DNB – Asie – Juin 2021 (secours)

Asie – Juin 2021 (secours)

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. $4$ n’est pas un nombre premier.
    L’affirmation 1 est donc fausse
    $\quad$
  2. $(-3)^2+2=9+2=11$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)^2-2^2\\
    &=\left[(x+3)-2\right]\left[(x+3)+2\right] \\
    &=(x+3-2)(x+3+2)\\
    &=(x+1)(x+5)\end{align*}$
    $\quad$
    Autre méthode :
    D’une part :
    $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)(x+3)-4\\
    &=x^2+3x+3x+9-4\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} (x+1)(x+5)&=x^2+5x+x+5\\
    &=x^2+6x+5\end{align*}$
    Remarque : En connaissant l’identité remarque $(a+b)^2$ on peut aller un peu plus vite dans la première expression.
    $\quad$
    L’affirmation 3 est donc vraie.
    $\quad$
  4. Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_1&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3 \\
    &=18\pi\end{align*}$
    Le volume du cylindre est :
    $\begin{align*} V_2&=\pi\times (1,5)^2\times 8 \\
    &=18\pi \end{align*}$
    L’affirmation 4 est donc vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DB^2=CD^2+CB^2$ soit $8,5^2=CD^2+6,8^2$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CD^2&=8,5^2-6,8^2 \\
    &=26,01 \end{align*}$
    Donc :
    $\begin{align*} CD&=\sqrt{26,01}\\
    &=5,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $DCB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DC\times CB}{2} \\
    &=\dfrac{5,1\times 6,8}{2} \\
    &=17,34\text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{ADC}&=\dfrac{AC}{DC} \\
    &=\dfrac{3,2}{5,1}\end{align*}$
    Donc $\widehat{ADC}\approx 32$°
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABD$ et $CBD$ :
    – $C$ appartient à $[AB]$ et $E$ appartient à $[DB]$
    – $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{6,8}{6,8+3,2}=0,68$
    $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{5,8}{8,5}\approx 0,682$
    Ces deux rapports ne sont pas égaux.
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(AD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. On a $7>3$. C’est donc le « Motif B » qui est affiché.
    $\quad$
  3. Pour que l’écran affiche le « Motif A » il faut que le $2\ieme$ nombre ait pris une valeur entière comprise entre $4$ et $10$. Il y a donc $6$ possibilités.
    La probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A » est égale à $\dfrac{6}{10}$ soit $0,6$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $8$ pistes rouges parmi les $10$ sont ouvertes. Par conséquent $2$ pistes rouges étaient fermées.
    $\quad$
  2. Trois quart des pistes bleues étaient ouvertes.
    $\dfrac{3}{4}\times 8=6$.
    $6$ pistes bleues étaient ouvertes.
    $\quad$
  3. $\dfrac{3}{5}=0,6$ donc $60\%$ des pistes noires étaient ouvertes.
    $\quad$
  4. $5+4+3+1=13$ et $7+8+10+5=30$.
    Or $13<\dfrac{30}{2}$. Moins de la moitié des pistes étaient ouvertes.
    La station doit donc effectuer ce remboursement.
    $\quad$
  5. a. On a pu saisir $=\text{MOYENNE(B2:F2)}$.
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est :
    $\begin{align*} M&=\dfrac{105+130+115+140+60}{5} \\
    &=110\end{align*}$
    Elle est donc supérieure à la moyenne de la saison 2018-2019.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On a
    $\begin{align*} f(6)&=-\dfrac{3}{19}\times 6+3 \\
    &=-\dfrac{18}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=\dfrac{38}{19}\\
    &=2\end{align*}$
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est donc $2$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre
    $f(x)=0$ soit $-\dfrac{3}{19}x+3=0$ ou encore $\dfrac{3}{19}x=3$.
    Par conséquent $x=19$.
    L’antécédant de $0$ par $f$ est $19$.
    $\quad$
  3. On a $f(6)=2$. Donc le point d’abscisse $6$ a pour ordonnée $2$.
    $\quad$
  4. La vitesse moyenne de la balle est $v=\dfrac{19,2}{0,34}$ m/s soit environ $56,47$ m/s.
    Or $208$ km/h est égale à $208\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s soit environ $57,78$ m/s.
    L’affirmation du commentateur est donc fausse.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} f(12)&=-\dfrac{3}{19}\times 12+3 \\
    &=-\dfrac{36}{19}+\dfrac{57}{19} \\
    &=1\end{align*}$
    La balle est donc a une hauteur de $1$ m quand elle passe au-dessus du filet.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     18 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que la réponse doit être justifiée.

  1. Affirmation 1 : $364$ admet comme décomposition en produit de facteurs premiers : $4 \times 7 \times 13$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : le nombre $-3$ est une solution de l’équation $x^2+2=11$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : pour tout nombre $x$, les expressions $(x + 3)^2-4$ et $(x + 1)(x + 5)$ sont égales.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : les deux solides suivants ont le même volume :
    On rappelle les formules suivantes :
    Volume d’une boule : $V =\dfrac{4}{3}\times \pi\times \text{rayon}\times \text{rayon}\times \text{rayon}$
    Volume d’un cylindre : $V = \text{Aire de la base}\times\text{hauteur}$
    Aire d’un disque : $A = \pi\times \text{rayon} \times \text{rayon}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Sur la figure ci-dessous :

  • le triangle $DCB$ est rectangle en $C$ ;
  • les points $A$, $C$ et $B$ sont alignés ;
  • les points $D$, $E$ et $B$ sont alignés ;
  • $AC = 3,2$ cm ;
  • $CB = 6,8$ cm ;
  • $BD = 8,5$ cm ;
  • $BE = 5,8$ cm.

  1. Démontrer que la longueur $DC$ est égale à $5,1$ cm.
    $\quad$
  2. Calculer l’aire du triangle $DCB$ en cm$^2$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$, au degré près.
    $\quad$
  4. Les droites $(AD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

On travaille avec le logiciel Scratch dont voici plusieurs copies d’écran :

  1. Tracer à main levée une allure du motif A défini par le bloc « Motif A ».
    $\quad$
  2. Après avoir cliqué sur le drapeau vert, l’écran affiche :

    Quel motif est alors affiché à l’écran : le « Motif A » ou le « Motif B » ?
    $\quad$

  3. On relance le programme.
    Si la variable « 1er nombre » prend la valeur $3$, calculer la probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Une station de ski compte $30$ pistes. Ces pistes de ski sont soit vertes, soit bleues, soit rouges, soit noires. La couleur de la piste définit son niveau de difficulté pour skier.

Chaque piste de ski peut être soit ouverte, soit fermée.

Sur le site internet de la station de ski, on a pu trouver les informations suivantes :

  1. Déterminer le nombre de pistes rouges fermées le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  2. Justifier qu’il y a six pistes bleues ouvertes le lundi 17 février 2020.
    $\quad$
  3. Parmi les pistes noires, quel est le pourcentage de pistes noires ouvertes le lundi 17 février 2020 ?
    $\quad$
  4. Le mercredi 19 février 2020, la nouvelle répartition affichée sur le site internet est la suivante :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{   Pistes vertes}&\textbf{   Pistes bleues}&\textbf{   Pistes rouges}&\textbf{   Pistes noires}\\
    \text{Nombre de pistes : }7&\text{Nombre de pistes : }8&\text{Nombre de pistes : }10&\text{Nombre de pistes : }5\\
    \text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}\\
    \text{ouvertes : }5&\text{ouvertes : }4&\text{ouvertes : }3&\text{ouvertes : }1\\
    \hline
    \end{array}$$
    Sur le site de la station on peut lire :
    « Votre forfait du jour est remboursé si plus de $50 \%$ des pistes de la station sont fermées. »
    Une cliente demande le remboursement de son forfait du jour du mercredi 19 février 2020.
    La station de ski doit-elle effectuer ce remboursement ?
    $\quad$
  5. On a mesuré les hauteurs maximales de neige dans la station, exprimées en centimètre, pour chaque mois, de novembre 2018 à mars 2019.
    On saisit ces mesures dans une feuille de calcul dont voici une copie d’écran :

    a. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{G2}$ avant d’être étirée jusqu’à la cellule $\text{G3}$ ?
    $\quad$
    b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est-elle supérieure à celle de la saison 2018-2019?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     24 points

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

  1. Calculer l’image de $6$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.
    Un joueur de tennis effectue un service.
    Voici une figure, qui n’est pas à l’échelle, représentant la trajectoire de la balle lors de ce service.

    Le joueur est positionné au point $A$.
    On considère que la balle lancée en $B$ effectue un trajet en ligne droite, qu’elle passe au-dessus du filet en $D$ et qu’elle touche le terrain adverse en $C$.
    La longueur $DE$ représente la hauteur de la balle lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$
    Voici une représentation graphique de la fonction $f$ qui modélise la trajectoire de la balle lors de ce service. On rappelle que $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

Tout point de cette représentation graphique a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $19$.

Dans le repère, le point $A$ a pour coordonnées $(0 ; 0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0 ; 3)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(19 ; 0)$.

  1. On considère le point d’abscisse $6$ de la représentation graphique de la fonction $f$.
    Déterminer l’ordonnée de ce point.
    $\quad$
  2. On admet que la distance $BC$ parcourue par la balle lors de ce service est d’environ $19,2$ m.
    Lors de ce service, la balle a mis $0,34$ seconde pour parcourir la distance $BC$.
    Un commentateur affirme que la vitesse moyenne de la balle lors de ce service est de $208$ km/h.
    Cette affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$
  3. Déterminer la hauteur de la balle, exprimée en mètre, lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Amérique du Sud – Novembre 2021

Amérique du Sud – Novembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 : Vraie

$72 = 6\times 12$ et $72=4\times 18$
Donc $72$ est un multiple commun à $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : Faux

Si $n=1$ alors $(1-5)^2=(-4)^2=16$
Mais $1^2-5^2=-24$
$16\neq -24$ donc l’égalité annoncée n’est pas vraie pour tout nombre $n$.

$\quad$

Affirmation 3 : Vraie

$2x+5=6$ revient à $2x=1$ soit $x=\dfrac{1}{6}$.
L’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Affirmation 4 : Faux

$\dfrac{5+7+11+8+5+6}{6}=\dfrac{42}{6}=7\neq 6,5$.
La moyenne de ces six températures est égale à $7$°C.

