ci-dessus.
    $\quad$

  3. Voici un autre programme :
    Programme n° 3 : $4(1S~1E~1N)$
    Il permet d’obtenir le résultat suivant :
    Réécrire ce programme n°3 en ne modifiant qu’une seule instruction afin d’obtenir ceci :

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour fabriquer un puits dans son jardin, Mme Martin a besoin d’acheter $5$ cylindres en béton comme celui décrit ci-dessous.
Dans sa remorque, elle a la place pour mettre les $5$ cylindres mais elle ne peut transporter que $500$ kg au maximum.

À l’aide des caractéristiques du cylindre, déterminer le nombre minimum d’allers-retours nécessaires à Mme Martin pour rapporter ses $5$ cylindres avec sa remorque.

Caractéristiques d’un cylindre :

  • diamètre intérieur : $90$ cm
  • diamètre extérieur : $101$ cm
  • hauteur : $50$ cm
  • masse volumique du béton : $2~400$ kg/m$^3$

Rappel : volume d’un cylindre $V = \pi \times $ rayon $\times $ rayon $\times $ hauteur
$\quad$

$\quad$

Exercice 5     12 points

La figure ci-dessous est codée et réalisée à main levée.
Elle représente un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales se croisent en un point $O$.


On donne : $OA = 3,5$ cm et $AB = 5$ cm.

On s’intéresse à la nature du quadrilatère $ABCD$ qui a été représenté.

  1. Peut-on affirmer que $ABCD$ est un rectangle ?
    $\quad$
  2. Peut-on affirmer que $ABCD$ est un carré ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     14 points

Voici un tableau (document 1) concernant les voitures particulières « diesel ou essence » en circulation en France en 2014. $$\textbf{Document }1\\ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\text{Nombre de voitures en circulation (en milliers)}& \text{Parcours moyen annuel (en km/véhicule)} \\
\hline
\text{Diesel}& 19~741& 15~430\\
\hline
\text{Essence}& 11~984& 8~344 \\
\hline
\end{array}\\
\hspace{9cm} \textit{Source : INSEE}$$

  1. Vérifier qu’il y avait $31~725~000$ voitures« diesel ou essence » en circulation en France en 2014.
    $\quad$
  2. Quelle est la proportion de voitures essence parmi les voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014 ?
    Exprimer cette proportion sous forme de pourcentage.
    On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Fin décembre 2014, au cours d’un jeu télévisé, on a tiré au sort une voiture parmi les voitures « diesel ou essence » en circulation en France. On a proposé alors au propriétaire de la voiture tirée au sort de l’échanger contre un véhicule électrique neuf.
    Le présentateur a téléphoné à Hugo, l’heureux propriétaire de la voiture tirée au sort.
    Voici un extrait du dialogue (document 2) entre le présentateur et Hugo :

Document 2
Le présentateur
: « Bonjour Hugo, quel âge a votre voiture ? »,
Hugo : « Là, elle a $7$ ans ! ».
Le présentateur : « Et combien a-t-elle de kilomètres au compteur ? »,
Hugo : « Un peu plus de $100~000$ km. Attendez, j’ai une facture du garage qui date d’hier . . . elle a exactement $103~824$ km »,
Le présentateur : « Ah ! Vous avez donc un véhicule diesel je pense ! »

À l’aide des données contenues dans le document 1 et dans le document 2 :

  1. a. Expliquer pourquoi le présentateur pense que Hugo a un véhicule diesel.
    $\quad$
    b. Expliquer s’il est possible que la voiture de Hugo soit un véhicule essence.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     16 points

Les représentations graphiques $C_1$ et $C_2$ de deux fonctions sont données dans le repère ci-dessous.
Une de ces deux fonctions est la fonction $f$ définie par $f(x) =-2x+8$.

