DNB – Polynésie – Septembre 2020

Polynésie – Septembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient successivement les nombres suivants :
    $-7 \underset{+2}{\longrightarrow} 5 \underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 25$On obtient donc le nombre $25$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} (2x-3)(4x+1)&=8x^2+2x-12x-3\\
    &=8x^2-10x-3\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
    – les droites $(AB)$ et $(ED)$ sont parallèles;
    – le point $C$ appartient à $[AD]$ à $[EB]$
    D’après le théorème de Thalès on a donc $\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{AB}{ED}$
    Ainsi $\dfrac{3,5}{1}=\dfrac{CB}{1,5}$
    Par conséquent $CB=3,5\times 1,5$ soit $CB=5,25$ cm.
    $\quad$
  4. Le nouveau prix est $22\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=18,7$ €.
    $\quad$
  5. L’effectif total est $11+6+5+3+3+1+1=30$.
    La médiane est donc la moyenne de la $15\ieme$ et $16\ieme$ valeur, c’est-à-dire $\dfrac{1~400+1~400}{2}=1~400$.
    $\quad$
  6. On a :
    $\begin{align*} 41~895&= 3\times 13~965\\
    &=3^2\times 4~655\\
    &=3^2\times 5\times 931 \\
    &=3^2\times 5\times 7\times 133\\
    &=3^2\times 5\times 7^2\times 19\end{align*}$
    Le plus grand nombre premier qui divise $41~895$ est $19$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le point de départ a pour coordonnées $(0;40)$.
    $\quad$
  2. On répète $5$ fois l’instruction Rectangle.
    Le script principal dessine donc $5$ rectangles.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
  4. a. Il suffit d’intervertir les blocs “avancer de 40” et “avancer de 20” dans le bloc Rectangle.
    $\quad$
    b. On peut placer cette instruction après le bloc Rectangle.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. Le triangle $EDC$ est rectangle isocèle en $D$.
    Par conséquent $\widehat{DEC}=\widehat{DCE}=45$°.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $EDC$ rectangle et isocèle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    Donc $EC^2=DE^2+DC^2$
    Soit $5^2=DE^2+DE^2$
    Par conséquent $2DE^2=25$ soit $DE^2=12,5$.
    On déduit donc que $DE=\sqrt{12,5} \approx 3,5$.
    $\quad$
  3. L’aire du triangle $EDC$ est $\dfrac{DE^2}{2}$ soit $\dfrac{12,5}{2}=6,25$ cm$^2$.
    L’aire du carré est $5^2=25$ cm$^2$.
    L’aire du motif est donc égale à $25+6,25=31,25$ cm$^2$ soit environ $31$ cm$^2$.
    $\quad$

Partie 2

a. La rotation de centre $B$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
$\quad$

b. La translation qui transforme $A$ en $K$.
$\quad$

c. La symétrie de centre $B$.
$\quad$

d. La symétrie d’axe $(GH)$ ou la rotation de centre $H$ d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
$\quad$

Partie 3

  1. On obtient la figure suivante$\quad$
  2. On doit donc multiplier l’aire du motif initial par $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$ pour obtenir l’aire du motif agrandi.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. La probabilité que l’album choisi soit un album « Lucky-Luke » est $p_a=\dfrac{45}{365}=\dfrac{9}{73}$.
    $\quad$
    b. La probabilité que l’album choisi soit un comics est $p_b=\dfrac{35+90}{365}=\dfrac{25}{73}$.
    $\quad$
    c. La probabilité que l’album choisi ne soit pas un manga est $p_c=1-\dfrac{85+65}{365}=\dfrac{43}{73}$.
    $\quad$
  2. a. $7$ albums portent le numéro $1$.
    La probabilité que l’album choisi porte le numéro $1$ est $p_1=\dfrac{7}{365}$
    $\quad$
    b. Seuls $4$ albums portent le numéro $40$.
    La probabilité que l’album choisi porte le numéro $40$ est $p_{40}=\dfrac{4}{365}$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. La fonction $g$ est linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite passant par l’origine du repère. Elle est par conséquent représentée par la droite $\left(d_1\right)$.
    Ainsi, la fonction $f$ est représentée par la droite $\left(d_2\right)$.
    $\quad$
  2. $f(t)=g(t)$ revient à $4t+3=6t$ soit $3=2t$ et donc $t=1,5$.
    La solution de l’équation $f(t)=g(t)$ est $1,5$.
    Remarque : on pouvait également lire l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
    $\quad$
  3. Camille marche à la vitesse de $4$ km/h. Elle parcourt donc $1$ km par quart d’heure.
    Ainsi en $45$ min elle a parcouru $3$ km.
    Au moment du départ de Claude, Camille a déjà parcouru $3$ km.
    $\quad$
  4. D’après la question précédente quand $t=0$ Camille a parcouru $3$ km.
    Après $t$ heure de marche elle a parcouru $4t$ km de plus soit $3+4t$.
    $\quad$
  5. Après $t$ heure de marche, Claude a parcouru $6t$ km et Camille $4t+3$ km.
    D’après la question 2. Claude va rattraper Camille au bout d’une heure et demi.
    $\quad$

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DNB – Nouvelle Calédonie – Février 2020

Nouvelle Calédonie – Février 2020

DNB – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

 

L’image de $5$ par ma fonction $f$ est :
$\begin{align*} f(5)&=2(5-3) \\
&=2\times 2\\
&=4\end{align*}$
Affirmation 1 vraie

$\quad$

La production totale est d’environ $84\times 256~000=21~504~000$ Watts soit environ $21,5$ megawatts en moyenne.
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Dans les triangles $ECD$ et $EAB$ :
– le point $E$ appartient au segment $[BC]$ et $[AD]$
– $\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{1,2}{2,8}$  et $\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{1,6}{3,4}$
Calculons les produits en croix : $1,2\times 3,4=4,08$ et $2,8\times 1,6=4,48$.
Par conséquent, d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
Affirmation 3 fausse

$\quad$

Dans ce pentagone, les angles $\widehat{CAB}$, $\widehat{BAF}$, $\widehat{FAE}$, $\widehat{EAD}$ et $\widehat{DAC}$ sont de même mesure.
Ils mesurent donc tous $\dfrac{360}{5}=72$°.
L’angle de la rotation de centre $A$ qui transforme $C$ en $D$ dans le sens des aiguilles d’une montre est $4\times 72=288$°.
Affirmation 4 fausse

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si $x=5$ alors $\text{Étape 1}=9$ et $\text{Étape 2}=7$
    Le résultat final est donc $9\times 7=63$.
    $\quad$
  2. Si $x=-3$ alors $\text{Étape 1}=1$ et $\text{Étape 2}=-9$
    Le résultat final est donc $1\times (-9)=-9$.
    $\quad$
  3. L’expression correspondant au programme de calcul est $A=(x+4)(2x-3)$.
    $\quad$
  4. On doit résoudre l’équation $(x+4)(2x-3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent $x+4=0$ c’est-à-dire $x=-4$
    ou $2x-3=0$ c’est-à-dire $2x=3$ soit $x=1,5$.
    On obtient donc un résultat égal à $0$ uniquement si on choisit les valeurs $-4$ et $1,5$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La courbe n’est pas une droite passant par l’origine du repère.
    La masse moyenne théorique des crevettes n’est donc pas proportionnelle au nombre de jours passés dans le bassin.
    $\quad$
    b. Graphiquement, au bout de $80$ jours la masse moyenne des crevettes est de $11$ grammes.
    $\quad$
    c. Graphiquement, on peut envisager la pêche au bout de $125$ jours.
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. Les masses moyennes relevées sont nettement supérieures aux masses moyennes théoriques.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le volume du cylindre est :
    $\begin{align*} V_{\text{cylindre}}&=\pi \times AC^2\times 2,4 \\
    &=\pi \times 1,4^2 \times 2,4\\
    &=4,704\pi \\
    &\approx 15 \text{ m}^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABD$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} DB^2&=AD^2+AB^2\\
    2,9^2&=1,4^2+AB^2 \\
    8,41&=1,96+AB^2 \\
    AB^2&=6,45 \end{align*}$
    Par conséquent $AB=\sqrt{6,45}\approx 2,5$ m.
    $\quad$
  3. Le volume du cône est :
    $\begin{align*} V_{\text{cône}}&=\dfrac{\pi \times AD^2\times AB}{3} \\
    &\approx \dfrac{\pi \times 1,4^2\times 2,5}{3} \\
    &\approx \dfrac{49}{30}\pi \text{ m}^3\end{align*}$
    Le volume du silo est donc :
    $\begin{align*} V_{\text{silo}}&= V_{\text{cylindre}}+ V_{\text{cône}} \\
    &\approx 4,704\pi+ \dfrac{49}{30}\pi \\
    &\approx 20 \text{ m}^3\end{align*}$
    $\quad$
  4. La masse de granulés est $M=750\times 16$ soit $M=12~000$ kg.
    Le prix est donc de $12~000\times 160=1~920~000$ F CFP.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. D’après l’échelle $1,5$ cm sur la carte représente $50$ m.
    Sur la photo, les bassins ont une longueur d’environ $4,5$ cm et une largeur d’environ $0,9$ cm.
    Réellement la longueur d’un bassin est environ égale à $\dfrac{50\times 4,5}{1,5}=150$ m et la largeur d’un bassin est environ égale à $\dfrac{50\times 0,9}{1,5}=30$ m.
    $\quad$
  2. Chaque bassin reçoit donc $2\times 4~500=9~000$ larves.
    Il faut donc prévoir $6\times 9~000=54~000$ larves pour les $6$ bassins.
    $\quad$
  3. $\dfrac{10\times 54~000}{100}=5~400$.
    Il faut donc commander $5~400+54~000=59~400$ larves de crevettes.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

Partie A

  1. Le nombre $100$ s’affiche dans cette cellule.
    $\quad$
  2. a. La probabilité que la masse de la crevette soit de $21$ grammes est égale à $\dfrac{19}{100}=0,19$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la masse de ma crevette soit supérieure ou égale à $25$ grammes est égale à $\dfrac{14+13+10}{100}=0,37$.
    $\quad$

Partie B

  1. La moyenne de cette série est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{20+18+17+28+28+22+24+24+22+24}{10} \\
    &=22,7\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour calculer la médiane de cette série on la réordonne.
    $$17-18-20-22-22-24-24-24-28-28$$
    $\dfrac{10}{2}=5$ : la médiane est donc la moyenne de $5^{\ieme}$ et de la $5^{\ieme}$ valeur c’est-à-dire $\dfrac{22+24}{2}=23$.
    Cela signifie donc que la moitié des crevettes ont une masse inférieure ou égale à $23$ grammes.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

Le point $E$ appartient au segment $[AC]$ donc :
$\begin{align*} EA&=CA-CE\\
&=3,2-2,8 \\
&=0,4\end{align*}$

Dans le triangle $EAB$ rectangle en $A$ on a :
$\begin{align*} \tan\widehat{EBA}&=\dfrac{EA}{AB} \\
&=\dfrac{0,4}{150}\end{align*}$

D’après la calculatrice, $\widehat{EBA} \approx 0,15$°.
Le bassin est donc bien construit.

$\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. On obtient le script suivant :

    $\quad$
  2. La largeur totale des rectangles est égale à $6\times 30=180$ pixels.
    Les espaces entre les bassins mesurent donc chacun $\dfrac{220-180}{5}=8$ pixels.
    Une fois que le bassin est dessiné, le stylo est positionné sur le sommet inférieur gauche du rectangle.
    Pour pouvoir dessiner le rectangle suivant il faut donc avancer le stylo de $30+8=38$ pixels.
    On doit placer la valeur $38$ à la dernière ligne.
    $\quad$

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DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2019

Nouvelle Calédonie – Décembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. L’aire du triangle est : $A_1=\dfrac{6\times 7}{2}=21$ cm$^2$.
    L’aire du carré est $A_2=5^2=25$ cm$^2$.
    L’aire du rectangle est $A_3=3\times 7=21$ cm$^2$/
    Réponse B
    $\quad$
  2. $1$ min $15$ s $= 75$ s.
    Un roman de $290$ pages se lit en $290\times 75=21~750$s
    Soit $362$ min $30$ s
    ou encore $6$ h $2$ min $30$ s
    Réponse B
  3. $10^{-15}$ kg représente quelque chose de très (très, très) léger.
    $10^4$ kg $=10$ tonnes (des camions sont capables de transporter cette charge)
    Réponse C
  4. $(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Il y a donc $22+2+162+110=296$ carreaux.
    La probabilité que Hugo choisisse un carreau vert est $p_1=\dfrac{110}{296}=\dfrac{55}{148}$.
    $\quad$
  2. La probabilité que Hugo choisisse un carreau violet est $p_2=\dfrac{22}{296}=\dfrac{11}{148}$
    La probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet est donc $1-\dfrac{11}{148}=\dfrac{137}{148}$.
    $\quad$
  3. Il y a $162+2=164$ carreaux noirs ou blancs.
    La probabilité que Hugo choisisse un carreau noir ou blanc est $p_3=\dfrac{164}{296}=\dfrac{41}{74}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{75}{100}\times 296=222$.
    Hugo a donc collé $222$ carreaux en une journée.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $80$ cm $=0,8$ m.
    Le coefficient d’agrandissement est $k=\dfrac{1}{0,8}=1,25$.
    $\quad$
  2. $GH=60\times 1,25=75$ cm.
    $EF=35\times 1,25=43,75$ cm.
    $\quad$
  3. L’aire de $EFGH$ est égale à $1~950\times 1,25^2\approx 3~046$ cm$^2$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $TH=20\times 0,6$m $=12$ m
    Dans le triangle $TCH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $TC^2=TH^2+CH^2$
    Soit $15^2=12^2+CH^2$
    Donc $225=144+CH^2$
    Ainsi $CH^2=81$
    Par conséquent $CH=\sqrt{81}=9$ m.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $THC$ et $TFE$ on a :
    – Le point $H$ appartient à $[TF]$;
    – Le point $C$ appartient à $[TE]$;
    – Les droites $(HC)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires à la droite $(TF)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{TH}{TF}=\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{CH}{EF}$
    ainsi $\dfrac{15}{TE}=\dfrac{9}{13,5}$
    Par conséquent $T\dfrac{15\times 13,5}{9}=22,5$ m.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. D’après le graphique, la vitesse du vent à $14$ h sera de $19$ nœuds
    $\quad$
    b. On prévoit $12$ nœuds de vent à $1$ h et $7$ h.
    $\quad$
    c. La vitesse du vent prévue est la plus élevée à $11$ h.
    $\quad$
    d. La vitesse du vent prévue est la plus faible à $5$ h.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il ne faut pas faire de cerf-volant entre $8$ h $30$ et $12$ h.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. $40\times 1~500=60~000$ : Le tarif du peintre A pour $40$ m$^2$ est de $60~000$ F.
    $40\times 1~000+10~000=50~000$ : Le tarif du peintre B pour $40$ m$^2$ est de $50~000$ F.
    $40<100$ : Le tarif du peintre C pour $40$ m$^2$ est de $70~000$ F.
    $\quad$
  2. Le prix proposé par le peintre B est $B(x)=1~000x+10~000$.
    $\quad$
  3. a. $A(x)=1~500x$ : La fonction $A$ est donc une fonction linéaire.
    $\quad$
    b. $A(60)=1~500\times 60=90~000$.
    L’image de $60$ par la fonction $A$ est $90~000$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $1~500x=30~000$ donc $x=\dfrac{30~000}{1~500}$ soit $x=20$.
    L’antécédent de $30~000$ par la fonction $A$ est $20$.
    $\quad$
    d. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    D’après la question 3.b. on sait qu’elle passe également par le point de coordonnées $(60;90~000)$.
    $\quad$
  4. a. $1~500x=1~000x+10~000$
    Donc $500x=10~000$
    soit $x=\dfrac{10~000}{500}$
    Par conséquent $x=20$
    La solution de l’équation est $20$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que les tarifs des peintre A et B ne sont égaux que si la surface à peindre est de $20$ m$^2$.
    $\quad$
  5. Graphiquement la droite représentant la fonction $B$ est en-dessous des deux autres droites lorsque $x$ est compris entre $20$ et $60$.
    Le peintre B est le moins cher des trois peintre pour des surfaces comprises entre $20$ m$^2$ et $60$ m$^2$.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. On a $56=2\pi\times R$ donc $R=\dfrac{56}{2\pi}\approx 8,9$ cm.
    Le rayon d’un cercle de $56$ cm est environ égal à $9$ cm.
    $\quad$
  2. L’aire d’une demi-sphère de rayon $9$ cm est égale à $A=4\pi\times 9^2=324\pi$ cm$^2$.
    On peut donc estimer que Guillaume a environ $250\times 324\pi \approx 254~469$ cheveux.
    $\quad$

