DNB – Amérique du Nord – Juin 2015

Amérique du Nord – Juin 2015

DNB – Mathématiques

La correction de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont proposées et une seule est exacte.
Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.

  1. Quelle est l’écriture scientifique de $\dfrac{5 \times 10^6 \times 1,2 \times 10^{- 8} }{2,4 \times 10^5}$ ?
    • $25 \times 10^{- 8}$
    • $2,5 \times 10^{- 7}$
    • $2,5 \times 10^{3}$
    $\quad$
  2. Pour $x = 20$ et $y = 5$, quelle est la valeur de $R$ dans l’expression $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ ?
    • $0,25$
    • $4$
    • $25$
    $\quad$
  3. Un article coûte $120 €$. Une fois soldé, il coûte $90 €$.
    Quel est le pourcentage de réduction ?
    • $25\% $
    • $30\%$
    • $75\%$
    $\quad$
  4. On considère l’agrandissement de coefficient $2$ d’un rectangle ayant pour largeur $5$ cm et pour longueur $8$ cm.
    Quelle est l’aire du rectangle obtenu ?
    • $40$ cm$^2$
    • $80$ cm$^2$
    • $160$ cm$^2$
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Lors d’une étape cycliste, les distances parcourues par un cycliste ont été relevées chaque heure après le départ.
Ces données sont précisées dans le graphique ci-dessous :

DNB - Amérique du Nord - juin 2015 - ex2

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
Aucune justification n’est demandée.

  1. a. Quelle est la distance totale de cette étape ?
    $\quad$
    b. En combien de temps le cycliste a-t-il parcouru les cent premiers kilomètres ?
    $\quad$
    c. Quelle est la distance parcourue lors de la dernière demi-heure de course ?
    $\quad$
  2. Y-a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette étape ?
    Justifier votre réponse et proposer une explication.
    $\quad$

Exercice 3  –  6 points

On lance deux dés tétraédriques, équilibrés et non truqués, dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$. On calcule la somme des nombres lus sur chacune des faces sur lesquelles reposent les dés.

$1~000$ lancers sont simulés avec un tableur. Le graphique suivant représente la fréquence d’apparition de chaque somme obtenue :

DNB - Amérique du Nord - juin 2015 - ex3

  1. Par lecture graphique donner la fréquence d’apparition de la somme $3$.
    $\quad$
  2. Lire la fréquence d’apparition de la somme $1$ ? Justifier cette fréquence.
    $\quad$
  3. a. Décrire les lancers de dés qui permettent d’obtenir une somme égale à $3$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité d’obtenir la somme $3$ en lançant les dés. On exprimera cette probabilité en pourcentage.
    Expliquer pourquoi ce résultat est différent de celui obtenu à la question 1.
    $\quad$

Exercice 4  –  4 points

Trouver le nombre auquel je pense.

  • Je pense à un nombre.
  • Je lui soustrais $10$.
  • J’élève le tout au carré.
  • Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé.
  • J’obtiens alors : $- 340$.

$\quad$

Exercice 5  –  4 points

Pour filmer les étapes d’une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des caméras installées sur deux motos et d’autres dans deux hélicoptères. Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d’une antenne relais.
On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma ci-dessous illustre cette situation:

DNB - Amérique du Nord - juin 2015 - ex5.1 (1)
L’avion relais (point $A$), le premier hélicoptère (point $L$) et la première moto (point $N$) sont alignés.
De la même manière, l’avion relais (point $A$), le deuxième hélicoptère (point $H$) et la deuxième moto (point $M$) sont également alignés.
On sait que : $AM = AN = 1$ km ; $HL = 270$ m et $AH = AL = 720$ m.

  1. Relever la phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites $(LH)$ et $(MN)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Calculer la distance $MN$ entre les deux motos.
    $\quad$

Exercice 6  –  4 points

A l’issue de la $18^{\e}$ étape du tour de France cycliste 2014, les coureurs ont parcouru $3~260,5$ kilomètres depuis le départ. Le classement général des neuf premiers coureurs est le suivant :

$$\begin{array}{r} \begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\text{Classement} & \text{NOM Prénom}  & \text{Pays d’origine} & \text{Temps de course de chaque coureur} \\
\hline
1. & \text{NIBALI Vincenzo} & \text{Italie}    &80 \text{h} 45 \text{min}\\
\hline
2. & \text{PINOT Thibaut}  & \text{France}    &80 \text{h} 52 \text{min}\\
\hline
3. & \text{PÉRAUD Jean-Christophe}& \text{France}  &80 \text{h} 53 \text{min}\\
\hline
4. & \text{VALVERDE Alejandro} & \text{Espagne}  &80 \text{h} 53 \text{min}\\
\hline
5. & \text{BARDET Romain}  & \text{France}    &80 \text{h} 55 \text{min}\\
\hline
6. & \text{VAN GARDEREN Tejay}& \text{Etats-Unis}  &80 \text{h} 57 \text{min}\\
\hline
7. & \text{MOLLEMA Bauke}  & \text{Pays Bas}    & 80 \text{h} 59 \text{min}\\
\hline
8. & \text{TEN DAM Laurens} & \text{Pays-Bas}    &81 \text{h} 00 \text{min}\\
\hline
9. & \text{KONIG Leopold}  & \text{République Tchèque} &81 \text{h} 00 \text{min}\\
\hline \end{array} \\
\text{Source :} letour.fr
\end{array}$$

  1. Calculer la différence entre le temps de course de Leopold Konig et celui de Vincenzo Nibali.
    $\quad$
  2. On considère la série statistique des temps de course.
    a. Que représente pour la série statistique la différence calculée à la question 1. ?
    $\quad$
    b. Quelle est la médiane de cette série statistique ? Vous expliquerez votre démarche.
    $\quad$
    c. Quelle est la vitesse moyenne en km.h$^{-1}$ du premier français Thibaut Pinot ?
    Arrondir la réponse à l’unité.
    $\quad$

Exercice 7  –  8 points

La Pyramide du Louvre est une oeuvre de l’architecte Leoh Ming Pei. Il s’agit d’une pyramide régulière dont la base est un carré de côté $35,50$ mètres et dont les quatre arêtes qui partent du sommet mesurent toutes $33,14$ mètres.

