DNB – Asie – Juin 2021

Asie- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $126$ est divisible par $2$ car il est pair et divisible par $3$ car la somme de ses chiffres est $9$ (qui est divisible par $3$).
    Donc $126$ est divisible par $6$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. $f(2)=2^2-2=4-2=2$
    $f(-2)=(-2)^2-2=4-2=2$
    $f(0)=0^2-2=-2$
    Réponse C
    $\quad$
  3. $-5\times (-3)\times (-3)+2\times (-3)-14=-65$
    Réponse A
    $\quad$
  4. Les solutions de $x^2=16$ sont $\sqrt{16}$ et $-\sqrt{16}$ soit $4$ et $-4$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. $2\times 2^{400}=2^1\times 2^{400}=2^{400+1}=2^{401}$
    Réponse A
    $\quad$
  6. La largeur de cette télévision est $\dfrac{16}{9}\times 54=96$ cm.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2\\
    &=1^2+1^2 \\
    &=2\end{align*}$
    Donc $AC=\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. a. On multiplie les longueurs des côtés par $2$ pour passer d’un carré au carré suivant.
    Le coefficient d’agrandissement des longueurs est donc égal à $2$.
    $\quad$
    b. Il s’agit d’une homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.
    $\quad$
  3. $AH=4$ cm. Toutes les longueurs du carré $ABCD$ ont donc été multipliée par $4$. Ainsi $AI=4AC$.
    L’affirmation est par conséquent fausse.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABJ$ rectangle en $A$ on a
    $\begin{align*}\tan \widehat{AJB}&=\dfrac{AB}{AJ} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{AJB} \approx 14$°
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $18>15$ donc l’algorithme fournit $100-18\times 4=28$ comme résultat.
    $\quad$
  2. $14<15$ donc l’algorithme fournit $2(14+10)=48$ comme résultat.
    $\quad$
  3. On résout les équations :
    $\bullet$ $100-N\times 4=32$ soit $-4N=-68$ et donc $N=17$ (et $N$ est bien strictement supérieur à $15$).
    $\bullet$ $2(N+10)=32$ soit $N+10=16$ et donc $N=6$ (et $6$ est bien strictement inférieur à $15$).
    Les nombres $6$ et $17$ permettent d’obtenir $32$ comme résultat final.
    $\quad$
  4. a. Si réponse > $15$ alors
    $\quad$
    b. dire $2*(\text{réponse} + 10)$ pendant $2$ secondes
    $\quad$
  5. Les nombres premiers compris entre $10$ et $25$ sont $11$, $13$, $17$, $19$ et $23$
    Si $N=11$ alors on obtient $2(11+10)=42$ (n’est pas un multiple de $4$)
    Si $N=13$ alors on obtient $2(13+10)=46$ (n’est pas un multiple de $4$)
    Si $N=17$ alors on obtient $100-17\times 4=32$ (est un multiple de $4$)
    Si $N=19$ alors on obtient $100-19\times 4=24$ (est un multiple de $4$)
    Si $N=23$ alors on obtient $100-23\times 4=8$ (est un multiple de $4$)
    Ainsi la probabilité cherchée est $p=\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $6$ minutes correspond à $\dfrac{1}{10}$ heures et $1~000$ mètres $=1$ km
    Sa VMA est donc égale à $\dfrac{1}{~\dfrac{1}{10}~}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. Affirmation 1  vraie :
    L’étendue de la série statistiques des VMA des filles de la classe est $e_f=13,5-9=4,5$
    L’étendue de la série statistiques des VMA des filles de la classe est $e_g=15-11=4$
    Donc $e_f>e_g$
    $\quad$
    b. Affirmation 2 vraie :
    $8$ élèves sur $24$ ont une VMA inférieure ou égale à $11,5$ km/h.
    $\dfrac{8}{24}\approx 0,33>0,25$
    $\quad$
    c. Affirmation 3 fausse :
    Lisa a la $13$ ème VMA la plus élevée et $13>\dfrac{24}{12}$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Première partie

