DNB – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – mars 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $1~600=16\times 100=2^4\times 2^2\times 5^2=2^6\times 5^2$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. Dans les triangles $EAF$ et $AMN$ on a :
    – le point $A$ appartient aux segments $[EM]$ et $[FN]$;
    – les droites $(EF)$ et $(MN)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AF}{AN}=\dfrac{EF}{MN}$
    Donc $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{MN}$
    Par conséquent $MN=\dfrac{5\times 4}{2}=10$ cm
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} 6x(3x-5)+7x&=18x^2-30x+7x\\
    &=18x^2-23x\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Volume d’une boule de rayon $3$ cm : $V_{\text{sphère}}=\dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3=36\pi$ cm$^3$.
    Par conséquent le volume d’un moule est $V_{\text{moule}}=18\pi \approx 56,5$ cm$^3$.
    $\quad$
  2.  Volume des moules utilisé : $V_{\text{utilisé}}=\dfrac{3}{4}\times 57=42,75$ cm$^3$.
    $1$ L $=1~000$ cm$^3$.
    Et $\dfrac{1~000}{42,75}\approx 23,4$.
    Elle pourra donc faire $23$ TAKOYAKI.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’antécédent de $4$ par la fonction $g$ est $2$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau de valeur suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&0&4&6\\
    \hline
    g(x)&12&8&0&-4\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est $f(-2)=2\times (-2)=-4$.
    $\quad$
    b. $f(3)=2\times 3=6$.
    $\quad$
    c. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  3. Graphiquement les coordonnées du point $S$ sont donc $(2;4)$.
    $\quad$
  4. a. $2x=-2x+8$ donc $4x=8$ soit $x=\dfrac{8}{4}$ ou encore $x=2$.
    par conséquent la solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
    b. Cette valeur correspond à l’abscisse du point d’intersection des deux représentations graphiques.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. La distance entre les deux stations est donc de $3\times 450=1~350$ m.
    $\quad$
  2. $24$ min $=\dfrac{24}{60}$ h $=0,4$ h.
    La vitesse moyenne du bus est donc $v=\dfrac{9,9}{0,4}=24,75$ km/h.
    $\quad$
  3. Le ticket de bus coûterait $190\times \left(1+\dfrac{40}{100}\right)=190\times 1,4=266$ F.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le nombre moyen de médailles est :
    $N=\dfrac{1\times 6+2\times 3+3\times 1+\ldots+14\times 2}{21}\approx 4,9$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{21}{2}=10,5$ : la médiane est donc la $11\ieme$ valeur, c’est-à-dire $4$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que la moitié des pays ont obtenu au plus $4$ médailles.
    $\quad$
  2. On a pu saisir $=\text{SOMME}(B2:K2)$.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que le pays ait une seule médaille d’or est $p_1=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$
    $\quad$
    b. La probabilité que le pays ait au moins $5$ médailles d’or est :
    $p_2=\dfrac{4+1+1+1+1+2}{21}=\dfrac{10}{21}$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
  2. Il faut saisir longueur $=100$ et angle $=90$ pour obtenir la figure souhaitée.
    $\quad$
  3. La première fois que le lutin tourne de $75$° (pour le sommet en haut à droite) l’angle du parallélogramme associé ne mesure pas $75$° mais $180-75=105$°.
    Il s’agit donc de la figure C.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

Affirmation 1 : Vraie
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2=7,5^2=56,25$
D’autre part $CA^2+CB^2=4,5^2+6^2=20,25+36=56,25$
Par conséquent $AB^2=CA^2+CB^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$

Affirmation 2 : Fausse
Le produit $(-1)\times (-2)\times 3\times 4\times 5=120$ est strictement positif mais pourtant deux facteurs sont négatifs.
$\quad$

Affirmation 3 : Fausse
Le rapport de réduction est $r=\dfrac{20}{5~600}=\dfrac{1}{280} \neq \dfrac{1}{28}$.
$\quad$

Ex 8

Exercice 8

Aire du modèle 1 : $A_1=\dfrac{3,5\times 4}{2}=7<8$. Le modèle 1 ne convient pas.
$\quad$

Dans le triangle $OPT$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
$OT^2=OP^2+PT^2$
Donc $25=9+PT^2$
Par conséquent $PT^2=16$ et $PT=4$.
Aire du modèle 2 : $A_2=\dfrac{3\times 4}{2}=6<8$. Le modèle 2 ne convient pas.
$\quad$

Dans le triangle $MRU$ rectangle et isocèle en $U$ on applique le théorème de Pythagore (avec $UM=UR$).
$UR^2+UM^2=MR^2$
Donc $2UR^2=36$
Soit $UR^2=18$
Aire du modèle 3 : $A_3=\dfrac{UR\times UM}{2}=\dfrac{UR^2}{2}=\dfrac{18}{2}=9>8$. Le modèle 3 convient.
Remarque: On pouvait également utiliser les formules de trigonométrie pour calculer $UR$ ou $UM$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. La décomposition en facteurs premiers de $1~600$ est :
    Réponse A : $4^2\times 10^2$
    Réponse B : $2^8\times 5^2$
    Réponse C : $2^6\times 5^2$
    $\quad$
  2. $\quad$

    Sachant que $(EF) // (MN)$ et $EA = 2$ cm; $AM = 5$ cm; $EF = 4$ cm la longueur $MN$ est égale à :
    Réponse A : $7$ cm
    Réponse B : $10$ cm
    Réponse C : $1,6$ cm
    $\quad$
  3. La forme développée et réduite de $6x(3x −5)+7x$ est :
    Réponse A : $18x^2-23x$
    Réponse B : $-18x^2-30x+7x$
    Réponse C : $18x^2-37x$
    $\quad$

Exercice 2     9 points

Lors d’un voyage à Osaka, Jade a mangé des TAKOYAKI (gâteaux japonais) qu’elle veut refaire chez elle.
Pour cela, elle dispose d’une plaque de cuisson comportant plusieurs moules à gâteaux. Tous les moules sont identiques.
Chaque moule a la forme d’une demi-sphère de rayon $3$ cm.
Rappels : $1$ L = $1$ dm$^3$

$\qquad$ Volume d’une boule de rayon $r : V = \dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$.

  1. Calculer le volume d’un moule (en cm$^3$), arrondir le résultat au dixième.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on considère que le volume d’un moule est de $57$ cm$^3$.
    Jade a préparé $1$ L de pâte. Elle doit remplir chaque moule aux $\dfrac{3}{4}$ de son volume.
    Combien de TAKOYAKI peut-elle faire ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3     12 points

  1. On considère la fonction $g$ représentée dans le repère en annexe.
    a. Donner l’antécédent de $4$ par la fonction $g$ .
    $\quad$
    b. Dans l’annexe, compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est donnée par $f(x) = 2x$.
    a. Quelle est l’image de $-2$ par la fonction $f$ ?
    $\quad$
    b. Calculer $f(3)$.
    $\quad$
    c. Dans l’annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ .
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’intersection $S$ des deux représentations graphiques.
    Faire apparaître en pointillés la lecture sur le graphique de l’annexe.
    $\quad$
  4. L’expression de la fonction $g$ est $g(x)=-2x+8$.
    a. Résoudre l’équation $2x=-2x+8$.
    $\quad$
    b. Que représente graphiquement le résultat précédent ?
    $\quad$

Annexe 

Représentation graphique de la fonction

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&0&4&6\\
\hline
g(x)&12&8&0&-4\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 4: Calédorail     11 points

Calédorail est un projet de bus qui relierait différents points stratégiques de la ville de Nouméa.

  1. Longueur de la ligne

    La distance moyenne entre deux stations est d’environ $450$ mètres. Estimer la distance entre la station 1 et la station 4.
    $\quad$
  2. Vitesse moyenne
    Le bus Calédorail mettrait $24$ minutes pour effectuer un trajet de $9,9$ km.
    Quelle serait sa vitesse moyenne en km/h ?
    $\quad$
  3. Tarif
    Actuellement, un ticket de bus coûte $190$ F. Le ticket de bus Calédorail coûterait $40 \%$ plus cher.
    Quel serait le prix du ticket de bus Calédorail ?
    $\quad$

Exercice 5     17 points

Voici le classement des $21$ pays ayant obtenu des médailles d’or lors des jeux olympiques d’hiver de Pyeongchang 2018 en Corée.

On considère la série constituée des nombres de médailles d’or obtenues par chaque pays.
Le classement est résumé dans la feuille de calcul ci-dessous :

  1. a. Calculer le nombre moyen de médailles d’or par pays (arrondir le résultat au dixième).
    $\quad$
    b. Déterminer la médiane des nombres de médailles d’or par pays.
    $\quad$
    c. Interpréter le résultat de la question 1.b.
    $\quad$
  2. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule $L2$ pour obtenir le nombre total de pays ayant eu au moins une médaille d’or ?
    $\quad$
  3. On prend un pays au hasard parmi les pays qui ont au moins une médaille d’or.
    a. Quelle est la probabilité qu’il ait une seule médaille d’or ? Donner la réponse sous forme fractionnaire.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’il ait au moins $5$ médailles d’or? Donner la réponse sous forme fractionnaire.
    $\quad$

Exercice 6     10 points

Rappels Scratch

Orientation du lutin :

S’orienter à $90$° : pour se déplacer vers la droite
S’orienter à $0$° : pour se déplacer vers le haut
S’orienter à $-90$° : pour se déplacer vers la gauche
S’orienter à $180$° : pour se déplacer vers le bas

Les angles :

Dans le tracé ci-dessous, pour obtenir un angle de $60$°, on peut utiliser l’instruction :

Le chat indique la position de départ.

Voici ci-dessous un programme réalisé avec Scratch pour construire un parallélogramme.
Selon la longueur et l’angle donnés, ce parallélogramme peut être particulier (rectangle, losange, carré).

  1. Dessiner en annexe le parallélogramme obtenu avec la longueur et l’angle donnés.
    $\quad$
  2. Quelle valeur faut-il donner à longueur et quelle valeur à angle pour obtenir la figure ci-dessous ?

    Le côté d’un carreau représente $20$ unités.
  3. Un élève a choisi la longueur $50$ et l’angle $75$° puis a recopié la figure obtenue après exécution du script.
    Lequel des trois parallélogrammes ci-dessous a-t-il tracé?
    Écrire sur la copie la lettre correspondante.

Annexe

Le côté d’un carreau représente $20$ unités
longueur : $80$
angle: $90$
$\quad$

Exercice 7     12 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est Vraie ou Fausse en cochant la case.
Justifier chaque réponse dans la partie réservée.
Toute trace de recherche sera valorisée

Affirmation 1 : $ABC$ est un triangle rectangle.
On donne le triangle suivant :

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Affirmation 2 :
Si un produit de cinq facteurs est strictement positif, alors aucun des facteurs n’est négatif.

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Affirmation 3 :
« Le rapport de réduction est égal à $\dfrac{1}{28}$».
La maquette ci-dessous est une maquette du Phare Amédée qui a une hauteur réelle de $56$ m.

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Exercice 8     12 points

Pour son confort, Lisa souhaite installer une voile d’ombrage triangulaire dans son jardin.
L’aire de celle-ci doit être de $8$ m$^2$ au minimum.
Pour chacun des trois modèles suivants indiquer sur la copie s’il convient en justifiant chaque réponse.

Rappel :
Aire d’un triangle rectangle : $A=\dfrac{h\times b}{2}$

$\quad$

DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2018

Nouvelle Calédonie – décembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $(2x+5)(x-2) $
    $=2x^2-4x+5x-10$
    $=2x^2+x-10$
    Réponse C
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, il existe alors deux nombres entiers $k$ et $k’$ tels que $a=7k$ et $b=7k’$.
    Donc $a+b=7k+7k’=7(k+k’)$.
    $a+b$ est par conséquent un multiple de $7$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABC$ et $AST$ :
    – les droites $(BC)$ et $(ST)$ sont parallèles;
    – le point $S$ appartient au segment $[AB]$;
    – le point $T$ appartient au segment $[AC]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{ST}{BC}$
    Donc $\dfrac{42}{125}=\dfrac{ST}{75}$
    Par conséquent $ST=\dfrac{75\times 42}{125}=25,2$ m.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » est $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement « on gagne des bonbons » est « on ne gagne pas des bonbons ».
    $\quad$.
    c. La probabilité de l’événement « on ne gagne pas des bonbons » est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. $3$ secteurs  permettent de gagner une casquette ou des bonbons.
    La probabilité de l’événement « on gagne une casquette ou
    des bonbons » est donc $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $162=2\times 81=2\times 3^4$.
    $108=2\times 84=2\times 54=2^2\times 27=2^2 \times 3^3$
    $\quad$
  2. Ainsi les nombres $2\times 3^2$ et $3^3$ sont deux diviseurs communs à $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{162}{36}=4,5$.
    $36$ ne divise pas $162$. Le cuisinier ne pourra pas réaliser $36$ barquettes.
    $\quad$
    b. Le nombre de barquettes $N$ doit diviser $162$ et $108$ et être le plus grand possible.
    C’est donc le PGCD de $162$ et $108$.
    En utilisant l’algorithme d’Euclide on obtient :
    $162=1\times 108 + 54$
    $108=2\times 54+0$.
    Le PGCD est le denier reste non nul. Ainsi $N=54$.
    Il pourra donc réaliser au plus $54$ barquettes.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également utiliser la calculatrice pour déterminer le PGCD.
    $\quad$
    c. $\dfrac{162}{54}=3$ et $\dfrac{108}{54}=2$.
    Il y aura alors $3$ nems et $2$ samossas par barquette.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le nageur a parcouru $2~000$ mètres lors de cette course.
    $\quad$
    b. Les $200$ premiers mètres ont été parcourus en $5$ minutes.
    $\quad$
  2. La courbe représentant la distance parcourue en fonction du temps n’est pas une droite passant par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course.
    $\quad$
  3. La vitesse moyenne du nageur 1 est $v=\dfrac{2~000}{45}\approx 44$ m/min.
    $\quad$
  4. a. L’image de $10$ par la fonction $f$ est $f(10)=50\times 10=500$.
    $\quad$
    b. $f(30)=50\times 30=1~500$.
    $\quad$
  5. a. Au bout de $10$ minutes le nageur a parcouru $400$ mètres et, d’après la question 4.a., le nageur 2 a parcouru $500$ mètres. Le nageur 2 est donc en tête.
    $\quad$
    b. Au bout de $30$ minutes le nageur a parcouru $1~600$ mètres et, d’après la question 4.b., le nageur 2 a parcouru $1~500$ mètres. Le nageur 1 est donc en tête.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
&=59^2+198^2 \\
&= 42~685 \end{align*}$

Ainsi $AC=\sqrt{42~685} \approx 206,6$ cm.
Par conséquent $AC>205$.