DNB - Amérique du Nord - juin 2015 - ex7

Source : melty.fr

  1.  La Pyramide du Louvre est schématisée comme ci-dessous.
    DNB - Amérique du Nord - juin 2015 - ex7.1
    Calculer la hauteur réelle de la Pyramide du Louvre.
    On arrondira le résultat au centimètre.
    $\quad$
  2. On veut tracer le patron de cette pyramide à l’échelle $1/800$.
    a. Calculer les dimensions nécessaires de ce patron en les arrondissant au millimètre.
    $\quad$
    b. Construire le patron en faisant apparaître les traits de construction.
    On attend une précision de tracé au mm.
    $\quad$

DNB – Pondichéry – Avril 2015

Pondichéry – Avril 2015

DNB – Mathématiques 

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Exercice 1  –  5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.
Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l’affirmation juste.
On ne demande pas de justifier.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Questions}   & \text{A}   & \text{B}  & \text{C} \\\\
\hline
1 & \begin{array}{l} \text{La forme développée de} \\
(x – 1)^2 \text{ est :} \end{array}& (x – 1)(x + 1) & x^2 – 2x + 1 & x^2 + 2x + 1.\\
\hline
2 & \begin{array}{l}\text{Une solution de l’équation :} \\
2x^2 + 3x – 2 = 0 \text{ est :} \end{array}& 0 & 2& – 2\\
\hline
3 & \begin{array}{l} \text{On considère la fonction} \\
f : x \mapsto 3x+2. \\
\text{Un antécédent de }- 7 \\
\text{par la fonction }f \text{est :} \end{array} &- 19 & – 3 & – 7\\
\hline
4 & \begin{array}{l}\text{Lorsqu’on regarde un }\\
\text{angle de } 18° \text{ à la loupe de} \\
\text{grossissement } 2,\text{ on voit} \\
\text{un angle de :} \end{array} & 9° & 36° & 18°\\
\hline
5 &\begin{array}{l} \text{On considère la fonction} \\
g : x \mapsto x^2 + 7. \\
\text{Quelle est la formule à entrer} \\
\text{ dans la cellule } B2 \\
\text{pour calculer } g(- 2) \text{?} \\
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& A &B \\
\hline
1 & x & g(x)\\
\hline
2 & – 2 & \\
\hline
3 & &\\
\hline
\end{array} \end{array} &= A2 \hat{} 2 + 7& = – 2^2 + 7 & = A2*2 + 7\\
\hline
\end{array}$$

Exercice 2  –  4 points

Un chocolatier vient de fabriquer $2~622$ œufs de Pâques et $2~530$ poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que:

  • tous les paquets aient la même composition ;
  • après mise en paquet, il reste ni œufs, ni poissons.
  1. Le chocolatier peut-il faire $19$ paquets ? Justifier.
    $\quad$
  2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ?
    $\quad$

Exercice 3  –  6 points

Peio, un jeune Basque décide de vendre des glaces du $1^\text{er}$ juin au $31$ août inclus à Hendaye.
Pour vendre ses glaces, Peio hésite entre deux emplacements :

  • une paillotte sur la plage
  • une boutique au centre-ville.

En utilisant les informations ci-dessous, aidez Peio à choisir l’emplacement le plus rentable.

Information 1 : les loyers des deux emplacements proposés :

  • la paillotte sur la plage : $2~500 €$ par mois.
  • la boutique au centre-ville : $60 €$ par jour.

Information 2 : la météo à Hendaye
Du $1^\text{er}$ juin au $31$ août inclus :

  • Le soleil brille $75\%$ du temps
  • Le reste du temps, le temps est nuageux ou pluvieux.

Information 3 : prévisions des ventes par jour selon la météo :

$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&\text{Soleil} & \text{Nuageux – pluvieux}\\
\hline
\text{La paillotte}& 500 €& 50 €\\
\hline
\text{La boutique} & 350 €& 300 €\\
\hline
\end{array}$

On rappelle que le mois de juin comporte $30$ jours et les mois de juillet et août comportent $31$ jours.

Toute piste de recherche même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.
$\quad$

Exercice 4  –  6 points

La dernière bouteille de parfum de chez Chenal a la forme d’une pyramide $SABC$ à base triangulaire de hauteur $[AS]$ telle que :

  • $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$ ;
  • $AB = 7,5$ cm et $AS = 15$ cm.

DNB - Pondichéry - avril 2015 - ex4

  1. Calculer le volume de la pyramide $SABC$. (On arrondira au cm$^3$ près.)
    $\quad$
  2. Pour fabriquer son bouchon $SS’MN$, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan $P$ parallèle à sa base et passant par le point $S’$ tel que $SS’ = 6$ cm.
    a. Quelle est la nature de la section plane $S’MN$ obtenue ?
    $\quad$
    b. Calculer la longueur $S’N$.
    $\quad$
    c. Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm$^3$.
    $\quad$

Exercice 5  –  4 points

Un jeu télévisé propose à des candidats deux épreuves :

  • Pour la première épreuve, le candidat est face à $5$ portes : une seule porte donne accès à la salle du trésor alors que les $4$ autres s’ouvrent sur la salle de consolation.
  • Pour la deuxième épreuve, le candidat se retrouve dans une salle face à $8$ enveloppes.
    Dans la salle du trésor : $1$ enveloppe contient $1~000 € $, $5$ enveloppes contiennent $200 $. Les autres contiennent $100 €$.
    Dans la salle de consolation  : $5$ enveloppes contiennent $100 €$ et les autres sont vides.

Il doit choisir une seule enveloppe et découvre alors le montant qu’il a gagné.

  1. Quelle est la probabilité que le candidat accède à la salle du trésor ?
    $\quad$
  2. Un candidat se retrouve dans la salle du trésor.
    a. Représenter par un schéma la situation.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins $200 €$ ?
    $\quad$
  3. Un autre candidat se retrouve dans la salle de consolation.
    Quelle est la probabilité qu’il ne gagne rien ?
    $\quad$

Exercice 6  –  7 points

$[AB]$ est un segment de milieu $O$ tel que $AB = 12$ cm.
Le point $C$ appartient au cercle de centre $O$ passant par $A$. De plus $AC = 6$ cm.
L’angle $\widehat{ABC}$ mesure $30°$.

  1. Construire la figure en vraie grandeur.
    $\quad$
  2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
    $\quad$
    a. Le triangle $ABC$ est rectangle.
    $\quad$
    b. Le segment $[BC]$ mesure $10$ cm.
    $\quad$
    c. L’angle $\widehat{AOC}$ mesure $60°$.
    $\quad$
    d. L’aire du triangle $ABC$ est $18\sqrt{3}$ cm$^2$.
    $\quad$
    e. L’angle $\widehat{BOC}$ mesure $31°$.
    $\quad$

Exercice 7  –  4 points

Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté $6$ cm. La somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone gris restant. Quelle est la mesure du côté des petits triangles ?

