DNB – Nouvelle Calédonie – Mars 2015

Nouvelle Calédonie – Mars 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1 : QCM

  1. $(x-3)(3x+2)=0$ est une équation produit.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-3=0$ ou $3x+2=0$
    Soit $x=3$ ou $3x=-2$
    d’où $x=3$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. Un trimestre correspond à $3$ mois.
    La plante mesurera donc $56\times\left(1+\dfrac{15}{100}\right) = 56\times 1,15 = 64,4$ cm
    Réponse A
    $\quad$
  3. $f(1)=-3$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Pour calculer le PGCD on utilise l’algorithme d’Euclide :
    $189 = 1\times 108 + 81$
    $108= 1\times 81 + 27$
    $81 = 3 \times 27  +0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $27$.
    Réponse C
    $\quad$
  5. $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9} \times \sqrt{5}=3\sqrt{5}$
    Réponse B
    $\quad$

Exercice 2 : Le cercle

  1. $\quad$
    dnb-nouvelle calédonie-mars2015-ex2
  2. voir figure.
    $\quad$
  3. Le point $D$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Par conséquent le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
    $\quad$
  4. La somme des angles d’un triangle vaut $180°$.
    Par conséquent $\widehat{BAD}=180-90-37 = 53°$
    $\quad$

Exercice 3 : La kermesse

  1. Les $6$ secteurs sont superposables. Donc la probabilité qu’elle gagne un ballon et de $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. Les sucreries concernent $3$ secteurs.
    La probabilité de gagner un des sucreries est donc de $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. La probabilité de gagner du chocolat puis une petite voiture est $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.
    $\quad$

Exercice 4 : La course

  1. On appelle $V$ le nombre de vélos et $T$ le nombre de tricycles.
    On obtient donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} V+T=64\\2V+3T=151\end{cases} &\ssi \begin{cases} V=64-T\\2(64-T)+3T=151\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} V=64-T\\128-2T+3T=151\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} T=151-128\\V=64-T \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} T=23\\V=41\end{cases}
    \end{align*}$
    $41$ vélos et $23$ tricycles sont engagés dans cette course.
    $\quad$
  2. $41\times 500+23\times 400=29~700$.
    L’association recevra donc $29~700$ F.
    $\quad$

Exercice 5 : La pêche aux crabes

  1. La moyenne est donnée par $\dfrac{29+9+10+\ldots+12}{15} = 14,4$.
    $\quad$
  2. On réordonne la série :$$8-8-9-10-10-10-12-13-16-16-18-18-22-23-23$$
    $\dfrac{15}{2}=7,5$.
    La médiane est donc la $8^{\text{ème}}$ valeur soit $13$.
    $\quad$
  3. $8$ crabes mesurent moins de $14$ cm.
    La proportion est donc de $\dfrac{8}{15}$.
    $\quad$

Exercice 6 : La géode

  1. Le rayon de la sphère est de $13$ m. Le volume de la salle est donc :
    $V_{salle} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 13^3 \approx 4~601$ m$^3$.
    $\quad$
  2. a. On va raisonner sur cette figure.
    dnb-nouvelle calédonie-mars2015-ex6
    Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc le pied de la hauteur $D$ est le milieu du segment $[AB]$.
    Par conséquent $AD=60$.
    Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AD^2+DC^2$
    Soit $120^2=60^2+DC^2$
    Par conséquent $14~400=3~600+DC^2$
    D’où $10~800=DC^2$
    Donc $DC=\sqrt{10~800} \approx 104$ cm.
    $\quad$
    b. L’aire du triangle est donc $A=\dfrac{AB\times DC}{2}=\dfrac{120 \times 104}{2}=6~240$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. L’aire totale de ces triangles est :
    $A_{\text{totale}} = 6~433 \times 6~240 = 40~141~920$ cm$^2$ $\approx 4~014$ m$^2$.
    $\quad$

Exercice 7 : Le club de sport

  1. Elle a saisi la formule $=5000+A4*7900$.
    $\quad$
  2. On appelle $N$ le nombre de mois durant lesquels Mathilde est abonnée.
    On cherche donc à résoudre $5~000+7~900N\le 90~000$
    Soit $7~900N\le85~000$
    Donc $N\le \dfrac{85~000}{7~900}$
    Or $\dfrac{85~000}{7~900} \approx 10,8$.
    C’est donc à partir du $11^{\text{ème}}$ mois que le tarif B devient plus intéressant que le tarif A.
    $\quad$
  3. Le tarif A est toujours le même.
    Donc la droite $g$ correspond au tarif B.
    $\quad$

Exercice 8 : Le faré

  1. Dans le triangle $ACH$, le plus grand côté est $[CH]$.
    D’une part $AC^2 = 3,6^2 = 12,96$
    D’autre part
    $\begin{align*} AH^2+CH^2&=2,88^2+2,16^2\\
    &=8,2944+4,6656\\
    &=12,96
    \end{align*}$
    Donc $AC^2=AH^2+CH^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ACH$ est rectangle en $H$.
    $\quad$
  2. a. Dans les triangles $ABC$ et $DEC$ :
    – $D$ appartient à $[AC]$;
    – $E$ appartient à $[BC]$;
    – Les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès, on a donc :
    $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{DE}{AB}$
    Les segments $[CD]$,$[DG]$ et $[AG]$ sont tous de même longueur.
    Par conséquent $\dfrac{1}{3}=\dfrac{DE}{4,08}$
    Donc $DE=\dfrac{4,08}{3}=1,36$ m.
    $\quad$
    b. La longueur totale des traverses est :
    $L=4(AB+GF+DE)=4\times(4,08+2,72+1,36)=32,64$.
    Il faut donc $32,64$ m de traverses pour refaire la toiture.
    $\quad$

 

DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2015

Nouvelle-Calédonie – Décembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. Il n’y a pas lien particulier entre l’âge de quelqu’un et son poids.
    Réponse C : on ne peut pas savoir
    $\quad$
  2. On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Donc $24=2(\ell+8)$ soit $12 = \ell +8$ et donc $\ell = 4$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Il  y a $3$ réponses possibles équiprobables. Une seule des réponses est bonne. La probabilité de choisir la bonne réponse est donc de $\dfrac{1}{3}$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. Le volume de la boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 3^3 \approx 113$ cm$^3$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. L’équation $(x+1)(5x-10)=0$ est une équation produit.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    Donc $x+1=0$ ou $5x-10=0$ soit $x=-1$ ou $x=2$.
    Réponse C
    $\quad$

Exercice 2 : Rampe d’accès

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Donc $\tan \widehat{CAB}=\dfrac{BC}{AB}$ soit $\tan 3 = \dfrac{30}{AB}$

Par conséquent $AB=\dfrac{30}{\tan 3} \approx 572$ cm

$\quad$

Exercice 3 : Langues en voie de disparition

  1. $\dfrac{43}{100} \times 6~000 = 2~580$
    Cela représente donc bien un total de $2~580$ langues.
    $\quad$
  2. $2580-231=2~349$
    Ainsi $2~349$ langues sont en voie de disparition.
    $\quad$
  3. $\dfrac{231}{6~000}=0,0385$.
    Par conséquent $3,85\%$ des langues répertoriées dans le monde sont déjà éteintes.
    $\quad$

Exercice 4 : Problème de carrelage

On se place dans un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ tel que $BC=15$.
D’après le théorème de Pythagore, on a $BC^2 = AB^2+AC^2$ soit $225 = 2AB^2$.
Par conséquent $AB^2=112,5$ et $AB=\sqrt{112,5} \approx 10,61$ cm.
Cette longueur est inférieur à la longueur du côté du carré.