Allan ne pourra pas redresser le réfrigérateur en position verticale dans le camion.

$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    \hline
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&3,4\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&100\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $100-(5,2+3,3+85,9+2,2)=3,4$.
    En $B7$ : on fait la somme des nombres de la colonne $B$.
    $\quad$
  2. En $B7$ on a pu écrire $=$SOMME$(B2:B6)$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
    \hline
    \text{iles Salomon}&25~530&9 \\
    \hline
    \text{îles Fidgi}&18~333&6\\
    \hline
    \text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
    \hline
    \text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
    \hline
    \text{Vanuatu}&12~281&4\\
    \hline
    \text{TOTAL}&550~560&180\\
    \hline
    \end{array}$En $C4$ : $\dfrac{18~333\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
    En $C6$ : $\dfrac{12~281\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
  4. On obtient le diagramme suivant :
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

L’aire du grand carré est $6^2=36$.
L’aire du petit carré est $x^2$.
Par différence, l’aire de la partie grisée est donc $36-x^2$.
$\quad$

Affirmation 2 : VRAIE

Le chiffe $8$ est présent dans les nombres $8$, $18$, $28$, $38$, $48$, $58$, $68$, $78$, $80$, $81$, $82$, $83$, $84$, $85$, $86$, $87$, $88$, $89$, $98$.
On a écrit $20$ fois le chiffre $8$.
$\quad$

 

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On obtient le dessin suivant :
    $\quad$
  2. a. On obtient le dessin numéro 2 (à chaque tour de boucle on avance d’un carreau de moins).
    $\quad$
    b. Pour obtenir ce chemin, il faut répéter la série d’instruction 3 fois.
    $\quad$

 

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois
réponses proposées est exacte.
Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. La forme développée et réduite de $(2x+5)(x-2)$ est :
    Réponse A : $2x^2-10$
    Réponse B : $2x^2+9x+10$
    Réponse C : $2x^2+x-10$
    $\quad$
  2. $\quad$
    Le cosinus de l’angle $\widehat{ABC}$ est égal à :
    Réponse A : $\dfrac{3}{5}$
    Réponse B : $\dfrac{4}{5}$
    Réponse C : $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
  3. Lorsque j’ajoute deux multiples de $7$, j’obtiens toujours
    Réponse A : un multiple de $49$
    Réponse B : un multiple de $14$
    Réponse C : un multiple de $7$
    $\quad$
  4. $\quad$

    $AB=125$ m ;$AS=42$ m ; $BC=75$ m et $(BC)//(ST)$
    $ST$ est égal à :
    Réponse A : $37,5$ m
    Réponse B : $25,2$ m
    Réponse C : $33,6$ m
    $\quad$

Exercice 2     12 points

À un stand d’une kermesse, on fait tourner une roue pour gagner un lot (un jouet, une casquette ou des bonbons). Une flèche permet de résigner le secteur gagnant sur la roue.
On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.

  1. a. Quelle est la probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » ?
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’événement contraire de l’événement « gagne des bonbons ».
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement défini au 1. b. ?
    $\quad$
  2. Soit l’événement « on gagne une casquette ou des bonbons ».
    Quelle est la probabilité de cet événement ?
    $\quad$

Exercice 3     18 points

  1. Décomposer les nombres $162$ et $108$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.
    Le cuisinier a préparé $162$ nems et $108$ samossas.
    Dans chaque barquette :
    — le nombre de nems doit être le même.
    — le nombre de samossas doit être le même,
    Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.
    $\quad$
    a. Le cuisiner peut-il réaliser $36$ barquettes ?
    $\quad$
    b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?
    $\quad$
    c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?
    $\quad$

Exercice 4     16 points

On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).
La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.

  1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
    a. Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1 ?
    $\quad$
    b. En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les $200$ premiers mètres ?
    $\quad$
  2. Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course ?
    Justifier.
    $\quad$
  3. Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l’ensemble de la course est d’environ $44$ m/min.
    $\quad$
  4. On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante. La fonction $f$ définie par $f(x) = 50x$ représente la distance qu’il parcourt en fonction du temps $x$.
    a. Calculer l’image de $10$ par $f$ .
    $\quad$
    b. Calculer $f(30)$.
    $\quad$
  5. Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,
    a. Lequel est en tête au bout de $10$ min ? Justifier.
    $\quad$
    b. Lequel est en tête au bout de $30$ min ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 5     8 points

Lors de son déménagement, Allan doit transporter son réfrigérateur dans un camion, Pour l’introduire dans le camion, Allan le pose sur le bord comme indiqué sur la figure. Le schéma n’est pas à l’échelle.

Allan pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans bouger le point d’appui A ? Justifier.

$\quad$

Exercice 6     17 points

L’annexe 1 donne un tableau concernant les états et territoires de la Mélanésie.

  1. Compléter les colonnes B et C du tableau dans l’annexe 1.
    Arrondir les fréquences au dixième.
    $\quad$
  2. Le tableau a été construit avec un tableur.
    Quelle formule peut-on saisir pour compléter la cellule $B7$ du tableau ?
    L’annexe 2 donne la répartition des superficies des différents territoires et états de la Mélanésie.
    $\quad$
  3. Compléter la colonne des angles dans le tableau de l’annexe 2.
    $\quad$
  4. Compléter le diagramme semi-circulaire dans l’annexe 2 en utilisant les données du tableau.
    $\quad$

Annexe 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
\hline
1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
\hline
2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
\hline
3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
\hline
4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&\ldots\\
\hline
5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
\hline
6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
\hline
7&\text{TOTAL}&\ldots&100\\
\hline
\end{array}$$

Annexe 2

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
\hline
\text{iles Salomon}&25~530&9 \\
\hline
\text{îles Fidgi}&18~333&\ldots\\
\hline
\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
\hline
\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
\hline
\text{Vanuatu}&12~281&\ldots\\
\hline
\text{TOTAL}&\ldots&180\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 7     8 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier la réponse.

Affirmation 1 : l’aire de la partie grise de la figure ci-dessous est $36-x^2$.

$\quad$

Affirmation 2 : Le chiffre $8$ est écrit $20$ fois lorsque j’écris tous les nombres entiers de $1$ à $100$.
$\quad$

Exercice 8     9 points

Rappel :

Orientation du lutin :
S’orienter à 90° : pour se déplacer vers la droite
S’orienter à 0° : pour se déplacer vers le haut
S’orienter à −90° : pour se déplacer vers la gauche
S’orienter à 180° : pour se déplacer vers le bas

Le chat indique la position de départ.

  1. On exécute le script 1 ci-dessous.
    Représenter dans l’annexe le chemin parcouru par le chat.

    $\quad$

  2. a. Indiquer sur la copie le numéro du dessin correspondant au script 2 ci-dessous.
    $\quad$
    Le côté d’un carreau mesure $20$ unités.
    $\quad$
    b. On souhaite modifier le script 2 pour parcourir le chemin suivant :

    Quelle(s) modification(s) peut-on apporter au script 2 pour parcourir ce chemin ?
    $\quad$

Annexe

Le côté d’un carreau mesure $20$ unités.

$\quad$

 

DNB – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – novembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3,5}{7}=\dfrac{1}{2}$
    Donc $\widehat{ABC}=30$°. Réponse A
  2. Les deux triangles sont symétriques par rapport à $O$.

     

    on a donc $\widehat{DEF}=\widehat{CBA}=35$° Réponse A

  3. La transformation qui permet d’obtenir la figure 2 à partir de la figure 1 est une homothétie. Réponse B

     

    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Hugo a déposé $\dfrac{15}{100}\times 300=45$ BD à la déchèterie.
Il lui reste donc $300-45=255$ BD.

Il vend $\dfrac{3}{5}\times 255=153$ BD à la braderie.

Il lui reste donc $255-153=102$ BD à la fin de la braderie.

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Voici les différents étapes de calcul : $$3\to -2\to -8$$ 
    On obtient donc le nombre $-8$.
    $\quad$
    b. Voici les différentes étapes de calcul : $$3\to 18\to -2 \to -8$$
    On obtient donc le nombre $-8$.
    $\quad$
  2. Avec le programme 1 :
    Soustraire $5$ : $-2-5=-7$
    Multiplier par $4$ : $-7\times 4=-28$
    $\quad$
    Avec le programme 2 :
    Multiplier par $6$ : $-2\times 6=-12$
    Soustraire $20$ : $-12-20=-32$
    Soustraire le double du nombre de départ : $-32-2\times (-2)=-32+4=28$
    $\quad$
    On obtient bien deux fois le même résultat.
    $\quad$
  3. On a pu saisir dans la cellule $B2$ la formule $=A2*5-4$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre choisi.
    Avec le programme 1 on obtient : $(x-5)\times 4=4x-20$.
    Avec le programme 2 on obtient : $6x-20-2x=4x-20$.
    Lucie a donc raison.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Calculons la largeur de l’écran : $\dfrac{16}{9}\times 60=\dfrac{320}{3}$ cm.
Calculons la diagonale de l’écran : On applique pour cela le théorème de Pythagore.
$d^2=60^2+\left(\dfrac{320}{3}\right)^2=\dfrac{134~800}{9}$
Donc $d\approx 122,4$ cm.

D’après le graphique, pour cette diagonale d’écran, la distance écran-téléspectateur doit être comprise entre $205$ cm et $420$ cm.

Or $3,05$ m $=305$ cm. Cette distance est bien comprise entre les distances minimales et maximales.

Valentin a fait un choix adapté.
$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Le temps du vainqueur de la finale en 2016 est $9,81$ s.
    $\quad$
  2. La moyenne des temps de la finale de 2016 est :
    $m=\dfrac{10,04+9,96+\ldots+9,94}{8} \approx 9,94 < 10,01$.
    La moyenne des temps pour effectuer $100$ m est la plus petite en 2016.
    $\quad$
  3. En 2012, le meilleur temps est $11,99-2,36=9,63<9,81$.
    C’est donc lors de la finale de $2012$ que le meilleur temps a été réalisé.
    $\quad$
  4. La médiane des temps en 2012 est de $9,84$.
    Cela signifie donc que $4$ athlètes ont mis au plus $9,84$ s pour parcourir le $100$ m de la finale de 2012.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  5. En 2016, $6$ athlètes ont réalisé un temps inférieur à $10$ s.
    C’est en 2012, qu’il y a eu le plus d’athlètes ayant réussi à parcourir le $100$ m de la finale en moins de $10$ s. Ils étaient donc au moins $7$ à avoir obtenu un tel temps.
    Un athlète parmi ces $8$ a mis $11,99$ s.
    Cela signifie donc que $7$ athlètes ont parcouru le $100$ m en moins de $10$ s en 2012.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Si on prend la valeur $40$ il n’y a alors plus d’espace entre les carrés.
    La valeur effacée est donc $60$.
    $\quad$
    b. On obtient la figure suivante :

    $\quad$

  2. On peut utiliser : $a=3$, $b=40$ et $c=120$.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

$20$ min $=\dfrac{1}{3}$ h.
La vitesse moyenne de Noémie est $v=\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=21$ km/h.
Affirmation 1 fausse

$\quad$

Marie-Amélie Le Fur a parcouru les $400$ m en $\dfrac{0,4}{24,3} \times 60 \approx 0,988$ min
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour
chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche;
elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
Pour chacune des questions, écrire sur la copie, le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.

  1. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
    $AC=3,5$ cm et $BC=7$ cm. La mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
    Réponse A : $30$°
    Réponse B : $45$°
    Réponse C : $60$°
    $\quad$
  2. $\quad$

    Le triangle $DEF$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $O$. La mesure de l’angle $DEF$ est :
    Réponse A : $35$°
    Réponse B : $55$°
    Réponse C : $65$°
    $\quad$
  3. $\quad$

    La transformation utilisée pour obtenir la figure 2 à partir de la figure 1 est une :
    Réponse A : translation
    Réponse B : homothétie
    Réponse C : rotation
    $\quad$

Exercice 2     12 points

Avant son déménagement, Hugo décide de se séparer de sa collection de $300$ BD (bandes dessinées).
$15 \%$ de ces BD sont trop abîmées pour être vendues. Il les dépose à la déchetterie.

À la braderie du village, il vend ensuite trois cinquièmes de ce qu’il lui reste.
Combien rapporte-t-il de BD chez lui à la fin de la braderie ?
$\quad$

Exercice 3     17 points

Voici deux programmes de calcul :

$$\begin{array}{l|l}
\hspace{2cm} \text{Programme de calcul ➀} \hspace{2cm}&\hspace{2cm} \text{Programme de calcul ➁ }\\
\bullet\text{ Soustraire }5&\bullet\text{ Multiplier par }6\\
\bullet\text{ Multiplier par }4&\bullet\text{ Soustraire  }20\\
&\bullet\text{ Soustraire le double du nombre de départ}\\
\end{array}$$

  1. a. Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul ➀ au nombre $3$ ?
    $\quad$
    b. Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul ➁ au nombre $3$ ?
    $\quad$
  2. Démontrer qu’en choisissant le nombre $-2$, les deux programmes donnent le même résultat.
    $\quad$
  3. On décide de réaliser davantage d’essais. Pour cela, on utilise un tableur et on obtient la copie d’écran suivante :

    Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $B2$ avant de la recopier vers le bas, jusqu’à la cellule $B5$ ?
    $\quad$
  4. Les résultats affichés dans les colonnes B et C sont égaux. Lucie pense alors que, pour n’importe quel nombre choisi au départ, les deux programmes donnent toujours le même résultat.
    Démontrer que Lucie a raison.
    $\quad$

Exercice 4     18 points

Valentin souhaite acheter un écran de télévision ultra HD (haute définition).
Pour un confort optimal, la taille de l’écran doit être adaptée aux dimensions de son salon.
Voici les caractéristiques du téléviseur que Valentin pense acheter : $$\begin{array}{|lcc|}
\hline
\text{Hauteur de l’écran}&\hspace{1cm}&60\text{ cm}\\
\text{Format de l’écran}&\hspace{1cm}&16/9\\
\text{Ultra HD}&\hspace{1cm}&\text{oui}\\
\hline
\end{array}$$

Question : Valentin a-t-il fait un choix adapté ?

Utiliser les informations ci-dessous et les caractéristiques du téléviseur pour répondre.
Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.
Information 1.
Distance écran-téléspectateur du salon de Valentin : $3,20$ m.