DNB - Pondichéry - avril 2015 - ex7

Toute trace de recherche, même non aboutie, figurera sur la copie et sera prise en compte dans la notation.

 

DNB – Métropole – Juin 2015

Métropole – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Exercice 1

  1. On peut écrire $=SOMME(B2:B7)$
    $\quad$
  2. La moyenne est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{1250 + 2130 + 1070 + 2260 +1600 + 1740}{6} \\\\
    &= \dfrac{10050}{6} \\\\
    &= 1675
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{2260}{10050} \approx 22 \%$
    $22\%$ du lait provient de l’exploitation “Petit Pas”.
    $\quad$

Exercice 2

Pour Sophie :
$(4 + 8) \times 3 – 24 – 4$ $ = 12 \times 3 – 28$ $ =36 – 28 $ $=8$
Sophie a donc raison.

Pour Gabriel :
$(-3 + 8)\times 3 – 24 -(-3)$ $=5 \times 3 – 24 + 3$ $= 15 – 21$ $ = -6 $
Gabriel a tort.

Pour Martin :
$(0 + 8) \times 3 – 24 – 0$ $=24 -24 = 0$
Martin a raison.

Pour Faïza :
On appelle $x$ le nombre initial
$(x + 8) \times 3 – 24 – x$ $=3x + 24 – 24 -x$ $=2x$
Faïza a raison.

$\quad$

Exercice 3

  1. Dans le triangle $DKA$ rectangle en $K$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} DA^2 &=KA^2 + DK^2 \\\\
    60^2 & =KA^2 + 11^2 \\\\
    3600& = KA^2 + 121 \\\\
    KA^2 & =3479 \\\\
    KA &= \sqrt{3479} \\\\
    KA \approx 59,0 \text{ mm}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans les triangles $KAD$ et $HAP$ :
    – les droites $(HP)$ et $(DK)$ sont parallèles car perpendiculaires à $(KA)$.
    – $H \in [KA]$ et $P \in [AD]$
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $\dfrac{AH}{AK} = \dfrac{AP}{AD} = \dfrac{HP}{KD}$
    Soit
    $\dfrac{60 – 45}{60} = \dfrac{HP}{11}$
    D’où
    $HP = \dfrac{11 \times 15}{60}= 2,75$
    $\quad$

Exercice 4

  1. $f(3) = -6 \times 3 + 7 = -18 + 7 = -11$
    $\quad$
  2. Il y a $6$ combinaisons possibles :
    – chemisette verte et short vert
    – chemisette bleue et short vert
    – chemisette rouge et short vert
    – chemisette verte et short bleu
    – chemisette bleue et short bleu
    – chemisette rouge et short bleu
    $\quad$
    Par conséquent la probabilité qu’il soit habillé uniquement en vert est de $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. $2 \times 2^{39} = 2^{39 + 1} = 2^{40}$
    Ariane a donc raison.
    $\quad$
  4. $10 = 5 \times 2$ et $15 = 5 \times 3$ donc le PGCD de $10$ et $15$ est $5$.
    Loïc a donc tort.
    $\quad$
  5. $5x – 2 = 3x + 7$
    Donc
    $5x – 3x = 7 + 2$
    Soit
    $2x = 9$
    Et $x = \dfrac{9}{2}$
    La solution de l’exercice est $\dfrac{9}{2}$
    $\quad$

Exercice 5

  1. Aire du rectangle $AEDB$ : $A_1 = 7,5 \times 6 =45 \text{ m}^2$
    Hauteur du triangle $BCD$ : $9 – 6 = 3 \text{ m}$
    Aire du triangle $BCD$ : $A_2 = \dfrac{7,5 \times 3}{2} = 11,25 \text{ m}^2$
    $\quad$
    Aire de la façade : $A_1 + A_2 = 56,25 \text{ m}^2$.
    $\quad$
    Nombre de pots : $\dfrac{56,25}{24} \approx 2,3$.
    Il faut donc  prévoir $3$ pots de peinture.
    $\quad$
    Coût total : $3 \times 103,45 = 310,35$ euros.
    Elle doit donc prévoir au minimum $310,35$ euros pour l’achat des pots de peinture.
    $\quad$
  2. A l’achat, elle paye $\dfrac{2}{5} \times 343,50 = 137,40$ euros.
    Il lui reste donc à payer : $206,10$ euros.
    Chaque mensualité suivante s’élèvera donc à $ \dfrac{206,10}{3} = 68,70$ euros.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6

  1. Distance d’arrêt : $12,5 + 10 = 22,5$ mètres.
    $\quad$
  2. a. Si la distance d’arrêt est de $15$ mètres alors la vitesse est de $55$ km/h.
    $\quad$
    b. La courbe représentant la distance de freinage n’est pas une droite. Il n’y a donc pas proportionnalité.
    $\quad$
    c. Distance de réaction à $90$ km/h : $25$ mètres
    Distance de freinage à la même vitesse : $40$ mètres
    Distance d’arrêt : $25 + 40 = 65$ mètres.
    $\quad$
  3. Distance de freinage sur route mouillée à $110$ km/h :
    $$d = \dfrac{110}{152,4}  \approx 79 \text{ m}$$
    $\quad$

Exercice 7

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$
    $\tan \widehat{BCA} = \dfrac{AB}{BC} = 0,1$
    Donc $\widehat{BCA} \approx 6°$
    $\quad$
  2. Si pour un déplacement horizontal de $5$ mètres, le dénivelé est de $1$ mètres alors pour un déplacement horizontal de $100$ mètres, le dénivelé est de $20 \times 1 = 20$ mètres.
    $\quad$
    Avec une pente de $15\%$ le dénivelé est de $15$ mètres pour un déplacement horizontal de $100$ mètres.
    $\quad$
    Le panneau B indique donc la plus forte pente.

