DNB – Polynésie Juin 2013

Polynésie – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver le sujet de ce brevet ici.

Exercice 1

  1. $\dfrac{15 – 9\times 10^{-3}}{5 \times 10^2} = 0,029982$ $\quad$ Réponse B
    $~$
  2. $800$ m $=0,8$ km.
    Donc $t = \dfrac{0,8}{40} = 0,02$ h $= 0,02 \times 60 = 1,2$ min.
    $0,2$ min $= 0,2 \times 60$ s $=12$ s. $\quad$ Réponse A
    $~$
  3. Le coefficient d’agrandissement est $3$. Donc le volume est multiplié par $3^3 = 27$.$\quad$ Réponse C
    $~$
  4. $~$
    $\begin{align} 25x^2 – 16 &= (5x)^2   – 4^2 \\\\
    &= (5x – 4)(5x + 4)
    \end{align}$
    Réponse C

$~$

Exercice 2

  1. En utilisant l’algorithme d’Euclide :
    $$\begin{align} 405 &= 1 \times 315 + 90 \\\\
    315 &= 3 \times 90 + 45 \\\\
    90& = 2 \times 45 + 0
    \end{align}$$
    Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $45$.
    $~$
  2. a. Il possède donc :
    – $9 \times 35 = 315$ bénitiers de $12,5$ cm
    – $15 \times 27 = 405$ bénitiers de $17,5$ cm
    Le nombre de lots $N$ doit diviser le nombre de bénitiers de $12,5$ cm ainsi que celui de $17,5$ cm.
    On veut que ce nombre soit le plus grand possible. $N$ est donc le PGCD de $315$ et de $405$.
    Par conséquent $N = 45$
    $~$
    b. $\dfrac{315}{45} = 7$ $\quad$ et $\quad$ $\dfrac{405}{45} = 9$
    Chaque lot sera donc composé de $7$ bénitiers de $12,5$ cm et de $9$ bénitiers de $17,5$ cm.

$~$

Exercice 3

  1. $550~000 \times 6 = 3~300~000 \text{ km}^2$
    Cette poubelle géante a donc une superficie de $3~300~000 \text{ km}^2$
    $~$
  2. Dans un an la superficie sera de $3~000~000 \times \left(1 + \dfrac{10}{100} \right) = 3~630~000 \text{ km}^2$.
    $~$
  3. En $4$ ans, la superficie sera multipliée par $\left(1 + \dfrac{10}{100} \right)^4 = 1,4641 \ne 2$.
    Affirmation fausse.

$~$

Exercice 4

  1. voir figure
    $~$
  2. Le triangle est rectangle en $C$.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $\quad$ donc $\quad$ $100 = 64 + BC^2$ $\quad$ et $\quad$ $BC^2 = 100 – 64 = 36$.
    Par conséquent $BC = \sqrt{35}= 6$ cm.
    $~$
  3. a.b.c.DNB - polynésie - juin2013 - ex4
    d. Le quadrilatère $CFME$ possède $3$ angles droits (en $C$, $F$ et $E$).
    Proposition 3

$~$

Exercice 5

DNB - polynésie - juin2013 - ex5

a. $f(2) = 6,5$
$~$
b. Les antécédents de $5$ sont : $5$ et $8$.
$~$
c. $S$ semble avoir pour coordonnées $(6,5;4,75)$

$~$

 

Exercice 6

  1. a. $V_A = 1 \times 1 \times 2 = 2 \text{ m}^3$
    $V_B=\dfrac{4}{3}\pi \times 0,58^3 + 0,58^2 \times pi \times 1,15 \approx 2,03 \text{ m}^3$
    Les $2$ conteneurs ont donc pratiquement le même volume.
    $~$
    b. Le conteneur A est plus facile à poser au sol. Il est également plus facile de les regrouper. Il semble plus de les remplir.
    $~$
  2. a. $Aire_A = 2 \times 1 \times 1 + 5 \times 1 \times 2 = 10 \text{ m}^2$.
    $~$
    b. $Aire_B = 4 \times \pi \times 0,58^2 + 2 \times \pi \times 0,58 \times 1,15 \approx 8,4 \text{ m}^2$.
    $~$
    c. L’aire du conteneur B est la plus petite. Il sera donc le plus économique à fabriquer.