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On répète $6$ fois la même instruction. La figure possède donc $6$ côtés. Il s’agit par conséquent du dessin n°1.
    $\quad$
  2. On obtient le script suivant :
    $\quad$
  3. On peut obtenir le script suivant :

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples    12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Quelle figure a la plus grande aire?
    Les longueurs données sont en centimètres 

    $\quad$

  2. Une page de roman se lit en moyenne en $1$ minute $15$ secondes. Quel temps de lecture
    faudrait-il pour un roman de $290$ pages?
    A. Envion $5$ heures
    B. Envion $5$ heures
    C. Envion $5$ heures
    $\quad$
  3. La masse de la planète Neptune est de l’ordre de :
    A. $10^{-15}$ kg
    B. $10^4$ kg
    C. $10^{26}$ kg
    $\quad$
  4. $(2x+3)(2x−3)=$
    A. $2x^2-9$
    B. $4x^2-12x+9$
    C. $4x^-9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 : Héros     8 points

Hugo réalise un assemblage de carreaux représentant son héros préféré.
Pour cela il doit coller $22$ carreaux violets, $2$ blancs, $162$ noirs et $110$ verts.
Tous les carreaux sont mélangés dans une boîte.
Hugo choisit un carreau au hasard.
On estime que tous les carreaux ont la même chance d’être choisis
  1. Quelle est la probabilité que Hugo choisisse un carreau vert?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que le carreau choisi soit noir ou blanc?
    $\quad$
  4. En une journée Hugo a collé $75\%$ des carreaux. Combien de carreaux cela représente-t-il?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 : Construction     10 points

Le quadrilatère $EFGH$ est un agrandissement de $ABCD$.

Le schéma ci-dessous n’est pas à l’échelle.

On donne $AC=80$ cm et $GE=1$ m
  1. Montrer que le coefficient d’agrandissement est $1,25$.
    $\quad$
  2. Calculer $GH$ et $EF$.
    $\quad$
  3. On considère que l’aire du quadrilatère $ABCD$ est égale à $1~950$ cm$^2$. Calculer l’aire de $EFGH$ en cm$^2$. \emph{Arrondir à l’unité}.

$\quad$

Exercice 4 : Cerf-volant     14 points

Thomas attache son cerf-volant au sol au point $T$.
Il fait $20$ pas pour parcourir la distance $TH$.
Un pas mesure $0,6$ mètre.
Le schéma ci-dessous illustre la situation. Il n’est pas à l’échelle.
Les points $T$, $C$ et $E$ sont alignés.
Les points $T$, $H$ et $F$ sont alignés.
$TC = 15$ m
  1. Montrer que la hauteur $CH$ du cerf-volant est égale à $9$ m.
    $\quad$
  2. Thomas souhaite que son cerf-volant atteigne une hauteur $EF$ de $13,5$ m.
    Calculer la longueur $TE$ de la corde nécessaire.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 : Coup de vent     14 points

Angelo va sur le site « météo NC » pour avoir une idée des meilleurs moments pour faire du cerf-volant avec ses enfants.
Il obtient le graphique ci-dessous qui donne la prévision de la vitesse du vent, en nœuds, en fonction de l’heure de la journée.
Répondre aux questions par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

 

  1. a. Quelle est la vitesse du vent prévue à $14$ h?
    $\quad$
    b. À quelles heures prévoit-on $12$ nœuds de vent?
    $\quad$
    c. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus élevée?
    $\quad$
    d. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus faible?
    $\quad$
  2. La pratique du cerf-volant est dangereuse au-dessus de $20$ nœuds.
    De quelle heure à quelle heure ne faut-il pas faire de cerf-volant?
    On répondra avec la précision permise par le graphique
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6 : Peinture     19 points

On veut peindre des murs d’aire inférieure à $100$ m$^2$.
Voici les tarifs proposés par trois peintres en fonction de l’aire des murs à peindre en m$^2$ : $$\begin{array}{|l l|}
\hline
\textbf{Peintre A :}& 1~500 \text{ F par m}^2\\
\textbf{Peintre B :}& 1~000 \text{ F par m$^2$ et $10~000$ F d’installation de chantier}\\ \textbf{Peintre C :}& 70~000 \text{F quelle que soit l’aire inférieure à 100 m$^2$}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Montrer que pour $40$ m$^2$, le tarif du peintre A est de $60~000$ F, le tarif du peintre B est de $50~000$ F et le tarif du peintre C est de $70~000$ F.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, $x$ désigne l’aire des murs à peindre en m$^2$.

  1. Écrire, en fonction de $x$, le prix proposé par le peintre B.

Les fonctions donnant les prix proposés par le peintre B et le peintre C sont représentées sur l’annexe.

  1. Soient $A(x)$ et $C(x)$ les expressions des fonctions donnant le prix proposé par les peintres A et C en fonction de $x$.
    On a $A(x) = 1~500x$ et $C(x)= 70~000$.

    a. Quelle est la nature de la fonction $A$?
    $\quad$
    b. Calculer l’image de $60$ par la fonction $A$.
    $\quad$
    c. Calculer l’antécédent de $30~000$ par la fonction $A$.
    $\quad$
    d. Tracer la représentation graphique de la fonction $A$ sur l’annexe.

    $\quad$

  2. a. Résoudre l’équation $1~500x = 1~000x + 10~000$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question 4. a.
    $\quad$
  3. Lire graphiquement, sur l’annexe, les surfaces entre lesquelles le peintre B est le moins cher des trois peintres.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 7 : Cheveux     10 points

Guillaume aimerait savoir combien de cheveux il a sur la tête. Pour cela il représente sa tête par une sphère de rayon $R$.
Il mesure le tour de sa tête comme indiqué sur le schéma ci-dessous et obtient $56$ cm.

 

$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{4cm} \text{Rappels :}\\
\text{Périmètre d’un cercle de rayon $R$ : $\mathscr{P} = 2\pi R$}\\
\text{Aire d’une sphère de rayon $R$ : & $\mathscr{A} = 4\pi R^2$.}\\
\hline
\end{array}$

  1. Montrer que le rayon d’un cercle de périmètre $56$ cm est environ égal à $9$ cm.
    $\quad$
  2. Guillaume considère que ses cheveux recouvrent la moitié de la surface de sa tête. Sur $1$ cm$^2$ de son crâne, il a compté $250$ cheveux.
    Estimer le nombre de cheveux de Guillaume.
    Pour cette question toute trace de recherche sera valorisée lors de la notation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 8 : «Scratch»     13 points

Dans les figures de cet exercice la flèche indique la position et l’orientation du lutin au départ.

  1. Indiquer sur la copie le numéro du dessin correspondant au script ci-dessous.

    $\quad$
  2. Sur l’annexe, compléter les deux informations manquantes du script qui permet de réaliser la figure ci-dessous

    $\quad$

  3. En ordonnant les instructions proposées en annexe, compléter le script permettant de réaliser la figure ci-dessous. On indiquera les numéros des instructions sur l’annexe.

 

Annexe 

Question 2

Question 3

$\quad$

 

DNB – Amérique du Sud – Novembre 2019

Amérique du Sud – Novembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  • L’étendue de la série est $94-18=76\neq 25$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  • Déterminons la décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres
    $70=7\times 2 \times 5$
    et $90=9\times 2\times 5=3^2\times 2\times 5$
    Les seuls diviseurs premiers communs à $70$ et $90$ sont $2$ et $5$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  • Les deux quadrilatères ne sont orientés de la même façon. Le quadrilatère $VRAC$ semble être l’image du quadrilatère $BUTS$ par une symétrie centrale.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  • Quand on multiplie l’arête d’un cube par $3$, son volume est multiplié par $3^3=27$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Les familles françaises au dépensé $53$ milliards d’euros en 2015 pour l’entretien des véhicules.
    $\quad$
  2. On peut saisir la formule $=\text{Somme}(B2:B5)$.
    $\quad$
  3. On peut utiliser au moins deux méthodes.
    Méthode 1 : On détermine le pourcentage de baisse.
    $\dfrac{34-39}{39}\times 100\approx -12,82$
    Les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant ont donc baissé d’environ $12,82\%$
    $\quad$
    Méthode 2 : On applique une baisse de $5\%$
    $39\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=39\times 0,95=37,05 \neq 34$
    $\quad$
    Les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant n’ont donc pas baissé de $5\%$ entre 2013 et 2015.
    $\quad$
  4. On appelle $D$ les dépenses totales annuelles des familles françaises en 2015.
    On a ainsi $\dfrac{9,87}{100}\times D=152$
    Donc
    $\begin{align*} D&=\dfrac{~~152~~}{\dfrac{9,87}{100}} \\
    &=152\times \dfrac{100}{9,87} \\
    &\approx 1~540\end{align*}$En 2015 les dépenses totales annuelles des familles françaises s’élevaient à environ $1~540$ milliards d’euros.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Si $x=4$ alors
    $\begin{align*} 5x^2-3(2x+1)&=5\times 4^2-3(2\times 4+1) \\
    &=5\times 16-3(8+1) \\
    &=80-3\times 9 \\
    &=80-27\\
    &=53\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ on a :
    $\begin{align*} 5x^2-3(2x+1)&=5x^2-3\times 2x-3\times 1 \\
    &=5x^2-6x-3\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $5x^2-3(2x+1)=5x^2-4x+1$
    c’est-à-dire $5x^2-6x-3=5x^2-4x+1$
    soit $-6x-3=-4x+1$
    donc $-2x=4$
    d’où $x=\dfrac{4}{-2}$
    par conséquent $x=-2$
    Ainsi si $x=-2$ alors $5x^2-3(2x+1)=5x^2-4x+1$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $CHM$ rectangle en $M$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CM^2&=CH^2+HM^2 \\
    &=8,5^2+20,4^2 \\
    &=72,25+416,16 \\
    &=488,41\end{align*}$
    Ainsi $CM=\sqrt{488,41}=22,1$
    L’ascenseur à blé mesure donc $22,1$ m de long.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $CEF$ et $CMH$ on a :
    – Le point $E$ appartient au segment $[CM]$;
    – Le point $F$ appartient au segment $[CH]$;
    – Les droites $(EF)$ et $(HM)$ sont perpendiculaires à la droite $(CP)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    D’après le théorème de Thalès on a ainsi :
    $\dfrac{CE}{CM}=\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{EF}{MH}$
    Donc $\dfrac{2,5}{8,5}=\dfrac{EF}{20,4}$
    Ainsi $EF=\dfrac{20,4\times 2,5}{8,5}=6$
    Le pilier mesure donc $6$ m de haut.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $CHM$ rectangle en $H$ on a :
    $\tan \widehat{HCM}=\dfrac{HM}{HC}=\dfrac{20,4}{8,5}$
    Par conséquent $\widehat{HCM}\approx 67$ °.
    $\quad$
  4. Le rayon du cylindre est $R=\dfrac{4,2}{2}=2,1$ m.
    Le volume du silo est :
    $V=\pi R^2\times HM=2,1^2\times 20,4 \pi=89,964\pi$ m$^3$.
    La masse maximale de blé est donc :
    $M=800\times V \approx 226~104$ kg soit environ $226$ tonnes.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Pour un « trajet aller » de $30$ km le montant du remboursement est :
    $0,250~3+0,216~5\times 30=6,745~3$
    soit environ $6,75$ €.
    $\quad$
  2. Montant du remboursement pour ce« trajet aller » de $386$ km :
    $13,651~4+0,103~0\times 386=53,409$ €
    $\quad$
    Consommation d’essence : $6,2\times \dfrac{386}{100}=23,932$ litres
    Coût de l’essence : $23,932\times 1,52 \approx 36,38$ €
    Coût du trajet (essence+péage) : $36,38+37=73,38$ €
    $\quad$
    Le remboursement ne sera donc pas suffisant pour couvrir les dépenses de cet employé pour effectuer le « trajet aller » de Nantes à Paris.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Le lutin a parcouru $20+40+40=100$ pixels.
    $\quad$
  2. On obtient la frise suivante :

    $\quad$
  3. On obtient la frise n°2.
    En effet, à la fin du motif on avance de $40$, le stylo est relevé, on avance de $30$ puis, après avoir reposé le stylo on avance de $20$.
    Cela signifie donc que le dernier trait tracé lors du premier motif et le premier trait tracé lors du deuxième sont alignés (ce qui n’est pas le cas dans la frise n°1).
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

  • Affirmation n° 1
    « Dans la série de valeurs ci-dessous, l’étendue est $25$.
    Série : $37$; $20$; $18$; $25$; $45$; $94$; $62$ ».
    $\quad$
  • Affirmation n° 2
    « Les nombres $70$ et $90$ ont exactement deux diviseurs premiers en commun »
    $\quad$
  • Affirmation n° 3
    « À partir du quadrilatère $BUTS$, on a obtenu le quadrilatère $VRAC$ par une translation ».