 

DNB – Polynésie – Juin 2015

Polynésie – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. Deux jetons sur huit portent le numéro 18. La probabilité qu’elle tire un jeton “18” est donc de $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. Trois jetons sont des multiples de 5.
    La probabilité de tirer l’un d’entre eux est donc de $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$
  2. Parmi les sept jetons restant, il reste toujours trois multiples de 5.
    La probabilité qu’il tire l’un d’entre eux est donc de $\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. a. A $100$ mètres de la tondeuse le niveau de bruit est d’environ $50$ décibels.
    $\quad$
    b. Si le niveau de bruit est égal à $60$ décibels, on se trouve à $30$ mètres de la tondeuse.
    $\quad$
  2. A $5$ mètres de la machine A, le niveau de bruit est de $85$ décibels.
    Pour la machine B, cela correspond au niveau de bruit à $10$ mètres.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. $\quad$
    DNB - polynésie - ex3
    $\quad$
  2. Dans le triangle $HKJ$, le plus grand côté est $[JK]$.
    D’une part $JK^2 = 4^2 = 16$
    D’autre part, $HK^2+HJ^2 = 2,4^2 + 3,2^2 = 5,76+10,24 = 16$
    Ainsi $JK^2 = HK^2 + HJ^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $HKJ$ est rectangle en $H$.
    Puisque les points $I$, $H$ et $K$ sont alignés, les droites $(IK)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $IJH$ rectangle en $H$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} IJ^2&= IH^2 + JH^2 \\\\
    46,24 &= IH^2 + 10,24 \\\\
    36&= IH^2 \\\\
    IH&= 6 \text{ cm}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Dans le triangle $HJK$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{HJK} = \dfrac{2,4}{4} = 0,6$
    Donc $\widehat{HJK} \approx 37°$.
    $\quad$
  5. Voir figure
    $\quad$
  6. Dans les triangles $IJH$ et $KHL$ :
    – $H\in [LJ]$ et $H \in [IK]$
    – $(JK)//(IJ)$
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$\dfrac{HK}{HI} = \dfrac{HL}{HJ} = \dfrac{LK}{IJ}$$
    Donc $\dfrac{2,4}{6} = \dfrac{LK}{IJ}$
    $\quad$
    Par conséquent $LK = \dfrac{2,4}{6} \times IJ = 0,4 \times IJ$

$\quad$

Exercice 4

  1. On appelle $x$ le nombre caché.
    On a ainsi $80 \times \left(1 – \dfrac{x}{100}\right) = 60$
    $\quad$
    Donc $1 – \dfrac{x}{100} = \dfrac{60}{80}$ soit $1 – \dfrac{x}{100} = 0,75$
    $\quad$
    Par conséquent $\dfrac{x}{100} = 0,25$ et $x=25$
    $\quad$
  2. $2048 = 2^{11}$
    $\quad$
  3. $(2x-1)^2 = (2x)^2 – 2 \times 2x + 1 = 4x^2 – 4x + 1$.
    Il a donc tort.
    $\quad$

Exercice 5

  1. $\dfrac{5~405,470}{13,629} \approx 396,62$.
    La voiture a donc effectué $396$ tours complets.
    $\quad$
  2. $\dfrac{5~405,470}{24} \approx 225$.
    Sa vitesse moyenne est d’environ $225$ km/h.
    $\quad$
  3. $205$ mph $=205 \times 1,609 \approx 330$ km/h
    La voiture n°37 est donc la plus rapide.
    $\quad$

Exercice 6

  1. $(7+1)^2 -9 = 8^2 – 9 = 64 – 9 = 55$
    $\quad$
  2. $(-6 + 1)^2 – 9 = (-5)^2 – 9 = 25 – 9 = 16$
    $\quad$
  3. Il a saisi $=A2+1$
    $\quad$
  4. On cherche la valeur de $x$ telle que $(x+1)^2 – 9 = 0$
    Soit $(x+1)^2 = 9$
    Par conséquent $x+1 = 3$ ou $x+1 = -3$
    D’où $x=2$ ou $x= -4$.
    Les nombres $2$ et $-4$ donne $0$ avec ce programme.
    $\quad$

Exercice 7

  1. Volume de la piscine : $V = 10 \times 4 \times 1,2 = 48 \text{ m}^3$.
    $\quad$
    $\dfrac{48}{14} \approx 3,43$ .
    Il faut donc moins de $4$ heures pour vider cette piscine.
    $\quad$
  2. Surface latérale à peindre : $S_1 =(10+4) \times 2 \times 1,2= 33,6 \text{ m}^2$
    Surface du fond : $S_2 = 10 \times 4 = 40 \text{ m}^2$
    Surface totale à peindre pour les deux couches $S = (33,6 + 40) \times 2 = 147,2 \text{ m}^2$.
    Quantité de peinture nécessaire : $\dfrac{147,2}{6} \approx 24,53$ litres.
    $\dfrac{24,53}{3} \approx 8,18$
    Il faut donc $9$ seaux de peinture.
    $\quad$
    Le coût sera donc de $9 \times 69,99 = 629,91$ euros.

 

DNB – Centres étrangers 2 – Juin 2015

Centres étrangers 2 – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. La probabilité que la case 1 s’allume est de $\dfrac{1}{9}$.
    $\quad$
    b. Cinq cases sont marquées d’un chiffre impair.
    La probabilité que l’une d’entre elles s’allume est donc de $\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$
    c. L’événement “une case marquée d’un chiffre inférieur ou égal à 3” a une probabilité de $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. Pour que les trois cases allumées soient alignées il faut allumer la case 4. Il ne reste que $7$ cases éteintes. La probabilité que les trois cases allumées soient alignées est donc de $\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. $1~357,6 \text{ km.h}^{-1} = 1357,6 \times \dfrac{1~000}{3~600} \text{ m.s}^{-1} \approx 377,11 \text{ m.s}^{-1}$ $> 340 \text{ m.s}^{-1}$
    Il a par conséquent atteint son objectif.
    $\quad$
  2. Distance parcourue avec parachute ouvert :
    $$38~969,3 – 36~529 = 2~440,3 \text{ m}$$
    Durée du saut avec parachute ouvert :
    $$ 9\times 60 + 3 – (4 \times 60 + 19) = 284 \text{ s}$$
    La vitesse moyenne du saut parachute ouvert :
    $$\dfrac{2~440,3}{284} \approx 9 \text{ m.s}^{-1}$$
    $\quad$

Exercice 3

  1. $\quad$
    DNB - centres étrangers 2 - ex3
  2. Le triangle $KLM$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[KM]$. Il est donc rectangle en $L$.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $\begin{align*} KM^2 &= KL^2 + LM^2 \\\\
    36&= KL^2 + 9 \\\\
    27&  = KL^2 \\\\
    KL&= \sqrt{27}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi l’aire du triangle $KLM$ est $\dfrac{\sqrt{27} \times 3}{2} \approx 8\text{ cm}^2$.
    $\quad$