$~$

 

Exercice 7

Les pas de Moana ont donc une taille de $\dfrac{100}{111}$.
On a donc la configuration suivante :
DNB - polynésie - juin2013 - ex7

avec $AD = 7 \times \dfrac{100}{111}$ $\quad$ $AC = 10 \times \dfrac{100}{111}$  $\quad$ et $\quad $ $ED=1,8$.
Par conséquent : $CD = 3 \times \dfrac{100}{111}$
Remarque : ce qui est finalement réellement utile c’est le rapport $\dfrac{3}{10}$ correspondant à $\dfrac{CD}{CA}$

Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ :
– les points $C$, $E$, $B$ et $C$, $D$, $A$ sont alignés dans le même ordre.
– les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès on a :

$$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}$$

Donc : $\dfrac{300}{1000} = \dfrac{1,8}{AB}$ et finalement $AB = \dfrac{1,8 \times 1000}{300} = 6$.

Le cocotier mesure donc $6$ m.

$~$

 

Exercice 8

  1. a. Dans l’expérience N°$3$ on a tiré la boule noire N°$2$ et la boule blanche N°$3$.
    La somme des $2$ numéros faisant $5$.
    $~$
    b. $=B5+C5$
    $~$
    c. Non. Pour obtenir $2$, il faut avoir une boule blanche N°$1$ ce qui est impossible.
    $~$
    d. Les tirages boule noire – boule blanche sont : $N1-B3$ et $N2 – B2$.
    $~$
    e. La plus grande somme correspond à la somme des plus grands numéros des $2$ types de boules : $4 + 5 = 9$.
    $~$
  2. a. Fréquence de $9$^: $\dfrac{2}{50} = \dfrac{1}{25}$.
    $~$
    b. $=B6/I6$ ou $=B6/\$I\$6$ (pour pouvoir faire une recopie de la cellule).
    $~$
    c. La probabilité d’obtenir la somme $3$ est environ de $0,08$.
    Remarque : la valeur exacte étant $\dfrac{1}{12}$ car un seul tirage sur les $12$ possibles nous donne cette somme.

 

DNB – Metropole juin2013

Métropole – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet se trouve ici.

Exercice 1

  1. Graphiquement, l’aire de $MNPQ$ est égale à $10 \text{ cm}^2$ quand $AM = 1  \text{ cm}$ ou $AM = 3\text{ cm}$.
    $~$
  2. Quand $AM = 0,5 \text{ cm}$ alors l’aire est égale à $12,5 \text{ cm}^2$.
    $~$
  3. L’aire est minimale pour $AM = 2\text{ cm}$ et vaut alors $8 \text{ cm}^2$.
    $~$

 

Exercice 2

  1. $f(-3) = 22$
    $~$
  2. $f(7) = -5 \times 7 + 7 = -28$
    $~$
  3. $f(x) = -5x + 7$ (l’expression de la formule $=-5*C1+7$ nous permet de donner cette expression algébrique).
    $~$
  4. $=B1$^$2+4$ ou $=B1*B1 + 4$
    $~$

Exercice 3

  1. Salaire moyen des femmes :
    $$\dfrac{1200 + 1230+\ldots+2100}{10} = 1450€$$
    Le salaire moyen des femmes est donc intérieur à celui des hommes.
    $~$
  2. Il y a $10$ femmes et $20$ hommes dans cette entreprise.
    La probabilité de choisir une femme est donc : $\dfrac{10}{10+20} = \dfrac{1}{3}$
    $~$
  3. Le plus petit salaire étant de $1000€$, c’est donc celui d’un homme.
    L’étendue est de $2400$ pour les hommes.
    Le salaire le plus élevé, chez les hommes, est donc de $1000+2400 = 3400 €$.
    C’est aussi le salaire le plus élevé de l’entreprise.
    $~$
  4. Chez les hommes, la médiane est de $2400 €$. Sachant que tous les salaires sont différents et qu’il y a $20$ hommes, cela signifie donc que $10$ hommes gagnent plus de $2000€$.
    Une seule femme gagne plus de $2000€$.
    Il y a donc, en tout, dans l’entreprise $11$ personnes qui gagnent plus de $2000€$.
    $~$

Exercice 4

Figure 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{6}$.
Donc $\widehat{ABC} = 30°$.

$~$

Figure 2

Le triangle $OAC$ est isocèle en $O$. Donc $\widehat{AOC} = 180 – 2 \times 59 = 62°$.
Dans le cercle, l’angle au centre $\widehat{AOC}$ et l’angle inscrit $\widehat{ABC}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AC}$.