  1. . Laquelle de ces deux représentations est celle de la fonction $f$ ?
    $\quad$
  2. Que vaut $f(3)$ ?
    $\quad$
  3. Calculer le nombre qui a pour image $6$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  4. La feuille de calcul ci -dessous permet de calculer des images par la fonction $f$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\
    \hline
    1&x&-2&-1&0&1&2&3\\
    \hline
    2&\phantom{aa}f(x)\phantom{aa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B2$ avant de l’étirer vers la droite jusqu’à la cellule $G2$ ?
    $\quad$

 

 

 

DNB – Centres étrangers, Pondichéry – Juin 2019

Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $28=4\times 7=2^2\times 7$
    La première et la deuxième réponse contiennent des facteurs qui ne sont pas premiers
    Réponse C
    $\quad$
  2. $58\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=58\times 0,8=46,4$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}$
    Soit $\tan 15=\dfrac{AC}{25}$ et donc $AC=25\tan 15 \approx 6,7$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. Tout d’abord on range les nombres dans l’ordre croissant : $2;3;5;6;8;12$.
    Cette série contient $6$ valeurs.
    $\dfrac{6}{2}=3$ : la médiane est donc la moyenne de la $3\ieme$ et $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $\dfrac{5+6}{2}=5,5$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Le carré B est une réduction du carré A. Le rapport de l’homothétie est donc compris entre $-1$ et $1$.
    Dans la mesure où le carré B n’est pas “inclus” dans le carré A, cela signifie que le rapport est négatif.
    Il s’agit donc d’une homothétie de rapport $-0,5$ et de centre le sommet commun aux deux carrés.
    Réponse A
    $\quad$
    Remarque : La réponse B est aussi acceptable.
    Le graphique expliquant cette situation sera donné prochainement.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Voici les différentes étapes faites : $$1\underset{x^2}{\rightarrow}1\underset{+3}{\rightarrow} 4\underset{+2}{\rightarrow} 6$$
    En choisissant $1$ comme nombre de départ, le programme donne bien $6$ comme résultat.
    $\quad$
  2. Voici les différentes étapes faites : $$-5\underset{x^2}{\rightarrow}25\underset{-15}{\rightarrow} 10\underset{+2}{\rightarrow} 12$$
    En choisissant $-5$ comme nombre de départ, le programme donne $12$ comme résultat.
    $\quad$
  3. Voici les différentes étapes faites : $$x\underset{x^2}{\rightarrow}x^2\underset{+3x}{\rightarrow} x^2+3x\underset{+2}{\rightarrow} x^2+3x+2$$
    En choisissant $x$ comme nombre de départ, le programme donne bien $x^2+3x+2$ comme résultat.
    $\quad$
  4. $(x+2)(x+1)=x^2+x+2x+2=x^2+3x+2$.
    Le résultat peut donc bien s’écrire $(x+2)(x+1)$.
    $\quad$
  5. a. En $B2$ on a saisi la formule $=(B1+2)*(B1+1)$.
    $\quad$
    b. On veut donc déterminer les solutions de l’équation $(x+2)(x+1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+2=0$ ou $x+1=0$
    soit $x=-2$ ou $x=-1$.
    Les valeurs de $x$ pour lesquelles le programme donne $0$ sont $-2$ et $-1$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie I

  1. Si $x=2$ alors $4x+1=8+1=9$.
    $\quad$
  2. a. Le périmètre du rectangle est :
    $\begin{align*} P(x)&=2\times \left((4x+1,5)+(2x)\right) \\
    &=2(6x+1,5)\\
    &=12x+3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $12x+3=18$
    soit $12x=15$
    et donc $x=\dfrac{15}{12}$ ou encore $x=\dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
  3. Le périmètre du triangle est :
    $T(x)=3\times (4x+1)=12x+3=P(x)$.
    Le triangle et le rectangle ont donc le même périmètre pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$