Exercice 4

  1. a. On peut écrire $=9*B1-8$.
    $\quad$
    b. On peut écrire $=-3*B1+31$.
    $\quad$
  2. Au vu du tableau, on peut conjecturer que le nombre à saisir pour que les calculs fournissent le même résultat est compris entre $3$ et $4$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre choisi.
    On veut que $9x – 8 = -3x + 31$ soit $ 12x = 39$ et donc $x=\dfrac{39}{12} = \dfrac{13}{4}$.
    $\dfrac{13}{4} = 3,25$. Ce nombre est bien compris entre $3$ et $4$.
    $\quad$

Exercice 5

  1. La droite représentant la température en °F par rapport à la température en °C ne passe pas par l’origine. Il n’y a donc pas proportionnalité entre ces deux grandeurs.
    $\quad$
  2. L’ordonnée à l’origine qu’on lit sur la représentation 2 est supérieure à $30$. On rejette donc la proposition 3.
    D’après la représentation 1, on a : $f(10) = 50$. Or, en utilisant la proposition 1, on trouve $f(10) = 42$. Cette proposition ne convient donc pas.
    La proposition 2 est donc la bonne.
    $\quad$
  3. $f(10) = 1,8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50$
    $f(-40) = 1,8 \times (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$
    $\quad$
  4. D’après le calcul précédent $f(-40) = -40$.
    Il existe donc une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale à la température exprimée en degré Fahrenheit.
    $\quad$

Exercice 6

  1. On a $L = 16,6 + 9,5 = 26,1$ mm.
    Il s’agit donc d’une gélule de calibre $000$.
    $\quad$
  2. Le rayon du cylindre et des demi-sphères est $R = \dfrac{9,5}{2} = 4,75$ mm.
    Volume de la partie cylindrique :
    $$V_1 = \pi \times 4,75^2 \times 16,6 \approx 1~176,64 \text{ mm}^3$$
    Volume des deux demi-sphères :
    $$V_2 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 4,75^3 \approx 448,92 \text{ mm}^3$$
    Le volume de la gélule est donc :
    $$V = V_1 + V_2 \approx 1626 \text{ mm}^3$$
    $\quad$
  3. Robert a absorbé $6,15 \times 10^{-4} \times 3 \times 6 \times V \approx 18$ g d’antibiotique durant son traitement.

DNB – Asie – Juin 2015

Asie – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  

  1. $587~000~000= 5,87 \times 5,87 \times 10^{8}$ Réponse C
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} (x+2)(3x-1) & =3x^2 -x +6x – 2 \\\\
    &= 3x^2 + 5x – 2
    \end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. On pose $M$ le nombre de motos et $V$ le nombre de voitures.
    Par conséquent on a :
    $\begin{cases} V+M = 28 \\4V + 2M = 80\end{cases}$
    $\quad$
    Soit $\begin{cases} V = 28 – M \\4(28 – M) + 2M = 80\end{cases}$
    $\quad$
    Donc $\begin{cases} V = 28 – M\\112 – 4M + 2M = 80\end{cases}$
    $\quad$
    Par conséquent $\begin{cases} V = 28 – M \\-2M = -32 \end{cases}$
    $\quad$
    Finalement $\begin{cases} M = 16\\V = 12\end{cases}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le produit de $18$ facteurs égaux à $-8$ s’écrit $(-8)^{18}$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La section d’un cylindre de révolution de diamètre $4$ cm et de hauteur $10$ cm par un plan parallèle à son axe peut être un rectangle de dimensions $3$ cm et $10$ cm.
    Réponse A
    $\quad$

Exercice 2

On calcule dans un premier temps la distance $FJ$.

Dans le triangle $FKJ$ rectangle en $K$ on applique le théorème de Pythagore :
$\begin{align*} FJ^2 &= FK^2 + KJ^2  \\\\
&= 8^2 + 15^2 \\\\
&= 289
\end{align*}$
Par conséquent $FJ = 17$.

Pour parcourir ces $17$ mètres, Julien mettra $\dfrac{9}{10} \times 17 =15,3$ secondes.

En empruntant le passage piéton, Julien aurait mis $\dfrac{9}{10} \times (15 + 8) =20,7$ secondes.

Il a donc gagné environ $5,4$ secondes.

$\quad$

Exercice 3

  1. La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong est de $\dfrac{10}{10 + 12 + 18} = \dfrac{10}{40} = 0,25$.
    $\quad$
  2. La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste est donc de $1 – 0,25 = 0,75$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de nageurs.
    On a donc $\dfrac{x}{x+40} = \dfrac{1}{5}$ soit $5x = x + 40$
    Par conséquent $4x = 40$ et $x = 10$.
    Il y avait $10$ nageurs dans le bus.
    $\quad$

Exercice 4

La première année, $397 – 37 = 360$ ballons ont été distribués.
La seconde année, $598 – 13 = 585$ ballons ont été distribués.

On recherche donc le PGCD de $360$ et $585$.

On utilise pour cela l’algorithme d’Euclide :

$585 = 1 \times 360 + 225$
$360 = 1 \times 225 + 135$
$225 = 1 \times 135 + 90$
$135 = 1 \times 90 + 45$
$90 = 2\times 45 + 0$

Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire ici $45$.

$45$ enfants au maximum étaient présents.

$\quad$

Exercice 5

  1. Conjecturons la distance $d$ à l’aide d’une construction
    a.
    DNB - Asie - Juin 2015 - ex5
    $\quad$
    b. Graphiquement, on a $d \approx 54,6$ mètres.
    $\quad$
  2. Déterminons la distance $d$ par le calcul
    a.
    La somme des angles est de $180°$.
    Par conséquent $\widehat{ACB} = 180 – (45 + 65) = 70°$.
    $\quad$
    b. On a donc $\dfrac{BC}{\sin 45} = \dfrac{80}{\sin 70}$ d’où $BC = \dfrac{80 \sin 45}{\sin 70} \approx 60,20$ mètres.
    $\quad$
    c. Dans le triangle $BCH$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin 65 = \dfrac{CH}{BC}$ donc $CH = BC \sin 65 \approx 54,56$ mètres.
    $\quad$

Exercice 6

  1. On lit la valeur de $h(-2)$ dans la cellule $C4$.
    Donc $h(-2) = -17$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} g(-3) &= 3 \times (-3)^2 – 9\times (-3) – 7 \\\\
    &= 3 \times 9 + 27 – 7 \\\\
    &= 27 + 20 \\\\
    & = 47
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. L’image de $-3$ par la fonction $g$ est $47$
    Un antécédent de $47$ par la fonction $g$ est $-3$.
    $\quad$
  4. En $B4$ Pauline a écrit $=5*B1 – 7$
    $\quad$
  5. a. On cherche une valeur de $x$ telle que $g(x) = h(x)$
    D’après le tableau, on peut dire que $0$ est une solution de cette équation.
    $\quad$
    b. $3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7$ donc $3x^2 – 14x =0$ soit $x(3x – 14) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x= 0$ ou $3x-14 = 0$
    Une autre solution est donc $\dfrac{14}{3}$.
    $\quad$