On peut donc découper deux triangles rectangles isocèles dont l’hypoténuse a une longueur de $15$ cm, en procédant de la sorte :

DNB - Nouvelle Calédonie - décembre 2015 - ex 4

$\quad$

Exercice 5 : Boîte de chocolat

  1. Il y a $24$ chocolats dans la boîte .
    La probabilité de choisir un chocolat au lait est de $\dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$.
    $\quad$
  2. Il reste donc $21$ chocolats dans la boîte dont $7$ chocolats noirs.
    La probabilité de choisir un chocolat noir est donc de $\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. On va supposer qu’il a pris les deux chocolats successivement.
    La probabilité que le premier chocolat soit blanc est de $\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$.
    Il reste alors $5$ chocolats blancs parmi $23$.
    La probabilité que le second chocolat soit blanc est donc de $\dfrac{5}{23}$.
    Ainsi la probabilité que les deux chocolats soient blancs est de $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{23} = \dfrac{5}{92}$.
    $\quad$

Exercice 6 : Polygones réguliers

  1. L’angle au centre d’un polygone régulier à $n$ côtés mesure $\dfrac{360}{n}$.
    a. Dans un carré $n=4$ donc $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{4} = 90°$.
    $\quad$
    b. Dans un pentagone $n=5$ alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{5}=72°$.
    $\quad$
    c. Dans un héxagone $n=6$ alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{6} = 60°$.
    $\quad$
  2. On appelle $A$, $B$ et $C$ trois sommets consécutifs du polygone régulier tel que $\widehat{ABC}=140°$.
    La demi-droite $[OB)$ est donc une bissectrice de cet angle.
    Ainsi $\widehat{OBA}=70°$.
    Puisque le triangle $AOB$ est isocèle en $O$, cela signifie donc que $\widehat{AOB} = 180 – 2\times 70 = 40°$.
    On appelle $n$ le nombre de côté du polygone régulier.
    Ainsi $\dfrac{360}{n} = 40$ donc $n=\dfrac{360}{40} = 9$.
    Par conséquent, le périmètre du polygone régulier est de $9 \times 5 = 45$ cm.
    $\quad$

Exercice 7 : Commande de livres

On appelle $M$ le nombre de livres de mathématiques et $F$ le nombre de livres de français.
On doit donc résoudre le système :

$\begin{cases} M+F=30\\\\3~000M+2~000F=80~000\end{cases}$ soit $\begin{cases} M=30-F\\\\3~000(30-F)+2~000F=80~000\end{cases}$
$\quad$

Par conséquent $\begin{cases} M=30-F\\\\90~000-1~000F=80~000\end{cases}$ donc $\begin{cases}M=30-F\\\\1~000F=10~000\end{cases}$
$\quad$

D’où $\begin{cases} F=10\\\\M=30-10 \end{cases}$ soit $\begin{cases} F=10 \\\\M=20\end{cases}$
$\quad$

$20$ livres de mathématiques et $10$ livres de français ont été achetés.

$\quad$

Exercice 8 : Clip musical

  1. Voici les différents prix pour l’achat d’un seul clip.
    Prix avec le premier choix : $4€$.
    Prix avec le deuxième choix : $10+2 = 12€$.
    Prix avec le troisième choix : $50€$.
    Le premier choix est donc le moins cher.
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de clips}&1&2&5&10&15\\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour} \\ \text{le téléchargement} \\ \text{direc} \end{array} &4&8&20&40&60 \\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour le} \\ \text{téléchargement} \\ \text{membre} \end{array} & 12 &14& 20&30&40\\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour le} \\ \text{téléchargement} \\ \text{premium} \end{array} & 50 &50& 50&50&50\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On appelle $x$ le nombre de clips achetés.
    On veut résoudre l’inéquation $4x>10+2x$ soit $2x>10$ donc $x>5$.
    C’est donc à partir de $6$ clips que le tarif membre est plus avantageux. Pour $5$ titres, les deux premiers choix reviennent au même prix.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ correspond au troisième choix, la fonction $g$ correspond au premier choix et la fonction $h$ correspond au deuxième choix.
    $\quad$
    b. On obtient les courbes :
    DNB - Nouvelle Calédonie - décembre 2015 - ex 8
    La fonction $f$ étant constante; sa représentation graphique est une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;50)$.
    La fonction $g$ est linéaire; sa représentation graphique $\mathscr{C}_g$ est donc une droite passant par l’origine du repère et le point de coordonnées $(15;60)$.
    La fonction $h$ est affine; sa représentation graphique $\mathscr{C}_h$ est donc une droite passant par les points de coordonnées $(1;10)$ et $(15;40)$.
    $\quad$
    c. On lit les coordonnées du point d’intersection entre les droites $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_h$.
    Il s’agit du point de coordonnées $(20;50)$.
    Le tarif premium devient intéressant à partir de $20$ clips achetés par mois.
    $\quad$

Exercice 9 : Marionnette

  1. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires à la même droite $(CB)$; elles sont donc parallèles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $DEC$ :
    • $D$ appartient à $[AC]$;
    • $E$ appartient à $[BC]$;
    • les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}$$
    Soit $\dfrac{CE}{8} = \dfrac{0,3}{1,2}$
    Donc $CE = \dfrac{8 \times 0,3}{1,2} = 2$.
    La marionnette doit donc être placée à $2$ m de la source de lumière.
    $\quad$

DNB – Amérique du Sud – Décembre 2015

Amérique du Sud – Décembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

Question 1 : $\left(4\sqrt{2}\right)^2=4^2\times 2 = 16\times 2 = 32$.
Calculons le PGCD de $128$ et $96$ à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
$128 = 1\times 96 + 32$ $\quad$ $96 = 3\times 32 + 0$.
Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire ici $32$.
Donc la réponse est : “le PGCD de $128$ et de $96$”.

Question 2 : La série contient $9$ valeurs.
Or $\dfrac{9}{2} = 4,5$ donc la médiane est la $5^{\text{ème}}$ valeur soit $12$.
La moyenne de la série est : $\dfrac{7+8+\ldots+41}{9} \approx 14,7$.
Donc la réponse est : “est inférieure à la moyenne de cette série”.

Question 3 : $\dfrac{1}{3}$ des élèves ne viennent donc pas en vus.
Or $\dfrac{1}{3}\times 30 = 10$.
Donc la réponse est : “$\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\times 30$”.