Partie B

Le premier script permet de tracer le rectangle et le second le triangle.
On peut choisir : $A=2$, $B=90$, $C=3$ et $D=120$.
$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Modèle}&\textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Noir}&\color{blue}{15}&5&20\\
    \hline
    \textbf{Blanc}&7&\color{blue}{10}&\color{blue}{17}\\
    \hline
    \textbf{Marron}&\color{blue}{5}&3&\color{blue}{8}\\
    \hline
    \textbf{Total}&27&\color{blue}{18}&45\\
    \hline
    \end{array}$$
    Pour obtenir ces nombres on peut faire les calculs suivants :
    – $45-27=18$
    – $18-(5+3)=10$
    – $10+7=17$
    – $45-(20+17)=8$
    – $8-3=5$
    – $27-(7+5)=15$ et on vérifie que $15+5=20$.
    $\quad$
  2. a. La probabilité de choisir un modèle de couleur noire est $\dfrac{20}{45}$ soit $\dfrac{4}{9}$.
    $\quad$
    b. La probabilité de choisir un modèle pour le sport est $\dfrac{18}{45}$ soit $0,4$.
    $\quad$
    c. La probabilité de choisit un modèle pour la ville de couleur marron est $\dfrac{5}{45}$ soit $\dfrac{1}{9}$.
    $\quad$
  3. La probabilité de choisir un modèle de couleur noire dans le magasin B est $\dfrac{30}{54}$ soit $\dfrac{5}{9}$.
    Or $\dfrac{5}{9}>\dfrac{4}{9}$.
    On a donc plus de chance d’obtenir un modèle de couleur noire dans le magasin B.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans les triangles $OAB$ et $OCD$ on a :
    – $O$ appartient aux segments $[AD]$ et $[BC]$;
    – $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{36}{64}=0,562~5$ et $\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{27}{48}=0,562~5$.
    Par conséquent $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. On a de plus $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$
    Donc $\dfrac{AB}{80}=0,562~5$
    Par conséquent $AB=80\times 0,562~5=45$ cm.
    $\quad$
  3. Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$.
    Le point $O$ appartient au segment $[AD]$ donc $AD=AO+OD=100$ cm.
    D’après le théorème de Pythagore, on a alors :
    $AD^2=CD^2+AC^2$
    Soit $100^2=80^2+AC^2$
    d’où $1~000=6~400+AC^2$
    Par conséquent $AC^2=3~600$ et $AC=60$.
    $\quad$
    L’étagère est constituée de $4$ structure métallique et de $5$ plateaux en bois.
    Sa hauteur totale est donc
    $\begin{align*} h&=4\times AC+5\times 2 \\
    &=4\times 60+10\\
    &=240+10\\
    &=250 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Ce graphique n’est pas une droite. Il ne traduit donc pas une situation de proportionnalité.
    $\quad$
  2. a. La randonné a duré $7$ heures.
    $\quad$
    b. La famille a parcouru au total $20$ km.
    $\quad$
    c. Au but de $6$ heures de marche la famille a parcouru $18$ km.
    $\quad$
    d. Les $8$ premiers kilomètres ont été parcouru au bout de $3$ heures.
    $\quad$
    e. Entre la $4\ieme$ et la $5\ieme$ heure de randonnée la famille a certainement décidé de faire une pause.
    $\quad$
  3. La vitesse moyenne de cette famille est $v=\dfrac{20}{7}\approx 2,86$ km/h, ce qui est très inférieur à $4$ km/h.
    Cette famille n’est donc pas expérimentée.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Sur les $4$ mois, soit $122$ jours, d’utilisation la pompe va consommer $122\times 3,42 =417,24$ kWh.
Cela coûtera donc $417,24\times 0,15=62,586$ €.

Le volume d’eau contenu dans la piscine est :
$\begin{align*} V&=\pi\times \left(\dfrac{230}{2}\right)^2\times 65\\
&=1098500 \pi \text{ cm}^3\\
&=1,098~5\pi \text{ m}^3\end{align*}$
Cela coûtera donc $1,098~5\pi\times 2,03\approx 7,005$ €

Au final, cette piscine reviendra à $80+ 7,005+62,586=149,591$ €.

Le budget de $200$ € sera donc suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.
$\quad$

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     15 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Une bonne réponse rapporte 3 points ; aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $28$ ?
    A. $4\times 7$
    B. $2\times 14$
    C. $2^2\times 7$
    $\quad$
  2. Un pantalon coûte $58$ €. Quel est son prix en € après une réduction de $20\%$ ?
    A. $38$
    B. $46,40$
    C. $57,80$
    $\quad$
  3. Quelle est la longueur en m du côté $[AC]$, arrondie au dixième près ?