    $\quad$
  • Affirmation n° 4
    « Quand on multiplie l’arête d’un cube par $3$, son volume est multiplié par $27$ ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     13 points

On a saisi dans un tableur les dépenses liées au transport des familles françaises pour les années 2013 et 2015. Ces dépenses sont exprimées en milliards d’euros.
Pour l’année 2013, on a aussi saisi dans ce tableur les dépenses totales annuelles qui correspondent aux dépenses liées au logement, au transport, à la santé, à l’éducation, etc.
Voici une copie de l’écran obtenu.
Par exemple : en 2015, les dépenses annuelles des familles françaises, liées à l’achat de carburant, ont été de $34$ milliards d’euros.

 

  1. Pour l’année 2015, quelle est la dépense des familles françaises liée aux frais d’entretien des véhicules?
    $\quad$
  2. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B6$ avant de l’étirer dans la cellule $C6$ ?
    $\quad$
  3. À la lecture du tableau, les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant ont-elles baissé de $5\%$ entre 2013 et 2015 ?
    $\quad$
  4. En 2015, les dépenses des familles françaises liées aux transports correspondaient à environ $9,87\%$ des dépenses totales annuelles.
    Quelles étaient alors les dépenses totales annuelles des familles françaises en 2015 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     14 points

  1. Calculer $5x^2-3(2x+1)$ pour $x = 4$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour toute valeur de $x$, on a: $5x^2-3(2x + 1) = 5x^2-6x-3$.
    $\quad$
  3. Trouver la valeur de $x$ pour laquelle $5x^2-3(2x+1)= 5x^2-4x +1$.
    $\quad$

Exercice 4     23 points

Un silo à grains permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d’acheminer le blé dans le silo. L’ascenseur est soutenu par un pilier.

On modélise l’installation par la figure ci-dessous qui n’est pas réalisée à l’échelle :

  • Les points $C$, $E$ et $M$ sont alignés.
  • Les points $C, $F$, $H$ et $P$ sont alignés.
  • Les droites $(EF)$ et $(MH)$ sont perpendiculaires à la droite $(CH)$.
  • $CH =8,50$ m et $CF = 2,50$ m.
  • Hauteur du cylindre: $HM = 20,40$ m.
  • Diamètre du cylindre: $HP = 4,20$ m.

 

Les quatre questions suivantes sont indépendantes.

  1. Quelle est la longueur $CM$ de l’ascenseur à blé ?
    $\quad$
  2. Quelle est la hauteur $EF$ du pilier ?
    $\quad$
  3. Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{HCM}$ entre le sol et l’ascenseur à blé ? On donnera une valeur approchée au degré près.
    $\quad$
  4. Un mètre-cube de blé pèse environ $800$ kg.
    Quelle masse maximale de blé peut-on stocker dans ce silo ? On donnera la réponse à une tonne près.

Rappels :

  • $1$ tonne $= 1~000$ kg
  • volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $\pi \times R^2 \times h$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Une entreprise rembourse à ses employés le coût de leurs déplacements professionnels, quand les employés utilisent leur véhicule personnel.
Pour calculer le montant de ces remboursements, elle utilise la formule et le tableau d’équivalence ci-dessous proposés par le gestionnaire:

$$\begin{array}{|c|}
\hline
\textbf{Document 1}\\
\begin{array}{l}
\text{Formule}\\
\text{Montant du remboursement :}\\
\hspace{1cm} a + b\times d\\
\text{où :}\\
\bullet ~~a \text{ est un prix (en euros) qui ne}\\
\text{dépend que de la longueur du}\\
\text{trajet;}\\
\bullet~~ b \text{ est le prix payé (en euros) par}\\
\text{kilomètre parcouru;}\\
\bullet~~d \text{ est la longueur en kilomètres du }\\
\text{du « trajet aller ».}\\
\\\\
\\\end{array}\begin{array}{l}
\text{Tableau}\\
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Longueur $d$ du « trajet }\\\text{ aller »}\end{array}  &\text{Prix } a&\text{Prix $b$ par kilomètre}\\ \hline
\text{De $1$ km à $16$ km} &0,778~1  &0,194~4\\
\hline
\text{De $17$ km à $32$ km} &0,250~3  &0,216~5\\
\hline
\text{De $33$ km à $64$ km} &2,070~6  &0,159~7\\
\hline
\text{De $65$ km à $109$ km}  &2,889~1  &0,148~9\\
\hline
\text{De $110$ km à $149$ km} &4,086~4  &0,142~5\\ \hline
\text{De $150$ km à $199$ km} &8,087~1  &0,119~3\\ \hline
\text{De $200$ km à $300$ km} &7,757~7  &0,120~9\\ \hline\text{ De $301$ km à $499$ km} &13,651~4 &0,103~0\\ \hline
\text{ De $500$ km à $799$ km} &18,444~9 &0,092~1\\ \hline
\text{De $800$ km à $9~999$ km}    &32,204~1 &0,075~5\\ \hline
\end{array} \\ \end{array}\\
\hline\end{array}$$

  1. Pour un « trajet aller » de $30$ km, vérifier que le montant du remboursement est environ $6,75$ €.
    $\quad$
  2. Dans le cadre de son travail, un employé de cette entreprise effectue un déplacement à Paris. Il choisit de prendre sa voiture et il trouve les informations ci-dessous sur un site internet.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{5cm}\textbf{Document 2}\\
    \text{Distance Nantes – Paris : $386$ km}\\
    \text{Coût du péage entre Nantes et Paris: $37$ €}\\
    \text{Consommation moyenne de la voiture de l’employé: $6,2$ litres d’essence aux $100$ km}\\
    \text{Prix du litre d’essence: $1,52$ €}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À l’aide des documents 1 et 2, répondre à la question suivante :
    « Le montant du remboursement sera-t-il suffisant pour couvrir les dépenses de cet employé pour effectuer le « trajet aller » de Nantes à Paris ? »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     16 points

Voici les copies d’écran d’un programme qui permet d’obtenir une frise.

  1. Quelle distance le lutin a-t-il parcourue pour tracer un seul motif de la frise?
    $\quad$
  2. On modifie le programme, dans cette question seulement :
    $\bullet $ on ne modifie pas le script de la frise.
    $\bullet$ dans le bloc motif, il enlève l’instruction :
    Dessiner à main levée la frise obtenue avec ce nouveau programme.
    $\quad$
  3. On utilise maintenant le bloc motif ci-dessous. Laquelle des deux frises obtient-il ? Expliquer pourquoi.
    $\quad$

 

DNB – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on utilise le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BD^2&=BC^2+CD^2 \\
    &=1,5^2+2^2\\
    &=2,25+4\\
    &=6,25\end{align*}$
    Par conséquent $BD=\sqrt{6,25}=2,25$.
    $\quad$
  2. Le point $D$ appartient à la droite $(CE)$ et les triangles $BCD$ et $DEF$ sont respectivement rectangles en $C$ et $E$.
    Cela signifie donc que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(CE)$.
    Elles sont par conséquent parallèles entre-elles.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $BCD$ et $DEF$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[BF]$ et $[CE]$
    – les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DB}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$
    Ainsi $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2,5}{DF}$
    D’où $DF=\dfrac{5\times 2,5}{2}=6,25$
    $\quad$
  4. La longueur totale du parcours est :
    $\begin{align*} \ell&=AB+BD+DF+FG\\
    &=7+2,5+6,25+3,5\\
    &=19,25 \text{km}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $t$ le temps mis pour effectuer ce trajet.
    On a donc : $16=\dfrac{7}{t}$
    soit $t=\dfrac{7}{16}$ h $=\dfrac{7}{16}\times 60$ min
    Donc $t=26,25$ min ou $t=26$ min $15$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} 2~744&=2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 1~372\\
    &=2\times 2\times 2\times 686\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 343\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 49\\
    &=2\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^3\times 7^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} 2~744^2&=2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\times 2\times 2\times 2\times 7\times 7\times 7\\
    &=2^6\times 7^6\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc
    $\begin{align*} 2~744^2&=2^2\times 2^2\times 2^2\times 7^2\times 7^2\times 7^2 \\
    &=\left(2^2\right)^3\times \left(7^2\right)^3\end{align*}$
    Par conséquent, une solution de l’équation $x^3=2~744^2$ est $2^2\times 7^2$ soit $196$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $b^2=a^3=1~000~000=(1~000)^2$.
    Puisque $b\pg 2$ on a $b=1~000$.
    $\quad$
    b. On teste les différentes possibilités :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    x^2&4&9&16&25&36&49&64&81&100\\
    \hline
    x^3&8&27&64&125&216&343&256&729&1~000\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $4^3=8^2$
    Ainsi $a=4$ et $b=8$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le graphique, en 2005 la concentration de CO$_2$ était environ égale à $380$ ppm
    $\quad$
  2. a. Le graphique est relativement proche de celui d’une droite et une fonction affine est représentée par une droite.
    Une fonction affine semble donc appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b.On a $2\times 2~005-3~630=380$ et $2\times 2~005-2~000=2~010$.
    La  proposition d’Arnold semble donc mieux modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre :
    $2x-3~630=450$ soit $2x=4~080$ d’où $x=2~040$
    C’est en $2~040$ que la valeur $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. On a donc $\dfrac{15}{100}\times M=70$ soit $0,15M=70$ donc $M=\dfrac{70}{0,15}\approx 467$.
    La France a donc émis environ $467$ mégatonne de CO$_2$ en 2016.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) est $\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. Pour $250$ g de chocolat noir on a besoin de $\dfrac{30\times 250}{100}=75$ g de farine.
    $\quad$
  3. La côté de la base du petit carré mesure $24-8-8=8$ cm.
    $\quad$
  4. Volume de la tour Carrée :
    $\begin{align*} V_C&=24^2\times 8+(24-8)^2\times 8+8^2\times 8 \\
    &=4~608+2~048+512\\
    &=7~168 \text{ cm}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le rayon du plus grand cylindre de la tour de Pise est égal à $\dfrac{30}{2}=15$ cm.
    Le rayon du deuxième cylindre est égal à $\dfrac{30-8}{2}=11$ cm.
    Le rayon du dernier cylindre est égal à $\dfrac{22-8}{2}=7$ cm.
    Ainsi le volume de la tour de Pise :
    $\begin{align*} V_P&=\pi\times 15^2\times 6+\pi \times 11^2\times 6+\pi\times 7^2\times 6 \\
    &=1~350\pi+726\pi+294\pi \\
    &=2~370\pi \\
    &\approx 7~446 \text{ cm}^3\end{align*}$
    La tour de Pise a donc le plus grand volume.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient le nombre :
    $(4+6)\times (4-5)+30=10\times (-1)+30=-10+30=20$.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $-3$ on obtient :
    $(-3+6)\times (-3-5)+30=3\times (-8)+30=-24+30=6$
    $\quad$
  2. a. $4+4^2=4+16=20$ ce qui correspond à ce qu’affirme Zoé.
    $\quad$
    b. En $B4$ on a pu saisir $=B2\times B3$.
    $\quad$
    c. Si le nombre de départ est $x$ alors on obtient :
    $\begin{align*} (x+6)(x-5)+30&=x^2-5x+6x-30+30 \\
    &=x^2+x\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut donc résoudre l’équation $x^2+x=0$ soit $x(x+1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-1$
    Les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$ sont $0$ et $-1$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Le dé A ne possède que deux numéro $6$ et $2$ tout comme le dé B dont les numéros sont $5$ et $1$.
    Aucun des numéros des dés A et B sont égaux.
    Une partie ne peut donc pas aboutir sur un match nul.
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, alors la seule possibilité que Basile gagne un point c’est qu’Armelle obtienne $1$ avec le dé B. Il y a trois numéro $1$ sur les six faces du dé.
    La probabilité que Basile gagne le point est donc $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. $1$ est inférieur à $2$ et $6$.
    Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$ alors la probabilité qu’Armelle gagne un point est $0$.
    $\quad$
  3. a. $4$ nombres entiers ($1$, $2$, $3$ et $4$) sont strictement inférieurs à $5$. La probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Voici le programme qu’on peut saisir

    $\quad$
    c. On peut saisir le sous-programme suivant :

    $\quad$
  4. a. La fréquence de gain du joueur A est $f=\dfrac{39~901}{60~000}\approx 66,5\%$
    $\quad$
    b. On peut donc conjecturer que la probabilité que A gagne contre B est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     18 points

Michel participe à un rallye VIT sur un parcours balisé. Le trajet est représenté en traits pleins.
Le départ du rallye est en A et l’arrivée est en $G$.

Le dessin n’est pas à l’échelle.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés.
Les points $B$, $D$ et $F$ sont alignés.
Les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.
Le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$.

  1. Montrer que la longueur $BD$ est égale à $2,5$km.
    $\quad$
  2. Justifier que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $DF$.
    $\quad$
  4. Calculer la longueur totale du parcours.
    $\quad$
  5. Michel roule à une vitesse moyenne de $16$ km/h pour aller du point $A$ au point $B$.
    Combien de temps mettra-t-il pour aller du point $A$ au point $B$ ?
    Donner votre réponse en minutes et secondes.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     14 points

  1. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $2~744$.
    $\quad$
    b. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $2~744^2$.
    $\quad$
    c. À l’aide de cette décomposition, trouver $x$ tel que $x^3 = 2~744^2$.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers supérieurs à $2$ tels que $a^3 = b^2$.
    a. Calculer $b$ lorsque $a = 100$.
    $\quad$
    b. Déterminer deux nombres entiers $a$ et $b$ supérieurs à $2$ et inférieurs à $10$ qui vérifient l’égalité $a^3 = b^2$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Les activités humaines produisent du dioxyde de carbone (CO$_2$) qui contribue au réchauffement climatique. Le graphique suivant représente l’évolution de la concentration atmosphérique moyenne en CO$_2$ (en ppm) en fonction du temps (en année).