Il manque $(2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)=18$ cubes au minimum pour obtenir un pavé droit.
$\quad$

Deuxième partie

  1. On obtient la vue

    $\quad$
  2. a. $3+4+4+4+4+4+4=27$
    On utilise $27$ cubes unités.
    Le volume du grand cube est donc $27$ dm$^3$.
    $\quad$
    b. $3\times 3\times 3=27$.
    Une arête de ce grand cube mesure donc $3$ dm.
    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Centres étrangers – Juin 2021

Centres étrangers- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 360 &= 36 \times 10 \\
    &= 6\times 6\times 2\times 5\\
    &=2\times 3 \times 2\times 3\times 2\times 5\\
    &=2^3 \times 3^2 \times 5
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. L’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ est le triangle $BJF$.
    $\quad$
    b. L’image du triangle $AMH$ par la translation qui transforme le point $E$ en $B$ est le triangle $EFM$.
    $\quad$
    c. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ permet de passer su triangle $AIH$ au triangle $AMD$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} \dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}&=\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{25} \\
    &=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{35}{10}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{42}{10} \\
    &=\dfrac{21}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le volume d’une boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
    Le rayon de la lune est $R=1~737$.
    Son volume (en km$^3$) est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi \times 1~737^3 \\
    &\approx 2,2\times 10^{10}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

  5. Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$ on a
    $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{RS}{RT}$ soit $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{10}{26}$ donc $\widehat{SRT} \approx 67$°
    Par conséquent $\widehat{RTS}=90-\widehat{SRT} \approx 23$°$\quad$
    Le périmètre du triangle $RST$ est
    $\begin{align*}
    \mathcal{P} &=RS+ST+RT \\
    &\approx 10+24+26\\
    &\approx 60 \text{ mm}\end{align*}$
    $\quad$
    L’aire du triangle $RST$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{SR\times ST}{2} \\
    &=\dfrac{10\times 24}{2} \\
    &=120 \text{ mm}^2\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie 1