    A. $6,5$
    B. $6,7$
    C. $24,1$
    $\quad$
  4. Quelle est la médiane de la série statistique suivante ?
    $2$ ; $5$ ; $3$ ; $12$ ; $8$ ; $6$.
    A. $5,5$
    B. $6$
    C. $10$
    $\quad$
  5. Quel est le rapport de l’homothétie qui transforme le carré A en carré B ?

    A.
    $-0,5$
    B. $0,5$
    C. $2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     14 points

On considère le programme de calcul $$\begin{array}{|l|}
\hline
\bullet \quad \text{Choisir un nombre}\\
\bullet \quad \text{Prendre le carré de ce nombre}\\
\bullet \quad \text{Ajouter le triple du nombre de départ}\\
\bullet \quad \text{Ajouter }2\\
\hline
\end{array}$$

  1. Montrer que si on choisit $1$ comme nombre de départ, le programme donne $6$ comme résultat.
    $\quad$
  2. Quel résultat obtient-on si on choisit $-5$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de départ, exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
    $\quad$
  4. Montrer que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x+2)(x+1)$ pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$
  5. La feuille du tableur suivante regroupe des résultats du programme de calcul précédent.
    a. Quelle formule a été écrite dans la cellule $B2$ avant de l’étendre jusqu’à la cellule $J2$ ?
    $\quad$
    b. Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles le programme donne $0$ comme résultat.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

Partie I

Dans cette partie, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.

On considère les deux figures ci-dessous, un triangle équilatéral et un rectangle, où $x$ représente un nombre positif quelconque.

  1. Construire le triangle équilatéral pour $x = 2$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le périmètre du rectangle en fonction de $x$ peut s’écrire $12x + 3$.
    $\quad$
    b. Pour quelle valeur de $x$ le périmètre du rectangle est-il égal à $18$ cm ?
    $\quad$
  3. Est-il vrai que les deux figures ont le même périmètre pour toutes les valeurs de $x$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Partie II

On a créé les scripts (ci-dessous) sur Scratch qui, après avoir
demandé la valeur de $x$ à l’utilisateur, construisent les
deux figures de la partie I.

Dans ces deux scripts, les lettres $A$, $B$, $C$ et $D$ remplacent des nombres.

Donner des valeurs à $A$, $B$, $C$ et $D$ pour que ces deux scripts permettent de construire les figures de la partie I et préciser alors la figure associée à chacun des scripts.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     13 points

Dans la vitrine d’un magasin A sont présentés au total $45$ modèles de chaussures. Certaines sont conçues pour la ville, d’autres pour le sport et sont de trois couleurs différentes : noire, blanche ou marron.

  1.  Compléter le tableau suivant sur l’annexe.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{aa}\textbf{Modèle}\phantom{aa}& \textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\phantom{aaa}\textbf{Total}\phantom{aaa}\\
    \hline
    \textbf{Noir}&& 5& 20\\
    \hline
    \textbf{Blanc}& 7&&\\
    \hline
    \textbf{Marron}&& 3&\\
    \hline
    \textbf{Total}& 27&& 45\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On choisit un modèle de chaussures au hasard dans cette vitrine.
    a. Quelle est la probabilité de choisir un modèle de couleur noire ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour le sport ?
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour la ville de couleur marron ?
    $\quad$
  3. Dans la vitrine d’un magasin B, on trouve $54$ modèles de chaussures dont $30$ de couleur noire.
    On choisit au hasard un modèle de chaussures dans la vitrine du magasin A puis dans celle du magasin B.
    Dans laquelle des deux vitrines a-t-on le plus de chance d’obtenir un modèle de couleur noire ?
    Justifier.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\textbf{Modèle}\phantom{\dfrac{1}{1}}& \textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\phantom{aaa}\textbf{Total}\phantom{aaa}\\
\hline
\textbf{Noir}&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 5& 20\\
\hline
\textbf{Blanc}& 7&\phantom{\dfrac{1}{1}}&\\
\hline
\textbf{Marron}&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 3&\\
\hline
\textbf{Total}& 27&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 45\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Dans l’exercice suivant, les figures ne sont pas à l’échelle.
Un décorateur a dessiné une vue de côté d’un meuble de rangement composé d’une structure métallique et de plateaux en bois d’épaisseur $2$ cm, illustré par la figure 1.