$1$ ppm de CO$_2$ $= 1$ partie par million de CO$_2$ $= 1$ milligramme de CO$_2$ par kilogramme d’air.

  1. Déterminer graphiquement la concentration de CO$_2$ en ppm en 1995 puis en 2005.
    $\quad$
  2. On veut modéliser l’évolution de la concentration de CO$_2$ en fonction du temps à l’aide d’une fonction $g$ où $g(x)$ est la concentration de CO$_2$ en ppm en fonction de l’année $x$.
    a. Expliquer pourquoi une fonction affine semble appropriée pour modéliser la concentration en CO$_2$ en fonction du temps entre 1995 et 2005.
    $\quad$
    b. Arnold et Billy proposent chacun une expression pour la fonction $g$ :
    Arnold propose l’expression $g(x) = 2x-3~630$ ;
    Billy propose l’expression $g(x) = 2x-2~000$.
    Quelle expression modélise le mieux l’évolution de la concentration de CO$_2$ ? Justifier.
    $\quad$
    c. En utilisant la fonction que vous avez choisie à la question précédente, indiquer l’année pour laquelle la valeur de $450$ ppm est atteinte.
    $\quad$
  3. En France, les forêts, grâce à la photosynthèse, captent environ $70$ mégatonnes de CO$_2$ par an, ce qui représente $15\%$ des émissions nationales de carbone (année 2016).
    Calculer une valeur approchée à une mégatonne près de la masse M du CO$_2$ émis en France en 2016.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour le mariage de Dominique et Camille, le pâtissier propose deux pièces montées constituées de gâteaux de tailles et de formes différentes.

La tour de Pise :
La première pièce montée est constituée d’un empilement de $4$ gâteaux de forme cylindrique, de même hauteur et dont le diamètre diminue de $8$ cm à chaque étage.

Le gâteau du bas a pour diamètre $30$ cm et pour hauteur $6$ cm.

 

La tour Carrée :
La deuxième pièce montée est constituée d’un empilement de $3$ pavés droits à base carrée de même hauteur. La longueur du côté de la base diminue de $8$ cm à chaque étage.

La hauteur des gâteaux est $8$ cm ; le côté de la base du gâteau
du bas mesure $24$ cm.

 

Tous les gâteaux ont été confectionnés à partir de la recette ci-dessous qui donne la quantité des ingrédients correspondant à $100$ g de chocolat.

Recette du gâteau pour 100 g de chocolat :

  • $65$ g de sucre
  • $2$ œufs
  • $75$ g de beurre
  • $30$ g de farine
  1. Quel est le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Calculer la quantité de farine nécessaire pour $250$ g de chocolat noir suivant la recette ci-dessus.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur du côté de la base du plus petit gâteau de la tour Carrée.
    $\quad$
  4. Quelle est la tour qui a le plus grand volume ? Justifier votre réponse en détaillant les calculs.
    On rappelle que le volume $V$ d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $$V=\pi\times r^2\times h$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

On donne le programme de calcul suivant :

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Étape } 1 :& \text{Choisir un nombre de départ}\\
\text{Étape } 2 :& \text{Ajouter $6$ au nombre de départ}\\
\text{Étape } 3 :& \text{Retrancher $5$ au nombre de départ}\\
\text{Étape } 4 :& \text{Multiplier les résultats des étapes $2$ et $3$}\\
\text{Étape } 5 :& \text{Ajouter $30$ à ce produit}\\
\text{Étape } 6 :& \text{Donner le résultat}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Montrer que si le nombre choisi est $4$, le résultat est $20$.
    $\quad$
    b. Quel est le résultat quand on applique ce programme de calcul au nombre $-3$ ?
    $\quad$
  2. Zoé pense qu’un nombre de départ étant choisi, le résultat est égal à la somme de ce nombre et de son carré.
    a. Vérifier qu’elle a raison quand le nombre choisi au départ vaut $4$, et aussi quand on choisit $-3$.
    $\quad$
    b. Ismaël décide d’utiliser un tableur pour vérifier l’affirmation de Zoé sur quelques exemples.

    Il a écrit des formules en $B2$ et $B3$ pour exécuter automatiquement les étapes 2 et 3 du programme de calcul.
    Quelle formule à recopier vers la droite a-t-il écrite dans la cellule $B4$ pour exécuter l’étape 4 ?
    $\quad$
    c. Zoé observe les résultats, puis confirme que pour tout nombre x choisi, le résultat du programme de calcul est bien $x^2 + x$. Démontrer sa réponse.
    $\quad$
    d. Déterminer tous les nombres pour lesquels le résultat du programme est $0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     20 points

Deux amis Armelle et Basile jouent aux dés en utilisant des dés bien équilibrés mais dont les faces ont été modifiées. Armelle joue avec le dé A et Basile joue avec le dé B.

Lors d’une partie, chaque joueur lance son dé et celui qui obtient le plus grand numéro gagne un point.

Voici les patrons des deux dés :

  1. Une partie peut-elle aboutir à un match nul ?
    $\quad$
  2. a. Si le résultat obtenu avec le dé A est $2$, quelle est la probabilité que Basile gagne un point ?
    $\quad$
    b. Si le résultat obtenu avec le dé B est $1$, quelle est la probabilité qu’Armelle gagne un point ?
    $\quad$
  3. Les joueurs souhaitent comparer leur chance de gagner. Ils décident de simuler un match de soixante mille duels à l’aide d’un programme informatique.
    $\quad$
    Voici une partie du programme qu’ils ont réalisé.

    On précise que l’expression (nombre aléatoire entre $\boldsymbol{1}$ et $\boldsymbol{6}$) renvoie de manière équiprobable un nombre pouvant être $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ou $6$.
    $\quad$
    Les variables FaceA et FaceB enregistrent les résultats des dés A et B. Par exemple, la variable FaceA peut prendre soit la valeur $2$ soit la valeur $6$, puisque ce sont les seuls nombres présents sur le dé A.
    $\quad$
    Les variables Victoire de A et Victoire de B comptent les victoires des joueurs.
    a. Lorsqu’on exécute le sous-programme « Lancer le dé A », quelle est la probabilité que la variable FaceA prenne la valeur $2$ ?
    $\quad$
    b. Recopier la ligne 7 du programme principal en la complétant.
    $\quad$
    c. Rédiger un sous-programme « Lancer le dé B » qui simule le lancer du dé B et enregistre le nombre obtenu dans la variable FaceB.
    $\quad$

  4. Après exécution du programme principal, on obtient les résultats suivants :
    Victoire de A $= 39~901$ $\hspace{2cm}$ Victoire de B $= 20~099$
    a. Calculer la fréquence de gain du joueur A, exprimée en pourcentage. On donnera une valeur approchée à $1\%$ près.
    $\quad$
    b. Conjecturer la probabilité que A gagne contre B.
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $(-2)^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=16$
    Réponse A
    Evidemment, si tu as vu en cours permettant de calculer plus rapidement tu peux les utiliser.
    $\quad$
  2. $90$ km/h $=90\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $=25$ m/s
    Réponse C
    $\quad$
  3. $24=2\times 12=2\times 2\times 6=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  4. L’image de $-1$ par la fonction $f$ est :
    $f(-1)=2\times (-1)+5=-2+5=3$
    Réponse A
    $\quad$
  5. Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions d’un rectangle, son aire est multipliée par $3^2=9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $35+23+14+28=100$
    Il a donc téléchargé $100$ titres.
    $\quad$
  2. a. La probabilité de l’événement « Obtenir un titre Pop » est $\dfrac{35}{100}=0,35$.
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement « Le titre diffusé est du Rap » est $\dfrac{23}{100}$.
    Par conséquent la probabilité de l’événement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » est $1-\dfrac{23}{100}=0,77$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{1,5\times 1~000}{4}=375$
    Il peut télécharger au maximum $375$ nouveaux titres musicaux.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La valeur $1~783,04$ représente la somme des salaires versés en 2015.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{SOMME}(A4:L4)$ ou $=\text{SOMME}(C4:L4)$
    $\quad$
    c. On doit saisir cette formule dans la cellule $G16$.
    $\quad$
  2. La somme des salaires versés est $1~783,04+2~446,69+2~069,62=6~299,35$.
    Le montant de « l’indemnité de rupture » est donc $\dfrac{6~299,35}{120}\approx 52,49$ €
    $\quad$
  3. Le salaire moyen versé à l’assistante maternelle sur toute la durée du contrat est :
    $m=\dfrac{6~299,35}{10+12+8}\approx 209,98$ €.
    $\quad$
  4. L’étendue des salaires versés est $270,15-77,81=192,34$ €.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut utiliser la symétrie centrale de centre $A$ pour passer du rectangle $FGHI$ eu rectangle $PQRS$.
    $\quad$
  2. L’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° est le rectangle $JKLM$.
    $\quad$
  3. a. Le point $V$ appartient au côté $[EB]$ du rectangle $BCDE$.
    Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.
    Par conséquent les côtés $[EB]$ et $[DC]$ sont parallèles et les droites $(DC)$ et $(VB)$ sont également parallèles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $AVB$ et $ACD$ :
    – le point $B$ appartient au segment $[AC]$;
    – le point $V$ appartient au segment $[AD]$;
    – les droites $(VB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AV}{AD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{VB}{DC}$
    soit $\dfrac{10}{30}=\dfrac{4}{DC}$
    Donc $DC=\dfrac{30\times 4}{10}=12$ cm
    $\quad$
    c. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{12}{30}=0,4$
    Par conséquent $\widehat{DAC}\approx 22$°.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans le triangle $CDP$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=DP^2+CP^2 \\
    &=1,3^2+1,3^2 \\
    &=3,38\end{align*}$
    Par conséquent $CD=\sqrt{3,38}\approx 1,84$ m.
    $\quad$
  2. $EP=ED+DP=BC+CP=BP$
    Le rectangle $ABPE$ possède donc deux côtés consécutifs de même longueur. C’est un carré.
    $\quad$
  3. On a donc $AB=EP=0,4+1,3=1,7$ m
    Le périmètre du polygone $ABCDE$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{P}&=AB+CB+CD+DE+AE\\
    &\approx 1,7+0,4+1,84+0,4+1,7\\
    &\approx 6,04 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{6,04}{2,4}\approx 2,52$
    On a donc eu besoin de $3$ planches pour construire le tour du bac à sable.
    $\quad$
  5. L’aire du carré $ABPE$ est $\mathscr{A}_1=1,7^2=2,89$ m$^2$.
    L’aire du triangle $DPC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{1,3\times 1,3}{2}=0,845$ m$^2$.
    L’aire du polygone $ABCDE$ est donc :
    $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2=2,045$ m$^2$.
    $\quad$
  6. Volume du prisme droit :
    $V=2,045\times 0,15=0,306~75$ m$^3$ $=306,75$ L
    On a donc eu besoin de plus de $300$ L de sable pour emplir complètement le bac.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. $\dfrac{2,4-1,9}{0,1}=5$.
    La pression sera descendue à $1,9$ bars en $5$ mois s’il n’y a aucun gonflage.
    $\quad$
    b. Pour des pneus gonflés à $1,9$ bars le véhicule consomme entre $2\%$ et environ $4,5\%$ de carburant en plus.
    $\quad$
  2. a. $6\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=5,1$
    La consommation de la voiture de Paul sera de $5,1$ L aux $100$ km.
    $\quad$
    b. Consommation de carburant de Paul avant le stage : $\dfrac{6\times 20~000}{100}=1~200$ L.
    $\dfrac{1~200\times 15}{100}=100$ L
    Il peut donc espérer économiser $100$ L par an.
    $\quad$
    c. $100\times 1,35=135$
    Il pourra réaliser $135$ € d’économie par an.
    $\quad$
    d. $2\times 135=270>200$.
    Son stage sera amorti au bout de deux ans.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Voici, pour le lutin n°1, les différentes étapes de calcul:
    $7\underset{+5}{\longrightarrow}12\underset{\times 2}{\longrightarrow}24\underset{\times -7}{\longrightarrow}17$
    On obtient bien $17$ avec le lutin n°1.
    $\quad$
  2. $7\underset{\times 7}{\longrightarrow}49\underset{-8}{\longrightarrow}41$
    On obtient bien $41$ avec le lutin n°2.
    $\quad$
  3. a. Instruction 3 : $x+5$
    Instruction 4 : $2(x+5)$
    Instruction 5 : $2(x+5)-x$
    $\quad$
    b. $2(x+5)-x=2x+10-x=x+10$
    L’expression peut bien s’écrire $x+10$.
    $\quad$
  4. On peut remplacer l’instruction 3 par celle proposée par Célia et supprimer les instructions 4 et 5.
    $\quad$
  5. L’expression du lutin n°2 est, si on appelle $x$ le nombre saisi, $7x-8$.
    On veut donc résoudre l’équation $7x-8=x+10$
    donc $6x-8=10$
    soit $6x=18$
    d’où $x=3$
    Paul a donc saisi le nombre $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     15 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question des réponses sont proposées, une seule est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Questions} &\text{A} &\text{B} &\text{C}\\
\hline
\textbf{1. } \text{Le nombre $(- 2)^4$ est égal à :}& 16 &- 8 &20~000\\
\hline
\textbf{2. } \text{Une vitesse de $90$ km/h est égale à :} &0,025 \text{ m/s} &25~000 \text{ m/s} &25 \text{m/s}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{3. } \text{La décomposition en produit de facteurs}\\\text{ premiers de $24$ est:}\end{array} &2\times3\times4 & 2\times2\times2\times3 & 2\times2\times6\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{4. } \text{Soit $f$ la fonction affine définie par }\\
\hspace{1.5cm}f : x \longmapsto 2x + 5 \\
\text{L’image de $- 1$ par la fonction $f$ est:}\end{array}&3 &6 &- 7\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{5. } \text{Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions}\\ \text{ d’un rectangle, son aire est multipliée par:}\end{array} &3 &6 &9\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 2     12 points

Hugo a téléchargé des titres musicaux sur son téléphone. Il les a classés par genre musical comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Genre musical} &\text{Pop} &\text{Rap} &\text{Techno} &\text{Variété}\\
\hline
\text{Nombre de titres} &35 &23 &14 &28\\
\hline
\end{array}$$