Par conséquent $\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \widehat{AOC} = 31°$.

$~$

Figure 3

Le pentagone est régulier. Donc l’angle au centre, pour chacun des triangles est de :
$$\dfrac{360}{5} = 72°$$
Chaque triangle est isocèle en $O$. Les autres angles mesurent donc : $$\dfrac{180 – 72}{2} = 54°$$

Par conséquent $\widehat{ABC} = 2 \times 54 = 108°$.

$~$

Exercice 5

  1. Les $300$ parpaings pèsent $300 \times 10 = 3000$ kg $=3$ tonnes.
    Le fourgon ne peut transporter que $1,7$ tonne.
    En $2$ trajets il peut donc transporter $2 \times 1,7 = 3,4$ tonnes.
    $~$
  2. Il a besoin de faire $2$ aller-retour. Cela représente donc $4 \times 10 = 40$ km.
    Il paiera par conséquent $55€$ de location.
    Il consommera : $\dfrac{8 \times 40}{100} = 3,2$ litres et paiera $3,2 \times 1,5 = 4,8€$.
    La location lui reviendra au total à $55 + 4,8 = 59,8 €$.
    $~$
  3. $\dfrac{48}{30} = 1,6$ €\km et $\dfrac{55}{50}=1,1$ €\km.
    Les tarifs ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée.

$~$

Exercice 6

  1. a. Le rayon du cône de sel est de $2,5$ m ($5/2$ m).
    Dans les triangles $AOS$ et $ABC$ :
    – les droites $(BC)$ et $(SO)$ sont perpendiculaires à $(AO)$. Elles sont donc parallèles entre elles.
    – $B \in [AO]$ et $C \in [AS]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$ \dfrac{AC}{AS} = \dfrac{AB}{AO} = \dfrac{BC}{SO}$$
    Or $AO = 3,2 + 2,3 + 2,5 = 8$ m
    Donc $\dfrac{3,2}{8} = \dfrac{1}{OS} et :
    $$OS = \dfrac{8 \times }{3,2} = 2,5 \text{ m}$$
    b. $V_{cône} = \dfrac{\pi \times 2,5^2 \times 2,5}{3} \approx 16 \text{ m}^3$.
    $~$
  2. $V_{cône} = \dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$ donc $R^2 = \dfrac{3 \times V_{cône}}{\pi \times h}$
    Par conséquent : $$R = \sqrt{\dfrac{3 \times V_{cône}}{\pi \times h}}$$
    On sait que $0 \le h \le 6$ et $V_{cône} = 1000$ donc $R \ge 12,6$ m.

$~$

Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

Un quart des adhérents est donc majeur et deux tiers d’entre eux ont entre $18$ et $25$ ans.

$$\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$$

$~$

Affirmation 2 : FAUSSE

Après une baisse de $30\%$ et une autre de $20\%$, le prix est multiplié par :

$$\left(1 – \dfrac{30}{100} \right) \times \left(1 – \dfrac{20}{100} \right) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$$

Il y adonc une baisse de $44\%$.

$~$

Affirmation 3 : VRAIE

$\begin{align} (n+1)^2 – (n-1)^2 & =n^2 + 2n + 1 – (n^2 – 2n + 1) \\\\
&= n^2 +2n + 1 – n^2 + 2n – 1 \\\\
&= 4n
\end{align}$

DNB – Centres Étrangers – Juin 2013

Centres Étrangers – DNB – Juin 2013

Mathématiques – Correction 

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

  1. $(x+7)(2x-7)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    On résout donc chacune des équations suivantes :
    $$\begin{align}
    x+7=0 & \qquad \text{ou} \qquad & 2x-7=0 \\\\
    x=-7 & \qquad \text{ou} \qquad & 2x=7\\\\
    & & x=3,5
    \end{align}
    $$
    Réponse A
    $~$
    Remarque : on pouvait également tester toutes les valeurs proposées et ne garder que le couple pour lequel les valeurs étaient toutes les $2$ solutions.
    $~$
  2. $~$
    $\begin{align} -2(x+7) \le -16 & \Leftrightarrow x+7 \ge 8 \text{ attention, on divise par un nombre négatif} \\\\
    & \Leftrightarrow x \ge 1
    \end{align}$
    Réponse B
    $~$
  3. $(7x-5)^2=(7x)^2-2\times 7x\times 5 + 5^2$ $=49x^2-70x+25$
    Réponse B
    $~$
  4. $9-64x^2 = 3^2 – (8x)^2$ $=(3-8x)(3+8x)$
    Réponse C
    $~$
  5. Le cône correspondant au volume d’eau est une réduction du cône correspondant au verre de rapport $\dfrac{1}{2}$
    Donc $V_{eau} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^3V_{verre} = \dfrac{1}{8}V_{verre}$
    Or $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2}$
    Réponse B
    $~$
  6. Réponse C
    $~$