Les étages de la structure métallique de ce meuble de rangement sont tous identiques et la figure 2 représente l’un d’entre eux.

On donne :

  • $OC = 48$ cm ; $OD = 64$ cm ; $OB = 27$ cm ; $OA = 36$ cm et $CD = 80$ cm ;
  • les droites $(AC)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  1. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Montrer par le calcul que $AB = 45$ cm.
    $\quad$
  3. Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     14 points

Une famille a effectué une randonnée en montagne. Le graphique ci-dessous donne la distance parcourue en km en fonction du temps en heures.

  1. Ce graphique traduit-il une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. On utilisera le graphique pour répondre aux questions suivantes. Aucune justification n’est demandée.
    a. Quelle est la durée totale de cette randonnée ?
    $\quad$
    b. Quelle distance cette famille a-t-elle parcourue au total ?
    $\quad$
    c. Quelle est la distance parcourue au bout de 6 h de marche ?
    $\quad$
    d. Au bout de combien de temps ont-ils parcouru les 8 premiers km ?
    $\quad$
    e. Que s’est-il passé entre la $4\ieme$ et la $5\ieme$ heure de randonnée ?
    $\quad$
  3. Un randonneur expérimenté marche à une vitesse moyenne de $4$ km/h sur toute la randonnée.
    Cette famille est-elle expérimentée ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     14 points

Une famille désire acheter, pour les enfants, une piscine cylindrique hors sol équipée d’une pompe électrique. Elle compte l’utiliser cet été du mois de juin au mois de septembre inclus. Elle dispose d’un budget de $200$ €.
À l’aide des documents suivants, dire si le budget de cette famille est suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.
Laisser toute trace de recherche, même si elle n’est pas aboutie.

Document 1

Caractéristiques techniques

  • Hauteur de l’eau : $65$ cm.
  • Consommation électrique moyenne de la pompe : $3,42$ kWh par jour.
  • Prix (piscine + pompe) : $80$ €.

Document 2
Prix d’un kWh : $0,15$ €.
Le kWh (kilowatt-heure) est l’unité de mesure de l’énergie électrique.

Document 3
Prix d’un m$^3$ d’eau : $2,03$ €.

Document 4
Le volume d’un cylindre est donné par la formule suivante : $$V=\pi\times r^2\times h$$ où $r$ est le rayon du cylindre et $h$ sa hauteur.

$\quad$

2018 – 2019


Vous trouverez ici les corrections des sujets de l’année 2018 – 2019 pour le DNB

Amérique du Nord juin 2019

Centres étrangers / Pondichéry  juin 2019

Grèce juin 2019

Métropole juin 2019

Antilles-Guyane juin 2019

Asie juin 2019

Polynésie juillet 2019

Polynésie septembre 2019

Métropole septembre 2019

Amérique du Sud novembre 2019

Nouvelle-Calédonie décembre 2019

Nouvelle-Calédonie mars 2020

 