  1. Combien de titres a-t-il téléchargés?
    $\quad$
  2. Il souhaite utiliser la fonction « lecture aléatoire » de son téléphone qui consiste à choisir au hasard parmi tous les titres musicaux téléchargés, un titre à diffuser. Tous les titres sont différents et chaque titre a autant de chances d’être choisi. On s’intéresse au genre musical du premier titre diffusé.
    a. Quelle est la probabilité de l’évènement: « Obtenir un titre Pop » ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de l’évènement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » ?
    $\quad$
    c. Un fichier musical audio a une taille d’environ $4$ Mo (Mégaoctets). Sur le téléphone d’Hugo, il reste $1,5$ Go (Gigaoctet) disponible.
    Il souhaite télécharger de nouveaux titres musicaux. Combien peut-il en télécharger au maximum ?
    Rappel: $1$ Go $= 1~000$ Mo
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     14 points

Une assistante maternelle gardait plusieurs enfants dont Farida qui est entrée à l’école en septembre 2017. Ses parents ont alors rompu leur contrat avec cette assistante maternelle. La loi les oblige à verser une « indemnité de rupture ».
Le montant de cette indemnité est égal au $1/120 \ieme$ du total des salaires nets perçus par l’assistante maternelle pendant toute la durée du contrat.
Ils ont reporté le montant des salaires nets versés, de mars 2015 à août 2017, dans un tableur comme ci-dessous :

  1. a. Que représente la valeur $1~783,04$ dans la cellule $M4$ ?
    $\quad$
    b. Quelle formule a-t-on écrit dans la cellule $M4$ pour obtenir cette valeur ?
    $\quad$
    c. Dans quelle cellule doit-on écrire la formule $= M4 + M9 + M14$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer le montant de « l’indemnité de rupture ». Arrondir au centime d’euro près.
    $\quad$
  3. Déterminer le salaire moyen net mensuel versé à cette assistante maternelle sur toute la durée du contrat de la famille de Farida. Arrondir au centime d’euro près.
    $\quad$
  4. Calculer l’étendue des salaires versés.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     14 points

On s’intéresse aux ailes d’un moulin à vent décoratif de jardin. Elles sont représentées par la figure ci-dessous:

On donne :

  • $BCDE$, $FGHI$, $JKLM$ et $PQRS$ sont des rectangles superposables.
  • $C$, $B$, $A$, $J$, $K$ d’une part et $G$, $F$, $A$, $P$, $Q$ d’autre part sont alignés.
  • $AB = AF = AJ = AP$
  1. Quelle transformation permet de passer du rectangle $FGHI$ au rectangle $PQRS$ ?
    $\quad$
  2. Quelle est l’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre?
    $\quad$
  3. Soit $V$ un point de $[EB]$ tel que $BV = 4$ cm.
    On donne:
    $AB = 10$ cm et $AC = 30$ cm.
    Attention la figure n’est pas construite à la taille réelle.
    a. Justifier que $(DC)$ et $(VB)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Calculer $DC$.
    $\quad$
    c. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{DAC}$. Arrondir au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     16 points

On a construit un bac à sable pour enfants.

Ce bac a la forme d’un prisme droit de hauteur $15$ cm. La base de ce prisme droit est représentée par le polygone $ABCDE$ ci-dessous:

Attention la figure n’est pas construite à la taille réelle.

On donne :

  • $PC = PD = 1,30$ m
  • $ED = BC = 40$ cm
  • $E, D, P$ sont alignés
  • $B, C, P$ sont alignés
  1. Calculer $CD$. Arrondir au centimètre près.
    $\quad$
  2. Justifier que le quadrilatère $ABPE$ est un carré.
    $\quad$
  3. En déduire le périmètre du polygone $ABCDE$. Arrondir au centimètre près.
    $\quad$
  4. On a construit le tour du bac à sable avec des planches en bois de longueur $2,40$ m et de hauteur $15$ cm chacune. De combien de planches a-t-on eu besoin?
    $\quad$
  5. Calculer, en m$^2$, l’aire du polygone $ABCDE$.
    $\quad$
  6. A-t-on eu besoin de plus de $300$~L de sable pour remplir complètement le bac ?
    Rappel : Volume d’un prisme droit $=$ aire de la base $\times$ hauteur.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 6     15 points

L’éco-conduite est un comportement de conduite plus responsable permettant de :

  • réduire ses dépenses : moins de consommation de carburant et un coût d’entretien du véhicule réduit ;
  • limiter les émissions de gaz à effet de serre;
  • réduire le risque d’accident de $10$ à $15\%$ en moyenne.
  1. Un des grands principes est de vérifier la pression des pneus de son véhicule. On considère des pneus dont la pression recommandée par le constructeur est de $2,4$ bars.
    a. Sachant qu’un pneu perd environ $0,1$ bar par mois, en combien de mois la pression des pneus sera descendue à $1,9$ bar, s’il n’y a eu aucun gonflage ?
    $\quad$
    b. Le graphique ci-dessous donne un pourcentage approximatif de consommation supplémentaire de carburant en fonction de la pression des pneus (zone grisée) :

    source : www.eco-drive.ch
    D’après le graphique, pour des pneus gonflés à $1,9$ bars alors que la pression recommandée est de $2,4$ bars, donner un encadrement approximatif du pourcentage de la consommation supplémentaire de carburant.
    $\quad$
  2. Paul a remarqué que lorsque les pneus étaient correctement gonflés, sa voiture consommait en moyenne $6$ L aux $100$ km. Il décide de s’inscrire à un stage d’éco-conduite afin de diminuer sa consommation de carburant et donc l’émission de CO$_2$. En adoptant les principes de l’écoconduite, un conducteur peut diminuer sa consommation de carburant d’environ $15\%$. Il souhaite, à l’issue du stage, atteindre cet objectif.
    a. Quelle sera alors la consommation moyenne de la voiture de Paul ?
    $\quad$
    b. Sachant qu’il effectue environ $20~000$ km en une année, combien de litres de carburant peut-il espérer économiser ?
    $\quad$
    c. Sa voiture roule à l’essence sans plomb. Le prix moyen est $1,35$ €/L. Quel serait alors le montant de l’économie réalisée sur une année ?
    $\quad$
    d. Ce stage lui a coûté $200$ €. Au bout d’un an peut-il espérer amortir cette dépense?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     14 points

On donne le programme ci-dessous où on considère $2$ lutins. Pour chaque lutin, on a écrit un script correspondant à un programme de calcul différent.

  1. Vérifier que si on saisit $7$ comme nombre, le lutin n°1 affiche comme résultat $17$ et le lutin n°2 affiche $41$.
    $\quad$
  2. Quel résultat affiche le lutin n°2 si on saisit le nombre $- 4$ ?
    $\quad$
  3. a. Si on appelle $x$ le nombre saisi, écrire en fonction de $x$ les expressions qui traduisent le programme de calcul du lutin n°1, à chaque étape (instructions 3 à 5).
    $\quad$
    b. Montrer que cette expression peut s’écrire $x + 10$.
    $\quad$
  4. Célia affirme que plusieurs instructions dans le script du lutin n°1 peuvent être supprimées et remplacées par celle ci-dessous.

    Indiquer, sur la copie, les numéros des instructions qui sont alors inutiles.
    $\quad$
  5. Paul a saisi un nombre pour lequel les lutins n°1 et n°2 affichent le même résultat. Quel est ce nombre ?
    $\quad$

$\quad$

DNB – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – Juillet 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $24=2\times 12=8\times 3=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $2~255$ se termine par $5$ : il est donc divisible par $5$.
    La somme des chiffres du nombre $7~113$ vaut $12$ qui est divisible par $3$. Donc $7~113$ est divisible par $3$.
    Ainsi, par déduction, $8~191$ est premier.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Quand la roue B fait $2$ tours, cela correspond à $2\times 18=36$ mouvements de dents.
    Or $\dfrac{36}{12}=3$.
    La roue A fait donc $3$ tours.
    Réponse A
    $\quad$
  4. Dans les triangles $TRS$ et $PRV$ :
    – les droites $(TS)$ et $(PV)$ sont parallèles;
    – le point $R$ appartient au segment $[TV]$;
    – le point $R$ appartient au segment $[SP]$.
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $\dfrac{RT}{RV}=\dfrac{RS}{RP}=\dfrac{ST}{PV}$
    Donc $\dfrac{7,2}{3}=\dfrac{8,4}{PV}$ soit $PV=\dfrac{3\times 8,4}{7,2}=3,5$ cm.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. D’après la feuille de calcul $f(-1)=-7$.
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul, l’antécédent de $5$ est $3$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est une fonction affine. On doit donc déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, on ait $f(x)=ax+b$.
    On sait, d’après la feuille de calcul, que $f(0)=-4$. Par conséquent $b=-4$.
    Ainsi $f(x)=ax-4$.
    On sait également que $f(-1)=-7$.
    Par conséquent $-7=a\times (-1)-4$
    Soit $-7=-a-4$
    Ainsi $-3=-a$ et $a=3$.
    Donc, pour tout nombre $x$, on a $f(x)=3x-4$.
    $\quad$
    Remarque : D’après la formule $=3*B1-4$ saisie dans la cellule $B2$ on pouvait également dire que $f(x)=3x-4$.
    $\quad$
    d. $f(10)=3\times 10-4=26$.
    $\quad$
  2. a. Voici les différentes étapes du programme de calcul :
    $\bullet$ Choisir un nombre
    $\bullet$ Ajouter $3$ à ce nombre
    $\bullet$ Multiplier le résultat obtenu par $2$
    $\bullet$ Soustraire $5$ du résultat précédent.
    $\quad$
    b. Voici les différents résultats obtenus :
    $8\underset{+3}{\longrightarrow}11\underset{\times 2}{\longrightarrow}22 \underset{-5}{\longrightarrow}17$
    Si on choisit le nombre $8$ au départ, on obtient le nombre $17$.
    $\quad$
    c. On considère un nombre $x$. Voici les différents résultats obtenus :
    $x\underset{+3}{\longrightarrow}x+3\underset{\times 2}{\longrightarrow}2(x+3) \underset{-5}{\longrightarrow}2(x+3)-5$
    Or $2(x+3)-5=2x+6-5=2x+1$.
    On obtient bien le nombre $2x+1$ avec ce programme.
    $\quad$
    d. On veut résoudre l’équation $2x+1=6$ soit $2x=5$ et donc $x=\dfrac{5}{2}$.
    Il faut donc choisir le nombre $\dfrac{5}{2}$ au départ pour obtenir $6$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le nombre $x$ pour que :
    $2x+1=3x-4$
    Donc $1=x-4$ soit $5=x$.
    En choisissant le nombre $5$, la fonction $f$ et le programme calcul donnent le même résultat.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{150}{500}=0,3$.
    La probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet est donc égale à $0,3$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{20}{100}\times 500=100$.
    Il y a donc $100$ bonbons rouges dans son paquet.
    $\quad$
  3. $500-150-100-130=120$.
    Il y a donc $120$ bonbons jaunes dans son paquet.
    Or $120<130$.
    Sam a donc plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert.
    $\quad$
  4. $140+100+60+100=400$ : il reste donc $400$ bonbons dans le paquet d’Aïcha.
    La probabilité de choisir un bonbon bleu dans ce paquet est $\dfrac{140}{400}=0,35>0,3$.
    Aïcha a donc raison.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{35,4}{2~305}=\dfrac{354}{2~305}$.
    Ainsi la hauteur de la pyramide de Khéops est environ égale à $\dfrac{21,6}{k}\approx 140,6$ m.
    $\quad$
  2. Le volume de la pyramide du Louvre est :
    $V=\dfrac{35,4^2\times 21,6}{3} =9~022,752$ m$^3$ \approx $9~023$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Le coefficient d’agrandissement est $k’=\dfrac{2~30,5}{35,4}$.
    Pour déterminer le volume de la pyramide de Khéops, il faut multiplier le volume de la pyramide du Louvre par $k’^3 \approx 276$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle ADC rectangle en $D$ on a :
$\sin \widehat{DCA}=\dfrac{AD}{AC}$ donc $\sin 24 = \dfrac{AD}{5,6}$ et $AD=5,6\sin 24\approx 2,278$

$\cos \widehat{DCA}=\dfrac{CD}{AC}$ donc $\cos 24=\dfrac{CD}{5,6}$ et $CD=5,6\cos 24\approx 5,116$
Le voilier 2 a donc parcouru $CD+DA\approx 7,394$ km soit $7,4$ km arrondi au dixième.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2$ donc $5,6^2=4,8^2+BC^2$
Par conséquent $BC^2=5,6^2-4,8^2=8,32$.
Le voilier 1 a donc parcouru $BC+AB=\sqrt{8,32}+4,8\approx 7,7$ km arrondi au dixième.

Le voilier 1 a par conséquent parcouru une plus grande distance que le voilier 2.
$\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. $\dfrac{200}{19,78}\approx 10,11$.
    La vitesse de l’athlète le plus rapide est environ égale à $10,11$ m/s.
    $\quad$
  2. $\dfrac{19,78+20,02+20,12+20,12+20,13+20,19+20,23+20,43}{8}=20,127~5$.
    La moyenne des performances de ces athlètes est environ égale à $20,13$ s.
    $\quad$
  3. L’étendue des performances en 2016 est $e=20,43-19,78=0,65$.
    On constate donc que les performances ont en moyenne baissé mais que l’ écart entre le plus rapide et le plus lent est sensiblement resté le même entre 1964 et 2016.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Le plus haut niveau d’eau dans le port est d’environ $6$ m à $20$ h.
    $\quad$
  2. La hauteur d’eau a été de $5$ m a environ $6$ h, $10$h $30$m, $18$ h et $23$ h.
    $\quad$
  3. a. $14$ h $30-8$ h $16 = 6$h $14$
    Il s’est écoulé $6$h $14$ min entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
    b. $5,89-0,90=4,99$
    Entre les deux marées il y a une différence de $4,99$ m.
    $\quad$
  4. Le coefficient de marée est $C=\dfrac{5,89-0,90}{5,34}\times 100\approx 93$.
    Il s’agissait donc d’une marée de vives-eaux.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     12 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question des réponses sont proposées, une seule est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Pour la question 4, une justification est attendue.

  1. La décomposition en produit de facteurs premiers de $24$ est :
    A. $2\times 3\times 4$
    B. $2\times 2\times 2\times 3$
    C. $2\times 2\times 6$
    $\quad$
  2. Lequel de ces nombres est premier?
    A. $2~255$
    B. $8~191$
    C. $7~113$
    $\quad$
  3. La roue B fait $2$ tours, combien de tours fait la roue A?