Exercice 2

  1. $p(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$
    $~$
  2. Fréquence d’une carte de la famille cœur : $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}$
    $~$
    Fréquence d’une carte de la famille trèfle : $\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$
    $~$
  3. Les tirages sont aléatoires et indépendants. L’expérience de la question $2$ n’est donc pas représentative de ce qui peut se produire lors de cette nouvelle expérience. On ne peut donc pas prévoir si l’un des deux à plus de chance que l’autre de gagner.
    $~$

Exercice 3

  1. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Par conséquent $(AO)$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice.
    Donc $\widehat{BAM} = \dfrac{1}{2} \times 50 = 25°$
    $~$
  2. $[AM]$ est un diamètre du cercle. Donc le triangle $BAM$, inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ est rectangle en $B$.
    $~$
  3. Dans le triangle $ABM$ rectangle en $B$, $\cos \widehat{BAM} = \dfrac{AB}{AM}$
    Donc $\cos 25 = \dfrac{5}{AM}$ et $AM = \dfrac{5}{\cos 25} \approx 5,5$ cm
    $~$
  4. Dans le cercle $\mathscr{C}$, les angles inscrits $\widehat{BKC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{BC}$
    Donc $\widehat{BLC} = \widehat{BAC} = 50°$.
    $~$

Exercice 4

  1. La droite représentant le nombre d’abonnés par rapport au prix de la revue ne passe pas par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité.
    $~$
  2. $A(10) = -50 \times 10 + 1~250 $ $= -500 + 1~250 = 750$
    Cela signifie donc qu’il y a $750$ abonnés si le prix de la revue est fixé à $10$€.
    $~$
  3. La courbe qui représente $R$ n’est pas une droite. Ce n’est donc pas une fonction affine.
    $~$
  4. Graphiquement, la recette semble maximale quand $x=12,5$€.
    $~$
  5. Pour trouver, graphiquement, les antécédents de $6~800$ par $R$, il suffit de tracer la droite horizontale d’équation $y=6~800$ et lire les abscisses des points d’intersection avec la courbe. On lit $x=8$ et $x=17$.
    Les antécédents de $9~800$ sont donc $8$ et $17$.
    $~$
  6. Lorsque $x=5$, $R(5) = -50 \times 5^2 + 1~250 \times 5 = 5~000$.
    La recette est de $5~000$€.
    $~$
    $A5) = -50 \times 5 + 1~250 = 1~000$.
    Il y a donc $1~000$ abonnés.
    $~$

Exercice 5

  1. Étendue $= 9,4 – 6,67 = 2,73$
    Le SMIC horaire brut a donc augmenté de $2,73$€ entre $2001$ et $2011$
    $~$
  2. $\dfrac{11}{2} = 5,5$. La médiane est donc la $6^\text{ème}$ valeur : $ 8,27$
    $~$
  3. Entre $2001$ et $2002$, le pourcentage d’augmentation est : $\dfrac{6,83 – 6,67}{6,67} \approx 2,40\%$
    Entre $2007$ et $2008$, il est de : $\dfrac{8,63 – 8,44}{8,44} \approx 2,25\%$.
    Paul a donc tort.
    $~$

Exercice 6

Dans les triangles $ABM$ et $ACF$ :
$\quad$ – les droites $(BM)$ et $(CF)$ sont parallèles car perpendiculaires à $(AC)$
$\quad$ – les points $A, M, F$ et $A, B, C$ sont alignés dans le même ordre
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AM}{AF} = \dfrac{BM}{CF}$ soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{BM}{CF}$.
Par conséquent $BM = \dfrac{1}{3}CF$.
Or, on veut  que $BM = FD = CD-CF = 6 – CF$.
Donc on veut que $\dfrac{1}{3}CF = 6 – CF$ soit $\dfrac{1}{3}CF + CF = 6$ et donc $\dfrac{4}{3}CF = 6$.
$\quad$
Donc $CF = \dfrac{6 \times 3}{4} = 4,5$ cm.