$\quad$

Affirmation 5 : Vraie

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore:
$\begin{align*} AC^2&=BC^2+AB^2 \\
&=9^2+12^2 \\
&=81+144 \\
&=225\end{align*}$
Donc $AC=15$.

$\quad$

Affirmation 6 : Vraie

Dans les triangles $BAC$ et $BDE$ :
– $E$ appartient à $[BC]$ et $D$ appartient à $[AB]$;
– $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Par conséquent $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BE}{BC}$.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Le point de coordonnées $(2;10)$ appartient à la courbe représentant le parcours de la mère. Elle a donc mis $2$ heures pour rentre chez elle.
    $\quad$
    b. $\dfrac{10}{2}=5$. Sur l’ensemble du parcours, la vitesse moyenne de la mère est de $5$ km/h.
    $\quad$
    c. La courbe représentant le parcours de la mère semble être une droite passant par l’origine du repère. La distance parcourue par la mère est donc proportionnelle au temps.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique, la fille a fait une pause de $30$ minutes.
    $\quad$
    b. Avant la pause, la vitesse moyenne de la fille est égale à $\dfrac{3}{~\dfrac{1}{4}~}=12$ km/h.
    Après la pause,  elle parcourt les $7$ kilomètres restants en environ $1$ heure et $5$ minutes. Sa vitesse moyenne est donc inférieure à $7$ km/h.
    Elle a donc couru le plus vite avant sa pause.
    $\quad$
  3. Les deux courbes se croisent trois fois : au départ, au  bout d’environ $35$ minutes et au bout de $1$h $15$min.
    La mère et la fille se sont retrouvées deux fois au même endroit et au même moment si on exclut le départ.
    $\quad$
  4. La distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps et sa vitesse moyenne est égale à $5$ km/h.
    Donc  $f(x)=5x$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $12\times 350=4~200$.
    Sur le site A, la commande coûterait $4~200$ €.
    $\quad$
  2. a. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ € et $380$ maillots coûtent $4~550$ €.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=B1+B2$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{650}{50}=13$ et $\dfrac{5~200}{440}\approx 11,82\neq 13$.
    Le coût total n’est donc pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
    $\quad$
  3. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ €. Il faut donc encore acheter $20$ maillots.
    $3~900+20\times 13=4~160<4~200$.
    Le club doit donc passer sa commande sur le site B.
    $\quad$
  4. Sur $7$ maillots il faut donc $5$ noirs et $2$ rouges.
    Sur $350 (=50\times 7)$ maillots, il faut donc $250$ maillots noirs et $100$ rouges.
    $\quad$
  5. La probabilité qu’il contienne des gourdes bleues égale à $\dfrac{3}{3+4}$ soit $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. Le script A permet d’obtenir la figure 2 et le script B permet d’obtenir la figure 1.
    $\quad$
  3. On peut écrire le script suivant :

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On peut placer $10$ cubes sur la largeur, $6$ dans la profondeur et $6$ en hauteur.
    Cela représente donc $6\times 6\times 10=360$ cubes de cire d’abeille.
    $\quad$
    b. Volume d’un cube de cire d’abeille : $V_c=6^3=216$ cm$^3$.
    Volume de tous les cubes : $V=360\times 216=77~760$ cm$^3$.
    La masse de cire d’abeille est donc égale à $0,95\times 77~760=73~872$ g soit environ $74$ kilogrammes.
    $\quad$
  2. a. Le volume d’une bougie est :
    $\begin{align*} V_b&=\pi \times 3^2\times 6 \\
    &=54\pi \\
    &\approx 170\end{align*}$
    Le volume d’une bougie est donc bien environ égale à $170$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. On récupère environ $216-170=46$g de cire d’abeille par cube.
    $\dfrac{216}{46}\approx 4,7$.
    Il faut donc découper $5$ cubes pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm avec la cire perdue.
    $\quad$
  3. Soit $P$ le prix d’achat ‘une bougie.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=9,6$ soit $1,2P=9,6$ et donc $P=\dfrac{9,6}{1,8}=8$.
    Il paie donc $8$€ le cube de cire d’abeille à l’usine.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     24 points

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : $72$ est un multiple commun des nombres $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : pour tout nombre $n$, on a l’égalité suivante : $(n-5)^2 = n^2-5^2$.

$\quad$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x +5$.
Affirmation 3 : l’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Voici les températures relevées en degré Celsius (noté °C) pendant six jours dans une même ville :
$5$ °C, $7$ °C, $11$ °C, $8$ °C, $5$ °C et $6$ °C.
Affirmation 4 : la moyenne de ces six températures est égale à $6,5$ °C.

$\quad$

Les points $B$, $D$ et $A$ sont alignés.
Les points $B$, $E$ et $C$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$BA = 12$ cm; $BC = 9$ cm;
$BD = 8$ cm et $BE = 6$ cm.
La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle.

Affirmation 5 : la longueur $AC$ est égale à $15$ cm.

$\quad$

Affirmation 6 : les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Une mère et sa fille rentrent chez elles à pied en empruntant le même trajet de $10$ kilomètres. La mère décide de s’y rendre en marchant et sa fille en courant.
Le graphique ci-dessous modélise les parcours de la mère et de la fille depuis leur départ.

 

  1. a. Indiquer le temps mis par la mère pour rentrer chez elle, avec la précision que permet la lecture du graphique.
    $\quad$
    b. Déterminer la vitesse moyenne en km/h de la mère sur l’ensemble de son parcours.
    $\quad$
    c. La distance parcourue par la mère est-elle proportionnelle au temps ?
    $\quad$
  2. La fille est partie à $16$ h et est arrivée chez elle à $17$ h $50$. Elle a fait une pause durant sa course.
    a. Indiquer la durée de la pause de la fille, avec la précision que permet la lecture graphique.
    $\quad$
    b. Quand a-t-elle couru le plus vite : avant ou après sa pause ?
    $\quad$
  3. Combien de fois la mère et la fille se sont retrouvées au même endroit et au même moment, au cours de leur trajet ?
    $\quad$
  4. Dans cette question, on note $f$ la fonction qui, au temps de parcours x (exprimé en heure) de la mère depuis le départ, associe la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par la mère depuis le départ.
    Parmi les propositions suivantes, recopier sans justification l’expression de $f(x)$ :
    $$f(x)=\dfrac{1}{5}x \quad ; \quad f(x)=5x \quad ; \quad f(x)=x+5$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     23 points

Un club de handball souhaite commander des maillots avec le nom du club inscrit dessus. À l’issue de sa commande, le club veut recevoir exactement $350$ maillots.
Après quelques recherches, deux sites internet ont été sélectionnés :

  • sur le site A : les maillots sont vendus à $12$ € l’unité;
  • sur le site B : les maillots sont vendus à $13$ €  l’unité, avec la promotion :

« $10$ maillots offerts pour $100$ achetés ».

  1. Déterminer le montant, exprimé en euro, de la commande du club envisagée sur le site A.
    $\quad$
  2. Un tableur ci-dessous présente des exemples de dépenses en fonction du nombre de maillots payés sur le site B. Voici une copie d’écran de ce tableur.a. À la lecture de ce tableur, le trésorier du club affirme que le montant de la commande sera compris entre $3~900$ € et $4~550$ €. Son affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$
    b. Sachant que les lignes $1$ et $2$ du tableur ont été complétées auparavant, quelle formule a-t-on pu saisir ensuite dans la cellule $\text{B3}$ avant de l’étirer jusqu’à la cellule $\text{I3}$, pour remplir la ligne $3$ du tableur ?
    $\quad$
    c. Le coût total exprimé en euro est-il proportionnel au nombre de maillots reçus ?
    $\quad$
  3. Sur quel site le club doit-il passer sa commande pour recevoir exactement $350 $maillots, tout en payant le moins cher ?
    $\quad$
  4. Le club souhaite que ces $350$ maillots soient répartis entre des maillots noirs et des maillots rouges dans le ratio $5 : 2$.
    Combien faut-il commander de maillots noirs et de maillots rouges ?
    $\quad$
  5. Le club a aussi commandé des gourdes. Les cartons reçus sont indiscernables tant par leurs dimensions que par leur forme.
    Il y a $4$ cartons de gourdes blanches et $3$ cartons de gourdes bleues.
    On ouvre un carton au hasard. Quelle est la probabilité qu’il contienne des gourdes bleues ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     14 points

Dans tout cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On donne le programme suivant :

 

On rappelle que l’instruction  signifie que l’on s’oriente vers la droite.

  1. On lance le programme.
    Construire la figure obtenue en prenant $1$ cm pour $25$ unités de longueur.
    On modifie le Script principal et on obtient deux scripts ci-dessous :


    $\quad$

  2. Parmi les trois figures ci-dessous, associer sur votre copie chacun des deux scripts principaux A et B à la figure qu’il permet de réaliser :


    On souhaite réaliser la figure suivante :


    $\quad$
    Le point de départ se situe au centre de la figure.

  3. Compléter le nouveau script principal ci-dessous en recopiant sur la copie uniquement les lignes 5 et 7. Pour mémoire, l’énoncé rappelle ci-dessous à droite le descriptif du bloc Carré.

 

$\quad$

Exercice 5     20 points

Une usine de fabrication de bougies reçoit des cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
Ils sont disposés dans des cartons remplis (sans espace vide).

Informations sur les cartons :
Forme : pavé droit
Dimensions :

  • largeur : $60$ cm
  • hauteur : $36$ cm
  • profondeur : $36$ cm

(On ne tient pas compte de l’épaisseur des cartons)

 

Information sur la cire d’abeille :
Masse volumique : $0,95$ g/cm3

 

  1.  a. Montrer que chaque carton contient $360$ cubes de cire d’abeille.
    $\quad$
    b. Quelle est la masse de cire d’abeille contenue dans un carton rempli de cubes ? On donnera la réponse en kg, arrondie à l’unité près, en ne tenant pas compte de la masse du carton
    $\quad$
  2.  À l’usine, on découpe les cubes de cire d’abeille afin d’obtenir des cylindres de hauteur $6$ cm et de diamètre $6$ cm avec lesquels on fera des bougies en installant une mèche.