  1. Les issues possibles sont $\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
    $\quad$
  2. Chaque face à la même probabilité d’apparition.
    La probabilité de l’événement $A$ est $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. Les nombres impairs du dé sont $1;3$ et $5$.
    Par conséquent, la probabilité de l’événement $B$ est $p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Le score maximal est $12$, obtenu avec un double $6$. La probabilité de l’événement $C$ est donc $p(C)=0$.
    $C$ est un événement impossible.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
    \hline
    \boldsymbol 1&2&3&4&5&6&7 \\
    \hline
    \boldsymbol 2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \boldsymbol 3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    \boldsymbol 4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    \boldsymbol 5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    \boldsymbol 6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Les scores possibles sont $2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12$
    $\quad$
  3. a. Le score $10$ peut être obtenu $3$ fois.
    La probabilité de l’événement $D$ est $p(D)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. Les scores qui sont un multiple de $4$ sont $4$, $8$ et $12$.
    Il y a $9$ possibilités de les obtenir.
    La probabilité de l’événement $E$ est $p(E)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    c. Les scores qui sont également un nombre premiers sont $2;3;5;7;11$.
    Il y a $15$ possibilités de les obtenir.
    Il y a également $15$ possibilités d’obtenir un nombre strictement supérieur à $7$.
    Le score obtenu a donc autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Si le nombre choisi est $1$ alors la Valeur 1 est $2$, la Valeur 2 est $6$ et le résultat est $3$.
    Le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Si le nombre choisi est $2$ alors la le programme A affiche
    pendant 2 secondes « On obtient 3 » alors la Valeur 1 est $5$, la Valeur 2 est $-3$ et le résultat est $-15$.
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Si $x$ est le nombre de départ alors on obtient à la fin de l’exécution du programme $C$ l’expression $7x+3-x$ soit $6x+3$.
    $\quad$
  3. Avec le programme A, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $1+x$, la Valeur 2 est $3(1+x)$ et le résultat est $3(1+x)-3$ soit $3x$.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$
  4. a. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-5)=0$ si, et seulement si, $x+3=0$ ou $x-5=0$ c’est-à-dire si, et seulement si $x=-3$ ou $x=5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-3$ et $5$.
    $\quad$
    b. Avec le programme B, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $x+3$, la Valeur 2 est $x-5$ et le résultat est $(x+3)(x-5)$.
    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-5)=0$.
    D’après la question précédente, on peut choisir $-3$ ou $5$ comme valeur de départ pour le programme B affiche « On obtient $0$ ».
    $\quad$
  5. On veut déterminer les valeurs de $x$ telles que
    $3x=6x+3$ soit $-3x=3$ et donc $x=-1$.
    L’unique valeur de départ permettant au programme A et C d’afficher le même résultat est $-1$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le dénivelé est $393-251=142$ m.
    $\quad$
  2. a. Les droites $(EC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droite $(AC)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $ABD$ et $ACE$ :
    – $D$ appartient à $[AE]$, $B$ appartient à $[AC]$
    – les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$
    Ainsi $\dfrac{51,25}{AE}=\dfrac{11,25}{142}$
    Par conséquent $AE=\dfrac{51,25\times 142}{11,25} \approx 646,89$ m
    Donc $DE=AE-51,25 \approx 596$ m
    $\quad$
  3. Soit $T$ le temps, en heure, mis pour parcourir $596$ m à la vitesse moyenne de $8$ km/h.
    On a donc $8=\dfrac{0,596}{T}$ soit $T=\dfrac{0,596}{8}= 0,0745$ h.
    Or $0,0745$ h $=4$ min $28,2$ s
    Elle arrivera donc au point $E$ à environ $9$h$59$.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AEC$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AC^2+EC^2$ soit $(51,25+596)^2=AC^2+142^2$
    Ainsi $AC^2=647,25^2-142^2$ et $AC \approx 631,48$ m
    La pente est donc $\dfrac{EC}{AC} \approx 0,225$ soit $22,5\%$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
    \hline
    \text{Formule A}&73\text{ €}&219\text{ €}&365\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule B}&127\text{ €}&201\text{ €}&275\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule C}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. L’expression algébrique d’une fonction représentant une situation de proportionnalité est de la forme $ax$.
    C’est donc la fonction $h$ qui traduit une situation de proportionnalité.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est associée à la formule B, la fonction $g$ à la formule C et la fonction $h$ à la formule A.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation :
    $36,5x=90+18,5x$ soit $18x=90$ et donc $x=5$
    Le montant à payer avec les formules A et B est identique pour $5$ journées de ski.
    $\quad$
  3. a. La droite $\left(d_1\right)$ représente la fonction $g$.
    La droite $\left(d_2\right)$ représente la fonction $h$.
    La droite $\left(d_3\right)$ représente la fonction $f$.
    $\quad$
    b. On trace la droite d’équation $y=320$. Celle-ci coupe la droite $\left(d_2\right)$ au point d’abscisse $8,8$ environ et la droite $\left(d_3\right)$ au point d’abscisse $12,4$ environ.
    Marin peut donc skier au maximum $12$ jours en utilisant la formule B.
    $\quad$
    c. Le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_3\right)$ a une abscisse environ égale à $19,4$. Il faut donc skier au moins $20$ jours pour que la formule C soit plus la plus avantageuse.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus
largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches
engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 (24 points)

Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n’est demandée

  1. Décomposer $360$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. À partir du triangle $BEJ$, rectangle isocèle en $J$, on a obtenu par pavage la figure ci-dessous.

    a. Quelle est l’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du triangle $AMH$ par la translation qui  transforme le point $E$ en $B$ ?
    $\quad$
    c. Par quelle transformation passe-t-on du triangle $AIH$ au triangle $AMD$?
    $\quad$
  3. Calculer en détaillant les étapes : $$\dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}$$
    On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  4. Pour cette question, on indiquera sur la copie l’unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d’environ $3~474$ km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
    Réponse A : $12,3\times 10^{17}$ km$^3$
    Réponse B : $1~456~610$ km$^3$
    Réponse C : $1,8\times 10^{11}$ km$^3$
    Réponse D : $2,2\times 10^{10}$ km$^3$
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RST$ rectangle en $S$. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    On arrondira la valeur des angles à l’unité.