Exercice 7

  1. Joé a reçu une dose de $100$ mg alors que la dose maximale journalière est de $70$ mg.
    La posologie n’a donc pas été respectée.
    $~$
  2. Surface corporelle de Lou = $\sqrt{\dfrac{105 \times 17,5}{3~600}} \approx 0,71 \text{ m}^2$.
    $~$
  3. Lou devait recevoir $0,71 \times 70 = 49,7$ mg $\approx 50$ mg.
    La posologie a donc bien été respectée.

 

DNB – Amérique du Nord – Mathématiques – Correction – Juin 2013

Brevet – Amérique du Nord

Mathématiques – Juin 2013 – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce brevet ici.

Exercice 1

  1. $1 – \dfrac{1}{9} – \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{9}$. Réponse c $~$
  2. Les $34$ tables à $4$ pieds fournissent $4 \times 34 = 136$ pieds. Les tables à $3$ pieds fournissent donc $169 – 136 = 33$ pieds. il y a donc $\dfrac{33}{3} = 11$ tables. Réponse b $~$
  3. Soit $h$ la hauteur totale de l’iceberg. On a donc $0,1h=35$ soit $h=\dfrac{35}{0,1} = 350$ m. Réponse a $~$
  4. Réponse b $~$

Exercice 2

On appelle $x$ le nombre de billets de $5$ € et $y$ le nombre de billets de $10$ €. On obtient donc le système suivant : $$\left\{ \begin{array}{l} x+y = 21\\\\5x+10y=125 \end{array}\right.$$ Donc $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 -y\\\\x+2y=25 \end{array}\right.$ soit $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 – y\\\\21 – y+2y=25 \end{array}\right.$ et donc $\left\{ \begin{array}{l} x = 21 – y\\\\y=4 \end{array}\right.$ Finalement $x=17$ et $y=4$. Il y a donc $17$ billets de $5$ € et $4$ de $10$ €.

Exercice 3

  1. Prix Casque $1$ Casque $2$ Casque $3$
    Rollers gris $132$ € $109$ € $116$ €
    Rollers noirs $144$ € $121$ € $128$ €

    Il y a donc $4$ combinaisons sur $6$  pour payer moins de $130$ €. La probabilité est donc de $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ $~$

  2. a. $144 \times \left(1 – \dfrac{20}{200} \right) = 115,2$ $~$ b. Après réduction, on a alors $5$ combinaisons permettant de payer moins de $130$ €. La probabilité devient alors $\dfrac{5}{6}$. $~$

 

Exercice 4

  1. $\dfrac{1045}{76} = 13,75$. Il est donc impossible de faire $76$ sachets. $~$
  2. a. Le nombre de sachets $N$ divise donc le nombre de dragées au chocolat et celui de dragées aux amandes. Donc $N$ divise $760$ et $1045$. De plus, on veut que $N$ soit le plus grand possible. $N$ est par conséquent le PGCD de $760$ et $1045$. On applique l’algorithme d’Euclide : $1045 = 1 \times 760 + 285$ $760 = 2 \times 285 + 190$ $285 = 1\times 190 + 95$ $190 = 2\times 95 + 0$ Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc $N = 95$ $~$ b. $\dfrac{760}{95} = 8$ et $\dfrac{1045}{95} = 11$ $~$ On peut donc faire $95$ sachets contenant chacun $8$ dragées au chocolat et $11$ aux amandes.

$~$

Exercice 5

  1. $3 \times 4 = 12$. Donc d’après ce que dit Julie $3,5^2 = 12,25$ ce qui est bien le résultat fourni par la calculatrice. $~$
  2. $7,5^2 = 7\times 8 + 0,25 = 56,25$ $~$
  3. $(n+0,5)^2 = n^2 + 2\times n \times 0,5 + 0,5^2 = n^2 + n + 0,25$ $=n(n+1)+0,25$

$~$

Exercice 6

  1. $x$ doit être compris entre $0$ et $20$, les $2$ exclus. $~$
  2. La base de la boîte est un carré d’aire $30 \times 30 = 900 \text{ cm}^2$ et la hauteur est de $5 \text{ cm}$. Donc le volume de la boîte est de $5 \times 900 = 4~500 \text{ cm}^3$. $~$
  3. a. Graphiquement, le volume est maximal pour $x=6,5$. $~$ b. On trace la droite horizontale d’équation $y=2~000$. Cette droite coupe la courbe en $2$ points d’abscisses $1,5$ et $14$. $~$