    On ne tiendra pas compte de la masse, du volume et du prix de la mèche dans la suite de l’exercice.
    $\quad$
    a. Montrer que le volume d’une bougie est d’environ $170$ cm$^3$.
    $\quad$
    On rappelle que le volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $$V = \pi\times r^2 \times h$$
    $\quad$
    b. En découpant les cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm pour former des bougies  cylindriques, la cire perdue est réutilisée pour former à nouveau d’autres cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
    Combien de cubes au départ doit-on découper pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm, avec la cire perdue ?
    $\quad$

  3. Un commerçant vend les bougies de cette usine au prix de $9,60$ € l’unité. Il les vend $20 \%$ plus chères qu’il ne les achète à l’usine.
    Combien paie-t-il à l’usine pour l’achat d’une bougie ?
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Métropole – Septembre 2021

Métropole – Septembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} \dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}&=\dfrac{12}{21}+\dfrac{5}{21} \\
    &=\dfrac{17}{21}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer une boule verte est
    $\begin{align*} p&=\dfrac{4}{3+2+4} \\
    &=\dfrac{4}{9}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. Réponse B
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} 117&=3\times 39 \\
    &=3\times 3 \times 13\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} \dfrac{1}{(-2)\times (-2)\times (-2)}&=\dfrac{1}{(-2)^3} \\
    &=(-2)^{-3}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. L’étendue est $125-87=38$.
    $\quad$
  2. La masse moyenne des tortues est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{113+96+125+87+117+104+101}{7} \\
    &=\dfrac{743}{7} \\
    &\approx 106\end{align*}$
    La masse moyenne des $7$ tortues est environ égale à $106$ kg.
    $\quad$
  3. On range la série statistique dans l’ordre croissant. On obtient :
    $87~;~96~;~101~;~104~;~113~;~117~;~125$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$.
    La médiane est donc la $4\ieme$  valeur soit $104$.
    $\quad$
  4. Sur les $7$ tortues il y a $2$ mâles.
    $\dfrac{2}{7}  \approx 0,29$.
    Les mâles représentent donc environ $29\%$ de cet échantillon.
    L’affirmation est par conséquent fausse.
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On obtient successivement les nombres suivants :
    $2\to 4\to 16\to 12$
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $12$ comme résultat.
    $\quad$
    b. On obtient successivement les nombres suivants :
    $-8\to -6\to 36\to -28$
    Si on choisit $-8$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $-28$ comme résultat.
    $\quad$
  2. On a saisi $=\text{B}4-\text{B}2*\text{B}2$.
    $\quad$
  3. a. Si on choisit $x$ comme nombre de départ on obtient successivement les nombres suivants :
    $x\to x+2\to (x+2)^2 \to (x+2)^2-x^2$
    Le résultat final est $(x+2)^2-x^2$
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} (x+2)^2-x^2&=x^2+2\times 2 \times x+2^2-x^2 \quad \text{(identité remarquable)} \\
    &=x^2+4x+4-x^2\\
    &=4x+4\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le résultat final est $4(x+1)$ qui est un multiple de $4$.
    Le résultat du programme est bien toujours un multiple de $4$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Sur chaque figure, le triangle est équilatéral et la quadrilatère est un carré.
    $\quad$
    b. La valeur manquante est $100$.
    $\quad$
    c. La figure A est obtenue à l’aide du programme 3.
    La figure B est obtenue à l’aide du programme 1.
    La figure C est obtenue à l’aide du programme 2.
    $\quad$
  2. a. Le périmètre du triangle est $3\times 100$.
    On appelle $x$ la longueur d’un côté du carré.
    On a donc $4x=300$ soit $x=75$.
    On doit donc choisir la valeur $75$.
    $\quad$
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $\dfrac{10}{100}\times 139,90 = 13,99$.
    La réduction est de $13,99$ €.
    $\quad$
  2. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$.
    $\begin{align*} AC^2&= BC^2+BA^2 \\
    &=2,25^2+0,8^2 \\
    &=5,7025\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{5,7025} \approx 2,388$ m
    Par conséquent $AC<2,4$ et l’étagère ne touchera pas le plafond.
    $\quad$
  3. a. On a $C’E=\dfrac{2,25}{5}=0,45$.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $C’DE$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(DE)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $D$ appartient à $[AC’]$ et $E$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’D}{C’A}=\dfrac{C’E}{C’B’}=\dfrac{DE}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{0,45}{2,25}=\dfrac{DE}{0,8}$
    Donc $DE=\dfrac{0,45\times 0,8}{2,25}=0,16$.
    $\quad$
    c. Dans les triangles $C’HI$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(HI)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $H$ appartient à $[AC’]$ et $I$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’H}{C’A}=\dfrac{C’I}{C’B’}=\dfrac{HI}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{3\times 0,45}{2,25}=\dfrac{HI}{0,8}$
    Donc $HI=\dfrac{3\times 0,45\times 0,8}{2,25}=0,48$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples).
Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.
Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

  1. $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}=\ldots$
    Réponse A : $\dfrac{9}{21}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $\dfrac{9}{28}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse C : $\dfrac{17}{21}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  2. Une urne contient $3$ boules jaunes, $2$ boules bleues et $4$ boules vertes, indiscernables au toucher.
    On tire une boule au hasard.
    Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ?
    Réponse A : $\dfrac{4}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $\dfrac{4}{9}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse C : $\dfrac{5}{9}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  3. Sur quelle figure a-t-on représenté une flèche et son image par une rotation de centre $O$ et d’angle $90$° ?
    Réponse A:
    Réponse B:
    Réponse C:
    $\quad$
  4. La décomposition en produit de facteurs premiers de $117$ est :
    Réponse A : $3\times 3\times 13$
    Réponse B : $9\times 13$
    Réponse C : $3\times 7\times 7$
    $\quad$
  5. $\dfrac{1}{(-2)\times (-2)\times (-2)}=\ldots$
    Réponse A : $(-2)^{-3}$
    Réponse B : $(-2)^3$
    Réponse C : $2^{-3}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Sur l’île de Madagascar, un scientifique mène une étude sur les tortues vertes.

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

La tortue verte a pour nom scientifique :
« Chelonia Mydas ».
La carapace mesure en moyenne $115$ cm et l’animal
pèse entre $80$ et $130$ kg.
Elle est classée comme espèce « En Danger ».

Afin de surveiller la bonne santé des tortues, elles sont régulièrement pesées.

Voici les données relevées par ce scientifique en mai 2021.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{Lettres de}\\\text{marquage}\end{array}&~~\text{A-001}~~&~~\text{A-002}~~ &\text{A-003} &~~\text{A-004}~~ &~~\text{A-005}~~ &~~\text{A-006} ~~&~~\text{A-007}~~\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Sexe de la}\\\text{tortue}\end{array}&\text{Mâle}&\text{Femelle}&\text{Femelle }&\text{Femelle}&\text{Mâle}&\text{Femelle}&\text{Femelle}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Masse}\\\text{(en kg)}\end{array}&113& 96& 125& 87& 117& 104& 101\\
\hline
\end{array}$$

  1. . Calculer l’étendue de cette série statistique.
    $\quad$
  2. Calculer la masse moyenne de ces $7$ tortues. Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane de cette série statistique. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Est-il vrai que les mâles représentent moins de $20 \%$ de cet échantillon ?
    $\quad$
  5. L’île de Madagascar a pour coordonnées géographiques ($20$° Sud ; $45$° Est).
    Placer une croix sur le planisphère fourni en annexe afin de marquer la position de l’île de Madagascar.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

On considère le programme de calcul ci-dessous.

  • Choisir un nombre.
  • Ajouter $2$ à ce nombre.
  • Prendre le carré du résultat précédent.
  • Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

On a utilisé la feuille de calcul ci-dessous pour appliquer ce programme de calcul au nombre $5$ ; le résultat obtenu est $24$.

 

  1. Pour les questions suivantes, faire apparaître les calculs sur la copie.
    a. Si on choisit $2$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $12$ comme résultat.
    $\quad$
    b. Si on choisit $-8$ comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?
    $\quad$
  2. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule $\text{B5}$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{123456789000000}&\phantom{123456789000000}&\phantom{123456789000000}\\
    \text{=B4}-\text{B2}*\text{B2}&\text{B2}+2&\text{=B3}*\text{B3}\\
    \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. a. Si l’on choisit $x$ comme nombre de départ, exprimer en fonction de $x$, le résultat final de ce programme de calcul.
    $\quad$
    b. Montrer que $(x+2)^2-x^2=4x+4$.
    $\quad$
  4. Si on choisit un nombre entier au départ, est-il exact que le résultat du programme est toujours un multiple de $4$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Voici trois programmes réalisés avec l’application Scratch.

  1. Ils donnent les trois figures suivantes constituées de triangles et de quadrilatères identiques.

    a. Quelle est la nature du triangle et du quadrilatère sur chaque figure ? Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur manquante à la ligne 8 dans ces 3 programmes ?
    $\quad$
    c. Indiquer sur la copie, pour chaque figure, le numéro du programme qui permet de l’obtenir.
    $\quad$
  2. a. Maintenant nous allons modifier les programmes précédents pour construire d’autres figures pour lesquelles le périmètre du quadrilatère est égal au périmètre du triangle. Quelle valeur du pas doit-on alors choisir à la ligne 8 de chaque programme ?
    $\quad$
    b. Représenter la figure A obtenue avec cette nouvelle valeur, en prenant $1$ cm pour $25$ pas.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Une famille a acheté une étagère qu’elle souhaite placer le long d’un mur.