Question 4 :
$\begin{align*} \begin{cases} 2x+y=11\\x-3y=-12\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x-3(11-2x)=-12\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x-33+6x=-12 \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\7x=21 \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x=3\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=11-2\times 3\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=5\end{cases}
\end{align*}$
Donc la réponse est : “le couple $(3;5)$”.
$\quad$

Exercice 2

  1. Dans la cellule $B2$ on peut saisir $=-8*B1$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que $-8x=-24$ soit $x=\dfrac{-24}{-8}=3$.
    On a donc saisi $3$ dans la cellule $E1$.
    $\quad$
  3. $f(x)\times g(x)=-8x\left(-6x+4\right)=48x^2-32x$.
    Ce n’est pas de la forme $ax+b$.
    Par conséquent la fonction $h$ n’est pas affine.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Le “DJ” possède donc $104+96=200$ titres de musique.
    La probabilité que le premier titre soit un titre de musique rap est $\dfrac{96}{200} = 0,48$.
    $\quad$
  2. a. Le nombre $N$ de concerts doit diviser $96$ et $104$ et être le plus grand possible.
    Il s’agit donc du PGCD de $96$ et $104$.
    On utilise l’algorithme d’Euclide pour le calculer :
    $104 = 1\times 96 + 8 $ $\quad$ $96=12\times 8 + 0$.
    Le PGCD est le dernier reste non nul. Il s’agit donc de $8$.
    Il pourra donc réaliser $8$ concerts au maximum.
    $\quad$
    b. $\dfrac{96}{8} = 12$ et $\dfrac{104}{8}= 13$.
    Il y aura donc $12$ titres de musique rap et $13$ de musique électro par concert.
    $\quad$

Exercice 4

  1. $D$ est le milieu de $[AB]$ donc $AD=4,5$ m.
    Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on a :
    $\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AD}$ soit $\tan 25 = \dfrac{CD}{4,5}$
    Par conséquent $CD=4,5 \tan 25 \approx 2,10$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} AC^2&=AD^2+CD^2 \\
    &=4,5^2+2,1^2 \\
    &=20,25+4,41\\
    &=24,66\\
    AC&=\sqrt{24,26}\\
    &\approx 4,97
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ADC$ et $HDI$ :
    – les droites $(HI)$ et $(AC)$ sont parallèles;
    – $H$ appartient à $[AD]$  ($H$ se situe au $\dfrac{2}{3}$ de $[DA]$ en partant de $A$);
    – $I$ appartient à $[DC]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{HI}{AC}$
    Soit $\dfrac{2}{3} = \dfrac{DI}{2,1} =\dfrac{HI}{4,97}$
    Par conséquent $DI=\dfrac{2}{3} \times 2,1 =1,4$ m.
    On a également $HI=\dfrac{2}{3} \times 4,97 \approx 3,31$ m.
    $\quad$
  4. Première méthode : avec les aires
    $HD=\dfrac{2}{3} \times 4,5 = 3$.
    L’aire du triangle $HID$ est $\dfrac{HI \times JD}{2}$
    Mais elle est aussi égale à $\dfrac{HD \times DI}{2} = \dfrac{3\times 1,4}{2}=2,1$ m$^2$.
    Par conséquent $\dfrac{3,31 \times JD}{2} = 2,1$
    Donc $JD = \dfrac{2\times 2,1}{3,31} \approx 1,27$ m.
    $\quad$
    Seconde méthode : avec la trigonométrie
    Les angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{DHI}$ sont correspondants.
    De plus les droites $(HI)$ et $(AC)$ sont parallèles.
    Par conséquent $\widehat{DHI}=\widehat{DAC}=25°$.
    Dans le triangle $HJD$ rectangle en $J$ on a :
    $\sin \widehat{JHD}=\dfrac{JD}{HD}$ soit $\sin 25=\dfrac{JD}{3}$
    Donc $JD=3 \times \sin 25 \approx 1,27$ m.
    $\quad$

Exercice 5

Affirmation 1 : $n^2-6n+9=(n-3)^2$.
Or $(n-3)^2=0$ si, et seulement si $n-3=0$ soit $n=3$.
$3$ est un entier naturel.
L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : $180$ km/h $= 180 \times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $= 50$ m/s.
L’affirmation 2 est fausse.
$\quad$

Exercice 6

Calculons les aires des différents modèles.

Pour le modèle A : $500\times 300 = 150~000$ cm$^2$.
Pour le modèle B : $850\times 350 = 297~500$ cm$^2$.
Pour le modèle C : $800\times 400 = 320~000$ cm$^2$.

Ils ont donc choisi le modèle C.

L’aire de la piscine avec les dalles est $(800+2\times 200)\times (400+2\times 200) = 960~000$ cm$^2$.

Ainsi l’aire des dalles est de $960~000-320~000 = 640~000$ cm$^2$ $=64$ m$^2$.

Le prix de ces dalles est de $13,90 \times 64 = 889,6$ euros.

Avec la réduction, ils payeront $889,6 \times (1-0,15)=756,16$ euros.

$\quad$

Exercice 7

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

Exercice 8

On appelle $n$ le nombre de trajets.

Avec la première formule, elle va payer $40n$.

Avec la seconde formule, elle va payer $442+20n$.

On cherche à résoudre $40n>442+20n$ soit $20n > 442$
Par conséquent $n> \dfrac{442}{20}$ soit $n>22,1$.

Ainsi si elle effectue entre $0$ et $22$ trajets, la première formule est la plus intéressante.
A partir de $23$ trajets, c’est la seconde formule qui est la plus intéressante.

$\quad$

DNB – Polynésie – Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. $4 \underset{+3}{\longrightarrow} 7 \underset{\text{carré}}{\longrightarrow}49 \underset{-4^2}{\longrightarrow}33$
    Elle obtient bien $33$ en partant de $4$.
    $\quad$
    b. $-5 \underset{+3}{\longrightarrow} -2 \underset{\text{carré}}{\longrightarrow}4\underset{-(-5)^2}{\longrightarrow}-21$
    Elle obtient $-21$ en partant de $-5$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Avec le programme A : $(x+3)^2-x^2 = x^2+6x+9-x^2=6x+9$
    Avec le programme B : $x\times 6 + 9 = 6x+9$
    On obtient le même résultat avec les deux programmes de calcul.
    $\quad$
  3. On veut que $6x+9=54$ soit $6x=45$ et donc $x=\dfrac{45}{6}=7,5$.
    Il faut choisir $7,5$ pour obtenir $54$ avec ces programmes.
    $\quad$

Exercice 2

Affirmation 1 : on ne connait les longueurs d’aucun côté de ce triangle rectangle. Il est donc impossible de déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Affirmation fausse
$\quad$

Affirmation 2 : $3^2+2\times 3 -15 = 9 + 6-15 = 15-15=0$
Affirmation vraie
$\quad$

Affirmation 3 : $63,70 \times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=44,59 \neq 49$
Affirmation fausse
Remarque : on pouvait également calculer le prix initial : $\dfrac{49}{1-\dfrac{30}{100}}=70$
$\quad$

Affirmation 4 : probabilité d’obtenir une boule blanche :
Urne $1$ : $\dfrac{35}{35+65} = 0,35$
Urne $2$ : $\dfrac{19}{19+31} = 0,38>0,35$
Affirmation vraie
$\quad$

Exercice 3

  1. D’après le graphique, il faut que la pression des pneus de la sa voiture soit environ de $2,5$ bars.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ la distance qui la sépare de Morlaix.
    On veut donc que $64-x=123-64$
    Soit $64-123+64=x$
    Donc $5=x$.
    Dans $5$ km, la distance qui la sépare de Morlaix sera la même que celle de Morlaix à Brest.
    $\quad$

Exercice 4

On résout le système $\begin{cases} 5T+2R=13,70\\\\T+R=4,3\end{cases}$

Par conséquent $\begin{cases} T=4,3-R\\\\5(4,3-R)+2R=13,70\end{cases}$

Soit $\begin{cases} T=4,3-R\\\\21,5-5R+2R=13,70\end{cases}$

Donc $\begin{cases} T=4,3-R\\\\-3R=-7,8\end{cases}$

D’où $\begin{cases} R= 2,6\\\\T=4,3-2,6\end{cases}$

Finalement une rose coûte $2,6$ euros et une tulipe $1,7$ euros.