Information 2. Format $16/9$
Pour un écran au format $16/9$, on a : Largeur $=\dfrac{16}{9}\times$ Hauteur

Information 3. Graphique pour aider au choix de la taille de l’écran

$\quad$

Exercice 5     17 points

Dans tout l’exercice, on étudie les performances réalisées par les athlètes qui ont participé aux finales du 100 m masculin des Jeux Olympiques de 2016 et de 2012.
On donne ci-dessous des informations sur les temps mis par les athlètes pour parcourir 100 m.

Finale du 100 m aux Jeux Olympiques de 2016 :
Temps réalisés par tous les finalistes :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
10,04\text{ s}&9,96\text{ s}&9,81\text{ s}&9,91\text{ s}&10,06\text{ s}&9,89\text{ s}&9,93\text{ s}&9,94\text{ s}\\
\hline
\end{array}$$

Finale du 100 m aux Jeux Olympiques de 2012 :

$$\begin{array}{|clcr|}
\hline
\bullet&\text{nombre de finalistes}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&8\\
\bullet&\text{temps le plus long}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&11,99 \text{ s}\\
\bullet&\text{étendue des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&2,36 \text{ s}\\
\bullet&\text{moyenne des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&10,01 \text{ s}\\
\bullet&\text{médiane des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&9,84 \text{ s}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel est le temps du vainqueur de la finale en 2016 ?
    $\quad$
  2. Lors de quelle finale la moyenne des temps pour effectuer 100 m est-elle la plus petite ?
    $\quad$
  3. Lors de quelle finale le meilleur temps a-t-il été réalisé ?
    $\quad$
  4. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
    Affirmation : « Seulement trois athlètes ont mis moins de $10$ s à parcourir les 100 m de la finale de 2012 ».
    $\quad$
  5. C’est lors de la finale de 2012 qu’il y a eu le plus d’athlètes ayant réussi à parcourir le 100 m en moins de $10$ s.
    Combien d’athlètes ont-ils réalisé un temps inférieur à $10$ s lors de cette finale de 2012 ?
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Léna et Youri travaillent sur un programme. Ils ont obtenu le dessin suivant :

Ils ont ensuite effacé une donnée par erreur dans le script principal.
Voici les copies d’écran de leur travail :

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

  1. a. La valeur effacée dans le script principal était-elle $40$ ou bien $60$ ?
    $\quad$
    b. Dessiner sur la copie ce qu’on aurait obtenu avec l’autre valeur.
    On représentera l’instruction « avancer de $20$ » par un segment de longueur $1$ cm.
    $\quad$
  2. Léna et Youri souhaitent maintenant obtenir un triangle équilatéral comme motif.

    Afin d’obtenir un triangle équilatéral :
    $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $a$ ?
    $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $b$ ?
    $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $c$ ?
    $\quad$

Exercice 7     12 points

En 2016 Marie-Amélie Le Fur a remporté la médaille d’or du 400 m aux Jeux Paralympiques (*) de Rio.
Lors de la finale, elle a parcouru cette distance à la vitesse moyenne de $24,3$ km/h en battant ainsi son propre record du monde.
Noémie met $20$ minutes à vélo pour parcourir les $7$ km séparant le collège de sa maison.

Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou fausse :

Affirmation 1 : « La vitesse moyenne de Noémie sur ces 7 km est supérieure à la vitesse moyenne de Marie-Amélie Le Fur lors de cette finale. »

Affirmation 2 : « Marie-Amélie Le Fur a couru le 400 m en moins d’une minute lors de cette finale. »

(*) Les Jeux Paralympiques sont les Jeux Olympiques pour athlètes en situation de handicap.

$\quad$

 

DNB – Métropole Antilles Guyane – Septembre 2018

Métropole – Antilles Guyane – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $32$ participants sur les $80$ sont des femmes.
    La proportion de femmes participant à la course est $\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    $40\%$ des participants sont dons des femmes.
    $\quad$
  2. a. $p(V)=\dfrac{48}{80}=\dfrac{3}{5}=0,6$.
    $\quad$
    b. $3$ femmes et $4$ hommes ont un dossard dont le numéro est un multiple de $10$.
    Ainsi $p(M)=\dfrac{3+4}{80}=\dfrac{7}{80}$.
    $\quad$
    c. Parmi les $7$ multiples de $10$, seuls les dossards rouges $10$, $20$ et $30$ appartiennent à des femmes.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. La série contient $20$ valeurs. Dans la liste des valeurs ordonnées dans l’ordre croissant, la médiane est la médiane de le $19\ieme$ et $20\ieme$ valeur.
    Ainsi la médiane est $m=\dfrac{1979+1981}{2}=1980$.
    $\quad$
  2. On a pu saisir $=somme(B2:B21)/20$
    $\quad$
  3. On considère la série $1959 \quad 1959 \quad 1962$.
    La médiane de cette série est $1959$ tandis que sa moyenne est $\dfrac{1959+1959+1962}{3}=1960$.
    La moyenne et la médiane d’une série ne sont donc pas toujours égales.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} 588&=2^2\times 147 \\
    &=2^2\times 3\times 49 \\
    &=2^2\times 3\times 7^2
    \end{align*}$
    Les diviseurs premiers de $588$ sont donc $2$;$3$ et $11$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 27~000~000&=27\times 10^6 \\
    &=3^3\times (2\times 5)^6 \\
    &=3^3\times 2^6\times 5^6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs premiers de $27~000~000$ sont donc $2$; $3$ et $5$.
    $\quad$
  3. Les trois plus petits nombres premiers  impairs sont $3$; $5$ et $7$.
    Le nombre cherché est donc $3\times 5\times 7=105$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Bob  parcouru $10,5$ km en $1$h $03$min soit $1+\dfrac{3}{60}$h.
    Sa vitesse moyenne est donc $v=\dfrac{10,5}{1+\dfrac{3}{60}}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=\dfrac{60}{1}=60$ et $f(2)=\dfrac{60}{2}=30$.
    On a $2=2\times 1$ mais $f(2)=30 \neq 2\times f(1)$.
    La fonction $f$ n’est donc pas linéaire.
    $\quad$
    b. $f(5)=\dfrac{60}{5}=12$.
    La vitesse de Bob était donc de $12$ km/h lors de sa dernière course.
    $\quad$
  3. a. D’après le graphique, un antécédent de $10$ par la fonction $f$ est $6$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique si un pièton se déplace à environ $14$ min/km alors sa vitesse est d’environ $4,25$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{masse en mg}&100&75~000~000\\
    \hline
    \text{charge en mg}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $x=\dfrac{80\times 75~000~000}{100}=60~000~000$ mg $=60$ kg.
    $\quad$
  2. a. Le volume du prisme est $V=23\times 11,5=264,5$ mm$^3$ (il fallait convertir $1,15$ cm en mm).
    $\quad$
    b. $6\times 10^{-5}$ litre $=6\times 10^{-5}\times 10^6$ mm$^3$ soit $60$ mm$^3$.
    Or $\dfrac{264,5}{60} \approx 4,4$.
    L’abeille devra donc faire au minimum $5$ sorties pour remplir une alvéole.
    $\quad$
  3. a. $3~965+1~869+4~556+5~709=16~099$.
    $16~099$ tonnes de miel ont été récoltées en 2016.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le pourcentage de baisse cherché.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 24~224\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=16~099 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{16~099}{24~224} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}= \dfrac{16~099}{24~224} -1\\
    &\ssi x=-100\times \left(\dfrac{16~099}{24~224} -1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 33,5$.
    On constate donc une baisse d’environ $33,5\%$ de la récolte de miel.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le bloc suivant :
  2. À l’issue de l’exécution du programme le point d’arrivée à pour coordonnées $(0;0)$ et on est orienté vers la droite.
    $\quad$
  3. a. On obtient le nouveau script suivant :

    b. À la fin de l’exécution du script voici les nouvelles valeurs des variables :
    Longueur : $50\times 1,3=65$
    Largeur : $30\times 1,3=39$
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Si le nombre de départ est $1$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times 1-5=-3$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times 1+2=5$.
    On obtient donc finalement le nombre $-3\times 5= -15$
    $\quad$
  2. Si le nombre de départ est $x$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times x-5=2x-5$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times x+2=3x+2$.
    On obtient donc finalement le nombre $(2x-5)\times (3x+2)$
    Réponse B
    $\quad$
  3. D’une part on a :
    $(2x-5)\times (3x+2)=6x^2+4x-15x-10=6x^2-11x-10$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} D&=(3x+2)^2-(x+7)(3x+2) \\
    &=(3x)^2+2\times 2\times 3x+2^2-\left(3x^2+2x+21x+14\right) \\
    &=9x^2+12x+4-\left(3x^2+23x+14\right) \\
    &=6x^2-11x-10
    \end{align*}$
    L’expression $D$ fournit donc bien le même résultat que $(2x-5)\times (3x+2)$. L’affirmation de Lily est par conséquent vraie.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DF^2=DE^2+EF^2$
    soit $3~800^2=DE^2+3~790^2$
    donc $DE^2=3~800^2-3~790^2$
    Par conséquent $DE^2=75~900$ et $DE=\sqrt{75~900} \approx 275,5$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $FGH$ rectangle en G on a :
    $\sin 12=\dfrac{HG}{FH}$
    Donc $HG=FH \times \sin 12=4~100 \times \sin 12 \approx 852,4$ m
    Le dénivelé de la seconde étape est donc d’environ $825,4$ m.
    $\quad$
  3. $48$ min $=\dfrac{48}{60}$ h $=0,8$ h
    On a donc
    $\begin{align*} V_a&=\dfrac{EF+HG}{0,8} \\
    &=\dfrac{\sqrt{75~900}+4~100\sin 12}{0,8} \\
    &\approx 1~410 \\
    &> 1~400
    \end{align*}$
    Le coureur atteint donc son objectif.
    $\quad$
    Remarque : dans le calcul de $V_a$ on pouvait également utiliser les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes mais elles ont le défaut de n’être que des valeurs approchées et non des valeurs exactes.
    $\quad$

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet :

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Partie 1

On s’intéresse à une course réalisée au début de l’année 2018. Il y a $80$ participants, dont $32$ femmes et $48$ hommes.
Les femmes portent des dossards rouges numérotés de $1$ à $32$. Les hommes portent des dossards verts numérotés de $1$ à $48$.
Il existe donc un dossard n° $1$ rouge pour une femme, et un dossard n° $1$ vert pour un homme, et ainsi de suite …

  1. Quel est le pourcentage de femmes participant à la course ?
    $\quad$
  2. Un animateur tire au hasard le dossard d’un participant pour remettre un prix de consolation.
    a. Soit l’événement $V$ : « Le dossard est vert ». Quelle est la probabilité de l’événement $V$ ?
    $\quad$
    b. Soit l’événement $M$ : « Le numéro du dossard est un multiple de $10$ ». Quelle est la probabilité de l’événement $M$ ?
    $\quad$
    c. L’animateur annonce que le numéro du dossard est un multiple de $10$. Quelle est alors la probabilité qu’il appartienne à une femme ?
    $\quad$

Partie 2

À l’issue de la course, le classement est affiché ci-dessous.
On s’intéresse aux années de naissance des $\boldsymbol{20}$ premiers coureurs.

  1. On a rangé les années de naissance des coureurs
    dans l’ordre croissant :
    $$\begin{array}{ccccccccc} 1959&\hspace{0.5cm}& 1959&\hspace{0.5cm}& 1960&\hspace{0.5cm}& 1966&\hspace{0.5cm}& 1969\\
    1970&& 1972&& 1972&& 1974&& 1979\\
    1981&&1983&& 1986&& 1988&& 1989\\
    1993& &1997&& 1998&& 2002&& 2003\end{array}$$
    Donner la médiane de la série.
    $\quad$
  2. La moyenne de la série a été calculée dans la cellule $B23$.
    Quelle formule a été saisie dans la cellule $B23$ ?
    $\quad$
  3. Astrid remarque que la moyenne et la médiane de
    cette série sont égales.
    Est-ce le cas pour n’importe quelle autre série statistique ?
    Expliquer votre réponse.
    $\quad$

Exercice 2     11 points

  1. Le nombre $588$ peut se décomposer sous la forme $588 = 2^2 ×3×7^2$.
    Quels sont ses diviseurs premiers, c’est-à-dire les nombres qui sont à la fois des nombres premiers et des diviseurs de $588$ ?
    $\quad$
  2. a. Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $27~000~000$.
    $\quad$
    b. Quels sont ses diviseurs premiers ?
    $\quad$
  3. Déterminer le plus petit nombre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement.
    $\quad$

Exercice 3     13 points

Après un de ses entraînements de course à pied, Bob reçoit de la part de son entraîneur le récapitulatif de sa course, reproduit ci-dessous. $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Entraînement course à pied}\\
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{10,5\text{ km}}&\boldsymbol{1\text{ h }03\text{ min}}&\boldsymbol{6\text{ min/km}}\\
\text{distance}&\text{Durée}&\text{Allure moyenne}\end{array}\\
\\
\hspace{2cm}\begin{array}{cc}
\boldsymbol{851}&\boldsymbol{35\text{ m}}\\
\text{calories}&\text{Gain altitude}\end{array}\\
\hline
\end{array}$$
L’allure moyenne du coureur est le quotient de la durée de la course par la distance parcourue et s’exprime en min/km.

Exemple : si Bob met $18$ min pour parcourir $3$ km, son allure est de $6$ min/km.

  1. Bob s’étonne de ne pas voir apparaître sa vitesse moyenne. Calculer cette vitesse moyenne en km/h.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x > 0$ par $f(x) =\dfrac{60}{x}$, où $x$ est l’allure en min/km et $f(x)$ est la vitesse en km/h.
    Cette fonction permet donc de connaître la vitesse (en km/h) en fonction de l’allure (en min/km).
    a. La fonction $f$ est-elle une fonction linéaire ? Justifier.
    $\quad$
    b. Lors de sa dernière course, l’allure moyenne de Bob était de $5$ min/km.
    Calculer l’image de $5$ par $f$ . Que représente le résultat obtenu ?
    $\quad$
  3. Répondre aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$ ci-dessous :
    a. Donner un antécédent de $10$ par la fonction $f$ .
    $\quad$
    b. Un piéton se déplace à environ $14$ min/km. Donner une valeur approchée de sa vitesse en km/h.
    $\quad$

Exercice 4     17 points

Les abeilles ouvrières font des allers-retours entre les fleurs et la ruche pour transporter le nectar et le pollen des fleurs qu’elles stockent dans la ruche.