    A. $3$ tours
    B. $4$ tours
    C. $5$ tours
    $\quad$
  4. Pour cette question, une justification est attendue.


    A. $PV=3$ cm
    B. $PV=20,16$ cm
    C. $PV=3,5$ cm
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

  1. On a utilisé une feuille de calcul pour obtenir les images de différentes valeurs de $x$ par une fonction affine $f$.
    Voici une copie de l’écran obtenu :

    a. Quelle est l’image de $-1$ par la fonction $f$?
    $\quad$
    b. Quel est l’antécédent de $5$ par la fonction $f$?
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $f(x)$.
    $\quad$
    d. Calculer $f(10)$.
    $\quad$
  2. On donne le programme suivant qui traduit un programme de calcul.

    a. Écrire sur votre copie les deux dernières étapes du programme de calcul :
    $$\begin{array}{|l|} \hline \bullet \text{ Choisir un nombre}\\
    \bullet \text{ Ajouter $3$ à ce nombre.}\\
    \bullet \ldots\\
    \bullet \ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $8$ au départ, quel sera le résultat?
    $\quad$
    c. Si on choisit $x$ comme nombre de départ, montrer que le résultat obtenu avec ce programme de calcul sera $2x+1$.
    $\quad$
    d. Quel nombre doit-on choisir au départ pour obtenir $6$?
    $\quad$
  3. Quel nombre faudrait-il choisir pour que la fonction $f$ et le programme de calcul donnent le même résultat?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Sam préfère les bonbons bleus.
Dans son paquet de $500$ bonbons, $150$ sont bleus, les autres sont rouges, jaunes ou verts.

  1. Quelle est la probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet?
    $\quad$
  2. $20\%$ des bonbons de ce paquet sont rouges. Combien y a-t-il de bonbons rouges?
    $\quad$
  3. Sachant qu’il y a $130$ bonbons verts dans ce paquet, Sam a-t-il plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert ou un bonbon jaune?
    $\quad$
  4. Aïcha avait acheté le même paquet il y a quinze jours, il ne lui reste que $140$ bonbons bleus, $100$ jaunes, $60$ rouges et $100$ verts. Elle dit à Sam « Tu devrais piocher dans mon paquet, plutôt que dans le tien, tu aurais plus de chance d’obtenir un bleu».
    A-t-elle raison?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     12 points

Photo de Benh LIEU SONG

La pyramide du Louvre à Paris est une pyramide à base carrée de côté $35,4$ m et de hauteur $21,6$ m.
C’est une réduction de la pyramide de Khéops en Égypte, qui mesure environ $230,5$ m de côté.

  1. Montrer que la hauteur de la pyramide de Khéops est d’environ $140,6$ m.
    $\quad$
  2. Calculer le volume en m$^3$ de la pyramide du Louvre. (Arrondir à l’unité)
    $\quad$
  3. Par quel nombre peut-on multiplier le volume de la pyramide du Louvre pour obtenir celui de la pyramide de Khéops? (Arrondir à l’unité)

Rappel :

Volume d’une pyramide $=\dfrac{\text{Aire de la base  $\times$ Hauteur}}{3}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Lorsqu’un voilier est face au vent, il peut pas avancer.

Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.

Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième, que chacun a parcourue.

$\quad$

$\quad$

Exercice 6     12 points

Le tableau ci-dessous regroupe les résultats de la finale du 200 m hommes des Jeux olympiques de Rio de Janeiro en 2016, remporté par Usain BOLT en $19,78$ secondes. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Rang}&\textbf{Athlète}&\textbf{Nation}&\textbf{Performance en seconde}\\
\hline
1&\text{U. Bolt}&\text{Jamaïque}&19,78\\
\hline
2&\text{A. De Grasse}&\text{Canada}&20,02\\
\hline
3&\text{C. Lemaitre}&\text{France}&20,12\\
\hline
4&\text{A. Gemili}&\text{Grande-Bretagne}&20,12\\
\hline
5&\text{C. Martina}&\text{Hollande}&20,13\\
\hline
6&\text{L. Meritt}&\text{USA}&20,19\\
\hline
7&\text{A. Edward}&\text{Panam}&20,23\\
\hline
8&\text{R. Guliyev}&\text{Turquie}&20,43\\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer la vitesse moyenne en m/s de l’athlète le plus rapide. Arrondir au centième.
    $\quad$
  2. Calculer la moyenne des performances des athlètes. Arrondir au centième.
    $\quad$
  3. En 1964 à Tokyo, la moyenne des performances des athlètes sur le 200 m hommes était de $20,68$ s et l’étendue était de $0,6$ s. En comptant ces résultats à ceux de 2016, qu’observe-t-on?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     15 points

Le graphique ci-dessous donne les hauteurs d’eau au port de La Rochelle le mercredi $15$ août 2018.

  1. Quel a été le plus haut niveau d’eau dans le port?
    $\quad$
  2. À quelles heures approximativement la hauteur d’eau a-t-elle été de $5$ m?
    $\quad$
  3. En utilisant les données du tableau ci-dessous, calculer :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Heure}&\begin{array}{c}\text{Hauteur}\\\text{(en m)}\end{array}\\
    \hline
    \text{Marée haute}&8\text{h}16&5,89\\
    \hline
    \text{Marée basse}&14\text{h}30&0,90\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Le temps qui s’est écoulé entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
    b. La différence de hauteur d’eau entre la marée haute et la marée basse.
    $\quad$
  4. À l’aide des deux documents suivants, comment qualifier la marée du 15 août 2018 entre $8$h$16$ et $14$h$30$ à La Rochelle?
    $\quad$

    Document 1 :
    Le coefficient de marée peut-être calculé de la façon suivante à La Rochelle :
    $\hspace{2cm} C=\dfrac{H_h-H_b}{5,34}\times 100$
    Avec :
    $\quad$ $\bullet$ $H_h$ : hauteur d’eau à marée haute.
    $\quad$ $\bullet$ $H_b$ : hauteur d’eau à marée basse.
    $\quad$
    Document 2 :
    Le coefficient de marée prend une valeur comprise entre $20$ et $120$.
    $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient supérieur à $70$ est qualifiée de marée de vives-eaux.
    $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient inférieur à $70$ est qualifiée de marée de mortes-eaux.
    $\quad$

 

DNB – Grèce – Juin 2019

Grèce – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

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Ex 1

Exercice 1

  1. Les nombres possibles sont : $16$, $17$, $18$, $19$, $26$, $27$, $28$, $29$, $36$, $37$, $38$, $39$, $46$, $47$, $48$ et $49$.
    $\quad$
  2. Sur les $16$ nombres possibles seuls $4$ sont supérieurs à $40$.
    La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est donc $p=\dfrac{4}{16}=0,25$.
    $\quad$
  3. Les nombres qu’il est possible d’obtenir divisibles par $3$ sont :
    $18$, $27$, $36$, $39$ et $48$.
    La probabilité d’obtenir un nombre divisible par $3$ est donc égale à $\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $TSR$ rectangle en $T$ on a :
    $\cos \widehat{TSR}=\dfrac{TS}{RS}=\dfrac{14}{28}=0,5$
    Donc $\widehat{TSR}=60$°.
    $\quad$
  2. La somme des angles d’un triangle vaut $180$°. Donc $\widehat{TRS}=30$°.
    Dans le triangle $SPU$, pour la même raison $\widehat{PSU}=60$°.
    Ainsi les angles des triangles $TRS$ et $SUP$ sont égaux.
    Ces triangles sont donc semblables.
    $\quad$
  3. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{SP}{ST}=\dfrac{10,5}{14}=0,75$.
    $\quad$
  4. Ainsi $Su=0,75\times SR=21$ cm.
    $\quad$
  5. L’angle $\widehat{TSP}$ est plat.
    Par conséquent $\widehat{KSL}=180-\widehat{TSR}-\widehat{USP}=60$°.
    La somme des angles d’un triangle est égale à $180$°.
    Par conséquent, dans le triangle $KLS$, on a $\widehat{KLS}=60$°.
    Tous les angles de ce triangles ont la même mesure.
    Par conséquent le triangle $SKL$ est équilatéral.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Vitesse moyenne de Marc : $v=\dfrac{400}{2}=200$ m/min
    Pour parcourir $1~000$ m Marc mettra $\dfrac{1~000}{200}=5$ min.
    L’échauffement de Marc dure donc $5$ minutes.
    $\quad$
  2. $200$ m/min $ = 200\times \dfrac{0,001}{\dfrac{1}{60}}=12$ km/h.
    La vitesse moyenne de Marc est de $12$ km/h.
    $\quad$
  3. Le périmètre de la piste est $P=2\times 90+70\pi\approx 399,91 \approx 400$ m. (ce qui confirme l’information donnée au début).
    Marc effectue un tour en $2$ min.
    Il repasse donc au point $A$ au bout de $2$ min, $4$ min, $6$ min, $8$ min, $10$ min.
    Jim effectue un tour en $1$ min $40$ s.
    Il repasse donc au point $A$ au bout de $1$ min $40$ s, $3$ min $20$ s, $5$ min, $6$ min $40$ s, $8$ min $20$ s, $10$ min.
    Ils se retrouvent donc tous les deux au point $A$ au bout de $10$ min.
    Marc a effectué $5$ tours et Jim $6$ tours.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le programme suivant :
    $\quad$
  2. On a effectué une rotation de centre le sommet commun à tous les losanges (celui de coordonnées $(0;0)$) et d’angles $\dfrac{360}{12}=30$ °.
    $\quad$
  3. Le programme 1 est associé à la figure B.
    Le programme 2 est associé à la figure C.
    Le programme 3 est associé à la figure A.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps.
    $2\underset{+1}{\longrightarrow}3\underset{x^2}{\longrightarrow}9\underset{-2^2}{\longrightarrow}5$.
    Lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient bien le nombre $5$ au final.
    $\quad$
  2. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps quand on choisit le nombre $-3$ au départ.
    $-3\underset{+1}{\longrightarrow}-2\underset{x^2}{\longrightarrow}4\underset{-(-3)^2}{\longrightarrow}-5$.
    Lorsqu’on choisit le nombre $-3$ au départ, on obtient bien le nombre $-5$ au final.
  3. Pour tout nombre $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)^2-x^2\\
    &=(x+1)(x+1)-x^2\\
    &=x^2+x+x+1-x^2\\
    &=2x+1\end{align*}$
    $\quad$
  4. Question 1. La fonction $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    $f(2)=5$ La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.
    Il s’agit donc de la représentation C.
    Réponse C
    $\quad$
    Question 2. Sur la représentation A, l’image de $1$ par la fonction représentée est $4$.
    Réponse A
    $\quad$
    Question 3. En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$ par la fonction représentée est $-1$.
    Réponse A
    $\quad$

 

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Dans les triangles $ABS$ et $EFS$ on a :
    – les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles
    – Le point $E$ appartient au segment $[AS]$
    – Le point $F$ appartient au segment $[SB]$
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{SF}{SB}=\dfrac{EF}{AB}$
    Puisque $B$ est le milieu de $[AC]$ on a $AB=\dfrac{AC}{2}=6$ cm et :
    $\dfrac{5}{20}=\dfrac{EF}{6}$
    Par conséquent $EF=\dfrac{6\times 5}{20}=1,5$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume de sauce est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\pi \times EF^2\times SF}{3} \\
    &=\dfrac{1,5^2\times 5\pi}{3} \\
    &=\dfrac{15\pi}{4}\\
    &\approx 11,78\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
  3. Volume d’une bouteille de mayonnaise : $V_m=\pi\times 2,5^2\times 15=93,75\pi \approx 294,52$ cm$^3$
    $20\%$ des acheteurs prennent de la mayonnaise.
    Le volume de mayonnaise nécessaire est donc $V_1=400\times 0,2\times 11,78=942,4$ cm$^3$.
    Or $\dfrac{942,4}{294,52}\approx 3,2$.
    Il faudra donc $4$ bouteilles de mayonnaise.
    $\quad$
    $80\%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate.
    Le volume de sauce tomate nécessaire est donc $V_2=400\times 0,8\times 11,78=3~769,6$ cm$^3$.
    Le volume d’une bouteille de sauce tomate est égal à $500$ mL soit $500$ cm$^3$.
    Or $\dfrac{3~769,6}{500} \approx 7,5$.
    Il faudra donc $8$ bouteilles de sauce tomate.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     12 points

Mathilde fait tourner deux roues de loterie A et B comportant chacune quatre secteurs numérotés comme sur le schéma ci-dessous :

La probabilité d’obtenir chacun des secteurs d’une roue est la même. Les flèches indiquent les deux secteurs obtenus.
L’expérience de Mathilde est la suivante : elle fait tourner les deux roues pour obtenir un nombre à deux chiffres. Le chiffre obtenu avec la roue A est le chiffre des dizaines et celui avec la roue B est le chiffre des unités.
Dans l’exemple ci-dessus, elle obtient le nombre $27$ (Roue A : $2$ et Roue B : $7$).

  1. Écrire tous les nombres possibles issus de cette expérience.
    $\quad$
  2. Prouver que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est $0,25$.
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que Mathilde obtienne un nombre divisible par $3$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Données :
$TSR$ et $SPU$ sont des triangles rectangles respectivement en $T$ et en $P$.
$TS = 14$ cm
$SP = 10,5$ cm
$RS = 28$ cm
$\widehat{SKL} = 60$° ; $\widehat{SUP}= 30$°
Les points $T$, $S$ et $P$ sont alignés
Les points $R$, $K$ et $S$ sont alignés
Les points $S$, $L$ et $U$ sont alignés

  1. Montrer que la mesure de l’angle $\widehat{TSR}$ est $60$°.
    $\quad$
  2. Démontrer que les triangles $SRT$ et $SUP$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Déterminer le coefficient de réduction liant les triangles $SRT$ et $SUP$.
    $\quad$
  4. Calculer la longueur $SU$.
    $\quad$
  5. Quelle est la nature du triangle $SKL$ ? À justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Marc et Jim, deux amateurs de course à pied, s’entraînent sur une piste d’athlétisme dont la longueur du tour mesure $400$ m.

Marc fait un temps moyen de $2$ minutes par tour.
Marc commence son entrainement par un échauffement d’une longueur d’un kilomètre.

  1. Combien de temps durera l’échauffement de Marc ?
    $\quad$
  2. Quelle est la vitesse moyenne de course de Marc en km/h ?
    $\quad$

À la fin de l’échauffement, Marc et Jim décident de commencer leur course au même point de départ A et vont effectuer un certain nombre de tours.
Jim a un temps moyen de $1$ minute et $40$ secondes par tour.
Le schéma ci-dessous représente la piste d’athlétisme de Marc et Jim constituée de deux segments $[AB]$ et $[CD]$ et de deux demi-cercles de diamètre $[AD]$ et $[BC]$.
(Le schéma n’est pas à l’échelle et les longueurs indiquées sont arrondies à l’unité.)