$\quad$

Exercice 5

Partie 1 : La production de lait

  1. Aire du pâturage : $620\times 240+240^2 = 206~400$m$^2$ soit $20,64$ hectares.
    $20,64 \times 12 = 247,68$. Il peut donc posséder, au maximum, $247$ chèvres.
    $\quad$
  2. $1,8\times 247=444,6$. Il peut espérer produire, en moyenne, $444,6$ litres de lait par jour avec $247$ chèvres.
    $\quad$

Partie 2 : Le stockage du lait

Volume de la cuve B, dont le rayon est $R = 5$dm : $V=\pi \times 7,6 \times 5^2 =190\pi$ dm$^3$ $\approx 597$ litres.

La cube B possède donc un plus grand volume. C’est celle-ci qu’il va choisir.

$\quad$

Exercice 6

On va supposer que $\color{red}{EB = 360}$ cm pour pouvoir répondre à la question 1

  1. Dans le triangle $ABD$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $$\begin{align*} ED^2&=EB^2+BD^2 \\\\
    &=360^2+270^2 \\\\
    &=202~500\\\\
    ED&=450
    \end{align*}$$
    Donc $ED=450$ cm
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $EBD$ :
    – les droites $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles;
    – les points $E, A$ et $B$ et $B, C$ et $D$ sont alignés dans le même ordre.
    D’après le théorème de Thalès :
    $$\dfrac{BA}{BE}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC}{ED}$$
    Donc $\dfrac{BA}{360}=\dfrac{250}{270}=\dfrac{AC}{450}$
    Par conséquent $BA=\dfrac{250\times 360}{270} = \dfrac{1~000}{3}$ et $AC=\dfrac{450\times 250}{270} =\dfrac{1250}{3}$
    Ainsi $AC \approx 417$ cm et $AE = 360 – BA \approx 27$ cm.
    $\quad$

Exercice 7

  1. Si $V=130$ alors $D=\dfrac{5}{18} \times 130 + 0,006\times 130^2 \approx 137,5$ m.
    Le conducteur ne pourra pas s’arrêter à temps.
    $\quad$
  2. On a saisi $=5/18*A2+0,006*A2*A2$ ou $=5/18*A2+0,006*A2\text{^}2$.
    $\quad$
  3.  Si $V=50$ alors $D=29$ et si $V=100$ alors $D=88$.
    Or $88\neq 2\times 29$.
    Cette affirmation est fausse.
    $\quad$
  4. Avec cette méthode $D \approx 8^2 = 64$ qui est cohérent avec la vitesse fournie par le tableau.
    $\quad$

 

DNB – Métropole – Septembre 2015

Métropole – Septembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. Affirmation 1 : $f(2)=-1$ Affirmation fausse
    $\quad$
    Affirmation 2 : $f(11) = (11-1)(2\times 11 – 5) = 10 \times 17 = 170$ Affirmation vraie
    $\quad$
    Affirmation 3 : $f(x) = 2x^2-5x-2x+10=2x^2-7x+10$. Ce n’est pas l’expression algébrique d’une fonction linéaire.
    $\quad$
  2. On a pu écrire en $B2$ : $=(B1-1)*(2*B1-5)$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation produit $(x-1)(2x-5)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $$\begin{array}{lcl}
    x-1=0&\text{ou}&2x-5 =0\\\\
    x=1& & 2x=5 \\\\
    & & x=\dfrac{5}{2}
    \end{array}$$
    Les solutions sont donc $1$ et $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ABJ$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} BJ^2&=AB^2+AJ^2 \\\\
    &= 7,5^2+18^2\\\\
    &=56,26+324\\\\
    &=380,25 \\\\
    BJ&=\sqrt{380,25}\\\\
    &=19,5 \text{m}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AJC$ et $MJU$ :
    – les droites $(MU)$ et $(AC)$ sont parallèles
    – $M\in[AJ]$ et $U\in[CJ]$
    D’après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{JA}{JM}=\dfrac{JC}{JU}=\dfrac{AC}{MU}$
    Par conséquent $\dfrac{18}{10}=\dfrac{AC}{3}$
    Ainsi $AC= \dfrac{54}{10} = 5,4$ m.
    $\quad$
  3. Puisque $C$ appartient au segment $[AB]$, on a $CB=7,5 – 5,4 = 2,1$ m.
    Dans le triangle $JCB$, $[JA]$ est la hauteur issue de $J$.
    Par conséquent l’aire du triangle $JCB$ est :
    $\mathscr{A}=\dfrac{CB\times AJ}{2} = \dfrac{18 \times 2,1}{2}=18,9$ m$^2$.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Cas 1 : La vitesse retenue est $107 \times \left(1 – \dfrac{5}{100}\right)=101,65$ km/h
    $\quad$
    Cas 2 : $2$ min $= \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30}$ h.
    Ainsi la vitesse relevée de Monsieur Lagarde est $v=\dfrac{3,2}{\dfrac{1}{30}} = 30 \times 3,2 = 96$ km/h.
    Sa vitesse retenue est donc de $96-5 = 91$ km/h.
    $\quad$
  2. Monsieur Durand a mis $1$ min et $47$ s pour parcourir les $3,2$ km.
    Il a donc roulé plus vite que Monsieur Lagarde. Il recevra donc une  contravention.
    $\quad$

Exercice 4

On appelle $M$ le prix d’un pot de miel et $P$ celui d’un pain d’épices.

On obtient ainsi le système
$\begin{align*} \begin{cases} 2M+3P=24\\\\M+2P=14,5\end{cases} &\ssi \begin{cases} M = 14,5 – 2P\\\\2(14,5-2P) + 3P=24\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} M=14,5-2P \\\\29-4P+3P=24\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} M=14,5-2P\\\\-P=-5\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} P=5\\\\M=4,5\end{cases}
\end{align*}$

Ainsi un pot de miel coûte $4,5$ euros et un pain d’épices $5$ euros.

Le troisième amis paiera donc $3\times 4,5 + 5 = 18,5$ euros.
$\quad$

Exercice 5

  1. $(11-6)\times 11 +9= 55+9 = 64$
    $\quad$
  2. $(-4-6)\times (-4)+9=-10 \times (-4) + 9 = 40 + 9 = 49$
    $\quad$
  3. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Le programme nous donne :
    $(x-6)x+9=x^2-6x+9=(x-3)^2 \ge 0$.
    Théo a donc raison.
    $\quad$

Exercice 6

  1. a. $232+211+\ldots+217 = 1760$ secondes = $29$ minutes et $20$ secondes .
    $\quad$
    b. $5$ chansons sur les $8$ ont une durée supérieure à $210$ secondes.
    Cela représente donc $62,5\%$ des chansons.
    $\quad$
  2. $3$ chansons sur les $8$ sont de Maen. La probabilité d’écouter l’une d’entre-elles est donc de $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$
  3. La fréquence d’écoute de Hudad est de $\dfrac{4}{25}=16\%$.
    $\quad$

Exercice 7

Déterminons la longueur $DS$.

Dans le triangle $DST$ rectangle en $S$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} DT^2&=DS^2+ST^2\\\\
50,2^2&=DS^2+6^2\\\\
2~520,04&=DS^2+36\\\\
DS^2&= 2~520,04-36\\\\
&=2~484,04\\\\
DS&=\sqrt{2~484,04} \\\\
&\approx 49,84 \text{cm}
\end{align*}$

L’angle $\widehat{TDS}$ ne doit donc pas dépasser $7°$.

$\quad$

Déterminons cet angle.

Dans le triangle $TDS$ rectangle en $S$ on a :

$\sin \widehat{TDS} = \dfrac{TS}{DT} = \dfrac{6}{50,2}$

Par conséquent $\widehat{TDS} \approx 6,86°$.