  1. Une abeille a une masse moyenne de $100$ mg et rapporte en moyenne $80$ mg de charge (nectar, pollen) à chaque voyage.
    Un homme a une masse de $75$ kg. S’il se chargeait proportionnellement à sa masse, comme une abeille, quelle masse cet homme transporterait-il ?
    $\quad$
  2. Quand elles rentrent à la ruche, les abeilles déposent le nectar récolté dans des alvéoles.
    On considère que ces alvéoles ont la forme d’un prisme de $1,15$ cm de hauteur et dont la base est un hexagone d’aire $23$ mm$^2$ environ, voir la figure ci-dessous.
    a. Vérifier que le volume d’une alvéole de ruche est égal à $264,5$ mm$^3$.

    Le volume d’un prisme est donnée par la formule : $V_{prisme}=Aire_{Base}\times Hauteur$
    $\quad$
    b. L’abeille stocke le nectar dans son jabot. Le jabot est une petite poche sous l’abdomen d’un volume de $6\times 10^{-5}$ litre. Combien de sorties au minimum l’abeille doit-elle faire pour remplir une alvéole ?
    (rappel : $1$ dm$^3$ = $1$ litre)
    $\quad$
  3. Le graphique ci-dessous présente la production française de miel en 2015 et 2016.

    Source : Observatoire de la production de miel et gelée royale FranceAgriMer 2017
    $\quad$
    a. Calculer la quantité totale de miel (en tonnes) récoltée en 2016.
    $\quad$
    b. Sachant que la quantité totale de miel récoltée en 2015 est de $24~224$ tonnes, calculer le pourcentage de baisse de la récolte de miel entre 2015 et 2016.
    $\quad$

Exercice 5     15 points

Sam a écrit le programme ci-dessous qui permet de tracer un rectangle comme ci-dessous.


Ce programme comporte deux variables (Longueur) et (Largeur) qui représentent les dimensions du rectangle.

On rappelle que l’instruction signifie quel’on s’oriente vers la droite.

  1. Compléter le bloc rectangle ci-dessus avec des nombres et des variables pour que le script fonctionne.
    On recopiera et on complétera uniquement la boucle répéter sur sa copie.
    $\quad$
  2. Lorsque l’on exécute le programme, quelles sont les coordonnées du point d’arrivée et dans quelle direction est-on orienté ?
    $\quad$
  3. Sam a modifié son script pour tracer également l’image du rectangle par l’homothétie de centre le point de coordonnées $(0; 0)$ et de rapport $1,3$.

    a.
    Compléter le nouveau script de Sam donné ci-dessus afin d’obtenir la figure ci-dessous. On recopiera et on complétera sur sa copie les lignes 9 et 10 ainsi que l’instruction manquante en ligne 11.
    $\quad$
    b.
    Sam exécute son script. Quelles sont les nouvelles valeurs des variables Longueur et Largeur à la fin de l’exécution du script ?
    $\quad$

Exercice 6     12 points

La figure ci-dessous donne un schéma d’un programme de calcul.

  1. Si le nombre de départ est 1, montrer que le résultat obtenu est $-15$.
    $\quad$
  2. Si on choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul ? Justifier.
    $A =\left(x^2-5\right)\times (3x+2)$ $\quad$ $B=(2x-5)(3x+3)$ $\quad$ $C=2x-5\times 3x+2$
    $\quad$
  3. Lily prétend que l’expression $D=(3x +2)^2-(x +7)(3x +2)$ donne les mêmes résultats que l’expression $B$ pour toutes les valeurs de $x$.
    L’affirmation de Lily est-elle vraie ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 7     12 points

Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par la vitesse ascensionnelle, notée $V_a$.
$V_a$ est le quotient du dénivelé de la course, exprimé en mètres, par la durée, exprimée en heure.

 

Rappel : le dénivelé de la course est la différence entre l’altitude à l’arrivée et l’altitude au départ.

Un coureur de haut niveau souhaite atteindre une vitesse ascensionnelle d’au moins $1~400$ m/h lors de sa prochaine course.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Le parcours se décompose en deux étapes (voir figure 2) :

  •  Première étape de $3~800$ m pour un déplacement horizontal de $3~790$ m.
  • Seconde étape de $4,1$ km avec un angle de pente d’environ $12$°.
  1. Vérifier que le dénivelé de la première étape est environ $275,5$ m.
    $\quad$
  2. Quel est le dénivelé de la seconde étape ?
    $\quad$
  3. Depuis le départ, le coureur met $48$ minutes pour arriver au sommet.
    Le coureur atteint-il son objectif ?
    $\quad$

 

DNB – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 vraie
Les diviseurs de $6$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$.
La probabilité d’obtenir un diviseur de $6$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

Affirmation 2 vraie
$b=2\times 3^5\times 7^2=2\times 3\times 7\times 3^4\times 7=2\times 3\times 7\times a$
$\quad$

Affirmation 3 vraie 
$76~000\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)=76~000\times 1,3=98~800$

Affirmation 4 fausse
On appelle $p$ le prix d’un pull.
La personne B a acheté le pull en trois exemplaires. Elle a donc payé $3p$.
La personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging. Elle a donc payé $p+54$.
La personne B a dépensé plus d’argent que la personne A.
On peut donc écrire $3p\pg p+54$ soit $2p \pg 54$ et donc $p \pg 27$.
Un pull coûte donc au moins $27$ €.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La France a donc gagné, d’après ce tableau, $5$ fois contre le Portugal.
    $\quad$
  2. Sur les $13$ rencontres, la France a gagné $5$ fois.
    Le pourcentage de victoire est donc de $\dfrac{5}{13} \approx 38\%$.
    $\quad$
  3. Le nombre moyen de buts par match est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{3+2+2+3+5+5+2+3+4+1+3+1+1}{13} \\
    &=\dfrac{35}{13}\\
    &\approx 2,7\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Formule A : tous les magazines ont le même prix et il n’y a pas d’abonnement. Sa représentation graphique est $(D3)$.
    Formule B : Il y a un abonnement à l’année quelque soit le nombre de magazines lus. Sa représentation graphique est donc $(D2)$.
    Par conséquent, la représentation graphique de la Formule C est $(D1)$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    a. (traits bleus) En choisissant la formule A on dépense $60$ € si on achète $16$ magazines dans l’année.
    $\quad$
    b. (traits rouges) En choisissant la formule C on peut acheter au plus $32$ magazines avec $120$ €.
    $\quad$
    c. (droite orange) Le point d’intersection de la droite orange ne coupe que les droites $(D1)$ et $(D3)$. C’est le point d’intersection avec la droite $(D1)$ qui a la plus grande abscisse.
    Par conséquent, si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$ € pour l’année il faut choisir la formule B.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de magazines achetés sur une année.
    On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D3)$.
    Elle vérifie  alors $3,75x=30+2,25x$ soit $1,5x=30$ et donc $x=20$.
    $\quad$
    On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D2)$.
    Elle vérifie $30+2,25x=130$ soit $2,25x=100$ donc $x=\dfrac{100}{2,25} \approx 44,4$
    $\quad$
    par conséquent, dans l’année :
    – si on achète entre $0$ et $20$ magazines, la formule A est la plus avantageuse;
    – si on achète entre $20$ et $44$ magazines, la formule C est la plus avantageuse;
    – si on achète $45$ magazines ou plus, la formule B est la plus avantageuse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Nous allons calculer la longueur $\ell$ du parcours de la fille.
    Ainsi :
    $\ell = FE+ \overset{\frown}{ED}+DC+ \overset{\frown}{BC}+AB$
    On doit donc calculer le périmètre d’un cercle de rayon $5$ m : $p=2\times \pi\times 5=10\pi$ m.
    Ainsi $\ell = 3\times 60+10\pi=180+10\pi \approx 211$ m.
    Par conséquent le parcours de la fille est plus long que celui du garçon.
    $\quad$
  2. Vitesse du garçon : $v_g=\dfrac{200}{28}\approx 7,14$ m/s.
    Vitesse de la fille : $v_f=\dfrac{180+10\pi}{28,5}\approx 7,42$ m/s.
    La fille se déplace donc le plus vite.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On appelle $r$ le rayon du ballon du collégien français.
    Ainsi $4\times \pi \times r^2=1~950$
    Soit $\pi \times r^2 =487,5$
    Par conséquent $r^2=\dfrac{487,5}{\pi}$
    Et donc $r=\sqrt{\dfrac{487,5}{\pi}} \approx 12,46$.
    Le diamètre du ballon est donc $D_f=2r \approx 24,92 > 24,8$.
    Le ballon du collégien français ne respecte pas cette norme.
    $\quad$
  2. Le diamètre du ballon du collégien anglais est $D_a=9,5\times 2,54=24,13$.
    Le ballon du collégien anglais respecte cette norme.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Deux séances par semaine pendant $10$ semaines revient à faire $20$ séances.
    Chacune coûte $15$ €.
    Par conséquent le coût de ces séances est $15\times 20=300$ €.
    $\quad$
  2. La solution affichée par le programme correspond au nombre de semaines à partir duquel l’achat du vélo de piscine est rentabilisé.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de semaines cherché.
    Le coût de $x$ semaines de séances au centre aquatique coûte donc $2\times x \times 15 = 30x$.
    On veut donc résoudre $30x\pg 999$ soit $x \pg 33,3$.
    $x$ est un entier naturel.
    Il faudrait donc $34$ semaines pour que l’achat du vélo de piscine soit rentabilisé.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

1$\boldsymbol{^\text{ère}}$ partie

On a $DE=CF-CD-EF=4-2\times 1,5=1$ m

Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
$BD^2=BC^2+CD^2=2^2+1,5^2=6,25$
Donc $BD=\sqrt{6,25}=2,5$ m$

La longueur de la frise est :
$\begin{align*} L&=AH+HG+GE+DE+DB+BA \\
&=4+(10-2)+2,5+1+2,5+(10-2) \\
&=26
\end{align*}$
La frise mesure donc $26$ m.
$\quad$

2$\boldsymbol{^\text{ème}}$ partie

Dans les triangles $KLN$ et $KMO$ on a :
– le point $L$ appartient au segment $[KM]$;
– le point $N$ appartient au segment $[KO]$;
– les droites $(LN)$ et $(MO)$ sont parallèles puisque $LMON$ est un trapèze de bases $[LN]$ et $[MO]$

On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
$\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{KN}{KO}=\dfrac{LN}{MO}$
soit $\dfrac{5}{5+3,5}=\dfrac{LN}{10,2}$
Par conséquent $LN=\dfrac{5\times 10,2}{8,5} =6$.

La fermeture éclair mesure donc $6$ m.
$\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     12 points

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses.

Affirmation 1
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
Un élève affirme qu’il a deux chances sur trois d’obtenir un diviseur de $6$.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 2
On considère le nombre $a=3^4 \times 7$.
Un élève affirme que le nombre $b= 2 \times 3^5 \times 7^2$ est un multiple du nombre $a$.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 3
En 2016, le football féminin comptait en France $98~800$ licenciées alors qu’il y en avait $76~000$ en 2014.
Un journaliste affirme que le nombre de licenciées a augmenté de $30 \%$ de 2014 à 2016.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 4
Une personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging dans un magasin.
Le pantalon de jogging coûtait $54$ €. Dans ce magasin, une personne B a acheté le même pull en trois exemplaires ; elle a dépensé plus d’argent que la personne A.
La personne B affirme qu’un pull coûte $25$ €.
A-t-elle raison ?
$\quad$

Exercice 2     14 points

Un amateur de football, après l’Euro 2016, décide de s’intéresser à l’historique des treize dernières rencontres entre la France et le Portugal, regroupées dans le tableau ci-dessous.
On rappelle la signification des résultats ci-dessous en commentant deux exemples :

  • la rencontre du 3 mars 1973, qui s’est déroulée en France, a vu la victoire du Portugal par 2 buts à 1 ;
  • la rencontre du 8 mars 1978, qui s’est déroulée en France, a vu la victoire de la France par 2 buts à 0.

$$\text{Rencontres de football opposant la France et le Portugal depuis 1973}\\
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{3 mars 1973}&\text{France – Portugal}& 1-2\\
\hline
\text{26 avril 1975}&\text{France – Portugal}&0-2\\
\hline
\text{8 mars 1978}&\text{France – Portugal}&2-0\\
\hline
\text{16 février 1983}&\text{Portugal – France}&0-3\\
\hline
\text{23 juin 1984}&\text{France – Portugal}&3-2\\
\hline
\text{24 janvier 1996}&\text{France – Portugal}&3-2\\
\hline
\text{22 janvier 1997}&\text{Portugal – France}&0-2\\
\hline
\text{28 juin 2000}&\text{Portugal – France}&1-2\\
\hline
\text{25 avril 2001}&\text{France – Portugal}&4-0\\
\hline
\text{5 juillet 2006}&\text{Portugal – France}&0-1\\
\hline
\text{11 octobre 2014}&\text{France – Portugal}&2-1\\
\hline
\text{4 septembre 2015}&\text{Portugal – France}&0-1\\
\hline
\text{10 juillet 2016}&\text{France – Portugal}&0-1\\
\hline
\end{array}$$

  1. Depuis 1973, combien de fois la France a-t-elle gagné contre le Portugal ?
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage du nombre de victoires de la France contre le Portugal depuis 1973. Arrondir le résultat à l’unité de $\%$.
    $\quad$
  3. Le 3 mars 1973, 3 buts ont été marqués au cours du match. Calculer le nombre moyen de buts par match sur l’ensemble des rencontres. Arrondir le résultat au dixième.
    $\quad$

Exercice 3     16 points

Une personne s’intéresse à un magazine sportif qui parait une fois par semaine. Elle étudie plusieurs formules d’achat de ces magazines qui sont détaillées ci-après.

  • Formule A – Prix du magazine à l’unité : $3,75$ € ;
  • Formule B – Abonnement pour l’année : $130$ € ;
  • Formule C – Forfait de $30$ € pour l’année et $2,25$ € par magazine.

On donne ci-dessous les représentations graphiques qui correspondent à ces trois formules.