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (21 points)

Partie 1

Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces  numérotées de $1$ à $6$, puis on note le numéro de la face du dessus.

  1. Donner sans justification les issues possibles.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de l’évènement $A$ : « On obtient $2$ » ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité de l’évènement $B$ : « On obtient un nombre impair » ?
    $\quad$

Partie 2

Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

  1. Quelle est la probabilité de l’évènement $C$ : « le score est $13$ » ? Comment appelle-t-on un tel événement ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
    a. Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Donner la liste des scores possibles.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la probabilité de l’évènement $D$ : « le score est $10$ ».
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’évènement $E$ : « le score est un multiple de $4$ ».
    $\quad$
    c. Démontrer que le score obtenu a autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
\hline
\boldsymbol 1&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 2&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 3&&&&7&& \\
\hline
\boldsymbol 4&&6&&&& \\
\hline
\boldsymbol 5&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 6&&&&&& \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

  1. a. Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Soit $x$ le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l’exécution du programme C ?
    $\quad$
  3. Un élève affirme qu’avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
    $\quad$
  4. a. Résoudre l’équation $(x + 3)(x-5) = 0$.
    $\quad$
    b. Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient $0$ » ?
    $\quad$
  5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (19 points)

Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.
Elle est partie d’une altitude de $251$ mètres et arrivera au sommet à une altitude de $393$ mètres.
Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point $A$ et le sommet par le point $E$. Aurélie est actuellement au point $D$.

Les droites $(AB)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires. Les droites $(AC)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires.
Les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés. Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$AD = 51,25$ m et $DB = 11,25$ m.

  1. Justifier que le dénivelé qu’Aurélie aura parcouru, c’est-à-dire la hauteur $EC$, est égal à $142$ m.
    $\quad$
  2. a. Prouver que les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Montrer que la distance qu’Aurélie doit encore parcourir, c’est-à-dire la longueur $DE$, est d’environ $596$ m.
    $\quad$
  3. On utilisera pour la longueur $DE$ la valeur $596$ m.
    Sachant qu’Aurélie roule à une vitesse moyenne de $8$ km/h, si elle part à $9$h$55$ du point $D$, à quelle heure arrivera-t-elle au point $E$ ? Arrondir à la minute.
    $\quad$
  4. La pente d’une route est obtenue par le calcul suivant :
    $pente~~= \dfrac{dénivelé}{longueur~~horizontale~~parcourue}$.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de $22,5\%$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (20 points)

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d’hiver :

  • Formule A : on paie $36,50$ € par journée de ski.
  • Formule B : on paie $90$ € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis $18,50$ € par journée de ski.
  • Formule C : on paie $448,50$ € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
  1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski.
    Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Dans cette question, 𝑥 désigne le nombre de journées de ski.
    On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
    $$f(x) = 90 + 18,5x \hspace{1.5cm} g(x) = 448,5 \hspace{1.5cm}h(x) = 36,5x$$
    a. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
    $\quad$
    b. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
    $\quad$
    c. Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
    $\quad$
  3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci-dessous.Sans justifier et à l’aide du graphique :
    a. Associer chaque représentation graphique $\left(d_1\right)$, $\left(d_2\right)$ et $\left(d_3\right)$ à la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de $320$ €, en choisissant la formule la plus avantageuse.
    $\quad$
    c. Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
\hline
\text{Formule A}&73\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule B}&127\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule C}&448,50\text{ €}&\phantom{448,50\text{ €}}&\phantom{448,50\text{ €}}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

 

 