La rampe est donc conforme à la norme.

DNB – Métropole – Juin 2015

Métropole – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

Indication portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. 

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1  –  4 points

Une coopérative collecte le lait dans différentes exploitations agricoles.

Le détail, de la collecte du jour ont été saisis dans une feuille de calcul d’un tableur.

DNB - Métropole - juin 2015 - ex1

  1. Une formule doit être saisie dans la cellule $B8$ pour obtenir la quantité totale de lait collecté. Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle qui convient.
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    \text{SOMME}(B2:B7)&\text{SOMME}(B2:B8)&\text{=SOMME}(B2:B7)&\text{=SOMME}(B2:B8)\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Calculer la moyenne des quantités de lait collecté dans ces exploitations.
    $\quad$
  3. Quel pourcentage de la collecte provient de l’exploitation “Petit Pas” ? On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$

Exercice 2  –  4,5 points

Voici un programme de calcul sur lequel travaillent quatre élèves.

  • Prendre un nombre
  • Lui ajouter $8$
  • Multiplier le résultat par $3$
  • Enlever $24$
  • Enlever le nombre de départ

Voici ce qu’ils affirment :

Sophie : “Quand je prends $4$ comme nombre de départ, j’obtiens, $8$.”

Martin : “En appliquant le programme à $0$, je trouve $0$.”

Gabriel : “Moi,j’ai pris $-3$ au départ et j’ai obtenu $-9$.”

Faïza : “Pour n’importe quel nombre choisi, le résultat final est égal au double du nombre de départ.”

Pour chacun de ces quatre élèves expliquer s’il a raison ou tort.
$\quad$

Exercice 3  –  4 points

Dans la figure ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle :

  • les points $D$, $P$ et $A$ sont alignés ;
  • les points $K$, $H$ et $A$ sont alignés ;
  • $DA = 60$ cm ;
  • $DK = 11$ cm ;
  • $DP = 45$ cm.

DNB - Métropole - juin 2015 - ex3

  1. Calculer $KA$ au millimètre près,
    $\quad$
  2. Calculer $HP$.
    $\quad$

Exercice 4  –  7,5 points

Toutes les questions sont indépendantes

  1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – 6x + 7$.
    Déterminer l’image de $3$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Arthur a le choix pour s’habiller aujourd’hui entre trois chemisettes (une verte, une bleue et une rouge) et deux shorts (un vert et un bleu). Il décide de s’habiller en choisissent au hasard une chemisette puis un short.
    Quelle est la probabilité qu’Arthur soit habillé uniquement en vert ?
    $\quad$
  3. Ariane affirme que $2^{40}$ est le double de $2^{39}$. A-t-elle raison ?$\quad$
  4. Loïc affirme que le PGCD d’un nombre pair et d’un nombre impair est toujours égal à $1$.
    A-t-il raison ?
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation : $5x – 2 = 3x + 7$.
    $\quad$

Exercice 5  –  6 points

Agnès envisage de peindre la façade de son hangar.

Information 1 : Caractéristiques de la peinture utilisée.

Renseignements concernant un pot de peinture

  • Volume : $6$ l
  • Temps de séchage : $8$ h
  • Surface couverte : $24$ m$^2$
  • Monocouche*
  • Prix : $103,45€$

* Une seule couche de peinture suffit.

Information 2 : schéma de la façade
(le schéma n’est pas à l’échelle)
La zone grisée est la zone à peindre.

DNB - Métropole - juin 2015 - ex5

  1. Quel est le montant minimum à prévoir pour l’ achat des pots de peinture ?
    $\quad$
  2. Agnès achète la peinture et tout le matériel dont elle a besoin pour ses travaux. Le montant total de la facture est de $343,50€$.
    Le magasin lui propose de régler $\dfrac{2}{5}$ de la facture aujourd’hui et le reste en trois mensualités identiques.
    Quel sera le montant de chaque mensualité ?
    $\quad$

Exercice 6  –  6 points

La distance parcourue par un véhicule entre le moment où le conducteur voit un obstacle et l’arrêt complet du véhicule est schématisée ci-dessous.

 

DNB - Métropole - juin 2015 - ex6

  1. Un scooter roulant à $45$ km/h freine en urgence pour éviter un obstacle. À cette vitesse, la distance de réaction est égale à $12,5$ m et la distance de freinage à $10$ m. Quelle est la distance d’arrêt ?
    $\quad$
  2. Les deux graphiques, donnés en annexe représentent, dans des conditions normales et sur route sèche, la distance de réaction et la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule.
    En utilisant ces graphiques, répondre aux questions suivantes :
    a. La distance de réaction est de $15$ m. À quelle vitesse roule-t-on ? (Aucune justification n’est attendue).
    $\quad$
    b. La distance de freinage du conducteur est-elle proportionnelle à la vitesse de son véhicule ?
    $\quad$
    c. Déterminer la distance d’arrêt pour une voiture roulant à $90$ km/h.
    $\quad$
  3. La distance de freinage en mètres, d’un véhicule sur route mouillée, peut se calculer à l’aide de la formule suivante, où $v$ est la. vitesse en km/h du véhicule : $$\text{distance de freinage sur route mouillée } = \dfrac{v^2}{152,4}$$
    Calculer au mètre près la distance de freinage sur route mouillée à $110$ km/h.
    $\quad$

Annexe

DNB - Métropole - juin 2015 - ex6.annexe1

 

DNB - Métropole - juin 2015 - ex6.annexe2

 

Exercice 7  –  4 points

DNB - Métropole - juin 2015 - ex7.1Ce panneau routier indique une descente dont la pente est de $10\%$.

Cela signifie que pour un déplacement horizontal de $100$ mètres, le dénivelé est de $10$ mètres.

Le schéma ci-dessous n’est pas à l’échelle.

DNB - Métropole - juin 2015 - ex7.2

  1. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BCA}$ que fait la route avec l’horizontale.
    Arrondir la réponse au degré.
    $\quad$
  2. Dans certains pays, il arrive parfois que la pente d’une route ne soit pas donnée par un pourcentage, mais par une indication telle que “$1 : 5$”, ce qui veut alors dire que pour un déplacement horizontal de $5$ mètres, le dénivelé est de $1$ mètre.
    Lequel des deux panneaux ci-dessous indique la pente la plus forte ?
    DNB - Métropole - juin 2015 - ex7.3

 

 

DNB – Polynésie – Juin 2015

Polynésie – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.
$\quad$

Indication portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

 Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1  –  3 points

Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac. Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit.

Djamel et Sarah ont commencé une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :

$$\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|} \hline 14 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 26\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 18 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline \phantom{1}5\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline \phantom{1}9\\ \hline  \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 18\\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline 20\\ \hline \end{array} \end{array}$$

  1. C’est à Sarah de jouer.
    a. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton “$18$”?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’elle tire un jeton multiple de $5$ ?$
    \quad$
  2. Finalement, Sarah a tiré le jeton “$26$” qu’elle garde. C’est au tour de Djamel de jouer.
    La probabilité qu’il tire un jeton multiple de $5$ est-elle la même que celle trouvée à la question 1. b. ?
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

  1. Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d’une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l’endroit où s’effectue la mesure.
    DNB - polynésie - juin 2015 - ex2.1
    En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. Aucune justification n’est attendue.
    a. Quel est le niveau de bruit à une distance de $100$ mètres de la tondeuse?
    $\quad$
    b. À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à $60$ décibels ?
    $\quad$
  2. Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d’une usine .
    DNB - polynésie - juin 2015 - ex2.2
    Dans l’usine, le port d’un casque antibruit est obligatoire à partir d’un même niveau de bruit.
    Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de $5$ mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B.
    $\quad$

Exercice 3  –  8 points

On considère la figure ci-dessous dessinée à main levée.