  1. Sur votre copie, recopier le contenu du cadre ci-dessous et relier par un trait chaque formule d’achat avec sa représentation graphique.
    $$\begin{array}{|llcrl|}
    \hline
    \text{Formule A}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_1\right)\\
    \text{Formule B}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_2\right)\\
    \text{Formule C}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_3\right)\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.
    Les traits de construction devront apparaître sur le graphique en ANNEXE qui est à rendre avec la copie.
    a. En choisissant la formule A, quelle somme dépense-t-on pour acheter $16$ magazines dans l’année ?
    $\quad$
    b. Avec $120$ €, combien peut-on acheter de magazines au maximum dans une année avec la formule C ?
    $\quad$
    c. Si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$ € pour l’année, quelle est alors la formule qui permet d’acheter le plus grand nombre de magazines ?
    $\quad$
  3. Indiquer la formule la plus avantageuse selon le nombre de magazines achetés dans l’année.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     14 points

Un garçon et une fille pratiquent le roller. Ils décident de faire une course en empruntant deux parcours différents. La fille, qui part du point F et arrive au point A, met $28,5$ secondes. Le garçon, qui part du point G et arrive aussi au point A, met $28$ secondes.

Le dessin ci-après, qui n’est pas à l’échelle, représente les deux parcours ; celui de la fille comporte deux demi-cercles de $5$ m de rayon.

  1. Quel est le parcours le plus long ?
    $\quad$
  2. Qui se déplace le plus vite, le garçon ou la fille ?
    $\quad$

Exercice 5     14 points

Un collégien français et son correspondant anglais ont de nombreux centres d’intérêt communs comme le basket qu’ils pratiquent tous
les deux.
Le tableau ci-dessous donne quelques informations sur leurs ballons.

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\hspace{1.cm}\textbf{Ballon du collégien français}&\hspace{0.2cm} \textbf{Ballon du correspondant anglais}\\
\hline
\hspace{2.5cm}A\approx 1~950~\text{cm}^2&\hspace{2.5cm}D\approx 9,5~\text{inch}\\
\hline
A\text{ désigne l’aire de la surface du ballon et}&D \text{ désigne le diamètre du ballon.}\\
r \text{son rayon. On a } A=4\times \pi\times r^2.&\text{L’inch est une unité de longueur anglo-}\\
&\text{saxonne. On a $1$ inch }=2,54~\text{cm}.\\
\hline
\end{array}$$

Pour qu’un ballon soit utilisé dans un match officiel, son diamètre doit être compris entre $23,8$ cm et $24,8$ cm.

  1. Le ballon du collégien français respecte-t-il cette norme ?
    $\quad$
  2. Le ballon du collégien anglais respecte-t-il cette norme ?
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Une personne pratique le vélo de piscine depuis plusieurs années dans un centre aquatique à raison de deux séances par semaine. Possédant une piscine depuis peu, elle envisage d’acheter un vélo de piscine pour pouvoir l’utiliser exclusivement chez elle et ainsi ne plus se rendre au centre aquatique.

  • Prix de la séance au centre aquatique : $15$ €.
  • Prix d’achat d’un vélo de piscine pour une pratique à la maison : $999$ €.
  1. Montrer que $10$ semaines de séances au centre aquatique lui coûtent $300$ €.
    $\quad$
  2. Que représente la solution affichée par le programme ci-après ?
    $\quad$
  3. Combien de semaines faudrait-il pour que l’achat du vélo de piscine soit rentabilisé ?
    $\quad$

Exercice 7     18 points

$\boldsymbol{1^{\text{ière}}}$ partie

Une personne possède une piscine. Elle veut coller une frise en carrelage au niveau de la ligne d’eau.

La piscine vue de haut, est représentée à l’échelle par la partie grisée du schéma ci-après.

Données :

  • le quadrilatère $ACFH$ est un rectangle ;
  • le point $B$ est sur le côté $[AC]$ et le point $G$ est sur le côté $[FH]$ ;
  • les points $D$ et $E$ sont sur le côté $[CF]$ ;
  • $AC = 10$ m ; $AH = 4$ m ; $BC = FG = 2$ m ; $CD = EF = 1,5$ m.

Question : Calculer la longueur de la frise.
$\quad$

$\boldsymbol{2\ieme}$ partie

La personne décide d’installer, au-dessus de la piscine, une grande voile d’ombrage qui se compose de deux parties détachables reliées par une fermeture éclair comme le montre le schéma ci-dessous qui n’est pas à l’échelle.

Données :

  • la première partie couvrant une partie de la piscine est représentée par le triangle $KLN$ ;
  • la deuxième partie est représentée par le trapèze $LMON$ de bases $[LN]$ et $[MO]$ ;
  • la fermeture éclair est représentée par le segment $[LN]$ ;
  • les poteaux, soutenant la voile d’ombrage positionnés sur les points $K$, $L$ et $M$, sont alignés ;
  • les poteaux, soutenant la voile d’ombrage positionnés sur les points $K$, $N$ et $O$, sont alignés ;
  • $KL = 5$ m ; $LM = 3,5$ m ; $NO = 5,25$ m ; $MO = 10,2$ m.

Question : Calculer la longueur de la fermeture éclair.
$\quad$

DNB – Asie – Juin 2018

Asie – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. C’est en septembre que le pourcentage de commandes livrées en retard a été le plus important.
    $\quad$
  2. En mai, juin, juillet et août le pourcentage de commandes livrées en retard inférieur ou égal à $18\%$.
    $\quad$
  3. La plus petite valeur est $12\%$ et la plus grande valeur est $26\%$.
    L’étendue est donc $26\%-12\%=14\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=24,5\pi$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+24,5\pi=55,125\pi$ m$^3$.
    $\quad$
  3. La hauteur de la maquette est $\dfrac{1}{25}\times 4,5=0,18$ m $=18$ cm.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $5,3\times 10^5=530~000$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Les diviseurs de $20$ compris entre $1$ et $6$ sont $1$, $2$, $4$ et $5$.
    La probabilité d’obtenir un diviseur de $20$ est $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. $(x+5)^2=x^2+25$
    revient à $x^2+2\times 5\times x+5^2=x^2+25$
    soit $x^2+10x+25=x^2+25$
    d’où $10x=0$
    par conséquent $x=0$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\dfrac{~~12~~}{\dfrac{3}{4}}=12\times \dfrac{4}{3}=4\times 4=16$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On répète $5$ fois la boucle pour obtenir l’étoile.
    $\quad$
  2. Le périmètre de cette étoile est $P=10\times 80=800$ pixels.
    $\quad$
  3. Pour obtenir une étoile dont le périmètre est le double il faut doubler la longueur des côtés des branches.
  4. $\quad$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

L’aire du triangle est $A_1=\dfrac{1,6\times 3}{2}=2,4$ m$^2$.

On appelle $x$ la longueur cherchée.
L’aire du rectangle est donc $3x$ m$^2$.

On veut donc résoudre l’inéquation :
$3x+2,4\pp 20$
soit $3x \pp 17,6$
donc $x \pp \dfrac{17,6}{3}$ m.

La valeur maximale qu’il peut choisir est donc $\dfrac{17,6}{3}$ m.
$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. L’homothétie est donc de rapport $\dfrac{OC}{OA}=3$.
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{3}{5}\times OE=OC$.
    On obtient donc la figure C.
    $\quad$
  3. Si on multiplie toutes les longueurs par un nombre $k$ alors l’aire est multipliée par $k^2$.
    On cherche cherche donc la valeur de $k$ telle que $k^2=4$.
    Par conséquent $k=2$.
    Les longueurs ont été multipliées par $2$.
    Or $OB=2OA$. On obtient donc la figure B.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. L’aire du terrain est $110\times 30= 3~300$ m$^2$.
    L’aire de la partie “plein air” est donc $3~300-150=3~150$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Dans la partie couverte : $\dfrac{800}{150} \approx 5,33 < 6$.
    Dans la partie “plein air” : $\dfrac{3~150}{800} \approx 3,94<4$.
    La condition pour la partie “plein air” n’est donc pas respectée.
    Il ne pourra pas élever $800$ poules dans son installation.
    $\quad$
  3. On appelle $n$ le nombre de poules.
    Il faut que $\dfrac{3~150}{n}\pg 4$ soit $\dfrac{3~150}{4} \pg n$.
    Or $\dfrac{3~150}{4} = 787,5$.
    Donc $n\pp 787$.
    $\quad$
    On doit également avoir : $\dfrac{n}{150} \pp 6$
    Soit $n \pp 900$.
    Il pourra donc élever au maximum $787$ poules.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. On utilise le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Volume d’eau en L}&1,5&1\\
    \hline
    \text{Volume de glace en L}&1,62&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $x=\dfrac{1\times 1,62}{1,5}=1,08$.
    En faisant geler $1$ L d’eau on obtient bien $1,08$ L de glace.
    $\quad$
  2. On peut saisir $=B1*1,62/1,5$ ou encore $=1,08*B1$.
    $\quad$
  3. Il y a proportionnalité entre le volume de glace obtenu et le volume d’eau contenu dans la bouteille.
    La courbe est donc une droite passant par l’origine du repère.
    On obtient donc le graphique n°2.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     10 points

Une entreprise a enregistré, pour chaque mois de l’année 2016, le pourcentage de commandes livrées en retard. Le diagramme suivant présente ces données.

  1. Quel est le mois de l’année où le pourcentage de commandes livrées en retard a été le plus important ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  2. Pour quels mois de l’année ce pourcentage a-t-il été inférieur ou égal à $18 \%$ ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. Quelle est l’étendue de cette série de données ?
    $\quad$

Exercice 2     17 points

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Aire du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Aire du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
  3. Sarnia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle $\dfrac{1}{25}$.
    Quelle est la hauteur de la maquette ?
    $\quad$

Exercice 3     12 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Dans chaque cas, une seule réponse est correcte.
Pour chacune des questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse. Aucune justification n’est attendue.

  1. L’écriture décimale du nombre $5,3\times 10^5$ est :
    A. $530~000$
    B. $5,300~000$
    C. $5~300~000$
    $\quad$
  2. Un dé équilibré a six faces numérotées de $1$ à $6$.
    On souhaite le lancer une fois.
    La probabilité d’obtenir un diviseur de $20$ est :
    A. $\dfrac{2}{3}$
    B. $\dfrac{4}{20}$
    C. $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. L’égalité $(x+5)^2=x^2+25$
    A. n’est vraie pour aucune valeur de $x$
    B. est vraie pour une valeur de $x$
    C. est vraie pour toute valeur de $x$
    $\quad$
  4. On veut remplir des bouteilles contenant chacune $\dfrac{3}{4}$ L.
    Avec $12$ L, on peut remplir :
    A. $9$ bouteilles
    B. $12$ bouteilles
    C. $16$ bouteilles
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Arthur doit écrire un programme avec Scratch pour dessiner une étoile comme le dessin représenté ci-dessous.
Il manque dans son programme le nombre de répétitions.

Programme commencé par Arthur

Information : L’instruction  signifie qu’on se dirige vers la droite.

  1. Quel nombre doit-il saisir dans la boucle « répéter » pour obtenir l’étoile ?
    $\quad$
  2. Déterminer le périmètre de cette étoile.
    $\quad$
  3. Arthur souhaite agrandir cette étoile pour obtenir une étoile dont le périmètre serait le double, en modifiant son programme.
    Recopier la partie du programme ci-dessous sur la copie en modifiant les valeurs
    nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.

$\quad$

Exercice 5     12 points

Paul veut construire un garage dans le fond de son jardin.

Sur le schéma ci-dessous, la partie hachurée représente le garage positionné en limite de propriété.

Les longueurs indiquées ($1,6$ m et $3$ m) sont imposées; la longueur marquée par un point d’interrogation est variable.

Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.

Sachant que la surface du garage ne doit pas dépasser $20$ m$^2$ , quelle valeur maximale peut-il choisir pour cette longueur variable ?

$\quad$

Exercice 6     13 points

Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure $A$. En appliquant à la figure $A$ des homothéties de centre $O$ et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.

  1. Quel est le rapport de l’homothétie de centre $O$ qui permet d’obtenir la figure $C$ à partir de la figure $A$ ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  2. On applique l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{3}{5}$ à la figure $E$. Quelle figure obtient-on ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure $A$ ?
    $\quad$

Exercice 7     14 points

Francis veut se lancer dans la production d’œufs biologiques. Son terrain est un rectangle de $110$ m de long et $30$ m de large.

Il va séparer ce terrain en deux parties rectangulaires (voir schéma ci-contre qui n’est pas à l’ échelle) :

  • une partie couverte;
  • une partie « Plein air ».

Pour avoir la qualification « biologique », Francis a l’obligation de respecter les deux règles ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Partie couverte :}&\textbf{Partie « Plein air » :}\\
\text{utilisée pour toutes les}&\text{utilisée pour toutes les}\\
\text{poules quand il fait nuit}&\text{poules quand il fait jour}\\
\hline
6 \text{ poules maximum par m}^2&4 \text{ m$^2$ maximum par poule}\\
\hline
\end{array}\\
\textit{(Source : Institut Technologique de l’Agriculture Biologique)}
$$

Il a prévu que la partie couverte ait une surface de $150$ m$^2$.

Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.

  1. Montrer que l’aire de la partie « Plein air » est de $3~150$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Peut-il élever $800$ poules dans son installation ?
    $\quad$
  3. Combien de poules au maximum pourrait-il élever dans son installation ?
    $\quad$

Exercice 8     10 points

Lorsqu’on fait geler de l’eau, le volume de glace obtenu est proportionnel au volume d’eau utilisé.

En faisant geler $1,5$ L d’eau on obtient $1,62$ L de glace.

  1. Montrer qu’en faisant geler $1$ L d’eau, on obtient $1,08$ L de glace.
    $\quad$
  2. On souhaite compléter le tableau ci-dessous à l’aide d’un tableur.
    Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B2$ avant de la recopier vers la droite jusqu’à la cellule $G2$ ?
    $\quad$
  3. Quel graphique représente le volume de glace obtenu (en L) en fonction du volume d’eau contenu dans la bouteille au départ (en L) ? On rappelle que toute réponse doit être justifiée.