  1. L’étagère était affichée au prix de $139,90$ €. La famille a obtenu une réduction de $10 \%$.
    Quel a été le montant de cette réduction ?
    $\quad$
  2. Voici l’image de profil qu’on peut voir sur le guide de montage de l’étagère ; ce dessin n’est pas à l’échelle.L’étagère a été montée à plat sur le sol de la pièce ; elle est donc en position 1.
    On veut s’assurer qu’elle ne touchera pas le plafond au moment de la relever pour atteindre la position 2. On ne dispose d’aucun instrument de mesure.
    Avec les données du schéma précédent, vérifier que l’étagère ne touchera pas le plafond.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on supposera que le meuble a pu être disposé contre le mur.
    On installe maintenant quatre tablettes horizontales régulièrement espacées et représentées ici par les segments $[DE]$, $[FG]$, $[HI]$ et $[JK]$.

    a. Calculer la longueur $C’E$.
    $\quad$
    b. Calculer la longueur de la tablette $[DE]$.
    $\quad$
    c. Calculer la longueur de la tablette $[HI]$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Rappels des données}\\
    B’C’ = 2,25 \text{ m}\\
    AB’ = 0,80 \text{ m}\\
    \hline
    \end{array}$$

 

 

DNB – Polynésie – Juin 2021

Polynésie – Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. a. Le quadrilatère $quad1$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $6$.
    $\quad$
    b. Le quadrilatère $quad2$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $1$.
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $2$
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (2x-3)(-5+2x)-4+6x&=-10x+4x^2+15-6x-4+6x \\
    &=4x^2-10x+11
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x+6)(5x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+6=0$ ou $5x-2=0$
    Soit $x=-6$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équation sont $-6$ et $\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 1~386&=2\times 693 \\
    &=2\times 3\times 231 \\
    &=2\times 3\times 3 \times 77 \\
    &=2\times 3^2\times 7\times 11\end{align*}$
    $\begin{align*} 1~716&=2\times 858 \\
    &=2\times 2\times 429 \\
    &=2^2 \times 3\times 143 \\
    &=2^2\times 3\times 11\times 13\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} \dfrac{1~386}{1~716}&=\dfrac{2\times 3^2\times 7\times 11}{2^2\times 3\times 11\times 13} \\
    &=\dfrac{3\times 7}{2\times 13} \\
    &=\dfrac{21}{26}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte C est :
    $\begin{align*} p_C&=\dfrac{50}{350+50} \\
    &=\dfrac{50}{400}\\\
    &=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte A est : $p_A=\dfrac{1}{10}$.
    La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte B est : $p_B=0,15$.
    Or $\dfrac{1}{8}=0,125$ et $\dfrac{1}{10}=0,1$
    Par conséquent $p_B>p_C>p_A$
    Maxime a donc intérêt à tenter sa chance avec la boîte B.
    $\quad$
  3. Soit $N$ le nombre de jetons contenus dans la boîte B.
    On a donc $\dfrac{18}{N}=0,15$ soit $N=\dfrac{18}{0,15}$.
    Par conséquent $N=120$.
    La boîte B contient donc $120$ jetons.
    $\quad$
  4. Soit $n$ le nombre de jetons blancs à ajouter dans la boîte C.
    On veut que $\dfrac{50+10}{350+10+n}=\dfrac{1}{8}$
    C’est-à-dire $\dfrac{60}{360+n}=\dfrac{1}{8}$
    Donc $360+n=8\times 60$
    Par conséquent $360+n=480$ et $n=120$.
    Il faut donc ajouter également $120$ jetons blancs pour que la probabilité de tirer un jeton noir reste égale à $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=17^2=289$
    D’autre part $AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$
    Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} A_{ABC}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{8\times 15}{2} \\
    &=60\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est égale à $60$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $BAC$ rectangle en $A$ on a $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{8}{17}$.
    Par conséquent, d’après la calculatrice, $\widehat{BAC} \approx 62$°.
    $\quad$
  4. Les droites $(AD)$ et $(BE)$ dont perpendiculaires.
    Le triangle $CDE$ est donc rectangle en $C$.
    D’après le théorème de Pythagore :
    $DE^2=CE^2+CD^2$
    Par conséquent $169=144+CD^2$ soit $CD^2=25$
    Ainsi $CD=5$
    Le périmètre du triangle $CDE$ est $P=5+12+13=30$ cm.
    $\quad$
  5. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
    – $C$ appartient à $[AD]$ et $[BE]$;
    – $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$
    Or $\dfrac{4}{5}\neq \dfrac{5}{8}$
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
    $\quad$
  2. La variable s’appelle “Longueur”. Elle correspond à la longueur du côté de l’hexagone régulier.
    $\quad$
  3. On obtient la figure 2.
    $\quad$
  4. On supprime la ligne $9$ et on modifie la ligne $5$ pour obtenir :
    $\quad$
    $\quad$
  5. On modifie les lignes C et D de la façon suivante :
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Graphiquement, $200$ tours Eiffel coûtent $500$ euros chez le fournisseur A.
    $\quad$
    b. Graphiquement, en dépensant $1~300$ euros chez le fournisseur B elle a acheté $600$ tours Eiffel.
    $\quad$
  2. La représentation graphique de prix du fournisseur A en fonction du nombre de tours Eiffel est une droite passant par l’origine du repère. Les prix sont donc proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées.
    La représentation graphique de prix du fournisseur B en fonction du nombre de tours Eiffel n’est une droite. Les prix ne sont donc pas proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées.
    $\quad$
  3. a. On appelle $k$ le coefficient directeur de $f$.
    On a donc $100k=250$ soit $k=\dfrac{250}{100}$ d’où $k=2,5$.
    Par conséquent $f(x)=2,5x$.
    $\quad$
    b. Ainsi $f(1~000)=2,5\times 1~000= 2~500$
    $\quad$
    c. Graphiquement, $1~000$ tours Eiffel coûtent $1~800<2~500$ euros chez le fournisseur B.
    Nora doit donc choisir le fournisseur B.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de tours Eiffel}&1&100&200&1~000&x\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Prix payé en euros avec}\\\text{le fournisseur C}\end{array}&~~152~~&~~350~~&~~550~~&~2~150~&150+2x\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le nombre de tours Eiffel achetées chez le fournisseur C avec $580$ euros.
    On a donc $150+2x=580$ soit $2x=430$ et par conséquent $x=215$.
    On peut donc acheter $215$ tours Eiffel en dépensant $580$ euros chez le fournisseur C.
    $\quad$
    c. $2,5x=150+2x$ revient à $0,5x=150$ soit $x=300$
    La solution de l’équation est $300$.
    Il faut acheter $300$ tours Eiffel pour payer le même montant avec les fournisseurs A et C.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement,
la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non
abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire. 

Exercice 1 (22 points)

Cet exercice est constitué de 5 questions indépendantes.

  1. Sur la figure ci-dessous, chacun des quadrilatères $quad1$, $quad2$ et $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par une transformation.
    $\quad$

    Recopier les trois phrases ci-dessous sur la copie et compléter, sans justifier, chacune d’elles par le numéro de l’une des transformations proposées dans le tableau qui suit :
    a. Le quadrilatère $quad1$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    b. Le quadrilatère $quad2$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    Transformation numéro 1 : translation qui transforme le point $D$ en le point $E$.
    Transformation numéro 2 : rotation de centre $A$ et d’angle $90$° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
    Transformation numéro 3 : symétrie centrale de centre $D$.
    Transformation numéro 4 : translation qui transforme le point $E$ en le point $D$.
    Transformation numéro 5 : rotation de centre $A$ et d’angle $120$° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
    Transformation numéro 6 : symétrie axiale d’axe $(DE)$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire l’expression suivante : $(2x-3)(-5 + 2x)-4 + 6x$
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation suivante : $(x + 6)(5x-2) = 0$.
    $\quad$
  4. a. Décomposer, sans justifier, en produits de facteurs premiers les nombres $1~386$ et $1~716$.
    $\quad$
    b. En déduire la forme irréductible de la fraction : $\dfrac{1~386}{1~716}$
    $\quad$
  5. Les coordonnées géographiques de la ville appelée Jokkmokk sont environ : $67$° Nord et $19$° Est.
    Placer approximativement la ville de Jokkmokk sur le planisphère en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (16 points)

Un professeur propose un jeu à ses élèves.
Ils doivent tirer un jeton dans une boîte de leur choix et gagnent lorsqu’ils tombent sur un jeton
noir. Le professeur leur précise que :

  • La boîte A contient $10$ jetons dont $1$ jeton noir
  • La boîte B contient $15\%$ de jetons noirs
  • La boîte C contient exactement $350$ jetons blancs et $50$ jetons noirs.

Les jetons sont indiscernables au toucher. Une fois que l’élève a choisi sa boîte, le tirage se fait au hasard.

  1. Montrer que, dans la boîte C, la probabilité de tirer un jeton noir est $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$
  2. C’est le tour de Maxime. Dans quelle boîte a-t-il intérêt à tenter sa chance ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. La boîte B contient $18$ jetons noirs. Combien y a-t-il de jetons au total dans cette boîte ?
    $\quad$
  4. On ajoute $10$ jetons noirs dans la boîte C. Déterminer le nombre de jetons blancs à ajouter dans la boîte C pour que la probabilité de tirer un jeton noir reste égale à $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (21 points)

Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point $C$ est le point d’intersection des droites $(BE)$ et $(AD)$.

  1. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
  4. Calculer le périmètre du triangle $CDE$.
    $\quad$
  5. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (19 points)

On donne le programme suivant :

On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie que l’on est orienté vers la droite.

  1. On prendra dans cette question 1 mm pour un pixel.
    Représenter en vraie grandeur sur votre copie la figure que trace le bloc Motif lorsque Longueur vaut $30$ pixels.
    $\quad$
  2. Ce programme utilise une variable, quel est son nom ? À quoi correspond-elle sur la figure réalisée par le bloc Motif ?
    $\quad$
  3. Laquelle de ces trois figures obtient-on lorsqu’on exécute ce programme ? Indiquer sur la copie le numéro de la bonne proposition parmi les trois suivantes. On expliquera son choix
    $\quad$
    $\quad$
  4. Modifier le programme précédent pour obtenir la figure ci-dessous. Pour cela, indiquer les numéros des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter :
    $\quad$$\quad$
  5. On souhaite modifier le bloc Motif afin qu’il permette de tracer un carré. Pour cela, indiquer les lettres des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (22 points)

Nora veut ouvrir un magasin de souvenirs à Paris et proposer à la vente des tours Eiffel miniatures.
Elle contacte deux fournisseurs qui lui envoient chacun sous forme de graphiques le prix à leur payer en fonction du nombre de tours Eiffel achetées.