DNB - polynésie - juin 2015 - ex3
L’unité utilisée est le centimètre.
Les points $I$, $H$ et $K$ sont alignés.

  1. Construire la figure ci-dessus en vraie grandeur.
    $\quad$
  2. Démontrer que les droites $(IK)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  3. Démontrer que $IH = 6$ cm.
    $\quad$
  4. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HJK}$, arrondie au degré.
    $\quad$
  5. La parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ coupe $(JH)$ en $L$. Compléter la figure.
    $\quad$
  6. Expliquer pourquoi $LK = 0,4 \times IJ$.
    $\quad$

Exercice 4  –  4,5 points

  1. Quel est le nombre caché par la tache sur cette étiquette ?
    DNB - polynésie - juin 2015 - ex4$\quad$
  2. $2~048$ est une puissance de $2$. Laquelle ?
    $\quad$
  3. En développant l’expression $(2x – 1)^2$, Jules a obtenu $4x^2 – 4x – 1$. A-t-il raison ?
    $\quad$

Exercice 5  –  4,5 points

Les “24 heures du Mans” est le nom d’une course automobile.

Document 1 : principe de la course

Les voitures tournent sur un circuit pendant $24$ heures. La voiture gagnante est celle qui a parcouru la plus grande distance.

Document 2 : schéma du circuit

DNB - polynésie - juin 2015 - ex5

Document 3 : article extrait d’un journal

$$5~405,470$$

C’est le nombre de kilomètres parcourus par l’Audi R15+ à l’issue de la course.

Document 4 : unités anglo-saxonnes

L’unité de mesure utilisée par les anglo-saxons est le mile par heure (mile per hour) noté mph.

$1$ mile $\approx$ $1~609$ mètres
$\quad$

À l’aide des documents fournis:

  1. Déterminer le nombre de tours complets que la voiture Audi R15+ a effectués lors de cette course.
    $\quad$
  2. Calculer la vitesse moyenne en km/h de cette voiture. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  3. On relève la vitesse de deux voitures au même moment :
    • Vitesse de la voiture N°37 : $205$ mph.
    • Vitesse de la voiture N°38 : $310$ km/h.Quelle est la voiture la plus rapide ?
    $\quad$

Exercice 6  –  5 points

Voici un programme de calcul.

  • Choisir un nombre
  • Ajouter $1$
  • Calculer le carré de cette somme
  • Soustraire $9$ au résultat
  1. Vérifier qu’en choisissant $7$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec ce programme est $55$.
    $\quad$
  2. Lorsque le nombre choisi est $- 6$, quel résultat obtient-on ?
    $\quad$
  3. Jim utilise un tableur pour essayer le programme de calcul avec plusieurs nombres. Il a fait apparaître les résultats obtenus à chaque étape. Il obtient la feuille de calcul ci-dessous :DNB - polynésie - juin 2015 - ex6
    La colonne $B$ est obtenue à partir d’une formule écrite en $B2$, puis recopiée vers le bas.
    Quelle formule Jim a-t-il saisie dans la cellule $B2$ ?
    $\quad$
  4. Le programme donne $0$ pour deux nombres. Déterminer ces deux nombres.
    $\quad$

Exercice 7  –  7 points

Voici les caractéristiques d’une piscine qui doit être rénovée:

Document 1 : informations sur la piscine

Vue aérienne de la piscine

DNB - polynésie - juin 2015 - ex7.1

Document 2 : information relative à la pompe de vidange

Débit: 14 m$^3$/h

Document 3 : informations sur la peinture résine utilisée pour la rénovation

  • seau de $3$ litres
  • un litre recouvre une surface de $6$ m$^2$
  • $2$ couches nécessaires
  • prix du seau : $69,99€ $
  1. Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-elle vide en moins de $4$ heures ?
    $\quad$
  2. Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la rénovation ?
    $\quad$

DNB – Asie – Juin 2015

Asie – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule d’entre elles est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte.
Une bonne réponse rapporte $1$ point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

  1. L’écriture en notation scientifique du nombre $587~000~000$ est :
    A : $5,87\times 10^{- 8}$
    B : $587 \times 10^6$
    C : $5,87 \times 10^8$
    $\quad$
  2. Si on développe et réduit l’expression $(x + 2)(3x -1)$ on obtient:
    A : $3x^2 + 5x – 2$
    B : $3x^2 + 6x +2$
    C :&$3x^2 – 1$
    $\quad$
  3. Dans un parking il y a des motos et des voitures. On compte $28$ véhicules et $80$ roues. Il y a donc :
    A : $20$ voitures
    B : $16$ voitures
    C :  $12$ voitures
    $\quad$
  4. Le produit de $18$ facteurs égaux à $- 8$ s’écrit:
    A : $- 8^{18}$
    B : $(- 8)^{18}$
    C : $18 \times (- 8)$
    $\quad$
  5. La section d’un cylindre de révolution de diamètre $4$ cm et de hauteur $10$ cm par un plan parallèle à son axe peut être :
    A : un rectangle de dimensions $3$ cm et $10$ cm
    B : un rectangle de dimensions $5$ cm et $10$ cm
    C : un rectangle de dimensions $3$ cm et $8$ cm
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Il décide alors de traverser imprudemment la route du point $J$ au point $F$ sans utiliser les passages piétons.
Le passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.

DNB - Asie - juin 2015 - ex2

En moyenne, un piéton met $9$ secondes pour parcourir $10$ mètres.

Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?
$\quad$

Exercice 3  –  4 points

Un bus transporte des élèves pour une compétition multisports. Il y a là $10$ joueurs de ping-pong, $12$ coureurs de fond et $18$ gymnastes. Lors d’un arrêt, ils sortent du bus en désordre.

  1. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong ?$\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste ?
    $\quad$
  3. Après cet arrêt, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs.
    Sachant que la probabilité que ce soit un nageur qui descende du bus en premier est de $1/5$, déterminer le nombre de nageurs présents dans le bus.
    $\quad$

Exercice 4  –  3 points

À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les $397$ ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors $37$ ballons.

L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les $598$ ballons utilisés cette année-là. Il en reste alors $13$.

Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans le notation.

Exercice 5  –  7 points

Un bateau se trouve à une distance $d$ de la plage.

DNB - Asie - juin 2015 - ex5

Supposons dans tout le problème que $\alpha = 45°$, $\beta = 65°$ et que $L = 80$ m.

  1. Conjecturons la distance $d$ à l’aide d’une construction
    Mise au point par Thalès ($600$ avant JC), la méthode dite de TRIANGULATION propose une solution pour estimer la distance $d$.
    a. Faire un schéma à l’échelle $1/1~000$ ($1$ cm pour $10$ m).
    $\quad$
    b. Conjecturer en mesurant sur le schéma la distance $d$ séparant le bateau de la côte.
    $\quad$
  2. Déterminons la distance $d$ par le calcul
    DNB - Asie - juin 2015 - ex5.2
    a. Expliquer pourquoi la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ est de $70°$.$\quad$
    b. Dans tout triangle $ABC$, on a la relation suivante appelée “loi des sinus” :
    $$ \dfrac{BC}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{AC}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{C}}.$$
    En utilisant cette formule, calculer la longueur $BC$. Arrondir au cm près.
    $\quad$
    c. En déduire la longueur $CH$ arrondie au cm près.
    $\quad$

Exercice 6  –  7 points

Soient les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$f(x) = 6x \qquad g(x) = 3x^2 – 9x – 7\qquad \text{et} \quad h(x) = 5x – 7.$$

À l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules $B2$, $B3$ et $B4$.