    $\quad$

 

 

DNB – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. La latitude de Pyeongchang est environ $35$° Nord et sa longitude est environ $130$° Est.
    $\quad$
  2. Le rayon de la boule est $R=\dfrac{23}{2}=11,5$ cm.
    Le volume de la boule est donc $V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3 \approx 6~371$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Le rayon du cylindre est $r=\dfrac{6}{2}=3$ cm.
    Le volume du cylindre est donc $V_{\text{cylindre}}=\pi \times 3^2\times 23 =207\pi \approx 650$ cm$^3$.
    Le volume total du trophée est donc d’environ $650+6371=7~021$ cm$^3$.
    $\dfrac{6~371}{7~021} \approx 0,907$.
    Le volume de la boule de cristal représente donc environ $90\%$ du volume total du trophée.
    Marie a raison.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La concentration moyenne en PM10 à Grenoble est $m=\dfrac{32+39+52+\ldots+89}{10}=63,4< 72,5$.
    La ville de Lyon a eu lap lus forte concentration moyenne en PM10 entre ces deux dates.
    $\quad$
  2. L’étendue de la série relative à Lyon est : $e_L=107-22=85$ µg/m$^3$.
    Et pour Grenoble : $e_G=89-32=57$ µg/m$^3$.
    Lyon a eu l’étendue la plus importante.
    Cela signifie que la concentration en PM10 entre ces deux dates est plus fluctuante à Lyon qu’à Grenoble.
    $\quad$
  3. La médiane de la série de la ville de Lyon est $83,5 > 80$.
    Cela signifie qu’au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à $83,5$ µg/m$3$^.
    La série comporte $10$ valeurs.
    Le seuil d’alerte a donc été dépassé au moins $5$ fois à Lyon.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La probabilité qu’il écoute du rap est $p=\dfrac{125}{375}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{7}{15}\times 375=175$.
    Il y a donc $175$ morceaux de rock dans son lecteur audio.
    $\quad$
  3. $\dfrac{7}{15} \approx 0,47 > 0,4$.
    Théo a donc plus de chances d’écouter un morceaux de rock qu’Alice.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $CD^2=BC^2+BD^2$
    Soit $8,5^2=7,5^2+BD^2$
    Donc $72,25=56,25+BD^2$
    Par conséquent $BD^2=16$ et $BD=4$ cm.
    $\quad$
  2. On a :
    $\dfrac{BC}{FB}=\dfrac{7,5}{6}=1,25$
    $\dfrac{BD}{FE}=\dfrac{4}{3,2}=1,25$
    $\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{8,5}{6,8}=1,25$
    Les trois rapports de longueurs étant égaux, les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    Le triangle $CBD$ est rectangle en $B$ donc le triangle $BFE$ est également rectangle.
    Le côté $[BE]$ est le plus grand côté. C’est donc l’hypoténuse du triangle $BFE$.
    Il est par conséquent rectangle en $F$.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$ on a :
    $\sin \widehat{BCD}={BD}{CD}=\dfrac{4}{8,5}$ donc $\widehat{BCD} \approx 28,07$°.
    Ainsi $\widehat{ACD} \approx 61+28,07$ soit  $\widehat{ACD} \approx 89,07$°.
    L’angle  $\widehat{ACD}$ n’est donc pas droit.
    Max a tort.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici les différentes étapes du calcul :
    $-1\underset{\times 4}{\longrightarrow}-4 \underset{+8}{\longrightarrow}4 \underset{\times 2}{\longrightarrow} 8$.
    On obtient donc bien $8$ comme résultat final.
    $\quad$
  2. On peut remonter le calcul à l’envers :
    $30\underset{:2}{\longrightarrow}15\underset{-8}{\longrightarrow}7\underset{:4}{\longrightarrow}1,75$.
    On a donc choisi le nombre $1,75$ au départ.
    $\quad$
  3. $A=2(4x+8)=8x+16$
    $B=(4+x)^2-x^2=4^2+2\times 4\times x+x^2-x^2=16+8x=A$.
    Les deux expressions $A$ et $B$ sont donc égales.
    $\quad$
  4. Si $x=-10$ alors $8x+16=-64<0$.
    L’affirmation 1 est donc fausse.
    $\quad$
    Si $x$ est un entier naturel alors $8x+16=8(x+2)$ est un multiple de $8$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$

 

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
    b. Après l’exécution de la ligne 8 les coordonnées du stylo sont $(50;0)$.
    $\quad$
  2. On peut écrire “Mettre Longueur à Longueur $-50$.
    $\quad$
  3. a. Une homothétie de rapport $\dfrac{300-50\times 2}{300}=\dfrac{2}{3}$ permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré.
    $\quad$
    b. Le rapport d’aires entre les deux carrés est donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. La droite représentée sur le graphique ne passe pas par l’origine du repère.
    Le temps et la vitesse de rotation ne sont donc pas proportionnels.
    $\quad$
  2. a. La vitesse initial du hand-spinner est de $20$ tours/seconde.
    $\quad$
    b. $1$min$20$s$=80$s
    L’ordonnée du point de la droite d’abscisse $80$ est $3$.
    La vitesse du hand-spinner est alors de $3$ tours/seconde.
    $\quad$
    c. La droite coupe l’axe des abscisses pour $t\approx 94$ s.
    Le hand-spinner va s’arrêter au bout de $94$ secondes environ.
    $\quad$
  3. a. $V(30)=-0,214\times 30+20=13,58$.
    Au bout de $30$ s la vitesse de rotation du hand-spinner est de $13,58$ tours/seconde.
    $\quad$
    b. On veut déterminer la valeur de $t$ telle que $V(t)=0$
    Soit $-0,214t+20=0$
    Donc $-0,214t=-20$
    Par conséquent $t\approx 93,46$
    Le hand-spinner va s’arrêter au bout d’environ $93,46$ s.
    $\quad$
    c. Si on considère une vitesse initiale $v$ alors $V(t)=-0,214t+v$.
    Le hand-spinner s’arrête quand $-0,214t+v=0$ soit $-0,214t=-v$ et donc $t=\dfrac{v}{0,214}$
    Si la vitesse initiale est $2v$ alors $V(t)=-0,214t+2v$
    Le hand-spinner s’arrête quand $-0,214t+2v=0$ soit $-0,214t=-2v$ et donc $t=\dfrac{2v}{0,214}=2\times \dfrac{v}{0,214}$.
    Si on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps.

 

Énoncé

Exercice 1     11 points

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.
Ce trophée pèse $9$ kg et mesure $46$ cm de hauteur.

  1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
    Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.
    $\quad$
  2. On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre $6$ cm, surmonté d’une boule de cristal. Voir schéma ci-dessous.

    Montrer qu’une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de $6~371$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ $90\%$ du volume total du trophée.
    A-t-elle raison ?
    $\quad$
    Rappels :
    – volume d’une boule de rayon $R$ : $V =\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
    – volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V = \pi r^2 h$.
    $\quad$

Exercice 2     14 points

Parmi les nombreux polluants de l’air, les particules fines sont régulièrement surveillées.
Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à $0,01$ mm.
En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines. Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Données statistiques sur les }\\
\textbf{concentrations journalières en PM10 du} \\
\textbf{16 au 25 janvier 2017 à Lyon}\\
\\
\quad \text{ Moyenne : $72,5 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Médiane : $83,5 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Concentration minimale : $22 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Concentration maximale : $107 \mu$g/m$^3$}\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{0.5cm} Source:~http://www.air-rhonealpes.fr$

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Relevés des concentrations journalières}\\
\textbf{en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à }\\
\textbf{Grenoble}\\
\\
\quad \begin{array}{|c|c|}
\hline
\textit{Date}&\textit{Concentration}\\
&\textit{PM10 en $\mu$g/m$^3$}\\
\hline
16 \text{ janvier} &32\\
\hline
17 \text{ janvier} &39\\
\hline
18 \text{ janvier} &52\\
\hline
19 \text{ janvier} &57\\
\hline
20 \text{ janvier} &78\\
\hline
21 \text{ janvier} &63\\
\hline
22 \text{ janvier} &60\\
\hline
23 \text{ janvier} &82\\
\hline
24 \text{ janvier} &82\\
\hline
25 \text{ janvier} &89\\
\hline
\end{array}\\
\hline
\end{array}$

  1. Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?
    $\quad$
  2. Calculer l’étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l’étendue la plus importante ? Interpréter ce dernier résultat.
    $\quad$
  3. L’affirmation suivante est-elle exacte ? Justifier votre réponse.
    « Du 16 au 25 janvier, le seuil d’alerte de $80$ $\mu$g/m$^3$ par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon ».
    $\quad$

Exercice 3     12 points

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé $375$ morceaux de musique. Parmi eux, il y a $125$ morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d’écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

  1. Quelle est la probabilité qu’il écoute du rap ?
    $\quad$
  2. La probabilité qu’il écoute du rock est égale à $\dfrac{7}{15}$.
    Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?
    $\quad$
  3. Alice possède $40 \%$ de morceaux de rock dans son lecteur audio.
    Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d’écouter un morceau de rock ?
    $\quad$

Exercice 4     14 points

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points $C,B$ et $E$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le triangle $BDC$ est rectangle en $B$.

  1. Montrer que la longueur $BD$ est égale à $4$ cm.
    $\quad$
  2. Montrer que les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Sophie affirme que l’angle $\widehat{BFE}$ est un angle droit. A-t-elle raison ?
    $\quad$
  4. Max affirme que l’angle $\widehat{ACD}$ est un angle droit. A-t-il raison ?
    $\quad$

Exercice 5     16 points

Voici un programme de calcul.

$\begin{array}{|cl|}
\hline
\bullet& \text{Choisir un nombre}\\
\bullet& \text{Multiplier ce nombre par }4\\
\bullet& \text{Ajouter }8\\
\bullet&\text{Multiplier le résultat par }2\\
\hline
\end{array}$

  1. Vérifier que si on choisit le nombre $−1$, ce programme donne $8$ comme résultat final.
    $\quad$
  2. Le programme donne $30$ comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on nomme $x$ le nombre choisi au départ.

  1. L’expression $A = 2(4x + 8)$ donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre $x$ donné.
    On pose $B = (4 + x)² − x²$.
    Prouver que les expressions $A$ et $B$ sont égales pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$
  2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    $\bullet$ Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$
    $\bullet$ Affirmation 2 : Si le nombre $x$ choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de $8$.
    $\quad$

Exercice 6     16 points

Les longueurs sont en pixels.
L’expression « s’orienter à $90$ » signifie que l’on s’oriente vers la droite.
On donne le programme suivant :

  1. On prend comme échelle $1$ cm pour $50$ pixels.
    a. Représenter sur votre copie la figure obtenue si le  programme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise.
    $\quad$
    b. Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?
    $\quad$
  2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical.

    Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure.
    $\quad$
  3. a. Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser le rapport de réduction.
    $\quad$
    b. Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?
    $\quad$

Exercice 7     17 points

Le hand-spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.


On donne au hand-spinner une vitesse de rotation initiale au temps $t = 0$, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu’à l’arrêt complet du handspinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à $0$.
Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en seconde :

  1. Le temps et la vitesse de rotation du hand-spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.
    $\quad$
  2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
    a. Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) ?
    $\quad$
    b. Quelle est la vitesse de rotation du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) au bout d’$1$ minute et $20$ secondes ?
    $\quad$
    c. Au bout de combien de temps, le hand-spinner va-t-il s’arrêter ?
    $\quad$
  3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand-spinner en fonction du temps $t$, notée $V(t)$, on utilise la fonction suivante :
    $$V(t) = −0,214 × t + V_{initiale}$$
    $\bullet$ $t$ est le temps (exprimé en s) qui s’est écoulé depuis le début de rotation du hand-spinner
    $\bullet$ $V_{initiale}$ est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand-spinner au départ.
    $\quad$
    a. On lance le hand-spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : $V(t) = −0,214 × t + 20$. Calculer sa vitesse de rotation au bout de $30$ s.
    $\quad$
    b. Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s’arrêter ? Justifier par un calcul.
    $\quad$
    c. Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.
    $\quad$

DNB – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

Ce sujet de brevet sera corrigé dès que son énoncé sera disponible.

En attendant, il est tout à fait possible de s’entraîner sur les sujets de cette année ou des années précédentes.

Les années précédentes les élèves d’Antilles Guyane, Métropole et La Réunion composaient sur le même sujet.

Il y a de fortes chances que ce soit encore le cas cette année. Si tel était le cas, la correction sera faite sur la page de Métropole.

 

DNB – Centres étrangers – Juin 2018

Centres étrangers – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Sur les $37$ fleurs, $29$ sont fanées.
    La proportion de fleurs fanées est donc $p=\dfrac{29}{37}\approx 78\% > 75\%$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. Poids des photos : $1~000\times 900 = 900~000$ ko $=900$ Mo $=0,9$ Go
    Poids des vidéos : $65\times 700 = 45~500$Mo $=45,5$ Go
    Total du contenu du disque dur externe : $0,9+45,5=46,4$ Go.
    Espace libre sur l’ordinateur : $250-200 = 50$ Go $> 46,4$ Go
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Voici les différents nombres obtenus durant le programme de calcul :
    $x\underset{+5}{\longrightarrow} x+5 \underset{\times 2}{\longrightarrow} 2(x+5) \underset{-9}{\longrightarrow}2(x+5)-9$.
    Le nombre final est donc : $2(x+5)-9=2x+10-9=2x+1$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. D’après le graphique, lorsque le coureur arrive au sommet de la plaine des merles, il a parcourut $37$ km.
    $\quad$
  2. Le Piton des neiges culmine à $2~500$ m.
    $\quad$
  3. Le Dos d’Âne est le sommet situé à $900$ m d’altitude.
    $\quad$
  4. Le coureur sera à $1~900$ m d’altitude quand il se trouvera à $7$ km et $18$ km du départ.
    $\quad$
  5. a. Le dénivelé positif entre le Cilaos et le Piton des neiges est $2~500-1~200=1~300$ m.
    $\quad$
    b. Les différents dénivelés positifs sont :
    $2~500-1~200=1~300$ m
    $1~800-700=1~100$ m
    $900-300=600$ m
    $300-0 = 300$ m
    $700-0 = 700$ m
    Le dénivelé positif total est donc $1~300+1~100+600+300+700=4~000$ m.
    $\quad$
  6. $13$h$20$min $=13+\dfrac{1}{3}$ h.
    La vitesse de Line est $v=\dfrac{93}{13+\dfrac{1}{3}}=6,975$ km/h$<7$ km/h.
    Maëlle est donc arrivée en premier.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Il y a $2\times 4=8$ assemblages possibles.
    $\quad$
  2. Sur les $8$ assemblages possibles, un seul permet d’obtenir une montre toute rouge.
    La probabilité d’obtenir une montre toute rouge est donc $p_1=\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$
  3. Les montres d’une seule couleur sont soit rouge, soit jaune.
    La probabilité d’obtenir une montre d’une seule couleur est $p_2=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. La probabilité d’avoir une montre de deux couleurs est $p_3=1-p_2=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A. Le gros sel