  1. Par lecture graphique, avec la précision qu’elle permet, et sans justification,
    a. Déterminer le prix à payer pour acheter $200$ tours Eiffel chez le fournisseur A.
    $\quad$
    b. Nora a dépensé $1~300$ euros chez le fournisseur B. Combien de tours Eiffel lui a-t-elle achetées ?
    $\quad$
  2. Ces fournisseurs proposent-ils des prix proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées ?
    $\quad$
  3. a. Pour le fournisseur A, on admet que le prix des tours Eiffel est donné par la fonction linéaire $f$ représentée ci-dessus. On a en particulier $f(100) = 250$. Déterminer l’expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. Calculer $f(1~000)$.
    $\quad$
    c. Nora veut acheter $1~000$ tours Eiffel. Quel est le fournisseur le moins cher dans ce cas-là ?
    $\quad$
  4. Nora contacte un troisième fournisseur, le fournisseur C, qui lui demande un paiement initial de $150$ euros pour avoir accès à ses articles, en plus d’un prix unitaire de $2$ euros par tour Eiffel.
    a. Remplir le tableau des tarifs sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Avec $580$ euros, combien de tours Eiffel peut acheter Nora chez le fournisseur C ?
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation suivante : $2,5x = 150 + 2x$.
    Expliquer à quoi correspond la solution trouvée.
    $\quad$

ANNEXE

  1. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de tours Eiffel}&1&100&200&1~000&x\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Prix payé en euros avec}\\\text{le fournisseur C}\end{array}&~~152~~&~~350~~&~~\phantom{550}~~&~~\phantom{550}~~&~~\phantom{550}~~\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

DNB – Métropole – Juin 2021

Métropole- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La température moyenne à Tours en 2019 était de $8,2$ °C.
    $\quad$
  2. L’étendue de cette série est $22,6-4,4=18,2$°C.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=\text{Moyenne(B2:M2)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{4,4+7,8+\ldots+7,8}{12}=\dfrac{157,2}{12}=13,1$.
    La température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
    $\quad$
  5. $\dfrac{13,1-11,9}{11,9}\approx 0,100~8$.
    Ainsi le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019 de la température moyenne est environ égal à $10\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $2-1,9=0,1$.
    Il aurait fallu $0,1$ millions, soit $100~000$, visiteurs en plus pour atteindre $2$ millions de visiteurs en 2019.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1~900~000}{365}\approx 5~205$
    Il y a donc bien eu environ $5~200$ visiteurs par jour en 2019.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*}
    126&=2\times 63 \\
    &=2\times 3\times 21 \\
    &=2\times 3\times 3\times 7\\
    &=2\times 3^2\times 7\end{align*}$
    et
    $\begin{align*}
    90&=2\times 45 \\
    &=2\times 9 \times 5\\
    &=2\times 3^2\times 5\end{align*}$
    $\quad$
    b. $126$ et $90$ ont $2\times 3^2$ en commun dans leur décomposition en produit de facteurs premiers.
    Ainsi ils sont tous les deux divisibles par $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.
    $\quad$
    c. Le plus grand diviseur commun à $126$ et $90$ est donc $18$.
    $126=18\times 7$ et $90=18\times 5$.
    Le professeur pourra donc constituer $18$ groupes comportant chacun $7$ garçons et $5$ filles.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $AED$ et $ABC$ :
    – les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles (car perpendiculaires à $(AC)$);
    – $D$ appartient à $[AC]$ et $E$ appartient à $[AB]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$
    Soit $\dfrac{2}{2+54,25}=\dfrac{1,6}{BC}$
    Par conséquent $BC=\dfrac{1,6(2+54,25)}{2}$
    Donc $BC=45$ m.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Il y a $7$ jetons verts parmi les $7+4+3+2=16$ jetons de l’urne.
    L’événement “Obtenir un jeton vert” a donc une probabilité de $\dfrac{7}{16}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer un jeton bleu est $\dfrac{3}{16}$.
    La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est donc $1-\dfrac{3}{16}$ soit $\dfrac{13}{16}$
    Réponse A
    $\quad$

Partie B

  1. L’image du motif $20$ par la symétrie d’axe la droite $(d)$ est le motif $17$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Le motif $3$ est l’image du motif $1$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $2\times 36=72$°.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Le motif $11$ est l’image du motif $1$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.
    L’aire du motif $1$ est donc égale à $2^2$ fois l’aire du motif $1$.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Voici les différents nombre qu’on obtient au cours de ce programme de calcul :
    $$4\rightarrow 16\rightarrow 28\rightarrow 18$$
    On obtient bien $18$ en choisissant $4$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différents nombre qu’on obtient au cours de ce programme de calcul :
    $$-3\rightarrow 9\rightarrow 0\rightarrow -10$$
    On obtient bien $-10$ en choisissant $-3$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$
  4. a. Si $x$ est le nombre de départ voici les différents nombres obtenu au cours du programme de calcul :
    $$x\rightarrow x^2\rightarrow x^2+3x \rightarrow x^2+3x-10$$
    Le programme de calcul fournit donc $x^2+3x-10$.
    $\quad$
    b. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+5)(x-2)&=x^2-2x+5x-10 \\
    &=x^2+3x-10\end{align*}$
    Le résultat peut donc bien s’écrire $(x+5)(x-2)$.
    $\quad$
    c. On veut obtenir $x^2+3x-10=0$ soit $(x+5)(x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x+5=0$ ou $x-2=0$
    C’est-à-dire $x=-5$ ou $x=2$.
    On peut donc choisir $-5$ ou $2$ pour obtenir le nombre $0$ à l’arrivée.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $5,2\times \dfrac{6,5}{100}=0,338$
    La production annuelle de déchets par français à donc diminué de $0,338$ tonne entre 2007 et  2017.
    $\quad$
  2. a. On a $CH=67-39=28$ cm
    $\quad$
    b. Dans le triangle $CDH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $CD^2=CH^2+DH^2$
    Soit $53^2=28^2+DH^2$
    Donc $DH^2=53^2-28^2$
    C’est-à-dire $DH^2=2~025$
    Par conséquent $DH=\sqrt{2~025}=45$ cm
    $\quad$
    c. L’aire du trapèze est
    $\begin{align*}
    \mathscr{A}_T&=\dfrac{(39+67)\times 45}{2}\\
    &=2~385\end{align*}$
    L’aire du trapèze $ABCD$ est donc égale à $2~385$ cm^2.
    $\quad$
    d. L’aire du rectangle situé sous le trapèze $ABCD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}_R&=(110-45)\times 67\\
    &=4~355\end{align*}$
    Le volume du composteur est donc
    $\begin{align*} V&=(4~355+2~385)\times 70 \\
    &=471~800\end{align*}$
    Or $471~800$ cm$^3$ $=0,471~8$ m$^3$
    Le volume du composteur est égal à $ 0,471~8$ m$^3$
    Ce volume est environ égal à $0,5$ m$^3$ en arrondissant à $0,1$ m$^3$ près.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation

Exercice 1 (20 points)

Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019

  1. D’après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?
    $\quad$
  2. Déterminer l’étendue de cette série.
    $\quad$
  3. Quelle formule doit-on saisir en cellule $\text{N2}$ pour calculer la température moyenne annuelle ?
    $\quad$
  4. Vérifier que la température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
    $\quad$
  5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de $11,9$ °C.
    Le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l’unité, est-il de : $7 \%$ ; $10 \%$ ou $13 \%$ ? Justifier la réponse
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2 (20 points)

Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L’année 2019 a enregistré $1,9$ million de visiteurs.

  1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre $2$ millions de visiteurs ?
    $\quad$
  2. L’affirmation « Il y a eu environ $5~200$ visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième.
    Il veut répartir les $126$ garçons et les $90$ filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
    a. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $126$ et $90$.
    $\quad$
    b. Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres $126$ et $90$.
    $\quad$
    c. En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
    $\quad$
  4. Deux élèves de 3ème, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.$\quad$
    Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points $A$, $E $et $B$ ainsi que les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés.
    $\quad$
    Calculer la hauteur $BC$ de la Gyrotour.


    $\quad$

    $\quad$

Exercice 3 (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

PARTIE A :

Une urne contient $7$ jetons verts, $4$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $2$ jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.

  1. À quel événement correspond une probabilité de $\dfrac{7}{16}$ ?
    A. Obtenir un jeton de couleur rouge ou jaune
    B. Obtenir un jeton qui n’est pas vert.
    C. Obtenir un jeton vert.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu ?
    A. $\dfrac{13}{16}$
    B. $\dfrac{3}{16}$
    C. $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$

PARTIE B

On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de $1$ à $20$, dans laquelle :

  • $\widehat{AOB}=36$°
  • le motif $11$ est l’image du motif $1$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

 

  1. Quelle est l’image du motif $20$ par la symétrie d’axe la droite $(d)$ ?
    A. Le motif $17$
    B. Le motif $15$
    C. Le motif $12$
    $\quad$
  2. Par quelle rotation le motif $3$ est-il l’image du motif $1$ ?
    A. Une rotation de centre $O$, et d’angle $36$°.
    B. Une rotation de centre $O$, et d’angle $72$°.
    C. Une rotation de centre $O$, et d’angle $90$°.
    $\quad$
  3. L’aire du motif $11$ est-elle égale :
    A. au double de l’aire du motif $1$.
    B. à $4$ fois l’aire du motif $1$.
    C. à la moitié de l’aire du motif $1$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4 (20 points)

Voici un programme de calcul
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Choisir un nombre.}\\
\text{Prendre le carré du nombre de départ.}\\
\text{Ajouter le triple du nombre de départ.}\\
\text{Soustraire 10 au résultat.}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier que si on choisit $4$ comme nombre de départ, on obtient $18$.
    $\quad$
  2. Appliquer ce programme de calcul au nombre $-3$.
    $\quad$
  3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec scratch.


    Compléter sur l’ANNEXE les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul.
    $\quad$

  4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
    a. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
    $\quad$
    b. Vérifier que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x + 5)(x-2)$.
    $\quad$
    c. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre $0$ à l’arrivée ?
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 5 (20 points)

La production annuelle de déchets par Français était de $5,2$ tonnes par habitant en 2007.
Entre 2007 et 2017, elle a diminué de $6,5 \%$.

  1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l’année 2007 ?
    $\quad$
  2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.
    Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d’un pavé droit et d’un prisme droit
    (la figure du composteur n’est pas à l’échelle). Le descriptif indique qu’il a une contenance d’environ $0,5$ m$^3$. On souhaite vérifier cette information


    a. Dans le trapèze $ABCD$, calculer la longueur $CH$.
    $\quad$
    b. Montrer que la longueur DH est égale à $45$ cm.
    $\quad$
    c. Vérifier que l’aire du trapèze ABCD est de $2~385$ cm$^2$.
    $\quad$
    d. Calculer le volume du composteur.
    L’affirmation « il a une contenance d’environ $0,5$ m$^3$ » est-elle vraie ? Justifier.