2020 – 2021


Vous trouverez ici les corrections des sujets de l’année 2020 – 2021 pour le DNB

Amérique du Nord - Juin 2021 Centres étrangers - juin 2021 Asie - juin 2021

DNB – Amérique du Nord – Juin 2021

Amérique du Nord – Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10 \neq 2$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    E&=(x-5)(x+1) \\
    &=x^2+x-5x-5\\
    &=x^2-4x-5\end{align*}$
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Si $n=5$ alors $2^n+1=33=3\times 11$
    Donc $2^5+1$ n’est pas un nombre premier.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fréquence d’apparition du $6$ est :
    $\begin{align*} f&=1-\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}\right)\\
    &=1-\dfrac{15}{15}\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. Dans le triangle $RAS$ rectangle en $S$ on a
    $\tan \widehat{ARS}=\dfrac{AS}{SR}$ soit $\tan (26)=\dfrac{80}{SR}$
    Par conséquent $SR=\dfrac{80}{\tan(26)} \approx 164$.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$
  6. On suppose que $AB=160$ et $BC=95$ (cela ne change rien au reste des calculs si on suppose le contraire)
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=160^2+95^2 \\
    &=34~625 \end{align*}$
    Par conséquent $BC=\sqrt{34~625} \approx 186$.
    Affirmation 6 faux
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Graphiquement, on constate que l’extrémité droite du premier segment a pour coordonnées $(14;0,4)$.
    Elle s’est donc arrêtée au bout de $14$ minutes pour effectuer son premier changement d’équipement.
    $\quad$
  2. L’ordonnée du point $M$ est $10,4$. Par conséquent la longueur du parcours de l’épreuve de cyclisme est $10,4-0,4=10$ km.
    $\quad$
  3. L’épreuve de course à pied semble avoir commencé à la $44$ème minute et semble s’être terminée à la $56$ème minute.
    Elle a donc duré $12$ minutes.
    $\quad$
  4. La vitesse sur chacune des épreuves correspond est égale au coefficient directeur des différents segments de droite.
    Celui de la première épreuve semble le plus petit.
    C’est donc durant l’épreuve de natation que l’athlète a été la moins rapide.
    $\quad$
  5. Elle a effectué $12,9$ km en $56$ minutes.
    Par conséquent en $60$ minutes elle aurait parcouru $\dfrac{12,9\times 60}{56} \approx 13,8 <14$.
    La vitesse moyenne de cette athlète est donc inférieure à $14$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Les carrés $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 7\kern .06em}}$ et $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ sont, par exemple, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2.  Les sommets du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ et ceux du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ ne sont pas alignés avec le point $O$. Le carré $3$ n’est pas l’image du carré $8$ par la symétrie centrale de centre $O$.
    $\quad$
  3. Le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ a pour image le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ par cette rotation.
    $\quad$
  4. Le segment $[EF]$ a pour image le segment $[HI]$ par cette rotation.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le motif suivant :
    $\quad$
  2. Les propositions 2 et 4 permettent d’obtenir le motif.
    $\quad$
  3. On peut utiliser la suite d’instruction B A E.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La surface à recouvrir de papier peint est
    $\begin{align*}S&=2\times (2,5\times 2,5+2,5\times 3,5) – (1,2\times 1,6+2,1\times 0,8)\\
    &=30-3,6 \\
    &=26,4\end{align*}$
    La surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{16,95}{5,3}\approx 3,20$
    Un mètre carré de papier peint coûte environ $3,20$ euros.
    $\quad$
  3. $\dfrac{26,4}{5,3}\approx 4,98$.
    Il faut donc prévoir $6$ rouleaux et $2$ pots de colle.
    Ainsi, si on suit les conseils du vendeur, la rénovation de la salle de bain coûtera $6\times 16,95+2\times 5,7=113,10$ euros.
    $\quad$
  4. $113,10 \times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) \approx 104,05$.
    Après la remise le prix de cette rénovation s’élève à $104,05$ euros.
    $\quad$

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (26 points)