DNB - Asie - juin 2015 - ex6

  1. Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de $h(-2)$.
    $\quad$
  2. Écrire les calculs montrant que : $g(- 3) = 47$.
    $\quad$
  3. Faire une phrase avec le mot “antécédent” ou le mot “image” pour traduire l’égalité $g(- 3) = 47$.
    $\quad$
  4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule $B4$ ?
    $\quad$
  5. a. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation ci-dessous :
    $$3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7.$$
    $\quad$
    b. Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?
    Justifier la réponse.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même inaboutie sera prise en compte et valorisée.
    $\quad$

Exercice 7  –  5 points

Un aquarium a la forme d’une sphère de $10$ cm de rayon, coupée en sa partie haute: c’est une “calotte sphérique”.
La hauteur totale de l’aquarium est $18$ cm.
DNB - Asie - juin 2015 - ex7

  1. Le volume d’une calotte sphérique est donné par la formule :
    $$V \dfrac{\pi}{3} \times h^2 \times (3r – h)$$
    où $r$ est le rayon de la sphère et $h$ est la hauteur de la calotte sphérique.
    a. Prouver que la valeur exacte du volume en cm$^3$ de l’aquarium est $1~296\pi$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur approchée du volume de l’aquarium au litre près.
    $\quad$
  2. On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle de $15$ cm par $20$ cm.
    Déterminer la hauteur atteinte par l’eau (on arrondira au cm).
    * Rappel: 1 $\ell$ = 1 dm$^3 = 1~000$ cm$^3$
    $\quad$

DNB – Centres étrangers 2 – Juin 2015

Centres étrangers 2 – Juin 2015

DNB – Mathématiques

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$\quad$

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Les figures ou croquis ne sont pas en vraie grandeur!
Pour chaque question, laisser toutes traces de la recherche : même non aboutie, elle sera valorisée.

Exercice 1  –  5,5 points

Pour cet exercice, aucune justification n’est attendue.

En appuyant sur un bouton, on allume une des cases de la grille ci-dessous au hasard.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3\\
\hline
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9 \\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelle est la probabilité que la case $1$ s’allume?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’une case marquée d’un chiffre impair s’allume ?
    $\quad$
    c. Pour cette expérience aléatoire, définir un évènement qui aurait pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. Les cases $1$ et $7$ sont restées allumées. En appuyant sur un autre bouton, quelle est la probabilité que les trois cases allumées soient alignées ?
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d’une altitude de $38~969,3$ mètres.
La première partie de son saut s’est faite en chute libre (parachute fermé).
La seconde partie, s’est faite avec un parachute ouvert.
Son objectif était d’être le premier homme à “dépasser le mur du son”.

“dépasser le mur du son” : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son, c’est à dire $340$ m.s$^{-1}$.

La Fédération Aéronautique Internationale a établi qu’il avait atteint la vitesse maximale de $1~357,6$ km.h$^{-1}$ au cours de sa chute libre.

  1. A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :
    $$\begin{array}{|l|c|}
    \hline
    \text{Altitude du saut}  & 38~969,3  \text{ m}\\
    \hline
    \text{Distance parcourue en chute libre} & 36~529 \text{ m}\\
    \hline
    \text{Durée totale du saut}    &9 \text{ min } 3 \text{ s}\\
    \hline
    \text{Durée de la chute libre}    &4 \text{ min } 19 \text{ s}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Calculer la vitesse moyenne de Félix Baumgartner en chute avec parachute ouvert exprimée en m.s$^{-1}$. On arrondira à l’unité.
    $\quad$

Exercice 3  –  6 points

Soit un cercle de diamètre $[KM]$ avec $KM = 6$ cm.
Soit un point L sur le cercle tel que $ML = 3$ cm.

  1. Faire une figure.
    $\quad$
  2. Déterminer l’aire en cm$^2$ du triangle $KLM$. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm$^2$ près.
    $\quad$

Exercice 4  –  6 points

Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un même nombre. Voici leurs programmes de calcul :

Programme de calcul de Mathilde

  • Saisir un nombre
  • Multiplier ce nombre par $9$
  • Soustraire $8$ au résultat obtenu

Programme de calcul de Paul

  • Saisir un nombre
  • Multiplier ce nombre par $- 3$
  • Ajouter $31$ au résultat obtenu
  1. On considère la feuille de calcul suivante :
    DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex4.1
    a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $B2$ puis étirer jusqu’à la cellule $L2$ pour obtenir les résultats obtenus par Mathilde ?
    $\quad$
    b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $B3$ puis étirer jusqu’à la cellule $L3$ pour obtenir les résultats obtenus par Paul ?
    $\quad$
  2. Voici ce que la feuille de calcul fait apparaître après avoir correctement programmé les cellules $B2$ et $B3$.
    DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex4.2
    Mathilde et Paul cherchent à obtenir le même résultat.
    Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l’encadrement à l’unité du nombre à saisir dans les programmes pour obtenir le même résultat ?
    $\quad$
  3. Déterminer par le calcul le nombre de départ à saisir par Mathilde et Paul pour obtenir le même résultat et vérifier la conjecture sur l’encadrement.
    $\quad$

Exercice 5  –  8 points

Il existe différentes unités de mesure de la température. En France, on utilise le degré Celsius (\degres C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit (\degres F). Voici deux représentations de cette correspondance :

DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex5.1        $\quad$ DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex5.2

Représentation 1                                               Représentation 2

  1. En vous appuyant sur les représentations précédentes, déterminer s’il y a proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré Fahrenheit. Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction qui à une température $x$ en degré Celsius associe la température $f(x)$ en degré Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de $f(x)$ :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Proposition } 1 & \text{Proposition } 2& \text{Proposition } 3\\
    \hline
    f(x) = x+32 &  f(x) = 1,8x + 32 & f(x) = 2x + 30\\
    \hline
    \end{array}$$
    “Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas être correctes. C’est donc la proposition 2 qui convient.” Justifier cette affirmation.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 1,8x + 32$.
    Calculer $f(10)$ et $f(-40)$.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale à la température exprimée en degré Fahrenheit ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Exercice 6  –  6,5 points

La gélule est une forme médicamenteuse utilisée quand le médicament qu’elle contient a une odeur forte ou un goût désagréable que l’on souhaite cacher.
On trouve des gélules de différents calibres. Ces calibres sont numérotés de “000” à “5” comme le montre l’illustration ci-contre ( “000” désignant le plus grand calibre et “5” désignant le plus petit) :
DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex6
Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :

$$\begin{array}{r}
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Calibre de la gélule}     &000 &00 &0 &1 &2 &3 &4 &5\\
\hline
\text{Longueur } L \text{ de la gélule (en mm)}  &26,1&23,3 &21,7 &19,4 &18,0 &15,9 &14,3 &11,1\\
\hline
\end{array}\\
\text{Source: “Technical Reference File 1st edition CAPSUGEL – Gélules Coni-Snap”}
\end{array}$$

On considère une gélule constituée de deux demi-sphères identiques de diamètre $9,5$ mm et d’une partie cylindrique d’une hauteur de $16,6$ mm comme l’indique le croquis ci-dessous.