Rappels :

  • Aire du trapèze $= \dfrac{\text{(Petit côté + Grand côté) $\times$ Hauteur}}{2}$
  • Volume du prisme droit $=\text{Aire de la base $\times$ hauteur}$
  • Volume du pavé droit $=\text{Longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur}$

$\quad$

$\quad$

 

DNB – Asie – Juin 2021

Asie- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $126$ est divisible par $2$ car il est pair et divisible par $3$ car la somme de ses chiffres est $9$ (qui est divisible par $3$).
    Donc $126$ est divisible par $6$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. $f(2)=2^2-2=4-2=2$
    $f(-2)=(-2)^2-2=4-2=2$
    $f(0)=0^2-2=-2$
    Réponse C
    $\quad$
  3. $-5\times (-3)\times (-3)+2\times (-3)-14=-65$
    Réponse A
    $\quad$
  4. Les solutions de $x^2=16$ sont $\sqrt{16}$ et $-\sqrt{16}$ soit $4$ et $-4$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. $2\times 2^{400}=2^1\times 2^{400}=2^{400+1}=2^{401}$
    Réponse A
    $\quad$
  6. La largeur de cette télévision est $\dfrac{16}{9}\times 54=96$ cm.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2\\
    &=1^2+1^2 \\
    &=2\end{align*}$
    Donc $AC=\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. a. On multiplie les longueurs des côtés par $2$ pour passer d’un carré au carré suivant.
    Le coefficient d’agrandissement des longueurs est donc égal à $2$.
    $\quad$
    b. Il s’agit d’une homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.
    $\quad$
  3. $AH=4$ cm. Toutes les longueurs du carré $ABCD$ ont donc été multipliée par $4$. Ainsi $AI=4AC$.
    L’affirmation est par conséquent fausse.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABJ$ rectangle en $A$ on a
    $\begin{align*}\tan \widehat{AJB}&=\dfrac{AB}{AJ} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{AJB} \approx 14$°
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $18>15$ donc l’algorithme fournit $100-18\times 4=28$ comme résultat.
    $\quad$
  2. $14<15$ donc l’algorithme fournit $2(14+10)=48$ comme résultat.
    $\quad$
  3. On résout les équations :
    $\bullet$ $100-N\times 4=32$ soit $-4N=-68$ et donc $N=17$ (et $N$ est bien strictement supérieur à $15$).
    $\bullet$ $2(N+10)=32$ soit $N+10=16$ et donc $N=6$ (et $6$ est bien strictement inférieur à $15$).
    Les nombres $6$ et $17$ permettent d’obtenir $32$ comme résultat final.
    $\quad$
  4. a. Si réponse > $15$ alors
    $\quad$
    b. dire $2*(\text{réponse} + 10)$ pendant $2$ secondes
    $\quad$
  5. Les nombres premiers compris entre $10$ et $25$ sont $11$, $13$, $17$, $19$ et $23$
    Si $N=11$ alors on obtient $2(11+10)=42$ (n’est pas un multiple de $4$)
    Si $N=13$ alors on obtient $2(13+10)=46$ (n’est pas un multiple de $4$)
    Si $N=17$ alors on obtient $100-17\times 4=32$ (est un multiple de $4$)
    Si $N=19$ alors on obtient $100-19\times 4=24$ (est un multiple de $4$)
    Si $N=23$ alors on obtient $100-23\times 4=8$ (est un multiple de $4$)
    Ainsi la probabilité cherchée est $p=\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $6$ minutes correspond à $\dfrac{1}{10}$ heures et $1~000$ mètres $=1$ km
    Sa VMA est donc égale à $\dfrac{1}{~\dfrac{1}{10}~}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. Affirmation 1  vraie :
    L’étendue de la série statistiques des VMA des filles de la classe est $e_f=13,5-9=4,5$
    L’étendue de la série statistiques des VMA des filles de la classe est $e_g=15-11=4$
    Donc $e_f>e_g$
    $\quad$
    b. Affirmation 2 vraie :
    $8$ élèves sur $24$ ont une VMA inférieure ou égale à $11,5$ km/h.
    $\dfrac{8}{24}\approx 0,33>0,25$
    $\quad$
    c. Affirmation 3 fausse :
    Lisa a la $13$ ème VMA la plus élevée et $13>\dfrac{24}{12}$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Première partie

Il manque $(2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)=18$ cubes au minimum pour obtenir un pavé droit.
$\quad$

Deuxième partie

  1. On obtient la vue

    $\quad$
  2. a. $3+4+4+4+4+4+4=27$
    On utilise $27$ cubes unités.
    Le volume du grand cube est donc $27$ dm$^3$.
    $\quad$
    b. $3\times 3\times 3=27$.
    Une arête de ce grand cube mesure donc $3$ dm.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     24 points

Pour chacun des six énoncés suivants, écrire sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.Il y a une seule réponse correcte par énoncé. On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

  1. Le nombre $126$ a pour diviseur
    a. $252$
    b. $20$
    c. $6$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2$
    a. L’image de $2$ par $f$ est $-2$
    b. $f(-2)=0$
    c. $f(0)=-2$
    $\quad$
  3. Dans la cellule $\text{A2}$ du tableur ci-dessous, on a saisi la formule $$=- 5 * \text{A1} * \text{A1} + 2 * \text{A1}~-~ 14$$ puis on l’a étirée vers la droite.
    Quel nombre obtient-on dans la cellule $\text{B2}$ ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B} \\
    \hline
    1&-4&-3 \\
    \hline
    2&-102&\phantom{-102}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. $-65$
    b. $205$
    c. $25$
    $\quad$
  4. Les solutions de l’équation $x^2=16$ sont …
    a. $-8$ et $8$
    b. $-4$ et $4$
    c. $-32$ et $32$
    $\quad$
  5. $2\times 2^{400}$ est égal à …
    a. $2^{401}$
    b. $4^{400}$
    c. $2^{800}$
    $\quad$
  6. La largeur et la hauteur d’une télévision suivent le ratio $16 : 9$. Sachant que la hauteur de cette télévision est de $54$ cm, combien mesure sa largeur?
    a. $94$ cm
    b. $96$ cm
    c. $30,375$ cm
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     21 points

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré de côté de longueur $1$ cm. Il est noté carré .

Les points $A$, $B$, $E$ et $H$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $D$, $G$ et $J$.

On construit ainsi une suite de carrés (carré ①, carré , carré , …) en doublant la longueur du côté du carré, comme illustré ci-dessous pour les trois premiers carrés.

La figure n’est pas en vraie grandeur

 

  1. Calculer la longueur $AC$.
    $\quad$
  2. On choisit un carré de cette suite de carrés. Aucune justification n’est demandée pour les questions 2.a. et 2.b.
    a. Quel coefficient d’agrandissement des longueurs permet de passer de ce carré au carré suivant
    $\quad$
    b. Quel type de transformation permet de passer de ce carré au carré suivant?
    $\fbox{symétrie axiale}$ $\fbox{homothétie}$  $\fbox{rotation}$ $\fbox{symétrie centrale}$ $\fbox{translation}$
    $\quad$
  3. L’affirmation « la longueur de la diagonale du carré est trois fois plus grande que la longueur de la diagonale du carré » est-elle correcte?
    $\quad$
  4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{AJB}$ au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     21 points

Voici un algorithme :

  1. Justifier que si on choisit le nombre $N$ de départ égal à $18$, le résultat final de cet algorithme est $28$.
    $\quad$
  2. Quel résultat final obtient-on si on choisit $14$ comme nombre $N$ de départ?
    $\quad$
  3. En appliquant cet algorithme, deux nombres de départ différents permettent d’obtenir $32$ comme résultat final. Quels sont ces deux nombres?
    $\quad$
  4. On programme
    a.

    Recopier la ligne 3 en complétant les pointillés :
    ligne 3 :     Si réponse > …… alors
    $\quad$
    b. Recopier la ligne 6 en complétant les pointillés :
    ligne 6 :     dire …… * ( …… + …… ) pendant 2 secondes
    $\quad$

  5. On choisit au hasard un nombre entre $10$ et $25$ comme nombre $N$ de départ.
    Quelle est la probabilité que l’algorithme renvoie un multiple de $4$ comme résultat final ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

En cours d’éducation physique et sportive (EPS), les $24$ élèves d’une classe de troisième pratiquent la course de fond.

Les élèves réalisent le test de demi-Cooper : ils doivent parcourir la plus grande distance possible en six minutes. Chaque élève calcule ensuite sa vitesse moyenne sur cette course. Le résultat obtenu est appelé VMA (Vitesse Maximale Aérobie).

  1. Après son échauffement, CHloé effectue ce test de demi-Cooper. Elle parcourt $1~000$ mètres en $6$ minutes. Montrer que sa VMA est égale à $10$ km/h.
    $\quad$
  2. L’enseignant a récolté les résultats et a obtenu les documents 1 et 2 ci-dessous :$$\begin{array}{|c|}
    \hline
    \textbf{document 2 : VMA (en km/h) des garçons}\\
    \begin{array}{rlrlrlrlrl}
    \text{Nathan :}&12\hspace{0.2cm}&\text{Lucas :} &11\hspace{0.2cm}&\text{Jules :}&14\hspace{0.2cm}&\text{Abdel :}&13,5\hspace{0.2cm}&\text{Nicolas :}&14 \\
    \text{Thomas :}&14,5&\text{Martin :} &11&\text{Youssef :}&14&\text{Mathis :}&12&\text{Léo :}&15 \\
    \text{Simon :}&12&\text{José :} &14&\text{Ilan :}&14&&&&\\
    \end{array}\\
    \hline
    \end{array}$$

    Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
    a. Affirmation 1 : L’étendue de la série statistique des VMA des filles de la classe est plus élevée que celle de la série statistique de VMA des garçons de la classe.
    $\quad$
    b. Affirmation 2 : plus de $25\%$ des élèves de la classe a une VMA inférieure ou égale à $11,5$ km/h.
    $\quad$
    c. L’enseignante souhaite que la moitié de la classe participe à une compétition. Elle sélectionne donc les douze élèves dont la VMA est la plus élevée.
    Affirmation 3 : Lisa participe à la compétition.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     16 points

Première partie

En plaçant plusieurs cubes unités, on construit ce solide :

Question : Combien de cubes unités au minimum manque-t-il pour compléter ce solide et obtenir un pavé droit ?
$\quad$

Deuxième partie

Un jeu en 3D contient les sept pièces représentées ci-dessous. Chaque pièce est constituée de cubes identiques d’arête $1$ dm.