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

  1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3 x-7$.
    Affirmation n°1 : «l’image par $f$ du nombre $-1$ est $2$.
    $\quad$
  2. On considère l’expression $E=(x-5)(x+1)$.
    Affirmation n°2 : «L’expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^{2}-4 x-5$ ».
    $\quad$
  3. $n$ est un nombre entier positif.
    Affirmation n°3 : « lorsque $n$ est égal à 5, le nombre $2^{n}+1$ est un nombre premier ».
    $\quad$
  4. On a lancé $15$ fois un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on a noté les fréquences d’apparition dans le tableau ci-dessous:
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Numéro de la}\\ \text{face apparente}\end{array} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
    \hline \begin{array}{l} \text{Fréquence} \\ \text{d’apparition }\end{array}& \dfrac{3}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{5}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{1}{15} & \ldots \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation n°4 : « la fréquence d’apparition du $6$ est $0$ ».
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RAS$ rectangle en $S$. Le côté $[AS]$ mesure $80$ cm et l’angle $\widehat{ARS}$ mesure $26$°.
    Affirmation n°5 : le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm.
    $\quad$
  6. Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $160$ cm et pour largeur $95$ cm.
    Affirmation n°6 : les diagonales de ce rectangle mesurent exactement $186$ cm.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2 (21 points)

Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de $12,9$ kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}} :  \\
\text{Natation}&\text{Cyclisme}&\text{Course à pied} \\
\text{Distance = } 400 \text{ m}&\phantom{\text{Distance = } 400 \text{ m}}&\text{Distance = } 2,5 \text{ km}\\
\hline
\end{array}$$

Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d’équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.

Le point $M$ a pour abscisse $42$ et pour ordonnée $10,4$.
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

  1. Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d’équipement ?
    $\quad$
  2. Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du
    parcours de l’épreuve de cyclisme?
    $\quad$
  3. En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l’épreuve de course à pied?
    $\quad$
  4. Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide?
    $\quad$
  5. On considère que les changements d’équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
    La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à $14$ km/h ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.
On a construit un carré $ABCD$.
On a construit le point $O$ sur la droite $(DB)$, à l’extérieur du segment $[DB]$ et tel que : $OB=AB$.
Le point $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$.
On a obtenu la figure ci-dessous en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre $O$ et d’angle $45$°.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe $(DB)$ et par rapport au point $O$.

 

  1. Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2. Le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ est-il l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
  3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$. Quelle est l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par cette rotation?
    $\quad$
  4. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$. Préciser l’image du segment $[EF]$ par cette rotation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On dispose d’un tableau carré ci-dessous partagé en neuf cases blanches de même dimension qui constituent un motif.

Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l’aspect de certaines cases, lorsqu’on applique ces instructions. Ainsi :

Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande à la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.

Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches :
La suite d’instruction A C permet d’obtenir ce motif

La suite d’instruction A C E permet d’obtenir ce motif

 

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.

  1. Représenter le motif obtenu avec la suite d’instruction A B.
    $\quad$
  2. Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d’obtenir le motif ci-dessous. Lesquelles ?
    Proposition n°1 : A B C
    Proposition n°2 : C E
    Proposition n°3 : B C E C
    Proposition n°4 : C A E A
    $\quad$
  3. Donner une suite d’instructions qui permet d’obtenir le motif ci-contre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (21 points)

On souhaite rénover une salle de bain qui à la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.

Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :

On dispose des informations suivantes :

prix du papier peint :

  • le papier peint est vendu au rouleau entier;
  • un rouleau coûte $16,95$ €;
  • un rouleau permet de recouvrir $5,3$ m$^2$.
    $\quad$
    Conseil du vendeur : prévoir $1$ rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.

prix de la colle :

  • la colle est vendue au pot entier;
  • un pot a une masse de $0,2$ kg;
  • un pot coûte $5,70$ €.
    $\quad$
    Conseil du vendeur :  compter $1$ pot pour $4$ rouleaux de papier peint.
  1. Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^{2}$.
    $\quad$
  2. Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$
  3. Si on suit les conseils du vendeur, combien coutera la rénovation de la salle de bain?
    $\quad$
  4. Le jour de l’achat, une remise de $8 \%$ est accordée.
    Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$

$\quad$