Exercice 7

  1. Le pentagone est régulier alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{5} = 72°$ $~$
  2. a. Le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ puisque les points $A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $O$. La hauteur issue de $O$ est donc également la bissectrice de $\widehat{AOB}$, la médiatrice de $[AB]$ et la médiane issue de $O$. $~$ b. Le triangle $AOM$ est rectangle en $M$. Donc $\sin \widehat{AOM} = \dfrac{AM}{AO}$ soit $\sin 36 = \dfrac{AM}{238}$. Par conséquent $AM = 238 \times \sin 36 = 139,89 \approx 140$ m. $~$ c. Le périmètre du Pentagone est donc environ égal à $5 \times 140 \times 2 = 1~400$m $~$

Exercice 8

  1. a. $A_{ABCD} = $ Aire du rectangle $-$ aire des $2$ triangles rectangles $~$ b. $AB = 3$ cm donc les bases des $2$ triangles mesurent $1$ et $3$ centimètres. $$A_{ABCD} = 7 \times 3 – \left(\dfrac{1 \times 3}{2} + \dfrac{3 \times 3}{2} \right) = 15 \text{ cm}^2$$ $~$
  2. On appelle $b_1$ et $b_2$ les bases des $2$ triangles rectangles (à gauche et à droite du trapèze). Donc : $$A = B \times h~ – \dfrac{b_1 \times h}{2} – \dfrac{b_2 \times h}{2} = \dfrac{(2B – b_1 – b_2)h}{2}$$ $~$ Or $b_1+b+b_2 = B$ donc $A = \dfrac{(B+b)\times h}{2}$.

Asie – DNB juin 2013

Asie – Juin 2013

DNB – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de brevet ici.

Exercice 1

  1. A $2,5$ km le débit est de $10$ Mbits/s.
    $~$
  2. Pour un débit de $20$ Mbits/s Paul se trouve à $1,5$ km.
    $~$
  3. Pour avoir un débit minimum de $15$ Mbits/s il faut donc se trouver à moins de $2$ km.
    $~$

Exercice 2

  1. FAUX
    $36 = 18 \times 2$ donc le PGCD de $18$ et $36$ est $18$.
    $~$
  2. VRAI
    $2 \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 9}{2 \times 2} = \dfrac{9}{2}$
    $~$
  3. FAUX
    $\left(3\sqrt{5} \right)^2 = 9 \times 5 = 45$.
    $~$
  4. FAUX
    $(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$
    $9+2x(2x+3) = 9 + 4x^2 + 6x$
    $~$

Exercice 3

  1. Dans le triangle $CMP$ rectangle en $M$
    $\tan \widehat{CPM} = \dfrac{MP}{CM} \Leftrightarrow \tan 36,1 = \dfrac{1,73}{MP} \Leftrightarrow MP = \dfrac{1,73}{\tan 36,1} \approx 2,372 \text{ m}$.
    La sonnerie ne se déclenchera donc pas.
    $~$
  2. a. $\dfrac{40 + 35 + 85 +67 + 28 + 74 + 28}{7} = 51$.
    $~$
    b. Appelons $x$ le nombre de points obtenus à la $6^\text{ème}$ partie.
    On a alors $51 \times 7 = 12 + 62 + 7 + 100 + 81 + 30 + x$.
    Soit $357 = 292 + x$ d’où $x=357 – 292 = 65$.
    Nadia a donc obtenu $65$ à la $6^\text{ème}$ partie.
    $~$
    c. On ordonne les séries.
    Pour rémi : $28-28-35-40-67-74-85$
    $\dfrac{7}{2} = 3,5$. La médiane est donc la $4^\text{ème}$ valeur : $40$.
    Pour Nadia : $7 – 12 – 30 – 62 – 65 – 81 – 100$.
    La médiane est toujours la $4^\text{ème}$ valeur : $62$.
    $~$