DNB – Amérique du Nord – Juin 2019

Amérique du Nord – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $AEF$, le plus grand côté est $[AF]$.
    D’une part $AF^2=10^2=100$,
    D’autre part $AE^2+EF^2=8^2+6^2=64+36=100$.
    Donc $EF^2=AE^2+EF^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AEF$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on a :
    $\sin \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{6}{10}=0,6$.
    À l’aide de la touche $\sin^{-1}$ ou $\text{Asn}$ de la calculatrice, on obtient que $\widehat{EAF}\approx 37°$.
    Remarque : on pouvait également utiliser le cosinus ou la tangente.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ART$ et $AEF$ :
    – le point $F$ appartient au segment $[AT]$,
    – le point $E$ appartient au segment $[AR]$,
    – $\dfrac{AF}{AT}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{AE}{AR}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
    Par conséquent $\dfrac{5}{7}\neq \dfrac{2}{3}$ (les produits en croix ne sont pas égaux ou les valeurs approchées au centième sont différentes par exemple).
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(ER)$ et $(RT)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. D’une part $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{11}{10}>1$
    D’autre part $\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}<1$
    Par conséquent $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{3+1}{5+2}$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. $f(-1)=5-3\times (-1)=5+3=8\neq -2$
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Les nombres premiers compris entre $1$ et $11$ sont $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
    La probabilité de choisir un nombre premier dans l’expérience 1 est donc $p_1=\dfrac{5}{11}$
    $\quad$
    Les nombres pairs compris entre $1$ et $6$ sont $2$, $4$ et $6$.
    La probabilité d’obtenir un nombre pair dans l’expérience 2 est donc $p_2=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Or $\dfrac{5}{11}<\dfrac{1}{2}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout nombre $x$ on a :
    $\begin{align*}(2x+1)^2-4&=(2x+1)^2-2^2 \\
    &=\left[(2x+1)-2\right]\times \left[(2x+1)+2\right] \\
    &=(2x+1-2)(2x+1+2)\\
    &=(2x-1)(2x+3)\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Environ $140$ kg de nourriture par habitant du pays D ont été gaspillés en 2010.
    $\quad$
  2. Environ $545$ kg de nourriture par habitant du pays A  et environ $110$ kg de nourriture par habitant du pays F ont été gaspillés en 2010.
    $\dfrac{545}{5}=109 \approx 110$.
    Le gaspillage de nourriture d’un habitant du pays F représente bien environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A.
    $\quad$
  3. a. $3~760~500$ tonnes de nourriture ont été gaspillée par les habitant du pays X en 2010.
    $\quad$
    b. Il faut saisir $=B2/1~000*C2*1~000~000$ pour convertir les kilogrammes en tonnes et les millions en unités.
    On doit saisir $=B2*C2*1~000$ (Proposition 3).
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le programme suivant :
    $\quad$
  2. Le lutin doit au minimum avancer de $27$ points. Deux points consécutifs sont séparés de $30$ pixels.
    Le lutin devra donc parcourir au minimum $27\times 30=810$ pixels.
    $\quad$
  3. En appuyant sur la touche « flèche haut » le lutin se déplace de $30$ pixels vers le haut. En appuyant sur la touche « flèche droite » le lutin se déplace de $30$ pixels vers la droite. La couleur touchée est alors noire. Le lutin revient donc à sa position initiale $(-180;-120)$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans une symétrie centrale, l’image d’un segment est un segment de même mesure.
    Par la symétrie de centre $O$, le point $C$ a pour image $F$, le point $D$ a pour image $A$ et le point $E$ a pour image $B$. Le point $O$ est invariant par cette symétrie.
    Ainsi, l’image du quadrilatère $CDEO$ par la symétrie de centre $O$ est le quadrilatère $FABO$.
    Proposition 1
    $\quad$
  2. Dans une symétrie axiale, l’image d’un segment est un segment de même mesure.
    Le point $O$ appartient à l’axe $(CF)$. Il est donc sa propre image par la symétrie d’axe $(CF)$.
    L’image du point $A$ par cette symétrie est $E$.
    L’image du segment $[AO]$ par la symétrie d’axe $(CF)$ est donc le segment $[EO]$.
    $\quad$
  3. Il s’agit de la rotation de centre $O$ et d’angle $2\times 60=120°$ dans le sens des aiguilles d’une montre.
    Par cette transformation, l’image du triangle $BOC$ est le triangle $DOE$.
    $\quad$
  4. Par la translation qui transforme l’hexagone 2 en l’hexagone 12, l’hexagone 14 est transformé en l’hexagone 19.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

Partie A

  1. Trente minutes (soit $0,5$ heure) après la prise de ce médicament, il y a $10$ mg/L de principe actif dans le sang.
    $\quad$
  2. La quantité de principe actif est la plus élevée environ $2$ heures après la prise de ce médicament.
    $\quad$

Partie B

Masse d’alcool contenue dans la boisson ① est $m_1=33\times 0,05\times 7,9=13,035$ g.

Masse d’alcool contenue dans la boisson ② est $m_2=12,5\times 0,12\times 7,9=11,85$ g.

La boisson ① contient donc une masse d’alcool supérieure à celle de la boisson ②.