Exercice 7

  1. a.
    $\begin{align*} V&= \dfrac{\pi}{3} \times 18^2 \times (3 \times 10 – 18) \\\\
    &= \dfrac{\pi}{3}\times 324 \times 12 \\\\
    & = 1~296\pi
    \end{align*}$
    $\quad$b. Ainsi $V \approx 4~071 \text{ cm}^3 \approx 4$ litres.
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle de base est de $15 \times 20 = 300 \text{ cm}^2$.
    Ainsi la hauteur $h$ atteinte par l’eau vérifie :
    $300h = 1~296\pi$
    soit $h = \dfrac{1~296\pi}{300} \approx 14$ cm

DNB – Centres étrangers – Juin 2015

Centres étrangers – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. à 7h, en journée J1, la consommation est de $68~100$ MW environ.
    $\quad$
  2. Pour la journée J2, on consomme $54~500$ MW à $3$h et $5$h$30$.
    $\quad$
  3. On réalise le plus d’économie lorsque l’écart entre les deux courbes est le plus grand c’est-à-dire, ici, à $19$h$30$.
    $\quad$
  4. On économise à $19$h$30$ environ $10~200$ MW.
    $\quad$

Exercice 2

  1. $(4x+5)(x-3) = 0$ est équivalent  à $4x+5 = 0$ ou $x-3=0$.
    C’est à dire : $4x = -5$ ou $x = 3$.
    Soit $x = -\dfrac{5}{4}$ ou $x=3$
    Réponse : $-\dfrac{5}{4}$ et $3$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{8 \times 10^3 \times 28 \times 10^{-2}}{14 \times 10^{-3}} &= \dfrac{8 \times 2 \times 14}{14} \times \dfrac{10}{10^{-3}} \\\\
    &= 16 \times 10^4 \\\\
    &= 1,6 \times 10^5
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{32}}{2}&= \dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{2} \\\\
    &= \dfrac{4\sqrt{2}}{2} \\\\
    &=2\sqrt{2}\\\\
    &=\sqrt{8}
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 3

  1. Il y a $3 \times 3 = 9$ codes différents possibles.
    $\quad$
  2. a. En composant le code A1 elle a une probabilité de $\dfrac{1}{9}$ d’obtenir le bon code.
    $\quad$
    b. La lettre et le chiffre n’étant pas bons, il lui reste alors $2 \times 2 = 4$ codes possibles à essayer.
    La probabilité qu’elle trouve le bon code à son deuxième essai est donc de $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    c. Si elle ne se trompe que de lettre au deuxième essai alors le chiffre est bon, il ne lui reste alors plus qu’une lettre à tester. La porte s’ouvrira donc lors d’un troisième essai.
    $\quad$

Exercice 4

  1. Dans le triangle $OAP$ rectangle en $A$, on a :
    $\tan \widehat{AOP} = \dfrac{AP}{OA}$
    Donc
    $\tan 25 = \dfrac{AP}{15}$ et $AP = 15\tan 25$.
    $\quad$
    Dans le triangle $AOS$ rectangle en $A$, on a :
    $\tan \widehat{SOA} = \dfrac{SA}{OA}$
    Donc
    $\tan 45 = \dfrac{SA}{15}$ et $SA = 15\tan 45$.
    $\quad$
    La hauteur de l’arbre est donc de $15\tan 25 + 15\tan 45 \approx 22$ m.
    $\quad$
  2.  a. En $M2$ on peut écrire $=SOMME(B2:L2)$.
    $\quad$
    b. Le diamètre moyen des arbres de ce lot est :
    $\begin{align*} d  &= \dfrac{30 \times 2 + 35 \times 4 + \ldots + 80 \times 3}{2 + 4 + \ldots + 3} \\\\
    & = \dfrac{5~210}{92} \\\\
    & \approx 57
    \end{align*}$
    Le diamètre moyen de ce lot est donc d’environ $57$ cm.
    $\quad$
  3. Le volume des $92$ arbres est $V = 92 \times \dfrac{10}{24} \times 0,57^2 \times 22$
    Le lot rapportera alors $70V \approx 19~180$ euros.
    $\quad$

Exercice 5

Affirmation 1 : Fausse
$400 \times \left(1 – \dfrac{20}{100}\right) = 400 \times 0,8 = 320 \neq 380$

Affirmation 2 : Vraie
$f(2) = 4 \times 2 – 2 = 6$
L’antécédent de $10$ est solution de l’équation $4x – 2 = 10$ soit $4x = 12$ et $x=3$
Or $6 =2 \times 3$

Affirmation 3 : Fausse
Dans les triangles $AOB$ et $OCD$.
$\dfrac{OC}{OB}  =\dfrac{60}{45} = \dfrac{4}{3}$
et $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{100}{76} = \dfrac{25}{19}$.
Or $4 \times 19 \neq 3 \times 25$.
D’après la contraposée du théorème de Thalès, les plateaux ne sont pas parallèles.

$\quad$

Exercice 6

  1. Avec le Programme A : $(3 + 2)^2 = 5^2 = 25$
    Avec le Programme B : $(3 + 4) \times 3 + 4 = 7 \times 3 + 4 = 21 + 4 = 25$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le nombre cherché.
    Il vérifie donc $(x+2)^2 = 0$ soit $x+2 = 0$ donc $x= -2$.
    Il faut choisir $-2$ pour obtenir $0$ avec le programme A.
    $\quad$
  3. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Le Programme A nous donne $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
    Le Programme B nous donne $(x+4)*x+4 = x^2 + 4x + 4$.
    Les deux programmes fournissent donc bien le même résultat.
    Ysah a raison.
    $\quad$

Exercice 7

  1. La surface au sol est de $12 \times 9  =108 \text{ m}^2$.
    $\quad$
  2. a. Le volume de la partie principale est :
    $$\mathscr{V}_1 = 12 \times 9 \times 3 = 324 \text{ m}^3$$
    $\quad$
    b. Le volume de la pyramide $IABCD$ est $\mathscr{V}_2 = \dfrac{108 \times 6,75}{3} = 243 \text{ m}^3$.
    La pyramide $IRMST$ est une réduction de la pyramide précédente de rapport $\dfrac{4,5}{6,75} = \dfrac{2}{3}$.
    Par conséquent $\mathscr{V_3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \mathscr{V}_2 = 72 \text{ m}^3$.
    Le volume des chambres est donc $\mathscr{V}_4 = 243 – 72 = 171 \text{ m}^3$.
    $\quad$
    c. Le volume total à chauffer est donc $$\mathscr{V}_1 + \mathscr{V}_2 = 324 + 171 = 495 \text{ m}^3$$
    $\quad$
  3. Pour chauffer la maison il faut donc une puissance de $\dfrac{495}{25} \times 925 = 18~315$ watts.
    Or $\dfrac{18~315}{1~800} = 10,175$.
    Il faut donc acheter $11$ radiateurs.
    Cela représente alors un coût de $11 \times 349,90 = 3~848,90$ euros.