  1. Dessiner une vue de dessus de la pièce n°4 (en prenant $2$ cm sur le dessin pour représenter $1$ dm dans la réalité).
    $\quad$
  2. À l’aide de la totalité de ces sept pièces, il est possible de construire un grand cube dans espace vide.
    a. Quel sera alors le volume (en dm$^3$) de ce grand cube ?
    $\quad$
    b. Quelle est la longueur d’une arête (en dm) de ce grand cube ?
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Centres étrangers – Juin 2021

Centres étrangers- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 360 &= 36 \times 10 \\
    &= 6\times 6\times 2\times 5\\
    &=2\times 3 \times 2\times 3\times 2\times 5\\
    &=2^3 \times 3^2 \times 5
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. L’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ est le triangle $BJF$.
    $\quad$
    b. L’image du triangle $AMH$ par la translation qui transforme le point $E$ en $B$ est le triangle $EFM$.
    $\quad$
    c. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ permet de passer su triangle $AIH$ au triangle $AMD$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} \dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}&=\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{25} \\
    &=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{35}{10}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{42}{10} \\
    &=\dfrac{21}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le volume d’une boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
    Le rayon de la lune est $R=1~737$.
    Son volume (en km$^3$) est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi \times 1~737^3 \\
    &\approx 2,2\times 10^{10}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

  5. Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$ on a
    $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{RS}{RT}$ soit $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{10}{26}$ donc $\widehat{SRT} \approx 67$°
    Par conséquent $\widehat{RTS}=90-\widehat{SRT} \approx 23$°$\quad$
    Le périmètre du triangle $RST$ est
    $\begin{align*}
    \mathcal{P} &=RS+ST+RT \\
    &\approx 10+24+26\\
    &\approx 60 \text{ mm}\end{align*}$
    $\quad$
    L’aire du triangle $RST$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{SR\times ST}{2} \\
    &=\dfrac{10\times 24}{2} \\
    &=120 \text{ mm}^2\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie 1

  1. Les issues possibles sont $\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
    $\quad$
  2. Chaque face à la même probabilité d’apparition.
    La probabilité de l’événement $A$ est $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. Les nombres impairs du dé sont $1;3$ et $5$.
    Par conséquent, la probabilité de l’événement $B$ est $p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Le score maximal est $12$, obtenu avec un double $6$. La probabilité de l’événement $C$ est donc $p(C)=0$.
    $C$ est un événement impossible.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
    \hline
    \boldsymbol 1&2&3&4&5&6&7 \\
    \hline
    \boldsymbol 2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \boldsymbol 3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    \boldsymbol 4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    \boldsymbol 5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    \boldsymbol 6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Les scores possibles sont $2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12$
    $\quad$
  3. a. Le score $10$ peut être obtenu $3$ fois.
    La probabilité de l’événement $D$ est $p(D)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. Les scores qui sont un multiple de $4$ sont $4$, $8$ et $12$.
    Il y a $9$ possibilités de les obtenir.
    La probabilité de l’événement $E$ est $p(E)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    c. Les scores qui sont également un nombre premiers sont $2;3;5;7;11$.
    Il y a $15$ possibilités de les obtenir.
    Il y a également $15$ possibilités d’obtenir un nombre strictement supérieur à $7$.
    Le score obtenu a donc autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Si le nombre choisi est $1$ alors la Valeur 1 est $2$, la Valeur 2 est $6$ et le résultat est $3$.
    Le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Si le nombre choisi est $2$ alors la le programme A affiche
    pendant 2 secondes « On obtient 3 » alors la Valeur 1 est $5$, la Valeur 2 est $-3$ et le résultat est $-15$.
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Si $x$ est le nombre de départ alors on obtient à la fin de l’exécution du programme $C$ l’expression $7x+3-x$ soit $6x+3$.
    $\quad$
  3. Avec le programme A, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $1+x$, la Valeur 2 est $3(1+x)$ et le résultat est $3(1+x)-3$ soit $3x$.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$
  4. a. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-5)=0$ si, et seulement si, $x+3=0$ ou $x-5=0$ c’est-à-dire si, et seulement si $x=-3$ ou $x=5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-3$ et $5$.
    $\quad$
    b. Avec le programme B, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $x+3$, la Valeur 2 est $x-5$ et le résultat est $(x+3)(x-5)$.
    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-5)=0$.
    D’après la question précédente, on peut choisir $-3$ ou $5$ comme valeur de départ pour le programme B affiche « On obtient $0$ ».
    $\quad$
  5. On veut déterminer les valeurs de $x$ telles que
    $3x=6x+3$ soit $-3x=3$ et donc $x=-1$.
    L’unique valeur de départ permettant au programme A et C d’afficher le même résultat est $-1$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le dénivelé est $393-251=142$ m.
    $\quad$
  2. a. Les droites $(EC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droite $(AC)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $ABD$ et $ACE$ :
    – $D$ appartient à $[AE]$, $B$ appartient à $[AC]$
    – les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$
    Ainsi $\dfrac{51,25}{AE}=\dfrac{11,25}{142}$
    Par conséquent $AE=\dfrac{51,25\times 142}{11,25} \approx 646,89$ m
    Donc $DE=AE-51,25 \approx 596$ m
    $\quad$
  3. Soit $T$ le temps, en heure, mis pour parcourir $596$ m à la vitesse moyenne de $8$ km/h.
    On a donc $8=\dfrac{0,596}{T}$ soit $T=\dfrac{0,596}{8}= 0,0745$ h.
    Or $0,0745$ h $=4$ min $28,2$ s
    Elle arrivera donc au point $E$ à environ $9$h$59$.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AEC$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AC^2+EC^2$ soit $(51,25+596)^2=AC^2+142^2$
    Ainsi $AC^2=647,25^2-142^2$ et $AC \approx 631,48$ m
    La pente est donc $\dfrac{EC}{AC} \approx 0,225$ soit $22,5\%$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
    \hline
    \text{Formule A}&73\text{ €}&219\text{ €}&365\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule B}&127\text{ €}&201\text{ €}&275\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule C}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. L’expression algébrique d’une fonction représentant une situation de proportionnalité est de la forme $ax$.
    C’est donc la fonction $h$ qui traduit une situation de proportionnalité.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est associée à la formule B, la fonction $g$ à la formule C et la fonction $h$ à la formule A.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation :
    $36,5x=90+18,5x$ soit $18x=90$ et donc $x=5$
    Le montant à payer avec les formules A et B est identique pour $5$ journées de ski.
    $\quad$
  3. a. La droite $\left(d_1\right)$ représente la fonction $g$.
    La droite $\left(d_2\right)$ représente la fonction $h$.
    La droite $\left(d_3\right)$ représente la fonction $f$.
    $\quad$
    b. On trace la droite d’équation $y=320$. Celle-ci coupe la droite $\left(d_2\right)$ au point d’abscisse $8,8$ environ et la droite $\left(d_3\right)$ au point d’abscisse $12,4$ environ.
    Marin peut donc skier au maximum $12$ jours en utilisant la formule B.
    $\quad$
    c. Le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_3\right)$ a une abscisse environ égale à $19,4$. Il faut donc skier au moins $20$ jours pour que la formule C soit plus la plus avantageuse.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus
largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches
engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 (24 points)

Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n’est demandée

  1. Décomposer $360$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. À partir du triangle $BEJ$, rectangle isocèle en $J$, on a obtenu par pavage la figure ci-dessous.

    a. Quelle est l’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du triangle $AMH$ par la translation qui  transforme le point $E$ en $B$ ?
    $\quad$
    c. Par quelle transformation passe-t-on du triangle $AIH$ au triangle $AMD$?
    $\quad$
  3. Calculer en détaillant les étapes : $$\dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}$$
    On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  4. Pour cette question, on indiquera sur la copie l’unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d’environ $3~474$ km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
    Réponse A : $12,3\times 10^{17}$ km$^3$
    Réponse B : $1~456~610$ km$^3$
    Réponse C : $1,8\times 10^{11}$ km$^3$
    Réponse D : $2,2\times 10^{10}$ km$^3$
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RST$ rectangle en $S$. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    On arrondira la valeur des angles à l’unité.

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (21 points)

Partie 1

Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces  numérotées de $1$ à $6$, puis on note le numéro de la face du dessus.

  1. Donner sans justification les issues possibles.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de l’évènement $A$ : « On obtient $2$ » ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité de l’évènement $B$ : « On obtient un nombre impair » ?
    $\quad$

Partie 2

Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

  1. Quelle est la probabilité de l’évènement $C$ : « le score est $13$ » ? Comment appelle-t-on un tel événement ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
    a. Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Donner la liste des scores possibles.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la probabilité de l’évènement $D$ : « le score est $10$ ».
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’évènement $E$ : « le score est un multiple de $4$ ».
    $\quad$
    c. Démontrer que le score obtenu a autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
\hline
\boldsymbol 1&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 2&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 3&&&&7&& \\
\hline
\boldsymbol 4&&6&&&& \\
\hline
\boldsymbol 5&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 6&&&&&& \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

  1. a. Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Soit $x$ le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l’exécution du programme C ?
    $\quad$
  3. Un élève affirme qu’avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
    $\quad$
  4. a. Résoudre l’équation $(x + 3)(x-5) = 0$.
    $\quad$
    b. Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient $0$ » ?
    $\quad$
  5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (19 points)

Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.
Elle est partie d’une altitude de $251$ mètres et arrivera au sommet à une altitude de $393$ mètres.
Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point $A$ et le sommet par le point $E$. Aurélie est actuellement au point $D$.

Les droites $(AB)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires. Les droites $(AC)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires.
Les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés. Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$AD = 51,25$ m et $DB = 11,25$ m.