$\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Il y a $5$ boulets dans l’empilement à $2$ niveaux.
    $\quad$
  2. Dans l’empilement à $3$ niveaux, il y a $9+4+1=14$ boulets.
    $\quad$
  3. Dans l’empilement à $4$ niveaux, il y a $16+14=30$ boulets.
    Dans l’empilement à $5$ niveaux, il y a $25+30=55$ boulets.
    L’empilement obtenu possède donc $5$ niveaux.
    $\quad$
  4. Volume d’un boulet de rayon $6$ cm $=0,06$ m :
    $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times 0,06^3=0,000~288\pi$.
    Masse d’un boulet :
    $m=7~300\times 0,000~288\pi=2,102~4\pi$ kg.
    Masse de l’empilement :
    $\begin{align*} M&=2,102~4\pi \times 14\\
    &=29,433~6\pi\\
    &\approx 92,47 \text{ kg}\end{align*}$
    L’empilement à $3$ niveaux de ces boulets pèse donc bien environ $92$ kg.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. La plus basse note est au plus $6$. Puisque l’étendue de cette série est égale à $9$, cela signifie que la plus haute note est inférieure ou égal à $6+9=15<16$.
    Aucune des notes manquantes ne peut donc être $16$.
    $\quad$
  2. Supposons que les deux notes manquantes soient $12,5$ et $13,5$.
    La moyenne de cette série de notes est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{10+13+15+14,5+6+7,5+12,5+13,5}{8} \\
    &=\dfrac{92}{8}\\
    &=11,5\end{align*}$
    $\quad$
    On range dans l’ordre croissant cette série de note :
    $6;\quad 7,5;\quad 10;\quad 12,5;\quad 13; \quad 13,5;\quad 14,5;\quad 15$
    $\dfrac{8}{2}=4$ la médiane est donc la moyenne de la $4^{\text{ème}}$ et  $5^{\text{ème}}$ note, c’est-à-dire $\dfrac{12,5+13}{2}=12,75 \neq 12$.
    $\quad$
    Les deux notes manquantes ne peuvent donc pas être $12,5$ et $13,5$.
    $\quad$.

Énoncé

Exercice 1     14 points

On considère la figure ci‐dessous, réalisée à main levée et qui n’est pas à l’échelle.


On donne les informations suivantes :

  • les droites $(ER)$ et $(FT)$ sont sécantes en $A$;
  • $AE=8$ cm, $AF=10$ cm, $EF=6$ cm;
  • $AR=12$ cm$, $AT=14$ cm.
  1. Démontrer que le triangle $AEF$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  2. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{EAF}$ au degré près.
    $\quad$
  3. Les droites $(EF)$ et $(RT)$ sont‐elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     17 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On  rappelle que la réponse doit être justifiée.

  1. Affirmation 1 : $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3+1}{5+2}$
    $\quad$
  2. On considère la fonction ݂: $f:x\mapsto 5-3x$
    Affirmation 2 : l’image de $-1$ par $f$ est $-2$.
    $\quad$
  3. On considère deux expériences aléatoires :
    $\bullet$ expérience n°1 : choisir au hasard un nombre entier compris entre $1$ et $11$ ($1$ et $11$ inclus).
    $\bullet$ expérience n°2 : lancer un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et annoncer le nombre qui apparaît sur la face du dessus.
    Affirmation 3 : il est plus probable de choisir un nombre premier dans l’expérience n°1  que d’obtenir un nombre pair dans l’expérience n°2.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : pour tout nombre $x$, $\qquad$ $(2x+1)^2-4=(2x+3)(2x-1)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     12 points

Le diagramme ci‐dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en kg)  par habitant en 2010.

  1. Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D  en 2010.
    $\quad$
  2. Peut‐on affirmer que le gaspillage de nourriture d’un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A ?
    $\quad$
  3. On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d’autres pays. On réalise alors le tableau ci‐dessous à l’aide d’un tableur.
    Rappel : $1$ tonne $= 1~000$ kg.

    a. Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?
    $\quad$
    b. Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu’on a saisie dans la cellule $D2$ avant de l’étirer jusqu’en $D4$.
    Proposition 1: $=B2*C2*1~000~000$
    Proposition 2: $=B2*C2$
    Proposition 3: =$B2*C2*1~000$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     10 points

On a programmé un jeu.
Le but du jeu est de sortir du labyrinthe.
Au début du jeu, le lutin se place au point de départ.
Lorsque le lutin touche un mur, représenté par un trait noir épais, il revient au point de départ.