$ABCD$ est un rectangle
$AB = 90$ m et $AD = 70$ m

  1. Calculer le temps qu’il faudra pour qu’ils se retrouvent ensemble, au même moment, et pour la première fois au point $A$.
    Puis déterminer combien de tours de piste cela représentera pour chacun d’entre eux.
    $\quad$
    Toute trace de recherche, même non aboutie, devra apparaître sur la copie. Elle sera prise en compte dans l’évaluation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour occuper son petit frère, Lucie, qui aime bien l’informatique, décide de fabriquer des rosaces à colorier. Elle décide de partir d’un motif ayant la forme d’un losange.
A l’aide d’un logiciel de programmation assisté (type scratch), elle a représenté le motif suivant :

Il s’agit d’un losange dont les côtés ont pour longueur $50$ pixels et dont les angles aigus mesurent $30$°et les angles obtus $150$°.
Afin de représenter ce losange, elle a écrit le programme suivant :

  1. Compléter dans l’annexe jointe le programme ci-dessus en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.
    $\quad$
  2. En utilisant le losange ci-dessus, elle obtient la rosace suivante qui n’est pas en vraie grandeur :

    Quelle transformation géométrique, partant du premier losange $ABCD$ et répétée $12$ fois, a été utilisée pour obtenir cette figure ? Définir le mieux que vous pouvez cette transformation.
    $\quad$
  3. Pour finir, Lucie souhaite encore compléter cette rosace de trois façons différentes. Pour cela trois programmes ont été effectués.
    Recopier sur votre copie le numéro des trois programmes, et pour chacun, la lettre de la figure qui lui est associée.

    Pour plus de lisibilité, le losange initial a été grisé.
    $\quad$

Annexe

Question 1
Compléter le programme ci-dessous en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.

$\quad$

Exercice 5     15 points

On donne le programme de calcul suivant :

  • Choisir un nombre
  • Ajouter $1$
  • Élever le résultat au carré
  • Soustraire au résultat le carré du nombre de départ
  1. Montrer que lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient le nombre $5$ au final.
    $\quad$
  2. Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit au départ le nombre $-3$ ?
    $\quad$
  3. On définit une fonction $f$ qui, à tout nombre $x$ choisi à l’entrée du programme, associe le résultat obtenu à la fin de ce programme.
    $\quad$
    $\hspace{2cm}$ Ainsi, pour tout x,on obtient $f(x) = (x+1)2-x^2$
    $\quad$
    Montrer que $f(x)=2x+1$.
    $\quad$
  4. Cette question est un questionnaire à choix multiples (QCM).
    Dans chaque cas, une seule réponse est correcte. Pour chacune des questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la bonne réponse.
    Aucune justification n’est demandée
    Question 1
    La représentation graphique de la fonction $f$ est :
    A. La représentation A
    B. La représentation B
    C. La représentation C

    $\quad$
    Question 2
    En utilisant la représentation A, l’image de $1$ par la
    fonction représentée est :
    A. $4$
    B. $-2$
    C. $0$
    $\quad$
    Question 3
    En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$
    par la fonction représentée est :
    A. $-1$
    B. $-5$
    C. $2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     22 points

Dans le village de Jean, une brocante est organisée chaque année lors du premier week-end de juillet.
Jean s’est engagé à s’occuper du stand de vente de frites. Pour cela, il fabrique des cônes en papier qui lui serviront de barquette pour les vendre.
Dans le fond de chaque cône, Jean versera de la sauce : soit de la mayonnaise, soit de la sauce tomate

Il décide de fabriquer $400$ cônes en papier et il doit estimer le nombre de bouteilles de mayonnaise et de sauce tomate à acheter pour ne pas en manquer.
Voici les informations dont Jean dispose pour faire ses calculs :

La sauce sera versée dans le fond du cône jusqu’au cercle de diamètre $[EG]$.

Le cône de frites :


Le schéma et les mesures de Jean :

$B$ est le milieu de $[AC]$
$F$ est le milieu de $[EG]$
$BS = 20$ cm; $FS = 5$ cm; $AC= 12$ cm

Les acheteurs :
$80 \%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate et tous les autres prennent de la mayonnaise.

Les sauces :
La bouteille de mayonnaise est assimilée à un cylindre de révolution dont le diamètre de base est $5$ cm et la hauteur est $15$ cm.
La bouteille de sauce tomate a une capacité de $500$ mL.

  1. Montrer que le rayon $[EF]$ du cône de sauce a pour mesure $1,5$ cm.
    $\quad$
  2. Montrer que le volume de sauce pour un cône de frites est d’environ $11,78$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre de bouteilles de chaque sauce que Jean devra acheter.
    Toute trace de recherche même non aboutie devra apparaître sur la copie.

Rappels :
Volume d’un cône de révolution : $\dfrac{\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}}{3}$
Volume d’un cylindre de révolution : $\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}$
$1~000$ cm$^3$ $=1$ Litre

$\quad$

DNB – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $69=3\times 23$
    $\begin{align*}1~150&=115\times 10\\
    &=5\times 23\times 2\times 5\\
    &=2\times 5^2\times 23\end{align*}$
    $\begin{align*} 4~140&=414\times 10\\
    &=2\times 207\times 2\times 5\\
    &=2\times 9\times 23\times 2\times 5\\
    &=2^2\times 3^2\times 5\times 23\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le trésor est partagé équitablement entre tous les marins. Le nombre $N$ de marins doit donc diviser à la fois $69$, $1~150$ et $4~140$.
    Le seul diviseur commun, supérieur à $1$, à ces trois nombres est $23$.
    Il y a donc $23$ marins.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$ on a :
    $\tan \widehat{ADM}=\dfrac{AM}{AD}$
    Donc $\tan 60=\dfrac{AM}{2}$
    Par conséquent $AM=2\tan 60 \approx 3,46$ m.
    $\quad$
  2. L’aire de la plaque est $\mathscr{A}_1=4\times 2=8$ m$^2$.
    L’aire du rectangle $AMND$ est $\mathscr{A}_2=AM\times AD\approx 2\times 3,46$
    Donc $\mathscr{A}_2\approx 6,92$ m$^2$.
    Ainsi la proportion de la plaque utilisée est : $\dfrac{6,92}{8}=0,865$.
    La proportion de la plaque qui n’est pas utilisée est donc environ égale à $1-0,865$ soit environ $0,14$.
    $\quad$
  3. Les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{AMD}$ d’une part et les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{PDN}$ d’autre part sont complémentaires.
    Ainsi $\widehat{AMD}=\widehat{PDN}$.
    Dans le triangle $PDN$ rectangle en $P$ les angles $\widehat{PDN}$ et $\widehat{PND}$ sont complémentaires. Donc $\widehat{PND}=\widehat{ADM}$.
    Les angles du triangles $AMD$ sont donc égaux à ceux du triangle $PDN$. Ils sont par conséquent semblables.
    $\quad$
    Les angles $\widehat{DNP}$ et $\widehat{PNM}$ sont complémentaires et le triangle $PNM$ est rectangle en $P$.
    Les triangles $PNM$ et $PDN$ sont donc également semblables.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AMD$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DM^2=AM^2+AD^2=2^2+\left(2\tan 60\right)^2=16$
    Donc $DM=4$ m.
    Ainsi le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ est :
    $k=\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{4}{2\tan 60} \approx 1,15<1,5$.
    Le coefficient d’agrandissement est donc bien plus petit que $1,5$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Volume du cylindre C$_2$ :
    $V_2=\pi \times \left(\dfrac{1,5}{2}\right)^2\times 4,2=2,362~5\pi$ cm$^2$.
    Volume de sable au départ : $V=\dfrac{2}{3}\times 2,362~5\pi=1,575\pi \approx 4,95$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le temps nécessaire pour le sable s’écoule dans le cylindre inférieur est :
    $t=\dfrac{V}{1,98}\approx \dfrac{4,95}{1,98}$ soit $t\approx 2,5$ min.
    Le sable va donc s’écouler en $2$ minutes et $30$ secondes.
    $\quad$
  2. a. $1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40$
    On a donc réalisé $40$ tests.
    $\quad$
    b. L’étendue des temps est $e=158-142=16$ secondes (les temps ont été convertis en secondes). Le premier critère est donc vérifié.
    $\dfrac{40}{2}=20$. La médiane de cette série statistique est donc la moyenne de la $20\ieme$ et de la $21\ieme$ valeur. Ainsi la médiane est la moyenne de $2$ min $29$ s et $2$ min $30$ s soit $2$ min $29,5$ s. Le deuxième critère est vérifié.
    Pour calculer la moyenne, puisque tous les temps sont compris entre $2$ min $22$ s et $2$ min $38$ s on ne va calculer la moyenne que la partie en secondes.
    $\dfrac{22\times 1+24\times 1+26\times 2+\ldots+38\times 3}{40}=30,1$.
    Ainsi la moyenne est égale à $2$ min $30,1$ s.
    $\quad$
    Les trois critères sont vérifiés. Le sablier ne sera pas éliminé.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. Avec le script 1, il y a une alternance de carré et de tiret.
    Le script 1 est donc associé au dessin B et le script B au dessin A.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que le premier nombre tiré aléatoirement soit égal à $1$ est $\dfrac{1}{2}$.
    La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. En réalisant un arbre de probabilité, on constate que seul un chemin sur les $4$ nous permet d’obtenir que les deux premiers éléments soient des carrés.
    Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. On peut insérer le bloc suivant entre la ligne 6 et la ligne 7.

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $4$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $1$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $2$ par l’homothétie de centre $D$ et de rapport $3$.
    Remarque : On pouvait également choisir le rectangle $3$ et le centre $B$ ou le rectangle $4$ et le centre $C$.
    $\quad$
  2. Le rectangle $ABCD$ est agrandissement du petit rectangle $2$ de rapport $3$.
    L’aire d’un petit rectangle est donc égale à $\dfrac{1,215}{3^2}=0,135$ m$^2$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ la largeur d’un rectangle. Sa longueur est donc égale à $\dfrac{3}{2}x$ soit $1,5x$.
    Ainsi l’aire d’un petit rectangle est égale à $1,5x^2$.
    Donc $1,5x^2=0,135$ donc $x^2=0,09$.
    Puisque $x$ est positif on a alors $x=0,3$.
    La largeur d’un petit rectangle est $0,3$ m et sa longueur $0,45$ m.
    Par conséquent la largeur du rectangle $ABCD$ est $0,3\times 3=0,9$ m et sa longueur est $0,45\times 3=1,35$ m.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Avec le programme 1, on obtient $5\times 3+1=16$.
    Avec le programme 2, on obtient $(5-1)\times (5+2)=4\times 7=28$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $A(x)=3x+1$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $A(x)=0$ soit $3x+1=0$
    Donc $3x=-1$ et $x=-\dfrac{1}{3}$.
    Il faut donc choisir le nombre $-\dfrac{1}{3}$ pour obtenir le nombre $0$ comme résultat du programme $1$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} B(x)&=(x-1)(x+2)\\
    &=x²+2x-x-2\\
    &=x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout nombre $x$ on a :
    $B(x)-A(x)=x^2+x-2-(3x+1)=x^2+x-2-3x-1=x^2-2x-3$
    Or $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
    Donc $B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)$.
    $\quad$
    b. $B(x)-A(x)=0$ si, et seulement si, $(x+1)(x-3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+1=0$ ou $x-3=0$
    soit $x=-1$ ou $x=3$.
    Les seuls nombres permettant aux programmes 1 et 2 de donner le même résultat sont $-1$ et $3$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     10 points

Le capitaine d’un navire possède un trésor constitué de $69$ diamants, $1~150$ perles et $4~140$ pièces d’or.

  1. Décomposer $69$ ; $1~150$ et $4~140$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
    Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire $ABCD$ de $4$ m sur $2$ m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2).

Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :

  • Le triangle $ADM$ est rectangle en $A$
  • $AD$ = $2$ m
  • $\widehat{ADM} = 60$°
  1. Montrer que $[AM]$ mesure environ $3,46$ m.
    $\quad$
  2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.
    $\quad$
  3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.
    $\quad$
  4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ soit plus petit que $1,5$. Est-ce le cas ? Justifier
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de

  • Deux cylindres $C_₁$ et $C_₂$ de hauteur $4,2$ cm et de diamètre $1,5$ cm
  • Un cylindre $C_3$
  • Deux demi-sphères $S_₁$ et $S_₂$ de diamètre $1,5$ cm

On rappelle le volume $V$ d’un cylindre d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ : $$V = B\times h$$

  1. a. Au départ, le sable remplit le cylindre $C_₂$ aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ $4,95$ cm$^3$ .
    $\quad$
    b. On retourne le sablier. En supposant que le débit d’écoulement du sable est constant et égal à $1,98$ cm$^3$/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s’écouler dans le cylindre inférieur.
    $\quad$
  2. En réalité, le débit d’écoulement d’un même sablier n’est pas constant.
    Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d’écoulement dans ce sablier. Voici les différents temps récapitulés
    dans le tableau suivant :
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }22\text{ s}&2\text{ min }24\text{ s}&2\text{ min }26\text{ s}&2\text{ min }27\text{ s}&2\text{ min }28\text{ s}&2\text{ min }29\text{ s}&2\text{ min }30\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&1&1&2&6&3&7&6\\
    \hline\end{array}}$
    $\quad$
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }31\text{ s}&2\text{ min }32\text{ s}&2\text{ min }33\text{ s}&2\text{ min }34\text{ s}&2\text{ min }35\text{ s}&2\text{ min }38\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&3&1&2&3&2&3\\
    \hline\end{array}}$
    a. Combien de tests ont été réalisés au total ?
    $\quad$
    b. Un sablier est mis en vente s’il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.
    $\quad$
    $\quad$ $\bullet$ L’étendue des temps est inférieure à $20$ s
    $\quad$ $\bullet$ La médiane des temps est comprise entre $2$ min $29$ s et $2$ min $31$ s
    $\quad$ $\bullet$ La moyenne des temps est comprise entre $2$ min $28$ s et $2$ min $32$ s
    Le sablier testé sera-t-il éliminé ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     19 points

On veut réaliser un dessin constitué de deux types d’éléments (tirets et carrés) mis bout à bout.
Chaque script ci-dessous trace un élément, et déplace le stylo.
On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie qu’on oriente le stylo vers la droite.