  1. Justifier que le dénivelé qu’Aurélie aura parcouru, c’est-à-dire la hauteur $EC$, est égal à $142$ m.
    $\quad$
  2. a. Prouver que les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Montrer que la distance qu’Aurélie doit encore parcourir, c’est-à-dire la longueur $DE$, est d’environ $596$ m.
    $\quad$
  3. On utilisera pour la longueur $DE$ la valeur $596$ m.
    Sachant qu’Aurélie roule à une vitesse moyenne de $8$ km/h, si elle part à $9$h$55$ du point $D$, à quelle heure arrivera-t-elle au point $E$ ? Arrondir à la minute.
    $\quad$
  4. La pente d’une route est obtenue par le calcul suivant :
    $pente~~= \dfrac{dénivelé}{longueur~~horizontale~~parcourue}$.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de $22,5\%$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (20 points)

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d’hiver :

  • Formule A : on paie $36,50$ € par journée de ski.
  • Formule B : on paie $90$ € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis $18,50$ € par journée de ski.
  • Formule C : on paie $448,50$ € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
  1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski.
    Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Dans cette question, 𝑥 désigne le nombre de journées de ski.
    On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
    $$f(x) = 90 + 18,5x \hspace{1.5cm} g(x) = 448,5 \hspace{1.5cm}h(x) = 36,5x$$
    a. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
    $\quad$
    b. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
    $\quad$
    c. Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
    $\quad$
  3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci-dessous.Sans justifier et à l’aide du graphique :
    a. Associer chaque représentation graphique $\left(d_1\right)$, $\left(d_2\right)$ et $\left(d_3\right)$ à la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de $320$ €, en choisissant la formule la plus avantageuse.
    $\quad$
    c. Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
\hline
\text{Formule A}&73\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule B}&127\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule C}&448,50\text{ €}&\phantom{448,50\text{ €}}&\phantom{448,50\text{ €}}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

 

 

À partir de 2021


Vous trouverez ici les corrections des sujets de DNB à partir de la session 2021

2021 – 2022

Amérique du Nord - mai 2022 Centres étrangers - juin 2022 Asie - juin 2022 Polynésie - juin 2022 Métropole - juin 2022

$\quad$

$\quad$

2020 – 2021

Amérique du Nord - Juin 2021 Centres étrangers - juin 2021 Asie - juin 2021 Asie - juin 2021 (secours) Amérique du Sud - novembre 2021 Polynésie - juin 2021 Métropole - septembre 2021 Amérique du Sud - novembre 2021

DNB – Amérique du Nord – Juin 2021

Amérique du Nord – Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10 \neq 2$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    E&=(x-5)(x+1) \\
    &=x^2+x-5x-5\\
    &=x^2-4x-5\end{align*}$
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Si $n=5$ alors $2^n+1=33=3\times 11$
    Donc $2^5+1$ n’est pas un nombre premier.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fréquence d’apparition du $6$ est :
    $\begin{align*} f&=1-\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}\right)\\
    &=1-\dfrac{15}{15}\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. Dans le triangle $RAS$ rectangle en $S$ on a
    $\tan \widehat{ARS}=\dfrac{AS}{SR}$ soit $\tan (26)=\dfrac{80}{SR}$
    Par conséquent $SR=\dfrac{80}{\tan(26)} \approx 164$.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$
  6. On suppose que $AB=160$ et $BC=95$ (cela ne change rien au reste des calculs si on suppose le contraire)
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=160^2+95^2 \\
    &=34~625 \end{align*}$
    Par conséquent $BC=\sqrt{34~625} \approx 186$.
    Affirmation 6 faux
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Graphiquement, on constate que l’extrémité droite du premier segment a pour coordonnées $(14;0,4)$.
    Elle s’est donc arrêtée au bout de $14$ minutes pour effectuer son premier changement d’équipement.
    $\quad$
  2. L’ordonnée du point $M$ est $10,4$. Par conséquent la longueur du parcours de l’épreuve de cyclisme est $10,4-0,4=10$ km.
    $\quad$
  3. L’épreuve de course à pied semble avoir commencé à la $44$ème minute et semble s’être terminée à la $56$ème minute.
    Elle a donc duré $12$ minutes.
    $\quad$
  4. La vitesse sur chacune des épreuves correspond est égale au coefficient directeur des différents segments de droite.
    Celui de la première épreuve semble le plus petit.
    C’est donc durant l’épreuve de natation que l’athlète a été la moins rapide.
    $\quad$
  5. Elle a effectué $12,9$ km en $56$ minutes.
    Par conséquent en $60$ minutes elle aurait parcouru $\dfrac{12,9\times 60}{56} \approx 13,8 <14$.
    La vitesse moyenne de cette athlète est donc inférieure à $14$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Les carrés $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 7\kern .06em}}$ et $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ sont, par exemple, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2.  Les sommets du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ et ceux du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ ne sont pas alignés avec le point $O$. Le carré $3$ n’est pas l’image du carré $8$ par la symétrie centrale de centre $O$.
    $\quad$
  3. Le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ a pour image le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ par cette rotation.
    $\quad$
  4. Le segment $[EF]$ a pour image le segment $[HI]$ par cette rotation.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le motif suivant :
    $\quad$
  2. Les propositions 2 et 4 permettent d’obtenir le motif.
    $\quad$
  3. On peut utiliser la suite d’instruction B A E.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La surface à recouvrir de papier peint est
    $\begin{align*}S&=2\times (2,5\times 2,5+2,5\times 3,5) – (1,2\times 1,6+2,1\times 0,8)\\
    &=30-3,6 \\
    &=26,4\end{align*}$
    La surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{16,95}{5,3}\approx 3,20$
    Un mètre carré de papier peint coûte environ $3,20$ euros.
    $\quad$
  3. $\dfrac{26,4}{5,3}\approx 4,98$.
    Il faut donc prévoir $6$ rouleaux et $2$ pots de colle.
    Ainsi, si on suit les conseils du vendeur, la rénovation de la salle de bain coûtera $6\times 16,95+2\times 5,7=113,10$ euros.
    $\quad$
  4. $113,10 \times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) \approx 104,05$.
    Après la remise le prix de cette rénovation s’élève à $104,05$ euros.
    $\quad$

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (26 points)

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

  1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3 x-7$.
    Affirmation n°1 : «l’image par $f$ du nombre $-1$ est $2$.
    $\quad$
  2. On considère l’expression $E=(x-5)(x+1)$.
    Affirmation n°2 : «L’expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^{2}-4 x-5$ ».
    $\quad$
  3. $n$ est un nombre entier positif.
    Affirmation n°3 : « lorsque $n$ est égal à 5, le nombre $2^{n}+1$ est un nombre premier ».
    $\quad$
  4. On a lancé $15$ fois un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on a noté les fréquences d’apparition dans le tableau ci-dessous:
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Numéro de la}\\ \text{face apparente}\end{array} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
    \hline \begin{array}{l} \text{Fréquence} \\ \text{d’apparition }\end{array}& \dfrac{3}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{5}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{1}{15} & \ldots \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation n°4 : « la fréquence d’apparition du $6$ est $0$ ».
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RAS$ rectangle en $S$. Le côté $[AS]$ mesure $80$ cm et l’angle $\widehat{ARS}$ mesure $26$°.
    Affirmation n°5 : le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm.
    $\quad$
  6. Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $160$ cm et pour largeur $95$ cm.
    Affirmation n°6 : les diagonales de ce rectangle mesurent exactement $186$ cm.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2 (21 points)

Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de $12,9$ kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}} :  \\
\text{Natation}&\text{Cyclisme}&\text{Course à pied} \\
\text{Distance = } 400 \text{ m}&\phantom{\text{Distance = } 400 \text{ m}}&\text{Distance = } 2,5 \text{ km}\\
\hline
\end{array}$$

Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d’équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.

Le point $M$ a pour abscisse $42$ et pour ordonnée $10,4$.
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

  1. Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d’équipement ?
    $\quad$
  2. Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du
    parcours de l’épreuve de cyclisme?
    $\quad$
  3. En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l’épreuve de course à pied?
    $\quad$
  4. Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide?
    $\quad$
  5. On considère que les changements d’équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
    La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à $14$ km/h ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.
On a construit un carré $ABCD$.
On a construit le point $O$ sur la droite $(DB)$, à l’extérieur du segment $[DB]$ et tel que : $OB=AB$.
Le point $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$.
On a obtenu la figure ci-dessous en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre $O$ et d’angle $45$°.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe $(DB)$ et par rapport au point $O$.

 

  1. Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2. Le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ est-il l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
  3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$. Quelle est l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par cette rotation?
    $\quad$
  4. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$. Préciser l’image du segment $[EF]$ par cette rotation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On dispose d’un tableau carré ci-dessous partagé en neuf cases blanches de même dimension qui constituent un motif.

Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l’aspect de certaines cases, lorsqu’on applique ces instructions. Ainsi :

Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande à la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.

Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches :
La suite d’instruction A C permet d’obtenir ce motif

La suite d’instruction A C E permet d’obtenir ce motif

 

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.

  1. Représenter le motif obtenu avec la suite d’instruction A B.
    $\quad$
  2. Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d’obtenir le motif ci-dessous. Lesquelles ?
    Proposition n°1 : A B C
    Proposition n°2 : C E
    Proposition n°3 : B C E C
    Proposition n°4 : C A E A
    $\quad$
  3. Donner une suite d’instructions qui permet d’obtenir le motif ci-contre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (21 points)

On souhaite rénover une salle de bain qui à la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.

Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :

On dispose des informations suivantes :

prix du papier peint :

  • le papier peint est vendu au rouleau entier;
  • un rouleau coûte $16,95$ €;
  • un rouleau permet de recouvrir $5,3$ m$^2$.
    $\quad$
    Conseil du vendeur : prévoir $1$ rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.

prix de la colle :

  • la colle est vendue au pot entier;
  • un pot a une masse de $0,2$ kg;
  • un pot coûte $5,70$ €.
    $\quad$
    Conseil du vendeur :  compter $1$ pot pour $4$ rouleaux de papier peint.
  1. Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^{2}$.
    $\quad$
  2. Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$
  3. Si on suit les conseils du vendeur, combien coutera la rénovation de la salle de bain?
    $\quad$
  4. Le jour de l’achat, une remise de $8 \%$ est accordée.
    Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$

$\quad$