L’arrière‐plan est constitué d’un repère d’origine $O$ avec des points espacés de $30$ unités verticalement et horizontalement.
Dans cet exercice, on considèrera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs.
Voici le programme :

Le bloc correspond à un sous‐programme qui fait dire « Gagné ! » au lutin lorsqu’il est situé au point de sortie ; le jeu s’arrête alors.

  1. Recopier et compléter l’instruction du programme pour ramener le lutin au point de départ si la couleur noire est touchée.
    $\quad$
  2. Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?
    $\quad$
  3. On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ.
    On appuie brièvement sur la touche ↑ (« flèche haut ») puis sur la touche → (« flèche droite »). Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     10 points

Dans cet exercice aucune justification n’est attendue.

On considère l’hexagone $ABCDEF$ de centre $O$ représenté ci‐dessous.

  1. Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l’image du quadrilatère $CDEO$ par la symétrie de centre $O$.
    Proposition 1: $FABO$
    Proposition 2: $ABCO$
    Proposition 3: $FODE$
    $\quad$
  2. Quelle est l’image du segment $[AO]$ par la symétrie d’axe $(CF)$ ?
    $\quad$
  3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le triangle $OAB$ en le triangle $OCD$.
    Quelle est l’image du triangle $BOC$ par cette rotation ?
    $\quad$

La figure ci‐dessous représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l’hexagone ci‐dessus.
On a numéroté certains de ces hexagones.

  1. Quelle est l’image de l’hexagone $14$ par la translation qui transforme l’hexagone $2$ en l’hexagone $12$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     12 points

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A : absorption du principe actif d’un médicament
Lorsqu’on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.
Le graphique ci‐dessous représente la quantité de principe actif d’un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.

a. Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament ?
$\quad$
b. Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est‐elle la plus élevée ?
$\quad$

Partie B : comparaison de masses d’alcool dans deux boissons
On fournit les données suivantes :

Question : la boisson ① contient‐elle une masse d’alcool supérieure à celle de la boisson ② ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 7     15 points

Pour ranger les boulets de canon, les soldats du XVIe siècle utilisaient souvent un type d’empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :

  1. Combien de boulets contient l’empilement à $2$ niveaux ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi l’empilement à $3$ niveaux contient $14$ boulets.
    $\quad$
  3. On range $55$ boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l’empilement obtenu ?
    $\quad$
  4. Ces boulets sont en fonte ; la masse volumique de cette fonte est de $7~300$ kg/m$^3$.
    On modélise un boulet de canon par une boule de rayon $6$ cm.
    Montrer que l’empilement à $3$ niveaux de ces boulets pèse $92$ kg, au kg près.
    Rappels :
    $\blacktriangleright$ volume d’une boule $= \dfrac{4}{3}\times \pi \times $ rayon $\times$ rayon $\times$ rayon
    $\blacktriangleright$ une masse volumique de $7~300$ kg/m$^3$ signifie que $1$ m$^3$ pèse $7~300$ kg
    $\quad$

$\quad$

Exercice 8     10 points

Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d’entrée dans une école d’enseignement supérieur.
Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à $10$.
Une note est attribuée avec une précision d’un demi‐point (par exemple : $10$ ; $10,5$ ; $11$ ; $\ldots$)
On dispose des informations suivantes :
$\quad$

Information 1
Notes attribuées aux $8$ élèves de la classe qui ont passé le concours : $10$ ; $13$ ; $15$ ; $14,5$ ; $6$ ; $7,5$ ; $\blacklozenge$ ; $\bullet$
$\quad$

Information 2
La série constituée des huit notes :
‐ a pour étendue $9$
‐ a pour moyenne $11,5$
‐ a pour médiane $12$.
$75 \%$ des élèves de la classe qui ont passé le concours ont été reçus.

  1. Expliquer pourquoi il est impossible que l’une des deux notes désignées par $\blacklozenge$ ou $\bullet$ soit $16$.
    $\quad$
  2. Est‐il possible que les deux notes désignées par $\blacklozenge$ et $\bullet$ soient $12,5$ et $13,5$ ?
    $\quad$