  1. En prenant $1$ cm pour $2$ pixels, représenter la figure obtenue si on exécute le script Carré.
    Préciser les positions de départ et d’arrivée du stylo sur votre figure.
    $\quad$

Pour tracer le dessin complet, on a réalisé 2 scripts qui se servent des blocs « Carré » et « Tiret » ci-dessus :

On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.


$\quad$

  1. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.
    $\quad$
  2. On exécute le script 2.
    a. Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés ?
    $\quad$
  3. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléatoire, avec à chaque fois $50 \%$ de chance d’avoir un élément noir et $50 \%$ de chance d’avoir un élément rouge.
    Écrire la suite d’instructions qu’il faut alors créer et préciser où l’insérer dans le script 2.
    Indication : on pourra utiliser les instructions et
    pour choisir la couleur du stylo.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     18 points

Olivia s’est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.
Ce tableau, représenté ci-dessous, est constitué de quatre rectangles identiques nommés ①, ②, ③ et ④ dessinés à l’intérieur d’un grand rectangle $ABCD$ d’aire égale à $1,215$ m$^2$. Le ratio longueur : largeur est égal à $3 : 2$ pour chacun des cinq rectangles.

  1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n’est demandée.
    a. Le rectangle $\ldots$ est l’image du rectangle $\ldots$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle ③ est l’image du rectangle $\ldots$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $\ldots$ par l’homothétie de centre $\ldots$ et de rapport $3$.
    (Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)
    $\quad$
  2. Quelle est l’aire d’un petit rectangle ?
    $\quad$
  3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle $ABCD$ ?
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 6     17 points

Voici deux programmes de calcul.

  1. Vérifier que si on choisit $5$ comme nombre de départ,
    $\quad$ Le résultat du programme 1 vaut $16$.
    $\quad$ Le résultat du programme 2 vaut $28$.

On appelle $A(x)$ le résultat du programme 1 en fonction du nombre $x$ choisi au départ.
La fonction $B ∶ x \mapsto (x−1)(x + 2)$ donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre 𝑥 choisi au départ.

  1. a. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre que l’on doit choisir au départ pour obtenir $0$ comme résultat du programme 1.
    $\quad$
  2. Développer et réduire l’expression : $$B(x) = (x-1)(x+2)$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)-A(x) = (x+ 1)(x-3)x.
    $\quad$
    b. Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

 

 

DNB – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

Le sujet de ce DNB est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Les nombres écrits sur le deuxième dé sont : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ et $11$.
    Les nombres écrits sur le troisième dé sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
    $\quad$
  2. a. Le seul nombre dont le carré est égal à $25$ est $5$.
    Elle a donc lu le nombre $5$.
    $\quad$
    b. Seuls les nombres $6$, $8$, $10$ et $12$ ont des carrés supérieurs à $25$.
    La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé est $\dfrac{4}{6}$ soit $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. a. $525=5\times 5\times 3\times 7$. C’est la seule décomposition possible (aux permutations de nombres près) de $525$.
    Lors des quatre lancers, Mohamed a donc obtenu les nombres $3$, $5$ deux fois et $7$.
    $\quad$
    b. Ces trois nombres apparaissent à la fois sur le deuxième et le troisième dé. Il n’est donc pas possible de déterminer quel dé à été choisi.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. C’est le script suivant qui permet d’obtenir le motif souhaité :
    $\quad$
  3. a. Il s’agit d’une rotation de centre le point commun aux quatre motifs et d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    b. Il faut modifier le script commun ainsi.

    $\quad$
  4. Voici où est placé le centre de symétrie $O$.

    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On appelle $N$ le nombre de décès sur l’ensemble des routes en France.
    Ainsi $0,55\times N=1~911$.
    Par conséquent $N=\dfrac{1~911}{0,55}\approx 3~475$.
    En 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
    $\quad$
    b. $\dfrac{400}{3~475}\approx 0,115$.
    Le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait donc baissé d’environ $11,5\%$.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{82\times 1+86\times 7+90\times 4+91\times 3+97\times 6}{1+7+4+3+6}=\dfrac{1~899}{21}\approx 90,4$.
    La vitesse moyenne de ces automobilistes est d’environ $90,4$ km/h.
    $\quad$
    b. L’étendue est égale à $27$ km/h.
    La valeur contenue dans la cellule $B1$ est donc $97-27=70$.
    La médiane est égale à $82$ km/h, valeur présente qu’une seule fois dans cette série statistique.
    Il y a donc autant de valeurs qui lui sont supérieures que de valeurs qui lui sont inférieures.
    $20$ vitesses sont supérieures à $82$ km/h.
    or $2+10+6=18$. Par conséquent, la valeur de la cellule $B2$ est égale à $20-18$ soit $2$.
    $\quad$
    c. On peut saisir la formule $=\text{SOMME}(B2:J2)$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $B$ on a :
    $\tan \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{324}{600}=0,54$
    Par conséquent $\widehat{HAB}\approx 28$°.
    $\quad$
  2. On appelle $T$ le point de la figure correspondant au sommet de la tête de Leila.
    On veut donc que l’angle $\widehat{TAL}$ soit égal à $\widehat{HAB}$.
    Dans le triangle $ALT$ rectangle en $L$ on a :
    $\tan \widehat{TAL}=\dfrac{TL}{AL}=\dfrac{1,70}{AL}$.
    On veut donc que $\dfrac{1,70}{AL}=0,54$ soit $AL=\dfrac{1,70}{0,54}$.
    Or $\dfrac{1,70}{0,54}\approx 3,148$.
    Leila doit donc se situer à moins de $3,15$ m de l’objectif.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $4\times 5+(5-2)^2=20+3^2=29$.
    $\quad$
    b. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $5^2+6=25+6=31$.
    $\quad$
  2. Avec le programme A, on obtient :
    $\begin{align*} 4x+(x-2)^2&=4x+(x-2)\times (x-2) \\
    &=4x+x^2-2x-2x+4\\
    &=x^2+4\end{align*}$
    Remarque : Si tu connais les identités remarquables, tu peux écrire directement que $(x-2)^2=x^2-2\times 2\times x+2^2=x^2-4x+4$.
    $\quad$
  3. Avec le programme B, on obtient : $x^2+6$.
    $\quad$
  4. a. Si on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$ dans le programme B on obtient alors :
    $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+6=\dfrac{4}{9}+\dfrac{54}{9}=\dfrac{58}{9}$.
    L’affirmation A est vraie.
    $\quad$
    b. Si on choisit le nombre $0$ dans le programme B on obtient alors :
    $0^2+6=6$ qui est pair.
    L’affirmation B est donc fausse.
    Remarque : On peut choisir, en fait, n’importe quel nombre pair.
    $\quad$
    c. $6$ et $x^2$ sont des nombres positifs. Leur somme est donc également positive.
    L’affirmation C est vraie.
    $\quad$
    d. On a $x^2+6=x^2+4+2$.
    Ainsi le résultat du programme B est égal au résultat du programme A augmenté de $2$.
    Un nombre pair augmenté de $2$ est pair et un nombre impair augmenté de $2$ est également impair.
    Les nombres obtenus avec les programme A et B ont donc la même parité.
    L’affirmation D est vraie.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. La représentation graphique associée au verre A est une droite passant par l’origine du repère. Il y a donc proportionnalité entre le volume et la hauteur de jus de fruits avec le verre A.
    $\quad$
    b. Si la hauteur est de $5$ cm alors le volume est de $140$ cm$^3$.
    $\quad$
    c. Si on verse $50$ cm$^3$ dans le verre B alors la hauteur de jus de fruit est de $5,6$ cm.
    $\quad$
  2. Volume du verre A :
    $\begin{align*} V_A&=\pi\times 3^2\times 10 \\
    &=90\pi \\
    &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    Volume du verre B :
    $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 5,2^2 \times 10\\
    &=\dfrac{1~352\pi}{3}\\
    &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    Les deux verres ont donc le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
    $\quad$
  3. Le volume de jus de fruit contenu dans le verre A correspond à celui d’un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $h$.
    Le volume est donc égal à $V=\pi\times 3^2\times h=9\pi\times h$.
    Par conséquent $9\pi\times h=200$ soit $h=\dfrac{200}{9\pi} \approx 7$.
    Il y a donc environ $7$ cm de jus de fruits dans le verre A.
    Remarque : On vérifie que c’est cohérent avec ce qu’on peut lire sur le graphique.
    $\quad$
  4. a. Graphiquement, avec le verre A, il obtient un volume supérieur à celui obtenu avec le verre B.
    Il doit donc choisir le verre B pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$
    b. Volume de jus de fruits dans le verre A : $\pi \times 3^2\times 8=72\pi$ cm$^3$.
    Or $1$ L $=1~000$ cm$^3$.
    Et $\dfrac{1~000}{72\pi}\approx 4,42$.
    Il pourra donc servir au maximum $4$ verres.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     13 points

Damien a fabriqué trois dés à six faces parfaitement équilibrés mais un peu particuliers.
Sur les faces du premier dé sont écrits les six plus petits nombres pairs strictement positifs : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$.
Sur les faces du deuxième dé sont écrits les six plus petits nombres impairs positifs.
Sur les faces du troisième dé sont écrits les six plus petits nombres premiers.
Après avoir lancé un dé, on note le nombre obtenu sur la face du dessus.

  1. Quels sont les six nombres figurant sur le deuxième dé ? Quels sont les six nombres figurant sur le troisième dé ?
    $\quad$
  2. Zoé choisit le troisième dé et le lance. Elle met au carré le nombre obtenu.
    Léo choisit le premier dé et le lance. Il met au carré le nombre obtenu.
    a. Zoé a obtenu un carré égal à 25. Quel était le nombre lu sur le dé qu’elle a lancé ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé ?
    $\quad$
  3. Mohamed choisit un des trois dés et le lance quatre fois de suite. Il multiplie les quatre nombres obtenus et obtient $525$.
    a. Peut-on déterminer les nombres obtenus lors des quatre lancers ? Justifier.
    $\quad$
    b. Peut-on déterminer quel est le dé choisi par Mohamed ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     18 points

« S’orienter à $90$ » signifie que l’on se tourne vers la droite.

Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l’aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le script commun ci-dessous, mais écrivent un script Motif différent.

 

  1. Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle : $1$ cm pour $10$ pixels.
    $\quad$
  2. Quel élève a un script permettant d’obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier.
    $\quad$
  3. a. On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-dessous.

    Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du motif $1$ au motif $2$, du motif $2$ au motif $3$ et du motif $3$ au motif $4$ ?
    $\quad$
    b. Modifier le script commun à partir de la ligne $7$ incluse pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser certaines ou toutes les instructions suivantes :
    $\quad$

  4. Un élève trace les deux figures A et B que vous trouverez en ANNEXE.
    Placer sur cette annexe, qui est à rendre avec la copie, le centre $O$ de la symétrie centrale qui transforme la figure A en figure B.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     17 points

Le premier juillet 2018, la vitesse maximale autorisée sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, a été abaissée de $90$ km/h à $80$ km/h.
En 2016, $1~911$ personnes ont été tuées sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, ce qui représente environ $55 \%$ des décès sur l’ensemble des routes en France.
Source : www.securite-routiere.gouv.fr

  1. a. Montrer qu’en 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
    $\quad$
    b. Des experts ont estimé que la baisse de la vitesse à $80$ km/h aurait permis de sauver $400$ vies en 2016. De quel pourcentage le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait-il baissé ? Donner une valeur approchée à $0,1\%$ près.
    $\quad$
  2. En septembre 2018, des gendarmes ont effectué une série de contrôles sur une route dont la vitesse maximale autorisée est $80$ km/h. Les résultats ont été entrés dans un tableur dans l’ordre croissant des vitesses. Malheureusement, les données de la colonne B ont été effacées.

    a. Calculer la moyenne des vitesses des automobilistes contrôlés qui ont dépassé la vitesse maximale autorisée. Donner une valeur approchée à $0,1$ km/h près.
    $\quad$
    b. Sachant que l’étendue des vitesses relevées est égale à $27$ km/h et que la médiane est égale à $82$ km/h, quelles sont les données manquantes dans la colonne B ?
    $\quad$
    c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $K2$ pour obtenir le nombre total d’automobilistes contrôlés ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     10 points

Leila est en visite à Paris. Aujourd’hui, elle est au Champ de Mars où l’on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale $BH$ est $324$ m.

Elle pose son appareil photo au sol à une distance $AB = 600$ m du monument et le programme pour prendre une photo (voir le dessin ci-dessous).

  1. Quelle est la mesure, au degré près, de l’angle $\widehat{HAB}?
    $\quad$
  2. Sachant que Leila mesure $1,70$ m, à quelle distance $AL$ de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ?
    Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près.

    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

Voici deux programmes de calcul :

  1. a. Montrer que, si l’on choisit le nombre $5$, le résultat du programme A est $29$.
    $\quad$
    b. Quel est le résultat du programme B si on choisit le nombre $5$ ?
    $\quad$
  2. Si on nomme 𝑥 le nombre choisi, expliquer pourquoi le résultat du programme A peut s’écrire $x^2+4$.
    $\quad$
  3. Quel est le résultat du programme B si l’on nomme 𝑥 le nombre choisi ?
    $\quad$
  4. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs :
    a. « Si l’on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$, le résultat du programme B est $\dfrac{58}{9}$. »
    $\quad$
    b. « Si l’on choisit un nombre entier, le résultat du programme B est un nombre entier impair. »
    $\quad$
    c. « Le résultat du programme B est toujours un nombre positif. »
    $\quad$
    d. « Pour un même nombre entier choisi, les résultats des programmes A et B sont ou bien tous les deux des entiers pairs, ou bien tous les deux des entiers impairs. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     20 points

Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres : un verre cylindrique A de hauteur $10$ cm et de rayon $3$ cm et un verre conique B de hauteur $10$ cm et de rayon $5,2$ cm.

Le graphique situé en ANNEXE représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu’ils contiennent.

  1. Répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique en ANNEXE :
    a. Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier.
    $\quad$
    b. Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de $5$ cm ?
    $\quad$
    c. Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse $50$ cm$^3$ dans le verre B ?
    $\quad$
  2. Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
    $\quad$
  3. Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à $200$ cm$^3$. Donner une valeur approchée au centimètre près.
    $\quad$
  4. Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à $8$ cm.
    a. Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$
    b. Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu’il pourra servir avec $1$ L de jus de fruits.
    $\quad$

Annexe

$\quad$