 

 

 

DNB – Amérique du Nord – juin 2015

Amérique du Nord – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

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Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} &= \dfrac{5 \times 10^6 \times 1,2 \times 10^{-8}}{2,4 \times 10^5}\\\\
    &= \dfrac{6 \times 10^{-2}}{2,4 \times 10^{5}} \\\\
    &= \dfrac{6}{2,4} \times 10^{-7} \\\\
    & = 2,5 \times 10^{-7}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \dfrac{1}{R} &= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \\\\
    & = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{5} \\\\
    &= \dfrac{1}{20} + \dfrac{4}{20} \\\\
    &= \dfrac{5}{20}
    \end{align*}$
    Donc $R  =\dfrac{20}{5} = 4$
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le pourcentage de réduction.
    On a ainsi $120 \times \left(1 – \dfrac{x}{100}\right) = 90$
    $\quad$
    Donc $1  -\dfrac{x}{100} = \dfrac{90}{120}$
    $\quad$
    Soit $1-\dfrac{x}{100} =  \dfrac{3}{4}$
    $\quad$
    Ainsi $-\dfrac{x}{100} = -\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
    Et $x = \dfrac{100}{4}  = 25$
    $\quad$
  4. L’aire du rectangle initiale est de $5 \times 8 = 40 \text{ cm}^2$.
    L’aire du nouveau rectangle est de $2^2 \times 40 = 160 \text{ cm}^2$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. a. Il suffit de lire l’ordonnée du point $I$ : $190$.
    Il s’agissait donc d’une étape de $190$ km.
    $\quad$
    b. On lit l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée $100$ : $2,5$.
    Les $100$ premiers kilomètres ont été faits en $2\text{h}30\text{min}$.
    $\quad$
    c. On lit la différence des ordonnées des points d’abscisse $4$ et $5$ : $190 – 170 = 20$.
    Il a donc parcouru $20$ kilomètres durant la dernière demi-heure.
    $\quad$
  2. La courbe n’est pas une droite passant par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité entre la distance parcourue et la durée du parcours.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. La fréquence d’apparition de la somme $3$ est de $15\%$.
    $\quad$
  2. La fréquence d’apparition de la somme $1$ est $0$. En effet il est impossible d’obtenir une somme égale à $1$ à l’aide de deux dés dont les quatre faces sont numérotées de $1$ à $4$. Le minimum est $2$.
    $\quad$
  3. a. On peut obtenir $3$ avec les lancés $(1;2)$ et $(2;1)$.
    $\quad$
    b. Il y a équiprobabilité, donc chaque face à la même probabilité d’apparaître $\dfrac{1}{4}$.
    Ainsi le lancé $(1;2)$ a une probabilité d’apparition de $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$.
    Il en est de même pour le tirage $(2;1)$.
    Donc la probabilité d’obtenir une somme égale à $3$ est $\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{8} = 0,125$
    Ce résultat est différent de la fréquence observée car il ne s’agit que d’un échantillon. La probabilité correspond à la fréquence sur un nombre de lancés infinis.
    $\quad$

Exercice 4

On appelle $x$ le nombre cherché.

On obtient ainsi l’équation $(x-10)^2 – x^2  =-340$.

Or $(x-10)^2 – x^2 = x^2 – 20x + 100 – x^2 = -20x + 100$.

Par conséquent $-20x + 100 = -340$ soit $-20x = -440$ et donc $x = \dfrac{-440}{-20} = 22$.

Le nombre auquel je pense est $22$.

$\quad$

Exercice 5

  1. Il s’agit de la phrase “On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale”.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AMN$ et $AHL$ on a :
    – $H\in[AM]$ et $L\in [AN]$
    – $(HL) // (MN)$
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $$\dfrac{AH}{AM} = \dfrac{AL}{AN} = \dfrac{HL}{MN}$$
    Par conséquent $\dfrac{720}{1~000} = \dfrac{270}{MN}$
    $\quad$
    D’où $MN = \dfrac{270 \times 1~000}{720} = 375$.
    $\quad$

Exercice 6

  1. $81\text{h}00\text{min} – 80\text{h}45\text{min} = 15 \text{min}$
    $\quad$
  2. a. Cette différence correspond à l’étendue de la série statistique.
    $\quad$
    b. $\dfrac{9}{2} = 4,5$. La médiane est donc la $5$ème valeur soit $80\text{h}55\text{min}$.
    $\quad$
    c. La vitesse moyenne est donnée par $v=\dfrac{D}{T}$.
    Donc ici $v = \dfrac{3260,5}{80 + \dfrac{52}{60}} \approx 40$ km/h.
    $\quad$

Exercice 7

  1. Calculons dans un premier temps $AC^2$.
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore:
    $\begin{align*} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\
    &= 35,5^2  +35,5^2 \\\\
    & = 2520,5
    \end{align*}$
    Le centre du carré est le milieu des diagonales donc $H$ est le milieu de $[AC]$.
    Par conséquent $AH = \dfrac{1}{2}AC$ donc $AH^2 = \dfrac{AC^2}{4} = 630,125$.
    $\quad$
    On applique de nouveau le théorème de Pythagore dans le triangle $SAH$ rectangle en $H$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} SA^2 &= AH^2 + SH^2 \\\\
    33,14^2 &= 630,125 + SH^2 \\\\
    SH^2& = 1098,2596 – 630,125 \\\\
    SH^2 &= 468,1346 \\\\
    SH = \sqrt{468,1346} \\\\
    SH &\approx 21,64
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Longueur du côté d’un carré sur le patron :
    $\dfrac{35,5}{800} \approx 0,044$m $ \approx 44$mm.
    Longueur d’un arête de la pyramide sur le patron :
    $\dfrac{33,14}{800} \approx 0,004$m $\approx 41$mm.
    $\quad$
    b.
    dnb-amerique du nord - juin2015

 

2014 – 2015


Retrouvez ici tous les sujets de brevets de mathématiques de l’année 2014 – 2015

Pondichéry – Avril 2015 Énoncé Correction
Amérique du Nord – Juin 2015  Énoncé  Correction
Centres étrangers 1 – Juin 2015 Énoncé  Correction
Centres étrangers 2 – Juin 2015 Énoncé  Correction
Polynésie – Juin 2015 Énoncé  Correction
Asie – Juin 2015 Énoncé  Correction
Métropole – Juin 2015 Énoncé  Correction
Métropole – Septembre 2015  Correction
Polynésie – Septembre 2015  Correction
Amérique du Sud – Décembre  2015  Correction
Nouvelle-Calédonie – Décembre  2015  Correction
Nouvelle-Calédonie – Mars  2015  Correction

 

 

DNB – Pondichéry – avril 2015

Pondichéry – Avril 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé du sujet est disponible ici.