  1. Voici la série statistique rangée dans l’ordre croissant :
    $30-31-31-32-32-33-34-34-36-37-38-38$
    $39-39-40-40-42-42-43-43-45-45-46-47-48$
    L’étendue est $48-30=18$
    $\quad$
  2. Il y a $25$ valeurs.
    $\dfrac{25}{2}=12,5$. La médiane est donc la $13\ieme$ valeur de la série ordonnée.
    C’est donc $39$.
    $\quad$
  3. La masse moyenne est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{30+31+31+\ldots +48}{25}\\
    &=\dfrac{965}{25} \\
    &=38,6\end{align*}$
    $\quad$

Partie B. La fleur de sel

  1. Aire du trapèze : $\mathscr{A}=\dfrac{(40+70)\times 35}{2}=1~925$ cm$^3$.
    Volume du prisme droit : $\mathscr{V}=\mathscr{A}\times 40=77~000$ cm$^3$.
    Or $1$ litre $=1$ dm$^3$ $=1~000$ cm$^3$.
    Par conséquent $\mathscr{V}=77$ litres.
    La brouette a un volume de $77$ litres.
    $\quad$
  2. Si $1$ litre de fleur de sel pèse $900$ grammes alors $77$ litres pèsent $77\times 900=69~300$ g $=69,3$ kg.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Calculons le montant annuel de gaz avec les deux tarifs.
    Avec le tarif A : $0,0609\times 17~500+202,43=1~268,18$ €
    Avec le tarif B : $0,0574\times 17~500+258,39=1~262,89$ €
    La famille a donc souscrit le tarif A.
    $\quad$
  2. a. La nouvelle consommation est :
    $\begin{align*} C&=17~500\times (1-0,2) \\
    &=17~500\times 0,8 \\
    &=14~000 \text{kWh}
    \end{align*}$
    b. La famille a donc économisé
    $\begin{align*} P&=(17~500-14~000)\times 0,0609 \\
    &=3~500\times 0,0609 \\
    &=213,15 €\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Ces deux fonctions sont des fonctions affines.
    Elles sont représentées par des droites ne passant pas par l’origine du repère.
    $\quad$
    b. $f(x) < g(x)$
    revient à $0,0609x+202,43<0,0574x+258,39$
    soit $0,0609x-0,0574x<258,39-202,43$
    d’où $0,0035x<55,96$
    Donc $x<\dfrac{55,96}{0,0035}$
    $\quad$
    c. Or $\dfrac{55,96}{0,0035} \approx 15~988,6$.
    Le tarif A est le plus avantageux jusqu’à une consommation maximale d’environ $15~988$ kWh.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

Partie A. Parcours du robot

  1. Dans les triangles $BCF$ et $DEF$ on a :
    – les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles
    – le point $D$ appartient au segment $[BF]$
    – le point $E$ appartient au segment $[CF]$
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{FE}{FC}=\dfrac{FD}{FB}=\dfrac{DE}{BC}$
    soit $\dfrac{5-1}{5}=\dfrac{DE}{80}$
    Donc $DE=\dfrac{4\times 80}{5}=64$ m
    $\quad$

Partie B. Programme de déplacement du robot

  1. On peut écrire :

    $\quad$
  2. On peut écrire :

    $\quad$
  3. Pour que le script principal il faut donner à $x$ la valeur $24$ (il y a $24$ allers-retours soit $48$ passages) et à $y$ la valeur $64$ (pour faire le parcours $DE$) pour que le programme de déplacement du robot donne le résultat attendu.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     14 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

  1. La récolte de la lavande débute lorsque les trois quarts des fleurs au moins sont fanées. Le producteur a cueilli un échantillon de lavande représenté par le dessin ci-dessous.

    Affirmation 1 : la récolte peut commencer.
    $\quad$
  2.  En informatique, on utilise comme unités de mesure les multiples de l’octet :
    $\qquad$ $1$ ko $=10^3$ octets, $1$ Mo $=10^6$ octets, $1$ Go $=10^9$ octets.
    Contenu du disque dur externe :
    $\quad$ $\bullet$ $1~000$ photos de $900$ ko chacune;
    $\quad$ $\bullet$ $65$ vidéos de $700$ Mo chacune.

    Affirmation 2 : le transfert de la totalité du contenu du disque dur externe vers l’ordinateur n’est pas possible.
    $\quad$
  3. On considère le programme de calcul ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Choisir un nombre ;}\\
    \text{Ajouter $5$ ;}\\
    \text{Multiplier le résultat obtenu par $2$ ;}\\
    \text{Soustraire $9$.}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation 3 : ce programme donne pour résultat la somme de $1$ et du double du nombre choisi.
    $\quad$

Exercice 2     16 points

Les réponses aux questions de cet exercice seront lues sur le graphique de l’annexe.
Celui-ci représente le profil d’une course à pied qui se déroule sur l’île de La Réunion (ce graphique exprime l’altitude en fonction de la distance parcourue par les coureurs).
Aucune justification n’est attendue pour les questions 1 à 4.

  1. Quelle est la distance parcourue par un coureur, en kilomètres, lorsqu’il arrive au sommet de la plaine des merles ?
    $\quad$
  2. Quelle est l’altitude atteinte, en mètres, au gîte du Piton des neiges ?
    $\quad$
  3. Quel est le nom du sommet situé à $900$ mètres d’altitude ?
    $\quad$
  4. À quelle(s) distance(s) du départ un coureur atteindra-t-il $1~900$ m d’altitude ?
    $\quad$
  5. Le dénivelé positif se calcule uniquement dans les montées ; pour chaque montée, il est égal à la différence entre l’altitude la plus haute et l’altitude la plus basse.
    a. Calculer le dénivelé positif entre Cilaos et le gîte du Piton des neiges.
    $\quad$
    b. Montrer que le dénivelé positif total de cette course est $4~000$ m.
    $\quad$
  6. Maëlle a effectué sa course à une vitesse moyenne de $7$ km/h et Line a mis $13$ h $20$ min pour passer la ligne d’arrivée. Laquelle de ces deux sportives est arrivée en premier ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     16 points

Thomas possède une montre qu’il compose en assemblant des cadrans et des bracelets de
plusieurs couleurs. Pour cela, Il dispose de :

  • deux cadrans : un rouge et un jaune ;
  • quatre bracelets : un rouge, un jaune, un vert et un noir.
  1. Combien y a-t-il d’assemblages possibles ?
    Il choisit au hasard un cadran et un bracelet pour composer sa montre.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité d’obtenir une montre toute rouge.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité d’obtenir une montre d’une seule couleur.
    $\quad$
  4. Déterminer la probabilité d’avoir une montre de deux couleurs.
    $\quad$

Exercice 4     18 points

Chaque été, Jean exploite son marais salant sur l’île de Ré, situé dans l’océan Atlantique, près de La Rochelle.
Son marais se compose de carreaux (carrés de $4$ m de côté) dans lesquels se récolte le sel.

Partie A. Le gros sel

Chaque jour, il récolte du gros sel sur $25$ carreaux. Le premier jour, afin de prévoir sa production, il relève la masse en kilogramme de chaque tas de gros sel produit par carreau.
Voici la série statistique obtenue :
$$\begin{array}{c}34–39–31–45–40–32–36–45–42–34–30–48–43\\
32–39–40–42–38–46–31–38–43–37–47–33\end{array}$$

  1. Calculer l’étendue de cette série statistique.
    $\quad$
  2. Déterminer la médiane de cette série statistique et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Calculer la masse moyenne en kg des tas de gros sel pour ce premier jour.
    $\quad$

Partie B. La fleur de sel

La fleur de sel est la mince couche de cristaux blancs qui se forme et affleure la surface des marais salants. Chaque soir, Jean cueille la fleur de sel à la surface des carreaux. Pour transporter sa récolte, il utilise une brouette comme sur le schéma ci-dessous.

  1. Montrer que cette brouette a un volume de $77$ litres.
    $\quad$
  2. Sachant que $1$ litre de fleur de sel pèse $900$ grammes, calculer la masse en kg du contenu d’une brouette remplie de fleur de sel.
    $\quad$

Exercice 5     18 points

Sur une facture de gaz, le montant à payer tient compte de l’abonnement annuel et du prix correspondant au nombre de kilowattheures (kWh) consommés.
Deux fournisseurs de gaz proposent les tarifs suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Prix du kWh}&\begin{array}{c}\textbf{Abonnement}\\\textbf{annuel}\end{array}\\
\hline
\textbf{Tarif A (en €)}&0,060~9&202,43\\
\hline
\textbf{Tarif B (en €)}&0,057~4&258,39\\
\hline
\end{array}$$

En 2016, la famille de Romane a consommé $17~500$ kWh. Le montant annuel de la facture de gaz correspondant était de $1~268,18$ €.

  1. Quel est le tarif souscrit par cette famille ?
    Depuis 2017, cette famille diminue sa consommation de gaz par des gestes simples (baisser le chauffage de quelques degrés, mettre un couvercle sur la casserole d’eau pour la porter à ébullition, réduire le temps sous l’eau dans la douche, etc.).
    $\quad$
  2. En 2017, cette famille a gardé le même fournisseur de gaz, mais sa consommation en kWh
    a diminué de $20 \%$ par rapport à celle de 2016.
    a. Déterminer le nombre de kWh consommés en 2017.
    $\quad$
    b. Quel est le montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et
    2017 ?
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus
    avantageux. Pour cela :
    $\quad$ $\bullet$ on note $x$ le nombre de kWh consommés sur l’année.
    $\quad$ $\bullet$ on modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctions $f$ et $g$ : $$f(x) = 0,060~9x + 202,43 \qquad \text{et} \qquad g(x) = 0,057~4x + 258,39$$
    a. Quelles sont la nature et la représentation graphique de ces fonctions ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’inéquation : $f(x) < g(x)$.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour
    laquelle le tarif A est le plus avantageux.
    $\quad$

Exercice 6     18 points

Le maraîchage est l’activité professionnelle qui consiste à cultiver les légumes, certains fruits, fleurs ou plantes aromatiques.
Afin de diminuer la pénibilité des travaux de maraîchage, un agriculteur a acquis un robot électrique pour effectuer le désherbage de ses cultures.

Partie A. Parcours du robot

Le robot doit parcourir $49$ allées parallèles écartés de 1 m, représentées sur le schéma ci-dessous.

Les $48$ premières allées, situées dans une parcelle rectangulaire, mesurent $80$ m de long :

  • la $1^{\text{ère}}$ allée est $[PQ]$ ;
  • la $2\ieme$ allée est $[RS]$ ;
  • la $3\ieme$ allée est $[TU]$ ;
  • les allées $4$ à $47$ ne sont pas représentées ;
  • la $48\ieme$ allée est $[CB]$.

La $49\ieme$ (dernière allée) $[DE]$ est située dans une parcelle triangulaire.

  1. Montrer que la longueur de la dernière allée est : $DE = 64$ m.

    $\quad$

Partie B. Programme de déplacement du robot

On souhaite programmer le déplacement du robot du point $P$ au point $E$. Le script ci-dessous, réalisé sous Scratch, est incomplet. Toutes les allées sont parcourues une seule fois. L’image « Robot » correspond au résultat attendu lorsque le drapeau vert est cliqué.
On rappelle que l’instruction signifie que le robot se dirige vers le haut.

Pour répondre aux questions 1 et 2, utiliser autant que nécessaire les blocs :

Les longueurs doivent être indiquées en mètres.

  1. Le nouveau bloc « Motif montant » doit reproduire un déplacement du type $P-Q-R$ (voir schéma 2) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Ecrire une succession de $4$ blocs permettant de définir : « Motif montant ».
    $\quad$
  2. Le nouveau bloc « Motif descendant » doit reproduire un déplacement du type $R-S-T$  (voir schéma 2) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Quelle(s) modification(s) suffit-il d’apporter au bloc « Motif montant » pour obtenir le bloc « Motif descendant » ?
    $\quad$
  3. Quelles valeurs faut-il donner à $x$ et à $y$ dans le script principal pour que le programme de déplacement du robot donne le résultat attendu.
    $\quad$

 

DNB – Polynésie – Juillet 2018

Polynésie – Juillet 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité d’arriver en A est $p(A)=\dfrac{1}{4}$ et celle d’arriver en B est $p(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $p(A)\neq p(B)$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Les besoins en électricité de $1~000$ personnes pour un an sont de $7~000\times 1~000 = 7~000~000$ kWh soit $7$ GWh $>5$ GWh.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. $45\%=0,45$.
    $\dfrac{305}{612} \approx 0,498$
    $730\times 10^{-3}=0,730$.
    Par conséquent $45\%<\dfrac{305}{612}<0,5<730\times 10^{-3}$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Il y a $18$ blocs représentant chacun $20$ employés.
    Il y a donc $18\times 20=360$ employés dans cette entreprise.
    Parmi eux $7\times 20=140$ employés ont un salaire au moins égale à $1~700$ €.
    $\dfrac{140}{360} \approx 0,39<0,4$.
    Affirmation 4 fausse
    Remarque : on pouvait raisonner uniquement sur le nombre de blocs : $\dfrac{7}{18}<0,4$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $1~500$ m $=1,5$ km et $1$ s $=\dfrac{1}{3~600}$ h.
    Donc $1~500$ m/s $=\dfrac{1,5}{~~\dfrac{1}{3~600}~~} =5~400$ km/h.
    $\quad$
  2. a. Environ $1,5$ cm séparent les deux groupes sur la carte.
    L’échelle nous indique que $2,5$ cm sur la carte représentent $1~000$ km dans la réalité.
    $\dfrac{1~000\times 1,5}{2,5}=600$.
    Les deux groupes sont donc séparés d’environ $600$ km.
    $\quad$
    b. Le temps, en heure, est donné par $T=\dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}}=\dfrac{600}{5~400}=\dfrac{1}{9}$.
    Or $\dfrac{1}{9}\times 60\approx 6,67$.
    L’onde sonore émise par le groupe 1 met donc environ $7$ minutes pour parvenir au groupe 2.
    $\quad$
  3. Sur le dessin, le plongeur mesure environ $1$ cm et la baleine bleue mesure environ $12$ cm.
    On utilise le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{sur le dessin en cm}&1&12 \\
    \hline
    \text{dans la réalité en m}&1,75&T\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $T=12\times 1,75=21$.
    La baleine bleue mesure environ $21$ m de long.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le nombre moyen de SMS envoyés pendant le week-end par les élèves de la classe A est :
    $M_A=\dfrac{0+0+\ldots+34+67}{15}=\dfrac{210}{15}=14$.
    Il y a $15$ élèves dans ce groupe A.
    $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur de cette série rangée dans l’ordre croissant c’est-à-dire $12$.
    $\quad$
  2. En $Q3$ on a pu saisir “$=SOMME(B3:K3)/10$.
    En $R3$ on a pu saisir “$=(F3+G3)/2$.
    $\quad$
  3. Le nombre moyen de SMS envoyés par ces $25$ élèves est :
    $M=\dfrac{14\times 15+12\times 10}{25}=\dfrac{330}{25}=13,2$.
    $\quad$
  4. La série statistique ordonnée du nombre de SMS envoyés par l’ensemble des élèves est :
    $0-0-0-0-0-0-1-1-2-5-7-11-12-15-15-16-17-18-18-18-20-21-32-34-67$.
    $\dfrac{25}{2}=12,5$ la médiane est donc la $13\ieme$ valeur soit $12$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $1~000\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=1~000\times 1,1=1~100$.
    Au 31 décembre 2012, après une augmentation de $10\%$, il y avait donc $1~100$ adhérents.
    $\quad$
    b. Il y a eu une nouvelle augmentation de $5\%$.
    $1~100\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=1~100\times 1,05=1~155$.
    Au 31 décembre 2015 il y avait donc $1~155$ adhérents.
    $\quad$
    c. D’après la question précédente, il y a $1~155$ adhérents et non $1~150$.
    L’affirmation de Martine est donc fausse.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Effectif en }2017&\begin{array}{c}\text{Angle en degrés}\\\text{correspondant (pour}\\\text{construire le diagramme}\\\text{circulaire}\end{array}&\text{Fréquence en }\%\\
    \hline
    \text{Planche à voile}&392&112&31,11\%\\
    \hline
    \text{Beach volley}&224&64&17,78\%\\
    \hline
    \text{Surf}&644&184&51,11\%\\
    \hline
    \text{Total}&1~260&360\text{°}&100 \% \\
    \hline
    \end{array}$
    Pour déterminer les angles correspondants on fait les calculs suivants :
    $\dfrac{392\times 360}{1~260}=112$
    $\dfrac{224 \times 360}{1~260}=64$
    $\dfrac{644 \times 360}{1~260}=184$
    $\quad$
    b. On obtient le diagramme circulaire suivant :