 

DNB - centres étrangers 2 - juin 2015 - ex6.2

Cette représentation n’est pas en vraie grandeur.

  1. À quel calibre correspond cette gélule ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Calculer le volume arrondi au mm$^3$ de cette gélule.
    On rappelle les formules suivantes :
    Volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $V = \pi \times R^2 \times h$
    Volume d’un cône de rayon de base $R$ et de hauteur $h$ :  $V = \dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$
    Volume d’une sphère de rayon $R$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3$
    $\quad$
  3. Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte d’antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-dessus.
    Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de $6,15 \times 10^{-4}$ g/mm$^3$.
    La boîte d’antibiotique contient $3$ plaquettes de $6$ gélules.
    Quelle masse d’antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ? Donner le résultat en grammes arrondi à l’unité.
    $\quad$

 

DNB – Centres étrangers 1 – Juin 2015

Centres étrangers – Juin 2015

DNB – Mathématiques

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Exercice 1  –  4 points

L’objectif du passage à l’heure d’été est de faire correspondre au mieux les heures d’activité avec les heures d’ensoleillement pour limiter l’utilisation de l’éclairage artificiel.

Le graphique ci-dessous représente la puissance consommée en mégawatts (MW), en fonction des heures (h) de deux journées J1 et J2, J1 avant le passage à l’heure d’été et J2 après le passage à l’heure d’été.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex1

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
On arrondira, si nécessaire, les résultats à la demi-heure.

  1. Pour la journée J1, quelle est la puissance consommée à $7$ h ?
    $\quad$
  2. Pour la journée J2, à quelle(s) heure(s) de la journée a-t-on une puissance consommée de $54~500$ MW ?
    $\quad$
  3. À quel moment de la journée le passage à l’heure d’été permet-il le plus d’économies ?
    $\quad$
  4. Quelle puissance consommée a-t-on économisée à $19$h$30$ ?
    $\quad$

Exercice 2  –  3 points

Dans cet exercice, pour chaque affirmation numérotée 1., 2. et 3. des réponses sont proposées. Une seule est exacte.

Écrire sur la copie pour chaque numéro la réponse correspondante.

Aucune justification n’est attendue.

  1. Les solutions de l’équation $(4x + 5)(x – 3) = 0$ sont :
    • $- \dfrac{5}{4}$ et 3
    • $ \dfrac{5}{4}$ et $- 3$
    • $- \dfrac{5}{4}$ et $- 3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{8 \times 10^3 \times 28 \times 10^{-2}}{14 \times 10^{- 3}}$ est égal à :
    • $16~000$
    • $0,16$
    • $1,6 \times 10^5$
    $\quad$
  3. $\dfrac{\sqrt{32}}{2}$ est égal à :
    • $\sqrt{16}$
    • $\sqrt{8}$
    • $2,8$
    $\quad$

Exercice 3  –  4 points

À l’entrée du garage à vélos du collège, un digicode commande l’ouverture de la porte.
Le code d’ouverture est composé d’une lettre A ; B ou C suivie d’un chiffre 1 ; 2 ou 3.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex3

  1. Quelles sont les différents codes possibles ?
    $\quad$
  2. Aurélie compose au hasard le code A1.
    $\quad$
  3. a. Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir le bon code ?
    $\quad$
    b. En tapant ce code A1, Aurélie s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre. Elle change donc ses choix.
    Quelle probabilité a-t-elle de trouver le bon code à son deuxième essai ?
    $\quad$
    c. Justifier que si lors de ce deuxième essai, Aurélie ne se trompe que de lettre, elle est sûre de pouvoir ouvrir la porte lors d’un troisième essai.
    $\quad$

Exercice 4  –  8 points

Des ingénieurs de l’Office National des Forêts font le marquage d’un lot de pins destinés à la vente.

  1. Dans un premier temps, ils estiment la hauteur des arbres de ce lot, en plaçant leur oeil au point $O$.
    DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex4 (1)
    Ils ont relevé les données suivantes :
    $OA = 15$ m $\quad$ $\widehat{SOA} = 45°$ et $\widehat{AOP} = 25°$
    $\quad$
    Calculer la hauteur $h$ de l’arbre arrondie au mètre.
    $\quad$
  2. Dans un second temps, ils effectuent une mesure de diamètre sur chaque arbre et répertorient toutes les données dans la feuille de calculs suivante :
    DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex4.2
    a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $M2$ pour obtenir le nombre total d’arbres ?
    $\quad$
    b. Calculer, en centimètres, le diamètre moyen de ce lot. On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Pour calculer le volume commercial d’un pin en mètres cubes, on utilise la formule suivante : $$V = \dfrac{10}{24} \times D^2 \times h$$ où $D$ est le diamètre moyen d’un pin en mètres et $h$ la hauteur en mètres.
    Le lot est composé de $92$ arbres de même hauteur $22$ m dont le diamètre moyen est $57$ cm.
    Sachant qu’un mètre cube de pin rapporte $70€$, combien la vente de ce lot rapporte-t-elle ? On arrondira à l’euro.
    $\quad$

Exercice 5  –  6 points

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 : 

Un billet d’avion Paris-New York coûte $400€$. La compagnie aérienne Air International propose une réduction de $20\%$. Le billet ne coûte plus que $380€$.
$\quad$

Affirmation 2 :

$f$ est la fonction affine définie par $f(x) = 4x – 2$.
L’image de $2$ par la fonction $f$ est aussi le double de l’antécédent de $10$.

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex5

 

Exercice 6  –  3,5 points

On propose les deux programmes de calcul suivants :

 

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex6 (2)

  1. Montrer que si on choisit $3$ comme nombre de départ, les deux programmes donnent $25$ comme résultat.
    $\quad$
  2. Avec le programme A, quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit $0$ ?
    $\quad$
  3. Ysah prétend que, pour n’importe quel nombre de départ, ces deux programmes donnent le même résultat.
    A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Exercice 7  –  7,5 points

DNB - centres étrangers1 - juin 2015 - ex7

Une maison est composée d’une partie principale qui a la forme d’un pavé droit $ABCDEFGH$ surmonté d’une pyramide $IABCD$ de sommet $I$ et de hauteur $\left[IK_1\right]$ perpendiculaire à la base de la pyramide.

Cette pyramide est coupée en deux parties :

  • Une partie basse $ABCDRTSM$ destinée aux chambres;
  • Une partie haute $IRTSM$ réduction de hauteur $\left[IK_2\right]$ de la pyramide $IABCD$ correspondant au grenier.

On a : $EH = 12$ m ; $AE = 3$ m ; $HG = 9$ m ; $IK_1 = 6,75$ m et $IK_2 = 4,5$ m.

La figure donnée n’est pas à l’échelle.

  1. Calculer la surface au sol de la maison.
    $\quad$
  2. Des radiateurs électriques seront installés dans toute la maison, excepté au grenier.
    On cherche le volume à chauffer de la maison.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
    $$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{\text{Aire de la Base} \times \text{Hauteur}}{3}$$
    a. Calculer le volume de la partie principale.
    $\quad$
    b. Calculer le volume des chambres.
    $\quad$
    c. Montrer que le volume à chauffer est égal à $495$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Un expert a estimé qu’il faut dans cette maison une puissance électrique de $925$ Watts pour chauffer $25$ mètres cubes.
    Le propriétaire de la maison décide d’acheter des radiateurs qui ont une puissance de $1~800$ watts chacun et qui coûtent $349,90$ pièce.
    Combien va-t-il devoir dépenser pour rachat des radiateurs ?
    $\quad$