Exercice 4

  1. $(3+5)^2=8^2=64 \qquad (-4+5)^2=(-2)^2=4$.
    $~$
  2. a. Appelons $x$ un des nombres cherchés.
    $(x+5)^2=25 \Leftrightarrow x+5=5$ ou $x=5=-5$ $\Leftrightarrow x = 0$ ou $ x=-10$.
    $~$
    b. Un carré ne peut être négatif. Il est donc impossible d’obtenir $-25$.
    $~$
  3. a. La fonction $f$ est celle définie par $x \mapsto (x+5)^2$.
    $~$
    b. $f(-2) = (-2+5)^2 = 3^2 = 9$. Affirmation vraie.
    $~$
  4. a. $(x+5)^2 = 25 \Leftrightarrow x+5=5$ ou $x+5=-5$ $\Leftrightarrow x = 0$ ou $x=-10$.
    $~$
    b. On peut donc choisir $0$ ou $-10$ pour obtenir $25$.
    $~$

Exercice 5

  1. $50~000 \times 10 \times 12 = 6~000~000$.
    Le budget de cette ville pour traiter les poubelles est donc de $6~000~000$ €.
    $~$
  2. En une année, chaque habitant a produit $\dfrac{30}{65} = \dfrac{6}{13}$ tonne de déchets.
    Chaque jour, il produit donc $\dfrac{6}{13 \times 365} \approx 0,0013$ tonne soit $1,3$ kg.
    Affirmation vraie.
    $~$.

Exercice 6

  1. $28 \times \left(1 + \dfrac{11}{100} \right) \approx 31,1$.
    Il y a donc $31,1$ millions de cyberacheteurs au premier trimestre $2012$.
    $~$
  2. $\left(1 + \dfrac{11}{100} \right) \times \left(1 + \dfrac{11}{100} \right) = 1,2321$.
    Sur les $2$ trimestres, il y a donc eu une augmentation de $23,21 \%$.
    $~$.

Exercice 7

  1. Volume d”un cône : $V_{cône} = \dfrac{12 \times \pi \times 3,75^2}{3} = 56,25\pi \text{ cm}^3$.
    Coefficient de réduction : $\dfrac{12 – 4}{12} = \dfrac{2}{3}$.
    Volume du petit cône : $V_{cône} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^3 = \dfrac{450\pi}{27} \text{ cm}^3$.
    Volume cavité : $V_{cavité} = 56,25\pi – \dfrac{450\pi}{27} \approx 124,35 \text{ cm}^3$.
    $~$
  2. $V_{nécessaire} = 9 \times \dfrac{3}{4} \times 125 = 843,75 \text{ cm}^3 < 1~000 \text{cm}^3$.
    Léa a donc préparé assez de pâte.
    $~$

Exercice 8

Largeur du rectangle $ABCD$ :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$.
$AC^2 = DC^2 + AD^2$ soit $312^2 =288^2+ AD^2$ donc $AD^2 = 14~400$ et $AD = 120 \text{ m}$.
Par conséquent $AJ = 120 – 72 = 48 \text{ m}$.

$AE = 288 – 48 = 240 \text{ m}$

$~$

Dans les triangles $ABC$ et $EBF$ :
– les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles
– les points $B$, $E$, $A$ et $B$, $F$, $C$ sont alignés dans le même ordre.
D’après le théorème de Thalès :
$$\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{EF}{AC} \Leftrightarrow \dfrac{48}{288} = \dfrac{BF}{120} = \dfrac{EF}{312}$$
Donc $BF = \dfrac{48 \times 120}{288} = 20 \text{ m}$ et $EF = \dfrac{48 \times 312}{288} = 52 \text{ m}$

Par conséquent $CG = 120 – 20 – 52 = 8 \text{ m}$

Remarque : On pouvait également utiliser le codage de la figure pour trouver $CG$ et ensuite en déduire $BF$. Le théorème de Pythagore pouvait alors s’appliquer pour trouver $EF$.

$~$

Périmètre du quart de cercle : $\dfrac{\pi}{2} \times 48 \approx 75,4 \text{ m}$

$~$

$IH = 288 – 44 – 29 = 211 \text{m}$

$~$

Dans le triangle $JDI$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore
$$JI^2 = DI^2 + DJ^2 = 29^2 + 72^2 = 6025$$
Donc $JD = \sqrt{6025} \approx 77,6 \text{ m}$

$~$

Périmètre de la figure : $240 + 52 +52 +75,4 + 211 + 77,6 + 48 = 756 \text{m}$

La piste cyclable a donc une longueur d’environ $756 \text{m}$