    $\quad$
    c. Cf tableau de la question 2.a.
    Pour déterminer les fréquence on fait les calculs suivants :
    $\dfrac{392\times 100}{1~260}\approx 31,11$
    $\dfrac{224 \times 100}{1~260}\approx 17,78$
    $\dfrac{644 \times 100}{1~260}\approx 51,11$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. $E$ est le milieu du segment $[DF]$ donc $ED=\dfrac{5,06}{2}=2,53$ m.
    Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$ on a :
    $\sin \widehat{EAD}=\dfrac{ED}{AD}$
    Soit $\sin 38=\dfrac{2,53}{AD}$
    Donc $AD=\dfrac{2,53}{\sin 38} \approx 4,11$ m.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$ on a :
    $\tan \widehat{EAD}=\dfrac{ED}{AE}$
    Soit $\tan 38=\dfrac{2,53}{AE}$
    Donc $AE=\dfrac{2,53}{\tan 38} \approx 3,24$ m.
    $\quad$
    c. Aire d’un versant : $\mathscr{A}_1=AD\times KL \approx 4,11\times 13$ soit $\mathscr{A}_1\approx 53,43$ m$^2$.
    Aire du toit : $\mathscr{A}=2\times \mathscr{A}_1\approx 106,86$ m$^2$.
    Nombre de tuiles à prévoir : $106,86\times 26=2~778,36$ soit $2~779$ tuiles.
    Prix des tuiles : $2~779\times 0,65=1~806,35$ euros.
    $\quad$
  2. Volume du rez-de-chaussée : $V=5,06\times 13\times 2,7=177,606$ m$^3$.
    Il faut donc choisir, d’après le tableau une puissance frigorifique comprise entre $18~000$ et $25~000$ BTU.
    Le climatiseur le plus économique est donc le Air $10$ pingouin à $990$ euros.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Voici les différentes valeurs prises par :
    Résultat 1 : $\underset{2*\text{Nombre}+3}{\longrightarrow}9\underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 81$
    Résultat 2 : $\underset{\text{Nombre au carré}}{\longrightarrow} 9\underset{\times 4}{\longrightarrow}36\underset{+12*\text{Nombre}}{\longrightarrow}72\underset{+9}{\longrightarrow}81$.
    À la fin de l’algorithme, Résultat 1 et Résultat 2 contiennent le nombre $81$.
    $\quad$
  2. a. Résultat 1 contient le nombre $$(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$$
    $\quad$
    b. Résultat 2 contient le nombre $$4x^2+12x+9$$
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation $4x^2+12x+9=9$
    soit $4x^2+12x=0$
    Or $4x^2+12x=4x\times x+4x \times 3=4x(x+3)$.
    On veut donc résoudre l’équation $4x(x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $4x=0$ soit $x=0$
    ou $x+3=0$ soit $x=-3$
    Alice a donc pu choisir les nombres $0$ ou $-3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

  1. Scratch souhaite rejoindre un ami, mais il a oublié la fin du trajet. Il décide de finir son trajet en prenant, aux intersections, à droite ou à gauche au hasard.

    Affirmation 1 : La probabilité qu’il arrive en A, en B ou en C est la même.
    $\quad$
  2. On suppose qu’une éolienne produit $5$ GWh d’électricité par an et qu’une personne a besoin de $7~000$ kWh d’électricité par an. (Wh : Watt-heure)
    Affirmation 2 : Une éolienne ne couvre pas les besoins en électricité de $1~000$ personnes pour un an.
    $\quad$
  3. Voici quatre nombres : $45 \%$ ; $\dfrac{305}{612}$ ; $0,5$ ; $730\times 10^{−3}$.
    Affirmation 3 : Ces quatre nombres sont rangés dans l’ordre croissant.
    $\quad$
  4. L’histogramme ci-dessous représente la répartition des salaires dans une entreprise :

    Affirmation 4 :
    Plus de $40 \%$ des employés ont un salaire au moins égal à $1~700$ €.
    $\quad$

Exercice 2     16 points

Les baleines émettent des sons, de fréquences comprises entre $10$ Hz et $10$ kHz, qui se propagent dans l’eau à une vitesse d’environ $1~500$ m/s.
L’étude des chants des baleines a pour but d’élucider leur possible signification; sélection du partenaire sexuel et communication sociale sont des hypothèses envisagées.

  1. Convertir la vitesse de propagation de ces sons en km/h.
    $\quad$
  2. Deux groupes de baleines situées au large de l’Alaska communiquent entre eux.
    a. Calculer la distance séparant les deux groupes de baleines.
    Vous donnerez le résultat arrondi à $50$ km près.

    $\quad$
    b. Combien de temps met une onde sonore émise par une baleine du groupe 1 pour parvenir aux baleines du groupe 2 ?
    Vous donnerez le résultat arrondi à la minute.
    $\quad$
  3. Le dessin ci-dessous donne une idée de la taille d’une baleine bleue par rapport à celle d’un homme.
    En considérant que le plongeur sur l’image a une taille égale à $1,75$ m, calculer la taille approximative de la baleine représentée ci-dessous.
    Vous donnerez le résultat arrondi au mètre près.
    La démarche et les traces de recherche seront valorisées et prises en compte dans la notation.

Exercice 3     16 points

On demande à quinze élèves d’une classe A et à dix élèves d’une classe B de compter le nombre de SMS qu’ils envoient pendant un week-end.
Le lundi on récupère les résultats dans un tableur.

  1. Calculer le nombre moyen et le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces élèves de la classe A.
    $\quad$
  2. Quelles formules ont pu être écrites dans les cellules $Q3$ et $R3$ du tableur ?
    $\quad$
  3. Calculer le nombre moyen de SMS envoyés pendant le week-end par ces $25$ élèves des classes A et B.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces $25$ élèves des classes A et B.
    $\quad$

Exercice 4     18 points

  1. Le responsable du plus grand club omnisport de la région a constaté qu’entre le 1$\ier$ janvier 2010 et le 31 décembre 2012 le nombre total de ses adhérents a augmenté de $10 \%$ puis celui-ci a de nouveau augmenté de $5 \%$ entre le 1$\ier$ janvier 2013 et le 31 décembre 2015.
    Le nombre total d’adhérents en 2010 était de $1~000$.
    a. Calculer, en justifiant, le nombre total d’adhérents au 31 décembre 2012.
    $quad$
    b. Calculer, en justifiant, le nombre total d’adhérents au 31 décembre 2015.
    $\quad$
    c. Martine pense qu’au 31 décembre 2015, il devrait y avoir $1~150$ adhérents car elle affirme :
    « une augmentation de $10 \%$ puis une autre de $5 \%$, cela fait une augmentation de $15 \%$ ».
    Qu’en pensez-vous ? Expliquez votre réponse.
    $\quad$
  2. Au 1$\ier$ janvier 2017, les effectifs étaient de $1~260$ adhérents.
    Voici le tableau de répartition des adhérents en 2017 en fonction de leur sport de prédilection.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Effectif en 2017}&\text{Angle en degrés}&\text{Fréquence en }\%\\
    &&\text{correspondant (pour}& \\
    &&\text{construire le diagramme}&\\
    &&\text{circulaire)}&\\
    \hline
    \text{Planche à voile}&392&&\\
    \hline
    \text{Beach volley}&224&&\\
    \hline
    \text{Surf}&644&&\\
    \hline
    \text{Total}&1~260&360\text{°}&100 \%\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Compléter sur l’annexe, à la fin, la colonne intitulée « Angle en degrés correspondant ».
    (Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants.)
    $\quad$
    b. Pour représenter la situation, construire un diagramme circulaire de rayon $4$ cm.
    $\quad$
    c. Compléter sur l’annexe la colonne « Fréquence en % ». (Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants. Vous donnerez le résultat arrondi
    au centième près.)
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Effectif en 2017}&\textbf{Angle en degrés}&\textbf{Fréquence en %}\\
&&\textbf{correspondant}& \\
\hline
\text{Planche à voile}&392&&\\
\hline
\text{Beach volley}&224&&\\
\hline
\text{Surf}&644&&\\
\hline
\textbf{Total}&1~260&360\text{°}&100 \%\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 5     16 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Mario, qui dirige un centre de plongée sous-marine en pleine expansion, décide de construire un bâtiment pour accueillir ses clients lors de la pause déjeuner. Celui-ci sera constitué d’un rez-de-chaussée climatisé servant de réfectoire et d’un étage non climatisé qui pourra être utilisé pour le stockage du matériel de plongée.
Pour finir d’établir son budget, il ne lui reste plus qu’à choisir un modèle de climatisation adapté et à calculer la quantité nécessaire de tuiles pour couvrir le toit de sa construction qu’il a schématisé
ci-dessous.

Document 1 : Croquis réalisé par Mario.

Le croquis n’est pas réalisé à l’échelle.
Les deux pentes (ou versants) de la toiture forment un angle $\widehat{FAD}$ de mesure $76$° qui est partagé en deux parties égales de $38$°.

$\quad$

Document 2 : Tuiles plates choisies par Mario pour recouvrir son toit.

Prévoir $26$ tuiles par m$^2$.
Prix : $0,65$ euro l’unité.
$\quad$

  1. PARTIE 1 : Calcul du budget correspondant aux tuiles.
    a.
    Calculer $AD$. Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près.
    $\quad$
    b.
    Calculer $AE$. Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près.
    $\quad$
    c. En déduire le prix des tuiles nécessaires à la couverture des deux pentes du toit.
    $\quad$
  2. PARTIE 2 : Choix d’un climatiseur adapté.
    À l’aide des documents, faire un choix de climatiseur raisonné, adapté et le moins cher possible pour climatiser le rez-de-chaussée du bâtiment, c’est dire à dire le réfectoire.
    $\quad$
    Document 3 : Comment choisir un climatiseur ?
    Étape 1 : Connaître la puissance frigorifique nécessaire.
    Celle-ci dépend du volume des pièces à refroidir.
    La puissance de froid s’exprime en BTU qui est une unité de mesure frigorifique.
    Le tableau ci-dessous fait la correspondance entre le volume du bâtiment à refroidir et la puissance en BTU nécessaire.
    $$\begin{array}{|l|c|}
    \hline
    \text{Volume}&\text{Puissance frigorifique} \\
    \hline
    100\text{ m}^3&12~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    150\text{ m}^3&18~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    250\text{ m}^3&25~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    300\text{ m}^3&33~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    350\text{ m}^3&41~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    400\text{ m}^3&49~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    450\text{ m}^3&56~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    500\text{ m}^3&62~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    \end{array}\\
    \begin{array}{lc}
    \phantom{\text{Volume}}&\scriptsize{BTU : British~Thermal~Unit}
    \end{array}$$
    Étape 2 : Choisir le climatiseur le plus adapté.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Modèle de diffé-}\\\text{rentes marques}\end{array}&\text{Type}&\text{Puissance frigorifique}&\text{Prix T.T.C en Euros}\\
    \hline
    \text{Freez 4000}&\text{monobloc}&15~000 \text{ BTU}&880\\
    \hline
    \text{Freez 8000}&\text{monobloc}&22~000 \text{ BTU}&1~050\\
    \hline
    \text{Air 10 pingouin}&\text{Bi-split}&27~000 \text{ BTU}&990\\
    \hline
    \text{Air 100 phoque}&\text{Bi-split}&39~000 \text{ BTU}&1~390\\
    \hline
    \text{Pôle Nord 500}&\text{Quadri-split}&48~000 \text{ BTU}&1~180\\
    \hline
    \text{Laponglace}&\text{Quadri-split}&50~000 \text{ BTU}&2~300\\
    \hline
    \text{Maxi Everest +}&\text{Quadri-split}&53~000 \text{ BTU}&1~990\\
    \hline
    \text{Froid Extrême 2000}&\text{Inverter}&55~000 \text{ BTU}&2~650\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Exercice 6     14 points

Voici un script saisi par Alice dans un logiciel d’algorithmique.

  1. Alice a choisi $3$ comme nombre, calculer les valeurs de Résultat 1 et de Résultat 2 ?
    Justifier en faisant apparaître les calculs réalisés.
    $\quad$
  2. Généralisation
    a. En appelant $x$ le nombre choisi dans l’algorithme, donner une expression littérale traduisant la première partie de l’algorithme correspondant à Résultat 1.
    $\quad$
    b. En appelant $x$ le nombre choisi dans l’algorithme, donner une expression littérale traduisant la deuxième partie de l’algorithme correspondant à Résultat 2.
    $\quad$
    c. Trouver le ou les nombres choisis par Alice qui correspondent au résultat affiché ci-dessous.

$\quad$