Exercice 1

  1. $(x-1)^2 = x^2 – 2\times 1 \times x + 1^2 = x^2-2x+1$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $2\times (-2)^2 + 3\times (-2) – 2 = 2 \times 4 – 6 – 2 = 0$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. On peut soit calculer $f(-19)$, $f(-3)$ et $f(-7)$ et regarder quand on obtient $-7$, soit résoudre l’équation :
    $\begin{align*}
    3x+2 = -7 &\Leftrightarrow 3x = -9 \\\\
    & \Leftrightarrow x = -3
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. Un agrandissement ne modifie pas les angles.
    Réponse C
    $\quad$
  5. Réponse A
    $\quad$

Exercice 2

  1. $\dfrac{2~622}{19} = 138$ et $\dfrac{2~530}{19} \approx 133,16$.
    Puisque la dernière fraction n’est pas un nombre entier, il n’est pas possible de réaliser $19$ paquets.
    $\quad$
  2. On appelle $N$ le nombre de paquets cherchés. Ce nombre doit diviser $2~622$ et $2~530$. Il doit être le plus grand possible.
    Donc $N$ est le PGCD de $2~622$ et $2~530$.
    On utilise l’algorithme d’Euclide :
    $2~622 = 1\times 2~530+92$
    $2~530 = 27 \times 92 + 46$
    $92 = 2 \times 46 + 0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire $46$.
    On peut donc faire $46$ paquets.
    $\dfrac{2~622}{46} = 57$ et $\dfrac{2~530}{46} = 55$
    Chaque paquet comportera alors $57$ oeufs de Pâques et $55$ poissons en chocolat.
    $\quad$

Exercice 3

Nombre de jours : $30 + 31 + 31 = 92$

Nombre de jours de soleil : $0,75 \times 92 = 69$

Nombre de jours nuageux/pluvieux : $92 – 69 = 23$

Loyers de la paillotte : $2~500 \times 3 = 7~500$ euros

Recette de la paillotte : $500 \times 69 + 50 \times 23 = 35~650$ euros

Recette de la boutique : $350 \times 69 + 300 \times 23 = 31~050$ euros

Bénéfice de la paillotte : $35~650 – 7~500=28~150$ euros

Bénéfice de la boutique : $31~050 – 6~900 = 25~530$ euros

Peio doit donc choisir la paillotte.

$\quad$

Exercice 4

  1. Le volume vaut :
    $\begin{align*} V &= \dfrac{Aire_{ABC} \times SA}{3} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{7,5^2}{2} \times 15}{3} \\\\
    & = 140,625 \\\\
    & \approx 141 ~\text{cm}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Le plan $\mathscr{P}$ étant parallèle à la base, le triangle $S’MN$ est donc une réduction du triangle $ABC$. C’est par conséquent un triangle rectangle isocèle en $S’$.
    $\quad$
    b. La pyramide $SS’MN$ est une réduction de $SABC$ de rapport $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.
    Ainsi $S’N = \dfrac{2}{5} AC = \dfrac{2}{5} \times 7,5 = 3$ cm.
    $\quad$
  3. Le volume de $SS’MN$ est de $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 \times 141 \approx 9~ \text{cm}^3$.
    Ainsi le volume maximal de parfum que la bouteille peut contenir est d’environ $141 – 9 = 132~ \text{cm}^3$.

$\quad$

Exercice 5

  1. La probabilité que le candidat accède à la salle du trésor est de $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
  2. a.
    DNB - pondichery - avril 2015 - ex5
    $\quad$
    b. La probabilité qu’il gagne au moins $200$ euros est donc de $\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}$ soit $\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  3. Dans la salle de consolation, $3$ enveloppes sont vides.
    La probabilité que le candidat ne gagne rien est donc de $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Exercice 6

  1. L’angle $\widehat{ABC} = 30°$ Erreur dans l’énoncé
    $\quad$
    DNB - pondichery - avril 2015 - ex6.1
  2. a. Le point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$. Vrai
    $\quad$
    b. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a :
    $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AB}$ soit $\cos 30 = \dfrac{BC}{12}$
    Donc $BC = 12 \cos 30 \approx 10,4$ cm Faux
    $\quad$
    c. L’angle $\widehat{AOC}$ est un angle au centre et il intercepte sur le cercle le même arc que l’angle inscrit $\widehat{ABC}$.
    Donc $\widehat{AOC} = 2 \times 30 = 60°$ $\quad$ Vrai
    $\quad$
    d. On a $\sin 30 = \dfrac{AC}{12}$ donc $AC = 12 \times \sin 30 = 6$ cm.
    On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
    $AB^2 = AC^2 + BC^2$ soit $144 = 36 + BC^2$ d’où $BC^2 = 108$
    Et $BC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
    Par conséquent l’aire du triangle $ABC$ est : $\dfrac{6\sqrt{3} \times 6}{2} = 18\sqrt{3} \text{~cm}^2$. Vrai
    $\quad$
    e. L’angle $\widehat{BAC} = 180 – 90 – 30 = 60°$.
    L’angle inscrit $\widehat{BAC}$ et l’angle au centre $\widehat{BOC}$ interceptent le même arc sur le cercle. Donc $\widehat{BOC} = 2 \times 60 = 120°$
    Faux
    $\quad$

Exercice 7

On appelle $x$ la longueur des côtés des petits triangles équilatéraux. Le périmètre de ces trois triangles est donc de $3 \times 3x = 9x$.

Le périmètre de l’hexagone est : $3(6 – 2x) + 3x = 18 – 3x$

On veut donc que $9x = 18 – 3x$ soit $12x = 18$ et $x=\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$ cm.